GEODESIA GEOMÉTRICA

PARTE I

Escrito en Inglés por Richard H. Rapp (Abril de 1991)

Revisado y Traducido al Español por Oscar A. Cifuentes

oscifuen@udec.cl (Enero de 2001)

INSTITUTO GEOGRAFICO MILITAR Observatorio Geodésico Integrado Transportable

TIGO Concepción - Chile

Julio de 2001

ii

PREFACIO

A partir del siglo XVIII, la forma precisa de la Tierra fue reconocida como un elipsoide de revolución; desde entonces, el posicionamiento geodésico sobre la superficie de la Tierra ha venido efectuándose mediante mediciones que son idealmente reducidas a un elipsoide para análisis adicional a través de los ajustes de datos. Por ello, es importante entender las propiedades básicas del elipsoide y las curvas sobre su superficie, las cuales son pertinentes a los cálculos geodésicos.

La información aquí proporcionada es la base de un curso consistente en cuarenta lecciones de geodesia geométrica, dictado en la Universidad Estatal de Ohio (OSU), Estados Unidos de Norteamérica. En el desarrollo del curso no todo el material puede ser cubierto, excepto citándolo como referencia.

El desarrollo de las herramientas matemáticas para el análisis de la geometría del elipsoide con propósitos geodésicos ha sido utilizado durante varios siglos. Estos apuntes toman ventaja de las derivaciones previas del material. Aunque uno podría pensar que todo lo que se necesita ya ha sido derivado, es una idea falsa. Hoy día, nuevas técnicas continúan publicándose para mejorar eficientemente los cálculos y la precisión. Tales antecedentes han sido incluidos en el texto, cuando es apropiado.

Estas notas son una traducción del texto Geometric Geodesy, Part I, desarrollado por el profesor Dr. Richard H. Rapp en sus clases en la OSU, desde 1975. La Escuela Cartográfica de Defensa del Servicio Geodésico Interamericano tiene una traducción al Español del texto original fechada en junio de 1988. No obstante, la obtención de una copia de ese material al finalizar la presente versión, se entrega para dominio público esta nueva edición. El profesor Rapp ha consentido la publicación de esta nueva versión en la página web del Instituto Geográfico Militar.

En esta traducción se ha complementado el texto con definiciones, notas y algoritmos que contribuyen a llenar un vacío que existía en esta materia. El propósito para efectuar este trabajo no es otro que poner al alcance de los estudiantes hispanos en geomensura, geociencias en general y especialidades relacionadas, el material que el traductor recopiló durante sus estudios de postgrado en ciencias de la geodesia desarrollados en la OSU.

El traductor agradece al profesor R. H. Rapp la gentileza de permitir esta publicación y al profesor Kennet Brace del National Imagery and Maping Agency por enviar una copia de la versión traducida en Junio de 1988. También se agradece a la Señorita Lucía Álvarez G. del Instituto Geográfico Militar, quién llevó al computador gran parte del texto y fórmulas.

iii

TABLA DE CONTENIDO

1. INTRODUCCIÓN 1.1 Definiciones 1

1.2 Geodesia y Otras Disciplinas 2

1.3 Bases Teóricas de la Geodesia 3

1.4 Historia de la Geodesia 3

2. PROCEDIMIENTOS MATEMÁTICOS ÚTILES 2.1 Series de Taylor y Maclaurin 9

2.2 Las Series Binomiales 10

2.3 Inversión de Series 11

2.4 Resumen de Expansiones Trigonométricas 13

2.5 Fórmulas de Ángulo Múltiple 13

3. PROPIEDADES DEL ELIPSOIDE 3.1 Introducción 17

3.2 Coordenadas Geodésicas 22

3.3 La Elipse Meridiana 23

3.4 Relaciones entre las Diferentes Latitudes 32

3.5 Radios de Curvatura del Elipsoide 35

3.5.1 Radio de Curvatura en el Meridiano 36

3.5.2 Radio de Curvatura en el Primer Vertical 41

3.5.3 Radio de Curvatura de la Sección Normal en el Acimut α 45

3.6 Extensión de un Arco de Meridiano 45

3.7 Extensión de un Arco de Paralelo 51

3.8 Cálculo de Áreas en la Superficie del Elipsoide 52

3.9 Radio de Aproximación Esférica de la Tierra ó Radio Medio de la Tierra como si ésta fuese una Esfera 55

3.9.1 Radio Medio Gausiano 55

3.9.2 Radio de una Esfera que tiene el Promedio de los Tres Semiejes del Elipsoide 56

iv

3.9.3 Radio Esférico de la Esfera con igual Área que el Elipsoide 56

3.9.4 Radio de una Esfera con igual Volumen que el Elipsoide 57

3.10 Coordenadas Rectangulares Espaciales 58

3.11 Una Forma Alterna para la Ecuación del Elipsoide 60

4. CURVAS EN LA SUPERFICIE DEL ELIPSOIDE 4.1 Secciones Normales 63

4.1.1 Introducción 63

4.1.2 Separación entre Secciones Normales Recíprocas 66

4.1.3 Separación Lineal de Secciones Normales Recíprocas 71

4.1.4 Separación Acimutal de una Sección Normal Recíproca 74

4.1.5 El Arco Elíptico de una Sección Normal 76

4.1.6 Corrección del Acimut debido a la Altura del Punto Observado 78

4.1.7 El Ángulo de Declinación de la Cuerda 81

4.1.8 La Sección Normal y la Magnitud de la Cuerda 82

4.1.9 La Sección Normal en un Sistema de Coordenadas Local 84

4.2 La Curva Geodésica 88

4.2.1 Coordenadas Locales x, y, z en Términos de la Geodésica 96

4.2.2 Longitud de un Arco Diferencial de una Geodésica Rotada 99

4.2.3 Relación entre la Geodésica y la Longitud de la Cuerda 100

4.2.4 Comparación de la Geodésica con la Sección Normal 100

4.2.5 Diferencia de Longitud entre la Sección Normal y la Geodésica 104

4.3 El Gran Arco Elíptico y la Curva de Alineación 105

4.4 Reducción Geométrica de Observaciones de Dirección o Acimut 107

5. SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS ESFÉRICOS Y ELIPSOIDALES 5.1 Exceso Esférico 108

5.2 Solución del Triángulo Esférico por el Teorema de Legendre 109

5.3 Solución de Triángulos Esféricos por Aditamentos 115

v

6. CÁLCULO DE LAS COORDENADAS GEODÉSICAS (SOLUCIONES DEL TRIÁNGULO POLAR ELIPSOIDAL) 6.1 Introducción 118

6.2 Desarrollo de Series en Potencias de s (Legendre) 119

6.2.1 El Problema Directo 119

6.2.2 La Solución Inversa 125

6.3 Las Fórmulas de Puissant 127

6.3.1 El Problema Directo 127

6.3.2 El Problema Inverso 134

6.4 Las Fórmulas de la Latitud Media de Gauss 135

6.5 Las Fórmulas de Bowring 140

6.6 El Método de la Cuerda 142

6.6.1 El Problema Inverso 142

6.6.2 El Problema Directo 142

6.7 Exactitud de los Métodos Directo e Inverso para Líneas de Longitud Mediana 146

6.8 El Problema Inverso para las Coordenadas Rectangulares Espaciales 148

7. INFORMACIÓN ASTROGEODÉSICA 7.1 Coordenadas Astronómicas 156

7.2 Comparación de Cantidades Angulares Astronómicas y Geodésicas 159

7.2.1 Corrección de Dirección por Efecto de la Deflexión de la Vertical 168

7.2.2 Ecuación Extendida de Laplace 169

7.3 Ondulación Astrogeodésica del Geoide 170

7.4 Reducción de Distancias Medidas al Elipsoide 175

8. FÓRMULAS DIFERENCIALES DEL PRIMER Y SEGUNDO TIPO 8.1 Fórmulas Diferenciales del Primer Tipo 180

8.2 Fórmulas Diferenciales del Segundo Tipo 188

vi

9. ECUACIONES DE OBSERVACIÓN PARA TRIANGULACIÓN Y TRILATERACIÓN CALCULADAS EN EL ELIPSOIDE 9.1 Relaciones Entre Distancias y Direcciones 192

9.2 Las Ecuaciones de Observación 195

9.3 La Ecuación de Observación de Acimut de Laplace 197

9.4 Formas de Ecuaciones de Observación Alternas 197

10. DATUM GEODÉSICO Y ELIPSOIDES DE REFERENCIA 10.1 Desarrollo de los Datums 199

10.2 Transformación de Datum 200

BIBLIOGRAFÍA 204

vii

LISTADO DE FIGURAS

1.1 Geometría de la Medición de Eratóstenes 4

1.2 La Forma de la Tierra según las Antiguas Mediciones Francesas 6

1.3 Elipse Achatada en los Polos 7

1.4 Relación entre Elipsoide, Terreno y Geoide 8

3.1 La Elipse Básica 17

3.2 Notación para la Elipse 18

3.3 Sistema de Coordenadas para el Elipsoide 22

3.4 Elipse Meridiana 23

3.5 Latitud Reducida 24

3.6 Latitud Geocéntrica 24

3.7 Interpretación Geométrica de W y V 29

3.8 Porción de un Arco de Meridiano 38

3.9 Radios de Curvatura de Meridianos Ecuatorial y Polar 40

3.10 Radio de Curvatura del Primer Vertical 41

3.11 Geometría para el uso del Teorema de Meusnier 42

3.12 Deducción Geométrica de N(A) 43

3.13 Deducción Geométrica de N(B) 44

3.14 Extensión del Arco de un Paralelo 51

3.15 Elemento de Área en el Elipsoide 52

3.16 Geometría de un Punto Localizado Fuera de una Elipse Meridiana 59

3.17 Sistema Local de Coordenadas en el Elipsoide 61

4.1 Determinación de la Distancia OnA 64

4.2 Un Triángulo de Sección Normal 65

4.3 Ángulo entre las Secciones Normales Recíprocas en la Cuerda que las Conecta 66

4.4 Geometría de la Sección Normal 67

4.5 Una Aproximación Para el Arco Esférico σ 70

4.6 Geometría de la Separación Lineal de la Sección Normal 71

4.7 Separación Lineal 72

4.8 Separación Acimutal de la Sección Normal 74

viii

4.9 El Arco Elíptico de una Sección Normal 76

4.10 El Elemento Diferencial en el Arco Elíptico 77

4.11 Efecto Acimutal para un Punto Elevado sobre el Elipsoide 78

4.12 Triángulo Pequeño para la Determinación del Efecto de Altura 79

4.13 El Ángulo de Declinación de la Cuerda 81

4.14 Sistemas de Coordenadas Local y Rectangular Espacial 84

4.15 El Sistema de Coordenadas Local 85

4.16 Traslado del Origen de los Ejes X, Y, Z al Punto A 86

4.17 Secciones Normales Entre Puntos Cercanos 89

4.17a La Geodésica entre Dos Secciones Normales 89

4.18 Una Geodésica y una Sección Normal en un Elipsoide Exageradamente Achatado (f = 1/3) 90

4.19 Una Figura Diferencial en el Elipsoide 91

4.20 La Geodésica en una Forma Continua 95

4.21 Vista de una Geodésica Continua desde el Polo Norte Mostrando Cruces Consecutivos en el Ecuador 96

4.22 La Superficie Elipsoidal Conteniendo un Elemento Diferencial de Elipsoide 97

4.23 La Geodésica Localizada entre Dos Secciones Normales 101

4.24 Determinación de la Diferencial Acimutal entre una Sección Normal y una Geodésica 102

4.25 Relación Diferencial entre Longitudes de Secciones Normales y Geodésicas 104

4.26 La Curva de Alineación 106

5.1 Triángulos Esférico y Plano 109

5.2 Triángulos para el Método de Aditamento 116

6.1 El Triángulo Polar Elipsoidal 118

6.2 Aproximación de Puissant para Determinar la Latitud 127

6.3 Aproximación de Puissant para Determinar la Longitud 131

6.4 Triángulos Polares Resueltos Mediante las Fórmulas de la Latitud Media de Gauss 135

6.5 Determinación Aproximada del Ángulo de Declinación 145

6.6 Sección de Meridiano Mostrando un Punto sobre el Elipsoide 149

6.7 Elipse Meridiana para la Derivación de Bowring 151

ix

6.8 Geometría para la Determinación de h 153

7.1 Cantidades Astronómicas Medidas 159

7.2 La Esfera Celeste Mostrando Cantidades Astronómicas y Geodésicas 161

7.3 Determinación de las Distancias Cenitales 167

7.4 Ubicación del Geoide con Respecto al Elipsoide de Referencia de un Datum Específico 170

7.5 Perfil Geoidal Astrogeodésico con Acimut α 171

7.6 Grilla Astrogeodésica 172

7.9 Reducción de la Línea Base (después de Heiskanen y Moritz, 1967) 175

7.10 Reducción de Distancias de Cuerda al Elipsoide 178

8.1 Efecto Diferencial de una Extensión Longitudinal 181

8.2 Efecto Diferencial de un Cambio de Acimut 183

8.3 Cambio del Retro-Acimut Debido a dα12 184

8.4 Detalle de los Efectos del Cambio de Retro-Acimut 185

9.1 Movimientos Diferenciales de los Puntos Extremos de la Línea 193

10.1 Tabla: Parámetros Elipsoidales 200

10.2 Sistema Satelital (S) y Datum (D) con Ejes Paralelos 201

10.2 Tabla: Parámetros de Transformación de Sistema Geodésico Local a WGS84 203

1

1 INTRODUCCIÓN

La producción de mapas envuelve la determinación espacial de elementos sobre la superficie de la Tierra y la transformación de sus posiciones en un plano. Las posiciones geográficas son especificadas mediante coordenadas geodésicas. Para establecer un sistema de coordenadas geodésico debemos primero conocer la forma y tamaño de la Tierra.

La Tierra es una figura geométrica muy suave. Para nosotros la Tierra parece muy accidentada, pero aún los más altos montes y fosas oceánicas son casi imperceptibles en comparación con la suave curvatura superficial. Para comprobarlo imaginemos la Tierra como una esfera de 1 m en diámetro. El Monte Everest podría sobresalir como un abultamiento de 1,25 mm de altura y la Fosa Mariana se vería como un rasguño de 1,73 mm de profundidad.

Desde el advenimiento de la era espacial, con el lanzamiento del primer satélite Sputnik, se ha generado un incremento en la demanda del conocimiento preciso de los sistemas de referencia geodésicos, como base para la determinación de coordenadas tanto en la superficie de la Tierra como en el espacio. Del mismo modo, las agencias nacionales deben proveer las redes geodésicas nacionales con la más alta precisión para cubrir las aplicaciones de posicionamiento, navegación y proyectos de diferente orden que requieren de relaciones espaciales. Los geodestas son los encargados de satisfacer estas necesidades, y para ello utilizan metodologías rigurosas de medición y de análisis de resultados. En el presente texto se vierten las bases teóricas del pilar fundamental de la geodesia, la geodesia geométrica.

1.1 Definiciones y Clasificación de la Geodesia

Siguiendo la definición clásica de Helmert (1887), “Geodesia es la ciencia que estudia el tamaño, figura y campo gravitacional de la Tierra”

La palabra geodesia viene del griego, literalmente significa “dividir de la tierra”, y como primer objetivo la práctica de la geodesia debería proveer un marco preciso para el control de las mediciones topográficas nacionales. Por ello geodesia es la ciencia que determina el tamaño y la forma de la Tierra y las relaciones de puntos seleccionados sobre la superficie de ella mediante el uso de técnicas directas o indirectas. Estas características hacen de esta ciencia una rama de las matemáticas aplicadas, la que debe incluir observaciones que puedan ser usadas para determinar el tamaño y forma de la Tierra y la definición de sistemas de coordenadas para posicionamiento en 3D; la variación de fenómenos cercanos a o sobre la superficie, tales como gravedad, mareas, rotación de la Tierra, movimientos de la corteza y deflexión de la línea de plomada; en conjunto con unidades de medida y métodos de representación de la superficie de una Tierra curvada sobre una hoja de papel plano. (Smith, 1997)

Una definición mas contemporanea para geodesia es “Ciencia interdisciplinaria que utiliza medios espaciales y medios aéreos remotamente censados, y mediciones basadas en la

2

Tierra para estudiar la forma y el tamaño de la Tierra, los planetas y sus satélites, y sus cambios; para determinar en forma precisa posiciones y velocidades de puntos u objetos que se encuentran en la superficie u orbitando el planeta, dentro de un sistema de referencia terrestre definido, y para utilizar ese conocimiento a una variada gama de aplicaciones científicas y de ingeniería, usando las ciencias matemática, física, astronómica y computacional”1.

De lo anterior, podemos inferir que existen varias ramas en geodesia, entre ellas:

Geodesia Geométrica, Geodesia Física, Geodesia Astronómica, Geodesia Satelital, Geodesia Planetaria y Geodesia Marina. Geodesia puede ser dividida en tres áreas: Geodesia Global, Mediciones Geodésicas Nacionales y Mediciones Planas. Geodesia global es responsable por la figura de la Tierra y el campo de gravedad externo. Las mediciones geodésicas establecen los fundamentos para la determinación de la superficie y el campo de gravedad externo de un país. Esto es materializado mediante coordenadas y valores de gravedad en un número suficientemente grande de puntos de control, arreglados en redes de control gravimétricas y geodésicas. En este trabajo fundamental, deben ser consideradas la curvatura y el campo de gravedad de la Tierra. En mediciones planas (mediciones topográficas, catastrales o ingenieriles), es obtenido el detalle del terreno. En las mediciones geodésicas se utiliza un elipsoide de referencia para las posiciones horizontales. En mediciones planas, generalmente es suficiente el plano horizontal. (Torge, 1991)

1.2 Geodesia y Otras Disciplinas

Es tarea de la geodesia la definición de los sistemas de referencia y su materialización mediante una red de puntos de control para el conocimiento de las relaciones espaciales que existen en la Tierra. El uso primario de una red geodésica es georreferenciar la cartografía, la cual representa, mediante el uso de una proyección cartográfica las relaciones espaciales del terreno sobre una hoja de papel. Así podemos encontrar la geodesia relacionada con otras áreas de estudio, como por ejemplo:

Ciencia espacial: esta requiere el conocimiento del campo de gravedad externo, de la superficie de referencia terrestre, del sistema de referencia inercial o espacio fijo, y del sistema de referencia geocéntrico o de tierra fija.

Astronomía: la geodesia determina el sistema de referencia casi inercial empleando técnicas de radioastronomia; para ello, utilizando interferometría de base muy larga, desarrolla observaciones de señales extragalácticas provenientes de quasares distantes entre 3 a 15

1 Ohio State University, Geodesy.

3

billones de años luz; el enlace al geocentro es efectuado utilizando mediciones de pulso láser enviados a satélites.

Oceanografía: la reducción de observaciones satelitales al geoide es una actividad que se desarrolla estableciendo una superficie equipotencial que basada en el nivel medio del mar costero se proyecte mediante la nivelación y la gravedad hacia el interior de los continentes.

Ciencias Atmosféricas: la geodesia se encuentra experimentando la determinación del contenido de agua en la atmósfera mediante el retraso de señales electromagnéticas desde o hacia satélites en el espacio, ya sea por ocultamiento o por tomografía satelital.

Geología: la geodésia utiliza la gravedad para el establecimiento de superficies equipotenciales y determinación de las alturas, estos datos también son válidos para inferir estructuras geológicas subyacentes. Por su parte la geología utiliza las posiciones geodésicas para el control de deformación de la corteza.

1.3 Bases Teóricas de la Geodesia

Matemáticas: este es el bloque de construcción más fuerte de la geodesia.

Estadística: la redundancia de datos en las observaciones geodésicas precisan utilizar modelos estadísticos para análisis y determinación de parámetros geodésicos.

Computación: ésta es necesaria para el análisis y la automatización de los cálculos geodésicos.

Física: ésta entrega las bases teóricas para el estudio de las leyes de la gravitación, la propagación de las ondas electromagnéticas y la mecánica del movimiento de los cuerpos, tanto en el espacio como en la Tierra.

1.4 Historia de la Geodesia

La búsqueda del tamaño y forma de la Tierra tiene una larga e interesante historia. Aunque hoy día no tenemos problemas en ver la Tierra como un cuerpo aproximadamente esférico, esta situación no siempre existió.

Los registros de las primeras creencias indicaban que la Tierra era un disco plano que soportaba un cielo hemisférico. Desde esa perspectiva debería existir solo un horizonte, con el tiempo y la longitud del día independiente de la ubicación. (Homer siglo IX a.C.)

En el siglo VI a.C. Pitágoras enseñaba: los hombre deben vivir en un cuerpo de forma perfecta, por ello la Tierra era esférica en forma. Esto sobre la base de que la esfera era considerada una forma perfecta y no por deducción de observaciones.

4

Finalmente, en el siglo IV a.C. Aristóteles dio argumentos de porqué la Tierra debería tener forma esférica. Algunas razones específicas que fueron mencionadas son:

- El cambio de horizonte cuando uno viaja en varias direcciones.

- La sombra redondeada de la Tierra sobre la Luna que fue observada en un eclipse lunar.

- Las observaciones de un barco en el mar donde el barco es visto más (o menos) según el barco se aproxima (o se aleja).

Los sucesos siguientes ahora están relacionados con la determinación del tamaño de la tierra esférica. Aunque otras determinaciones se hubieran hecho antes, el primer intento para lograr una determinación precisa (en esa época), se le atribuye a Eratóstenes de Egipto. Los acontecimientos en Egipto fueron una continuación natural a los adelantos hechos en agrimensura con propósitos catastrales.

En el año 230 a.C., Eratóstenes, director de la gran biblioteca egipcia en Alejandría, realizó su famoso experimento a fin de determinar el tamaño de la tierra esférica. Para ello efectuó observaciones en dos ciudades egipcias, Alejandría y Siene (ahora Aswam), ubicadas ambas casi en el mismo meridiano. En la ciudad más al sur, Siene, los rayos del sol iluminaban directamente el fondo de un profundo pozo en el solsticio de verano, indicándo que el sol estaba directamente arriba. Al año siguiente, en Alejandría se midió, al mediodía, la longitud de una sombra proyectada por el gnomon de un reloj solar. Dicha longitud fue de 1/50 de 360° (7°12’) y fue el ángulo subtendido en el centro de la tierra entre Siene y Alejandría, según se muestra en la Figura 1.1.

Figura 1.1 Geometría de la Medición de Eratóstenes

Rayos Solares

θ

θ

s

Pozo

SIENE

ALEJANDRÍA R

5

Si la distancia s, entre las dos ciudades pudiera deteminarse, y el ángulo θ, representara la fracción de un círculo, la circunferencia de la Tierra sería s / θ. Alternadamente, el radio de la tierra sería s / θ si θ estuviese ahora en radianes.

La determinación de la distancia entre ambas ciudades fue una materia dificil. La distancia mayormente citada (la usada por Eratóstenes), es el valor redondeado de 5000 estadios. Esta distancia fue probablemente determinada por contadores de pasos egipcios “quienes determinaban distancias para los mapas egipcios”. Con este valor la circunferencia de la tierra fue de 250.000 estadios. Otros cálculos indicaron que la circunferencia según la determinó Eratóstenes era de 252.000 estadios, lo que quizás hubiera estado basado en una distancia más específica.

La longitud de 1 estadio es, aproximadamente, 157,5 metros, lo que nos da un radio de 6.267 Krn, un 1,6 por ciento más pequeño que el actual radio medio.

El método usado por Eratóstenes estaba sujeto a una serie de errores. Por ejemplo, Alejandría y Siene no están en el mismo meridiano, ni el Sol estaba directamente sobre el cenit al momento de la medición. No obstante, el método funcionó bastante bien.

Esta experiencia fue repetida por Posidonio en el siglo primero A.C. En ese cálculo se midió un arco a lo largo de un meridiano, desde Rodas hasta Alejandría. La separación angular se determinó usando la estrella Canopus. Cuando ésta rasaba el horizonte en Rodas se hallaba en un ángulo de 1/48 de un círculo completo en Alejandría. En consecuencia, la separación angular entre las dos ciudades fue 7,5°. Por mediciones basadas en trayectos de buques de vela se determinó que la distancia entre ambas poblaciones era de 5000 estadios. Esto significó un radio inferior en 5,6 % de los cálculos presentes. Sucedió que la medición angular y de distancia se mejoraron, aunque de una manera proporcional para que el resultado fuere aproximadamente correcto. Por otro lado se rumorea que Posidonio no efectuó las mediciones antes descritas, sino que más bien sólo discutió someramente el método.

En los siglos subsiguientes poco se hizo sobre estudios relacionados con la figura de la Tierra. En el siglo IX, el califa Almamún mandó realizar nuevas mediciones cerca de Bagdad, Iraq, en la planicie del río Eufrates. En esta aplicación se usaron varas de madera para medir la extensión de un grado de latitud. Después de considerar el habitual problema de conversión de unidades, las mediciones dieron un radio 10% más grande.

En el siglo XVII, Snellius llevó a cabo mediciones a lo largo de un meridiano en los Países Bajos. Por primera vez usó un procedimiento de triangulación midiendo ángulos con un minuto de precisión. Combinando esa medición con las latitudes astronómicas hechas en los puntos finales del arco meridiano, Snellius determinó el tamaño de la Tierra esférica usando el método básico de Eratóstenes. Una segunda determinación del radio (o realmente el cuadrante del meridiano), dio un resultado de 3,4% más pequeño. Van Musschenbroek (sucesor de Snellius) realizó trabajos adicionales obteniendo un radio terrestre mejorado.

Fue en esa época cuando comenzó la era de la geodesia esférica. En realidad se inició en 1666 cuando se estableció la Académe Royale des Sciencies con el fin de efectuar mediciones para la preparación de un mapa preciso de Francia y la determinación del tamaño de la Tierra.

6

En 1670, Isaac Newton propuso que a consecuencia de su teoría de gravitación la Tierra podría ser un poco abultada en el Ecuador debido a la mayor fuerza centrífuga generada por la rotación terrestre. Este abultamiento podría producir un suave achatamiento en los polos de aproximadamente 1/300 del radio ecuatorial.

En 1669, Picard nició la medición de un arco meridiano cerca de París. Entre 1683-1716, el arco se extendió hacia el sur, a Collioure, y a Dunquerque hacia el norte, por un grupo dirigido por Lahire y los Cassini, Dominique y Jacque. Los cálculos hechos sobre esas mediciones indicaron que la extensión del arco meridiano era más pequeña hacia los polos. Esta conclusión tentativa estaba en conflicto con la idea de que la Tierra tenía una forma esférica. De hecho, denotaba que la Tierra estaba apuntando hacia los polos, según se muestra en la Figura 1.2:

Figura 1.2 La Forma de la Tierra según las Antiguas Mediciones Francesas

Estas mediciones también eran conflictivas con las teorías propuestas por Isaac Newton que sugerían que la Tierra debería estar achatada en los polos. Esto implicaría que al viajar hacia el Ecuador nos alejaríamos más del centro de la Tierra. El efecto de esto fue observado por Richter (en 1672) en los relojes de péndulo que aunque mantenían la hora debida en París, perdían 2½ minutos por día al llevarlos a Cayena, Guyana Francesa, cerca del Ecuador en Sudamérica. Esa pérdida de tiempo era consecuente con la teoría de Newton por la disminución de la gravedad al ir de París a Cayena.

Para resolver esta situación, la Real Academia de Ciencias preparó dos misiones de levantamientos geodésicos. Una expedición (1734-1741) se mandó al Perú (hoy Ecuador) en una latitud de –1,5’ bajo la dirección de Godin, La Condamine y Bouguer. La segunda expedición (1736-1737) se envió a Laponia (latitud de unos 66.3°) bajo la dirección de Maupertuis y Clairaut. Los resultados de dichas mensuras indicaron que la extensión de un

7

meridiano de 1° era superior en las regiones polares que en las ecuatoriales. Este resultado concordó con las teorías de Newton e implicó que la figura de la Tierra podría representarse por un elipsoide ligeramente achatado en los polos, según se observa en la Figura 1.3:

Figura 1.3 Elipse Achatada en los Polos

Un cálculo actual del radio ecuatorial (a) de la Tierra es de 6378137 metros. El achatamiento

(a

baf

−= ) es aproximadamente 1/298.257, lo que significa una diferencia de 21.7 km. entre

el radio ecuatorial y el radio polar.

Se efectuaron otras mediciones -Svanberg (1805) en Suecia, Lacaille (1751) en Sudáfrica, Gauss (1821-23), Bessel (1831-38)- para verificar y perfeccionar el conocimiento del tamaño y forma de la Tierra. Hoy día continúan estudios para refinar tales conocimientos. Al disponer de mejoradas técnicas de medición se hizo evidente el definir más exactamente lo que llamamos la figura de la Tierra.

Para hacerlo, consideremos la superficie topográfico real de la Tierra, y una superficie estrechamente asociada con la superficie del océano. Reconocemos que los océanos comprenden aproximadamente el 70% de la superficie terrestre. Por tanto es correcto visualizar la figura del Tierra como aquella de la superficie oceánica. En l872-73, Listing introdujo el concepto del geoide como la superficie del mar imperturbable y su continuación en los continentes. El elipsoide de los estudios previos ahora se convirtió en una aproximación al geoide.

En 1884, Helmert definió con mayor precisión el geoide identificándolo como un océano sin peregrinaciones tales como las causadas por mareas, vientos, olas, temperaturas, presión diferencias en salinidad, etc. Este geoide se consideró como una superficie equipotencial del

a

b

8

campo de gravedad de la Tierra. El geoide en áreas continentales se visualizaría por el nivel del agua en infinitamente pequeños canales “secos” en tierra.

Por desgracia, la definición del geoide antes mencionada no es totalmente realizable. Esto es así porque la superficie del océano es una superficie dinámica, en constante cambio debido a tantas corrientes, etc. Sin embargo, estos efectos generalmente ocurren a un metro de nivel por lo que para muchos propósitos podemos identificar el nivel medio del mar como el geoide.

De nuevo indicamos que ahora se usa el elipsoide para aproximarnos al geoide. Aunque hay varios tipos de elipsoide, el usado mayormente en geodesia es un elipsoide de revolución (alrededor del eje menor) que es simétrico con respecto al Ecuador. Otro es el elipsoide triaxial, en el cual el Ecuador es una elipsoide. No obstante, los cálculos en un elipsoide triaxial son bastantes complicados con respecto a los del elipsoide biaxial rotacional simétrico. Consecuentemente, en este tema de geodesia geométrica nos concentraremos en la geometría e importancia geodésica del elipsoide.

Usando una sección meridiana de la Tierra, en la Figura 1.4, se representan las distintas superficies que hemos estado revisando.

Figura 1.4 Relación entre Elipsoide, Terreno y Geoide

Podríamos poner en perspectiva las magnitudes de varias cantidades de interés. Recuérdese que el radio ecuatorial de la Tierra es aproximadamente 6378137 metros. Con respecto a un elipsoide cuyo centro está en el centro de la tierra, la desviación estandar de la ondulación del geoide (N) es 30.56 m con valores extremos aproximados de –107 m y 85 m. Finalmente, el terreno tiene una elevación máxima con respecto al nivel medio del mar de unos 9 km.

La información histórica descrita aquí ha sido basada en dos documentos de Irene Fisher (1975a, 1975b).

a

b

Superficie Topográfica

Geoide

H

N

h

Elipsoide

9

2 PROCEDIMIENTOS MATEMÁTICOS ÚTILES

En el desarrollo de algunas ecuaciones que siguen en los apuntes será de utilidad emplear ciertos procedimientos matemáticos estándares que envuelven expansiones en series e identidades trigonométricas. Las usadas más ampliamente serán tratadas a continuación.

2.1 Series de Taylor y Maclaurin Una función f(x) puede ser expandida sobre un punto x0 usando una serie de Taylor:

...)('''!3

)()(''

!2)(

)(')()()( 0

30

0

20

000 +−+−+−+= xfxx

xfxx

xfxxxfxf (2.1)

Donde f’(x0) es la 1a derivada de f(x) evaluada en x0 y sucesivamente para los otros términos primos. En principio uno debe controlar la convergencia de esta serie, pero para la mayor cantidad de las aplicaciones de la geodesia geométrica, esta será rápida.

En algunos casos es conveniente utilizar x-x0 = h y x = x0, así, (2.1) queda;

...)(''')('')(')()( !3!2

32 ++++=+ xfxfxhfxfhxf hh (2.2)

Como un ejemplo considere f(x) = sen(x). Aplicando (2.2), tenemos:

−−−++−−+=+ xxxxhxhx hhh sincossincossin)sin( 2462

432 (2.3)

Un caso especial de las series de Taylor es la de Maclaurin, la cual se encuentra usando (2.1) haciendo x0 = 0, de ese modo queda:

−−−++++= )0(''')0('')0(')0()( !3!2

32ffxffxf xx (2.4)

Un nuevo ejemplo, tomemos f(x) = sin(x). Entonces (2.4) se transforma en:

10

−−−+−+−=!7!5!3

sin753 xxx

xx (2.5)

2.2 Las Series Binomiales

Otra serie útil es la serie binomial, la cual puede ser escrita como:

−−−+±+±=± −−− 3!3

)2)(1(2!2

)1(1)1( xxnxx nnnnnn (2.6)

Los coeficientes de x, x2, x3, etc. son llamados coeficientes binomiales.

