ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI LOGLOGISTIK PADA …repository.unair.ac.id/25710/1/ROMADHONI, A R.pdf · dua tahap yaitu tahap E dan M. Pada tahap E dilakukan perhitungan ekspektasi

ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI LOGLOGISTIK PADA DATA TERSENSOR PROGRESSIVE TIPE II DENGAN MENGGUNAKAN

ALGORITMA EM

SKRIPSI

ANNAS RIEZKI ROMADHONI

PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS AIRLANGGA 2012

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM

Romadhoni, Annas Riezki

ii

ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI LOGLOGISTIK PADA DATA TERSENSOR PROGRESSIVE TIPE II DENGAN

MENGGUNAKAN ALGORITMA EM

SKRIPSI

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Bidang Matematika

Pada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga

Disetujui Oleh :

Pembimbing I,

Toha Saifudin, S.Si, M.Si NIP. 19750106 199903 1 002

Pembimbing II,

Drs. Eko Tjahjono, M.Si NIP . 19600706 198601 1 001




iii

LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI

Judul : Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik Pada Data Tersensor Progressive Tipe II Dengan Menggunakan Algoritma EM

Penyusun : Annas Riezki Romadhoni NIM : 080810165 Tanggal Ujian : 10 Agustus 2012

Disetujui oleh :

Pembimbing I,

Toha Saifudin, S.Si, M.Si NIP. 19750106 199903 1 002

Pembimbing II,

Drs. Eko Tjahjono, M.Si NIP . 19600706 198601 1 001

Mengetahui : Ketua Program Studi S-1 Matematika

Departemen Matematika Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Airlangga

Dr. Miswanto, M.Si NIP. 19680204 199303 1 002




iv

PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI

Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam

lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi kepustakaan, tetapi pengutipan harus seizin penyusun dan harus menyebutkan sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan hak milik Universitas Airlangga.




v

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, puji syukur senantiasa penulis panjatkan kepada Allah SWT

yang telah melimpahkan rahmat, karunia, dan hidayahnya-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik Pada Data Tersensor Progressive Tipe II Dengan Menggunakan Algoritma EM”. Pada kesempatan yang telah diberikan ini, penulis ingin menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada : 1. Kedua orang tua dan adik penulis yang telah memberikan dukungan, kasih

sayang, dan kepercayaan yang begitu besar. 2. Dr. Miswanto, M.Si., selaku Ketua Prodi S-1 Matematika yang telah

memberikan arahan dan bimbingan kepada penulis. 3. Toha Saifudin, S.Si, M.Si dan Drs Eko Tjahjono, M.Si selaku dosen

pembimbing I dan II yang telah memberikan arahan, masukan, perhatian, rasa sabar yang begitu besar dan pengetahuan yang tidak ternilai.

4. Ahmadin, S.Si, M.Si. selaku dosen wali yang telah banyak memberikan nasehat dan saran demi mencapai kesuksesan di dunia dan akhirat.

5. Seluruh dosen Universitas Airlangga, terima kasih untuk segala ilmu yang diberikan.

6. Teman-teman Matematika 2008, kakak-kakak 2007, adik-adik 2009 dan 2010 terima kasih untuk semua bantuan dan rasa kekeluargaan yang telah terjalin selama ini.

7. Rekan-rekan seperjuangan HMI (Himpunan Mahasiswa Islam) yang telah memberikan pembelajaran yang sangat luar biasa. YAKUSA!!!

8. Serta pihak-pihak lain yang tidak dapat disebutkan satu persatu, terima kasih atas segala bantuannya selama ini.

Penulis menyadari skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan. Untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun dari pembaca. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pembaca.

Surabaya, Agustus 2012

Penyusun

Annas Riezki Romadhoni




vi

Annas Riezki Romadhoni, 2012. Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM. Skripsi ini dibawah bimbingan Toha Saifuddin, S.Si, M.Si. dan Drs. Eko Tjahjono, M.Si, Departeman Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Unversitas Airlangga.

ABSTRAK

Distribusi Loglogistik adalah distribusi yang biasa digunakan dalam analisis data tahan hidup karena logaritma natural dari variabel-variabel tahan hidupnya terdistribusi secara logistik. Distribusi Loglogistik mempunyai dua parameter yaitu parameter skala dan parameter bentuk . Penulisan ini bertujuan untuk memperoleh estimator parameter distribusi Loglogistik pada data tersensor progressive tipe II. Metode yang digunakan dalam penulisan ini adalah metode Maximum Likelihood dengan algoritma EM. Algoritma EM terdiri dari dua tahap yaitu tahap E dan M. Pada tahap E dilakukan perhitungan ekspektasi bersyarat dari fungsi ln likelihood dan pada tahap M dilakukan perhitungan untuk memaksimalkan ekspektasi bersyarat dari fungsi ln likelihood hingga mendapatkan nilai yang konvergen. Software yang digunakan untuk mempermudah mendapatkan nilai estimator parameter distribusi Loglogistik adalah Mathematica. Pada kasus logaritma natural dari waktu terurainya Isolator Zat Cair pada voltase 34 KV dengan sampel pengamatan dan kegagalan yang diamati masing-masing sebesar 19 dan 8, sedangkan skema penyensorannya adalah diperoleh nilai estimator parameter untuk sebesar 6,526 dan sebesar 1,108.

Kata Kunci: Distribusi Loglogistik, Data Tersensor Progressive Tipe II, Maximum Likelihood Estimator, Algoritma EM.




vii

Annas Riezki Romadhoni, 2012. Estimation of Parameter of The Loglogistic Distribution based on Progressive Type-II Censoring Using The EM Algorithm. This Skripsi is supervised by Toha Saifuddin, S.Si, M.Si. and Drs. Eko Tjahjono, M.Si, Mathematics Department, Faculty of Sains and Technology, Airlangga University

ABSTRACT

The Loglogistic distribution is a commonly used distribution in lifetime

data analysis because natural logarithm of the lifetime variables are logistically distributed. Loglogistic distribution has two parameters, that are the scale parameter and shape parameter . The main objective of this paper is to get parameter estimator of the Loglogistic distribution based on Progressive type-II censoring. The method that used in this paper is Maximum Likelihood method with EM Algorithm. EM algorithm is consist of two steps, that are E-step and M-step. E-step requires the algorithm to calculate conditional expectation of log-likelihood function and M-step calculation to maximize the conditional expectation of log-likelihood function until get a convergen value. Software that used to get the parameter estimator of the Loglogistic distribution easily is Mathematica. On natural logarithm case from the time of disintregation of the isolator fluid at 34 KV voltage with sample observations and observed failure are given respectively by 19 and 8, then the censored scheme is then obtained the estimator value of parameter for is 6,526 and for is 1,108.

Keywords : Loglogistic distribution, Progressive Type II Censored, Maximum Likelihood Estimator, EM Algorithm




viii

DAFTAR ISI

Halaman

LEMBAR JUDUL ............................................................................................... i

LEMBAR PERNYATAAN ................................................................................ ii

LEMBAR PENGESAHAN ............................................................................... iii

LEMBAR PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI .......................................... iv

KATA PENGANTAR ........................................................................................ v

ABSTRAK ......................................................................................................... vi

ABSTRACT ...................................................................................................... vii

DAFTAR ISI ................................................................................................... viii

DAFTAR GAMBAR ......................................................................................... x

DAFTAR LAMPIRAN ...................................................................................... xi

BAB I PENDAHULUAN ................................................................................... 1

1.1 Latar Belakang Masalah ................................................................. 1

1.2 Rumusan Masalah .......................................................................... 4

1.3 Tujuan ............................................................................................ 4

1.4 Manfaat .......................................................................................... 5

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ........................................................................ 6

