Fark Eşitlikleri

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ Recep ÖZCAN

[email protected]

BÖLÜM 3

FARK EŞİTLİKLERİNİN LİNEERLİĞİ

Recep ÖZCAN

U.Ü.T.Y.L.M.F.Ö.B.G.

[email protected]

3.0 GİRİŞ

Bu bölümde “fark eşitliklerinin lineerliği” konusu ele alınırken, 2.Bölüm’de tartışılarak

ortaya konan bir takım sonuçlar, matriks ifadeler olarak kullanılacaktır. 3.1’den 3.4’e kadar

olan kısımda; sabitlerin değişimi metodu ve yüksek mertebeden denklemleri içeren “Temel

Teori”ye yer verilecek, “Poincore’nin Klasik Teorisi”nden bahsedilecektir. 3.6’da ise sürekli

çözüm durumları, 3.7’de de sınır değer problemleri verilecektir. Son olarak; 3.8’de konu ile

ilgili bazı örnek problemler verilerek bölüm sonuçlandırılacaktır. Burada da bahsi geçen;

“Matriks Teorisi” ile ilgili bilgilere Ek A’ dan da ulaşılabilirsiniz.

3.1 TEMEL TEORİ

kümesinde tanımlı olan A(n) ve ( veya ) ifadelerinden; A(n) fonksiyonu

kompleks ve reel fonksiyonel matriks elemanlarından oluşan bir s x s matriks ile ifade

edilebilir. için lineer bir eşitlik olan;

eşitliği; “homojen olmayan fark eşitliği” olarak adlandırılır. “homojen fark eşitliği” de;

şeklindedir. “ ” başlangıç vektörü olarak seçildiğinde (3.1) ve (3.2) denklemlerinin

kümesinde çözümlü oldukları kolaylıkla görülebilir. Örneğin; (3.2) denklemi için başlangıç

vektörü alınırsa;


[email protected]

denklemi elde edilir. Bu denklemden de; ifadesinin tüm “n” değerleri için

ifadesine bağlı tekil olmayan çözümlerine ulaşılır. A(i) matriks elemanlarının çözüm

içerisindeki sıralanış şekli önemlidir. En düşük indisli matriks daima en sağda olacak şekilde

çözüm; A ( n – 1 ) A( n - 2) …A ( n0 ) şeklinde okunmalıdır.

Bazen karışıklıktan kurtulmak amacı ile (3.1) veya (3.2) denklemlerinin çözümlerini

“ ” başlangıç vektörü olacak şekilde olarak göstermemiz gerekebilir. Şimdi (3.2)

denkleminin çözümlerinden oluşan s-uzayını ele alalım. (3.2) denkleminin iki farklı

çözümünün olmadığı durumlarda bu s-uzayı lineer bir uzaydır. Bu denklemin farklı

çözümlerinin lineer kombinasyonunun, aynı eşitliğin bir çözümü olduğu kolaylıkla

gösterilebilir; “ ” vektörleri üzerinde birer birim vektör olmak üzere ve

“ “ için; “s” çözümleri “E1” başlangıç vektörüne bağlı olarak ifade

edilmiş olur.

Kabul 3.1.1 s-uzayındaki herhangi bir çözüm ifadesi için “ ”

yazılabilir.

İspat: “ ” ifadesi için (3.2)’ nin bir çözümü olsun. Bu durumda;

S’nin lineerliğinden ve “ ” ifadesinden yola çıkarak;

ifadesi elde edilebilir. Bu ifade; c başlangıç değeri olacak şekilde ve ’nin

ile birebir örtük olması durumunda (3.2)’nin tam bir çözümüdür.

Tanım 3.1.1 “ i = 1, 2, …, s” değerleri için ’ da tanımlı olan “ fi(n)” fonksiyonlarındaki

“ai, i = 1, 2, 3, … , s” katsayılarının sıfır olmadığı durumlarda bu fonksiyonlar “lineer”dir.

Yani; lineerlik her için; olmamasına bağlıdır.

Tanım 3.1.2 “fi (n), i = 1, 2, …. , s” ifadeleri arasında lineer bir ilişki söz konusu değilse bu

ifadeler lineer bağımsızdır.


[email protected]

olacak şekilde artan indisli fi(n) fonksiyonlarından oluşan

sütunlara sahip bir K(n) matriksi tanımlayalım. Benzer şekilde “a” için de;

olsun.

Teorem 3.1.1 Eğer olacak şekilde bir var ise; fi(n), i = 1, 2, …. , s

fonksiyonları lineer bağımsızdır.

İspat: için

olsun. “a=0” değerleri için olduğunda “f(n)” ifadeleri lineer bağımsız

olur. Bu durumda (3.2)’nin çözümleri olmak üzere;

olur.

Teorem 3.1.2 fonksiyonları (3.2)’nin çözümleri olmak üzere için

0 ve ise ve tüm değerleri için olur.

İspat: için ;

olur. Buradan da;

olur.

Sonuç 3.1.1 için oluyor ise (3.2)’nin çözümü

lineer bağımsızdır.


[email protected]

İspat: ’ın determinantı birim matrikse eşit olduğu durumda olduğu

durumdan ve Teorem 3.1.1’den ispat tamamlanmış olur.

Sonuç 3.1.2 ise K(n) matriksinin sütunları lineer bağımsız çözümleri verir. Bu

durumda tüm değerleri için olur.

İspat: (3.5) ifadesinden yola çıktığımızda; şartını sağlayan “n” değerleri

var ise; K(n) matriksinin sütunları, (3.2)’nin çözümleridir.

Bu çözüm ifadelerini içeren matrikse “Cosarati Matriks” ya da “Temel Matriks” adı verilir.

Bu bölümde diğer matriks ifadelerden biraz daha farklı olan K(n) matriksine de

Cosarati Matriksi olarak yer verilecektir. Yine burada bu matrikslerin determinantı için;

“Wronskian” isimlendirmesinde de olduğu gibi “Cosaratian” ifadesi kullanılacaktır.

Teorem 3.1.3 (3.2) ‘nin çözümlerinden oluşan s-uzayı, s-boyutlu ve lineer bir uzaydır.

Kabul 3.1.1 ve Sonuç 3.1.1’den kolaylıkla gerçekleştirilmiştir.

Tanım 3.1.3 (3.2)’nin lineer bağımsız s-çözümleri ve keyfi belirlenmiş değerleri için;

ifadesi (3.2)’nin genel çözümü olarak adlandırılır.

Başlangıç değeri olarak alındığında ve Tanım 3.1.3.’den olur;

veya için daha genel bir ifade olarak;

yazılabilir. Matriks ifadesi de,

şeklini alır. K(n) için kullanılan eşitlikte de olduğu gibi;

yazabiliriz.


[email protected]

Yine tüm değerleri için olduğu durumda -matriksi de “temel

matriks” olacaktır. (3.7)’yi tekrar yazacak olursak; olduğu görülür.

Buradaki - matriksinin özellikleri;

(i)

(ii) Eğer var ise

olur.

(3.10) bağıntısından s<n için tanımlanabilir. Şimdi homojen olmayan (3.1) eşitliğini ele

alacak olursak;

Kabul 3.1.2 (3.1) ve (3.2)’nin çözümleri olan ve arasındaki farklılık (3.2)’nin bir

çözümüdür.

İspat:

ifadeleri yazılabilir. Bu ifadelerden de yazılabilir ki; bu

eşitlik ile Kabul 3.1.2.’nin ispatını tamamlamış oluruz.

Teorem 3.1.4 (3.1)’in her çözümü için; yazılabilir. Burada ifadeleri

(3.1)’in çözümleri ve da homojen eşitlik olan (3.2)’nin temel matriksidir.

İspat: Kabul 3.1.2’den ve s-uzayının yine bir elemanı olarak

yazılabilir. Eğer A-matriksi “n”den bağımsız ise temel matriks ifadesi sadeleşir çünkü;

olur.


[email protected]

3.2 SABİTLERİN VARYASYONU METODU

(3.2)’nin genel çözümünden (3.1)’in çözümü elde edilebilir. (3.2) ‘nin genel çözümü;

şeklinde idi. Burada “c” ifadesinin ‘in bir elemanı olması,

çözümlerini, (3.1)’e de genelleme imkanı sağlar. Buradan hareketle;

ifadesini elde edebiliriz. Bu ifadeden tüm değerleri için olduğunu kabul

ettiğimizde;

olur.

Üstteki ifadenin çözümü de;

şeklindedir.

Şimdi (3.1)’in çözümü için;

yazabiliriz. için;

olur.

(3.4) ve (3.9)’ dan ve için (3.11) ifadesi;

yazılabilir. A-matriksi sabit olduğunda; ve tabii ki

için (3.12) ifadesi yeniden düzenlenirse;

şeklini alır.


[email protected]

Şimdi A(n) ve ifadelerinin üzerinde tanımlı oldukları durumları dikkate alacak

olursak;

Teorem 3.2.1

Olduğunu kabul edersek ve olduğunda;

Şeklindeki ifade (3.1)’in bir çözümüdür.

İspat: için olduğu durum dikkate alındığında

elde edilir. Bu ifade sırası ile olur. Bu dizi

ve değerleri

olacak şekilde seçilirse; Cauchy dizisi olur. Buradan da;

yazılabilir. Bu dizi için yakınsaktır. Dolayısı ile ifadesi için;

yazılabilir. Bu ifade de yine (3.1)’in bir çözümü olup için;

şeklinde gösterilebilir.

Sabit katsayı değerleri için çözümü tekrar düzenlediğimizde A’nın öz değerlerinin

birim çember içinde kaldığı durumlar için ifadesi;

şeklini alır.


[email protected]

Bu kısmı, formal seriler şeklindeki çözüm ifadelerini vererek kapatacak olursak;

yazılabilir. Bu ifade ile çarpılıp sıfır ile sonsuz arasında toplam şeklinde

yazılabilir ve böylelikle ifademiz;

şeklini alır.

İfadeleri de yerine konulduğunda;

elde edilmiş olur. Buradan da;

ve

ifadelerine ulaşılır.

Bu formal seriler yakınsak olduğu durumda, (3.17) eşitliği Y(z)’nin çözümlerini verir.

matrikside A’nın çözümleyicisi olarak adlandırılır. Bu matriksin

özellikleri sayesinde, “ ” çözümünün özellikleri hakkında fikir sahibi olabiliriz.

3.3 BAĞIMSIZ (ÖZERK) SİSTEMLER

eşitliğindeki reel n x n matriksinden oluşan “A” ifadesinden, uygulamadaki önemi dolayısıyla

özellikle bahsetmek gerekmektedir. Doğal olarak “A” matriksinin özellikleri ile çözümlerin

özellikleri arasında bir bağ söz konusudur. Bu ilişkinin bir kısmı “sabitlik” ile alakalı olmakla

birlikte, bir sonraki bölümde bu konu tartışılacaktır. Ayrık Morkov zincirlerinde olduğu gibi

uygulama anlamında önemli olan diğer özelliklerden de söz etmemiz gerekmektedir. Burada

dikkate alacağımız iki durum söz konusudur;


[email protected]

(1) A matriksinin içerisinde olarak adlandırılan ve diğerlerinden daha geniş bir moda

sahip olan bir tepe öz değeri vardır.

(2) A matriksinde bulunan tepe öz değerlerinin modları aynıdır.

İlk durumda n’nin büyük değerleri için “ ” çözümü “ ” öz vektörü ile paralellik gösterme

eğilimindedir. Çözüm için başlangıç değeri “ ” olarak alacak olursak kabulü de ispatlamış

oluruz. Bu durumda çözümü için;

yazılabiliriz.

EkA’da verilmiş olan hesaplamalardan da faydalanarak “ ” çözümü;

olarak gösterilebilir. Bu ifadeden de anlaşılabileceği üzere; “ ” değeri modüler anlamda

birden küçüktür ve “ ” ifadesi öz vektör ile ilişkilendirdiğimiz “ ” doğrultusundadır. Bu

sonuç önemlidir çünkü; pek çok matriks benzer özelliği sergilemektedir. Peron-Frobenius

teoreminde adı geçen pozitif matriksler için de benzer özellikten bahsedilmektedir. (Bakınız

EkA).

