Funkcje wpływu rozdziału poprzecznego

obciążeń

Wykład z Teorii Konstrukcji Mostowych dla specjalności

Inżynieria Mostowa

Dr inż. Mieszko KUŻAWA 18.11.2014 r.

Instytut Inżynierii Lądowej

I. Koncepcja

• Definicja

Funkcja wpływu RPO – funkcja opisująca wartość obciążenia rozpatrywanego dźwigara wywołanego siłą jednostkową w zależności od położenia tej siły na szerokości konstrukcji.

• Jednostki

Rzędne LWRPO są bezwymiarowe.

• Zastosowanie

a) Przybliżona analiza konstrukcji bez wykorzystania technik komputerowych.

b) Kontrola i weryfikacja obliczeń wyników komputerowych.

Linie wpływowe RPO dla dźwigara głównego mostu stalowego z żelbetowym pomostem niewspółpracującym

Siły przypadające na analizowany dźwigar, wyznaczone przy użyciu LWRPO, umożliwiają analizę rozpatrywanego dźwigara traktowanego jako element wydzielony z konstrukcji

P = 1

Źródło [3]

II. Metody wyznaczania LWRPO

Metoda

elementarna

Metoda

Guyona – Massonneta

Metoda sztywnej

poprzecznicy

Z = 0 Z = 0,1 Z = 30

x

yt

EI

EI

a

lZ

2

• Wskaźnik sztywności rusztu

Zmiana sztywności rusztu

Metoda Elementarna

Rozdział elementarny obciążeń metodą wiotkiej poprzecznicy (prawo dźwigni)

P = 1

Źródło [3]

kNmmkNMA

60)0,2(5,120)2(min

kNmmkNPM MLWALWRPOA 600,25,120)2( "2"""

max

kNmmkNMA

120)0,4(5,120)3(min

0)3(max A

M

I.

II.

III.

IV.

Wykorzystanie LWRPO

Wyznaczyć ekstremalne wartości momentu zginającego w przekroju (2) i (3) dźwigara A od siły P=20 kN.

Model mechaniczny analizowanego przekroju przęsła

Metoda sztywnej poprzecznicy (J. Courbona) – wersja podstawowa

Wyprowadzenie podstawowych związków

• Geometria analizowanej konstrukcji przęsła

• Założenia metody

a) Przekrój poprzeczny przęsła ma pionową oś symetrii.

b) Sztywności na zginanie dźwigarów i ich rozstawy są jednakowe.

c) Zagadnienie jest statyczne, liniowo-sprężyste, obowiązuje zasada zesztywnienia przekrojów dźwigarów.

d) W analizowanym przekroju poprzecznym konstrukcji przęsła zlokalizowana jest nieskończenie sztywna poprzecznica.

e) Model mechaniczny pozwalający na analizę przemieszczeń rozpatrywanego przekroju poprzecznego przęsła, wywołanych siłą P, przyjęto w postaci nieskończenie sztywnej belki z podparciem sprężystym typu Winklera w miejscu dźwigarów.

Źródło [5]

• Analiza deformacji przekroju poprzecznego przęsła pod obciążeniem siłą skupioną P

Deformacja przekroju poprzecznego przęsła po obciążeniu

Symetryczna składowa część deformacji przekroju poprzecznego przęsła po obciążeniu

Niesymetryczna składowa część deformacji przekroju poprzecznego przęsła po obciążeniu

Źródło [5]

• Symetryczna składowa część deformacji

Przekrój poprzeczny przemieścił się równomiernie (translacja) jako bryła sztywna o wektor 𝑢(𝑠) co spowoduje równe wartości reakcji we wszystkich umownych podporach sprężystych.

Warunki równowagi układu:

Symetryczna składowa część deformacji przekroju poprzecznego przęsła po obciążeniu

0

0

0

0

)(

M

H

n

PV s Symetryczna składowa część deformacji przekroju

poprzecznego przęsła po obciążeniu w typowych konstrukcjach

• Niesymetryczna składowa część deformacji

W skutek przyjętego założenia o nieskończenie sztywnej poprzecznicy następuje rotacja przekroju poprzecznego przęsła, jako bryły sztywnej o kąt φ, a środkiem obrotu jest punkt zlokalizowany na pionowej osi symetrii układu.

