29. April 2008

Messtechnik-Praktikum

Filter zur frequenzselektiven Messung

Silvio Fuchs & Simon Stützer

1 Augabenstellung

1. a) Bauen Sie die Schaltung eines RC-Hochpass (Abbildung 3.2, Seite 3) und eines RC-Tiefpass (Ab-bildung 3.2, Seite 3) auf! Wählen Sie dazu die Werte für Widerstand und Kondensator so, dassSie eine Grenzfrequenz im Bereich von einigen kHZ erreichen können. Beachten Sie den Massepolder angeschlossenen Geräte!

b) Messen Sie mit dem Oszillograph und einem Wechselspannungsvoltmeter die Übertragungsfukti-on g(ω), indem Sie die Amplitude |g(ω)|) = UA

UEund die Phase ϕ(ω) als Funktion der Frequenz

aufnehmen. Bestimmen Sie die Phasenlage im Zweikanalbetrieb und x-y-Betrieb am Oszi. Kon-trollieren Sie die Phasenlage an charakteristischen Werten für die Phasenverschiebung 4ϕ (z.B.0, π2 , π) anhand der zugehörigen Lissajous Figuren.

c) Berechnen und messen Sie die Grenzfrequenz ωG der Schaltung und vergleichen Sie diese Mit denberechneten Werten. Die Bauelemente werden mit der RLC-Messbrücke ausgemessen.

2. a) Bauen Sie einen Parallel-Schwingkreis entsprechend Abbildung 3.2 (Seite 3) mit einer Resonanz-frequenz im Bereich von 1...100kHz auf. Die Güte dieses Schwingkreises lässt sich besser mit demErsatzschaltbild beschreiben.

b) Bestimmen Sie experimentell die Güte Q dieses Parallelschwingkreises durch Messung der Reso-nanzfrequenz f0 und der Halbwertsbreite 4f und vergleichen Sie diesen Wert mit der theoretischzu erwartenden Güte (Ri = 50Ω).

c) Fügen sie zur Vergrößerung des Spulenwiderstandes in Reihe zur Spule L einen WiderstandR = 10Ω ein und bestimmen Sie die Resonanzverschiebung zwischen Amplitudenmaximum undPhasenverschiebung.

1

2 Grundlagen

Um die Beschreibung komplizierter elektrischer Netzwerke zu vereinfachen, geht man in den Frequenzraumüber. So gelingt es, von kompliziert gekoppelten Differentialgleichungen zu relativ einfachen algebraischenAusdrücken für die komplexe Ebene zu gelangen. Somit ist zudem eine Berücksichtigung der Phasenlagezwischen Strom und Spannung gegeben.In diesem Versuch betrachten wir zunächst einen Hoch- und Tiefpass. Es wird an einen Reihenschaltung vonWiderstand und Kondensator ein Spannung UE angelegt. Die Ausgangsspannung UA wird dann am Konden-sator (Tiefpass) bzw. am Widerstand (Hochpass) abgegriffen. Charakteristisch für diese beiden Schaltungenist eine Phasenverschiebung (Tiefpass: 0 ≥ ϕ ≥ −π

2 ; Hochpass: 0 ≤ ϕ ≤ π2 ) der Ein- und Ausgangsspannung,

eine Grenzfrequenz ωg und eine komplexe Übertragungsfunktion g(ω). Es gilt:

ωg =1

R · Cbzw f =

12π ·R · C

(1)

g(ω) =UAUE

=1√

1 + (ω ·R · C)2ei arctan(ω·R·C) für den Tiefpass (2)

g(ω) =UAUE

=ω ·R · C√

1 + (ω ·R · C)2ei arctan( 1

ω·R·C ) für den Hochpass (3)

Aus Gleichung 1 bis 3 ergibt sich also, dass die Amplitude der Ausgangsspannung im Fall der Grenzfrequenzum den Faktor 1√

2kleiner als die Eingangsspannung ist. Zudem erkennt man, dass es am Tiefpass für

ω → 0 keine Phasenverschiebung gibt und im Fall ω → ∞ die Phasenverschiebung π2 beträgt. Dabei geht

am Tiefpass der Quotient der Amplituden UAUE

für den ersten Fall gegen 1, für den zweiten Fall gegen Null.Aus der Übertragungsfunktion für den Hochpass sind dessen Eigenschaften zu erkennen. Hier ist es genauumgekehrt, sodass für ω → 0 der Quotient UA

UEgegen Null und die Phase gegen π

2 geht. Im Bereich großerFrequenzen ist UA

UE= 1 wobei die Phasenverschiebung verschwindet.

