Extremereignisse im Klimasystem...Das Klimasystem ist ein hoch-dimensionales, nicht-lineares System Die betrachteten Großen werden als Zufallsvariablen beschrieben¨ Deﬁnition Zufallsvariable

Extremereignisse im Klimasystem

Bonn, April 2009

Dr. Christian Scholzel

Meteorologisches Institut der Universitat Bonn

Christian Schölzel Meteorological Institute ▪ University of Bonn

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1 EinleitungMotivation/FragestellungenJahrhundertereignisseBegriff Extremereignis

2 Uberblick KlimaextremeIPCC AR4Stand der Forschung

3 Statistik extremer EreignisseDefinition ExtremereignisAd-hoc AnsatzeExtremwertstatistik (EVT)

4 ForschungsthemenStatistische AnalyseProzessverstandis

5 AbschlussZusammenfassungReferenzen


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Motivation/FragestellungenEinleitung

Place a picture of your favorite natural disaster here



Frage

”Wird das Klima/Wetter immer extremer?“

Uberlegungen

Extreme als Ausreißer bzw. starke Abweichung vom Erwartungswert

Extreme als Ausbleiben solcher Ereignisse

Vielzahl meteorologischer Parameter

Globale/regionale Klimaanderungen

. . .

AntwortFrage prazisieren . . .



Ereignissklassen

Anderung “extremer Ereignisse” im Klimasystem nach Easterling et al., 2000: Climate extremes: observations,modeling, and impacts, Science, 289



Raumliche Verteilung

Raumliche Verteilung “extremer Ereignisse” nach Easterling et al., 2000: Observed variability and trends in extremeclimate events: A brief review. BAMS 81



Extremales Verhalten

Raumliche Verteilung “extremer Ereignisse” nach Easterling et al., 2000: Observed variability and trends in extremeclimate events: A brief review. BAMS 81



Einfacher Grundgedanke

Globale Klimaanderungen (naturlich und insbesondere anthropogen)=⇒ mehr Energie im System

Hohere Wahrscheinlichkeit extreme Zustande auszubilden=⇒ Beobachtungen/Simulationen (siehe oben/unten)=⇒ Achtung: Nicht-Linearitaten

WahrnehmungWarum ist das mit bloßem Auge nicht be-/widerlegbar?

Zeitlich inhomogene Rahmenbedingungen

Gedachtnis/Zeitgefuhl Extreme Wetter- und Witterungsereignisse im 20. Jahrhundert (DWD)

Begriff Jahrhundertereignis. . .


JahrhundertereignisseEinleitung

Gedankenspiel JahrhundertereignisFur was lassen sich Ereignisse beobachten?

Regionen: Naturraume, Lander, Kontinente, Stadte, . . .

Großen: Hochst-, Tiefsttemperatur, Sturm, Starkniederschlag, Durre,Sonnenstunden, Schneehohen, Frosttage, Turbulenz,Schwule, . . .

Zeitraume: Jahre, Jahreszeiten, Monate, . . .

Aus der Zahl der Kombinationen (wenn auch nicht unabhangig) sind bereitsmehrere Jahrhundertereignisse pro Jahr wahrscheinlich.

ReprasentativitatDirektes Ablesen des Schwellenwertes aus 100-200 Jahren? . . .


JahrhundertereignisseEinleitung

(Simulation: Block-Maxima, Standard-GEV, 100a-Return-level,. . . siehe unten)


Begriff ExtremereignisEinleitung

Munsterlander SchneechaosStromausfall durch Schneefalle EndeNovember 2005

Relativ nasser, haftender Schnee

Eisbildung > Leitungsdurchmesser

Windboen =⇒ Schwingungen

Aspekte

Tatsachlicher Ereignisraum

Vulnerabilitat/Versicherungsschaden

”An extreme weather event becomes a disaster when society and/orecosystems are unable to cope with it effectively.“ (IPCC-AR4)


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IPCC AR4Uberblick Klimaextreme

Extreme im IPCC AR4

”There is increasing concern that extreme events may be changing infrequency and intensity as a result of human influences on climate. Climatechange may be perceived most through the impacts of extremes, althoughthese are to a large degree dependent on the system under consideration,including its vulnerability, resiliency and capacity for adaptation andmitigation“ (IPCC AR4)



Temperaturanomalien

Figure: Annual probability distribution functions for temperature indices for 202 global stations withat least 80% complete data between 1901 and 2003 for three time periods: 1901 to 1950 (black),1951 to 1978 (blue) and 1979 to 2003 (red). The x-axis represents the percentage of time duringthe year when the indicators were below the 10th percentile for cold nights (left) or above the 90thpercentile for warm nights (right). From Alexander et al. (2006).