Las series binomiales existen por integración o exponentes fraccionales positivos o negativos y siempre convergen si x < 1. Las expresiones siguientes son series binomiales útiles:

...1 4321

1 +++++=− xxxxx

...1 4321

1 −+−+−=+ xxxxx

...54321 432

)1(1

2 −+−+−=+

xxxxx

...54321 432

)1(1

2 +++++=−

xxxxx

(2.7)

...11 72048

3361024

215256

74128

531612

81

21 −+−+−+−+=+ xxxxxxxx

...11 4128

531612

81

21 −−−−−=− xxxxx

...1 720484296

10242315

256634

128353

1652

83

21

11 +−+−+−+−=+

xxxxxxxx

...1 4128353

1652

83

21

11 +++++=−

xxxxx

11

...11 1025678

12856

1614

812

212 −−−−−−=− xxxxxx

...1 10256638

128356

1654

832

21

1

12 ++++++=

−xxxxx

x

2.3 Inversión de Series

Otras importantes series relacionadas son las series de inversión. Un tipo relaciona la inversión de series de convergencia algebraica, mientras que otro relaciona la inversión de series trigonométricas. Considere primero las siguientes series de potencias:

...44

33

221 ++++= xaxaxaxay (2.8)

La inversión de (2.8) se transforma en la forma general:

...44

33

221 ++++= yAyAyAyAx (2.9)

donde:

11

1a

A =

( )31

22 a

aA −=

( )( ) );2(

131

225

13 aaa

aA −= (2.10)

( )( ) ( ) );55(

1 324

213217

14 aaaaaa

aA −−=

12

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ).211436(

13

2215

31

42

23142

219

15 aaaaaaaaaaa

aA −−++=

Considere ahora una expansión escrita en la siguiente forma (Ganshin, 1967, pág.9)

xpy tantan = (2.11)

Entonces:

...6sin4sin2sin 3312

21 +++=− xqxqxqxy (2.12)

donde:

11

+−= p

pq

Otra fórmula importante es la siguiente:

−−++++= xPxPxPxy 6sin4sin2sin 642

La inversión de esta ecuación es:

−−++++= yPyPyPyx 6sin4sin2sin 642

donde (Ganshin, 1967, pág.32):

−−−±−+−+−+−−= 5212

14

323

16

222

124246

322

14222 PPPPPPPPPPPPPP

−−−±−+−+−= 423

44

2262

2244 42 PPPPPPPP

13

−−−±+−++−−+−= 528

274

322

276

22

2422

982

322

34266 933 PPPPPPPPPPPPPP

−−−±+−±+−= 423

84

2262

2488 842 PPPPPPPP

−−−±−+−−++−= 524

1254

226

1252422

256

222

2582641010 55 PPPPPPPPPPPPP

2.4 Resumen de Expansiones Trigonométricas

Usando la serie de Maclaurin revisada previamente las siguientes expansiones pueden ser derivadas donde x es un ángulo en radianes:

−−−±−+−= !7!5!3

753sin xxxxx (2.13)

−−−+−+−= !6!4!2

6421cos xxxx (2.14)

−−−++++= 31517

152

3

753 xxxxtanx (2.15)

−−−++++== −1125

403

61 753

sin yyyyyx (2.16)

−−−+−+−== −753

1 753 yyyyytanx (2.17)

2.5 Fórmulas de Ángulo Múltiple

Para cierto número de aplicaciones es conveniente tener fórmulas relativas a potencias de sin(x) o cos(x) para fórmulas de ángulos múltiple. Tales como:

xx 2cossin 21

212 −=

14

xxx 3sinsinsin 41

433 −=

xxx 4cos2cossin 81

21

834 +−=

xxxx 5sin3sinsinsin 161

165

855 +−=

xxxx 6cos4cos2cossin 321

163

3215

1656 −+−=

xxxxx 7sin5sin3sinsinsin 641

647

6421

64357 −+−= (2.18)

xxxxx 8cos6cos4cos2cossin 1281

161

327

167

128358 +−+−=

xxxxsnxx 9sin7sin5sin3sinsin 2561

2569

649

6421

128639 +−+−=

xxxxxx 10cos8cos6cos4cos2cossin 5121

2565

51245

6415

256105

2566310 −+−+−=

xx 2coscos 21

212 +=

xxx 3coscoscos 41

433 +=

xxx 4cos2coscos 81

21

834 ++=

xxxx 5cos3coscoscos 161

165

855 ++=

xxxx 6cos4cos2coscos 321

163

3215

1656 +++= (2.19)

xxx 4cos2coscos 81

21

834 ++=

15

xxxxx 8cos6cos4cos2coscos 1281

161

327

167

128358 ++++=

xxxxxx 9cos7cos5cos3coscoscos 2561

2569

649

6421

128639 ++++=

xxxxxx 10cos8cos6cos4cos2coscos 5121

2565

51245

6415

256105

2566310 +++++=

xxx cossin22sin =

xxxx 32 sincossin33sin −=

xxxxx cossin4cossin44sin 33 −=

xxxxxx 5234 sincossin10cossin55sin +−= (2.20)

xxxxxxx cossin6cossin20cossin66sin 5335 +−=

xxxxxxxx 725436 sincossin21cossin35cossin77sin −+−=

xxxxxxxxx cossin8cossin56cossin56cossin88sin 735537 −+−=

xxxxxxxxxx 92745638 sincossin36cossin126cossin84cossin99sin +−+−=

xxxxxxxxxxx cossin10cossin120cossin252cossin120cossin1010sin 93755739 +−+−=

xxx 22 sincos2cos −=

xxxx 23 sincos3cos3cos −=

xxxxx 4224 sinsincos6cos4cos +−=

16

xxxxxx 4285 sincos5sincos10cos5cos +−=

xxxxxxx 642246 sinsincos15sincos15cos6cos −+−= (2.21)

xxxxxxxx 6643257 sincos7sincos35sincos21cos7cos −+−=

xxxxxxxxx 86244268 sinsincos28sincos70sincos28cos8cos +−+−=

xxxxxxxxxx 86345279 sincos9sincos84sincos126sincos36cos9cos +−+−=

xxxxxxxxxxx 108264462810 sinsincos45sincos210sincos210sincos45cos10cos −+−+−=

Otras identidades útiles para dos ángulos X e Y son las siguientes:

)(sin)(cos2sinsin 22 YXYXnYnX nn −+=− (2.22)

)(sin)(sin2coscos 22 YXYXnYnX nn −+=− (2.23)

17

3 PROPIEDADES DEL ELIPSOIDE

3.1 Introducción

Según se trató en la Sección 1, en geodesia geométrica, para muchos cálculos se debe lidiar con la geometría de un elipsoide de revolución. Este elipsoide es formado mediante la rotación de su semieje menor.

Consideremos el elipsoide que se muestra en la Figura 3.1.

Figura 3.1 La Elipse Básica

En la figura tenemos:

F1, F2, focos de la elipse AP2BP1.

O, centro de la elipse.

OA = OB = a = semieje mayor de la elipse.

OP1 = OP2 = b = semieje menor de la elipse.

P1P2, es el eje menor de la elipse, mientras que P es un punto arbitrario en la elipse.

a

b

x

z

P1

P2

A B O F1 F2

P

18

De la definición de una elipse, el movimiento de P sobre la elipse produce una suma constante de las distancias tomadas desde dos puntos fijos, denominados focos.

F1P + F2P = constante (3.1)

Si dejamos mover a P en dirección hacia B, y luego en dirección hacia A, encontramos que:

F1P + F2P = 2a (3.2)

Si ahora dejamos P ir hacia P1, se verifica que F1P = F2P, de la ecuación (3.2) se tiene que F1P = F2P = a, el semieje mayor. Esta información es mostrada en la figura siguiente:

Figura 3.2 Notación para la Elipse

Ahora estamos en posición de definir algunos parámetros fundamentales de la elipse. Tenemos lo siguiente:

1) El achatamiento polar, f: a

baf

−= (3.3)

2) La primera excentricidad, e: 2

222

221 ;

aba

ea

baa

OFe

−=−=≡ (3.4)

a b

x

z P1

P2

F1 F2

α

(a2-b2)1/2

O

19

3) La segunda excentricidad, e': 2

222

221 ';'

bba

eb

bab

OFe

−=−=≡ (3.5)

4) Excentricidad angular, α (ver figura 3.2); α es el ángulo en P1 entre el semieje menor y la línea dibujada desde P hasta ya sea F1 o F2. Tenemos:

fab −== 1cosα (3.6)

ea

OF == 1sin α (3.7)

'tan 1 eb

OF ==α (3.8)

5) Excentricidad lineal, E: E = ae (3.9)

Otras dos cantidades usadas a menudo, son:

22

22

baba

m+−= (3.10)

baba

n+−= (3.11)

en algunos libros la cantidad m es designada como e’’2

Los parámetros básicos a, b, f, e, e’, α, m, n, son interrelacionados a través de ecuaciones que pueden ser fácilmente derivadas. Por ejemplo, considere las relaciones entre f y e’. Desde (3.4) tenemos:

22 1

ab

e −= (3.12)

de (3.3):

fab −= 1 (3.13)

la cual es sustituida dentro de (3.12) para encontrar:

20

22 2 ffe −= (3.14)

Otras relaciones de interés son como sigue: (Gan’shin, 1967):

( ) mm

n

n

e

ee

+=

+=

+=

12

1

4

'1

'22

22 (3.15)

2

22

1'

ee

e−

= (3.16)

( )( ) 1'11 22 =+− ee (3.17)

( )mm

nn

eee

efab

+−

=+−

=+

==−=−=11

11

'1

1'

112

2 (3.18)

2

2

11

112 e

ef

fn

−+

−−=−

= (3.19)

( ) 22

2

12

11

2nn

f

ffm

+=

−+−= (3.20)

Adicionalmente, en ocasiones es conveniente tener algunas expresiones en serie relacionando ciertas cantidades. Por ejemplo, tenemos las siguientes (Gan’shin, 1967):

+++++= 5432 )32/1()16/1()8/1()4/1()2/1( fffffn

+++++= 108642 )512/21()128/7()64/5()8/1()4/1( eeeeen

+++= 53 )16/1()8/1()2/1( mmmn

+−−+= 542 )4/1()4/1()2/1( ffffm

21

+++++= 108642 )32/1()16/1()8/1()4/1()2/1( eeeeem

++−= 53 222 nnnm

+++++= 54322 65432' fffffe

+++++= 54322 20161284' nnnnne

+++++= 54322 22222' mmmmme

Los valores numéricos de estas cantidades dependen de la definición fundamental de parámetros tales como: tamaño (a) y forma (usualmente f). Muchos elipsoides diferentes han sido usados en el pasado. Actualmente el sistema de constantes recomendado por la Asociación Internacional de Geodesia (IAG) es el Sistema de Referencia Geodésico de 1980 (Moritz, 1980). Para este sistema, las cantidades de interés geométrico son las siguientes:

a = 6378137 m (exacta)

b = 6356752.3141 m

E = 521854.0097 m

c = 6399593.6259 m

e2 = 0.00669438002290

e’2 = 0.00673949677548

f = 0.00335281068118

f – 1 = 298.257222101

n = 0.001679220395

m = 0.003358431319

Q = 10001965.7293 m

R1 = 6371008.7714 m

R2 = 6371007.1810 m

R3 = 6371000.7900 m

22

En las constantes de arriba Q es la longitud de un cuadrante de meridiano, R1 es el radio medio (2a + b) / 3, R2 es el radio de una esfera que tiene igual superficie que el área del elipsoide, y R3 es el radio de una esfera que tiene igual volumen que el elipsoide. La derivación de las ecuaciones para estas cantidades será tratada en secciones posteriores.

3.2 Coordenadas Geodésicas

Consideramos primero un elipsoide de revolución cuyo centro está en O. Definimos el eje OZ como el eje de rotación del elipsoide. El eje OX se subtiende en el plano ecuatorial e intercepta el meridiano PEP1, el cual es tomado como el primer meridiano o meridiano inicial desde donde las longitudes serán medidas. El eje OY está en el plano ecuatorial, perpendicular al eje OX tal que OX, OY, OZ forman un sistema coordenado de mano derecha como se muestra en la Figura 3.3.

Figura 3.3 Sistema de Coordenadas para el Elipsoide

Un punto arbitrario Q o Q’ (dentro o fuera de la superficie del elipsoide) puede ser definido entonces por sus coordenadas X, Y, Z.

Deberíamos observar que sobre un meridiano cualquiera, tal como PQP1 o PEP1, la longitud es una constante para cualquier punto localizado en este plano meridiano. La longitud geodésica λ de un punto es definida como el ángulo diedro entre los planos del primer meridiano (PEP1) y un meridiano (ejemplo PQP1) que está pasando a través del punto dado. Las longitudes, en este apunte y para muchos casos son medidas positivas

P1

λ

E

X

Y

Z

P Q’

Q

O ϕ

λ

23

hacia el Este, aunque hay casos (ejemplo EE.UU. y Chile) donde algunas referencias consideran que las longitudes medidas hacia el Oeste de Greenwich también son positivas.

La latitud geodésica ϕ de un punto ubicado sobre la superficie del elipsoide, es definida como el ángulo entre la normal al elipsoide en el punto y el plano ecuatorial. Para un punto ubicado sobre la superficie del elipsoide hay varias definiciones posibles. La más simple es que éste es el ángulo entre la normal al elipsoide, que está pasando a través de este punto, y el plano ecuatorial. Este sistema de coordenadas (por ejemplo ϕ, λ) es llamado coordenadas geodésicas (en algunos libros podrían ser encontradas algunas referencias a coordenadas geográficas, las cuales son idénticas a las coordenadas geodésicas). ϕ y λ forman un juego de coordenadas curvilíneas sobre la superficie del elipsoide. Ellas permiten la descripción de muchas propiedades involucradas con la superficie y curvas sobre la superficie.

3.3 La Elipse Meridiana

La elipse meridiana que pasa a través del punto Q es mostrada en la Figura 3.4 con los ejes coordenados z y x.

Figura 3.4 Elipse Meridiana

Además de la latitud geodésica podemos definir la latitud reducida β y la latitud geocéntrica ψ. La latitud reducida (algunas veces llamada latitud paramétrica) es el ángulo cuyo vértice se ubica en el centro de una esfera que es tangente al elipsoide a lo largo del Ecuador, entre el plano ecuatorial y el radio del punto P1 originado en la esfera por una línea recta perpendicular al plano del Ecuador, que pasa a través del punto P

x

z

ϕ

Q

90°+ ϕ

24

sobre el elipsoide, para el cual la latitud reducida está siendo definida. La latitud reducida es mostrada en la Figura 3.5.

Figura 3.5 Latitud Reducida

La latitud geocéntrica es el ángulo en el centro de la elipse entre el plano del Ecuador y una línea hacia el punto cuya latitud geocéntrica está siendo definida. Observe que esta definición permite un significado simple para definir esta latitud aunque el punto podría no estar localizado sobre la superficie del elipsoide. La latitud geocéntrica es mostrada en la Figura 3.6.

Figura 3.6 Latitud Geocéntrica

x

z

P2 x

z a

P

O

P1

β

P

x

z

ψ

z r

x P2 O

25

Las coordenadas z y x pueden ser calculadas conociendo ya sea ϕ, β, o ψ más los parámetros del elipsoide. Estas relaciones son útiles en la derivación de expresiones que relacionan las latitudes.

Consideramos primero la determinación de x y z usando la latitud reducida β. Desde la Figura 3.5 tenemos:

22

122

2 )()( aPPOP =+ (3.22)

La ecuación de esta elipse puede ser escrita:

12

2

2

2

=+bz

ax

(3.23)

o con x = OP2 y con z = P2P, tenemos:

( ) ( )1

2

22

2

22 =+

bPP

aOP

(3.24)

Combinando (3.22) y (3.24), queda:

212

22

22

22

22

2 )()()()( PPOPaba

PPOP +==+ (3.25)

Resolviendo para P2P, encontramos:

122 PPab

PP = (3.26)

De la Figura 3.5 tenemos que:

βsin12 aPP = (3.27)

26

luego las coordenadas x y z son:

βcos2 aOPx == (3.28)

βsin2 bPPz == (3.29)

Para determinar x y z usando la latitud geodésica observamos, considerando la Figura 3.4, que la pendiente de la línea tangente es la tangente del ángulo con los ejes positivos.

ϕϕϕϕ

sincos

cot)90tan(−=−=+=

dxdz

(3.30)

donde dxdz

es la inclinación de la línea tangente. Para determinar la derivada reescribimos

la ecuación (3.23) como sigue:

222222 bazaxb =+ (3.31)

y diferenciamos para conseguir,

022 =+ zdzaxdxb (3.32)

o arreglando:

ϕϕ

sincos

2

2 −=−=zx

ab

dxdz

(3.33)

Usando la ecuación (3.26) y (3.33) queda:

ϕϕ cossin 22 zaxb = (3.34)

Elevando al cuadrado ambos lados queda:

27

0cossin 224224 =− ϕϕ zaxb (3.35)

Entonces multiplicando la ecuación (3.31) por –b2sin2ϕ, agregando el resultado a la ecuación (3.35) y multiplicando por –1, y entonces resolviendo para z encontramos:

ϕϕ

ϕ2222

2

sincos

sin

ba

bz

+= (3.36)

Utilizando un procedimiento similar, encontramos para x:

ϕϕ

ϕ2222

2

sincos

cos

ba

ax

+= (3.37)

Usando e2 de la ecuación (3.4) los denominadores de la ecuación (3.36) y (3.37) se convierten en (1-e2sin2ϕ)½ de modo que x y z pueden expresarse como:

ϕ

ϕ22 sin1

cos

e

ax

−= (3.38)

( )ϕ

ϕ22

2

sin1

sin1

e

eaz

−

−= (3.39)

En este punto es conveniente introducir y definir cuatro nuevas cantidades:

β

β

ϕ

ϕ

222

222

222

222

sin'1

cos1

cos'1

sin1

ev

ew

eV

eW

−≡

−≡

+≡

−≡

(3.40)

28

Comenzando desde estas designaciones, varias otras relaciones pueden ser derivadas.

β

β

222

222

cos11

sin'11

eV

eW

−=

+=

(3.41)

Usando W y V en las ecuaciones (3.38) y (3.39) podemos escribir:

Wa

xϕcos= (3.42)

Wea

zϕsin)1( −= (3.43)

ϕcosVc

x = (3.44)

)'1(sin

2eVc

z+

=ϕ

(3.45)

donde ba

c2

= . Una interpretación geométrica para c será entregada posteriormente.

Puede agregarse un significado geométrico a W y V considerando los elementos de la Figura 3.7.

29

Figura 3.7 Interpretación Geométrica de W y V

q es una distancia medida desde el origen hasta el plano tangente que pasa por P (cuya latitud geodésica es ϕ ) de tal forma que la línea trazada desde el origen es perpendicular al plano tangente. Tenemos:

ϕϕ sincos zxq += (3.46)

Sustituyendo x y z de las ecuaciones (3.42) y (3.43) queda:

aWq = (3.47)

De (3.44) y (3.45) tenemos:

bVq = (3.48)

q

ϕ ϕ

P

Z

X

z

x

30

Podemos igualar (3.47) y (3.48) para finalmente escribir:

Vab

W = (3.49)

A continuación pasamos a la determinación de x y z usando la latitud geocéntrica. De la Figura 3.6 escribimos:

ψcosrx = (3.50)

ψsinrz = (3.51)

donde r es el radio geocéntrico.

Claramente tenemos:

22 zxr += (3.52)

Substituyendo (3.50) y (3.51) en la ecuación (3.23), y resolviendo para r queda:

ψψ 2222

2

cos1cos1

1

e

b

e

ear

−=

−

−= (3.53)

Substituyendo este valor de r de regreso dentro de (3.50) y (3.51), obtenemos:

ψ

ψ22

2

cos1

cos1

e

eax

−

−= (3.54)

ψ

ψ22

2

cos1

sin1

e

eaz

−

−= (3.55)

31

También podríamos obtener una expresión para el vector del radio en términos de la latitud geodésica si sustituimos las ecuaciones (3.38) y (3.39) en (3.52):

( ) ϕ222 sin21 −+= eeWa

r (3.56)

Puesto que el segundo término a la derecha de (3.56) está en el orden de e2, es conveniente obtener una expresión en serie para el vector del radio. Primero desarrollamos el término de raíz cuadrada usando la serie binomial (ecuación 2.7) para que:

( )

+−−+= ...sin

21

sin221

1 44222 ϕϕ eeeWa

r (3.57)

Ahora calculamos W1

usando un desarrollo en serie de McLaurin (ecuación 2.4):

...sin83

sin2

11 442

2

+++= ϕϕ ee

W (3.58)

Multiplicando (3.57) y (3.58) hallamos una expresión en serie para r en términos de la latitud geodésica:

+−+−+−= ...sin1613

sin43

sin85

sin2

sin2

1 66464424

22

ϕϕϕϕϕ eeeee

ar (3.59)

El número de términos a retenerse en tal expresión depende de la exactitud deseada. Recordemos que para el Sistema de Referencia Geodésico 1980, a = 6378137 m, e2 = 0,00669..., los últimos dos términos en la ecuación (3.59) tienen un valor máximo de 0,0008 metros.

32

3.4 Relaciones entre las Diferentes Latitudes

Podemos usar algunas de las ecuaciones previamente deducidas para obtener relaciones entre las latitudes descritas. De la Figura 3.6 escribimos:

xz=ψtan (3.60)

Sustituyendo z y x de las ecuaciones (3.28), (3.29) y (3.38), (3.39) tenemos:

( ) ϕβψ tan1tantan 2eab −== (3.61)

Entonces:

( ) ϕβψ tan1tan1tan 22 ee −=−= (3.62)

ϕβ tan1tan 2e−= (3.63)

βϕ tan'1tan 2e−= (3.64)

Aunque estas relaciones son suficientes para determinar un tipo de latitudes desde cualquier otro, algunos procedimientos se simplifican si también se encuentran otras relaciones. Por ejemplo, igualamos la coordenada z en (3.29) y (3.43) para obtener:

VWe ϕϕβ sinsin1

sin2

=−= (3.65)

Igualando las ecuaciones (3.28) y (3.42) que tratan con la coordenada x, tenemos:

Wϕβ coscos = (3.66)

33

Otras relaciones de interés incluyen:

wevββϕ cos1coscos 2−== (3.67)

vewββϕ sin

'1sin

sin 2+== (3.68)

Seguidamente pasamos a la determinación de expresiones para establecer la diferencia entre dos tipos de latitudes. Primero consideramos las expresiones cerradas y luego las expresiones en serie. Ahora consideraremos la diferencia entre la latitud geodésica y la reducida, escribiendo:

βϕβϕβϕ sincoscossin)(sin −=− (3.69)

Luego sustituimos los valores de sin β y cos β de (3.65) y (3.66) para obtener después de algunas reducciones:

Wf

22sin

)(sinϕβϕ =− (3.71)

Otra expresión cerrada puede escribirse comenzando de la siguiente identidad:

βϕβϕβϕ tantan1

tantan)(tan +

−=− (3.72)

Sustituyendo por tan β como una función de tan ϕ hallamos:

ϕϕβϕ 2cos1

2sin)(tan nn+=− (3.73)

Las expresiones cerradas que dan una función de ( ψϕ − ) como una función ya sea de ϕ o ψ , pueden deducirse en forma cerrada o en serie. Para deducir una expresión cerrada escribimos:

34

( )ψϕψϕψϕ

tantan1tantan

tan+

−=− (3.74)

Sustituyendo (3.61) por tanψ podemos expresar:

)sin1(22sin

)(tan 22

2

ϕϕψϕ e

e−=− (3.75)

La derivación de expresiones en serie para las diferencias de dos latitudes puede ser realizada usando (2.11) y (2.12). Por ejemplo, podemos aplicar esta técnica a la ecuación (3.63) donde 2/12 )1(, epy −== β y x=ϕ, encontramos:

....6sin3

4sin22sin3

2 ++−=− ϕϕϕβϕ nnn (3.76)

Esta diferencia, como una función de β podría escribirse:

...6sin34sin22sin32 +++=− ββββϕ nnn (3.77)

Usando un enfoque similar, la diferencia entre la latitud geodésica y geocéntrica como una función de ϕ se escribe:

...6sin34sin22sin32 ++−=− ϕϕϕψϕ mmm (3.78)

Esta diferencia como una función de ψ es:

...6sin34sin22sin32 +++=− ψψψψϕ mmm (3.79)

Para el elipsoide de Clarke 1866 (f = 1/294,978698) tenemos (Adams, 1949):

...6sin"0003,04sin"2973,02sin"2202,350 ++−=− ϕϕϕβϕ

35

(3.80)

...6sin"0027,04sin"1893,12sin"4385,700 ++−=− ϕϕϕψϕ

Para el elipsoide del Sistema de Referencia Geodésico 1980 tenemos:

ϕϕϕψϕ

ϕϕϕβϕ

6sin"0026,04sin"1632,12sin"7262,692

6sin"0003,04sin"2908,02sin"3640,350

+−=−

+−=− (3.81)

Podemos observar que la diferencia máxima de βϕ − es aproximadamente 6’, mientras que para ψϕ − la diferencia máxima es de 12’. Esta diferencia ocurre cerca de los 45º de latitud.

3.5 Radios de Curvatura del Elipsoide

Primero considere una normal a la superficie del elipsoide en algún punto. Ahora tome un plano que contenga esta normal y sea así perpendicular al plano tangencial. Este plano particular cortará la superficie del elipsoide formando una curva que se conoce como una sección normal. Los radios de curvatura de una sección normal dependerán del acimut de la línea. En cada punto existen dos secciones normales mutuamente perpendiculares cuyas curvaturas son máximas y mínimas. Tales secciones se llaman secciones normales principales.

En el elipsoide esas dos secciones normales son:

La sección meridiana está formada por un plano que pasa a través de un punto dado y los dos polos;

La sección del primer vertical está formada por una sección que pasa a través del punto dado y es perpendicular a la sección meridiana en el punto.

El radio de curvatura en el meridiano es designado M, y el radio de curvatura en el primer vertical es designado N.

Con el objeto de encontrar el radio de curvatura en una dirección arbitraria podemos utilizar la fórmula de Euler (ver Manual de Tablas y Fórmulas de Schaum, Relación de Curvas Normales Geodésicas):

36

2

2

1

2 sincos1ρ

θρ

θρ

+= (3.82)

donde:

ρ es el radio de curvatura arbitrario;

θ es el ángulo medido desde la sección principal con el radio de curvatura más grande 1ρ en una dirección normal principal; y

2ρ es el radio de curvatura en la dirección de la otra dirección normal principal.

Después de examinar los valores de N y M aplicaremos la ecuación (3.82) al caso del elipsoide.

3.5.1 Radio de Curvatura en el Meridiano

Primero consideramos la determinación de M. Recordemos que si se tiene una curva plana especificada como z = F (x), el radio de curvatura en un punto sobre la curva es:

2

2

2/32

1

dxzd

dxdz

+

=ρ (3.83)

De la ecuación (3.30) se tiene:

ϕcot−=dxdz

Luego diferenciando queda:

37

ϕϕ

ϕϕ

ddxdx

ddx

zd 1sin

1sin

1222

2

== (3.84)

De la ecuación (3.38) tenemos:

ϕ

ϕ22 sin1

cos

e

ax

−=

la que se diferencia con respecto a ϕ para obtener:

( )( ) 2/322

2

sin1

sin1

ϕ

ϕϕ e

eaddx

−

−−= (3.85)

Reemplazando (3.85) en (3.84) tenemos:

( )( )23

2/322

2

2

1sinsin1

eae

dxzd

−−−

=ϕ

ϕ (3.86)

Sustituyendo los valores de (3.86) y de dz/dx dentro de (3.82) cuando ρ es ahora M, encontramos:

( )( ) 2/322

2

sin1

1

ϕe

eaM

−

−= (3.87)

donde el signo menos ha sido eliminado por convención. Recordando las definiciones de W, V, y c, las expresiones alternas para M son:

( )33

21Vc

Wea

M =−= (3.88)

Ahora consideramos una deducción alterna para M tomando en cuenta la Figura 3.8:

38

Figura 3.8 Porción de un Arco de Meridiano

Tenemos ds, una distancia diferencial a lo largo de un arco de meridiano; dϕ es la separación angular. Entonces consideramos M como el radio de curvatura del arco meridiano, así:

ϕϕϕcos

tan1)(1 2222 dzdzdzdxdzdzdxMdds =+=+=+== (3.89)

puesto que de la ecuación (3.30) tenemos:

ϕcot−=dxdz

Entonces:

ds

dϕM

z

x

39

ϕϕ cosdzMd =

ó (3.90)

ϕϕ ddz

Mcos

1=

Usando (3.39) hallamos para z:

3

2 cos)1(Wea

ddz ϕϕ

−= (3.91)

Lo que traduce (3.90) en

3

2)1(W

eaM −=

que es lo mismo que (3.88)

En el ecuador ϕ = 0 así que:

( ) ( )220 11 faeaM −=−==ϕ (3.92)

En los polos ϕ = ± 90º por tanto:

( )( ) c

ba

fa

e

a

e

eaM ==

−=

−=

−

−==

2

22/32

2

90 111

1oϕ

(3.93)

En esta expresión, c, el cual fue introducido previamente, es visto como el radio de curvatura en el polo.

Podemos tomar la razón:

40

320

90

)1(1

)1(1

1 ffafa

MM

−=−⋅−=

30

90 )1( fM

M −= (3.94)

Si los valores de M fuesen tabulados, ellos podrían trazarse con respecto a un origen en la superficie del elipsoide de referencia. El punto extremo de los distintos valores M caería en una curva según se muestra en el diagrama siguiente:

Figura 3.9 Radios de Curvatura de Meridianos Ecuatorial y Polar

Vamos a definir 21 ∆∆ y según el diagrama:

Luego:

222

1 )2()1( aeffafaa =−=−−=∆ (3.95)

Además

)1()1()1()2(

1122

2 ffae

fffabf

a−∆=−=−

−=−−=∆ (3.96)

M0 ∆2

M90

∆1

41

Para el Sistema de Referencia Geodésico de 1980 tenemos los siguientes valores para 21 ∆∆ y :

m67.697,421 =∆

m31.841,422 =∆

3.5.2 Radio de Curvatura en el Primer Vertical

Hay varios procedimientos para deducir N. Una idea es usar el teorema de Meusnier donde el radio de curvatura (p) de una sección inclinada es igual al radio de curvatura (N) de una sección normal, multiplicado por el coseno del ángulo (ϕ) entre esas secciones. En nuestro caso deseamos hallar el radio de curvatura de la sección normal conociendo el radio de curvatura de la sección inclinada. Tenemos:

Figura 3.10 Radio de Curvatura del Primer Vertical

Sección normal en el primer vertical

Radio de curvatura del primer vertical

42

Figura 3.11 Geometría para el uso del Teorema de Meusnier

En la figura anterior, N es el largo de la línea normal desde la superficie del elipsoide hasta la intersección de esta línea con el eje menor.

El radio de curvatura del paralelo es p. De la Figura 3.11:

ϕϕ cos)90(sin NNp =−= (3.97)

El ángulo entre la sección del primer vertical y la sección inclinada es ϕ. Luego:

p = (radio de curvatura del primer vertical) × cosϕ (3.98)

En las ecuaciones (3.97) y (3.98) vemos que el radio de curvatura en la dirección del primer vertical es N.

Es posible un enfoque alterno a partir de un argumento geométrico. Para hacer esto consideramos la figura siguiente, en la cual se ha dibujado una sección del primer vertical:

ϕ

p

N

Sección normal en el primer vertical

Radio de curvatura del paralelo

Paralelo de latitud

43

Figura 3.12 Deducción Geométrica de N(A)

En esta figura, PAP1 representa el meridiano a través de A. AH es la normal en A, intersectando al eje de rotación. B es un punto arbitrario en el mismo paralelo de A, mientras que BH es la normal en B intersectando al eje de rotación en H. C es un punto en la sección del primer vertical a través de A y que también yace en el meridiano que pasa por B.

Construimos una normal en C que interseptará (en K) a la normal de A ya que AC es una curva plana. Podemos decir que K es el centro aproximado de curvatura del arco AC. Permítase ahora que el punto B se acerque al punto A, para que C se aproxime a A. La intersección de las normales se acercará al verdadero centro de curvatura y CK se aproximará al verdadero radio de curvatura del arco. Ahora, al acercarse C a A, C también se aproxima a B para que K se acerque a H. Así que el radio de curvatura de la sección del primer vertical en A tiene que ser la distancia desde H hasta A o AH. Para calcular este radio consideramos la elipse meridiana en la figura siguiente.

P1

Normal en A intersectando el eje de rotación en H

K

P

Sección del Primer Vertical

Paralelo de Latitud

C

B A

H

N

44

Figura 3.13 Deducción Geométrica de N (B)

De la figura tenemos:

ϕcosNx =

Usando la expresión para x deducida previamente, podemos resolver para N y hallar:

Vc

Wa

e

aN ==

−=

ϕ22 sin1 (3.99)

En el ecuador el radio de curvatura del primer vertical es:

aN =°=0ϕ (3.100)

En el polo:

ba

faN

2

90 1=−=°=ϕ (3.101)

N

x

ϕ

45

Vemos que M (ver (3.92) y (3.39)) y N son mínimos en puntos sobre el ecuador. En el polo M = N = a2/b = c de ahí que ambas curvaturas sean las mismas.

Podemos hallar la razón de N/M usando las ecuaciones (3.88) y (3.99). Por tanto:

23Vc

VVc

MN =⋅=

ó

ϕ222 cos'1 eVMN +== (3.102)

Por tanto MN ≥ , donde la igualdad se manifiesta en los polos.

3.5.3 Radio de Curvatura de la Sección Normal en el Acimut αα

Puesto que N generalmente es mayor que M, asociamos N con ρ1 que se presentó en la ecuación (3.82). Si dejamos que α sea el acimut de una línea de la cual nos interesa conocer su curvatura, tenemos αθ −= º90 . Si ρ = Rα podemos expresar la ecuación (3.82) para el elipsoide de revolución de la manera siguiente.

MNRαα

α

22 cossin1 += (3.103)

ϕαααα 222'22 coscos1sincos eN

MNMNR +=+= (3.104)

3.6 Extensión de un Arco de Meridiano

Ahora pasamos a los cálculos de las extensiones de arcos de meridiano. En la ecuación (3.89) se escribió una longitud de arco diferencial como:

46

ds = Mdϕ

Para descubrir la extensión de arco entre dos puntos con latitudes ϕ1 y ϕ2 se integra la ecuación anterior para formular:

∫ ∫−== 2

1

2

13

2)1(ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕWd

eaMds (3.105)

La integral

( )∫ ∫ −−= ϕϕϕ

deW

d 2/3223 sin1

representa una integral elíptica que no puede integrarse en funciones elementales. En su lugar, el valor de 31 W se desarrolla en series y la integración se efectúa término por

término. Primero veremos el desarrollo en serie de 31 W de MacLaurin:

...sin256693sin

128315sin

1635sin

815sin

231

1 1010886644223 ϕϕϕϕϕ eeeee

W+++++=

(3.106)

Para mayor facilidad en la integración reemplazamos las potencias de senϕ por equivalentes de ángulo múltiple, según la ecuación (2.18), para encontrar:

...10cos8cos8cos6cos4cos2cos1

3 +−−+−+−= ϕϕϕϕϕϕ FFEDCBAW

(3.107)

donde los coeficientes A, B,...,F, tienen el significado siguiente:

...6553643659

1638411025

256175

6445

431 108642 ++++++= eeeeeA

...6553672765

20482205

512525

1615

43 108642 +++++= eeeeeB

47

...1638410395

40962205

256105

6415 10864 ++++= eeeeC (3.108)

...13107231185

2048315

51235 1086 +++= eeeD

...655363465

16384315 108 ++= eeE

...131072

693 10 += eF

Ahora podemos sustituir (3.107) dentro de (3.105) y escribir:

( ) ( )∫ −−−+−−−= 2

1

4cos2cos1 2 ϕ

ϕϕϕϕ dCBAeas

( )∫ ∫∫ −−−++−−= 2

1

2

1

2

1

4cos2cos1 2 ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕϕϕϕϕ dCdBAdeas

( ) −−−+

+−−=

2

1

2

1

2

14sin

42sin

21 2

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕϕϕ CB

Aeas (3.109)

−+−−−−= )4sin4(sin

4)2sin2(sin

2)()1( 121212

2 ϕϕϕϕϕϕ CBAeas

...)10sin10(sin10

)8sin8sin(8

)6sin6(sin6 121212 +−−−+−− ϕϕϕϕϕϕ FED (3.110)

Esta ecuación puede ser escrita en una forma alterna usando la ecuación (2.22).

