geodesia v213

Instituto Superior de Engenharia do Porto

ELEMENTOS DE GEODESIA

por

António Pestana

Versão 2.13 Setembro de 2013

ÍNDICE

Introdução ..................................................................................................................... 1

A Superfície Esférica.................................................................................................... 2

A Superfície Elipsoidal ................................................................................................ 2

Parâmetros e Medidas Elipsoidais ............................................................................ 2

Elipsóides em Uso .................................................................................................... 3

A Superfície Geoidal .................................................................................................... 6

Coordenadas usadas em Geodesia ................................................................................ 6

As Coordenadas Naturais ......................................................................................... 6

As Coordenadas Geodésicas Elipsoidais .................................................................. 8

As Coordenadas Geodésicas Rectangulares ........................................................... 10

Os Referenciais em Geodesia ..................................................................................... 10

Data Geodésicos Clássicos ..................................................................................... 11

Data Geodésicos Geo-Espaciais ............................................................................. 14

Os conceitos de TRS e de TRF .......................................................................... 15

O Datum WGS84 ............................................................................................... 16

Os Data ITRF ..................................................................................................... 17

O ETRS89 .......................................................................................................... 19

Datum Altimétrico .................................................................................................. 22

Data geodésicos utilizados no território nacional....................................................... 24

Rede de Nivelamento Geométrico e Rede Geodésica ................................................ 26

A Transformação de Coordenadas ............................................................................. 29

A Transformação de Coordenadas Naturais em Geodésicas Elipsoidais ............... 30

A Transformação de Coordenadas Elipsoidais em Rectangulares ......................... 31

Mudanças de Datum ............................................................................................... 33

Modelo de Bursa-Wolfe (transformação dos sete parâmetros) .......................... 34

Os modelos de Molodensky ............................................................................... 40

Bibliografia e Referências .......................................................................................... 47

Página em branco

António Pestana Elementos de Geodesia 1

Introdução

O texto que se segue deriva, em grande parte, do excelente “Topografia (Geodesia &

Cartografia)” da autoria do Prof. João Casaca, mencionado na bibliografia.

A definição de um sistema de coordenadas global, aplicável a todo o globo terrestre,

obriga ao prévio conhecimento da forma e das dimensões da Terra. Quando analisada no seu

conjunto, a superfície terrestre é extremamente lisa: mesmo as mais altas montanhas e as mais

profundas depressões existentes na sua superfície são virtualmente indetectáveis sobre a suave

curvatura global do nosso planeta. Admita-se que pretendemos representar o globo terrestre

por uma esfera com 25 centímetros de diâmetro; tomando para diâmetro médio da Terra o

comprimento de 12 734 Km, então o cume do Monte Everest (8 850 metros de altitude) será

assinalado nessa esfera por uma elevação de 0.18 milímetros enquanto que à fossa das

Marianas corresponderá um rasgo com 0.22 milímetros de profundidade (Robinson et alii,

1995)!

Ao longo de milénios, a idealização da forma geral da Terra evoluiu desde o modelo

da superfície plana até aos modelos esféricos suficientemente aproximados para permitirem

explorar, navegar e cartografar todo o planeta. Em 1670, na sequência da formulação da sua

Teoria da Gravitação Universal, Newton previu que a Terra, devido ao movimento de rotação

em torno de si mesma, deveria apresentar uma configuração ligeiramente achatada nos pólos

(achatamento de cerca de 1/300). No entanto, as medições efectuadas em França pelo abade

Picard e por Cassini, efectuadas em finais do século XVII e início do século XVIII,

contrariavam a previsão de Newton. Para por termo à controvérsia que oponha franceses a

ingleses, a Academia Francesa das Ciências patrocinou duas campanhas de medições de

campo, que decorreram de 1735 a 1744, na Lapónia e no Perú. Os resultados destas duas

expedições científicas confirmaram as previsões de Newton (Snyder, 1987, Robinson et alii,

1995, Casaca, 1999). De seguida vão ser abordadas resumidamente as três superfícies que

melhor aproximam, de um modo global, a superfície da Terra: a superfície esférica, a

superfície elipsoidal e o Geóide. Quanto à superfície plana, o seu uso restringe-se ao âmbito

da Topografia, visto ser completamente inadequada para modelo da superfície terrestre em

regiões vastas.

2 Elementos de Geodesia António Pestana

A Superfície Esférica

Pitágoras (600 a.C.), um matemático genial, considerava a esfera como o mais

perfeito corpo imaginável. Como a Terra tinha sido criada pelos deuses, eles só poderiam

criar um corpo perfeito e, portanto, a Terra seria esférica. Foi Aristóteles (400 a.C.) quem

primeiro forneceu argumentos consistentes com esta hipótese (o gradual desaparecimento dos

navios no horizonte). A forma esférica também é compatível com as formas reveladas por

outros corpos celestes – o Sol e a Lua – bem como com a forma da sombra que a Terra produz

sobre a Lua. O egípcio Erastótenes (250 a.C.) estimou o perímetro desta esfera em

46.250 Km, valor que difere apenas 15% do valor do perímetro médio terrestre!

A Superfície Elipsoidal

Depois de conhecidos os resultados das expedições promovidas pela Academia

Francesa das Ciências à Lapónia e ao Chile, foi aceite definitivamente que a Terra apresenta

um muito ligeiro achatamento nos pólos, e que este achatamento se aproxima muito do valor

previsto por Newton. Assim sendo, a figura geométrica simples que mais aproximadamente

modela a real superfície do globo terrestre passou a ser um elipsóide oblato (figura gerada

pela rotação de uma elipse em torno do seu semieixo menor).

Parâmetros e Medidas Elipsoidais

É muito frequente a utilização dos seguintes parâmetros elipsoidais:

Figura 1: Semieixos da elipse geradora de um elipsóide


� os semieixos maior (a) e menor (b)

� achatamento abaf )( −=

� quadrado da primeira excentricidade 2222 )( abae −=

� quadrado da segunda excentricidade )1( 222 ee −=ε

As medidas elipsoidais que se apresentam de seguida vão ser de grande importância,

quer para os temas de Geodesia que ainda vão ser tratados, quer para a Cartografia:

a) Raio de curvatura do meridiano à latitude φ, 322

2

)sen1(

)1(

φ−

−=e

eaRM

b) Raio de curvatura da secção normal principal à latitude φ, sen1 22 φ−

=e

aRN

c) Raio de curvatura do paralelo à latitude φ, φ= cosNP RR

d) Comprimento de um arco de meridiano entre o Equador e um ponto à latitude φ,

)8sen6sen4sen2sen( 18161412 L+φβ+φβ+φβ+φβ+φα=S . O parâmetro α é dado

por

+γ+γ++=α L42

128

1

8

1

2

1)( ba onde )()( baba +−=γ . Também os

coeficientes ijβ são dados por desenvolvimentos em série:

LL

LL

+γ=β+γ+γ−=β

+γ−γ=β+γ−γ+γ−=β

418

5316

4214

5312

512

315

256

105

48

3532

15

16

15

32

3

16

9

2

3

Elipsóides em Uso

Desde 1800 até aos nossos dias foram efectuadas no mínimo 20 determinações da

forma e dimensão da Terra. Destes trabalhos resultaram pequenas variações no valor dos

semieixos e do achatamento que são devidos, não apenas a diferenças na precisão dos

equipamentos utilizados, mas também à não homogeneidade do campo gravítico terrestre.

Até há poucos anos os elipsóides eram ajustados à forma da Terra apenas numa

região da superfície mais ou menos extensa. Após o ajustamento, era frequente que o


semieixo menor não coincidisse com o eixo terrestre, embora se admitisse serem paralelos; o

mesmo acontecia com os planos equatoriais.

Nos últimos anos têm vindo a ser determinados elipsóides com base em informação

recolhida por satélites; é o caso dos elipsóides adoptados nos sistemas de referência (ver

adiante Os Referenciais em Geodesia) WGS 72 e WGS84. Estes elipsóides são considerados

mais precisos, a uma escala global, do que os elipsóides determinados com base apenas em

medições à superfície, no entanto podem não ser os mais bem ajustados a uma região

particular.

Para representações a escalas grandes de regiões suficientemente extensas para não

ser possível desprezar a curvatura terrestre, isto é, para as quais não seja possível aplicar a

simplificação topográfica, distâncias, direcções e áreas calculadas sobre aproximações

esféricas diferem claramente das calculadas sobre aproximações elipsoidais.

Tabela 1: Alguns elipsóides mais utilizados (distâncias em metros).

Fontes: Idrisi for Windows Advanced Student Manual 1997; Wikipedia, acedida em Novembro de 2008

Nome do elipsóide Semieixo maior (a) Semieixo menor (b)

Airy 6377563.396 6356256.909

Modified Airy 6377310.189 6356034.448

Australian National 6378160.000 6356774.719

Bessel 1841 6377397.155 6356078.963

Bessel 1841 (Namibia) 6377483.865 6356165.383

Clarke 1866 6378206.400 6356583.800

Clarke 1880 6378249.145 6356514.870

Everest - India 1830 6377276.345 6356075.413

Everest - India 1956 6377301.243 6356100.228

Everest - Pakistan 6377309.613 6356108.571

Everest - Sabah and Sarawak 6377298.556 6356097.550

Everest - West Malaysia 1969 6377295.664 6356094.668

Everest - West Malaysia and Singapore 1948

6377304.063

6356103.039

Fischer 1960 6378166.000 6356784.280

Modified Fischer 1960 6378155.000 6356773.320


Nome do elipsóide Semieixo maior (a) Semieixo menor (b)

Fischer 1968 6378150.000 6356768.340

GRS80 (tb. denominado GRS1980) 6378137.000 6356752.314140

Helmert 1906 6378200.000 6356818.170

Hough 6378270.000 6356794.343

Indonesian 1974 6378160.000 6356774.504

Hayford 1909 (International 1924) 6378388.000 6356911.946

Krassovsky 1940 6378245.000 6356863.019

Puissant 6377858.400 6356809.362

SGS 85 6378136.000 6356751.300

South American 1969 6378160.000 6356774.719

WGS 60 6378165.000 6356783.290

WGS 66 6378145.000 6356759.770

WGS 72 6378135.000 6356750.520

WGS84 6378137.000 6356752.314245

Tabela 2: Elipsóides actualmente utilizados em Portugal nas séries cartográficas e de ortofotomapas.

Elipsóide Séries Cartográficas e Ortofotomapas

Bessel 1:50.000 e 1:100.000 SO (IGP)

GRS80 1:50.000 Continente (IGP, desde 2002)

É o elipsóide de toda a cartografia actualmente executada pelo IGP

Hayford 1:10.000 e 1:200.000 SC (IGP) 1:50.000 SC Regiões Autónomas (IGP)

1:10.000 SO (IGP) 1:25.000 Continente e

Regiões Autónomas (IGeoE)

WGS84 1:25.000 Continente e Regiões Autónomas (IGeoE)


A Superfície Geoidal

O modelo mais fiel da verdadeira (no sentido físico de mensurável) forma geral da

superfície terrestre é o Geóide. O Geóide é uma equipotencial gravítica correspondente ao

nível médio dos oceanos. Se a Terra fosse homogénea na sua constituição e de superfície

regular, então o Geóide seria um elipsóide geocêntrico. Na realidade isto não se verifica; no

entanto o Geóide nunca se afasta mais de 100 metros de um elipsóide bem ajustado (Snyder

1987).

