GUIA CENEVAL PARA LA ACREDITACION DEL BACHILLERATO

Indice

Espaol

Ortografa general (incluye acentuacin y homfonos)

Puntuacin

Gramtica y vocabulario

Concordancia y discordancia de las partes de la oracin

Autores y obras importantes de la literatura clsica

Ciencias naturales

Fsica

Mecnica

Electromagnetismo

Acstica

ptica

Termodinmica

Qumica

Propiedades de la materia

Estequiometra

Qumica orgnica

Termodinmica

Biologa

Biologa celular y molecular

Anatoma y fisiologa

Gentica

Bioqumica

Ciclos metablicos

Salud y enfermedad

Psicologa

Ciencias sociales

Historia universal y de Mxico

Historial universal

Mxico: historia

Geografa universal y de Mxico

Geografa fsica

Geografia Politica

Geografa humana

Mxico: geografa

Civismo

Filosofa

Economa

Sociologa

tica

Mundo contemporneo

Hitos o acontecimientos, polticos, econmicos, sociales y culturales

Siglas, acrnimos y funciones de organismos importantes

Problemas y hechos significativos en el campo de la ecologa, la salud y los deportes

Razonamiento verbal

La comprensin de lectura.

El establecimiento de relaciones entre palabras y frases sinnimas y antnimas

El establecimiento de completamientos o interpretaciones de razonamientos lgicos y analgicos

La elaboracin de inferencias lgicas y silogsticas

El establecimiento de relaciones:

causa-consecuencia

oposicin-semejanza

general-particular

ejemplificativas

explicativas, comparativas

analgicas

Razonamiento matemtico

Matemtica: Es el estudio de patrones en las estructuras de entes abstractos y en las relaciones entre ellas. Algunos matemticos se refieren a ella como la Reina de las Ciencias.

Segn los Sabios, se dice que la matemtica abarca tres mbitos:

Aritmtica.

Geometra, incluyendo la Trigonometra y las Secciones cnicas.

nlisis matemtico, en el cual se hace uso de letras y smbolos, y que incluye el lgebra, la geometra analtica y el clculo.

Aritmtica

Aritmtica es la parte de las matemticas que estudia los nmeros y las operaciones hechas con ellos.

Las cuatro operaciones bsicas de la Aritmtica son:

Suma

Resta

Multiplicacin

Divisin

Operaciones bsicas: suma, resta, multiplicacin y divisin

Todas estas operaciones se verifican a travs de su operacin inversa: la suma con la resta, la multiplicacin con la division

Suma

Se utiliza para juntar, agregar, unir, etc, 2 o mas cantidades contables de la misma magnitud (categora)

La suma o adicin es una operacin aritmtica definida sobre conjuntos de nmeros (naturales, enteros, racionales, reales y complejos) y tambin sobre estructuras asociadas a ellos, como espacios vectoriales con vectores cuyas componentes sean estos nmeros o funciones que tengan su imagen en ellos.

En el lgebra moderna se utiliza el nombre suma y su smbolo "+" para representar la operacin formal de un anillo que dota al anillo de estructura de grupo abeliano, o la operacin de un mdulo que dota al mdulo de estructura de grupo abeliano. Tambin se utiliza a veces en teora de grupos para representar la operacin que dota a un conjunto de estructura de grupo. En estos casos se trata de una denominacin puramente simblica, sin que necesariamente coincida esta operacin con la suma habitual en nmeros, funciones, vectores...

Propiedades de la suma

Propiedad conmutativa: si se altera el orden de los sumandos no cambia el resultado, de esta forma, a+b=b+a.

Propiedad asociativa: a+(b+c) = (a+b)+c

Elemento neutro: 0. Para cualquier nmero a, a + 0 = 0 + a = a.

Elemento opuesto. Para cualquier nmero entero, racional, real o complejo a, existe un nmero a tal que a + (a) = (a) + a = 0. Este nmero a se denomina elemento opuesto, y es nico para cada a. No existe en algunos conjuntos, como el de los nmeros naturales.

Estas propiedades pueden no cumplirse en casos de sumas infinitas.

Notacin

Si todos los trminos se escriben individualmente, se utiliza el smbolo "+" (ledo ms). Con esto, la suma de los nmeros 1, 2 y 4 es 1 + 2 + 4 = 7.

Tambin se puede emplear el smbolo "+" cuando, a pesar de no escribirse individualmente los trminos, se indican los nmeros omitidos mediante puntos suspensivos y es sencillo reconocer los nmeros omitidos. Por ejemplo:

1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 es la suma de los cien primeros nmeros naturales.

2 + 4 + 8 + ... + 512 + 1024 es la suma de las diez primeras potencias de 2.

En sumas largas e incluso sumas infinitas se emplea un nuevo smbolo, que se llama sumatorio y se representa con la letra griega Sigma mayscula (). Por ejemplo:

es la suma de los cien primeros nmeros naturales.

es la suma de las diez primeras potencias de 2.

Suma de fracciones

Hay dos casos:

Fracciones que tienen el mismo denominador; Fracciones que tienen el distinto denominador Primer caso: la suma de dos ms fracciones que tienen el mismo denominador es muy sencilla, slo hay que sumar los numeradores y se deja el denominador comn.

Segundo caso: la suma de dos o ms fracciones con distinto denominador es un poco menos sencilla.

Pasos

1. Se haya el mnimo comn mltiplo de los dos denominadores

2 Se calcula el numerador con la frmula: numerador antiguo x denominador comn y dividido por denominador antiguo

3 Se procede como en el primer caso (dado que las fracciones tienen el mimos denominador)

Resta

Se utiliza para restar, descontar, disminuir, etc., 2 o mas cantidades contables de la misma magnitud (categora)

La resta o substraccin es una de las cuatro operaciones bsicas de la aritmtica, y se trata bsicamente de la operacin inversa a la suma. Por ejemplo, si a+b=c, entonces c-b=a.

En la resta, el primer nmero se denomina minuendo y el segundo es el sustraendo. El resultado de la resta se denomina diferencia.

En el conjunto de los nmeros naturales, N, slo se pueden restar dos nmeros si el minuendo es mayor que el sustraendo. De lo contrario, la diferencia sera un nmero negativo, que por definicin estara excluido del conjunto. Esto es as para otros conjuntos con ciertas restricciones, como los nmeros reales positivos.

En matemticas avanzadas no se habla de "restar" sino de "sumar el opuesto". En otras palabras, no se tiene a - b sino a + (-b), donde -b es el elemento opuesto de b respecto de la suma

Resta de fracciones

Resta de fracciones que tienen el mismo denominador

Para restar dos ms fracciones que tienen el mismo denominador, slo hay que restar los numeradores y se deja el denominador comn. Ejemplo:

Resta de fracciones con distinto denominador

1. Se haya el mnimo comn mltiplo de los dos denominadores:

(mnimo comn mltiplo de 4 y 2)

2. Se calculan los numeradores con la frmula: numerador antiguo (6) x denominador comn (4) y dividido por denominador antiguo (4)

( 6*4/4=6 )

Numerador antiguo (1) x denominador comn (4) y dividido por denominador antiguo (2)

( 1*4/2= 2 )

3. Se procede como en la resta de fracciones de igual denominador (dado que las fracciones tienen el mismo denominador)

Multiplicacin

Se utiliza para resolver problemas donde se suman n veces las mismas cantidades.

El producto o la multiplicacin es una operacin aritmtica que se puede explicar como una manera de sumar nmeros idnticos.

El resultado de la multiplicacin de nmeros se llama producto. Los nmeros que se multiplican se llaman factores o coeficientes, e individualmente como multiplicando (nmero a sumar) y multiplicador (veces que se suma el multiplicando).

La multiplicacin se suele indicar con el aspa o el punto centrado . En ausencia de estos caracteres se suele emplear el asterisco *, sobre todo en computacin

Definicin

La multiplicacin de dos nmeros enteros n y m se define como:

sta no es ms que una forma de simbolizar la expresin "sumar m a s mismo n veces". Puede facilitar la comprensin el expandir la expresin anterior:

mn = m + m + m +...+ m

tal que hay n sumandos. As que, por ejemplo:

52 = 5 + 5 = 10

25 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

43 = 4 + 4 + 4 = 12

m6 = m + m + m + m + m + m

Utilizando esta definicin, es fcil demostrar algunas propiedades interesantes de la multiplicacin. Como indican los dos primeros ejemplos, el orden en que se multiplican dos nmeros es irrelevante, lo que se conoce como propiedad conmutativa, y se cumple en general para dos nmeros cualesquiera x e y:

xy = yx

La multiplicacin tambin cumple la propiedad asociativa, que consiste en que, para tres nmeros cualesquiera x, y y z, se cumple:

(xy)z = x(yz)

En la notacin algebraica, los parntesis indican que las operaciones dentro de los mismos deben ser realizadas con preferencia a cualquier otra operacin.

La multiplicacin tambin tiene lo que se llama propiedad distributiva con la suma, porque:

x(y + z) = xy + xz

Asimismo:

(x + t)(y + z) = x(y + z) + t(y + z) = xy + xz + ty + tz

Tambin es de inters que cualquier nmero multiplicado por 1 es igual a s mismo:

1x = x

es decir, la multiplicacin tiene un elemento identidad que es el 1.

Qu ocurre con el cero? La definicin inicial no ayuda mucho porque 1 es mayor que 0. De hecho, es ms fcil definir el producto por cero utilizando la segunda definicin:

m0 = m + m + m +...+ m

donde hay cero sumandos. La suma de cero veces m es cero, as que

m0 = 0

sin importar lo que valga m, siempre que sea finito.

El producto de nmeros negativos tambin requiere reflexionar un poco. Primero, considrese el nmero -1. Para cualquier entero positivo m:

(-1)m = (-1) + (-1) +...+ (-1) = -m

ste es un resultado interesante que muestra que cualquier nmero negativo no es ms que un nmero positivo multiplicado por -1. As que la multiplicacin de enteros cualesquiera se puede representar por la multiplicacin de enteros positivos y factores -1. Lo nico que queda por definir es el producto de (-1)(-1):

(-1)(-1) = -(-1) = 1

De esta forma, se define la multiplicacin de dos enteros. Las definiciones pueden extenderse a conjuntos cada vez mayores de nmeros: primero el conjunto de las fracciones o nmeros racionales, despus a todos los nmeros reales y finalmente a los nmeros complejos y otras extensiones de los nmeros reales.

el producto vaco, es decir, multiplicar cero factores, vale 1.

Una definicin recursiva de la multiplicacin puede darse segn estas reglas:

x0 = 0

xy = x + x(y-1)

donde x es una cantidad arbitraria e y es un nmero natural. Una vez el producto est definido para los nmeros naturales, se puede extender a conjuntos ms grandes, como ya se ha indicado anteriormente.