2.1 Analisis Data Uji Hidup ................................................................. 6

2.2 Distribusi Probabilitas .................................................................... 6

2.3 Distribusi Loglogistik .................................................................... 8

2.4 Distribusi Logistik .......................................................................... 8

2.5 Sampel Lengkap ............................................................................. 9

2.6 Sampel Tersensor Progressive Tipe II ........................................... 9

2.7 Nilai Ekspektasi ........................................................................... 10

2.8 Estimasi ........................................................................................ 11

2.9 Least Squares Estimation ............................................................. 14

2.10 Estimasi Kaplan Meier ................................................................. 15

2.11 Newton-Raphson .......................................................................... 15




ix

2.12 MINITAB 14 ................................................................................ 16

2.13 Mathematica ................................................................................. 16

BAB III METODE PENELITIAN.................................................................... 17

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN .......................................................... 21

4.1 Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik Pada Data Tersensor

Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM ................... 21

4.2 Algoritma Program ...................................................................... 47

4.3 Penerapan Pada Data Tersensor Progressive Tipe II ....................... 49

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ............................................................ 56

5.1 Kesimpulan ..................................................................................... 56

5.2 Saran . .............................................................................................. 58

DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 59

LAMPIRAN




x

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

2.1 Skema Penyensoran Progressive Tipe II 9

4.1 Plot data waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV 50

4.2 Plot data waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV

tersensor progressive tipe II 51

4.3 Plot data log natural waktu terurainya isolator zat cair pada

Tegangan 34 KV tersensor progressive tipe II 52

4.4 Grafik estimasi fungsi survival 54

4.5 Tabel estimasi fungsi survival 55




xi

DAFTAR LAMPIRAN

Nomor Judul

1. Data Sampel Lengkap Waktu Terurainya Isolator Zat Cair Pada

Tegangan 34kV.

2. Data Sampel Tersensor Progressive Tipe II Waktu Terurainya Isolator

Zat Cair Pada Tegangan 34kV.

3. Program Untuk Menentukan Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik

Pada Data Tersensor Progressive Tipe II.




1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Globalisasi ekonomi merupakan suatu keadaan ekonomi dimana kegiatan

perekonomian bersifat terbuka tanpa adanya batas-batas wilayah antara daerah

yang satu dengan daerah yang lainnya. Hal ini menyebabkan persaingan produk

yang diproduksi oleh setiap perusahaan semakin berat. Salah satu yang menjadi

tolak ukur keberhasilan persaingan ini adalah kualitas suatu produk. Untuk

mengetahui kualitas suatu produk sebelum dipasarkan kepada konsumen, perlu

diadakan suatu penelitian yang berkaitan dengan pengamatan suatu keandalan

atau daya tahan hidup komponen. Hal ini dikarenakan sangat berguna dalam

pengujian tentang bagaimana suatu komponen dapat berfungsi sebagaimana

mestinya dalam waktu yang ditentukan.

Analisa data tahan hidup (survival analysis) adalah suatu metode untuk

menganalisis data yang berhubungan dengan waktu, mulai dari time origin atau

start-point sampai dengan terjadinya suatu kejadian khusus atau end-point

(Collet, 1994). Bentuk pengujian data tahan hidup adalah pengujian waktu tahan

hidup suatu komponen pada saat digunakan hingga mati atau ketika pasien

terjangkit penyakit hingga meninggal. Jika semua benda atau individu diuji

sampai terjadinya kematian atau kegagalan maka disebut sampel lengkap. Metode

tersebut mempunyai keuntungan yaitu semua komponen dapat teramati. Tetapi

metode tersebut juga mempunyai kelemahan diantaranya yaitu waktu yang




2

diperlukan untuk melakukan penelitian sangat lama dan biaya yang diperlukan

sangat besar. Hal ini sangat merugikan bagi suatu instansi dalam pengadaan

penelitian. Untuk itu, perlu dilakukan penyensoran data agar lebih efisien dari segi

waktu dan biaya.

Dalam statistika, ada banyak jenis penyensoran yang dapat digunakan untuk

mempercepat suatu penelitian. Pada kesempatan ini penulis menggunakan

penyensoran progressive tipe II yang merupakan pengembangan dari penyensoran

tipe II. Alasan menggunakan jenis penyensoran ini adalah waktu yang dibutuhkan

untuk melakukan penelitian relatif lebih cepat, karena dengan cara mengambil

sebagaian data untuk tidak diamati. Hal ini menyebabkan biaya yang dikeluarkan

relatif sedikit. Menurut Wu (2002), penyensoran progressive tipe II adalah

pengamatan terhadap sampel dengan kegagalan yang diamati dengan syarat

bilangan bulat, sedemikian sehingga pada saat terjadi kegagalan yang

pertama, dari unit yang survive secara acak dikeluarkan dari pengamatan,

sedangkan pada pengamatan kegagalan yang kedua, unit penelitian yang

survive secara acak dikeluarkan lagi. Penelitian ini berhenti pada saat

kegagalan diamati dan ini berarti unit yang

survive semua dikeluarkan.

Untuk menganalisis dan mempresentasikan data uji hidup maka diperlukan

suatu distribusi. Sehingga analisis terhadap data uji hidup dapat dilakukan secara

parametrik. Data yang digunakan dalam penelitian berupa waktu yang bertipe

kontinu, sehingga distribusi probabilitas yang digunakan adalah bertipe kontinu.

Menurut Kus dan Kaya (2006), distribusi Loglogistik adalah distribusi yang biasa




3

digunakan dalam analisis data tahan hidup karena logaritma natural dari variabel-

variabel tahan hidupnya terdistribusi secara logistik. Adapun fungsi kepadatan

peluang (fkp) distribusi Loglogistik sebagai berikut:

Berdasarkan uraian di atas, diperlukan suatu metode yang digunakan dalam

penarikan kesimpulan mengenai suatu populasi yang biasa disebut inferensi

statistik. Salah satu metode yang sering digunakan adalah Maximum Likelihood.

Penyelesaian akhir metode ini umumnya membutuhkan iterasi numerik. Salah

satu Algoritma yang dapat dipakai adalah algoritma EM. Algoritma EM adalah

metode optimisasi iteratif untuk estimasi Maksimum Likelihood yang berguna

dalam permasalahan data yang tidak lengkap. Dalam algoritma EM ini terdapat 2

tahap, yaitu tahap Ekspektasi (tahap E) dan tahap Maksimasi (tahap M).

Berdasarkan permasalahan diatas, maka penulis tertarik untuk melakukan

studi jurnal estimasi parameter distribusi Loglogistik pada data tersensor

progressive tipe II dengan menggunakan algoritma EM yang diambil dari jurnal

yang berjudul “Estimation of Parameter of The Loglogistic Distribution Based on

Progressive Censoring Using The EM Algorithm” yang ditulis oleh Kus dan Kaya

(2006). Pada penulisan skripsi ini juga disertakan program untuk mencari estimasi

parameter distribusi Loglogistik menggunakan software Matematica. Selanjutnya

dilakukan penerapan pada data waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34

KV yang didapatkan dari jurnal yang sama.




4

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang permasalahan diatas, maka rumusan masalah

yang dibahas adalah:

1. Bagaimana mengestimasi parameter distribusi Loglogistik pada data

tersensor progressive tipe II dengan menggunakan algoritma EM?

2. Bagaimana membuat program pada software Matematica untuk

mengestimasi parameter distribusi Loglogistik pada data tersensor

progressive tipe II dengan menggunakan algoritma EM?

3. Bagaimanakah aplikasi estimasi parameter distribusi Loglogistik pada data

tahan hidup tersensor Progressive Tipe II dengan menggunakan algoritma

EM?

1.3 Tujuan

1. Mengestimasi parameter distribusi Loglogistik pada data tersensor

progressive tipe II dengan menggunakan algoritma EM.

2. Membuat program pada software Mathematica untuk mengestimasi

parameter distribusi Loglogistik pada data tersensor progressive tipe II

dengan menggunakan algoritma EM.

3. Menerapkan hasil yang diperoleh dari estimasi parameter distribusi

Loglogistik pada data tahan hidup tersensor progressive tipe II dengan

menggunakan algoritma EM.




