Guias Experimentacion Fisica I

Experimentacion Fısica I

Revision y modificacion

diego pena lara

orlando zuniga escobar

universidad del vallefacultad de ciencias naturales y exactas

departamento de fısica

INDICE GENERAL

Prologo a la edicion revisada ii

Prologo a la primera edicion iii

1. La calidad del dato en fısica experimental y su interpretacion en la toma de deci-siones 1-1

2. Metodos de analisis grafico 2-1

3. Metodo de mınimos cuadrados 3-1

4. Medicion de tiempos 4-1

5. Determinacion de la constante π 5-1

6. Medicion de la gravedad 6-1

7. Carril de aire y fotodetector 7-1

8. Determinacion experimental de una trayectoria 8-1

9. Colisiones 9-1

10.Coeficiente de friccion 10-1

11.Fuerzas concurrentes 11-1

12.Comportamiento de la energıa mecanica 12-1

13.Energıas potencial gravitacional y cinetica (Salon 1014 B) 13-1

14.Pendulo balıstico 14-1

15.Momentos de fuerzas (Salon 1014 A) 15-1

16.Movimiento rotacional (Salon 1014A) 16-1

17.Movimiento de rotacion y traslacion 17-1

A. Manejo cronometro programable (Aslab 1) A-1

i

Prologo a la edicion revisada

experimentacion fısica I ha sido sometido a una revision exhaustiva corrigiendose los errorestipograficos y ortograficos, los cuales han sido senalados por varios estudiantes y profesores que hanseguido la guıa.

En esta edicion revisada, se ha aumentado el numero de laboratorios para dar mayor flexibilidadal profesor de escoger y desarrollar el curso. Igualmente se ha tratado de hacerla lo mas clara posible,sin embargo, se recomienda a los estudiantes seguir la revision del material y enviar sus comentariosa la direccion electronica [email protected].

El objetivo sigue siendo el mismo de la primera edicion.

Diego Pena LaraOrlando Zuniga Escobar

iii

Prologo a la primera edicion

Esta version de las guias son las de 2 001 adaptadas para la reforma de 2 003. Estas guıas de practicasfueron disenadas para ser utilizadas en la asignatura experimentacion fısica i para estudiantesde los programas de estudio de la Facultades de Ciencias (Matematicas y Quımica) e Ingenierıa.Las practicas tiene en comun el que estan basados en diferentes conceptos y principios de mecanica,y tienen por objetivo global mejorar la comprension de estos conceptos y facilitar al estudiante eldesarrollo de habilidades experimentales, tanto manipulativas como de interpretacion y analisis dedatos.

Las guıas son resultado de muchos anos de experiencia que tiene el Departamento de Fısica en ladocencia para los estudiantes de los cursos basicos de fısica de toda la Universidad. El acelerado avancede las ciencias y la tecnologıa, y la consiguiente necesidad de adecuar nuestros procesos docentes, hanmotivado a los profesores del Departamento a efectuar la modernizacion. Ası pues, en la elaboracionde estas guıas no solo esta plasmado el esfuerzo de los pioneros del Departamento de Fısica, sinotambien de todos aquellos colegas que han tenido a su cargo esta asignatura durante los ultimos anos.Los editores de este material les agradecen por sus invaluables aportes. Ası mismo agradecen a losasistentes de docencia, tecnicos de laboratorio y estudiantes por sus observaciones y sugerencias, quehan tenido en cuenta hasta donde ha sido posible.

La metodologıa a seguir en el laboratorio es la siguiente:

1. Se conforman grupos de practicas estudiantes. La duracion de la practica es de tres horas (amenos que su profesor indique otra cosa), al final de la cual el grupo de practica entrega uninforme en donde se registran los datos experimentales, graficas y los calculos solicitados.

2. Las primeras sesiones seran exclusivos para estudiar el texto introduccion general a loslaboratorios de fısica y para realizar los talleres sobre medidas y errores.

3. Cada sesion de laboratorio trabaja con un maximo de 10 grupos de practica, esto es, se realizanen cada sesion 10 practicas. No todas las practicas son identicas, esto significa que hay unaprogramacion para cada grupo.

4. Cada uno de los estudiantes debe traer preparados los temas sobre los cuales trata el experimento.

5. Su profesor puede indicar modificaciones al procedimiento experimental o de analisis de datos,agregar o suprimir preguntas para responder en el informe, etc.

6. Es obligatoria la asistencia a todas las sesiones.

iv

CAPITULO 1

La calidad del dato en fısica experimental y su interpretacion en la

toma de decisiones

1.1 Objetivos

1.1.1 Objetivo general

Potenciar en el estudiante la actitud ante la toma y calidad de datos experimentales como uninstrumento esencial para el entendimiento de la Fısica Experimental.

1.1.2 Objetivos especıficos

Familiarizar al estudiante en la importancia de la calidad en la toma de datos experimentales.

Presentar criterios orientadores sobre el analisis de los datos experimentales.

Ofrecer elementos que ayuden a la toma de decisiones sobre fenomenos observados, equiposutilizados y analisis de datos procesados.

1.2 Introduccion

La Fısica Experimental requiere una vision complementaria de por lo menos tres ejes tematicos:

Manejo conceptual de terminos fısicos.

Manejo adecuado de equipos o instrumentos.

Analisis de datos y toma de decisiones.

El eje Conceptos fısicos contiene tanto los conceptos fısicos como los modelos propuestos paraexplicar un fenomeno, p. ej., para la caıda libre debe ser claro los conceptos de posicion, velocidad,aceleracion y el modelo propuesto es aquel donde solo actua el peso (constante) y la friccion sedesprecia.

El eje Manejo de equipos contiene el uso adecuado de los instrumentos de medicion (conocer sumanejo y su precision) y los metodos de medicion (cuantas veces se mide y con que criterio, sensibilidaddel instrumento).

El eje Analisis de datos contiene algunos conceptos de la estadıstica descriptiva y probabilidadpara tener el criterio de reportar y justificar los resultados de las mediciones.

El fundamento esencial en la interpretacion de un fenomeno observado es la importancia en latoma y la calidad de los datos experimentales.

1-1

1-2

Analisisdedatos

Conceptos fısicos

Manejo de equipos

Figura 1.1: Vision complementaria de la Fısica Experimental.

En ciencias e ingenierıa, el concepto de error tiene un significado completamente diferente al desu uso habitual (equivalente a equivocacion). error esta asociado al concepto de incertidumbre enla determinacion del resultado de una medicion. Lo que se espera en toda medicion es conocer lascotas (o lımites probabilısticos) de estas incertidumbres. Graficamente, se busca establecer un intervalox − ∆x ≤ x ≤ x + ∆x como el de la fig. 1.2, donde con cierta probabilidad, se pueda decir dondese encuentra el mejor valor de la magnitud x. Este mejor valor x es el mas representativo de nuestramedicion y al semiancho ∆x lo denominamos la incertidumbre o error absoluto de la medicion.

x|x

[x−∆x

]x + ∆x

Figura 1.2: Intervalo asociado al resultado de una medicion. En lugar de dar un unico numero, se define unintervalo.

1.3 Medicion

La medicion es el proceso por el cual cuantificamos una propiedad o atributo del mundo sensible,esto es, intentamos, aunque nunca con exito total, representar dicha propiedad mediante un numeroreal, acompanado de la especificacion de la unidad de medida. Las mediciones de magnitudes comolongitud, area, volumen, tiempo y masa han sido realizadas por el hombre desde tiempos remotos.

En una medicion directa se compara una magnitud fısica1 con una unidad patron, o unidad,en cambio para una medicion indirecta se obtiene como resultado de algunos calculos realizadoscon magnitudes medidas directamente. En la tabla 1.1 se ilustra las magnitudes fısicas fundamentalescon su unidad y su sımbolo, segun el SI y reglamentado por la Norma Tecnica Colombiana OficialObligatoria 1 000, NTC. (Resolucion No 005 de 95-04-03 del Consejo Nacional de Normas y Calidades).

En todo proceso de medicion se introducen errores debido a las limitaciones dadas por los instru-mentos usados,al metodo de medicion y al observador (u observadores) que realizan la medicion. Porejemplo, cuando se usa un termometro para medir una temperatura, parte del calor del objeto fluye altermometro (o viceversa), de modo que el resultado de la medicion es un valor modificado del originaldebido a la inevitable interaccion que se debe realizar. Es claro que esta interaccion podra o no sersignificativa: Si al medir la temperatura de un metro cubico de agua, la cantidad de calor transferidaal termometro puede no ser significativa, pero si lo sera si el volumen en cuestion es de una pequenafraccion del mililitro.

Los instrumentos tienen una precision finita, por lo que, para un dado instrumento, siempre hay unavariacion mınima de la magnitud que puede detectar. Esta mınima cantidad se denomina apreciacionnominal del instrumento. Por ejemplo, con una regla graduada en milımetros, no podemos detectarvariaciones menores que una fraccion del milımetro.

1Atributo de un cuerpo, sustancia o fenomeno, que puede determinarse cuantitativamente, es decir, es un atributo

susceptible de ser medido.

1-3

Magnitud Unidad Sımbolo

longitud metro mmasa kilogramo kgtiempo segundo stemperatura kelvin Kcorrienteelectrica ampere Aintensidadluminosa candela cdcantidad desubstancia mol mol

Tabla 1.1: Unidades fundamentales del SI.

A su vez, las magnitudes a medir no estan definidas con infinita precision. Imaginemos que se quieremedir el largo de una mesa. Es posible que al usar instrumentos cada vez mas precisos empecemos anotar las irregularidades tıpicas del corte de los bordes o, al ir aun mas alla, finalmente detectemos lanaturaleza atomica o molecular del material que la constituye. Es claro que en ese punto la longituddejara de estar bien definida. En la practica, es posible que mucho antes de estos casos lımites, la faltade paralelismo en sus bordes haga que el concepto de la ((longitud de la mesa)) comience a hacersecada vez menos definida, y a esta limitacion intrınseca se denomina incertidumbre intrınseca ofalta de definicion de la magnitud en cuestion.

Ademas de la precision en los instrumentos, se tiene la exactitud de los mismos, ası p. ej., untornillo micrometrico (con una apreciacion nominal de 10 µm) es mas preciso que una regla graduadaen milımetros (con una apreciacion nominal de 1 mm) o un cronometro es mas preciso que un relojcomun, etc. La exactitud de un instrumento se asocia a la calidad de calibracion del mismo, ası p.ej., si un cronometro (con una apreciacion nominal de 1 s) se adelanta un minuto cada hora, mientrasque un reloj comun no lo hace, se dice el cronometro es todavıa mas preciso que el reloj comun, peromenos exacto. En general los instrumentos vienen calibrados dentro de ciertos limites. Es deseableque la calibracion de un instrumento sea tan buena como la apreciacion del mismo. La fig. 1.3 ilustrade modo esquematico estos dos conceptos.

(a) (b)

(c) (d)

exactitud

pre

cisi

on

Figura 1.3: Ilustracion esquematica de los conceptos de precision y exactitud, la dispersion de los puntos dauna idea de la precision, mientras la diana esta asociado a la exactitud. (a) Preciso pero no exacto. (b) Exactoy preciso. (c) Ni exacto ni preciso. (d). Exacto pero no preciso.

1.4 Cifras significativas

Al medir con una regla comun (graduada en milımetros), podemos decir, p. ej., que la longitud Lde una barra es de 64, 2± 0, 1 cm, en otras palabras, se esta diciendo que estamos seguros de los dosprimeros dıgitos: el 6 y el 4, pero puede haber un error en el ultimo, el 2, ya que este podrıa ser 1 o3. Se Dice que la medicion tiene tres (3) cifras significativas. El numero de cifras significativas

1-4

de una medida es igual numero de dıgitos seguros mas el dıgito dudoso contenidos en el resultado dela medicion que estan a la izquierda del primer dıgito afectado por el error, incluyendo este dıgito.El primer dıgito, o sea el que esta mas a la izquierda, es el mas significativo (6 en nuestro caso) y elultimo (mas a la derecha) el menos significativo (el 2), ya que es en el que tenemos ((menos seguridad)).Notese que carece de sentido incluir en nuestro resultado de L mas cifras que aquellas en donde nose tiene seguridad, es decir, no podemos reportar una medida de L = 64, 213± 0, 1 cm con una reglacomun, ya que tenemos una incertidumbre de 1 milımetro (0, 1 cm). Si el valor de L proviene de unpromedio y el error es del orden del milımetro, se debe redondear el dıgito donde primero cae el error.

¡Escribir mas cifras adicionales de las cuales no tenemos seguridad, no tiene sentido!

Es usual expresar las incertidumbres con una sola cifra significativa, y solo en casos excepcionalesy cuando existe fundamento para ello, se pueden usar mas. Tambien es usual considerar que la incer-tidumbre en un resultado de medicion afecta a la ultima cifra (en una unidad) si es que no se la indicaexplıcitamente.

¿Que pasara cuando se hace un cambio de unidades?, es decir, si en el ejemplo anterior se deseaexpresar L en µm, el resultado serıa (de acuerdo a nuestra intuicion):

L = 642 000± 1 000 µm ¿es correcto?

¡No!, ¿Cuantas cifras significativas tenemos en este resultado? Seis. ¿Cuantas cifras significativas debe-mos tener realmente? Claramente tres, igual que antes, ya que la ultima cifra significativa sigue siendo2. Sin embargo, si no indicamos explıcitamente la incertidumbre de L, es difıcil saber cuantas cifrassignificativas tenemos. Desde el punto de vista de la fısica experimental, 642 mm 6= 642 000 µm porqueel primer resultado tiene solo 3 cifras significativas mientras el segundo tiene 6, es decir, se aumentala precision por un simple cambio de unidad, sin ningun costo, en contradiccion a la cotizacion entreuna regla comun ($1 000) y un micrometro de precision 0,01 mm ($200000).

La notacion cientıfica (en potencia de 10) nos indica la manera correcta de escribir un dato ex-perimental, de esta forma L = 64, 2 × 104 µm o 642 × 103 µm, dependiendo de la incertidumbrereportada.

El numero de cifras significativas lo dan los dıgitos que multiplican la potencia de 10. La posicionde la coma decimal no influye en el resultado.

1.5 Clasificacion de los errores

1. Errores introducidos por el instrumento

La falta de habilidad de un observador para medir con un instrumento adecuado introduceun error que se denomina error de apreciacion. Ası, es posible que un observadorentrenado pueda apreciar hasta fracciones de milımetro mientras que otro observador, conel mismo instrumento, solo pueda apreciar solo milımetros, como se aprecia en la fig. 1.4.Este error se representa por σapr.

0 10 20 30milımetros

Figura 1.4: Medicion de una longitud.

La mınima cantidad que puede medirse con un dado instrumento se asocia al error deexactitud, como se ilustra en la fig 1.5 y se representa por σexa.

2. error de interaccion. Es la interaccion entre el metodo de medicion con el objeto a medir.Su determinacion depende de la medicion que se realiza y su valor se estima de un analisiscuidadoso del metodo usado. Se representa por σint

1-5

0

3

6

volts

Figura 1.5: Medicion en un voltımetro.

3. Falta de definicion en el objeto a medir. Las magnitudes a medir no estan definidas con infinitaprecision. Con σdef se designa el error asociado con la falta de definicion del objetoa medir.

En un experimento dado, en general, todas estas fuentes de errores estan presentes, de modo queresulta util definir el error nominal de una medicion σnom, como:

σ2nom = σ2

apr + σ2exa + σ2

int + σ2def (1.1)

Sumar los cuadrados de los errores es un resultado de la estadıstica, donde se ha asumido que todaslas distintas fuentes de error son independientes una de otras.

1.6 Tipos de errores de medicion

El error sistematico se debe a causas identificables y, en principio, puede eliminarse. Los erroresde este tipo dan resultados de medicion que son consistentemente mayores o consistentemente menoresque el resultado de medicion de un valor convencionalmente verdadero. El error sistematico puede ser:

Instrumental. Un instrumento mal calibrado como un termometro que marca 102C cuando esinmerso en agua en ebullicion y 2C cuando se sumerge en una mezcla de agua-hielo a presionatmosferica. Tal termometro dara medidas que son consistentemente mayores.

Observable. El paralaje en la lectura de una escala metrica.

Ambiental. Una fuente electrica con baja carga, debida a la humedad del aire, dara medidas decorriente consistentemente menores.

Teorico. Debido a las simplificaciones del modelo o a las aproximaciones en las ecuaciones quedescriben un sistema fısico, p. ej., si una fuerza disipativa esta presente en el experimento peroesta no se incluye en la teorıa, entonces los resultados teoricos y experimentales no concordaran.

Los errores aleatorios son fluctuaciones negativas y positivas que causan que alrededor dela mitad de las medidas sean mayores y la otra mitad sean menores a un valor convencionalmenteverdadero. Las fuentes de los errores aleatorios no siempre pueden ser identificadas. Algunas posiblesfuentes de errores aleatorios son:

Observable. Errores de juzgamiento cuando se lee la resolucion de un instrumento de medicioncuyas marcas sucesivas son relativamente muy pequenas.

Los errores aleatorios, al contrario de los errores sistematicos, pueden ser cuantificados por mediode un analisis estadıstico, por tanto, los efectos de los errores aleatorios sobre las cantidades o leyesfısicas bajo investigacion pueden ser determinados. Se designa por σest.

La distincion entre errores aleatorios y sistematicos se puede ilustrar con el siguiente ejemplo.Supongase que la magnitud por medir (puede ser una cantidad fısica) se repite nueve veces bajo lasmismas condiciones. Si hay solo errores aleatorios, los nueve resultados de medicion estaran distribuidosalrededor del valor convencionalmente verdadero; algunos muy alejados y otros muy cercanos, comose muestra en la fig. 1.6a. Si ademas de los errores aleatorios hay errores sistematicos, entonces losnueve resultados de medicion se distribuiran, no alrededor del valor convencionalmente verdadero,sino alrededor de un valor alejado de este, como se ilustra en la fig. 1.6b.

1-6

(a)

(b)

Valor convencionalmente aceptado

Figura 1.6: a) Error aleatorio. b) Error sistematico.

El error espurio se asocia a la equivocacion a la hora de pasar en limpio los datos para realizar lasrespectivas operaciones matematicas, hacer mal las conversiones de unidades, usar unidades diferentes,etc. A este tipo de error no se aplica la teorıa estadıstica de errores y el modo de evitarlo consiste enuna evaluacion cuidadosa de los procedimientos realizados en la medicion. Un ejemplo de este tipode error es el que se cometio en el Mars Climate Explorer a fines de 1 999, al pasar de pulgadas acentımetros se cometio un error que costo el fracaso de dicha mision a Marte.

¡Es imprescindible en ciencia e ingenierıa especificar los errores de medicion!

Al medir una magnitud X , el error final, combinado o efectivo de X , ∆X , es:

∆X =√

σ2nom + σ2

est

=√

σ2apr + σ2

exa + σ2int + σ2

def + σ2est (1.2)

1.7 Como expresar un resultado

Un resultado numerico se expresa por medio de:

error absoluto. Es el valor del error combinado (1.2), tiene las mismas dimensiones quela magnitud medida y es conveniente expresarla con las mismas unidades de esta. Si X es lamagnitud en estudio, X (valor medio) es el mejor valor obtenido y ∆X su incertidumbre, elresultado se expresa como:

X = X ±∆X (1.3)

Por ejemplo, se midio un objeto y se encontro que su longitud promedia fue de ℓ = 92 cm con unaregla cuya incertidumbre absoluta fue de ∆ℓ = 0, 1 cm, porque se apreciaba con claridad cadamilımetro. Por tanto, la ((verdadera)) longitud L esta en el rango 92, 0− 0, 1 ≤ L ≤ 92, 0 + 0, 1cm, es decir la longitud L se debe reportar como:

L = ℓ±∆ℓ

= 92, 0± 0, 1 cm

error relativo. Es la relacion del error absoluto y el mejor valor de la magnitud.

ǫr =∆ℓ

ℓ(1.4)

Para el ejemplo anterior, el error relativo es 0,001.

error relativo porcentual. Es el error relativo multiplicada por 100.

ǫ% = 100ǫr (1.5)

por tanto ǫ% = 0, 1 %

La precision de una medida depende de su error relativo. Se dice que dos medidas son hechas conla misma precision cuando los errores relativos de cada una de ellas son iguales. Evidentemente,se puede deducir el error absoluto, si se conoce el error relativo porcentual. En el ejemplo anterior,tenemos:

∆ℓ ≈ 0, 1

100ℓ

1-7

1.8 Propagacion de incertidumbres

El convenio para simbolizar una magnitud fısica es utilizar letras mayuscula del alfabeto latino:A, P, X , etc., y por sus respectivas incertidumbres la letra delta mayuscula del alfabeto griego (∆)acompanada de la respectiva letra minuscula: ∆a, ∆p, ∆x, etc.

1.8.1 Expresiones para determinar la propagacion de incertidumbres

Se describe un metodo sencillo e intuitivo para determinar la incertidumbre ∆w del resultado demedicion o estimacion w de una magnitud fısica W que puede depender de otras variables (magnitudesfısicas) X1, X2, . . . , Xn, etc. La incertidumbre ∆w se halla a traves de una combinacion lineal de lasincertidumbres ∆xi asociadas a las estimaciones (o mediciones xi) de las magnitudes Xi.

Los calculos que se presentan en esta seccion no hacen ningun tipo de consideracion sobre lafuncion distribucion de probabilidad asociada a los intervalos de incertidumbre ni a los niveles deconfianza de los resultados. Por tanto, las expresiones obtenidas pueden considerarse como una primeraaproximacion a la incertidumbre de medicion.

suma. Sea la magnitud fısicaW = X + Y

con sus respectivos resultados de medicion

w = x + y (1.6)

Si las incertidumbres de los resultados de medicion de X y Y son, respectivamente

x±∆x y ±∆y

entonces

wmax = xmax + ymax

w + ∆w = (x + ∆x) + (y + ∆y)

= (x + y) + (∆x + ∆y) (1.7)

Comparando las ecs. (1.6) y (1.7) se obtiene la incertidumbre del resultado de medicion de unamagnitud fısica cuando interviene una suma:

∆w = ∆x + ∆y

El mismo resultado se obtiene calculando wmın.

resta. Sea la magnitud fısicaW = X − Y


w = x− y (1.8)


x±∆x y ±∆y

entonces

wmax = xmax − ymın

w + ∆w = (x + ∆x)− (y −∆y)

= (x− y) + (∆x + ∆y) (1.9)

1-8

Comparando las ecs. (1.8) y (1.9) se obtiene la incertidumbre del resultado de medicion de unamagnitud fısica cuando interviene una resta:

∆w = ∆x + ∆y

El mismo resultado se obtiene calculando wmın.