Division

Se utiliza para determinar n partes iguales de una cantidad determinada, dividir una magnitud en partes iguales.

En matemticas, especificamente en aritmtica elemental, la divisin es una operacin aritmtica que es la inversa de la multiplicacin y a veces puede interpretarse como una resta repetida.

En otras palabras, consiste en averiguar cuntas veces un nmero (el divisor) est contenido en otro nmero (el dividendo). En la divisin de nmeros enteros adems del dividendo y el divisor intervienen otros nmeros. As al resultado entero de la divisin se le denomina cociente y si la divisin no es exacta, es decir, el divisor no est contenido un nmero exacto de veces en el dividendo, la operacin tendr un resto, donde:

resto = dividendo - cociente divisor

Orden de Operaciones

Reglas Importantes para Resolver Operaciones Aritmticas:

1. Primero resolver todo lo que est dentro de simbolos de agrupacin.

2. Evaluar las expresiones exponenciales.

3. Hacer todas las multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha.

4. Hacer todas las sumas y restas en orden de izquierda a derecha.

Ejemplo:

Propiedades de los Nmeros Reales:

Conmutativa de adicin:

La conmutatividad implica que no importa el orden de operacin, el resultado siempre es el mismo.

Por ejemplo:

4 + 2 = 2 + 4

Conmutativa de multiplicacin:

Por ejemplo:

4 . 2 = 2 . 4

Asociativa de adicin:

La asociatividad implica que no importa el orden en que se agrupe, el resultado es el mismo.

Por ejemplo:

(4 + 2) + 9 = 4 + (2 + 9)

Asociativa de multiplicacin:

Por ejemplo:

4 . (2 . 9) = (4 . 2) . 9

Distributiva de multiplicacin sobre adicin:

Por ejemplo:

4 . (2 + 9) = 4 . 2 + 4 . 9

Reglas de los Signos:

1. En suma de nmeros con signos iguales, se suman los nmeros y el resultado lleva el mismo signo. Si los nmeros tienen signos diferentes, se restan y el resultado lleva el signo del mayor.

Ejemplo:

5 + 8 = 13

5 + -8 = -3

2. En resta de signos iguales el resultado lleva el signo del mayor. Si se restan signos diferentes, se suman los nmeros y el resultado lleva el signo del mayor.

Ejemplo:

5 - 8 = -3

5 - (-8) = 13

3. En multiplicacin y divisin de nmeros con signos iguales el resultado es positivo. Si los nmeros son signos opuestos, el resultado es negativo.

Ejemplo:

5 x 8 = 40

5 x -8 = -40

Clculo de porcentajes, regla de tres, potencias y races

Porcentaje

Un porcentaje es una forma de expresar una proporcin o fraccin como una fraccin de denominador 100, es decir, como una cantidad de centsimas. Es decir, una expresin como "45%" ("45 por ciento") es lo mismo que la fraccin 45/100.

"El 45% de la poblacin humana..." es equivalente a: "45 de cada 100 personas..."

Un porcentaje puede ser un nmero mayor que 100. Por ejemplo, el 200% de un nmero es el doble de dicho nmero, o un incremento del 100%. Un incremento del 200% dara como resultado el triple de la cantidad inicial. De esta forma, se puede apreciar la relacin que existe entre el aumento porcentual y el producto.

Confusin en el uso de los porcentajes

Surgen muchas confusiones en el uso de los porcentajes debido a un uso inconsistente o a un mal entendimiento de la aritmtica elemental.

Cambios

Debido a un uso inconsistente, no siempre est claro por el contexto con qu se compara un porcentaje. Cuando se habla de una subida o cada del 10% de una cantidad, la interpretacin usual es que este cambio es relativo al valor inicial de la cantidad: por ejemplo, una subida del 10% sobre un producto que cuesta 100$ es una subida de 10$, con lo que el nuevo precio pasa a ser 110$. Para muchos, cualquier otra interpretacin es incorrecta.

En el caso de los tipos de inters, sin embargo, es prctica comn utilizar los porcentajes de otra manera: supongamos que el tipo de inters inicial es del 10%, y que en un momento dado sube al 20%. Esto se puede expresar como una subida del 100% si se calcula el aumento con respecto del valor inicial del tipo de inters. Sin embargo, mucha gente dice en la prctica que "los tipos de inters han subido un 10%", refirindose a que ha subido en un 10% sobre el 100% adicional al 10% inicial (20% en total), aunque en la expresin usual de los porcentajes debera querer decir una subida del 10% sobre el 10% inicial (es decir, un total del 11%).

Para evitar esta confusin, se suele emplear la expresin "punto porcentual". As, en el ejemplo anterior, "los tipos de inters han subido en 10 puntos porcentuales" no dara lugar a confusin, sino que todos entenderan que los tipos estn actualmente en el 20%. Tambin se emplea la expresin "punto base", que significa la centsima parte de un punto porcentual (es decir, una parte entre diez mil). As, los tipos de inters han subido en 1000 puntos base.

Cancelaciones

Un error comn en el uso de porcentajes es imaginar que una subida de un determinado porcentaje se cancela con una cada del mismo porcentaje. Una subida del 50% sobre 100 es 100 + 50, o 150, pero una reduccin del 50% sobre 150 es 150 - 75, o 75. En general, el efecto final de un aumento seguido de una reduccin proporcionalmente igual es:

(1 + x)(1 - x) = 1 - x

es decir, una reduccin proporcional al cuadrado del cambio porcentual.

Los que tenan acciones punto como en el momento de la crisis acabaron comprendiendo que, aunque una accin haya cado un 99%, puede volver a caer otro 99%. Adems, si sube por un porcentaje muy grande, seguir perdindolo todo si un da la accin reduce su valor en un 100%, porque entonces no valdr nada.

Regla de tres

La regla de tres es una relacin que se establece entre tres (o ms) valores conocidos y una incgnita. Normalmente se usa cuando se puede establecer una relacin de linealidad (proporcionalidad) entre todos los valores involucrados (anlogo para proporcionalidad inversa).

Normalmente se representa de la siguiente forma:

A - B

X - C

Siendo A, B y C valores conocidos y X la incgnita cuyo valor queremos averiguar. Esto se lee de la siguiente manera: A es a B como X es a C. La posicin de la incgnita puede variar, por supuesto.

As por ejemplo para pasar 60 grados a radianes podramos establecer la siguiente regla de tres:

360 - 2

60 - X

potencia y raiz

Notacin Exponencial

La notacin exponencial se usa para repetir multiplicaciones de un mismo nmero. Es la elevacin a la ensima potencia (n) de una base (X).

Ejemplos:

Raz cuadrada

En matemticas, la raz cuadrada de un nmero real no negativo x es el nmero real no negativo que, multiplicado con s mismo, da x. La raz cuadrada de x se denota por x. Por ejemplo, 16 = 4, ya que 4 4 = 16, y 2 = 1,41421... . Las races cuadradas son importantes en la resolucin de ecuaciones cuadrticas.

La generalizacin de la funcin raz cuadrada a los nmeros negativos da lugar a los nmeros imaginarios y al campo de los nmeros complejos.

El smbolo de la raz cuadrada se emple por primera vez en el siglo XVI. Se ha especulado con que tuvo su origen en una forma alterada de la letra r minscula, que representara la palabra latina "radix", que significa "raz".

Propiedades

Las siguientes propiedades de la raz cuadrada son vlidas para todos los nmeros positivos x, y:

para todo nmero real x (vase valor absoluto)

La funcin raz cuadrada, en general, transforma nmeros racionales en nmeros algebraicos; x es racional si y slo si x es un nmero racional que puede escribirse como fraccin de dos cuadrados perfectos. Si el denominador es 1 = 1, entonces se trata de un nmero natural. Sin embargo, 2 es irracional.

La funcin raz cuadrada transforma la superficie de un cuadrado en la longitud de su lado.

Propiedades de los nmeros

Un nmero es un smbolo que representa una cantidad. Los nmeros son ampliamente utilizados en matemticas, pero tambin en muchas otras disciplinas y actividades, as como de forma ms elemental en la vida diaria.

El nmero es tambin una entidad abstracta con la que se describe una cantidad. Los nmeros ms conocidos son los nmeros naturales 0, 1, 2, ..., que se usan para contar. Si aadimos los nmeros negativos obtenemos los enteros. Cocientes de enteros generan los nmeros racionales. Si incluimos todos los nmeros que son expresables con decimales pero no con fracciones de enteros, obtenemos los nmeros reales; si a stos les aadimos los nmeros complejos, tendremos todos los nmeros necesarios para resolver cualquier ecuacin algebraica. Podemos ampliar an ms los nmeros, si aadimos los infinitos y los transfinitos. Entre los reales, existen nmeros que no son soluciones de una ecuacin polinomial o algebraica. Reciben el nombre de transcendentales. El ejemplo ms famoso de estos nmeros es (Pi), otro ejemplo fundamental e igual de importante es e, base de los logaritmos naturales. Estos dos nmeros estn relacionados entre si por la identidad de Euler, tambin llamada la frmula ms importante del mundo.

Existe toda una teora de los nmeros. Se distinguen distintos tipos de nmeros:

Nmeros naturales . conjunto de numeros que utilizamos para contar cantidades enteras positivas

o Tiene como primer elemento el cero

o Cualquier numero puede ser escrito con los numero del sistema decimal

o Es un conjunto infinito

o Todos los numeros tienen su siguente

o No existen numeros intermedios entre un numero y sus siguiente

o Todos los numeros naturales cumplen con las relaciones de orden y comparacin.

Nmero primo

Nmeros compuestos

Nmeros perfectos

Nmeros enteros

Nmeros pares

Nmeros impares

Nmeros racionales

Nmeros reales

Nmeros irracionales

Nmeros algebraicos

Nmeros trascendentes

Nmeros complejos

Cuaterniones

Nmeros infinitos

Nmeros transfinitos

Nmeros fundamentales: y e

El estudio de ciertas propiedades que cumplen los nmeros ha producido una enorme cantidad de tipos de nmeros, la mayora sin un inters matemtico especfico. A continuacin se indican algunos:

Narcisista: Nmero de n dgitos que resulta ser igual a la suma de las potencias de orden n de sus dgitos. Ejemplo: 153 = 1 + 5 + 3.

Omirp: Nmero primo que al invertir sus dgitos da otro nmero primo. Ejemplo : 1597 y 7951 son primos.

Vampiro: Nmero que se obtiene a partir del producto de dos nmeros obtenidos a partir de sus dgitos. Ejemplo: 2187 = 27 x 81.

