Elektropltár (Thevenin)

Elektrotechnika pldatr

Langer Ingrid

1

Tartalomjegyzk

Elsz ................................................................................................................................ 2

1. Egyenram hlzatok ................................................................................................ 3

1.1. Alapfogalmak ............................................................................................................. 3

1.2. Pldk passzv hlzatok ered ellenllsnak kiszmtsra ................................... 6

1.3. Impedanciah talaktsok ....................................................................................... 12

1.4. A feszltsg s az ramoszts trvnye ................................................................... 24

1.5. A Thvenin s a Norton ttel ................................................................................... 29

1.6. Mdszerek tbb genertort s fogyasztt tartalmaz

elgaz hlzatok gaiban foly ramok kiszmtsra .......................................... 50

2. Vltakoz ram hlzatok......................................................................................... 97

2.1. Alapfogalmak ........................................................................................................... 97

2.2. Kidolgozott s gyakorl pldk a vltakoz ram ramkrk szmtshoz ...... 102

2

Elsz

A pldatr az budai Egyetem Bnki Dont Gpsz s Biztonsgtechnikai mrnki

Karn a Mechatronikai mrnk BSc kpzsen oktatott Elektrotechnika trgy egyenram s

vltakoz ram hlzatok szmtsval kapcsolatos anyagnak elsajttshoz szeretne

segtsget nyjtani. A tantermi gyakorlatok nem mindig elegendek ahhoz, hogy a hallgatk

a szmtsi mdszereket els hallsra megrtsk, illetve levelez tagozaton id hinyban a

rszletes magyarzatok gyakran elmaradnak. A pldatr ezrt sok, rszletesen kidolgozott

feladatot is tartalmaz, amelyben a szmts menett lpsrl lpsre kvetni lehet, de

minden tmakrhz tartoznak olyan gyakorl feladatok is, amelyeket nllan kell

megoldani, segtsgknt csak a vgeredmny van megadva.

Remlem, hasznos segtsg lesz a zrthelyi dolgozatokra s a vizsgra val

felkszlsben.

2013. augusztus

A szerz

3

1. EGYENRAM HLZATOK

1.1. Alapfogalmak

1.1.1. Villamos ram (jele: I)

Egysgnyi felleten egysgnyi id alatt tahalad tltsmennyisget ramnak nevezzk:

[ ]

ahol Q tltsmennyisg [C]

t id [s]

1.1.2. Villamos feszltsg (jele: U)

A tr kt pontja kztti potencilklnbsg.

Elektromos potencil: egysgnyi tltsnek a tr egyik pontjbl a msikba mozgatshoz

szksges energia:

[

]

ahol WAB Q tltsmennyisg A pontbl B pontba mozgatshoz szksges munka [J]

E elektromos trerssg [N/C]

1.1.3. Ellenlls (jele: R)

Fm vezet ellenllsa:

[ ]

ahol a fajlagos ellenlls [

]

l a vezet hossza [m]

A a vezet keresztmetszete [mm2]

4

(A fajlagos ellenlls hmrskletfgg, a hmrsklet nvekedsvel a fm vezetk

ellenllsa n.)

Villamos ramkrkben az ellenllsok rama s feszltsge kztti kapcsolatot az

Ohm-trvny rja le:

(Az ellenlls reciprokt vezetkpessgnek hvjuk, jele G, mrtkegysge S (Siemens)

)

1.1.4. Villamos ramkrk

Az egyenram villamos ramkrk aktv elemekbl, azaz energiaforrsokbl

(feszltsg vagy ramgenertorokbl), passzv elemekbl, azaz fogyasztkbl

(ellenllsokbl) s az ket sszekt vezetkekbl llnak.

A genertorok villamos energia ellltsra alkalmas kszlkek. (Villamos energit

szmos energiafajta talaktsval elllthat, pl. vegyi energia (galvnelemek,

akkumultorok), fnyenergia (napelemek), mechanikai energia (egyen- s vltakoz

ram genertorok) talaktsval.

Idelis feszltsggenertor: Kapcsai kztt a feszltsg a r kapcsolt fogyasztktl

fggetlenl lland.

Idelis ramgenertor: rama a r kapcsolt fogyasztktl fggetlenl lland.

Jellsek:

1.1.5. Kirchhoff trvnyek a) Kirchhoff csomponti trvnye:

Csompont defincija a villamos hlzatban: Kettnl tbb vezetk tallkozsi pontja.

Villamos hlzat csompontjba befoly s kifoly ramok eljeles sszege nulla.

+ +

- -

Idelis ramgenertor

Ug Ig

Idelis feszltsggenertor

1-1. bra

5

1-2. bra

b) Kirchhoff hurok trvnye:

Hurok defincija a villamos hlzatban: A hlzat azon gainak sszessge, melyeken

vgighaladva gy rhetnk vissza a kiindulsi pontba, hogy minden gon csak egyszer

haladtunk vgig.

Villamos hlzatban brmely zrt hurokban a genertorok s fogyasztk

feszltsgeinek eljeles sszege nulla.

1-3. bra

1.1.6. Ellenllsok kapcsolsa

a. Ellenllsok soros kapcsolsa

1-4. bra

R1 R

2 R

e

Rn =

R1

R3

R2

R4

I1

I2 UR2

UR1

Ug1

I3

I4

UR4

Ug2

UR3

I1

I2

I3

I4

I5

6

b. Ellenllsok prhuzamos kapcsolsa

1-5. bra

1.2. Pldk passzv hlzatok ered ellenllsnak

kiszmtsra

1.2.1. A s B pontok kztt szmtsa ki az ered ellenllst!

1-6. bra

A megolds menete:

Keressnk sorba vagy prhuzamosan kapcsolt ellenllsokat s cserljk ki ezek

eredjvel az eredeti ellenllsokat!

R3 R5 R1

R8

R6

R4 R7 R2

R1=4 R2=3 R3=3,6 R4=4 R5=1,8 R6=3 R7=2 R8=3

A

B

R2

Re

jellsben:

(Az -szel jellt mvelet elnevezse replusz , jelentse:

reciprok rtkek sszegnek a reciproka)

R1

Rn

=

7

1-7. bra

1-8. bra

1.2.2. Szmtsa ki az ellenlls hlzat eredjt A s B pontok kztt!

R3 R1

R4 R2

R3 R1

R2 R5678

R45678

R1

R2 R345678

R1

R2345678

A A

A A

B B

B B

A R3 R

5 R

1

R8

R2

R6

R4 R

7 R

2

R3 R

5 R

1

R6

R4 R

2 R78

A

B B

8

1-9. bra

Megolds:

A C-D pontok s a B-E pontok egy-egy ellenlls nlkli vezetkdarabbal vannak

sszektve (rvidre vannak zrva), ezrt a kt csompont sszevonhat. gy lthat,

hogy az R5 R6 s R7 ellenllsok a B-D pontok kztt prhuzamosan vannak

kapcsolva. Ugyanez igaz az R2 s R3 ellenllsokra a D-F pontok kztt:

1-10. bra

Az R1 s az R23 ellenllsok egymssal sorban, ketten egytt az R4-gyel

prhuzamosan vannak kapcsolva. Eredjk pedig az R567-tel sorba kapcsoldik.

gy AB kztt az ered ellenlls:

{ [( ) ]} ( )

{ [( ) ]} ( ) [ (

)] (

)


R2R3

R4 A B

R1

R5R6R7

R7

R2 R5

R4 A B

R1 R6 R3

C

D

R7

E F

R1=1,8 R2=2 R3=3 R4=7 R5=3 R6=6 R7=2

9

R2 A B

R1

R3

1-11. bra

Megolds:

Vegyk szre, hogy a rvidre zr vezetkek miatt mindhrom ellenlls A s B

pontok kz van bektve, vagyis a hrom ellenlls A s B pontok kztt

prhuzamosan kapcsoldik egymshoz.

A kapcsols trajzolva:


1-13. bra

(Megolds: ({[( ) ] } ) ( )

A B

R7

R6 R4

R1

R2

R8

R5

R3

R1=20

R2=40

R3=30

R4=10

R5=60

R6=70

R7=30

R8=20

R1 R2 R3 A B

R1=8

R2=20

R3=30

1-12. bra

10

1.2.5. Szmtsa ki az ellenlls hlzat eredjt A s B pont kztt!

1-14. bra

(Megolds: ( { [ ( )]}) )

1.2.6. Szmtsa ki A s B pont kztt az ered ellenllst!

1-15. bra

(Megolds: {[( ) ] } ( ) )


R2

R1

R3

R6

R5

R4

A

B

R1= 2

R2= 4

R3= 6

R4= 3

R5= 5

R6= 7

A

B R2

R1

R3

R6

R4

R5

R7

R1= 1

R2= 6

R3= 3

R4= 3

R5= 5

R6= 2

R7= 4

11

R2 R6

R4

A B

R1 R7 R3

R9

R8

R5 R10

R1=15

R2=25

R3=20

R4=30

R5=60

R6=40

R7=60

R8=16

R9=40

R10=30

1-16. bra

(Megolds: [({[( ) ] } ) ( )]


1-17. bra

(Megolds: )


R2 R3 R4 B

R1=6

R2=30

R3=30

R4=30

R5=90

R1

R5

A

R4 R8

R2

B

R1 R7 R3

R6

R1=10

R2=30

R3=10

R4=12

R5=80

R6=40

R7=60

R8=60

A

R5

1-18. bra

12

(Megolds: [( ) ] {[( ) ] } )

1.2.10. Az brn az emberi test ellenllsnak egyszerstett modellje

lthat. Szmtsa ki 150 V egyenfeszltsg hatsra a testen

tfoly ramot, ha a feszltsg a(z)

a) A-B

b) B-C

c) B-E

d) A-E

pontok kztt hat.