Se concluye que, cuando una magnitud W se define como la suma o la resta de otras dosmagnitudes X y Y , la incertidumbre del resultado de medicion w de la magnitud W , puedecalcularse, en ambos casos como:

|∆w| = |∆x|+ |∆y| (1.10)

Ejemplo 1.1 Sea X = 123, 6 m (∆x = 0, 1 m) y Y = 4, 89 (∆y = 0, 01), ¿cual serıa el resultadoX + Y ? Para este caso, el dıgito 9 se suma a un numero desconocido y por lo tanto dara undıgito desconocido, se concluye que el resultado debe reportarse con decimas, es decir:

123, 6 m + 4, 89 m = 128, 5 m

donde se ha aplicado la regla no convencional de redondeo de cifras.

regla 1. La precision de una suma o una resta es igual a la del numero menos preciso de losque se suman o restan.

producto. Sea la magnitud fısicaW = X Y


w = x y (1.11)


x±∆x y ±∆y

entonces

wmax = xmax ymax

w + ∆w = (x + ∆x) (y + ∆y)

= xy + x∆y + y∆x + ∆x∆y (1.12)

Comparando las ecs. (1.11) y (1.12) se tiene que

∆w = x∆y + y∆x + ∆x∆y

En la mayorıa de los casos, las incertidumbres suelen ser pequenas comparadas con los resultados,por tanto, para estos casos, el ultimo termino del lado derecho de la ec. (1.12) se puede despreciar

∆w = x∆y + y∆x

De (1.4) la incertidumbre relativa del resultado de medicion de una magnitud fısica cuandointerviene un producto es:

∆w

w=

∆x

x+

∆y

y

1-9

division. Sea la magnitud fısica

W =X

Y


w =x

y(1.13)


x±∆x y ±∆y

entonces

wmax =xmax

ymın

w + ∆w =x + ∆x

y −∆y(1.14)

por tanto,

∆w =x + ∆x

y −∆y− w

=x + ∆x

y −∆y− x

y

≈ y∆x + x∆y

y2

donde se ha hecho la aproximacion y (y −∆y) ≈ y2, suponiendo que ∆y ≪ y.

Comparando las ecs. (1.13) y (1.14) obtenemos la incertidumbre del resultado de medicion deuna magnitud fısica cuando interviene una division:

∆w

w=

∆x

x+

∆y

y

Se concluye que, cuando una magnitud W se define como el producto o la division de otras dosmagnitudes X y Y , la incertidumbre del resultado de medicion w de la magnitud W , puedecalcularse, en ambos casos como:

∣

∣

∣

∣

∆w

w

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∆x

x

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

∆y

y

∣

∣

∣

∣

(1.15)

Ejemplo 1.2 Sea X = 354, 62 m (∆x = 0,01 m) y Y = 79, 81 m (∆y = 0,01 m), ¿cual serıa elresultado XY ? En este caso es conveniente escribir los factores en potencia de 10, ası:354,62 m → 3, 5462× 102 m y79,81 m → 7, 981× 10 m, por tanto

XY = (3, 5462)(7, 981)× 103 m2

En el numero de menor precision, un error de una unidad en el ultimo dıgito, darıa un error de:

(7, 981)(0, 01) = 0, 07 . . .

lo que nos indica que el resultado tendra un error en sus centesimas.

En resumen, el resultado tendra el mismo numero de decimales que el numero de menor precision:

(3,5462)(7, 981)× 103 m2 = 28, 30× 103 m2

1-10

regla 2. La cantidad de cifras significativas en un producto o cociente es igual a la cantidadmas pequena de cifras significativas en cualquiera de los numeros que se multiplican o sedividen.

producto de potencias. Sea la magnitud

W = X2

de la regla del producto se infiere que

∆w

w= 2

∆x

x

Generalizando este resultado se tiene que cuando una magnitud W se define como la potenciade otra magnitud X , la incertidumbre relativa del resultado de medicion w de la magnitud W ,puede calcularse como:

∆w

w= n

∆x

x

Por ultimo, consideremos la magnitud fısica

W = Xm Y n Zp

Se concluye que, de la regla para la potencia y de la regla del producto (o la division, en caso queel exponente sea negativo), cuando una magnitud W se define como el producto de potencias deotra magnitudes Xm Y n Zp, la incertidumbre del resultado de medicion w de la magnitud W ,puede calcularse como:

∣

∣

∣

∣

∆w

w

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

m∆x

x

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

n∆y

y

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

p∆z

z

∣

∣

∣

∣

(1.16)

Una forma sencilla de obtener la ec. (1.16) es recordar las propiedades del logaritmo natural:

ln[xmynzp] = m ln[x] + n ln[y] + p ln[z]

y su derivada total

d(ln[W ]) =dW

W,

por tanto,

|d ln[xmynzp]| =∣

∣

∣

∣

mdx

x

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

ndy

y

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

pdz

z

∣

∣

∣

∣

ahora se ((transforma)) el operador d→ ∆, por tanto se obtiene la ec. (1.16)

Ejemplo 1.3 Reportar el volumen de una esfera si su diametro es de D = 4, 23± 0, 01 cm.Sabemos que el volumen V de una esfera es

V =4

3πr3 =

4

3π

(

D

2

)3

= 39, 629 603 25 cm3.

El error serıa:∆V

V= 3

∆D

D= 3

0, 01

4, 23= 7, 092 198 58× 10−3,

por tanto,∆V = 0, 281 061 016 cm3

correspondiente a los resultado obtenidos en una calculadora cientıfica convencional. Recordando laregla 2 de la pag. 1-10 el volumen que debe reportarse es:

V = 39, 6± 0, 3 cm3

1-11

1.9 Fundamentos del analisis de datos experimentales

Cuando se obtiene una serie de datos experimentales, se debe tener presente:

La Informacion incluye Datos.

Los Datos no necesariamente incluyen Informacion.

Definamos algunos conceptos basicos del analisis estadıstico.

1.9.1 La media

Es el resultado obtenido de la suma de todos los datos individuales dividido entre el numero totalde datos. Si x1, x2, . . . , xN son los datos individuales y N el numero total de datos, la media, denotadapor el sımbolo µ (para N > 30) o x (N ≤ 30), se define como:

µ o x =1

N

N∑

i=1

xi (1.17)

Ejemplo 1.4 Las medidas (ordenadas ascendentemente) del periodo (en segundos) de un pendulosimple son:

1, 98 2, 02 2, 07 2, 09 2, 16

ası

T =1, 98 + 2, 02 + 2, 07 + 2, 09 + 2, 16

5= 2, 06 s

1.9.2 Principales caracterısticas de la media

1. El calculo de la media se basa en todos los valores de un conjunto de datos. Por tanto, esfuertemente afectada por los valores extremos, p. ej., si se tiene:

1,95; 1,95; 1,95, 1,95 y 5,95 ⇒ x = 2, 75.

El valor 5,95 ha elevado la media en 0,8.

2. Tiene dos propiedades matematicas:

a)∑

(xi − µ) = 0.

b)∑

(xi − a) es mınima cuando a = µ.

1.9.3 Varianza (σ2x

o s2x) y desviacion estandar (σ

xo s

x)

El grado al cual los datos tienden a esparcirse alrededor de un valor medio se denomina dispersion.Las definiciones mas comunes de cuantificar la dispersion es la varianza, que se denota con el sımboloσ2

x, y la desviacion estandar, que se denota con el sımbolo σx:

σ2x =

1

N

N∑

i=1

(xi − x)2, σx =√

σ2x (1.18)

donde N > 30 es el numero de datos. De igual forma, la varianza muestral, s2x, y la desviacion

estandar muestral, sx:

s2x =

1

(N − 1)

N∑

i=1

(xi − x)2, sx =√

s2x (1.19)

con N ≤ 30.De acuerdo al ejemplo 1.4, tenemos:

s2x = 4, 73× 10−3 s2; sx = 0, 068 s, con N = 5.

1-12

1.9.4 Principales caracterısticas de la desviacion estandar

Para una distribucion normal (ver §1, fig. 1.8) se tiene:

1. Una desviacion estandar alrededor de la media corresponde al 68,27% del total de los datos,es decir, hay una confiabilidad que de 100 datos tomados 68 estan incluidos en el intervaloµ− σx ≤ x ≤ µ + σx.

2. Dos σx alrededor de la media corresponden al 95,45% del total de los datos y estan incluidosen el intervalo µ− 2σx ≤ x ≤ µ + 2σx.

3. Tres σx alrededor de la media corresponden al 99,73% del total de los datos y estan incluidosen el intervalo µ− 3σx ≤ x ≤ µ + 3σx.

1.10 Como descartar datos dudosos

Muchas veces se mide valores que aparentemente no estan dentro de un intervalo de confiabilidad,p. ej., el periodo del ejemplo 1.4 oscila entre 1,98 s y 2,16 s. ¿Que pasa si se obtiene un valor de0,45 s? ¿Que decision se toma y bajo que criterio?: ¿Se ignora?, ¿se descarta? La respuesta es utilizarlos intervalos definidos por la desviacion estandar. Para el 95,45% del total de los datos, estos estanincluidos en el intervalo (x − 2σx, x + 2σx). Por tanto, se calcula x y σx y se aplica la condicionx± 2σx. Ası, para los datos:

0, 45 1, 98 2, 02 2, 07 2, 09 2, 16

se tiene:x = 1, 80; σx = 0, 66 ⇒ x± 2σx ∈ [0, 48; 3, 12]

los datos deben oscilar entre 0,48 s y 3,12 s, es decir, se puede descartar el valor 0,45 s con unaconfiabilidad del 95,45%.

Los datos que no se encuentran dentro del intervalo x± 2σx, se pueden descartar con unaconfianza del 95,45%.

1.11 Coeficiente de variacion (CV)

El coeficiente de variacion es otra medida de la dispersion y es independiente de la unidadde medida. Resulta util en la comparacion entre conjuntos de datos. Se da por medio de la desviacionestandar expresada como un porcentaje de la media y esta dado por:

CV =sx

x× 100 (1.20)

Ejemplo 1.5 Los siguientes son los datos de la gravedad g en m/s2 por dos metodos (mA y mB):

mA : 8, 94 9, 70 10, 30 10, 52 11, 17 ⇒ gA = 10, 13; sgA= 0, 85; CV = 8,39 %.

mB : 9, 26 9, 36 19, 44 19, 55 19, 68 ⇒ gB = 19, 46; sgB= 0, 16; CV = 1, 69 %.

La interpretacion del CV es como sigue: El mA es mas variable que el mB, sin embargo, es masconfiable la media gB que gA.

1.12 Curva de error gaussiana

Cuando se repite varias veces una medicion, disponiendose de instrumentos de gran precision, seobtienen datos distribuidos aleatoriamente sobre intervalos mayores que la incertidumbre absolutaque afecta cada una de las mediciones efectuadas. Se explica esta observacion como presencia defluctuaciones en el proceso de medicion, p. ej., al medir el periodo de un pendulo, cada vez que se

1-13

T (s) f (veces)

9.26 19.27 19.28 39.29 79.30 109.31 169.32 239.33 309.34 229.35 179.36 109.37 69.38 49.39 19.40 1

Tabla 1.2: Frecuencia o numero de veces f para cada periodo T medido.

repite el experimento se obtiene un resultado distinto a pesar de mantener invariables las condicionesbajo las cuales se realiza el experimento, como puede verse en la tabla 1.2 donde se reporta las medidasdel periodo con su respectivo numero de veces que se repite cada medida o frecuencia.

La fig. 1.7 se denomina histograma o distribucion frecuencial y muestra la grafica de latabla 1.2 y esta construida por una serie de barras verticales, de anchura igual a la incertidumbre decada medida individual y de altura igual a la frecuencia relativa de magnitud ni/n, siendo ni lafrecuencia (numero de veces en que se obtuvo en cada intervalo) y n el numero total de medidas.

T (s)

frec

uen

cia

1

3

7

10

16

23

30

22

17

10

6

4

1

Figura 1.7: Histograma correspondiente a la tabla 1.2.

A medida que el numero de observaciones se incrementa, se va aproximando a la famosa curva dela fig 1.8 conocida como campana de gauss o curva de error gaussiana.

La variable x tiene una distribucion normal o gaussiana si y solo sı la funcion llamada densidad deprobabilidad (definida como el lımite del contorno o envolvente del histograma, cuando el numerode observaciones tiende a infinito y la anchura de cada barra tiende a cero), corresponde a la funcion:

yn[x] =1

σx

√2π

exp

[

− (x− µ)2

2σ2x

]

(1.21)

Tres parametros importantes de una distribucion son: la media µ, que da una idea de la localizaciondel valor medio de los valores en la muestra, la desviacion estandar, σx, y la varianza, σ2

x, que dan unaidea de la dispersion de los datos alrededor de la media. Cuando mas concentrada este la distribucionalrededor de µ menor sera σx y viceversa.

1-14

x

yn[x]

µ − σ µ + σµ − 2σ µ + 2σµ − 3σ µ + 3σµ

Figura 1.8: Curva de error gaussiana o distribucion normal.

Aunque la densidad de probabilidad se extiende desde −∞ hasta +∞, se aproxima asintoticamenteal valor cero, por lo cual tiene un valor apreciable solo dentro de un intervalo de anchura igual a unaspocas veces la desviacion estandar σ. La probabilidad de medir x en cierto intervalo es proporcionalal area correspondiente a ese intervalo.

1.13 Prueba t student

Se ha mostrado hasta ahora como puede estimarse un parametro (µ, σ) a partir de datos, sinembargo, muchos problemas, ya sea en ciencia o ingenierıa, requieren que se tome una decision entredos o mas metodos para calcular una magnitud fısica o como tomar una decision entre aceptar orechazar una proposicion sobre algun parametro. Esta proposicion recibe el nombre de hipotesis, esdecir una proposicion o supuesto sobre los parametros de una o mas poblaciones.

La prueba t student se utiliza para:

1. Calcular los errores de muestreo y porcentual.

2. Construir el intervalo de confianza de una serie de datos.

3. Diferenciar entre las medias de dos poblaciones.

4. .Determinar las diferencias entre dos medias muestrales.

Esta prueba se basa en la distribucion t, que surge cuando la desviacion tıpica de una poblacionse desconoce y debe ser estimada a partir de los datos de una muestra. La base para la construccionde la distribucion t se basa en las hipotesis del teorema central del lımite:

Dada una variable aleatoria cualquiera, si extraemos muestras de tamano n, y calculamos lospromedios muestrales, entonces dichos promedios tienen distribucion aproximadamente normal.

La media de los promedios muestrales es la misma que la de la variable original.

La desviacion tıpica de los promedios disminuye en un factor√

n (error estandar). Las aproxi-maciones anteriores se hacen exactas cuando n→∞.

Estadısticamente se toma una muestra cuando n ≤ 30 datos, para n > 30 se va a aparecer demanera natural a la distribucion normal.

1.13.1 Caracterıstica de la distribucion t student

Es una distribucion continua.

Es de forma de campana y simetrica

1-15

Es menor en la media y mas alta en los extremos que una distribucion normal.

Hay una distribucion t para cada tamano de la muestra, por lo que ((hay una distribucion paracada uno de los grados de libertad ν)).

Los grados de libertad se definen como el numero n de observaciones independientes en lamuestra (tamano de la muestra) menos 1.

1.13.2 Especificaciones de la distribucion t student

Sea x1, . . . , xn variables aleatorias independientes distribuidas normalmente, con media µ y va-rianza σ2

x. Sea

xn =x1 + · · ·+ xn

n

la media muestral y (1.19) la varianza muestral. Entonces, se puede demostrar con base en el teoremade lımite central que la prueba estadıstica basada en la diferencia entre la media x de la muestra y lamedia µ hipotetica es

z =x− µ

σx/√

n

se distribuye segun una normal de media 0 y varianza 1. William Sealey Gosset estudio una expresionrelacionada,

t =x− µ

sx/√

n(1.22)

y mostro que tiene la siguiente distribucion:

yt[t] =Y0

(1 + t2

ν )(ν+1)/2(1.23)

donde Y0 esa una constante que depende de n, tal que el area total bajo la curva es 1, y ν es el numerode grados de libertad. La distribucion solo depende de ν, la independencia de µ y σ es lo que hacea la distribucion t tan importante en la teorıa y en la practica. La distribucion (1.23) se denominadistribucion t student y para grandes valores de n (aproximadamente n > 30) la curva (1.23) seaproxima a la curva normal

yn[t] =1√2π

exp

[

−1

2t2]

µ−tp tp

Regionde

aceptacion α2

α2

Figura 1.9: Distribucion normal (linea punteada) y distribucion t student (lınea continua). La region compren-dida entre los valores crıticos, −tp y tp, se conoce como region de aceptacion.

Al igual que la distribucion (1.21), la distribucion (1.23) tiene una tabla de valores para ν y tp,como se indica en la siguiente tabla:

1-16

ν t0,70 t0,80 t0,90 t0,95 t0,975 t0,995

Confianza ados colas

40% 60% 80% 90% 95% 99%

1 0,727 1,376 3,080 6,310 12,710 63,6572 0,617 1,061 1,886 2,920 14,303 69,9253 0,584 0,978 1,638 2,353 13,182 65,8414 0,569 0,941 1,533 2,132 12,776 64,6045 0,559 0,920 1,476 2,015 12,571 64,0326 0,553 0,906 1,440 1,943 12,447 63,7077 0,549 0,896 1,415 1,895 12,365 63,4998 0,546 0,889 1,397 1,860 12,306 63,3559 0,543 0,883 1,383 1,833 12,262 63,250

10 0,542 0,879 1,372 1,812 12,228 63, 169

Tabla 1.3: Valores de la distribucion t.

1.13.3 Intervalo de confianza y nivel de significancia

Con la distribucion normal se puede definir intervalos de confianza del 68%, 95% y 99%. De igualmanera se puede estimar, con especıficos lımites de confianza, la media µ. Por ejemplo, si −t0,975

y t0,975 son los valores de t para el cual 2,5% del area yace en cada una de las ((colas)) (nivel designificancia 5%, α = 0,05) de la distribucion, entonces un intervalo de confianza al 95% para tp;ν

(p = 1− α/2 = 1− 0,25) es:

−t0,975;ν <x− µ

sx

√n < t0,975;ν

por tanto, µ se estima que esta en el intervalo:

x− t0,975;νsx√n

< µ < x + t0,975;νsx√n

con 95% de confiabilidad (probabilidad 0,95). En general se puede representar el intervalo deconfianza (ic) como

IC = x± tp;νsx√n

(1.24)

1.13.4 Uso de la tabla de distribucion t

Es mas compacta y muestra las areas y valores de t para unos cuantos porcentajes exclusivamente(10%, 5%, 1%, etc.).

No se centra en la probabilidad de que el parametro de la poblacion que esta siendo estima-do caiga dentro del intervalo de confianza. Por el contrario, mide la probabilidad de que eseparametro no caiga dentro del intervalo de confianza.

Se debe especificar los grados de libertad con que estamos trabajando.

Ejemplo 1.6 Se desea obtener un intervalo de confianza al 99% para el tiempo medio requerido pararealizar un trabajo. Una muestra aleatoria de 11 mediciones produce una media de 13 min y unadesviacion estandar de 5,6 min.

En este caso:

n = 11 ⇒ ν = 11− 1 = 10

x = 13 min sx = 5, 6 min

1-17

Como el IC = 99%, el α = 1 % debe repartirse entre las dos colas de la distribucion t de la fig. 1.9,por tanto el valor de p = 1 − α/2 = 1 − 0, 05 = 0,995 correspondiente a tp;ν debe ser buscado en latabla 1.3, con ν = 10

p = 1− 0, 005 = 0, 995 ⇒ t0,995;10 = 3, 169

IC = x± tp;νsx√n

= 13± 3, 1695, 6√11

IC ∈ [7, 65; 18, 35] min

El tiempo medio requerido para realizar el trabajo sera entre 7,65 min y 18,35 min con una certezadel 99%.

1.13.5 Error de muestreo y error porcentual

Estadısticamente, el error de muestreo ǫ es:

ǫ =tp sx√

n(1.25)

Muchas veces es mas practico trabajar con un error porcentual, definido como:

ǫ % =ǫ

µ100 % (1.26)

1.13.6 Comparacion de dos metodos para decidir cual seleccionar

Otra utilidad de la distribucion t es decidir entre dos metodos cual es el mas confiable. Para elloes necesario primero hacer una prueba de que la serie de resultados tomados por ambos metodos esdiferente; la prueba consiste en calcular un valor de t mediante:

t =x1 − x2

s12

√

1n1

+ 1n2

(1.27)

donde

s12 =

√

s2x1(n1 − 1) + s2

x2(n2 − 1)

n1 + n2 − 2

el valor de s12 es una desviacion estandar combinada que se obtiene con las dos series de datos. El valorde t obtenido a partir de (1.27) debe compararse con el valor de tp de la tabla 1.3 para (n1 + n2 − 2)grados de libertad ν:

Si el valor de t calculado es mayor que el valor de tp tabulado, las dos series de resultadosson significativamente diferentes para el nivel de confianza considerado.

Ejemplo 1.7 De acuerdo con el ejemplo 1.5, se tiene los siguientes datos de g (en m/s2) medidas porlos metodos mA y mB

mA : 8, 94 9, 70 10, 30 10, 52 11, 17 ⇒ nA = 5 gA = 10, 13 s2A = 0, 72

mB : 9, 26 9, 36 19, 44 19, 55 19, 68 ⇒ nB = 5 gB = 19, 46 s2B = 0, 03

Para una confiabilidad del 90%, el nivel de significancia es α = 0, 10 y t1−α2;ν = t0,95;4 = 2, 132. El

error de muestreo para cada metodo, de acuerdo con (1.25) es, respectivamente:

ǫA =(2, 132)(0, 8461)√

5= 0, 81

ǫB =(2, 132)(0, 1635)√

5= 0, 16

1-18

El error porcentual (1.26), para los dos metodos es, respectivamente:

ǫ %A =0, 81

10, 13100 % = 8, 00 %

ǫ %B =0, 16

9, 46100 % = 1, 69 %

Esto quiere decir que el mA presenta mayor error que mB.

Se debe descartar datos dudosos antes de proceder a la comparacion de los dos metodos.

El intervalo de confianza de cada metodo permite descartar datos dudosos, como se especıfica acontinuacion:

ICA = 10, 13± 0, 81 ⇒ IC ∈ [9, 32; 10, 94]

del metodo mA se descarta los valores 8,94 y 11,17 con un 90% de confianza.

ICB = 9, 46± 0, 16 ⇒ IC ∈ [9, 30; 9, 62]

del metodo mB se descarta los valores 8,26 y 9,68 con un 90% de confianza.Los datos confiables son utilizados para representar los resultados finales de cada metodo de me-

dicion de la aceleracion de la gravedad:

mAb : 9, 70 10, 30 10, 52 ⇒ nAb = 3 gAb = 10, 17 s2Ab = 0, 18

con 90% de confianza, t0,95;2 = 2, 920

ǫAb = 0, 71 ǫ %Ab = 6, 98 %

mB : 9, 36 19, 44 19, 55 ⇒ nBb = 3 gBb = 19, 45 s2Bb = 0, 01

con 90% de confianza, t0,95;2 = 2, 920

ǫBb = 0, 17 ǫ % = 1, 80 %

El metodo mA presenta mayor error que el MB.Para la comparacion de los dos metodos, y decidir cual seleccionar, se utiliza los datos depurados

en la ec. (1.27).

s12 =

√

0, 18(3− 1) + 0, 01(3− 1)

3 + 3− 2= 0,31

t =10, 17− 9, 45

0,31√

13 + 1

3

= 2, 84

Para una confiabilidad del 90%, la tabla 1.3 da el valor de 2,132. Como tcalcu > ttabul, entonces losdos metodos son significativamente diferentes o se dice que hay una significancia entre los dos metodoscon un 90% de confiabilidad. Se concluye que el metodo mB es mas confiable.