Una vez entendido el problema de la naturaleza y la clasificacin de los nmeros, surge otro, ms prctico, pero que condiciona todo lo que se va a hacer con ellos: la manera de escribirlos. El sistema que se ha impuesto universalmente es la numeracin de posicin gracias al invento del cero, con una base constante.

lgebra

El lgebra es la rama de las matemticas que tiene por objeto de estudio la generalizacin del clculo aritmtico mediante expresiones compuestas de constantes (nmeros) y variables (letras).

Etimolgicamente, proviene del rabe (tambin nombrado por los rabes Amucabala) (yebr) (al-dejaber), con el significado de reduccin, operacin de ciruga por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el mdico reparador de huesos).

El lgebra lineal tiene sus orgenes en el estudio de los vectores en el plano y en el espacio tridimensional cartesiano. Aqu, un vector es un segmento, caracterizado por su longitud (o magnitud) y direccin. Los vectores pueden entonces utilizarse para representar ciertas magnitudes fsicas, como las fuerzas, pueden sumarse y ser multiplicados por escalares, formando entonces el primer ejemplo de espacio vectorial real.

Hoy da, el lgebra lineal se ha extendido para considerar espacios de dimensin arbitraria o incluso de dimensin infinita. Un espacio vectorial de dimensin n se dice que es n-dimensional. La mayora de los resultados encontrados en 2 y 3 dimensiones pueden extenderse al caso n-dimensional. A mucha gente le resulta imposible la visualizacin mental de los vectores de ms de tres dimensiones (o incluso los tridimensionales). Pero los vectores de un espacio n-dimensional

pueden ser tiles para representar informacin: considerados como n-tuplas, es decir, listas ordenadas de n componentes, pueden utilizarse para resumir y manipular informacin eficientemente. Por ejemplo, en economa, se pueden crear y usar vectores octo-dimensionales u 8-tuplas para representar el Producto Interno Bruto de 8 pases diferentes. Se puede simplemente mostrar el PIB en un ao en particular, en donde se especifica el orden que se desea, por ejemplo, (Estados Unidos, Reino Unido, Francia, Alemania, Espaa, India, Japn, Australia), utilizando un vector (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) en donde el PIB de cada pas est en su respectiva posicin.

Un espacio vectorial (o espacio lineal), como concepto puramente abstracto en el que podemos probar teoremas, es parte del lgebra abstracta, y est bien integrado en ella. Por ejemplo, con la operacin de composicin, el conjunto de aplicaciones lineales de un espacio vectorial en s mismo (endomorfismos) tiene estructura de anillo, y el subconjunto de las aplicaciones lineales que son invertibles (los automorfismos) tiene estructura de grupo. El lgebra Lineal tambin tiene un papel importante en el clculo, sobre todo en la descripcin de derivadas de orden superior en el anlisis vectorial y en el estudio del producto tensorial (en fsica, buscar momentos de torsin) y de las aplicaciones antisimtricas.

Un espacio vectorial se define sobre un cuerpo, tal como el de los nmeros reales o en el de los nmeros complejos. Una aplicacin (u operador) lineal hace corresponder los vectores de un espacio vectorial con los de otro (o de l mismo), de forma compatible con la suma o adicin y la multiplicacin por un escalar definidos en ellos. Elegida una base de un espacio vectorial, cada aplicacin lineal puede ser representada por una tabla de nmeros llamada matriz. El estudio detallado de las propiedades de las matrices y los algoritmos aplicados a las mismas, incluyendo los determinantes y autovectores, se consideran parte del lgebra lineal.

En matemticas los problemas lineales, aquellos que exhiben linealidad en su comportamiento, por lo general pueden resolverse. Por ejemplo, en el clculo diferencial se trabaja con una aproximacin lineal a funciones. La distincin entre problemas lineales y no lineales es muy importante en la prctica.

Algunos Teoremas tiles

Todo espacio lineal tiene una base (Esta afirmacin es lgicamente equivalente al Axioma de eleccin)

Una matriz A no nula con n filas y n columnas es no singular (inversible) si existe una matriz B que satisface AB = BA = I donde I es la matriz identidad.

Una matriz es inversible si y solo si su determinante es distinto de cero.

Una matriz es inversible si y solo si la transformacin lineal representada por la matriz es un isomorfismo (vea tambin matriz inversible para otras afirmaciones equivalentes)

Una matriz es positiva semidefinida si y solo si cada uno de sus eigenvalores son mayores o iguales a cero

Una matriz es positiva definida si y solo si cada uno de sus eigenvalores son mayores a cero.

Literales y exponentes

Una literal es una representacin general de una cierta magnitud.

Por ejempo: el area de un rectangualo es igual a : A= bh donde A, b y H son literales.

Expresiones Algebraicas

Las expresiones algebraicas se clasifican segn su nmero de trminos.

monomio = un solo trmino.

Por ejemplo:

binomio = suma o resta de dos monomios.

Por ejemplo:

trinomio = suma o resta de tres monomios.

Por ejemplo:

polinomio = suma o resta de cualquier nmero de monomios.

Reglas de los Exponentes:

Para multiplicar factores exponenciales que tienen la misma base y los exponentes son enteros positivos diferentes.

Ejemplo:

Para multiplicar factores que tienen base diferente y exponentes iguales, el exponente se queda igual.

Ejemplo:

En divisin, si tienen la misma base y los exponentes son enteros positivos diferentes, se restan los exponentes. Las variables m y n son enteros positivos , m > n.

Ejemplo:

En suma y resta, solo se procede si son trminos similares, en otras palabras lo que difiere es su coeficiente numrico.

Productos notables y factorizacin

Productos Notables

Cuadrado de la suma de dos cantidades

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad ms el doble de la primera cantidad por la segunda ms el cuadrado de la segunda cantidad.

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el doble de la primera cantidad por la segunda ms el cuadrado de la segunda cantidad.

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el cuadrado de la segunda

Cubo de un binomio

El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad mas el triple del cuadrado de la primera por la segunda mas el triple del cuadrado de la segunda por la primera mas el segundo al cubo.

El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triple del cuadrado de la primera por la segunda mas el triple del cuadrado de la segunda por la primera menos el segundo al cubo.

Cocientes Notables

Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades

La diferencia de los cuadrados de dos cantidades divididas entre la suma de las cantidades es igual a la diferencia de las cantidades.

La diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la diferencia de las cantidades es igual a la suma de las cantidades.

Factorizacin de Polinomios

Factorizar un polinomio es el primer mtodo para obtener las races o ceros de la expresin. Para factorizar se comienza con una regla que te permite desarrollar la destreza, para aplicarla a ejercicios de mayor dificultad. Se buscan dos factores o nmeros cuyo producto sea el ltimo trmino y a la vez sumados o restados den como resultado el coeficiente del trmino del medio. Esta regla aplica solo a ecuaciones cuadrticas cuyo coeficiente de la variable elevado al cuadrado es 1. Si el coeficiente de la variable elevada al cuadrado no fuese 1, la manera de factorizar sera tanteando hasta poder lograr la factorizacin. Muchas veces la factorizacin es simplemente reconocer factores comunes.

Se puede utilizar tambin la inversa de las frmulas de productos especiales. O sea, expresamos el polinomio como una multiplicacin o un producto, usando las frmulas a la inversa.

Completando el Cuadrado

Completando el cuadrado es el segundo mtodo para obtener las races o ceros de un polinomio. El proceso es el siguiente:

1. Primero mueves el tercer trmino con signo opuesto al lado contrario de la igualdad.

2. Luego, vas a calcular el trmino que te permite crear tu cuadrado de la siguiente forma: selecciona el coeficiente de la variable que est elevada a la 1, se divide entre dos y elevarlo al cuadrado.

3. Este resultado lo sumars a ambos lados de la expresin.

4. Despus, la raz cuadrada del primer trmino, el operador (signo) del medio y la raz cuadrada del ltimo termino, todo elevado al cuadrado es igual a la suma de la derecha.

5. Luego, sacas raz cuadrada a ambos lados, observando que hay dos posibles soluciones, el caso positivo y el caso negativo.

6. Por ltimo despejas por la variable y esas son las races o ceros del polinomio.

Como ejemplo vamos a utilizar el ejercicio .

Casos de factorizacin

Caso 1 - Factor comn

Cuando se tiene una expresin de dos o ms trminos algebraicos y si se presenta algn trmino comn, entonces se puede sacar este trmino como factor comn.

Caso 2 - Factor por agrupacin de trminos

En una expresin de dos, cuatro, seis o un nmero par de trminos es posible asociar por medio de parntesis de dos en dos o de tres en tres o de cuatro en cuatro de acuerdo al nmero de trminos de la expresin original. Se debe dar que cada uno de estos parntesis que contiene dos, o tres o mas trminos se le pueda sacar un factor comn y se debe dar que lo que queda en los

parntesis sea lo mismo para todos los parntesis o el factor comn de todos los parntesis sea el mismo y este ser el factor comn.

Caso 3 - Trinomio cuadrado perfecto

Una expresin se denomina trinomio cuadrado perfecto cuando consta de tres trminos donde el primero y tercer trminos son cuadrados perfectos (tienen raz cuadrada exacta) y positivos, y el segundo trmino es el doble producto de sus races cuadradas. Se extrae la raz cuadrada del primer y tercer trmino y se separan estas races por el signo del segundo trmino. El binomio as formado se eleva al cuadrado.

Caso 4 - Diferencia de cuadrados perfectos

Dos cuadrados que se estn restando es una diferencia de cuadrados. Para factorizar esta expresin se extrae la raz cuadrada de los dos trminos y se multiplica la resta de los dos trminos por la suma de los dos.

Caso especial: Se puede presentar que uno o los dos trminos de la diferencia contenga mas de un trmino.

Caso especial: Se puede dar una expresin de cuatro trminos donde tres de ellos formen un trinomio cuadrado perfecto que al ser factorizado y combinado con el cuarto trmino se convierta en una diferencia de cuadrados, o pueden ser seis trminos que formen dos trinomios cuadrados perfectos y al ser factorizados formen una diferencia de cuadrados.

Caso 5 - Trinomio cuadrado perfecto por adicin y sustraccin

Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados perfectos, el primer y tercer trmino tienen raz cuadrada perfecta pero el trmino de la mitad no es el doble producto de las dos races. Se debe saber cuanto debe ser el doble producto y la cantidad que falte para cuadrar el trmino de la mitad, esta cantidad se le suma y se le resta al mismo tiempo, de tal forma se armara un trinomio cuadrado y factorizado unido con el ltimo trmino tendremos una diferencia de cuadrados.