5

1.4 Manfaat

1. Menambah wawasan mengenai estimasi parameter dari distribusi

Loglogistik pada data tersensor progressive tipe II menggunakan metode

algoritma EM.

2. Hasil kajian dapat diterapkan pada bidang ilmu kesehatan, industri,

pendidikan dan sebagainya.

3. Informasi yang di dapat dari skripsi ini akan membuka peluang untuk

diadakan penelitian selanjutnya.




6

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Analisa Data Tahan Hidup

Menurut Collet (1994), analisa data tahan hidup (survival analysis) adalah

suatu metode untuk menganalisis data yang berhubungan dengan waktu, mulai

dari time origin atau start-point sampai dengan terjadinya suatu kejadian khusus

atau end-point. Di dalam riset medis, time origin sering digunakan sebagai awal

perekrutan suatu individu dalam suatu studi yang bersifat percobaan, sedangkan

end-point merupakan kematian suatu individu atau pasien, sehingga data yang

dihasilkan secara harfiah dinamakan waktu survival.

2.2 Distribusi Probabilitas

2.2.1 Fungsi Kepadatan Probabilitas (FKP)

Menurut Bain dan Engelhardt (1992), fungsi kepadatan probabilitas (fkp)

merupakan nilai peluang dari setiap kejadian .

Terdapat 2 jenis fungsi kepadatan probabilitas yaitu, fungsi kepadatan

probabilitas (fkp) diskrit dan fungsi kepadatan probabilitas (fkp) kontinu.

suatu variabel random dengan distribusi probabilitas disebut fungsi

kepadatan probabilitas (fkp) diskrit apabila :

1)

2)




7

Sedangkan disebut fungsi kepadatan probabilitas (fkp) kontinu apabila :

1)

2)

2.2.2 Cumulative Distribution Function (CDF)

Menurut Bain dan Engelhardt (1992), Cumulative Distribution Function

(CDF) dari suatu variabel acak didefinisikan untuk setiap bilangan real

sebagai :

Menurut Walpole dan Myers (1995), terdapat 2 jenis distribusi kumulatif

yaitu:

1. Distribusi kumulatif suatu peubah acak diskrit dengan distribusi

peluang dinyatakan oleh

2. Distribusi kumulatif suatu peubah acak kontinu dengan distribusi

peluang dinyatakan oleh

2.2.3 Fungsi Survival

Menurut Lawless (1982), fungsi survival adalah probabilitas bahwa suatu

individu akan bertahan sampai waktu dengan diasumsikan kontinu,

dirumuskan sebagai berikut :




8

2.3 Distribusi LogLogistik

Menurut Kus dan Kaya (2006), distribusi Loglogistik adalah distribusi yang

biasa digunakan dalam analisis data tahan hidup karena logaritma natural dari

variabel-variabel tahan hidupnya berdistribusi Logistik. Adapun fungsi kepadatan

probabilitas (fkp) distribusi Loglogistik dengan parameter skala dan parameter

bentuk sebagai berikut:

2.4 Distribusi Logistik

Menurut Kus dan Kaya (2006), jika mempunyai distribusi logistik dengan

parameter lokasi dan parameter skala , maka fungsi kepadatan probabilitas dan

fungsi distribusi dari diberikan masing-masing yaitu:

dengan




9

2.5 Sampel Lengkap

Menurut Lawless (1982), pada sampel lengkap percobaan uji hidup

dilakukan sampai semua individu atau benda mengalami kematian atau kegagalan.

Adapun fungsi likelihood dari adalah :

2.6 Sampel Tersensor Progressive Tipe II

Menurut Wu (2002), penyensoran progressive tipe II adalah pengamatan

terhadap sampel dengan kegagalan yang diamati dengan syarat

bilangan bulat, sedemikian sehingga pada saat terjadi kegagalan yang pertama,

dari unit yang survive secara acak dikeluarkan dari pengamatan, sedangkan pada

pengamatan kegagalan yang kedua, unit penelitian yang survive secara acak

dikeluarkan lagi. Penelitian ini berhenti pada saat kegagalan diamati dan ini

berarti unit yang survive semua dikeluarkan.

Skema penyensoran progressive tipe II adalah ) dengan

dan . Dengan keterangan :

: jumlah sampel pengamatan.

: banyaknya kegagalan yang diamati.

: banyaknya unit sampel yang masih survive yang dipindahkan dari

pengamatan (tidak diamati lagi) pada saat terjadinya kegagalan yang

ke – .

Hal ini dapat digambarkan sebagai berikut :




10

…

Pada penyensoran progressive tipe II, secara umum bentuk fungsi likelihood

yang didasarkan pada cara pengamatan terhadap sampel dapat dirumuskan sebagai

berikut:

dengan

dan . Pada skema penyensoran progressive tipe II, terdapat beberapa

keadaan khusus yaitu jika sedemikian sehingga

, maka akan diperoleh teknik penyensoran sampel secara tersensor

tipe II, namun jika skema penyensorannya adalah , maka

diperoleh sampel lengkap.

2.7 Nilai Ekspektasi

Menurut Bain dan Engelhardt (1992), nilai ekspektasi dari peubah acak

kontinu adalah :

n-1- - n-m-1- n-1-

Dipindahkan (tidak diamati)



Pengamatan dimulai

Pengamatan berakhir




11

Misalkan adalah fungsi acak yang kontinu, maka nilai ekspektasi

untuk adalah :

Menurut Graybill et al. (1963), jika adalah dua peubah acak dan

merupakan fungsi dengan domain dan kodomain bilangan real.

Ekspektasi bersyarat dari dimana yang dinotasikan dengan

adalah sebagai berikut:

1.

bila masing-masing diskrit.

2.

bila masing-masing kontinu.

2.8 Estimasi

Menurut Lawlees (1982), inferensi statistik didefinisikan sebagai metode

untuk menarik kesimpulan mengenai populasi. Penarikan kesimpulan dari

serangkaian observasi pada umumnya dilakukan berdasarkan data sampel dengan

menganggap bahwa karakteristik sampel (statistik sampel) kemungkinan besar

mendekati karakteristik populasi (parameter populasi). Dengan kata lain

parameter populasi yang merupakan konstanta yang tidak diketahui,

umumnya diestimasi dengan menggunakan statistik sampel . Masalah dalam

pengestimasian adalah bahwa fungsi kepadatan probabilitas dari sampel yang




12

diobservasi memuat parameter populasi yang tidak diketahui. Nilai sampel yang

diobservasi digunakan sebagai dasar untuk mengestimasi nilai .

Estimator yang diinginkan adalah estimator yang dekat dengan .

Pengestimasian parameter dapat dilakukan secara Klasik maupun Bayes. Dalam

metode Klasik, inferensi didasarkan sepenuhnya pada sampel yang diambil secara

random dari populasi. Sedangkan pada metode Bayes selain informasi sampel

random juga dipergunakan informasi tambahan mengenai nilai parameter yang

tidak diketahui.

2.8.1 Maximum Likelihood Estimator

Menurut Hogg dan Craig (1995), misalkan merupakan peubah

acak yang saling bebas dan berdistribusi identik dengan fungsi kepadatan peluang

, untuk . Fungsi kepadatan peluang bersama antara

adalah

Jika fungsi kepadatan peluang bersama tersebut dinyatakan sebagai fungsi

terhadap maka dinamakan fungsi likelihood yang dinotasikan atau ditulis

sebagai berikut

dengan .

Statistik dinamakan Maximum Likelihood Estimator (MLE)

dari bila statistik memaksimumkan ,

.




13

2.8.2 Algoritma EM

Menurut Kus dan Kaya (2006), algoritma EM merupakan metode yang

sangat tepat digunakan dalam menangani masalah mengenai data yang hilang atau

data tersensor. Misalkan adalah vektor acak data lengkap. Pada data lengkap

memuat data yang teramati

yang merupakan suatu vektor yang memuat nilai

waktu hidup saat terjadinya kegagalan dari pengamatan terhadap sampel dengan

kegagalan yang diamati, dan data yang tidak teramati

yang merupakan suatu vektor dengan komponen data yang survive atau dianggap

sebagai data tersensor, dimana adalah vektor dengan

untuk Vektor

merupakan skema penyensoran progressive tipe II. Fungsi log likelihood untuk

data lengkap dinotasikan .

