MEJORA DE LOS SISTEMAS DE CARTOGRAFÍA DEL TERRITORIO COLOMBIANO

CAPITULO 1

GEODESIA

DEPARTAMENTO DE LA GUAJIRA RIOACHA, MARZO DE 2007

U n

Unión Europea Centro Internacional de Agricultura Tropical

TABLA DE CONTENIDO

1. GEODESIA 1

1. 1. HISTORIA 1 1. 2. DEFINICIÓN Y OBJETIVOS 3 1. 3. GEODESIA TEÓRICA 4 1. 4. GEODESIA FÍSICA 5 1. 5. GEODESIA CARTOGRÁFICA 6 1. 6. POSICIONAMIENTO 7

1. 6. 1. POSICIONAMIENTO DE PUNTOS 7 1. 6. 2. REDES DE PUNTOS 8 1. 6. 3. SISTEMAS DE COORDENADAS 8

1. 7. MERIDIANOS Y PARALELOS 10 1. 8. LONGITUD Y LATITUD 11

1. 8. 1. CÍRCULOS MÁXIMOS Y CÍRCULOS MENORES 11 BIBLIOGRAFÍA 12

BIBLIOGRAFÍA CITADA Y RECOMENDADA 12

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1. GEODESIA El problema de la figura de la tierra es uno de los más antiguos de la historia de la ciencia. Al principio la Tierra fue considerada como una superficie plana. Los filósofos griegos y los primeros cartógrafos la describieron y dibujaron de diversos modos: como un disco plano rodeado por agua; como un disco flotante; como un bote de agua; como un cilindro suspendido en el espacio; como un triángulo amortiguado por el aire comprimido; etcétera. Todas estas teorías primigenias se basaban en algún folclor particular o ideas teológicas. Aunque es claro que la teoría pitagórica de una Tierra esférica es la más cercana a la verdad, la idea de una Tierra plana se usa aún para levantamientos en áreas pequeñas. El levantamiento de una ciudad puede realizarse considerando que la Tierra es una superficie plana dentro de los límites de la ciudad; es decir, en áreas pequeñas se pueden determinar posiciones exactas sin considerar la forma y el tamaño de toda la Tierra. Así la expresión “figura de la Tierra” tiene varios significados de acuerdo al modo en que se use y a la precisión con que se determine la forma y tamaño de la Tierra. La superficie topográfica es más objetiva por su variedad de formas geomorfológicas e hidrográficas. Sobre esta superficie se realizan los levantamientos. Sin embargo, debido a su forma irregular no es adecuada para cálculos matemáticos exactos. La superficie topográfica generalmente es de interés para topógrafos e hidrógrafos. El concepto esférico pitagórico ofrece una superficie simple y fácil de tratar matemáticamente. (Figura 1) Se usa en muchos cálculos astronómicos y de navegación. Aunque la esfera es una buena aproximación a la verdadera figura de la Tierra, y es muy útil en diversas aplicaciones, no lo es cuando se desea medir distancias grandes. Se requiere entonces de una figura más exacta. La determinación de la forma de la tierra puede ser abordado desde dos perspectivas: el primero, de carácter geométrico, mediante el establecimiento de cadenas de triangulación, y el segundo, de carácter dinámico, mediante la determinación de su campo gravitacional. El primero implica la medición de longitudes de arcos de meridianos y paralelos, mientras que el segundo, la observación del campo gravitacional. Bajo este orden de ideas, el primero es tarea de la geodesia geométrica, y el segundo, de la geodesia física. 1. 1. HISTORIA1 La Geodesia, que tiene el mismo origen de la geometría, fue desarrollada en las altas culturas del oriente medio, con el objetivo de levantar y dividir las propiedades en parcelas. Las fórmulas usadas para calcular áreas, generalmente empíricas, fueron usadas por los agrimensores romanos y se encuentran también en los libros griegos, p.e. de Herón de Alejandría, que inventó la dioptra, el primer instrumento geodésico de precisión, que también permitía la nivelación que aumentaba la serie de instrumentos de la Geodesia (groma, gnómon, mira, trena). Perfeccionó