• Warunki równowagi sił układu:

przy założeniu przegubowego połączenia dźwigarów z poprzecznicą!

• Warunek zgodności deformacji:

Niesymetryczna składowa część deformacji przekroju poprzecznego przęsła po obciążeniu

xPbbM

H

V

aa

1

)(

12

)(

20 20

0

0

1

)(

1

2

)(

2

1

)(

1

2

)(

2

bbb

u

b

u

tgaa

aa

Ostatecznie wartość reakcji w skrajnych dźwigarach wynosi:

2

2

2

1

2)(

22 bb

bxPa

ηA,A η A,B η A,C

η A,D

LWRPO wg. metody sztywnej poprzecznicy – rozwiązanie ogólne P = 1

Wzór na wartości rzędnych LWRPO dla dźwigara i w zależności od położenia j obciążenia

2,

1

i

ji

jiy

yy

n

gdzie:

• n – liczba dźwigarów głównych,

• yi – współrzędna „y”: rozpatrywanego dźwigara – licznik, lub kolejnych dźwigarów - mianownik,

• yj – współrzędna „y” siły P,

η B,A η B,B η B,C η B,D

• W schemacie obliczeniowym rusztu Metodą Sztywnej Poprzecznicy można też przyjąć sztywne połączenie dźwigarów z poprzecznicą.

• Obrót poprzecznicy spowoduje wtedy, oprócz ugięcia, również skręcenie dźwigarów głównych o kąt φ.

• Równanie równowagi sił układu:

przy założeniu EI = EI1 = EI2 =…= EI6

• Przyjmując utwierdzenie na skręcanie belek w przekroju podporowym otrzymamy:

SSi

s

i MMyRM

H

V

60

0

0

1

0

Niesymetryczna składowa część deformacji przekroju poprzecznego przęsła po obciążeniu

2/2

t

s

SL

GJ

M

EI

LRw t

s

ii

48

31 ii bw

EI

GJL

b

RM St

i

s

iS

12

21

• Wzór na wartości rzędnych LWRPO dla dźwigara i w zależności od położenia j obciążenia:

Ay

yy

nR

i

ji

ji 2,

1

y

z

u

nEI

GJLA St

12

2

Źródło [1]

• Uwaga !

Wartości kąta obrotu φ a w rezultacie także rzędnych Ri,j określono przy założeniu skręcania swobodnego dźwigarów głównych

Skręcanie swobodne

Podstawowa cecha fizyczna - w wyniku obciążenia następuje deplanacja przekroju.

• W przęsłach o konstrukcji płytowo-żebrowej, dźwigary główne posiadają z reguły małą sztywność na skręcanie w porównaniu do sztywności na zginanie, dlatego wpływ skręcania można zwykle pominąć.

• Z analizy przedstawionych zależności wynika, że uwzględniając skręcanie (ruszt o sztywnych węzłach) otrzymujemy redukcję momentu zginającego w dźwigarach głównych tym większą im większa jest wartość wskaźnika A.

Skręcanie nieswobodne

Podstawowa cecha fizyczna - przynajmniej jeden przekrój ma ograniczoną swobodę deformacji.

Metoda sztywnej poprzecznicy (J. Courbona) – wariant ogólny

Wariant ogólny metody sztywnej poprzecznicy pozwala uwzględnić niesymetrię dystrybucji materiału i jego gęstości w przekroju poprzecznym przęsła.

• Założenia dla wariantu ogólnego metody

a) Przekrój poprzeczny przęsła nie ma pionowej osi symetrii,

b) Sztywności na zginanie dźwigarów i ich rozstawy są różne,

c) Zagadnienie jest statyczne, liniowo-sprężyste, obowiązuje zasada zesztywnienia przekrojów dźwigarów,

d) W analizowanym przekroju poprzecznym konstrukcji przęsła zlokalizowana jest nieskończenie sztywna poprzecznica,

e) Przemieszczenie i-tego dźwigara jest proporcjonalne do odziaływania poprzecznicy na niego i odwrotnie proporcjonalne do jego sztywności na zginanie:

f) Założenie Courbona – relacja konstytutywna zakładająca, że przemieszczenie (translacja + rotacja) i-tego dźwigara jest wprost proporcjonalne do jego obciążenia.

