Metodika Nastave Elementarne Geometrije(1)

  • View
    119

  • Download
    24

Embed Size (px)

Text of Metodika Nastave Elementarne Geometrije(1)

  • Predavanja izMetodike nastave elementarne geometrije

    doc. dr. sc. Snjezana Braic

    2012./2013.

  • Sadrzaj

    Povijesni pregled ii

    1. Planimetrija - geometrija ravnine 11.1. Aksiomi euklidske geometrije ravnine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.1.1. Aksiomi incidencije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2. Aksiomi ureaja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3. Aksiomi metrike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.4. Aksiomi simetrije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.5. Aksiom o paralelama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.2. Neka svojstva izometrija i osnih simetrija . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3. Rotacija i centralna simetrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4. Kutovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5. Neki poucci o kutovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.6. Sukladnost trokuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.7. Slicnost trokuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.8. Neki teoremi o kruznici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.9. Tangencijalni i tetivni cetverokut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    2. Poligoni i povrina 402.1. Poligoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2. Povrina poligona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.3. Duljina luka krivulje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    3. Stereometrija - geometrija prostora 513.1. Aksiomi euklidske geometrije prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2. Prizme, piramide, valjci i stoci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.3. Poliedri i obujam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.4. Oploje plohe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    i

  • Povijesni pregled

    Po miljenju mnogih povjesnicara znanosti, matematika se razvila iz planimetrije -geometrije ravnine. Rijec geometrija potjece od grcke rijeci "!" to znacizemljomjerstvo (grc. geo = Zemlja, metria = mjerenje), no nisu Grci prvi koji su senjome bavili. Zabiljezeno je da su se geometrijom bavili jo stari Egipcani (20: st.pr. Kr.). Primjenjivali su je pri odreivanju mea zemljinih parcela poslije svakepoplave Nila, pri gradnji kanala za natapanje, pri gradnji grandioznih hramova ipiramida, pri klesanju snga i slicno. Egipcani su znali tocne formule za povrinutrokuta, pravokutnika i trapeza, a kod povrine kruga za broj su koristili pribliznuvrijednost 3:16. No do svih tih znanja su dolazili empirijski izvodeci iz toga nekeopce zakljucke.Stoljecima se geometrija razvijala upravo tako, kao induktivna znanost, znanost

    u kojoj se empirijskim putem dolazilo do pojedinacnih spoznaja iz kojih su se zatimindukcijom izvodile opce tvrdnje. Geometriju su, "cistom, teorijskom, apstraktnomznanocu" ucinili Grci u razdoblju od 7:3: stoljeca prije Krista. Prvi poznati grckimatematicar koji se bavio geometrijom bio je Tales iz Mileta (7: st.pr.Kr.). Sljedeciveliki korak u razvoju geometrije je napravio Pitagora (6: st.pr.Kr.), a geometrijase ucila i u Platonovoj koli (5: st.pr.Kr.). Platon je zahtijevao da se u geometrijuuvede deduktivnost i stroga logicnost koja je postojala u njegovim lozofskim dje-lima. Konacno, Aristotel (4: st.pr.Kr.) je postavio opci deduktivno-logicki sustavizgradnje neke znanosti (Aristotelova logika) i time stvorio teorijske temelje na ko-jima se potom mogla zasnovati stroga deduktivnost geometrije, tj. izgraditi njezinaaksiomatika.Prvu aksiomatiku geometrije je dao Euklid (330: pr.Kr.-275: pr.Kr.). U svom

    poznatom djelu Elementi, koji se sastoji od 13 knjiga, Euklid je sistematski izloziogotovo citavu grcku matematiku svoga vremena, a dananja elementarna geometrijase u malo cemu razlikuje od geometrije izlozene u tom djelu. Naime, u EuklidovimElementima je geometrija prezentirana kao deduktivna disciplina jer je izgraena uduhu Platonove i Aristotelove formalno-logicke koncepcije. Prema toj koncepciji,najprije se utvrde osnovni pojmovi, koji se ne deniraju, a zatim odaberu temeljnecinjenice (postulati i aksiomi), tj. tvrdnje koje se po dogovoru uzimaju kao istinite injihova istinitost se ne dokazuje. Na temelju toga se formalno-logickom dedukcijomdokazuju nove tvrdnje i deniraju se novi, izvedeni pojmovi.Sustav aksioma koje je on postavio bio je prilicno nedorecen, osnovne pojmove

    nije eksplicite naveo, mada se iz postavljenih postulata i aksioma moze naslutiti kojeje pojmove smatrao osnovnima. Poslije su postavljeni savreniji sustavi aksiomageometrije od onog kojeg je postavio Euklid; posebno se tu izdvaja Hilbertova ak-siomatika geometrije (1862: 1918:), dok se u novije vrijeme najcece koristi tzv.metricka aksiomatika- od nje cemo mi krenuti. Postoji joi aksiomatika u kojima je

    ii

  • POVIJESNI PREGLED iii

    osnovni pojam gibanje, kao i vektorska aksiomatika i sve su one u skladu s nacelimasuvremene aksiomatike koja nalazu sljedece:Aksiomatsko zasnivanje bilo koje matematicke teorije u pocetku trazi da se odredeosnovni pojmovi i osnovne tvrdnje - aksiomi. Pomocu osnovnih pojmova denirajuse svi ostali izvedeni pojmovi te teorije, a sve tvrdnje se dokazuju iz aksioma ili vecdokazanih tvrdnji. Za odabrani sustav aksioma moraju vrijediti sljedeca tri nacela:nacelo neprotuslovnosti, nacelo potpunosti i nacelo nezavisnosti.