1 http://es.wikipedia.org/wiki/Geodesia

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aún el instrumento de Ktesíbios para medir grandes distancias. Alejandro Magno aún llevó 'Bematistas' para levantar los territorios conquistados. Después de descubrir la forma esférica de la Tierra (Ver Figura 1), Eratóstenes determinó por primera vez el diámetro del globo terráqueo. Hiparco, Herón y Ptolomeo determinaban la longitud geográfica observando eclipses lunares, en el mismo instante, en dos puntos cuya distancia ya era conocida por mediciones. Estos métodos fueron transferidos para la Edad Media a través de los libros de los Agrimensores romanos y por los Árabes, que también usaban el Astrolabio, el Cuadrante y el 'Bastón de Jacobo' para tareas geodésicas. Entre los instrumentos de la Geodesia, desde el siglo XIII, se encuentra también la brújula. En el siglo XVI, S. Münster y R. Gemma Frisius, desarrollaron los métodos de la intersección que permitía el levantamiento de grandes áreas. El nivel hidrostático de Heron, hace varios siglos olvidado, fue reinventado en el siglo XVII.

Figura 1. La Tierra vista como una esfera. Fuente: Mora, H. Modulo Geomática y Demografía. 2007

En la época Moderna Una nueva era de la Geodesia comenzó en el año 1617, cuando el holandés W. Snellius inventó la triangulación para el levantamiento de áreas grandes como regiones o países. La primera aplicación de la triangulación fue el levantamiento de Württemberg por W.Schickard. En esta época, la Geodesia fue redefinida como "la ciencia y tecnología de la medición y de la determinación de la figura terrestre". J. Picard realizó la primera medición de arco en el sur de París, cuyos resultados iniciaron una disputa científica sobre la geometría de la figura terrestre. El elipsoide de rotación, achatado en los polos, fue definido por Newton en 1687, con en su hipótesis de gravitación, y de Huygens en 1690, con base en la teoría cartesiana del remolino. La forma de un elipsoide combinó también con algunas observaciones antes inexplicables, p.e. el atraso de un reloj pendular en Cayenne, calibrado en París, observado por J. Richter en 1672, o el hecho del péndulo del segundo cuya longitud aumenta, aproximándose a la línea del ecuador. La Geodesia moderna comienza con los trabajos de Helmert, que usó el método de superficies en lugar del método de 'medición de arcos' y extendió el teorema de Claireau para elipsoides de rotación introduciendo el 'Esferoide Normal'. En 1909 Hayford aplicó este método para el territorio entero de Estados Unidos. En el siglo XX se formaron asociaciones para realizar proyectos de dimensión global como la Association géodésique internationale (1886 - 1917, Central en Potzdam) o la L'Union géodésique

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et géophysique internationale (1919). La Geodesia recibió nuevos empujes a través del vínculo con la computación, que facilitó el ajuste de redes continentales de triangulación, y de los satélites artificiales para la medición de redes globales de triangulación y para mejorar el conocimiento sobre el geoide. H. Wolf describió la base teórica para un modelo libre de hipótesis de una Geodesia tri-dimensional que, en forma del WGS84, facilitó la definición de posiciones, midiendo las distancias espaciales entre varios puntos veía a GPS, y vino el fin de la triangulación, y la fusión entre la Geodesia Superior y la Geodesia Inferior (la topografía). En la discusión para las tareas para el porvenir próximo de la Geodesia se encuentra la determinación del geoide como superficie equipotencial arriba y abajo de la superficie física de la tierra (W=0) y la Geodesia dinámica para determinar la variación de la figura terrestre con el tiempo para fines teóricos (datos de observación para la comprobación de la teoría de Wegener) y prácticos (determinación de terremotos, etc.). 1. 2. DEFINICIÓN Y OBJETIVOS2 El término Geodesia, del griego ?? ("tierra") y da??? ("divisiones" o "yo divido") fue usado inicialmente por Aristóteles (384-322 a.C.) y puede significar, tanto "divisiones geográficas de la tierra", como también el acto de "dividir la tierra", por ejemplo, entre propietarios. La Geodesia es, al mismo tiempo, una rama de las Geociencias y una Ingeniería. Trata del levantamiento y de la representación de la forma y de la superficie de la Tierra, global y parcial, con sus formas naturales y artificiales. La Geodesia también es usada en matemáticas para la medición y el cálculo sobre superficies curvas. Se usan métodos semejantes a aquellos usados en la superficie curva de la Tierra. La Geodesia suministra, con sus teorías y sus resultados de mediciones y cálculos, la referencia geométrica para las demás geociencias como también para a geomática, los Sistemas de Información Geográfica, el catastro, la planificación, la ingeniería, la construcción, el urbanismo, la navegación aérea, marítima y terrestre, entre otros e, inclusive, para aplicaciones militares y programas espaciales, debido a que tiene como principales propósitos:

