Hệ Phương Trình - Phần 1

Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam

H Vn Din Trng THPT Thi Lo Hng Nguyn Ngh An Trang 1

H PHNG TRNH (Phn I)

1.

2 2

2 2 2

2

x y y x xy

x y

2.

2 2

ln 1 ln 1

12 20 0

x y x y

x xy y

3.

3 3 2

2 2

2 22 2

6 3 9 2 0

1 1log log 2 0

4 5 2 4 3

x y y x y

x x

y y y y

4.

2 1

2 1

2 2 3 1

2 2 3 1

y

x

x x x

y y y

5.

2 22

2

3 2

1

1

3log 2 6 2log 2 1

y x xey

x y x y

6.

2 8 16y x

x yx y

x y x y

7.

3

2 2

1 5

4 4 12

x y x y

x xy y xy

8.

2 3 4 6

2

2 2

2 1 1

x y y x x

x y x

9.

23

23

1 6 1

1 6 1

x y y

y x x

10.

4 2

2 2

698

81

3 4 4 0

x y

x y xy x y

11.

3

3

2 3 1

2 3

x y

x y

12.

2 1 2 2 1

3 2

1 4 .5 1 2

4 1 ln 2 0

x y x y x y

y x y x

13. 7 2 5

2 2

x y x y

x y x y

14. 2 2

3 2 16

2 4 33

xy x y

x y x y

15.

2 22 22 5 4 6 2 01

2 32

x y x y x y

x yx y

16.

2 2

2 2

3 4 1

3 2 9 8 3

x y x y

x y x y

17. 8

5

x x x y y y

x y

18.

2 2 5

5 22

2

x xy y

y x

x y xy

19.

2 2

2 2

2 3

10

y x y x

x x y y

20.

6 5

6 2

9

x x y

x y x

x y xy

21.

3 3

4 2

5 5

1

x y y x

x y

22.

24

4

32 3

32 6 24

x x y

x x y

23. 2 2

2

1 1 3 4 1

1

x y x y x x

xy x x

24.

2 2

2 2 2

6

1 5

y xy x

x y x



25. 2

2 2

5 4 4

5 4 16 8 16 0

y x x

y x xy x y

26.

2

2

1 4

1 2

x y x y y

x x y y

27. 3 3

2 2

2 9 2 3

3

x y x y xy

x xy y

28.

2 2

2

34 4 7

12 3

xy y xx y

xx y

29.

52 3 4

42

53 2

42

yy x

xy x

30.

2

3 2

2

23

2

2 9

2

2 9

xyx x y

x x

xyy y x

y y

31.

3

3

3 4

2 6 2

y x x

x y y

32. 2

2 1

2

log 3log 2

x yx y e e

x y

33.

3 2

3 2

1 2

1 2

x x x y

y y y x

34.

2 2

2

1 1 1

350

121

x x y y

yy

x

35.

2

4 2

3 9

4 2 3 48 48 155 0

x y

y x y y x

36.

2 2

5 3

1

125 125 6 15 0

x y

y y

37.

3 2

3 2

2000 0

500 0

x xy y

y yx x

38.

2 2 2

2 3

2 0

2 4 3 0

x y x y

x x y

39.

2 2

1 1 2

1 21 2 1 2

21 2 1 2

9

xyx y

x x y y

40.

3

3 2 2 2 1 0

2 2 2 1 1

x x y y

x y

41.

3 3

2 2

9

2 4 0

x y

x y x y

42.

3 3

2 2

8 2

3 3 1

x x y y

x y

43.

2 2

2

2 3 4 9

7 6 2 9

x y xy x y

y x x

44.

4 3 2 2

3 2

1

1

x x y x y

x y x xy

45.

4 2 2

2 2

4 6 9 0

2 22 0

x x y y

x y x y

46.

3 3 3

2 2

8 27 18

4 6

x y y

x y x y

47.

2 2

2 2

3

1 1 4

x y xy

x y

48. 2 1

1

x y x y

x y

e e x

e x y



49.

1 2

2

1 4 .5 1 3

13 1 2

x y x y x y

x y y yx

50. 2 6 2

2 3 2

xy x y

y

x x y x y

51.

2

2 2

12 2

2 2

x xy

y y x y

52.

2 2

2 2

12

12

y x y

x y x y

53. 2

5 3

x y x y y

x y

54.