Algoritma EM terdiri dari dua tahap yaitu tahap E (Ekspektasi) dan tahap M

(Maksimasi). Pada tahap Ekspektasi dilakukan perhitungan ekspektasi bersyarat

. Tahap Maksimasi dilakukan untuk mendapatkan

dengan cara memaksimumkan ekspektasi log likelihood yang sudah

dihitung pada tahap E atau memaksimumkan ekspektasi

bersyarat . Parameter berikutnya diperoleh

secara iteratif mengulangi tahap E dan M sampai proses konvergen, dengan

menyatakan suatu iterasi.




14

2.9 Least Squares Estimation

Menurut Lawless (1982), estimasi Least Squares digunakan lebih umum

untuk memperoleh estimasi parameter dalam kasus tertentu. Dengan

mempertimbangkan model memuat parameter yang tidak diketahui dapat

berhubungan linier terhadap beberapa transformasi dari fungsi survival. Agar

lebih spesifik, dimisalkan sebagai

adalah telah diketahui dan merupakan bentuk dari himpunan independen

linear dari fungsi dan adalah parameter yang tidak diketahui.

Berdasarkan model dari persamaan (2.11) bentuk dari Least Squares dapat

digunakan untuk mengestimasi . Misalkan adalah waktu

tahan hidup yang teramati pada sampel tersensor. Anggap sebagai estimasi

yang sesuai untuk dan anggap [ ]. Maka dapat

diestimasi dengan cara meminimumkan

dengan syarat . Langkah-langkah ini bersifat sederhana tetapi sering kali

berguna sebagai cara yang mudah untuk memperoleh estimasi . Sebagai contoh,

digunakan sebagai estimasi awal dalam prosedur untuk mendapatkan MLE.




15

2.10 Estimasi Kaplan Meier

Menurut Lawless (1982), misalkan terdapat pengamatan pada individu

dan menyatakan waktu kematian yang berbeda dengan .

Akan ada kemungkinan terjadinya lebih dari satu kematian di , dan

menunjukkan banyaknya kematian saat . Selain itu, pada waktu tahan hidup

akan ada waktu yang tersensor untuk individu yang waktu

tahan hidupnya tidak teramati. Estimasi dari didefinisikan sebagai :

menyatakan jumlah individu yang beresiko saat , yaitu jumlah individu yang

hidup dan tidak tersensor sesaat sebelum .

2.11 Newton-Raphson

Menurut Faires dan Burden, misalkan adalah nilai awal yang mendekati

nilai akar dari persamaan dan berada dalam interval yang berisi

semua nilai yang mendekati . Gradien dari garis singgung pada grafik di titik

( ) adalah , sehingga persamaan garis singgungnya adalah

Karena garis ini melewati sumbu ketika nilai dari titik pada garis tersebut nol,

maka nilai yang mendekati berikutnya adalah




16

2.12 MINITAB 14

Irawan dan Astuti (2006), menjelaskan bahwa Minitab 14 merupakan salah

satu program aplikasi statistika yang banyak digunakan untuk mempermudah

pengolahan data statistik. Keunggulan Minitab adalah dapat digunakan dalam

pengolahan data statistika untuk tujuan sosial maupun teknik. Minitab juga

memungkinkan sebagai fasilitas dalam analisis time series dan peramalannya.

2.13 Mathematica

Ardana (2003) , menjelaskan bahwa Mathematica merupakan suatu sistem

aljabar komputer (CAS, Computer Algebra System) yang mengintegrasikan

kemampuan komputasi (simbolik, numerik), visualisasi (grafik), bahasa

pemograman, dan pengolahan kata (word processing) ke dalam suatu lingkungan

yang sudah digunakan. Pertama kali diperkenalkan pada tahun 1988, Mathematica

kini tersedia pada lebih dari 20 platform komputer. Mathematica merupakan salah

satu alat pilihan dalam pendidikan, penelitian bisnis, dan sebagainya. Khususnya

untuk melakukan komputasi matematik, baik simbolik maupun numerik,

pengembangan algoritma dan aplikasi, pemodelan dan simulasi, eksplorasi,

analisis, dan visualisasi data.

Sistem Mathematica terdiri dari dua bagian utama, yaitu front end dan

kernel. Front end berupa interface dengan lingkungan kerjanya yang disebut

notebook. User memasukkan perintah – perintah atau melakukan pengolahan kata

(word processing) pada notebook, sedangkan komputasi matematik dilakukan

pada bagian kernel.




17

BAB III

METODE PENELITIAN

Metode penelitian yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah

sebagai berikut :

1. Menentukan estimasi parameter distribusi Loglogistik pada data tersensor

Progressive Tipe II menggunakan metode Algoritma EM dengan langkah-

langkah sebagai berikut :

a. Mengasumsikan sampel waktu daya tahan hidup berasal dari

distribusi Loglogistik.

b. Mentransformasikan distribusi Loglogistik dengan

agar diperoleh distribusi Logistik.

c. Menentukan fkp dari distribusi Logistik.

d. Menentukan fungsi likelihood pada data lengkap dari fkp distribusi

Logistik yaitu :

e. Mengubah fungsi likelihood menjadi bentuk logaritma natural, yaitu

f. Mempartisi ln likelihood data lengkap menjadi data yang teramati dan

data yang tidak teramati.




18

g. Menentukan nilai maksimum dari fungsi ln likelihood dengan cara

mendiferensialkan secara parsial terhadap parameter distribusi

Loglogistik yaitu

h. Tahap Ekspektasi

Menghitung ekspekasi bersyarat dari ln likelihood pada fungsi

yaitu fungsi data yang tidak teramati atau tersensor progressive tipe II.

i. Tahap Maksimasi

1) Mendapatkan fungsi ekspektasi bersyarat dari ln-likelihood dengan

cara mensubstitusikan hasil ekspektasi bersyarat dari fungsi ke

ekspektasi awal.

2) Mendapatkan estimator dan dengan cara iterasi menggunakan

metode Newton-Raphson.

j. Mendapatkan estimator distribusi Loglogistik dengan

.

2. Membuat algoritma dan program untuk estimasi parameter dari distribusi

Loglogistik pada data tersensor progressive tipe II dengan langkah-langkah

sebagai berikut:

a. Menginputkan data lengkap sampel tersensor progressive tipe II

dengan struktur yang dinotasikan fungsi , dimana sebagai

inputan data yang teramati.




19

b. Menginputkan nilai estimator awal dan untuk

Nilai estimasi awal didapatkan dari Metode Least Squares.

1) Mendapatkan fungsi survival distribusi Logistik dari

persamaan (2.1)

2) Mencari

3) Mendapatkan

4) Menggunakan Jumlah Kuadrat Galat (JKG) sehingga diperoleh

dan

5) Nilai diperoleh dari perhitungan dengan menggunakan

metode Kaplan-Meier.

c. Tahap Ekspektasi

Menghitung ekspektasi dengan menggunakan estimator awal

dan dimana menyatakan iterasi.

d. Tahap Maksimasi

Mencari dan menghitung estimator dan dengan iterasi

Newton-Raphson dari persamaan yang didapatkan dari langkah c.

e. Jika dan maka iterasi

dihentikan dan lanjut ke langkah f, tapi jika nilai tersebut tidak

terpenuhi maka kembali ke langkah c dengan mengganti .

f. Mendapatkan dan sebagai estimator parameter distribusi Logistik.




20

g. Mendapatkan .

h. Tampilkan dan sebagai estimator dari parameter distribusi

Loglogistik pada data tersensor progressive tipe II.