O Geóide é a superfície de referência para os trabalhos de campo de geodesia nos

quais se utilize equipamentos tradicionais de luneta (teodolitos e níveis). A determinação de

ângulos horizontais, distâncias horizontais e desníveis é feita com referência a superfícies de

nível que são, recorda-se, equipotenciais gravíticas. No entanto, as determinações horizontais

são posteriormente ajustadas a um elipsóide. Isto faz-se porque as irregularidades do Geóide

tornariam as projecções cartográficas e outros cálculos matemáticos extremamente difíceis.

Coordenadas usadas em Geodesia

As Coordenadas Naturais

As superfícies de nível (equipotenciais gravíticas) e as linhas do fio de prumo (linhas

de força do campo gravítico) podem ser utilizadas para definir um sistema tridimensional de

coordenadas curvilíneas, directamente mensuráveis, designadas por coordenadas naturais ou

coordenadas astronómicas. Estas coordenadas são denominadas latitude natural, longitude

natural e altitude ortométrica.

Figura 2: O Geóide, um elipsóide e a superfície topográfica.


Para um dado ponto P da superfície terrestre, consideremos as seguintes entidades

matemáticas:

n versor da direcção vertical em P (direcção dada pelo fio de prumo,

sentido oposto ao da gravidade).

r versor da direcção paralela ao eixo terrestre em P.

p.m. plano meridiano natural ou astronómico em P. É definido por n e r .

p.p. plano paralelo ou astronómico em P. Contem P e é perpendicular a r .

p.E. plano equador natural ou astronómico da Terra. É o plano que contém o

centro de massa da Terra e é perpendicular ao seu eixo de rotação.

Evidentemente, é paralelo a p.p.

A latitude natural ou astronómica do ponto P, simbolicamente Φ(P), é o ângulo do

vector n com o p.p., contado de 0º a 90º, para Norte(+) e Sul(−) do p.E.

Designa-se por longitude natural ou astronómica de P, simbolicamente Λ(P), o

ângulo diedro formado pelos planos p.m. e plano meridiano de um ponto convencional

situado no Real Observatório Astronómico de Greenwich, localidade próxima de Londres . A

longitude é contada de 0º a 180º, para Este(+) e Oeste(−) de Greenwich.

A altitude natural ou ortométrica do ponto P, simbolicamente H(P), é o comprimento

do arco da linha de fio de prumo que contém P, entre a superfície de nível S(P) e o Geóide.

A separação entre duas quaisquer superfícies de nível não é constante. Por isso dois

pontos à mesma altitude ortométrica não estão necessariamente sobre a mesma superfície de

nível. A altitude geopotencial (também denominada número geopotencial), é dado pela

Figura 3: Equipotenciais gravíticas, a linha de força do campo gravítico que passa por um

ponto e a vertical desse ponto.


diferença entre o potencial da superfície de nível S(P) e o potencial do Geóide. Esta grandeza,

que apresenta um valor constante sobre uma mesma superfície de nível, expressa-se em

unidades geopotenciais (u.g.). Uma u.g. equivale a 1000 gal×m; como 1 gal corresponde a 1

cm/s2, então 1000 gal corresponde a 10 m/s2, valor muito próximo do da gravidade normal ao

nível do mar (aproximadamente 9.8 m/s2). A diferença de potencial entre duas superfícies de

nível afastadas de uma distância pequena ∆llll é, em grandeza, aproximadamente igual a g×∆llll,

com g o valor da gravidade média na região. Na vizinhança do Geóide, g≈9.8 m/s2. Assim,

atendendo apenas aos valores numéricos, ignorando as unidades em que se exprimem as

grandezas físicas, a altitude geopotencial, calculada em unidades geopotenciais, toma, nas

proximidades da superfície terrestre, valores sempre muito próximos do valor das

correspondentes altitudes ortométricas expressas em metros.

O quociente da altitude ortométrica pela gravidade normal à altitude 0 e à latitude 45º

denomina-se altitude dinâmica. Também a altitude dinâmica é constante sobre as superfícies

de nível.

As Coordenadas Geodésicas Elipsoidais

Dado um elipsóide de referência, posicionado relativamente à Terra, os pontos P da

superfície terrestre podem ser projectados em pontos P' sobre a superfície do elipsóide usando

como projectantes normais ao elipsóide que passem pelos pontos P. Podemos assim definir

(ver Figura 5):

Figura 4: O Equador e o meridiano de referência (meridiano de Greenwich).


O meridiano geodésico de P, que é a secção elíptica causada no elipsóide pelo plano

definido pelo eixo menor do elipsóide e pela normal ao elipsóide em P'.

O paralelo geodésico de P, que é a secção circular causada no elipsóide pelo plano

paralelo ao Equador elipsoidal que passa por P'.

Tomando como origem o meridiano de Greenwich, designa-se por longitude

geodésica ou longitude elipsoidal de P, simbolicamente λ, o ângulo diedro dos planos que

contêm os meridianos geodésicos de P e Greenwich, contado de 0 a 180º, para Este (+) e

Oeste (−) de Greenwich.

A latitude geodésica ou latitude elipsoidal do ponto P, simbolicamente φ, é o ângulo

da normal ao elipsóide em P com o plano equatorial do elipsóide, contado de 0º a 90º, para

Norte (+) e Sul (−) do Equador.

A altitude geodésica ou altitude elipsoidal do ponto P, simbolicamente h, é o

comprimento do segmento da normal ao elipsóide entre P e P'.

As coordenadas geodésicas elipsoidais são de uso muito simples: se conhecermos a

latitude e a longitude da nossa posição, facilmente nos localizamos na Terra. Esta

característica revela-se particularmente relevante para as tarefas de navegação. Por outro lado,

Figura 5: As coordenadas geodésicas elipsoidais.


a altura elipsoidal é uma grandeza que, em muitos casos, é uma razoável aproximação à

altitude.

As Coordenadas Geodésicas Rectangulares

Após o posicionamento de um elipsóide relativamente à Terra, pode ser-lhe

associado o referencial cartesiano tridimensional com origem no centro do elipsóide, cujo

eixo dos zz contem o seu eixo menor, cujo eixo dos xx passa pela intersecção do meridiano de

Greenwich com o Equador e cujo eixo dos yy forma com os anteriores um triedro directo (ver

Figura 6).

Note-se que a utilização de coordenadas rectangulares não implica o prévio

posicionamento de um elipsóide. Os mais recentes referenciais geodésicos de âmbito global,

isto é, utilizados para toda a Terra, estabelecem um referencial cartesiano tridimensional,

convenientemente posicionado relativamente ao nosso planeta, sem que para isso seja

necessária a definição e posicionamento de um elipsóide. Porém, a comodidade que resulta da

utilização das coordenadas geodésicas elipsoidais leva a que a estes referenciais globais seja

sempre associado um elipsóide.

Os Referenciais em Geodesia

A determinação das coordenadas de pontos implica a definição do referencial

relativamente ao qual essas coordenadas serão determinadas. Os referenciais em Geodesia são

utilizados na determinação das coordenadas de pontos situados na superfície terrestre, ou que

Figura 6: Coordenadas geodésicas rectangulares.


dela estão muito próximos. Estes referenciais são frequentemente denominados data

(singular: datum). De acordo com a definição adoptada em 1981 pela DMA1, actualmente

NGA2 (ex-NIMA3), citada em Casaca (1999), “um datum é um conjunto de quantidades

numéricas, ou entidades geométricas, que são utilizadas como referência ou base para outras

quantidades numéricas ou entidades geométricas.

Os data podem ser classificados em função dos seguintes critérios:

� Dimensão da região de interesse (data locais, destinados a serem utilizados em

regiões mais ou menos extensas da superfície terrestre, e data globais,

utilizáveis em toda a Terra);

� Tipo de coordenadas referenciadas (data geodésicos, relativamente aos quais se

determinam as coordenadas geodésicas, e data altimétricos, para a

determinação das alturas ortométricas);

� Técnicas usadas para o seu estabelecimento (data clássicos e data

geo-espaciais).

Data Geodésicos Clássicos

Pode afirmar-se que um datum geodésico clássico, também denominado datum

geodésico astronómico, é um datum local constituído pelo "conjunto de elementos que

permitem dimensionar um elipsóide e posicioná-lo relativamente ao Geóide” (adaptação da

definição apresentada em Henriques, 1993). Como seria de esperar, esta definição é um caso

particular da definição de datum apresentada anteriormente.

O elipsóide de um datum geodésico clássico pretende ser uma aproximação ao

Geóide. Portanto, esse elipsóide deverá ser definido, em termos das suas dimensões

geométricas, de modo a minimizar os desvios que a sua forma apresente relativamente à

configuração do Geóide. Para que o ajuste seja de boa qualidade em determinada região é

sempre necessário abrir mão da qualidade desse mesmo ajuste em outras zonas do globo. A

qualidade do ajuste também vai depender das dimensões do elipsóide seleccionado e também

do posicionamento, relativo ao Geóide, que se impuser para esse elipsóide. Este 1 Defense Mapping Agency, USA 2 National Geospatial-Intelligence Agency, USA 3 National Imagery and Mapping Agency, USA


posicionamento é feito com recurso a um só ponto – o ponto de fixação – cujas coordenadas

naturais foram determinadas recorrendo a observações astronómicas e gravimétricas de

elevado rigor. Geralmente o elipsóide deixa de ser geocêntrico e por vezes também sofre uma

rotação.

A posição do elipsóide em relação ao Geóide é dada por duas grandezas definidas

num dado ponto – o já referido ponto de fixação – arbitrariamente escolhido sobre a superfície

terrestre:

� Desvio da vertical: ângulo, sempre muito pequeno ou nulo, entre a direcção da

vertical (a normal à equipotencial gravítica) e a direcção da normal ao

elipsóide;

� Altura geoidal ou ondulação do Geóide: separação entre o Geóide e o

elipsóide, medida sobre a linha de força do campo gravítico que passa no

ponto.

Conhecer, para um dado ponto, o desvio da vertical e a altura geoidal, é equivalente a

conhecer a diferença entre as coordenadas naturais e as coordenadas geodésicas elipsoidais

Figura 7: Desvios do Geóide relativamente ao elipsóide do Datum 73. Fonte: Henriques 1993.


nesse ponto (ver adiante A Transformação de Coordenadas Naturais em Geodésicas

Elipsoidais). Portanto, pode dizer-se que um datum geodésico astronómico é constituído por

um elipsóide de referência e por um ponto da superfície terrestre cujas coordenadas naturais

(Φ, Λ e H) são conhecidas com elevado nível de precisão e em relação ao qual é posicionado

um elipsóide de tal modo que as coordenadas elipsoidais (φ, λ e h) do ponto se tornem

idênticas às suas coordenadas naturais ou tenham diferenças previamente arbitradas, mas

sempre pequenas. Numa vizinhança centrada no ponto de fixação, o elipsóide assim

posicionado torna-se muito próximo do Geóide.