Si hubiese resultado iguales, serıa indiferente estadısticamente escoger uno u otro metodo paramedir la aceleracion de la gravedad.

1.13.7 Como decidir si en una serie de datos se haya un valor esperado

Para tal fin se construye un intervalo de confianza con una confianza predeterminada. Para elejemplo anterior se tiene:

ICAb = 10, 17± 0, 71 ⇒ ∈ [9, 46; 10, 88]

ICBb = 9, 45± 0, 16 ⇒ ∈ [9, 29; 9, 61]

1-19

9 10 119,4

6

10,8

8

9 10 11

9,2

8

9,6

2

9,78

ICAb

ICBb

Figura 1.10: Intervalos de confianza para los metodos mA y mB. El valor aceptado es g = 9, 78 m/s2. El valoraceptado es g = 9, 78 m/s2 y esta en el ICAb.

Es decir, mA tiene un mayor IC que el mB, por tanto mA tiene un rango de variabilidad mayor quemB. Hay mayor probabilidad de cometer errores sistematicos con mA que con mB y esto se refleja enel error de muestreo.

El valor aceptado de g en la Universidad del Valle es de 9,78 m/s2. Este valor se encuentra incluidoen el primer intervalo de confianza pero no se encuentra incluido en el segundo intervalo de confianza(ver fig. 1.10). Por tanto, el valor de g, determinado por mA, se encuentra dentro de la serie de datostomados con una confianza del 90%, pero no queda incluido por mB; esto no quiere decir que mB

es ((malo)) sino que en la utilizacion de mB puede haber mayor propagacion de las incertidumbres demedicion.

En el metodo mA se encuentra el valor esperado o ((teorico)) de la gravedad, pero haymayor probabilidad de cometer errores sistematicos que en el metodo mB.

CAPITULO 2

Metodos de analisis grafico

2.1 Importancia de las graficas

La presentacion de los resultados experimentales se debe considerar como parte esencial de losexperimentos. Es util que los datos obtenidos se presenten en un grafico, donde quede resumida lainformacion para su apreciacion y analisis. En la mayorıa de los casos un grafico es mas util que unatabla de valores, especialmente cuando:

Se mide una variable y en funcion de otra x y se quiere interpretar la relacion funcional entreellas, p. ej., la medicion del perıodo de un pendulo en funcion de su longitud; medicion de laaltura en funcion del tiempo transcurrido en una caıda libre; etc.

Se estudia si dos variables mantienen una correlacion (causal o no) y como es el grado deinterdependencia, p. ej., el estudio de la relacion entre el peso y la altura de personas; etc.

Se trata que la informacion que se quiere representar sea clara y explıcita para que la representaciongrafica ((hable por sı sola)). Lo importante es que un grafico debe servir para un posterior tratamientode los datos, que lleve a inferir las leyes subyacentes en ellos y ahondar ası en las posibles implicacionesy generalizaciones de los resultados obtenidos en los experimentos.

2.2 Eleccion de variables

Al estudiar cualquier sistema lo que se trata de obtener son las respuestas del sistema ante ciertasperturbaciones que se le puede aplicarle de manera controlada. La fig. 2.1 representa esquematicamenteun sistema bajo estudio.

xi yisistema

Figura 2.1: Representacion esquematica de un sistema al que se estudia las respuestas yi cuando se varıa elconjunto xi.

Las variables xi se les denomina variables de entrada o variables independientes porquese las puede controlar y variar. Ante los cambios de xi, el sistema revela sus caracterısticas o compor-tamientos a traves de los cambios que sufren las variables yi, por tal razon se les denomina variablesde salida o variables dependientes. Por simplicidad, el cientıfico estudia la respuesta de unavariable de salida ante la variacion de una de las variables de entrada.

2-1

2-2

2.3 Normas para graficar

Se acostumbra tomar el eje de las abscisas para representar la variable de entrada o variable ((facil))de medir o variable independiente y el eje de las ordenadas para la variable de salida o variabledependiente. Igualmente se usa pequenas cruces, cuyas longitudes de las barras horizontal y vertical,son proporcional a la incertidumbre de las respectivas variables, de acuerdo a las escalas elegidas paracada eje. La incertidumbre en una variable pueden ser muy pequena comparada con su factor de escalay su lınea de incertidumbre tendrıan una anchura comparable al grosor de la lınea que representa elintervalo de la otra variable.

El arte de hacer graficas para dilucidar los resultados se ha facilitado con el desarrollo de programasespecializados como Excel, Origin, entre otros. Estas programas incorporan los principios de disenografico para obtener graficas de alta calidad. Es altamente conveniente que el estudiante utilice estasaplicaciones. Sin embargo, en principio se debe realizar los graficos a mano, por tal motivo tenga encuenta:

Utilizar papel milimetrado de modo que la precision de trazado sea del mismo orden que laprecision de los datos a graficar.

Indicar, en cada eje, la magnitud que va a representarse con su sımbolo y su unidad de medida.

Escoger las escalas de modo que la grafica ocupe la mayor parte del espacio disponible.

Facilitar la localizacion de las divisiones en los ejes, es decir evitar factores de escala que nopermitan una lectura directa de la misma, p. ej., no tomar 7 unidades de una magnitud yrepresentarlas por 1 cm.

Colocar sobre los ejes un numero moderado de ((marcas de escala)), e. d., rayitas hacia afueradel area de datos o region de la grafica comprendida en el rectangulo delimitado por los ejes.

Colocar rotulos de division de escala debajo de algunas marcas de escala, sin sobrecargar lagrafica.

No es necesario que el origen sea el punto (0, 0). No obstante, puede ser necesario incluir elorigen en la grafica si se quiere determinar graficamente el intercepto con alguno de los ejes.

Senalar los puntos experimentales con pequenos cırculos rellenos.

Si se van a graficar varias series de datos sobre la misma hoja, use diversos sımbolos ademas delcırculo para destacar y distinguir los puntos correspondientes a cada curva, p. ej., cuadrados,rombos, triangulos, entre otros. Debe evitarse el empaquetar demasiada informacion en el mismografico, haciendolo ilegible.

Si grafica una variable continua es imprescindible indicar su incertidumbre mediante barras delongitud proporcional al mismo, a menos que esta no sea significativa.

No aprovechar los espacios vacıos en el area de datos para realizar calculos aritmeticos de pen-dientes, etc.

Usar ((lıneas de referencia)) cuando haya un valor importante que interese senalar a todo lo largoo ancho de la grafica, sin interferir con los datos.

Poner una leyenda de la grafica que explique la relacion entre las variables.

Un ejemplo con las consideraciones es:

2-3

0.1 0.2 0.3 0.4

0.30

0.45

0.60

0.75

0.90

x1/2 (m

1/2 )

t (s)

Figura 2.2: Relacion entre la raız cuadrada de la distancia x1/2 (m1/2) como funcion del tiempo t (s). La lıneaa trazo es el ajuste lineal.

2.4 Relacion lineal

Una relacion entre las variables x e y del tipo:

y[x] = a + bx (2.1)

se conoce como relacion lineal. Las caracterısticas de esta recta son: el intercepto a = 0 o cortecon el eje vertical y la pendiente b o cambio de razon ∆y/∆x. La fig. 2.2 es un ejemplo tıpico. Larecta es la forma geometrica mas simple en dos dimensiones. Al mismo tiempo, una relacion linealentre dos variables cualesquiera es mas facil de ser identificada a simple vista. No es una exageracionafirmar que es el unico caso en que esta discriminacion puede hacerse a simple vista. Entre una rectay una curva, nuestro ojo siempre notara la diferencia, pero no discriminara a la funcion que define lacurva.

La fig. 2.3 representa dos series de datos. Trate de inferir cualitativamente cual serie se aproximaa una relacion lineal entre x e y. Utilice una regla comun o ponga el papel hasta el nivel de los ojos (sidesea, cierre un ojo como cuando se hace punterıa) y observe si los puntos se ven alineados. Este tipode toma de decision no debe desdenarse al momento de analizar datos experimentales. La decision deaceptar o no una relacion lineal entre las variables debe ser tomada por el experimentador, ya sea seespere o no una vinculacion lineal entre las variables en juego. Una vez que se decida que los datos((caen sobre una recta)), se puede estimar sus parametros (pendiente e intercepto) de la mejor rectaque pase por la mayorıa de los datos, o usar metodos para aproximar los datos a una relacion linealcomo se vera mas adelante.

2.5 Relacion potencial

Sea la relacion entre x e y del tipoy[x] = axc (2.2)

donde a y c son constantes. Esta relacion potencial es muy estudiada porque sirve como aproxi-macion del comportamiento en una gran variedad de casos, p.e.j. ,en biologıa, la ec. 2.2 se le denomina((ecuacion alometrica)). La constante c se denomina exponente de escala y define la escala de va-riacion de y segun varıa x. Esto es, si x se multiplica por un factor f , y cambiara consecuentementef c veces. El significado fısico de la constante a es el de representar el valor que toma y cuando X valela unidad. La dimension de a es tal que da homogeneidad dimensional a la ecuacion. p. ej., parece serque el peso de los dinosaurios p estaba bien correlacionado con la longitud l medida desde la cabezahasta la cola, segun

p = p0l3

2-4

0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.400.30

0.45

0.60

0.75

0.90

y (u

a)

x (ua)

Figura 2.3: Representacion de dos series de datos. ¿Cual aproxima mejor una relacion y ∼ x?

Esta ecuacion se lee de la siguiente forma: p0 representa el peso de un dinosaurio de ((largo unidad)),por tanto, si la unidad elegida para la longitud es el metro y para el peso es el newton, p0 representacuantos N pesaba un animal de largo igual a 1 m. La unidad de p0 sera tal que se igualen las unidadesde los dos miembros de la ecuacion. En este caso, p0 tendra la unidad N/m3, sin embargo, p0 no es ladensidad de los animales, a pesar de su unidad, puesto que l3 no es el volumen. Note que el valor dep0 cambiara si se eligen otras unidades de medicion. P. ej., si el peso se midiera en dinas y la longituden cm, p0 adoptarıa un nuevo valor.

Un analisis cualitativo del grafico de la ec. (2.2) se puede observar una curva ((concava hacia arriba))

si c > 0, mientras que si c < 0, la curva se vera ((concava hacia abajo)). Lo que quiere decir es que unavariacion de la variable x a un dado ritmo, hace que la variable y cambie a un ritmo distinto: masrapido si c > 0, mas lento si c < 0.

2.6 Tecnicas de linealizacion

Cuando se tiene una relacion lineal entre las variables de entrada y salida, se facilita el analisisentre estas variables, por tal razon si se hace el cambio de variables

x∗ = xc y∗ = y

en la ec. (2.2), toda vez que se conozca el exponente c, se tiene

y∗ = x∗

que es una relacion lineal entre las variables transformadas. Se dice que se ha linealizado la re-presentacion grafica. La tecnica consiste en tratar de ((convertirla)) una curva no lineal en una linealmediante un cambio apropiado de variables.

Ejemplo 2.1 Se mide el perıodo T de un pendulo simple para distintas longitudes L. Para el caso depequenas amplitudes de oscilacion, las variables estan relacionadas

T = 2π

√

L

g

donde g es la aceleracion de la gravedad. La relacion es del tipo

T = aLc

con

a =2π√

gy c =

1

2

2-5

Si se acepta que el exponente c = 1/2, un grafico T versus Lc dara una recta que pasa por el origende coordenadas (dado que un pendulo de longitud nula debe tener un perıodo de oscilacion nulo) yde cuya pendiente a se puede obtener el valor de g.

Ejemplo 2.2 Se mide el tiempo para diferentes alturas durante la caıda libre y se encontro el siguientecomportamiento:

t[x] = 0, 45√

x

donde x se mide metros y t en segundos. Al hacer el cambio de variable

u =√

x

se tiene la siguiente relacion entre la variable de salida t y la nueva variable u

t = 0, 452u

La grafica de esta ((nueva)) funcion en el plano t− u es una lınea recta que pasa por el origen (ya quepartio del reposo) y de pendiente 0,45

√m/s.

En el caso mas general, donde no se conoce ni a a ni a c, ¿como se procede a linealizar? Para facilitarla tarea de encontrar el exponente de escala c y la constante a, es conveniente tomar el logaritmo aambos miembros de (2.2):

log[y] = log[axc]

= log[a] + log[xc]

= log[a] + c log[x]

Una representacion de log[y] en funcion de log[x] da una recta que tiene pendiente c e intercepto log[a].Este tipo de representacion grafica es extremadamente util cuando se analizan ecuaciones algebraicas,se estudian correlaciones, leyes de crecimiento, etc. En la practica no es necesario tomar los logaritmosde los datos, sino representarlos en escalas logarıtmicas, para lo cual ya existen papeles especialmentedisenados para realizar estos graficos. Ası mismo casi todos los buenos paquetes de graficacion usandocomputadora, brindan la posibilidad de representar los datos en escalas lineales (las normales ) ologarıtmicas.

2.7 Eleccion de las escalas

¿Como se realiza un grafico de log[y] en funcion de log[x]? Una forma serıa tomar el logaritmo yhacer una nueva tabla de log[x] y log[x] para despues graficar, sin embargo este procedimiento es muytedioso, ya que podemos tener tablas de 100 o hasta miles de datos. Otra forma, y la mas utilizada, esrepresentar directamente los pares de valores (x, y) en un grafico donde sus dos ejes contengan escalaslogarıtmicas.

Un grafico doble-logarıtmico como el de la fig. 2.4 tambien es llamado grafico log-log. Laposicion de las grillas mas gruesas identifica un valor igual a una potencia de 10. Por lo tanto, encada eje, el espacio entre esas grillas representa una decada de variacion de las variables, es decir,entre 10n y 10n+1, cualquiera que sea n. Las ocho grillas intermedias indexan los valores k10n, conk = 2, 3, . . . , 9.

Esto hace muy simple la construccion de ejes en escalas logarıtmicas. Esto requiere marcar inter-valos fijos a distancias 1, 10, 100, 1000,. . . (100, 101, 102, . . . , 103, . . . ). Si los datos a representar nocubren un rango tan amplio de valores, los intervalos pueden realizarse a distancias de 1, 2, 4, 8, 16,32,. . . (20, 21, 22, 23, 24, 25, . . . ).

Observando la fig. 2.4 se puede advertir que las escalas logarıtmicas son ((mas democraticas)) quelas lineales, puesto que dejan ocupar el mismo espacio en el grafico a los intervalos entre decadas entrevalores ((pequenos)) que el espacio ocupado por los intervalos entre decadas entre valores ((grandes));

2-6

10m+2

10m

10m+1

10m-2

10n+210n+110n10n-1

y (u

a)

x (ua)10n-2 10n-1

10m-1

1

2

3

Figura 2.4: Ejemplo de un grafico con escalas logarıtmicas.

se puede ver, p. ej., que el lugar reservado para los valores entre 10−5 y 10−4 es identico al reservadopara el intervalo 108 y 109.

Si la relacion (2.2) se representada en un grafico log-log se debe tener una recta de pendiente c eintercepto log[a] , e. d., se puede inferir que y ∼ xc. Para calcular directamente del grafico el valor dec, se debe contar cuantas decadas varıa y cuando x varıa una. De la fig. 2.4, la lınea 1 tiene pendientec = 0, 5, por tanto y ∼ √x. Para la lınea 2, c = 1, por lo tanto, y ∼ x y, por ultimo, para la lınea 3,c = −1,5, e. d., y ∼

√x−3.

Esta representacion usualmente se hacıa usando un papel especial (papel logarıtmico), que, dichosea de paso, aun se consigue en las librerıas o en laboratorio de investigacion de cierta antiguedad queconservan algunas muestras. Con las ventajas que ofrecen hoy en dıa los programas de computadora(Origin, Excel, etc.), este tipo de representacion puede realizarse de manera inmediata para sacarmayor provecho al analisis de los datos experimentales.

2.8 Planeacion experimental

Usando las herramientas basicas de estadıstica vistas, se debe estar en capacidad de tomar deci-siones propias sobre la manera de conducir un experimento y analizar sus datos.

Los pasos del experimento son los siguientes:

Identificar el sistema.Tener claridad de cual es el tema que se tratara en el experimento.

Elegir las variables apropiadas.Cuales son las magnitudes a medir.

Identificar la teorıa correspondiente.Tener los conceptos teoricos que se aplicaran.

Elegir el alcance de las variables.Escoger los intervalos en que se haran las mediciones.

Determinar la precision de las magnitudes a medir.Identificar la precision de los instrumentos que se usan para medir las magnitudes y reportar deforma rigurosa los resultados finales.

Reportar los datos.Elaborar tablas de datos cuyas columnas estan rotuladas con las magnitudes de entrada quedeben controlarse y las magnitudes de salida que deben medirse. Es conveniente incluir tambiencolumnas para todas las cantidades por calcular, en el analisis de los datos.

CAPITULO 3

Metodo de mınimos cuadrados

En un experimento tıpico que envuelve la medicion de varios valores de dos variables fısicas esinvestigar la funcionalidad entre las dos variables. En terminos generales, sea la variable de entrada xy la variable de salida y, por simplicidad, las dos estan relacionadas linealmente y que la incertidumbreen la medicion de x es mucho menor que la respectiva incertidumbre en y, e. d.:

y[x] = a + bx (3.1)

donde la pendiente b y el intercepto a son parametros que deben determinarse mediante un criterio.La fig. 3.1 muestra la situacion a estudiar.

x

y

pendiente b

a

yi

xi

yi − y[xi]

y[x]

Figura 3.1: Grafico de datos asociados a un modelo lineal. La cantidad yi − y[xi] representa la desviacion decada observacion de yi respecto del valor predicho por el modelo yi[xi].

Cuando se hace una serie de medidas del tip descrito, se puede preguntar:

1. ¿Como elegir ((la mejor recta)) que ajuste una serie de datos experimentales?

2. ¿Con que exactitud se determinan el intercepto a y la pendiente b?

El metodo analıtico de encontrar la mejor lınea recta que ajuste una serie de datos experimentalesse denomina regresion lineal o metodo de mınimos cuadrados y la exactitud de determinar ay b es a traves de metodos estadısticos.

La regresion lineal consiste en suponer que la incertidumbre en una de las mediciones de lasvariables es despreciable frente a la otra. Esta suposicion es razonable ya que las incertidumbres en

3-1

3-2

una de las variables a menudo son mayores que en la otra y, por tanto, se pueden ignorar.Tambien seasume que las incertidumbres en una de las variables son todas del mismo orden, lo cual es razonableen muchos experimentos,pero no necesariamente cierta. Sea la variable x la que tiene incertidumbredespreciable y las mediciones de cada yi estan gobernadas por la distribucion (1.21), con el mismoparametro σy para todas las mediciones.

Si se conoce las constantes a y b,para cualquier valor dado de xi (que se ha asumido no tieneincertidumbre), se puede calcular el valor verdadero de la correspondiente ti,

(valor verdadero de yi) = a + bxi

La desviacion entre el i-esimo valor experimental yi[xi] y la respectiva ordenada a+bxi en la supuestarecta de ajuste es:

δyi = yi − (a + bxi), con i = 1, 2, . . . , n (3.2)

Entre todas las posibles rectas de intercepto a y pendiente b que ajusta a la serie de datos experiemt-nales, se escoge aquella para la cual tiene lugar el siguiente criterio:

La suma de los cuadrados de las desviaciones δyi debe ser mınima, es decir,

n∑

i=1

(δyi)2 = mın

Teniendo en cuenta la relacion (3.2):

n∑

i=1

(yi − a− bxi)2 = mın

La condicion de existencia del mınimo de esta expresion exige que sus derivadas parciales con respectoa los parametros a y b se anulen, es decir:

∂

∂a

(

n∑

i=1

(yi − a− bxi)2

)

= 0 ;∂

∂b

(

n∑

i=1

(yi − a− bxi)2

)

= 0

Al realizar la operacion indicada, se obtiene

n∑

i=1

(yi − a− bxi) = 0 ;

n∑

i=1

(yi − a− bxi)xi = 0

Estas dos ecuaciones pueden ser reescritas como ecuaciones simultaneas lineales para a y b:

an + b∑

xi =∑

yi ; a∑

xi + b∑

x2i =

∑

xiyi

donde se ha omitido los lımites i = 1 a n en los signos de la sumatoria∑

, por comodidad en laescritura de las ecuaciones. La solucion de este sistema es:

a =

∑

x2i

∑

yi −∑

xi

∑

(xiyi)

n∑

x2i − (

∑

xi)2 (3.3)

b =n∑

xiyi −∑

xi

∑

yi

n∑

x2i − (

∑

xi)2 (3.4)

De esta manera se encuentra el intercepto y la pendiente de la recta que minimiza la suma∑

(δyi)2.

Del analisis estadıstico, la incertidumbre en y es:

sy =

√

∑

(yi − a− bxi)2

n

3-3

pero este estimativo no es correcto porque los numeros a y b son los valores verdaderos desconocidos.En la practica, estos numeros deben reemplazarse por los mejores estimativos dados por (3.3) y 3.4,esto conduce a una reduccion en sy al reemplazar n→ n− 2:

sy =

√

∑

(yi − a− bxi)2

n− 2(3.5)

La razon es que se ha hecho n medidas pero se deben calcular dos cantidades a y b.Teniendo sy, las incertidumbres de a y b se obtienen de

sa = sy

√

∑

x2i

n∑

x2i − (

∑

xi)2 (3.6)

sb = sy

√

n

n∑

x2i − (

∑

xi)2 (3.7)

De esta forma, el metodo de mınimos cuadrados permite calcular de manera inequıvoca las incer-tidumbres del intercepto a y de la pendiente b con base en los datos medidos y no en las apreciacionesbasadas en las incertidumbres de los valores medios de los datos.

¿Que tan valido es aproximar un conjunto de datos mediante una dependencia lineal de la formacomo se ha planteado? La respuesta a esta pregunta se obtiene mediante el calculo del llamadocoeficiente de correlacion lineal, el cual se define de la siguiente manera:

r =n∑

xiyi −∑

xi

∑

yi(

√

n∑

x2i − (

∑

xi)2

)(

√

n∑

y2i − (

∑

yi)2

) (3.8)

Esta magnitud, en cierta medida caracteriza el grado de dependencia lineal de la variable y conrespecto a la variable x. Si r = 1, significa que la correlacion entre x e y es perfecta. Al contrario, sir = 0, entre x e y no hay correlacion. Una correlacion imperfecta significa que 0 < r < 1.

