スカラー場とベクトル場

用語空間内の領域 を考える

. – p.1/28

スカラー場とベクトル場[用語]

空間内の領域 を考える

. – p.1/28

スカラー場とベクトル場[用語]

空間内の領域 D を考える

. – p.1/28

スカラー場とベクトル場[用語]

空間内の領域 D を考える• D 内の各点 pにスカラーを対応させる関数 f(p)があるとき f を D のスカラー場と呼ぶ。

. – p.2/28

スカラー場とベクトル場[用語]

空間内の領域 D を考える• D 内の各点 pにスカラーを対応させる関数 f(p)があるとき f を D のスカラー場と呼ぶ。

[例]

. – p.3/28

スカラー場とベクトル場[用語]

空間内の領域 D を考える• D 内の各点 pにスカラーを対応させる関数 f(p)があるとき f を D のスカラー場と呼ぶ。

[例]• 山の標高。(平面上のスカラー場。)

空間の温度分布。

真空中に電荷 を置いたとき、電荷からの距離が である点 の電位は

：真空の誘電率

. – p.4/28

スカラー場とベクトル場[用語]

空間内の領域 D を考える• D 内の各点 pにスカラーを対応させる関数 f(p)があるとき f を D のスカラー場と呼ぶ。

[例]• 山の標高。(平面上のスカラー場。)

• 空間の温度分布。

真空中に電荷 を置いたとき、電荷からの距離が である点 の電位は

：真空の誘電率

. – p.4/28

スカラー場とベクトル場[用語]

空間内の領域 D を考える• D 内の各点 pにスカラーを対応させる関数 f(p)があるとき f を D のスカラー場と呼ぶ。

[例]• 山の標高。(平面上のスカラー場。)

• 空間の温度分布。• 真空中に電荷 Qを置いたとき、電荷からの距離が r である点 pの電位は

ϕ(p) =1

4πε0

·Q

r(ε0 > 0：真空の誘電率)

. – p.4/28

スカラー場とベクトル場[用語続き]

. – p.5/28

スカラー場とベクトル場[用語続き]

• スカラー場 f が与えられたとき、定数 cに対し f(p) = c

となる p全体を f の等位面という。

. – p.6/28

スカラー場とベクトル場[用語続き]

• スカラー場 f が与えられたとき、定数 cに対し f(p) = c

となる p全体を f の等位面という。[例]

• 山の等高線。(平面上の等位線)

温度分布の等温面。

真空中の点電荷 からの距離が

で与えられる球面。 等電位面。

. – p.7/28

スカラー場とベクトル場[用語続き]

• スカラー場 f が与えられたとき、定数 cに対し f(p) = c

となる p全体を f の等位面という。[例]

• 山の等高線。(平面上の等位線)

• 温度分布の等温面。

真空中の点電荷 からの距離が

で与えられる球面。 等電位面。

. – p.7/28

スカラー場とベクトル場[用語続き]

• スカラー場 f が与えられたとき、定数 cに対し f(p) = c

となる p全体を f の等位面という。[例]

• 山の等高線。(平面上の等位線)

• 温度分布の等温面。• 真空中の点電荷 Qからの距離が

r =1

4πε0

·Q

c

で与えられる球面。(等電位面。)

. – p.7/28

スカラー場とベクトル場[用語]

. – p.8/28

スカラー場とベクトル場[用語]

• D 内の各点 pにベクトルを対応させる対応F(p)があるときFを D のベクトル場と呼ぶ。

. – p.9/28

スカラー場とベクトル場[用語]

• D 内の各点 pにベクトルを対応させる対応F(p)があるときFを D のベクトル場と呼ぶ。

[例]

. – p.10/28

スカラー場とベクトル場[用語]

• D 内の各点 pにベクトルを対応させる対応F(p)があるときFを D のベクトル場と呼ぶ。

[例]• 山の斜面の各点に、傾きが最も大きい方向に向かう、傾きの大きさをその大きさとするベクトルを対応させると、平面のベクトル場になる。

真空中に点電荷 を置いたとき、電荷からの距離が である点 での電場は

は点電荷から点 へ向かう方向の単位ベクトル。

流体の各点での流速。

. – p.11/28

スカラー場とベクトル場[用語]