Frequentemente o desvio da vertical é decomposto em três componentes: o azimute

da vertical e os ângulos (ξ e η) que ela forma com a normal quando projectados segundo

planos normais de orientação N-S (o plano meridiano que contém o ponto) e E-O.

De modo genérico, se admitirmos que o eixo menor do elipsóide é paralelo ao eixo

de rotação da Terra, um datum local será constituído pelos seguintes elementos:

� Parâmetros do elipsóide (por exemplo a e b);

� Coordenadas astronómicas (latitude e longitude) do ponto de fixação;

� Altura geoidal no ponto de fixação;

� Desvio da vertical no ponto de fixação.

A irregularidade do campo gravítico – e consequentemente do Geóide – levam a que

as coordenadas naturais e geodésicas de um mesmo ponto não sejam, de um modo geral,

iguais (com excepção, eventualmente, do ponto de fixação4). Por outro lado, o

posicionamento de um mesmo elipsóide relativamente a pontos de fixação diferentes leva a

que sejam diferentes as correspondentes coordenadas geodésicas de um mesmo ponto do

terreno. Assim, a cada ponto da superfície terrestre está associado um conjunto único de

coordenadas naturais, embora lhe possam estar associados diversos conjuntos de coordenadas

geodésicas. O estabelecimento de um datum geodésico astronómico é baseado num datum

4 Em Portugal tem sido norma, para o estabelecimento dos data geodésicos e nos respectivos pontos

de fixação, a imposição da igualdade das coordenadas geodésicas e das coordenadas astronómicas.


altimétrico, já que é necessário obter a altitude ortométrica do ponto de fixação do elipsóide

de referência.

A esmagadora maioria dos data geodésicos clássicos é constituída por data locais,

definidos de modo a que se adaptem bem a uma região, mais ou menos limitada – à escala de

um país ou continente – do globo terrestre. Por exemplo, o Datum Norte-Americano (NAD) e

o Datum Europeu estão bem adaptados a grandes regiões, enquanto que o Datum da Graciosa

apenas é utilizado para ilhas dos Açores. É esta a razão que explica serem classificados como

locais estes data geodésicos: eles não são definidos de modo a abranger toda a Terra.

Actualmente, encontram-se em utilização em todo o Mundo várias centenas de data locais.

Data Geodésicos Geo-Espaciais

Recentemente, têm vindo a ser cada vez mais utilizados data geodésicos definidos

com recurso à observação de corpos celestes muito distantes e, fundamentalmente, apoiados

na monitorização rigorosa das perturbações das órbitas de satélites artificiais. Portanto, as

observações necessárias para a definição destes data deixam de ter de ser feitas em terra

firme5 e apenas num conjunto, sempre pouco numeroso, de pontos. À medida que os anos vão

passando, o número de satélites observáveis tem vindo a crescer significativamente, bem

como o número dos locais de observação (as estações de rastreio ou seguimento6), razão pela

qual tem vindo a aumentar muito a quantidade de dados disponíveis. Também a qualidade

destes dados tem sido cada vez maior, já que as técnicas de observação e processamento têm

sofrido sucessivos melhoramentos.

O volume e qualidade dos dados disponíveis, tanto em termos de cobertura temporal

como em termos de cobertura geográfica, permitem a definição de data geodésicos geo-

espaciais aplicáveis a todo o globo: são os data geodésicos globais modernos, de que são

exemplos o WGS84 e os ITRF. Estes data, que serão apresentados nas subsecções seguintes,

são particularmente apropriados para sistemas de medição que não utilizem as equipotenciais

gravíticas como referência (tal como os sistema GNSS7). A utilização destes data globais

5 O estabelecimento de um datum clássico obriga a observações astronómicas e gravimétricas muito

exigentes, que apenas são possíveis em terra firme. 6 As "tracking stations". 7 Sistemas globais de posicionamento por satélite (e.g. GPS, GLONASS, GALILEO, COMPASS)


permite que pontos situados em diferentes continentes possam ser relacionados entre si com

precisão, já que estão definidos relativamente a um mesmo referencial. É cada vez mais

significativa a produção cartográfica baseada neste tipo de data geodésicos.

Pode dizer-se que um datum geodésico global moderno é constituído por um

elipsóide cujo centro coincide com o centro de massa da Terra e o seu semieixo menor

coincide com a posição média do eixo de rotação da Terra. O posicionamento deste elipsóide

de referência é efectuado à custa das coordenadas de um conjunto grande de estações

distribuídas pela Terra (Casaca et alii, 2000).

Tradicionalmente os data eram periodicamente revistos por duas razões principais:

a) ocorrência de significativos progressos tecnológicos nos equipamentos e técnicas de

medição; b) alteração da posição dos pontos que, na Terra, tinham sido usados para definir o

datum. Porém, na actualidade uma terceira razão passou a ter importância significativa: os

movimentos da crusta terrestre. Estes movimentos, que são resultantes do deslocamento das

placas tectónicas, têm grandezas da ordem de alguns centímetros por ano mas podem, nos

caso mais extremos, apresentar velocidades superiores a 10 cm/ano. O recurso aos data geo-

espaciais e instrumentos modernos permite que, na actualidade, o movimento das placas seja

monitorizado e medido com precisão centimétrica.

Face ao exposto resulta evidente que, se os intervalos entre campanhas de

observações forem suficientemente prolongados e se forem utilizados data globais, poderá

ocorrer uma variação apreciável nas coordenadas de pontos fixos no terreno. Este fenómeno,

manifestamente inconveniente em trabalhos de índole local ou regional, justifica a criação de

data geo-espaciais de âmbito regional.

Os conceitos de TRS e de TRF

Segundo McCarthy (2004), um Sistema de Referência Terrestre (TRS8) é um

sistema de referência ideal e tridimensional que acompanha o movimento de rotação da Terra.

Quando calculadas relativamente a um TRS, as coordenadas de pontos fixos sobre a

superfície sólida da Terra sofrem apenas pequenas variações no tempo; estas pequenas

8 Terrestrial Reference System.


variações são devidas à movimentação das placas tectónicas e às deformações da crusta

terrestre provocadas pela Lua.

Ainda segundo o mesmo autor, um Quadro de Referência Terrestre (TRF9) é um

conjunto de pontos físicos cujas coordenadas, num sistema de coordenadas específico

(cartesiano, geográfico ou cartográfico) relacionado com um TRS, foram determinadas com

grande precisão. Diz-se que este TRF é uma realização (uma materialização) do TRS; por

outras palavras: um TRS define o modo como devem ser criados TRF. É usual existirem, para

um dado TRS, uma sucessão de TRF, cada um dos quais foi determinado utilizando o maior

número possível de pontos físicos bem como os métodos de cálculo, as técnicas e os

instrumentos de medição que, à data, eram os melhores disponíveis. Desta forma se obtém

uma sequência temporal de materializações do TRS, cada uma delas tanto ou mais precisa do

que qualquer uma das que a precederam.

Existem vários tipos de TRF; os que nos interessam são os TRF apoiados na crusta

terrestre (“crust based TRF”) que são constituídos pelas posições de pontos fixos na Terra,

localizados em terra firme, na maior parte dos casos ocupados por estações de seguimento ou

por marcos geodésicos.

O Datum WGS84

O WGS84 é um datum geodésico global definido e mantido pela NGA2. É o datum

no qual são determinadas as órbitas dos satélites do sistema GPS e, por isso, é o datum no

qual os receptores GPS determinam as posições que ocupam. A realização física deste datum

é constituída pelas coordenadas de mais de 1500 estações geodésicas (a maior parte das quais

são, ou foram, estações de rastreio de satélites). A incerteza associada às coordenadas destes

pontos fixos é caracterizável por um erro médio quadrático (EMQ) situado entre um e dois

metros (Casaca et alii, 2000).

Este datum é constituído por um referencial cartesiano tridimensional com origem no

centro de massa da Terra e eixos orientados segundo as definições do BIH10 e, desde 1989, do

IERS11 (em termos genéricos, o sistema de eixos é idêntico ao apresentado na Figura 6). Para

9 Terrestrial Reference Frame. 10 Bureau International de l’Heure. 11 International Earth Rotation Service, depois de 2002 denominado International Earth Rotation and

Reference Systems Service.


a determinação de coordenadas geodésicas elipsoidais é associado a este datum o elipsóide

também denominado WGS84, com centro na origem do sistema de eixos.

Os Data ITRF

O datum WGS84 foi concebido para aplicações de navegação, para as quais as

precisões posicionais requeridas foram da ordem de um metro. É, por isso, um datum que não

satisfaz as exigências das aplicações de alta precisão (fundamentalmente as necessidades de

precisão necessárias para utilização na área das geociências). Assim, foi sentida a necessidade

da definição de um novo referencial geodésico, um "WGS84 melhorado", que foi denominado

ITRS12.

Em 1991 a IAG13 decidiu criar o IGS14 com o objectivo de promover e apoiar

actividades tais como a manutenção de uma rede de estações permanentes de seguimento dos

satélites GPS e o cálculo, sempre actualizado, das órbitas daqueles satélites e das coordenadas

de estações de seguimento (as permanentes e outras que são utilizadas intermitentemente).

Estas actividades constituem pré-requisitos para a definição de um datum que, embora

apoiado nos satélites GPS, seja independente da NGA e de outras entidades norte-americanas

que superintendem a operação e desenvolvimento do sistema GPS.

O IERS11 tem a responsabilidade de definir, realizar e promover um TRS

denominado Sistema de Referência Terrestre Internacional15, o atrás referido ITRS,

relativamente qual são referenciadas – e periodicamente recalculadas – as coordenadas das

estações de seguimento. Entre outras características, este TRS é (McCarthy, 2004):

� Quase cartesiano e geocêntrico (sendo o centro de massa definido para toda a

Terra, incluindo os oceanos e a atmosfera)

� A unidade de comprimentos é a unidade do Sistema Internacional (o metro).

12 International Terrestrial Reference System. 13 International Association of Geodesy (Associação Internacional de Geodesia). 14 International GPS Service. 15 Por esta razão o IERS mantém em observação a rotação da Terra, a atmosfera, os oceanos, a crusta,

etc., de modo a controlar, com o maior rigor possível em cada momento, as posições do eixo de rotação da Terra

e do seu centro de massa (Casaca et alii, 2000).


� A sua orientação inicial (direcções e sentidos dos eixos) é a definida pelo

Bureau International de l'Heure (BIH) para a época 1984.0; Em termos

genéricos, segue o apresentado na Figura 6.