İkinci durumda ise her biri eşlenik ve kompleks olan ortak öz değerlerden, giderek artış

gösteren periyodik çözümler türetilebilir. Bu durumla ilgili benzer bir örnek Bölüm 8’deki

“Leslic Model” konusunda da verilecektir.

3.4 YÜKSEK MERTEBELİ EŞİTLİKLERDEKİ DURUM

K. ıncı dereceden bir lineer fark eşitliği olan ;

için ’deki birinci sıklık ifadesi için;

yazılabilir ve benzer şekilde matriks ifadesi;


[email protected]

şeklini alır.

Bu ifadelerden hareketle ve “ ” başlangıç değeri olarak belirlendiğinde (3.18) ifadesi için;

yazılabilir. Buradaki A(n) ifadesi “eş matriks” ya da “Frobenius Matriks’i olarak adlandırılır.

(3.21)’de verilen çözüm ilgi çekici özelliklere sahiptir ve bu özellikler sıralanacak olursa;

(i) “ ”nın determinantı olan ifadesindeki

A’nın değerlerine karşılık gelen “n.inci” dereceden fark eşitliğinin özelliğini ortaya

koyan bir ifadedir.

(ii) (3.18) ifadesi k, reel bir sayı olmak üzere k.ıncı dereceden bir eşitlik ise;

olur ve buradaki A(n) ifadesi tekil değildir.

(iii) A(n)’in basit olmayan hiçbir öz değeri, yarı basit değere sahip değildir (Bkz. EkA).

Bu durumda; A’ya karşılık gelen öz değerlerin cebirsel ve geometrik çarpımları

çakışıktır. Bu özellik çözümlerin niteliksel özelliklerinin ortaya konması anlamında

önemlidir.

(iv) A’nın n’den bağımsız ve basit öz değerlerini alması durumunda, “A”

daha basit bir ifade olan; ile gösterilebilir. Burada V: Vandermonde

Matriksi olup; ve şeklindedir.

(3.21)’in çözümü (3.11) ile birlikte düşünüldüğünde “ ” ifadesi;

şeklini alır. Temel Matriks olan “ ” ifadesi de;

olur.

Şimdi de Casorati Matriks’i olan K(n)’in homojen (3.21) eşitliği için k’ya bağlı

çözümleri olan “ ”için K(n) ifadesi;


[email protected]

olur.

Örnek 4: Chebyshed Polinomları olarak da tanımlanan ikincil yapıdaki eşitlikleri dikkate

aldığımızda; (Bkz. EkC’den benzer polinomların özellikleri);

yazılabilir. Bu ifadeyi matriks olarak yazdığımızda;

şeklini alır. Burada problemin temel matriksi olarak

seçilirse çözüm de;

şeklini alır.

ifadesini doğrudan hesaplamak mümkün değildir.

ifadesi dikkate alındığında “ ” değeri daha kolay elde edilebilir. Bu ifade Casorati Matriksi

yapısına sahiptir. (Bkz. EkC) ve bu ifade K(0) için;

olur. “ ” eşitliği ve Chebyshev polinomlarının özelliklerinden faydalanarak;

eşitliğini yazabiliriz. Bu sonuçlardan faydalanarak fark eşitliklerinin çözümlerinin özellikleri

ile ilgili genel çıkarımlara gitmek mümkündür. Buradaki “z” değerleri için ve N>0 olduğu

durumda “ ” olduğunu da göstermiş oluruz (Bkz. Problem 3.5).


[email protected]

Örnek 5: “ ” olduğunu biliyoruz (Bkz. Bölüm 2) olarak kabul

ettiğimizde bir önceki örnekteki eşitlik; ’nin değişik değerleri için olarak

alınabilir ve bu durumda ifade 1. dereceden bir polinom olarak karşımıza çıkar;

ve

Matriks ifadesi olan;

kullanıldığında;

yazılabilir. Uzay boyutu çiftlendiğinde; İkincil yapıdaki eşitlik birincil yapıdaki;

eşitliğine dönüştürülebilir. Burada : n-boyutlu özdeşlik matriksidir. Bu örnekte Problem

3.6’daki “ ” olduğu gösterilmiştir (Bkz. Problem 3.6).

3.4.1 Tek Taraflı Green Fonksiyonları

(3.21)’in de çözümleri olan “ ” ifadeleri (3.18)’in çözümü ile ilgili pek çok bilgiyi

bize sunmaktadır. Örneğin; (3.18)’in çözümü için. “ ” ifadesinin şartını sağlayan

herhangi bir bileşenini ele almak yeterlidir. “ ” olarak kabul edildiğinde (3.11)’den;

elde edilmiş olur. (3.19’dan da; olur. (3.18)’in çözümü olan

’i elde etmek için ’in son değeri dikkate alındığında ise;


[email protected]

olduğu görülür. Burada ’dir. Dolayısı ile H ifadesi;

şeklindedir. Buradan; (3.23)’ün çözümü için;

yazılabilir.

Buradaki fonksiyonu “Tek Taraflı Green Fonksiyonu” olarak adlandırılır ve

değişik özelliklere sahiptir.

Burada (3.24)’den faydalanarak “H” için;

yazılabilir. Ek özellikleri de dikkate aldığımızda;

öz değerini yazabiliriz. Buradaki “ ” ler ’da birim vektör ve I: Özdeşlik matriksidir.

(3.24)’den bir diğer gösterim olarak “H” ifadesi; K(n+1) dizi elemanları ve son

sütün elemanlarının toplamı olarak yazılabilir.;

’in son sütunu dikkate alındığında bunun “K(j+1)” matriksinin son dizi

elemanlarının kofaktörü olduğu görülür. Buradan da;

olarak yazılabilir. Sonuç olarak;


[email protected]

ve

elde edilir.

Teorem 3.4.1 H(n,j) fonksiyonu, farklı “j” değerleri için (3.18) ile ilişkilendirildiğinde;

olur.

İspat: (3.25)’in çözümü için, (3.29)’dan ve determinant özelliklerinden faydalanarak;

ise için;

yazılabilir.

çözümünden başlangıç koşullarının keyfi olarak belirlendiği durum ve (3.18)’den

benzer şekilde bir takım ifadelere ulaşılabilir. k.ıncı değer için elimizdeki ifade;

şeklini alır.

Sabit katsayılar içinse H(n,j) daha basit şekilde ifade edilebilir. ’ye bağlı karakteristik

polinomların tamamının farklı olduğunu kabul ettiğimizde (3.28) için;


[email protected]

yazabiliriz.

Burada “ ”, son dizinin i.nci elemanı ve : ’ye bağlı karakteristik

polinomun türevidir.

Burada olduğu da kolaylıkla görebiliriz. için

yazıldığında çözüm ifadesi için;

olur. Öyle ki; için de;

olur.

Sonuç olarak; (3.29), (3.30) ve (3.31)’in özelliklerinden faydalandığımızda sırası ile;

ve şeklini alır.

3.5 Poincare Teoremi

Bu kısımda “ ” için (3.18)’in çözümleri ile ilgili iki temel teorem üzerinde

durulacaktır.

Teorem 3.5.1 (Poincare): Eğer ise

oluğu durumda , (3.36)’nın bir çözümü olmak üzere, her bir çözümü için;

olur.

İspat: ifadesinde ve için A(n) matriksi

şeklinde ayrı yazılabilir. Burada;


[email protected]

ve ; şeklindedir. Dolayısı ile (3.21)

denklemi; şeklini alır. Şimdi de A ifadesini olarak

aldığımızda, buradaki V ifadesi, A’nın öz değerlerinden oluşan Vandermonde

Matriksi olup şeklindedir. Yine burada olduğunu

kabul edersek, farklı değişkenler için de; ve yazılabilir.

Bu gösterimlerden yola çıkarak; ifadesine ulaşmış oluruz. ’nin

bileşenleri ’in lineer kombinasyonları şeklindedir. Bu da bizi “ “ için “ ”

olduğu sonucuna götürür. Şimdi de “n” değerine bağlı “s” indeksleri için,

olduğunu varsayalım. Bu durumda; olacak şekilde bir “ ”

değeri seçilecek olursa; S(n) fonksiyonu azalan bir fonksiyon olmamaktadır.

Biliyoruz ki; için olacak şekilde ve koşulunu

sağlayacak kadar küçük bir “ ” değeri seçecek olursak; ve “s(n+1)=s” için;

ve

yazılabilir. Sonrasında; eğer “s(n+1) = j” ifadesi s(n) fonksiyonundan daha küçük olduğu

durum için;

olduğunu gösterebiliriz. Böylelikle de j’ye bağlı bir ifade seti elde etmiş oluruz. Burada n>N

seçimi, tüm değerleri karşılayan ya da “k” değerine denk gelen uygun bir seçim olur. Değişik

rotasyon değerleri;

şeklinde sıfıra yaklaşan bir şekilde gösterir ve işlemleri bunun üzerinden ilerletecek olursak;

önceki ifadelerden de bildiğimiz şekli ile “ ” ifadesini ilk hareket

noktamız olarak alalım bu durumda; (3.37) için “ ” , daha yüksek limit değerine sahip

olmaktadır.


[email protected]

Sonrasında (3.37)’nin “ ” ya bağlı artış gösteren değerleri ve için ilk

olarak j>s kabulünü yaptığımızda;

olur. Buradan;

yazılabilir.

Bu da bizi keyfi belirlenmiş küçük “ ” değerleri için;

sonucuna götürür. Bu ilişki “ ” için “ ” koşulu ile sağlanabilmektedir. “j<s” olduğu

durum için de “ ” için benzer sonuçlara ulaşabiliriz;

Şimdi orijinal “ ” çözümünü dikkate alalım. Ayrı iki dizi olan “ ” ve “ ”

ifadelerinden; için;

ve

sonuçlarına ulaşabiliriz ve bu sonuçlardan da;

olduğunu kolaylıkla gösterebilir.


[email protected]

Şimdi ispatlamalara gidilmeksizin bir sonraki teorem olan Perron’dan bahsedilecektir.

Teorem 3.5.2 (Peron) Teorem 3.5.1’in doğru olduğunu ve için olduğunu

kabul ettiğimizde. “k” çözümleri olan için;

olarak yazılabilir.

3.6 Periyodik Çözümler

“N”nin birden büyük pozitif tam sayı olması durumunda. ise birinci

dereceden fark eşitliğinin çözümü olan “ ” ifadesi periyodiktir ve bu çözümünlerin

periyodu “N” dir.

Örnek 6: Örnek 5’de tanımlanan sistem ele alındığında. oluncaya kadar herhangi bir

sistemin periyot 10’a sahip olduğu görülür ve aynı periyoda sahip fark eşitlikleri içinde;

yazılabilir. eşitliği dikkate değer bir sonuçtur ve burada “ ” değeri için;

olarak alınabilir. Bu ifade de bizi eski bir basit geometrik hesaplamanın

sonucu olan altın orana, oradan da düzgün dekagona götürür (Bkz. Problem 3.20).

Bu örnekte de olduğu gibi tek bir periyodik çözüm söz konusudur. Fakat diğer

durumlarda; bir sonraki örnekte de görüleceği üzere; pek çok periyodik çözüm bulunabilir.

Örnek 7: Örnek 5’de; olması durumunda ve olmalıdır.

Buradan N’in farklı değerlerine karşılık gelen, Z’nin “N” periyodundaki periyodik çözümleri

için;

olur.


[email protected]

Burada tekil olmayan birinci dereceden sistemler için durum şu şekildedir; A(n), tekil

olmayan reel s x s matrikslerden oluşur ve vektörleri ’in elemanlarıdır. A(n) ve ’in

periyodik olduğunu varsaydığımızda da; A(n+N)=A(n) ve olmaktadır.

Homojen (3.2) eşitliğinin basit periyodik çözümlerinden birisi “ ” şeklindedir.