3. Penerapan estimasi parameter distribusi Loglogistik pada data dengan

langkah-langkah sebagai berikut :

a. Menguji data ilustrasi yang digunakan berdistribusi Loglogistik.

b. Mengestimasi parameter menggunakan program komputer (dengan

bantuan software Mathematica) berdasarkan algoritma tersebut.

c. Menghitung estimasi fungsi survival.




21

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

Dalam bab ini akan diuraikan hasil dan pembahasan estimasi parameter

distribusi Loglogistik pada data tersensor progressive tipe II dengan

menggunakan algoritma EM.

4.1 Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik Pada Data Tersensor

Progressive Tipe II Dengan Menggunakan Algoritma EM.

Algoritma EM adalah metode optimisasi iteratif untuk estimasi Maksimum

Likelihood yang berguna dalam permasalahan data yang tidak lengkap. Dalam

algoritma EM ini terdapat 2 tahap, yaitu tahap Ekspektasi (tahap E) dan tahap

Maksimasi (tahap M). Adapun langkah-langkah untuk mendapatkan nilai

estimator adalah sebagai berikut:

4.1.1 Mengasumsikan sampel waktu tahan hidup berasal dari distribusi

Loglogistik

Misalkan adalah waktu tahan hidup dari sampel berukuran

yang identik dan independen dari distribusi Loglogistik dengan parameter dan

, sehingga dapat ditulis sebagai berikut:




22

4.1.2 Fkp dari Distribusi Loglogistik

Bentuk fkp dari distribusi Loglogistik adalah:

4.1.3 Transformasi Distribusi Loglogistik

Untuk mempermudah proses estimasi, maka pada langkah ini distribusi

Loglogistik akan ditransformasikan menjadi distribusi Logistik dengan

dan . merupakan Jacobian dari . Berdasarkan

(4.1) maka diperoleh transformasi sebagai berikut:




23

maka diperoleh bentuk fkp dari distribusi Logistik yaitu:

4.1.4 Fungsi Likelihood Data Lengkap dari Fkp Distribusi Logistik

Misalkan adalah waktu tahan hidup dari sampel berukuran

yang identik dan independen dari distribusi Loglogistik dengan parameter dan

, maka merupakan log natural dari waktu tahan hidup yang identik

dan independen berdistribusi Logistik dengan parameter dan . Berdasarkan

(2.10) dan fkp distribusi Logistik (4.2) maka fungsi likelihood dari distribusi

Logistik adalah

Dari fungsi likelihood (4.3), maka fungsi ln likelihoodnya adalah sebagai

berikut:




24

Pada langkah ini komponen fungsi ln likelihood pada data lengkap

dipartisi menjadi data yang teramati yaitu

dan

tidak teramati yaitu .

Untuk mengestimasi parameter dan dengan Maksimum Likelihood,

maka fungsi ln likelihood didiferensialkan secara parsial terhadap parameter dan

. Hasilnya dapat diuraikan sebagai berikut:




25

Langkah berikutnya untuk mendapatkan estimator dan adalah dengan

membuat kedua fungsi diferensial tersebut sama dengan nol. Hasilnya adalah

sebagai berikut:




26

4.1.5 Tahap Ekspektasi

Tahap Ekspektasi bertujuan untuk menemukan ekspektasi bersyarat dari

data tidak teramati ( ) dengan syarat data yang diketahui nilainya atau data

teramati ( ) pada persamaan (4.5) dan (4.6). Sebelum mencari ekspektasi




27

bersyarat dari persamaan (4.5) dan (4.6), maka terlebih dahulu mencari distribusi

bersyarat dari dengan syarat

diketahui. Distribusi bersyarat

dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut:

Untuk mendapatkan ekspektasi bersyarat dari persamaan (4.5) dan (4.6)

maka dapat digunakan distribusi bersyarat dari untuk

diketahui

yang didapatkan dari persamaan (4.7). Langkah-langkah untuk memperoleh

ekspektasi bersyarat sebagai berikut:




28

Lemma 4.1




29




30

(1) Ekspektasi bersyarat yang pertama

Misal:

maka:




31




32

Berdasarkan lemma 4.1 maka hasilnya sebagai berikut:




33

(2) Ekspektasi bersyarat yang kedua

Misal:




34

maka




35




36

Lemma 4.2




37

(3) Ekspektasi bersyarat yang ketiga




38

Misal:

maka:




39




40




41

Berdasarkan lemma 4.2 maka hasilnya sebagai berikut:

Setelah mendapatkan ekspektasi bersyarat dari data yang tidak teramati

( ) maka langkah selanjutnya yaitu mensubstitusi nilai ekspektasi bersyarat




42

yang diperoleh yaitu persamaan (4.8), (4.9), (4.10) ke dalam fungsi ln likelihood

yaitu persamaan (4.5) dan (4.6). Jadi didapatkan persamaan sebagai berikut:

dan

4.1.6 Tahap Maksimasi

Tahap Maksimasi yaitu menghitung nilai estimasi dari parameter dengan

memaksimalkan nilai ekspektasi dari fungsi ln likelihood yang didapatkan pada

tahap ekspektasi. Pada tahap ini akan dilakukan iterasi dengan nilai awal

hingga berulang kali sampai didapatkan nilai parameter yang




43

konvergen. Nilai awal didapatkan dari Metode Least Squares. Nilai

diperoleh berdasarkan persamaan berikut:

Sedangkan diperoleh berdasarkan persamaan berikut:

Nilai estimator dan tidak dapat diperoleh secara langsung. Untuk

mempermudah memperoleh nilai estimator dan maka dibuatlah program

dengan bantuan software Mathematica. Setelah mendapatkan nilai estimator dan

selanjutnya diubah menjadi estimator dari distribusi Loglogistik yaitu

dengan .




44

4.1.7 Nilai Awal Estimasi

Nilai awal estimasi yang diperlukan untuk mencari nilai estimator dan

diperoleh dari Metode Least Squares. Langkah pertama yang diperlukan adalah

mendapatkan fungsi survival dari distribusi Logistik dari persamaan (2.1).

Setelah mendapatkan fungsi survival maka nilai awal estimasi dapat

diperoleh dengan langkah-langkah sebagai berikut:




45

maka

Misal

maka didapatkan persamaan:

Selanjutnya dengan menggunakan Jumlah Kuadrat Galat (JKG) diperoleh:




46

Untuk mendapatkan nilai dan pada persamaan dan

diperlukan langkah-langkah sebagai berikut:

Selanjutnya, persamaan (4.18) dikurangi dengan persamaan (4.19) sehingga

diperoleh hasil sebagai berikut:

Berdasarkan model (4.15) jika dicari ekspektasi (rata2) dari kedua ruas maka

diperoleh




47

Sehingga didapatkan nilai yaitu

maka:

Nilai estimasi awal yang diperlukan untuk proses iteratif dalam mencari

nilai estimator dan yang dinotasikan dan adalah

Nilai diperoleh dari perhitungan dengan menggunakan metode Kaplan-

Meier.

4.2 Algoritma Program

Untuk memperoleh nilai estimator dari distribusi Loglogistik, maka

digunakan algoritma yang dibuat berdasarkan pembahasan teori-teori yang sudah




48

diperoleh sebelumnya. Berikut ini adalah algoritma yang digunakan untuk

membuat program dalam Mathematica :

1. Menginputkan data sebanyak yang dinotasikan dengan dan skema

penyensoran .

2. Menghitung nilai estimator awal distribusi Logistik berdasarkan OLS

menggunakan rumus pada persamaan (4.20) dan (4.21) sehingga diperoleh

dan untuk .

3. Mendefinisikan fungsi dari persamaan (4.11).

4. Mendefinisikan fungsi dari persamaan (4.12).

5. Mendapatkan estimator dengan cara menyelesaikan persamaan

menggunakan Newton-Raphson.

6. Mendapatkan estimator dengan cara menyelesaikan persamaan

menggunakan Newton-Raphson.