i

ji

jiEI

u,

,

ijiji ycEI 0,

c0 – ugięcie od symetrycznej składowej deformacji, φj – kąt obrotu poprzecznicy od siły P w pkt. j,

jjc

Źródło [5]

iijii

iiji

EIycEIyxPM

H

EIycEIcPV

2

00

0

0

0

0

xP

P

c

c

EIyEIy

EIyEI

jiiii

iii 0

2

i

ii

EI

EIyy0

• Równanie równowagi sił względem początku układu współrzędnych

oraz w notacji macierzowej:

• Położenie odciętej środka ciężkości dźwigarów:

• Wzór na wartości rzędnych LWRPO dla dźwigara i w zależności od położenia j obciążenia:

Uwaga!

yi* oraz yj* są transformowanymi współrzędnymi odpowiednio dźwigarów i siły P wg układu współrzędnych

zlokalizowanego w pkt y0

ii

ji

i

ijiEIy

yy

EIPEI

2,

1

Źródło [3]

• Porównanie LWRPO wyznaczonych metodą sztywnej poprzecznicy i przy użyciu modelu rusztowego MES

Źródło [4]

Wzory F. Leonhardta

• Wzory F. Leonhardta pozwalają określić rzędne LWRPO dla układu rusztowego z jedną poprzecznicą w przypadku gdy siła P=1 porusza się wzdłuż jej osi podłużnej.

• Rzędne LWRPO otrzymano z linii ugięcia belki

poprzecznej pod siłą ustawioną nad rozpatrywaną belką k, korzystając z zależności:

δi,k = δk,i - ugięcie belki poprzecznej w węźle i od siły stojącej w węźle k,

δk,0 – ugięcie wydzielonej z układu rusztowego belki k od siły P = 1 stojącej w węźle k.

k

ki

k

ik

kiq,0

,

0,

,

,

Zależność wynikająca z

twierdzeń o wzajemności

m.in. twierdzenia Bettiego

o wzajemności prac.

Źródło [1]

• Do wyznaczania rzędnych LWRPO do wyznaczania wzorów Leonhardta należy określić następujące współczynniki

I

IC

Q

L

an

2

3n

iCz

I

Ir R

• Przykładowe wzory na rzędne LWRPO dla dźwigarów wewnętrznych rusztów 4-belkowych są następujące:

UWAGA! Wzory na rzędne LWRPO mają zastosowanie tylko jeżeli obciążenie znajduje się w najbliższym otoczeniu poprzecznicy.

Źródło [1]

Jeżeli obciążenia układu znajdują się poza poprzecznicą to w przekrojach rozpatrywanego dźwigara pojawiają się dodatkowe siły

Sposób wyznaczania sił w wybranym przekroju dźwigara b od obciążenia równomiernie rozłożonego ustawionego dowolnie na obszarze przęsła:

• Określić należy dwie linie LWRPO – q oraz q’,

• Naciskami obliczonymi przy użyciu q obciąża się LW M0X lub LW Q0X,

• Naciskami obliczonymi przy użyciu q’ obciąża się LW M’X lub LW Q’X,

Źródło [1]

Przy użyciu LWRPO dla wszystkich dźwigarów można obliczyć linie wpływu sił wewnętrznych w poprzecznicy.

Obliczanie LW sił wewnętrznych

w poprzecznicy

LW M(y)

Pokazaną na rys. rzędną ηb dla LW M(y) obliczając moment z lewej lub prawej strony badanego przekroju w przypadku gdy siła P=1 stoi nad dźwigarem b:

• równanie momentów z lewej strony badanego przekroju

• równanie momentów z prawej strony badanego przekroju

cqbqbPaq bcbbabb

eqdq bebdb

P=1 Przypadek obciążenia dla

rzędnej ηb

Źródło [1]

• Widok z boku / Przekrój podłużny

A B C D

Dla konstrukcji, której podstawowe parametry geometryczne pokazano na rys. poniżej obliczyć maksymalny moment zginający w skrajnym dźwigarze, w UP obciążeń.

Obliczenia przeprowadzić przy użyciu LW M sporządzonej dla wydzielonego dźwigara oraz LWRPO obliczonej metodą sztywnej poprzecznicy.