En este caso ,12 , ϕϕ == YX , de tal modo que:

( )1221

12 2sin

2cos2sinsin ϕϕ

ϕϕϕϕ −

+

=− nnnn (3.111)

haciendo:

48

221 ϕϕϕ +=m y 12 ϕϕϕ −=∆

podemos escribir valores específicos de (3.111) como:

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

∆=−

∆=−

∆=−

3sin6cos26sin6sin

2sin4cos24sin4sin

sin2cos22sin2sin

12

12

12

m

m

m

(3.112)

y así seguidamente. La ecuación (3.112) podría entonces ser sustituida dentro de la ecuación (3.110) quedando:

( )

...]5sin10cos5

4sin8cos4

3sin6cos3

2sin4cos2

sin2cos[1 2

+∆−∆

+∆−∆+∆−∆−=

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕ

mm

mmm

FE

DCBAeas

(3.113)

Con el propósito de calcular la longitud del arco de meridiano desde el ecuador hasta una latitud arbitraria ϕ, igualaremos ϕ1 a cero y ϕ2 igual a ϕ en la ecuación (3.110). Entonces, encontraremos (con s =Sϕ):

( )

+−+−+−−= ...10sin

108sin

86sin

64sin

42sin

21 2 ϕϕϕϕϕϕϕ

FEDCBAeaS (3.114)

Helmert (1880) efectuó una deducción alterna para la longitud del arco meridiano en la cual el parámetro de desarrollo es n en lugar de e2. En este caso se obtiene una convergencia más rápida de la serie. Tenemos:

[ ]ϕϕϕϕϕϕ 8sin6sin4sin2sin1 86420 aaaaa

naS +−+−+

= (3.115)

donde:

49

6441

42

0nna ++=

)8

(23 3

2nna −=

)4

(1615 4

24

nna −= (3.116)

36 48

35 na =

48 512

315 na =

Para lograr una precisión de 0.1 mm en Sϕ desde el ecuador hasta el polo, es suficiente dejar a8 en cero y omitir los términos de n4 en los coeficientes ai.

Usando la ecuación (3.114) ó (3.115) será fácil encontrar la distancia de arco desde el ecuador hasta el polo haciendo º90=ϕ . De las ecuaciónes (3.114) y (3.115) tenemos:

( )212

1 0290

ππϕ n

aaAeaS

+⋅

=−== o (3.117)

Para el Sistema de Referencia Geodésico de 1980 (GRS80) tenemos las siguientes constantes asociadas con el cálculo del arco de meridiano:

A = 1,00505250181

B = 0,00506310862

C = 0,00001062759

D = 0,00000002082

E = 0,00000000004 (3.118)

F = 0,00000000000

a0 = 1,00000070495

a2 = 0,00251882970

50

a4 = 0,00000264354

a6 = 0,00000000345

a8 = 0,00000000000

La evaluación de (3.117) da para el cuadrante del elipsoide del GRS80: 10.001.965,7293 m.

Para algunas aplicaciones conviene modificar las ecuaciones tales como (3.113), para obtener ecuaciones válidas para líneas más cortas en extensión. Por tanto, sustituimos en (3.113):

6sin

3ϕϕϕ ∆−∆=∆

ϕϕ ∆=∆ 22sin

Reteniendo los términos básicos de ϕϕ ∆2sin4cos m , pero haciendo aproximaciones consistentes con el largo de las líneas para las cuales han de ser válidas las expresiones, encontramos (Zakatov, 1962, pág. 27):

[ ]mmmm eeeas ϕϕϕϕϕϕ 2cos)4cos2cos()2cos(1 22814

6415

163

6432

43

41 ∆+−+−+−∆=

(3.119)

La ecuación (3.119) es precisa para líneas con º5=∆ϕ (longitud = 556 km) en 0,03 m. Si º10=∆ϕ (longitud = 1100 km) el error es 0,07 m.

Para líneas aún más cortas pueden deducirse ecuaciones simplificadas. Si consentimos que Mm sea el radio de curvatura del meridiano en la latitud media (p.ej., mϕ ) de la línea, puede demostrarse que (Zakatov, pág. 27):

[ ]mm eMs ϕϕϕ 2cos1 2281 ∆+∆= (3.120)

Para º5=∆ϕ , el error en esta ecuación es de 0,03 m. Para líneas inferiores a los 45 km. de longitud, el término entre corchetes en (3.120) puede eliminarse de manera tal que para esta distancia más corta queda:

51

ϕ∆= mMs (3.121)

3.7 Extensión de un Arco de Paralelo

Ahora veremos los cálculos de la extensión del arco en el elipsoide entre dos puntos que tienen longitudes λ1 y λ2, situados en el mismo paralelo. La distancia L deseada se indica en la Figura 3.14:

Figura 3.14 Extensión del Arco de un Paralelo

Recordemos de la ecuación (3.97) que la extensión del radio del paralelo (p) es N cosϕ Así que de la figura:

λϕλ ∆=∆= cosNpL (3.122)

donde λ∆ está en radianes

λ1

p

L

∆λ λ2

52

3.8 Cálculo de Áreas en la Superficie del Elipsoide

Deseamos considerar el área en el elipsoide limitada por meridianos y paralelos conocidos. Para hacerlo, primero consideramos la figura diferencial siguiente:

Figura 3.15 Elemento de Área en el Elipsoide

De la figura diferencial ABCD tenemos:

ϕMdCDAB ==

(3.123)

λϕdNBCAD cos==

Dejando que el área de la figura diferencial sea dZ tenemos:

λϕϕ ddMNABADdZ cos=⋅= (3.124)

El área entre meridianos designados por λ1 y λ2, y paralelos designados por ϕ1 y ϕ2, es:

λ + dλ

ϕ + dϕ

A

dλ

λ

B

D

C

Ecuador

ϕ

53

∫ ∫ ∫== 2

1

2

1

cosϕ

ϕ

λ

λλϕϕ ddMNdzZ (3.125)

Integrando con respecto a λ tenemos:

( )∫−= 2

1

cos12

ϕ

ϕϕϕλλ dMNZ (3.126)

Para evaluar la integral sustituimos por MN para expresar:

( )∫ ∫ −=2

1

2

1222

2

sin1

coscos

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕϕϕ de

bdMN (3.127)

La integral que ocurre en (3.127) puede darse en forma cerrada como sigue (Bagratuni, 1967, pág. 59):

( )∫

−++

−=

−

2

1

2

1

sin1sin1

ln21

sin1sin

2sin1

cos22

2

222

2 ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕϕee

eeb

e

db (3.128)

Por tanto, la ecuación (3.126) podría escribirse:

2

1sin1sin1

ln21

sin1sin

2)(

22

212

ϕ

ϕϕϕ

ϕϕλλ

−+

+−

−=ee

eeb

Z (3.129)

Como un caso especial de la ecuación (3.129), calculamos el área en el elipsoide desde el ecuador hasta la latitud ϕ , completamente alrededor del elipsoide. Entonces (λ2 - λ1) = 2π, ϕ1 = 0 y ϕ2 = ϕ. La ecuación (3.129) se convierte en:

−++−=− ϕ

ϕϕ

ϕπϕ sin1sin1

ln21

sin1sin

222

0 ee

eebZ (3.130)

Si nos interesa el área de la mitad del elipsoide, dejamos que º90=ϕ en la ecuación (3.130) para escribir:

54

−++−=− e

eeebZ

11

ln21

11

22

º900 π (3.131)

Para evaluar el área de todo el elipsoide, multiplíquese la ecuación (3.131) por dos.

En algunos casos puede ser más conveniente integrar la ecuación (3.127) usando una expansión del núcleo en una serie, y su subsecuente integración término por término. Primero escribimos:

...sincos4sincos3sincos2cos)sin1(cos 664422

222 ++++=− ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ eeee

(3.132)

La ecuación (3.132) puede ser usada en (3.127) la cual es empleada en (3.126) para hallar:

[ ] 2

1

...sin74sin5

3sin32sin)( 765432

122

ϕ

ϕϕϕϕϕλλ ++++−= eeebZ (3.133)

Si º02)( 112 ==− ϕπλλ y encontramos una ecuación de (3.133) correspondiendo a (3.130) como:

[ ]...sin95sin7

4sin53sin3

2sin2 9876543220 +++++=− ϕϕϕϕϕπϕ eeeebZ (3.134)

El área total del elipsoide Σ , puede encontrarse dejando que º90=ϕ en la ecuación (3.134) y duplicando el resultado. Así encontramos:

∑

++++++= ...

116

95

74

53

3214 1086422 eeeeebπ (3.135)

La ecuación (3.135) será útil en una sección próxima.

55

El área del elipsoide del GRS80 es 510.065.621,7 km2.

3.9 Radio de Aproximación Esférica de la Tierra o Radio Medio de la Tierra Como si ésta fuese una Esfera

En algunas aplicaciones conviene suponer que la Tierra es una esfera en vez de un elipsoide. Se hace necesario, entonces, formular un radio adecuado, R, de la esfera para su uso. Un radio apropiado puede definirse de varias maneras, a continuación se citan las siguientes:

3.9.1 Radio Medio Gaussiano

El radio medio gaussiano se define como el valor integral medio de R tomado sobre el acimut variando de 0º a 360º. Designando tal radio como R tenemos:

∫ ∫ +==

π π

α αααπ

απ

2

0

2

0 22 sincos21

21

dMN

MNdRR (3.136)

∫+

=π

α

απ

2

0 2

2

tan1

cos2

NM

M

R (3.137)

Removiendo MN la ecuación (3.137) puede escribirse como:

∫

+

=2/

0 2

2

tan1

cos2 π

α

αα

π

NM

dNM

MNR (3.138)

Si admitimos t = )/( NM tanα, y se cambian los límites, la ecuación (3.138) podría expresarse como:

56

∫∞

+=

0 212

tdt

MNRπ

(3.139)

que en la integración produce:

ϕ22

2

sin11

eeaMNR

−−== (3.140)

3.9.2 Radio de una Esfera que tiene el Promedio de los Tres Semiejes del Elipsoide

Dejemos que:

3baaRm

++= (3.140)

Sustituyendo por b y desarrollando, tenemos:

+−+=

−+= ...

21

31

32

31

32 22 eaeaRm

−−−= ...

482461

642 eeeaRm (3.141)

3.9.3 Radio Esférico de la Esfera con igual Área que el Elipsoide

Para encontrar tal radio hacemos que el área de una esfera se iguale al área del elipsoide, permitiendo que RA sea el radio de la esfera. Luego:

Σ=⋅ 24 ARπ (3.142)

57

Despejando RA,

π4Σ

=AR (3.143)

Usando la ecuación (3.135) hallamos:

+−−−= ...

302467

36017

61 64

2

eee

aRA (3.144)

3.9.4 Radio de una Esfera con igual Volumen que el Elipsoide

El volumen de una esfera, VS se expresa como:

3

34

vS RV ⋅= π (3.145)

donde v

R es el radio de la esfera. El volumen de un elipsoide se expresa como:

baVE2

34 ⋅= π (3.146)

Igualando (3.145) y (3.146) hallamos:

3 2baRv = (3.147)

Sustituyendo para b tenemos:

( ) 6/121 eaRv −= (3.148)

58

Desarrollando ( ) 6/121 e− dentro de una serie de MacLaurin, la ecuación (3.148) puede expresarse como:

−−−= ...

129655

725

61 64

2

eee

aRv (3.149)

Para los parámetros del Sistema Geodésico de Referencia 1980 tenemos:

Rm = 6371008,7714 m

RA = 6371007,1810 m

Rν = 6371000,7900 m

Claramente la distinción entre estos radios es numéricamente pequeña. Para la mayoría de las aplicaciones se puede usar 6371 km. Una técnica alterna para un radio esférico es tomar el radio medio gausiano en una latitud específica.

3.10 Coordenadas Rectangulares Espaciales

Durante las explicaciones conectadas con la figura 3.3, definimos los ejes X, Y, Z. Ahora consideramos el cálculo de las coordenadas X, Y, Z, de un punto ubicado en una altura geométrica h, encima del elipsoide de referencia. La altura geométrica se mide a lo largo de la normal al elipsoide. Para empezar consideremos la elipse del meridiano en la figura 3.16.

59

Figura 3.16 Geometría de un Punto Localizado Fuera de una Elipse Meridiana

Tenemos:

ϕcos' hxx +=

(3.150)

ϕsin' hzz +=

donde x y z se conocen por las ecuaciones (3.42) y (3.44).

Las coordenadas rectangulares espaciales como se ven en la Figura 3.16 pueden relacionarse a x’ y z’ como sigue:

X = x’ cos λ

Y = x’ sin λ (3.151)

Z = z’

x

h

z’

x’

z

x

ϕ

z

60

Usando las ecuaciones (3.42) y (3.43) y la expresión para x’ y z’, se ontiene:

X = (N + h) cosϕcosλ

Y = (N + h) cosϕ sinλ (3.152)

Z = (N (1-e2) + h)sinϕ

Donde N = a/W. Un problema que se tratará más adelante, es el cálculo de ϕ , λ , y h conociendo las coordenadas rectangulares espaciales X, Y, Z.

3.11 Una Forma Alterna para la Ecuación del Elipsoide

Previamente escribimos la ecuación de una elipse (ver ecuación 3.23) de la forma:

12

2

2

2

=+bz

ax

donde x es la coordenada medida paralela al semieje mayor y z se mide paralela al semieje menor. La ecuación del elipsoide puede escribirse de una manera semejante:

12

2

2

2

2

2

=++bZ

aY

aX (3.153)

en donde X, Y, Z son las coordenadas rectangulares espaciales para los puntos sobre el elipsoide.

Una forma alterna a (3.153) fue descrita por Tobey (1928). Primero definimos los ejes x’, y’, y z’ en un punto P sobre la superficie del elipsoide. x’ es tangente al elipsoide hacia el polo, y’ es tangente al elipsoide en dirección Este y z’ es normal al elipsoide, positiva hacia el centro. Este sistema se muestra en la Figura 3.17.

61

Figura 3.17 Sistema Local de Coordenadas en el Elipsoide

Usando la anotación de Tobey, indicamos la sección meridiana de la elipse como SPQ. La normal de P al eje menor es el radio de curvatura del primer vertical N, y ϕes la latitud geodésica del punto P.

Defina una esfera de radio N que tiene su centro en nP y, por tanto, es tangente al elipsoide en P y a todos los puntos en el paralelo PT. La ecuación de este círculo en el plano del meridiano es:

x’2 + z’2 - 2Nz’ = 0 (3.154)

donde el origen está en P. La ecuación correspondiente para la esfera tangente sería:

02 '2'2'2' =−++ Nzzyx (3.155)

90°-ϕ

z’

Q

P

y’ x’

nP

S

N

T

62

La elipse meridiana es la curva que es tangente en P donde la línea 0sincos '' =− ϕϕ zx

corta el círculo 02 '2'2' =−+ zNzx . Por tanto, la ecuación de la elipse meridiana en este sistema local de coordenadas toma la forma:

0)sincos(2 2'''2'2' =−+−+ ϕϕδ zxNzzx (3.156)

Una ecuación de elipsoide debe reducirse a (3.156) cuando y’ = 0. Así la ecuación general para un elipsoide podría escribirse como:

0)()sincos(2 '2'''2'2' =+−+−+ yfzxNzzx ϕϕδ (3.157)

Permitiendo que δ = 0, y comparando (3.157) con (3.155), tenemos f (y’) = y’2, para que la ecuación del elipsoide sea:

0)sincos(2 2'''2'2'2' =−+−++ ϕϕδ zxNzzyx (3.158)

Tobey (idem. Proposición I) demuestra que 2'e=δ lo cual fue definido previamente. La ecuación (3.158) se considera como una forma alterna a (3.153) para la ecuación del elipsoide de rotación.

63

4 CURVAS EN LA SUPERFICIE DEL ELIPSOIDE

4.1 Secciones Normales

4.1.1 Introducción

Hemos definido previamente una sección normal como una curva formada por la intersección de un plano que contiene la normal en un punto dado en la superficie del elipsoide. Una sección normal específica desde el punto A al punto B está formada por la intersección de un plano, que contiene la normal en el punto A que pasa a través del punto B, con la superficie del elipsoide de referencia. Físicamente, la sección normal puede ser vista cuando se nivela un teodolito con respecto a la normal del elipsoide en el punto donde se encuentra el instrumento. Un plano normal es el plano que se genera al mover el telescopio en dirección vertical. Visualizando un objeto distante, definimos un plano que contiene la normal en el sitio de observación, y que pasa a través del sitio observado. La intersección de este plano con el elipsoide forma la sección normal desde el punto de observación hasta el punto observado. En la figura siguiente se muestran las secciones normales desde A hasta B, y luego desde B hasta A, notando que, en general, tales secciones son diferentes debido a que las normales al elipsoide en latitudes distintas, intersecan el eje menor en lugares diferentes. Las dos secciones diferentes algunas veces son llamadas secciones contra-normales.

64

Las distancias OnA y OnB pueden ser calculadas considerando el diagrama siguiente, que es una sección meridiana a través de A. Figura 4.1 Determinación de la Distancia OnA

A

B

nB

nA

0

NA zA

A

nA

O ϕ

65

Tenemos:

AAAA zNOn −= ϕsin (4.1) Usando la ecuación (3.39) para z tenemos:

AAAAAAA NeeNNOn ϕϕϕ sinsin)1(sin 22 =−−= (4.2) Similarmente:

BBB NeOn ϕsin2= (4.3) Si BABA OnOn >⟩ ;ϕϕ se deduce que mientras más al norte esté la ubicación del punto a través del cual se pasa la normal, mayor será On y más distante hacia el sur estará el eje de rotación intersecado por la normal. Así que si A se halla al sur de B, la sección normal desde A hacia B se encontrará al sur de la sección normal desde B hacia A. En general, el hecho de tener dos secciones normales entre dos puntos crea problemas cuando se usan observaciones de dirección en los cálculos. Esto puede verse en la figura siguiente, donde las líneas observadas se indican para un triángulo en la superficie del elipsoide. Figura 4.2 Un “Triángulo” de Sección Normal Los ángulos medidos son θ1, θ2, y θ3. A simple vista podemos concluir que no se ha observado ninguna figura cerrada.

θ1

θ2

θ3

66

Finalmente, vamos a considerar dos casos en donde sólo hay una sección normal entre dos puntos. El primero ocurre cuando los dos puntos están en un meridiano. El segundo, cuando los dos puntos están en el mismo paralelo. El primer caso ocurre porque el meridiano es una curva plana, mientras que el segundo está claro porque las normales en la misma latitud interceptan al eje menor en el mismo punto.

4.1.2 Separación entre Secciones Normales Recíprocas Estamos interesados en las diferencias acimutales y distancias entre secciones normales recíprocas. Antes de considerar esas cantidades deduciremos una expresión para el ángulo f, que es el ángulo entre los planos generados por las secciones normales entre A y B. Este ángulo se muestra en la figura 4.3.

Figura 4.3 Ángulo entre las Secciones Normales Recíprocas en la Cuerda que las

Conecta Para encontrar este ángulo consideramos la Figura 4.4.

Sección Normal desde A hasta B

f

B

A

Sección Normal desde B hasta A

Cuerda conectando A y B

67

Figura 4.4 Geometría de la Sección Normal

n’B

αAB

90-σ/2

B

f

A

Polo

αBA

360°-αBA

δ2

f n’A

360°-αBA

90-ϕB

σ

nB

nA

90 + ϕB - δ2

Semieje Menor b

68

El ángulo αAB es el acimut de la sección normal desde A hacia B en A, mientras que αBA es el acimut de la sección normal desde B hacia A en B. σ es el ángulo entre las líneas rectas nAA y nBB. δ2 es el ángulo nABnB. BnAnB yace en el plano meridiano a través de B. Puesto que AA BnAn ≈ , el triángulo AnAB es aproximadamente un triángulo isósceles. Por tanto, el ángulo ABnA es aproximadamente 90º - σ/2 Luego construimos los arcos AnA’ y AnB’, desde el punto B como centro. El arco '' BA nn estará en el meridiano a través de B y será de longitud δ2. Consecuentemente, el ángulo interior Ann BA '' será de 360º - αBA. El arco 'AAn será de 90º - σ/2. El ángulo '' BA Ann será igual al ángulo f que queremos evaluar. Aplicando la ley de senos al triángulo '' BA nAn , tenemos:

2º90(sin

)º360(sinsinsin

2 σα

δ −

−= BAf

(4.4)

o resolviendo para sin f

)2

º90(sin

sinsinsin 2

σαδ

−

⋅−= BAf (4.5)

Del triángulo plano BA nBn tenemos:

B

B

BA Bnnn)º90sin(sin 22 δϕδ −+

= (4.6)

donde Bϕ es la latitud del punto B. Para encontrar nAnB restamos (4.2) de (4.3).

)sinsin(2AABBABBA NNeOnOnnn ϕϕ −=−= (4.7)

Sustituyendo N y omitiendo los términos en el orden de ae4(ϕA-ϕB) encontramos:

mABBA aenn ϕϕϕ cos)(2 −= (4.8) donde mϕ es la latitud media. Expandiendo la expresión de ángulos múltiples de (4.6) tenemos:

69

222 sinsincoscossin δϕδϕδB

BABB

B

BA

Bnnn

Bnnn

+= (4.9)

Sustituyendo (4.8) dentro de (4.9), omitiendo los términos extremos del lado derecho, y notando que BnB = NB tenemos:

( )

B

mBAB

Nae ϕϕϕϕ

δcoscos

sin2

2

−= (4.10)

Con un error de )(4

ABe ϕϕ − tomamos a/NB igual a uno y escribimos: mBABe ϕϕϕϕδ coscos)(sin 2

2 −= (4.11) Jordan (1962) dio una expresión cerrada para determinar δ2 y una forma en serie más exacta que (4.11). La forma cerrada es Jordan (idem, Volumen III, 2, pág. 3):

BA

BAB

BA

BAB

VV

e

VV

e

ϕϕϕ

ϕϕϕδ

sinsinsin1

cossinsin

tan2

2

2

−−

−= (4.12)

La forma de la serie es (idem, p.3):

−−−+∆

−∆

−∆

+∆

= 8

42

6

32

4

22

2

22 2462

B

BB

B

B

B

BB

B

BV

t

VV

t

V

ϕηϕηϕηϕηδ (4.13)

donde ϕη 222 cos'e= y ϕtant = (4.14) Sustituyendo (4.11) dentro de (4.5) tenemos:

( )

2cos

sincossin

22

σαϕϕϕ BAmABe

f−−

= (4.15)

donde suponemos que mB ϕϕ = . Para encontrar σ consideramos una aproximación de suficiente precisión. Tomamos un triángulo esférico pequeño, según la Figura 4.5:

70

Figura 4.5 Una Aproximación Para el Arco Esférico σ Del triángulo tenemos aproximadamente:

ABAB ασϕϕ cos)( =− (4.16) Suponiendo que º1801221 ±=αα (esto es, ignorando la convergencia meridiana en consideración a que estamos tratando con líneas de un largo de 50-100 km), permitiendo

que ff sin,12

cos ≈≈σ y sustituyendo la ecuación (4.16) dentro de (4.15), encontramos:

ABmef αϕσ 2sincos21 22= (4.17)

Una aproximación razonable para σ es s/NA, donde s es la dimensión de la sección normal. Entonces:

ABmAN

sef αϕ 2sincos

21 22= (4.18)

s

σ

Meridiano

B

A

(ϕ β - ϕ A)

α AB

Aproximación a la Sección Normal

Paralelo

71

De (4.18) vemos que f aumenta linealmente con la distancia. Se reducirá al aumentar la latitud y será un máximo para líneas que tengan por acimut múltiplos impares de 45º. Para s = 100 km, o45=mϕ y 12α = 45º, f = 5,4”.

4.1.3 Separación Lineal de Secciones Normales Recíprocas Ahora consideramos la separación lineal entre las secciones normales. Veamos la siguiente figura, donde, con suficiente exactitud los arcos AaB y AbB pueden tomarse como arcos esféricos con centros en nA y nB. Figura 4.6 Geometría de la Separación Lineal de la Sección Normal

B Eje menor

nA

σ θ

A

f

k k2

k1

90 -θ / 2

90 -σ / 2

nB

a

b

72

El punto k es un punto arbitrario en la sección normal de A a B, θ es el ángulo, análogo a σ , knAA. Como k varía en posición entre A y B, θ varía de 0 a σ. Tenemos: Ángulo BAnA = 90º - 2

σ (4.19)

Ángulo kAnA= 90º - 2θ

Ángulo kAB = kAnA - BanA = 2θσ− (4.20)

De la figura 4.6 tenemos:

2sin2

θANAk = (4.21)

Ahora consideremos un triángulo cuyo vértice está en la cuerda: Figura 4.7 Separación Lineal De la Figura 4.7 tenemos:

fkkdkk ⋅== 12 (4.22) donde d es la separación lineal deseada. También usando (4.20) y (4.21), tenemos:

2sin2sin2sin1θσθ −== ANkABAkkk (4.23)

Usando las ecuaciones (4.18) y (4.23) en (4.22) encontramos:

Arco en la Superficie del Elipsoide

d

k2

f

k

k1

73

ABmsed αϕθσθ2sincos2sin

2sin 22 −= (4.24)

Suponiendo que σ y θ son pequeños, la ecuación (4.24) podrá escribirse:

ABmsed αϕθσθ 2sincos)(422 −= (4.25)

La separación máxima ocurrirá en 2

σθ = , que al sustituirse dentro de la ecuación (4.25)

produce:

ABmsed αϕσ 2sincos16222

max = (4.26)

o al sustituir para σ :

ABmAN

sed αϕ 2sincos162

2

32

max = (4.27)

La ecuación (4.27) falla en principio cuando los dos puntos están ubicados en el mismo paralelo, ya que la separación d debiera ser cero en este caso. Sin embargo, el resultado será correcto dentro de la precisión de la derivación. Una fórmula más exacta es determinada por Zakatov (1962, pág. 53):

)tan2

(coscossin8232

max AABAABAeNd ϕσαϕασ −= (4.28)

Ejemplos numéricos usando 4.27: Caso 1 º45,º45 == ABm αϕ s 200 km 100 km 50 km

)(md max 0,050 m 0,006 m 0,0008 m Caso 2 º45,º52 == ABm αϕ s 150 km 100 km 20 km

)(md max 0,013 m 0,0038 m 0,0001 m Evidentemente esta separación lineal es muy pequeña y no tiene ningún significado práctico.

74

4.1.4 Separación Acimutal de una Sección Normal Recíproca

Designamos el ángulo entre las secciones normales, medido tangente a las secciones normales como ∆ . Este ángulo también es la diferencia entre los acimut de las dos secciones normales, como puede verse a continuación: Figura 4.8 Separación Acimutal de la Sección Normal Tenemos:

ABAB 'αα −=∆ (4.29) donde AB'α es el acimut de la sección normal desde B hasta A en el punto A. De la Figura 4.6 escribimos:

Ángulo Akkk

kAk 22 = (4.30)

o usando (4.25) para kk2 y dejando que Ak = θAN tenemos:

Ángulo ABmAN

sekAk αϕθσ 2sincos4)( 2

2

2−= (4.31)

B

Polo

A

αAB

α’AB

∆

75

ABme αϕθσσ 2sincos)(4

22 −=

Para obtener el ángulo ∆ , permitimos que θ tienda a cero de modo que el ángulo kak2, en el límite, tienda al ángulo deseado. Entonces tenemos:

ABmA

ABm

Nsee αϕαϕσ

2sincos)(442sincos 222222

==∆ (4.32)

Nótese que (4.32) se divide cuando los dos puntos están en el mismo paralelo al igual que (4.27). En este caso se necesita una expresión más precisa para ∆. De Jordan (Vol. III, 2da mitad, pág. 16) tenemos:

)2tan

(coscos)(sin2222

A

AABA

AAB N

sNse ϕαϕα −=∆ (4.33)

Uno puede mostrar que la expresión de más a la derecha en (4.33) es esencialmente cero para puntos cercanos al mismo paralelo. Ejemplo de valores de ∆ calculados de (4.33) se muestran a continuación: Generalmente, para distancias de hasta 20-25 km no es necesario considerar la separación angular de las secciones normales. Para distancias mayores, normalmente es necesario hacer las correcciones apropiadas usando ecuaciones tales como (4.33).

Caso 1 º45,º0 == ABA αϕ s 200 km 100 km 50 km

"∆ 0,339 m 0,085 m 0,021 m

Caso 2 º45,º52 == ABA αϕ s 150 km 100 km 30 km

"∆ 0,071 m 0,032 m 0,003 m

76

4.1.5 El Arco Elíptico de una Sección Normal Durante la deducción en la sección anterior, en varios casos intercambiamos σ y (s/NA). Es apropiado considerar una relación más rigurosa entre σ y s. Primero veremos la Figura 4.9 Figura 4.9 Arco Elíptico de una Sección Normal Tenemos s, la distancia de la sección normal; σ el ángulo AnAB, y S2 la distancia nAB. Después de alguna manipulación, se puede mostrar (Jordan, pág. 11, Vol. III, 2da mitad) que:

−−−++−= ABAABAA

tNS

αησαησ cos21

cos21

1 232222 (4.34)

donde:

AA

AA

t

e

ϕ

ϕη

tan

cos' 22

=

=

Ahora deseamos calcular una distancia diferencial ds a lo largo del arco de la sección normal. Para hacerlo, consideremos la Figura 4.10:

nA

αAB s

S2

NA

AB

σ

77

Figura 4.10 El Elemento Diferencial en el Arco Elíptico Tenemos:

22

22

2 )()( dSdSds += σ (4.35) El primer término puede escribirse de (4.34) como (se omiten los subscritos A y AB para mayor conveniencia):

2224634544423222222 )cos

41

cos21

cos41

coscos1()( σαησαησαησαησαησσ dtttNdS +−++−=

(4.36) Luego diferenciamos (4.34) considerando a σ como la variable. Elevando al cuadrado el resultado se obtiene:

−−−++−= 242244933424422

2 )coscos3cos()( σασηασηαση dttNdS (4.37) Tomando la raíz cuadrada de la suma representada por (4.35) queda:

σασηασηασησαηαη dttNNds NNN

−+−+= 334

2332

2222

222222 coscoscos)cos(cos

21

(4.38) Ahora integramos esta expresión de 0 a s, y correspondientemente de 0 a σ para hallar:

−+−+= 322222222 )cos31(cos

81

)1cos(cos61

1 σαηαηαηαησσ ABAABAAABAABAA tNs

(4.39) Usando (2.10) podemos invertir esta ecuación para obtener:

B

A

ds

dσ S2

σ

NA

78

( )

+

−−

−+= ...cos31cos

81

)cos1(cos61

13

222

2

2222

AABAABAA

AABAABA

A Ns

tNs

Ns

αηηαηαησ

(4.40)

4.1.6 Corrección del Acimut debido a la Altura del Punto Observado Cuando las direcciones son medidas, como por ejemplo con teodolitos, éstas medidas son entre puntos ubicados sobre la superficie de la Tierra. No obstante, generalmente los cálculos geodésicos se efectúan en la superficie del elipsoide de referencia. Por lo tanto es necesario corregir las observaciones, donde sea apropiado, por cualquier efecto causado al pasar desde la superficie terrestre al elipsoide de referencia. Un efecto considerado en esta sección es aquél causado por la altura del punto que está siendo observado. Para considerar este efecto, se ubica un punto A en el elipsoide de referencia y un punto B en una elevación h. Nivelamos el teodolito en A y pasamos un plano, normal en A, a través del punto elevado B. El acimut de A podría ser designado como αh. No obstante, este acimut no es el deseado, ya que el que se requiere es uno hacia el punto b proyectado sobre el elipsoide de referencia. Dejemos que este acimut sea α. Puesto que el elipsoide se encuentra ligeramente achatado, la diferencia (α-αh) que ha de ser determinada, es pequeña. Para calcular esta diferencia consideramos la figura siguiente: Figura 4.11 Efecto Acimutal para un Punto Elevado sobre el Elipsoide

nB

h

nA

δ 2

α α h

B

A

b’

b

79

La proyección de b sobre el elipsoide queda determinada por la normal al elipsoide que pasa a través de B. El punto b’ es un punto en el elipsoide determinado por la intersección del plano normal en A que pasa a través de B, con el meridiano de b. El ángulo δ2 es el ángulo nABnB. Con suficiente exactitud, podemos asociar δ2 con δ2 indicado en la ecuación (4.11). Con este propósito escribimos la ecuación (4.11) en la forma:

me ϕϕδ 222 cos∆≈ (4.41)

donde ϕ∆ es la diferencia en latitud (ϕB - ϕA). Ahora volvemos a escribir (4.16) dejando,

con suficiente exactitud, que mMs /=σ , donde Mm es el radio de curvatura del meridiano en la latitud media ϕm. Tenemos entonces:

ABmM

s αϕ cos=∆ (4.42)

lo cual podría ser sustituido dentro de (4.41) para obtener:

ABmm

eMs αϕδ coscos 22

2 = (4.43)

El arco bb’ es entonces hδ2 así que:

ABmm

eMhsbb αϕ coscos' 22= (4.44)

Consideramos de inmediato el triángulo b’Ab. Figura 4.12 Triángulo Pequeño para la Determinación del Efecto de Altura.

A

360-α BA

α -α h

α h

α b

b’

80

Aplicamos la ley de senos para escribir (asumiendo una figura plana ya que tratamos con triángulos relativamente pequeños en el elipsoide):

sbbBAh )º360sin(

')sin( ααα −=−

(4.45)

Sustituyendo (4.44) dentro de (4.42) y dejando que:

hh αααα −≈− )sin(

ABBA αα sin)º360sin( ≈− encontramos:

ABmm

h eMh αϕαα 2sincos2

22=− (4.46)

La ecuación (4.46) entrega la corrección deseada. Por tanto, el acimut corregido α obtenido del acimut medido es:

ABmm

h eMh αϕαα 2sincos2

22+= (4.47)

Una expresión más exacta para α-αh se halla en Jordan (III, 2da parte, pág. 20) como:

)tansin2cos(sin2AAB

AABABA

Ah N

sNh ϕαααηαα −=− (4.48)

Advertimos que para una primera aproximación, la corrección que está calculándose no depende de la separación de los dos puntos. Además, si la excentricidad del elipsoide es cero, la corrección es cero. Por lo cual, la corrección no existiría para una esfera. En realidad, la razón principal por la que existe la corrección se debe a que las normales del elipsoide en diferentes latitudes interceptan el eje menor en ubicaciones distintas. Consideramos dos cálculos numéricos: Si "05,0,1000,º45 ≤−== hm mh ααϕ ; para "008,0,200 ≤−= hmh αα Jordan (III, 2da parte, pág. 20) da el siguiente ejemplo para una línea medida desde España hasta África del Norte:

81

ms

mhAB

926.269

482.3

'40º327

'01º351

==

==

αϕ

Entonces evaluando la ecuación (4.48) se encuentra que:

"2251,0"0040,0"2291,0 −=+−=− hαα Esta corrección de altura siempre deberá considerarse al reducir observaciones, aunque en general sólo es apropiada para elevaciones más altas. Sin embargo, si se descuidara la corrección en elevaciones bajas, podría causar errores sistemáticos al efectuarse los cálculos de la triangulación. Finalmente, recordamos que en nuestras deducciones asumimos que el punto A estaba localizado sobre la superficie del elipsoide de referencia. Si el punto A estuviera elevado, nuestro argumento no se alteraría puesto que las direcciones en A se miden con respecto a la normal en A. Así que la corrección hαα − no depende de la altura de la estación de observación.