    Za sustav aksioma fA1;...,Ang teorije A kazemo da je neprotuslovan ako se iz tihaksioma ne mogu dokazati meusobno suprotne tvrdnje T i T , tj. istinita je tocnojedna od sljedecih tvrdnji:

    fA1; :::; Ang ) T ili fA1; :::; Ang ) T:

    Smatramo da je aksiomatika potpuna ako su svaka dva modela te teorije izomorfna,tj. ako, do na izomorzam, postoji jedan jedini model te teorije. Ako postoje dvaneizomorfna modela smatra se da sustav aksioma nije potpun. Nacelo potpunostikatkad zovemo i nacelom kategoricnosti.

    Nacelo nezavisnosti znaci da se ni jedan aksiom ne moze dokazati pomocu ostalihaksioma, tj. svaki aksiom mora biti neizvediv od ostalih. Dakle, sustav aksiomafA1; :::; Ang je nezavisan ako vrijedi

    A1; :::; Ai1; Ai+1; :::; An ; Ai; za svaki i = 1; :::; n:

    Nezavisnost aksioma Ai u sustavu aksioma fA1; :::; Ang obicno se provjerava tako dase nae neki model u kojem vrijede svi aksiomi osim njega, tj. model sustava aksiomafA1; :::; Ai1; Ai+1; :::; Ang; i provjeri je li izomorfan modelu sustava fA1; :::; Ang:

  • Poglavlje 1.

    Planimetrija - geometrija ravnine

    Euklid

    1. Aksiomi euklidske geometrije ravnine2. Neka svojstva izometrija i osnih simetrija3. Rotacija i centralna simetrija4. Kutovi5. Neki poucci o kutovima6. Sukladnost trokuta7. Neki poucci o trokutima i cetverokutima8. Slicnost trokuta9. Cetiri karakteristicne tocke trokuta10. Neki teoremi o kruznici11. Tangencijalni i tetivni cetverokut

    1.1. Aksiomi euklidske geometrije ravnine

    Euklidska ravnina ili krace ravnina je skup M cije elemente nazivamo tockama(oznacavat cemo ih velikim slovima A;B; : : :), a neke njezine istaknute podskupovenazivamo pravcima (oznacavat cemo ih malim slovima p; q : : :). Tocka i pravacsu osnovni pojmovi u aksiomatskoj izgradnji planimetrije. Ta dva tipa objekatazadovoljavaju sljedece grupe aksioma:

    I. Aksiome incidencije ili pripadanja

    II. Aksiome ureaja

    III. Aksiome metrike

    IV. Aksiome simetrije

    V. Aksiom o paralelama1

  • 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 2

    1.1.1. Aksiomi incidencije

    Relacija incidencije ili pripadanja je osnovna relacija. Oznaka A 2 M znaci datocka A pripada ili lezi u ravnini M; a oznaka A 2 p da tocka A pripada ililezi na pravcu p. Za pravac p M kazemo da pripada ili lezi u ravnini M .Aksiom I-1. Za svake dvije razlicite tocke A;B 2 M postoji jedinstveni pravac izM kojemu one pripadaju. Taj se pravac oznacava sa AB:

    Aksiom I-2. Na svakom pravcu leze barem tri razlicite tocke.

    Aksiom I-3. Postoje tri nekolinearne tocke, tj. tri tocke koje ne leze na istompravcu.

    Iz Aksioma I-3 slijedi da su pravci pravi podskupovi ravnine M .

    1.1.2. Aksiomi ureaja

    Aksiom II-1. Na svakom pravcu ravnine postoje tocno dva meusobno suprotnalinearna ureaja.

    Oznacimo linearne ureaje iz Aksioma II-1 sa " 4 " i " < ": Za pravac p M kazemoda je orijentiran ako smo na njemu odabrali jedan od ta dva linearna ureaja kaoureaj pozitivnog smjera. Njemu suprotan ureaj je tada ureaj negativnog smjera.Na slikama se obicno pozitivni smjer orijentiranog pravca oznacava strelicom.

    Aksiom II-1 nam omogucava da deniramo pojam lezati izmeu, te pomocu njegapojam polupravca i duzine.

    Neka su A;B 2 M dvije razlicite tocke ravnine M . Po Aksiomu I-1 postojijedinstveni pravac AB na kojemu leze tocke A i B. Bez smanjenja opcenitostimozemo pretpostaviti da je A B. Kazemo da tocka T 2 AB lezi izmeu tocakaA i B ako je A T B: Kazemo da tocke A i B leze sa suprotnih strana tockeT 2 AB ako je A T B, tj. ako tocka T lezi izmeu tocaka A i B: Za tocke A iB kazemo da leze s iste strane tocke T 2 AB ako je T A B ili A B T:Denicija 1.1. Neka je p M proizvoljan pravac ravnine M i A 2 p proizvoljnatocka pravca p: Skup svih tocaka T pravca p koje leze s iste strane tocke A; ukljucujuciu taj skup i tocku A; nazivamo polupravcem s vrhom u tocki A i oznacavamo saAx. Pravac na kojemu lezi polupravac Ax oznacavamo sa (Ax).

    Primijetimo da su na proizvoljnom pravcu denirana tocno dva razlicita polupravca svrhom u nekoj njegovoj zadanoj tocki A. Takve polupravce koji leze na istom pravcui imaju isti vrh, a ne podudaraju se, nazivamo komplementarnim polupravcima.Polupravac je jednoznacno odreen vrhom A i jo jednom njegovom tockom B ra-zlicitom od A.

  • 1. PLANIMETRIJA - GEOMETRIJA RAVNINE 3

    Denicija 1.2. Ne