2 2

2 2

1 4

2 7 2

x y xy y

y x y x y

55.

2 2

3 3

2 1

2 2

y x

x y y x

56.

2

2

2

2

x x y

y y x

57. 2

2 2

4 1 3 5 2 0

4 2 3 4 7

x x y y

x y x

58.

2 2

2

2 3 4 9

7 6 2 9

x y xy x y

y x x

59.

3 3 2

4 4

8 4 1

2 8 2 0

x y xy

x y x y

60.

2 2

3 3 3

6

1 19

y xy x

x y x

61.

32 2 1 2 1 2 3 2

4 2 2 4 6

x x y y

x y

62.

2 2

2

1

21

x y xy y

yx y

x

63.

4 3 3 2 2

2 2

9 9

7

x x y y y x x y x

x y x

64.

3 3

2 2

35

2 3 4 9

x y

x y x y

65.

2 2

1 22

1 1 3 3

y x

x yx

y x x

66.

121 2

3

121 6

3

xy x

yy x

67.

2 2

2 2

33

30

x yx

x y

y xy

x y

68.

4 2 4

3 3

4 2 5

2 2

xy x

x y

x x

y x

69.

11 10 22 12

4 4 236 3 2 2 . 5 2 8

x xy y y

y x y x x x

70.

2 2

2

1

5

574 3 3 1

25

x y

x x y x

71.

24

4

2 2 6 2 2

2 2 6 2 2 8 2

x x y

x x y

72.

2 2 2

2 3

2 0

2 4 3 0

x y x y

x x y



73.

4 4

3 3 2 2

240

2 3 4 4 8

x y

x y x y x y

74.

3 3 2

2

3 4 2

1 2 1

y y x x x

x y y

75.

3 2

3 2

2 2 1 1

4 1 ln 2 0

x x y x y

y x y x

76.

3 2 2

2 33

2 2

2 2 1 14 2

x y x y xy

x y y x

77.

2 21 1 1

1 1 2

x y y x

x y

78.

4 3 2 2

2

2 2 9

2 6 6

x x y x y x

x xy x

79. 2 2

2 2

72 1 2 1

2

7 6 14 0

xyx y

x y xy x y

80. 2

cos cos

3 18 0

x y x y

x y y

81.

2 2

4 2 2 2 4 2 2 2

18

208

x y y xy x xy

x y y x y x x y

82.

1

2 1

xy y y

xy y y

83.

3 2

3 2

4 3 7

6 7

x xy y

y x y

84.

3 2

2 2

3 49

8 8 17

x xy

x xy y x y

85.

3 2

2 2

2 12 0

8 12

x xy y

y x

86.

3 2

2

3 6 0

3

y y x x y

x xy

87.

3 3 2

4 4

1

4 4

x y xy

x y x y

88.

3 3 3

2 2

27 125 9

45 75 6

x y y

x y x y

89.

4 4

3 2 2

2

2 2

x y

x x x y

90.

2

4 2 2 2

2 0

4 3 0

x xy x y

x x y x y

91.

2 2 2 2

2 3

2 5 3 4 5 3

x y x xy yx y

x xy x xy x

92.

2 2

2

21

xyx y

x y

x y x y

93.

2

5 3 2 4 3

15 4 0

xy y xy y

y xyx

94.

2 3 2

4 2

5

4

51 2

4

x y x y xy xy

x y xy x

95.

23 1

8 9

y x y

x y x y

96.

2 2 3

22 2

5 4 3 2 0

2

x y xy y x y

xy x y x y

97.

9 2

4 2 4 2 41

x y x y

x x y y y

98. 2

2

2 2

4 3 1 3 2

x y x x y y y

x y x y

99.

2 2

2

2 1 3

1 2 3 0

x x y y y

x x y x y

100. 2 2 2

7 1

10 1

xy x y

x y y



CC BI GII Bi 1. Ta c:

2 2

2 22 2

22 2 2

2 22

x y

x y

x yy x xy

y x xy x yx y

2 2 2 2

3 3 3 3

2 2

2 2 2 2x y x y

x y x y

y x x y

Xt hm s 32tf t t trn . Ta c: 2' 2 .ln2 3 0tf t t t nn f t l hm

ng bin trn . Vy 3 32 2x yx y x y .