1-19. bra

(Megolds: ) ( ( ))

) [( ) ( )]

) ( ( ))

) [ ) ( )] )

1.3. Impedanciah talaktsok

Nem minden kapcsols bonthat fel soros s prhuzamos kapcsolsok sorozatra. Ilyen esetben segtsget jelenthet a delta-csillag vagy a csillag-delta talakts: a

hlzat egy rszt kicserljk ms ellenlls-kombincira oly mdon, hogy a

hlzat tbbi rszben semmi vltozs ne trtnjen s az ered impedancia a hlzat

R1 R

2 R

3

R4 R

5

R6 R

7

R8

R9 R

10

A

B C

D E

R1=40

R2=35

R3=35

R4=120

R5=120

R6=480

R7=460

R8=20

R9=800

R10

=850

13

brmely kt pontja fell nzve vltozatlan maradjon. Ezt a hlzat impedanciah

talaktsnak nevezzk.

a. Delta-csillag talakts

Az 1-2-3 pontok kz n. delta () kapcsolsba kttt ellenllsokat cserljk ki

ugyanezen pontok kz csillag (Y) kapcsolsba kttt ellenllsokkal gy, hogy

brmely kt pont fell nzve az ered ellenlls a s a Y kapcsolsban

megegyezzen.

1-20. bra

Az 1-2 pontok kztt az ellenlls, ha a 3. pont nincs csatlakoztatva:

( ) ( )

Az 2-3. pontok kztt az ellenlls, ha az 1. pont nincs csatlakoztatva:

( ) ( )

Az 1-3. pontok kztt az ellenlls, ha a 2. pont nincs csatlakoztatva:

( ) ( )

Az (1) s (3) egyenletek sszegbl kivonva a (2) egyenletet:

( )

( )

( )

1. 1.

2. 3. 2. 3.

R2

R1

R3

R12

R13

R23

Delta kapcsols Csillag kapcsols

14

gy a Y kapcsols R1 ellenllsa:

Az (1) s (2) egyenletek sszegbl levonva a (3) egyenletet, megkapjuk a Y kapcsols

R2 ellenllst:

s vgl a (2) s (3) egyenletek sszegbl levonva az (1) egyenletet, megkapjuk a Y

kapcsols R3 ellenllst:

b. Csillag-delta talakts

Az 1-2-3 pontok kz csillag (Y) kapcsolsba kttt ellenllsokat cserljk ki

ugyanezek pontok kz delta () kapcsolsba kttt ellenllsokkal gy, hogy

brmely kt pont fell nzve az ered ellenlls a Y s a kapcsolsban

megegyezzen.

15

1-21. bra

Az talakts kpletnek levezetshez kpzeletben kssk ssze (zrjuk rvidre) a 2 s

3 pontot. Impedanciah talakts esetn a csillag kapcsolsban az 1 s a 2-3 pontok

kztti ered ellenlls meg kell, hogy egyezzen a delta kapcsolsban az 1. s a szintn

sszekttt 2-3 pontok kztti ellenllssal. Ez csillag kapcsolsban a R1 soros

kapcsolst jelenti R2 s R3 prhuzamos eredjvel. Delta kapcsolsban a rvidzr miatt

R23 ellenlls nem szl bele az ered ellenllsba, ami gy az R12 s R13 ellenllsok

prhuzamos eredjvel lesz egyenl:

( ) ( )

a replusz jellst kpletknt felrva:

( )

A fenti gondolatmenetet kvetve az 1 s a 3 pontok sszektsvel az ered ellenlls a 2 s

1-3 pontok kztt csillag s delta kapcsolsban:

( ) ( )

a replusz mveletet kpletben felrva:

( )

Vgl az 1 s a 2 pontok sszektsvel a 3 s az 1-2 pontok kztt az ered ellenlls

csillag s delta kapcsolsban:

( ) ( )

azaz

( )

1.

2. 3.

R2

R1

R3

Csillag kapcsols

1.

2. 3.

R12

R13

R23

Delta kapcsols

16

A fenti sszefggsekben az ellenllsokat cserljk ki reciprok rtkkkel, vezessk be

a jellst. (G a vezetkpessg jele, mrtkegysge Siemens, [S])

Az (1) egyenlet gy a kvetkezkppen rhat:

( )

( )

A fenti sszefggs formailag nagyon hasonlt a delta-csillag talaktsnl az ellenllsokra

felrt sszefggsre.

Az (1) egyenlet mintjra a (2) s a (3) egyenletek a kvetkezkppen rhatk:

( ) ( )

( ) ( )

Az (1) s (2) egyenletek sszegbl kivonva a (3) egyenletet:

( )

( )

( )

Visszarva R-eket a kpletbe:

(

)

17

A (2) s (3) egyenletek sszegbl kivonva a (1) egyenletet:

( )

( )

( )


Vgl az (1) s (3) egyenletek sszegbl kivonva a (2) egyenletet:

( )

( )

( )


1.3.1. Szmtsuk ki hrom azonos nagysg

a) deltba kapcsolt R ellenllssal egyenrtk csillag kapcsols

ellenllsainak rtkeit!

1-22. bra

Alkalmazzuk a delta-csillag talakts kplet hrom azonos nagysg

ellenllsra. Behelyettestve R-t mindhrom ellenlls helyre ltjuk, hogy elg a

csillag kapcsols egyetlen ellenllsnak kiszmolsa, hiszen az talakts utn is

mindhrom ellenlls azonos nagysg lesz:

?

?

?

R R

R

18

Teht egy R ellenllsokbl ll delta kapcsols R/3 nagysg ellenllsokbl ll

csillag kapcsolssal helyettesthet.

b) csillagba kapcsolt R ellenllssal egyenrtk delta kapcsols

ellenllsainak rtkeit!

1-23. bra

Teht egy R ellenllsokbl ll csillag kapcsols 3R nagysg ellenllsokbl ll

delta kapcsolssal helyettesthet.

1.3.2. Szmtsa ki A s B pont kztt az ered

ellenllst!

1-24. bra

1.3.2.1. Megolds delta-csillag talaktssal

R1 R

4

R3

R2 R5

A B

C

D

R1=2

R2=3

R3=5

R4=4

R5=6

R

R

R

? ?

?

19

Cserljk ki ACD pontok kztt a delta kapcsols R1, R2, R3 ellenllsokat a velk

egyenrtk csillag kapcsols RA, RC, RD ellenllsokra!

1-25. bra

[( ) ( )] [( ) ( )]

1.3.2.2. Megolds csillag-delta talaktssal

Cserljk ki ADB pontok kztt a csillag kapcsols R1, R3, R3 ellenllsokat a velk

egyenrtk delta kapcsols RAB, RAD, RBD ellenllsokra! (Megjegyzs: C pont az

R1, R3, R3 ellenllsok csillagpontja, ami az talakts utn eltnik)

R1 R

4

R3

R2 R5

A

B

C

D

RD

R4 R

C

RA

R5

A

C

D

B

20

1-26. bra

[( ) ( )] [( ) ( )]

[

]


1-27. bra

R2 R3 R4 B

R1=1

R2=3

R3=4

R4=2,5

R5=4,5

R1

R5

A C

D

R1 R

4

R3

R2 R5

A

B

C

D

R2

RAB

R5

A

D

B

RAD

RBD

21


Az ACD pontok kztt R1 R2 R3 ellenllsok delta kapcsolsban vannak ktve.

Cserljk ki ezt a hrom ellenllst hrom csillag kapcsols ellenllsra!

1-28. bra

Az ered ellenlls A-B pontok kztt:

[( ) ( )] [( ) ( )]


1-29. bra

R4 B RAD

RAB

A D

RDB

R1

RA RD R4 B

R5

A

C

D

RC

22

Az R2, R3, R5 ellenllsok A-D-B pontok kztt csillagba vannak kapcsolva. Cserljk ki

ezeket RAD, RAB, RDB delta kapcsols ellenllsokra. A C pont (csillagpont) az

talakts sorn eltnik.

[( ) ( )] [( ) ( )]

[

]

1.3.4. Szmtsa ki A-B pontok kztt az ered ellenllst!


R1 s R2 ellenllsok prhuzamosan vannak kapcsolva, ezrt helyettesthetk egyetlen R12=R1R2 ellenllssal. Az gy kapott csillagba kapcsolt R12, R4, R5 ellenllsokat helyettestsk a deltba kapcsolta RAC, RBC, RAB, ellenllsokkal!

R7

R3

R1

R5

R2

R4

R6

A B

R1=6

R2=3

R3=3

R4=4

R5=8

R6=6

R7=12

1-30. bra

23

R4

R1 R2

R5

R3

R7 R6

A B

R7

R3

R5

R12

R4

R6

A B

C

R7

R3 RBC R

AC R6

B

C

RAB

A

1-31. bra

[ ] [( ) ( )] [ ] [( ) ( )]

( )

1.3.4.2. Oldja meg a feladatot delta-csillag talaktssal! (Pl. R12, R3, R4 delta kapcsols csillagg alaktsval.)


R1=9

R2=9

R3=4,5

R4=1

R5=3

R6=6

R7=6

1-32. bra

24

R4

R2

R5

R13

R7 R6

A B R

C

RD

R2

RA R

4 A B C

R7

C

D D


R1 s R3 ellenllsok prhuzamosan vannak kapcsolva, ezrt helyettesthetk egyetlen R13=R1R3 ellenllssal. Az gy kapott deltba kapcsolt R13, R5, R6 ellenllsokat helyettestsk a csillagba kapcsolt RA, RC, RD, ellenllsokkal!

{ [( ) ( )]} { [( ) ( )]}

(

)

1.3.5.2. Oldja meg a feladatot csillag-delta talaktssal! (Pl. R13, R4, R6 delta kapcsols csillagg alaktsval.)

1-33. bra

25

R5

R2 R3

R6

R4

R8 R7

A B

R1

R1=3

R2=2

R3=6

R4=6

R5=12

R6=4

R7=2

R8=8


(Megolds: Pl. R1 R2 R3 s R6 R7 R8 csillag kapcsolsok delta kapcsolss alaktsval RAB=4)

1.4. A feszltsg s az ramoszts trvnye a) A feszltsgoszts trvnye

Sorba kapcsolt ellenllslnc elemei a rjuk kapcsolt feszltsget az ellenllsok

arnyban osztjk le. A soros ellenllslnc minden tagjn ugyanaz az ram folyik

keresztl, ezrt:

1-35. bra

b) Az ramoszts trvnye

Egy ramkr prhuzamosan kapcsolt gainak ramai fordtottan arnyosak az egyes

gak ellenllsaival. A prhuzamos gakon es feszltsgek megegyeznek, ezrt:

R1

R2

R3

Ube

Uki UR3

UR2

UR1

I

1-34. bra

26

1-36. bra

Specilis eset: kt prhuzamosan kttt ellenlls esetn az ramoszts trvnye:

1-37. bra

1.4.1. Az ramoszts trvnynek segtsgvel szmtsa ki a

feszltsggenertor feszltsgt, ha az R5 ellenllson 1,8 A ram

folyik keresztl.