Caso especial: factorar una suma de cuadrados, se suma el trmino que hace falta para formar un trinomio cuadrado perfecto y al mismo tiempo se resta esta misma cantidad, as tendremos un trinomio cuadrado perfecto enseguida una diferencia de cuadrados.

Caso 6 - Trinomio de la forma

x2+bx+c

Esta clase de trinomio se caracteriza por lo siguiente:

El primer trmino tiene como coeficiente 1 y la variable esta al cuadrado.

El segundo trmino tiene coeficiente entero de cualquier valor y signo y la misma variable.

El tercer trmino es independiente (no contiene la variable).

Para factorar este trinomio se deben abrir dos factores que sean binomios, y donde el primer trmino de cada binomio es la variable y el segundo trmino en cada uno de los factores (parntesis), son dos nmeros , uno en cada parntesis de tal forma que la suma de los dos del

coeficiente del segundo trmino del trinomio y la multiplicacin de los dos del tercer trmino del trinomio, el signo del segundo trmino de cada factor depende de lo siguiente:

Si el signo del tercer trmino es negativo, entonces uno ser positivo y el otro negativo, el mayor de los dos nmeros llevara el signo del segundo trmino del trinomio y el otro nmero llevara el signo contrario. Si el signo del tercer trmino es positivo, entonces los dos signos sern iguales (positivos o negativos), sern el signo del segundo trmino del trinomio.

Caso 7 - Trinomio de la forma

Este trinomio se diferencia del trinomio cuadrado perfecto en que el primer trmino puede tener coeficiente diferente de 1.

Se procede de la siguiente forma:

Se multiplica todo el trinomio por el coeficiente del primer trmino, de esta forma se convierte en un trinomio de la forma:

y se divide por el mismo coeficiente. Se factoriza el trinomio en la parte superior del fraccionario y se simplifica con el nmero que esta como denominador.

Caso 8 - Cubo perfecto de binomios

Podemos asegurar que una expresin algebraica es un cubo perfecto si cumple las siguientes condiciones:

Posee cuatro trminos

El primer y cuarto trmino son cubos perfectos (tienen races cbicas exactas).

El segundo termino sea el triple del cuadrado de la raz cbica del primer trmino multiplicado por la raz cbica del ltimo trmino.

El tercer termino sea el triple del cuadrado de la raz cbica del ltimo trmino -multiplicado por la raz cbica del primer trmino.

Los signos son todos mas o tambin podra ser positivo el primero y el tercero y negativo el segundo y el cuarto.

Para factorizar un cubo perfecto se forma un binomio y se eleva al cubo, el primer trmino del binomio es la raz cbica del primer trmino y el segundo trmino es la raz cbica del ltimo trmino. El signo del segundo trmino es mas si todos los signos del cubo son mas y es menos si los signos del segundo y cuarto trmino del cubo son menos.

Caso 9 - Suma o diferencia de cubos perfectos

Su nombre lo indica, se reconoce por ser la suma o la resta de dos cubos. Su solucin ser dos factores, el primero de ellos es un binomio formado por las dos races cbicas de los trminos dados, el segundo factor esta formado por tres trminos as: la priemra raz al cuadrado, la primera raz por la segunda y la segunda raz al cuadrado. Los signos pueden ser de dos formas acuerdo a lo siguiente:

Caso 10 - Suma o diferencia de dos potencias iguales

Resumamos en la siguiente tabla las posibilidades:

Para an-bn con n = par o impar la factorizacin ser:

Para an-bn con n = par la factorizacin ser:

Para an+bn con n = impar la factorizacin ser:

Ecuaciones de primer y segundo grados

Se llaman ecuaciones a igualdades en las que aparecen nmero y letras (incgnitas) relacionados mediante operaciones matemticas.

Por ejemplo: 3x - 2y = x2 + 1

Son ecuaciones con una incgnita cuando aparece una sla letra (incgnita, normalmente la x).

Por ejemplo: x2 + 1 = x + 4

Se dice que son de primer grado cuando dicha letra no est elevada a ninguna potencia (por tanto a 1).

Ejemplos :

3x + 1 = x - 2

1 - 3x = 2x - 9.

x - 3 = 2 + x.

x/2 = 1 - x + 3x/2

Ecuaciones de segundo grado con una incgnita

Las ecuaciones de segundo grado o cuadrticas son aquellas en las que la variable est elevada al cuadrado, el siguiente es un ejemplo de una ecuacin cuadrtica:

La ecuacin solo tiene una incgnita, y sta se encuentra elevada a la 1 y al cuadrado, adems hay trminos independientes (nmeros). Las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones o ninguna. Este es un ejemplo de una ecuacin cuadrtica completa, ya que posee coeficientes distintos de cero en los trminos cuadrticos (x^2), lineales (x^1) e independientes (x^0).

Veamos entonces algunos ejemplos de ecuaciones cuadrticas incompletas:

Esta ecuacin es muy fcil de resolver, ya que no se encuentra presente el trmino lineal:

Pero las ecuaciones cuadrticas tienen siempre dos soluciones, o bien ninguna, as que en este caso una raz cuadrada genera dos soluciones, una con signo positivo y otra negativo:

Y esto es cierto ya que tanto 2 como -2 elevados al cuadrado dan 4, as que siempre que calculemos la solucin de una raz cuadrada se debe tener en cuenta que sta genera dos signos. Esto suele expresarse de la siguiente manera:

Esto es un poco confuso pero en realidad nos dice que hay dos soluciones, vemos que ambas soluciones verifican la ecuacin inicial. Veamos ahora otro caso, si la ecuacin tiene trminos cuadrticos y lineales, pero no tiene trminos independientes:

En este caso sacamos factor comn X y razonamos de la siguiente forma:

Para que el primer miembro se haga 0 solo hay 2 alternativas: x es igual a 0 o (x+4) es igual a 0. De aqu se obtienen las dos soluciones (que llamamos X1 y X2):

Vemos que las soluciones verifican. Finalmente vamos al caso ms complejo que es el que tenamos inicialmente:

Es muy difcil despejar x de esta ecuacin (pero no imposible como veremos ms adelante). Para resolverla se utiliza una frmula muy famosa, la frmula de las soluciones de la ecuacin de segundo grado, la cual es atribuda a un ind de apellido Baskara, en primer lugar hay que pasar todos los trminos a un lado de la expresin de manera que quede igualada a cero. En segundo lugar se identifican tres coeficientes llamados a, b y c (a=coeficiente cuadrtico, b=coeficiente linearl, c=trmino independiente).

La ecuacin debe expresarse de la forma:

Por lo tanto operamos con la ecuacin hasta llevarla a este formato (a, b y c son nmeros en definitiva).

Comparando encontramos que:

La frmula que da las soluciones es la siguiente:

Frmula de Baskara

As que reemplazando los valores a, b y c:

Con lo cual obtenemos 2 soluciones, (ambas verifican la ecuacin), una con el signo + y otra con el -

Puede darse el caso que la ecuacin no tenga solucin (cuando queda una raz negativa).

El tema es: de dnde sac Baskara esta frmula?, bueno, en realidad es sencillo, l encontr la forma de construir un trinomio cuadrado perfecto (tercer caso de factoreo), aplicando algunos "truquillos".

Frmula de Baskara - Demostracin

Ahora viene la parte divertida, la demostracin. En primer lugar hay que llevar la ecuacin a la forma:

Luego se multiplica todo por 4a (la igualdad se mantiene desde luego):

Ahora sumamos y restamos b^2, de esta manera no cambia nada tampoco:

Ahora observemos los primeros 3 trminos, se trata de un trinomio cuadrado perfecto, as que factoreando se obtiene:

Y ahora es fcil despejar X:

Pero como vimos antes una raz arroja 2 resultados, uno positivo y uno negativo as que queda:

Esta ltima es la famosa frmula que nos da las soluciones para X.

Proporciones y desigualdades

Desigualdades algebraicas

Definiciones:

Ley de la tricotoma:

"Para cada par de nmeros reales a y b, es verdadera una, y solamente una, de las proposiciones:

Propiedades de las desigualdades

Teorema1-Propiedad transitiva:

Ejemplo ilustrativo:

Teorema2-Suma:

Ejemplo ilustrativo:

Teorema3-Multiplicacin por un nmero positivo:

Ejemplo ilustrativo:

Teorema4:

Ejemplo ilustrativo:

Los Teoremas 1 a 4 tambin son vlidos si se cambia ">" por "

"Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad, se cambia el sentido de la desigualdad".

Teorema7:

Teorema8:

Teorema9:

Teorema10:

Teorema11:

Geometra

La geometra es la matemtica que estudia idealizaciones del espacio: los puntos, las rectas, los planos y otros elementos conceptos derivados de ellos, como polgonos o poliedros.

Origen y desarrollo de la geometra:

Todo comenz en Egipto

El ser humano necesit contar, y cre los nmeros; quiso hacer clculos, y defini las operaciones; hizo relaciones, y determin las propiedades numricas.

Por medio de lo anterior, ms el uso de la lgica, obtuvo los instrumentos adecuados para resolver las situaciones problemticas surgidas a diario.

Adems de esos requerimientos prcticos, el hombre precis admirar la belleza de la creacin para satisfacer su espritu. Con ese fin, observ la naturaleza y todo lo que le rodeaba. As fue ideando conceptos de formas, figuras, cuerpos, lneas, los que dieron origen a la parte de la matemtica que designamos con el nombre de geometra.

El ro Nilo

La palabra geometra est formada por las races griegas: "geo", tierra, y "metrn", medida, por lo tanto, su significado es "medida de la tierra".

Segn lo registra la historia, los conceptos geomtricos que el hombre ide para explicarse la naturaleza nacieron -en forma prctica- a orillas del ro Nilo, en el antiguo Egipto.

Las principales causas fueron tener que remarcar los lmites de los terrenos ribereos y construir diques paralelos para encauzar sus aguas. Esto, debido a los desbordes que causaban las inundaciones peridicas.

El aporte griego

Quienes dieron carcter cientfico a la geometra fueron los griegos, al incorporar demostraciones en base a razonamientos.

Tales de Mileto (600 a.d.C.) inici esta tendencia, al concebir la posibilidad de explicar diferentes principios geomtricos a partir de verdades simples y evidentes.

Euclides (200 a.d.C.) le dio su mximo esplendor a esta corriente cientfica. Recogi los fundamentos de la geometra y de la matemtica griega en su tratado Elementos.

Representemos los conceptos

Hay conceptos geomtricos que no pueden definirse. Son ideas formadas en nuestra mente a travs de la observacin del entorno y solamente podemos hacer representaciones concretas de ellas.

Las llamaremos trminos primitivos o conceptos primarios y son: espacio, punto, recta y plano.