� A evolução desta orientação no tempo é garantida impondo que seja nula a

resultante dos movimentos tectónicos horizontais que se verificam em toda a

Terra.

Praticamente todos os anos é efectuada uma nova combinação dos dados de elevada

precisão obtidos por técnicas de geodesia espacial, nos quais são cada vez mais

predominantes os dados provenientes do seguimento dos satélites GPS; resulta assim um novo

datum (um novo TRF apoiado na crusta terrestre) que é denominado ITRFxx16, denotando os

dois últimos caracteres o ano no qual foram recolhidos os dados mais recentes utilizados nos

cálculos. As coordenadas geodésicas cartesianas ITRFxx são, conforme já foi escrito,

referidas a um referencial cartesiano geocêntrico; as coordenadas geodésicas elipsoidais são

referidas ao elipsóide GRS 80. A incerteza associada às coordenadas dos pontos fixos (as

estações de seguimento) é caracterizável por um erro médio quadrático (EMQ) de poucos

centímetros (Casaca et alii, 2000).

Os data da série ITRF apresentam uma outra característica que os distingue do

WGS84: a sua definição física não consiste apenas nas coordenadas de um conjunto de

estações terrestres mas inclui também as velocidades com que estas se deslocam, devido às

movimentações das placas regionais e continentais. Assim é possível calcular as coordenadas

de estações num datum definido em data anterior àquela para a qual se faz o cálculo – a época

(por exemplo, calcular coordenadas ITRF96 para o ano 2000, ou seja, o datum ITRF96 na

época 2000.0). Só se tanto o datum como a época forem iguais é que dois data são idênticos

(ITRF96 na época 2000.0 é um datum diferente – embora apenas muito ligeiramente diferente

– do datum ITRF96 na época 1998.0). A posição, na época t, de um ponto da superfície sólida

da Terra, será dada por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0= + × − +∑ ii

t t t t t tP P V C

16 International Terrestrial Reference Frame.


Nesta expressão ( )tP e ( )0tP são os vectores de posição do ponto nas épocas 0t e t,

( )0tV é o vector de velocidade do ponto na época 0t e a parcela ( )∑ ii

tC incorpora no

modelo um conjunto de correcções referidas à época t e devidas, nomeadamente, às marés

terrestres, à carga oceânica, à carga atmosférica e à ressonância pós-glaciar (Torres, 2008).

Embora inicialmente criados para satisfazerem o elevado grau de precisão exigido

para os trabalhos do âmbito da Geodinâmica e da Geofísica, os data da série ITRF têm vindo

a ser cada vez mais usados como base para os mais recentes data geodésicos nacionais (por

exemplo, o novo datum australiano, o Geocentric Datum of Australia, é definido como sendo

o ITRF92 na época 1994.0).

O Instituto Geográfico Português preconiza, para as Regiões Autónomas, a utilização

do ITRF93. Nas páginas Web desta instituição podia ler-se em 2008:

“O estabelecimento … nas Regiões Autónomas de Portugal baseia-se na ligação das

redes geodésicas ao sistema ITRF93 (International Terrestrial Reference Frame 1993),

suportada pela solução da campanha internacional TANGO 1994 (Trans-Atlantic Network

for Geodynamics and Oceanography) onde foram observados com GPS pelo menos um

vértice geodésico de cada ilha.

Nos anos subsequentes (entre 1995 e 2005) foram observadas com GPS as redes

geodésicas de todas as ilhas, tendo o seu ajustamento sido efectuado constrangendo as

observações às coordenadas resultantes da anterior campanha internacional.

…

Este sistema deverá substituir completamente os anteriormente usados, que se

consideram obsoletos.”

O ETRS89

A utilização de um datum global, como o WGS84 ou um ITRFxx, em tarefas de cariz

topográfico com âmbito local ou regional pode apresentar inconvenientes dignos de nota.

Estes inconvenientes prendem-se com o facto de que as placas tectónicas se movimentam,

umas em relação às outras, com velocidades que podem atingir, nas situações mais extremas,

12 cm por ano. O conjunto do território europeu move-se a uma velocidade de cerca de 2.5

cm por ano, pelo que as coordenadas WGS84 ou ITRFxx de um qualquer ponto físico


europeu se irão alterando no tempo. Ao fim de um intervalo de tempo suficientemente

extenso, as variações de coordenadas tornam-se incompatíveis com as utilizações em

Topografia.

O ETRS89 é um sistema global de referência recomendado pela EUREF17 que, tal

como os ITRF, é estabelecido através de técnicas espaciais de observação (para mais

informação aceder a http://www.epncb.oma.be/ ). No simpósio da EUREF realizado em Itália

em 1990 foi adoptada a seguinte resolução (Instituto Geográfico Português, 2005): "A Sub-

comissão da IAG para o Referencial Geodésico Europeu (EUREF) recomenda que o sistema

a ser adoptado pela EUREF seja coincidente com o ITRS na época de 1989.0 e fixado à parte

estável da Placa Euro-Asiática18, sendo designado por Sistema de Referência Terrestre

Europeu 1989 (European Terrestrial Reference System – ETRS89)". A menção à “parte

estável da Placa Euro-Asiática” traduz o facto de se verificar que os pontos europeus dos

ITRF se movem muito lentamente e em bloco, apresentando todos eles deslocamentos anuais

da ordem de um centímetro.

Se, de modo análogo ao utilizado para as realizações do ITRS, designarmos por

ETRFxx as realizações do ETRS, resulta da definição deste sistema de referência que o

ETRF89 é constituído pelas coordenadas dos pontos que, pertencendo ao ITRF89, estão

localizados na Europa. O ETRS89 garante diferenças inferiores a um metro relativamente ao

WGS84. Tal como já acontecia no ITRS, as coordenadas geodésicas no sistema ETRF89

podem ser cartesianas, referidas a um referencial geocêntrico, ou elipsoidais, baseadas no

elipsóide GRS 80.

17 A European Reference Frame, que é uma subcomissão da Associação Internacional de Geodesia

(IAG) 18 Utiliza apenas os pontos do ITRF localizados na Europa, até aos Montes Urais (Boucher, 2001).


Figura 8: Rede de Estações Permanentes da EUREF em Maio de 2006.

Retirado de http://www.epncb.oma.be/

“O estabelecimento do ETRS89 em Portugal Continental foi efectuado com base em

campanhas internacionais, que tiveram como objectivo ligar a rede portuguesa à europeia.

… toda a rede geodésica de 1.ª ordem do Continente foi observada com GPS, tendo o seu

ajustamento sido realizado fixando as coordenadas dos pontos estacionados nas anteriores

campanhas europeias. A rede de 2.ª ordem está a ser calculada num só bloco, a partir das

observações GPS, com ligação à rede primordial. Estima-se que a precisão das coordenadas

ETRS89 seja de 3 cm para a rede de 1.ª ordem e de 5 cm para a rede de 2.ª ordem. O IGP

está a desenvolver procedimentos para a determinação de coordenadas ETRS89 para toda a

Rede Geodésica Nacional. … antes do final de Junho estarão disponíveis para consulta

on-line as coordenadas ETRS89 dos vértices geodésicos de 1.ª e 2ª ordem.”. Texto extraído

do Dossiê Especial “Instituto Geográfico Português (IGP)”, parte integrante da edição


n.º 1751 do semanário Expresso de 20 de Maio de 2006. As coordenadas ETRS89 dos

vértices geodésicos nacionais estão, tal como era anunciado naquela publicação, disponíveis

em http://www.igeo.pt/produtos/geodesia/vg/rgn/rgn.asp.

Datum Altimétrico

A constituição dos referenciais geodésicos tem obedecido, ao longo dos tempos, às

características da tecnologia disponível e aos níveis de precisão exigíveis para as medições.

Assim, o espaço tridimensional foi sempre separado em duas componentes, cada uma das

quais é passível de tratamento autónomo. Estas duas componentes são medidas relativamente

a referenciais independentes: um deles é usado para a determinação das coordenadas

geodésicas – o datum geodésico, de que já tratamos – enquanto que o outro referencial é

destinado à medição das altitudes ortométricas – o datum altimétrico (ou datum vertical).

Figura 9: Evolução do nível médio do mar no marégrafo de Cascais.

Fonte: Torres 1993.


O datum altimétrico consiste unicamente na especificação de uma superfície de nível

do campo gravítico (equipotencial gravítica). Convencionou-se que esta superfície de nível

corresponde ao nível médio das águas do mar19.

Para a definição deste nível médio é necessário um registo, suficientemente longo,

dos níveis médios do mar para o que é imprescindível a existência de marégrafos. O primeiro

marégrafo utilizado em Portugal (e quarto na Europa) foi instalado em Cascais, no ano de

1882. Essa instalação destinou-se ao registo contínuo do nível médio do mar para a atribuição

de uma altitude de origem à rede de nivelamento de alta precisão, cuja observação foi iniciada

praticamente na mesma ocasião (ver Figura 9).

Os data verticais são superfícies de nível em relação às quais são medidas:

� Altitudes ortométricas, quando a superfície de nível de referência é o Geóide,

geralmente definido por um ponto na vizinhança de um marégrafo;

� Cotas ortométricas, quando a superfície de nível de referência é arbitrária,

geralmente definida por um ponto bem identificado no terreno. As cotas dos

pontos variam com a superfície de referência. A diferença entre as cotas de

dois pontos é, no entanto, constante e igual à diferença entre as suas altitudes

(desnível ortométrico).

O datum altimétrico nacional (denominado habitualmente Cascais Helmert 38, já que

corresponde ao nível médio determinado no marégrafo de Cascais até ao último dia de 1938),

estabelecido em 1939, “… é a superfície equipotencial gravítica definida pelo nível médio do

mar resultante das leituras realizadas no marégrafo de Cascais entre 1882 e 1938” (Casaca

et alii, 2000). Em Hidrografia, por uma questão de segurança, são tomadas como referência

altimétrica as superfícies de nível correspondentes ao nível médio da maré baixa ou ainda à

mais baixa maré baixa. Em Portugal, o datum altimétrico hidrográfico – o zero hidrográfico –

tem uma altitude −2.08 m relativamente ao datum altimétrico usado em geodesia e topografia

(Casaca et alii, 2000).

19 O nível médio do mar é uma equipotencial do campo resultante da sobreposição do efeito da

gravidade terrestre com o efeito da rotação da Terra em torno do seu eixo; no entanto, o efeito da rotação é muito

pequeno, variando de 0 (nos pólos) a 0.5% da força gravítica no Equador (Cooper, 1987).


Data geodésicos utilizados no território nacional

Os data geodésicos utilizados actualmente na cartografia oficial do território

português são, conforme já foi referido neste texto, o ETRS89 (no Continente) e o ITRF93

(nas Regiões Autónomas). Porém, vários data geodésicos clássicos foram utilizados (e ainda

são) nos últimos cem anos, sendo por isso grande a probabilidade de encontrarmos

informação neles referenciada. Os data geodésicos clássicos são tradicionalmente designados

pelo topónimo do ponto de fixação (Castelo de São Jorge, Melriça, São Braz, Porto Santo,

etc.).