Trend starker Niederschlage

Figure: (Top) Observed trends (% per decade) for 1951 to 2003 in the contribution to total annualprecipitation from very wet days (95th percentile). Trends were only calculated for grid boxes whereboth the total and the 95th percentile had at least 40 years of data during this period and had datauntil at least 1999.



ACE-Index

Figure: Seasonal values of the ACE index for the North Indian, South Indian, West North Pacific, East North Pacific, North Atlantic andcombined Australian-South Pacific regions. The vertical scale in the West North Pacific is twice as large as that of other basins. The SHvalues are those for the season from July the year before to June of the year plotted. The timeline runs from 1948 or 1970 through 2005 inthe NH and through June 2006 in the SH. The ACE index accounts for the combined strength and duration of tropical storms andhurricanes during a given season by computing the sum of squares of the six-hour maximum sustained surface winds in knots while thestorm is above tropical storm intensity. Adapted and updated from Levinson (2005).



Sturm-Index, Britische Inseln

Figure: Storm index for the British Isles, North Sea and Norwegian Sea, 1881 to 2004. Blue circlesare 95th percentiles and red crosses 99th percentiles of standardised geostrophic winds averagedover 10 sets of triangles of stations. The smoothed curves are a decadal filter (updated fromAlexandersson et al., 2000).


Stand der ForschungUberblick Klimaextreme

Stand der Forschung

Bedeutung der Zufallskomponente offensichtlich

Deutlich komplexer als im AR4 festgehalten

Extremwertstatistik

Beschreibung/Verstandnis extremer Ereignisse

Prognosen/Projektionen


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Definition ExtremereignisStatistik extremer Ereignisse

Stochastisches Verhalten

Das Klimasystem ist ein hoch-dimensionales, nicht-lineares System

Die betrachteten Großen werden als Zufallsvariablen beschrieben

Definition ZufallsvariableSei der Stichprobenraum (Wertebereich) [a, b] ∈ R. Dann ist

X = {(x , FX (x)) : x ∈ [a, b]}

eine kontinuierliche Zufallsvariable (univariat, reell-wertig)

Verteilungsfunktion (CDF)Eine Funktion FX : [a, b] → [0, 1] heißt Verteilungsfunktion mit

FX (x) = P (X ≤ x)


Definition ExtremereignisStatistik extremer Ereignisse

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF)Sei FX differenzierbar, so lautet dieWahrscheinlichkeitsdichtefunktion von X

fX (x) = F ′X (x)

Klassische Verteilungen (CDF/PDF)

Gauß-/Normalverteilung

Gammaverteilung

. . .


Ad-hoc AnsatzeStatistik extremer Ereignisse

Extreme EreignisseEreignisse, die selten auftreten und damit in den Auslaufern derWahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Zufallsvariable liegen.

Naiver Ansatz

ProblemIm Allgemeinen reprasentieren die oben genannten Verteilung dieExtremwerte, also solche, die in den Auslaufern der Verteilungsfunktionenliegen, relativ schlecht!


Extremwertstatistik (EVT)Statistik extremer Ereignisse

ExtremwertstatistikZwei Ansatze zur statistische Beschreibung extremer Ereignisse (EVT,extreme value theory):

Block-maxima

Extremes Ereignis als das Maximum einer Stichprobe mit einerbestimmten Lange

Beschrieben durch die Generalisierte Extremwertverteilung (GEV,generalized extrem value distribution)

Peaks-over-threshold

Extremes Ereignis als Uberschreiten eines gewissen Schwellenwert(threshold)

Beschrieben durch die Generalisierten Paretoverteilung (GPD,generalized Pareto distribution).



Fisher-Tippett-Theorem (1928)Es existieren nur drei Klassen von Grenzverteilungen fur Extreme in großenZufallsstichproben. . .