Espacio

Es el conjunto universo de la geometra. En l se encuentran todos los dems elementos. Dentro de l determinamos cuerpos geomtricos como cajas, planetas, esferas, etctera.

Su smbolo es: E

Punto

El punto tiene posicin en el espacio. Su representacin ms cercana es el orificio que deja un alfiler en una hoja de papel o en un granito de arena, pero debemos tener en cuenta que no tiene grosor.

En el espacio hay infinitos puntos. Los identificaremos con una letra mayscula y para

reconocerlos usaremos o x.

Por ejemplo:

A se lee punto A, x M se lee punto M.

Si unimos diferentes puntos, obtendremos lneas que pueden ser curvas, rectas, mixtas o poligonales. Son curvas si, al unirse los puntos, siguen distintas direcciones; rectas, si llevan la misma direccin; mixtas, si mezclan ambas; y poligonales, si estn formadas solamente por trozos de rectas.

Plano y Recta:Infinitos puntos

La unin de infinitos puntos da origen a los otros dos principios bsicos de la geometra: plano y recta.

La representacin ms cercana de la recta es un hilo tenso o la marca que deja un lpiz en un papel. Es infinita, porque sus extremos son ilimitados y en ella hay infinitos puntos.

La identificaremos con el dibujo

Una recta puede tener direccin:

Horizontal:

como la lnea del horizonte.

Vertical:

como el hilo a plomo.

Oblicua:

cuando es distinta a las dos anteriores.

Las rectas se nombran con dos letras maysculas y sobre ellas se anota su smbolo. Por ejemplo: AB, se lee recta AB.

Tambin se usa una L una R, especialmente en los casos en que deban distinguirse varias rectas.

Veamos:

DE es una recta oblicua.

L es una recta vertical.

Plano

Lo ms parecido a este elemento del espacio es una hoja de papel, pero lo diferencia con sta, el hecho que es ilimitado y no tiene grosor.

El plano es una superficie infinita, formada por infinitos puntos que siguen una misma direccin, es decir, hay rectas que quedan totalmente incluidas en ella.

El smbolo de plano es P y para nombrarlo debe estar acompaado de, por lo menos, tres puntos.

Las paredes de nuestra casa, el pavimento de las calles, la superficie de una laguna, son representaciones de planos.

Es importante saber que en un plano podemos encontrar puntos y rectas, y obtener figuras geomtricas.

Hay planos horizontales, verticales y oblicuos.

Cuando en una superficie no quedan rectas totalmente incluidas en ella, decimos que es curva. Una representacin de esto sera una bandera flameando

Clculo de permetros, reas y volmenes

El permetro de una figura bidimensional es la distancia que hay alrededor de ella.

El permetro de un polgono es igual a la suma de todos sus lados. El permetro de un polgono regular es igual a la la longitud de uno de los lados multiplicada por el nmero de lados.

La longitud de una circunferencia, o su permetro, es igual a 2r, donde r es el radio y es una constante que tiene un valor aproximadamente igual a 3,1416.

Llamamos rea o superficie a la medida de la regin interior de un polgono. Recordemos que la regin interior es la parte del plano que queda encerrada por los lados del polgono. Observa:

Este polgono de 9 lados, es decir, un enegono, tiene pintada de azul su regin interior.

Los puntos de la regin interior no se intersectan con la regin exterior, porque tienen una frontera: los lados que forman el polgono.

Una necesidad y un problema

El hombre tuvo necesidad de medir la superficie de los terrenos que sembraba. Para hacerlo, ide un sistema utilizando los elementos que tena a su alcance. El mtodo consisti en colocar cada elemento sobre la tierra para ver cuntas veces caba en la superficie que quera medir, como si pusiera baldosas sobre ella.

Pero se le present una dificultad, debido a que las medidas que usaba eran arbitrarias. Es decir, cada persona tena una base diferente, y media de acuerdo a su propio parecer, sin ponerse de acuerdo con los dems.

Por ejemplo...

Para que entiendas mejor lo anterior, lo veremos graficado con un ejemplo.

Vamos a medir el rea de una figura, utilizando elementos diferentes.

Esta es nuestra figura:

Primero mediremos el rea de este rectngulo, tomando como medida base una baldosa roja.

La baldosa roja cabe 9 veces en nuestro rectngulo, entonces su rea es de 9 baldosas rojas.

Ahora, mediremos con una baldosa diferente, la que identificaremos con el color verde. As:

La baldosa verde cabe 16 veces en el rectngulo. El rea corresponde a 16 baldosas verdes.

El rectngulo es el mismo, pero las baldosas son diferentes. Por lo tanto, los resultados de la medicin tambin fueron distintos.

Cuadrados y rectngulos

Dibujaremos un cuadrado de 3 cm. y colocaremos sobre l centmetros cuadrados.

Obtuvimos 9 cm2, lo mismo que si multiplicamos lado por lado, de este modo:

3 cm 3 cm = 9 cm2

Si llamamos a al lado del cuadrado, podemos concluir que:

el rea de un cuadrado es a a = a2

El rea de un rectngulo se calcula de forma semejante; lo nico que cambia es que las medidas de los lados son distintas. Al largo, lo denominaremos a, y al ancho, b. Calcularemos el rea del siguiente rectngulo con centmetros cuadrados.

El rea equivale a 8 cm2.

Matemticamente se puede obtener multiplicando largo por ancho.

En frmula, el rea de un rectngulo es a b

Rombos y romboides

Estos paralelgramos no tienen ngulos rectos, por lo que en ellos no se puede aplicar la misma frmula. Para calcular su rea, recurriremos a un elemento secundario: la altura, un segmento perpendicular (forma ngulos de 90) que une un lado con su vrtice opuesto.

En el rombo y romboide dibujados, DE corresponde a la altura.

Por qu necesitamos la altura para calcular el rea?

Trazaremos una paralela a la altura desde C y prolongaremos el lado AB hasta obtener F.

Se form un BFC, congruente con AED y nos qued el rectngulo EFCD

El rectngulo formado tiene como largo el lado del rombo o romboide, y su ancho es la altura dibujada. Entonces, concluimos que:

El rea del rombo o romboide = b h ---> b= base, y h = altura

En resumen, cualquier paralelgramo tiene una sola frmula para calcular su rea, ya que en el cuadrado y en el rectngulo un lado es la base y el otro, la altura. Entonces:

rea de un paralelgramo = b h

Calcularemos el rea de un rombo que tiene 4,6 cm. por lado y su altura es de 3 cm. Aplicamos la frmula:

rea rombo = b h

rea rombo = 4,6 cm 3 cm.

rea rombo = 13,8 cm2

Trapecios

Sabemos que los trapecios son cuadrilteros que tienen un par de lados paralelos llamados bases. Sus lados, es decir, los no paralelos, no son perpendiculares a las bases, salvo el trapecio rectngulo que tiene perpendicular uno de ellos. Para el clculo de su rea tambin necesitamos considerar la altura.

Para formar un rectngulo trazamos la paralela a DE desde B y prolongamos DC hasta formar F.

Nos queda el AED CFB y nuestro rectngulo es EBFD

El rectngulo tiene como largo la mitad de la suma de las bases del trapecio y su ancho es la altura que trazamos. El rea del trapecio se puede calcular aplicando la frmula:

rea del trapecio = base mayor + base menor h

_______________________________

2

Calcularemos el rea de nuestro trapecio.

rea del trapecio = 8 cm + 4 cm 3,6

___________________

2

rea del trapecio = 12 cm 3,6

_______________

2

rea del trapecio = 21,6 cm2

El rea de los tringulos

El clculo de rea de un tringulo cualquiera, se relaciona con el rea de un romboide, cuya frmula era base altura

Cmo podemos relacionar tringulo y romboide?

Lo haremos a travs del siguiente dibujo

A nuestro ABC, le trazaremos una paralela al lado AC a partir de B, y una paralela a AB a partir de C.

Se ha formado un romboide donde el ABC es la mitad de l.

Para calcular el rea del romboide necesitbamos la altura, porque su frmula es b h.

Como el es la mitad del romboide obtenemos que el rea del es igual a la mitad del rea del romboide.

Su frmula es:

rea del tringulo = b h _______ 2

AB= 5 cm AC= 3,2 cm

BC= 4 cm CD= 3 cm

Calculemos el rea de este tringulo. Comenzamos, aplicando la frmula.

Tringulo rectngulo

Si el es rectngulo, su rea se puede calcular por medio de sus catetos, que son los lados perpendiculares, porque un cateto es la altura del otro. Entonces, la frmula para su clculo sera:

rea del tringulo = cateto cateto

_____________________

2

Aplicaremos esta frmula en el siguiente tringulo rectngulo.

AB= 4 cm

BC= 5 cm

AC= 3 cm

Los catetos miden 3 y 4 cm

En el crculo

El crculo es la regin interior de una circunferencia.

El rea de un crculo se obtiene aplicando la siguiente frmula:

rea del O = r2

= 3,14 r = radio de la circunferencia

Recordemos que es un nmero decimal infinito que, para efectos de clculo, lo dejamos en 3,14 3.

Aplicaremos la frmula para calcular el rea de un crculo de 3 cm. de radio.

Apliquemos el teorema de Pitgoras

El gran matemtico griego Pitgoras descubri una situacin muy especial que se produce en el tringulo rectngulo y que se relaciona con sus lados.

Su teorema dice: "El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un tringulo rectngulo, equivale a la suma de los cuadrados construidos sobre sus catetos"

Demostraremos este teorema a travs de un dibujo.

Hemos construido un cuadrado sobre cada lado del tringulo rectngulo.

Pitgoras dice que el cuadrado 1 tiene su rea igual a la suma de los cuadrados 2 y 3.

De acuerdo al cuadriculado, el cuadrado 1 tiene un rea de 25 cuadros. Al sumar los 9 cuadros del cuadrado 2 y los 16 cuadros del 3 obtenemos 25. Entonces, se cumple:

Este teorema nos sirve para calcular la medida desconocida de un lado de un tringulo rectngulo, puede ser un cateto o su hipotenusa.

Por ejemplo: si la hipotenusa mide 5 cm y uno de sus catetos es 4 cm, cunto mide el otro cateto?

Aplicamos la frmula.

reas achuradas

Son una forma de aplicacin del clculo de reas de diferentes figuras que estn relacionadas entre s. Para distinguir la parte que se debe calcular como resultado final se procede a achurarla, es decir, se pinta o raya imitando texturas.

Algunas veces, la parte achurada est formada por la unin de reas de figuras, por lo tanto, hay que descomponerla, luego hacer el clculo de cada parte, y finalmente, sumarlas para encontrar el rea total.