Nh vy h tng ng vi: 2 2

1

12

x y x y

x yx y

Vy h c cc nghim l ; 1;1 , 1; 1x y Bi 2: iu kin , 1x y . Ta c:

2 22 10 0ln 1 ln 1

ln 1 ln 112 20 0

x y x yx y x y

x y x yx xy y

2 10

ln 1 ln 1

x y x y

x x y y

D thy rng ,x y cng du. Xt hm s ln 1f t t t trn 1; .

o hm: 1

' 11 1

tf t

t t

. Ta c: ' 0 0f t t . Vy hm s ng bin trn

1;0 v nghch bin trn 0; . +) Nu ,x y cng m (tc l cng thuc 1;0 ) th theo tnh cht ca hm s f t , ta c: x y . Thay vo h gii c nghim 0x y (loi).

+) Nu ,x y cng dng, tng t ta cng loi nt.

+) 0x y tho mn h.

Vy nghim ca h l ; 0;0x y

Bi 3: Nhn xt: Chc chn khng th s dng php th hay nh gi. Nhn thy phng trnh

th nht ca h cha cc hm ring bit vi ,x y (cha 3 ,x x v 3 2, ,y y y m khng cha xy )

nn ta c th a phng trnh th nht v cng mt hm s ri s dng o hm gii.

iu kin 1;1 , 1;3x y . T suy ra: 1 2;0x v 3 2;0y .

Khai thc phng trnh th nht ca h:

2 23 3 2 3 3 26 3 9 2 0 3 2 6 9 2 1 3x y y x y x x y y y x x y y

2 2

1 3 1 3 3 3x x y y .

Xt hm s 2 3 23 3f t t t t t trn 2;0 . o hm: 2' 3 6 3 2f t t t t t . Ta c: ' 0 0 2f t t t . Vy trn on 2;0 , hm s f t n iu. Vy, phng trnh th nht ca h tng ng vi 1 3 2x y y x .



Thay vo phng trnh th hai, ta c:

2 2

2 22 2

1 1log log 2 0

4 5 2 4 3

x x

y y y y

2 2

22 2

1 1log 2

4 5 2 4 3

x x

y y y y

2 2

22 2

1 1log 2

2 4 2 5 2 4 2 2 3

x x

x x x x

2 2 2 2

22 2 2 2

1 1 1 11

log 2 *41 2 1 1 2 1

x x x x

x x x x

t 21 0;1x t t . Lc ny * tr thnh:

2

3 2 3 2 3 2

2

1 1 14 1 2 2 4 3 2 2 0

42 2

t tt t t t t t t t t

t t

2 1 73 2 2 0 03

t t t t t

(do iu kin nn loi nghim 1 7

3t

)

+) 21 3

0 1 01 1

x yt x

x y

+) 21 7 1 2 7

3 9t x

1 2 7 1 2 72

3 3

1 2 7 1 2 72

3 3

x y

x y

Nghim: 1 2 7 1 2 7 1 2 7 1 2 7

, 1;3 , 1;1 , ; 2 , ;23 3 3 3

x y

Bi 4: Phn tch: H cha n l hm hu t v hm s m, chng c tnh cht khc nhau nn gn nh chc chn s phi s dng o hm. V cng lu lun, nhng h cha hm c tnh cht khc nhau th gn nh 90% s dng o hm hoc phng php nh gi.

Cng cho v theo v v gi mt phng trnh ca h ta c h tng ng:

2 21 1

2 1

3 1 1 1 3 1 1 1 (*)

2 2 3 1

x y

y

x x y y

x x x

Xt hm s 23 1tf t t t trn .

Hm s c o hm: 2

2 2

1' 3 .ln3 1 3 .ln3

1 1

t tt t tf tt t

.



Ta c: 2 2 21 1 0t t t t t t t . T y suy ra ' 0f t t . Vy, f t ng bin trn . Ta thy phng trnh (*) c dng 1 1f x f y . T suy ra 1 1x y x y . Lc ny h s tng ng vi:

22 1 ln 1 1 1 1 .ln3 (**)1 1 3 1x

x yx y

x x xx x

Li tip tc xt hm s 2ln 1 ln3g t t t t trn .

Hm s ny c o hm 2

2 2

111

' ln3 ln31 1

t

tg t

t t t

.

D thy 2

1ln3 1

1t

nn ' 0g t t . Nh vy hm s g t nghch bin trn .