In zweiten Teil des Praktikums beschäftigen wir uns mit dem Parallelschwingkreis. Dabei gelten folgendeBeziehungen

Z =

√R2 +

(ω · L− 1

ω · C

)2

· eiϕ Impedanz (4)

Q =f0

b= R ·

√C

LGüte (5)

Damit im Parallelschwingkreis UAUE

den maximalen Wert erreicht muss für die Blindwiederstände gelten XC +XL = 0, sodass der Imaginärteil der Impedanz verschwindet. Daraus folgt schließlich die Resonanzfrequenzmit

ω0 =1√LC

(6)

2

3 Schaltung und verwendete Messgeräte

3.1 Messgeräte

Zur Messung wurden folgende Messinstrumente verwendet:

• LMV181A Röhrenvoltmeter zur gleichzeitigen Messung von ein und Ausgangsspannung

• Oszillograph zur Bestimmung der Phasenverschiebung

• LCR-Messbrücke zur genauen Messung der Kenngrößen der einzelnen Bauelement

3.2 Schaltungen

Abbildung 1: Tiefpass: R = 10, 24kΩ; C = 4, 784nF Abbildung 2: Hochpass: R = 10, 24kΩ; C = 4, 784nF

Abbildung 3: Schwingkreis: L = 77, 63µH;C = 4, 144µF ; R = 1, 958kΩ

Abbildung 4: Schwingkreis: L = 77, 63µH;C = 4, 144µF ; R = 1, 958kΩR2 = 1, 199Ω

3

4 Messwerte

4.1 Aufgabe 1.2

Abbildung 5: Messwerte für Übertragungsfunktion g(ω) am Tiefpass

4

Abbildung 6: Messwerte für Übertragungsfunktion g(ω) am Hochpass

5

Abbildung 7: errechnete Dämpfung und Differenz zwischen Hoch- und Tiefpass

6

4.2 Aufgabe 2.2.1

Abbildung 8: Messwerte Schwingkreis

Bei der Messung des Schwingkreises mit vorgeschaltetem Widerstand ergaben sich folgende Messwerte:

ω0 = 9000Hz bestimmt durch Maximum der Ausgangsspannungω0 = 8570Hz bestimmt durch Lissajous Figuren

7

5 Auswertung

5.1 Aufgabe 1 b)

5.1.1 Tiefpass

Abbildung 9: Tiefpass: R = 10, 24kΩ; C = 4, 784nFÜbertragungsfunktion |g(ω)|

Abbildung 10: Tiefpass: R = 10, 24kΩ; C = 4, 784nFPhasengang

Es wurde die charakteristische Übertragungsfunktion eines Tiefpasses gemessen. Durch Anfitten der theore-tischen Funktion an die Messdaten, wurde ein experimenteller Wert von 4.967 · 10−5s± 0.001 · 10−5s für dasProdukt R ·C ermittelt. Dieses Ergebnis liegt mit 1.5% über dem, durch die Referenzmessung der Kapazitätund des Widerstandes ermittelten Wert von:

R · C = 10.24kΩ · 4.784nF = 4.899 · 10−5s.

Dieser Unterschied ist auf den Widerstand der Leitungen und der Spannungsquelle zurückzuführen. Mit Hilfeder Lissajous-Figuren wurden markante Phasenverschiebungen überprüft. So wurde im x-y-Modus bei ϕ = 0eine Gerade, bei ϕ = π

2 ein Kreis (Ellipse in Hauptachsenlage) auf dem Oszillographen abgebildet.

8

5.1.2 Hochpass

Abbildung 11: Hochpass: R = 10, 24kΩ; C = 4, 784nFÜbertragungsfunktion |g(ω)|

Abbildung 12: Hochpass: R = 10, 24kΩ; C = 4, 784nFPhasengang

Es wurde die charakteristische Übertragungsfunktion eines Hochpasses gemessen. Mit Hilfe der Lissajous-Figuren wurden markante Phasenverschiebungen überprüft. So wurde im x-y-Modus bei ϕ = 0 eine Gerade,bei ϕ = π

2 ein Kreis (Ellipse in Hauptachsenlage) auf dem Oszillographen abgebildet.

5.2 Aufgabe 1 c)

Aus der angefitteten Übertragungsfunktion für den Tiefpass ergibt sich folgendes Ergebnis für die Grenzfre-quenz ω0:

|g(f)| = 1√1 + (2πf ·RC)2

=1√

1 + (2πf · 4.9696 · 10−5s)2

mit |g(f)| = 1√2

⇒ ω0 = 2πf0 =

√1

g(f0)2− 1

RC=

1RC

ω0 = 20122.34rads

und damit

f0 = 3202.57Hz

Die theoretische Grenzfrequenz beläuft sich auf f0theoretisch= 3248.72Hz bzw. ω0theoretisch

= 20412.33 rads .

9

Durch die Messung des Phasengangs und der Dämpfung erhält man equivalente Ergebnisse. Dies zeigt sichan den Abbildungen 7,11,12 sowie 13 (siehe unten).