?? Establecimiento y mantenimiento de redes de control geodésico tridimensionales, nacionales y global, reconociendo el tiempo como aspecto variante en dichas redes;

?? Medición y representación de fenómenos geodinámicos tales como movimiento polar,

mareas terrestres, y movimientos de corteza;

?? Determinación del campo de gravedad terrestre, incluyendo las variaciones temporales;

?? Determinación de parámetros, similar a los geodésicos, para otros cuerpos del sistema solar.

2 Mora, H. Modulo Geomática y Demografía. 2007; http://es.wikipedia.org/wiki/Geodesia;

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La geodesia superior o geodesia teórica, dividida entre la geodesia física y la geodesia matemática, trata de determinar y representar la figura de la Tierra en términos globales; la Geodesia Inferior, también llamada geodesia práctica o topografía, levanta y representa partes menores de la Tierra donde la superficie puede ser considerada plana. Para este fin, podemos considerar algunas ciencias auxiliares, como es el caso de la cartografía, de la fotogrametría, del cálculo de compensación y de la Teoría de Errores de observación, cada una con diversas sub-áreas. Además de las disciplinas de la Geodesia científica, existen una serie de disciplinas técnicas que tratan problemas de la organización, administración pública o aplicación de mediciones geodésicas, p.e. la Cartografía sistemática, el Catastro inmobiliario, el Saneamiento rural, las Mediciones de Ingeniería y el geoprocesamiento. 1. 3. GEODESIA TEÓRICA La observación y descripción del campo de gravedad y su variación temporal, actualmente, es considerada el problema de mayor interés en la Geodesia teórica. La dirección de la fuerza de gravedad en un punto, producido por la rotación de la Tierra y por la masa terrestre, como también de la masa del Sol, de la Luna y de los otros planetas, y el mismo como la dirección de la vertical (o de la plomada) en algún punto. La dirección del campo de gravedad y la dirección vertical no son idénticas. Las superficies perpendiculares a estas direcciones son superficies equipotenciales. Una de estas superficies equipotenciales (la Geoide) es aquella superficie que más se aproxima al nivel medio del mar. El problema de la determinación de la figura terrestre es resuelto para un determinado momento si es conocido el campo de gravedad dentro de un sistema espacial de coordenadas. Este campo de gravedad también sufre alteraciones causadas por la rotación de la Tierra y también por los movimientos de los planetas (mareas). Conforme el ritmo de las mareas marítimas, también la corteza terrestre, a causa de las mismas fuerzas, sufre deformaciones elásticas: las mareas terrestres. Para una determinación del geoide, libre de hipótesis, se necesita en primer lugar de mediciones gravimétricas - además de mediciones astronómicas, triangulaciones, nivelaciones geométricas y trigonométricas y observaciones por satélite (Geodesia por Satélite).

Figura 2. Anomalías en el campo gravitatorio de la Tierra. Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Geodesia

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1. 4. GEODESIA FÍSICA La mayor parte de las mediciones geodésicas se aplica en la superficie terrestre, donde, para fines de determinaciones planimétricas, son marcados puntos de una red de triangulación. Con los métodos exactos de la Geodesia matemática se proyectan estos puntos en una superficie geométrica, que matemáticamente debe ser bien definida. Para este fin se suele definir un Elipsoide de rotación o Elipsoide de referencia. (Ver Figura 3) Existe una serie de elipsoides que antes fueron definidos para las necesidades de apenas un país, después para los continentes, hoy para el Globo entero, en primer lugar definidos en proyectos geodésicos internacionales y la aplicación de los métodos de la Geodesia de satélites. Además del sistema de referencia planimétrica (red de triangulación y el elipsoide de rotación), existe un segundo sistema de referencia: el sistema de superficies equipotenciales y líneas verticales para las mediciones altimétricas.