Mt khc ta li c 0 0g nn phng trnh (**) 1 0 1x x .


Bi 5: Phng trnh th nht ca h tng ng vi: 2 22 21 1x yx e y e

Xt hm s 1 tf t t e trn 0; .

Hm s c o hm ' 1 0 0;t tf t e e t t . T suy ra f t ng bin trn 0; . Vy phng trnh th nht ca h cho tng

ng vi: 2 2x y x y .

+) Nu x y . Thay vo phng trnh th hai ca h ta c:

13 2 33log 6 1 2log 2 3 log 6 1 6 3 3 3y y y y x . +) Nu x y . Thay vo phng trnh th hai ca h ta c:

3 2 3 23log 3 6 2log 2 2 1 3 1 log 2 2 1 log 1 1y y y y 3 2 3 23log 2 2log 1 3log 2 2log 1 0 *y y y y .

Xt hm s 3 23log 2 2log 1g t t t trn 1; .

Hm s ny c o hm:

3 2'

2 ln3 1 ln 2g t

t t

.

Ta c:

3 2 3 2

ln3 ln 2 2 ln3 2 ln 2t t

m

2 2

2 ln 2 1 ln 2t t

nn ta c:

3 2

2 ln3 1 ln 2t t

, tc l ' 0g t .

Nh vy nn hm s nghch bin trn 1; . Ta li c 7 0g . Vy * c nghim 7 7y x .

Vy nghim ca h phng trnh l ; 7;7 , 3 ; 3x y Cch gii khc: Trong trng hp x y , ta t 3 23log 2 2log 1 6x x u .



Lc ny ta c h:

23 2

3

2 3 1 81 2 3 1

9 91 2

u uuu u

u

x

x

.

Ta li thy hm s 1 8

9 9

u u

h u

l hm nghch bin m 1 1h nn 1u l nghim

duy nht ca h 7x y .

Bi 6: iu kin: 0; 0x x y .

i t phng trnh th hai ca h: x y x y x y x y x x (1) Xt hm s 2f t t t trn 0; . ohm: ' 2 1 0f t t nn f t ng bin.

Mt khc (1) c dng f x y f x nn (1) x y x y x x . t 0t x t th 2y t t . Thay vo phng trnh th nht ca h ta c:

222 2 4 3 2

2

816 2 2 8 24 0

t t tt t t t t t t

t

3 32 2 12 0 2 do 2 12 12t t t t t t . Vi 2 4,t x 2y .


Cch gii khc: Ta t t x th phng trnh th nht ca h tng ng vi:

2 2 48

16 2 0 4 4 0ty t yty

t y ty t y t yt y t y

2 224 4 0 4 4 4 0tyt y t y t y t y t yt y

.

Bi 7: iu kin: 1 0x y . Khai thc phng trnh th nht: 31 5 1x y x y

Ta t 3t x y (iu kin: 1t ) th 1 tr thnh: 3 1 5t t .

D thy rng hm s 3 1f t t t ng bin trn 1; (v khi t tng th f t tng). Nh vy phng trnh vi n t trn s c nhiu nht mt nghim. Nhn thy t = 2 l mt nghim ca phng trnh. Vy, ta c: 2 8t x y . Phng trnh th hai ca h tng ng vi:

4 4 12 8 4 8 4 12x x y y x y x y . H cho s tng ng vi h sau:

88

2 2 2 2 2 1 2 1 362 1 2 1 6

x yx y

x y x yx y

8 8 84

4 2 1 81 162 1 2 1 9

x y x y x yx y

xy x y xyx y




Bi 8: iu kin 1y . H cho:

2 3 4 6

2

2 2 (1)

2 1 1 (2)

x y y x x

x y x

Nu 0x th t (1) suy ra 0y , thay vo (2) khng tha mn 0x .

Chia hai v ca (1) cho 3 0x ta c: 3

3

3

22

y yx x

x x (3).

Xt hm s 32f t t t trn c o hm 2' 3 2 0f t t nn hm s ng bin trn .

Mt khc (3) c dng 2y y

f f x x y xx x

. Thay vo (2), iu kin 2x :

2 2 42 2 22 1 1 2 1 1 3 3 3x x x x x x x x y

Vy nghim ca h l ; 3;3x y Bi 9: iu kin , 1x y . H cho tng ng vi:

22 33

2 22 33 3

1 6 11 6 1I

6 1 6 1 11 6 1

x y yx y y

x x x y y yy x x

Xt hm s 2 3 6 1f t t t t trn 1; .

