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ESCALONAMENTO DE TAREFAS

Orientadora: Profª. D.Sc Rosiane de Freitas.Elton Carlos Costa LeverManoel Sócrates Costa Lever

Escalonamento de tarefas:

• Os problemas de escalonamento de tarefas que consistem em

determinar uma atribuição das tarefas para processadores de

forma a otimizar o tempo de execução total destas tarefas.

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Introdução

Os problemas de programação de tarefas em sistemas de produção são, tradicionalmente, classificados em função do fluxo das operações nas máquinas, conforme segue:

3

Introdução

• Job Shop: cada tarefa tem sua própria sequência de processamento no conjunto de máquinas;

• Open Shop : não há uma sequência específica ou preestabelecida para o processamento das tarefas nas máquinas;

• Flow Shop : todas as tarefas têm a mesma sequência de processamento no conjunto de máquinas; cada tarefa é processada nas máquinas 1, 2, ...,m, nesta ordem, mas as tarefas não são necessariamente processadas na mesma sequência em cada máquina;

• FlowShop Permutacional: é um FlowShop no qual em cada máquina a sequência das tarefas é a mesma.

• FlowShop não Permutacional: é um FlowShop no qual a sequência das tarefas podem mudar nas máquinas seguintes.

Flow Line

4

• É o arranjo físico das máquinas, o layout a ser utilizado na fábrica, logo é uma particularização do FlowShop.

• Os equipamentos ou as estações de trabalho são colocados de acordo com a sequência de montagem, sem caminhos alternativos para o fluxo produtivo;

• O material percorre um caminho previamente determinado dentro do processo;

Flow Line

5

• Alguns exemplos de utilização deste tipo de arranjo: linhas de montagem, fábricas de produtos químicos, logística, alimentícias, frigoríficos, serviço de restaurante a quilo etc.

Job

Outros arranjos físicos

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• Arranjo por processo ou funcional (Job Shop)

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Flow Shop

Definições:• Flow Shop ocorre sempre que necessário para

programar um conjunto de n tarefas em m máquinas, para que cada trabalho visite todas as máquinas com o fim de otimizar uma ou mais funções objetivas.

Flow Shop Permutacional

Definição• O problema de programação de operações Flow Shop é um

problema da produção, no qual n tarefas devem ser processadas, na mesma sequência, em cada máquina de um conjunto de m máquinas distintas.

• Um caso específico de programação Flow Shop, denominado Permutacional, é quando em cada máquina mantém-se a mesma ordem de processamento das tarefas.

• Escalonamento Flow Shop Permutacional é um problema NP-completo de otimização combinatória já para m = 3 máquinas (Garey, Johnson, & Sethi, 1976). 8

Flow Shop Permutacional

Definição• Um problema de programação Flow Shop

Permutacional envolvendo apenas 10 tarefas apresenta 3.628.800 soluções possíveis, existem (n!) sequências possíveis.

• A solução consiste em determinar dentre as (n!) sequências possíveis das tarefas, a otimização do tempo total do processamento (Makespan).

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Notação

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Usando a notação de Graham descrito por um trio

𝛼|𝛽|𝛾Ambientes de máquinas, denota o layout do sistema e do tipo de fluxo de produção

indica as características de operação (pode ser vazio)

Função Objetivo.denota os índices de desempenho adotados

FlowShop PermutacionalModelagem

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5 4 7 4

15 3 1 3

2 5 4 3

1 2 3 4Máquina (i-1)

Máquina (i)

Máquina (i+1)

1 2 3 4

1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35

5 4 7 4

15 3 1 3

2 5 4 3

GRÁFICO DE GANTT

Flow Shop Permutacional

12

4

3

2

1

Máquina (i-1) Máquina (i) Máquina (i+1)

1 2 3 4Máquina (i-1)

Máquina (i)

Máquina (i+1)

1 2 3 4

1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35

5 4 7 4

15 3 1 3

2 5 4 3

Flow Shop Permutacional

13

4

3

2 1

Máquina (i-1) Máquina (i) Máquina (i+1)