Homojen olmayan (3.1) denklemi içinse; tüm “n” değerleri için eşitliğini

sağlayan bir “ ” değeri var ise bu “ ” ifadesi basit periyodiktir.

Bu kısımda da basit olmayan periyodik çözümler araştırılacaktır.

Teorem 3.6.1 Eğer A(n) periyodik ve periyodu N ise temel matriks olan ifadesi;

olur.

İspat: Bu ifadenin ispatına ’nin tanımından ve A(n)’nin periyodikliği ile ilgili

hipotezlerden kolaylıkla ulaşılabilir.

Teorem 3.6.2 Eğer homojen (3.2)’nin periyodik çözümü sadece “ ” ise homojen

olmayan (3.1) eşitliğinin N periyodu için tek bir periyodik çözüm vardır ve bu ifadenin terside

doğrudur.

İspat: (3.1) ve (3.2)’nin periyodik çözümleri sırası ile olmak üzere

başlangıç değeri “ ” için bu çözümler;

şeklindedir ve aynı “ ” değeri için;

olur. Burada ‘dır.


[email protected]

(3.39) ve (3.40) eşitliklerinin çözümleri başlangıç değeri için, (3.2) ve (3.1)’in

periyodik çözümlerini verecektir. İspatlandığı üzere; eğer (3.39)’un “ =0” şeklinde tek bir

çözümü var ise olur ve bu durumda da (3.40)’ın basit olmayan tek bir çözümü

vardır. Yine bu durumun tersinin geçerliliği de ispatlanmıştır.

Şimdi ve N(B) (B’nin boş uzayı) k-boyutlu ise (3.39)’un k-tane çözümü

vardır ve benzer şekilde (3.2)’nin de k-tane periyodik çözümü olacaktır. Eğer (3.40)’daki

problem durumu için;

yazılacak olursa ve bu ifade ile dik ise çözümlerin varlığından söz edilebilir.

ifadeleri ’nin esas değerleri olmak üzere;

olur. Buradan da;

yazabiliriz. Diklik şartı için de;

yazılabilir.Benzer şekilde;

olur. Sonuç olarak da;

ifadesine ulaşırız. Bu sonuçtan faydalanarak Teorem 3.6.3 ortaya konulabilir.

Teorem 3.6.3 Eğer homojen (3.2) eşitliğinin N periyoduna sahip periyodik çözümü var ise

(3.45)’den homojen olmayan (3.1) eşitliğinin de N periyotlu periyodik çözümleri vardır.

(3.44) ile verilen fonksiyonları dikkate aldığımızda olacak şekilde;

yazılabilir. “ ” değerlerinin N periyotlu olması durumunda;


[email protected]

olup bu ifade (3.1)’in “Katkılı Eşitliği” olarak adlandırılır. Bu eşitliğin temel matriksi

olmak üzere bu temel matriks için;

yazılabilir. (3.46) kullanılarak Teorem 3.6.3, Teorem 3.6.4’de olduğu gibi farklı bir şekilde

ifade edilebilir.

Teorem 3.6.4 Homojen (3.2) eşitliğinin N periyotlu k-tane periyodik çözümü var ise ve

“ ” ile verilen vektör ifadesi “katkılı eşitliğe (3.46)” ait çözümlere dik

ise homojen olmayan (3.1) eşitliğinin N periyotlu periyodik çözümleri vardır.

Teorem 3.6.5 A(n) ve ’nin N periyotlu periyodik ifadeler olduğunu kabul edelim. Eğer

homojen olmayan (3.1) eşitliğinin N periyotlu periyodik çözümleri yok ise bu eşitlik sınırlı

sayıdaki çözümlere sahip olamaz.

İspat: (3.1)’in hiçbir periyodik çözümünün olmadığı durumda, Teorem 3.6.2.’den

hareketle; (3.1)’in (3.45)’deki koşullarını sağlayamadığı sınırsız sayıda çözümü vardır.

Bu durumda; ; bir çözümdür. Buradan;

olur. (3.1)’in tüm “ ” çözümler için de ;

genel ifadesi yazılabilir. ’nin periyodikliği ve (3.38)’den faydalanarak. Benzer

şekilde;


[email protected]

yazabiliriz. k>0 için daha da genel bir ifade ile;

şeklini alır. Bu ifadede görüldüğü gibi “ ” ifadesi sınırlandırılamamaktadır.

Periyodik çözümlerin sabitliği konusu incelendiğinde; “ ” matriksinin

sabitlik ile ilişkilendirilmesi anlamında önemli bir yere sahip olduğu görülmektedir.

ve (3.38)’den;

olur. k>0 için aynı ifade;

şeklini alır. U’nun öz değerlerinden birisi “ ” olduğunda ve v’nin öz vektör ile ilişkili olması

durumunda;

ve için yazılabilir. Buradan da;

ifadesine ulaşabiliriz. Bu ifaden de anlaşılabileceği üzere; homojen eşitliğin çözümü “ ”

başlangıç değerini almakta ve tek periyot sonrasında da “ ” ile çarpılmaktadır. Dolayısı ile

U’nun öz değerleri “çarpanlar” olarak adlandırılmaktadır. Bu durumun tersi de doğrudur. Eğer

“ ” tüm “n” değerleri için çözüm ise ve tüm “n” değerleri için oluyorsa

“ ” eşitliği yazılabilir ve bu eşitlikte bizi “ ” sonucuna götürür ki buradaki

“ ” ifadesi, U’nun birim vektörüdür.

Örnek 4’de de görüldüğü üzere; A(n) matriksi sabit olduğu durumda periyodik

sonuçlar artış gösterebilmektedir.


[email protected]

3.7 Sınır Değer Problemleri

Sturn-Liouville problemi;

eşitliklerinde de olduğu gibi farklı bir şekilde ele alınabilir. Bu eşitlik koşulları ise;

ve şeklindedir. Buradaki tüm dizi elemanları reel

sayılardan oluşmaktadır. Bu problem durumunun ileriki aşamalarda bazı ergümanların da

kullanılmasıyla çok sade bir şekilde ifade edilebileceği görülecektir. İfadeler vektör formuna

sokularak, lineer cebir problemi şeklini alacaktır. İlk iş olarak (3.51) ifadesinden yola çıkacak

olursak, bu ifade;

olacak şekilde aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir;

ve

için de;


[email protected]

olur. Elde edilen son eşitlik, görülebileceği üzere (3.51)-(3.52) eşitliklerinin eş değeri

şeklindedir. Bu (3.54) eşitliği, A matriksinin bir genelleştirilmiş öz değer denklemidir. Bu

problem durumunun çözümlerinin olması durumunda;

olur ki bu da bir polinom eşitliğidir.

Teorem 3.7.1 (3.54)’ün genelleştirilmiş öz değerleri reeldir.

İspat: olsun, bu durumda (3.55)’in kökleri;

olmak üzere; (3.56)’nın da kökleridir. SAS matriksi simetrik ise reel öz değerlere

sahiptir ve her bir “ ” öz değerine karşılık (3.54)’ün çözümü olan bir “ ” öz vektörü

vardır. Bu durum, standart ergümanlardan da kolaylıkla ispatlanabilir; eğer ve iki

farklı öz değere karşılık gelen öz vektörler ise;

olur.

Tanım 3.7.1 ’de olduğu gibi “ ” ve “ ” iki farklı vektör olmak üzere bu

ifadeler R-Ortogonal olarak adlandırılırlar.

Sturn Liouville problemi olan (3.51)-(3.52), (3.54)’ün eşiti olduğunda;

Teorem 3.7.2 Sturn-Liouville probleminin iki ayrı çözümü için iki farklı öz değer vardır ve

bunlar R-Ortogonaldır.

Şimdi ve A(n), s x s matriks olmak üzere daha genel problem durumu olan;

eşitliğini dikkate alarak sınırlandırılmış durum için;


[email protected]

olduğunu varsayalım. Burada “n” ve “w”; ve koşullarını

sağlayan birer vektördür. ifadesi de s x s matriks olarak verilmiştir. , homojen

problem olan;

için temel matriks olarak seçildiğinde, için (3.58)’in çözümleri;

şeklini alır. Burada “ ” belirsiz başlangıç koşuludur ve (3.59)’un sınırlılığı için;

yazılabilir. Bu sonuç;

şeklinde yeniden düzenlenebilir. Burada basamak matriksi olan T(j,n), için “I” ya eşit ve

için de “0” a eşit olarak tanımlanmıştır. olarak alındığında ise bir

önceki ifade;

olmaktadır.

Teorem 3.7.3 Eğer “Q” matriksi tekil olmaması ve (3.58) probleminin sınırlı olduğu durum

için (3.59)’un;

şeklinde tek bir çözümü vardır. Buradaki G (n,j) matriksi de;

şeklinde tanımlıdır.

İspat: Q matriksinin tekil olmadığı durumda, (3.36)’dan da görüleceği üzere başlangıç

koşulları için;


[email protected]

yazılırsa; (3.61) ifadesi problem durumunun çözümüdür. “ ” (3.61)’de yerine

konulduğunda;

olur. (3.64)’de verilen G(n,j)’nin tanımını ve Green matriksi ile ilgili bilgileri

hatırlayacak olursak; G(n,j), Green matriksi olarak isimlendirilmekteydi ve bu Green

matriksi aşağıdaki gibi dikkat çeken özelliklere sahip idi;

(1) Farklı “j” değerleri için G(n,j) sınırlı olan


(2) Farklı “j” değerleri ve için G(n,j) fonksiyonu için homojen olan;

yazılabilir.

(3) “n=j” için; olur.

Yukarıdaki ifadeler ile ilgili ispatlar Problem 3.26 ve 3.27’de olduğu gibi yapılmıştır.

Eğer Q matriksi tekil ise (3.65)’in sonsuz sayıda çözümü olabileceği gibi hiçbir çözümü de

olmayabilir. (3.63)’ün daha basit gösterimi amacı ile eşitliğin sağ tarafı için “b” yazdığımızda

ifade;


[email protected]

şeklini alır. R(Q) ve N(Q)’nun sırası ile yüksek değerleri ve “Q” boş uzayı için eğer

ise (3.67) çözümlü olacaktır. Bu durumda; “c”, N(Q)’da herhangi bir vektör ve (3.67)’in

herhangi bir çözümü olan “ ” için de çözüm; “ ” olmaktadır. Diğer yandan

olduğu durumlar için de problem çözümsüzdür.

Birinci durum için yani; olduğunda; problemin çözümü, Q’nun tersinin

genelleştirilmiş halinden elde edilebilir ve “r=rankQ” şeklinde tanımlanabilir. Q’nun tersinin

genelleştirilmiş hali olan “ ” ile ilgili olarak aşağıdakiler yazılabilir;

Burada P ve ; R(Q) ve üzerindeki hesaplamalardır ( : Q’nun eşlenik

transpozudur.) İyi bilinmelidir ki; eğer “F” s x s matrik ise ve sütun değerleri R(Q) ise “p”

için;

yazılabilir. olduğu durumda ifadesini kullanarak (3.67)’nin çözümü olan “ ”

için;

yazılabilir.

ifadesinin elimizde olmasına karşın, sınırlı değer probleminin

bir çözümü olan “ ” ifadesi (3.64) ve (3.65) de “ ” yerine “ ” yazılması ile daha

basitleştirilmiş olur. Bu çözüm az önce de gördüğümüz üzere tekil bir çözüm değildir. Aslında

olduğunda ifadesi;


[email protected]

olduğu sürece sınır değer koşullarında bir çözüm almaktadır. olduğunda ise (3.71)

bağıntısı için en küçük kare çözümüne sahiptir çünkü; “ ” değeri niceliğini

minimum yapmaktadır ve “ ” dizisi yaklaşık bir çözüm olabileceği tanımı yapılabilir.

BÖLÜM 4

SABİTLİK TEORİSİ

4.0 Giriş

Bu bölümde; 4.1’de, çeşitli sabitlik gösterimleri ve birkaç basit örnek durum verilerek,

4.2’den 4.4’e kadar olan kısımda lineer fark eşitliklerinin sabitliği teorisi üzerinde durulacaktır.