1-38. bra

Az ramoszts trvnyt I5 ramra s a csompontba befoly I3 ramra felrva:

R1=6

R2=60

R3=28

R4=30

R5=20

R1

R2

R4

R5

R3

U=?

I5=1,8 A

I1

I2

I3

I4

Ube

IR2 IR1

I

R2

R1

Rn Ube

IR3 IR2 IR1

I

R3 R

2

R1

IRn

.

27

I1 s I3 ramra felrva:

( )

R345 az R2 ellenllssal prhuzamosan kapcsolt g ered ellenllsa

( )

( )

A feszltsggenertor feszltsge:

Re az egsz ramkr ered ellenllsa:

[ ( ( ))] [ ( ( ))]

1.4.2. Szmtsa ki az albbi ramkr ellenllsain es feszltsgeket!

1-39. bra

A feszltsgoszts trvnyt felrva az egyes ellenllsokra:

( )

( )

(UR3(=UR4) rtkt termszetesen az sszefggsbl is megkaphattuk volna.)

R2

U

R1=2

R2=4

R3=6

R4=9

U=12V

U2=14V

U3=16V

R1

R4 R3

UR1 UR2

UR3 UR4

28

1.4.3. Szmtsa ki az albbi ramkr egyes gaiban foly ramokat!

1-40. bra

(Megolds: )

1.4.4. Szmtsa ki az albbi ramkr ramgenertornak s R3

ellenllsnak ramt, ha az R2 ellenlls rama 5 A.

1-41. bra

(Megolds: I=15,1 A, IR3=1,5 A)

1.4.5. Szmtsa ki a feszltsggenertor feszltsgt, ha az R3

ellenllson es feszltsg 18 V!

1-42. bra

(Megolds: U=42 V)

U

R1=3

R2=2

R3=6

R4=2

R5=3

UR3=18V

R5 R4 R1

R3

R2

I

R1=5

R2=8

R3=7

R4=3

IR2=5A

R4 R3 R1

R2

I

R1=1

R2=2

R3=3

R4=4

I=24A

U2=14V

U3=16V

R4 R3 R2 R1

29

1.4.6. Szmtsa ki az albbi ramkr feszltsggenertornak

feszltsgt, s R7 ellenllsnak ramt, ha az R2 ellenlls

rama 1,5 A!

1-43. bra

(Megolds: U=24 V, IR7=1 A)

1.4.7. Szmtsa ki az ramgenertor ramt, ha az R6 ellenlls rama

4 A!

1-44. bra

(Megolds: I=15 A)

R7

R8

R6 I

R4

R5

R3

R1

R2

R1=12

R2=4,8

R3=1,2

R4=1

R5=4

R6=1,8

R7=2

R8=3

IR6

=4 A

R1=6

R2=6

R3=4

R4=6

R5=2

R6=8

R7=5

IR2=1,5 A

R1

R4

U=? R2

R3

R6

R5

R7

30

1.4.8. Szmtsa ki a feszltsggenertor feszltsgt s az R6 ellenlls

ramt, ha az R1 ellenllson es feszltsg 21 V!

1-45. bra

(Megolds: U=30 V, IR6=0,24 A)

1.5. A Thvenin s a Norton ttel

A Thvenin ttel szerint minden, fogyasztkat s genertorokat tartalmaz villamos

hlzat brmely kt pontja fell helyettesthet egyetlen idelis feszltsggenertorral

(U0) s egy vele sorba kapcsolt bels ellenllssal (Rb).

A helyettest feszltsggenertor forrsfeszltsgt gy kapjuk, hogy a helyettestend

rszt levlasztva az eredeti hlzatbl kiszmoljuk a felnyitott kapcsok kztti

feszltsgt. A bels ellenllst megkapjuk, ha a helyettestend ramkr rsz minden

feszltsggenertort rvidre zrjuk, minden ramgenertornak ramkrt

megszaktjuk, majd az gy kapott passzv hlzat ered ellenllst a felnyitott kapcsok

fell kiszmtjuk. (1.47. bra)

A Norton ttel szerint minden, fogyasztkat s genertorokat tartalmaz villamos hlzat

brmely kt pontja fell helyettesthet egyetlen idelis ramgenertorral (I0) s egy

vele prhuzamosan kapcsolt bels ellenllssal (Rb).

Az helyettest ramgenertor forrsramt gy kapjuk, hogy a helyettestend rszt

levlasztva az eredeti hlzatbl kiszmoljuk a rvidre zrt kapcsok kztt foly ramot.

A bels ellenllst megkapjuk, ha a helyettestend ramkr rsz minden

feszltsggenertort rvidre zrjuk, minden ramgenertornak ramkrt

megszaktjuk, majd az gy kapott passzv hlzat ered ellenllst a felnyitott kapcsok

fell kiszmtjuk. (1.48. bra) (A Norton s a Thvenin genertor bels ellenllsa

megegyezik)

Az sszefggs a Norton s Thvenin genertor kztt (1.46. bra):

R6

R7 U

R4

R5

R1

R1=14

R2=2

R3=3

R4=10

R5=20

R6=30

R7=40

UR1

=21 V

R3

R2

31

1-46. bra

A

B

Uk

I

R

A

B

U0

A

B

R Rb

U0

Uk

I

A

B

Helyettestend hlzat rsz

A Thvenin genertor forrsfeszltsgnek meghatrozsa

A Thvenin genertor bels ellenllsnak meghatrozsa

Rb

A Thvenin-fle helyettest genertor

A

B

A

B

U0T

Rb

I0N Rb

A

B

= =

1-47. bra

32

Kidolgozott pldk a Thvenin s a Norton ttel alkalmazsra

Az albbi pldkat gyakorlsknt mindkt ttel alkalmazsval kiszmoljuk, br ltni

fogjuk, hogy a pldtl fggen hol az egyik, hol a msik ttel alkalmazsa ad egyerbb

megoldst. Ezrt a plda megoldsa eltt rdemes tgondolni, melyik mdszerrel lehet

egyszerbben, kevesebb szmolssal megkapni az eredmnyt.

A

B

Uk

I

R

A

B

I0

A

B

R Rb I

0 U

k

I

A

B

Helyettestend hlzat rsz

A Norton genertor forrsramnak meghatrozsa

A Norton genertor bels ellenllsnak

meghatrozsa

Rb

A Norton-fle helyettest genertor

33

1.5.1. A Thvenin s a Norton ttel segtsgvel szmtsa ki az albbi

ramkr R1 ellenllsnak ramt s feszltsgt!

1-49. bra

1.5.1.1. Megolds a Thvenin ttel segtsgvel

a) Elszr tvoltsuk el R1 ellenllst az ramkrbl, majd a visszamarad

hlzatrszben szmtsuk ki a feszltsget a felnyitott A-B kapcsok kztt. Ez a

feszltsg lesz a Thvenin genertor forrsfeszltsge:

R4

U

R1=10

R2=20

R3=30

R4=60

U=30V

U2=14V

U3=16V

R1

R2

R3

R4

U R2

R3

U0 A B

C=A

1-50. bra

34

A felnyitott g miatt R2 ellenllson nem folyik ram, gy rajta nem esik feszltsg,

ezrt U0 feszltsg megegyezik az R4 ellenllson es feszltsggel. (Ami pedig

egyenl U feszltsgforrs s az R3 ellenllson es feszltsg klnbsgvel. (ld.

Kirchhoff hurok tv.) A feszltsgoszts trvnyt felrva R4 ellenllsra:

b) Zrjuk rvidre U feszltsgforrst, majd szmtsuk ki A s B pontok kztt az

ered ellenllst. Ez lesz a Thvenin genertor bels ellenllsa:

( )

c) Rajzoljuk fel a Thvenin-fle feszltsggenertort, a kapcsaira csatlakoztassuk

R1 ellenllst, majd szmoljuk ki R1 ramt s feszltsgt:

R4

R2 R3

RAB=Rb A B

1-51. bra

35

1-52. bra

1.5.1.2. Megolds a Norton ttel segtsgvel

a) Elszr tvoltsuk el R1 ellenllst az ramkrbl, majd a visszamarad

hlzatrszben szmtsuk ki az ramot a rvidre zrt A-B kapcsok kztt. Ez az

ram lesz a Norton genertor forrsrama:

Az 1-53. ramkr ered ellenllsa:

( ) ( )

rama:

R1

U0

Rb

UR1

IR1

A

B

R4

U R2

R3

I0 A B

C=A

1-53. bra

36

I0 ramra az ramoszts trvnyt felrva:

b) A bels ellenlls kiszmtsa megegyezik a Thvenin genertor bels

ellenllsnak kiszmtsval. Zrjuk rvidre U feszltsgforrst, majd szmtsuk

ki A s B pontok kztt az ered ellenllst. Ez lesz a Norton genertor bels

ellenllsa (ld. 1-51. bra):

( )

c) Vgl rajzoljuk fel a Norton-fle ramgenertort (1-54.bra), a kapcsaira

csatlakoztassuk R1 ellenllst, majd szmoljuk ki R1 ramt s feszltsgt:

Az ramoszts trvnye IR1 ramra:

Vgl UR1 feszltsg:



R1 I0 UR1

IR1

Rb

A

B

1-54. bra

37

1-55. bra


1-56. bra


( ( )) ( ( ))

Az 1-56. ramkr rama:

R1 s R3 ellenllsokon foly ram az ramoszts trvnybl:

A Thvenin genertor U0 forrsfeszltsge egyenl az R1 ellenllson es

feszltsggel, gy:

A Thvenin genertor bels ellenllst U feszltsgforrs rvidre zrsa utn az A-

R5

U

R3

R4 R1

A

B

U0

R5

U

R3

R4 R1 R2

R1=4

R2=6

R3=2

R4=3

R5=6

U=24V

R5 R3

R4 R1

A

B

RAB=R

b

1-57. bra

38

B pontok kztti ellenlls kiszmtsval kapjuk:

[ ( )] [ ( )]

Rajzoljuk fel a Thvenin-fle feszltsggenertort, a kapcsaira csatlakoztassuk R2

ellenllst, majd szmoljuk ki R2 ramt s feszltsgt:

1-58. bra

Mieltt megoldannk a feladatot a Norton ttel alkalmazsval, a Thvenin genertor

adataibl a Norton genertor adatai egyszeren kiszmthatak. A Norton genertor

forrsrama:

A belsellenlls mindkt helyettest genertornl ugyanaz.