Ejemplo 3.1 Se quiere investigar la dependencia de la resistencia R de un material con respecto ala temperatura T . Los resultados se muestran en la tabla 3.1 y la grafica en la fig. 3.2:

T (C) 10 20 30 40 50 60 70 80R (Ω) 12,3 12,9 13,6 13,8 14,5 15,1 15,2 15,9

Tabla 3.1: Datos de la temperatura T (C) y la resistencia R Ω.

Como suele suceder en muchos problemas, las variables no llamadas x e y, pero debe tenersecuidado enla identificacion de cada una. Para el presente caso, se tiene el reemplazo:

xi ↔ Ti yi ↔ Ri

Un vistazo a la distribucion de estos datos permite afirmar que estos se pueden ajustar mediante unarecta. El objetivo es determinar dicha recta mediante el metodo de mınimos cuadrados. De acuerdocon las ecs. (3.3) y (3.4), se necesita conocer

∑

Ti,∑

Ri,∑

T 2i ,∑

R2i y

∑

TiRi:Con base en estos valores, se puede determinar los valores de la pendiente b y el intercepto a:

a =

∑

T 2i

∑

Ri −∑

Ti

∑

TiRi

n∑

T 2i − (

∑

Ti)2 =

(20 400)(113, 3)− (360)(5 308)

8(20 400)− (360)2= 11,91 Ω

b =n∑

TiRi −∑

Ti

∑

Ri

n∑

T 2i − (

∑

Ti)2 =

8(5 308)− (360)(113, 3)

8(20 400)− (360)2= 4, 98× 10−2 Ω/C

3-4

0 15 30 45 60 7512

13

14

15

16

Res

iste

ncia

R (

)

Temperatura T (°C)

Figura 3.2: Grafica de los datos de la tabla 3.1.

Ti Ri T 2i R2

i TiRi

(C) (Ω) (C2) (Ω2) (C Ω)

10 12,3 100 151.29 12320 12,9 400 166,41 25830 13,6 900 184,96 40840 13,8 1 600 190,44 55250 14,5 2 500 210,25 72560 15,1 3 600 228,01 90670 15,2 4 900 231,04 1 06480 15,9 6 400 252,81 1 272∑

Ti

∑

Ri

∑

T 2i

∑

R2i

∑

TiRi

60 13,3 20 400 1 615,21 5 308

Tabla 3.2: Datos para calcular las ecs. (3.3) y (3.4).

De los anteriores resultados, se puede determinar las magnitudes δRi = Ri− (a + bTi) y∑

(δRi)2.

Estos datos se encuentran en la tabla 3.3.Con base en estos valores, se puede determinar sy (3):

sy =

√

∑

(δyi)2

n− 2=

√

0, 15

8− 2= 0, 16 Ω

y ası se puede determinar las desviaciones estandar de la pendiente y el intercepto:

sa = sy

√

∑

x2i

n∑

x2i − (

∑

nxi)2 = 0, 16

√

20 400

8(20 400)− (360)2= 0, 13 Ω

sb = sy

√

n

n∑

x2i − (

∑

xi)2 = 0, 16

√

8

8(20 400)− (360)2= 2, 47× 10−3 Ω/C

Por tanto, la recta R = a + bT que ajusta los datos de la fig. 3.2 de acuerdo con el criterio demınimos cuadrados tiene la forma:

R[T ] = (11,9± 0, 1) + (5, 0± 0, 3)× 10−2T

3-5

Ti Ri a + bTi δRi (δRi)2

(C) (Ω) (Ω) (Ω) (Ω2)

10 12,3 12,4 0.1 0,0120 12,9 12,9 0 030 13,6 13,4 0,2 0,0440 13,8 13,9 0,1 0,0150 14,5 14,4 0,1 0,0160 15,1 14,9 0,2 0,0470 15,2 15,4 0,2 0,0480 15,9 15,9 0 0

(∑

δRi)2

0,15

Tabla 3.3: Datos para calcular la magnitud sy dada por (3).

0 15 30 45 60 7512

13

14

15

16

Res

iste

ncia

R (

)

Temperatura T (°C)

Figura 3.3: Regresion lineal usando el metodo de mınimos cuadrados de la fig 3.2.

y se presenta en la fig. 3.3.Finalmente, para el coeficiente de correlacion se tiene:

r =n∑

xiyi −∑

xi

∑

yi(

√

n∑

x2i − (

∑

xi)2

)(

√

n∑

y2i − (

∑

yi)2

)

=8(5 308)− (360)(113, 3)

√

8(20 400)− (3602)√

8(1 615, 2)− (113, 32)

= 0, 9934

lo cual indica que la resistencia del material considerado esta bien correlacionada con la temperatura.

CAPITULO 4

Medicion de tiempos

4.1 Objetivos


Determinar el tiempo de reaccion de personas y el tiempo mınimo entre poner en marcha ydetener un cronometro.


Calcular la media, desviacion estandar, CV, IC y error porcentual.

Construir un histograma.

4.2 Equipamiento

Regla. Cronometro.

4.3 Montaje experimental

El sistema son los estudiantes del grupo de laboratorio (como maximo 4), de los cuales uno sostienela regla y toma tiempo y los otros son a quienes se le medira el tiempo de reaccion. Todos deben tomarel tiempo de reaccion a sus companeros.

4.4 Consideracion teorica

Cuando una persona debe realizar alguna accion en respuesta a un dado estımulo (visual, auditivo,tactil), transcurre un tiempo entre la recepcion del estımulo y la ejecucion de la accion. Este intervalode tiempo se conoce como tiempo de reaccion de una persona. Esto sucede, p. ej., cuando unapersona que conduce un vehıculo tiene que frenarlo luego de visualizar un obstaculo en el camino ocuando un atleta en la lınea de partida debe decidir que empieza la carrera despues de que escucha lasenal de largada dada por el juez de la competencia. Estas demoras en la reaccion estan reguladas pordos efectos. El primero es el tiempo de transito del estımulo en los organos sensible correspondientes(ojo, oıdo, etc.). El segundo tiene que ver con el tiempo que pasa entre los impulsos nerviosos y elmovimiento de los musculos.

4-1

4-2

4.4.1 Observacion

En mediciones de tiempos usando un instrumento activado manualmente, p. ej. cuando se empleaun cronometro (analogico o digital), el operador introduce una incertidumbre en la definicion de losintervalos que esta asociada a su tiempo de reaccion. Esta incertidumbre debe considerarse en elmomento de estimar la incertidumbre total de la medicion de tiempos.

4.5 Procedimiento

4.5.1 Primera parte

① Cada estudiante medira su tiempo mınimo entre poner en marcha y detener el cronometro.

4.5.2 Segunda parte

❶ Un estudiante S1 sujeta la regla de 100 cm de longitud entre sus dedos y con la otra tiene elcronometro. Otro estudiante S2 al que le desea medir el tiempo de reaccion debe colocar sumano unos 10 cm mas abajo de S1 y en la posicion de un punto bien definido de la regla, conlos dedos ındice y pulgar abiertos alrededor de la regla. Por ejemplo, los dedos podrıan estar enla marca de las decenas de centımetros, cuidando de no tocar la regla. S2 debera asir la reglaapenas vea que S1 la suelta. Desde luego, no debe haber ningun aviso previo, S2 solo debe tratarde asir la regla con los dedos cuando se de cuenta que la misma ha sido soltada por S1.

4.6 Analisis

4.6.1 Primera parte

Los intervalo de tiempo medidos en ① seran consignados en la tabla 4.1.

Repitan el anterior ıtem los otros estudiante y completen las tablas 4.2–4.4.

Con la tabla 4. calculen la media (1.17), desviacion estandar (1.19), CV (1.20), IC (1.24) y errorporcentual (1.26), con una probabilidad del 90% (t0,90) utilizando la tabla 1.3.

Repitan los mismos calculos para las tablas 4.2–4.4.

Con las tablas 4.1–4.4, organicen todos los datos en forma ascendente sin omitir los datos quese repitan.

Construyan un histograma de los distintos tiempos registrados.

4.6.2 Segunda parte

Midan en cada prueba la distancia que la regla cayo desde la marca de referencia.

Suponiendo que la regla cae con un movimiento uniformemente acelerado y que g ≈ 9, 8 m/s2,calculen el tiempo de reaccion y completen la tabla 4.5.

Repitan el anterior ıtem con los estudiante S1 y S3 completando las tablas 4.6–4.8.

Con la tabla 4.5, calculen la media (1.17), desviacion estandar (1.19), CV (1.20), IC (1.24) yerror porcentual (1.26), con una probabilidad del 90% (t0,90) utilizando la tabla 1.3.

Repitan los mismos calculos para las tablas 4.6–4.8.


Construyan un histograma de los distintos tiempos de reaccion.

4-3

¿Cual es el valor medio de este tiempo para cada uno de los estudiantes.

El tiempo de reaccion obtenido es en respuesta a un estımulo visual. Disene un experimento conel que pueda medir el tiempo de reaccion ante un estımulo auditivo.

Compare los tiempos de reaccion en respuesta a los distintos estımulos.

De los graficos y preguntas, tanto de la primera como la segunda parte, hagan sus conclusiones.

4.7 Datos

No ∆t ( )

12345678910

Tabla 4.1:

No ∆t ( )

12345678910

Tabla 4.2:

No ∆t ( )

12345678910

Tabla 4.3:

No ∆t ( )

12345678910

Tabla 4.4:

No t ( ) d ( )

12345678910

Tabla 4.5:

No t ( ) d ( )

12345678910

Tabla 4.6:

No t ( ) d ( )

12345678910

Tabla 4.7:

No t ( ) d ( )

12345678910

Tabla 4.8:

D. A. Wardle, Phys. Teach. 36: 442 (1 998).R. Nijhawan, Nature 370: 256 (1 995).

CAPITULO 5

Determinacion de la constante π

5.1 Objetivos


Determinar por medidas indirectas el valor de π con sus respectivas incertidumbres.


Reportar informacion a traves de la presentacion en tablas y graficas.

Aplicar el metodo de mınimos cuadrados a los datos experimentales.

Adquirir destreza de medir y tener en cuenta el error en la medida.

Estudiar el movimiento de un cuerpo viajando a velocidad constante en una trayectoria circular.

5.2 Equipamiento

5.2.1 Primera parte

Cinco (5) cırculos de diametro diferente.

Metro de modisterıa.

Calibrador.

5.2.2 Segunda parte

Aparato de fuerza centrıpeta completo(Cenco).

Pesas: 1 kg, 500 g y 100 g.

Varillas universal.

Cronometro.

Calibrador

Portapesas.


5.3.1 Primera parte

El sistema son cinco cırculos de diametros diferentes a los cuales se le medira el perımetro y eldiametro.

5-1

5-2

5.3.2 Segunda parte

El sistema esta conformado por un aparato de fuerza centrıpeta y un rotor electrico de velocidadvariable, como se ilustra en la fig. 5.1.

Figura 5.1: Aparato de fuerza centrıpeta.

El aparato de fuerza centrıpeta consiste de un marco metalico n, dentro del cual esta monta unamasa cilındrica mr, sujeta a un resorte helicoidal h. La tension del resorte se varıa enroscando untambor t desde un origen que es leıdo en una escala e como se aprecia en la fig. 5.2. Dos varillasde guıa y un fiel l hacen que el movimiento del cuerpo cilındrico sea a lo largo del eje del resorte,perpendicular al eje del rotor. En reposo, mr se encuentra apoyada sobre un tope, pero al rotar estase aleja, estirando h.

(a)

20 15 10 5 0 e

t

=⇒

enroscar

(b)

20 15 10 5 0

Figura 5.2: Configuracion para variar la tension del resorte.

La frecuencia de rotacion se determina contando el numero de revoluciones dadas por el aparatoen un intervalo de tiempo dado. Este conteo se hace con un contador de revoluciones amarrado almarco del rotor por medio de un resorte acerado, que mantiene desengranado el pinon del contador;presionando con el dedo el extremo del resorte, el pinon se engrana con uno identico que se muevecon el eje de rotacion.

La velocidad se controla variando el punto de contacto entre el disco de friccion y el disco demanejo. Moviendo la cabeza grafilada de un tornillo se arrastra el disco de friccion hacia el centro ohacia la periferia, a lo largo del radio del disco de manejo.

5.3.2.1 Observaciones

Al medir el radio de giro, trate que l apunte a j en el mismo punto que cuando mr esta rotando,como se ilustra en la siguiente figura:

Al montar el marco metalico, asegurense que este quede firmemente atornillado, para que no salgadisparado por las altas velocidades angulares que se manejan y produzca un accidente.

5-3

mr

r

lj

h

Figura 5.3: Diagrama cuando mr esta rotando. El fiel l apunta al indicador j.

Al usar el contador de vueltas, tomen cuidado de no rozar su brazo con la polea del rotor electriconi de tocar el rotor por la alta temperatura que presenta al estar funcionando.


5.4.1 Primera parte

Una relacion importante que se determino fue entre el perımetro p de una circunferencia con sudiametro. Esta relacion es directamente proporcional, p ∝ d. La constante de proporcionalidad es unun numero irracional de muchas cifras decimales que hasta ahora no se repiten y se denomina π, cuyovalor estimado es:

π = 3, 141 592 654 . . .

5.4.2 Segunda parte

Si un cuerpo de masa ma no interactua, su estado natural sera de seguir parado, si lo estaba,o de continuar moviendose con la velocidad que tenıa y con un movimiento rectilıneo. Cuando ma

interactua con otro mb, p. ej. a traves de un hilo, y describe un movimiento circular alrededor demb, pero accidentalmente se rompe el hilo, ma sale disparado en lınea recta. Se dice que el hilo eraquien hacıa una fuerza (una interaccion) sobre ma con tal de hacerlo girar. Esta fuerza, responsabledel hecho que un cuerpo gire, y por tanto, responsable de cambiar la direccion de la velocidad de ma,se conoce como fuerza centrıpeta.

Para simplificar el estudio de la accion recıproca entre entre ma y mb, se reemplaza el hilo por unresorte, ya que este tiene un comportamiento descrito por la conocida ley de hooke: ((La fuerza quedevuelve un resorte a su posicion de equilibrio es proporcional al valor de la distancia que se desplazade esa posicion)). La constante de proporcionalidad de un resorte helicoidal depende de las condicionesgeometricas del material del que se construya.

Con base en lo anterior, ma sentira una fuerza hacia fuera del cırculo (note que el fiel empieza alevantarse), debida al resorte, cuando empieza a rotar y debe ser, por la segunda ley de Newton, iguala la fuerza centrıpeta.

Para poder calcular la constante del resorte, este debe interactuar con otra masa mc, esto selogra desmontando el marco metalico y sometiendolo a diferentes pesos y registrando las diferenteselongaciones.

5.5 Procedimiento

5.5.1 Primera parte

① Midan el perımetro p y el diametro d de cada uno de los 5 cırculos.

5.5.2 Segunda parte

❶ Ajusten el resorte a la mınima tension (xi = 0 en la escala e de la fig. 5.2a), mediante t.

5-4

❷ Desenrosquen el marco metalico y cuelguenlo en la varilla de soporte, como se ilustra en la fig.5.4.

mr

mi

q

h

Figura 5.4: Arreglo para calcular la constante del resorte κ.

❸ Sujeten por la cuerda que esta unida a mr, el portapesas q y con algunas masas necesarias mi

(fig. 5.4) observen que l senale la cabeza de j (fig. 5.3).Si es necesario pueden cambiar la tension un poco.

❹ Monten el marco en el eje del rotor (debe estar vertical) asegurandolo firmemente.

❺ Pongan el disco de friccion cerca del centro del disco de manejo y enciendan el motor. Observandoel ındice de velocidad, aumenten la velocidad angular ω (desplazando el disco de friccion haciala periferia del disco de manejo) hasta que l senale la cabeza de i como se ilustra en la fig. 5.3.Regulen ω hasta adquirir suficiente destreza para esta sea la mınima que mantenga horizontall, e. d., la fuerza centrıfuga sobre mr sera debida solamente a la tension del resorte. Bajo estacondicion, la tension en el resorte, para la posicion en que se encuentra el tambor, iguala al pesocolgante.

❻ Registren la lectura inicial Li del contador y posteriormente engrane el contador. Luego de 1min desengranen el contador y utilicen el freno para detener el contador. Obtengan esta ultimalectura Lf restandole dos vueltas que son las que se alcanzan a dar antes del freno. Repitan estamedida de frecuencia dos veces.Es conveniente que la lectura del cronometro la haga una segunda persona.

❼ Aumenten la tension del resorte enroscando el tambor hasta alcanzar las posiciones x = 5 mm(fig. 5.2) y repitan desde el item ❷.

❽ Repitan el anterior ıtem para x = 10, 15 y 20 mm.

5.6 Analisis

5.6.1 Primera parte

Registren las mediciones de p y d, en la tabla 5.1.

Determinen las incertidumbres de p y d, completando la tabla 5.2.

Hagan una grafica, en papel milimetrado, de p como una funcion de d.

Usando el metodo de mınimos cuadrados, tracen la mejor recta de ajuste.

Determinen la pendiente. ¿Que informacion puede obtener de ella?

Calculen la incertidumbre de la pendiente.

5-5

Con un paquete de graficacion (Origin, Excel, Graph, entre otros), hagan la grafica de p vs d,usen la herramienta de regresion lineal y obtengan a, b y r.

Comparen los valores anteriores con los obtenidos manualmente.

Reporten el valor de π con su incertidumbre.

5.6.2 Segunda parte

Reporten los valores de mp (portapesas), mr (su valor esta estampado en el cilindro) y r (radiode giro) en la tabla 5.3.

Para cada valor de xi y su respectiva masa de equilibrio, M i = mi + q + mr, llenen la tabla 5.4.

De la tabla 5.4, hagan un grafico de M i en funcion de las elongaciones xi del resorte.

¿Que representa fısicamente su grafico?, es decir, ¿que forma tiene su grafico?, sı es lineal, ¿cualesson los valores del intercepto y de la pendiente?, ¿cual es el significado fısico de la pendiente?

Para cada tension del resorte registren los valores de Li y Lf en las tablas 5.5–5.8.

Con las tablas anteriores calculen f = ∆L/60, la frecuencia en Hz, completando la tabla 5.9.

Calculen la velocidad angular ω = 2πf y completen la tabla 5.10 con Ω = mrrω2i

Hagan un grafico de Ω como funcion de Mi.

¿Que representa fısicamente su grafico?

Calculen las cantidades√

Mig y 2f√

mrr, tomando g = 9,78 m/s2, completando la tabla 5.12

Hagan un grafico a partir de los datos de la tabla 5.11.

¿Que representa fısicamente su grafico?

Con el resultado obtenido de comparenlo con el anterior resultado, aplicando la formula (1.27)y decida que metodo escoge para calcular el valor de π.

Discuta por que escogio ese metodo.

Reporten sus resultados con la respectiva incertidumbre.


5.7 Datos

p ( ) d ( ) p/d

Tabla 5.1:

∆p ( ) ∆r ( ) ∆π

Tabla 5.2:

mp ( ) mr ( ) r ( )

Tabla 5.3:

5-6

xi (mm) Mi ( )0101520

Tabla 5.4:

Li ( ) Lf ( ) ∆L ( )

olaxi = 0 ∆L =

Tabla 5.5:

Li ( ) Lf ( ) ∆L ( )

olaxi = 10 ∆L =

Tabla 5.6:

Li ( ) Lf ( ) ∆L ( )

olaxi = 15 ∆L =

Tabla 5.7:

Li ( ) Lf ( ) ∆L ( )

olaxi = 20 ∆L =

Tabla 5.8:

xi (mm) f ( )0101520

Tabla 5.9:

Ω ( ) Mi ( )

Tabla 5.10:

2f√

mrr ( )√

Mig ( )

Tabla 5.11:

CAPITULO 6

Medicion de la gravedad

6.1 Objetivos


Determinar indirectamente el valor de la gravedad con su incertidumbre.


Linealizar un comportamiento entre las variables de entrada y de salida.

Construir un histograma.

Comparar dos metodos para decidir cual seleccionar.

6.2 Equipamiento

6.2.1 Primera parte

Equipo de caıda libre.

Cintas termosensible.

Chispometro.

6.2.2 Segunda parte

Regla de madera.

Transportador.

Cronometro.

Proyectil.

Hilo.


6.3.1 Primera parte

El sistema consta de un soporte vertical en cuyo extremo superior, por medio de conexiones, sesujeta una masa la cual tiene una pequena varilla de hierro.

6-1

6-2

6.3.2 Segunda parte

Un pendulo simple es un sistema (fig. 6.1) que consta de un hilo sujeto por uno de sus extremosa un punto fijo (punto de oscilacion) y en su extremo opuesto esta unido a una masa m de cualquierforma (proyectil).

30

Figura 6.1: Vista frontal de un pendulo simple.


6.4.1 Primera parte

El estado natural de un cuerpo m es, para Galileo, tanto el reposo como el movimiento en linearecta con velocidad contante. Bajo este esquema no hay necesidad de una divinidad que ((empuje)) almundo, el mismo puede hacerlo por su propia inercia. Galileo usando un razonamiento, que aun hoynos maravilla por su contundencia y brillantez, sostenıa que el tiempo de caıda de todos los cuerposdesde una dada altura h (siempre que el rozamiento con el aire se desprecie) es el mismo y la caıda delos cuerpos se realiza con la misma aceleracion contante para todos los cuerpos, pesados o livianos.

6.4.2 Segunda parte

Un cuerpo cuyo movimiento se repite parcial o totalmente alrededor de una posicion ((fija)) (sobrela cual pasa un eje perpendicular) se denomina movimiento de vibracion u oscilacion. Estemovimiento se caracteriza por que en un determinado tiempo, el cuerpo repite la misma trayectoria.El intervalo de tiempo T necesario para a realizacion de una oscilacion completa se denomina periodo.

6.5 Procedimiento

6.5.1 Primera parte

Para esta practica se les entregaran las cintas, sin embargo, se hara una demostracion general delfuncionamiento del equipo para caıda libre.

En la fig. 6.2 se tiene una muestra de una cinta, donde los puntos son las marcas dejadas por elchispometro. Este aparato registra cada 1/60 s, por tal razon, se puede hablar de una ((separacionpuntual temporal)). Como se tiene muchos puntos, es necesario tomar un subconjunto igual de ellos yası formar una nueva unidad de tiempo denominada tic, ası, p. ej., en la fig. 6.2 el tic es de 3 puntos, oequivalentemente 3 veces 1/60 s, en otras palabras, se tiene otra manera de medir tiempo. Las alturashi se han tomado desde el primer punto hasta el respectivo tic.