Na cartografia topográfica do território de Portugal têm sido utilizados diversos

elipsóides (Puissant, Bessel e Hayford) posicionados em diferentes pontos do território, para

os quais foram determinadas as suas coordenadas naturais. Estes trabalhos, no que diz respeito

à cartografia oficial civil, foram sempre da competência exclusiva do organismo público

responsável pelas operações de cartografia e cadastro no território nacional20.

Os data locais de âmbito estritamente nacional têm sido definidos de tal modo que o

desvio da vertical e a altura geoidal nos pontos de fixação são nulos (ver nota de rodapé

número 4). Assim, para posicionar relativamente ao Geóide o elipsóide seleccionado, basta

estabelecer as coordenadas astronómicas do ponto de fixação e fazê-las coincidir com as

coordenadas geodésicas do mesmo ponto. Na Tabela 3 e na Tabela 4 são apresentados alguns

dos data astronómicos actualmente em uso no território nacional (os data das regiões

autónomas são todos baseados no elipsóide de Hayford).

20 Este organismo tem tido várias denominações: apenas nos últimos vinte anos já se chamou Instituto

Geográfico e Cadastral (IGC), Instituto Português de Cartografia e Cadastro (IPCC) e, desde Agosto de 2002,

Instituto Geográfico Português (IGP). O IGP, como autoridade nacional de geodesia, cartografia e cadastro, tem

por missão assegurar a execução da política nacional de informação geográfica de base, competindo-lhe a

regulação do exercício daquelas actividades, a homologação de produtos, a coordenação e desenvolvimento do

Sistema Nacional de Informação Geográfica e a promoção da investigação no âmbito das ciências e tecnologias

de informação geográfica.


Tabela 3: Data clássicos usados em Portugal Continental. Fontes: Casaca 1999, Henriques 1993, Pinto 1992.

Denominação

Produção cartográfica

Elipsóide

Ponto de fixação (latitude,longitude)

Datum Lisboa 121 (DtLxB)

1:50.000 1:100.000

Bessel

Castelo de S. Jorge 1 (38º42'43.631" , −9º07'54.806")

Datum Lisboa 2 (DtLxH)

1:10.000 1:25.000 1:200.000

Hayford

Castelo de S. Jorge 2

(38º42'43.631" , −9º07'54.862")

Datum 7322 (Dt73)

Ortofotomapas

Hayford

Vértice Geodésico Melriça TF4 (39º41'37.30" , −8º07'53.31")

Datum Europeu 1950 (ED50) 23

Cartas militares

Hayford

Potsdam (52º22'51.450" , 13º03'58.740")

Figura 10: Monumentação e localização do vértice geodésico Melriça TF4

21 Este datum foi utilizado nos finais do século XIX. 22 As observações astronómicas foram efectuadas em 1964. De acordo com informação

disponibilizada nas páginas Web do IGP (acedidas em Novembros de 2008): "O Datum 73 foi estabelecido na

década de 1970, posteriormente à reobservação da rede geodésica de Portugal Continental. As observações

angulares foram efectuadas na década de 1960 com teodolitos Wild T3 e T4, tendo a orientação da rede sido

estabelecida pelo azimute Melriça TF4�Montargil. A escala da rede foi dada pela base de ínvar de Vilar

Formoso e por vários outros lados observados com Geodímetro AGA, Electrotape e Telurómetro. Foi escolhido

para ponto origem do Datum um vértice geodésico no centro do País (ao contrário do Datum Lisboa que tem a

sua origem numa extremidade do território) por forma a minimizar as eventuais distorções da rede. O cálculo da

rede geodésica de primeira ordem foi realizado num só bloco, pelo método de variação de coordenadas." 23 Este datum apresenta, no seu ponto de fixação, um pequeno desvio da vertical caracterizável pelas

componentes meridional e perpendicular (ξ=3.36" , η=1.78") (Ribeiro 1993)


Tabela 4: Data clássicos das Regiões Autónomas (todos baseados no elipsóide de Hayford).

Fonte: Henriques 1993.

Arquipélago

Ilhas

Ponto de fixação (latitude , longitude)

Açores Flores e Corvo Observatório – Sta. Cruz das Flores (39º 26' 52.613" , −31º 07' 27.100")

Terceira, Graciosa, S. Jorge, Pico e Faial

Base SW na ilha Graciosa (39º 03' 54.934" , −28º 02' 23.882")

S. Miguel e Sta. Maria S. Braz (37º 44' 05.815" , −25º 40' 23.581")

Madeira Todas Est. Astronómica – Ilha de Porto Santo24 (33º 03' 23.941" , −16º 20' 01.230")

Rede de Nivelamento Geométrico e Rede Geodésica

A altitude média do mar obtida no marégrafo de Cascais serve de referência para a

determinação, por nivelamento geométrico, da altitude do ponto de fixação do datum

geodésico. A partir do marégrafo, são também determinadas, por nivelamento geométrico de

alta precisão25, as altitudes de um conjunto de cerca de 3000 pontos, distribuídos ao longo das

principais vias de comunicação do País, numa extensão de aproximadamente 3000 Km. A este

conjunto de pontos atribui-se a denominação de rede de nivelamento geométrico (ver Figura

11).

24 Este datum também é conhecido como Base S.E. (Pinto 2001) 25 Erro relativo médio da ordem de 3×10−7 (Torres 1993).


Na cartografia das zonas costeiras e estuarinas o Instituto Hidrográfico utiliza como

referência altimétrica, por razões de segurança para a navegação, uma superfície de nível 2.08

metros abaixo do datum altimétrico de Cascais.

Os levantamentos topográficos são muito frequentemente apoiados num conjunto de

pontos cujas coordenadas geodésicas26, relativas aos diversos data geodésicos em uso, são

conhecidas com elevado grau de precisão. Estes pontos – os vértices geodésicos – são

usualmente representados graficamente interligados por segmentos de recta, formando uma

26 Relativamente a estes pontos são também conhecidas as coordenadas cartográficas, coordenadas

cartesianas bidimensionais cujo uso é usualmente muito mais cómodo. As coordenadas cartesianas serão

apresentadas nos “Elementos de Cartografia”.

Figura 11: Rede de nivelamento geométrico: Alta precisão (REUN),

Alta Precisão (primordial) e Precisão (secundária). Fonte: Torres 1993.


malha triangular, denominada rede geodésica. Esta forma de representação está relacionada

com o método de cálculo tradicionalmente empregue para a determinação das coordenadas

desses vértices: medição dos ângulos horizontais formados pelos lados dos triângulos, e

utilização destes valores na determinação, por processos puramente trigonométricos, das

coordenadas geodésicas dos vértices a partir das coordenadas do ponto de fixação do datum

geodésico.

As altitudes dos vértices geodésicos são normalmente determinadas por nivelamento

trigonométrico. As coordenadas dos cerca de 9000 vértices geodésicos existentes no território

nacional estão disponíveis em http://www.igeo.pt/produtos/geodesia/vg/rgn/rgn.asp.

Figura 12: Rede geodésica primordial (vértices de 1.ª ordem). Fonte: Vasconcelos, 2005.


Cabeço 2.º (3.ª ordem) Luzim (1.ª ordem)

Figura 13: Exemplo de um vértice geodésico de 3.ª ordem e de outro de 1.ª ordem.

A Transformação de Coordenadas

O problema da transformação de coordenadas põe-se, na maioria dos casos, em dois

níveis completamente distintos: transformação de coordenadas num mesmo datum (sistema)

geodésico ou transformações de coordenadas por mudança de datum. Por generalidade, será

também referido o problema da conversão de coordenadas naturais em coordenadas

geodésicas.

Conforme é ilustrado na Figura 14, a transformação de coordenadas por mudança de

sistema geodésico (mudança de datum) pode ser efectuada ao nível das coordenadas

geodésicas rectangulares, das coordenadas geodésicas elipsoidais ou das coordenadas

cartográficas (coordenadas cartesianas planas). As mudanças de sistema geodésico são,

sempre que possível, efectuadas ao nível das coordenadas geodésicas rectangulares. Se tal não

for possível, então deverá operar-se sobre as coordenadas geodésicas elipsoidais.


As transformações que envolvam coordenadas cartográficas serão tratadas nos

Elementos de Cartografia. No entanto, desde já se refere que a utilização de transformações

polinomiais nas mudanças de coordenadas cartográficas, não deve ser efectuada senão em

zonas de dimensão reduzida, de modo a manter os erros cometidos dentro de limites

aceitáveis (IGN – (a), 1999).

A transformação, por mudança de datum, mais utilizada, é a transformação de 7

parâmetros (Bursa-Wolfe). Esta transformação opera sobre coordenadas geodésicas

rectangulares. As fórmulas de Molodensky, que operam sobre as coordenadas geodésicas

elipsoidais, são desenvolvimentos em série truncados, cuja ordem influencia evidentemente a

precisão da transformação.

A Transformação de Coordenadas Naturais em Geodésic as Elipsoidais

A transformação entre as coordenadas naturais de um qualquer ponto P e as

correspondentes coordenadas elipsoidais associadas a um dado datum geodésico, exige o

conhecimento, nesse ponto, dos valores das componentes meridiana (ξ) e perpendicular (η)

do desvio da vertical em cada ponto, bem como da altura geoidal (H0). A altura geoidal

(também denominada ondulação do Geóide) é dada pelo comprimento do segmento da linha

Figura 14: Transformações de coordenadas mais frequentes.

Sistema A Sistema B

Coord. rectangulares

Coord. elipsoidais

Coord. cartográficas Coord. cartográficas

Coord. elipsoidais

Coord. rectangulares


de fio-de-prumo – linha de força do campo gravítico – que passa em P, entre o Geóide e o

elipsóide (positivo para o exterior e negativo para o interior do elipsóide).

Uma vez conhecidas as componentes do desvio da vertical e a ondulação do Geóide

em P, a transformação das coordenadas naturais em geodésicas é muito simples:

0 ; sec ; HHh +≈φη+Λ=λξ+Φ=φ

Exemplo: Os valores dos desvios da vertical nos vér tices da rede

geodésica de Portugal continental, relativamente ao elipsóide de Hayford

posicionado em Potsdam, no Datum Europeu ED50, pode m atingir cerca de 15".