1-59. bra

R5

U

R3

R4 R1

A

B

I0

R2

U0=4V

UR2

IR2

Rb=2

A

B

39

I0 forrsfeszltsg kiszmtshoz R2 ellenlls eltvoltsa utn rvidre zrjuk a

visszamarad ramkrt A s B pontok kztt. I0 egyenl az A s B pontok kztt

foly rammal. A rvidzr miatt R1 ellenllson nem folyik ram, az ramkr rama

a kt prhuzamosan kapcsolt R3 s R4 ellenlls kztt oszlik meg.

rjuk fel a feszltsgoszts trvnyt R5 s a kt prhuzamosan kapcsolt ellenlls,

R3 s R4 eredjre. A prhuzamos gak feszltsge:

( )

( )

R3 ellenlls rama:

A bels ellenlls kiszmtsa megegyezik a Thvenin genertornl lertakkal (1-57.

bra), gy Rb=2.

Rajzoljuk fel a Norton-fle ramgenertort (1-60.bra), a kapcsaira csatlakoztassuk

R2 ellenllst, majd szmoljuk ki R2 ramt s feszltsgt:


Vgl UR2 feszltsg:



R2 I0=2A UR2

IR2

A

B

Rb=2

1-60. bra

40

1-61. bra


1-62. bra

R3 eltvoltsa utn a visszamarad ramkr kt prhuzamos gat tartalmaz (1-62. bra). Az

egyik gban R1, a msikban a sorba kapcsolt R2, R4 s R5 tallhat. Az ramgenertor I

rama e kt g kztt az ramoszts trvnynek megfelelen oszlik meg:

A Thvenin genertor U0 forrsfeszltsge az R4 s R5 ellenllsokon es feszltsgek

sszegvel egyenl:

( ) ( )

A Thvenin genertor bels ellenllst az ramgenertor ramkrnek megszaktsval A

s B pontok kztti ellenlls kiszmtsval kapjuk (1-62. bra)

( ) ( ) ( ) ( )

Rajzoljuk fel a Thvenin-fle feszltsggenertort, a kapcsaira csatlakoztassuk R3 ellenllst, majd szmoljuk ki R3 ramt s feszltsgt:

I

R2

R5 R

1

R4 R2

R5 R

1

R4

A A

B B

U0 R

b

R4

I

R2

R3 R5 R1

R1=60

R2=15

R3=50

R4=30

R5=20

I=5A

41

1-63. bra


1-64. bra

R3 ellenlls eltvoltsa utn a visszamarad ramkrt A s B pontok kztt rvidre

zrjuk. Az itt foly ram lesz a Norton genertor forrsrama. A rvidre zrs miatt R4

s R5 ellenllsokon nem folyik ram, ezrt I ram a prhuzamosan kapcsolt R1 s R2

kztt oszlik meg. I0 ram az R2 ellenlls ramval egyenl:

I

R2

R5 R

1

R4 R2

R5 R

1

R4

A A

B B

I0 R

b

R3

U0=120V

UR3

IR3

Rb=30

A

B

42

A bels ellenlls kiszmts a 1.5.3.1. pontban lerttal megegyez mdon trtnik, gy

Rb=30 .

Rajzoljuk fel a Norton-fle ramgenertort (1-65.bra), a kapcsaira csatlakoztassuk R3 ellenllst, majd szmoljuk ki R3 ramt s feszltsgt:


Vgl UR3 feszltsg:



1-66. bra


R2

U

R3

R6 R4

R1=6

R2=6

R3=2

R4=2

R5=2

R6=6

U=30 V

R5

R1

R3 I0=4A UR3

IR3

A

B

Rb=30

1-65. bra

43

1-67. bra

A Thvenin fle helyettest genertor U0 forrsfeszltsgt gy kapjuk, hogy az R2

ellenlls eltvoltsa utn a visszamarad ramkr felnyitott A s B pontjai kztt

kiszmtjuk a feszltsget. Az 1-67. brn mindkt rajz ugyanazt az ramkrt brzolja, csak

a jobb oldali bra jobban ttekinthet.

Az 1-67. brn lv ramkr ered ellenllsa:

( ( )) ( ( ))

Az ramkr rama:

I1 ramra az ramoszts trvnyt felrva:

Az 1-67. brn ltjuk, hogy A s B pontok kztti feszltsget, (ami egyben a Thvenin

genertor forrsfeszltsge), az albbi mdon tudjuk felrni:

A Thvenin genertor bels ellenllsnak kiszmtshoz az 1-67. bra ramkrnek

feszltsggenertort rvidre zrjuk, majd kiszmtjuk A s B pontok kztt az ellenllst.

U

R3

R6 R4

R5

R1

U0

A B

U

R3

R6

R4 R5

U0

A B

R1

C

C

D D

I1 I

2 I

44

1-68. bra

Az 1-68. brn mindkt rajz ugyanazt az ellenlls hlzatot brzolja. A jobboldali brbl

jl ltszik, hogy az ered ellenlls kiszmtshoz csillag-delta vagy delta-csillag

talaktsra van szksg. Pldul az R4, R5, R6 ellenllsok alkotta csillag kapcsolst

talaktsuk t delta kapcsolss.

1-69. bra

Most mr fel tudjuk rni A s B pontok kztt az ered ellenllst:

[( ) ( )] [( ) ( )]

Vgl rajzoljuk fel a Thvenin-fle feszltsggenertort, a kapcsaira csatlakoztassuk R2 ellenllst, majd szmoljuk ki R2 ramt s feszltsgt:

A B C

R1 R3

RAC RBC

RAB

R3

R6 R4 R5

R1

Rb A B

R6

A B

C

C

D D

R1 R3

R4 R5

45

1-70. bra


1-71. bra


( [( ) ]) ( [( ) ]) Az ramkr rama:

Az 1-71. bra bal oldali ramkrnl az A pontra felrt Kirchhoff csomponti egyenletbl a

Norton genertor I0 forrsramra a kvetkez egyenletet kapjuk:

Ebbl IR4 ram:

U

R3

R6 R4

R5

R1 I0 A B

U

R3

R6 R

4

R5

A=B

R1

C C

D D

IR4

IR1

I IR3 IR4

IR1

R2

U0=18,462V

UR2

IR2

Rb=2,615

A

B

46

( )

( )

( )

( )

A maradk ram R1 s R3 ellenllsokon oszlik meg. Mivel R1 s R3 azonos nagysg, a

rajtuk tfoly ram is azonos nagysg lesz.


( )

A Norton genertor I0 forrsramra teht:

A Norton genertor bels ellenllsnak meghatrozsa a Thvenin tteles szmtsnl az

1.5.4.1. pontban megtallhat.

Vgl rajzoljuk fel a Norton-fle ramgenertort (1-72.bra), a kapcsaira csatlakoztassuk R2 ellenllst, majd szmoljuk ki R2 ramt s feszltsgt:


Vgl UR2 feszltsg:

R2 I0=7,06A UR2

IR2

A

B

Rb=2,615

1-72. bra

47

1.5.5. Szmtsa ki az albbi ramkr R3 ellenllson kvli rsznek

Thvenin s Norton fle helyettest genertornak paramtereit,

majd ennek segtsgvel szmtsa ki R3 ellenlls feszltsgt s

ramt!

1-73. bra


R3 ellenlls eltvoltsa utn szmtsuk ki az A s B pontok kztti feszltsget, ami a

Thvenin genertor forrsfeszltsgvel lesz egyenl.

1-74. bra

rjuk fel Kirchhoff hurokegyenlett 1-74. brn lthat ramkr ramnak kiszmtshoz:

( )

A Thvenin genertor U0 forrsfeszltsge:

( ) ( )

A Thvenin genertor bels ellenllsnak meghatrozshoz mindkt feszltsggenertort

rvidre zrjuk, majd kiszmtjuk A s B pontok kztt az ered ellenllst:

R4

U1

U2 R1

R2

A

B

U0

I

R4

U1

U2

R1=2

R2=3

R3=8

R4=5

U1=120V

U2=90V

U2=14V

U3=16V

R2

R1

R3

48

1-75. bra

( ) ( )

Vgl rajzoljuk fel a Thvenin-fle feszltsggenertort, a kapcsaira csatlakoztassuk R3 ellenllst, majd szmoljuk ki R3 ramt s feszltsgt:

1-76. bra


Az R3 ellenlls eltvoltsa utn zrjuk rvidre az ramkrt A s B pontok kztt, majd

szmtsuk ki az A-B pontok kztt foly ramot:

R3

U0=105V

UR3

IR3

Rb=2,5

A

B

R4

R1

R2

A

B

I

49

1-77. bra

A rvidzr miatt U1 feszltsgforrs teljes feszltsge R1 s R2 ellenllsokon esik, U2

feszltsgforrs teljes feszltsge pedig R4 ellenllson.

Kirchhoff csomponti trvnyt felrva az A csompontra a Norton genertor I0 forrsrama:

A bels ellenlls kiszmtsa megegyezik az 1.5.5.1. pontban lertakkal, gy Rb=2,5.

Rajzoljuk fel a Norton-fle ramgenertort (1-78.bra), a kapcsaira csatlakoztassuk R3 ellenllst, majd szmoljuk ki R3 ramt s feszltsgt:


R4

U1

U2

R1

R2

A

B

I0

IR12 IR4

R3 I0=42A UR3

IR3

A

B

Rb=2,5

1-78. bra

50

Vgl UR3 feszltsg:

Gyakorl pldk a Thvenin s a Norton ttel alkalmazsra

1.5.6. A Thvenin vagy a Norton ttel segtsgvel szmtsa ki az albbi


1-79. bra

(Megolds: U0=15 V, I0=1 A, Rb=15 , UR4=12 V, IR4=0,2 A)



1-80. bra

(Megolds: U0=8 V, I0=1,818 A, Rb=4,4 , UR3=2,5 V, IR3=1,25 A)

R5

U

R3

R4 R1 R2

R1=4

R2=6

R3=2

R4=3

R5=6

U=24V

R4

U

R1=10

R2=20

R3=30

R4=60

U=30V

U2=14V

U3=16V

R1

R2

R3

51

1.5.8. A Thvenin vagy a Norton ttel segtsgvel szmtsa ki az

albbi ramkr R4 ellenllsnak ramt s feszltsgt!