4.1.7 El Ángulo de Declinación de la Cuerda Considérense dos puntos A y B en el elipsoide que están conectados por una curva de sección normal de largo s. Permítase que sea µ el ángulo de inclinación con respecto a la tangente en A, en la dirección AB, según la Figura 4.13. Figura 4.13 El Ángulo de Declinación de la Cuerda

B

µ A

σ

S2

NA

c

82

El ángulo de declinación µ se mide, en esta derivación, positivo hacia abajo. De la Figura 4.13 tenemos:

σσµ cos

sin)º90tan(

2

2

SNS

A −=− (4.49)

o

σσµ cossintan2

−=SNA (4.50)

Podemos rescribir (4.50) usando NA/S2 determinado de (4.34) y luego expandiendo en serie σσµ cos,sin,tan y . Tenemos (Jordan, III, 2da parte, pág. 12):

ABAAABA t αησαησµ cos21

)cos1(21 2222 −+= (4.51)

Si queremos una expresión para µ en términos de s, usamos (4.40) para escribir:

ABAA

A

ABAA

tN

sNs

αηαηµ cos2

)cos1(2

22

22 −+= (4.52)

Consideramos algunos valores numéricos de µ al tomar un punto donde

º.45,º45 == ABA y αϕ Para este caso tenemos:

s (km) µ 10 2’ 41,7” 30 8’ 5,09” 50 13’ 28,5” 75 20’ 12,7” 100 26’ 56,9”

4.1.8 La Sección Normal y la Magnitud de la Cuerda Dejemos que la extensión de la cuerda entre AB sea c, según la Figura 4.13. Escribimos (Jordan, III, 2da parte, pág. 12):

)(cossin

)º90(sinsin

µσσ

σµσ

−=−+=AN

c (4.53)

Ya que σ es pequeña, podemos expandir el lado derecho de (4.53):

83

...))(245)(

21

1()12061( 4242 µσµσσσσ −+−++−=AN

c (4.54)

Podemos obtener una expresión para µσ − de (4.51) para que (4.54) se pueda escribir como:

( )

+++−= ...

19201

cos41

cos61241

1 423222 σαησαησσ ABAAABAA

tNc

(4.55)

Si introducimos (4.40) hallamos:

( )

+++−=

4

42

3

322

2

2

19201

cos81

cos21241

1A

ABAA

A

ABA

A N

st

N

s

N

ssc αηαη (4.56)

La ecuación (4.56) puede invertirse usando (2.10) para hallar la distancia de la sección normal conociendo la distancia de la cuerda. Encontramos:

( )

+−+−=

4

42

3

322

2

2

6403

cos81

cos21241

1A

ABAA

A

ABA

A N

ct

N

c

N

csc αηαη

(4.57) Bagratuni (1967, pág. 77) da una fórmula más exacta para obtener la distancia de la sección normal, como sigue:

−−−+

+

+

+

+

+=

4

2

8

1

646

253

2221125

2403

2611

rc

rc

rc

rc

rc

cs µµ

(4.58) donde:

,21

21

21

2 zyxr ++= es el radio geodésico al primer punto.

ABA

ABAe

αηαϕ

µ22

2

1 cos1

cos2sin'

+=

(4.59)

( )ABA

ABAAe

αηαϕϕ

µ22

222

2 cos1

coscos2sin'

+−

=

La exactitud de estas fórmulas depende principalmente del largo de la línea. Por ejemplo, el último término en (4.57) multiplicado por c tiene un valor de 9 mm con c = 200 km, y 68 mm para c = 300 km.

84

4.1.9 La Sección Normal en un Sistema de Coordenadas Local Consideremos dos puntos A y B ubicados en o encima de la superficie del elipsoide. Las coordenadas rectangulares espaciales de estos dos puntos pueden determinarse de la ecuación (3.152), suponiendo que conocemos la latitud, longitud y altura de cada punto sobre el elipsoide. Ahora introducimos un sistema de coordenadas local u, v, w donde el origen para este sistema está en el punto A. El eje w está en la dirección de la normal al elipsoide en el punto A. El eje u es perpendicular al eje w en la dirección norte definida por el meridiano geodésico. El eje v es perpendicular al plano u-w apuntando en dirección Este, positiva. Dichos ejes se muestran en la Figura 4.14. Figura 4.14 Sistemas de Coordenadas Local y Rectangular Espacial El sistema de coordenadas local puede ser visto también en término de “observaciones” de la distancia de la cuerda, c, el ángulo vertical, V, y el acimut de la sección normal, α, desde A hacia B, como es mostrado en la Figura 4.15.

Z

Y

A

u

hA

w

v B

λA

λB

X

ϕB ϕA

85

Figura 4.15 El Sistema de Coordenadas Local. Observe que el plano uv forma el plano horizontal geodésico. El ángulo vertical, V, puede ser considerado como una generalización del ángulo de declinación de la cuerda, µ, descrito en la sección 4.17, aunque con signo contrario. Note que, con la dirección escogida para v, se forma un sistema coordenado de mano izquierda puesto que u es considerado el eje primario, v el secundario y w el terciario. Si v fuese escogido en la dirección opuesta, el sistema podría ser de mano derecha. De la Figura 4.15 podemos determinar las coordenadas u, v, w a partir de α, V, y c, como sigue:

Vcw

Vcv

Vcu

sin

sincos

coscos

===

αα

(4.60)

Dividiendo las dos primeras ecuaciones tenemos:

uvtan =α (4.61)

donde notamos de nuevo que α es un acimut de la sección normal. Ahora deseamos expresar las coordenadas locales en términos de diferencias con las coordenadas rectangulares espaciales (∆X = XB - XA; ∆Y = YB - YA; ∆Z = ZB - ZA. Para hacerlo, primero trasladamos los ejes X, Y, Z a un juego paralelo de ejes cuyo origen está en el punto A, según la Figura 4.16:

B

c

u

α

V

w

v A

86

Figura 4.16 Traslado del Origen de los Ejes X, Y, Z al Punto A La rotación general entre dos sistemas de coordenadas rectangulares que tienen el mismo origen puede escribirse en la forma:

( ) ( ) ( )

=

z

y

x

RRR

z

y

x

γβα 321

'

'

'

(4.62)

donde α, β, γ son las rotaciones alrededor de los ejes x, y, z, respectivamente. Las matrices ortogonales de rotación son:

−=

ααααα

cossin0

sincos0

001

)(1R (4.63)

w v u

Z

Y

X

u’

90°-ϕ

180°-λ A

87

−=

ββ

βββ

cos0sin

010

sin0cos

)(2R (4.64)

−=

100

0cossin

0sincos

)(3 γγγγ

γR (4.65)

Esta conversión es para un sistema de coordenadas de mano derecha con rotaciones positivas en el sentido de los punteros del reloj, como vistas desde el origen hacia la proyección positiva de los ejes (Mueller, 1969). Utilizando la rotación general de (4.62) el sistema de coordenadas x, y, z se referirá a

,,, ZYX ∆∆∆ y el sistema de coordenadas x’, y’, z’, se referirán a u, -v, w, puesto que –v forma un sistema hacia la derecha. En nuestro caso, las rotaciones pueden lograrse con una rotación de –(180º - λA) alrededor del eje z, y luego una rotación de –(90º - ϕA) alrededor del nuevo eje y. Tenemos:

( )[ ] ( )[ ]

∆∆∆

−−−−=

−

Z

Y

X

RR

w

v

u

AA λϕ 18090 32 (4.66)

Multiplicando estas matrices:

∆∆∆

−

−−=

Z

Y

X

w

v

u

AAAAA

AA

AAAAA

ϕλϕλϕλλ

ϕλϕλϕ

sinsincoscoscos

0cossin

cossinsincossin

(4.67)

En términos de coordenadas individuales:

ZYXu AAAAA ∆+∆−∆−= ϕλϕλϕ cossinsincossin (4.68)

YXv AA ∆+∆−= λλ cossin (4.69)

ZYXw AAAAA ∆+∆+∆= ϕλϕλϕ sinsincoscoscos (4.70) Si usamos (4.68) y (4.69) en (4.61) tenemos:

ZYXYX

AAAAA

AA

∆+∆−∆−∆+∆−

=ϕλϕλϕ

λλα

cossinsincossincossin

tan (4.71)

88

Si usamos (4.70) en lo último de (4.60) tenemos:

( )ZYXc

V AAAAA ∆+∆+∆= ϕλϕλϕ sinsincoscoscos1

sin (4.72)

La distancia de la cuerda puede calcularse usando:

21

22221

222 )()( ZYXwvuc ∆+∆+∆=++= (4.73) De las ecuaciones en esta sección vemos un procedimiento para considerar la sección normal y las cantidades relacionadas usando expresiones cerradas, en oposición a la gran cantidad de expresiones en serie empleadas previamente. Las ecuaciones de esta sección se usarán más adelante con el fin de desarrollar procedimientos para el cálculo de posiciones geodésicas en el elipsoide. Sin embargo, nótese que en las ecuaciones deducidas aquí los puntos pueden hallarse a cualquiera altura sobre el elipsoide.

4.2 La Curva Geodésica Hasta ahora hemos considerado primordialmente la sección normal como una curva plana en la superficie del elipsoide de referencia. Vimos que el uso de la sección normal tenía la desventaja de no ser única en su género entre dos puntos. Ahora examinaremos una curva, llamada geodésica, para la cual sólo hay una entre dos puntos cualquiera. La definición fundamental de una curva geodésica es que ésta es una curva que da la distancia más corta, en una superficie, entre de dos puntos cualquiera. Si la superficie es un plano, la curva geodésica es una línea recta; si la superficie es una esfera, la geodésica es un círculo máximo. En el elipsoide, la geodésica es una línea que tiene una curvatura doble y, por tanto, no es una curva plana. Para comenzar, consideremos la construcción de la geodésica sobre la superficie del elipsoide. Primero nivelamos el teodolito con respecto al punto A y luego apuntamos hacia un punto distante B, definiendo la curva de sección normal AaB. Después vamos a B, se nivela el teodolito, se apunta hacia A para definir la sección normal BbA; luego giramos el teodolito 180º y definimos un punto nuevo C, y la sección normal BbC. Repetimos la operación yendo al punto C, punto D y puntos subsecuentes. Esta construcción se muestra en la figura siguiente:

89

Figura 4.17 Secciones Normales Entre Puntos Cercanos Sabemos que la separación de las líneas de la sección normal es pequeña y se reduce aún más al disminuirse la separación entre puntos. Si dejamos que la distancia AB, BC, CD, etc., se hagan más y más pequeñas, se obtendrá una curva singular entre los puntos. Esta curva es la geodésica. Si tuviera dos puntos A y B, podríamos construir la geodésica entre los dos puntos si conociéramos el acimut apropiado de un segmento inicial. Dicha curva se ha construido en la figura siguiente: Figura 4.17a La Geodésica entre Dos Secciones Normales Un ejemplo de la relación de las curvas de la sección normal y la geodésica para dos puntos ubicados en un elipsoide sumamente achatado, es mostrado en la Figura 4.18 de Jordan (Volumen III, 2a mitad, Pág. 26).

c

d

b

c

b

a

C

B

A

D

A

Sección Normal de B a A

A’

B’

B

Sección Normal de A a B

Geodésica entre A y B

90

Figura 4.18 Una Geodésica y una Sección Normal en un Elipsoide Exageradamente

Achatado (f = 1/3) De la definición de su construcción, claramente se observa una importante propiedad de la geodésica. Dicha propiedad es aquella en que la normal principal de la geodésica en cualquier punto, coincidirá con la normal del elipsoide en el punto. La normal principal está contenida dentro del plano osculador que pasa a través de tres puntos infinitamente cercanos en cada curva. Es evidente que una sección normal no tiene esta propiedad, porque cada punto en la sección normal no contiene la normal en el punto. Hasta este momento hemos considerado la geodésica en una interpretación geométrica. Es posible encontrar ciertas propiedades de la geodésica mediante consideraciones matemáticas que se presentan de la definición de la geodésica como una curva que tiene la distancia más corta entre cualquiera de dos puntos. Consideremos un triángulo diferencial en el elipsoide según se muestra en la Figura 4.19.

B

A Sección Normal en A

Línea Geodésica

Meridiano de B Sección Normal en B

Meridiano de A

91

Figura 4.19 Una Figura Diferencial en el Elipsoide Del triángulo recto diferencial, PP1 P’, escribimos:

λϕα

ϕα

dNds

Mdds

cossin

cos

=

= (4.74)

La ecuación (4.74) es válida para una curva arbitraria (por ejemplo, sección normal o geodésica) en el elipsoide. Ahora especificamos que PP’P” yace sobre la geodésica. Esto sería el caso si los tres puntos estuvieran en un plano vertical del elipsoide pasando a través de P’, el cual es el plano osculador de la línea geodésica en P’ (Jordan, Vol. III, 2a mitad, pág. 27). En este caso consideramos el triángulo PSP’ para encontrar que el ángulo en S de este triángulo es dα. Por ello podemos escribir:

λϕϕλϕα dN

dNd sincotcos == (4.75)

Las ecuaciones (4.74) y (4.75) son las ecuaciones diferenciales primarias para la curva geodésica en el elipsoide. También pueden escribirse dos ecuaciones más. Tenemos:

P

α

P1

P’

dλ

dα

Ncotϕ

α+dα Mdϕ

S

P”

92

ϕλϕα d

dM

Ntan cos= (4.76)

222 )cos()( λϕϕ dNMdds += (4.77)

Si ahora dejamos ϕcosNp = , y asumimos que en la geodésica la longitud está en función de la latitud, es conveniente escribir la ecuación (4.77) como:

2222 )()( ϕλ

ϕ ddpMd

ds += (4.78)

o resolviendo para ds:

λλϕλϕ dp

dd

MdpdMds 222222 )( +=+= (4.79)

Si dejamos que 222 )( pdd

M +=λϕυ podemos escribir:

λυ dds ⋅=

Lo cual integramos para formar:

∫= λυds (4.80)

Para que la curva definida por (4.80) sea una geodésica, el valor de la integral debe ser mínimo. Esto resulta ser un problema de variación de cálculo que es resuelto en Bagratuni (1967, pág. 83) y Jordan (Vol. III, 2a parte, pág. 30). Después de trabajar la ecuación (4.80), sujeta a un criterio de distancia mínima, se encuentra que la curva dada, o específicamente la geodésica, debe satisfacer la ecuación siguiente:

αsin⋅p = constante (4.81) Así, el producto del radio paralelo por el seno del acimut geodésico, en cada punto sobre la geodésica, es una constante. Esta ecuación es conocida como la ecuación de Clairaut. Una prueba alterna para (4.81) puede ser construida comenzando con el largo del radio paralelo p:

ϕcosNp = (4.82) Diferenciando,

93

dNdNdp ⋅+⋅⋅−= ϕϕϕ cossin

Puesto que

VcN =

Tenemos

ϕϕ ddV

Vc

ddN

2−=

Pero

Vt

ddV 2ηϕ

−=

Así

ϕϕdV

Ndp 2

sin−= (4.83)

Puesto que 2MVN = , (4.83) se reduce a

ϕϕdMdp sin−= (4.84) Para la geodésica vimos que λϕα dd sin= , lo cual puede escribirse como:

λϕϕϕα dMd

dMd

sin=

Usando (4.84) tenemos:

dsddpdMd

dpd λϕλϕα cos

−=−=

Usando la segunda ecuación de (4.74) podemos escribir:

pdpd α

αα cossin−=

que toma la forma:

0sincos =⋅+⋅ dpdp ααα

94

lo que implica

=αsinp constante que corresponde a la ecuación (4.81) Si consideramos muchos puntos en una geodésica, se deduce de (4.81) que:

==== ...sinsinsin 332211 ααα ppp una constante = k (4.85) Para encontrar la constante involucrada en (4.85), podemos examinar la geodésica entre dos puntos específicos. En el ecuador p = a, y dejamos que el acimut de la geodésica en el ecuador sea Εα . Entonces:

ka =Εαsin (4.86) Puesto que p es un máximo en el ecuador, el seno del acimut Εα en el ecuador será lo más pequeño. El valor máximo del αsin se dará cuando α sea igual a 90º. Esto corresponderá al valor más pequeño del radio paralelo pmin. De la ecuación (4.85) escribimos:

kp

o

kp

=

=⋅

min

min 90sin o

(4.87)

Claramente pmin ocurre en la latitud más alta (o máxima) alcanzada por la geodésica de interés. Si hubiéramos escrito en la ecuación (4.81) βcosap = , tendríamos:

kaa === ...sincossincos 2211 αβαβ (4.88) De esta ecuación tenemos:

=== ...sincossincos 2211 αβαβ una constante ak= (4.89)

Así, el producto de la latitud reducida y del acimut geodésico es una constante en cada punto en la geodésica. En el ecuador β es igual a 0º, por tanto tenemos:

ak=Εαsin (4.90)

En la latitud máxima alcanzada (ϕH ó βH) por la geodésica α = 90º, tenemos de (4.89):

95

ak

H =βcos (4.91) Igualando las ecuaciones (4.90) y (4.91) encontramos:

ΗΕ = βα cossin (4.92) Por tanto vemos que la máxima latitud reducida, alcanzada por una geodésica, es igual a 90º menos el acimut de la geodésica en el ecuador. Concluimos la discusión concerniente al comportamiento general de una geodésica mientras da vueltas alrededor del elipsoide. Tal geodésica es mostrada en la Figura 4.20 donde el acimut de la geodésica es Εα . Figura 4.20 La Geodésica en una Forma Continua A medida que la geodésica va desde A a B y a C, su acimut continuamente cambiará. Cuando el punto C es sobrepasado, la geodésica pasará más allá del ecuador en dirección a hacerse tangente al paralelo Hϕ . De específico interés es el hecho de que el cruce por el ecuador, después de haber pasado por el punto C, no será exactamente de 180º en longitud desde el punto de cruce B, sino en algún punto B’ generalmente al oeste de B. Por ello, con pocas excepciones a discutirse en detalle más adelante, una geodésica no repite su trayectoria. Hay en definitiva, un número infinito de distintos puntos de cruce por el ecuador para una geodésica arbitraria. Una vista de tales cruces es mostrada en la Figura 4.21, de Lewis (1963).

A

Latitud mínima -ϕH C

B αE

Geodésica tangente al paralelo

Latitud máxima ϕH

Geodésica tangente al paralelo

96

Figura 4.21 Vista de una Geodésica Continua desde el Polo Norte Mostrando Cruces

Consecutivos en el Ecuador

4.2.1 Coordenadas Locales x, y, z en Términos de la Geodésica Rescribiendo la ecuación del elipsoide (3.158) usando la siguiente anotación:

ϕ

ϕ

ϕ

2sin'21

'1sin'1

1cos'1

2

22

22

eC

DeB

DeA

−=

+=+=

+=+=

(4.93)

Para la ecuación del elipsoide tenemos (Tobey, 1928):

N

P

A

P1 P2

97

NzCxzBzyAxu 220 222 −+++== (4.94)

donde )();();( szzsyysxx === , y por último s es la distancia geodésica. Ahora consideramos una porción pequeña de la superficie del elipsoide conteniendo una porción diferencial de la geodésica, según se muestra en la Figura 4.22 (Tobey, 1928): Figura 4.22 La Superficie Elipsoidal Conteniendo un Elemento Diferencial de Elipsoide. Consideremos PACD y PBED porciones de la superficie u = 0. Dejemos que PA = PB = ds sea una porción de la geodésica. PN, una línea perpendicular a AB, es la normal principal. En cualquier punto sobre la geodésica el plano osculador de la curva contiene la normal a la superficie, de manera que la normal principal de la curva coincide con la normal a la superficie. Este argumento puede expresarse escribiendo:

dzduds

zd

dyduds

yd

dxduds

xd2

2

2

2

2

2

== (4.95)

Para aplicar esta ecuación asumimos una serie de potencias en s para x, y, z:

...44

33

221 ++++= ssssx llll

D

P

C E

B A

NN’

98

...44

33

221 ++++= smsmsmsmy (4.96)

...4

43

32

21 ++++= snsnsnsnz Ahora sustituimos (4.96) en (4.94) para obtener una ecuación a la enésima potencia en s. Puesto que la ecuación entera es igual a cero, los coeficientes individuales de s deben ser cero. Este resultado implicará que n1 = 0. Luego necesitamos implementar la condición (4.95). Primero, calculamos las derivadas en el denominador de (4.95) usando (4.94):

)(2 CzAxdxdu +=

ydydu 2= (4.97)

)(2 NCxBzdzdu −+=

Las derivadas requeridas en el numerador son encontradas diferenciando (4.96)

...433221 24322

2 +⋅+⋅+⋅= ssdsxd lll

...433221 24322

2+⋅+⋅+⋅= smsmmds

yd (4.98)

...433221 24322

2 +⋅+⋅+⋅= snsnndszd

Luego sustituimos (4.97) y (4.98) en (4.95) e igualamos los coeficientes de las potencias comunes de s. Después de algunas reducciones (Tobey, 1928, Proposición II) tenemos las ecuaciones siguientes:

...)81(246)1(sin 42

33

2

2++−+−= sN

CsNDl

NsNx l

ll

...36sin 43

32

2

+−−= sNCmsN

DmNsmNy l (4.99)

43

23

2222

246'3

22)1(

22sin2 sN

DDsN

DCNsD

NsNz

llll −++++=

donde

99

122

1

1

sin1

sin

cos

ϕ

α

α

e

aN

mm

−=

==

==ll

(4.100)

Conociendo un acimut geodésico )(α y la distancia s, podemos usar la ecuación (4.99) para calcular las coordenadas de la geodésica basándose en un sistema local en el punto inicial. Puesto que estas ecuaciones están en forma de serie, habrá una distancia más allá en la cual las ecuaciones no serán lo suficientemente exactas. Ecuaciones similares también pueden ser derivadas para una sección normal (Clarke, 1880, pág. 118).

4.2.2 Longitud de un Arco Diferencial de una Geodésica Rotada Consideremos una geodésica desde el punto A con un largo s, y un acimut α. El punto final de esta línea define un punto F. Ahora giramos la geodésica un ángulo αd de modo que el punto final esté ahora en D. Dejamos que la distancia DF sea dge la cual ha de determinarse. Usando el sistema de coordenadas locales x, y, z antes descrito, tenemos:

2222 dzdydxdg e ++= (4.101) Podemos diferenciar (4.99) tomando αd como la variable para encontrar dx, dy, dz. Podemos simplificar (4.101) escribiendo:

αwddg e = (4.102) donde w es una cantidad a determinarse usando las derivadas de (4.99). Después de alguna reducción (Apéndice 1, Tobey, 1928, Proposición IV) tenemos:

...)(3sin 4 +−=A

A

AA R

sCRRsRw

l (4.103)

donde AR es el radio medio gaussiano en el punto A. w es llamado la longitud reducida de la geodésica.

100

4.2.3 Relación entre la Geodésica y la Longitud de la Cuerda

El largo de la cuerda c, entre dos puntos en el elipsoide, puede ser calculado desde:

2222 zyxc ++= (4.104) Podemos expresar esto en términos de la longitud de la geodésica sustituyendo x, y, z de (4.99). Para calcular c desde s, tenemos (Apéndice 1, Tobey, 1928, Proposición V):

...))(8)(121(2sin2 322 +−−= NsC

NsD

NsNc ll (4.105)

donde N es el radio de curvatura del primer vertical en el primer punto. Esta serie puede ser invertida para hallar s como una función de c:

...)81224

11( 3

32

2

22

2++++= c

NCc

NDc

Ncs ll (4.106)

Clarke (1880, pág. 108) efectúa una derivación análoga a la anterior en donde se relacionan la distancia de la sección normal s’, y la distancia de la cuerda. Sin derivación tenemos:

...))125

163()4

1803

6403()31(241(' 5

534

422

2 ++−+++−+=αααα R

cFFHRcFHR

cFRccs

(4.107) donde

2

22

2 1;1 hhfHh

fhF +−=+=

22 1coscos

;1sin

ee

he

ef

−=

−= αϕϕ

y αR es el radio de curvatura en el acimut de la sección normal.

4.2.4 Comparación de la Geodésica con la Sección Normal Ahora trataremos la diferencia de distancia angular entre geodésicas y secciones normales. Primero consideremos las diferencias acimutales comenzando con la Figura

101

4.23 la que muestra las secciones normales y la geodésica entre dos puntos arbitrarios, A y B. Figura 4.23 La Geodésica Localizada entre dos Secciones Normales En esta figura: α1 es el acimut de la sección normal, en A, desde A hasta B α2 es el acimut de la geodésica, en A, desde A hasta B α3 es el acimut de la sección normal, en A, desde B hasta A La diferencia 31 αα − fue calculada como ∆ y dada en la ecuación (4.32) ó (4.33). Para

determinar la diferencia 21 αα − seguimos a Tobey (1928, Proposición VI) que corresponde al Apéndice 1. Construimos en la figura 4.24 una sección normal AHFT en el punto A con el acimut α1. AH es tangente a esta sección normal. AF es la geodésica desde A hasta F que tiene un acimut α2. La sección normal en A, la cual pasa a través del punto F (x, y, z) (sobre el elipsoide), también pasará a través del punto H(x, y, 0), donde H está en la línea TF producida.

a

A

P

B

α 3

α 2

α 1

102

Figura 4.24 Determinación de la Diferencia Acimutal entre una Sección Normal y una

Geodésica La distancia AH es:

222 yxAH += (4.108) que puede encontrarse usando (4.99)

+−−= ...)(8

3)(3

1sin 322

NsC

NsD

NsNAH ll (4.109)

Ahora el acimut de la sección normal puede ser determinado con:

AHx=1cosα (4.110)

Usando (4.99) y (4.109), Tobey demuestra que:

++=−=− ...)(24

)(6

)()( 3221 N

sCmNsmD

gnlαααα (4.111)

α 1

S

T

K

E

α 2

A F(xyz)

H(xy0) s

103

Si sustituimos C, D, l , m tenemos

αηααηαα sin)(24cossin)(6)( 32

22

21 Nst

Ns −=− (4.112)

donde:

A

A

t

e

ϕ

ϕη

tan

cos' 222

=

=

α = acimut geodésico (ver 4.100) Si consideramos solamente el primer término de (4.112), podremos comparar con (4.32) esto nos dará la separación acimutal de las secciones normales contrarias. Concluimos que:

)(31)( 3121 αααα −≈− (4.113)

Este resultado nos indica que la geodésica triseca aproximadamente el ángulo entre las secciones normales contrarias (o recíprocas), que yacen más cercanas a la sección normal directa en el punto dado. Como una estimación numérica de esta diferencia, considérese una línea de longitud s ubicada en una latitud media de 45º y con un acimut de 45º. El valor de )( 21 αα − es por tanto:

020,0120

014,0100

005,060

001,030

)"()( 21 αα −kms

Aunque la ecuación (4.113) implica que la geodésica siempre yace entre las dos secciones normales, no siempre esto es verdad. Considere el caso de dos puntos en el mismo paralelo donde sólo hay una sección normal. Entonces el valor de ∆ en (4.32) es cero, de manera que (4.113) no es correcto. En este caso la geodésica estará hacia el lado del polo de la sección normal yaciendo completamente fuera de ella. Para puntos no exactamente en el mismo paralelo, la geodésica puede cruzar una curva de sección normal.

104

En el caso de dos puntos en el mismo meridiano, hay solamente una sección normal. La geodésica coincidirá con esta sección normal.

4.2.5 Diferencia de Longitud entre la Sección Normal y la Geodésica Para derivar la diferencia de longitud sn – sg seguiremos a Tobey (1928, Proposición VII). Consideramos dos puntos A y F que están conectados por la sección normal del acimut θ, longitud sn y la geodésica del acimut α y longitud sg, según se muestra en la Figura 4.25. Figura 4.25 Relación Diferencial entre Longitudes de Secciones Normales y Geodésicas Rotamos la geodésica AF sobre la normal en A, un ángulo dα, y de este modo se genera el arco dge = FC. De la ecuación (4.102) tenemos:

αdwd ge = (4.114)

Ahora extendemos la línea AC hasta D (en la sección normal AF) una cantidad dsg. El cambio correspondiente de longitud, en la sección normal, es una distancia dsn. Luego tenemos:

222 CFDCFD += ó

F C

dsg

sg

sn α

θ

dsn

D

A

105

222 )( αwddsds gn += (4.115)

Para encontrar αd diferenciamos (4.111) siendo las variables gα (ó 2α ) y ds. Tenemos:

N

ds

NsCm

NsmDd g⋅

+

−

−= ...83

2lα (4.116)

Recordando el valor de w de (4.91) tenemos:

gdsNsCm

NsmDwd ⋅

+

−

−= ...83

32lα (4.117)

Ahora sustituimos (4.117) en (4.115) para encontrar:

+

+= ...

18)(

142

NsmD

dsds gn

l (4.118)

Integramos esta expresión para encontrar:

+

+= ...

90)(

142

NsmD

ss gn

l (4.119)

Sustituyendo D, l, y m, y resolviendo para sn – sg tenemos:

αϕ2sin360

cos' 2444

=−Nse

sss gn (4.120)

Esta diferencia de longitud de la línea es muy pequeña debido a la presencia de los

términos 4'e y 4

Ns

. A una distancia de 1600 km, esta diferencia de longitud es tan

solo de 1 mm.

4.3 El Gran Arco Elíptico y la Curva de Alineación Consideremos dos puntos, A y B, ubicados sobre la superficie del elipsoide. La intersección del plano conteniendo A, B, y el centro del elipsoide, con la superficie del elipsoide, es denominado la gran curva elíptica. Claramente sólo hay una gran curva elíptica entre dos puntos. Para tal curva habrá un único acimut y distancia. En la práctica,

106

la gran curva elíptica es raramente usada, de modo que existe poca literatura sobre ella. Bowring (1984) ha descrito cálculos de posición usando esta curva. Otra curva que ha sido descrita entre dos puntos en la superficie es la curva de alineación (Clarke, 1880, pág. 116; Baeschlin, 1948, sección 17). Para describirla, nuevamente consideremos dos puntos A y B, en el elipsoide. Dejemos que AB sea la sección normal desde A hasta B, y BA la sección normal desde B hasta A. Luego consideremos un meridiano entre los meridianos de A y B. Las dos secciones normales interseptarán este meridiano en Q1 y Q2 según se observa en la figura 4.26: Figura 4.26 La Curva de Alineación Ahora definimos un punto L en el meridiano ZQ1Q2, de manera tal que el acimut de la visual hacia A y B difiera exactamente 180º. Si esta operación es repetida para todos los meridianos entre A y B, la conexión de todos los puntos L forman la curva de alineación. Debido a su construcción esta curva estará más cerca a la geodésica entre los puntos A y B. Como en la práctica la curva de alineación no se usa principalmente, no se brinda información adicional sobre ésta.

4.4 Reducción Geométrica de Observaciones de Dirección o Acimut

a

A

Z

B

Q1

Q2

L

107

Dejemos que D sea la dirección observada desde el punto A hacia el punto B. Para ciertas aplicaciones de estos datos, en un ajuste de triangulación, es necesario aplicar dos correcciones basadas en nuestra discusión previa. En la sección 4.24 consideramos la diferencia acimutal entre la sección normal y la geodésica. Para convertir la dirección de la sección normal a la correspondiente dirección geodésica, agregamos 1δ a la cantidad observada, donde 1δ (ver ecuación (4.112)) es:

ABmNse αϕδ 2sincos12

22

2

1

=

Si el punto B observado está en una elevación h, debemos añadir la corrección para conseguir la dirección correspondiente al punto B proyectado ahora en el elipsoide. Dejamos que dicha corrección sea 2δ , entonces su valor será (ver ecuación 4.46):

ABmm

eMh αϕδ 2sincos2

222 = (4.121)

108

5 SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS ESFÉRICOS Y ELIPSOIDALES

Una de las metas básicas de la geodesia es la determinación de las coordenadas geodésicas de puntos georreferenciados a un elipsoide de referencia. En los procedimientos de geodesia clásica esto es realizado usualmente mediante la triangulación y/o trilateración donde medimos distancias y/o ángulos o direcciones para definir triángulos en el elipsoide de referencia. Para efectuar cálculos de posición, en ciertos casos es necesarios desarrollar procedimientos para resolver triángulos en el elipsoide. Primero consideraremos el problema aproximando el elipsoide a una esfera y buscaremos una solución para los triángulos esféricos. Tales triángulos son equivalentes a triángulos elipsoidales hasta aproximadamente 200 km2 de área.

5.1 Exceso Esférico

Consideremos un triángulo en la esfera donde los tres ángulos esféricos son A, B, C. El exceso esférico del triángulo es definido como la suma de los tres ángulos menos 180º. Por tanto:

º180ººº −++= CBAε (5.1)

Esta definición surge del hecho de que en un plano la suma de los ángulos en un triángulo plano es exactamente 180º.

Si R es el radio de la esfera y F es el área del triángulo esférico, puede ser demostrado rigurosamente que (Jordan, Vol. III, 1a mitad, pág. 89):

2RF=ε (5.2)

En consecuencia, el exceso esférico es proporcional al área de la figura.

Si los lados del triángulo son expresados en unidades de radianes tal como a, b y c, puede lograrse una expresión alterna para el exceso esférico como (Jordan, Vol. III, 1a mitad, pág. 17):

2tan2tan2tan2tan4tan csbsass −−−=ε (5.3)

109

donde a + b + c = 2s

ejemplos de magnitudes de excesos esféricos son entregados por Jordan (Vol. III, 1a mitad, pág. 92), como sigue:

Área del Triángulo ε

1 km2 0,00507”

21 millas2 (triángulo equilátero, lados 11,25 km) 0,279”

200 km2 (triángulo equilátero, lados 21,5 km) 1”

Triángulo equilátero, lados 11,25 km 27”

5.2 Solución del Triángulo Esférico por el Teorema de Legendre

La solución de triángulos esféricos se simplifica si uno utiliza el teorema de Legendre el cual dice lo siguiente: “Si los lados de un triángulo plano son iguales a los lados correspondientes de un triángulo esférico, entonces los ángulos del triángulo plano serán iguales a los ángulos correspondientes del triángulo esférico menos un tercio del exceso esférico”. Este teorema fue derivado por Legendre en París en 1787. Para probar este teorema consideremos un triángulo esférico (en una esfera de radio R) y el triángulo plano correspondiente, según se muestra en la Figura 5.1.