Figura 3. Ejemplificación de un Elipsoide

Según la definición geodésica, la altura de un punto es la longitud de la línea de las verticales (curva) entre un punto P y el geoide (altura geodésica). También se puede describir la altura del punto P como la diferencia de potencial entre el geoide y aquella superficie equipotencial que contiene el punto P. Esta altura es llamada de Cota Geopotencial. Las cotas geopotenciales tienen la ventaja, comparándolas con alturas métricas u ortométricas, de poder ser determinadas con alta precisión sin conocimientos de la forma del geoide. (Nivelación) Por esta razón, en los proyectos de nivelación de grandes áreas, como continentes, se suelen usar cotas geopotenciales, como en el caso de la compensación de la 'Red única de Altimetría de Europa'. En el caso de tener una cantidad suficiente, tanto de puntos planimétricos, como también altimétricos, se puede determinar el geoide local de aquella área. El área de la Geodesia que trata de la definición local o global de la figura terrestre generalmente es llamada de Geodesia Física, para aquella área, o para sus sub-áreas. También se usan términos como Geodesia dinámica, Geodesia por satélite, Gravimetría, Geodesia astronómica, Geodesia clásica, Geodesia tri-dimensional.

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Figura 4. Esquema mostrando: (1) la superficie de los océanos, (2) el elipsoide, (3) la dirección de la plomada, (4) los continentes, (5) el geoide. Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Geodesia

1. 5. GEODESIA CARTOGRÁFICA En la Geodesia matemática se formulan los métodos y las técnicas para la construcción y el cálculo de las coordenadas de redes de puntos de referencia para el levantamiento de un país o de una región. Estas redes pueden ser referenciadas para nuevas redes de orden inferior y para mediciones topográficas y registrales. Para los cálculos planimétricos modernos se usan tres diferentes sistemas de coordenadas, definidos como 'proyecciones conformes' de la red geográfica de coordenadas: la proyección estereográfica (para áreas de pequeña extensión), la proyección 'Lambert' (para países con grandes extensiones en la dirección oeste-este) y la proyección Mercator transversal o proyección transversal de Gauss (p.e. UTM), para áreas con mayores extensiones meridionales. (Figura 5) Según la resolución de la IUGG (Roma, 1954) cada país puede definir su propio sistema de referencia altimétrica. Estos sistemas también son llamados 'sistemas altimétricos de uso'. Tales sistemas de uso son, p.e., las alturas ortométricas, que son la longitud de la línea vertical entre un punto P y el punto P', que es la intersección de aquella línea de las verticales con el geoide. Se determina tal altura como la cota Geopotencial c a través de la relación, donde es la media de las aceleraciones de gravedad acompañando la línea PP', un valor que no es conmensurable directamente, y para determinarlo se necesita de más informaciones sobre la variación de las masas en el interior de la Tierra. Las alturas ortométricas son exactamente definidas, su valor numérico se determina apenas aproximadamente. Para esa aproximación se usa también la relación (fórmula) donde la constante es la media de las aceleraciones de gravedad.

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Figura 5. Diferentes Proyecciones. Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Geodesia

1. 6. POSICIONAMIENTO Las posiciones geográficas pueden ser determinadas de diferentes formas, usando diferentes instrumentos o sistemas de instrumentos. Una posición puede ser determinada ?? Con respecto a un sistema de coordenadas ?? Con respecto a un punto ?? Dentro del contexto de varios puntos.

1. 6. 1. Posicionamiento de Puntos Por posicionamiento se entiende la determinación de posiciones de objetos estacionarios o móviles (Vaniceck y Krakiwsky, 1986, en Mora, 2002). Estas posiciones pueden ser determinadas

?? Con respecto a un sistema de coordenadas bien definido, usualmente de tres valores de coordenadas: posicionamiento de punto

?? Con respecto a otro punto, el cual es tomado como el origen de un sistema local de coordenadas: posicionamiento relativo o diferencial.

Puede también ser divididos

?? Si el objeto por ser posicionado es estacionario: posicionamiento estático. ?? Si el objeto se está moviendo: posicionamiento cinemático.