7. Jika dan maka iterasi dihentikan

dan lanjut ke langkah 8, tapi jika nilai tersebut tidak terpenuhi maka

kembali ke langkah 5 dengan mengganti .

8. Menampilkan nilai estimator distribusi Logistik yaitu dan .

9. Mengubah nilai estimator distribusi Logistik menjadi distribusi

Loglogistik dengan .

10. Menampilkan nilai estimator distribusi Loglogistik.




49

4.3 Penerapan Pada Data Tersensor Progressive Tipe II

Berdasarkan tujuan penyusunan skripsi ini, telah disusun program

menggunakan software Mathematica. Berikut ini akan dibahas mengenai

penerapan program pada data ilustrasi tersensor progressive Tipe II dengan

software Mathematica.

Misalkan berupa waktu yang diperlukan untuk menguraikan isolator zat

cair yang dilakukan pada voltase sebesar 34 KV (Kus dan Kaya, 2006). Data

berasal dari pengamatan yang dilakukan terhadap sampel. Pengamatan

terhadap sampel dimulai dari start point yaitu ketika zat cair dialiri listrik sebesar

34 KV. Sehingga zat cair dapat menghantarkan listrik ke zat lain. Pengamatan

berhenti pada waktu end point yaitu zat cair tidak dapat menghantarkan listrik

lagi. Hal ini disebabkan partikel-partikel yang dapat menghantar listrik pada zat

cair tersebut telah habis (berubah bentuk). Jadi data yang diperolehkan dari hasil

pengamatan berupa ketahanan zat cair dalam menghantarkan listrik ke zat lain.

Karena pada pengamatan semua benda diuji sampai terjadinya kegagalan maka

pengamatan tersebut disebut sampel lengkap. Data selengkapnya dapat dilihat

pada Lampiran 1.

Selanjutnya data tersebut diuji dengan menggunakan Probability Plot of

data pada software Minitab. Hal ini bertujuan untuk mengetahui distribusi dari ke-

19 data tersebut. Hasil dari uji dengan Probability Plot of data yaitu sebagai

berikut




50

data

Pe

rce

nt

1000,00100,0010,001,000,100,01

99

95

90

80

70605040

30

20

10

5

1

Loc

>0,250

1,833

Scale 0,8522

N 19

AD 0,275

P-Value

Data Waktu Terurainya Isolator Zat Cair pada Tegangan 34 KVLoglogistic - 95% CI

Gambar 4.1 Plot data waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV

Berdasarkan Gambar 4.1, dapat diketahui bahwa nilai p-value dari uji

tersebut lebih besar dari 0,250. Oleh karena nilai p-value tersebut lebih besar dari

tingkat signifikansi 0,05 maka dapat disimpulkan bahwa data tersebut

berdistribusi Loglogistik.

Pada data ilustrasi akan diadakan penyensoran data menggunakan sampel

tersensor progressive tipe II dengan skema penyensoran

berdasarkan Kus dan Kaya (2006). Dari skema penyensoran yang telah digunakan

maka dapat dijelaskan bahwa

1. Pada saat terjadi kegagalan yang pertama maka sebanyak

dari unit yang survive secara acak dikeluarkan dari pengamatan, begitu

juga pada saat kegagalan yang kedua dengan .

2. Pada saat terjadi kegagalan yang ketiga maka sebanyak

dari unit yang survive secara acak dikeluarkan dari pengamatan.

Penelitian ini berlangsung hingga terjadinya kegagalan yang terakhir




51

yaitu pada kegagalan yang kedelapan maka sebanyak

dari unit yang survive secara acak dikeluarkan dari pengamatan.

Sehingga diperoleh data dari penyensoran sebanyak data. Data

selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 2.

Selanjutnya data tersensor progressive tipe II diuji dengan menggunakan

Probability Plot of data pada software Minitab. Hal ini bertujuan untuk

mengetahui distribusi dari data tersensor progressive tipe II tersebut. Hasil dari uji

dengan Probability Plot of data dengan data yaitu sebagai berikut

Data Tersensor

Pe

rce

nt

1000,00100,0010,001,000,100,01

99

95

90

80

70605040

30

20

10

5

1

Loc

>0,250

0,6698

Scale 0,6969

N 8

AD 0,278

P-Value

Data Waktu Terurainya Isolator Zat Cair pada Tegangan 34 KVLoglogistic - 95% CI

Gambar 4.2 Plot data waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV tersensor progressive tipe II

Berdasarkan Gambar 4.2, dapat diketahui bahwa nilai p-value dari uji

tersebut lebih besar dari 0,250. Oleh karena nilai p-value tersebut lebih besar dari

tingkat signifikansi 0,05 maka dapat disimpulkan bahwa data tersebut

berdistribusi Loglogistik.

Untuk estimasi, dalam skripsi ini dilakukan transformasi .

Berdasarkan teori Y berdistribusi Logistik, sehingga analisis estimasi dilakukan




52

berdasarkan data yang berdistribusi Logistik. Misalkan berupa log natural

waktu yang diperlukan untuk menguraikan isolator zat cair yang dilakukan pada

voltase sebesar 34 KV (Kus dan Kaya, 2006). Data selengkapnya dapat dilihat

pada Lampiran 2. Berikut ini akan diuraikan langkah-langkah untuk penerapan

estimasi parameter distribusi Loglogistik.

Langkah pertama yaitu melakukan pengujian terhadap data tersebut dengan

menggunakan Probability Plot of data pada software Minitab. Hal ini bertujuan

untuk mengetahui distribusi dari data log natural waktu terurainya isolator zat cair

pada tegangan 34 KV, sehingga dapat dilakukan analisa lebih lanjut sesuai dengan

distribusi probabilitasnya dengan mengambil hipotesis sebagai berikut:

H0 : Data log natural waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV

berdistribusi Logistik.

H1 : Data log natural waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV

tidak berdistribusi Logistik.

Gambar 4.3 Plot data log natural waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV tersensor progressive tipe II

data

Pe

rce

nt

5.02.50.0-2.5-5.0

99

95

90

80

70605040

30

20

10

5

1

Loc

>0.250

0.6698

Scale 0.6969

N 8

AD 0.278

P-Value

Data Waktu Terurainya Isolator Zat Cair pada tegangan 34kVLogistic - 95% CI




53

Pada Gambar 4.3, dapat diketahui bahwa nilai p-value dari uji tersebut lebih

besar dari 0,250. Oleh karena nilai p-value tersebut lebih besar dari tingkat

signifikansi 0,05 maka keputusannya adalah terima H0 atau dapat disimpulkan

bahwa data log natural waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV

berdistribusi Logistik.

Langkah selanjutnya mencari estimator distribusi Logistik yaitu dan .

Setelah itu mendapatkan estimator distribusi Loglogistik dengan

. Berdasarkan hasil pada Lampiran 2 diperoleh hasil

estimator parameter distribusi Logistik sebesar dan .

Sedangkan estimator parameter distribusi Loglogistik diperoleh hasil sebesar

dan .

Setelah diperoleh nilai estimator dari disribusi Loglogistik maka salah satu

kegunaan aplikasinya adalah dapat menentukan estimasi dari fungsi survival

distribusi Loglogistik dengan rumus sebagai berikut:




54

maka diperoleh estimasi fungsi survival yaitu

Sebagai contoh, misalkan diberikan maka diperoleh estimator dari fungsi

survival sebesar . Angka tersebut menyatakan bahwa probabilitas

mengurainya isolator zat cair yang dilakukan pada voltase sebesar 34 KV lebih

dari 5 satuan waktu adalah sebesar 57,3%. Grafik dan tabel dari estimasi fungsi

survival sebagai berikut

Gambar 4.4 Grafik estimasi fungsi survival

20 40 60 80 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t




55

No.