• D 内の各点 pにベクトルを対応させる対応F(p)があるときFを D のベクトル場と呼ぶ。

[例]• 山の斜面の各点に、傾きが最も大きい方向に向かう、傾きの大きさをその大きさとするベクトルを対応させると、平面のベクトル場になる。

• 真空中に点電荷 Qを置いたとき、電荷からの距離が r である点 pでの電場は

E(p) =1

4πε0

·Q

r2er

(er は点電荷から点 pへ向かう方向の単位ベクトル。)

流体の各点での流速。

. – p.11/28

スカラー場とベクトル場[用語]

• D 内の各点 pにベクトルを対応させる対応F(p)があるときFを D のベクトル場と呼ぶ。

[例]• 山の斜面の各点に、傾きが最も大きい方向に向かう、傾きの大きさをその大きさとするベクトルを対応させると、平面のベクトル場になる。

• 真空中に点電荷 Qを置いたとき、電荷からの距離が r である点 pでの電場は

E(p) =1

4πε0

·Q

r2er

(er は点電荷から点 pへ向かう方向の単位ベクトル。)

• 流体の各点での流速。. – p.11/28

スカラー場とベクトル場[用語続き]

. – p.12/28

スカラー場とベクトル場[用語続き]

• ベクトル場 Fが与えられたとき、曲線r(t) = (x(t), y(t), z(t))で各点における接線ベクトルddtr = (x(t), y(t), z(t))が Fに対して平行であるものを F

の流線とよぶ。

. – p.13/28

スカラー場とベクトル場[用語続き]

• ベクトル場 Fが与えられたとき、曲線r(t) = (x(t), y(t), z(t))で各点における接線ベクトルddtr = (x(t), y(t), z(t))が Fに対して平行であるものを F

の流線とよぶ。[例]

. – p.14/28

スカラー場とベクトル場[用語続き]

• ベクトル場 Fが与えられたとき、曲線r(t) = (x(t), y(t), z(t))で各点における接線ベクトルddtr = (x(t), y(t), z(t))が Fに対して平行であるものを F

の流線とよぶ。[例]

• 流体の流れに沿った曲線。

微分方程式 の解が定める曲線。

. – p.15/28

スカラー場とベクトル場[用語続き]

• ベクトル場 Fが与えられたとき、曲線r(t) = (x(t), y(t), z(t))で各点における接線ベクトルddtr = (x(t), y(t), z(t))が Fに対して平行であるものを F

の流線とよぶ。[例]

• 流体の流れに沿った曲線。

• 微分方程式 dr

dt= F(r)の解が定める曲線。

. – p.15/28

スカラー場とベクトル場[用語]

. – p.16/28

スカラー場とベクトル場[用語]

• スカラー場 f と大きさ 1のベクトル a = (a1, a2, a3)に対し、

limt→0

f(p+ta)−f(p)

t=

∂f

∂t

∣

∣

∣

∣

t=0

(p+ta)=∂f

∂x(p)a1+

∂f

∂y(p)a2+

∂f

∂z(p)a3

を f の (点 pにおける) a方向への方向微分とよぶ。

の点 における 方向への方向微分は、 から 方向へ 進んだ時の の変化量を表している。ベクトル を用いると、方向微分は

と書かれる。

. – p.17/28

スカラー場とベクトル場[用語]

• スカラー場 f と大きさ 1のベクトル a = (a1, a2, a3)に対し、

limt→0

f(p+ta)−f(p)

t=

∂f

∂t

∣

∣

∣

∣

t=0

(p+ta)=∂f

∂x(p)a1+

∂f

∂y(p)a2+

∂f

∂z(p)a3

を f の (点 pにおける) a方向への方向微分とよぶ。f の点 pにおける a方向への方向微分は、pから a方向へ 1進んだ時の f の変化量を表している。

ベクトル を用いると、方向微分は

と書かれる。

. – p.17/28

スカラー場とベクトル場[用語]