Posicionamiento Relativo El posicionamiento relativo, usando métodos terrestres es más simple que el posicionamiento de punto, especialmente si los dos puntos son intervisibles. Existen varias técnicas de posicionamiento relativo, basadas en una variedad de conceptos geométricos y físicos. Esta clase de posicionamiento es el modo básico usado en los levantamientos tradicionales. Cualquier sistema local de coordenadas puede ser usado. Cuando los instrumentos son usados para posicionamiento relativo, es posible usarse el Sistema Local Astronómico (LA). Sin embargo, otros sistemas pueden ser igualmente empleados.

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1. 6. 2. Redes de Puntos Es usualmente una ventaja conectar un conjunto de puntos mediante una red. Este modo es normalmente utilizado para puntos estacionarios, apropiadamente materializados. Esto se hace cuando existe la necesidad de efectuar re-ocupación de estos puntos de manera individual. Cuando estos puntos han sido posicionados de manera conjunta, son conectados por medio de cadenas redundantes, lo cual permite una configuración de la red más fuerte. En una red, cada cadena puede ser considerada como el vector entre un par de estaciones, y cada par de puntos adyacentes como un par de puntos posicionados relativamente con respecto a otro punto. Si todos los vectores entre estaciones son conocidos, derivados de las respectivas observaciones, la red puede servir como medio para obtener posiciones. Desde este punto de vista, la red puede ser considerada como un modo incremental. Por tanto, es objeto de acumulación de errores, y debe tenerse en cuenta la propagación de dichos errores. Los puntos enlazados entre sí por una red son llamados puntos de control. Para posicionamiento de precisión, generalmente se emplean las técnicas de posicionamiento relativo. Estas técnicas han servido como la base para el posicionamiento geodésico. Desde que los instrumentos ópticos tales como teodolitos, niveles, distanciómetros, han sido empleados exclusivamente para realizar observaciones entre estaciones, los enlaces entre puntos adyacentes son limitados a la existencia de visual entre los mismos. Una red de control geodésico horizontal es una red mediante las cuales las coordenadas de latitud y longitud de los puntos de control son determinadas con la mayor precisión posible, siendo las alturas obtenidas de menor rango de precisión. Una red de control geodésico vertical o red de nivelación geodésica corresponde a los puntos de control vertical (BM : bench mark o NP) cuyas alturas son obtenidas con alta precisión. 1. 6. 3. Sistemas de coordenadas Un sistema de coordenadas es un sistema de referencia para definir puntos en el plano o en el espacio con relación a ejes, planos o superficies. En geodesia, topografía y cartografía, se emplean tres tipos: ?? Rectangular, en el cual un punto es definido por la distancia desde el origen de dos o tres

ejes mutuamente perpendiculares al punto en consideración. ?? Plano-polar, en el cual, un punto en el plano es definido por la distancia del origen a lo

largo de una línea con una dirección determinada. ?? Esférico, en el cual un punto en la superficie es definido por los ángulos entre una

normal o un radio a través de un punto y dos planos perpendiculares. Sistemas Básicos de Coordenadas Hay varios sistemas básicos de coordenadas que son ampliamente usados. Dichos sistemas pueden representar la posición de puntos en espacios bi y tri-dimensionales. Descartes

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introdujo un sistema de coordenadas basado en coordenadas ortogonales, y el cual es comúnmente referido como sistema cartesiano. Otros sistemas, basados en ángulos y líneas son usualmente conocidos como sistemas polares de coordenadas. Un sistema plano de coordenadas puede ser expresado en dos formas: ?? Sistema bidimensional o sistema plano de coordenadas, definido sobre y con respecto a

un plano sencillo. ?? Sistema tridimensional, definido con respecto a dos planos ortogonales. En un sistema

cartesiano de coordenadas, con los ejes X, Y, Z, la posición de un punto P es determinada por su vector posición, donde XP, YP, ZP son números reales. (Figura 6)

????

?

?

????

?

?