1-81. bra

(Megolds: U0=120 V, I0=4 A, Rb=50 , UR4=60 V, IR4=2 A)



1-82. bra

(Megolds: U0=10 V, I0=3 A, Rb=3,333 , UR1=6,429 V, IR1=1,071 A)

1.5.10. Szmtsa ki az albbi ramkr R2 ellenllson kvli rsznek

Thvenin vagy Norton fle helyettest genertornak

paramtereit, majd ennek segtsgvel szmtsa ki R2 ellenlls

feszltsgt s ramt!

R2

U

R3

R6 R4

R1=6

R2=6

R3=2

R4=2

R5=2

R6=6

U=30 V

R5

R1

R4

I

R2

R3 R5 R1

R1=60

R2=15

R3=50

R4=30

R5=20

I=5A

52

1-83. bra

(Megolds: U0=48 V, I0=13,33 A, Rb=3,6 , UR2=21,818 V, IR2=7,272 A)

1.6. Mdszerek tbb genertort s fogyasztt tartalmaz

elgaz hlzatok gaiban foly ramok

kiszmtsra

Az albbiakban ngy mdszer, a Kirchhoff-trvnyek, a szuperpozci ttel, a

csomponti potencilok s a hurokramok mdszere alkalmazsval ismerkednk

meg. A mdszerek ismertetse pldkon keresztl trtnik, az els hrom pldnl

mind a ngyfajta megolds bemutatsra kerl, hogy lssuk, hogy pldnknt

vltozik, hogy melyik megoldsi md vezet kevesebb szmolssal gyorsabb

eredmnyre.

1.6.1. Szmtsuk ki az albbi ramkr egyes gaiban foly ramokat!

R4

U3

U1

U2

R1=1

R2=2

R3=3

R4=4

U1=35V

U2=14V

U3=16V

I1 I3

I2 + +

R1

R2

R3

1-84. bra

R4

U1

U2

R1=2

R2=3

R3=8

R4=2

U1=120V

U2=90V

U2=14V

U3=16V

R2

R1

R3

53

1.6.1.1. Megolds Kirchhoff trvnyek segtsgvel

a) Jelljk be az gak ramait! (I1, I2, I3) Az ramirnyok felvtele nknyes, ha a vals

ramirny a felttelezettel ellenttes, eredmnyknt negatv rtket fogunk kapni.

b) Jelljk be a hurkokban a pozitv krljrs irnyt!

c) A hrom ismeretlen gram meghatrozshoz hrom fggetlen egyenletbl ll

egyenletrendszer felrsa szksges. Ez esetnkben kt hurok s egy csomponti

egyenletet jelent.

Hurok egyenletek (Az ellenllsokon es feszltsgek irnya a rajtuk tfoly ram irnyval

megegyez.):

(1)

(2)

Csomponti egyenlet:

(3)

Behelyettestve a megadott rtkeket:

(1)

(2)

(3)

(1)

(2)

(3)

(1) ( )

(2)

(1)

(2)

54

1.6.1.2. Megolds a csomponti potencilok mdszervel

1-85. bra

Az gak ramai az gak kt vgpontja kztti potencilklnbsgtl fggnek. Az brn

mindhrom g egyik vgpontja UA, msik vgpontja UB potencilon van. Mivel az ram

szempontjbl csak a kt potencil klnbsge szmt, az egyik rtkt tekinthetjk

nullnak. Legyen UB=0.

Az gramok a csomponti potencilok segtsgvel kifejezhetk:

(1)

(2)

(3)

gy mindhrom gram csak UA csomponti potenciltl fgg. UA kiszmtshoz pedig

elg egyetlen Kirchhoff csomponti egyenlet felrsa.

Behelyettestve a csomponti potencilokkal kifejezett ram rtkeket:

R4

U3

U1

U2

R1=1

R2=2

R3=3

R4=4

U1=35V

U2=14V

U3=16V

I1 I3

I2

R1

R2

R3

UA

UB=0

55

( ) ( ) ( )

Visszahelyettestve UA rtkt (1), (2), (3) egyenletekbe:

1.6.1.3. Megolds a hurokramok mdszervel

1-86. bra

A hurokramok mdszernl felttelezzk, hogy az gak ramait az ramkr egyes zrt

hurkaiban foly n. hurokramok eredje hozza ltre, vagyis azon gak ramai,

melyek kt hurokhoz is tartoznak, kiszmthatk a hurokramok eljeles sszegbl. Ez

ltal az ismeretlenek szma a fggetlen hurokegyenletek szmra cskken. Ez ennl a

pldnl azt jelenti, hogy kt Kirchhoff hurokegyenletbl ll ktismeretlenes

egyenletrendszert kell megoldani.

1. Jelljk be az gak ramait! (I1,I2,I3) Az ramirnyok felvtele nknyes, ha a vals


2. Jelljk be a hurkokramok irnyt minden hurokban!

3. rjuk fel a vals gramok s a fiktv hurokramok kztti az sszefggseket!

Amelyik g csak egy hurokhoz tartozik, ott az gram s a hurokram nagysga

megegyezik, de az eljelre itt is figyelni kell!

I s2 I s1

R4

U3

U1

U2

R1=1

R2=2

R3=3

R4=4

U1=35V

U2=14V

U3=16V

I1 I3

I2

R1

R2

R3

56

4. rjuk fel Kirchhoff hurokegyenleteit Is1 s Is2 segtsgvel:

(1) ( )

(2) ( )

(1) ( )

(2) ( )

(1)

(2)

gy a valdi gramok:

( ) ( )

1.6.1.4. Megolds a szuperpozci ttel segtsgvel

Tbb feszltsg s/vagy ramgenertort tartalmaz hlzat brmely gnak rama egyenl

azon ramok sszegvel, amelyet a csak egy-egy genertor hozna ltre, ha a tbbi ram-

s/vagy feszltsgforrst kiiktatnnk, vagyis a feszltsggenertorokat rvidre zrnnk, az

ramgenertorok ramkrt megszaktannk.

57

1-87. bra

1-88. bra

1-89. bra

1. Jelljk be az gak ramait! (I1,I2,I3) Az ramirnyok felvtele nknyes, ha a vals


2. Rajzoljuk fel az egyenknt a hrom rsz ramkrt, melyeket egy feszltsggenertor

meghagysval, a kt msik kiiktatsval kapunk. Jelljk be az ramirnyokat!

Ezeknek az ramoknak az irnya mr nem vehet fel tetszlegesen, mert a

feszltsggenertorok feszltsgei ltal adottak!

3. Szmtsuk ki egyenknt a hrom ramkr gaiban foly ramokat!

U3

R4

I

1

I

3

I

2

R1

R

2

R3

R4

U1 I1 I

3

I2

R1

R2

R3

R4

U2

I1

I3

I2

R1

R2

R3

R4

U3

U1

U2

R1=1

R2=2

R3=3

R4=4

U1=35V

U2=14V

U3=16V

I1 I3

I2

R1

R2

R3

UA

UB

58

( )

a) [( ) ]

( )

b) [( ) ]

( )

4. A kapott eredmnyekbl rjuk fel az eredeti ramkr ramait!

59


1-90. bra

1.6.2.1. Megolds a Kirchhoff trvnyek alkalmazsval

A kapcsolsi rajzon jelljk be az ismeretlen gramokat! Az ramok irnyt tetszlegesen felvehetjk, ha a szmtsok vgn negatv eljelet kapunk, az azt jelenti, hogy a tnyleges ramirny a felttelezettel ellenttes irny.

1-91. bra

Az brbl ltszik, hogy ngy ismeretlen gramot kell meghatrozni. Ehhez egy ngy egyenletbl ll ngy ismeretlenes egyenletrendszerre van szksg. (R3 s R5 ellenllsok ramai megegyeznek, hiszen a B s a D csompontba a befut gak kzl kett azonos, gy a harmadik g ramnak is azonosnak kell lenni.)

A ngy egyenlet kt csomponti s kt hurokegyenletet jelent. Csomponti egyenletet rhatunk fel pl. az A s a B csompontra, hurokegyenletet pl. az brn bejellt kt hurokra:

Hurok egyenletek:

(1)

(2)

+

R5

I0 U1

U2

I1 I3

I2 + R2

R1

R3

R4 I

4

I3

A B

C D

R5

I0 U1

U2 R1=10

R2=10

R3=5

R4=15

R5=20

U1=90V

U2=45V

I0=6A

R2

R1

R3

R4

60

Csomponti egyenletek:

(3)

(4)

(1)

(2) ( )

(3)

(4)

Az egyenletrendszer megoldsa tetszleges mdszerrel trtnhet, egyik lehetsg pl. a Gauss eliminci alkalmazsa.

Az egyenletrendszer mtrixos alakja:

[

( )

] [

] [

]

Behelyettestve a megadott rtkeket:

[

] [

] [

]

A bvtett mtrix:

[

]

A Gauss eliminci lpsei:

[

] [

]

[

]

61

Az utols lpsknt kapott mtrixbl felrhat:


1-92. bra

Ha megnzzk az 1-92. brt, ltjuk, hogy ngy klnbz potencil csompont tallhat a kapcsolsban, amelyikbl egynek a potenciljt 0-nak vehetjk, de gy is marad 3 ismeretlen csomponti potencil. Az elzekben, amikor a Kirchhoff-trvnyek segtsgvel oldottuk meg a feladatot, lttuk, hogy csak 2 egymstl fggetlen csomponti egyenlet rhat fel, mrpedig a csomponti potencilok mdszernl a csomponti egyenletek szmval megegyez egyenletet tudunk felrni az ismeretlenek kiszmtshoz. A ltszlagos ellentmondst az okozza, hogy a kapcsols 2 gban is I3 ram folyik, vagyis I3 kifejezhet nemcsak UA s UB, hanem UC s UD csomponti potencilok segtsgvel is, vagyis ha UC-t nullnak vesszk, UD kifejezhet UA s UB segtsgvel.

Fejezzk ki az gramokat!