• スカラー場 f と大きさ 1のベクトル a = (a1, a2, a3)に対し、

limt→0

f(p+ta)−f(p)

t=

∂f

∂t

∣

∣

∣

∣

t=0

(p+ta)=∂f

∂x(p)a1+

∂f

∂y(p)a2+

∂f

∂z(p)a3

を f の (点 pにおける) a方向への方向微分とよぶ。f の点 pにおける a方向への方向微分は、pから a方向へ 1進んだ時の f の変化量を表している。ベクトル

(

∂f

∂x(p),

∂f

∂y(p),

∂f

∂z(p)

)

を用いると、方向微分は(

∂f

∂x(p),

∂f

∂y(p),

∂f

∂z(p)

)

· a

と書かれる。. – p.17/28

勾配ベクトル場[用語]

. – p.18/28

勾配ベクトル場[用語]

• スカラー場 f に対し、ベクトル場gradf =

(

∂f

∂x,

∂f

∂y,

∂f

∂z

)

=∂f

∂xi +

∂f

∂yj +

∂f

∂zk

を f の勾配 (gradient)ベクトル場とよぶ。

の勾配は、 の増え方が最も大きい方向を向いたベクトル場である。

と の値を比べると、 展開より：

余り

余りよって、 と が同じ方向を向いているときこの値は最も大きくなる。

. – p.19/28

勾配ベクトル場[用語]

• スカラー場 f に対し、ベクトル場gradf =

(

∂f

∂x,

∂f

∂y,

∂f

∂z

)

=∂f

∂xi +

∂f

∂yj +

∂f

∂zk

を f の勾配 (gradient)ベクトル場とよぶ。• f の勾配は、f の増え方が最も大きい方向を向いたベクトル場である。

と の値を比べると、 展開より：

余り

余りよって、 と が同じ方向を向いているときこの値は最も大きくなる。

. – p.19/28

勾配ベクトル場[用語]

• スカラー場 f に対し、ベクトル場gradf =

(

∂f

∂x,

∂f

∂y,

∂f

∂z

)

=∂f

∂xi +

∂f

∂yj +

∂f

∂zk

を f の勾配 (gradient)ベクトル場とよぶ。• f の勾配は、f の増え方が最も大きい方向を向いたベクトル場である。∵ f(p + ta)と f(p)の値を比べると、Taylor展開より：

余り

余りよって、 と が同じ方向を向いているときこの値は最も大きくなる。

. – p.19/28

勾配ベクトル場[用語]

• スカラー場 f に対し、ベクトル場gradf =

(

∂f

∂x,

∂f

∂y,

∂f

∂z

)

=∂f

∂xi +

∂f

∂yj +

∂f

∂zk

を f の勾配 (gradient)ベクトル場とよぶ。• f の勾配は、f の増え方が最も大きい方向を向いたベクトル場である。∵ f(p + ta)と f(p)の値を比べると、Taylor展開より：

f(p+ta)−f(p)=∂f

∂x(p)a1t+

∂f

∂y(p)a2t+

∂f

∂z(p)a3t + (余り)

余りよって、 と が同じ方向を向いているときこの値は最も大きくなる。

. – p.19/28

勾配ベクトル場[用語]

• スカラー場 f に対し、ベクトル場gradf =

(

∂f

∂x,

∂f

∂y,

∂f

∂z

)

=∂f

∂xi +

∂f

∂yj +

∂f

∂zk

を f の勾配 (gradient)ベクトル場とよぶ。• f の勾配は、f の増え方が最も大きい方向を向いたベクトル場である。∵ f(p + ta)と f(p)の値を比べると、Taylor展開より：

f(p+ta)−f(p)=∂f

∂x(p)a1t+

∂f

∂y(p)a2t+

∂f

∂z(p)a3t + (余り)

= (gradf(p) · a) t + (余り)

よって、 と が同じ方向を向いているときこの値は最も大きくなる。

. – p.19/28

勾配ベクトル場[用語]

• スカラー場 f に対し、ベクトル場gradf =

(

∂f

∂x,

∂f

∂y,

∂f

∂z

)

=∂f

∂xi +

∂f

∂yj +

∂f

∂zk

を f の勾配 (gradient)ベクトル場とよぶ。• f の勾配は、f の増え方が最も大きい方向を向いたベクトル場である。∵ f(p + ta)と f(p)の値を比べると、Taylor展開より：

f(p+ta)−f(p)=∂f

∂x(p)a1t+

∂f

∂y(p)a2t+

∂f

∂z(p)a3t + (余り)