4.5 kısmında da ölçüt normların ve karşılaştırma prensiplerinin kullanımı ile elde edilen genel

sonuçlardan bahsedilerek, sabit formüllerinin lineer olmayan varyanslarına 4.6’da yer

verilecektir. 4.7 kısmında ise ilk tahmini değer ile sabitlik konusuna değinilecektir. 4.8 ve

4.9’da Liapunov Fonksiyonları, karşılaştırma prensibi ve birkaç teorem ile sabitlik teorisi

incelenecek olup, 4.10 kısmında da zıt durumlar ile ilgili gerekli tartışmalar yapılacaktır.

4.11’de nümerik analizde olduğu kadar tüm uygulamalarda önemli yeri olan, “uygulamalı

sabitlik” ile ilgili genel kavramlara değinilerek, 4.7’deki konu ile ilgili tamamlayıcı birkaç

problem durumu ile bölüm sonuçlandırılacaktır.


[email protected]

4.1 Sabitlik Gösterimleri

“y” merkezli ve “ ” yarı çaplı “B” açık yuvarı; “B(y, )” şeklinde gösterilecektir.

“y=0” içinde daha kısa bir gösterim olan; “ ” kullanılacaktır. ve

olduğunda; yuvarlarında da olduğu gibi; orijin noktası tartışılırken, bu

noktaların daima D’ de olduğu varsayılacaktır.

fark eşitliğini ele alalım.

Tanım 4.1.1

buradaki “ y” noktaları şeklinde tanımlı ve tüm “n” değerleri de (4.1)’in sabit

noktalarıdır. Bu noktalar, “kritik noktalar” veya “denge noktaları” olarak adlandırılır.

İfadelerin basitleştirilmesi için sabit noktaların orjinde olduğu kabulü yapılacaktır. Sabit

noktalar orjinde olmadığında; şeklinde bir koordinat değişimi yapıldığında sabit

noktaların merkezde olduğu;

durumuna kolaylıkla geçiş yapılabilmektedir.

Tanım 4.1.2 (4.1)’in “y=0” çözümü için aşağıdaki tanımlamalar yapılabilir;

(i) Eğer her ve her için olacak şekilde bir değeri

varsa; (4.1)’in “y=0” çözümü “sabit”tir.

(ii) “y=0” çözümü sabit ve “ ”, “ ” dan bağımsız seçilmişse; (4.1)’in “y=0” çözümü

“tek tip sabit”tir.

(iii) Eğer olduğunda için oluyorsa; (4.1)’in “y=0”

çözümü “çekici”dir.

(iv) Eğer çözüm, çekici ve “ ” değeri “ ”dan bağımsız seçilebiliyorsa; (4.1)’in

“y=0” çözümü “tek tip çekicidir”.

(v) Eğer çözüm sabit ve çekiciyse; (4.1)’in “y=0” çözümü “asimptotik sabit”tir.


[email protected]

(vi) Eğer çözüm tek tip sabit ve tek tip çekiciyse; (4.1)’in “y=0” çözümü “asimptotik tek

tip sabit”tir.

(vii) Eğer çözüm tüm değerleri için çekiciyse; (4.1)’in “y=0” çözümü “geniş

çaplı çekici”dir.

(viii) Eğer çözüm tüm değerleri için asimptotik sabitse; (4.1)’in “y=0” çözümü

“geniş çaplı asimptotik sabit”tir.

(ix) Eğer “ >0”, “a>0” koşulunu sağlayan “ ” ve “a” değerleri var ise ve

için; yazılabiliyorsa; (4.1)’in “y=0” çözümü “tek tip

ekspronansiyel sabit”tir.

(x) Eğer çözüm sabit ise ve bazı “p>0” değerleri için;

oluyorsa; (4.1)’in “y=0” çözümü “ -sabit” tir.

(xi) Eğer bir önceki madde “ ” ile ilgili olarak tek tip bir noktada birleşiyorsa (4.1)’in

“y=0” çözümü “ tek tip - sabit”tir.

Örnek 8:

fark eşitliğini ele alalım. Buradaki “ ” değerleri reel sayılardan oluşmak üzere (4.2)’nin

çözümü için;

yazılabilir. Bu çözümle ilgili olarak şunlar söylenebilir;

(a) Çözümün sabit olması durumunda;

ise

olur ve sabitlik için ifadesi;


[email protected]

değerlerini alır.

(b) Çözümün tek tip sabit olması durumunda

ve olmalıdır. Bu tek tip sabitlik durumu, olması koşuluna da bağlıdır.

(c) “y=0” çözümünün asimptotik sabit olduğu durumda; eğer “a” nın tekil ifadesi;

ise

yazılabilir. Bu durum “ ” olduğunda geçerli değildir. Bu da göstermektedir ki; “tek

tip sabitlik” ve “asimptotik sabitlik” iki farklı yapılanmaya işaret eder.

(d)

ve buradaki “ ” ve “ ” ise; “x=0” çözümü “ekspronansiyel sabittir”.

Burada bahsi geçen farklı çeşitlilikteki sabitlikler için hiyerarşik bir yapı söz konusudur.

Örneğin; sabitliğin “tek tip asimptotik” olması; sabitliğin “asimptotik” olduğu anlamına gelir.

Benzer şekilde; çözümün “tek tip sabit” olduğu durumda aynı çözümün “sabit” olduğu

yargısına varılabilir. Buradan bir genellemeye gidilecek olursa; çözümün “asimptotik sabit”

olması; çözümün “sabit” olduğu anlamına gelir. “f” in “n” e bağlı olmadığı durumlarda (4.1)

eşitliği “özerk eşitlik” olarak adlandırılır. “özerk eşitlikler” tek tip sabittirler ve bu durum;

“özerk durum” olarak adlandırıldığında bu özerkliği

“ ” eşitliğinden görülebilmekteyiz. için de aynı

eşitlik ifadesini yazızlabiliriz. İki çözümünde “ ” için aynı değere sahip olduğunu

varsaydığımızda da; bu çözümler “ ” için birbiri ile uyumludurular. Bu da demek oluyor

ki; özerk eşitliklerin sabit nokta değerleri için her zaman “ ” alınabilir. Eğer “ ” için

sabit çözüm durumu söz konusu ise ve tüm “ ” değerleri içinde aynı durum geçerliyse;


[email protected]

çözümün “tek tip” olduğu söylenebilir. “Çekicilik” kavramı “sabitlik” kavramından daha farklı

bir yapılanmaya sahiptir ve bir sonraki örnekte de bu durum ortaya konulmuştur.

Örnek 9: Aşağıdaki eşitlikleri ele aldığımızda;

Burada şeklindedir ve (4.4)’ün orjinin sabit olmaması durumunda bu ifade;

“geniş çaplı çekici” dir. Elbetteki çözüm için “ -sabitliği” söz konusu ise sistemin asimptotik

sabit olduğu da söylenebilir. Çünkü; serisinin, ortak ifadesi sıfıra

yaklaşır. Ekspronansiyel sabitliğin, -sabitlik ile olan ilişkisi de aşağıda gösterildiği gibidir.

Teorem 4.1.1 Eğer “y=0” çözümü, “ekspronansiyel sabit” ise bu çözüm aynı zamanda “ -

sabit”tir.

İspat: Tanımdan faydalanarak, ve olması durumunda;

yazılabilir. Buradan da;

şeklinde ispat tamamlanmış olur.

4.2 Lineer Durum

Şimdi “tek tip sabit”lik ve “asimptotik sabitlik” karakteristik yapıları ile ilgili sonuçlar,

temel matriks ifadesi ile birlikte ele alınacaktır. İlk olarak A(n)’in s x s bir matriks olduğu;

eşitliğini ele alalım;

Teorem 4.2.1 , (4.5)’in temel matriksi olmak üzere;


[email protected]

eşitliğinde için M>0 şeklinde bir “M” var ise “y=0” çözümü “tek tip sabit” olur.

İspat: olduğunda; olması için gerek

ve yeter şart ve olmasıdır. Eğer burada tek tip sabitlik söz

konusuysa; için olmak zorundadır ve olarak

alındığında da;

şeklinde sınırlandırılmış ifade elde edilir. Dikkat edilmelidir ki; (4.7), ’ın sadece

tanımıdır (Bkz. EkA).

Teorem 4.2.2 Eğer olacak şekilde “ ” ve “ ” gibi iki pozitif sayı var ise (4.5)’in “y=0”

çözümü; ifadesinden de görüleceği üzere; “tek tip asimptotik sabit”tir.

İspat: Bu koşullu durumun ispatı daha önce de olduğu gibi basittir. Çözümün “tek tip

asimptotik sabit”liği durumunda, “ ” olacak şekilde sabit bir noktadır.

koşullarını sağlayan “ “ ve “ ” değerleri mevcuttur. için

de olur. Daha önce de olduğu gibi bu ifadeden için

olduğu kolaylıkla görülebilir. için “ ” ifadesi keyfi

olarak ufak seçilirse; çözüm “tek tip asimptotik sabit” olur. Daha önceden bahsedilen

Hiyerarşik yapılanmadan da bu ifadenin aynı zamanda “tek tip sabit” olduğunu

söyleyebiliriz. Bu tek tip sabitlik durumundan hareketle de; sonucu tüm

değerleri için pozitif değeri ile sınırlandırılmış olur.

Dahası; için;

yazılabilir. Burada ve alındığında teoremin ispatı tamamlanmış

olur.


[email protected]

Bu teoremden; lineer yapılanmalar için “tek tip asimptotik sabit”liğin “ekpronansiyel

sabitlik” ile eşdeğer olduğunu görebiliriz.

4.3 Özerk Lineer Sistemler

Bu kısımda uygulamalardaki önemi dolayısıyla “lineer özerk eşitlikler” incelenilecektir.

Hali hazırda Teorem 4.2.1 ve 4.2.2 ile ilgili sonuçlar elimizdeyken burada da olduğu gibi, daha

açık ve anlaşılır sonuçlara ulaşılabilir. Homojen özerk eşitlik olan;

için çözüm;

olmaktadır.

Matriks teorisinden de biliyoruz ki (Bkz Ek A);

idi. (4.10)’daki A’nın öz değerleri birim değerler olarak alındığında; olur.

Bu sonuç, sonraki sonuçlara ulaşmak için hareket noktası özelliği taşımaktadır.

Teorem 4.3.1 Eğer A matriksinin öz değerleri, birim disk içerisinde kalıyor ise (4.8)’in “y=0”

çözümü “asimptotik sabit”tir.

Eğer 0 ise “ ” öz değerini “yarı basit” olarak adlandırmıştık.

Teorem 4.3.2 Eğer A matriksi, birden az veya bire eşit yarı basit moda sahip ise (4.8)’in

“y=0” çözümü “sabit”tir.

İspat: (4.10)’dan kolaylıkla görüleceği üzere; yarı basit öz değerler için “q” ifadesi

için olacak şekilde işlem devam ettirilebilir. Aynı zamanda burada

olmamalıdır. A matriksinin “eş matriks” olması durumunda ise basit olmayan hiçbir

yarı basit öz değerden bahsedemeyiz (Bkz. EkA). Bu durumda Teorem 4.3.2, sözü

edilen şekli alır.


[email protected]

Teorem 4.3.3 A, eş matriks olsun. A’nın öz değerleri birden küçük ya da bire eşit mod

değerlerine sahip ve bu modlardan birisi basit ise “y=0” çözümü “sabit” olur.

Örnek 10:

eşitliği basit çözümlü bir denklemdir. Burada “I” matriksi s x s şeklidedir ve öz değerlerinin

çarpımı bir olan, birim matrikse örnek teşkil etmektedir. (4.11) ifadesi ise yarı basittir ve “y=0”

çözümü sabittir. Şimdi homojen olmayan;

denklemini ele alalım. Buradaki A, s x s matriks ve b’de negatif olamayan bir vektördür. Kritik

nokta olan “ ” için çözüm olarak;

yazabiliriz.

