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56 9 面積分 教科書 P. 77-83 9.1 スカラー場の面積分 スカラー場を適当な曲線に沿って積分したものが(スカラー場の)線積分であっ た。ここではスカラー場を適当な 曲面に沿って積分することを考えよう。以下のよ うな問題はこのようなスカラー場の面積分を考える動機となる。 S : r(u, v)(a ≤ u ≤ b, c ≤ v ≤ d) で表される曲面の上を、ある液体が深さ 1 で 覆っているとする。各 (u, v) に対して、 (x, y, z)= r(u, v) における流体の密度が、スカ ラー場 f (x, y, z) を用いて、f (r(u, v)) で表されているとする。液体の密度 f (r(u, v)) を曲面 S の上で次のように積分すれば、曲面 S を覆っている流体の質量を求めるこ とができるであろう。 ベクトル値関数 S : r(u, v)(a ≤ u ≤ b, c ≤ v ≤ d) によって表される曲面の面積 をどのように計算したか思い出そう。区間 [a, b] と [c, d] を次のように分割した。 a = u 0 <u 1 < ··· <u N = b, c = v 0 <v 1 < ··· <v M = d. その上で、次の 4 点 (9.1) r(u i ,v j ), r(u i+1 ,v j ), r(u i ,v j+1 ), r(u i+1 ,v j+1 ) が作る微小な平行四辺形の面積を求め、すべて足し合わせたのであった。この微小な 平行四辺形の面積は、ベクトル積の性質を思い出して |(r(u i+1 ,v j ) - r(u i ,v j )) × (r(u i ,v j+1 ) - r(u i ,v j ))| によって計算できる。Δu i = u i+1 - u i , Δv j = v j+1 - v j とおいて r(u i+1 ,v j ) - r(u i ,v j )= ∂ r ∂ u (u i ,v j )Δu i r(u i ,v j+1 ) - r(u i ,v j )= ∂ r ∂ v (u i ,v j )Δv j
9 面積分ynakata/class/2020/AnalIII/AnalIII...56 9 面積分 教科書 P. 77-83 9.1 スカラー場の面積分 スカラー場を適当な曲線に沿って積分したものが(スカラー場の)線積分であっ
S : r(u, v) (a ! u ! b, c ! v ! d) 1 (u, v)(x, y, z) = r(u, v) f(x,
y, z)f(r(u, v)) f(r(u, v))
S S S : r(u, v) (a ! u ! b, c ! v ! d)
[a, b] [c, d] a = u0 < u1 < · · · < uN = b,
c = v0 < v1 < · · · < vM = d.
4 (9.1) r(ui, vj), r(ui+1, vj), r(ui, vj+1), r(ui+1, vj+1)