?

p

p

p

Z

Y

X

P

Figura 6. Plano Cartesiano Tridimensional. Coordenadas (x,y,z) del punto P. Fuente: Mora, H. Modulo Geomática y Demografía. 2007

Por analogía, el sistema de coordenadas polares tienen igualmente expresión tanto en un plano bidimensional como en un plano tridimensional. (Figura 7 Izquierda)

Figura 7. Coordenadas Polares. Izquierda: Plano Bidimensional. Derecha: Plano Tridimensional Fuente: Mora, H. Modulo Geomática y Demografía. 2007

La relación entre coordenadas cartesianas y polares en un plano bidimensional esta dada por las siguientes ecuaciones:

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??

?

senrYrX

XY

YXr

????

???

????

??

?

cos

tan 1

22

El sistema de coordenadas polares 3D o sistema de coordenadas esféricas involucra la distancia desde el origen y dos ángulos. La posición del punto P es descrita como (r,?,?), donde r = distancia desde el origen O, ??= ángulo horizontal medido en el plano XY desde el eje X, en el sentido de las manecillas del reloj, y ??= el ángulo medido desde el eje Z. (Figura 7 Derecha)

?????????

?

?

coscos)cos(

coscos)(

tan

22

1

222

??????????????

??

???

????

???

?

rZsenrsenrY

senrsenrXZ

YX

XY

ZYXr

1. 7. MERIDIANOS Y PARALELOS El movimiento de rotación de la tierra proporciona dos puntos naturales, los polos, sobre los cuales se basa una red geográfica, formada por la intersección de líneas imaginarias inscritas en el globo terráqueo, con el propósito de determinar la posición de los puntos sobre la superficie. La red consiste de un conjunto de líneas trazadas de norte a sur, pasando por los polos, denominadas meridianos, y otro conjunto de líneas, paralelas al plano del Ecuador, llamados paralelos. Los meridianos son semicírculos máximos, cuyos extremos corresponden a los polos norte y sur. Los meridianos tienen las siguientes características:

?? Un par de meridianos opuestos conforman un círculo máximo. ?? Los meridianos presentan máxima separación en el ecuador, y convergen hacia los polos ?? Se pueden trazar infinito número de meridianos.

Los paralelos son círculos menores completos, formados por planos paralelos al Ecuador, que cortan a la tierra en cada latitud. Tienen las siguientes características:

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?? Los paralelos cortan a los meridianos formando ángulo recto. ?? Todos los paralelos, a excepción del Ecuador, son círculos menores; el Ecuador es un

círculo máximo. ?? Se pueden trazar infinitos paralelos.

1. 8. LONGITUD Y LATITUD La localización de los puntos sobre la superficie terrestre sigue un sistema que corresponde a la medición de longitudes de arco a lo largo de los meridianos y los paralelos. La longitud de un lugar es el arco de paralelo, medido en grados, entre dicho lugar y el meridiano de referencia, o meridiano principal, es decir, el meridiano de Greenwich, al cual se le ha asignado el valor de 0° de longitud. La latitud de un lugar es el arco de meridiano, medido en grados, ente dicho lugar y el paralelo de referencia, es decir, el Ecuador. Si la tierra fuera una esfera perfecta, la longitud de 1° de arco de meridiano serían un valor constante independiente de la latitud del lugar. Teniendo en cuenta el achatamiento de la tierra, dicha longitud varía desde el Ecuador hacia los polos. 1. 8. 1. Círculos Máximos y Círculos Menores Con el propósito de análisis en algunos estudios de geografía y de cartografía, la Tierra puede ser considerada como una esfera. Bajo esta presunción, cuando una esfera se divide exactamente por la mitad mediante un plano que pase a través de su centro, la intersección del plano con la esfera determina el mayor círculo posible de ser trazado, al cual se le conoce como círculo máximo. Los círculos originados por planos que cortan la esfera sin atravesar el centro, son por supuesto, más pequeños que el círculo máximo, y se denominan círculos menores. Los círculos máximos tienen especial aplicación en la navegación. Las embarcaciones aéreas y marítimas navegan sobre la línea correspondiente al círculo máximo, siempre y cuando no existan otros factores que no aconsejen su uso.

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BIBLIOGRAFÍA Bibliografía Citada y Recomendada Wikipedia. Geodesia. – [Cited 22 Febrero de 2007]. Disponible desde Internet: < http://es.wikipedia.org/wiki/Geodesia > Mora, H. Geodesia y Cartografía. En: Modulo Geomática y Demografía. Manizales, Colombia. 2007. 25 p.