Veamos el siguiente ejemplo:

Esta figura se descompone en medio crculo y un rectngulo. Primero, tendremos que calcular el rea del crculo; luego, dividirla por 2. Buscaremos, tambin el rea del rectngulo y despus sumaremos ambos resultados para obtener el rea total.

Hay ejercicios, que tienen unas figuras dentro de otras y la parte achurada se relaciona con un sector formado por la interseccin de ellas. En estos casos, la solucin se encuentra buscando la diferencia entre las figuras que forman la interseccin. Por ejemplo:

Nuestra figura est formada por un cuadrado con un crculo en su interior. La parte achurada corresponde a la diferencia entre el rea del cuadrado y la del crculo

Volumen

Probabilidad y estadstica bsica

La probabilidad es la caracteristica de un suceso del que existen razones para creer que se realizar. Los sucesos tienden a ser una frecuencia relativa del numero de veces que se realiza el experimento

La probabilidad p de aparicin de un suceso S de un total de n casos posibles igualmente factibles es la razn entre el nmero de ocurrencias h de dicho suceso y el nmero total de casos posibles n.

p = P{S} = h / n

La probabilidad es un nmero (valor) entre 0 y 1. Cuando el suceso es imposible se dice que su probabilidad es 0 y se dice que es un suceso cierto cuando siempre tiene que ocurrir y su probabilidad es 1. La probabilidad de no ocurrencia de un evento est dada por q donde:

q = P{noS} = 1 (h / n)

Simblicamente el espacio de resultados, que normalmente se denota por , es el espacio que consiste en todos los resultados que son posibles. Los resultados, que se denota por 1,2, etctera, son elementos del espacio

La Estadstica es una rama de las matemticas que se utiliza para describir, analizar e interpretar fenmenos donde interviene el azar, y que permite a otras ciencias a generar modelos matemticos empricos donde se considera el componente aleatorio. La Estadstica se divide en dos grandes ramas:

La Estadstica descriptiva, que se dedica a los mtodos de recoleccin, descripcin, visualizacin y resumen de datos originados a partir de los fenmenos en estudio.

La Estadstica inferencial, que se dedica a la generacin de los modelos, inferencias y predicciones asociadas a los fenmenos en cuestin.

El Razonamiento Estadstico

Todo problema estadstico opera del modo siguiente:

Se plantea un problema en estudio.

Se realiza un muestreo consistente en la recoleccin de datos referentes al fenmeno o variable que deseamos estudiar.

Se propone un modelo de probabilidad, cuyos parmetros se estiman mediante estadsticos a partir de los datos de muestreo. Sin embargo se mantiene lo que se denominan hiptesis sostenidas (que no son sometidas a comprobacin)

Se valida el modelo comparndolo con lo que sucede en la realidad. Se utiliza mtodos estadsticos conocidos como test de hiptesis y pilin de significacin

Poblacin, muestra, medidas de tendencia central, desviacin estndar y varianza

Poblacin: Conjunto de todos los elementos incluidos en cierto estudio estadstico.

Muestra: Subconjunto de la poblacin.

Elemento: Unidad mnima de la que se compone la poblacin

MEDIA ARITMTICA

Es la suma de los valores de una variable dividida por, l numero de ellos. La media aritmtica, que

se representa con .

La frmula de la media aritmtica es:

Ejemplo:

se obtiene con los siguientes pasos

1. Se suman todos los datos

10 + 3 + 5 + 9 + 6 + 8 + 8 + 7 + 9 + 6 + 8 + 7 =

2. La suma ( ) se divide entre el nmero de datos (n) :

La media aritmtica o promedio de las evaluaciones es 7.16, que es el valor representativo de todos los datos.

MEDIA ARITMTICA PONDERADA

A veces se asocia a los nmeros x1, x2,...,xn que se quieren promediar, ciertos factores o pesos w1, w2,...,wn que dependen de la significacin o importancia de cada uno de los nmeros. Entonces se genera una media aritmtica ponderada, que tambin se representa con equis testada.

Ejemplo

Supongamos que un alumno quiere encontrar el promedio ponderado de sus cinco calificaciones. La segunda calificacin vale el doble de al primera, la tercera el triple de la primera, la cuarta vale cuatro veces la primera y la quinta cinco veces. Cul es su promedio si sus calificaciones son 8.5, 7.3, 8.3, 6.4 y 9.2?

X1 = 8.5 ; W1 = 1

X2 = 7.3 ; W2 = 2

X3 = 8.3 ; W3 = 3

X4 = 6.4 ; W4 = 4

X5 = 9.2 ; W5 = 5

(8.5*1+7.3*2+8.3*3+6.4*4+9.2*5)

(1+2+3+4+5)

= 119.6/15 = 7.97 es el promedio ponderado de las calificaciones de este alumno

LA MEDIANA

Es la observacin que se encuentra en el centro cuando los datos estn ordenados, divide a los datos en dos partes iguales.

- Si n es impar:

la mediana es la observacin que est en el lugar (n+1)/2, esto es

- Si n es par:

la mediana es el promedio de las observaciones n/2 y n/2+1, esto es

Ejemplo

Encuentra la mediana para el siguiente conjunto de datos

9 12 5 16 8 3 11

Primero se ordenan los datos

3 5 8 9 11 12 16

Una vez ordenados, como el nmero de datos es impar (7), se busca el que tiene la posicin (n+1)2, o sea (7+1)2 = 4. Este nmero es el 9 y representa la mediana.

Ejemplo

Calcula la mediana para el siguiente conjunto de datos

8.3 5.7 9.2 3.9 7.4 11.8 10.6 4.3

Nuevamente se ordenan los datos

3.9 4.3 5.7 7.4 8.3 9.2 10.6 11.8

Una vez ordenados, como el nmeo de datos es par (8), se busca el nmero que tiene la posicin n/2 y el que tiene la posicin n/2+1, o sea 8/2 = 4 y 8/2+1 = 5. Los nmeros que tienen la posicin cuarta y quinta son 7.4 y 8.3. Estos nmeros se promedian y el resultado ser la mediana.

(7.4+8.3)/2 = 7.85. Este resultado 7.85 representa la mediana para este conjunto de datos

LA MODA

La moda es el dato que aparece con mayor frecuencia en una coleccin.

Ejemplo

Si se observa cual es el dato que ms se repite en las evaluaciones, se tiene:

3, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10

Que es el ocho. Este valor representa la moda de esta coleccin, por lo tanto, la moda se refiere al dato que tiene mayor frecuencia.

Nota: Si ninguna observacin se repite, se dice que esos datos no tienen moda. Si todos los datos se repiten el mismo nmero de veces, los datos sern multimodales.

Ejemplo

Encuentra la moda de los siguientes datos

4 9 5 6 7

Como los datos slo existen una vez, este conjunto de datos no tienen moda.

Ejemplo

Encuentra la moda del siguiente conjunto de datos

9 3 6 7 9 8 5 9 7 3

El 3 se repite dos veces, el 7 se repite tambin dos veces, pero como el 9 se repite tres veces, este ltimo nmero es la moda para este conjunto de datos.

Ejemplo

Calcula la moda para los datos que se presentan a continuacin

6 7 8 6 9 7 8 5 6 8

El mximo nmero de veces que se repiten los datos son tres, y hay dos datos que se repiten tres veces, el 6 y el 8. El conjunto de datos es bimodal y sus modas son el 6 y el 8.

Ejemplo

Calcula la moda para estos datos

8 6 5 5 9 6 8 6 5 9 8 9

En este conjunto de datos, todos se repiten tres veces. El 5, 6, 8 y el 9 son moda. No hay ninguno que no lo sea, es un caso multimodal

DESVIACIN ESTNDAR

La desviacin estndar es la medida de dispersin mas usada en estadstica, tanto en aspectos descriptivos como analticos. En su forma conceptual, la desviacin estndar se define as:

Frmula de trabajo para la poblacin

Frmula de trabajo para la muestra:

Ejemplo:

x x2

3 9

2 4

3 9

5 25

4 16

3 9

20 72

Cuando se trata de datos agrupados la formula es:

Ejemplo :

x f fx x2 fx2

32 1 32 1024 1024

37 3 111 1369 4107

42 8 336 1764 14112

47 9 423 2209 19881

52 7 364 2704 18928

57 4 228 3249 12996

62 3 186 3844 11532

67 3 201 4489 13467

72 2 144 5184 10368

Sumas 40 2025 106415

Conociendo la desviacin estndar, se puede calcular otros estimadores derivados que son de gran utilidad para describir y/o interpretar el comportamiento de los datos

VARIANZA (VARIANCIA) S2

La varianza, , se define como la media de las diferencias cuadrticas de n puntuaciones con respecto a su media aritmtica, es decir:

Para datos agrupados en tablas, usando las notaciones establecidas en los captulos anteriores, la varianza se puede escribir como

Una frmula equivalente para el clculo de la varianza est basada en lo siguiente:

Con lo cual se tiene

Si los datos estn agrupados en tablas, es evidente que

La varianza no tiene la misma magnitud que las observaciones (ej. si las observaciones se miden en metros, la varianza lo hace en metros2). Si queremos que la medida de dispersin sea de la misma dimensionalidad que las observaciones bastar con tomar su raz cuadrada.

Por ello se define la desviacin tpica, , como:

Ejemplo

Calcular la varianza y desviacin tpica de las siguientes cantidades medidas en metros:

3,3,4,4,5

Para calcular dichas medidas de dispersin es necesario calcular previamente el valor con respecto al cual vamos a medir las diferencias. ste es la media:

La varianza es:

Siendo la desviacin tpica su raz cuadrada:

Las siguientes propiedades de la varianza (respectivamente, desviacin tpica) son importantes a la hora de hacer un cambio de origen y escala a una variable. En primer lugar, la varianza (resp. Desviacin tpica) no se ve afectada si al conjunto de valores de la variable se le aade una constante. Si adems cada observacin es multiplicada por otra constante, en este caso la varianza cambia en relacin al cuadrado de la constante (resp. La desviacin tpica cambia en relacin al valor absoluto de la constante). Esto queda precisado en la siguiente proposicin

TASA INTERNA DE RENTABILIDAD O DE RETORNO

Generalmente conocido por su acrnimo TIR, es el tipo de descuento que hace que el VAN (valor actual o presente neto) sea igual a cero, es decir, el tipo de descuento que iguala el valor actual de los flujos de entrada (positivos) con el flujo de salida inicial y otros flujos negativos actualizados de un proyecto de inversin. En el anlisis de inversiones, para que un proyecto se considere rentable, su TIR debe ser superior al coste del capital empleado.