No vértice geodésico Melriça, cujas coordenadas nat urais são:

Φ=39°41'37.33", Λ=8°07'53.43", H=600.5lm

os desvios da vertical e a ondulação do Geóide rela tivos ao ED50:

ξ=-7.39", η=-6.83", H0 = -30.11 m permitem calcular as suas

coordenadas geodésicas ED50:

φ=39°41'29.94", λ=8°07'44.55", h=570.40 m

A Transformação de Coordenadas Elipsoidais em Recta ngulares

As coordenadas cartesianas tridimensionais de um ponto do terreno (ver Figura 6)

podem ser obtidas a partir das suas coordenadas elipsoidais φ, λ e h, relativas a um dado

datum geodésico, por

( ) ( ) ( )[ ]sen1 ; sencos ; coscos 2 φ+−=λφ+=λφ+= heRzhRyhRx NNN

A transformação inversa pode ser realizada por:

θ−+

θε+=φ3222

32

cos

senarctan

aeyx

bz ,

x

yarctan=λ , NR

yxh −

φ+

=cos

22

onde 22

arctanyxb

za

+=θ


A determinação das coordenadas geodésicas elipsoidais a partir das coordenadas

geodésicas rectangulares obriga a especial cuidado na utilização de calculadoras na determinação

da latitude e da longitude.

Nas calculadoras científicas as funções trigonométricas inversas devolvem sempre

resultados no intervalo ]−90°,+90°[, medidos positivamente a partir do semieixo positivo das

abcissas, no sentido anti-horário. Seja v o ângulo devolvido pela calculadora após determinação

da função arctan. A definição dos sistema de eixos coordenados e convenção de sinais já foi

referida atrás neste texto (ver As Coordenadas Geodésicas Elipsoidais).

Figura 15: A função arctan e a determinação da latitude geodésica

z

plano do Equador

n

mv φ

n

z

plano do Equador

v

m

n

z

plano do Equadorv

m

n

m v

z

plano do Equador

ângulos v positivos

m>0n>0v>0φ=v

m>0n<0v<0φ=−v

m<0n>0v<0φ=v

m<0n<0v>0φ=−v

φ

φφ


Sendo m o numerador e n o denominador do argumento da função arctan na

determinação de φ, então as quatro situações possíveis para a determinação da latitude são

apresentadas na Figura 15. Refira-se porém que, nas situações mais correntes (pontos próximos

da superfície terrestre), o valor de n será positivo. Note-se que o ângulo auxiliar θ é sempre igual

ao valor dado pela calculadora. Isto acontece porque, relativamente à fracção argumento da

função arctan, apenas o numerador poderá ser negativo e, portanto, θ apenas poderá tomar valores

no intervalo ]−90°,+90°[. Relativamente ao cálculo da longitude, as quatro situações possíveis são

as apresentadas na Figura 16.

Mudanças de Datum

As relações existentes (os parâmetros de transformação) entre dois data são

determinadas empiricamente, isto é, com base em medições pontuais efectuadas em

campanhas de trabalhos de campo. Os parâmetros de transformação assim determinados têm

Figura 16: A função arctan e o cálculo da longitude geodésica

y (Este)

x

X

Yv λ

X

x

v

Y

X

xv

Y

X

Y v

x

ângulos v positivos

Y>0X>0v>0λ=v

Y>0X<0v<0λ=180+v

Y<0X>0v<0λ=v

Y<0X<0v>0λ=−180+v

λ

λλ

y (Este)

y (Este)y (Este)


níveis de precisão muito variados que dependem, nomeadamente, do número de pontos

utilizados, da sua distribuição e do rigor das determinações efectuadas.

Modelo de Bursa-Wolfe (transformação dos sete parâmetros)

As coordenadas geodésicas rectangulares (x,y,z) de um ponto, relativas a um

determinado datum geodésico, podem ser relacionadas com as coordenadas rectangulares

(u,v,w) do mesmo ponto, relativas a um segundo datum geodésico, por intermédio de uma

transformação de semelhança. Esta transformação consiste numa rotação (R) seguida por uma

mudança de escala (σ) e por uma translação (∆). A rotação destina-se a alinhar os eixos do

referencial de partida com os do referencial de chegada. A translação permite sobrepor a

origem dos dois referenciais. A transformação de semelhança preserva a forma (portanto os

ângulos não são modificados), mas pode mudar o comprimento de linhas e a posição de

pontos (Pearse 1997).

A tradução matricial da transformação de semelhança é = σ +U R X% ∆∆∆∆ , com

cos cos cos sen sen

sen sen cos cos sen sen sen sen cos cos sen cos

cos sen cos sen sen cos sen sen sen cos cos cos

ϕ κ ϕ ω − ϕ = κ ϕ ω − κ ω κ ϕ ω + κ ω κ ϕ κ ϕ ω + κ ω κ ϕ ω − κ ω κ ϕ

R%

Nesta matriz os parâmetros k, ϕ e ω são ângulos que exprimem três rotações

sucessivas em tomo dos eixos dos xx, dos yy e dos zz.

Nas mudanças de datum geodésico, os parâmetros k, ϕ e ω são ângulos27 muito

pequenos (valores, em módulo, sempre inferiores a alguns segundos de grau). Atendendo aos

valores diminutos assumidos pelos três ângulos de rotação, teremos que

1

1 k

k 1

ω −ϕ ≅ −ω ϕ −

R%

27 Uma rotação em torno de um eixo coordenado será positiva quando, observada da extremidade

positiva desse eixo, se efectuar no sentido anti-horário. O International Earth Rotation Service (IERS) considera

que é o espaço que roda em torno dos eixos coordenados; porém, é tradição em alguns países considerar que são

os eixos coordenados que rodam. A adopção de uma ou de outra destas definições não altera os valores das

rotações, mas troca-lhes o sinal (ICSM 2006). As rotações que figuram nas tabelas deste texto são todas

consistentes com os restantes parâmetros das transformações de Bursa-Wolfe a que dizem respeito, não lhes

devendo, portanto, ser trocado o sinal.


e, então, podemos escrever

1

1 k

k 1

u x x

v y y

w z z

ω −ϕ ∆ = σ + ≅ = σ −ω + ∆ ϕ − ∆

U R X% ∆∆∆∆

onde σ é um factor de escala, próximo da unidade e ),,( zyx ∆∆∆=∆∆∆∆ é o vector translação da

origem do referencial de partida para a origem do referencial de chegada. Sob esta forma a

transformação de semelhança é denominada transformação de Bursa-Wolfe; em Geodesia é

considerada uma transformação de “média precisão” (ICSN, 2006).

Os parâmetros de rotação, escala e translação da transformação de Bursa-Wolfe

podem ser estimados a partir de um conjunto de pontos cujas coordenadas cartesianas

tridimensionais relativas aos dois data sejam previamente conhecidas. A fórmula de

Bursa-Wolfe permite formar um sistema de equações não linear para cuja resolução, em

ordem aos parâmetros desconhecidos, pode ser utilizado o método descrito seguidamente.

Tendo em atenção o pequeno valor dos ângulos de rotação e que σ é, muito

aproximadamente, unitário, pode escrever-se

σ+=σ d1 , RIR~

d~~ += onde I

~ é a matriz identidade 3×3 e

−ϕ

ω−

ϕ−ω

=

0k

k0

0~

dR

∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆ +σ++≈+σ+σ++=+σ= XXRXXRXXRXXRU d~

d~

ddd~

d~

Portanto, se ignorarmos a parcela de segunda ordem resulta a relação:

∆∆∆∆+σ+≈− XXRdXU d~

Considerando três pontos de coordenadas conhecidas nos dois sistemas, a relação

anterior permite constituir o seguinte sistema de equações lineares:


ξξξξββββ =≡

−−−−−−−−−

=

∆∆∆ωϕ

σ

×

−−

−−−

−−

−−

−

A~

33

33

33

22

22

22

11

11

11

k

d

1000333

0103033

0013303

1000222

0102022

0012202

1000111

0101011

0011101

zw

yv

xu

zw

yv

xu

zw

yv

xu

z

y

x

xyz

xzy

yzx

xyz

xzy

yzx

xyz

xzy

yzx

A informação proporcionada por dois pontos com coordenadas conhecidas nos dois

data não é suficiente para determinar os sete parâmetros da transformação. A informação

proporcionada por três pontos não complanares já se torna, no entanto, redundante. A

utilização de três (ou mais) pontos conhecidos nos dois sistemas, torna possível constituir um

sistema redundante com nove (ou mais) equações lineares a sete incógnitas, em geral

inconsistente, que pode ser tratado pelo método dos mínimos quadrados.

Na prática, por razões de natureza numérica, os pontos com coordenadas conhecidas

nos dois data devem enquadrar os pontos a transformar no seu interior. Se pretendermos

determinar parâmetros válidos, por exemplo, para todo o território de Portugal continental

deveremos utilizar um conjunto de pontos conhecidos com uma distribuição semelhante à da

rede geodésica de primeira ordem. Assim se consegue que praticamente todo o território fique

envolvido por pontos de coordenadas conhecidas nos dois data, sem que esses pontos fiquem,

ou demasiadamente afastados ou demasiadamente próximos, uns dos outros. Os sistemas de

equações resultantes de conjuntos de pontos muito próximos são sistemas instáveis cuja

resolução dá origem a valores afectados por erros significativos.

Parâmetros Bursa-Wolfe para Portugal Continental

A Tabela 5 apresenta os parâmetros Bursa-Wolfe preconizados pelo IGP para a

transformação das coordenadas geodésicas rectangulares DtLxH e Dt73 para ETRS89. Nesta

tabela podem ler-se os valores a considerar para dσ, rotações (k, ϕ, ω) em segundos de grau e

translação (∆x, ∆y, ∆z) em metros. Na Tabela 6 estão patentes elementos que caracterizam a

qualidade do ajuste de mínimos quadrados que permitiu a determinação dos parâmetros


constantes da Tabela 5. Recorda-se que o ETRS89 é o sistema de referência geodésica (isto é:

o datum) oficial para o território continental português.

Tabela 5: Parâmetros Bursa-Wolfe para transformação de data utilizados em Portugal Continental para

ETRS8928 (Fonte: páginas WWW do IGP, acedidas em Novembro de 2008)

Sist. local dσσσσ (ppm) k (") ϕϕϕϕ (") ωωωω (") ∆∆∆∆x (m) ∆∆∆∆y (m) ∆∆∆∆z (m) DtLxH −4.058 −1.157 0.059 −0.652 −283.088 −70.693 117.445

Dt73 1.950 0.633 −0.239 0.900 −230.994 102.591 25.199

Tabela 6: Caracterização da qualidade do ajuste de mínimos quadrados utilizado para a determinação dos

parâmetros constantes da Tabela 5 (Fonte: páginas WWW do IGP, acedidas em Novembro de 2008)

DtLxH Dt73 M P h M P h

RMQ (m) 1.404 1.493 0.251 0.381 0.359 0.239 Max. abs (m) 5.099 4.146 1.060 1.351 1.080 1.017

Na Tabela 7 são apresentados os parâmetros Bursa-Wolfe preconizados pelo IGP

para a transformação das coordenadas geodésicas rectangulares WGS84 para os data locais

Datum 73 (Dt73), Datum Lisboa Hayford (DtLxH), Datum Lisboa Bessel (DtLxB) e Datum

Europeu 1950 (ED50).

28 Parâmetros calculados com base nos 119 vértices geodésicos de 1.ª ordem e utilizando os 833

vértices geodésicos de 2.ª ordem para controlo.


