Faculdade de Engenharia

FVVV – função composta e função inversa

X Y

nxx ,,1 myy ,,1

F

Z

pzz ,,1

G

Faculdade de Engenharia

AM2

FVVV – função composta

Seja

mn

mn

yyXFYxxXDF

,,,,:

11

X Y

nxx ,,1 myy ,,1

F

Z

pzz ,,1

G

D aberto

pm

pm

zzYGZyyYVG

,,,,:

11

V aberto e VDF

Então

pn

pn

zzXFGZxxXDFG

,,,,:

11

FG

Faculdade de Engenharia

AM2

FVVV – derivada da função composta

Se

mn

mn

yyXFYxxXDF

,,,,:

11

D aberto e DX 0 00 XFY pm

pm

zzYGZyyYVG

,,,,:

11

V aberto e VDF

então

pn

pn

zzXFGZxxXDFG

,,,,:

11

X Y nxx ,,1 myy ,,1 F

Z

pzz ,,1 GFG

F derivável em

G derivável emderivável em e0X

0Y0XFG

000 XJFYJGXFGJ

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FVVV – derivada da função composta

Seja 22,,, xxyzyxF e 1,,1ln, 22 xyyxyxG

Calculea)

b)

1,0,1FGJ

1,0GFJ

EXEMPLO:

Faculdade de Engenharia

AM2

FVVV – derivada da função composta

Exercício:

Faculdade de Engenharia

AM2

FVVV – derivada da função composta

X Y nxx ,,1 myy ,,1 F

Z

pzz ,,1 GFG

F derivável emG derivável em

derivável em e

0X0Y

0XFG

000 XJFYJGXFGJ

0XFGJ

001

1

1

1

1

1

1

1

Xn

mm

n

Xm

pp

m

xy

xy

xy

xy

yz

yz

yz

yz

01

1

1

1

Xn

pp

n

xz

xz

xz

xz

1

1

1

2

2

1

1

1

1

1

1

1

xy

yz

xy

yz

xy

yz

xz m

m

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FVVV – derivada da função composta, alternativa

X Y nxx ,,1 myy ,,1 F

Z

pzz ,,1 GFG

contabilizar todos os “caminhos” que levam de até para calcular1

1

xz

1x 1z

1z

pz

1y

my

1y

my

1x

nx

1x

nx

1

1

1

2

2

1

1

1

1

1

1

1

xy

yz

xy

yz

xy

yz

xz m

m

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FVVV – função composta

Exercício

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FVVV – função composta

Exercício

Seja xzzyyxfu ,, onde

Mostre que

3:f

0

zu

yu

xu

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FVVV – função composta – exercícios

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FVVV – função inversa

Seja nnDF : , D aberto

F de classe ,kC 1k

DX 0 tal que 0det 0 XJF

Então

PROBLEMA: Seja nnDF : Em que condições F tem inversa?

condições suficientes mas não necessárias

existe aberto tal queDV VX 0

existe aberto tal quenW WXF 0

WVF : tem inversa VWF :1 de classe kC

100

1 XJFXFJF

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FVVV – função inversa, exemplos

1. Mostre que yxyeyxF xx cos,sin, é invertível próximo de 2, yx

2. Mostre que 33 ,, yxyxG é invertível próximo de 0,0

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FVVV – função inversa, exercícios