Figura 5.1 Triángulos Esférico y Plano

c

b a

C’

B’ A’

c

b a

C

B A

110

Usando estas figuras intentaremos encontrar la diferencia entre el ángulo en la esfera y el ángulo en el plano, es decir (A-A’), (B-B’), (C-C’). Para hacerlo primero aplicamos la ley de cosenos al triángulo esférico, expresando:

ARc

Rb

Rc

Rb

Ra cossinsincoscoscos += (5.4)

ó

Rc

Rb

Rc

Rb

Ra

Asinsin

coscoscoscos

−= (5.5)

Limitándonos a los triángulos pequeños, notamos que a/R, b/R, c/R serán pequeños, y que una expansión en series de seno o coseno será apropiada. Omitiendo la quinta potencia de a/R, b/R, y c/R, la ecuación (5.5) podría ser escrita como:

−

−

+−

+−−

+−

=

3

3

3

3

4

4

2

2

4

4

2

2

4

4

2

2

66

2421

2421

2421

cos

Rc

Rc

Rb

Rb

Rc

Rc

Rb

Rb

Ra

Ra

A (5.6)

Multiplicando los términos entre corchetes, y expandiendo el denominador, encontramos (Jordan, Vol. III, 1a mitad, pág. 94):

...24

2222

cos2

222222444222

+−−−+++−+=bcR

bacbcacbabc

acbA (5.7)

Si aplicamos la ley de cosenos en el triángulo plano, tenemos:

'cos2222 Abccba −+= (5.8)

resolviendo para cos A se encuentra:

bcacbA 2'cos

222 −+= (5.9)

111

También podemos obtener una expresión para sen2 A’, desarrollando sen2 A’ = 1-cos2 A’, de este modo, de la ecuación (5.9) tenemos

22

2222224442

4222

'sincb

cbcabacbaA

+++−−−= (5.10)

Notamos que la ecuación (5.9) representa la primera parte de la ecuación (5.7), mientras que la ecuación (5.10) está relacionada con la segunda parte de (5.7). Usando (5.10) y (5.9) en la ecuación (5.7) encontramos:

...6'sin

'coscos 2

2

+−= RAbc

AA (5.11)

Ahora usamos (2.23) adoptando n = 1 de forma que:

2sin2sin2coscos yxyxyx +−−=− (5.12)

Donde en nuestro caso x = A y y = A’. Con suficiente aproximación se toma:

'sin2

'sin2

sin

2'

2'sin2sin

AAAyx

AAAAyx

≈+=+

−≈−=−

(5.13)

Puesto que la diferencia entre A y A’ será pequeña.

Combinando las ecuaciones (5.13), (5.12) con la ecuación (5.11), tenemos:

...6'sin

' 2 +=− RAbc

AA (5.14)

El área del triángulo plano es 2'sin Abc, luego la ecuación (5.14) es escrita:

112

...3' 2 +=− RPAA (5.15)

De un modo similar puede demostrarse que:

2

2

3'

3'

RPCC

RPBB

=−

=−

(5.16)

Si sumamos la ecuación (5.15) y (5.16) y se observa que (A’ + B’ + C’) = 180º, tenemos:

2º180 RPCBA +=++ (5.17)

Comparando esto con la ecuación (5.1) ó (5.2) es claro que P/R2 es esencialmente el exceso esférico del triángulo. Entonces las ecuaciones (5.15) y (5.16) pueden ser escritas en la forma:

3'

3'

3'

ε

ε

ε

=−

=−

=−

CC

BB

AA

(5.18)

Estas ecuaciones son la justificación del teorema de Legendre.

Las ecuaciones (5.17) y (5.18) son solamente aproximaciones. Derivaciones más precisas producen las siguientes ecuaciones ampliadas (Jordan, Vol. III, 1a mitad, pág. 110):

...12077

13)'( 2

222

2 +

+++=− R

cbaRPAA

...12077

13)'( 2

222

2 +

+++=− R

cbaRPBB (5.19)

113

...12077

13)'( 2

222

2 +

+++=− R

cbaRPCC

Si sumamos estas ecuaciones tenemos:

++++=++ 2

222

2 241º180 Rcba

RPCBA (5.20)

Por tanto al comparar con la ecuación (5.1) el exceso esférico del triángulo es:

+++= 2

222

2 241 Rcba

RPε (5.21)

En este momento notamos que el área P del triángulo plano puede ser encontrada rigurosamente mediante:

))()(( csbsassP −−−= (5.22)

donde s = (a+b+c) /2.

Luego resolvemos P/R2 de la ecuación (5.21), y sustituimos los resultados en (5.19). Tenemos (Jordan, Vol. III, 1a mitad, pág. 112):

)(603)'( 222 amRAA −+=− εε

)(603)'( 222 bmRBB −+=− εε (5.23)

)(603)'( 222 cmRCC −+=− εε

donde

3222

2 cbam ++=

114

La ecuación (5.23) puede ser comparada con la ecuación (5.18) para ver que el teorema de Legendre es solamente una aproximación.

Para aplicaciones en triángulos que son atípicos respecto de aquellos encontrados en la triangulación ordinaria, es necesario derivar el teorema de Legendre para triángulos en el elipsoide. En este caso ahora tratamos con el exceso elipsoidal. Una derivación completa puede ser encontrada en Jordan (Vol. III, 2a mitad, pág. 66).

Para resumir la solución, primero designamos los vértices del triángulo elipsoidal como A, B, C. En cada punto, la curvatura media es:

111 )(;)(;)( −−− === CCBBAa MNKMNKMNK (5.24)

La curvatura media es:

3CBA

m

KKKK

++= (5.25)

Entonces la relación entre los ángulos elipsoidales y los ángulos planos es:

m

mAm K

KKamKAA

−+−+=− 12)(603)'( 22 εεε

m

mBm K

KKbmKBB

−+−+=− 12)(603)'( 22 εεε (5.26)

m

mCm K

KKcmKCC

−+−+=− 12)(603)'( 22 εεε

Los segundos términos en el lado derecho de (5.26) son los términos esféricos de segundo orden (ecuación (5.23)), mientras que los terceros representan las contribuciones elipsoidales. El valor de ε es:

115

+=

8

21 mKm

KP mε (5.27)

El área del triángulo plano puede ser encontrada usando (5.22).

Como un ejemplo numérico se considera un triángulo descrito en Jordan (Vol. III, 2a mitad, pág. 67) donde:

"2'48º51

"31'28º51

"9'51º50

84941

105973

69194

======

C

B

A

mc

mb

ma

ϕϕϕ

El exceso elipsoidal de este triángulo es 14,850054”. Los resultados de la evaluación de (5.26) son los siguientes:

"950184,4000148,0000018,0950018,4' =++=− AA

"949969,4000028,0000021,0950018,4' =−−=− BB

"949901,4000120,0000003,0950018,4' =−+=− CC

Notamos que las correcciones debido al uso de los triángulos elipsoidales son mayores que las correcciones del término esférico de orden más alto.

5.3 Solución de Triángulos Esféricos por Aditamentos

En la solución de triángulos por el método de Legendre los lados de un triángulo se mantuvieron fijos mientras que los ángulos fueron modificados. En el método por aditamentos se mantienen fijos dos ángulos, mientras se cambia la longitud de los lados. Para derivar este procedimiento se puede escribir la ley de senos en el triángulo esférico mostrado en la Figura 5.2.

116

Figura 5.2 Triángulos para el Método de Aditamento

RbRa

BA

sin

sin

sinsin = (5.28)

mientras que en el triángulo plano correspondiente (con ángulos inalterados)

''

sinsin

ba

BA = (5.29)

Igualando las ecuaciones (5.28) y (5.29) tenemos:

2

3

2

3

3

3

3

3

6

6

6

6sin

sin

''

Rbb

Raa

Rb

Rb

Ra

Ra

RbRa

ba

−

−=

−

−== (5.30)

Donde hemos retenidos los términos de la tercera potencia en (a/R o b/R). Podemos satisfacer esta ecuación si establecemos:

c’

b’ a’

C

B A

c

b a

C

B A

α’

γ’

β α

γ

β’

117

2

3

2

3

6'

6'

Rbbb

Raaa

−=

−=

(5.31)

o para un lado arbitrario.

2

3

6' Rsss −= (5.32)

El valor de s3/6R2 se llama el aditamento lineal para el lado s. Para distintos valores s, esta corrección es aproximadamente como sigue: ( )º50=mϕ :

)(6)( 2

3mR

skms

10 0,004

20 0,033

30 0,111

40 0,262

50 0,512

60 0,884

80 2,096

100 4,093

El uso de aditamentos fue primeramente en una forma logarítmica, como es mostrado en Jordan (Vol. III, 1a mitad, pág. 98). Considerando que hoy en día este procedimiento no es usado mayormente, no lo examinaremos con más detalles por ahora.

118

6 CÁLCULO DE LAS COORDENADAS GEODÉSICAS (SOLUCIONES DEL TRIÁNGULO POLAR ELIPSOIDAL)

6.1 Introducción

Ahora nos abocaremos al cálculo de las coordenadas geodésicas de los puntos en el elipsoide. Tales coordenadas son usualmente especificadas como latitud y longitud. Supongamos tener las coordenadas de un punto de inicio, la distancia y el acimut hacia un segundo punto, y deseamos calcular las coordenadas del segundo punto, así como también el acimut desde el segundo punto al primero. Tal problema es definido como el problema geodésico directo o simplemente el problema directo.

El problema geodésico inverso es definido como el caso donde las coordenadas de los puntos finales de la línea se conocen, y deseamos encontrar el acimut desde el punto uno al punto dos, el acimut del punto dos al punto uno, y la distancia entre los dos puntos.

La solución de cualquiera de estos problemas es básicamente una solución del triángulo polar elipsoidal, mostrado en la Figura 6.1.

Figura 6.1 El Triángulo Polar Elipsoidal

Podemos expresar los problemas definidos previamente en la forma funcional siguiente:

Polo

α21

∆λ

α12 P2(ϕ2,λ2)

P1(ϕ1,λ1)

∆λ=λ2 -λ1

119

Problema Directo:

),,,( 121112 sf αλϕϕ =

),,,( 121122 sf αλϕλ = (6.1)

),,,( 1211321 sf αλϕα =

Problema Inverso:

),,,( 22114 λϕλϕfs =

),,,( 2211512 λϕλϕα f= (6.2)

),,,( 2211621 λϕλϕα f=

Hay varias soluciones para estos problemas. Tales soluciones generalmente se clasificaron por las distancias para las cuales ellas son válidas y por el tipo (por ejemplo sección normal o geodésica) de línea que se está considerando. Podríamos tener técnicas de solución simple para distancias cortas, mientras que para líneas largas se necesitan fórmulas más extensas. Estudiaremos las ecuaciones para líneas cortas y medianas en las siguientes secciones.

6.2 Desarrollo de Series en Potencias de s (Legendre)

6.2.1 El Problema Directo

Supongamos que una curva en el elipsoide puede ser expresada como una función de s:

)(

)()(

s

ss

ααλλϕϕ

===

(6.3)

120

Ahora desarrollamos la ecuación (6.3) dentro de una serie de MacLaurin referiendo el primer punto como un origen:

...2

2

12

2

11 +++=

sdsd

sdsd ϕϕ

ϕϕ

...22

12

2

11 +++= s

dsds

dsd λλλλ (6.4)

...2º180º1802

12

2

1122121 +

+

++=∆++= s

dsds

dsd αααααα

12α es el acimut directo en el punto 1, mientras que 21α es el acimut inverso en el punto 2. Ahora comenzamos la evaluación de las derivadas recordando las ecuaciones (4.74) y (4.75):

λϕλϕα

ϕα

ddA

dNdsMdds

sin

cossincos

===

(6.5)

Recordamos que

VcNV

cM == ;3

Por tanto, después de sustituir M y N, tenemos de (6.5):

MVcdsd ααϕ coscos1 3 == (6.7)

ϕα

ϕαλ

cossin

cossin

NcV

dsd == (6.8)

Si despejamos λd en la ecuación (6.8) y sustituimos dentro de λϕα dd ⋅= sin , tenemos:

121

ϕαα tansincV

dsd = (6.9)

Para efectuar la diferenciación requerida en la ecuación (6.4) necesitaremos la derivada de V con respecto aϕ , puesto que:

dsd

ddV

dsdV ϕ

ϕ=

Tenemos:

Ve

ddV

eV

ϕϕϕ

ϕ

cossin'

cos'1

2

22

−=

+=

Dejando: ϕη 222 cos'e= , y ϕtan=t tenemos:

tcV

dsdV

Vt

ddV

V

αη

ηϕ

η

cos

1

22

2

22

−=

−=

+=

(6.10)

Para encontrar las segundas derivadas requeridas en la ecuación (6.4) primero escribimos:

dsd

cV

dsdV

cV

cV

dsd

dsd ααααϕ

sincos3

cos323

2

2

−=

=

Usando las ecuaciones (6.9) y (6.10) encontramos:

122

)cos3(sin 2222

4

2

2

ttcV

dsd αηαϕ +−= (6.11)

Una forma compacta de esas derivadas puede ser obtenida dejando:

csV

Ns

u

csV

Ns

V

αα

αα

coscos

sinsin

==

==

(6.12)

Entonces las derivadas de ϕ con respecto a s son las siguientes (Jordan, Vol. III, 2a mitad, pág. 77):

( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )42324242

5

5

5

24422224

244222222222242

4

4

4

222223222222

3

3

3

2222

2

2

2

2

30304245301

10557456912

4517913642931

513931

3

ttuvttuvVs

dsd

tttu

ttttuvtttvVs

dsd

ttuttuvVs

dsd

tutvVs

dsd

uVs

dsd

++−+++=

−+−++

++−−−+−−+++=

−+−−−++−=

−−=

+=

ϕ

ηηηηη

ηηηηηηϕ

ηηηηηϕ

ηϕ

ϕ

(6.13)

En estas expresiones todos los términos son mantenidos hasta la derivada de cuarto orden, pero todos los términos de nη en la quinta derivada se han llevado a cero.

Seguidamente, consideramos 2

2

dsd λ diferenciando la ecuación (6.8):

123

[ ] dsd

cV

dsd

cV

dsdV

cdsd

dsd

dsd ϕαϕ

ϕαϕα

ϕαλλ sincos

tancoscos

cossin1

2

2 ++== (6.14)

Sustituyendo el valor de dsdV de (6.10), ds

dα de (6.9) y dsdϕ de (6.7), tenemos:

αϕααϕλ 2sincoscossincos

22

2

2

2

2

2

ctVtc

Vdsd == (6.15)

Usando la notación de (6.12), las derivadas (hasta el orden quinto) son:

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )225422342455

5

223422344

4

2322233

3

22

2

318302018151528cos

318328cos

2312cos

2cos

cos

ttvttuvttvusdsd

tutvttvusdsd

tvtvusdsd

vutsdsd

vsdsd

++++−++=

++−−++=

−+++=

+=

+=

ϕλ

ηηηϕλ

ηϕλ

ϕλ

ϕλ

(6.16)

Seguidamente diferenciamos la ecuación (6.9):

[ ] dsdtc

Vdsd

tcV

dsdVtcds

ddsd

dsd ααϕαααα ⋅⋅+++== cossin)1(sin 2

2

2

La sustitución apropiada de las derivadas da:

( )222

2

2

221cossin ηααα ++= tc

Vdsd (6.17)

124

Los valores de estas derivadas hasta el quinto orden son:

( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )425422342455

5

244222423

26624422242344

4

223422233

3

2222

2

242012402805812018061

128224201

244438624285

21465

21

tttvtttuvtttvusdsd

ttttuv

tttttvusdsd

ttvttvusdsd

tvusdsd

vtsdsd

+++++−++=

−+++++−

−+−+−++++=

++−−++=

++=

=

α

ηηηη

ηηηηηηα

ηηηα

ηα

α

(6.18)

Si ahora sustituimos estas derivadas dentro de la forma general representada por (6.4), obtenemos las siguientes ecuaciones de trabajo (Jordan, Vol. III, 2a mitad, pág. 78).

)15152(30)45301(120

2)91364(12)931(24

)1(2)931(623

21

V

4232424

2422222222224

223222222222

12

ttuvttuv

tnutttuvtttv

tuttuvtutvu

++−+++

++−−+−−+++

+−−−++−−−=−

ηηηη

ηηηηϕϕ

( )

)30201(15)15152(15)31(16

)32(3)31(3)31(33cosëë

4223424225

22322322223

12

ttuvttvuttv

ttvuttuvtvutvvutv

++−+++++

++++++−+++−+=− ηηηϕ

(6.19)

125

)12018061(120)24028058(120

)24201(120)8624285(24

)8224201(24)465(6

)21(6)21()180º(áá

4244223

425222423

2224234222

223221221

tttvutttuv

tttvtttvu

tttuvttvu

ttvtuvuvt

+++++−

−++++++++

+++++−−+++

+++−+++=±−

ηη

ηηηη

ηη

Todas las unidades angulares en estas expresiones estarán en radianes. Recuérdese también que estas ecuaciones sirven específicamente para la línea geodésica. La precisión de las ecuaciones ampliada es tal que Bagratuni (1967, pág. 136) indica que estas fórmulas pueden ser usadas hasta 130 km. No obstante, Grushinsky (1969, pág. 62) indica que dichas fórmulas son útiles hasta los 600-800 km. Desarrollos más precisos serán presentados más adelante.

6.2.2 La Solución Inversa

La solución del problema inverso usando desarrollos en serie no es tan directa como lo expresa la ecuación (6.4). Resolveremos este problema usando los primeros términos de la ecuación (6.19) usando un procedimiento iterativo. Escribimos (6.19) en la forma.

B

A

sc

V

sc

V

∆+⋅=−

∆+⋅=−

1

12112

12

31

12

cossin

cos

ϕα

λλ

αϕϕ

(6.20)

donde A∆ y B∆ son funciones de s,α12, y ϕ1. Ahora resolvemos la ecuación (6.20) asumiendo que A∆ y B∆ son conocidas. Consideremos que 12 ϕϕϕ −=∆ y que

12 λλλ −=∆ , entonces tenemos:

126

A

B

sc

V

sc

V

∆−∆=⋅

∆−∆=⋅

ϕα

λϕα

12

31

1

121

cos

cossin

(6.21)

Dividiendo estas dos ecuaciones y reordenando los términos queda:

∆−∆∆−∆=

A

BV ϕλϕα 1

2112 costan (6.22)

Adicionalmente, s puede ser encontrado desde cualquiera de las ecuaciones dadas en (6.21). Por ejemplo, para la segunda expresión:

123

1 cos)(

αϕ

Vc

s A∆−∆= (6.23)

Sabiendo que ϕλ ∆∆ , , y 1ϕ , y dejando A∆ y B∆ en cero como una primera aproximación

al acimut ( ))1(12α tenemos de la ecuación (6.22):

∆∆= ϕλϕα 1

21

)1(12 costan V (6.24)

Dejando otra vez A∆ igual a cero, ahora en la ecuación (6.23), y usando el acimut de (6.24) calculamos la primera aproximación de la distancia como:

( ))1(

123

1

1

cosαϕ

Vc

s∆= (6.25)

Usando ahora los valores conocidos de ( )112α y ( )1s , podemos calcular valores para A∆ y

B∆ los que pueden ser usados en las ecuaciones (6.22) y (6.23) para conseguir mejores valores de 12α y s. El proceso es iterado hasta que los valores de 12α y s no cambien más allá de una cantidad especificada.

127

6.3 Las Fórmulas de Puissant

Estas ecuaciones fueron originalmente deducidas por Puissant en el siglo XVIII. Ellas han sido extendidas y usadas por varias organizaciones geodésicas para sus trabajos de cálculo de posición. Estas ecuaciones no son derivadas con gran rigor y normalmente no son usadas para líneas mayores de 100 km de longitud.

6.3.1 El Problema Directo

Para derivar las ecuaciones necesarias del problema directo, consideremos una esfera de radio N1, tangente a lo largo del paralelo a través del primer punto. Para distancias cortas, la esfera será aproximadamente coincidente con el segundo punto. Supongamos que el acimut y la distancia sean iguales en la esfera y en el elipsoide. Esta información se muestra en la Figura 6.2:

Figura 6.2 Aproximación de Puissant para Determinar la Latitud

'190 ϕ− y '

290 ϕ− son arcos en una esfera de radio N1, tangente al punto uno. En la

medición de estos arcos tenemos 1'1 ϕϕ = , esto porque la esfera es tangente en el primer

punto. Considerando el triángulo esférico P1P’P2, escribimos la ley de cosenos:

P1(ϕ1,λ1)

P

s

α12 P2(ϕ2,λ2)

P’

90°- ϕ2’

90°- ϕ1’

128

( ) ( ) 12211211'2 cossincoscossinsin αϕϕϕ PPPP += (6.26)

Debido a que estamos tratando con distancias cortas, dejamos que '1

'2 ϕϕϕ ∆+= donde

'ϕ∆ es una cantidad pequeña en radianes. Además dejemos que el arco P1P2 sea considerado como s/N1. La ecuación (6.26) ahora se convierte en:

121

11

11 cossincoscossin)'(sin αϕϕϕϕ Ns

Ns +=∆+ (6.27)

Ahora desarrollamos en serie ( )'sin 1 ϕϕ ∆+ :

+∆−∆−∆+=∆+6

'cos

2'

sin'cossin)'(sin3

1

2

1111

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ (6.28)

Considerando que s/N1 es pequeño, escribimos:

21

2

1

31

3

11

21cos

6sin

Ns

Ns

Ns

Ns

Ns

−=

−=

(6.29)

Podemos sustituir la ecuación (6.28) y (6.29) dentro de (6.27) y resolver 'ϕ∆ . Encontramos:

6'tan2

'cos6tan2cos'3

1

2

1231

3

121

2

121

ϕϕϕαϕαϕ ∆+∆+−−=∆ Ns

Ns

Ns (6.30)

Puesto que 'ϕ∆ aparece en el lado derecho de la ecuación (6.30) debemos resolver la ecuación por aproximaciones sucesivas. En la primera aproximación tomamos

112 /cos' Ns αϕ =∆ así (6.30) se transforma en:

6'

cos6sintan2cos' 3123

1

3

122

121

2

121

ϕααϕαϕ ∆+−−=∆ Ns

Ns

Ns (6.31)

129

Por tanto, una mejor aproximación para 'ϕ∆ es:

122

121

2

121

sintan2cos' αϕαϕ Ns

Ns −=∆ (6.32)

La ecuación (6.32) ahora podría ser sustituida nuevamente dentro de la ecuación (6.30) para encontrar:

)tan31(sincos6tansin2cos' 12

122

1231

3

1122

21

2

121

ϕααϕααϕ +−−=∆ Ns

Ns

Ns (6.33)

Ahora debemos cambiar 'ϕ∆ (medido en la esfera de radio N1) a ϕ∆ el cual es medido a

lo largo de un arco de meridiano. Para hacerlo, asumimos que la distancia '1 ϕ∆N en la esfera es igual a la distancia correspondiente en el elipsoide. Permitiendo que Mm sea el radio de curvatura del meridiano en la latitud media, tenemos:

ϕϕ ∆=∆ mMN '1 (6.34)

el cual puede resolverse para encontrar ϕ∆ si encontramos Mm. Para evaluar Mm necesitamos conocer la latitud del segundo punto, lo cual es lo que tratamos de hacer. Para resolver el problema, hallamos Mm mediante un desarrollo en serie de M alrededor del primer punto. Por tanto:

...21

1 +∆+= ϕϕd

dMMM m (6.35)

o después de la diferenciación:

ϕϕϕϕ ∆−+= )sin1(

cossin23

122

112

11 e

eMMM m (6.36)

Resolviendo ϕ∆ de (6.34) y sustituyendo (6.36) dentro de esta expresión, tenemos:

130

ϕδϕδϕϕ ∆−=∆ c (6.37)

donde

)tan31(cossin6tansin2cos 12

12122

121

3

1122

11

2

121

ϕααϕααδϕ +−−= MNs

MNs

Ms

(6.38)

y

)sin1(cossin

23

122

112

ϕϕϕ

ee

c −= (6.39)

Puesto que )( ϕδϕ ∆− es pequeño, podemos permitir que ϕδϕ∆ de la ecuación (6.37)

sea: 2)(δϕ . Con esta sustitución e introduciendo los símbolos siguientes (Hosmer, 1930, pág. 212):

1

122

1

12

122

112

11

1

1

cos,

6tan31

,)sin1(2cossin3

,2tan

,1

Ms

hN

E

ee

DNMCMB

αϕ

ϕϕϕϕ

=+

=

−===

(6.39a)

tenemos:

( ) DEhsCsBs 212

2212

2212 sinsincos δϕαααϕ −−−=∆ (6.40)

donde δϕ está dado por la ecuación (6.38) o por la suma de los primeros tres términos en la ecuación (6.40). La latitud del segundo punto será entonces ϕϕϕ ∆+= 12 .

Para determinar la longitud del segundo punto definimos una esfera de radio N2, tangente al paralelo a través de P2. Asumimos que esta esfera pasa cerca del primer punto, de manera que el acimut y distancia en el elipsoide y en la esfera sean los mismos. Esta situación es mostrada en la Figura 6.3.

131

Figura 6.3 Aproximación de Puissant para Determinar la Longitud

Aplicando la ley de senos al triángulo esférico P1P2P”, tenemos:

2

12

2

cossin

sin

sinϕαλ

=

∆

Ns

de este modo:

2122

secsin)(sinsin ϕαλ Ns=∆ (6.41)

La ecuación (6.41) es una expresión cerrada para un resultado aproximado. La longitud del segundo punto podría ser λλλ ∆+= 12 . La ecuación (6.41) podría también ser desarrollada dentro de las series siguientes (Clark, 1957, Vol. II, pág. 336).

−−=∆ )secsin1(61secsin 2

212

222

2

2122

ϕαϕαλ Ns

Ns (6.42)

P1(ϕ1,λ1)

∆λ

P

s

α12 P2(ϕ2,λ2)

P’’

90°- ϕ2

∆λ

132

Deberíamos notar que antes de aplicar las ecuaciones (6.41) ó (6.42), es necesario calcular la latitud del segundo punto usando la ecuación (6.40). Para calcular el acimut inverso aplicamos la ecuación siguiente, obtenida de las analogías de Napier:

2cot)(cos

)(cos)(tan

2

12

1

21 A

cb

cbCB +

−=+ (6.43)

donde por analogía con la Figura 6.1, tenemos:

λϕαϕα

∆=−=−=−==

A

cC

bB

112

'212

º90º360

º90

(6.44)

que puede ponerse dentro de la ecuación (6.43) para encontrar:

−+−

−−−

∆=−+)90()'90(cos

)90()'90(cos

2cot)º360(tan

1221

1221

211221

ϕϕ

ϕϕλαα (6.45)

Escribimos º1801221 ±∆+= ααα para que la ecuación (6.45) llegue a ser, (después de invertirse):

2tan

2'cos

)'(sin2tan 212

1λ

ϕϕϕα ∆

∆+

=∆ (6.46)

Puesto 22' ϕϕ ≅ y ϕϕ ∆≅∆ ' la ecuación (6.46) puede escribirse como:

2tan

2cos

sin2tan λ

ϕϕα ∆∆=∆ m (6.47)

133

La ecuación (6.47) puede escribirse en forma de series como sigue (Clark, 1957, Vol. II, pág. 337):

)2secsin2sec(sin122secsin 333 ϕϕϕϕλϕϕλα ∆−∆∆+∆∆=∆ mmm (6.48)

Las ecuaciones (6.40), (6.41), y (6.42) (o formas de series equivalentes para las dos últimas), constituyen una implementación usual de las ecuaciones de Puissant. Ellas han sido usadas para distancias en el orden de 100 km. Un término adicional que ha de añadirse al lado derecho de (6.40) extiende la precisión del procedimiento para líneas de mayor extensión. Este término es (Hosmer, 1930, pág. 219):

AkskEskEs ϕαα 222222 seccos21

cos23

21 −− (6.49)

donde

1

22

1

sin

NA

Csk

=

= α (6.50)

Si se calculan líneas cortas (de hasta aproximadamente 12 millas o 19 km), pueden darse versiones simplificadas de las ecuaciones de Puissant. De la ecuación (6.40) podríamos escribir:

DCsBs 212

2212 )(sincos δϕααϕ −⋅−⋅=∆ (6.51)

De la ecuación (6.42) podríamos escribir:

2122

secsin ϕαλ Ns=∆ (6.52)

y de la ecuación (6.48) tenemos:

mϕλα sin∆=∆ (6.53)

134

6.3.2 El Problema Inverso

Para resolver el problema inverso usando las ecuaciones de Puissant, primero resolvemos la ecuación (6.24) de la forma siguiente:

−−

∆=)secsin1(

61

cossin

22

122

22

2

2212

ϕα

ϕλα

Ns

Ns (6.54)

Si como una primera aproximación se deja el denominador en uno, podemos calcular 12sin αs . Luego resolvemos 12cosαs de la ecuación (6.40):

[ ]DhEsCsBs 212

2212

2212 )(sinsin1cos δϕααϕα ++⋅+∆= (6.55)

Aunque desconocemos h en el lado derecho de la ecuación, podemos encontrar una buena aproximación para 12cosαs . Entonces

( ) ( )212

21212

1212 cossin;cos

sintan ααα

αα ssss

s+== (6.56)

Donde podemos encontrar 12α y s. Será necesario la iteración para alcanzar una precisión compatible con la del problema directo.

Deberíamos notar que la derivación de las ecuaciones de Puissant es tal que no podemos indicar si el método es para una geodésica o para una sección normal. Esto no es relevante considerando que la aplicación de dichas ecuaciones se limitan a extensiones de líneas donde la diferencia entre curvas geodésica y curvas de sección normal no es significante.

135

6.4 Las Fórmulas de la Latitud Media de Gauss

Las ecuaciones de Puissant son convenientes para la solución del problema directo, pero son menos convenientes para resolver el problema inverso. Para evitar esa dificultad es apropiado considerar las fórmulas de la latitud media de Gauss (Lambert y Swick, 1935; Lauf, 1983). En este procedimiento reemplazamos el triángulo polar elipsoidal por un triángulo esférico que tiene por radio el radio de curvatura del primer vertical de la latitud media entre los dos puntos. El triángulo elipsoidal P1P2P, y el triángulo esférico correspondiente P1’P2’P’ se muestran en las siguientes figuras:

Figura 6.4 Triángulos Polares Resueltos Mediante las Fórmulas de la Latitud Media de Gauss

Asumimos que los acimuts y distancias en los triángulos elipsoidales y triángulos esféricos son iguales. Sin embargo, notamos que ϕ1’ y ϕ2’ no son iguales a ϕ1 y ϕ2 porque las cantidades son medidas respecto de superficies diferentes. Asumiremos que:

)(21)(2

1 '2

'121 ϕϕϕϕϕ +=+=m (6.57)

También asumiremos que la distancia del arco entre los paralelos de ϕ1’ y ϕ2’ sobre la esfera es igual a la distancia entre los paralelos de ϕ1 y ϕ2 en el elipsoide. Sabiendo que el radio de la esfera es Nm y, con suficiente precisión que el radio de curvatura del meridiano en el elipsoide es Mm, podemos escribir:

ϕϕϕϕϕ ∆=−=− mmm MMN )()( 12'1

'2 (6.58)

α21 α12

P

∆λ

P2 P1

s

90°- ϕ1’

α12

P ∆λ

P2’

P1’

α21

90°- ϕ2’

136

Esta ecuación es similar a la (6.34) utilizada en la derivación de las ecuaciones de Puissant. Ahora utilizamos las siguientes ecuaciones de Gauss o Delambre escritas para el triángulo esférico siguiente:

Tenemos:

2cos)(

21sin)(

21sin

2sin

2sin)(21sin)(2

1cos2sin

CbaBA

c

CbaBAc

−=−

+=−

(6.59)

En nuestro caso:

'1

'12

'2

'12

º90º360

º90

ϕα

ϕα

λ

−=−=

−==

∆==

bB

aA

CNsc

m

Así:

b

C

a

B

A

c

137

º1802

º180

)(º180º360

12

'2

'11221

'2

'12112

−∆+=−

−=−+∆+=

+−=+−+=−

αα

ϕϕααα

ϕϕαα

BA

ba

baBA

(6.60)

Sustituyendo estos valores en la ecuación (6.59) tenemos, después de varias simplificaciones:

2sincos)2(sin2sin 12λϕαα ∆=∆+ m

mNs (6.61)

2cos2

'sin)212(cos2sin λϕαα ∆∆

=∆+mN

s (6.62)

De la ecuación (6.58) despejamos 'ϕ∆ en términos de ϕ∆ y sustituimos dentro de (6.62) para encontrar:

2cos2sin)2(cos2sin 12λϕαα ∆

∆=∆+

m

m

m NM

Ns (6.63)

Las ecuaciones (6.61) y (6.63) son las principales que nos guían a las fórmulas de latitud media de Gauss. Para derivar la solución inversa dividimos (6.61) por (6.63) para obtener:

2cos

2sin

2sincos

)2(tan 12 λϕ

λϕαα∆∆

∆=∆+

m

m

m

NM (6.64)

Nótese que en el problema inverso el lado derecho será una cantidad conocida de tal forma que la ecuación (6.64) pueda ser usada para encontrar 2/12 αα ∆+ . Conociendo esta cantidad podemos encontrar s en las ecuaciones (6.61) o (6.63). Por ejemplo, desde (6.61):

138

)2

(sin2

sincos

2sin12

αα

λϕ∆+

∆=

m

mNs (6.65)

Con el objeto de encontrar el acimut, el valor de α∆ puede ser calculado desde las ecuaciones (6.47) o (6.48), que han sido expuestas previamente.

Las fórmulas de la latitud media de Gauss, usualmente se encuentran en forma de series. Estas pueden deducirse desarrollando en serie las funciones ( )mNs 2/sin , ( )2/sin λ∆ , y

)2/sin( mm NM ϕ∆ que aparecen en (6.61) y (6.63). Por ejemplo, reteniendo los primeros términos en (6.61), tenemos:

λϕαα ∆=∆+ mmNs cos)2(sin 12 (6.66)

y de la ecuación (6.63):

2cos)2(cos 12

λϕαα ∆∆=∆+ mMs (6.67)

Estas ecuaciones pueden ser usadas para resolver el problema directo en una forma iterativa escribiendo las ecuaciones (6.66) y (6.67) en la forma:

mmNs

ϕααλ cos

)2/(sin 12 ∆+=∆ (6.68)

)2/(cos)2/(cos 12

λααϕ ∆

∆+=∆mM

s (6.69)

Donde α∆ podría calcularse directamente desde (6.47) o (6.48). Es evidente que la solución precisa del problema directo, en esta manera, es un procedimiento iterativo.

Una forma de series más completa para la solución del problema inverso han sido dadas por Lambert y Swick (1935), Bomford (1971, pág. 137) y Lauf (1983, pág.71). Conociendo la información para el problema inverso, calculamos Nm y Mm. Entonces se calcula F:

139

mmF ϕϕ 2cossin121= (6.70)

Esencialmente se evalúa (6.48) en la forma:

3

2secsin λϕϕλα ∆+∆∆=∆ Fm (6.71)

Luego se calcula:

)2/cos(')2cos(

cos')2sin(

))2/(/)2/((sin'

))2/(/)2/((sin'

1212

1211

λϕαα

ϕλαα

λλλλ

ϕϕϕϕ

∆∆=∆+=

∆=∆+=

∆∆∆=∆

∆∆∆=∆

m

mm

MsX

NsX

(6.72)

Conociendo X1 y X2, calcular s1:

212

2211 )( XXs += (6.73)

Finalmente encontramos:

)2/(sin/)2/( 111 mm NsNsss =

º180

2/)/(tan

2121

211

12

±∆+=

∆−= −

ααα

αα XX

(6.74)

La importancia de las fórmulas de la latitud media de Gauss está en la solución del problema inverso a través de las ecuaciones (6.64) y (6.65), donde no son requeridos

140

procedimientos iterativos. La precisión de estas fórmulas es± 1 parte por millón para líneas de 100 km.