Burada, fark eşitliklerinde de olduğu gibi (4.13)’ün negatif olmayan çözümleri ile

sabitlik özellikleri arasında bir ilişki vardır.

Aşağıdaki iki teorem içinde kullanılan gösterimler için EkA kısmına bakınız.

Teorem 4.3.4 Eğer ise ve A’nın spektral yarıçapı olan “ ” değeri birden

küçük ise (4.13) denklemi negatif olmayan çözümlere sahiptir.

İspat: var ise ifadesi için = yazılabilir. Buradan

da negatif olmayan çözüm; şeklinde gösterilir. ile ilgili kabulden;

“y” nin “asimptotik sabit” olduğunu görüyoruz.

Teorem 4.3.5 ve “b” pozitif sayı olsun. Eğer (4.13)’ün pozitif çözümü var ise;

olmak zorundadır.

İspat: Perra-Frobenius teoreminden, “ ” denkleminde olduğu gibi “ ”

değeri negatif olmayan öz vektör olmak üzere, “ ” ifadesi “ “ile gösterilen reel

öz değerlere sahiptir. (4.13) denkleminden; transpoz çarpımlarını ve “ ” için de;


[email protected]

yazabiliriz. Burada eğer ” ve “ nin ikisi birden pozitif ise

<1 olmaktadır.

Yukarıdaki sonuçlar, lineer eşitliklerde kullanılan metodlardaki uygulamaları dolayısı

ile önemlidir.

4.4 Periyodik Katsayılı Lineer Eşitlikler

Önceki kısımlarda ortaya konan sonuçlar, aşağıda verilen “özerk olmayan eşitlikler”

için genellenememektedir. Bu kısım için;

denklemini dikkate aldığımızda buradaki A(n);

şeklini almaktadır. Buradaki tüm “n” değerleri içinde A(n)’in öz değerleri “ ” olmakla

birlikte bu öz değerlerin tamamı “birim disk” içerisindedir. Fakat bu durum sıfır çözümün

sabitliği konusunda emin olmamamız için yeterli bir sonuç değildir. Emin olabilmek için

için

temel matriks olarak alındığında eğer “n” değeri sonsuz bir ifade ise eşitliğimiz;

şeklini alır. Bu durumda çözüm, ekpronansiyel olarak orjinden uzaklaşır. Dolayısıyla; A(n)’in

başlangıç koşulları için sabitliğinden söz edebiliriz. Her ne kadar konu başlığı, “periyodik A(n)

matriksleri için lineer denklemler” olsa da burada bir “ara durum” söz konusudur. (3.49)

eşitliği de bize göstermektedir ki; esas eleman olan “U”, olmakla birlikte

için;


[email protected]

olarak yazılabilir. Elde etmiş olduğumuz bu çözümün özellikleri, “ ” ifadesinin özellikleri

ile doğrudan ilişkilidir. Bu ifade sonraki çözümlemelere emsal teşkil etmesinin yanı sıra

Teorem 4.3.1’in basit ve karşılaştırılabilir şeklidir.

Teorem 4.4.1 “N” periyotlu “A(n)” için; “U” matriksinin öz değerlerinin “birim disk”

içerisinde kalması durumunda eşitliğinin sıfır çözümü “asimptotik sabit” tir.

Burada ortaya konan, özerk ve periyodik eşitliklerin basit çözümlemeleri arasında sıkı

bir ilişki vardır. Bu ilişki durumundan, bir sonraki teoremde de bahsedilecektir.

Teorem 4.4.2 Tüm “i” değerleri için tekil olmayan ve periyodik bir A(i) ifadesi var ise bu

periyodik A(i) yapılanması özerk yapılanmaya dönüştürülebilir.

İspat: “U” matriksinin tekil olmadığı durum için;

teoreminden hareketle C matriksini;

şeklinde yazmak mümkündür (Bkz EkA). Eğer oluyor ise

yazılabilir ve bu ifade de;

koşulunu sağladığında periyodiktir.

Yeni varyasyonların gösterimi için bir matriks olan;

kullanılarak. olduğunda;

olarak alınabilir. Buradan da ;

sonucuna ulaşırız. Bu da teoremin ispatı niteliğindedir.


[email protected]

Çözüm ifadesi, C’nin (ya da U’nun) öz değerleri başlangıç değeri olarak seçildiğinde;

olur. Burada : Öz vektör ve ifadesi de öz vektöre bağlı bir değişkendir. Fakat

değeri “U”nun öz değeri olduğunda; olur ki bu da aşağıda olduğu gibi orijinal eşitlik

ile ilişkilendirildiğinde bizi;

ifadesine götürür buna benzer bir durumu Bölüm 3’ten de hatırlayabiliriz. (4.23) çözümleri,

“Floquet Çözümleri” olarak adlandırılır. Bu isimlendirme ve sonuçlar, sonraki uygulamalarda

da kullanılacaktır.

4.5 Karşılaştırma Prensibinin Kullanımı

Burada, kısmın (1.8)’de de değindiğimiz karşılaştırma teorileri aracılığı ile fark

eşitliklerinin çözümlerinin önemli özelliklerini ortaya koyabiliriz. Bu karşılaştırma teorileri,

diferansiyel denklemlerin ilişkilenimi teorisi ile paralellik gösterir.

Teorem 4.5.1 g(n,u) ifadesi, u’nun azalmayan değerleri için genel olmayan bir fonksiyon

olduğunda;

(1)

(2) ve

(3)

kabullerini yapabiliriz. Dolayısıyla;

denkleminin sıfır çözümü ile (4.1)’in sıfır çözümünün sabitlik özellikleri örtüşür.

İspat: (4.1)’den;

yazılabilir. Bu ifade (4.24) ile karşılaştırıldığında ve Teorem 1.6.1 (

olduğunda) kullanıldığında için olduğu sonucuna ulaşırız. Şimdi


[email protected]

(4.24)’ün sıfır çözümünün sabit olduğunu kabul edecek olursak; için

olacak şekilde bir ’dan söz edebiliriz. Bu da (4.1)’in sıfır çözümünün sabit olduğu

anlamına gelir.

Bu durumda (3)’de kabul edilen ifadenin yerini;

(4) alır. Burada “u” nun azalmayan değerleri için ifademiz

“g(n,u)=u+w(n,u)” şekline dönüşür. (4) ‘deki “w” değeri bazı durumlarda pozitif

olarak alınması bize fayda sağlayabilmektedir. Burada (4) ile yapmış olduğumuz

kabul, “Liapunov Fonksiyonları” nın kullanıldığı durum ile benzerlik göstermektedir.

Aynı zamanda Teorem 4.5.1’in versiyonu son derece kullanışlıdır.

Şimdi 4.5.1. ve teoremlerinden, bir takım önemli varyasyonlar gösterilecektir.

Teorem 4.5.2

(i) lineer eşitlikler için temel matriks olmak üzere;

olsun.

(ii)

ve

olsun.

(iii) “ ”’nin çözümleri olan;

ifadesi için sınırlı olsun. Bu durumda (4.25) lineer eşitliğinin sabitlik özelliği;

ifadenin sıfır çözümlerinin özellikleri ile benzerdir.

İspat: için lineer dönüşüm sonrası (4.28) ifadesi;


[email protected]

şeklini alır. Buradan da;

yazılabilir. Eğer oluyor ise yazabiliriz ve

ifadesi “ ”nin çözümü olmak üzere;

sonucuna ulaşırız.

Eğer lineer yapılanmanın çözümü örnek olarak “tek tip asimptotik” seçilirse; Teorem

4.2.2’den olması gerektiği görülebilir. ve koşulları için

aynı ifade daha uygun bir biçimde;

olarak yeniden yazılabilir. Bu sonuca göre “x=0” çözümünün “tek tip asimptotik sabit” olduğu

söylenebilir. Çünkü; bu ifade “ ” ile sınırlandırılmıştır. Benzer şekilde diğer durumlar da

basitçe ispatlanabilir.

Şimdi “nümerik analiz”de geniş anlamda kullanılmakta olan Teorem varyantı

konusuna değinilecektir.

Teorem 4.5.3 h: pozitif bir sabit olmak üzere fark eşitliği;

şeklinde verilmiş olsun. Burada;

(1) için ve

(2) ve olarak alındığında;

denkleminin sıfır çözümlerinin sabitlik özellikleri, (4.30) ifadesinin sıfır çözümünün sabitlik

özellikleri ile örtüşür.

Yukarıda bahsi geçen teoremlerdeki ifade, diferansiyel denklemlerde kullanılan

nümerik metotların neden olduğu hatalar dolayısı ile kullanılmaktadır. Şimdi (4.31) den farklı

olarak genellikle kullanılmakta olan “karşılaştırma denklemi”ni ele aldığımızda;


[email protected]

için olması dolayısı ile burada kullanılamayabilir. Buradaki (4.31)

denklemini bizi daha ilginç sonuçlara götüreceği ortadadır. Çünkü; A’nın öz değerlerinin tüm

negatif reel sayıları alması durumunda; ifadesi birden küçük olabilmektedir. Bu

duruma örnek vermek gerekirse;

yazılabilir ve bu ifade sıfırdan küçüktür. Tanımdan da faydalanarak;

şeklini alır. Bu da bize;

kabulü imkanı sağlar ki buradan da karşılaştırma eşitliği olan;

ifadesine ulaşabiliriz.

Bir sonraki teorem f’nin çeşitli varyanslarından herhangi biri için koşul gerekliliklerini

ortaya koymakla birlikte kritik noktanın varlığı ile ilgili basit ve öznel bilgilere ulaşmamızı

sağlar. Bunun için ilk olarak genel bir ifade olarak;

yazalım.

Teorem 4.5.4 Aşağıdaki kabulleri yaptığımızda;

(i) “ ”, ’de sürekli bir fonsiyon, “g” ise pozitif bir fonksiyon olmak üzere; her

iki fonksiyonda ’de tanımlıdır. Burada “ ” ifadeleri ’nin alt kümesidir ve

orjin noktasını kapsamaktadırlar.

(ii) için “ ” dizisi D’de süreklidir.

(iii) dizisi için;

ilişkisi söz konusudur.

(iv) Karşılaştırma eşitliği olan;


[email protected]

için orjinde sabit bir noktada ekspronansiyel sabitlik söz konusudur.

İspat: Eğer ise;

yazılabilir ve “g” nin azalmayan değerleri için ifade;

şeklini alır.

Teorem 1.6.5’den “ ” (4.36)’nın çözümü olmak üzere; olmalıdır.

Buradan da; olur. Eğer orjin noktası, (4.36) için ekspronansiyel sabit ise “ ”

için “ ” dizisi sıfıra yaklaşır ve benzer durum içinde geçerlidir.

Benzer şekilde “P” değerleri için, eğer oluyorsa;

yazabiliriz. Bu sonuçtan (4.36)’nın ekspronansiyel sabit orjin ifadesinden ve Teorem

4.1.1’den “ sabitlik” özelliğine ulaşılmış olur. “ ” serisi tek bir noktada

birleşmektedir. Eğer n, değerleri keyfi olarak seçilirse; “ ” ile gösterilen

ifade “Cauchy dizisi” ne dönüşmüş olur.

4.6 Sabitlerin Varyasyonu

Bu kısımda A(n), Tekil olmayan s x s matriks ve “f” fonksiyonunun,

şeklinde tanımlı olduğu;

eşitliğini ilk olarak ele aldığımızda.

Teorem 4.6.1 (4.37)’nin çözümü olan için;


[email protected]

eşitliği yazılabilir. Burada ifadesi de;

şeklinde ayrıca yazılabilir.

İspat:

olsun. Bu ifade, (4.37)’de yerine konduğundaki şekliyle;

olur. Buradan da;

ve

olduğu görülür. (4.40) eşitliğinden de ifademiz;

şeklini alır. Şimdi de“f” fonksiyonunun, şeklinde tanımlı olduğu;

eşitliğini dikkate alalım.