Tengase en cuenta el hecho fısico que la velocidad que se determina para cada intervalo espacial dela cinta, es una velocidad media para este intervalo. ¿Cual es la eleccion del tiempo que se le asigna a

6-3

h1

h2

h3

Figura 6.2: Cinta representativa para el experimento de caıda libre.

esta velocidad? Al final del n-intervalo espacial, la masa con la varilla de hierro ha caıdo una distanciahn. El tiempo que empleo en recorrer esta distancia, desde el el primer punto es:

tn = tn−1 + ∆tn (6.1)

donde ∆tn = tn − tn−1 es el intervalo de tiempo registrado por el chispometro que corresponde altiempo de paso del n-esimo intervalo espacial. Esto se ilustra esquematicamente en la fig. 6.3. Portanto, se puede hacer un grafico hn[tn] en funcion de tn y obtener el valor de la aceleracion g.

∆t1

∆h1

v1 = ∆h1

∆t1

h0 = 0

t0 = 0

∆t2

∆h2

v2 = ∆h2

∆t2

h1 = h0 + ∆h1

t1 = ∆t1

tc1 = ∆t1

2

∆t3

∆h3

v3 = ∆h3

∆t3

h2 = h2 + ∆h2

t2 = t1 + ∆t2

tc2 = tc

1 + ∆t22

Figura 6.3: Esquema de correccion de los tiempos asignados a cada intervalo.

Si se aplica el anterior argumento para el grafico de vn[tn] en funcion del tiempo, se tiene unpequeno error porque vn es la velocidad media en el n-esimo intervalo y, por consiguiente, se debeasociar a un valor de tiempo intermedio tcn, definido como:

tcn = tn−1 +∆tn2

(6.2)

y no al tiempo tn, que esta asociado al intervalo en que finaliza el n-esimo recorrido espacial. Enresumen, los graficos de xn[tn] y vn[tcn] son equivalentes y, en cierto modo, el segundo es la derivadadel primero. En la fig. 6.4 se observa tambien que g′ > g, donde g′ es la pendiente del grafico vn comofuncion de tn y g se obtiene del grafico vc

n como funcion de tcn.

6.5.2 Segunda parte

6.5.2.1 Medicion de tiempos

❶ Construyan un pendulo simple.

❷ Con la regla de madera, midan una longitud adecuada de su pendulo (mayor de un metro) ymantengala constante.

❸ Midan un angulo menor de 15 con el transportador y ponga a oscilar su pendulo (siempre almismo angulo).

❹ Con un reloj comun tomen el tiempo que dura una oscilacion.

❺ Tomen un T errado, p. ej., puede ser que tomen el proyectil antes o despues de terminar laoscilacion.

❻ Tomen dos veces el tiempo para 5, 10, 15, 20 y 30 oscilaciones.

6-4

t (s)

v(m

/s) g

vn

tn

tcn

g′ > g

Figura 6.4: Ilustracion de la variacion de la pendiente de la funcion v[t] en funcion del tiempo t. La lıneacontinua representa la variacion de vc

n con respecto a tcn o g y la lınea a trazo es vn con respecto a tn o g′ > g.

6.5.2.2 Relacion con el angulo

❶ Con un angulo mayor de 20 y el cronometro midan T dos veces, aumentando cada vez de 5 a10.

6.5.2.3 Relacion con la masa

❶ Cambien la masa del proyectil por otra.

❷ Registren un periodo.

❸ Cambien por otra masa diferente y repitan el anterior ıtem.

6.5.2.4 Relacion con la longitud

❶ Disminuyan en 10 cm la longitud inicial.

❷ Registren un periodo.

❸ Continuen disminuyendo la longitud cada 10 cm, hasta obtener una longitud final de 10 cm a15 cm.

6.6 Analisis

6.6.1 Primera parte

Organicen de 8 a 10 subconjuntos iguales de puntos por cada cinta, e. d., de 8 a 10 tic.

Midan las alturas hn, como se ilustra en la fig. 6.2 y completen las tablas 6.1 a 6.4.

Por cada tabla, hagan la grafica de hn (cm) como funcion de tn (tics), dado por (6.1). ¿Que formatiene?

Usando las ecs. (6.1) y (6.2) hagan un grafico de hn/tn y hn/tcn. ¿Que forma tiene?

De cada grafica, calculen su intercepto y pendiente. ¿Que informacion obtienen?

Con los valores obtenidos calculen: g (1.17), sx (1.19), CV (1.20) y error de muestreo (1.25), conuna probabilidad del 90% (t0,90, segun tabla 1.3).

6-5

Discutan sus resultados, al usar (6.1) y (6.2).

Reporten el valor de g con su respectivo IC (1.24).

¿Se encuentra su valor esperado en su IC? Caso que no se encuentre con el 90% de probabilidad,¿con que probabilidad se encuentra su valor esperado en su IC?

Haga un grafico de su IC tal como en se ilustra en la fig. 1.10.

6.6.2 Segunda parte

Completen la tabla 6.1 para T medido con el reloj comun.

Calculen T , desviacion estandar, CV, IC y error porcentual con una probabilidad del 90% (t0,90)utilizando la tabla 1.3.

Completen las tablas 6.2–6.9 para T medido con el cronometro.

Calculen T solo para cualesquier de las tablas 6.2–6.9.

Completen la tabla 6.10 para el tiempo medido para las diferentes oscilaciones (de 5 a 30).

Calculen T para las diferentes oscilaciones.

Discutan sus resultados obtenidos de las tablas 6.1, 6.2 y 6.10. ¿Es posible, con las tecnicasutilizadas, determinar el periodo con un error menor que el 1 %?


Realicen un histograma que muestre la frecuencia de ocurrencia de cada medicion.

Analicen la forma de su histograma con el mostrado en la fig. 1.7. ¿Que puede decir acerca delcaracter de la distribucion de los resultados obtenidos en sus mediciones? ¿Estan los valoresdistribuidos normalmente?

¿Cuantos datos caen dentro del intervalo T ± sx?

Hagan una prueba de datos dudosos y descartelos con una confiabilidad del 95,45%. ¿Que por-centaje de los datos caen fuera del intervalo T ± 2sx?

Para las diferentes amplitudes mayores de 20, registren T en la tabla 6.11.

Determinen T para las diferentes amplitudes.

Detecta alguna diferencia del perıodo para las distintas amplitudes?

Al cambiar la masa, completen las tabla 6.12 y 6.13.

Determinen T para las tablas 6.12 y 6.13.

Hagan un grafico de T en funcion de la masa m.

¿Que dependencia encuentran entre T y m.

¿Encuentra alguna ventaja en tener un pendulo con una masa mas grande? ¿Que pasa si la masase hace nula?

Si tratan de usar el pendulo que acaban de estudiar como reloj; discutan y analicen para estereloj: su alcance (o rango maximo de tiempo que puede medir), exactitud y precision.

Reporten el valor de la gravedad con su IC (1.24) y haga un grafico de su IC tal como en seilustra en la fig. 1.10. ¿Que pueden concluir?

6-6

¿Se encuentra su valor esperado en su IC? Caso que no se encuentre con el 90% de probabilidad,¿con que probabilidad se encuentra?

Para la variacion de la longitud, completen las tablas 6.14–6.19.

Hagan un grafico de T en funcion de la longitud, usando tanto escalas lineales como logarıtmicas.

De acuerdo con la grafica en escalas lineales, ¿que dependencia hay entre T y la longitud l delpendulo.

Traten de linealizar la grafica anterior.

Encuentren el valor de la pendiente y el intercepto. ¿Que informacion pueden obtener de ellos?

Del grafico de escalas logarıtmicas, ¿cual es el valor de la pendiente y el intercepto?

Comparen los resultados obtenidos de los dos graficos anteriores.

Reporten sus resultados con la respectiva dispersion.

Con los datos de g obtenidos de la primera y segunda parte comparenlos (seccion §1) aplicandola formula (1.27) y decida que metodo escoge para calcular la gravedad en un determinado lugar.

Discutan por que escogio ese metodo.


6.7 Datos

hn ( ) tn ( ) tcn ( )

Tabla 6.1:

hn ( ) tn ( ) tcn ( )

Tabla 6.2:

hn ( ) tn ( ) tcn ( )

Tabla 6.3:

hn ( ) tn ( ) tcn ( )

Tabla 6.4:

6-7

No t ( )

12345678910

Tabla 6.5:

No t ( )

12345678910

Tabla 6.6:

No t ( )

12345678910

Tabla 6.7:

No t ( )

12345678910

Tabla 6.8:

No t ( )

12345678910

Tabla 6.9:

No t ( )

12345678910

Tabla 6.10:

No t ( )

12345678910

Tabla 6.11:

No t ( )

12345678910

Tabla 6.12:

No t ( )

12345678910

Tabla 6.13:

No t ( )

12345678910

Tabla 6.14:

No t ( )

12345678910

Tabla 6.15:

No t ( )

12345678910

Tabla 6.16:

No t ( )

12345678910

Tabla 6.17:

No t ( )

12345678910

Tabla 6.18:

No t ( )

12345678910

Tabla 6.19:

No t ( )

12345678910

Tabla 6.20:

No t ( )

12345678910

Tabla 6.21:

CAPITULO 7

Carril de aire y fotodetector

7.1 Objetivos


Usar un fotodector para la adquisicion de datos e interpretarlos.


Hacer graficas para visualizar el comportamiento de la aceleracion resultante de un sistema.

Utilizar el ajuste de mınimos cuadrados para juzgar la linealidad de la relacion de los datos ydeterminar el valor del intercepto y de la pendiente, con sus respectivas desviaciones.

Estudiar el comportamiento de la aceleracion del sistema sometido a la fuerza gravitatoria ycompararlo con las expectativas teoricas.

Hacer consideraciones acerca del modelo teorico desarrollado y decidir acerca del efecto de loselementos despreciados.

7.2 Equipamiento

Carril recto de aluminio, con una polea li-viana y de baja friccion, en uno de sus ex-tremos.

Carrito de aluminio con once orificios y oncepostes metalicos cilındricos.

Cronometro programable (Aslab 1 o ScienceFirst).

Compresor de aire y manguera flexible.

Cuerda liviana y resistente (3 m).

Pesas de 10 g y una pesa de 5 g.

Fotodetector (Pasco Scientific).

Un portapesas liviano.

Calibrador.

Balanza.


El sistema consta de un carril de aire a, un fotodetector f, un cronometro programable l, montadosobre una mesa como se ilustra en la fig. 7.1. El carrito M, se acaballa al carril y uno de sus extremosse une una cuerda liviana c, a una masa m por medio de una polea p.

7-1

7-2

Figura 7.1: Esquema ilustrativo del montaje experimental y sus principales elementos.

7.3.1 Chequeo inicial y minimizacion de errores sistematicos

El compresor de aire (no indicado en la fig. 7.1) debe estar enchufado a una toma de 110 V. Susalida de aire debe estar conectada a un extremo del carril mediante una manguera flexible.

Cerciorese que la superficie superior del carril no presente irregularidades de ninguna ındole yeste totalmente limpia. Si requiere limpieza, solicite un trapo limpio y alcohol.

Encienda el compresor y verifique que no haya los pequenos orificios de la superficie superior delcarril no se encuentren obstruido.

El herraje, que sostiene la polea en el extremo del carril, debe estar bien ajustado y la poleadebe rotar con facilidad (muy poca friccion).

El carrito debe estar limpio, en especial por su parte inferior, por donde se acaballa al carril. Losbordes y esquinas del carrito no deben presentar deformaciones o asperezas. En caso de haberalguna, informe al instructor para solucionar la irregularidad.precaucion: Procure no deslizar el carrito sobre el carril sin estar encendido el compresor parano tupir los orificios y no deteriorar las superficies.

Con el compresor funcionando, ubique el carrito en varios lugares a lo largo del carril y compruebeque este este nivelado. De no estarlo, nivelelo mediante el tornillo de ajuste que se encuentra enla parte inferior del carril.

Un extremo de la cuerda debe estar atado al borde ((delantero)) del carrito y el otro extremoal gancho del portapesas. La longitud de la cuerda debe permitir que el portapesas caiga desdeuna altura cercana a la polea cuando el carrito esta proximo al extremo opuesto.

Inmovilice el carrito al carril por medio de la cuerda que esta unida en el borde ((trasero)) delcarrito, mientras se establece el ((colchon de aire)).

En la parte superior del carrito hay 11 perforaciones, practicamente equidistantes, en las queporta 11 pequenos ((postes)). Verifique que los postes esten insertados en los orificios, firmes yparalelos entre sı.

El cronometro digital programable debe estar alimentado por una pequena fuente de voltaje dcque debe conectarse al tomacorriente.

El fotodetector funciona en conjunto con un cronometro programable (ver apendices A y B parael funcionamiento de los cronometros aslab y science first, respectivamente), al cual debeestar conectado.

7-3

7.3.2 Funcionamiento del cronometro programable y del fotodetector

La fig. 7.2 ilustra esquematicamente las partes frontal y lateral de un fotodetector, el cual constade un soporte rıgido y en su parte superior esta montado un fotoemisor e, y frente a el, a unoscuantos centımetros de separacion, hay un fotorreceptor r.

e emite un estrecho haz continuo de luz infrarroja enfocado a r. Si un objeto opaco cualquierase interpone en la trayectoria e interrumpe el haz de luz, aun cuando sea por unos pocos micro-segundos, r sufre un cambio de estado que genera una senal de control y esta es percibida porel cronometro digital.

Lateral Frontal

e r

Figura 7.2: Esquema del fotodetector.

El fotodetector debe estar dispuesto como se sugiere en la fig. 7.1, de tal forma que los postes loatraviesen y corten el haz de luz, mientras pasa el carrito en su trayecto de un extremo al otrodel carril.

El borde delantero del primer poste inicia el conteo de tiempo en el cronometro. El bordedelantero del segundo poste hace que el cronometro registre el tiempo transcurrido hasta esemomento, con una precision del orden de las diezmilesimas de segundo. Ası mismo ocurrira conlos demas postes; es decir, para cada poste se registra el intervalo de tiempo transcurrido desdeque se inicio el cronometro hasta que pasa el poste respectivo. El cronometro tiene 10 memoriasen las que registra los 10 intervalos de tiempo correspondientes al paso de los 11 postes.


El sistema consta de 4 cuerpos: el carrito de masa M , la masa colgante m, la cuerda liviana y lapolea liviana de baja friccion.

Una posible aproximacion teorica al problema del movimiento de dicho sistema comienza con lassiguientes consideraciones:

La cuerda se asume inextensible y liviana, e. d., se despreciar su masa. Con esto, su unico papeles el de unir las masa M y m, haciendo que se muevan en una direccion.

La polea por ser liviana se puede despreciar su momento de inercia y por ser de baja friccion nopresenta dificultad para rotar.

Como el carrito se desplaza sobre un ((colchon de aire)), la friccion se reduce a niveles despreciablesy el carril solo sostiene el carrito, ejerciendo una fuerza normal N.

Con estas simplificaciones se puede modelar el sistema considerando solo el carrito M y el objetocolgante m, por tanto, actuan solo tres fuerzas externas sobre el sistema, cuyas magnitudes son: lospesos Mg, mg y N . A lo largo del eje del movimiento, mg no se equilibra y, por tanto, acelera alsistema.

7-4

Los diagramas de fuerza, para cada cuerpo, se ilustran en la fig. 7.3; la tension T indica la presenciade la cuerda. Notese que T sobre M se ha tomado de igual magnitud que T sobre m, la razon se debea que se ha despreciado tanto las inercias de la cuerda y de la polea como el rozamiento en el eje dela polea.

mvto

N

M

Mg

T

(a)

mvto

(b)

T

m

mg

Figura 7.3: Diagrama de fuerzas para: (a) masa M , (b) masa m.

La dinamica del sistema se analiza mediante las leyes de Newton: Las aceleraciones de M y m seconsideran iguales porque la cuerda que los une se ha considerado inextensible. El carrito M se muevehorizontalmente, por tanto:

N −Mg = 0 (7.1)

T = Ma (7.2)

El carrito m se mueve verticalmente, por tanto:

mg − T = ma (7.3)

Al sustituir (7.2) en (7.3) se obtiene que:

a =m

m + Mg (7.4)

siendo que la gravedad es constante en el espacio donde opera el sistema, mientras las masas m yM no varıen, la aceleracion del sistema permanece constante. La ec. (7.4) sugiere una variacion de laaceleracion al variar la masa colgante m, lo que se puede estudiar experimentalmente.

7.4.1 Acerca de la medicion de la aceleracion

Teoricamente hemos concluido que el movimiento del carrito M es uniformemente acelerado a lolargo de su trayectoria recta, sobre el carril de aire; por lo tanto, sus ecuaciones cinematicas, estandoen el origen (x0 = 0) y en reposo (v0 = 0), son:

a = a0 (7.5)

v = a0t (7.6)

x =1

2a0t (7.7)

A partir de estas ecuaciones se intenta obtener una expresion que ayude a la interpretacion y alanalisis teorico. Con el sistema indicado en la fig. 7.1, suponga que el carrito se suelta, partiendo delreposo. Al haber recorrido una distancia D, el borde delantero del primer poste corta el haz de luzdel fotodetector. La fig. 7.4 muestra dicha distancia. Sea d la distancia entre los frentes delanteros dedos postes, t1 el tiempo transcurrido desde que se inicio el movimiento hasta cuando el primer poste

7-5

Figura 7.4: Esquema que ilustra las distancias.

corte el haz de luz, durante el cual el carrito recorrio una distancia D y sea t2 el tiempo transcurridohasta cuando el otro poste corte el haz, durante el cual recorrio una distancia D + d.

De la ec. (7.7) podemos escribir que:

D =1

2a0t

21 (7.8)

y

D + d =1

2a0t

22 (7.9)

Ahora bien, lo que el cronometro mide es el intervalo de tiempo transcurrido entre el paso delprimer poste y el paso del otro poste. Esto es, el cronometro registra la diferencia ∆t12 = t2 − t1.

Despejando t1 y t2 de (7.8) y (7.9) se calcula ∆t12, obteniendo:

∆t12 ≡ t2 − t1 =

√

2

a0(√

D + d−√

D) (7.10)

Esta expresion puede ser de utilidad para la interpretacion de los datos del experimento y, a su vez,sugiere una manera para medir la aceleracion del sistema.

7.5 Procedimiento

① Pesen M (carrito), m (portapesas) y m1, m2, . . . , m5 (discos que utilizaran).

② Midan las distancias d1, d2, d3, . . . , d10, e. d., entre el frente delantero del primer poste y el frentedelantero de los postes que utilizara.

③ Definan la posicion del fotodetector para seleccionar la distancia D entre el frente del primerposte y el fotodetector. Tengan en cuenta que el carro debe estar acelerado mientras los postesatraviesan el fotodetector.

④ Siguiendo el procedimiento indicado en el apendice A o B, preparen el cronometro para tomarmedidas. Usen como primera masa colgante a m1 y ubique el carrito en la posicion inicial,manteniendolo quieto, Esperen hasta que se establezca el colchon de aire que separar el carrode la superficie del carril. Suelten el carrito y una vez atraviese completamente el fotodetectordetengalo. Apaguen el compresor y procedan a revisar los tiempos registrados en las memoriasdel cronometro. Tomen solo los seis primeros datos.

⑤ Modifiquen la masa del portapesas y repita el procedimiento para las cinco masas diferentes.

7.6 Analisis

Registren los valores de mi, M y m en la tabla 7.1.

Completen la tabla 7.2 con los diferentes di y sus correspondientes ∆ti para las masas mi.

7-6

Calculen Ωi =√

D + di −√

D y llenen la tabla 7.3.

Grafiquen, en una misma hoja milimetrada, ∆ti en funcion de Ωi, para cada conjunto de valoresobtenidos con una determinada masa colgante. Usen sımbolos diferentes para cada conjunto dedatos.

Usando mınimos cuadrados, obtengan a, b y r.

Calculen los valores de las aceleraciones ai, para cada masa colgante, llenando la tabla 7.4.

Comparen sus resultados con la ec. (7.10).

Calculen Θi = mi/(mi + M) completando la tabla 7.4.

Grafiquen ai en funcion de Θi y comparen su resultado con la ec. (7.4).

Reporten el valor de g con su incertidumbre.

De las preguntas y graficos anteriores, hagan sus conclusiones.

7.7 Datos

m1 ( ) m2 ( ) m3 ( ) m4 ( ) m5 ( )

Tabla 7.1:

M ( ) m ( )

Continuacion Tabla 7.1:

di ( ) m2 m2 m2 m2 m2

∆t ( )m1

∆t ( )m2

∆t ( )m3

∆t ( )m4

∆t ( )m5

Ωi ( )

Tabla 7.2:

di ( ) m2 m2 m2 m2 m2

∆t ( )m1

∆t ( )m2

∆t ( )m3

∆t ( )m4

∆t (v)m5

Continuacion Tabla 7.2:

Ωi ( ) ∆t ( )

Tabla 7.3:

mi ( ) ai ( ) Θi ( )

Tabla 7.4:

CAPITULO 8

Determinacion experimental de una trayectoria

8.1 Objetivos


Obtener la ecuacion experimental de la trayectoria del movimiento de un balın lanzado, muchasveces, desde una misma cierta altura por una pista curvada.


Utilizar el metodo de linealizacion para determinar la ecuacion de la trayectoria.

Medir indirectamente la velocidad de salida del proyectil y el angulo de salida de la pista.

Determinar los parametros que cuantifican la dispersion en los datos correspondientes al eje Y .

Utilizar el metodo de mınimos cuadrados para juzgar la linealidad de la relacion de los datos ydeterminar los valores de la pendiente y del intercepto.

8.2 Equipamiento

Soporte vertical (en forma de L) con ajuste.

Pista de aluminio curvada fija a la mesa.

Cintas de papeles carbon blanco.

Cinta de enmascarar.

Un calibrador.

Flexometro.

Un balın.

Plomada.


El sistema consta de una pista de aluminio curvada p, sobre el cual rueda un balın b (proyectil) yun soporte vertical V como se ilustra en la fig. 8.1:


La pista de aluminio debe estar fija a la mesa; verifique que las prensas y la nuez esten ajustadasy que la pista no presente deformaciones o tropiezos.

8-1

8-2

Figura 8.1: Esquema ilustrativo del montaje experimental y sus principales elementos.

Utilice la plomada para comprobar que el soporte en forma de L presenta una superficie verticalal piso; de no estarlo, mueva los tornillos de la base del soporte hasta conseguir la verticalidadrequerida.


El movimiento del balın despues de abandonar la pista tiene una dinamica sencilla. Despreciandoel rozamiento con el aire, el movimiento esta gobernado por el peso del balın, dando como resultadouna aceleracion constante, igual a la gravedad local.

Un cuerpo lanzado con una velocidad v0 formando un angulo θ0 con respecto a la horizontal, enpresencia de un campo gravitatorio uniforme g, describe una trayectoria en el plano formado por losvectores v0 y g.