1 0,19 0,981

2 0,78 0,913

3 0,96 0,893

4 1,31 0,856

5 2,78 0,720

6 4,85 0,581

7 6,50 0,501

8 7,35 0,467

Gambar 4.5 Tabel estimasi fungsi survival




56

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil dan pembahasan, maka dapat diambil kesimpulan sebagai

berikut :

1. Estimator parameter distribusi Loglogistik pada data tersensor progressive

tipe II dengan menggunakan algoritma EM dilakukan melalui iterasi

terhadap dua tahap berikut :

a. Tahap Ekspektasi

(1)

(2)

(3)




57

b. Tahap Maksimasi yaitu memaksimalkan nilai ekspektasi dari fungsi ln

likelihood yang didapatkan pada tahap ekspektasi. Pada tahap ini akan

dilakukan iterasi Newton-Raphson untuk menyelesaikan persamaan-

persamaan berikut:

dan




58

2. Program yang dibuat dalam software Matematica menggunakan metode

Newton-Raphson. Dalam program terdapat tiga kali iterasi Newton-Raphson

untuk mendapatkan nilai estimator.

3. Pada penerapan data log natural waktu terurainya isolator zat cair pada

tegangan 34kV (Kus dan Kaya, 2006) diperoleh hasil estimasi parameter

skala dan parameter bentuk distribusi Loglogistik pada data tersensor

progressive tipe II masing-masing sebesar 6,526 dan 1,108.

5.2 Saran

Pembahasan untuk menentukan estimasi parameter distribusi Loglogistik

pada data tersensor progressive tipe II dengan menggunakan Algoritma EM dapat

dikembangkan lebih lanjut dengan menggunakan jenis distribusi yang lain, seperti

distribusi Weibull, distribusi Pareto dan lain sebagainya.




59

DAFTAR PUSTAKA

1. Ardana, K. N. K., 2003, Panduan Penggunaan Mathematica, Edisi Pertama,

Matematika, IPB, Bogor.

2. Bain,L.J. and Engelhardt, M., 1992, Introduction to Probability and Mathematical Statistics, Second Edition, Duxbury Press, Belmont-California.

3. Collet, D., 1994, Modelling Survival Data in Medical Research, First Edition,

Chapmann dan Hall, University of Reading, UK.

4. Faires, J. D., and Burden, R., 2003, Numerical Methods, Third Edition, Thomson Learning Academic Resource Center, USA.

5. Graybill, F. A., Mood, A. M., and Boes, D. C., 1963, Introduction to The

Theory of Statistics, Third Edition, McGraw-Hill, Inc, Japan. 6. Hogg, R. V. and Craig, A. T., 1995, Introduction to Mathematical Statistics,

Fifth Edition, Prentice Hall, Inc, New Jersey.

7. Irawan, N. dan Astuti, S. P., 2006, Mengolah Data Statistik dengan Mudah Menggunakan MINITAB 14, Penerbit Andi, Yogyakarta.

8. Kus, C. and Kaya, M. F., 2006, Estimation of Parameters of The Loglogistic

Distribution Based on Progressive Censoring Using The EM Algorithm, Vol. 35, No. 2, Hacettep Journal of Mathematics and Statistics, P.203-211.

9. Lawless, J.F., 1982, Statistical Models and Methodes for Life Time Data, John

Wiley & Sons, New York. 10. Walpole, R.E. dan Myers, R.H., 1995, Ilmu Peluang dan Statistika untuk

Insinyur dan Ilmuwan, Edisi Keempat, ITB, Bandung.

11. Wu, S. J., 2002, Estimation of The Parameters of The Weibull Distribution With Progressively Cencored Data, Vol. 32, No. 2, Jurnal Japan Statistics, P.155-163.




Lampiran 1 : Data Sampel Lengkap Waktu Terurainya Isolator Zat Cair

Pada Tegangan 34 KV

1 0,19 2 0,78 3 0,96 4 1,31 5 2,78 6 3,16 7 4,15 8 4,67 9 4,85 10 6,50 11 7,35 12 8,01 13 8,27 14 12,06 15 31,75 16 32,52 17 33,91 18 36,71 19 72,89

Sumber : Kus, C. and Kaya, M. F., 2006, Estimation of Parameters of The

Loglogistic Distribution Based on Progressive Censoring Using The

EM Algorithm, Vol. 35, No. 2, Hacettep Journal of Mathematics and

Statistics, P.203-211.

Keterangan:

: Waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV ke - i.




Lampiran 2 : Data Sampel Tersensor Progressive Tipe II Waktu Terurainya

Isolator Zat Cair Pada Tegangan 34 KV

j

1 0 0,19 -1,6608

2 0 0,78 -0,2485

3 3 0,96 -0,0409

4 0 1,31 0,2700

5 3 2,78 1,0224

6 0 4,85 1,5789

7 0 6,50 1,8718

8 5 7,35 1,9947

Sumber : Kus, C. and Kaya, M. F., 2006, Estimation of Parameters of The

Loglogistic Distribution Based on Progressive Censoring Using The

EM Algorithm, Vol. 35, No. 2, Hacettep Journal of Mathematics and

Statistics, P.203-211.

Keterangan:

: Waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV ke-j pada

kegagalan yang diamati dari buah sampel.

: Log natural dari waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34kV

ke-j pada kegagalan yang diamati dari buah sampel.

: Skema penyensoran atau banyaknya sampel yang dikeluarkan secara

acak dari pengamatan ketika terjadinya kegagalan ke-j




Lampiran 3 : Program Untuk Menentukan Estimasi Parameter Distribusi

Loglogistik Pada Data Tersensor Progressive Tipe II

1. Input Data

yi={-1.6608,-0.2485,0.0409,0.2700,1.0224,1.5789,

1.8718,1.9947};

m=Length[yi];n=19;

R={0,0,3,0,3,0,0,5};

a={19,18,17,16,15,14,13,12};

b={1,1,1,1,1,1,1,1}

2. Program Untuk Mendapatkan Nilai Estimator Awal

Sur Table

i 1

m a i b i

a i, m, 1, m N;

y Log1 Sur

SurN;

y Mean y ;

x Mean yi ;

lama m

j 1

m

yi j2

j 1

m

yi j

2

m

j 1

m

yi j Log1 Sur j

Sur j

j 1

m

yi j

j 1

m

Log1 Sur j

Sur j;

lama x y lama;




3. Program Untuk Menentukan Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik

Pada Data Tersensor Progressive Tipe II

f baru_ :n

2i 1

m yi i baru

lamat

1yi i baru

lamat

i 1

m

R i1

2

lamat

lamat 2yi i

lamat

lamat

lamat

yi i

lamat

g baru_ : n baru n baru

i 1

m

yi i

i 1

m

R i

lamat 1

yi i baru

lamat Log 1

yi i baru

lamatbaru

lamat

yi i

yi i baru

lamat

2

i 1

m

yi i baruyi i baru

baru

1yi i baru

baru

i 1

m

R i 1

yi i baru

lamat

baruyi i baru

1yi i baru

lamat

2

2 yi i 2 baru lamat

1yi i baru

lamat

yi i lamat Log 1

yi i baru

lamat




Print "Nilai estimator awal : ", lama, " dan : ", lama ;

Print " " ;

error1 1; p 0; error2 1; q 0; error3 1; k 0; error4 1;

h 0;

While error1 0.00000001&& error2 0.00000001,

lamat lama; lamat lama;

error3 1;

While error3 0.00000001,

baru lamaf lama

f' lama;

error3 Abs baru lama ; k k 1;

Print " iterasi ", k, " ", baru N ;

lama baru; ;

error4 1;

While error4 0.00000001,

baru lamag lama

g' lama;

error4 Abs baru lama ; h h 1;

Print " iterasi ", h, " ", baru N ;

lama baru; ;

error1 Abs baru lamat ; error2 Abs baru lamat ;

p p 1; q q 1;

Print "Nilai pada iterasi ke ", p, " : ",

baru N , " : ", baru N ;

Print " " ;

lamat baru;

lamat baru;

lama baru;

lama baru;

Print " " ;

Print " Nilai Estimator Distribusi Logistik " ;