(1)

(2)

(3)

R5

I0 U1

U2

I1 I3

I2 R2

R1

R3

R4 I

4

I3

UA UB

UC=0 UD

62

(4)

(5)

A (3) s az (5) egyenletekbl UC kifejezhet:

UC behelyettestve a (4) egyenletbe I4 kifejezhet:

(4)

rjuk fel a csomponti egyenleteket A s B csompontra!

(A)

(B)

(A)

(B)

(A)

(B)

(A)

(B)

(A)

(B)

(A)

63

(B)

(A)+(B)

Az eredmnyeket behelyettestjk az gramokra felrt sszefggsekbe:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)


1-93. bra

Elszr rjuk fel a hurokramok s a tnyleges gramok kztti sszefggseket!

(1)

(2)

(3)

(4)

Is1

1

R5

I0 U1

U2

I1 I3

I2 R2

R1

R3

R4 I

4

I3

A B

C D

Is2

1

64

A kt ismeretlen hurokram az 1-93. brn bejellt kt hurokra felrt hurokegyenletekbl kiszmthat:

(1) ( )

(2) ( ) ( )

(1) ( )

(2) ( )

(1)

(2)

(1)+2(2):

( )

A fenti eredmnyek segtsgvel megkapjuk a vals gramokat

(1)

(2) ( )

(3) ( )

(4)

1.6.2.4. Megolds a szuperpozci ttelvel

Az ramkr kt feszltsg- s egy ramgenertort tartalmaz, a megoldshoz hrom rsz ramkrre bontjuk a kapcsolst.

65

A rsz ramkrk ramainak kiszmtsa:

a)

( ( )) ( ( )

b)

( ) ( )

c)

( )

( )

( )

( )

R5

I0 U1

U2

I1 I3

I2 R2

R1

R3

R4 I

4

R5

U1

I1

I3

I2

R

2

R1

R3

R4 I3

R5

I1

I3

I2

R2

R1

R3

R4 I

3

R5

I0

I1

I3

I2

R2

R1

R3

R4 I

4

U2

= +

+

a)

b) c)

1-94. bra

66

A rsz ramkrk ramainak sszegzsvel megkapjuk a valdi gramokat. Az sszegzs

sorn figyeljnk az ramirnyokra! (A feladatot a rossz eljelekkel lehet legknnyebben

elrontani, ezrt a vgn mindig rdemes a vgeredmnyt a Kirchhoff csomponti

egyenletekkel ellenrizni)


1-95. bra

1.6.3.1. Megolds a Kirchhoff trvnyek alkalmazsval

Jelljk be az ramokat (az ramirnyok felvtele tetszleges, ha a vgn negatv rtket

kapunk, akkor az azt jelenti, hogy a berajzolttal ellenttes a valdi ramirny):

R6

U3

U1

U2

R1=2,5

R2=10

R3=3

R4=6

R5=8

R6=8

U1=25V

U2=40V

U3=64V

R2

R1

R5

R3

R4

67

1-96. bra

A hat ismeretlen gram kiszmtshoz a Kirchhoff trvnyek segtsgvel hat

egyenletet, 2 csomponti- s 4 hurokegyenletet lehet felrni:

Hurok egyenletek:

(1)

(2)

(3)

(4)

Csomponti egyenletek:

(5)

(6)

Mtrixos formba rendezve az egyenleteket:

[ ]

[ ]

[ ]

rjuk be a megadott rtkeket a paramterek helybe:

R6

U3

U1

U2

R2

R1

R5

R3

R4

I1

I2 I

5

I6

I3

I4

A B

+

+

+ +

68

[ ]

[ ]

[ ]

Ltjuk, hogy az egytthat mtrix ftljban a 4. sorban nulla van, ezrt cserljk fel a 4.

s az 5. sort s a Gauss eliminci elvgzshez a bvtett mtrixot mr gy rjuk fel. Ezek

utn vgezzk el a ftl alatti helyek kinullzst:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

Az utols mtrix 6. sorbl felrhat:

Az 5. sorbl:

A 4. sorbl:

69

A 3. sorbl:

A 2. sorbl:

Az 1. sorbl:

Az I1-re negatv rtket kaptunk, teht az ram irnya az brba berajzolttal ellenttes. (A

tbbi ram irnyt jl vettk fel.)


Az elz (1.6.3.1) megoldsnl lttuk, hogy az ramkrre kt csomponti egyenlet rhat

fel. Ez azt jelenti, hogy a csomponti potencilok mdszernek alkalmazsval a hat

ismeretlenes egyenletrendszer kt ismeretlenesre egyszersdik. gy ennl a pldnl

valsznleg ez a mdszer adja a legegyszerbb megoldst.

1-97. bra

Jelljk be a csomponti potencilokat! Az als kt csompont azonos potencilon van,

vlasszuk ennek az rtkt 0-nak.

R6

U3

U1

U2

R2

R1

R5

R3

R4

I1

I2 I

5

I6

I3

I4

UA UB

UC=0 UC=0

70

Fejezzk ki az gramokat a csomponti potencilok segtsgvel:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

rjuk fel a csomponti egyenleteket A s B csompontra!

(A)

(B)

(A)

(B)

(A)

(B)

(A) ( )

(B)

(A)

(B)

(A)

(B)

(A)+(B)

71

3(A)+(B)

Az eredmnyeket behelyettestjk az gramokra felrt sszefggsekbe:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Az eredmnyek megegyeznek az 1.6.3.1. pontban kapott rtkekkel.


Ezzel a mdszerrel most ngy hurokegyenletbl ll ngy ismeretlenes

egyenletrendszert kell megoldanunk.

1-98. bra

R6

U3

U1

U2

R2

R1

R5

R3

R4

I1

I2 I

5

I6

I3

I4

Is

2

Is3

Is1 Is4

72

Elszr rjuk fel a hurokramok s a tnyleges gramok kztti sszefggseket! (Amelyik g csak egy hurokhoz tartozik, annak rama (figyelembe vve a berajzolt ramirnyokat) az hurokrammal megegyezik, amelyik g kt hurokhoz tartozik, annak rama a hurokramok eljeles sszegvel egyenl.)

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

rjuk fel a hurokegyenleteket az 1-98. brn bejellt ngy hurokra:

(1) ( )

(2) ( ) ( ) ( )

(3) ( )

(4) ( )

(1) ( )

(2) ( )

(3) ( )

(4) ( )

Mtrixos alakba rva az egyenletrendszert:

[ ( ) ( ) ( ) ( )]

[

] [

]

rjuk be a megadott rtkeket:

[

] [

] [

]

73

A Gauss- elimincihoz rjuk fel a bvtett mtrixot, majd vgezzk el az egytthat mtrix ftl alatti rtkeinek kinullzst!

[

] [

]

[

]

[

]

Az utols mtrix 4. sorbl felrhat:

A 3. sorbl:

( )

A 2. sorbl:

( ) ( )

Az 1. sorbl:

( )

A hurokramokbl felrhatjuk a valdi gramokat:

(1)

(2) ( )

(3)

(4) ( )

(5) ( )

(6)

74

Az eredmnyek megegyeznek az 1.6.3.1. s 1.6.3.2. pontban kapott rtkekkel.

1.6.3.4. Megolds a szuperpozci ttel hasznlatval

Ezzel a mdszerrel hrom, egy feszltsgforrssal rendelkez ramkr gaiban kell

meghatrozni, majd a vgn sszegezni az ramokat. Elny, hogy nem kell tbb

ismeretlenes egyenletrendszerek megoldsval bajldni, a hrom rsz ramkr ramai

nagyon hasonl, viszonylag egyszer szmolsi mveletekkel meghatrozhatk, htrny

viszont, hogy a 6 klnbz gramot hromszor is ki kell szmolni.

1-99. bra

A rsz ramkrk ramainak kiszmtsa:

a)

( [( ) ( )]) ( [( ) ( )])

Az ramoszts trvnyt I2 ramra felrva

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

A csomponti trvny rtelmben

, s

, vagyis

ram oszlik meg az ramoszts trvnynek megfelel arnyban

valamint ellenllsok gai kztt.

R6

U3

U1

U2

R2

R1

R5

R3

R4

I1

I2 I

5

I6

I3

I4

R6

R2

R1

R5

R3

R4

I1

I2 I5

I6

I3

I4

R6

R2

R1

R5

R3

R4

I1 I

2

I5

I6

I3

I4

R6

R2

R1

R5

R3

R4

I1

I2 I

5

I6

I3

I4

U1

U2

U

3

= +

+ +

a)

b) c)

75

(

)

(

)

b)

( [( ) ( )]) ( [( ) ( )])

Az ramoszts trvnyt ramra felrva:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )


, s

, vagyis

ram oszlik meg az ramoszts trvnynek megfelel

arnyban valamint ellenllsok gai kztt.

(

)

(

)

c)

( [( ) ( )]) ( [( ) ( )])

Az ramoszts trvnyt ramra felrva:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

76


, s

, vagyis

ram oszlik meg az ramoszts trvnynek megfelel

arnyban valamint ellenllsok gai kztt.

(

)

(

)

A rsz ramok sszegzsvel, a berajzolt ramirnyok figyelembe vtelvel szmoljuk ki a

teljes ramkr gramait:

Az eredmnyek megegyeznek az 1.6.3.1., 1.6.3.2. s 1.6.3.3. pontban kapott rtkekkel.

Gyakorl pldk

Az albbi pldk az elz pontokban bemutatott mdszerek mindegyikvel megoldhatk.

Minden pldnl egyfajta megolds ki van dolgozva, de ajnlott gyakorlsknt a tbbi

mdszerrel is elvgezni a szmtsokat.

1.6.4. Szmtsa ki az albbi ramkr gaiban foly ramokat a Kirchhoff

trvnyek, a szuperpozci ttel, a csomponti potencilok s a

hurokramok mdszere segtsgvel!