6.5 Las Fórmulas de Bowring

Bowring (1981) dedujo ecuaciones para los problemas directo e inverso para líneas geodésicas de hasta 150 km de longitud. La derivación en detalle es entregada por Bowring y no se repetirá aquí. El método usa una proyección conforme del elipsoide en una esfera, llamada la proyección gaussiana de segunda clase. En esta aplicación, el factor de escala es tomado en el punto inicial de la línea. Además, la primera y segunda derivadas del factor de escala con respecto a la latitud, se establecen como cero. La geodésica desde el elipsoide es entonces proyectada en la línea correspondiente sobre la esfera donde puede aplicarse la trigonometría esférica.

El procedimiento para la solución directa e inversa no es iterativo usando las ecuaciones siguientes:

Ecuaciones Comunes

12

12

12

212

21

122

21

142

2/)(

)'1(

)cos'1(

)cos'1(

λλλ

ϕϕϕ

λλ

ϕ

ϕ

−=∆

−=∆

−=

+=

+=

+=

Aw

eC

eB

eA

(6.75)

141

Ecuaciones del Problema Directo

−

−=

+−+=

−=

−+=

=

−

−

−

)costan(tancos12

sintan

342sin'

232

tansinsin1cossinsin21

cossintancossintan

tan1

)(/

11

12

12

12

121121

111

12112

2

αϕσσ

αα

ϕϕϕ

αϕασ

αϕσϕασ

λλ

σ

B

B

BDDeBD

wA

D

BA

A

aCsB

(6.76)

Ecuaciones del Problema Inverso

( )

( )

( )

221

11

2/122

11

12

2

/;º180;

tantancossin1tan

2sin;tan

sinsincoscossin1

cossin

322sin4

'312

BaCsHGHG

wDBA

H

FEEFG

DDBwA

F

wDE

Be

BD

σαα

ϕϕ

σ

ϕϕ

ϕϕϕϕ

=±+=−=

+=

+==

−=

=

∆+∆+∆=

(6.77)

142

Meade (1981) trata la exactitud de esta solución indicando precisiones de 1 ó 2 mm para la solución directa o inversa en líneas del orden de 120 km de largo. Para líneas de 150 km, el error en la distancia inversa se incrementa hasta 3 ó 4 mm. Para líneas de hasta 100 km, el error acimutal estará en el orden de 0,001” de arco.

6.6 El Método de la Cuerda

Otro procedimiento para resolver el problema inverso y directo es trabajar con la cuerda entre los dos puntos de interés. En las secciones 4.19 y 4.23 tratamos métodos para trabajar con una cuerda entre dos puntos. En 4.19 consideramos la cuerda y el acimut de su sección normal entre dos puntos en o sobre el elipsoide. En la sección 4.23 vimos la conversión de la extensión de una geodésica o sección normal entre dos puntos, en el elipsoide, en una cuerda, y viceversa. Ahora aplicamos estas ecuaciones a la solución del problema directo e inverso.

6.6.1 El Problema Inverso

Conociendo ,,,, 2211 λϕλϕ calculamos las coordenadas X, Y, Z, de la ecuación (3.152) asumiendo que la altura es cero. La distancia de cuerda es:

( ) ( ) ( )[ ] 21

212

212

212 ZZYYXXc −+−+−= (6.78)

Esta distancia de cuerda puede convertirse en longitud de geodésica usando (4.106) o en una extensión de sección normal usando (4.107). El acimut de la sección normal puede ser calculado en forma cerrada usando la ecuación (4.71) donde A es el primer punto. Si se necesita el acimut geodésico se puede usar una ecuación tal como (4.111). Si se requiere el acimut inverso puede encontrarse también usando (4.71), adoptando el punto A como el segundo de los dos puntos.

6.6.2 El Problema Directo

Recordemos que para el problema directo conocemos 1211 ,, αλϕ y s. Por conveniencia establecemos 01 =λ y resolvemos para una diferencia de longitud con respecto al primer punto. En este caso, las coordenadas rectangulares del primer punto son (tomando 3.152):

143

12

11

1

111

sin)1(

0

cos

ϕ

ϕ

eNZ

Y

NX

−=

==

(6.79)

Las diferencias de coordenadas serían:

12

2

12

ZZZ

YY

XXX

−=∆=∆

−=∆ (6.80)

Ahora invertimos (4.67) y al mismo tiempo establecemos 0=λ . Encontramos:

−=

∆∆∆

w

v

u

Z

Y

X

11

11

sin0cos

010

cos0sin

ϕϕ

ϕϕ (6.81)

donde las coordenadas locales son (ver 4.60):

Vcw

Vcv

Vcu

sin

sincos

coscos

12

12

=

=

=

α

α

(6.82)

Sustituyendo (6.82) en (6.81) tenemos:

( )

( )VVcZ

VcY

VVcX

sinsincoscoscos

sincos

cossincoscossin

1121

12

1121

ϕαϕ

α

ϕαϕ

+=∆

=∆

−−=∆

(6.83)

144

Conocemos c y α12 al lado derecho de (6.83). Asumiendo que conocemos V, podemos usar (6.83) para hallar ZYX ∆∆∆ ,, . Entonces calculamos las coordenadas rectangulares del segundo punto.

ZZZ

YY

XXX

∆+=

∆=

∆+=

12

2

12

(6.84)

Conociendo estas coordenadas podemos calcular la latitud y longitud desde (como se discutirá en la sección 6.8):

( ) ( ) 21

22

22

2

22

1tan

YXe

Z

+−=ϕ (6.85)

2

2tan XY=∆λ (6.86)

Estas ecuaciones completarían la solución del problema directo.

Al resolver (6.83) asumimos conocer V. Este ángulo V es el negativo del ángulo de declinado tratado en la sección 4.17. Por ejemplo, desde (4.52) podemos escribir:

( ) 121212

1

2

1222

11

cos2cos12 αηαη tNs

NsV −+=− (6.87)

De la Figura 6.5 puede deducirse un valor simplificado para V, asumiendo que los dos puntos están en una esfera, cuyo radio es el radio )( αR de curvatura en la dirección de la línea.

145

Figura 6.5 Determinación Aproximada del Ángulo de Declinación

Tenemos:

αµ R

cV 2)(sinsin =−= (6.88)

El uso de (6.88) o aun de (6.87) podría crear un error pequeño en las coordenadas calculadas. Si las coordenadas rectangulares son las correctas, tiene que satisfacerse la ecuación de la elipse. Específicamente, desde (3.153) deberíamos tener:

0)1(2

1

2

222

222 =−

−++ aeZ

YX (6.89)

Si V no es correcto, el lado derecho igualará (digamos) a h. Conociendo h se puede calcular una corrección para V (Vincenty, 1977) como sigue:

VchdV cos=− (6.90)

El ángulo vertical corregido podría ser:

Rα

µ

c / 2

µ

c / 2

146

dVVV ii +=+1 (6.91)

Lo cual puede ser usado en (6.83) para obtener valores mejorados de ZYX ∆∆∆ ,, . Después que el ciclo iterativo haya convergido (por ejemplo mmh 1≤ ) se puede usar el

juego final de valores para 222 ,, ZYX en (6.85) y (6.86) para obtener la latitud y longitud del segundo punto.

6.7 Exactitud de los Métodos Directo e Inverso para Líneas de Longitud Mediana

En las secciones previas hemos tratado varios métodos para resolver el problema directo e inverso. Cada método tenía aproximaciones asociadas a truncamiento de series o aproximaciones geométricas. En algunos casos hemos citado pautas respecto de la exactitud de las ecuaciones. Pero se pueden obtener estimaciones más específicas de precisión si se calcula una serie de líneas de prueba con el juego de fórmulas más precisas, haciendo comparaciones con los resultados para los métodos aproximados. Tales cálculos han sido desarrollados por Gupta (1972) para varios métodos y Badi (1983) para el método de Bowring.

Antes de hablar sobre las precisiones de cada método deberíamos poner en contexto las precisiones que podríamos desear en el cálculo de la posición. Por ejemplo, recordemos primero que 1” de arco corresponde a ≈ 30 m en la superficie del elipsoide. Tenemos entonces:

________Medida de Arco___________________________Medida Lineal________

mmcmm

mmcmm

cmm

cmm

m

m

3,003,00003,0"00001,0

33,0003,0"0001,0

303,0"001,0

303,0"01,0

3"1,0

30"1

====

==

___________________________________________________________________

147

Si nos dieran un juego de latitudes y longitudes, nos gustaría que cualquier distancia calculada de aquel fuera la correcta (para propósitos de estabilidad) a 1 mm. Esto implicaría que las ϕ y λ debieran darse con una exactitud del orden de 0,00001”. Hay muchos casos en donde un criterio tan riguroso puede ser relajado dependiendo de la aplicación de los resultados.

Las pruebas realizadas por Gupta constaron de líneas de diferentes extensiones y acimut, y latitud del primer punto. En la mayoría de los casos, hay una sensibilidad a los resultados dependiendo de estas tres cantidades. Aquí no se presenta un listado completo de los resultados. Basta tabular la distancia máxima en los acimut y latitudes más deficientes, para los cuales las ecuaciones específicas producen la exactitud dada. Tales resultados se dan en la tabla siguiente:

Extensión Máxima de Línea para la cual una Solución Directa Conocida Logra la Exactitud Dada (Distancias en km)

___________________________________________________________________

"00001,0 "0001,0 "001,0 "01,0

Series Legendre (4 términos) 30 40 80 100

Series Legendre (5 términos) 60 90 100 200

Puissant (corto, (6.51)) 10 10 10 10

Puissant (largo, (6.40)) 10 20 40 80

Bowring (Cuerda) 70 100 300 700

___________________________________________________________________

La precisión más deficiente en estos resultados usualmente ocurre en las altas latitudes. (La latitud más alta usada en esas pruebas fue de 70º). Por ejemplo, para una latitud de 10º, la distancia máxima para la serie de Legendre, con derivadas del quinto orden, es de 100 km para una exactitud de "00001,0 en lugar de 60 km dados en la tabla.

De esos resultados concluimos que las fórmulas de Bowring para el problema directo producen la mejor precisión de las ecuaciones aquí descritas.

La exactitud del problema inverso puede describirse de manera similar. En la tabla siguiente comparamos los errores de distancia y acimut para las fórmulas de latitud media de Gauss y de Bowring. De nuevo hemos escogido errores máximos que dependen del acimut y de la latitud.

148

Error Máximo en la Solución del Problema Inverso para Líneas de Varias Extensiones

Largo de la Línea Latitud Media de Gauss Bowring

Km Acimut (”) Distancia (mm) Acimut (”) Distancia (mm)

50 "0048,0 4

100 "020,0 33

200 "083,0 136

0,0003” 0,1

0,0024” 1,1

0,0049 9,7

Los resultados de Bowring claramente son los mejores. Los errores son aún bastante sensibles a la latitud y al acimut. Para una extensión de 100 km y 0º de acimut, el error en las fórmulas Bowring en 10º de latitud es 0,08 mm, aumentando a 1,1 mm en 40º.

6.8 El Problema Inverso para las Coordenadas Rectangulares Espaciales

Conociendo ϕ, λ y h de un punto, calculamos las coordenadas rectangulares espaciales como sigue (ver 3.152):

ϕ

λϕ

λϕ

sin))1((

sincos)(

coscos)(

2 heNZ

hNY

hNX

+−=

+=

+=

(6.92)

Ahora examinamos el cálculo de ,,, hλϕ conociendo ZYX ,, y los parámetros del elipsoide. La solución no es directa debido a que N es función de la latitud. Se han presentado varias soluciones iterativas y de forma cerrada para este problema. Primero consideramos una solución iterativa sugerida por Hirvonen y Moritz (1963).

Para hacerlo, primero hallamos la longitud dividiendo la Y por la ecuación X de (6.92):

XYtan =λ (6.93)

Luego consideramos la siguiente sección meridiana que es mostrada en la Figura 6.6:

149

Figura 6.6 Sección de Meridiano Mostrando un Punto sobre el Elipsoide

Tenemos:

22

sin)(tan

YXhN

++= ϕϕ (6.94)

Ahora ϕϕϕ sinsinsin 2 hNeNZ +−= ó ϕϕ sinsin)( 2 NeZhN +=+ , entonces:

22

2 sintan

YXNeZ+

+= ϕϕ (6.95)

Necesitamos resolver esta ecuación por iteración, por tanto primero escribimos:

(X2 + Y2)1/2

(N + h)sinϕ

(N + h)

ϕ

ϕ

h

150

+

+= Z

NeYX

Z ϕϕ sin1tan2

22 (6.96)

Si, como primera aproximación, tomamos ϕsin)1(,0 2eNZh −== , la ecuación (6.96) puede ser escrita como:

[ ]

2221

2

2

221

11tan

11tan

YXZ

e

ó

ee

YXZ

+⋅

−=

−++

=

ϕ

ϕ

(6.97)

Esta ecuación es exacta cuando h = 0, y puede ser usada para obtener una primera aproximación para la latitud deseada. Con esta aproximación la ecuación (6.95) puede ser iterada para encontrar su convergencia.

De las primeras dos ecuaciones de (6.92) podemos encontrar h:

NYX

h −+

= ϕcos22

(6.98)

De la tercera ecuación de (6.92) tenemos:

NeNZh 2

sin +−= ϕ (6.99)

La selección entre el uso de (6.98) o (6.99) depende de la latitud aproximada. En las regiones polares (6.99) debería ser más estable que (6.98), mientras que lo opuesto sería verdadero en las regiones ecuatoriales.

En 1976 Bowring describió un procedimiento iterativo que converge más rápido que el recientemente expuesto. (Ver Figura 6.7). Consideremos una elipse de meridiano con el punto Q ubicado en alguna elevación sobre el elipsoide, siendo P el punto correspondiente en el elipsoide. Permítase que C sea el centro de curvatura de la elipse meridiana en el punto P. La distancia CP es el radio de curvatura del meridano, M.

151

Figura 6.7 Elipse Meridiana para la Derivación de Bowring

La coordenada x de C es:

ϕcosMxx PC −= (6.100)

Usando (3.42) para xP y (3.88) para M, (6.100) se reduce a

3

32 cosW

eaxC

ϕ= (6.101)

Usando (3.66) esto se convierte en:

β32 coseaxC = (6.102)

De manera similar calculamos la coordenada z de C. Encontramos:

M

ϕ

C

h

Q

X

P

Z

152

β32 sin' bezC −= (6.103)

De la figura 6.7 vemos que:

CQ

CQ

xx

zz

−−

=ϕtan

o sustituyendo para xC y zC, tenemos:

ββ

ϕ 32

32

cos

sin'tan

aex

bez

Q

Q

−+

= (6.104)

En términos de X, Y, Z, podemos escribir (6.104) como:

β

βϕ3222

32

cos

sin'tan

aeYX

beZ

−+

+= i (6.105)

La ecuación (6.105) es la ecuación básica que ha de iterarse para la solución de Bowring. El valor inicial aproximado de β puede ser encontrado de (3.28) y (3.29):

( ) 2/1220tanYX

Zba

+=β

(6.106)

Cualquier valor actualizado de β que se necesite puede ser calculado de (3.63):

ϕβ tanftan )1( −= (6.107)

donde ϕ se calculará de (6.105).

153

Para aplicaciones terrestres, todo lo que se necesita es un ciclo iterativo único de (6.105) comenzando con (6.106) para obtener resultados precisos mejores de 0,1 mm. En alturas de 5000 m, el error de tal cálculo podría alcanzar 39 mm, lo cual podría eliminarse con otra iteración.

La altura podría determinarse de (6.98) o (6.99). Sin embargo, una manera más conveniente para cualquier técnica fue sugerida por Bartelme y Meissl (1975) como parte de su derivación para otro procedimiento en la determinación de ϕ, λ, y h. Comenzamos con la elipse meridiana y un círculo pasando a través del punto de interés, según es mostrado en la Figura 6.8.

Figura 6.8 Geometría para la Determinación de h

Usando (3.28) y (3.29) vemos que en el elipsoide las coordenadas x y z de p’ son βcosa y βsinb . Tenemos:

222 )sin()cos( ββ bzaph −+−= (6.108)

El signo de h es asignado igualando el signo del primer término en paréntesis. Se recomienda el uso de la ecuación (6.108) para el cálculo de alturas por razones de simplicidad y estabilidad, aunque ésta fallará si el punto se ubica en uno de los polos.

Vincenty (1980 a) sugirió una mejora del procedimiento Bowring introduciendo un elipsoide auxiliar que pasa a través del punto que está siendo transformado. Este método es especialmente útil cuando una elevación es aproximadamente conocida o es calculada de una manera aproximada.

(X2+Y2)1/2 = p

b sinβ

z

z

p’

h

p

a cosβ

154

Varios autores han propuesto fórmulas cerradas para la evaluación de ϕ, λ y h a partir de X, Y y Z (por ejemplo, Paul, (1973) y Heikkinen, 1982)). Los pasos de cálculo para el procedimiento de Heikkinen son:

22 YXr +=

2254 ZbF =

)(;)1( 22222222 baEEeZerG −=−−+=

3

24

GFre

c =

cccs 21 23 +++=

22)11(3 GssFP++

=

peQ 421+=

2Pr

)1()1(

)11(21

222220 −

+−−+++

−=QQ

ZePQ

aQ

rPer

220

2 )( ZrerU +−=

2220

2 )1()( ZererV −+−=

aVZbz

2

0 =

155

)1(2

aVbUh −=

rzeZ 0

2'tan

+=ϕ

XY=λtan

Cualquier error en la aplicación de esas ecuaciones podría emanar de situaciones inestables. Aparentemente, las fórmulas de Heikkinen son estables (Vincenty, 1982 comunicación privada).

En términos de tiempo de evaluación del cálculo, la técnica anterior es la más lenta. Si permitimos que el tiempo para este enfoque sea 1, el tiempo para el enfoque Bowring sería 0,73, para el de Vincenty (1980) 0,66 y para el de Hirvonen-Moritz 1,05.

156

7 INFORMACIÓN ASTROGEODÉSICA

7.1 Coordenadas Astronómicas

Hasta aquí, hemos considerado las coordenadas geodésicas que son definidas con respecto a un sistema específico de ejes y planos implicados por dichos ejes. Se tiene la medida de latitud considerando el plano ecuatorial, el cual es perpendicular al eje z de rotación del elipsoide. La longitud geodésica es el ángulo entre un meridiano inicial (conteniendo los ejes x y z) y el meridiano que pasa a través del punto de interés.

En el mundo real donde las mediciones son realizadas con respecto a la dirección del vector gravedad, en un punto sobre la superficie de la tierra, no podemos determinar directamente la latitud geodésica, longitud, acimut de la sección normal, ángulo vertical, etc., considerando que el plano horizontal de los instrumentos usado para esas mediciones son orientados para que el plano horizontal del instrumento quede perpendicular a la dirección de la gravedad. Las cantidades medidas con respecto a la orientación del vector gravedad son generalmente llamadas cantidades astronómicas. Tenemos latitud astronómica, longitud astronómica, acimut astronómico, ángulo vertical astronómico, o distancia cenital astronómica. Con el objeto de definir tales cantidades es necesario definir un sistema de coordenadas y planos iniciales para referenciar (por ejemplo) la latitud y la longitud astronómica. Las definiciones de estos sistemas están ampliamente ligadas a las observables relacionadas con la Tierra física.

No es la intención de este trabajo adentrarse en los detalles de las definiciones de los sistemas de coordenadas astronómicos. Tal enfoque puede ser encontrado en Mueller (1969, pág. 19), Bonford (1980, pág. 97), Vanicek y Krakiwsky (1982, pág. 296), Mueller (1981, pág. 9), etc. Es importante para nosotros, sin embargo, resumir algunas definiciones y aplicaciones apropiadas.

El eje Z usado para propósitos de referenciación astronómica es relacionado con el eje de rotación de la Tierra. Tal eje requiere una definición precisa, considerando que el eje de rotación instantáneo no permanece fijo en posición con respecto a la corteza de la Tierra. Las primeras observaciones del movimiento del polo fueron iniciadas en 1899 usando la latitud definida de cinco estaciones del servicio de latitud internacional. Los datos de esas estaciones han sido usados para definir el Origen Internacional Convencional (CIO), el cual es el polo terrestre promedio desde el año 1900 al 1905. Los valores del movimiento polar

157

también han sido determinados por el Servicio de Movimiento Polar Internacional (IPMS) el que usa datos provenientes de un gran número de observatorios, y del Bureau International de l’Heure (BIH). Los cambios en el movimiento polar ahora son obtenidos rutinariamente desde el análisis del movimiento de satélites. Cada determinación del movimiento polar podría ser un tanto diferente dependiendo de los catálogos de estrellas usado, coordenadas adoptadas por la estación, procedimientos de observación, constantes adoptadas, etc. En el futuro cercano, mejoras en la determinación del movimiento polar y del eje Z serán posible usando nuevos y mejores procedimientos de observación y técnicas de procesamiento. Debería estar claro que las determinaciones del movimiento polar desde 1899 no tienen una precisión uniforme ni un eje Z de referencia uniforme.

En adelante asumiremos que tenemos un eje Z el cual es llamado Sistema Terrestre Convencional (CTS) (Mueller, 1981). El eje de rotación instantáneo es localizado con respecto al eje Z por los elementos del movimiento polar xp, yp. La latitud astronómica de un punto, en la superficie de la Tierra, debería ser el ángulo medido entre el ecuador (perpendicular al eje de rotación medio) y la dirección del vector gravedad en el punto de interés. La latitud astronómica media (ΦM) puede ser obtenida desde la latitud astronómicas instantánea (ΦI) (esto es con respecto al ecuador instantáneo) usando las coordenadas (xp, yp) del polo instantáneo con respecto al polo de referencia usado (Mueller, 1969, pág. 87):

Λ−Λ+Φ=Φ cossin PPIM xy (7.1)

Para definir la longitud astronómica instantánea primero definimos el plano meridiano astronómico instantáneo como el “plano que contiene la normal astronómica en P paralela al eje de rotación instantáneo de la tierra” (Mueller, 1969, pág. 19). El meridiano astronómico medio será aquel plano que contenga la normal astronómica en P, y que es paralelo al eje Z del Sistema Terrestre Convencional. La longitud astronómica es el ángulo entre el meridiano inicial (hoy en día definido por el BIH) y el meridiano astronómico que pasa a través del punto de interés. Valores de la longitud astronómica media (ΛM) pueden ser obtenidos desde la longitud astronómica instantánea (ΛI) a través de la aplicación de la corrección del movimiento polar (Mueller, 1969, pág. 87):

( ) ΦΛ+Λ−Λ=Λ tancossin PPIM yx (7.2)

El primer acuerdo sustancial en la definición del meridiano inicial fue alcanzado en la Conferencia del Meridiano Internacional que se efectúo en octubre de 1884, Washington (Howse, 1980). Entonces el meridiano inicial fue definido como

158

“aquel que pasa por el centro del instrumento de tránsito en el Observatorio de Greenwich”. Desde ese tiempo, definiciones mejoradas han sido adoptadas. Con variadas definiciones realizadas en diferentes tiempos es claro que la longitud astronómica considerada sobre un extenso periodo de tiempo podría no constituir un juego de datos homogéneos. En Estados Unidos, las longitudes astronómicas fueron originalmente ligadas a una longitud definida en el Observatorio Naval de EE.UU. Sin embargo, esta longitud y los catálogos de estrellas usados desde 1922 fueron inconsistentes con aquel usado por el Bureau International de l’Heure (BHI). Petty y Carter (1978) estimaron un promedio para la corrección de longitud de –0,50” (positivo en longitud oeste) para la determinación de longitudes astronómicas en EE.UU. previas a 1962. Esta corrección dependiente del tiempo es llamada la corrección del observatorio y debería ser aplicada a las longitudes astronómicas publicadas por el National Geological Survey previas a 1978 (Petty, comunicación privada, 1981).

Hoy día los ejes iniciales (X, Z) son definidos por un determinado juego de longitudes astronómicas en aproximadamente 50 observatorios de tiempo desplegados alrededor de la Tierra que envían los datos al BHI en París. Tales mediciones permiten la definición precisa de un meridiano inicial el cual ahora no es físicamente observable en Greenwich. En la práctica, las correcciones del movimiento polar son aplicadas para obtener un meridiano inicial “medio”.

Un acimut astronómico es al ángulo entre el norte astronómico (o el plano meridiano astronómico) y el plano que contiene el vector gravedad en el punto de observación que pasa a través del punto observado.

Debido a que el plano astronómico puede variar como consecuencia de las variaciones en los ejes de rotación descritos por el movimiento polar, deberíamos hablar de un acimut astronómico instantáneo (AI) y un acimut astronómico medio (AM). Los dos acimut son relacionados como sigue (Mueller, 1969, pág. 88):

( ) ΦΛ+Λ−= seccossin PPIM yxAA (7.3)

En subsecuentes tratados nos referiremos solamente al acimut astronómico medio. Este será medido desde el norte en el sentido de los punteros del reloj.

La distancia cenital astronómica (Z’) es el ángulo subtendido desde el cenit, definido por la dirección del vector gravedad, en dirección hacia el punto que está siendo observado.

Arriba hemos considerado mediciones astronómicas referidas a la dirección del vector gravedad en un punto sobre la superficie de la Tierra. Para aplicaciones que comprometen coordenadas astronómicas y geodésicas (ver las secciones

159

siguientes) es importante que las coordenadas astronómicas sean reducidas al elipsoide o en la práctica al geoide. Para llevar a cabo ésto deben efectuarse correcciones por curvatura de la línea de plomada, según lo describe Heiskanen y Moritz (1967, pág. 193).

La Figura 7.1 identifica varias cantidades con respecto a los ejes del Sistema Terrestre Convencional.

Figura 7.1 Cantidades Astronómicas Medidas

7.2 Comparación de Cantidades Angulares Astronómicas y Geodésicas

Cantidades astronómicas y geodésicas tales como latitud, longitud, acimut y distancia cenital principalmente se diferenciarán porque tales cantidades son medidas respecto de una dirección cenital diferente. Las cantidades astronómicas son medidas con respecto a un cenit definido por la dirección del vector gravedad, mientras que las cantidades geodésicas son definidas con respecto al cenit definido por una normal al elipsoide.

Φ

z’#

Λ

Norte Astronómico

A

ZCTS

Cenit Astronómico

Este

Vector Gravedad

Eje Z Paralelo

Plano del

Meridiano

Inicial

Meridiano Astronómico

160

Es posible también que las coordenadas difieran por el uso de diferentes polos de referencia y diferentes meridianos iniciales para los sistemas astronómicos y geodésicos. Idealmente nos gustaría que estos sistemas fuesen lo mismo, pero en realidad ésto no podría ser.

Para nuestra primera revisión analítica de las diferencias entre las coordenadas, supondremos, no obstante, que los ejes de rotación de la referencia astronómica y geodésica son paralelos. También supondremos que las longitudes y mediciones desde los meridianos iniciales son paralelos. Esta derivación sigue la efectuada por Heiskanen y Moritz (1967, pág. 184).

Ahora consideraremos una esfera unitaria relacionada con un punto A en la superficie de la Tierra como se muestra en la Figura 7.2. La intersección del eje de rotación del elipsoide con la esfera es designado P. (Note que hay solo un polo, ya que hemos asumido que los ejes de rotación astronómicos y geodésicos son paralelos). La normal al elipsoide que pasa a través de A intersecará a la esfera en ZG, el cenit geodésico en A. Ahora extendemos la dirección del vector gravedad en A de tal modo que interseque la esfera auxiliar en ZA lo cual es denominado cenit astronómico en A. Permitamos que m sea el punto de intersección de la línea de la visual y la esfera unitaria cuando el teodolito (nivelado respecto del vector gravedad) es apuntado a un objetivo M. Los puntos ZG y ZA son conectados a los punto P y m por círculos máximos. El arco mZA es la distancia cenital medida hasta el punto M y es denominada z’. El plano AZAm es el plano vertical en el punto A que pasa por M. El arco mZG es la distancia cenital geodésica y es designada como z. El plano AZGm es el plano de la sección normal directa desde A hasta M medida con respecto a la normal elipsoidal que pasa por A. Notamos que el arco ZAP es 90°- Φ. El plano AZGP del meridiano geodésico en A. El plano AZAP es el plano del meridiano astronómico en A. El ángulo ZGPZA = ( l∆ ) es el ángulo entre los meridianos astronómico y geodésico en A. Asumiendo que las longitudes astronómica y geodésica son calculadas desde el mismo meridiano inicial, tenemos:

λ−Λ=∆l (7.4)

También permitamos que el arco ZGZA sea θ lo cual es la deflexión total de la vertical en el punto A. El ángulo PZGZA es el acimut geodésico del plano (γ) AZGZA que contiene la deflexión total de la vertical en A. El acimut astronómico correspondiente del plano AZGZA es γ’.

161

Figura 7.2 La Esfera Celeste Mostrando Cantidades Astronómicas y Geodésicas

Dibujamos el arco ZAZ2 desde ZA perpendicular al meridiano geodésico PZG. Entonces el arco ZGZ2 es ξ el cual es la componente de la deflexión total a lo largo del meridiano. El arco ZAZ2 es η el cual es la componente de la deflexión total de la vertical en la dirección del primer vertical.

El acimut (sección normal) geodésico del plano AZGm es el ángulo PZGm el cual es designado α. El ángulo PZAm designado A es el acimut astronómico del plano AZAm.

Desde el triángulo esférico derecho ZAZ2P tenemos:

( ) ( )ξϕλ +Φ=−Λ cottancos (7.5)

( ) Φ−Λ= cossinsin λη (7.6)

α’

A

m

R

γ’

Z

P ZA

ZG

z’

z

q M

T

R

γ α

90° - ϕ

Λ- λ θ

η

ξ 90°- ϕ - ξ

162

Puesto que η y (Λ - λ) son ángulos pequeños y ϕ ≈ Φ, podemos escribir la ecuación (7.6) como:

( ) ϕλη cos−Λ= (7.7)

ó

( ) ϕηλ sec=−Λ (7.8)

Asumiendo que ( ) 1cos =−Λ λ en la ecuación (7.5) podemos mostrar que:

ξϕ =−Φ (7.9)

Las ecuaciones (7.7), (7.8) y (7.9) son las ecuaciones básicas que expresan las componentes ξ y η de la deflexión de la vertical en términos de coordenadas astronómicas y geodésicas.

Ellas son válidas solamente cuando los aspectos asumidos sobre el polo astronómico y geodésico, y los meridianos iniciales son válidos. Los valores de ξ y η definidos por esas ecuaciones son llamados deflexiones astrogeodésicas de la vertical. En consideración a que las coordenadas geodésicas dependerán de las dimensiones del elipsoide de referencia, y más generalmente, del datum geodésico usado para referenciar las coordenadas geodésicas, las deflexiones astrogeodésicas son cantidades dependientes del datum (geodésico).

Otras relaciones interesantes podrían ser derivadas del triángulo ZGZAZ2. Considerando el triángulo como si fuese plano podemos escribir:

22

sincos

tan

sin

cos

ηξγ

ηγ

ξθ

ξηγ

γθη

γθξ

+===

=

=

=

(7.10)

163

Si es necesario podríamos sustituir expresiones para ξ y η dentro de la ecuación (7.10).

Seguidamente consideramos la relación entre el acimut astronómico A y el acimut geodésico α. Para hacerlo primero designamos el ángulo mZGZA como R y el ángulo mZAT como R1. Entonces:

'1 γ

γα

+=

+=

RA

R (7.11)

Desde el triángulo ZGZAP en el cual el ángulo en ZA es 180°- γ’, tenemos:

( ) ( ) ϕλγλγγ sinsinsincoscos'cos −Λ+−Λ−=− (7.12)

Asumiendo ( ) ,1cos =−Λ λ ( ) ( )λλ −Λ=−Λsin , la ecuación (7.12) puede ser escrita como:

( ) ϕγλγλ sinsin'coscos −Λ=− (7.13)

Si sustituimos la ecuación (7.8) dentro de (7.13) obtenemos:

γϕηγγ sintan'coscos =− (7.14)

Ahora podemos usar las identidades trigonométricas dadas en la ecuación (5.12), por tanto tenemos:

( ) ( ) γϕηγγγγγγ sintan'21

sin'21

sin2'coscos =−+−=− (7.15)

Dejando ( ) γγγ =+ '21

y ( ) ( )2

''

21

sinγγγγ −=− , tenemos:

164

( ) ( ) ( )ϕλϕλγγ

ϕηγγ

−−Λ=−Λ=−

=−

o90cossin'

tan'

ó (7.16)

Ahora el triángulo esférico mZGZA es similar al triángulo ZGZAP en el sentido siguiente: el vértice P corresponde al vértice m, el ángulo q (en m) corresponde al ángulo ( )λ−Λ y los lados z’ y z corresponden a los lados 90°-Φ y 90°- Φ- ξ, γ’ corresponde a R1 y γ a R. Con esta analogía la última ecuación de (7.16) puede ser reescrita:

'cos1 zqRR =− (7.17)

Desde el triángulo mZGZA, tenemos:

'sinsin

sinsinzR

q θ= (7.18)

Puesto que q y θ son pequeños, qq ≈sin , y θθ ≈sin , la ecuación (7.18) podría ser usada en (7.17) para escribir:

'tansin

1 zR

RRθ=− (7.19)

Agregando las ecuaciones (7.16) y (7.19) tenemos:

ϕηθγγ tan'tan

sin)'()( 1 +=−+−

zR

RR (7.20)

Diferenciando las ecuaciones de (7.11) encontramos:

( ) ( )γγα −+−=− '1 RRA (7.21)

Ahora permitamos que γα −=R de tal forma que podamos usar la ecuación (7.20) en la ecuación (7.21) para escribir:

165

( )'tan

sintan

zA

γαθϕηα −+=− (7.22)

Expandiendo el seno en la diferencia de ángulos, queda:

'tansincoscossin

tanz

Aγαθγαθϕηα −+=− (7.23)

Usando la ecuación (7.10) podríamos sustituir γθcos y γθsin , y tomando z’ = z, podemos escribir:

zA

tancossin

tanαηαξϕηα −+=− (7.24)

La ecuación (7.24) también podría ser expresada de la forma siguiente:

( ) ( ) zA cotcossinsin αηαξϕλα −+−Λ=− (7.25)

Esta ecuación nos da la relación entre el acimut astronómico y geodésico como función de la deflexión astrogeodésica de la vertical. En muchas redes de triangulación o90≈z de modo que 0cot ≈z , y el último término en la ecuación (7.25) es despreciable. En este caso la ecuación (7.25) es escrita en una forma más familiar:

( ) ϕλϕηα sintan −Λ==−A (7.26)

Dado ϕλ ,,, AΛ podríamos usar la ecuación (7.26) para calcular α, el acimut geodésico de la línea. De (7.26) tenemos:

( ) ϕλα sin−Λ−= A (7.27)

La ecuación (7.26) y (7.27) son conocidas como las ecuaciones de Laplace. El acimut geodésico calculado desde la ecuación (7.27) es llamado el acimut de Laplace.