• Przekrój poprzeczny

Przykład zastosowania LWRPO w analizie

żelbetowych monolitycznych przęseł wielobelkowych

Lp Element Obliczenia

1. Bariery 0,50 1,35 0,675 1,00 0,50

ikg , mkN / 1f igmax, 1f igmin, mkN / mkN /

iAi Kg ,

• Przykład obliczeń oddziaływań na rozpatrywany dźwigar od wybranych elementów wyposażenia

Lp Element Obliczenia

1. Nawierzchnia

jezdni 2,84 1,35 3,834 1,00 2,84 g

• Przykład obliczeń oddziaływań na rozpatrywany dźwigar od ciężaru nawierzchni jezdni

kg mkN / 1f maxg 1f igmin, mkN / mkN /

+ -

• Sumaryczne obciążenia stałe przypadające na rozpatrywany dźwigara

gk = 56,6 kN/m – Characteristic value of uniformly distributed total dead load acting on girder A,

gmax = 76,4 kN/m – Maximum value of uniformly distributed total dead load acting on girder A,

gmin = 56,6 kN/m – Minimum value of uniformly distributed total dead load acting on girder A,

Nr. Element Calculations gk,i

[kN/m] γ>1

gmax,i

[kN/m] γ=1

gmin,i

[kN/m]

1. Main girders 1,712m2*(0,7+0,4+0,1-0,2)*25kN/m3 42,81 1,35 57,794 1,00 42,81

2. Curbs 0,038m2*(0,550-0,050)*27kN/m3 0,51 1,35 0,6885 1,00 0,51

3. Sidewalks 0,25m*(2,120m-0,989m)*24kN/m3 6,78 1,35 9,153 1,00 6,78

4. Road

pavement 0,09m*(1,419m-0,047m)*23kN/m3 2,84 1,35 3,834 1,00 2,84

5. Barriers 0,5kN/m*(0,850+0,650-0,150-

0,350) 0,50 1,35 0,675 1,00 0,50

6. Edge beams 0,227m2*(0,850-0,350)*24kN/m3 2,73 1,35 3,6855 1,00 2,73

7. Insulation 0,01m*(3,825m-0,74m)*14kN/m3 0,43 1,35 0,5805 1,00 0,43

Total actions gk=56,6 gmax=76,4 gmin=56,6

• Obciążenia ruchome mostów drogowych wg norm EN

Load Model 1 consists of two partial systems:

• Double-axle concentrated loads (tandem system : TS), each axle having the weight αQ∙Qk.

• Uniformly distributed loads (UDL system), having the weight per square metre of notional lane αq∙qk.

Load Model 1 should be applied on each notional lane as well as on the remaining areas.

On notional lane number i, the load magnitudes are referred to as:

Qik – magnitude of characteristic axle load on notional lane no i (i = 1, 2...),

qik – magnitude of characteristic vertical distributed load on notional lane no i (i = 1, 2...),

qrk – magnitude of characteristic vertical distributed load on the remaining area of the carriageway,

αQi, αqi – adjustment factors of some load models on lanes i.

Ca

rria

ge

wa

y w

idth

– w

Notional

Lane

Nr.

Notional

Lane

Nr.

Notional

Lane

Nr.

Remaining

area

Remaining

area

Load Model LM1: concentrated and uniformly distributed loads, which cover most of the effects of the traffic of lorries and cars. This model should be used for general and local verifications.

ikiq Qikiq Q

ikqi q

kq q11

kq q22

rkqr q

• Obliczenie oddziaływań ruchomych na analizowany dźwigar

• TS action on girder A:

Characteristic value

Design value

2,221,11max QkQQkQk QQP

kF PP max

• UDL (q1k + q2k + pk) action on girder A:

Characteristic values

Design values

12,221max,11max pkqkqqkqk pqqq

maxmax kF qq

232min pkqkk pqq

minmin kF qq

35,1F

max min

• Obliczenie maksymalnego momentu zginającego w przekroju α-α w dźwigarze A

kNmM 5,4243max

mP

mGmG

qgqgM

)804,3355,4(

655,0817,0157,2375,3

max

minmax

2minmin1maxmaxmax

LW Mα-α, A [m]

LWRPO „A” [-]

Metoda Guyona-Massonneta-Braesa

Metoda opracowana przez Y. Guyona (1946 r.) i Ch. Massonneta (1950) była pierwszą z metod obliczeniowych LWRPO wykorzystującą podobieństwo przęsła płytowo-belkowego do płyty ortotropowej.