Print " : ", baru, " dan : ", baru ;

Print " " ;

Print " Nilai Estimator Distribusi Loglogistik " ;

Print " : ",baru

, " dan : ",1

baru;

Print " " ;




4. Output

------------------------------------------------

Nilai estimator awal : 2.56095 dan : 1.46915

iterasi 1 2.01683

iterasi 2 2.05299

iterasi 3 2.05313

iterasi 4 2.05313

iterasi 1 1.16095

iterasi 2 1.16442

iterasi 3 1.16442

iterasi 4 1.16442

Nilai pada iterasi ke 1 : 2.05313 : 1.16442

iterasi 5 2.04563

iterasi 6 2.04564

iterasi 7 2.04564

iterasi 5 1.03411

iterasi 6 1.0346

iterasi 7 1.0346


iterasi 8 1.88664

iterasi 9 1.89047

iterasi 10 1.89048

iterasi 11 1.89048

iterasi 8 0.958499

iterasi 9 0.958643

iterasi 10 0.958643


iterasi 12 1.92774

iterasi 13 1.92796

iterasi 14 1.92796

iterasi 11 0.932406

iterasi 12 0.932418

iterasi 13 0.932418





iterasi 15 1.86534

iterasi 16 1.86596

iterasi 17 1.86596

iterasi 18 1.86596

iterasi 14 0.913558

iterasi 15 0.913564

iterasi 16 0.913564


iterasi 19 1.89632

iterasi 20 1.89647

iterasi 21 1.89647

iterasi 17 0.909784

iterasi 18 0.909784

iterasi 19 0.909784


iterasi 22 1.8662

iterasi 23 1.86635

iterasi 24 1.86635

iterasi 20 0.90438

iterasi 21 0.904381

iterasi 22 0.904381


iterasi 25 1.8856

iterasi 26 1.88565

iterasi 27 1.88565

iterasi 23 0.904633

iterasi 24 0.904633


iterasi 28 1.86955

iterasi 29 1.86959

iterasi 30 1.86959

iterasi 25 0.902688

iterasi 26 0.902688

iterasi 27 0.902688





iterasi 31 1.88095

iterasi 32 1.88097

iterasi 33 1.88097

iterasi 28 0.90334

iterasi 29 0.90334


iterasi 34 1.87206

iterasi 35 1.87208

iterasi 36 1.87208

iterasi 30 0.902473

iterasi 31 0.902473

iterasi 32 0.902473


iterasi 37 1.87862

iterasi 38 1.87862

iterasi 39 1.87862

iterasi 33 0.902951

iterasi 34 0.902951


iterasi 40 1.87362

iterasi 41 1.87362

iterasi 42 1.87362

iterasi 35 0.90251

iterasi 36 0.90251


iterasi 43 1.87735

iterasi 44 1.87735

iterasi 45 1.87735

iterasi 37 0.902804

iterasi 38 0.902804





iterasi 46 1.87453

iterasi 47 1.87453

iterasi 48 1.87453

iterasi 39 0.902565

iterasi 40 0.902565


iterasi 49 1.87665

iterasi 50 1.87665

iterasi 51 1.87665

iterasi 41 0.902736

iterasi 42 0.902736


iterasi 52 1.87505

iterasi 53 1.87505

iterasi 54 1.87505

iterasi 43 0.902603

iterasi 44 0.902603


iterasi 55 1.87625

iterasi 56 1.87625

iterasi 57 1.87625

iterasi 45 0.902702

iterasi 46 0.902702


iterasi 58 1.87534

iterasi 59 1.87534

iterasi 60 1.87534

iterasi 47 0.902626

iterasi 48 0.902626


iterasi 61 1.87603

iterasi 62 1.87603

iterasi 63 1.87603




iterasi 49 0.902683

iterasi 50 0.902683


iterasi 64 1.87551

iterasi 65 1.87551

iterasi 66 1.87551

iterasi 51 0.90264

iterasi 52 0.90264


iterasi 67 1.8759

iterasi 68 1.8759

iterasi 69 1.8759

iterasi 53 0.902672

iterasi 54 0.902672


iterasi 70 1.87561

iterasi 71 1.87561

iterasi 72 1.87561

iterasi 55 0.902648

iterasi 56 0.902648


iterasi 73 1.87583

iterasi 74 1.87583

iterasi 57 0.902666

iterasi 58 0.902666


iterasi 75 1.87566

iterasi 76 1.87566

iterasi 59 0.902652

iterasi 60 0.902652


iterasi 77 1.87579




iterasi 78 1.87579

iterasi 61 0.902663

iterasi 62 0.902663


iterasi 79 1.87569

iterasi 80 1.87569

iterasi 63 0.902655

iterasi 64 0.902655


iterasi 81 1.87576

iterasi 82 1.87576

iterasi 65 0.902661

iterasi 66 0.902661


iterasi 83 1.87571

iterasi 84 1.87571

iterasi 67 0.902656

iterasi 68 0.902656


iterasi 85 1.87575

iterasi 86 1.87575

iterasi 69 0.90266

iterasi 70 0.90266


iterasi 87 1.87572

iterasi 88 1.87572

iterasi 71 0.902657

iterasi 72 0.902657


iterasi 89 1.87574

iterasi 90 1.87574

iterasi 73 0.902659




iterasi 74 0.902659


iterasi 91 1.87573

iterasi 92 1.87573

iterasi 75 0.902658

iterasi 76 0.902658


iterasi 93 1.87574

iterasi 94 1.87574

iterasi 77 0.902659

iterasi 78 0.902659


iterasi 95 1.87573

iterasi 96 1.87573

iterasi 79 0.902658

iterasi 80 0.902658


iterasi 97 1.87574

iterasi 98 1.87574

iterasi 81 0.902658

iterasi 82 0.902658


iterasi 99 1.87573

iterasi 100 1.87573

iterasi 83 0.902658

iterasi 84 0.902658


iterasi 101 1.87574

iterasi 102 1.87574

iterasi 85 0.902658

iterasi 86 0.902658





iterasi 103 1.87573

iterasi 104 1.87573

iterasi 87 0.902658

iterasi 88 0.902658


iterasi 105 1.87573

iterasi 106 1.87573

iterasi 89 0.902658

iterasi 90 0.902658


iterasi 107 1.87573

iterasi 108 1.87573

iterasi 91 0.902658

iterasi 92 0.902658


iterasi 109 1.87573

iterasi 110 1.87573

iterasi 93 0.902658

iterasi 94 0.902658


iterasi 111 1.87573

iterasi 112 1.87573

iterasi 95 0.902658

iterasi 96 0.902658


iterasi 113 1.87573

iterasi 114 1.87573

iterasi 97 0.902658

iterasi 98 0.902658


iterasi 115 1.87573

iterasi 116 1.87573




iterasi 99 0.902658

iterasi 100 0.902658


iterasi 117 1.87573

iterasi 118 1.87573

iterasi 101 0.902658

iterasi 102 0.902658


iterasi 119 1.87573

iterasi 120 1.87573

iterasi 103 0.902658

iterasi 104 0.902658


iterasi 121 1.87573

iterasi 122 1.87573

iterasi 105 0.902658

iterasi 106 0.902658


iterasi 123 1.87573

iterasi 124 1.87573

iterasi 107 0.902658

iterasi 108 0.902658


iterasi 125 1.87573

iterasi 126 1.87573

iterasi 109 0.902658

iterasi 110 0.902658


iterasi 127 1.87573

iterasi 128 1.87573

iterasi 111 0.902658





----------------------------------------

Nilai Estimator Distribusi Logistik

----------------------------------------

Nilai Estimator Distribusi Loglogistik

-----------------------------------------

: 1.87573 dan : 0.902658

: 6.52561 dan : 1.10784




Documents

ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI LOGLOGISTIK PADA …repository.unair.ac.id/25710/1/ROMADHONI, A R.pdf · dua tahap yaitu tahap E dan M. Pada tahap E dilakukan perhitungan ekspektasi