Escogiendo los ejes de tal forma que la aceleracion este en la direccion del eje Y , las ecuacionesdel movimiento de la coordenada x seran las de un movimiento uniforme (no acelerado):

ax = 0 (8.1)

vx = v0 cos[θ0] (8.2)

x = x0 + v0 cos[θ0]t (8.3)

Las ecuaciones de movimiento de la coordenada y seran las de un movimiento uniformementeacelerado (caıda libre):

ay = g ≡ const. (8.4)

vy = v0 sen[θ0] (8.5)

y = y0 + v0 sen[θ0]t +1

2gt2 (8.6)

Para analizar la trayectoria del balın, es posible ubicar un origen de las coordenadas en el puntodonde su centro de masa abandona la pista; es decir, x0 = 0 e y0 = 0. Las ecs. (8.3) y (8.6) permitencalcular las coordenadas de la partıcula en un tiempo cualquiera, a partir de una posicion inicial dada,es decir:

y = tan[θ0]x +g

2v0 cos2[θ0]x2 (8.7)

La ec. (8.7), sugiere una trayectoria parabolica para el balın, de la forma:

y = Ax + Bx2 (8.8)

La ec. (8.8) se puede linealizar para obtener los valores de los coeficientes A y B e interpretarlos deacuerdo con (8.7).

8-3

8.5 Procedimiento

① Marquen en el piso las posiciones del soporte x0 = 0 y xmax que utilizaran.

② Fijen entre x0 y xmax, unas diez (10) posiciones equidistantes en las que iran ubicando el soportede manera secuencial a medida que avanza el experimento.

③ Coloquen la tira de papel blanco sobre la superficie vertical del soporte y cubrala con la tira depapel carbon; fije ambas tiras al soporte.

④ Ubiquen el soporte en la posicion x0 y obtengan el registro de la posicion y0.

⑤ Mueva el soporte hasta la posicion siguiente (x1) y registre la coordenada y1, para tres lanza-mientos.

⑥ Repitan el procedimiento anterior para cada una de las siguientes posiciones xi marcadas pero,como podra observar, a medida que aumenta xi hay una mayor dispersion en los registros de yi

correspondientes y, por lo tanto, cada vez debera incrementar el numero de lanzamientos con elobjeto de medir la dispersion.

8.6 Analisis

Definan como origen (y0 = 0) el primer punto (el registro mas alto) y mida para cada valor de xi

el conjunto de valores de yi correspondiente. Completen las dos primeras columnas de la tabla8.1.

Determinen para cada coordenada xi, los correspondientes valores yi. Calculen la media (1.17),sx (1.19), CV (1.20), completando las columnas 3–5.

Calculen, para cada conjunto, la distancia entre el mınimo valor (yi,mın) y el maximo (yi,max)de yi, e. d., ∆yi = yi,max− yi,mın. Ası, para cada coordenada xi se tiene una coordenada yi dadapor:

yi = yi ±∆yi

2(8.9)

Comparen, por cada intervalo, el CV con la ec. (8.9). Discuta sus resultados.

Hagan un grafico de yi en funcion de xi con sus respectiva barras de error. ¿Que tipo de graficaobtuvieron?

Calculen los cocientes zi = yi/xi, completando la ultima columna.

Hagan un grafico de zi en funcion de xi. ¿Que grafica obtuvieron?

De la grafica anterior obtenga los valores del intercepto, la pendiente con sus correspondientesincertidumbres.

Calcule la velocidad de salida del balın v0 y el angulo de salida θ0.

Compare sus resultados con la ec. (8.7).

Reporte sus datos con la respectiva dispersion.


8-4

8.7 Datos

No xi ( ) yi ( ) yi ( ) sx ( ) CV ∆yi ( ) yi/xi

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tabla 8.1:

CAPITULO 9

Colisiones

9.1 Objetivos


Comprobar el principio de conservacion de la cantidad de movimiento para el caso de dos cuerposque colisionan elastica e inelasticamente en una dimension.


Medir indirectamente las velocidades antes y despues para las colisiones elastica e inelastica.


9.2 Equipamiento

Carrito pequeno (masa m2).

Carrito grande (masa m1).

Un chispometro.

Carril de aire.

Plastilina.

Balanza.


El sistema consta de un carril de aire a, dos carritos, m1 y m2, acaballados al carril y este sobreuna mesa firme como se ilustra en las figs. 9.1 y 9.2. Los registros de tiempo requeridos son tomadoshaciendo uso del chispometro g.

La fig. 9.1 ilustra el estudio de una colision elastica y la fig. 9.2 la inelastica.Ambas situaciones se hacen sobre una dimension y bajo la considerando que no hay friccion entre

los cuerpos que se mueven (carritos) y la superficie por la cual se deslizan (carril de aire).


Para aproximarnos a las condiciones de sistema aislado, es importante que el carril de airese encuentre muy bien nivelado. Cerciorese de cumplir esta condicion colocando el carrito endiferentes partes del carril y, con el aire actuando, sueltelo para observar su comportamiento.Es posible que detecte desniveles locales (valles o crestas), pero si el carro, por sı solo, no logra

9-1

9-2

Figura 9.1: Esquema experimental de un choque elastico.

Figura 9.2: Esquema experimental de un choque inelastico.

velocidades apreciables podra determinar si el carril, en promedio, esta nivelado. De no estarlo,proceda a nivelarlo mediante el ajuste de los tornillos del soporte.

El chispometro es un cronometro de chispas. El tiempo transcurrido entre chispa y chispa es de1/60 de segundo; no obstante, usted puede tomar como unidad de tiempo el espacio entre una,dos, cinco, etc. marcas dejadas por el.


La cantidad de movimiento lineal o momentum p, se define como la masa del cuerpo m enmovimiento veces su velocidad v, ası:

p = mv (9.1)

Consideremos un sistema de dos partıculas donde el momentum total antes del choque es:

pt = p1 + p2 = m1v1 + m2v2 (9.2)

Para un sistema aislado, el momentum total del sistema despues del choque es (ver fig. 9.2):

p′

t = p′

1 + p′

2 = m1v′

1 + m2v′

2 (9.3)

9.4.1 Colision elastica

Experimentalmente se puede encontrar que pt = p′

t, lo cual significa que

El momentum total de un sistema compuesto de dos partıculas entre las que solo hay lainteraccion mutua permanece constante.

Para el caso del sistema aislado de dos partıculas tendremos que:

p1 + p2 = p′

1 + p′

2 (9.4)

9-3

9.4.2 Colision inelastica

En este caso la energıa cinetica de las partıculas o cuerpos interactuantes no permanece constan-te y por lo tanto puede transformarse en otras formas de energıa. En el caso de una colision 1-Dperfectamente inelastica, el principio de conservacion del momentum implica que:

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v′ (9.5)

donde, v1 y v2 son las velocidades de los carritos antes de la colision. Despues del choque, los doscarritos se mueven como uno solo de masa (m1 + m2) con velocidad v′.

En el diseno experimental mostrado en la fig. 9.2, adoptaremos la situacion en la cual v2 = 0, demodo que la ec. (9.5) permite obtener la relacion

v1 =m1 + m2

m1v′ (9.6)

la cual predice la forma como se relacionan las velocidades antes y despues del choque.

9.5 Procedimiento

9.5.1 Choque elastico

① Pesen los carritos por separado.

② Una vez que el carril este nivelado impulse el carrito de masa m1 con una velocidad suficiente-mente alta de tal manera que las marcas dejadas en el papel termosensible por el chispometro,correspondientes a los dos carritos, puedan ser perfectamente diferenciables.Deben tener cuidado que al impulsar el carrito no vaya a recibir una descarga electrica.

③ Doble los alambres de los carritos de tal manera que las chispas de uno de ellos deje sus huellasen la parte superior de la cinta termosensible y las huellas de las chispas del otro se registren enla parte inferior de la cinta.

④ La posicion del carrito m2 antes del choque debe ser escogida de tal manera, que haya un buenespacio para ser recorrido por el carrito m1 antes del choque y que quede espacio adecuado parael registro del movimiento de ambos carritos despues del choque.

⑤ Cuando este seguro de que todo funciona adecuadamente, coloque la cinta termosensible yempiece a registrar las huellas de camino de los carros.

⑥ El chispometro debe estar conectado desde que se impulsa el carrito m1, antes del choque, hastael momento en que justo el carro m2 llegue al otro extremo del carril de aire.

⑦ Repitan la toma de datos una o dos veces.

9.5.2 Choque inelastico

❶ Pesen los carritos juntos (uno de ellos tiene platillina).

❷ Acaballen los carritos al carril.

❸ Cerciorese que los carritos queden unidos despues de la colision.

❹ Procedan a montar la cinta para ejecutar el experimento.

❺ Repitan la toma de datos una o dos veces.

9-4

9.6 Analisis

9.6.1 Choque elastico

Regitren los valores de m1 y m2 en la tabla 9.1.

Con las cinta registradas de puntos escojan de 8 a 10 intervalos, llenando las tablas 9.2 y 9.3.

En papel milimetrado representen graficamente la distancia recorrida por ambos carros en fun-cion de la unidad del tiempo antes y despues del choque. ¿Que representa la pendiente de cadauna de estas curvas?

Calculen la cantidad de movimiento del sistema de los dos carritos antes y despues del choque.

Calculen su respectivo error. ¿Hay conservacion de la cantidad de movimiento en los dos casos?Explique.

9.6.2 Choque inelastico

Regitren los valores de m1 + m2 en la tabla 9.1. Comparen con los valores de m1 y m2 porseparado.

Repitan el mismo procedimiento seguido para la colision elastica, completando las tablas 9.4 y9.5.


9.7 Datos

m1 ( ) m2 ( ) m1 + m2 ( )

Tabla 9.1:

xi ( ) ti ( )

Tabla 9.2:

xi ( ) ti ( )

Tabla 9.3:

xi ( ) ti ( )

Tabla 9.4:

xi ( ) ti ( )

Tabla 9.5:

CAPITULO 10

Coeficiente de friccion

10.1 Objetivos

10.1.-1 Objetivo general

Medir el coeficiente de friccion entre dos bloques de madera.


Comparar los coeficientes de friccion estatico y dinamico.


10.2 Equipamiento

Plano inclinado de madera con polea.

Taco de madera.

Transportador.

Juego de pesas.

Portapesas.

Dulceabrigo.

Nivel.


El sistema consta de un plano inclinado q, de uno a dos bloques de masas m1 y m2, como se ilustraen la fig. 10.1.

10.3.-1 Chequeo inicial y minimizacion de errores sistematicos

Limpien bien las superficies del plano inclinado como el taco de madera m1 con el dulceabrigo.

Cerciorense que el plano inclinado esta nivelado, para ello use el nivel.

10-1

10-2

(a)

q

m1g

feN

θ

m1

(b)

q

m1g

TN

fd

θ

m1

m2

m2g

T

Figura 10.1: a) Montaje para µe. b) Montaje para µd.


10.4.-1 Coeficiente de friccion estatico

Del diagrama de fuerzas de la fig. 10.1a se tiene que:

m1g sen[θ]− fe = 0 (10.1)

N −m1g cos[θ] = 0 (10.2)

y por lo tanto el coeficiente de friccion estatico queda:

µe = tan[θ] (10.3)

siendo θ el angulo mınimo para que el bloque se ponga en movimiento con respecto al plano.

10.4.0 Coeficiente de friccion dinamico

Del diagrama de fuerzas de la fig. 10.1b, cuando m1se mueve hacia arriba del plano inclinado convelocidad constante, se tiene que

m2g −m1g sen[θ]− fd = 0 (10.4)

siendo m2 la masa mınima necesaria para que el cuerpo se mueva hacia arriba con velocidad constante.Cuando el m2 se mueve hacia abajo del plano con velocidad constante, se tiene que

m1g sen[θ]−m′

2g − fd = 0 (10.5)

siendo m′

2 la masa necesaria para que el cuerpo se mueva hacia abajo con velocidad constante. De lasecs. (10.4) y (10.5) se obtiene que el coeficiente de friccion dinamico µd queda:

µd =m2 −m′

2

2m1 cos[θ](10.6)

Igualando fd en las ecs. (10.4) y (10.5), se obtiene la siguiente relacion:

m1 sen[θ] =m2 + m′

2

2(10.7)

Combinando las ecs. (10.6), (10.7) y si θ = 45, queda que

µd =m2 −m′

2

m2 + m′

2

(10.8)

10-3

10.5 Procedimiento


① Hagan el montaje de la fig. 10.1a, seleccionando el plano bajo un angulo θ pequeno y colocando,en cualquier punto del plano, el taco de madera.

② Hagan variar el angulo hasta conseguir que el cuerpo inicie el movimiento. En estas condicioneshallen el valor del angulo.

③ Repitan el procedimiento anterior 5 veces. Encuentren el promedio del angulo.

④ Pesen y anoten el cuerpo m1.

⑤ Coloquen pesas (Mi) sobre m1 y repitan los dos primeros pasos anteriores.


❶ Realicen el montaje de la fig. 10.1b, la inclinacion debe ser de 45.

❷ Coloquen una masa m2 (para cada masa proporcione una pequena sacudida) hasta que el bloquese mueva con velocidad constante hacia arriba, anote este valor.

❸ Pesen el cuerpo m2.

❹ Coloquen una masa m′

2 hasta que el bloque se mueva hacia abajo con velocidad constante.

❺ Pesen el cuerpo m′

2.

10.6 Analisis


Completen la tabla 10.1 para el coeficiente de friccion estatico.

Con los datos de la tabla 10.1 encuentren el angulo θ y µe con su respectiva incertidumbre.

¿Por que el coeficiente de friccion estatico no permanece constante cuando se realizan variasmediciones con el mismo cuerpo?

¿Que efecto tiene el area de la superficie y el peso del cuerpo en el coeficiente de friccion estatico?

Reporten sus datos con la respectiva dispersion.


Repitan los tres primeros pasos anteriores, llenando la tabla 10.2.

¿Que efecto tendra la polea en la precision del coeficiente de friccion dinamico?

Comprueben la relacion (10.7). Expliquen sus resultados.



10-4

10.7 Datos

m1 M1 ( ) M2 ( ) M3 ( ) M4 ( ) θ ( )

Tabla 10.1:

m1 ( ) m2 ( ) m′

2 (v)

Tabla 10.2:

CAPITULO 11

Fuerzas concurrentes

11.1 Objetivos

11.1.-1 Objetivo general

Estudiar el comportamiento de cada una de las fuerzas que intervienen tanto perpendiculares,no perpendiculares, aproximadamente colineales como antiparalelas.


Encontrar las direcciones y magnitudes de cada una de las fuerzas tanto perpendiculares, noperpendiculares, aproximadamente colineales como antiparalelas.


11.2 Equipamiento

Anillo con tres hilos ligados.

Prensas con sus poleas.

Mesa de fuerzas.

Nivel.

Juegos de pesas.

Portapesas.


El sistema consta de una mesa de fuerzas, cuerdas y portapesas como se ilustra en la fig. 11.1.Estamesa de fuerza sirve para el estudio de dos o mas fuerzas concurrentes que pueden ser perpendiculares,no perpendiculares, aproximadamente colineales y antiparalelas, aplicadas sobre un punto (un anillo)mediante cuerdas de masa despreciable. Cada cuerda pasa sobre una polea que se fija en cualquierpunto de la periferia circular de la mesa por medio de una prensa. En los extremos de las cuerdas seata un portapesas al que se le adicionan pesos. La mesa circular de fuerzas posee un punto central Oy en el borde una escala angular en grados que permite medir la direccion de las fuerzas con respectoal sistema de referencia previamente escogido. Para realizar el analisis de fuerzas asumiremos que losejes cartesianos estan centrados en el punto O.

11-1

11-2

Figura 11.1: Mesa de fuerza.

11.3.-1 Chequeo inicial y minimizacion de errores sistematicos

Cerciorense que mesa de fuerza este equilibrada, para ello use un nivel.

Es conveniente que la magnitud FA (portapesas + masas) sea aproximadamente de 150 g y lade FB de 250 g.

Para minimizar la friccion golpear suavemente la mesa de madera, recuerden hay muchos puntosde rozamiento que pueden darle errores.

Cuando logren un equilibrio para hallar una fuerza dada (FE , θE) es conveniente determinar losvalores extremos, tanto en los angulos como en las magnitudes de las fuerzas, para los cuales laargolla muestra algun desplazamiento con respecto al centro apreciable. Midiendo estos valoresextremos se calcula la incertidumbre tanto para la fuerza como para el angulo ası:

∆F =Fmax − Fmın

2

∆θ =θmax − θmın

2


Sean Fm fuerzas orientadas en un plano horizontal y descritas segun sus componentes como:

Fm = Fm cos[θ]ı + Fm sen[θ] m = A, B, . . . (11.1)

Sea FE la fuerza equilibrante del sistema y FR la fuerza resultante de la superposicion de las fuerzasFA y FB. Para calcular la magnitud de la fuerza resultante se obtiene primero sus componentes tantoen la direccion X como en Y , como se ilustra en la fig 11.2a y b, e.d.:

FRx = FA cos[θA] + FB cos[θB] (11.2)

FRy = FA sen[θA] + FB sen[θB] (11.3)

11-3

(a)

X

Y

FE

θE

FR

θR

FA

FB

(b)

X

Y

FB

θB

FA

θA

FE

θE

FR

θR

Figura 11.2: Diagrama de fuerzas: (a) FA y FB perpendiculares. (b) FA y FB no perpendiculares.

Por el teorema de Pitagoras se obtiene:

FR =√

F 2Rx + F 2

Ry (11.4)

y el angulo de FR es:

θR = tan−1

(

FRy

FRx

)

(11.5)

Un sistema estara en equilibrio cuando la sumatoria de las fuerzas sea igual a cero. En nuestrocaso el anillo debe ser concentrico con el eje de la mesa y no debe permitirse su desplazamiento.

FA + FB + FE = 0 o FR + FE = 0 (11.6)

11.5 Procedimiento

11.5.-1 Procedimiento para fuerzas perpendiculares

① Con el anillo centrado en el eje de la mesa, coloque en angulo recto dos hilos que pasen por laspoleas con los portapesas en sus extremos, como se muestra en la fig. 11.2a. Las fuerzas que seutilizaran se llamam FA y FB (portapesa + masa).

② Determinen la fuerza equilibrante FE , es decir, calculen experimentalmente el angulo θE , tensio-nando la cuerda con la mano, produciendo pequenos desplazamientos del anillo. Simultaneamentea este desplazamiento vaya cambiando lentamente la direccion de la cuerda.

③ Tomen como angulo, aquel con el que le movimiento del anillo es tal que su centro pasa repetidasveces por el eje de la mesa. Efectuen este procedimiento varias veces girando en ambas direccionesy promedien.

④ Pongan la polea en la posicion angular promediada encontrada θE . En el extremo de la cuerdacoloque el portapesas y agregue masas hasta lograr el equilibrio.

⑤ Pesen simultaneamente el portapesas con las masas que logro el equilibrio.

11.5.0 Procedimiento para fuerzas no perpendiculares

❶ Las fuerzas FA y FB deben formar un angulo cualquiera menor a 180 y diferente de 90.

❷ Empleen el procedimiento anterior para calcular el angulo θE y la magnitud FE .

11-4

11.5.1 Procedimiento para fuerzas aproximadamente colineales

➀ Las fuerzas FA y FB deben estar en la misma direccion, pero con una diferencia entre ellas de10 (esto garantiza que sean lo mas paralelas posible).

➁ Calculen la fuerza equilibrante usando el procedimiento anterior.

11.5.2 Procedimiento para fuerzas aproximadamente antiparalelas

➊ Las fuerzas FA y FB deben estar en direccion opuesta, pero con una diferencia entre ellas de10 como se ilustra en la fig. 11.2b.

➋ Calculen la fuerza equilibrante usando el procedimiento anterior.

11.6 Analisis

Calculen experimentalmente la magnitud FR y la direccion θR, para las fuerzas perpendiculares,no perpendiculares, aproximadamente colineales, aproximadamente antiparalelas completandolas tablas 11.1–11.4, respectivamente.

Calculen analıticamente la magnitud FR y la direccion θR, para las fuerzas perpendiculares, noperpendiculares, aproximadamente colineales, aproximadamente antiparalelas completando lastablas 11.1–11.4, respectivamente.

Comparen las magnitudes de FR y FE al igual que los angulos θR y θE .



11.7 Datos

θE ( ) FE ( ) θR ( ) FR ( ) ∆θ ( ) ∆F ( )

Tabla 11.1:

θE ( ) FE ( ) θR ( ) FR ( ) ∆θ ( ) ∆F ( )

Tabla 11.2:

θE ( ) FE ( ) θR ( ) FR ( ) ∆θ ( ) ∆F ( )

Tabla 11.3:

θE ( ) FE ( ) θR ( ) FR ( ) ∆θ ( ) ∆F ( )

Tabla 11.4:

CAPITULO 12

Comportamiento de la energıa mecanica

12.1 Objetivos


Analizar los cambios de la energıa mecanica total del sistema, compuesta de tres tipos de energıa:potencial elastica, potencial gravitatoria y cinetica.


Determinar el valor de la constante elastica de un resorte helicoidal bajo la accion de una fuerzagravitacional.

Determinar la velocidad media que se mueve bajo la accion de una fuerza elastica, en presenciadel campo gravitacional.

12.2 Equipamiento

Portapesas especial, con gancho inferior yborde chaflanado.

Tiras de papel termosensible de 1 m de lar-go.

Soporte con resorte helicoidal.

Cinta de enmascarar.

Juego de pesas.

Chispometro.

Flexometro.

Balanza.


El sistema consiste de un resorte helicoidal, κ; unido en su extremo superior al trıpode y en suinferior se cuelga un portapesas, p, al cual se le puede colocar masas adicionales, constituyendo lamasa total del sistema, M . La base del portapesas es un disco con su borde chaflanado para precisarel lugar por donde salta la chispa y mejorar los registros. Al soporte de aluminio, S, en forma de L,en su superficie vertical frontal se adhiere una cinta termosensible, como se ilustra en la fig. 12.1.

12-1

12-2

κ

M

p

S

A

+−

Figura 12.1: Esquema ilustrativo para el estudio de las energıas.


El chispometro provee un alto voltaje, periodico, suficiente para hacer pasar carga electrica(((saltar chispa))), a traves del aire, en distancias cortas. Se utiliza para registrar el movimientodel sistema sobre un papel termosensible, el cual cambia de color al ser calentado localmente porel paso de carga. En el extremo inferior del soporte vertical hay un tornillo largo A, que sirvepara anclar el portapesas.

Conecten el chispometro al tomacorriente de 110 V ac. El terminal positivo debe conectarsea la parte superior del resorte y el terminal al soporte vertical como se ilustra en la fig. 12.1.Cercioresen que la frecuencia de la chispa sea 60 Hz.

Un pequeno boton con forma de palanca, en la cara frontal del cronometro, activa la chispamientras se mantenga movida hacia abajo. Prueben que haya chispa entre la superficie frontaldel soporte y el disco del portapesas.


12.4.1 Acerca del resorte lineal

Un resorte lineal es aquel que ejerce una fuerza, Fr, proporcional a la distancia que se deforma,ya sea que se estire o se comprima. El sentido de dicha fuerza es, siempre, contrario al sentido de ladeformacion sufrida.