77

1-100. bra

1.6.4.1. Megolds a Kirchhoff trvnyek segtsgvel

1-101. bra

Csomponti egyenlet:

(1)

Hurok egyenlet:

(2)

(1)

(2)




R2

U

R1

I

R1=30

R2=70

U=100 V

I=5 A

I1

I2

R2

U

R1

I

R1=30

R2=70

U=100 V

I=5 A

78

1-102. bra


1-103. bra

Az ramkr hrom ismeretlen ramra kt hurok s egy csomponti egyenlet rhat fel. A

csomponti potencilok mdszervel elg UA-ra egyetlen egy ismeretlenes egyenletet

felrni, UA-bl mindhrom ismeretlen gram kiszmthat:

(1)

(2)

(3)

A csomponti egyenlet:

R2

U1

R1

I

I1 I

2

R3

I3

U2

UA

UB=0

R2

U1

R1

I

R1=20

R2=10

R3=15

U1=60 V

U2=10 V

I=2 A

R3

U2

79

UA-t behelyettestve megkapjuk az ramokat:

( )




1-104. bra


1-105. bra

U1

U2

R2

R1

R4

R3

I1

I2 I

4

I3

Is2

Is1

I

I

U1

U2

R2

R1

R4

R3

I

R

1=4

R2=10

R3=8

R4=2

U1=3 V

U2=4 V

I=1 A

80

A ngy ismeretlen ram kiszmtshoz kt hurok s kt csomponti egyenlet rhat fel.

A hurokegyenletek mdszervel a kt hurokegyenlettel egy kt ismeretlenes

egyenletrendszer megoldsval az ismeretlenek meghatrozhatk.

Az 1-103. brn berajzoltuk a hurokramokat. A hurokramok s a valdi gramok

kztti sszefggsek:

(1)

(2)

(3)

(4)

Hurokegyenletek Is1 s Is2 hurokramokkal:

(1) ( )

(2) ( ) ( )

(1) ( )

(2) ( )

(1)

(2)

2(1)+(2):

Az gramok:

(1) =1 A

(2)

(3)

(4) =1,1 A

81




1-106. bra


Az ramkr ngy ismeretlen ramra kt hurok s kt csomponti egyenlet rhat fel.

UA-bl s UB-bl mindhrom ismeretlen gram kiszmthat:

1-107. bra

U2

U1

R3

R4

R1

I

R2

I1

I3 I4

I2

UA U

B

UC=0

U2

U1

R3

R4

R1

I

R1=10

R2=20

R3=10

R4=5

U1=40 V

U2=20 V

I=2 A

R2

82

(1)

(2)

(3)

(4)

A csomponti egyenletek:

(A)

(B)

(A)

(B)

(A)

(B)

(A)

(B)

(A)

(B)

(A)

(B)

83

Vgl helyettestsk be UA s UB rtkeket az ramokra felrt sszefggsekbe:




1-108. bra


1-109. bra

Az t ismeretlen ramra kt hurok s hrom csomponti egyenlet rhat fel. A hurokramok

mdszervel egy kt ismeretlenes egyenletrendszerbl a hurokramok, a hurokramokbl az

gramok meghatrozhatk.

R1 R

2

R4 R

5

R3

U1 U

2

I

Is1

Is2 I2 I

1

I3

I4 I5 I

R1 R

2

R4 R

5

R3

U1 U

2

I

R1=10

R2=20

R3=30

R4=20

R5=10

U1=60 V

U2=90 V

I=5 A

84

sszefggsek a hurokramok s az gramok kztt:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Hurokegyenletek Is1 s Is2 hurokramokkal:

(1) ( ) ( )

(2) ( ) ( )

(1) ( )

(2) ( )

(1)

(2)

85




1-110. bra

1.6.9.1. Megolds a szuperpozci ttellel

1-111/a. bra

U

R2

R3

R5

R1

R4

I1

I2

I3

I4

I5

R2

R3

R5

R1

R4

I1

I2

I3

I4

I4

a)

= +

I01

I01

I02

U

I01

R2

R3

R5

R1=4

R2=2

R3=2

R4=1

R5=5

U=10 V

I01

=3 A

I02

=6 A

R1

R4

I02

86

1-112/b. bra

a)

[ ( )]

[ ( )]

( )

( )

b)

[ ( )]

[ ( )]

( )

( )

R2

R3

R5

R1

R4

I02

I2

I2 I3

I4

I5

U

R2

R3

R5

R1

R4

I1

I3

I4

I4

I1

b) c)

+ +

87

c)

[( ) ( )] ( )




1-113. bra


Az ramkrben t ismeretlen gramot kell kiszmtani. Az 1-111. brn lthat, hogy a

kapcsols ngy csompontjhoz ngy klnbz csomponti potencil tartozik. Ebbl

az egyiket vlaszthatjuk 0-nak. Ha UD-t 0-nak vesszk, UC csompont potencilja U2-vel

lesz egyenl, gy a kt ismeretlen, UA s UB kiszmtsval mind az 5 ismeretlen gram

kiszmthat:

R5

R4

R3

R2

U1

U2

R1=2

R2=4

R3=5

R4=3

R5=6

U1=15 V

U2=20 V

R1

88

1-114. bra

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)


(A)

(B)

(A)

(B)

(A)

(B)

(A)

R5

R4

R3

R2

U1

U2

R1 I1

I2 I

3

I4

I5

UA

UB UC=U2 U

D=0

89

(B)

(A)

(B)

(A)

(B)

Vgl helyettestsk be UA s UB rtkeket az ramokra felrt sszefggsekbe:




90

1-115. bra


1-116. bra

Az t ismeretlen ram kiszmtshoz hrom hurok s kt csomponti egyenlet rhat

fel. A hurokegyenletek mdszervel, a hrom hurokegyenlettel egy hrom ismeretlenes



kztti sszefggsek:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

U2

U1

R3

R4

R1

R2

R5

I1

I2

I3

I4

I5

Is1

Is2

Is3

U2

U1

R3

R4

R1

R1=3

R2=6

R3=4

R4=2

R5=6

U1=60 V

U2=90 V

R2

R5

91

Hurokegyenletek Is1, Is2 s Is3 hurokramokkal:

(1) ( )

(2) ( ) ( )

(3) ( )

(1) ( )

(2) ( )

(3) ( )

Az egyenletrendszert mtrixos alakba rendezve:

[

] [

] [

]

[

] [

] [ ]

Oldjuk meg az egyenletrendszert a Crammer-szably hasznlatval:

Az egytthat mtrix determinnsa:

|

|

Kpezzk Di determinnsokat az egytthat mtrix i. oszlopba az eredmnymtrixot

illesztve:

|

|

|

|

92

|

|

A Crammer-szably rtelmben az ismeretlen hurokramok:

Vgl rjuk fel a valdi gramokat:

(1) =2,889 A

(2) ( ) 8,556 A

(3)

(4) ( )

(5)




93

1-117. bra


Az ramkr hat ismeretlen ramra hrom hurok s hrom csomponti egyenlet rhat

fel. A csomponti potencilok mdszervel a ngy klnbz potencil csompontbl

egynek az rtkt 0-nak vlasztva megmarad hrom ismeretlen csomponti potencillal

a hat ismeretlen gram kifejezhet, a hrom csomponti egyenlettel a hrom

csomponti potencil kiszmthat.

1-118. bra

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

U2

I0

R

R

R R=10

U1=10 V

U2=20 V

I0=2 A

R

R

R

U1 I1

I2 I

3

I4

I5 I6

UA U

B U

C

UD=0

U2

I0

R

R

R

R=5

U1=10 V

U2=20 V

R

R

R

U1

94

(6)


(A)

(B)

(C)

(A)

(B)

(C)

(A)

(B)

(C)

(A)

(B)

(C)

Az egyetlenrendszer mtrixos alakja:

[

] [

] [

]

Oldjuk meg az egyenletrendszert a Crammer-szably hasznlatval:

Az egytthat mtrix determinnsa:

95

|

|

Kpezzk Di determinnsokat az egytthat mtrix i. oszlopba az eredmnymtrixot

illesztve:

|

|

|

|

|

|

A Crammer-szably rtelmben az ismeretlen csomponti potencilok:

Vgl a kapott eredmnyekbl szmtsuk ki az gramokat:

96



hurokramok mdszere

segtsgvel!

1-119. bra


A 8 ismeretlen ram kiszmtshoz ngy hurok s ngy csomponti egyenlet rhat fel.

A hurokegyenletek mdszervel, a ngy hurokegyenlettel egy ngy ismeretlenes


1-120. bra


kztti sszefggsek:

(1)

(2)

R1

R5

U1 U

2

R4

R7

R3

R2

R6

R8

Is1

Is2

Is3

Is4

I1 I

2

I3

I4 I

5

I6

I7 I

8

R1

R5

U1 U

2

R4

R7

R3

R2

R6

R8

R1=2

R2=4

R3=8

R4=2

R5=4

R6=2

R7=4

R8=8

U1=102 V

U2=34 V

97

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Hurokegyenletek Is1, Is2 s Is3 hurokramokkal:

(1) ( ) ( )

(2) ( ) ( )

(3) ( ) ( )

(4) ( ) ( )

(1) ( )

(2) ( )

(3) ( )

(4) ( )

Az egyenletrendszer mtrixos alakja:

[

] [

] [

]

[

] [

] [

]

Az egyenletrendszer megoldsa Gauss-elimincival:

[

] [

]

[

]

98

[

]

Az utols mtrix utols sorbl felrhat:

A 3. sorbl:

A 2. sorbl:

( ) ( )

Az 1. sorbl:

( )

Vgl rjuk fel a valdi gramokat:

(1)

(2)

(3)

(4) ( )

(5) ( )

(6) ( )

(7)

(8)

99

2. VLTAKOZ RAM HLZATOK

2.1. Alapfogalmak

Ebben a fejezetben szinuszosan vltakoz ram/feszltsg genertorokbl s passzv

ramkri elemekbl (ellenlls, kondenztor s induktivits) ll egyszer villamos

hlzatok szmtsval foglalkozunk. A feladatok clja a vltakoz ram hlzatok

komplex mennyisgek hasznlatval trtn szmtsnak megismerse s gyakorlsa.

2.1.1. Szinuszos vltakoz feszltsg/ram megadsa

2-1. bra

Umax [V], Imax [A] a feszltsg/ram amplitdja (cscsrtke)

[1/s] krfrekvencia ( )

t [s] id

fzisszg, (fziseltrs)

2.1.2. Szinuszos mennyisgek kzprtkei

Effektv rtk (ngyzetes kzprtk)

A gyakorlatban a vltakoz ram/feszltsg nagysgnak megadsra ltalban nem az

amplitdt, hanem az effektv rtket, ms nven a ngyzetes kzprtket hasznljk.