Abbildung 13: Dämpfung an Hoch- und Tiefpass: R = 10, 24kΩ; C = 4, 784nF

10

5.3 Aufgabe 2 a)

Die Schaltungen für den Aufbau eines Schwing-kreises in Aufgabe 2.1 sind äquivalent. Der Un-terschied zwischen den Schaltungen besteht zwi-schen den Versorgungsquellen (siehe rechts). DieSpannungsquelle ist zu denWiderständen in Rei-he und die Stromquelle parallel geschaltet. Dieideale Spannungsquelle hat keinen Innenwieder-stand. Durch den vorgeschaltetenWiderstandRiwird die reale Scpannungsquelle simuliert. DieStromquelle hingegen besitz im Idealfall einenunendlcih großen Widerstand. So fällt über deridealen Spannungsquelle keine Spannung ab undes fließt über die Stromquelle auch kein Strom.Somit sind die Schaltungen äquivalent.

Abbildung 14: äquivalente Quellen: links: Spannungs-quelle rechts: Stromquelle

Der Widerstand Rv simuliert den Verlustwiderstand der Leitungen, Anschlüsse und Messgeräte.

5.4 Aufgabe 2 b)

Abbildung 15: Schwingkreis: R = 1, 958kΩ; C = 4, 144µF ; L = 77, 63µH

Der theoretische Wert für die Resonanzfrequenz des Schwingkreises beläuft sich auff0 = 1

2π√LC≈ 8874Hz.

aus der Abbildung 15 und der Messwerttabelle (Abbildung 8) ergibt sich:

f0 = 9540Hz und ∆b = b2 − b1 ≈ 15000Hz− 6000Hz = 9000Hz

11

theoretischer Wert für die Güte des Schwingkreises:

Q = R ·√C

L= (Ri +R) ·

√C

L= (50Ω + 1958Ω) ·

√4.144µF77.63µH

≈ 464

aus den Abbildungen:

Q =f0

∆b=

9540Hz9000Hz

= 1.06

Erklärung für diese Diskrepanz siehe Diskussion. Formal bestimmt sich der Verlustwiderstand Rv zu:

1Rges

=1Rv

+1

R+Ri

Rv =1

1Rges− 1

R+Ri

mit Rges = Qgem ·√L

C⇒

Rges = 1.06 ·

√77.63µH4.144µF

= 4.5878Ω⇒

Rv = 4, 598Ω

5.5 Aufgabe 2 c)

Da wir mit einem 10Ω Widerstand keine Resonanzfrequenz messen konnten, weil unser zuvor gewälter Wi-derstand mit 2kΩ sehr groß gewählt ist, benutzten wir einen 1.199Ω Widerstand.

Damit ergibt sich folgende Resonanzfrequenzverschiebung für die Phasenverschiebung:∆ωP = ω0 − ω0verschoben

= 9540Hz − 8570Hz = 970Hz

und für das Amplitudenmaximum:∆ωA = ω0 − ω0verschoben

= 9540Hz − 9000Hz = 540Hz

12

6 Diskussion

Im ersten Aufgabenteil wurden die Übertragungsfunktionen von Hoch- und Tiefpass nahe an den theo-retischen Kurven gemessen. Einiger Ausreißer bei den Messwerten sind auf Ablesefehler zurückzuführen.Deutlich wird dies insbesondere bei Abbildung 12, der letzten Messung zum ersten Aufgabenteil, da sehrviele Messwerte aufgenommen wurden und dementsprechend zügig gearbeitet werden musste. Die Ergebnisseder Messung zeigten dennoch erstaunlich genau die charakteristischen Verläufe. In Abbildung 13 wird dieDämpfung von -3dB für die Grenzfrequenz von Hoch- und Tiefpass sehr genau ereicht. In Aufgabe 2 tratendeutlich mehr Probleme auf. Zunächst erschien uns die große Diskrepanz zwischen gemessener und theoretischbestimmter Güte als unwahrscheinlich und falsch. Nach zeitraubender, erfolgloser Fehlersuche scheint unsfolgende Erklärung logisch: Die meisten unserer Kommilitonen verwendeten kleine Widerstände im Bereichdes Innenwiderstandes der Spannungsquelle. Wir benutzen einen 2kΩ Widerstand. Der parallel geschalteteVerlustwiderstand Rv ist bei unserer Messung der Ausschlaggebende. Über den großen Widerstand fließt imExperiment fast kein Strom mehr. In der theoretischen Betrachtung jedoch wird der Verlustwiderstand nichtberücksichtigt. Der wirkende Widerstand ist 2kΩ groß. Was den großen Unterschied zwischen den bestimmtenGüten erklären dürfte. Letztlich wurde gezeigt, dass bei zur Spule in Reihe geschalteten Widerständen dieResonanzfrequenz verschoben wird. Insgesamt konnte hier die Resonanzverschiebung mit Hilfe von Lissajous-Figuren genauer bestimmt werden. Ablese- und Gerätefehler wurden in den Messwerttabellen angegeben undin den Graphen eingezeichnet. Eine ausführliche Fehlerrechnung erschien uns bei diesem Versuch als wenighilf- und aufschlussreich.

13