Tabela 7: Parâmetros Bursa-Wolfe de transformação de WGS8429 para data utilizados em Portugal

Continental (Fonte: páginas WWW do IGP, acedidas em Junho de 2005)30

Parâmetros Dt73 DtLxH ED50 DtLxB ∆x (m) 239.749 288.885 74.292 −631.392

∆y (m) −88.181 91.744 135.889 66.551

∆z (m) −30.488 −126.244 104.967 −481.442 k (") 0.263 −1.691 −0.524 1.090

ϕ (") 0.082 0.410 −0.136 −4.445

ω (") 1.211 −0.211 0.610 −4.487

dσ (ppm) −2.229 4.598 3.761 4.430

Parâmetros Bursa-Wolfe para as Regiões Autónomas

Na Tabela 8 são apresentados os parâmetros Bursa-Wolfe que permitem a

transformação das coordenadas cartesianas tridimensionais na data locais insulares para

coordenadas tridimensionais ITRF93. A qualidade dos ajustes de mínimos quadrados que

permitiu a determinação destes parâmetros é, de modo geral, claramente superior à qualidade

dos ajustes que permitiram a determinação dos parâmetros continentais apresentados na

Tabela 5. Recorda-se que o ITRF93 é o sistema de referência geodésica (isto é: o datum)

oficial para os arquipélagos dos Açores e da Madeira.

29 WGS84/ITRF96 30 Parâmetros calculados em Janeiro de 1998, com base na solução IBERIA 95/EUROGAUGE e nos

data oficiais (não revistos) DtLxH, D73 e ED50, para os nove pontos da base IBERIA 95 transformados. O

cálculo foi efectuado por minimização do somatório dos quadrados dos resíduos nos referidos nove pontos.

(Pinto, 1999 e 2001)


Tabela 8: Parâmetros Bursa-Wolfe de transformação dos data locais utilizados nos arquipélagos da Madeira

e dos Açores para ITRF93 (Fonte: páginas WWW do IGP, acedidas em Novembro de 2008)

Sist. local dσσσσ (ppm) k (") ϕϕϕϕ (") ωωωω (") ∆∆∆∆x (m) ∆∆∆∆y (m) ∆∆∆∆z (m) S. Braz31 0.097 2.005 3.606 −0.366 −269.089 186.247 155.667

S.Braz 32 0.952 1.406 2.423 −0.479 −249.507 179.302 119.920

S.Braz 33 −0.438 1.128 10.202 4.559 −440.296 58.548 296.265

Base SW34 −1.053 0.120 3.180 2.046 −185.391 122.266 35.989

Base SW35 −0.031 2.136 0.033 −2.392 −76.822 257.457 12.817

Base SW36 0.934 −2.036 3.046 3.709 −210.371 49.768 0.808

Base SW37 2.243 5.477 12.092 1.538 −364.422 243.651 274.822

Base SW38 0.309 −0.286 3.471 2.443 −201.545 109.048 32.218

Base SW39 0.297 −0.204 4.158 2.605 −216.355 107.044 48.015

Observatório40 1.485 −0.743 1.677 2.087 −487.978 −226.275 102.787

Observatório41 3.071 1.050 2.703 1.798 −511.151 −181.269 139.609

Observatório42 −11.187 6.674 35.963 20.438 −1333.976 −487.235 945.031

Porto Santo43 1.327 9.405" −6.626 −12.583 −303.956 224.556 214.306

Porto Santo44 −0.748 −1.423 −1.013 1.590 −494.088 −312.129 279.877

31 Parâmetros "globais" para todo o Grupo Oriental, calculados a partir de 53 pontos base e 58 pontos

de controlo. Os pontos utilizados abrangem as ilhas de S. Miguel e de Santa Maria. 32 Parâmetros para a Ilha de S. Miguel, calculados a partir de 36 pontos base e 43 pontos de controlo. 33 Parâmetros para a Ilha de Santa Maria, calculados a partir de 18 pontos base e 14 pontos de

controlo. 34 Parâmetros "globais" para todo o Grupo Central, calculados a partir de 112 pontos base e 184

pontos de controlo. Os pontos utilizados abrangem as ilhas do Faial, Graciosa, Pico, S. Jorge e Terceira. 35 Parâmetros para a Ilha do Faial, calculados a partir de 24 pontos base e 37 pontos de controlo. 36 Parâmetros para a Ilha da Graciosa, calculados a partir de 11 pontos base e 15 pontos de controlo. 37 Parâmetros para a Ilha do Pico, calculados a partir de 34 pontos base e 38 pontos de controlo. 38 Parâmetros para a Ilha de S. Jorge, calculados a partir de 17 pontos base e 60 pontos de controlo. 39 Parâmetros para a Ilha Terceira, calculados a partir de 26 pontos base e 34 pontos de controlo. 40 Parâmetros "globais" para todo o Grupo Ocidental, calculados a partir de 21 pontos base e 18

pontos de controlo. Os pontos utilizados abrangem as ilhas das Flores e do Corvo. 41 Parâmetros para a Ilha das Flores, calculados a partir de 18 pontos base e 15 pontos de controlo. 42 Parâmetros para a Ilha do Corvo, calculados a partir de 3 pontos base e 3 pontos de controlo. 43 Parâmetros para a Ilha da Madeira, calculados a partir de 22 pontos base e 17 pontos de controlo. 44 Parâmetros para a Ilha de Porto Santo, calculados a partir de 14 pontos base e 6 pontos de controlo.


Na Tabela 9 são apresentados os parâmetros Bursa-Wolfe, que permitem a

transformação das coordenadas cartesianas tridimensionais WGS84 para os data locais

insulares.

Tabela 9: Parâmetros Bursa-Wolfe de transformação de WGS84 para data utilizados nos arquipélagos da

Madeira e dos Açores (Fonte: páginas WWW do IGP, acedidas em Junho de 2005)

Sist. local dσσσσ k ϕϕϕϕ ωωωω ∆∆∆∆x ∆∆∆∆y ∆∆∆∆z S. Braz 45 −0.384×10−6 −0.089" 0.251" 0.079" 211.939 −137.626 −58.300 S.Braz 46 −0.198×10−6 −0.195" −0.014" 0.0327" 208.719 −129.685 −52.092 Base SW47 0.048×10−6 −0.103" −0.026" 0.024" 105.854 −165.589 38.312

Base SW48 1.504×10−6 0.167" 0.082" 0.168" 103.088 −162.481 28.276

Observatório49 − − − − 422.651 172.995 −84.020 Porto Santo50 −0.485×10−6 2.094" −15.067" −5.817" 210.502 66.602 48.476

As conversões inversas deverão ser efectuadas com parâmetros simétricos dos

apresentados nas tabelas anteriores.

Os modelos de Molodensky

O modelo completo de Molodensky

Molodensky abordou o problema de mudança de referencial geodésico assumindo,

como hipótese simplificadora, que os eixos dos elipsóides de partida e de chegada eram

paralelos. Verificando-se este pressuposto, então a mudança de datum implicará uma

45 Parâmetros calculados em Maio de 2001, apenas para a ilha de S. Miguel, com base na revisão de

coordenadas locais de 1995-1998 e na solução ITRF93/VM. 46 Parâmetros calculados para todo o Grupo Oriental, com base na revisão de coordenadas locais de

1995-1998 e na solução ITRF93/VM. 47 Parâmetros calculados em Maio de 2001, apenas para a ilha Terceira, com base na revisão de

coordenadas locais de 1995-1998 e na solução ITRF93/VM. Embora não apresentados nesta tabela, existem

parâmetros calculados para cada uma das restantes ilhas do Grupo Central 48 Parâmetros calculados para todo o Grupo Central, com base na revisão de coordenadas locais de

1995-1998 e na solução ITRF93/VM. 49 Parâmetros calculados com base em dois pontos comuns, observados pela missão do Instituto

Hidrográfico chefiada pelo Ten. Pinto, em 1999. 50 Parâmetros calculados com base na revisão de coordenadas locais de 1995 e na solução

WGS84/TANGO para o Forte de São Tiago.


alteração nos valores das coordenadas geodésicas elipsoidais que apenas será devida à não

coincidência dos centros dos dois elipsóides e à diferença entre as dimensões de cada um

deles. A hipótese que se acaba de enunciar é incompatível com a generalidade das mudanças

de datum para as quais seja exigido um elevado nível de precisão na determinação das

coordenadas transformadas; é esta a razão que justifica ser esta transformação considerada de

“baixa precisão”51 (ICSN 2006).

A transformação de Molodensky relaciona as coordenadas geodésicas elipsoidais

(φ, λ, h) de um ponto P, determinadas num determinado datum geodésico (o datum de

partida), com as coordenadas elipsoidais (φ+∆φ, λ+∆λ, h+∆h) do mesmo ponto P, agora

determinadas num segundo datum geodésico (o datum de chegada). As fórmulas da

transformação são:

( )

2

0 0 0

1

sen cossen cos sen sen cos

sen cos

N

NMM

R ex y z a

a

bRaRf R h

b a

−

φ φ∆φ = −∆ φ λ − ∆ φ λ + ∆ φ + ∆ +

+ ∆ + φ φ +

( )0 0sen cos

λcosN

x y

R h

−∆ λ + ∆ λ∆ =+ φ

com ∆φ e ∆λ em radianos, e

20 0 0cos cos cos sen sen senN

N

a bh x y z a f R

R a∆ = ∆ φ λ + ∆ φ λ + ∆ φ − ∆ + ∆ φ

onde a∆ e f∆ são as diferenças entre o semieixo maior e o achatamento dos dois elipsóides

de referência, enquanto que ),,( 000 zyx ∆∆∆ são as componentes do vector diferença entre os

centros dos dois elipsóides de referência. Os valores de a e f dizem respeito ao datum de

partida da transformação. Note-se também que operador gradiente representa a diferença entre

o valor de um parâmetro no datum de chegada e o valor que o mesmo parâmetro assume no

datum de partida. Recorda-se que esta transformação ignora os parâmetros associados às

51 A precisão diminui quando aumenta a área da região para a qual forem determinados os parâmetros

da transformação.


rotações dos eixos, conduzindo portanto a resultados menos precisos que os obtidos por

utilização do modelo de Bursa-Wolfe.

O modelo abreviado de Molodensky

As fórmulas abreviadas (simplificadas) da transformação de Molodensky são:

( )0 0 0sen cos sen sen cos sen 2

M

x y z f a a f

R

−∆ φ λ − ∆ φ λ + ∆ φ + ∆ + ∆ φ∆φ =

0 0sen cosλ

cosN

x y

R

−∆ λ + ∆ λ∆ =φ

com ∆φ e ∆λ em radianos, e

20 0 0cos cos cos sen sen ( )senh x y z f a a f a∆ = ∆ φ λ + ∆ φ λ + ∆ φ + ∆ + ∆ φ − ∆

Note-se que este modelo abreviado considera que a altitude elipsoidal não afecta as

variações de latitude e de longitude. Os resultados obtidos com a utilização deste modelo

abreviado, sempre menos precisos que os do modelo completo, são aceitáveis desde que as

regiões de interesse não sejam demasiado extensas e, evidentemente, as exigências de

precisão não sejam críticas; estas razões explicam a popularidade desta transformação em

equipamentos GNSS portáteis e em sistemas de informação geográfica (SIG).