1 Gumbel-Klasse

2 Frechet-Klasse

3 Weibull-Klasse

. . . wurden spater zur GEV zusammengefasst

Generalisierte Extremwertverteilung (GEV)Maximum einer Stichprobe, ZVA X mit Werten x ∈ R

FX (x) = exp(−(1 + ξx − µ

β)1/ξ), bzw. FX (x)

(ξ→0)−→ exp(−exp(−x − µ

β))

µ: Ortsparameter (location)

β: Skalenparameter (scale)

ξ: Formparameter (shape) o.g. Klassen



Gumbel-Klasse (ξ = 0)

Unbeschrankt, durchschnittliches Verhaltender Auslaufer (light-tailed)

Normalverteilung, Gammaverteilung, . . .

Frechet-Klasse (ξ > 0)

Beliebig große Werte haben endliche, nichtverschwindend kleine Wahrscheinlichkeiten(heavy-tailed)

Unwetterschaden, Einkommen,. . .

Weibull-Klasse (ξ < 0)

Sehr enge Auslaufer, Verteilungsfunktion mitendlichen Endpunkt (bounded)

Insbesondere fur Großen mit (naturlicher)Begrenzung

gev(..., shape=0.0)

PD

F

−2 0 2 4 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

gev(..., shape=0.6)

PD

F

−2 0 2 4 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

gev(..., shape=−0.3)

PD

F

−2 0 2 4 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4



Generalisierten Paretoverteilung (GPD)Analog zur GEV, aber fur Peaks-over-threshold(POT). . .

FX (x) = 1−“

1 + ξx − u

σ

”− 1ξ

. . .(ξ→0)−→ 1−e−

x−uσ

u: Schwellenwert (threshold/location)

σ: Skalenparameter (scale)

ξ: Formparameter (shape)

GPD-KlassenEnts Gleichung...

1 Exponential-Verteilung (entspr. Gumbel) . . .

2 Pareto-Auslaufer (entspr. Frechet) . . .

3 Beta (entspr. Weibull) . . .

dgpd(..., shape=0.0)

PD

F

1 2 3 4 5

0.0

0.1

0.2

0.3

dgpd(..., shape=0.6)

PD

F

1 2 3 4 5

0.0

0.1

0.2

0.3

dgpd(..., shape=−0.3)

PD

F

1 2 3 4 5

0.0

0.1

0.2

0.3



Pro

babi

lity

dens

ity

Return level x(p)

p1-p

Typische Darstellung

Wiederkewert (return level)

Wiederkehrzeit (return period)

Return level/Return periodSei die Wiederkehrzeit T = 1/p Jahre, dann ist das Wiederkehrwert x(p) derSchwellenwert mit Uberschreitungswahrscheinlichkeit p, zum Beispielp = 0.01 =⇒ T = 100 Jahre ( Jahrhundertereignis)

InterpretationenWiederkehrwert und Wiederkehrzeit von T Jahren:

Wartezeit: Durchschnittliche Wartezeit bis zum nachsten Ereignis ist T

Anzahl: Durchschnittliche Anzahl der Ereignisse in T Jahren ist 1


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State-of-the-artForschungsthemen

Statistische Analyse

Analyse von Beobachtungsreihen, GCM/RCM-Simulationen,. . .

Erkennen der geeigneten, ggf. charakteristischen Verteilungsklassenmeteorologischer Großen

Nicht-stationares Verhalten der Parameter der Extremwertverteilungen

Prognose/Projektion

Raumliche Strukturen/multivariate Extreme

. . .

Prozessverstandnis

Simulation/Physikalische Modellierung

Weather Generators

Ableiten bestimmter Verteilungsklassen

. . .

Beispiele aus Forschungsarbeiten. . .


Statistische AnalyseForschungsthemen

Auszug aus. . .. . . “Spatial modeling of peak wind speed. . . ” (P. Friederichs, C. Scholzel):

6 8 10 12 14

48

50

52

54

Longitude

Latit

ude

6 8 10 12 14

48

50

52

54

0

2

4

6

8

10

12LOC

6 8 10 12 14

48

50

52

54

Longitude

Latit

ude

6 8 10 12 14

48

50

52

54

0

1

2

3

4

5SCALE

6 8 10 12 14

48

50

52

54

Longitude

Latit

ude

6 8 10 12 14

48

50

52

54

−0.2

−0.1

0.0

0.1

0.2SHAPE

Figure: The GEV distribution with location and scale conditioned on the ECMWF wind velocity. Thefigures below show the spatial distribution of the location, scale and shape parameter.