166

Escribiendo (7.25) en la forma de (7.27) obtenemos la ecuación de Laplace “extendida”.

( ) ( ) zA cotcossinsin αηαξϕλα −−−Λ−= (7.28)

o sustituyendo ξ y η usando (7.10)

( ) ( )( )λαϕϕϕαα −Λ−−−Φ−= zzA cotcoscossincotsin (7.29)

Con el objeto de calcular el acimut de Laplace es necesario observar el acimut y longitud astronómico de un punto dado y disponer de la longitud geodésica. (Veremos luego que un valor exacto de λ no es necesario, puesto que la ecuación de Laplace será usada en un ajuste de datos geodésicos). Las estaciones desde donde se efectúan tales observaciones son llamadas estaciones de Laplace. Tales estaciones han sido establecidas en la mayoría de las redes de triangulación. El espaciamiento de tales estaciones puede variar desde 10 hasta 300 km. dependiendo del tamaño de la red y la intención en la precisión de los resultados.

El propósito principal de incluir un acimut de Laplace en una red geodésica es proveer la orientación acimutal de la red, de tal modo que los errores de orientación sean distribuidos uniformemente en la red. Adicionalmente, el uso de las ecuaciones como (7.28) tienden a reforzar la condición de las suposiciones hechas en la derivación de la ecuación de Laplace; esto es, el paralelismo de los ejes polares y el paralelismo del meridiano inicial (Moritz, 1978, pág. 68).

En las redes geodésicas que están siendo desarrolladas hoy en día y en el futuro se ha visto reducida significativamente la necesidad de los acimut de Laplace, debido a la incorporación de determinación de posiciones mediante satélites dentro del ajuste de la red. Tales determinaciones proveen información de orientación y de escala que (con un espaciamiento apropiado entre las estaciones) refuerzan la red geodésica. La incorporación de tales posiciones dentro de la red es tratada por Moose y Henriksen (1976), Asquenazí (1981), Vincenty (1982) y muchos otros.

Uno de los últimos efectos que requiere ser considerado, es la discrepancia entre las distancias cenitales astronómicas y geodésicas. Para ello consideremos el triángulo mZGZA, como se muestra en la Figura 7.3, donde el arco ZGZ’ es perpendicular a mZA. Entonces la diferencia deseada z’-z será el arco ZAZ’.

167

Figura 7.3 Determinación de las Distancias Cenitales

Considerando el Triángulo ZGZAZ’ como un triángulo plano, tenemos:

( ) 11 cos180cos' RRZZ A θθ −=−= (7.29)

usando R1 de la ecuación (7.11) y observando que γαγ −≈− 'A

( ) ( )γαθγθ −−≈−−= cos'cos' AZZ A (7.30)

o expandiendo ( )γα −cos :

γαθγαθ sinsincoscos' −−=ZZ A (7.31)

usando la ecuación (7.10) podríamos escribir (7.31) como:

( )αηαξ sincos'' +−=−= zzZZ A (7.32)

El término ( )αηαξ sincos + es el componente de la deflexión de la vertical en la dirección α . Con la ecuación (7.32) podemos convertir una distancia cenital dada z’, en una distancia cenital geodésica z. Este procedimiento es necesario cuando las alturas están siendo obtenidas mediante nivelación trigonométrica.

m

Z’ R1

ZA

ZG

z’

z

168

7.2.1 Corrección de Direcciones por Efectos de la Deflexión de la Vertical

En una red de triangulación los ángulos horizontales son medidos con respecto a la dirección del vector gravedad en el punto. Lo que se desea para las aplicaciones actuales son las direcciones correspondientes con respecto a la normal elipsoidal que pasa a través del punto. Esto requiere una corrección a las direcciones observadas, la cual dependerá de las deflexiones de la vertical.

Para derivar esta corrección consideraremos la ecuación (7.28) la que es derivada para los acimuts. El término ( ) ϕλ sin−Λ− es constante en un punto dado, puesto que este depende solamente de Λ, λ y ϕ, y es independiente de la dirección. Este término expresa la influencia sobre el acimut de la no-coincidencia de los planos de meridianos astronómico y geodésico. El segundo término

( ) zcotcossin αηαξ −− expresa la influencia en las direcciones medidas de la no-coincidencia del eje vertical del instrumento y la normal de la superficie elipsoidal. Esto podría ser considerado como una corrección debido a la deflexión del eje vertical del instrumento desde la normal a la superficie del elipsoide de referencia dado.

Sea D la dirección corregida y D’ la dirección observada. Podemos escribir:

δ+= 'DD (7.33)

donde

( ) zcotcossin αηαξδ −−= (7.34)

En muchos esquemas de triangulación hemos notado que zcot podría ser cercano a cero y por tanto la corrección δ será despreciable. En áreas montañosas z podría alcanzar 60° de tal modo que δ podría alcanzar varios segundos de arco.

Es claro que para calcular la dirección de la corrección se necesitan valores de ξ y η. La forma más directa es realizar mediciones astronómicas en todos los sitios de la triangulación. Sin embargo, esto puede resultar demasiado oneroso en términos de tiempo y horas hombre, por lo cual técnicas alternativas podrían usar deflexiones existentes para predecir las deflexiones requeridas en sitios específicos. Tal procedimiento no es tan simple puesto que las deflexiones de la vertical son muy dependientes del terreno que rodea el sitio. Schwartz (1979) describe algunas consideraciones generales sobre este problema para Estados Unidos.

169

7.2.2 Ecuación Extendida de Laplace

La ecuación extendida de Laplace y las ecuaciones de la deflexión de la vertical tratadas en la sección 7.2 fueron basadas sobre la base de suposiciones de paralelismo definidas previamente. Para el análisis de la red existente, y para mejorar el entendimiento del problema es útil tener ecuaciones de deflexión de la vertical (incluyendo la ecuación de acimut de Laplace) que no consideran esas suposiciones.

Esta generalización ha sido tratada por Pick et al. (1973, pág. 430), Grafarend y Richter (1977), Vincenty (1982) y otros.

Dejemos que zyx ωωω ,, sean pequeños ángulos de rotación que describen la falta de orientación angular del sistema geodésico con respecto al sistema astronómico. Los ángulos de rotación son positivos en la dirección de los punteros del reloj cuando son vistos desde el origen de los ejes. Bajo estas circunstancias la relación entre los acimuts astronómico y geodésico puede ser escrita como (Vincenty, 1983, 01.20, comunicación privada),

( ) ( )( ) zyx aaazzA ωωωλαϕϕϕαα 321cotcoscossincotsin +++−Λ−−−Φ−=(7.35)

Las expresiones para 321 ,, aaa dependen de la interpretación de la falta de orientación. Los coeficientes dados en la Tabla 1 de Grafarend y Richter (1977) suponen una rotación del sistema de referencia astronómico. Otra interpretación considera un cambio en el sistema astronómico y un cambio resultante en las coordenadas geodésicas. Claramente podemos también considerar cambios en las deflexiones astrogeodésicas de la vertical debido a los cambios de los sistemas de coordenadas. Por ejemplo, los cambios en el acimut astronómico (dA ), latitud astronómica ( Φd ), y longitud astronómica ( Λd ) causados al ir de un sistema antiguo a un nuevo sistema podrían ser (Vincenty, 1982, pág. 240):

( )

( ) zyx

yx

yx

d

d

dA

ωλωλωϕ

λωλω

ϕλωλω

−+=Λ

+−=Φ

+=

sincostan

cossin

cos/sincos

(7.36)

170

Si suponemos ningún cambio en el sistema geodésico, los correspondientes cambios en las deflexiones de la vertical, podrían ser:

ϕη

ξ

cosΛ=

Φ=

dd

dd (7.37)

Una revisión más completa de este problema es dada por Vincenty (1983) y Vanicek y Carrera (1983).

7.3 Ondulación Astrogeodésica del Geoide

En forma resumida se observó en la sección 1 el concepto de geoide como una superficie irregular correspondiente al Nivel Medio del Mar (NMM) en las áreas oceánicas y su extensión en áreas continentales. La localización del geoide con respecto a un elipsoide puede ser especificada a través de las ondulaciones del geoide. También podemos localizar el geoide con respecto a un elipsoide específico de un datum geodésico dado usando deflexiones astrogeodésicas de la vertical.

En la Figura 7.4 se esquematiza el geoide con respecto al elipsoide de un datum geodésico.

Figura 7.4 Ubicación del Geoide con Respecto al Elipsoide de Referencia de un Datum Específico

En esta figura P es un punto en el elipsoide y P’ es el punto correspondiente en el geoide. La separación en una dirección vertical entre P y P’ es la ondulación

P es el punto en el ElipsoideP’ es el punto en el Geoide

Centro del Elipsoide Asociado con el Datum Geodésico

Elipsoide de Referencia

Superficie GeoidalP NAG

P’

• •

171

astrogeodésica, NAG. La cantidad es positiva cuando el geoide está fuera del elipsoide.

Para calcular las ondulaciones astrogeodésicas consideramos un perfil geoide-elipsoide en una dirección definida por el acimut α, según se muestra en la Figura 7.5.

Figura 7.5 Perfil Geoidal Astrogeodésico con Acimut α

El ángulo en A entre la normal elipsoidal y la normal de gravedad es la deflexión total de la vertical, ε, en la dirección de la sección escogida. Sea B un punto en el geoide, ubicado a una distancia diferencial, ds, de A. El cambio en la ondulación geoidal alejándose desde A a B es dN. De la Figura 7.5 podemos escribir:

dsdN−=ε (7.38)

Donde el signo menos es una convención introducida para mantener la consistencia de las definiciones previas de las deflexiones astrogeodésicas. Escribimos (7.38) como:

dsdN ⋅−= ε (7.39)

donde (desde (7.32))

αηαξε sincos += (7.40)

ε

ds d

ε

Normal al Normal al

Elipsoid

Geoid

BA

172

Ahora considere la integración de (7.39) desde el punto A hasta un punto (D) en una red. Tenemos desde (7.39) y (7.40):

( )∫ ∫ +−==−D

A

D

AAD dsdNNN αηαξ sincos (7.41)

Para evaluar (7.41) necesitamos ξ y η a lo largo de la ruta que conecta los puntos A y D. Notamos que (7.41) nos permite calcular solamente las diferencias de ondulación astro-geodésica. Para una ondulación “absoluta” es necesario que la ondulación sea definida en un punto de la red geodésica. En un número de casos es conveniente definir la ondulación astrogeodésica como cero en el punto origen del datum geodésico.

La implementación actual de (7.41) es efectuada por integración numérica usando estaciones vecinas. Si consideramos dos estaciones i y j separadas por una distancia sij, con componentes de la deflexión en cada estación, podemos escribir (7.41) como:

( ) ( )( )ijjiijjiij

ij

sN αηηαξξ sincos

2+++−= (7.42)

Con el objeto de calcular las ondulaciones astrogeodésicas en un área se pueden estimar y ajustar perfiles astrogeodésicos para formar un juego consistente de ondulaciones astro-geodésicas. Por ejemplo, considere la grilla mostrada en Figura 7.6

Figura 7.6 Grilla Astrogeodésica

D

L1

B A

C

173

En cada punto de la grilla podríamos tener deflexiones astrogeodésicas que son usadas para calcular las diferencias de ondulación. En un circuito tal como L1 la suma de las ondulaciones astrogeodésicas debe ser cero.

01

=∑L

ijN (7.43)

Este tipo de condición puede ser usado para formar un juego de ecuaciones de condición, como es efectuado en el ajuste de redes de nivelación, para una única y mejor estimación del juego de ondulaciones astrogeodésicas. Tal procedimiento fue esencialmente usado por Fischer et al (1967) en la producción de cartas astrogeodésicas de América del Norte y América Central. Carroll y Wessells (1975) describen un geoide astrogeodésico más reciente para Estados Unidos. Una versión más suavizada de este geoide, basado en una función polinomial de grado 15 de latitud y longitud es mostrada en Figura 7.7. Este mapa muestra las ondulaciones geoidales con respecto al Datum Norteamérico de 1927. Cuando el Datum cambia también lo harán las ondulaciones astrogeodésicas.

En la Figura 7.8 se muestran las ondulaciones astrogeodésicas del geoide dado con respecto al Sistema Geodésico Mundial de 1972 (WGS72) (Zeppelín, 1974b). Comparando las Figuras 7.7 y 7.8 claramente se revelan las diferencias que son asociadas con el uso de datum geodésico diferentes.

La precisión del cálculo es basada en varios factores. Un factor crítico se relaciona con las suposiciones de paralelismo efectuadas en la derivación de las ecuaciones de deflexión astrogeodésica. Si, por ejemplo, los meridianos iniciales de los sistemas astronómicos y geodésicos no son paralelos, ocurrirá un error constante en (principalmente) η el cual causará errores en las diferencias de ondulación astrogeodésica calculadas con la ecuación (7.42).

La precisión del cálculo de N∆ dependerá del espaciamiento de las estaciones astronómicas a lo largo del perfil. Un espaciamiento típico puede estar en el orden de 20 km. Sin embargo, en regiones montañosas este espaciamiento podría ser reducido a 10 o 15 km. para alcanzar una precisión comparable con las de áreas más planas. Basado en el análisis de cierre de circuitos Bomford (1980), pág. 366) publicó las siguientes estimaciones de precisión en la determinación de ∆N, basado solamente en los errores de interpolación:

174

Área Precisión (Desviación Estándar) de N∆

Alpes

India

Finlandia

± 0,012 Ll m

± 0,00052 Ll m

± 0,00036 Ll m

Donde l es el intervalo promedio, en km, entre estaciones astronómicas, y L es el largo total del perfil.

Otra fuente de error incluye aquel asociado con la longitud astronómica y con la posición geodésica y su determinación. Robbins (1977) publicó los errores totales de N∆ siguientes para áreas no montañosas, donde las deflexiones son determinadas para ± 0,7” y el espaciamiento típico es 25 km.

m ( N∆ ) Tipo de Línea

± 1,5 1000/L m

± 1,9 1000/L m

Norte – Sur

Este - Oeste

Para líneas cortas se puede esperar una mejor precisión. Wenzel (1978), por ejemplo, da las siguientes estimaciones de precisión de N, basado en un análisis en el área del Mar del Norte.

LNm 03,0)( ±=∆ m (7.44)

donde el espaciamiento de la estación típica fue 10 km.

Finalmente observamos que las cantidades astronómicas usadas para el cálculo de la deflexión de la vertical deben ser cantidades reducidas al geoide desde el punto de observación actual; y las posiciones geodésicas deben ser aquellas referidas al elipsoide basado en la reducción de todos los datos medidos para el elipsoide. Si este último procedimiento no es seguido deben efectuarse correcciones adicionales, como las describe Fischer (1967).

175

7.4 Reducción de Distancias Medidas al Elipsoide

Las distancias que son medidas en una red geodésica son usualmente reducidas, a lo menos en principio, al elipsoide sobre el cual los cálculos son efectuados. Tal reducción es análoga a la corrección de dirección de las deflexiones de la vertical tratadas en la sección 7.2.1.

En esta sección consideraremos dos casos de reducción. El primer caso se refiere al de la reducción de líneas base que han sido medidas con respecto a la vertical local. El segundo caso considera la reducción de distancia de cuerda medidas con equipos electrónicos de medición de distancia, lo cual es independiente de la dirección de la gravedad.

Para considerar el primer caso seguiremos Heiskanen y Moritz (1967, pág. 190). En la Figura 7.9 hemos medido una distancia ld sobre la superficie de la Tierra. La inclinación de la línea con respecto a la horizontal local es β, y la deflexión de la vertical en la dirección (α) de la línea es ε dado por (7.40). El elemento de línea diferencial paralelo al elipsoide es ds mientras que el elemento correspondiente en el elipsoide es ds0. Aproximamos el elipsoide a una esfera cuyo radio es el radio en la dirección α dado por la ecuación (3.104).

Figura 7.9 Reducción de la Línea Base (después de Heiskanen y Moritz, 1967)

ε β

ds

NA

HA

d�’’Horizonte Local

Elipsoide

R

ds0

d�

A

hA Geoide

B

176

El valor de ds es ld proyectado sobre una línea paralela al elipsoide:

( ) βεβεβ sincoscos lll dddds ⋅+=−= (7.45)

haciendo

dhd

dd

≈

=

β

β

sin

cos'

l

ll

Podemos escribir (7.45) en la forma:

dhdds ⋅+= ε'l (7.46)

'ld es la proyección ld sobre la horizontal local. Ahora necesitamos reducir ds a 0ds lo cual puede ser realizado mediante simple proporcionalidad.

Rh

RhR

dsds +=+= 1

0

(7.47)

donde NHh += , y donde H es la altura ortométrica (altura sobre el NMM) y N es la ondulación geoidal para un elipsoide específico. Sustituyendo (7.46) en (7.47) y manteniendo un término en la expansión de ( )Rh /1+ tenemos:

000 ' dsRh

dhddsRh

dsds −⋅+=−= εl

o dejando que

Rds

d 0=ψ (7.48)

tenemos

177

( )εψεψε +⋅−⋅+=⋅−⋅+= dhhdddhdhdds )(''0 ll (7.49)

Ahora consideremos una línea que va desde A hasta B. Integramos (7.49) entre los dos puntos para encontrar:

( )∫ +−−+=B

AAABB hdhhds εψεε'0 l (7.50)

Si la altura sobre el elipsoide es tomada como constante mh entre A y B, usando (7.48), podemos escribir (7.50) como:

( ) 00 ' sRh

hhhs mABmAABB −−−−+= εεεεl (7.51)

donde mh es la elevación media a lo largo de la línea. En (7.50) y (7.51) 'l es:

∫=B

A

d βcos' ll (7.52)

Lo cual es la suma de las componentes horizontales de las distancias medidas.

La ecuación (7.51) es la ecuación básica para la reducción de las líneas base medidas. Observamos que la aplicación de esta fórmula requiere información sobre la deflexión de la vertical y la ondulación geoidal para lograr reducciones apropiadas de las distancias. En algunas aplicaciones los efectos de las deflexiones han sido desapropiadamente omitidos. Los efectos de tales omisiones pueden ser críticos si las diferencias del punto final de elevación son grandes y/o las deflexiones son significativamente diferentes en el punto final de las líneas.

La geometría del segundo caso de reducción es mostrada en la Figura 7.10

178

Figura 7.10 Reducción de Distancias de Cuerda al Elipsoide

En esta figura el valor de h es la suma de las alturas ortométricas más la ondulación astro-geodésica. El radio de la esfera, R, es (RA(α) + RB(α))/2. En esta deducción, nuevamente seguimos a Heiskanen y Moritz (1967, pág. 192) y aproximamos el elipsoide a una esfera de radio R en el acimut determinado por (3.104). Usando la ley de cosenos en el triángulo 0AB tenemos:

( ) ( ) ( )( ) ψcos2222BABA hRhRhRhR ++−+++=l (7.53)

Si usamos la identidad

2sin21cos 2 ψψ −= (5.54)

podemos escribir (7.53) en la forma:

( )2

sin114 2222 ψ

+

++−=

R

h

R

hRhh BA

ABl (7.55)

Ahora la distancia de cuerda correspondiente entre los puntos reducidos al elipsoide sería:

Elipsoide

R

s0

�

A

hA Geoide

hB

B0

B

0

ψ

A0 �

179

2sin20

ψR=l (7.56)

que puede usarse en (7.55) para escribir (con AB hhh −=∆ ):

20

22 11 ll

+

++∆=

R

h

R

hh BA (7.57)

Resolviendo para 0l tenemos:

+

+

∆−=

Rh

Rh

h

BA 11

22

0

ll (7.58)

Ahora podemos usar las ecuaciones tales como (4.57) o (4.58) para reducir la distancia de cuerda a la distancia, s0, en el elipsoide. La exactitud de la ecuación (7.58) ha sido estudiada por Thomson y Vanicek (1974) hallándola adecuada para todo propósito práctico. Vincenty (1975) también consideró la reducción de distancias espaciales al elipsoide, incorporando deflexiones de la vertical con el fin de obtener diferencias de ondulaciones astrogeodésicas.

180

8 FÓRMULAS DIFERENCIALES DEL PRIMER Y SEGUNDO TIPO

Para aplicaciones tales como la formación de ecuaciones de observación para ajuste de triangulación y trilateración, y para la formación de ecuaciones útiles en la determinación del tamaño y forma de la Tierra, es necesario obtener ecuaciones que relacionen cambios diferenciales en varias cantidades. Tales ecuaciones son divididas en dos tipos. Fórmulas diferenciales del primer tipo son aquellas que producen cambios en las direcciones y coordenadas geodésicas como función de las coordenadas iniciales y acimut de la línea. Fórmulas diferenciales del segundo tipo son aquellas que producen correcciones para las coordenadas y direcciones resultantes de cambios en el radio ecuatorial y el parámetro que está definiendo la forma, tal como el achatamiento. La revisión de estas fórmulas diferenciales puede ser encontrada en Bagratuni (1967, pág. 280), Jordan (Vol. III, segunda mitad, pág. 439), Zakatov (1962, pág. 104), Grushinskiy (1969, pág. 84), y Tobey (1927).

8.1 Fórmulas Diferenciales del Primer Tipo

Supongamos que hemos calculado las coordenadas 22 ,λϕ y el retro-acimut 21α de un punto P2 basado en las coordenadas 11 ,λϕ del primer punto P1, y una distancia s y acimut 12α . Ahora deseamos encontrar el cambio en 22 ,λϕ y 21α si cambiamos 11 ,λϕ , 12α y s. Podríamos expresar esto analíticamente escribiendo lo siguiente:

1212

221

1

22 α

αϕϕϕ

ϕϕϕ dds

sdd

∂∂+

∂∂+

∂∂= (8.1)

11212

221

1

22 λα

αλλϕ

ϕλλ ddds

sdd +

∂∂+

∂∂+

∂∂= (8.2)

1212

21211

1

2121 α

αααϕ

ϕαα dds

sdd

∂∂+

∂∂+

∂∂= (8.3)

Observamos que en la ecuación (8.1) y (8.3) no aparece un término de longitud. Esto es por la simetría rotacional del elipsoide de referencia. Por conveniencia, las ecuaciones (8.1), (8.2) y (8.3) son escritas en la forma siguiente:

181

1212222

αϕ ϕϕϕϕ dddd s ++= (8.4)

12122212

αϕ λλλλλ ddddd s +++= (8.5)

21121212121

αϕ αααα dddd s ++= (8.6) La derivación de estas ecuaciones es simple para algunos casos y compleja para otros. Los autores mencionados previamente han obtenido cada uno diferentes soluciones para este problema. Bagranuti y Jordan han dado las expresiones más rigurosas. Zakatov y Grushinskiy dieron resultados similares, pero ciertos términos en un modo levemente diferente. Ahora derivamos algunos términos dados en las ecuaciones (8.4, 5, y 6). Primero consideramos el efecto de extender una geodésica de longitud s por una longitud diferencial ds. El efecto de esta extensión en el movimiento desde el punto F a F 2 es mostrado en la Figura 8.1. Figura 8.1 Efecto Diferencial de una Extensión Longitudinal G es un punto en el meridiano a través de F y en el paralelo a través de F2. Tenemos:

( )21

21

cos

180cos

αα

dsFG

dsFG

−=−=

(8.7)

También tenemos:

α 12 α 21

F

G

F2

ds

dλs2

dϕ s2

182

SdMFG 22 ϕ= (8.8) Igualando las ecuaciones (8.7) y (8.4) queda:

2

212

cosM

dsd s ⋅−= αϕ (8.9)

Luego calculamos GF2 como:

( ) dsdsGF ⋅−=−= 21212 sin180sin αα (8.10) También tenemos GF2 como:

sdNGF 2222 cos λϕ ⋅= (8.11) Igualando las ecuaciones (8.10) y (8.11) queda:

22

212 cos

sinϕ

αλ

Nds

d S ⋅−= (8.12)

Para obtener el cambio en el retro-acimut aplicamos la ecuación de Clairaut (4.81) para una geodésica escrita en la forma siguiente:

( )

'sincos

,180sincos

2122

2122

ccN

ó

cN

=−=

=−

αϕ

αϕ una constante (8.13)

Diferenciamos esta expresión suponiendo que todas las cantidades son variables. Por tanto:

( ) 0sincoscoscos 2122212122 =+ αϕααϕ NddN (8.14) Desarrollando la diferenciación de 22 cosϕN encontramos:

( ) 2222 sincos ϕϕϕ dMNd −= (8.15) Con esta última expresión sustituida en la ecuación (8.14) y efectuada la solución para 21αd conseguimos:

22

222121 tantan ϕϕαα d

NM

d = (8.16)

183

Hasta este punto la ecuación (8.16) es una ecuación general en el sentido de que un cambio de

2ϕd produce un cambio 21αd . Si estamos interesados en el efecto ds sobre 21αd , sustituimos la ecuación (8.9) en (8.16) para obtener:

dsN

d s

2

22121

tansin ϕαα

−= (8.17)

Seguidamente consideramos los efectos variados cuando el acimut en el primer punto es cambiado una cantidad 12αd . Esta situación es mostrada en la Figura 8.2 donde el punto F es el punto final original de la línea y F2 es el punto final después de la rotación. Figura 8.2 Efecto Diferencial de un Cambio de Acimut En la Figura 8.2 hemos dibujado el arco FG de tal modo que este es perpendicular al meridiano que pasa por F2. Adicionalmente, debido a la rotación, el ángulo FF2A se acercará a un ángulo recto, así el ángulo GF2F será 270-α21. Entonces vemos desde la figura que:

( ) ( ) 212212222 sin270coscos αα FFFFFGFFFGF −=−== (8.18) De lo visto en la Sección 4.22 tenemos:

122 αdwFF ⋅= (8.19) lo cual puede ser sustituido en (8.18) para escribir:

12212 sin αα dwGF −= (8.20) El lado GF2 podría también ser expresado como:

1222

αϕdM− (8.21)

dα 12

α 12

A

P

F2

G F

184

Donde el signo menos proviene del hecho que un incremento de 12α causará una reducción en la latitud. Igualando las ecuaciones (8.21) y (8.20) y resolviendo para 12

2αϕd encontramos:

122

212

sin12 α

αϕ α d

Mwd = (8.22)

Para encontrar el cambio en longitud debido a esta rotación, expresamos FG como sigue:

( ) ( ) 21221222 cos270sinsin αα FFFFGFFFFFG −=−== (8.23) Usando la ecuación (8.19) para FF2, y notando que:

12222 cos αλϕ dNFG = (8.24)

podemos despejar 12

2αλd de modo que:

1222

212 cos

cos12 αϕαλ α d

Nw

d−= (8.25)

Ahora nos abocamos a la derivación del cambio del retro-acimut 21α causado por 12αd . Para realizarlo consideramos la Figura 8.3: Figura 8.3 Cambio del Retro-Acimut Debido a 12αd En esta figura:

A

wdα 12

F2

F1

s

dα 12

α 12

ds

Meridiano a través de F1

F3

185

F1 = punto final original de la línea. F2 = nuevo punto final después de la rotación 12αd . F3 = punto en AF2 sobre el meridiano a través de F1. Ahora dejemos que 221 αα dd = donde 2αd es el acimut hacia delante en el punto 2 (esto es F1). Por ahora designamos el cambio total en 2αd como rd 2α . Consideraremos esto como la composición de dos cambios ( md 2α y ed 2α ). Como F1 se aproxima a F2, permitamos que

md 2α sea el cambio en 21α . Ahora también consideremos un cambio especial en 2αd cuando

F2 es desplazado ds = F2F3 hasta F3. Definimos esto como ed 2α . Podemos notar que el valor

de rd 2α es simplemente la suma de las correcciones:

emr ddd 222 ααα += (8.26)

Para encontrar md 2α notamos que es simplemente el cambio en retro-acimut según nos

movamos a lo largo de un meridiano. Figura 8.4 Detalle de los Efectos del Cambio de Retro-Acimut Tenemos: B = punto final original. C = punto final después de la rotación 12αd . D = punto en el meridiano a través de B, en la línea AC. F = punto en la línea original determinado por una línea paralela a BC. E = punto en una línea paralela a FB a través de D. Ahora DC representa un cambio de distancia causado por la rotación. Si 12αd es positivo ds es negativo. Para facilidad, trabajaremos con acimut hacia delante. En B el acimut hacia delante es FBD, mientras que en D este es CDB. La diferencia es el cambio requerido.

dα 2m

wdα 12

A E C D

B F

186

EDCFBDCDBd m =−=2α

tenemos:

DCCE

d m =2α donde CE = BC – DF y DC = -ds

entonces:

dsDFBC

d m −−=2α

Usando las definiciones de w, tenemos:

12αwdBC = Si observamos que yendo desde B a F w será ahora w+dw (dw será negativo), podemos expresar:

( ) 12αddwwDF += así:

( )ds

ddwwwdd m −

+−= 12122

ααα (8.27)

La ecuación (8.27) es válida para puntos que se mueven a lo largo de un meridiano. En nuestro particular caso, (8.27) es requerido en (8.26) como md 2α . Ahora necesitamos ed 2α el cual es

simplemente la ecuación (8.17):

2

2122

sintanN

dsd e

αϕα

−= (8.28)

In este caso ds = F2F3 y es expresado como:

2112 cotααwdds = (8.29) Combinando las ecuaciones (8.29), (8.28), (8.27) con (8.26) podemos escribir:

187

122

2122

costanα

αϕα d

Nw

dsdw

d

−= (8.30)

Recordaremos que esta ecuación permite el cambio en el retro-acimut en el segundo punto causado por el cambio de acimut en el primer punto considerando que 212 αα dd = . El valor de dsdw / podría ser encontrado diferenciando la ecuación (4.103). Esto podría permitir una serie de expresiones por lo cual es conveniente formular otra aproximación. Recordemos que:

21221211222 sincossincossincos αϕαϕαϕ NNN −== (8.31) Diferenciamos esto usando los resultados dados en (8.15), reconociendo que 1ϕ es una constante. Así:

1212112212222122 coscossinsincoscos ααϕϕαϕααϕ dNdMdN =+− (8.32) Ahora usamos el valor de 2ϕd de (8.22) en la ecuación de arriba para encontrar:

122

21212

2122

12112

sintantancoscoscoscos

αααϕ

αϕαϕ

α dN

wNN

d

+−

= (8.32a)

Considerando que las expresiones (8.30) y (8.32a) son lo mismo podemos despejar dw/ds y encontrar:

+−

=212

2

2122

1211

costan

coscoscoscos

αϕ

αϕαϕ

Nw

NN

dsdw

(8.33)

La derivación descrita en las últimas páginas representa solamente una porción de las derivaciones requeridas por las ecuaciones (8.4, 5, 6). Detendremos la continuación de estas derivaciones para resumir los cambios que hemos derivado y entregar otros, sin derivación, aunque estas podrían ser encontradas en la literatura. Tenemos:

121122

21122

12 coscossinsin1 ϕααααϕ ϕ d

dsdw

MM

d

+

−= , (Jordan, pág. 441)

dsM

d s

2

212

cosαϕ −= ; (nuestra ecuación (8.9))

122

212

sin12 α

αϕ α d

Mwd = ; (nuestra ecuación (8.22))

188

12122

21222

12 sincoscossin

cos1 ϕαααα

ϕλ ϕ d

dsdw

NM

d

−

= , (Jordan, pág. 442)

22

212 cos

sinϕ

αλ

Nds

d S ⋅−= ; (nuestra ecuación (8.12))

1222

212 cos

cos12 αϕαλ α d

Nw

d−= ; (nuestra ecuación (8.25))

122122

11

21

12122

2

112

121 tancossinsintancossinsin1 ϕϕαααϕαααα ϕ d

dsdw

NM

dsdw

dsdw

wM

NM

wM

d

+

−−=

(Jordan, pág. 442)

dsN

d s

2

22121

tansin ϕαα

−= ; (nuestra ecuación (8.17))

122

21212

2122

121121

sintantancoscoscoscos

12 αααϕ

αϕαϕ

α α dN

wNN

d

+−

= ; (nuestra ecuación (8.32))

ó

122

21221

costan12 ααϕ

α α dN

wdsdw

d

−= ; (nuestra ecuación (8.30))

El resumen de ecuaciones precedentes será referido como la ecuación ...... (8.34)

8.2 Fórmulas Diferenciales del Segundo Tipo

Con el objeto de determinar la influencia del cambio de los parámetros del elipsoide sobre el cálculo de las coordenadas y direcciones podemos diferenciar cualquiera de las ecuaciones derivadas para el problema directo, tales como (6.19) (las series de Legendre) o las ecuaciones de Puissant, tales como las dadas en la ecuación (6.40). Por conveniencia escogemos usar las ecuaciones (6.19) manteniendo los primeros términos solamente y dejando que las evaluaciones tengan lugar en una latitud media. Entonces escribimos:

( ) ( )( )2

2/3221212

3

12 1sin1coscos

cosea

ess

Ms

cV m

mm−

−===−

ϕαααϕϕ (8.35)

189

( ) ( )m

m

mmma

ess

Ns

cV

ϕϕα

ϕα

ϕαλλ

cossin1sin

cossin

cossin

2/1221212

12

−===− (8.36)

( ) ( ) mm

m

m Ns

scV

ϕλλϕα

ϕααα sintansin

tansin180 1212

1221 −===−− o (8.37)

Primero diferenciamos la ecuación (8.35) con respecto a a y e2. Luego queda:

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

−

−+

−−

−+−

−−=− 222

2/322

2

2/1222

2

2/322

212121

sin1

1

sin1sin

231

1

sin11cos de

e

e

e

ea

dae

e

asd mm

mm ϕϕ

ϕϕ

αϕϕ

(8.38) La cual puede ser escrita en la forma:

( ) ( )( )

−+

−−+

−−

−=− 2

2222

2

2/32212

12 11

sin11

sin23

1sin1cos

deeea

daea

esd

mm

m

ϕϕ

ϕαϕϕ

(8.39) Notamos que el primer término a la derecha de (8.39) es simplemente ( )12 ϕϕ − según es dado por la ecuación (8.35). Para transformar (8.39) en una forma simple recordamos que

22 2 ffe −= , luego:

( ) dfdffde 2122 ≈−= (8.40) Sustituyendo la aproximación de (8.40) en (8.39), y usando la ecuación (8.35) queda:

( ) ( ) ( )

−

−−

−−−=− dfeea

dad

m

m

ϕϕϕϕϕϕ

22

2

21212 sin1sin3

12

(8.41)

Dejando que ( )21 e− y ( )me ϕ22 sin1− se igualen a uno, en la ecuación (8.41), finalmente

obtenemos:

( ) ( ) ( )

−−−−=− df

ada

d mϕϕϕϕϕ 21212 sin32 (8.42)

Ahora diferenciamos la ecuación (8.36) con respecto a a y e2. Tenemos al inicio:

190

( ) ( ) ( )

−−

−−=−

−2

2/1222

2

2/12212

12 2sin1sinsin1

cossin

dea

e

a

daesd mmm

m

ϕϕϕϕα

λλ

(8.43) Simplificando queda:

( ) ( ) ( )

−

+−−

=− 222

22/12212

12 sin12sin

sin1cossin

deea

dae

as

dm

mm

m ϕϕ

ϕϕα

λλ (8.44)

Notamos que el primer término del lado derecho de la ecuación (8.44) es lo mismo que la ecuación (8.36), dejando que edfde =2 , y adoptando el término ( )me ϕ22 sin1− igual a uno,

la ecuación (8.44) puede ser escrita como:

( ) ( )

+−−=− df

ada

d mϕλλλλ 21212 sin (8.45)

Para encontrar los efectos del retro-acimut, primero diferenciamos la ecuación (8.37) en la forma siguiente:

( ) mdd ϕλλα sin1221 −= (8.46)

Entonces, usando la ecuación (8.45) por ( )12 λλ −d tenemos:

( )

+−−= df

ada

d mm ϕϕλλα 21221 sinsin (8.47)

Notamos que el primer término del lado derecho de la ecuación (8.47) es el cambio total del acimut, αd , en el movimiento desde el punto uno hasta punto dos. La derivación de arriba ha sido efectuada con varias aproximaciones. Consecuentemente las ecuaciones son solamente válidas para líneas de hasta 40-50 km para una precisión de 0,001”- 0,002”. Con el objeto de derivar expresiones más exactas es conveniente diferenciar las fórmulas de series de potencias extendidas tales como aquellas dadas en la ecuación (6.19). Los resultados de tales derivaciones son dados por Bragranuti (1967, pág. 286):

191

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

df

tt

adaV

d

mmmmm

mmmm

mmm

]tan21

tan21

tan2

tancos

2222

tancos3tan

27

2cos[

2

tancostan

23

4222242

12

22222

122222212

12

222

122

1212

++−+

+−−

−

++−−+

−−−−−−=−

ϕηϕηϕϕϕλλ

ηηϕϕϕϕ

ϕηηϕϕϕ

λλϕϕ

ϕϕηϕϕϕϕϕ

(8.48)

( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]

( ) ( )( )

df

ada

d

mmmmm

mmmm

m

]tan21

tan23

tantancos

tan21

tan21

tancos[

1tan

422222

1212422222

12

212121212

+−⋅

−−+

+−−−

−−−+−−=−

ϕηϕηϕϕϕ

ϕϕλλϕηϕηϕϕλλ

ηϕϕϕλλλλλλ

(8.49)

( ) ( )( ) ( )[ ]

( )

( )( ) dft

ada

d

mmm

mmmmm

mmmmm

]221

tantan1cos

tan21

tan21

tantancos[

tantan1costancos

2224231212

4222312

22212121221

++−−−−−

+−−−

−+−−+−−=

ηηϕϕϕϕϕλλ

ϕηϕηϕϕϕλλ

ϕηϕϕϕϕλλϕϕλλα

(8.50) Con esto concluimos la revisión de las fórmulas diferenciales del primer y segundo tipo. En la sección siguiente veremos como las fórmulas del primer tipo pueden ser usadas para desarrollar las ecuaciones de observación en triangulación y/o trilateración.