El Valor Actual Neto es un criterio financiero para el anlisis de proyectos de inversin que consiste en determinar el valor actual de los flujos de caja que se esperan en el transcurso de la inversin, tanto de los flujos positivos como de las salidas de capital (incluida la inversin inicial), donde stas se representan con signo negativo, mediante su descuento a una tasa o coste de capital adecuado al valor temporal del dinero y al riesgo de la inversin. Segn este criterio, se recomienda realizar aquellas inversiones cuyo valor actual neto sea positivo.

El Valor Actual o Valor presente, es calculado mediante la aplicacin de una tasa de descuento, de uno o varios flujos de tesorera que se espera recibir en el futuro; es decir, es la cantidad de dinero que sera necesaria invertir hoy para que, a un tipo de inters dado, se obtuvieran los flujos de caja previstos.

CORRELACIN LINEAL

Objetivo principal del anlisis de correlacin lineal es medir la intensidad de una relacin lineal entre dos variables. A continuacin se estudian algunos diagramas de dispersin que indican diferentes relaciones entre las variables independientes x y las variables dependientes y. Si Y dependientes no existe un cambio definido en los valores de y conforme aumentan los valores de x, se dice que no hay correlacin o que no existe relacin entre x y y. En cambio, si al aumentar x hay una modificacin definida en los valores de y, entonces existe correlacin.

En este ltimo caso la correlacin es positiva cuando y tiende a aumentar, y negativa cuando y decrece. Si tanto los correlacin lineal valores de x como los de y tienden a seguir una direccin recta, existe una correlacin lineal.

La precisin del cambio en y conforme x incrementa su valor, determina la solidez de la correlacin lineal. Los diagramas de dispersin de la Figura 3-2 ilustran estas nociones.

Hay una correlacin lineal perfecta cuando todos los puntos estn situados a lo largo de una recta en forma exacta, como se muestra en la Figura. Esta correlacin puede ser positiva o negativa, dependiendo de que y aumente o disminuya conforme x aumenta. Si los datos forman una recta vertical u horizontal no existe correlacin, pues una variable no tiene efecto sobre la otra.

PROBABILIDAD Y

TIPOS DE PROBABILIDAD

Histricamente se han desarrollado tres diferentes enfoques conceptuales para definir la probabilidad y para determinar valores de probabilidad:

el clsico,

el de frecuencia relativa y

el subjetivo.

De acuerdo con el enfoque clsico de la probabilidad, si N(A) resultados elementales posibles son favorables en el evento A, y existe N(S) posibles resultados en el espacio muestral y todos los resultados elementales son igualmente probables y mutuamente excluyentes; entonces, la probabilidad de que ocurra el evento A es

N(A)

P(A) = -------------

N(S)

Obsrvese que el enfoque clsico de la probabilidad se basa en la suposicin de que cada uno de los resultados es igualmente probable. Debido a que este enfoque (cuando es aplicable) permite determinar los valores de probabilidad antes de observar cualesquiera eventos muestrales, tambin se le denomina enfoque a priori.

EJEMPLO

En un mazo de cartas bien barajadas que contiene 4 ases y 48 cartas de otro tipo, la probabilidad de obtener un as (A) en una sola extraccin es

N(A) 4 1

P(A) = ---------- = ----- = ----

N(S) 52 13

A travs del enfoque de frecuencia relativa, se determina la probabilidad con base en la proporcin de veces que ocurre un resultado favorable en un determinado nmero de observaciones o experimentos. No hay implcita ninguna suposicin previa de igualdad de probabilidades. Debido a que para determinar los valores de probabilidad se requiere de la observacin y de la recopilacin de datos, a este enfoque se le denomina tambin enfoque emprico. La probabilidad de que ocurra un evento A, de acuerdo con el enfoque de frecuencia relativa es

Nmero de observaciones de A n(A)

P(A) = -------------------------------------- = -------

Tamao de la muestra n

EJEMPLO.

Antes de incluir la cobertura para ciertos tipos de problemas dentales en plizas de seguros mdicos para adultos con empleo, una compaa de seguros desea determinar la probabilidad de ocurrencia de esa clase de problemas, para que pueda fijarse la prima de seguros de acuerdo con esas cifras. Por ello, un especialista en estadstica recopila datos para 10,000 adultos que se encuentran en las categoras de edad apropiadas y encuentra que 100 de ellos han experimentado el problema dental especfico durante el ao anterior.

Por ello, la probabilidad de ocurrencia es:

n(A) 100

P(A) = ------- = --------- = 0.01, o 1%

n 10,000

Tanto el enfoque clsico como el de frecuencia relativa producen valores de probabilidad objetivos, en el sentido de que sealan la tasa relativa de ocurrencia del evento a largo plazo.

Por el contrario, el enfoque subjetivo a la probabilidad es particularmente apropiado cuando slo existe una probabilidad de que el evento ocurra, y se da el caso de que ocurra o no esa nica vez. De acuerdo con el enfoque subjetivo, la probabilidad de un evento es el grado de confianza que

una persona tiene en que el evento ocurra, con base en toda la evidencia que tiene disponible. Debido a que el valor de la probabilidad es un juicio personal, al enfoque subjetivo se le denomina tambin enfoque personalista.

EJEMPLO

Debido a los impuestos y a los posibles usos alternativos de sus fondos, un inversionista ha determinado que la compra de terrenos vale la pena slo si existe una probabilidad de cuando menos 0.90 de que el terreno obtenga plusvala por 50% o ms en los prximos 4 aos. Al evaluar un determinado terreno, el inversionista estudia los cambios en los precios en el rea en aos recientes, considera los niveles corrientes de precios, estudia el estado corriente y futuro probable de los proyectos de desarrollo inmobiliarios y revisa las estadsticas referentes al desarrollo econmico del rea geogrfica global. Con base en esta revisin, concluye que existe una probabilidad de aproximadamente 0.75% de que se d la plusvala que requiere. Como esta probabilidad es menor que la mnima que requiere, (0.90), no debe llevarse a cabo la inversin

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS:

BINOMIAL, HIPERGEOMTRICA Y POISSON.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES ALEATORIAS

En contraste con un evento, una variable aleatoria es un evento numrico cuyo valor se determina mediante un proceso al azar. Cuando se asignan valores de probabilidad a todos los valores numricos posibles de una variable aleatoria X, ya sea mediante un listado o a travs de una funcin matemtica, se obtiene como resultado una distribucin de probabilidad. La suma de las probabilidades para todos los resultados numricos posibles debe ser igual 1.0. Pueden denotarse los valores de probabilidad individuales mediante el smbolo f(x), lo cual implica que hay implcita una funcin matemtica; mediante P(x=X), el cual implica que la variable aleatoria puede asumir diversos valores especficos, o simplemente mediante P(X).

Para una variable aleatoria discreta, se pueden enlistar todos los valores numricos posibles de la variable en una tabla con las probabilidades correspondientes. Existen diversas distribuciones estndar de probabilidad que pueden utilizarse como modelos para una amplia gama de variables aleatorias discretas en aplicaciones de negocios. Los modelos estndar que se describiremos son las distribuciones de probabilidad binomial, hipergeomtrica y Poisson.

Para una variable aleatoria continua no es posible enlistar todos los posibles valores fraccionarios de la variable y, por lo tanto, las probabilidades que se determinan a travs de una funcin matemtica se ilustran en forma grfica mediante una funcin de densidad de probabilidad o curva de probabilidad. Ms adelante se describen diversas distribuciones estndar de probabilidad que pueden servir como modelos para variables aleatorias continuas.

EJEMPLO

En la siguiente tabla se muestra el nmero de camionetas que se han solicitado para renta en una arrendadora de automviles, en un periodo de 50 das. En la ltima columna de la Tabla se incluyen las frecuencias observadas en este periodo de 50 das, convertidas en probabilidades. As, puede observarse que la probabilidad de que se hayan solicitado exactamente siete camionetas en un da elegido al azar en ese periodo es de 0.20, y que la probabilidad de que se hayan solicitado seis o ms es de 0.20 + 0.20 + 0.08 = 0.56.

Demanda diaria de arrendamiento de camionetas

durante un periodo de 50 das

Demanda posible X

Nmero de das

Probabilidad [P (X)]

3 3 0.06

4 7 0.14

5 12 0.24

6 14 0.28

7 10 0.20

8 4 0.08

50 1.00

EL VALOR ESPERADO Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

De la misma manera en que se hace para conjuntos de datos muestrales y poblacionales, con frecuencia resulta til describir una variable aleatoria en trminos de su media y su varianza. La media (a largo plazo) de una variable aleatoria X se denomina valor esperado y se denota mediante E(X). Para una variable aleatoria discreta, resulta ser el promedio ponderado de todos los valores numricos posibles de la variable, utilizando las probabilidades correspondientes como pesos. Como la suma de los pesos (probabilidades) es 1.0, puede simplificarse la frmula de la media ponderada de manera que el valor esperado de una variable aleatoria discreta es

E(X) = XP(X)

EJEMPLO

Con base en los datos de la Tabla anterior, se presentan en la Tabla siguiente los clculos que conducen al valor esperado de la variable aleatoria. El valor esperado es 5.66 camionetas. Observe que el valor esperado de la variable discreta puede ser un valor fraccionario porque representa el valor promedio a largo plazo y no el valor especfico de determinada observacin.

Clculo del valor esperado para la demanda de camionetas

Demanda posible X Probabilidad [ P (X) ]

Valor ponderado [ X P (X) ]

3 0.06 0.18

4 0.14 0.56

5 0.24 1.20

6 0.28 1.68

7 0.20 1.40

8 0.08 0.64

1.00 E(X) = 5.66

La varianza de una variable aleatoria X se denota mediante V(X); se calcula con respecto a E(X) como la media de la distribucin de probabilidad. La forma general de desviaciones para la frmula de la varianza de una variable aleatoria discreta es

V(X) = [X-E(X)-E(X)]2 P(X)

La forma abreviada para la frmula de la varianza de una variable aleatoria discreta, que no requiere el clculo de las desviaciones con respecto a la media, es

V(X) = X2 P(X) - [ XP(X)]2 = E(X2) - [E(X)]2

EJEMPLO

En la siguiente Tabla se presenta la hoja de trabajo utilizada para el clculo de la varianza de la demanda de renta de camionetas, utilizando la versin abreviada de la frmula. Tal como se seala enseguida, el valor de la varianza es de 1.74.