Hm s c o hm:

23

1 1' 2

2 13. 6

f t ttt

.

Ta s chng minh rng

23

12

3. 6

t

t

. Tht vy:

23

23

12 6 . 6 1

3. 6

t t t

t

.

iu ny hin nhin ng do t thuc on 1; . Nh vy, ' 0 1;f t t f t ng bin trn 1; . V : 1 1x y .

23

I1 6 1 2

x y

x x x

Nhm c nghim ca (2) l 2x nn ta dng phng php nhn lin hp:

2 32 4 1 1 6 2 0x x x

2 33

2 22 2 0

1 1 6 2. 6 4

x xx x

x x x

2 33

1 12 2 0

1 1 6 2. 6 4

x xx x x

2 33

2

1 12 0 (3)

1 1 6 2. 6 4

x

xx x x

2x



(D thy phng trnh (3) v nghim do 1

11 1x

v

2 33

1 1

46 2. 6 4x x

)

Vy nghim ca h phng trnh l ; 2;2x y

Bi 10: Xem phng trnh th hai ca h l phng trnh bc hai n x, tham s y :

2 23 4 4 0x y x y y

Phng trnh ny c nghim 2 2 20 3 4 4 4 0 3 10 7 0x y y y y y

27 49

1 13 9

y y (1)

Li xem phng trnh th hai l phng trnh bc hai n y, tham s x :

2 24 3 4 0y x y x x

Phng trnh ny c nghim 2 2 20 4 4 3 4 0 3 4 0y x x x x x

44 256

0 03 81

x x (2)

T (1) v (2) suy ra 4 249 256 697 698

9 81 81 81x y , mu thun vi phng trnh th nht.

T suy ra h cho v nghim

Bi 11: Nhn h s c 2 v 2 nn ta chia hai v ri cng li:

33

33 3

11 2 3 12 3

3 1 32 3 2

yyxx

y y yx x x

Xt hm s 3 3f t t t trn . o hm: 2' 3 3 0f t t t . T suy ra hm

s f t ng bin trn . iu ny cng c ngha l 1

2 yx

.

Thay vo phng trnh 1 ta c: 3 32 3 3 2 0y y y y

2

1 2 0 1 2y y y y .

+) Vi 1

1 1 1y xx

. +) Vi 1 1

2 22

y xx

.

Vy nghim ca h l 1

; 1;1 , ; 22

x y

Bi 12: t 2t x y th phng trnh th nht tr thnh: 14

5 5. 1 2 0 *5

t

t t

.

Xt hm s 14

5 5. 1 25

t

t tf t

trn .

Hm s c o hm: 1 14 4

' 5 .ln5 5.ln . 2 .ln 25 5

t

t tf t

. Do 4

ln 2 0,ln5 0,ln 05

nn ' 0f t t . Mt khc ta li c 1 0f nn * 1 2 1t x y .



Thay vo phng trnh th hai ca h ta c: 3 22 3 ln 1 0y y y y . Tip tc xt hm s 3 22 3 ln 1g t t t t t trn .

Hm s ny c o hm

222 2 2

2 2 2

2 12 1 2 4 2' 3 2 3 3 0

1 1 1

tt t tg t t t t

t t t t t t

vi mi t nn g t nghch bin trn .

Mt khc 1 0g nn suy ra 1y 1

02

yx

.

Vy nghim ca h l ; 0 ; 1x y ( thi hc sinh gii quc gia 1998 1999) Bi 13: iu kin 7 0, 2 0x y x y .

t 7 , 2 , 0a x y b x y a b 2 23 8

5 5a b x y . H tr thnh:

2 2

2 2 2

555

3 8 3 5 82 5 13 025 5 5 5

a ba ba b

b bb a b b bb

5 775

25 77

15 772

2

a b b

ba

(tho mn 0a )

(Ta loi nghim 5 77

2b

do iu kin 0b ).

