Métodos Matemáticos

INAOE CURSO PROPEDEUTICO PARA LA

MAESTRIA EN ELECTRONICA

Capítulo 2

2010

EDO de segundo orden

Métodos Matemáticos - INAOE

Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de 2o. OrdenForma General

pc yyy

Sol. Complementaria es la sol. de la ec. homogénea asociada

La solución particular proviene de la forma de f(x)

)(2

2

xfcydx

dyb

dx

yda

Ecuaciones Homogeneas

Ecuación diferencial de segundo orden, lineal, de coeficientes constantes, homogénea

2

20

d y dya b cy

dx dx

2 0am bm c

mxey

02 mxmxmx ceebmeam

Ecuación característica

aacbb

m2

42

2,1

3 casos:Raíces reales y diferentesRaíces reales e ingualesRaíces complejo conjugadas

1er. Caso: ecuación auxiliar con Raices reales y diferentes.

2 0am bm c

1 2 1 2, , y m m m m R

1 2

2

20 es m x m xd y dy

a b cy y Ae Bedx dx

aacbb

m2

42

2,1

0)4( 2 acb

2o. Caso: ecuación auxiliar con Raices reales e iguales

ecuación auxiliar:

Con solución:

donde:

2 0am bm c

aacbb

m2

42

2,1

0)4( 2 acb

1 2 1 2, , y m m m m R

1

2

20 es ( ) m xd y dy

a b cy y A Bx edx dx

3er. Caso: ecuación auxiliar con Raices complejo conjugadas

ecuación auxiliar:

Con solución:

2 0am bm c

aacbb

m2

42

2,1

0)4( 2 acb

abac

ja

bm

24

2

2

2,1

jm 2,1

( ) ( )j x j x

x j x j x

y Ae Be

e Ae Be

cos sin and cos sinj x j xe x j x e x j x

( )cos ( )sin

cos sin

j x j xAe Be A B x j A B x

C x D x

cos sinxy e C x D x

EJEMPLO: EDO homogénea

EJEMPLO: EDO no-homogénea

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

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Ecuaciones Homogeneas: ejemplo

Solucionar:

Su ecuación característica es:

Cuyas raíces son

reales y distintas

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

Métodos Matemáticos - INAOE

Solucionar:

Su ecuación característica es:

Cuyas raíces son

reales e iguales

Ecuaciones Homogeneas: ejemplo

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

Ecuaciones No-homogeneas. Coeficientes indeterminados

La ecuación diferencial de segundo orden, de coeficientes constantes, lineal, no homogénea, es del tipo:

La solución está dada en dos partes y1 + y2:

(a) La parte 1, y1 es la solución a la ecuaciòn homogénea, y es llamada la solución complementaria.

(b) La parte 2, y2 la cual es llamada la solución particular.

2

2( )

d y dya b cy f x

dx dx

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

Métodos Matemáticos - INAOE

Ejemplo. Resolver:

(a) solución complementaria

Ecuación auxiliar: m2 – 5m + 6 = 0 la solución m = 2, 3

Y la solución complementaria es y1 = Ae2x + Be3x , donde:

22

25 6

d y dyy x

dx dx

21 1

125 6 0

d y dyy

dx dx

Ecuaciones No-homogeneas: Solución complementaria

Métodos Matemáticos - INAOE

(b) Solución Particular

Se presupone una forma para y2 tal que y2 = Cx2 + Dx + E, y se sustituye en:

Lo cual da:

222 2

225 6

d y dyy x

dx dx

2 26 (6 10 ) (2 5 6 ) 0 0Cx D C x C D E x x

1/ 6 : 5 /18 : 19 /108C D E

2

2

5 19

6 18 108

x xy

…Solución Particular :

(c) La solución completa a:

consiste de:

Solución complementaria + solución particular

La cual es:2

2 31 2

5 19

6 18 108x x x x

y y y Ae Be

22

25 6

d y dyy x

dx dx

COEFICIENTES INDETERMINADOS

La forma general que se presupone para la integral particular depende de la forma del lado izquierdo de la ecuación no homogénea. La tabla siguiente puede ser usada como una guía:

2 2

( ) Assume

sin or cos sin cos

sinh or cosh sinh coshkx kx

f x y

k C

kx Cx D

kx Cx Dx E

k x k x C x D x

k x k x C x D x

e Ce

Ecuaciones No-homogeneas: Solución Particulares

Solucionar:

EJEMPLO :

Ejemplo:

Solucionar:

Ec. Homogénea asociada:

08´´ yy

Polinomio característico:

082 222,1 j

EJEMPLO: Resolver la sig. Ec. Dif. no-homogénea de coef. constantes :

xeyy x 528´´

222

221

jjc ekeky

Por ecuación de Euler:

xsencxcyc )22()22(cos 21

Se propone sol. particular:CBxAey x

p

Derivando dos veces:x

p Aey ´´

Substituyendo en la ec. original y resolviendo para las constantes ABC:

08/59/2 CBA

xey xp 8

592

xexsencxcy x

85

92

)22()22(cos 21

ECS. DIF. LINEALES DE ORDEN SUPERIOR :

Homogénea:

Ejemplo:

Polinomio característico:

Sacando raíces:

Solución:

Cada par de raíces complejo conjugadas DIFERENTES :

Genera un par de funciones linealmente independientes:

xyy sec´´

j 2,12 01

senxcxcyc 21 cos

senxvxvy p 21 cos

0)´(cos)´(

0´cos´

21

21

xvsenxv

senxvxv

1´cos

´ 21 vxxsen

v

xvxv 21 ;cosln

senxxxxy p coslncos

senxxxxsenxcxcyyy pc coslncoscos 21

Ejemplo: Resolver por variación de parámetros la sig. ec.