1 2 3 4Máquina (i-1)

Máquina (i)

Máquina (i+1)

1 2 3 4

1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35

5 4 7 4

15 3 1 3

2 5 4 3

Bloq

Flow Shop Permutacional

14

4

3 2 1

Máquina (i-1) Máquina (i) Máquina (i+1)

1 2 3 4Máquina (i-1)

Máquina (i)

Máquina (i+1)

1 2 3 4

1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35

5 4 7 4

15 3 1 3

2 5 4 3

Wait = 5 Wait = 2Wait = 4Wait = 3 Wait = 3

Flow Shop Permutacional

15

4

3

2

1

1234

4

3

2

1 1234 1234

Máquina (i-1) Máquina (i) Máquina (i+1)

1 2 3 4Máquina (i-1)

Máquina (i)

Máquina (i+1)

1 2 3 4

1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35

5 4 7 4

15 3 1 3

2 5 4 3

Flow Shop Não Permutacional

16

𝐹𝑚∨𝐵𝑖=𝑛−2∨𝐶𝑚𝑎𝑥

• onde significa flowshop com máquinas,

• denota a presença de buffers; um buffer de capacidade ilimitada permite permutações e; uma capacidade limitada ;

• denota a minimização makespan como critério de otimização. Menor makespan implica outros benefícios, tais como menor tempo ocioso, maior utilização da máquina e maior eficiência.

Flow Shop Não PermutacionalModelagem

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5 4 7 4

15 3 1 3

2 5 4 3

1 2 3 4Máquina (j-1)

Máquina (j)

Máquina (j+1)

1 23 4

1 23 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35

5 4 7 4

15 31 3

2 54 3

Buffer (j-1)

Flow Shop Não Permutacional

18

𝐹𝑚∨𝐵𝑖=𝑛−2∨𝐶𝑚𝑎𝑥

18

1 2 3 4Máquina (j-1)

Máquina (j)

Máquina (j+1)

1 23 4

1 23 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35

5 4 7 4

15 31 3

2 54 3

Máquina (j-1) Máquina (j) Máquina (j+1)

4 3

2 1

Buffer (j) Buffer (j+1)

Buffer (j-1) Máquina (j-1) Máquina (j) Máquina (j+1)Buffer (j) Buffer (j+1)

Flow Shop Não Permutacional

19

𝐹𝑚∨𝐵𝑖=𝑛−2∨𝐶𝑚𝑎𝑥

4 3

21

19

1 2 3 4Máquina (j-1)

Máquina (j)

Máquina (j+1)

1 23 4

1 23 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35

5 4 7 4

15 31 3

2 54 3

Buffer (j-1) Máquina (j-1) Máquina (j) Máquina (j+1)Buffer (j) Buffer (j+1)

Flow Shop Não Permutacional

20

𝐹𝑚∨𝐵𝑖=𝑛−2∨𝐶𝑚𝑎𝑥

4 32 1

20

1 2 3 4Máquina (j-1)

Máquina (j)

Máquina (j+1)

1 23 4

1 23 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35

5 4 7 4

15 31 3

2 54 3

Buffer (j-1) Máquina (j-1) Máquina (j) Máquina (j+1)Buffer (j) Buffer (j+1)

Flow Shop Não Permutacional

21

𝐹𝑚∨𝐵𝑖=𝑛−2∨𝐶𝑚𝑎𝑥

43

21

21

1 2 3 4Máquina (j-1)

Máquina (j)

Máquina (j+1)

1 23 4

1 23 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35

5 4 7 4

15 31 3

2 54 3

Buffer (j-1) Máquina (j-1) Máquina (j) Máquina (j+1)Buffer (j) Buffer (j+1)

Flow Shop Não Permutacional

22

𝐹𝑚∨𝐵𝑖=𝑛−2∨𝐶𝑚𝑎𝑥

4

3

2

1

123412

3412 34 12 34

12

34

12

34

22

1 2 3 4Máquina (j-1)

Máquina (j)

Máquina (j+1)

1 23 4

1 23 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35

5 4 7 4

15 31 3

2 54 3

Modelagem Matemática Flow Shop Não Permutacional

• A programação linear inteira mista (PLIM), modelada para o problema NPFS é o seguinte:

as posições sequenciais, = o valor positivo suficientemente grande;, se a tarefa é atribuída na sequencia da posição

na máquina ; caso contrário é

Modelagem Matemática Flow Shop Não Permutacional

Sujeito a:

• Função objetivo:

• A função objetivo (1) tem por finalidade minimizar o makespan ou seja reduzir o tempo total de processamento de todas as tarefas nas máquinas.