V(X) = E(X2}-[E(X)]2 = 33.78-(5.66)2 = 33.78-32.04 = 1.74

Hoja de trabajo para el clculo de la varianza para la demanda de camionetas

Demanda posible

X

Probabilidad [P(X)] Valor ponderado [XP(X)]

Demanda al cuadrado

(X2)

Valor ponderado al cuadrado [X2P(X)]

3 0.06 0.18 9 0.54

4 0.14 0.56 16 2.24

5 0.24 1.20 25 6.00

6 0.28 1.68 36 10.08

7 0.20 1.40 49 9.80

8 0.08 0.64 64 5.12

E(X) = 5.66 E(X2) = 33.78

LA DISTRIBUCIN BINOMIAL

La distribucin binomial es una distribucin discreta de probabilidad aplicable como modelo a diversas situaciones de toma de decisiones, siempre y cuando pueda suponerse que el proceso de muestreo se ajusta a un proceso Bernoulli. Un proceso Bernoulli es un proceso de muestreo en el que:

(1) Slo son posibles dos resultados mutuamente excluyentes en cada ensayo u observacin. Por conveniencia, a estos resultados se les denomina xito y fracaso.

(2) Los resultados del conjunto de ensayos u observaciones, constituyen eventos independientes.

(3) La probabilidad de xito, que se denota mediante p, permanece constante de un ensayo a otro. Es decir, el proceso es estacionario.

Puede utilizarse la distribucin binomial para determinar la probabilidad de obtener un nmero determinado de xitos en un proceso Bernoulli. Se requieren tres valores: el nmero especfico de xitos (X), el nmero de ensayos u observaciones (n) y la probabilidad de xito en cada uno de los ensayos (p). La frmula para determinar la probabilidad de un nmero determinado de xitos X para una distribucin binomial, en donde q = (1-p) es:

P(Xn, p) = nCXpXqn-X

n!

= ----------- px q n-x

X! (n-X)!

EJEMPLO

La probabilidad de que un prospecto de ventas elegido al azar realice una compra es de 0.20. Si un vendedor visita a seis prospectos, la probabilidad de que realice exactamente cuatro ventas se determina de la siguiente manera:

P(X = 4n = 6, p = 0.20) = 6C4(0.20)4(0.80)2 = 6! (0.20)4(0.80)2

4!2!

6x5x4x3x2

= ------------- (0.0016)(0.64) = 0.01536 0.015

(4x3x2)(2)

Con frecuencia existe inters en la probabilidad acumulada de "X o ms" xitos o "X o menos" xitos en n ensayos. En este caso, debe determinarse la probabilidad de cada uno de los resultados incluidos dentro del intervalo designado, y entonces sumar esas probabilidades.

EJEMPLO

En relacin con el ejemplo anterior la probabilidad de que el vendedor logre 4 o ms ventas se determina de la siguiente manera:

P(X 4n=6, p=0.20) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)

= 0.01536 + 0.001536 + 0.000064 = 0.016960 0.017

en donde P(X=4) = 0.1536 (del ejemplo anterior

P(X=5) = 6C5(0.20)5(0.80)1 = 6! (0.20)5(0.80) = 6(0.00032)(080) = 0.001536

5! 1!

P(X=6) = 6C6(0.20)6(0.80)0 = 6! (0.000064)(1) = (1)(0.000064) = 0.00064

6! 0!

(Nota: recurdese que cualquier valor elevado a la potencia 0 es igual a 1).

Como el uso de la frmula binomial implica una cantidad considerable de clculos cuando la muestra es relativamente grande, con frecuencia se utilizan tablas de probabilidades binomiales.

LA DISTRIBUCIN HIPERGEOMTRICA

Cuando el muestreo se realiza sin reemplazo para cada uno de los elementos que se toman de una poblacin finita de elementos, no se puede aplicar el proceso Bernoulli debido a que existe un cambio sistemtico en la probabilidad de xitos al ir extrayendo elementos de la poblacin. Cuando se utiliza el muestreo sin reemplazo en alguna situacin en la que, de no ser por el no reemplazo, se le pudiera calificar como proceso de Bernoulli, la distribucin discreta de probabilidad apropiada resulta ser la distribucin hipergeomtrica.

Si X es el nmero designado de xitos, N es el nmero de elementos de la poblacin, T es el nmero total de "xitos" incluidos en la poblacin y n es el nmero de elementos de la muestra, la frmula para determinar las probabilidades hipergeomtricas es

N - T T

n - X X

P(XN, Tn) = ----------------

N

n

EJEMPLO

De seis empleados, tres han estado con la compaa durante cinco o ms aos, si se eligen cuatro empleados al azar de ese grupo la probabilidad de que exactamente dos de ellos tengan una antigedad de cinco aos o ms es:

6-3 3 3 3 3 ! 3 !

4-2 2 2 2 2!1! 2!1! (3) (3)

P(X=2N=6, T=3 n=4) = ------------- = ------------ = ------------- = ----------

6 6 6! 15

4 4 4!2!

= 0.60

Ntese que en el ejemplo anterior, el valor que se requiere de la probabilidad se calcula determinando el nmero de combinaciones diferentes que incluiran a dos empleados con

antigedad suficiente y dos con menor antigedad como cociente del nmero total de combinaciones de cuatro empleados, tomados de entre los seis. Por ello, la frmula hipergeomtrica es una aplicacin directa de las reglas de anlisis combinatorio.

Cuando la poblacin es grande y la muestra es relativamente pequea, el hecho de que se realice el muestreo sin reemplazo tiene poco efecto sobre la probabilidad de xito en cada ensayo. Una regla prctica conveniente consiste en utilizar la distribucin binomial como aproximacin a la hipergeomtrica cuando n

A diferencia de una variable aleatoria discreta, una variable aleatoria continua es la que puede tomar cualquier valor fraccionario en un rango determinado de valores. Como existe un nmero infinito de posibles mediciones fraccionarias, no pueden enlistarse todos los valores posibles con una probabilidad correspondiente. Ms bien, se define una funcin de densidad de probabilidad. Esta expresin matemtica da la funcin de X, y se representa mediante el smbolo f(X), para cualquier valor designado de la variable aleatoria X. A la grfica de una funcin de este tipo se le denomina curva de probabilidad y el rea entre dos puntos cualesquiera bajo la curva de la probabilidad de la ocurrencia aleatoria de un valor entre esos dos puntos.

EJEMPLO

Para la distribucin continua de probabilidad de la figura siguiente, la probabilidad de que un embarque seleccionado al azar tenga un peso neto entre 3,000 y 4,000 kilogramos es igual a la proporcin del rea total bajo la curva que se encuentra en el rea sombreada. Es decir, se define que el rea total bajo la funcin de densidad de probabilidad es igual a 1, y puede determinarse la proporcin de esta rea que se encuentra entre dos puntos determinados aplicando el mtodo de la integracin (del clculo diferencial e integral) junto con la funcin matemtica de densidad de probabilidad para esa curva de probabilidad.

Existen diversas distribuciones continuas de probabilidad comunes que son aplicables como modelos a una amplia gama de variables continuas en determinadas circunstancias. Existen tablas de probabilidades para esas distribuciones estndar, haciendo que resulte innecesario el mtodo de la integracin para determinar las reas bajo la curva de probabilidad para estas distribuciones. Los modelos comunes de distribuciones de probabilidad continua que se describen son las distribuciones normal y la exponencial.

LA DISTRIBUCIN NORMAL DE PROBABILIDAD

La distribucin normal de probabilidad es una distribucin continua de probabilidad que es, al mismo tiempo, simtrica y mesokrtica (que no es plana ni puntiaguda). Con frecuencia se describe a la curva de probabilidad que representa la distribucin normal como una campana como se muestra.

La distribucin normal de probabilidad es muy importante en inferencia estadstica por tres razones principales:

Se sabe que las mediciones que se obtienen en muchos procesos aleatorios tienen esta clase de distribucin.

Con frecuencia pueden utilizarse las probabilidades normales para aproximar otras distribuciones de probabilidad tales como las distribuciones binomial y Poisson.

Las distribuciones de estadsticas como la media muestral y la proporcin muestral tienen distribucin normal cuando el tamao de la muestra es grande, sin importar la forma de la distribucin de la poblacin de origen.

Como se mencion antes, en el caso de las distribuciones continuas de probabilidad slo es posible determinar un valor de probabilidad para un intervalo de valores. La altura de la funcin de densidad, o curva de probabilidad, para un variable con distribucin normal est dada por

1 -[(X-)2/22]

f(X) = -------- e

2

en donde es la constante 3.1416, e es la constante 2.7183, es la media de la distribucin y es la desviacin estndar de la distribucin. Como cualquier combinacin distinta de y genera una distribucin normal de probabilidad distinta (todas ellas simtricas y mesokrticas), las tablas de las probabilidades normales se basan en una distribucin especfica:

La distribucin normal estndar. sta es una distribucin normal en la que =0 y =1. Cualquier valor X de una poblacin con distribucin normal puede convertirse a su valor normal estndar equivalente, z, mediante la frmula

X-

z = -----

PUNTOS PERCENTILES PARA VARIABLES CON DISTRIBUCIN NORMAL

Puede recordarse que el punto percentil 90 es el punto de la distribucin tal que el 90% de los valores se encuentran por debajo de l y el 10% por encima. Para la distribucin normal estndar, es el valor de z tal que la proporcin total de rea a la izquierda de ese valor, bajo la curva normal, es 0.90.

EJEMPLO

En la siguiente figura se ilustra la posicin del punto percentil 90 para la distribucin normal estndar. Para determinar el valor requerido de z, se utiliza la tabla correspondiente en el sentido contrario al comn, porque, en este caso, el rea bajo la curva entre la media y el punto de inters es 0.40, tal como se ha especificado, y se desea determinar el valor correspondiente de z. Se busca en el cuerpo de la tabla el valor ms cercano a 0.4000. Este valor resulta ser 0.3997.

Determinando los encabezados del rengln y de la columna, se encuentra que el valor de z asociado con esta rea es 1.28, y por lo tanto, z 0.90 = + 1.28.

Dado el procedimiento de este ejemplo, que permite determinar un punto percentil para la distribucin normal estndar, puede determinarse un punto percentil para una variable aleatoria con distribucin normal convirtiendo el valor pertinente de z al valor que se requiere de X, mediante la frmula

X= +z

APROXIMACIN NORMAL A PROBABILIDADES BINOMIALES

Cuando el nmero de observaciones o ensayos n es relativamente grande, puede utilizarse la distribucin normal de probabilidad para aproximar las posibilidades binomiales. Una regla conveniente consiste en afirmar que esas aproximaciones son aceptables cuando n , y tanto np 5 como nq 5. Esta regla, en combinacin con la que se proporciona con respecto a la aproximacin de Poisson a las probabilidades binomiales, significa que en los casos en que n 30, las probabilidades binomiales pueden aproximarse, ya sea mediante la distribucin normal o la de Poisson, dependiendo de los valores np y nq. Algunos otros texto