Designando por x la distancia que se estira o comprime el resorte, a partir de su longitud natural,Fr puede expresarse como:

Fr = −κx (12.1)

siendo κ la constante de proporcionalidad cuya magnitud dependera de las caracterısticas del resorte.Para que un resorte, anclado por su extremo superior, pueda soportar un objeto atado en el extremoinferior, necesita estar estirado una cierta distancia. En el equilibrio (fig. 12.2),

Fr = Fg ≡ mg (12.2)

12-3

Fr

mg

Figura 12.2: Resorte en equilibrio.

La cantidad de trabajo efectuado sobre el resorte por la fuerza Fr cuando desplaza el extremo delresorte desde x0 hasta una distancia xf cualquiera es;

w =

∫

Fr · dr =

∫ xf

x0

Frdx = −κ

∫ xf

x0

xdx (12.3)

o sea que:

w = −(

1

2κx2

f −1

2κx2

0

)

(12.4)

donde el signo menos significa que el trabajo es hecho por el resorte. La cantidad κx2/2 se interpretacomo la cantidad de energıa potencial que posee el resorte por haber sido deformado una distancia x.Dicha cantidad se denomina energıa potencial elastica y se escribe EPE .

12.4.2 Acerca de la dinamica del sistema masa-resorte

El sistema masa-resorte consta de un resorte elastico, fijo por uno de sus extremos. De su extremolibre pende un objeto de masa m, en presencia del campo gravitatorio terrestre. El sistema puede estaren equilibrio, como en la fig. 12.2, y podra permanecer en equilibrio indefinidamente. Sin embargo, unagente externo puede bajar la masa m estirando el resorte mas alla del punto de equilibrio, donde lafuerza elastica se hace mayor que la fuerza gravitatoria. El agente externo realizara un trabajo hechosobre la masa m y esta dado por:

w = −(mgyf −mgy0) (12.5)

donde el signo menos significa que el trabajo es hecho por la masa m, g es la gravedad e y es la distanciavertical a un punto de referencia arbitrario y = 0. La cantidad mgy se interpreta como la cantidad deenergıa potencial gravitacional que posee la masa m por haber sido levantada una distancia y. Dichacantidad se denomina energıa potencial gravitatoria y se escribe EPG.

Cuando la fuerza externa libera la masa aparecera un movimiento gobernado por el desequilibriode fuerzas y el sistema comenzara a oscilar de manera periodica alrededor del punto de equilibrio.El sistema oscilara muchas veces antes de volver al equilibrio. Se detendra una vez que la energıaentregada al sistema, por el agente externo, se disipe en los alrededores. En esta dinamica se debeconsiderar, como mınimo tres fuerzas: la del resorte Fr , la gravitacional mg y la de friccion con el aire.Esta ultima, sin embargo, puede ser pequena y despreciarse. Tambien puede ser posible despreciarla masa del resorte, por tanto, las leyes de Newton permiten encontrar la relacion entre aceleracionresultante, con las fuerzas que intervienen, ası:

Fr −mg = ma (12.6)

12-4

La ec. (12.5) muestra que la aceleracion no puede ser constante por cuanto la fuerza Fr va variandocon la altura. Esto hace que la ecuacion sea diferencial y su solucion requiera conceptos que no estana la mano. Sin embargo, el analisis energetico del sistema es sencillo.

Recordando que el sistema masa-resorte realiza dos trabajos: uno, hecho por el resorte, debido aFr y, dos, hecho por la masa, debido a Fg . El trabajo total sera la suma de estos dos trabajos, e. d.,

w = −(

1

2κx2

f + mgy

)

(12.7)

Por ser ambas fuerzas conservativas, el trabajo realizado sobre m se puede calcular mediante elcambio de sus energıas potenciales elastica y gravitatoria, respectivamente:

w = −∆EPG −∆EPE (12.8)

De otro lado, el sistema tiene una velocidad y, por tanto, adquiere una energıa cinetica EC , la cualse relaciona con w a traves del teorema del trabajo y la energıa:

El trabajo realizado por las fuerzas que actuan sobre un objeto es igual al cambio de laenergıa cinetica total de dicho objeto.

o sea:w = ∆EC (12.9)

De las ecs. (12.7)–(12.9) se tiene que:

EC = −∆EPG −∆EPE (12.10)

Si se consideran dos instantes del movimiento, t1 y t2, para los que la energıa cinetica sea EC1 y EC2,la energıa potencial gravitatoria sea EPG1 y EPG2 y la energıa potencial elastica sea EPE1 y EPE2,respectivamente, la ec. (12.10) se puede escribir de la siguiente manera:

EC2 − EC1 = −(EPG2 − EPG1)− (EPE2 − EPE1) (12.11)

reordenando, se obtiene que:

EC1 + EPG1 + EPE1 = EC2 + EPG2 + EPE2 (12.12)

Esta ecuacion muestra que la suma de la energıa cinetica y de las energıas potenciales permanece igualen el tiempo. Esto, como consecuencia de que las fuerzas que intervienen sean conservativas.

Llamando energıa total mecanica a la suma de energıa cinetica y de energıas potenciales, es decir,

Et = EC + EPG + EPE (12.13)

el resultado (12.12) se puede escribir abreviadamente ası:

Et1 = Et2 (12.14)

Esta ecuacion constituye el denominado principio de conservacion de la energıa mecanica.De la ec. (12.12) podemos calcular la energıa total del sistema en cualquier instante si conocemos

la velocidad de la masa, su posicion respecto del origen y la elongacion del resorte.

12.5 Procedimiento

12.5.1 Determinacion de la constante elastica del resorte

① Coloquen una tira de papel termosensible, sin arrugas, sobre la superficie vertical del soporte,con su cara sensible hacia el exterior y coloque el soporte.

12-5

② Anadan suficientes masas al portapesas hasta lograr que el disco este unos 2 cm por debajo delborde superior del soporte vertical. Ubiquen el soporte a una distancia adecuada para que saltela chispa.

③ Enciendan el chispometro y, con el disco en reposo, haga saltar la chispa. Esta marca sera elregistro de la elongacion del resorte correspondiente al peso inicialmente utilizado.

④ A continuacion, sin accionar el chispometro, agreguen una masa de 50 g. Cuando el disco logreel reposo, accione el chispometro y marque la nueva posicion.

⑤ Repitan el procedimiento anterior agregando masas de 50 g hasta lograr la mayor elongacionposible.

⑥ Retiren la cinta termosensible y midan la elongacion del resorte

12.5.2 Registro del movimiento ascendente del sistema masa-resorte:

La fig. 12.3 ilustra de manera esquematica la geometrıa del montaje experimental:

(a)

x0

H

(b)

x

L

h

(c)

xm

L

y0

Figura 12.3: (a) x′

0 es la longitud inicial del resorte y H la distancia entre su extremo inferior y el piso. (b)Ilustracion de una posicion cualquiera en equilibrio. (c) Configuracion inicial para el registro del movimientoascendente.

❶ Anadan masa al portapesas hasta lograr la posicion que se muestra en la fig. 12.3b (cercano ala mitad de la altura del soporte vertical). Amarre las masas y el portapesas para evitar que secaigan cuando se esten moviendo.

❷ Halen la masa colgante hasta el tornillo A como indica la 12.3c. Mantengalo en dicha posicion,sin tocar el portapesas ni el soporte de aluminio. Encienda el chispometro y permita que saltela chispa continuamente.

❸ Suelten el portapesas y observenlo mientras sube; si el soporte vertical esta bien ubicado, de-bera notar que la chispa salta a todo lo largo del soporte mientras va subiendo, y que no seproducen roces entre el borde del disco y la superficie del soporte. Desactive la chispa justoantes de que el portapesas llega a su maxima altura.

12-6

❹ Sin mover el soporte, adhieran una tira de papel termosensible a su superficie frontal y repita elprocedimiento anterior.

❺ Desconecten el chispometro. Remuevan la tira de papel del soporte. Retire el portapesas y, sindespegar las masas adicionales, determine la masa total colgante y regıstrela.

12.6 Analisis

12.6.1 Determinacion de la constante elastica del resorte

Tabulen sus datos de fuerza aplicada al resorte y de elongacion en la tabla 12.1.

¿Es posible tomar el primer punto como cero elongacion y cero fuerza? ¿Por que?

Grafiquen la fuerza gravitacional (Fg = mg) en funcion de la elongacion.

Encuentren la constante del resorte y su incertidumbre.

12.6.2 Registro del movimiento ascendente del sistema masa-resorte

Determinen la masa total colgante y regıstrenla.

Tabulen sus datos de posicion y tiempo distribuidos en toda la cinta y complete la tabla 12.2.

Hagan una grafica de posicion como funcion del tiempo y calculen las velocidades medias, si-guiendo el algoritmo representado en la fig. 12.4.

Tomen como h = 0 el punto mas bajo y tenga en cuenta que entre punto y punto hay 1/60 desegundo.

12.6.3 Determinacion de la velocidad media

En la fig. 12.4, se ha ejemplificado el caso para determinar la velocidad media que corresponde altiempo t2: Se calcula como la pendiente de los puntos (t3, y3) y (t1, y1), ası:

v2 =y3 − y1

t3 − t1

t

Y

y1

y2

y3

t1 t2 t3

∆t

∆y

Figura 12.4: Determinacion de la velocidad instantanea.

Utilicen el algoritmo anterior para calcular las velocidades instantaneas correspondientes a losinstantes registrados.

12-7

Calculen los tipos de energıa, completando la tabla 12.3.

En una hoja de papel milimetrado, escogiendo una escala de energıa adecuada, representen elcomportamiento de las cuatro energıas en funcion del tiempo.



12.7 Datos

m x ( )

Tabla 12.1:

t ( ) h ( ) v′ ( )

Tabla 12.2:

EC ( ) EPG ( ) EPE ( )

Tabla 12.3:

CAPITULO 13

Energıas potencial gravitacional y cinetica

13.1 Objetivos


Estudiar la ley de la conservacion de la energıa mecanica.


Observar la variacion de la energıa cinetica en funcion de la energıa potencial gravitacional.

Observar la variacion del alcance horizontal en funcion de la energıa cinetica inicial en un tiroparabolico de una partıcula.

13.2 Equipamiento

Cuchilla de afeitar.

Papel milimetrado.

Soporte vertical.

Plano metalico.

Balın de acero.

Papel carbon.

Regla.

Hilo.


El sistema es un plano metalico q, un pendulo formado por un balın suspendido de un hilo y unacuchilla de afeitar en el punto A, como se ilustra en la figura 13.1. El filo de la cuchilla esta dispuestode tal forma que corte el hilo cuando el balın llegue a A, despues de soltarse desde una altura h.


El soporte vertical y la guıa del plano metalico deben estar fijos a la mesa.

Apriete bien la nuez de la varilla donde pende el hilo.

El plano metalico se debe colocar de tal forma que el plano del movimiento del balın coincidacon el. Esta verificacion debe hacerse cada vez que va a liberar el balın desde una altura h.

13-1

13-2

A

q

hv

x

y

Figura 13.1: Esquema del montaje experimental.


La suma de las energıas cinetica y potencial gravitacional de un objeto de masa m que se encuentraen un campo gravitacional se conserva en el tiempo y se conoce como energıa mecanica E, esto es:

E = K + U (13.1)

donde K la energıa cinetica dada por:

K =1

2mv2 (13.2)

siendo v la velocidad del objeto y U es la energıa potencial gravitacional dada por:

U = mgh (13.3)

con g la aceleracion de la gravedad y h la altura a la cual se encuentra el objeto, medida desde el nivelde referencia que se use para determinar la energıa potencial.

Entonces para un objeto que pasa de una situacion inicial i a una final f , es posible aplicar la leyde la conservacion de la energıa en la forma

Ki + Ui = Kf + Uf , esto es,1

2mv2

i + mghi =1

2mv2

f + mghf (13.4)

Como habra observado, a medida que h se incrementa, el alcance horizontal del balın x, aumentay cada vez que se aumenta h, es decir, cada vez que aumenta la energıa potencial gravitacional delbalın, tambien aumenta la velocidad con que este abandona el punto A. Esto significa que x crece conla velocidad del balın en ese punto. Entonces si x crece con la velocidad del balın en el punto A, sepodrıa pensar que x crece con la energıa cinetica que el balın ha adquirido en A.

La ley de la conservacion de la energıa establece que la energıa cinetica del balın en el punto A,mv2/2, es igual a la energıa potencial gravitacional del balın antes de ser liberado, mgh, medida desdela horizontal que pasa por A, esto es

mgh =1

2mv2 (13.5)

Ademas, una partıcula describe una trayectoria parabolica el alcance horizontal x, esta dado por

x = vt, (13.6)

donde v es la componente horizontal de la velocidad inicial del balın cuando pasa por el punto A y t esel tiempo de vuelo de la partıcula. La altura y que desciende la partıcula desde el punto A, esta dadopor

y =1

2gt2 (13.7)

13-3

De estas dos ultimas ecuaciones se obtiene

v2 =gx2

2y(13.8)

Reemplazando esta expresion para v2 en la ec. (13.2) se obtiene para h:

h =x2

4y(13.9)

13.5 Procedimiento

① Suelten el balın desde una altura h y cuando pasa por el punto A, la cuchilla corta el hilo y elbalın sigue hasta tocar el suelo en el punto x, como se muestra en la fig. 13.1. Recuerde que elplano del movimiento del balın debe ser paralelo al del plano metalico, donde se determinara laaltura h de la cual se libera el balın.

② Determinen la altura h, desde la cual suelta el balın, en la hoja de papel que adhieren al planometalico coincidente con la trayectoria del balın desde que lo suelta hasta que llega al punto A.

③ Para un mismo valor de h, liberen el balın al menos tres veces y determinen el valor de x.

④ Tomen al menos 6 valores diferentes de h y repitan el procedimiento anterior.

13.6 Analisis

Midan la altura y.

Midan las alturas h y las respectivas distancias x Completando la tabla 13.1.

Al soltar el balın desde la altura h, ¿que tipo de trayectoria sigue el balın despues de abandonarel punto A?

Para un mismo valor de h, ¿observan alguna dispersion en el valor de x?

¿El alcance horizontal x depende de la altura y?

A partir de sus datos de la tabla 13.1, grafiquen h en funcion de x y encuentren la relacionmatematica entre h y x, es decir, h = f(x).

En caso que obtenga una curva, linealızenla. ¿Cual es el valor de la pendiente de esta lınea recta?¿Cual es el significado fısico?

Para h = f(x2) a partir de sus mediciones experimentales, ¿esta de acuerdo con la ley de laconservacion de la energıa?


13.7 Datos

h ( ) ola ola ola ola ola ola ola ola ola ola ola ola olax ( )

Tabla 13.1:

CAPITULO 14

Pendulo balıstico

14.1 Objetivos


Medir de la velocidad de un proyectil.


Usar las leyes de la conservacion del momentum lineal y de la energıa mecanica para medir lavelocidad inicial de un proyectil al incrustarse en un blanco.

Usar las leyes del movimiento realizado por el proyectil para calcular la velocidad inicial con laque fue disparado.

Hacer una comparacion de la velocidad inicial del proyectil dada por las leyes anteriores.

14.2 Equipamiento

Hojas de papel carbon y de papel blanco.

Pendulo balıstico (Cenco).

Calibrador.

Flexometro.

Plomada.

Balanza.

Balın.


El sistema consiste basicamente de un pendulo y de una pistola de resorte para impulsar el proyectil,como se ilustra en el diagrama esquematico de la fig. 14.1.

El pendulo lo forma una cavidad cilındrica c, para recibir el proyectil (balın b), una varilla livianay fuerte l, unida a la cavidad en la parte inferior y mediante un pivote en su extremo superior dondehay un tornillo T, el cual debe ajustarse para asegurara la estabilidad del pendulo y la menor friccionposible durante la ejecucion del movimiento.

La pistola de resorte consta de un eje movil E, que entra en la perforacion que tiene el balın, y escompreso a traves de un resorte R. El eje se suelta por medio de un gatillo G. Al dispararse el balın,este es retenido en la cavidad y se mantiene dentro de ella por medio de una lamina, como se ilustra enla fig. 14.2, de tal forma que el centro de gravedad de todo el cuerpo en su punto mas bajo se ubique

14-1

14-2

Figura 14.1: Detalles del pendulo balıstico.

en el eje de l. En algunos aparatos hay una punta de indicadora, unida a c, y determina la ubicaciondel centro de gravedad del cuerpo resultante; en otros hay una cinta unida a l.

X

(a) (b)

c

b

Figura 14.2: Cavidad y balın. a) Antes del choque, (b) Despues del choque.

La altura maxima hi a la cual llega el pendulo cuando se incrusta el balın en la cavidad se registraal quedar el pendulo sostenido por una cuna Q que se engancha en los dientes de una pequena rampadentada d. Esta rampa tiene una escala, en su cara externa para indicar la altura alcanzada por elpendulo


Para preparar la pistola, inserten el balın en el extremo del eje E y sosteniendo la base con unamano empujen el balın hacia atras hasta engancharlo en el gatillo G. Esto comprime el resorteR una cantidad definida que dara al balın una velocidad inicial igual cada vez que se dispara.

Para preparar el pendulo, llevelo a la posicion vertical, ajustelo a traves del tornillo T y verifiquenque oscila libremente, es decir, dele un pequeno empujon con su mano y observe el movimiento.Si no oscila libremente, afloje un poco T.

Realicen varios disparos y observen que el pendulo no se salga de la rampa dentada, caso quesuceda, aprieten un poco el tornillo.


Si sobre dos cuerpos que chocan no actua ninguna fuerza externa durante el tiempo en que tienelugar el choque, la cantidad de movimiento lineal total del sistema formado por los dos cuerpos seconserva durante el choque. Si un balın de masa m y velocidad v, en una direccion horizontal escogidacomo el eje X (ver fig. 14.2) realiza un choque frontal y se incrusta en una masa M en reposo. El

14-3

conjunto de las dos masas M + m adquiere una velocidad V en la misma direccion del proyectilincidente; entonces, se cumple:

mv = (m + M)V ⇒ v =m + M

mV (14.1)

Para medir V , el blanco de masa M se suspende de un pendulo y se mide la altura maxima quelogra subir el centro de masa del nuevo cuerpo con masa M + m. Debido al intercambio de energıasentre la energıa cinetica que adquirio m + M , despues del choque, y la energıa potencial lograda en elpunto mas alto de su trayectoria. Esto es,

1

2(m + M)V 2 = (m + M)gh ⇒ V =

√

2gh (14.2)

Reemplazando (14.2) en (14.1), se tiene:

v =m + M

m

√

2gh (14.3)

la velocidad del proyectil v, cuando se conocen las masas m, M y la altura h.La velocidad v del proyectil tambien puede medirse usando la ecuacion de la trayectoria que

describe bajo la accion de la gravedad. En estas condiciones, el movimiento se realiza en el planovertical como se ilustra en la fig. 14.3, por tanto:

Eje X : alcance maximo: R = vt

Eje Y : caıda libre: H = 12gt2

de acuerdo con un sistema cartesiana ubicado a la salida del balın. Eliminando el tiempo de estas dosecuaciones, obtenemos

v = R

√

g

2H(14.4)

X

Y

v0

H

R

Figura 14.3: Trayectoria descrita por el proyectil.

14.5 Procedimiento

14.5.1 Determinacion de la velocidad inicial por el pendulo balıstico

① Con el pendulo en reposo, accionando G, el proyectil b se incrustara en c, e. d., de acuerdo conla fig. 14.2, b pasa de la posicion (a) a la (b), quedando finalmente enganchado en un dienteparticular de la rampa d.

14-4

② Registren la posicion alcanzada, segun la escala de la rampa (numero de ranuras) y procedan concuidado a sacar b de c empujandolo con el dedo o con un elemento delgado, luego compriman R

unido con b.

③ Repitan desde ①, diez (10) veces.

④ Noten que la posicion de enganche en la rampa varıa. El promedio de las posiciones obtenidasda la posicion media mas alta. Lleven el pendulo a dicha posicion, enganchelo en el diente mascercano al valor medio.

⑤ Midan la altura desde la base del pendulo balıstico a un punto de referencia de l h1 y la alturamaxima promedio obtenida h2 (ver fig. 14.1).

⑥ Desenrosquen T y remuevan el pendulo, cuidadosamente, de su soporte .

⑦ Pesen el pendulo y el balın.

⑧ Regresen el pendulo a su posicion original, ajustandolo cuidadosamente con T.

14.5.2 Determinacion de la velocidad inicial por la medicion del alcancemaximo y la altura

Para esta segunda parte, el pendulo debe estar en un diente de d para que no interfiera en elmovimiento de b.

❶ Con la plomada obtengan el punto de salida sobre el eje X y mida la altura inicial en el eje Y .

❷ Realice un disparo y observe el lugar del impacto de b en el piso.

❸ Adhieran una hoja de papel al piso en dicho lugar y cubralo con papel carbon para determinarel punto de impacto.

❹ Dispare diez (10) veces y midan el alcance para cada disparo.

14.6 Analisis

14.6.1 Determinacion de la velocidad inicial por el pendulo balıstico

Registren las alturas hi, obtenidas de los diez (10) disparos, en la tabla 14.1.

Anoten las masas m (balın), M (pendulo), por separado y juntos, en las tres primeras filas dela tabla 12.2 y la altura h1 en la cuarta fila.

Calculen hi, desviacion estandar, CV, IC, completando las ultimas fila de la tabla 14.2.

Calculen h = hi − h1

Encuentren la velocidad del proyectil usando la expresion (14.3).

Reporten el valor de v con su respectiva incertidumbre.

14.6.2 Determinacion de la velocidad inicial por la medicion del alcancemaximo y la altura

Registren las distancias Ri, obtenidas de los diez (10) disparos, en la tabla 14.3.

Anoten la altura inicial H en la primera fila de la tabla 14.4.

Calculen Ri [(1.17)], desviacion estandar [(1.19)], CV [(1.20)], IC [(1.24)] y error porcentual[(1.26)] con una probabilidad del 90% (t0,90) utilizando la tabla 1.3, completando las ultimasfila de la tabla 14.3.

Encuentren la velocidad del proyectil usando la expresion (14.4).

14-5

14.6.3 Comparacion

Determinen la diferencia entre los valores de velocidad obtenida por los dos metodos.

Analicen los errores probables en cada metodo y estime cual debe ser el resultado mas preciso.

¿Que condicion dinamica (fuerzas externas) deben cumplirse durante el choque de las dos masas,para que las cantidades de movimiento antes y despues del choque sean iguales? ¿Se cumple conexactitud esta condicion? ¿Como podrıan reducirse estos efectos externos?

Comparando los dos experimentos y con base en los modelos teoricos respectivos, ¿cual cree quearrojen los resultados mas confiables de las medidas realizadas?


14.7 Datos

No hi ( )12345678910

Tabla 14.1:

m ( ) m + MM ( )m + M ( )h1 ( )

h ( )σx ( )CV ( )IC ( )ǫ ( )

Tabla 14.2:

No Ri ( )12345678910

Tabla 14.3:

H ( ) m + M

R ( )σx ( )CV ( )IC ( )ǫ ( )

Tabla 14.4:

CAPITULO 15

Momentos de fuerzas

15.1 Objetivos


Comprobar el equilibrio debido a momentos de fuerzas.