Kabul 4.6.1 f, şeklinde tanımlı ve kısmi türevleri ’de olsun.

için (4.42)’nin çözümü; ve

olur. Bu durumda; için de;

yazılabilir. Bu ifade;


[email protected]

eşitliğinin çözümü olup;

olarak da gösterilebilir. Bu eşitlik; “varyasyonel eşitlik” olarak adlandırılmaktadır.

İspat: (4.42)’nin “ ” için diferansiyel ifadesi;

olmaktadır. Şimdi “ ” nin tanımından ve (4.45)’den Teorem 4.6.1;

eşitliğine genellenebilir.

Teorem 4.6.2 ve ifadesinin ’de tanımlı ve sürekli

olması durumunda eğer;

eşitliğinin çözümü; ise (4.47)’nin her bir çözümü için ayrıca;

yazılabilir. Burada;

olmakla birlikte “ ” ifadesi, (4.50)’de de verilen kapalı eşitlik ile ilişkilidir.

İspat: ve ifadelerini kullanarak;

yazabiliriz. Buradan;


[email protected]

ifadesine ulaşırız.

“Esas Değer Teoremi”nden;

olmaktadır. Bu ifade (4.44)’den;

şeklini alır. Bu son ifade de;

ile denk olup işlem buradan devam ettirildiğinde;

ve

şeklinde işlem sonuçlandırılmış olur.

Sonuç 4.6.1 Teorem 4.6.2’den çözümü için;

yazılabilir.

İspat: “Esas Değer Teoremi”ni (4.49) için bir kez daha uygulayınız.

Sonuç 4.6.2 Eğer oluyor ise (4.52) eşitliği (4.38)’e indirgenmiş olur.

İspat: Eğer ise;

olur. Daha önceden de;

ve


[email protected]

olduğunu biliyoruz ki; buradan da işlem yukarıdaki gibi sonuçlandırılabilir..

4.7 İlk Yaklaşık Değer İle Sabitlik

“y” değeri şeklide tanımlı, A(n) ise s x s şeklinde bir matriks olsun. Ayrıca “f”

fonksiyonu şeklide tanımlı ve f(n,0)=0 olmak üzere;

şeklinde bir ifade yazabiliriz. Şimdi bu eşitliği inceleyecek olursak; “f” değeri yeteri kadar

küçük seçildiğinde (4.53);

olarak ifade edilebilir. Burada aklımıza gelen sorulardan birisi (4.54)’ün sabitlik özellikleri ile

(4.53)’ün sabitlik özellikleri arasında nasıl bir ilişkiden söz edilebileceğidir. Bu sorunun cevabı

da bir sonraki teoremde verilmiştir.

Teorem 4.7.1

olsun. Burada eğer“ ” değerleri pozitif ve ise (4.54)’ün sıfır çözümü “tek tip

sabit (ya da tek tip asimptotik)” olur. Aynı bu durum (4.53) içinde geçerlidir. Yani; (4.53)’ün

sıfır çözümünün de “tek tip sabit ( ya da tek tip asimptotik sabit)” olduğunu söyleriz.

İspat: (4.38)den;

olur. Benzer şekilde Teorem 42.1 ve (4.55)’den;

ifadesine ulaşabiliriz. Sonuç 1.6.2’den de ;


[email protected]

olmak üzere değerini yeteri kadar küçük seçtiğimizde işlemi;

şeklinde devam ettirebiliriz. “Tek tip asimptotik sabitlik” durumundaysa ,

ve her için;

yazılabilir. Burada da olmalıdır.

Sonuç 4.7.1 (4.54)’ün çözümlerinin sınırlandırıldığı ve A(n)’in sabit olduğu durumdaki çözüm

için;

yazılabilir. Burada;

koşulu sağlanmalıdır.

Teorem 4.7.2

olması koşulu ile L>0 olacak şekilde ufak bir değer olarak alındığında; (4.54)’ün “ ”

çözümü “tek tip asimptotik sabit” olur. Benzer şekilde; (4.53)’ün “ ” çözümü de

“ekspronansiyel tek tip asimptotik sabit” olur.

İspat: Teorem 4.2.2’den; H>0, için;

yazılabilir buradan hareketle (4.58) de kullanılarak;

ifadesine ulaşabiliriz. Yeni varyasyonel değerlerin; olması durumunda;

olduğunu görüyoruz. Burada Sonuç 1.6.2’yi tekrar kullandığımızda;


[email protected]

sonucuna ulaşırız. Bu ifade bize;

olduğunu gösterir. Buradan da sonuç olarak; için yazabiliriz.

Aşağıda bahsi geçen özel durum, uygulamalarda daha sık kullanılmaktadır.

Sonuç 4.7.2 (Perron)

denklemini dikkate aldığımızda. A’nın tüm öz değerlerinin birim disk içerisinde olması

durumunda, dahası;

olduğunda “n”e bağlı tek tip olarak (4.60)’in sıfır çözümleri “ekspronansiyel asimptotik

sabit” olur. Bu sonucu kolaylıkla ispatlayabiliriz.

Teorem 4.7.3 A, s x s matriks olmak üzere “ ” eşitliğinin sıfır çözümü eğer;

koşulunu sağlıyor ise“asimptotik sabit”tir. Dolayısıyla (4.56)’nın sıfır çözümü de “asimptotik

sabit” olur.

4.8 Liapunov Fonksiyonları

Kritik noktaların sabitlik özellikleri çalışılırken kullanılacak en etkili yöntem;

“Liapunov’un ikincil metodu”dur. Bu metotta, mekanik sistemlerdeki enerjinin rolünü

genelleyen bir yardımcı fonksiyon kullanılır. Diferansiyel sistemlerde 1982 yılından bu yana

kullanılmasına karşın, “fark eşitlikleri”nde kullanımı çok daha yeni bir hadisedir. “yardımcı

fonksiyon” ifadesini vermeden önce bu fonksiyonla birlikte bir takım özel fonksiyonları da

vermek faydalı olacaktır.


[email protected]

Tanım 4.8.1 “ ” fonksiyonu, eğer “ ” aralığında sürekli ise “k-tipi fonksiyon” olarak

adlandırılır. Bu fonksiyon artan bir fonksiyondur ve “ ” dır.

Herhangi iki fonksiyonun ikisinin de “k-tipi” olup olmadığını kontrol etmek son derece

kolaydır;

Tanım 4.8.2 Bu fonksiyonu, eğer olacak şekilde tüm

için; ( veya ) şartını sağlayan bir fonksiyon ise “pozitif

tanımlı” ( veya negatif tanımlıdır).

Tanım 4.8.3 Tüm olacak şekilde için; şartını

sağlayan fonksiyonu “artan”dır.

f’in şeklinde tanımlı olduğu, ve ’in “x” için

sürekli olduğu;

eşitliğini ele alalım. , (4.62)’nin çözümü olmak üzere başlangıç koşullarında

için değerlerini alır. “V” fonksiyonunun varyasyonlarını (4.62)’nin

çözümlerinde kullanacak olursak;

olduğunu görürüz. Burada eğer şeklinde tanımlı ve

koşulunu sağlayan bir “w” fonksiyonu var ise;

ifadesi “karşılaştırma eşitliği” ile ilişkilendirerek;

yazabiliriz. Burada yardımcı fonksiyon olan V(n,x), “Liapunov Fonksiyon”u olarak

adlandırılır. Bu fonksiyon ile ilgili ikincil ergüman olarak; bu fonksiyonların daima sürekli

oldukları kabul edilecektir.


[email protected]

Teorem 4.8.1 “V”, “g”, ve şeklinde aşağıdaki koşulları sağlayan iki fonksiyon

olsun;

(1) ve “ ” için fonksiyonu azalmayandır.

(2) için “ ” fonksiyonu pozitif tanımlı ve süreklidir.

(3) “V” fonksiyonu (4.64) ile ilişkilidir.

Bu koşullarda;

(a) (4.65)’in “ ” çözümünün sabitliği “ ” çözümünün sabitliği ile aynıdır.

(b) “ ” çözümü “asimptotik sabit” ise “ ” çözümü de “asimptotik sabit”tir.

İspat: Teorem 1.6.1’den de biliyoruz ki; için idi. Buradan

olduğu da görülebilir. “Pozitif Kapalılık” hipotezinden de için;

olduğunu gösterebiliriz. Eğer karşılaştırma eşitliği sabit ise; olmak

zorundadır. Dolayısı ile şeklini alır. ifadesinden

de;

sonucuna ulaşırız.

“V” nin sürekliliği ile ilgili hipotezden de biliyoriz ki; olacak

şekilde bir “ ” bulabiliriz. Bu durumda yazarak asimptotik

sabitliliğin bir sonucu olan;

ifadesinden olduğu sonucuna ulaşırız. Benzer şekilde;

olur.

Sonuç 4.8.1 Eğer ’da tanımlı ve “x” için sürekli bir “pozitif tanımlı V(n,x)

fonksiyonu” var ise yazılabilir. Bu durumda da (4.62)’nin sıfır çözümü “sabit”

olur.

İspat: “w(n,u)=0” olduğu durumda karşılaştırma eşitliği; sabit sıfır çözümüne sahip;

“ ” şeklini alır.

Teorem 4.8.2 V(n,x) ve g(n,u) fonksiyonları (1), (2) ve (3) koşullarını sağlayan iki fonksiyon

olsun. V’nin de artan olduğu durumda şunlar söylenebilir;


[email protected]

• “ ” çözümünün “tek tip sabit “olması “ ” çözümünün de “tek tip sabit”

olduğu anlamına gelir.

• “ ” çözümü “tek tip asimptotik sabit” ise “ ” çözümü de “tek tip

asimptotik sabit” olur.

İspat: İspatımıza, bir önceki durumda kabul ettiğimiz ifadesinin “ ” dan

bağımsız olarak seçilebilir olduğunu göstererek devam edebiliriz. Bunu da;

olacak şekilde bir “ ” değeri var ise V(n,x) fonksiyonunun

sürekli olduğu hipotezinden faydalanarak gösterebiliriz. Daha önce de yazdığımız gibi;

idi. Buradan; olmak üzere yazabiliriz. Eğer

şartını sağlayacak şekilde alacak

olursak; “ ” ifadesi her için olur.

Sonuç 4.8.2 Eğer olacak şekilde; “pozitif tanımlı” ve “artan” bir “V

fonksiyonu” var ise “ ” çözümü “tek tip sabit” olur.

Sonuç 4.8.3 Eğer olmak üzere;

ve

olacak şekilde bir “v” fonksiyonu var ise “ ” çözümü “tek tip asimptotik sabit” olur.

İspat: “ ” ve “ ” olarak alındığında olur. Dolayısı ile

olmak zorundadır. Açıkça görülmektedir ki; “ ” “tek tip

sabit”tir. “tek tip asimptotik sabitlik” için; olarak verilmiş ve olsun.

Bu durumda tek tip sabitlik özelliklerinden;

şeklinde bir sayı değerine ulaşırız. Bu durumda ifade için tam sayı seçtiğimizde;

ve olacak şekilde bir olduğunu göstermemiz yeterli


[email protected]

olacaktır. Aksi halde tüm için olacaktır. Buradan da;

olarak gösterilebilir. Bu da ’nin tanımı dolayısı ile bir çelişki durumu ortaya

çıkarır. Sonuç olarak; olacak şekilde bir “ ” vardır ve bu da “ ”

için olduğu anlamına gelir. Başka bir ifade ile için

yazılarak ispat sonuçlandırılmış olur.

Benzer şekilde “ ” seçimi için olduğu görülebilir.

Eğer “V” fonksiyonunu Teorem 4.8.2 ile ele alacak olursak, V’nin artan özelliği

ortadan kalkar ve sıfır çözümü “asimptotik sabit” şeklini alır.

Teorem 4.8.3 V fonksiyonu;

(1) , V pozitif tanımlı ve sürekli

(2)

olduğunda orjin noktası (4.62) için “asimptotik sabit” olur.