Vltakoz ram/feszltsg effektv rtkn azt az egyenramot/feszltsget rtjk, amely ugyanakkora ellenllson ugyanannyi id alatt ugyanannyi ht fejleszt, mint a vltakoz ram. R ellenllson egysgnyi id alatt hv alakul teljestmny:

A keletkezett h az ram/feszltsg ngyzetvel arnyos, ennek tlagrtke egy peridus

alatt:

( ) ( )

( ) ( )

100

( )

( )

Az effektv rtk e mennyisgek ngyzetgyke:

( )

( )

( )

( )

2-2. bra

Abszolt kzprtk

Vltakoz ram/feszltsg abszolt kzprtkn azt az egyenramot/feszltsget rtjk,

amely egy adott id alatt ugyanannyi tltst szllt, mint a vltakoz ram. A

tltsmennyisg arnyos az rammal, de fggetlen az ram irnyval, ezrt az egy

peridus alatt szlltott tltsmennyisg az ram abszolt rtknek idbeli tlagval

arnyos.

2-3. bra

| ( )|

| |

| ( )|

i2(t)

i(t)

101

| ( )|

| |

sszefggs a szinuszos jel effektv s kzprtke kztt:

2.1.3. A vltakoz ram hlzatok passzv ramkri elemei

a) Ellenlls

Az sszefggst vltakoz ram ramkrbe kapcsolt ellenlls rama s feszltsge

kztt most is az Ohm-trvny adja:

( ) ( )

,

vagyis az ellenlls rama arnyos a feszltsggel s a kt mennyisg fzisban van

egymssal

b) Kondenztor

A kondenztor tltse arnyos a r kapcsolt feszltsggel, az arnyossgi tnyez a

kondenztor kapacitsa C [F, Farad]

[ ]

ahol Q a kondenztor tltse.

A kondenztor ramkri jele:

Az sszefggs a kondenztor rama s feszltsge kztt:

( ) ( )

( )

( )

( )

ahol

[ ] az n. kapacitv reaktancia

(A reaktancia reciprokt szuszceptancinak hvjk, jele: B [1/]

, kapacitv szuszceptancia)

102

A fenti sszefggsbl ltszik, hogy a kondenztor rama 900-kal siet a feszltsghez

kpest.

c) nindukcis tekercs, induktivits

Vltakoz ram tekercsben az ram hatsra kialakul vltakoz mgneses fluxus

feszltsget, n. nindukcis feszltsget hoz ltre. Az nindukcis feszltsg arnyos az

ram idbeli megvltozsval.

Az induktivits ramkri jele:

( ) ( )

( )

( )

ahol

[ ] az n. induktv reaktancia

(

[

], induktv szuszceptancia)

A fenti sszefggsbl ltszik, hogy az induktivits rama 900-kal ksik a feszltsghez

kpest.

2.1.4. Vltakoz ram teljestmny

A teljestmny pillanatnyi rtke, ha a feszltsg s az ram szinuszosan vltoz

mennyisgek, amik nincsenek fzisban egymssal:

( ) ( )( ( )) ( )

A teljestmny idbeli tlaga:

( )

( )

Ez a mennyisg az n. hatsos (wattos) teljestmny: [ ]

A medd teljestmny: [ ]

103

A ltszlagos teljestmny: [ ]

A

rtket, ami a feszltsg s az ram kztti fzisszg koszinusza,

teljestmnytnyeznek nevezzk.

2.1.5. Komplex mennyisgek bevezetse

Szinuszos vltakoz ram hlzatok szmtsnl a feszltsg s ramrtkeket

komplex mennyisgknt kezelve matematikailag lnyegesen egyszerbb sszefggseket

kapunk, mint ha az id tartomnyban szgfggvnyekkel vgeznnk a szmtsokat.

( ) [ ( )] [ ],

( ) ( ) [ ( ( ) ( )]

[ ( ],

ahol az imaginrius egysg

A komplex feszltsg s ram:

( )

( ) ( )

komplex idfggvnyek a komplex szmskon szgsebessggel forg nagysg forg vektorok, melyek egy adott pillanatban a vals tengellyel t illetve t+ szget zrnak be.

t=0 idpontban rgztve a komplex forg vektorokat a komplex feszltsg s a komplex

ram amplitdja a kvetkez sszefggssel definilhat:

A gyakorlatban az amplitd helyett az effektv rtkt hasznljuk, a komplex effektv

rtk gy:

,

Ezeket a komplex szmskon ll skvektor brzolja, amit fzornak hvunk.

2.1.6. A komplex impedancia

A feszltsghez hasonlan a vltakoz ram hlzatok passzv elemeinek paramtereit

is kezelhetjk komplex mennyisgekknt. Ezeket sszefoglal nven komplex

impedanciknak nevezzk. Jele: Z []

104

Rezisztv impedancia (ellenlls):

Kapacitv impedancia:

( )

Induktv impedancia:

( )

A fenti sszefggsekbl lthat, komplex mennyisgek hasznlatval az Ohm-trvny

kiterjeszthet az induktv s kapacitv impedancikra is.

Az ltalnos Ohm-trvny:

Komplex teljestmny

2.2. Kidolgozott s gyakorl pldk a vltakoz ram

ramkrk szmtshoz

A kvetkez rszben t rszletesen kidolgozott s tovbbi 13 gyakorl plda

tallhat.

2.2.1. 50 Hz-es szinuszosan vltakoz, 230 V effektv feszltsg

feszltsgforrsra kapcsolunk sorosan egy ellenllst s egy

indukcis tekercset. Szmtsa ki az ramkr ered komplex

105

impedancijt, ramt, az ellenlls s a tekercs feszltsgt, a

hatsos, a medd s a ltszlagos teljestmnyt. Rajzolja fel a

fzor brt!

2-4. bra

(Megjegyzs: A tovbbiakban az als index nlkl jellt feszltsg s ram rtk az

effektv rtket jelli.)

A induktv impedancia:

Ez egy olyan komplex mennyisg, melynek csak kpzetes koordintja van. A komplex

szmskon brzolva a kpzetes tengelyen helyezkedik el. Exponencilis alakban felrva:

A rezisztv impedancia:

Ez egy olyan komplex mennyisg, melynek csak vals koordintja van.

Exponencilis rsmddal:

Az ered impedancia kiszmtsra az egyenram hlzatoknl az ellenllsokra felrt

sszefggsek rvnyesek, de termszetesen itt a komplex mennyisgekre vonatkoz

szablyokat kell figyelembe venni. Vagyis sorba kapcsolt komplex impedancik eredje

az egyes impedancik sszegvel egyenl. Prhuzamos kapcsols esetn az ered

impedancia reciproka egyenl az egyes impedancik reciproknak sszegvel.

Az impedancik brzolsa a komplex szmskon:

~

L R

U

U=230 V

f=50 Hz

L=1,432 H

R=300

106

2-5. bra

Az ramkr rama:

(A szmtsoknl a feszltsgforrs feszltsgnek fzisszgt 0-nak vesszk, ehhez

viszonytjuk a tbbi mennyisg fzisszgt)

(

)

A fenti szmtsbl ltszik, hogy a komplex mennyisgekkel val szmolssal nemcsak

az ram effektv rtkt kaptuk meg (I=0,4252 A), hanem a feszltsg s az ram kztti

fzisszget is (= 56,30). A mnusz eljel azt jelenti, hogy az ram ksik a feszltsghez

kpest.

Az ellenllson es feszltsg:

( ) (

)

Az induktivitson es feszltsg:

( )

(

)

A feszltsgek s ramok nagysgt s fzis viszonyait az n. fzorbrn szemlltetjk.

A fzorbra a komplex szmskon brzolja a krdses mennyisgeket, gy, hogy a 0

fzisszg feszltsg effektv rtkt mrjk a fggleges tengelyre, ami ebben az

esetben a vals tengelyt jelenti. (Olyan, mintha a komplex szmsk vals s kpzetes

tengelyeit ramutat jrsval ellenttesen 90 fokkal elfordtannk.) A pozitv szgeket a

vals tengelytl ramutat jrsval ellenttesen, a negatv szgeket az ramutat

jrsval megegyez irnyban mrjk fel.

Re

Im

ZR

Zer ZL

( )

| | | | | |

( )

( )

107

2-6. bra

A hatsos teljestmny megegyezik az ellenlls teljestmnyvel:

A medd teljestmny megegyezik a tekercs teljestmnyvel:

A ltszlagos teljestmny:


feszltsgforrsra kapcsolunk prhuzamosan egy ellenllst s

egy kondenztort. Szmtsa ki az ramkr ered komplex

impedancijt, ramt, az ellenlls s a kondenztor ramt, a

hatsos, a medd s a ltszlagos teljestmnyt. Rajzolja fel a

fzor brt!

2-7. bra

A kapacitv s a rezisztv impedancia:

~

C

R

U

U=100 V

f=100 Hz

C=9,947F

R=120

Re

Im

UR

U

UL

I

108

( )

Az ered impedancia:

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

2-8. bra

Az ramkr rama:

( )

Az ellenlls rama:

teht az ram s a feszltsg fzisban vannak egymssal

A kondenztor rama:

( )

teht az ram 900-kal siet a

feszltsghez kpest.

Az ramkr ramt Kirchoff csomponti trvnybl is megkaphatjuk:

Az ramkr fzorbrja:

Re

Im ZR

Zer ZC

109

2-9. bra

A hatsos teljestmny megegyezik az ellenlls teljestmnyvel:

A medd teljestmny megegyezik a kondenztor teljestmnyvel:

A ltszlagos teljestmny:


feszltsgforrsra kapcsolunk sorosan egy ellenllst, egy

indukcis tekercset s egy kondenztort. Szmtsa ki az ramkr

ered komplex impedancijt, ramt, az ellenlls, a tekercs s a

kondenztor feszltsgt, a hatsos, a medd s a ltszlagos

teljestmnyt. Rajzolja fel a fzor brt! Szmtsa ki az ramkr

sajt frekvencijt!

2-10. bra

~

L R

U

U=15 V

f=150 Hz

L=26,53 mH

R=10

C=106 F

C

Re

Im

IR

U

I

IC

110

A induktv, a kapacitv s a rezisztv impedancia:

(

)

Az ered impedancia:

( )

2-11. bra

Az ramkr rama:

(

)

A tekercs, a kondenztor s az ellenlls feszltsge:

Documents

Elektropltár (Thevenin)