Parâmetros de Molodensky para Portugal Continental

A Tabela 10 apresenta os parâmetros Molodensky preconizados pelo IGP para a

transformação das coordenadas geodésicas rectangulares entre os data mais utilizados no

território de Portugal Continental. Mais uma vez se recorda que o ETRS89 é o sistema de

referência geodésica (isto é: o datum) oficial para o território continental português.


Tabela 10: Parâmetros Molodensky para transformação entre os data continentais

(Fontes: Casaca 1999, Rodrigues 1992, Pinto 1999, Torres 1999

e páginas WWW do IGP, acedidas em Junho de 2005 e Novembro de 2008)

Transformação 0x∆ (m) 0y∆ (m) 0z∆ (m)

DtLxB→DtLxH +812.134 −130.465 +461.583

DtLxB→ED50H +594.56 −81.29 +684.24

DtLxB→WGS72 +504.07 −202.89 +558.45

DtLxB→WGS8453 508.088 −191.042 565.223

DtLxB→ETRS8952 508.088 −191.042 565.223

DtLxB→Dt73H +731.07 −300.40 +527.58

DtLxH→ED50H −218.39 +48.92 +224.22

DtLxH→WGS72 −308.88 −72.68 +98.43

DtLxH→Dt73H −80.809 −170.770 +66.991

DtLxH→WGS8453 −304.046 −60.576 +103.640

DtLxH→ETRS8928 −303.861 −60.693 +103.607

Dt73H→ WGS72 −227.00 +97.51 +30.87

Dt73H→ED79H −142.67 +204.16 +154.24

Dt73H→WGS8453 −223.237 +110.193 +36.649

Dt73H→ETRS8928 −223.150 +110.132 +36.711

ED50H→WGS72 −90.49 −121.60 −125.79

ED50H→WGS84 −87.987 −108.639 −121.593

ED50H→ETRS8954 −87.987 −108.639 −121.593

ED79H→WGS72 −84.59 −106.86 −123.47.

52 Reparar que estes parâmetros são idênticos ao da transformação DtLxB→WGS84. 53 Parâmetros calculados em Janeiro de 1998, com base na solução IBERIA 95/EUROGAUGE, no

datum WGS84/ITRF96 e nos data oficiais (não revistos) DtLxH, D73 e ED50, para os nove pontos da base

IBERIA 95 transformados. O cálculo foi efectuado por minimização do somatório dos quadrados dos resíduos

nos referidos nove pontos. 54 Reparar que estes parâmetros são idênticos ao da transformação ED50H→WGS84.


Tabela 11: Caracterização da qualidade do ajuste de mínimos quadrados utilizado para a determinação dos

parâmetros Molodensky para a transformação, para ETRS89, dos data DtLxH e Dt73, constantes da Tabela

10 (Fonte: páginas WWW do IGP, acedidas em Novembro de 2008)

DtLxH Dt73 M P h M P h

RMQ (m) 1.694 1.600 0.291 0.844 0.563 0.290 Max. abs (m) 4.468 5.033 0.901 2.111 1.870 0.912

Parâmetros de Molodensky para as Regiões Autónomas

Os parâmetros de Molodensky preconizados pelo IGP para os arquipélagos dos

Açores e da Madeira são apresentados na Tabela 12. A qualidade dos ajustes de mínimos

quadrados que permitiu a determinação destes parâmetros é, de modo geral, claramente

superior à qualidade dos ajustes que permitiram a determinação dos parâmetros referentes às

transformações DtLxH→ETRS89 e Dt73→ETRS89 apresentados na Tabela 10. Mais uma

vez se chama a atenção para o facto de ser o ITRF93 o sistema de referência geodésica (isto é:

o datum) oficial para os arquipélagos dos Açores e da Madeira.

Tabela 12: Parâmetros Molodensky para transformação dos data insulares para ITRF93

(Fonte: páginas WWW do IGP, acedidas em Novembro de 2008 )

Sistema local 0x∆ (m) 0y∆ (m) 0z∆ (m)

S. Braz55 −204.926 +140.353 +55.063

S. Braz56 −204.519 +140.159 +55.404

S. Braz57 −205.808 +140.771 +54.326

Base SW58 −105.679 +166.100 −37.322

Base SW59 −105.377 +165.769 −36.965

55 Parâmetros "globais" para todo o Grupo Oriental, calculados a partir de 53 pontos base e 58 pontos

de controlo. Os pontos utilizados abrangem as ilhas de S. Miguel e de Santa Maria. 56 Parâmetros para a Ilha de S. Miguel, calculados a partir de 36 pontos base e 43 pontos de controlo. 57 Parâmetros para a Ilha de Santa Maria, calculados a partir de 18 pontos base e 14 pontos de

controlo. 58 Parâmetros "globais" para todo o Grupo Central, calculados a partir de 112 pontos base e 184

pontos de controlo. Os pontos utilizados abrangem as ilhas do Faial, Graciosa, Pico, S. Jorge e Terceira. 59 Parâmetros para a Ilha do Faial, calculados a partir de 24 pontos base e 37 pontos de controlo.



Base SW60 −105.359 +165.804 −37.050

Base SW61 −105.531 +166.390 −37.326

Base SW62 −105.756 +165.972 −37.313

Base SW63 −106.235 +166.236 −37.768

Observatório64 −423.058 −172.868 +83.772

Observatório65 −423.053 −172.871 +83.771

Observatório66 −423.024 −172.923 +63.83

Porto Santo67 −503.229 −247.375 312.582

Porto Santo68 −303.956 +224.556 +214.306

Porto Santo69 −494.088 −312.129 +279.877

60 Parâmetros para a Ilha da Graciosa, calculados a partir de 11 pontos base e 15 pontos de controlo. 61 Parâmetros para a Ilha do Pico, calculados a partir de 34 pontos base e 38 pontos de controlo. 62 Parâmetros para a Ilha de S. Jorge, calculados a partir de 17 pontos base e 60 pontos de controlo. 63 Parâmetros para a Ilha Terceira, calculados a partir de 26 pontos base e 34 pontos de controlo. 64 Parâmetros "globais" para todo o Grupo Ocidental, calculados a partir de 21 pontos base e 18

pontos de controlo. Os pontos utilizados abrangem as ilhas das Flores e do Corvo. 65 Parâmetros para a Ilha das Flores, calculados a partir de 18 pontos base e 15 pontos de controlo. 66 Parâmetros para a Ilha do Corvo, calculados a partir de 3 pontos base e 3 pontos de controlo. 67 Parâmetros "globais" para todo o Arquipélago da Madeira, calculados a partir de 34 pontos base e

25 pontos de controlo. Os pontos utilizados abrangem as ilhas da Madeira e de Porto Santo. 68 Parâmetros para a Ilha da Madeira, calculados a partir de 22 pontos base e 18 pontos de controlo. 69 Parâmetros para a Ilha de Porto Santo, calculados a partir de 14 pontos base e 6 pontos de controlo.


Tabela 13: Parâmetros Molodensky para transformação de WGS8429para alguns data insulares

(Fontes: Pinto 2001 e páginas WWW do IGP, acedidas em Junho de 2005 )


S. Braz45 +204.633 −140.216 −55.199

S. Braz46 +204.619 −140.176 −55.226

Base SW47 +106.301 −166.270 +37.916

Base SW48 +106.226 −166.366 +37.893

Observatório49 +422.651 +172.995 −84.020

Porto Santo50 +502.862 +247.438 −312.724

Exemplo: Considerando o vértice geodésico Lisboa (L x) situado no

Castelo de S. Jorge, cujas coordenadas geodésicas e lipsoidais relativas ao

Datum Hayford-DtLx são:

φLx= 38°42'43.6", λLx=−9°07'54.8"

a utilização das fórmulas abreviadas de Molodensky, com os parâmetros

apresentados na Tabela 10, permite obter as correcç ões:

∆φ=+2.76", ∆λ=−7.51", ∆h=+0.79m

que transformam as coordenadas elipsoidais Hayford- DtLx do vértice Lisboa,

nas suas coordenadas elipsoidais Hayford-Dt73:

φDt73 =38°42'46.36", λDt73 =−9°08'02.31"

As coordenadas elipsoidais WGS84 deste vértice pode m ser obtidas a

partir das coordenadas Hayford-Dt73 adicionando-lhe s as correcções de

Molodensky

∆φ=+2.86", ∆λ=+3.04", ∆h=+52.55m

que transformam as coordenadas elipsoidais Hayford- Dt73 do vértice Lisboa,

nas suas coordenadas elipsoidais WGS84.


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Vasconcelos, Manuela; Carla Martins; “Rede Geodésica Nacional: Estado Actual,

Competências e Informação de Cidadania”, comunicação apresentada na GIS Planet

2005


Versão Data Observações

2.10 Outubro 2006 Corrigi a expressão de ∆φ na transformação abreviada de

Molodensky

Recalculei o problema final

Introduzi a transformação completa de Molodensky

Introduzi aquela que creio ser a versão correcta da matriz

de rotações genérica das transformações de semelhança

elementares (correcção, espero, à apresentada na

referência bibliográfica ICSM 2006)

Aumentei a nota respeitante aos sinais das rotações de

Bursa-Wolfe.

2.11 Janeiro 2008 Relativamente aos elipsóides de um datum local, escrevi

que as diferenças entre as coordenadas naturais do ponto

de fixação e as correspondentes coordenadas geodésica, a

existirem, serão pequenas pelo que o elipsóide será uma

boa aproximação regional ao Geóide.

Alterei o primeiro parágrafo dos data globais e introduzi a

denominação de "sistemas de referência geo-espaciais".

Correcção de pequenas gralhas.

A tabela de parâmetros Molodensky da NIMA para as

ilhas passou a ser referida como uma curiosidade.

2.12 Fevereiro 2008

Outubro 2008

Pequena alteração do texto relativo à transformação de

coordenadas geodésicas cartesianas em elipsoidais.

Introdução da expressão das coordenadas de um ponto, na

época t, em função da posição e velocidade na época t0.

2.13 Novembro 2008 Passei a classificar os data geodésicos em data clássicos e

data geo-espaciais.

Parâmetros de transformação dos data continentais para

ETRS89.

Parâmetros de transformação de todos os data insulares

para ITRF93.

Actualizei link para as coordenadas dos vértices


Versão Data Observações

geodésicos.

Dezembro 2010 Corrigi gralha (troca de sinal) no primeiro termo da

primeira forma de Molodensky completa.

Setembro 2013 Várias alterações de pequena importância.

Documents

geodesia v213