İspat: Teorem 4.8.1’den de biliyoruz ki; orjin noktası sabittir. Bu noktanın asimptotik

sabit olmadığını kabul ettiğimizde için olacak şekilde bir

çözümün ve olduğunu söyleyebiliriz.

olduğunda ise olur. Burada “n” değeri

isteğe bağlı olarak “ ” içerisinden geniş olmakla birlikte tüm “ ” değerleri için

limit değerine baktığımızda;

olduğu görülür. Bu da V’nin pozitif tanımlı olduğu hipoteziyle ters düşen bir durumdur.

Teorem 4.8.4 V fonksiyonu;

(1) olmak üzere; “pozitif tanımlı” ve “sürekli”,

(2) ; (p ve c pozitif sabitlerdir.) koşullarını sağlıyor olsun. Bu

durumda “ ” çözümü “ -sabit” olur.


[email protected]

İspat: Teorem 4.8.3’den biliyoruz ki; “ ” çözümü “asimptotik sabit” olduğunda;

için koşulunu sağlayan bir “ ” vardır. Şimdi;

G(n) fonksiyonu için;

olsun. Buradan;

ve için ;

ve

yazılabilir. Bu ifadelerde ;

ve

şekline dönüşür.

Bir sonraki teorem bir öncekinin genelleştirilmiş halidir. Bu aynı zamanda LaSalle’nin

inveryans prensibinin de uygun bir gösterimidir.

yukarıdaki denkleminin çözümü olan ifadesinin başlangıç vektörü “ ” sürekli

olsun.

Teorem 4.8.5 olsun;

(1) V(n,y)’in sınırlandırılmış formu olan için;

olacak şekilde iki tane reel değerli V(n,y), w(y)>0 fonksiyonu vardır.

(2) için olup çözümü sınırlı değildir ya da;


[email protected]

kümesinde yakınsaktır.

İspat: için kabulünden ’in artan olduğunu söyleyebiliriz.

Çünkü; “V” sınırlıdır. için V fonksiyonu yakınsaktır ve ifadesi de sıfıra

yaklaşmaktadır. Bu durumda “limitE” içerisinde sonlu bir ifade olmakta veya sonsuz

kalmaktadır.

Sonuç 4.8.4 “u(x)” ve “v(x)” fonksiyonlarının için;

olacak şekilde “sürekli reel değişkenli” fonksiyonlar olduğunu kabul edelim. ’nin sabit

alınması durumunda; kümesi şeklini alır.

Teorem 4.8.5’deki hipotezden ve için; tüm çözüm ifadeleri, ile başlar ve

’a kadar olan değerleri alır. Bunun yanı sıra “ ” için de E’ye yaklaşır.

İspat: olsun.

olduğunda için; olur.

Örnek 11: M, s x s matriks olmak üzere;

eşitliğini dikkate aldığımızda. ifadesi;

şeklinde gösterilebilir. Buradan;

yazabiliriz. olduğunda da olur. Benzer

şekilde tüm için ve olduğunda;

olduğunu gösterebiliriz. Burada görmekteyiz ki; için oluyorsa “w(y)” ifadesi

pozitiftir.

E-kümesi, orjin ve sınırları dahilinde olabilir çünkü; V, için artan

durumundadır. Bu artan durum içinde, son olasılık durumu söz konusu olamaz. Çözümün


[email protected]

ile başlayan şekli, bu kümenin dışında olamaz ve orjin noktasına yakınsar. ise orjinin

asimptotik sabit olduğu, özel sınırlarını belirler. “ ” in farklı değerleri için de farklı asimptotik

sabitlik bölgeleri olur. Ayrıca bu farklı bölgelerin her birisinin kendi içerisinde asimptotik sabit

olduğu ortadadır. Eğer “M” değeri, spektral yarıçapı birden ufak olan “n” değerlerinden

bağımsız ise “ ” in sürekli olduğu durum için “ ” seçimi yapabiliriz. Buradaki

sonuçlara göre söyleyebiliriz ki; “asimptotik sabitlik” için farklı bölgeler tanımlanabilir.

Tanım 4.8.4 şeklindeki limit kümesi için “ ” dizisinin tüm limit

değerlerinden oluşan bir kümedir. ve için olacak şekilde bir sınırsız

kümesi var ise olur.

Tanım 4.8.5 olduğu durumda kümesi “inveryant” olarak adlandırılır ve

için yazılabilir.

Fark eşitliğinin özerk olması durumunda f sürekli bir fonksiyon olmak üzere “f(0)=0” olur.

Şimdi Teorem 4.8.5 kullanıldığında;

Teorem 4.8.6 için;

(1) “y” de sürekli iki reel değişkenli ve “V” ile sınırlandırılmış iki fonksiyon olarak V(y),

w(y) var ise; olur.

(2) için olur.

koşullarının sağlandığını düşünelim. bu durumda “ ” sınırlandırılmış olur veya “ ” ifadesi

E’de sürekli olmak üzere, maksimum inveryant kümesi olan M’e benzerdir.

İspat: Daha önce de olduğu gibi “özerk eşitliğin” herhangi pozitif limit değerler

kümesi, boş bir küme değildir. Bu küme inveryant ve aynı zamanda da küçük bir

kümedir (Bkz. Problem 4.14).

Sonuç 4.8.4 aşağıdaki gibi tekrardan yazılabilir.


[email protected]

Sonuç 4.8.5 Teorem 4.8’dan D kümesindeki bazı “ “ değerleri için;

yazacak olursak; tüm çözümler, ’de olur ve bu ifade için M kümesine benzerdir.

Teorem 4.8.7 şeklinde tanımlı ve için; şeklinde sürekli bir

fonksiyon olmak üzere; herhangi bir için çözümünü sınırlandırılmış oluruz

veya “ ” için “ ” ifadesi sıfıra yaklaşır. Daha genel bir ifade ile eğer

ise “ ” için sıfır değerine yaklaşır.

İspat: olarak alındığında;

olur ve eğer olacak şekilde bir değeri var ise “n>k” için

şeklini alır. Diğer taraftan tüm “n” değerleri içinde

yazabiliriz. Her iki durumda da “V” fonksiyonu “monoton”dur. “V”

azalmayan bir fonksiyon ve “ ” ifadesi de ’in pozitif limit kümesi olmak

üzere; ’in boş küme olmaması durumunda, ifadesi sınırsız olup

teoremin ispatı tamamlanmış olur. Dolayısı ile monoton bir fonksiyonun limiti tekil

olacağından “ ” için ifadesi de sabit olur. Fakat bu ikinci durum imkansızdır.

çünkü; olmadığı sürece olmak zorundadır. Böylelikle alternatif

durumlar da basitçe ispatlanmış olur.

4.9 Asimptotik Sabitlik Bölgesi

Bu kısma kadar bulunan sonuçlar bizi; başlangıç değerinin yeteri kadar küçük olması

durumunda orjin için çeşitli sabitlik durumlarının oluğunu sonucuna götürmektedir.

Uygulamalarda ise esas ilgilenilen husus; hangi başlangıç durumları için “asimptotik sabitlik”

bölgesi oluştuğudur. Diğer bir ifade ile ’deki bir sürekli sabitlik bölgesinin hangi başlangıç

değerleri için çözümlerin sabit noktaya yaklaştığını bilmemiz gerekmektedir. Bu problem


[email protected]

durumu; çözümü zor olan bir problem olup bir sonraki bölümde cevapları tartışılmıştır. Bunun

yanında özerk fark eşitlikleri olan;

ile ilgili bir takım sonuçlar daha sonra verilecektir. Burada f, şeklinde tanımlı ve

“0” için değerini almaktadır.

Teorem 4.9.1 ve için “V” fonksiyonu şeklinde tanımlıdır ve

bu fonksiyon için olsun. Bu durumda orjin “asimptotik sabit”tir. Dahası eğer

ve için ise orjin “küresel asimptotik sabit “olur.

İspat: Teorem 4.8.1 ve Sonuç 4.8.1’de de kullanıldığı gibi V’nin sürekliliği ergümanı

ispat için kullanılacak olursa; Asimptotik sabitliğin ispatı için olmak üzere

için ’in hızlı azalan ve sıfıra yaklaşan bir ifade olduğunu göstermemiz

gerekmektedir.

Yine V’nin sürekliliği ifadesinden “ ” dizisinin sıfıra yaklaşması

gerekmektedir. Şimdi son hipotezin doğruluğunu varsayalım. Bu durumda;

şeklini alır ve böylelikle de ispat tamamlanmış olur. Örneğin; (4.74) eşitliğini ele

aldığımız da f’nin lineer olması durumunda;

olursa ve buradan da “B” ifadesi “pozitif simetrik belirli matriks” olmak üzere;

yazılabilir. 0 olması durumunda da;

ifadesi için;

olmalıdır. Buradaki herhangi bir “C” pozitif belirli matriksi için aşağıdaki sonuçlara

ulaşılabilir.

Sonuç 4.9.1 (4.77)’nin ispatından da olduğu gibi eğer bir “belirli pozitif simetrik B matriksi”

var ise orjin “küresel asimptotik sabit”tir. Bu sonucun terside doğrudur.


[email protected]

Teorem 4.9.2 (4.75) için orjinin “asimptotik sabit” olduğunu kabul ettiğimizde (4.47)’de

olduğu gibi “belirli pozitif B ve C matriksleri”nin varlığı ispatlanmış olur.

(4.77) ifadesinin sürekli durumu için;

olur. Burada “G” ve “ ” , “belirli pozitif simetrik matriksler”dir ve “S” ifadesi de negatif reel

öz değerleri alan bir ifadedir. Buradaki (4.78) eşitliği “Liapunov Matriks Eşitliği” olarak

adlandırılır. Elbette buradaki (4.77) ve (4.78) ifadeleri arasında bir ilişki söz konusudur.

olarak alındığında (4.78) ifadesi (4.77) şekline dönüşür.

içinde aynın durum geçerlidir. “B” matriksini bulmak istediğimizde (4.77) matriks eşitliğini

çözmemiz gerekmektedir, bunun içinde “A” çin uygun “C”ler seçilmelidir. (4.77)’nin çözüm

metodu ile ilgili çalışmaların büyük bir bölümü geçtiğimiz yıllarda tamamlanmıştır. Aşağıdaki

teoremde (4.74)’ün sıfır çözümü için orjinin “asimptotik sabitliği” tartışılmış olup Zubov’un

teoreminin bir versiyonu şeklinde düşünülebilir.

Teorem 4.9.3 (4.74) eşitliğini ele aldığımızda ve “V” ve “ ” fonksiyonlarının aşağıdaki

koşulları sağladığını varsayarsak;

(1) için

(2) için

(3)

kümesi “asimptotik sabitlik” için gerekli koşul bölgesini oluşturur

İspat: (3) koşulundan;

yazılabilir. Burada bilinmesi gereken


[email protected]

olduğudur. Şimdi “ ”ın asimptotik sabitlik bölgesi boyunca uzandığını varsayalım.

Bu durumda eşitliğin sol tarafı bir değere yaklaşır, benzer şekilde eşitliğin sağ tarafının

da;

olduğu durumda “ ” ifadesine yaklaşır. Buradan da için

olur. Bu durumun aksi olan için (4.79)’dan da

görülebileceği üzere “ ” değeri D’nin dışında kalır ve “V” fonksiyonu asla sıfır

olmaz. Bu da “ ” nin sıfıra yaklaşmadığı anlamı taşır. Eğer bu teoremi kullanacak

olursak, ilk olarak (4.74)’ün “ ” çözümü bilinmeli, diğer taraftan da (4.79)

kullanılarak “D” kümesini tanımlayan sadece birkaç durum için

gerekleştirilebilmektedir.

Teorem 4.8.5, 4.8.7 ve bunların sonuçları bize “E” kümesi için “ ” terimlerini

içeren “asimptotik sabitlik bölgeleri” vermektedir. Teorem 4.8.7 ifadesi kritik noktalar için

“asimptotik sabitlik bölgeleri” verir. Benzer şekilde Teorem 4.8.7. “asimptotik sabitlik

bölgelerinin” gösteriminde kullanılabilir. Orjini içeren bir açık “H” alanı için

olduğunu düşündüğümüzde, için;

ve

olur. Burada şeklindedir.