192

9 ECUACIONES DE OBSERVACIÓN PARA TRIANGULACIÓN Y TRILATERACIÓN CALCULADAS EN EL ELIPSOIDE

Las ecuaciones revisadas en la sección 8 nos permiten desarrollar las ecuaciones de observación para ser usadas con mediciones de acimut (direcciones) y distancias efectuadas para el control horizontal convencional. Específicamente, ahora necesitamos desarrollar ecuaciones que relacionen cambios en el acimut y distancias entre dos puntos con los cambios correspondientes de las coordenadas geodésicas. Nuestras observaciones siguen de cerca las efectuadas por Tobey (1928).

9.1 Relaciones Entre Distancias y Direcciones Primero considere el cambio en latitud de un segundo punto, causado por un cambio de distancia (ds) y un cambio de acimut (dα12) en el primer punto. De las ecuaciones (8.9) y (8.22) podemos escribir el efecto total de estos dos cambios como sigue:

dsM

dM

wd

2

2112

2

122

cossin αα

αϕ −= (9.1)

El efecto correspondiente en longitud es:

dsN

dNw

d22

2112

22

212 cos

sincoscos

ϕαα

ϕαλ −−= (9.2)

Usando la ecuación (8.17) y (8.30) el cambio total en α21 será:

dsN

dN

wdsdw

d2

21212

2

21221

sintancostan αϕα

αϕα −

−= (9.3)

Ahora deseamos resolver la ecuación (9.1), (9.2) y (9.3) para ds, dα12 y dα21 en términos de dϕ2 y dλ2. Para hacerlo, primero multiplicamos (9.1) por 2221 cos/cos ϕα N y la ecuación (9.2) por 221 /sin Mα . Entonces sumamos las ecuaciones resultantes para obtener:

221222212 sincoscos λαϕϕα dNdMds −−= (9.4) Seguidamente, multiplicamos la ecuación (9.1) por 2221 cos/sin ϕα N y la ecuación (9.2) por 221 /cos Mα− . Entonces sumamos las ecuaciones resultantes para obtener:

193

22122221212 coscossin λαϕϕαα dNdMwd −= (9.5) Si sustituimos el valor de ds y dα12 de (9.4) y (9.5) dentro de (9.3) encontramos:

21211221221 coscossin λαϕϕαα dNddsdw

Mwd += (9.6)

Teniendo estas tres ecuaciones para el caso donde un punto es libre de moverse, podríamos desarrollar fórmulas para el caso cuando ambos puntos extremos son libres de moverse. Para hacerlo, consideramos los puntos extremos finales originales en P1 y P2 desplazados una pequeña cantidad hasta T1 y T2 según es mostrado en la Figura 9.1. Figura 9.1 Movimientos Diferenciales de los Puntos Extremos de la Línea Primero consideramos P2 desplazado hasta T2, resultando cambios en distancias y acimut de las líneas designados como: aaa ddds 2112 ,, αα . Tales cambios podrían ser dados directamente por las ecuaciones (9.4), (9.5) y (9.6). También desplazamos P1 hasta T2 causando cambios adicionales bbb ddds 2112 ,, αα . Ignorando los efectos de mayor orden, el desplazamiento total debería ser la suma de esos dos juegos de desplazamientos. Por ello dejamos:

bat

bat

bat

ddd

ddd

dsdsds

212121

121212

ααα

ααα

+=

+=

+=

(9.7)

Ahora el valor de dsa está dado en la ecuación (9.4). Usando (9.4) el valor de dsb es:

112111121 sincoscos λαϕϕα dNdMdsb −−=

T

Pα1

Pα2

T

194

Entonces:

112111121221222122 sincoscossincoscos λαϕϕαλαϕϕα dNdMdNdMds t −−−−= (9.8) No obstante, tenemos por el teorema de Clairaut:

21221211 sincossincos αϕαϕ NN −= luego (9.8) se transforma en:

)(sincoscoscos 12212211212122 λλαϕϕαϕα ddNdMdMds t −−−−= (9.9) La ecuación (9.9) nos permite determinar la ecuación de observación de distancia requerida donde las distancias son consideradas como reducidas al elipsoide. Podríamos calcular el cambio de acimut en el primer punto usando la ecuación (9.5) para dα12a, y la ecuación (9.6) para dα21b, cuando son aplicadas al primer punto. Así:

+= 12122112112 coscossin

1 λαϕϕαα dNddsdw

Mw

d b (9.10)

Combinando ésta con (9.5) queda:

−−+= )(coscossinsin

11221221121221212 λλαϕϕαϕαα ddNd

dsdw

MdMw

d t (9.11)

Recordemos que el valor de w puede ser encontrado con la ecuación (4.103) mientras que dw/ds es encontrado con la ecuación (8.33). La ecuación (9.11) no es una forma simple para el cálculo; intentos de simplificación podrían ser efectuados para usarla en líneas de extensión reducida. La primera simplificación es hecha permitiendo que se adopte una esfera por el elipsoide, cuyo radio es el radio medio gaussiano en el primer punto. Entonces la expresión para w se transforma en:

Rs

Rw sin= (9.12)

de este modo:

195

Rs

dsdw

cos= (9.13)

Ahora insertamos (9.12) y (9.13) en (9.11) usando RNMM === 221 para encontrar:

( )12212

221

112

12

sin

coscos

sin

sin

tan

sinλλ

αϕϕ

αϕ

αα dd

Rs

d

Rs

d

Rs

d t −−+= (9.14)

Si expandimos la tangente y el seno en serie y retenemos solamente el primer término, tenemos:

( )12212

221

112

12

coscossinsinλλ

αϕϕ

αϕ

αα dd

sR

ds

Rd

sR

d t −−+= (9.15)

La ecuación (9.15) debería ser una aproximación para corregir la relación diferencial en la esfera, y una aproximación para la relación diferencial en el elipsoide (esto es la ecuación (9.11)). Para desarrollar la fórmula usualmente usada en la práctica, modificamos (9.11) suponiendo que w = s así dw/ds = 1. Entonces (9.11) se transforma en:

( ))(coscossinsin1

1221222212112112 λλαϕϕαϕαα ddNdMdMs

d t −−+≈ (9.16)

Es claro que (9.16) es solamente una aproximación a un resultado más preciso representado por (9.11). Olliver (1977) estudió la precisión de la ecuación (9.9) y (9.16) comparando cambios definidos rigurosamente para diferentes resultados. Para una línea de 50 Km de extensión el máximo error en acimut fue 0,008” y el error máximo en distancia fue 0,002 m, cuando los desplazamientos dados fueron 0,15”.

9.2 Las Ecuaciones de Observación

Ahora usamos las fórmulas de cambio diferencial para desarrollar las ecuaciones de observación de distancia y acimut. Escribimos una ecuación general de observación en la forma:

( ) vLdXXF

XF OBS +=∂∂+0 (9.17)

196

Donde F es la función que está relacionando las observaciones, OBSL , y los parámetros, X, del problema; dX son las correcciones para los valores aproximados X0, de los parámetros y v es la observación residual. Desde (9.17) escribimos:

( ) dXXF

LXFv OBS ∂∂+−= 0 (9.18)

En la sección (9.1) hemos desarrollado las expresiones para dXXF

∂∂

. Así para una

observación de distancia podemos escribir:

tOBSs dsssv +−= 0 (9.19) Donde dst es dado por la ecuación (9.9). En algunos casos un factor de escala desconocido (por ejemplo s(k-k0)) podría ser agregado a esta expresión cuando se sospechan inconsistencias de escala en los instrumentos y/o las redes. Ahora consideramos el caso donde observamos un juego de direcciones a varias estaciones. Después que ha sido desarrollado un ajuste de estación (Bomford, 1980, pág. 30), y después de las correcciones por divergencia de las normales de las secciones normales a las geodésicas, y también efectuadas las correcciones por las deflexiones de la vertical, las direcciones son designadas DI, D1...Di donde DI es la dirección a lo largo de la línea inicial. El acimut geodésico de esta línea inicial es αI el cual podría ser solamente conocido aproximadamente (αI0) entonces escribimos:

ZII += 0αα (9.20) Donde Z es conocido como la orientación o la corrección de la estación. Dadas las coordenadas geodésicas aproximadas de dos puntos relacionados con la línea I inicial, αI0 puede ser calculado exactamente. Los acimut “observados” (αI) para la línea i, en la estación, podrían ser:

IiIIiIi DDZDD +++=−+= 0ααα (921) Usando αi como la cantidad observada en (9.18) queda:

( ) tIiIii dZDDv 1200 ααα +−−+−= Donde αi0 es el acimut aproximado a lo largo de la línea i (calculado desde las coordenadas aproximadas) y dα12t podría ser dado, por ejemplo, por la ecuación (9.16). En general, cada estación para la cual un acimut aproximado inicial es usado tendrá una corrección de orientación asociada a éste.

197

9.3 La Ecuación de Observación de Acimut de Laplace Considere la ecuación de acimut de Laplace tal como es expresada en la ecuación (7.27)

( ) ϕλα sin−Λ−= AL (9.22) Solamente como valores aproximados de λ son conocidos αL el cual está sujeto a una corrección encontrada diferenciando (9.22) notando que A y Λ son cantidades observadas y que ϕ necesita ser conocido solamente en forma aproximada.

ϕλα sindd L = (9.23) Entonces consideramos que el acimut geodésico “observado” será como sigue:

LLOBS dααα += (9.24) Luego podemos expresar (9.18) como:

( ) tLL ddv 120 αααα ++−= (9.25) Usando (9.16) y (9.23), (9.25) puede ser expresado como:

112122

22122

2212

1121

0 sincoscoscoscossinsin

λϕαϕ

λαϕ

ϕα

ϕα

αα ds

Nd

sN

ds

Md

sM

v L

−+−++−=

(9.26) En (9.26) α0 es calculado usando las coordenadas aproximadas de dos puntos, y αL es calculado desde (9.22) usando las coordenadas observadas y las aproximadas. En el ajuste, el peso para la ecuación de observación de Laplace es determinado considerando la precisión de A y Λ que entran en (9.26).

9.4 Formas de Ecuaciones de Observación Alternas

Las técnicas usadas en las secciones previas son aquellas asociadas generalmente con el ajuste de redes geodésicas bidimensional clásico. Si una red es definida en tres dimensiones existe una simplificación considerable en el procedimiento de reducción,

198

puesto que los puntos están ahora en el espacio y no se requieren reducciones (ya sea por direcciones o distancias) al elipsoide. Una revisión de varias técnicas de ajuste tridimensional han sido dadas por Asquenazí y Grist (1983). Un procedimiento completo de ajuste tridimensional puede ser complicado por la necesidad de información astronómica y de alturas. Sin embargo, las ecuaciones de observación desarrolladas para un ajuste tridimensional pueden ser usadas para derivar nuevas ecuaciones de observación donde las cantidades astronómicas son consideradas conocidas y los datos de altura son considerados conocidos o se mantienen fijos. Bowring (1980) y Vincenty (1980b) observan varios aspectos de los nuevos procesos de ajuste lo cual es llamado un “ Ajuste de red con control de altura”. Una forma de desarrollar las nuevas ecuaciones de observación es simplemente establecer las alturas y correcciones de coordenadas astronómicas como cero. Entonces tenemos (Rapp, 1983, pág. 156) direcciones de sección normal (Di):

( ) 2524221100 λϕλϕ ddddddddZDDAAv IiID ++++−−+−= (9.27) Donde AI0 es el acimut astronómico aproximado de una línea inicial. Los coeficientes de la ecuación de observación son 5421 ,,, dddd . La ecuación de distancia de la cuerda podría ser:

252412110 λϕλϕ dfdfdfdfccv OBSc ++++−= (9.28) Bowring (1980) y Vincenty (1980) dan los coeficientes de la ecuación de observación para los nuevos modelos cuando la forma general es escrita como sigue:

( ) 22110 dvGduFGdvFduLXFv OBS −−++−= (9.29) donde:

( )

( ) λϕ

ϕ

dhNdv

dhMdu

cos+=

+= (9.30)

El sistema de alturas controladas tiene cierto número de ventajas sobre el sistema clásico usado por muchos años. Quizás el más importante es que no se desarrollan reducciones sobre las observaciones para llevarlas al elipsoide. Los acimut son considerados con respecto a la dirección del vector gravedad y las distancias son consideradas como cuerdas entre las estaciones. Una segunda ventaja es que el esfuerzo de cálculo es reducido en los nuevos modelos debido a que se necesitan pocas funciones trigonométricas.

199

10 DATUM GEODÉSICOS Y ELIPSOIDES DE REFERENCIA

10.1 Desarrollo de los Datums El propósito de este capítulo es introducir, resumidamente, el tema de los datums geodésicos y considerar su uso y unificación hoy en día. Los procedimientos para las actuales definiciones de datums y la determinación de los parámetros elipsoidales es descrito en Rapp (1983). Históricamente, los datums geodésicos han sido necesarios para el desarrollo de redes geodésicas. Estos datums usualmente proveen un punto inicial (ϕ0, λ0), un acimut inicial (α0) para fines de orientación, y parámetros del elipsoide. Para la simple definición de un datum geodésico son requeridos solamente cinco parámetros. La ascendente necesidad de control geodésico provocó que varios países desarrollaran sus propios datums. La obtención de datos más completos y confiables permitió que nuevos datums geodésicos fuesen definidos en forma más precisa. Algunos datums fueron definidos con parámetros elipsoidales de modo que las deflexiones astrogeodésicas pudieran ser pequeñas en un país. Datums pequeños (por ejemplo en islas) fueron definidos solamente a través de coordenadas astronómicas con parámetros elipsoidales tomados desde un origen no relacionado. Una lista de 58 datums geodésicos es dada en Rapp (1983). La determinación de parámetros elipsoidales ha sido activamente llevada a cabo desde el siglo XIX. Las técnicas para esos cálculos han usado una gran variedad de datos, incluyendo el análisis de las redes de triangulación, variaciones de la gravedad, posición de estaciones derivadas de satélites y altimetría por satélite. En 1909 la precisión formal en la determinación del radio ecuatorial estuvo en el orden de 18 m (Hayford, 1910) aunque el valor calculado tenía un error de 252 m. Hoy día, usando variadas técnicas de medición el radio ecuatorial de la tierra es conocido con un error de ± 1 m. A este nivel de precisión y mejores se torna importante tener definiciones precisas del significado de los parámetros elipsoidales. Tales definiciones son descritas por Rapp (1983). La Tabla (10.1) entrega parámetros de varios elipsoides usados en el pasado y de aquellos actuales. En algunos casos el achatamiento no está específicamente definido pero es derivado usando otras cantidades. Por ejemplo, los parámetros del elipsoide de Clark 1866 son definidos en términos de a y b. El achatamiento de los elipsoides de los Sistemas de Referencia Geodésicos es derivado de otros datos, primeramente los armónicos zonales de segundo grado del campo gravitacional de la Tierra que es precisamente definido a través del análisis del movimiento de los satélites. Para la Asociación Internacional de Geodesia, las estimaciones listada en esta tabla son las mejores estimadas al igual que los datos dados. Estas no son usadas para la definición de nuevos juegos de constantes.

200

Tabla 10.1 Parámetros Elipsoidales

Nombre del Elipsoide

Año Cálculo

Semi-eje Mayor a (m)

Achatamiento 1/f

Airy 1830 6377563,396 299,324964 Bessel 1841 6377397,155 299,152813

Clarke 1866 6378206,400 299,978698 Clarke (modificado) 1880 6378249,145 293,466300 Clarke 1880 6378249,145 293,465000

Everest 1830 6377276,345 300,801700 Internacional 1924 6378388,000 297,000000

Krassovski 1940 6378245,000 298,300000 Mercury 1960 6378166,000 298,300000

Mercury (modificado) 1968 6378150,000 298,300000 Nacional Australiano 6378160,000 298,250000

Sudamericano 1969 6378160,000 298,250000 Sistema de Referencia Geodésico

1967 6389160,000 298,2471674273

WGS72 1972 6378135,000 298,260000 Asociación Internacional de Geodesia

1975 6378140 ± 5 298,257 ± 0,0015

Sistema de Referencia Geodésico

1980 6378137,000 298,257222101

Asociación Internacional de Geodesia

1983 6378136 ± 1 298,257000

WGS84 1984 6378137,000 298,257223563

Asociación Internacional de Geodesia

1987 6378136,000

10.2 Transformación de Datum Históricamente, una de las reconocidas metas de la geodesia ha sido la obtención de coordenadas geodésicas en un sistema común. Este es un procedimiento difícil dado la cantidad de datum diferentes existentes en el mundo. Sin embargo, usando técnicas satelitales es posible determinar coordenadas rectangulares de un punto en un sistema coordenado definido que está cerca de ser geocéntrico. Si se adopta un juego de parámetros elipsoidales, las coordenadas rectangulares pueden ser convertidas a latitud, longitud y altura sobre el elipsoide de referencia. Si efectuamos observaciones satelitales en un punto cuyas coordenadas están definidas en un datum específico podemos comparar las coordenadas satelitales y las coordenadas del datum para obtener una conexión entre ambos sistemas.

201

Por simplicidad asumimos que el datum de nuestro sistema de coordenadas y el sistema satelital tienen un origen distinto pero sus ejes X, Y, Z son paralelos, según es mostrado en la Figura (10.2) Figura 10.2 Sistema Satelital (S) y Datum (D) con Ejes Paralelos Consideremos las coordenadas rectangulares de un punto P en el sistema de datum. Tales cantidades pueden ser calculadas desde la ecuación (3.152) donde h es la suma de la altura ortométrica (H) y la ondulación astrogeodésica (NAG):

( )

( )

( )( ) ϕ

λϕ

λϕ

sin1

sincos

coscos

2AGD

AGD

AGD

NHeNZ

NHNY

NHNX

++−=

++=

++=

(10.1)

Dejemos que ZYX ∆∆∆ ,, sean el desplazamiento de datum con respecto al sistema satelital, así:

ZZZ

YYY

XXX

DS

DS

DS

∆+=

∆+=

∆+=

(10.2)

El desplazamiento de datum puede ser obtenido con un número suficiente de estaciones donde las coordenadas son determinadas en ambos sistemas. Si entonces vamos a un

Zs P

∆Z Ys

Xs

XD

YD

ZD

∆Y

∆X

202

punto arbitrario y encontramos las coordenadas satelitales podremos sustraer el desplazamiento de datum para obtener las coordenadas del sistema de datum. Estas coordenadas pueden ser convertidas a coordenadas geodésicas usando los procedimientos descritos en la sección (6.8) donde son usados los parámetros del datum elipsoidal. Los modelos de datum convencional representados por la ecuación (10.2) son basados en la suposición de que los ejes de los dos sistemas son paralelos, que los sistemas tienen la misma escala y que la red geodésica ha sido calculada consistentemente. En la realidad ninguna de estas suposiciones es verdadera, luego los valores de ZYX ∆∆∆ ,, pueden variar desde un punto a otro tal como es mostrado por Leick y van Gelder (1975) para Estados Unidos. Una transformación más general involucra siete parámetros: tres traslaciones, tres rotaciones representando la ausencia de paralelismo de los ejes de los dos sistemas y un factor de escala representando la diferencia de escala entre ambos sistemas. Esta transformación más general puede ser representada como sigue:

DXY

XZ

YZ

DDSZ

Y

X

L

Z

Y

X

Z

Y

X

Z

Y

X

Z

Y

X

⋅

−−

−+∆⋅

+

∆∆∆

+

=

0

0

0

ωωωωωω

(10.3)

En esta ecuación ∆L es un parámetro de diferencia de escala y ωX, ωY, ωZ son las rotaciones sobre los ejes X, Y, Z para lograr el paralelismo con los ejes del sistema satelital. El desarrollo de la ecuación (10.3) y aplicaciones de esta transformación son revisadas en Rapp (1983). Si deseamos adoptar el modelo de transformación simplificado representado por la ecuación (10.2), podríamos utilizar los valores de desplazamiento de datum para ir desde un datum local al WGS84 (DMA, 1987). La Tabla (10.2) muestra los tres desplazamientos del origen de seleccionados datums para ir del sistema local al WGS84.

203

Tabla 10.2 Parámetros de Transformación de Sistema Geodésico Local a WGS84 (tomado del DMA TR 8350.2, 1987)*

Constantes Datums Geodésicos

(Elipsoides de Referencia) ∆∆X (m) ∆∆Y (m) ∆∆Z (m) ∆∆a (m) ∆∆f ×104

Arc 1950 (Clarke 1880)

-143 -90 -294 -112,45 -0,54750714

Geodésico Australiano 1984 (Nacional Australiano)

-134 -48 149 -23 -0,00081204

Cape (Clarke 1880)

-136 -108 -292 -112,45 -0,54750714

Europeo 1950 (Internacional)

-87 -98 -121 -251 -0,14192702

India (Everest)

214 836 303 860,655 0,28361368

Tokio (Bessel 1841)

-128 481 664 739,845 0,10037483

Sudamericano 1969** (Sudamericano 1969)

-75 -1 -44 -23 -0,00081204

Provisorio Sudamericano 1956** (Internacional 1924) Cercano a 19° Latitud Sur Cercano a 43° Latitud Sur

-270 ± 25 -305 ± 20

183 ± 25 243 ± 20

-390 ± 25 -442 ± 20

-251 -0,14192702

Hito XVIII 1963** (Internacional 1924) Cercano a 53° Latitud Sur

16 ± 25

196 ± 25

93 ± 25

-251 -0,14192702

* Departamento de Defensa, Sistema Geodésico Mundial 1984, Sus Definiciones y Relaciones con Sistemas Geodésicos Locales, DMA TR 8350.2, Washington, D.C., 1987. ** Parámetros para Chile

204

BIBLIOGRAFÍA

Ashkenazi, V., Models for controlling National and Continental Networks,

Bulletin Geodesique, 55, 1981.

Ashkenazi, V., and S. Grist, 3-D Geodetic Network Adjustment Models: Significance of Different Approaches, in Proc. 1983 General Assembly, International Association of Geodesy, published by Department of Geodetic Science and Surveying, The Ohio State University, Columbus, 1984.

Badi, K., Report on the Program Bowring Short Lines, Direct and Inverse, Department of Geodetic Science and Surveying, The Ohio State University, 1983.

Baeschlin, C.F., Textbook of Geodesy, Orell Füssli Verlag, Zurich, 1984.

Bagratuni, G.V., Course in Spheroidal Geodesy, 1962, translated from Russian, Translation Division, Foreign Technology Division, Wright-Patterson AFB, Ohio AD65 520, 1967.

Bartelme, N. and P. Meissl, Ein einfaches, rasches und numerisch stabiles Verfahren zur Bestimmung des kurzesten Abstandes eines Punktes von einem spharoidischen Rotationsellipsoid, Allegemeine Vermessungs-Nachrichter, Vol. 12, pp. 436-439, 1975.

Bomford, G., Geodesy, Oxford at the Clarendom Press, 4th edition, 1980.

Bowring, B., Transformation from Spatial to Geographical Coordinates, Survey Review, XXIII, 181, pp. 323-327,1976.

Bowring, B., Notes on Space Adjustment Coefficients, Bulletin Geodesique, 54, 191-200, 1980.

Bowring, B.R., The Direct and Inverse Problems for Short Geodesic Lines on the Ellipsoid, Surveying and Mapping, Vol. 41, N° 2, 135-141, 1981.

Bowring, B.R., The Direct and Inverse Solutions for the Great Elliptic Arc, Bulletin Geodesique, Vol. 58, 1984.

Carroll, D., and C. Wessells, A 1975 Astrogeodetic Geoid for the United States, presented at the XVI General Assembly, International Association of Geodesy, Grenoble, France, 1975.

Clarke, A.R., Geodesy, Oxford at Clarendon Press, 1980.

Clarke, David, Plane and Geodetic Surveying, Volume Two: Higher Surveying, Constable and Co. Ltd, London, 1957.

DMA, Index of Grid, Datums and Spheroids, 1982, prepared by the Defense Mapping Agency Hydrographic/Topographic Center, Washington, D.C.

205

20315, in Grids and Grid References, Technical Manual TM 5-241-1, Dept. of the Army, Washington, D.C., 25 March 1983.

Fisher, I., et al. Geoid Charts of North and Central America, Army Map Service Technical Report N° 62, Washington, D.C. October 1967.

Fisher, I., The Figure of the Earth – Changes in Concepts, Geophysical Survey, 2, 3-54, 1975a.

Fisher, I., Another Look at Eratosthenes’ and Posidonius’ Determinations of the Earth’s Circumference, Q. J1. R. Astr. Soc., 16, 152-167, 1975b.

Gan’shin, V.N., Geometry of the Earth Ellipsoid, Nedra Publishers, 1967, translated from Russian, 1969, ACIC-TC-1473, AD 689507, available from Clearinghouse, Springfield, Virginia 22151.

Grafarend, E., and B Richter, The Generalized Laplace Condition, Bulletin Geodesique, 51, 287-293, 1977.

Grushinskiy, N.P., The Theory of the Figure of the Earth, 1963, translated from Russian, 1969, FTD-HT-23-313-68, AD694748, available from Clearinghouse, Springfield, Virginia 22151.

Gupta, R.M., A Comparative Study of Various Direct and Inverse Formulae for Lines up to 800 km in Ellipsoid Geodesy, M.S. thesis, The Ohio State University, 1972.

Hayford, J., Supplementary Investigation in 1909 of the Figure of the Earth and Isostasy, U.S. Coast and Geodetic Survey, Washington, D.C., 1910

Heikkinen, M., Geschlossene Formeln Berechnung räumlicher geodätischer Koordinaten aus rechtwinkligen Koordinaten, Zeitschrift fur Vermessungswesen, Vol. 5, 207-211, 1982.

Heiskanen, W., and H. Moritz, Physical Geodesy, W.A. Freeman, San Francisco, 1967.

Helmer, F.R., Die Mathematischen Und Physikalischen Theorium Der Hoheren Geodasie, B.G. Teubner, Leipzig, 1880 (reprinted 1962), (translation by Aeronautical Chart and Information Center, St. Louis, 1964).

Hirvonen, R., and Moritz, Practical Computations of Gravity at High Altitudes, Report N° 27, Institute of Geodesy, Photogrammetry and Cartography, The Ohio State University, Columbus, 1963.

Hosmer, G., Geodesy, John Wiley and Sons, New York, second edition, 1930.

Howse, D., Greenwich Time and the discovery of the longitude, Oxford University Press, Oxford, England, 1980.

Jordan-Eggert, Jordan’s Handbook of Geodesy, translation of 8th edition, 1941 by Martha W. Carta, (U.S. Army Map Service, Washington, D.C., 1962).

Lambert, W.D. and C. Swick, Formulas and Tables for the Computation of Geodetic Positions on the International Ellipsoid, Special Publication N° 200, U.S. Coast and Geodetic Survey, Washington, D.C., 1935.

206

Lauf, G., Geodesy and Map Projections, TAFE Publications Unit, 37 Long-ridge St., Collingwood, Victoria 3066, Australia, 1983.

Leick, A., and B. van Gelder, On Similarity Transformations and Geodetic Network Distortions Based on Doppler Satellite Observations, Report N° 235, Department of Geodetic Science, The Ohio State University, Columbus, 1975.

Lewis, E.A., Parametric Formulas for Geodesic Curves and Distances on a Slightly Oblate Earth, Air Force Cambridge Research Laboratories, Note N° 63-485, April, 1963, AD412 501.

Meade, B.K., Comments on Formulas for the solution of Direct and Inverse Problems on Reference Ellipsoids Using Pocket Calculators, Surveying and Mapping, Vol. 41, N° 1, 1981.

Moose, E.R. and S.W. Henriksen, Effect of Geoceiver Observations Upon the Classical Triangulation Networks, NOAA Technical Report, NOS 66 NOS2, Rockville, Maryland, 1976.

Moritz, H., The Definition of a Geodetic Datum, in Proc., Second Int. Symposium on Problems Related to the Redefinition of North American Geodetic Networks, Supt. Of Documents, U.S. Govt. Printing Office, Stock N° 003-017-0426-1, Washington, D.C. 20402.

Mueller, I.., Spherical and Practical Astronomy as Applied to Geodesy, F. Ungar Publishing Co., New York, 1969.

Mueller, I., Reference Coordinate Systems for Earth Dynamics. A Preview, in Proc. Reference Coordinate Systems for Earth Dynamics, D. Reidel Publishing Co., Boston, 1981.

Olliver, S.G., Observation Equations for Observed Directions and Distances in Spheroidal Co-ordinates, Survey Review, XXIV, 184, 71-77, 1977.

Paul, M.K., A Note on Computation of Geodetic Coordinates from Geocentric (Cartesian) Coordinates, Bulletin Geodesique, N° 108, 135-139, June 1973.

Petty, J.E., and W.E. Carter, Uncertainties of Astronomic Positions and Azimuth, in Proc., Second Int. Symp. On Problems Related to the Redefinition of North American Geodetic Networks, NOAA, Stock N° 003-017-0426-1, Superintendent of Documents, Washington, D.C. 20402.

Pick, M., J. Picha, and V. Vyskocil, Theory of Earth’s Gravity Field, Elsevier Scientific Publishing Co., New York, 1973.

Rapp, R.H., Geometric Geodesy, Volume II (Advance Techniques), Department of Geodetic Science and Surveying, The Ohio State University, Columbus, 1983.

Robbins, A.R., Geodetic Astronomy in the Next Decade, Survey Review, XXIV, 185, 99-108, 1977.

207

Schwartz, C., Deflections of the Vertical, ACSM Bulletin, 65, 17-18, May 1979.

Seppelin, T., The Department of Defense World Geodetic System 1972, The Canadian Surveyor, Vol. 28, N° 5, 496-506,1974a.

Seppelin, T., The Department of Defense World Geodetic System 1972, presented at the International Symposium on Problems Related to the Redefinition of North American Geodetic Networks, University of New Brunswick, Fredericton, New Brunswick, 1974b.

Smith, J.R., Introduction to Geodesy, The History and Concepts of Modern Geodesy, J. Wiley & Sons, Inc., 1997.

Thomson, D.B., and P. Vanicek, Note on Reduction of Spatial Distances to a Reference Ellipsoid, Survey Review, XXII, 173, 309-312, 1974.

Tobey, W.M., Geodesy, Publication 11, Geodetic Survey of Canada, Ottawa, 1928.

Torge, W., Geodesy, pág. 1, 2nd Edition, W de Gruyter, New York, 1991.

Vanicek, P., and E. Krakiwsky, Geodesy, the Concepts, North-Holland Publishing Col, New York, 1982.

Vanicek, P., and Carrera, How much does reference ellipsoid misalignment affect deflection components and geodetic azimuth, Canadian Surveyor, 1983.

Vicenty, T., A Note on Reduction of Measured Distances to the Ellipsoid, Survey Review, XXIII, N° 175, 40-42, 1975.

Vincenty, T., Closed Formulas for the Direct and Reverse Geodetic Problems, Bulletin Geodesique, 51, 241-242, 1977.

Vincenty, T., Zur räumlich-ellipsoidischen Koordinaten-Transformation, Zeitschrift fur Vermessungswesen, Vol. 11, N° 105, pp. 519-521, 1980a.

Vincenty, T., Height Controlled Tree-Dimensional Adjustment of Horizontal Networks, Bulletin Geodesique, 54, 37-43, 1980b.

Vincenty, T., Methods of Adjusting Space System Data and Terrestrial Measurements, Bulletin Geodesique, 56, 231-241, 1982.

Vincenty, T., On the Role of Rotation Angles in Geodetic Problems, unpublished manuscript, 6 March 1983.

Wenzel, H.G., Astrogeodetic Geoid Around the North Sea, in Report N° 80 Wissenschaftliche Arbeiten der Lehrstuhle für Geodasie, Photo., und Kart., Technischen Universital Hannover, Hannover: FRG, 1978.

Zakatov, P.S., A Course in Higher Geodesy, Translated from Russian 1962, by Israel Program for Scientific Translation, for National Science Foundation, OST 61-31212.