Demostrar el equilibrio de fuerzas paralelas.

15.2 Equipamiento

Regla con orificios para suspension de pesosy acople magnetico

Polea de torsion de adhesion magnetica ca-librada en newtons.

Tablero magnetico de fuerzas.

Balanza.

Pesas.


El sistema consiste de una regla suspendida en uno de sus extremos y sostenida por un hilo acopladoa la polea de torsion desde el otro extremo. El peso de la regla es aplicado a su centro de masa, unpeso se suspende en uno de los agujeros de la regla el cual puede variar en magnitud y posicion conrelacion al punto de oscilacion, como se muestra en la fig. 15.1.


En la fig. 15.1 se ilustra una situacion de equilibrio dada por:

T0 + T = mg + F (15.1)

TL =mgL

2+ Fx (15.2)

donde T0 es la reaccion debido al soporte en el extremo izquierdo de la regla, T es la magnitud de latension que se mide en el otro extremo de la regla, mg es el peso de la regla y F es el peso adicionalsuspendido a una distancia x del centro de oscilacion, L es la longitud de la regla y corresponde al

15-1

15-2

T0

mg F

T

Figura 15.1: Esquema ilustrativo.

brazo de T , L/2 corresponde al brazo del peso de la misma y x es el brazo de la fuerza aplicada. Laec. (15.2) puede expresarse como:

T =Fx

L+

mg

2(15.3)

La ec. (15.3) sera comprobada experimentalmente, como se explicara en el procedimiento.

15.5 Procedimiento

15.5.1 x fijo

① Los pesos disponibles permiten variar F y obtener, por tanto, T en la polea calibrada, despuesde haber equilibrado el sistema. El equilibrio del sistema puede obtenerse de dos maneras:

i. Girando suavemente con la mano el soporte de la polea hasta que la regla alcance su posicionhorizontal, formando un angulo de 90 con la cuerda de la polea.

ii. Desplazando verticalmente el centro de oscilacion.

Se recomienda la segunda sugerencia.

② Con el montaje esquematizado en la fig. 15.1 y para las distancias fijas de x < L/2, x = L/2 yx > L/2 ), hallar las F variables que equilibran el sistema.

15.5.2 F fijo

❶ Repetir el procedimiento anterior para x variable y F fijo.

Realice la grafica de T versus F. examine si es lineal, si lo es, halle el valor de la pendiente y elintercepto con sus respectivas incertidumbres.

Teniendo en cuenta las incertidumbres en las medidas, realizar las respectivas regresiones lineales,para obtener las pendientes e interceptos, y obtener el error relativo porcentual de estas.

15.6 Analisis

Para un x fijo, complete la tabla 15.1 y grafiquen T en funcion de F .

¿Que tipo de grafica obtuvieron?

¿Que significa cada termino de la ecuacion que describe la grafica anterior?

15-3

Para un F fijo, complete la tabla 15.2 y grafiquen T en funcion de x.

¿Que tipo de grafica obtuvieron?

¿Que significa cada termino de la ecuacion que describe la grafica anterior?


15.7 Datos

F ( ) T ( ) T ( ) T ( )x < L/2 x = L/2 x > L/2

Tabla 15.1:

x ( ) T ( )

Tabla 15.2:

CAPITULO 16

Movimiento rotacional

16.1 Objetivos


Estudiar la dinamica de un movimiento de rotacion.


Determinar el momento de inercia a partir de la aceleracion angular del sistema bajo una fuerzaconstante.

Calcular el momento de inercia de discos en rotacion a partir de la medicion de su radio y sumasa gravitatoria.

Comprobar el principio de conservacion del momento angular.

16.2 Equipamiento

Kit para dinamica rotacional de Pasco. Compresor.


El sistema consiste de un kit de dinamica cuyas vistas superior y lateral se ilustran en la fig. 16.1y un compresor, no ilustrado, el cual tiene un tanque de almacenamiento que permite presiones hastade 100 psi (poundal square inch, libras por pulgada cuadrada). La salida del tanque esta controladapor una valvula manual. La base del aparato es una caja firme y hueca. En su interior hay un circuitode flujo de aire a presion moderada. El circuito conduce aire al interior y dependiendo de una llave depaso (valvula 1) llega a una parte superior creando un colchon de aire entre los discos y la base. Elaparato posee un par discos (A y B) de acero inoxidable (el disco B siempre va debajo de A), aunquela simetrıa de ambos discos parece ser la misma, existen cavidades centrales que los hacen diferentes.Los dos discos son controlados por un pin que los hacen flotar juntos o por separado. Hay dos clasesde pines: los macizos, que sirven como tapon para la salida de aire por el centro de los discos y elhueco, que permite la salida de aire por su interior.

Cada disco posee 200 lıneas a lo largo de su perımetro, las cuales son detectadas por un medidor develocidad angular, que cuenta el numero de lıneas que pasan por el detector, durante 2 s, el medidortiene un selector de velocidad para elegir la medicion de la velocidad angular del disco A o B (uppero lower respectivamente).

16-1

16-2

A

D

Pantalla

Selector de disco

EF

1 2 3

Pin

Valvulas Ingreso deaire comprimido

DAB

FE

C

Figura 16.1: (a) Vista superior. (b) Vista lateral. A: disco superior de acero, B: disco inferior de acero, C:portapesas, D: polea, E: polea, F : cuerda.


16.4.1 Rotacion por una fuerza constante

Dos discos A y B concentricos unidos mediante una cuerda F a un objeto C que pende de lamisma tal como se observa en las figs 16.1a y b. Suponiendo que el sistema se encuentra en reposoen el instante en que se suelta, y despreciando las fuerzas de friccion que actuan sobre el mismo,tendremos el siguiente diagrama:

2rpd

T1

T

2rp

mC

2r

Figura 16.2: Diagrama del sistema de rotacion.

Aplicando las leyes de Newton, respectivamente se tiene:

mCg − T = mC a (16.1)

T rp − T1 rp = Ip α (16.2)

T1 rpd = (Id + Ipd)α (16.3)

Teniendo en cuenta que, a = rα, ω = αt y como rp ≈ rpd = r0, se obtiene la expresion:

ω =

(

mCgr0

Id +mp+mpd

2 r20 + mCr2

0

)

t (16.4)

16-3

en donde, mC es masa total en el portapesas C, r0 = 13, 5 mm es el radio de la polea D mas pequena,g es la magnitud del vector aceleracion de la gravedad (9, 799 ± 0, 003 m/s2), Id es el momento deinercia total del disco, mp = 15 g y mpd = 13 g.

16.4.2 Conservacion del momento angular

En ausencia de un torque externo, el momento angular de un sistema fısico se conserva en eltiempo. Nuestro sistema en consideracion consiste de dos discos A (con momento de inercia IA) y B(con momento de inercia IB) que pueden rotar alrededor del mismo eje y que estan libres de torquesexternos. Inicialmente se asume que el disco A gira con cierta frecuencia ωi mientras que el disco Bpermanece en reposo. Finalmente se permite que el disco A descanse sobre el B cambiando de estaforma la frecuencia angular a ωf . El momento angular del sistema compuesto por los discos A y B seconserva, luego tenemos que:

Li = Lf

IAωi = (IA + IB)ωf (16.5)

16.5 Procedimiento


① Realicen el montaje indicado en las figs. 16.1a y b utilizando los dos discos de acero representadospor A y B.

② Coloquen en el portapesas C una masa total de 15 g (incluida la del portapesas) haciendo usodel juego de pesitas de 5, 10 y 20 g disponibles.

③ Ajusten la polea D al disco A con el tornillo que tiene un agujero en el centro para permitirla salida del aire inyectado desde el compresor y ası lograr eliminar el colchon de aire entre losdiscos B y A.

④ Enciendan el compresor y abran la llave de paso con cuidado hasta sentir la salida del aire apresion baja y ajuste la llave de paso hasta que el manometro indique 9 psi aproximadamente.Debe monitorear la presion y asegurarse de que este siempre en el valor anterior.

⑤ Enrollen la cuerda F en la polea D hasta que C quede casi al nivel de la polea E.

⑥ Coloquen uno de los dos pines disponibles en la valvula 1 para permitir que el disco B girelibremente sobre la base fija G.

⑦ Sostengan ligeramente uno de los dos discos y espere a que la pantalla marque cero. Una vezse obtenga esta lectura suelte el disco y registre las lecturas de la pantalla las cuales son dadasautomaticamente cada 2 s, es decir, cada 2 s aparecen la medida en lıneas/segundo. Solo registredatos durante el proceso de caıda del portapesas C.

⑧ Repitan el experimento para las otras masas.


❶ Realice el mismo montaje del procedimiento anterior pero dejando solamente los discos A y B.

❷ Inserte en el agujero central del disco A uno de los dos pines disponibles y el otro en la valvula.

❸ Sostenga el disco B mientras espera que la pantalla marque lectura cero teniendo el selector dedisco en posicion upper. Luego aplique un torque al disco A de tal manera que la lectura en lapantalla este alrededor de 100 lıneas/s.

16-4

❹ Retire el pin del disco A para permitir que este en repose sobre el disco B y registre las lecturasestables de la pantalla inmediatamente antes y despues de quitarlo.

❺ Repita el experimento para cuatro frecuencias mas, como por ejemplo: 200, 300, 400, 500 lıneas/s.

16.6 Analisis


Pesen cada disco por separado y registre sus datos y completen la tabla 16.1.

Con el calibrador vernier midan los radios externo e interno de A y B, ası como tambien el radiode la polea D y llenen la tabla 14.1.

Registren los datos durante el proceso de caıda del portapesas C en la tabla 16.2.

Grafiquen en una misma hoja milimetrado los datos de frecuencia angular versus tiempo paralas tres masas.

Comparen el tipo de curva obtenida para cada grafico con la ec. 16.4 y determinen si los tiposde curvas obtenidos estan de acuerdo con la teorıa. Expliquen.

Con base en la grafica ω vs t, encuentre el momento de inercia del disco, teniendo en cuenta elmodelo teorico.

Calculen el momento de inercia teorico de los discos y de la polea D [ID = (R2i + R2

e)/2].

Calculen la incertidumbre del momento de inercia obtenido en el punto anterior y evaluen laconcordancia con los resultados experimentales.


Conviertan las lecturas obtenidas en la pantalla dadas en lıneas/s a rad/s y llenen la tabla 16.3.

Utilicen los valores de momentos de inercia hallados en la seccion anterior para el disco A y parael sistema compuesto por los discos A y B y compruebe si el momento angular se conserva.

Suponga que se hubiesen puesto a girar inicialmente los dos discos pegados y luego se hubiesefrenado el disco inferior dejando el disco superior girando libremente. ¿Se hubiese constatadoconservacion de momento angular para esta situacion? Explique claramente su respuesta.

Usted ha calculado el momento de inercia de dos discos concentricos por dos metodos distintos,hay algun criterio por el cual puedan determinar ¿cual de los dos resultados obtenidos es masconfiable? Si lo hay, explique su respuesta con suficiente claridad.


16.7 Datos

Disco A Disco BMasa ( )Radio interno ( )Radio externo ( )

Tabla 16.1:

16-5

Lıneas t ( ) ω ( ) Lıneas t ( ) ω ( ) Lıneas t ( ) ω ( )

Tabla 16.2:

ωi (lın/s) ωf (lın/s)

Tabla 16.3:

CAPITULO 17

Movimiento de rotacion y traslacion

17.1 Objetivos


Estudiar el movimiento combinado de traslacion y de rotacion sin deslizamiento de un cuerporıgido.


Deducir el momento de inercia de un objeto cilındrico.


17.2 Equipamiento

Cuerpo cilındrico en madera.

Rieles paralelos.

Calibrador.

Flexometro.

Cronometro.

Balanza.


El sistema consiste de un cuerpo cilındrico, M , montado sobre dos rieles paralelos, u, los cualesestan elevados en uno de sus extremos una altura h, formando un plano inclinado, como se ilustra deforma esquematica en la fig. 17.1.


Verifiquen que los rieles esten ubicados como en la fig. 17.1, sin que resbalen mientras se efectuael experimento.

Trabajen con alturas h menores de 50 cm, ası obtendra mejores resultados; el cuerpo que ruedalo hara mas despacio dandole a usted la posibilidad de tomar el tiempo con mayor precision yevitando que el cuerpo deslice.

17-1

17-2

θ

θ

hs

u

M M

Figura 17.1: Esquema ilustrativo.

Pongan cuidado en la ubicacion inicial del cuerpo M al momento de soltarlo, para que cuandobaje rodando no toque los lados de los rieles y se produzca un frenado del mismo.

Tengan en cuenta que la altura h que usted debe medir corresponde a la distancia verticaldesde el punto de partida hasta donde usted ubico su sistema de referencia (posicion final) y nonecesariamente corresponde a la parte mas baja de los rieles (el piso).

No confundir el radio del eje de rotacion r con el radio del cuerpo R.


Sea un cuerpo rıgido de masa M y de momento de inercia I con respecto a su eje de revolucion,que descansa sobre dos rieles paralelos inclinados como se indica en la 16.1. Si el cuerpo, partiendodel reposo, rueda bajando sin resbalar, una distancia vertical h, se tiene:

Mgh =1

2Mv2 +

1

2Iω2 (17.1)

donde v es la velocidad lineal del centro de masa en la parte final de su recorrido, ω es la velocidadangular alrededor del centro de masa en la parte final de su recorrido. Como v = rω, siendo r el radiodel eje de rotacion, se tiene:

Mgh =1

2Mv2 +

1

2I(v

r

)2

(17.2)

De otro lado, como el movimiento de traslacion del centro de masa es un movimiento uniformementeacelerado, se tiene que:

v = at (17.3)

s =1

2at2 (17.4)

siendo s distancia recorrida por el centro de masa en el tiempo t. Despejando a de (17.4) y reempla-zando en (17.3), se tiene:

v =2s

t(17.5)

17.5 Procedimiento

① Midan los radios R (cilindro), r (de giro) y pesen M .

② Para una misma inclinacion de los rieles, suelten el objeto desde el mismo punto cinco (5) vecesy midan el tiempo de bajada del cuerpo, la distancia s recorrida y la altura h.

③ Repitan el experimento con otras seis inclinaciones.

17-3

17.6 Analisis

Reporten las medidas de r, R en la tabla 17.1.

Calculen R [(1.17)], desviacion estandar [(1.19)], CV [(1.20)], IC [(1.24)] y error porcentual[(1.26)] con una probabilidad del 90% (t0,90), utilizando la tabla 1.3, y M en la tabla 17.2.

Igual al ıtem anterior pero para r (tabla 15.3).

Completen las tablas 17.5–17.8 para cada altura hi.

Hagan un grafico de h en funcion de v2 y compare con la ec. (17.2). Determinen la pendiente,¿cual es el significado fısico?

Determinen I por consideraciones geometricas.

Comparen los resultados obtenidos y diga cual de las formas de calcular I creen que sea masconfiable. ¿Por que?


17.7 Datos

M ( ) ola ola ola olar ( )

Tabla 17.1:

R ( ) sx ( ) CV ( ) IC ( ) ǫ ( )

Tabla 17.2:

r ( ) sx ( ) CV ( ) IC ( ) ǫ ( )

Tabla 17.3:

h ( ) s ( ) t ( ) v ( ) v2 ( )

Tabla 17.4:

h ( ) s ( ) t ( ) v ( ) v2 ( )

Tabla 17.5:

h ( ) s ( ) t ( ) v ( ) v2 ( )

Tabla 17.6:

h ( ) s ( ) t ( ) v ( ) v2 ( )

Tabla 17.7:

h ( ) s ( ) t ( ) v ( ) v2 ( )

Tabla 17.8:

APENDICE A

Manejo cronometro programable (Aslab 1)

La fig. A.1 ilustra, de manera esquematica, la parte frontal del cronometro Aslab 1, que se usa enel capıtulo 7. El cronometro se alimenta con un voltaje continuo (V dc) proveniente de un adaptadorde pared, que se conecta en su lado izquierdo. En su extremo superior hay 4 entradas, utilice la queesta a la derecha para conectar el fotodetector. El cronometro programable se enciende con la tecla➀.

? 0 # d

➆ ➇ ➈ d

➃ ➄ ➅ b

➀ ➁ ➂ a

1 2 3OFF ← →

↓Fotodetector

→

Vdc

Figura A.1: Esquema frontal del Science First.

Enciendalo y en la pantalla aparecera un despliegue como el que se muestra en la A.1, indicando quela tecla ➀ (OFF), ahora, es para apagar el cronometro y las teclas ➁ y ➂ (← →) son para retrocedero avanzar respectivamente.

Pulse la tecla ➂ para ingresar al Menu Principal, el cual tiene 5 opciones, que podra revisarpulsando consecutivamente las teclas ➁ y ➂ o ← →:Opc. 1: Experiments: Para escoger el experimento que se va a controlar (Picket fence 2 ). Opc. 2: #decimals: Para escoger el numero de decimales a utilizar (4).

A-1

A-2

Opc. 3: # memories: Para escoger el numero de memorias a usar en los registros de tiempo (10).Opc. 4: Tranfer data: Para transferir los datos registrados a una computadora (no se requiere).Opc. 5: Memory clear: Para limpiar el contenido de las memorias y dejarla en cero.Use la tecla a para escoger cualquier opcion. Comience escogiendo la opcion 3 (# memories). Usela tecla ➂ para incrementar el numero a 10 y use la tecla a para aceptar la entrada y regresar almenu principal.

Ahora escoja la opcion 2: decimals. Podra observar que esta en 4 por defecto. No requiere cambio,pulse la tecla ➀ para regresar al Menu Principal.

Ahora escoja la Opcion 5: Memory clear; acepte la opcion con la tecla a.Ahora escoja la Opcion 1: Experiments. Use la tecla 3 para avanzar en los diferentes experimentos

hasta llegar a Picket Fence 2; acepte la opcion con la tecla a. Ahora, en la pantalla aparece:Indicando que el cronometro esta preparado para tomar los datos. El asterisco (⋆) indica que el

fotodetector esta siendo alimentadoIndicando que el cronometro esta preparado para tomar los datos, ⋆) indica que el fotodetector

esta siendo alimentadoAhora pulse la tecla a y, a continuacion, en la pantalla aparece:⋆ se ha reemplazado por m, indicando que el cronometro esta ahora en la fase de medicion.Con esto, el cronometro esta listo para registrar los intervalos de tiempo.Verifique su funcionamiento cortando el haz, con el dedo ındice, once veces. Aunque no parezca, el

cronometro esta midiendo. Solo despues de haber cortado el haz las once veces el cronometro terminasu funcion y en la pantalla aparece:

Mostrando el contenido de la memoria 10, o sea el decimo intervalo de tiempo registrado. Pararevisar los demas intervalos pulse, consecutivamente, las teclas ➁ y ➂ para retroceder o avanzar.

Pulse la tecla ➀ para regresar al Menu Principal. Elija la Opcion 5: Memory clear para limpiartodos los registros. Ahora elija, de nuevo, el experimento Picket Fence 2 y repita el proceso hastadejarlo listo para registrar los intervalos de tiempo del experimento.

Modelo de informeN. Apellido, Nombre Apellido1 y N. Apellido2

Abstract—Descripcion con brevedad de los objetivos deltrabajo (fenomeno, propiedad estudiada), el metodo (sus-tancia, sistema fısico y tecnicas experimentales) empleadoy los resultados obtenidos. Sirve para que el lector decida siquiere leerlo completo. Generalmente se usa la voz pasiva

I. Introduccion

EN esta parte se proporciona la informacion necesariapara situar el problema; es decir, se menciona el por

que se penso que valıa la pena resolverlo, cuales son lasideas vigentes al respecto, los modelos aplicables al re-specto y las consecuencias de su aplicacion. Tambien debedecirse cual es el resultado que se busca y las tecnicas ometodos experimentales que se utilizan en el experimento.Aquı se plantea la motivacion y los objetivos del trabajoası como el contenido de cada aparte del mismo

II. Discusion teorica

Se amplıan y desarrollan las ideas presentadas en la in-troduccion respecto a formas y modelos aplicables paraafrontar o resolver el problema por la comunidad cientıfica.En forma resumida se definen las cantidades que vana ser medidas ası como el “modelo” de las expresionesmatematicas a emplear y/o corroborar. Tenga en cuenta,si utiliza expresiones obtenidas de textos, artıculos o guıasde laboratorio hacer la correspondiente referencias bibli-ograficas. Si la deduccion de las expresiones se hace ex-tensa, realice un apendice y traiga solo las expresiones deinteres.

Las ecuaciones estan centradas y se enumeran entreparentesis (· · · ), p. ej.,. . . la relacion entre el periodo T

y la masa m+mef esta dada por:

T = 2π

√

m + mef

κ(1)

Si hay alguna cita bibliografica, esta se debe referenciarde la forma [1] la cual se encuentra en la ultima pagina

III. Procedimiento experimental y resultados

En la descripcion del experimento se haran saber laspartes que se consideren importantes del procedimiento ex-perimental, con el fin de ayudar a otros investigadores areproducirlo si lo consideran conveniente; se proporcionantambien los datos necesarios para evaluar la precision enlas medidas y la concordancia del experimento con las su-posiciones del modelo o hipotesis de trabajo. Sintetice elprocedimiento experimental haciendo una descripcion delequipo, y los pasos realizados.

Las tablas deben tener sus rotulos, p. ej., Los rotulosde la tabla I deben “hablar” de la tabla, no basta escribirTabla I.

N. Apellido: Universidad del Valle, Cali, AA 25360. Phone: ,e-mail:

TABLE I

Datos de la temperatura T y la resistencia R.

T R

10 12,320 12,930 13,640 13,850 14,560 15,170 15,280 15,9

De igual forma, las figuras deben rotularse: la figura (ofig.) 1 es la grafica de la tabla I.

Fig. 1. Grafica de los datos de la tabla I

IV. Analisis de resultados y discusion

En esta parte debe consignar la interpretacion delos resultados obtenidos, su relacion con lo esperadoteoricamente y los errores as como la justificacion de lasdiscrepancias que surjan (si compara con otros autoresdebe citarlos para llevarlos a las referencias). Para lo an-terior son utiles las preguntas que se formulan dentro de laguıa.

V. Conclusiones

En las conclusiones se debe contestar la preguntaplanteada inicialmente o establecer por que no se puederesponder. Tambin se anadir cualquier comentario que sejuzgue conveniente. Las expresiones los objetivos dellaboratorios se cumplieron no es una conclusion. Enlo posible use prrafos separados y sin enumerar.

References

[1] Alonso Marcelo y Finn Edward J., “Fısica I: Mecanica”, Addison-Wesley, USA (1967).

[2] Sears F. W. y Zemansky M. W., “Fısica Universitaria, NovenaEdicion”, Addison-Wesley Iberoamericana, Mexico (1998).

Documents

Guias Experimentacion Fisica I