= (gradf(p) · a) t + (余り)

よって、gradf と aが同じ方向を向いているときこの値は最も大きくなる。

. – p.19/28

勾配ベクトル場[例]

. – p.20/28

勾配ベクトル場[例]

• 山の標高を f とすると (平面上の) gradf =(

∂f

∂x,

∂f

∂y

)

は、斜面の傾きが最も大きい方向へ向かう、傾きをその大きさとするベクトル場。

空間の各点での電位 と電場 について次が成り立つ：

練習問題点電荷 について上の関係式を確かめよ。但し電荷からの距離が である点 の電位は

電場は である。は点電荷から点 へ向かう方向の単位ベクトル。

. – p.21/28

勾配ベクトル場[例]

• 山の標高を f とすると (平面上の) gradf =(

∂f

∂x,

∂f

∂y

)

は、斜面の傾きが最も大きい方向へ向かう、傾きをその大きさとするベクトル場。

• 空間の各点での電位 ϕと電場Eについて次が成り立つ：E = −grad ϕ

練習問題点電荷 について上の関係式を確かめよ。但し電荷からの距離が である点 の電位は

電場は である。は点電荷から点 へ向かう方向の単位ベクトル。

. – p.21/28

勾配ベクトル場[例]

• 山の標高を f とすると (平面上の) gradf =(

∂f

∂x,

∂f

∂y

)

は、斜面の傾きが最も大きい方向へ向かう、傾きをその大きさとするベクトル場。

• 空間の各点での電位 ϕと電場Eについて次が成り立つ：E = −grad ϕ

[練習問題]

点電荷 Qについて上の関係式を確かめよ。但し電荷からの距離が rである点 pの電位は ϕ(p) =

1

4πε0

·Q

r

電場は E(p) =1

4πε0

·Q

r2er である。

(er は点電荷から点 pへ向かう方向の単位ベクトル。). – p.21/28

勾配ベクトル場[性質]

. – p.22/28

勾配ベクトル場[性質]

• gradf は f の等位面に垂直である。

として二点 と が同じ等位面 上にあるならば、

余りよって が充分小さければここで と は同じ等位面上にあるので、 は の等位面に接する。

pa

p + ta

grad f

f= c

よって は の等位面に垂直である。

. – p.23/28

勾配ベクトル場[性質]

• gradf は f の等位面に垂直である。∵ |a| = 1として二点 pと p + taが同じ等位面 f = c上にあるならば、

余りよって が充分小さければここで と は同じ等位面上にあるので、 は の等位面に接する。

pa

p + ta

grad f

f= c

よって は の等位面に垂直である。

. – p.23/28

勾配ベクトル場[性質]

• gradf は f の等位面に垂直である。∵ |a| = 1として二点 pと p + taが同じ等位面 f = c上にあるならば、

0 = c − c = f(p + ta) − f(a) = (gradf · a) t + (余り)

よって が充分小さければここで と は同じ等位面上にあるので、 は の等位面に接する。

pa

p + ta

grad f

f= c

よって は の等位面に垂直である。

. – p.23/28

勾配ベクトル場[性質]

• gradf は f の等位面に垂直である。∵ |a| = 1として二点 pと p + taが同じ等位面 f = c上にあるならば、

0 = c − c = f(p + ta) − f(a) = (gradf · a) t + (余り)

よって tが充分小さければ gradf · a = 0

ここで と は同じ等位面上にあるので、 は の等位面に接する。

pa

p + ta

grad f

f= c

よって は の等位面に垂直である。

. – p.23/28

勾配ベクトル場[性質]

• gradf は f の等位面に垂直である。∵ |a| = 1として二点 pと p + taが同じ等位面 f = c上にあるならば、

0 = c − c = f(p + ta) − f(a) = (gradf · a) t + (余り)

よって tが充分小さければ gradf · a = 0

ここで p + taと pは同じ等位面上にあるので、aは f の等位面に接する。

pa

p + ta

grad f

f= c

よって は の等位面に垂直である。

. – p.23/28

勾配ベクトル場[性質]