Metoda wykorzystuje model zastępczej płyty ortotropowej i wprowadza podział przęsła na elementy modelujące sztywność przęsła w kierunku podłużnym i poprzecznym.

• Schemat podziału elementów przęsła stosowany w metodzie Guyona-Massonneta-

Bareša i innych metodach opartych na charakterystycznych parametrach

• Założenia:

• Przęsło prostokątne i swobodnie podparte.

• Belki jednakowej sztywności i w stałym rozstawie.

• Kształt rozkładu momentów zginających, sił tnących i ugięć w przekroju poprzecznym przęsła jest niezależny od położenia podłużnego obciążenia oraz od rozpatrywanego przekroju poprzecznego

• Główne współczynniki LWRPO wyznaczono dla obciążeń sinusoidalnie zmiennych, lecz wykazano, że mogą być one stosowane również dla innych rodzajów obciążeń.

• Obciążenia sinusoidalnie zmienne przyjęto, aby uzyskać rozwiązania płyt ortotropowych dostępnymi w tamtych czasach metodami.

Obciążenie sinusoidalne przyjęte w rozwiązaniu Y. Guyona i

Ch. Massonneta przy wyznaczaniu powierzchni ugięcia płyty

Źródło [1]

Przęsło jest opisywane dwoma bezwymiarowymi parametrami, charakteryzującymi sztywność przęsła:

• Współczynnik sztywności na zginanie

• Współczynnik sztywności na skręcanie α

c

EI

a

EI

c

JG

a

JGtG

yx

yx

2

3

3

4

y

x

I

c

a

I

L

b

• Wyznaczanie współczynników sztywności w przęsłach stalowych

c

EI

a

EI

c

JG

a

JG

e

JGG

yx

yxż

2

3

3

4

y

x

I

c

a

I

L

b

• Wyznaczanie współczynników LWRPO z tablic

Położenie

analizowa

nego

dźwigara

Położenie

rzędnej

LWRPO

Źródło [1]

• Wpływ sztywności poprzecznej przęsła na rozdział obciążeń w skrajnych dźwigarach

x

yt

EI

EI

a

lZ

2

• Wskaźnik sztywności rusztu

LWRPO „1” [-]

„1” „2” „3” „4”

„1” „2” „3” „4” Z = ∞ 0,70 0,40 0,10 -0,20

Z = 10 0,751 0,346 0,054 -0,151

Z = 1 0,89 0,19 -0,04 -0,03

Z = 0 1,00 0,00 0,00 0,00

• Rzędne LWRPO „1” w punktach „1” – „4”

• Wpływ sztywności poprzecznej przęsła na rozdział obciążeń w wewnętrznych dźwigarach

x

yt

EI

EI

a

lZ

2

• Wskaźnik sztywności rusztu

„1” „2” „3” „4”

„1” „2” „3” „4” Z = ∞ 0,40 0,30 0,20 0,10

Z = 10 0,346 0,363 0,237 0,054

Z = 1 0,19 0,58 0,28 -0,04

Z = 0 0,00 1,00 0,00 0,00

• Rzędne LWRPO „2” w punktach „1” – „4”

LWRPO „2” [-]

Zmienność poprzecznego rozdziału obciążeń na długości przęsła

η1

η2

η1 η2

LWRPO w układach ciągłych

Przy obliczaniu rusztów wieloprzęsłowych metodą G-M-B należy uwzględnić zmianę sztywności belek wywołaną ich ciągłością, ponieważ wpływa ona na RPO.

• RPO zależy bezpośrednio od wartości ugięć dźwigarów – >

• Korekta współczynników sztywności na skręcanie i zginanie

0

00

4*

*

Materiały wykorzystywane

1. Szczygieł J.: Mosty z betonu zbrojonego i sprężonego, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, 1978,

2. Ryżyński A.: Mosty stalowe, Wydawnictwo: Warszawa : Państw. Wydaw. Nauk., 1984,

3. Hołowaty J.: Uproszczone metody rozdziału poprzecznego obciążeń w mostach drogowych. Mosty nr 4/2010, s. 14-23,

4. Hołowaty J.: Sposób oceny rezerw nośności mostów dźwigarowych. Mosty nr 1/2011, s. 44 – 47,

5. Karaś S.: O metodzie Courbona, Drogownictwo nr 5/2011, s. 172-176,

Dziękuję za uwagę!