Teorem 4.9.4 Eğer “ ” bölgeleri sınırlı ve boş değil ise (4.74)’ün “asimptotik sabitliği” için

özel tanımlı alanlar vardır.

İspat: Eğer “ ” boş değilse ve ise olduğu sürece “ ” değeri

“ ” nin hiçbir yörünge değeri için artan değildir. Buradan hareketle de;

ve


[email protected]

yazılabilir.

Burada tüm “k” değerleri için olur. Buradan da görmekteyiz ki; “y(n,x)” ifadesi

sınırlıdır. Teorem 4.8.7 ve için daha açık sonuçlar elde edilebilir. “H” deki “V”

değerleri için koşulunu sağlayan bölgeler için;

H sınırı

yazılabilir. Örnek olarak “biomatematikte” her geçen gün kullanımı artan bir sonraki

yapılanmayı dikkate alacak olursak;

Örnek 12:

için;

ifadesini dikkate alırsak;

kümesi orjini kapsar. için ve “ ” için;

yazılabilir.

4.10 Zıt Teoremler

Bu kısımda, kesin sabitlik durumlarında “Liapunov Fonksiyonları”nın nasıl yapılandığı

konusuna yer verilmiştir. Bu yapılanmalardan ve problemlerin çözümlerinin kullanımından da

anlaşılacağı üzere “Liapunov Fonksiyonları” pratikte çok ufak bir kullanım alanına sahiptir.

Uygulamalarda çok önemli bir yere sahip olan “toplam sabitlik” ile ilgili sonuçların ortaya


[email protected]

konmasından önce “zıtlık teoremlerinin” gerçek önemi ortaya konacaktır. Bundan dolayı bir

takım sonuçlar burada ortaya konacak ve daha sonra da bu sonuçlar gerektiğinde

kullanılacaktır.

Teorem 4.10.1 (4.62)’nin sıfır “tek tip” olduğunu kabul edelim. Bu durumda tüm çözümler

için olarak şekilde pozitif belirli ve artan bir “V” fonksiyonu vardır.

İspat:

fonksiyonunu ele alalım. Her zaman olduğu gibi buradaki “ ” ifadesi

şeklidedir. (4.80)’in bir sonucu olarak; olur ve bu koşulda “V” nin

belirli pozitif olduğunu gösterir. Tek tip sabitlik tanımından da biliyoruz ki; eğer

ise oluyordu. Genel ifadelerden uzaklaşmaksızın

Bkz Problem 4.8ve4.9) olduğu kabul edilecektir. “ ” olsun bu durumda;

yazılabilir. Bu ifade bize göstermektedir ki; “V” fonksiyonu

artandır. Diğer taraftan tüm çözümler için;

ve

yazılabilir. Böylelikle ispat tamamlanmış olur.

Teorem 4.10.2 f(n,x), ifadesinin orjin çevresinde “bölgesel Lipschitz” olduğu durumda

(4.62)’nin sıfır çözümünün “tek tip asimptotik” olduğunu kabul edelim. Bu durumda; tüm

çözümler için olacak şekilde bir belirli pozitif ve artan bir “V”

fonksiyonu vardır. Buradaki “V” fonksiyonu “Bölgesel Lipschitzean”dır.

İspat: r>0, G(0)=0, 0, olacak şekilde bir G(r) fonksiyonu

tanımlanmış olsun. olduğu sürece;


[email protected]

ve

olur. “u=w/x” olarak alınırsa;

olur. Tanım olarak ta;

yazılabilir. Burada “k=0” için;

olur.

Orjin için “tek tip sabitlik” durumu söz konusu ise;

olacak şekilde bir ifadesi vardır. Buradan da;

yazılabilir (Bkz. Bir önceki teorem).

ise

olur. Asimptotik sabitlik durumunda ve için olmak üzere;

için;

ve

olur. Bu da bizi;


[email protected]

sonucuna götürür. Bu ifade göstermektedir ki; olacak şekilde

“ ” ifadesi için;

yazılabilir. “ ”in istenen farklı değerleri için;

olur. Buradan da;

sonuçlarına ulaşılır. : Lipschitz sabitleri olmak üzere;

olur. En son ifadeden; yazılabilir. “ ” fonksiyonu tüm

“K” değerlerini alır çünkü; için hızlı artan bir fonksiyondur ve G(0)=0’dır.

İspatı tamamlamak için; “V” de olduğu gibi G’nin Lipschitz fonksiyon olduğu bir “G”

fonksiyonu seçebileceğimizi göstermemiz gerekmektedir.

Tek tip asimptotik sabitliğin tanımından; r>0 için ve

olacak şekilde bir “ ” vardır. Çünkü; “f” bir “Libschitz

Fonksiyon”dur. Dolayısı ile

olur. Daha önce de tanımlanmış olan N(r) fonksiyonu için;


[email protected]

ve

olsun. “G(r)” için de benzer durumlar söz konusudur. Çünkü; N(r) fonksiyonu artandır

ve olur. Daha önce de görmüştük ki;

olduğunda;

olmaktadır. Daha açık bir gösterim için “ ” olarak kabul ettiğimizde “ ” için;

ve “ ” içinde; yazdığımızda;

olur. Fakat “ ” için de;

olur. Gerekli ifadeler yerine konulduğunda;

ifadesine ulaşırız. (4.87) ve (4.83)’den ve (4.87)’nin “ ” ile

çarpımından;

olur. Buradan da,

olmak koşulu ile; olarak gösterilebilir. ve kendi

içindeki değişimlerinden daha basit bir ifade olarak;

yazılabilir. Bu da bize göstermektedir ki;

ifadesi teoremi ispatlamaktadır.

Bir sonraki teorem “ -sabitlik” durumunun “zıtlığı” ile ilgilidir.


[email protected]

Teorem 4.10.3 (4.62)’nin sıfır çözümü “ -sabit” olsun ve , olmak üzere;

olsun. Bu durumda; olacak şekilde bir

şeklinde tanımlı, belirli bir pozitif artan “V” fonksiyonu vardır.

İspat:

olsun. Bu durumda;

olur ve bu da V’nin “belirli pozitif” olduğunu gösterir. İşlemi devam ettirdiğimizde;

ve

olur. Bu eşitlikle de ispat tamamlanmış olur.

4.11 Tam Sabitlik ve Uygulamadaki Sabitlik

R, ’da Lipschitz fonksiyonu, “R(n,0)=0” ve sınırlı bir fonksiyon olmak üzere;

eşitliklerini dikkate alacak olursak. Buradaki (4.88) eşitliği (4.89)’un farklı bir gösterimi olarak

düşünülecektir. (4.89)’un sıfır çözümünün çeşitli sabitlik özelliklerine sahip olduğunu kabul

edelim. Bizim burada bulmaya çalışacağımız cevap; R’nin hangi durumlar için sıfır çözümü

çeşitli sabitlik özelliklerine sahip olmaktadır.


[email protected]

Tanım 4.11.1 (4.89)’un “y=0” çözümü “tam sabitlik” olarak adlandırılır. Eğer her bir

için “ ” ve “ ” olacak şekilde iki pozitif sayı var ise; (4.88)’in

çözümü “ ”nın içindedir. Bu durumda için; ve , için de


Teorem 4.11.1 (4.89)’un sıfır çözümünün “tek tip asimptotik sabit” olduğunu kabul edelim.

Bu durumda eğer;

ise bu sıfır çözümü “tam sabit”tir.

İspat: , (4.88)’in çözümü olsun. “tek tip asimptotik sabitlik teorisi”nden

(Bkz. Teorem 4.10.2) için ve olur ve içinde

olur. Buradan hareketle de ve olmak üzere “V”

fonksiyonu için şu sonuçlar yazılabilir;

(a) ,

(b) ve

(c) için , olsun.

ve olarak seçildiğinde de;

yazılabilir.

“ ” değeri keyfi olarak küçük seçildiğinde; olur. için

olsun; bu durumda ve

olarak bulunur. Ayrıca için;

ifadeleri elde edilir. Şimdi ve olmak üzere; için

ve olduğunu kabul edelim. Bu durumda;


[email protected]

ve

olur. Burada olacak şekilde bir indeks değeri vardır. Bu da bizi;

ve

sonucuna götürür. Sonuç olarak; ifadesinden;

bulunur.

(4.92) ve (4.91)’den de;

olur.

Sonuç 4.11.1 Teorem 4.11.1’in doğru olduğu ve olduğu durumda;

olur “ ” için monotondur. Bu durumda (4.89) ifadesinin çözümü

“tek tip asimptotik sabit”tir.

İspat: Elimizde (4.91)’den;

bulunmaktadır. Şimdi “ ” ile ilgili hipotezlerden ve

olduğunu kabul edelim. Bu durumda ve

olacak şekilde bir “M” değeri seçilebilir. Buradan; ve buradan da;

yazılabilir ki; bu da Teorem 4.8.5’in ispatı olur.


[email protected]

“Toplam sabitlik” ifadesi; (4.89) ve (4.88)’in “uygulamalı sabitlik” ifadesi ile

ilişkilendirildiğinde; “R(n,0)=0” olamayacağı gibi (4.88) ifadesi için orjinde sabit bir noktaya

sahip olmadığı görülebilir; fakat şu da bilinmektedir ki; tüm “n” değerleri için

sınırlıdır. Bu türden sabitliklerde nümerik analizde son derece önemli bir yere sahiptir. Burada

hataların kesin eşitliliği yörüngesel anlamda daha küçük kılınamamaktadır.

Tanım 4.11.2 (4.89)’un “y=0” çözümü “uygulamalı sabitlik” olarak adlandırılır. Eğer orjine

yakın bir “A” komşuluğu söz konusu ise ve benzer şekilde ise; için (4.89)’un

çözümü A’nın içinde kalır.

Teorem 4.11.2 (4.88) eşitliğini dikkate aldığımızda; olacak şekilde kümenin oldğunu

var sayalım. Bu durumda şunlar söylenebilir;

(1)

(2)

Bu koşullar altında orjin (4.89) için “uygulamalı sabit” olur.

İspat: ve sırası ile (4.88) ve (4.89)’un çözümleri olsun; ve

hipotezden de yazılacak olursa. Buradan;

sonucuna ulaşmış oluruz. Eğer burada “ ” ise iki çözüm arasındaki çözüm asla

“ ” değerinden büyük olamaz. olacak şekilde uygun bir değer seçildiğinde her

iki çözümde yuvarı içerisinde kalır ve böylelikle ispat tamamlanmış olur. Bir

sonraki teoremde bu sonuçların genelleştirilmesi ile ilgilidir.

Teorem 4.11.3 (4.88) eşitliğini ve kümesini dikkate aldığımızda; eğer tüm

olacak şekilde, reel değerler alan D’ de tanımlı iki sürekli fonksiyon var ise; koşulunu

saplayan sabit değerler için;

(1)

(2)

olur. Burada S ifadesi;

ve A ifadesi de;

Açıklama:


[email protected]

olduğunda tüm çözümler D’nin içerisinde kalır ve “ ” olduğunda A’ya dahil olanlar

olduğu gibi içinde bu çözümler A’nın içinde kalır.

İspat: olarak kabul edersek; ve

olur. Eğer “ ” ifadesi sıfırdan küçük ve ise;

olur. Buradan da yazılabilir. olduğu durumda ise

olduğu için; olmak zorundadır. Bu ifadeyle de ispat

tamamlanmış olur.

Sonuç 4.11.2 Eğer ise; (4.88)’in her bir çözümü D’nin

içerisinde kalır ve sınırlı sayıdaki değer için olan çözümler de A’ olur.

İspat: ’dan

yazılabilir. Bu durumda ve olur ve bu da için

olduğundan dolayı bir çelişkidir.

Documents

Fark Eşitlikleri