Modelagem Matemática Flow Shop Não Permutacional

1 2 3 4Máquina (j-1)

Máquina (j)

Máquina (j+1)

1 23 4

1 23 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35

5 4 7 4

15 31 3

2 54 3

• A restrição (2) garante que cada tarefa é atribuído a exatamente uma posição da sequência de trabalho em cada máquina.

Modelagem Matemática Flow Shop Não Permutacional

1 2 3 4Máquina (j-1)

Máquina (j)

Máquina (j+1)

1 23 4

1 23 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35

5 4 7 4

15 31 3

2 54 3

• A restrição (3) afirma que cada posição da sequência de tarefa processa exatamente uma tarefa em cada máquina.

Modelagem Matemática Flow Shop Não Permutacional

1 2 3 4Máquina (j-1)

Máquina (j)

Máquina (j+1)

1 23 4

1 23 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35

5 4 7 4

15 31 3

2 54 3

• Restrição (4) indica que, considerando-se todas as sequências da máquina, cada tarefa pode ser no máximo vezes na mesma posição e, pelo menos, um desses pode ser inferior a vezes na mesma posição (restrição não Permutacional).

Modelagem Matemática Flow Shop Não Permutacional

1 2 3 4Máquina (j-1)

Máquina (j)

Máquina (j+1)

1 23 4

1 23 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35

5 4 7 4

15 31 3

2 54 3

• A restrição (5) denota os tempos a partir do primeira tarefa em cada máquina.

Modelagem Matemática Flow Shop Não Permutacional

1 2 3 4Máquina (j-1)

Máquina (j)

Máquina (j+1)

1 23 4

1 23 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35

5 4 7 4

15 31 3

2 54 3

• A restrição (6) garante que o trabalho na sequência da máquina não comesse até que a tarefa na sequência da máquina seja concluído.

Modelagem Matemática Flow Shop Não Permutacional

1 2 3 4Máquina (j-1)

Máquina (j)

Máquina (j+1)

1 23 4

1 23 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35

5 4 7 4

15 31 3

2 54 3

• A restrição (7) garante que o momento de início da tarefa , o que é atribuído à posição na sequência na máquina não é anterior ao seu termino na máquina .

Modelagem Matemática Flow Shop Não Permutacional

1 2 3 4Máquina (j-1)

Máquina (j)

Máquina (j+1)

1 23 4

1 23 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35

5 4 7 4

15 31 3

2 54 3

• A restrição (8) assegura que o tamanho do buffer da máquina é, pelo menos, .

Modelagem Matemática Flow Shop Não Permutacional

1 2 3 4Máquina (j-1)

Máquina (j)

Máquina (j+1)

1 23 4

1 23 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 35

5 4 7 4

15 31 3

2 54 3

Referências

KING, R.; SPACHIS, A. S. Heuristics for flowShop scheduling. International Journal of Production Research, v. 18, p. 343-357, 1980.

Rossi, A. Lanzetta, M; Scheduling flow lines with buffers by ant colony digraph. journal homepage: www.elsevier.com/locate/eswa, acesso 05/2014.

Lin, SW. Ying, K; Minimizing makespan and total flowtime in permutation flowshops by a bi objective multi-start simulated-annealing algorithm. journal homepage: www.elsevier.com/locate/eswa, acesso 05/2014.

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Escalonamento de Tarefas

Orientadora: Profª. D.Sc Rosiane de Freitas.Elton Carlos Costa LeverManoel Sócrates Costa Lever