Ejemplos de Interpolación Bilineal (del Atributo)

Al graficar pixel a pixel un objeto 3D, se proyectan en la pantalla (coordenadas CRT) pixeles contiguos en las coordenadas normalizadas (0,0), (1,0), (0,1), (1,1) con intensidades de u= 4, 8, 2, 10, respectivamente. Se desea hacer un “zoom” del despliegue, ¿cómo determinaría la intensidad de un punto localizado en (x, y) = (0.25, 0.75)? Dé la o las fórmulas generales para calcular u en cualquier punto (x, y) que satisfaga 0 x 1 y 0 y 1.

Hay varios criterios; por vecino más próximo, el pixel más cercano a (0.25, 0.75) es (0,1), cuya intensidad es u = 2. por interpolación, como hay cuatro vecinos, escogemos interpolación bilineal; tenemos valores intermedios (en el diagrama, i, j = 0,0 en nuestro caso particular):

En el caso general (cualquier x,y):

= x i = y j

u j = (1) ui j + ui+1 j

u j+1 = (1) ui j+1 + u i+1 j+1

I(x, y) = u = (1) u j + u j+1

o también (versión transpuesta):

ui = (1) ui j + ui j+1

ui+1 = (1) ui+1 j + u i+1 j+1

I(x, y) = u = (1) u i + u i+1

Para 0 x 1 y 0 y 1, escogiendo la 1ª. versión (se obtiene al final el mismo valor interpolado en ambas versiones) es:

= x = y u0 = (1) u00 + u10

u1 = (1) u01 + u11

I(x, y) = u = (1) u0 + u1

substituyendo (x, y) = (0.25, 0.75), y u00= 4, u10= 8, u01= 2, u11= 10: = x = y u0 = (10.25) 4 + 0.25 8 = 5

u1 = (10.25) 2 + 0.25 10 = 4 I(x, y) = u = (10.75) 5 + 0.75 4 =

Para interpolaciones de orden superior (bicúbica, polinomial, etc) se requieren de más vecinos del punto a interpolar. Nota: Si el atributo es vectorial, por ejemplo I(x,y) = u = (u1,u2,u3,u4), se realiza una interpolación bilineal por cada canal ( y son los mismos):

0 00 10

0 00 10

0 1

(1 )

(1 )

, (1 ) x y

u u u

u u u

I u u u

4.25

Ejemplo, con atributos en color u = (r,g,b), para todos los valores de

(, ) [0,1][1,0], con pixeles de (1/640)(1/480) unidades:

La Interpolación Trilineal es la Extensión a 3D del Caso Bilineal. Ejercicio: encontrar las ecuaciones, para una interpolación trilineal, siendo el tercer parámetro de la última interpolación para hallar C, a partir de C1 y C0 en las figuras siguientes. El código binario de los subíndices coincide con las ocho combinaciones de offsets a partir del voxel en (i, j, k ). Suponga que C es el atributo en la posición no entera (x,y,z).