• gradf は f の等位面に垂直である。∵ |a| = 1として二点 pと p + taが同じ等位面 f = c上にあるならば、

0 = c − c = f(p + ta) − f(a) = (gradf · a) t + (余り)

よって tが充分小さければ gradf · a = 0

ここで p + taと pは同じ等位面上にあるので、aは f の等位面に接する。

pa

p + ta

grad f

f= c

よって は の等位面に垂直である。

. – p.23/28

勾配ベクトル場[性質]

• gradf は f の等位面に垂直である。∵ |a| = 1として二点 pと p + taが同じ等位面 f = c上にあるならば、

0 = c − c = f(p + ta) − f(a) = (gradf · a) t + (余り)

よって tが充分小さければ gradf · a = 0

ここで p + taと pは同じ等位面上にあるので、aは f の等位面に接する。

pa

p + ta

grad f

f= c

よって gradf は f の等位面に垂直である。. – p.23/28

勾配ベクトル場[性質続き]

. – p.24/28

勾配ベクトル場[性質続き]

• n =gradf

|gradf |は、f の等位面に対する単位法線ベクトル

である。

上の 方向への方向微分を と書く。

これより で、 は の方向を向いた

単位ベクトルなので、

. – p.25/28

勾配ベクトル場[性質続き]

• n =gradf

|gradf |は、f の等位面に対する単位法線ベクトル

である。

• 上のn方向への方向微分を ∂f

∂nと書く。i.e.

∂f

∂n= gradf ·n

これより で、 は の方向を向いた

単位ベクトルなので、

. – p.25/28

勾配ベクトル場[性質続き]

• n =gradf

|gradf |は、f の等位面に対する単位法線ベクトル

である。

• 上のn方向への方向微分を ∂f

∂nと書く。i.e.

∂f

∂n= gradf ·n

これより∣

∣

∣

∣

∂f

∂n

∣

∣

∣

∣

= |gradf |で、nは gradf の方向を向いた

単位ベクトルなので、gradf =∂f

∂nn

. – p.25/28

勾配ベクトル場[性質続き]

. – p.26/28

勾配ベクトル場[性質続き]

• 形式的な記号∇ =

(

∂

∂x,

∂

∂y,

∂

∂z

)

= i∂

∂x+ j

∂

∂y+ k

∂

∂z

(ナブラとよぶ)を用いるとgradf = ∇f

と書ける。

和、定数倍、積、商、合成関数の微分公式より、

は定数

練習問題 上記の公式を示せ。

. – p.27/28

勾配ベクトル場[性質続き]

• 形式的な記号∇ =

(

∂

∂x,

∂

∂y,

∂

∂z

)

= i∂

∂x+ j

∂

∂y+ k

∂

∂z

(ナブラとよぶ)を用いるとgradf = ∇f

と書ける。• 和、定数倍、積、商、合成関数の微分公式より、∇(f + g) = ∇f + ∇g

∇(cf) = c∇f (cは定数)∇(fg) = g(∇f) + f(∇g)

∇ (f/g) = (g∇f − f∇g) /g2

∇ (ϕ(f)) = ϕ′(f)∇f

練習問題 上記の公式を示せ。

. – p.27/28

勾配ベクトル場[性質続き]

• 形式的な記号∇ =

(

∂

∂x,

∂

∂y,

∂

∂z

)

= i∂

∂x+ j

∂

∂y+ k

∂

∂z

(ナブラとよぶ)を用いるとgradf = ∇f

と書ける。• 和、定数倍、積、商、合成関数の微分公式より、∇(f + g) = ∇f + ∇g

∇(cf) = c∇f (cは定数)∇(fg) = g(∇f) + f(∇g)

∇ (f/g) = (g∇f − f∇g) /g2

∇ (ϕ(f)) = ϕ′(f)∇f

[練習問題]上記の公式を示せ。. – p.27/28

宿題

問題集 p.50例題 1～ p.57例題 6

但し例題 1.(3)の答は間違い。正しくは、原点から出る原点を含まない半直線、と原点一点。

. – p.28/28