AimSpatial statistical model for peak wind speed observations that provides anarea-wide analysis of the occurrence probability of extreme peak wind speed



Auszug aus. . .. . . “Modeling the full range of rainfall events” (M. Vrac, P. Naveau,C. Scholzel):

The problem at hand

Classical distributions (Gamma, Weibull,. . . )not satisfying for extremes

EVT not adequate low and mediumprecipitation

Questions

How to model the full spectrum of events intoone statistical model?

How to go beyond the univariate site-per-sitemodeling and to take into account the spatialpairwise dependence among sites?



Classical DistributionsWide range of distribution families

Gamma distribution for most of theprecipitation variability

Tail of these distributions often too light

ExampleDaily precipitation patterns for Sparta, USA

Small and medium precipitation well fittedby the Gamma density

Heavy rainfalls mostly under-estimated(top) and sometimes over-estimated(bottom).



0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0MixtureWeibullGPD

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.01e-08

1e-06

0.0001

0.01

1.0

MixtureWeibullGPD

Univariate Nonhomogeneous Mixture ModelGPD and Gamma (Weibull after Frigessi et al. (2002))

fmix(r) =1Z

“`1− wµ,τ (r)| {z }Gamma weight

´· fΓ(α,β)(r)| {z }

Gamma pdf

+ wµ,τ (r)| {z }GPD weight

· fG(σ,ξ)(r , u = 0)| {z }GPD

”



Precipitation [cm]

Wei

ght f

unct

ion

[1]

0 1 2 3 4 5 6

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

GAMMA GPD

Weight FunctionDynamic mixture model for unsupervised tail estimation without thresholdselection (Frigessi et al., 2002)

wm,τ (r) =12

+1π

arctan“ r − µ

τ

”




ProzessverstandisForschungsthemen

Auszug aus. . .. . . “On the Derivation of Fundamental Probability Distributions for ExtremePrecipitation” (C. Scholzel, P. Naveau, M. Vrac):

Precipitation TotalsState of the art in estimating thedistribution

Empirical selection of the kind ofdistribution

Analogously for extreme events

No physical understanding of thestatistics of heavy precipitation

QuestionHow to introduce physics into extremevalue theory?

3

6

9km

C WBA

W

CB

A

dry Cu

AsNs



First ApproachWilson and Tuomi (2005), A Fundamental Probability Distribution for HeavyRainfall : Two layer with low level convergence (Stevens and Lindzen, 1978)

R ≈ κ

Z zm

z0

~∇H(qρ~v)dz = κ

Z zm

z0

∂qρw∂z

dz = κ(qρw)zm

R precipitation rateq specific humidityρ density

~v , w wind velocityzm hight of the moist layerκ precipitation efficiency

zm

z0

IndependenceAssumption of independence w.r.t. temporal averaging

R ≈ κ (q)zm (ρw)zm



Distributional assumption

1 The random variables κ, q, and ρw are independent

2 These random variables are light-tailed

Central limit theorem

3 R can be expressed as product of three Gaussian random variables

Derived probability distributionafter Frisch & Sornette (1997) normalising the variables leads to

P(R > r) = exp

−„

rR0

«c!

with scale parameter R0 and shape parameter c = 2/3 (stretchedexponential, c < 1)


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ZusammenfassungAbschluss

Klimasystem

Vielseitigkeit des Begriffs Klimaextrem

Erfassung extremer Ereignisse nicht trivial

Methodik

Klassische, statistische Methoden am Limit

Extremwertstatistik

Charakteristische Verteilungsklassen

Forschungsaktivitaten

Verlagerung in Richtung Extremwertstatistik

Besseres Verstandnis des extremalen Verhaltens


ReferenzenAbschluss

Materialien

Folien, Abbildungen, Literatur,. . .http://www.meteo.uni-bonn.de/mitarbeiter/CSchoelzel/ → Presentations

Allgemeine Weblinks

Extreme Events, Causes and Consequences (E2C2)http://e2c2.ipsl.jussieu.fr

Statistics of Weather and Climate Extremes (NCAR/UCAR)http://www.isse.ucar.edu/extremevalues/extreme.html

Intergovernmental Panel on Climate Change (IPCC)http://www.ipcc.ch → Fourth Assessment Report


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