Ta li c h sau:

2

2

15 77 151 15 777 10 772 2

11 775 77 51 5 77

222 2

x y x

yx y

Vy nghim ca h cho l 11 77

; 10 77;2

x y

Ch : Ngoi cch gii trn th ta cn c mt cch gii kh hay na, p dng c rng ri hn cho nhiu bi ton h phng trnh dng ny cng nh phng trnh:

Ta c: 7 2

7 2 5 * 5 7 2 (**)7 2

x y x yx y x y x y x y x

x y x y

.

Ly (*) tr i (**) ta c 2 5x y x . n y ta th vo phng trnh th hai ri rt x

theo y th li v gii phng trnh ban u.

Bi 14: Bin i h nh sau:

2 22 2

2 2 1 2 213 2 16

2 4 33 1 2 38

xy x y x yxy x y

x y x y x y



2 2

1 2 1 2 21I

1 2 38

x y x y

x y

.

t 1 , 2a x b y th h I tr thnh:

2 22 2

21 2121

38 2 38 2 80 0

ab a b ab a bab a b

a b a b ab a b a b

3 410

2131 3 48

10138 3 4

813 3 4

aa bab a b

ab ba ba b

aba b aa b

ab b

(S d h 10

31

a b

ab

b loi do

2100 4 124a b ab ).

+) Vi 3 4 , 3 4a b th 3 3, 2 3x y .

+) Vi 3 4 , 3 4a b th 3 3 , 3 2x y .

Vy nghim ca h l ; 3 3; 2 3 , 3 3 ; 3 2x y Cch gii khc: Cch 1: Ly phng trnh (1) nhn 2, sau cng vi phng trnh (2) c hng ng thc.

Cch 2: C th rt 16 2

3

yx

y

, thay vo phng trnh th hai gii phng trnh bc 4.

Bi 15: iu kin: 2 0x y . Vi iu kin ny h tng ng vi:

2

2 22 2 2 22 5 4 6 2 0 5 6 02 2

12 3 1

2 322

x y x yx y x y x y

x y x y

x yx yx y

x y

2 22 3 2 3

2 21

2 312 3 2

2

x y x yx y x y

x y x y

x yx y x y

x y

2

2

2

2 3

2 31 114 3 38 6 1 02 42

233

8 6 1 0841 3 3 1 03 3

x y

x yy y yy

y yy x

x yx yxxy y

y xyy

(D thy phng trnh 23 3 1 0x x c 0 , v nghim)



Vy nghim ca h l 3 1 3 1

; ; , ;4 2 8 4

x y

Bi 16: D dng nhn thy n ph:

2 22 2

2 2 2 2

3 4 13 4 1I

3 2 9 8 3 3 3 2 4 3

x x y yx y x y

x y x y x x y y

t 2 23 , 4a x x b y y th h I tr thnh: 1 1

3 2 3 0

a b a

a b b

.

+) 2 23 13

1 3 1 3 1 02

a x x x x x

.

+) 20 4 0 0 4b y y y y .

Vy h c 4 nghim 3 13 3 13

; ;0 , ; 42 2

x y

Bi 17: iu kin , 0x y . t , 0; 0a x b y a b th h cho tr thnh:

2 2

3 3 2 2

2 2 2 22 2 3 2 2 33 3

58 5

85 3 8 4 0

5 5

a ba a b b a b

a a b b a ba b b ab a b aa b

Do 0a nn ta c th chia hai v ca phng trnh th hai cho 3a , ta c: 2 2 2 2

3 2

5 5

32 1 2 03 8 4 0

a b a b

b b bb b b

a a aa a a

2 2 2 25 5 (1)

2 22 1 2

3 3

a b a b

b b bb a b a b a

a a a

+) Nu 2b a . Loi ngay do 0 , 0a b .

+) Nu b a . Lc ny 2 2 0a b , tri vi phng trnh (1) (loi).

+) Nu 2

3b a . Thay vo phng trnh (1) ta c 2 2

55 9 9

9a a x .

Lc ny 5 9 5 4y x .


Bi 18: iu kin: , 0x y . Bin i h v h ng cp bc hai:

2 22 2 2 2

2 2 2 2

55 4 4 4 20

5 22 2 4 5 4 20 25 10 20

2

x xy yx xy y x xy y

y xy x xy x xy y

x y xy

2 2

2 2 2 2

2 16 3 016 29 6 0

5 5

x y x yx xy y

x xy y x xy y



2 2

2 2

33

22 1616 I II

5 5 55 5

8

yy x

x yx y x

y yx xy y

D thy (II) v l. Gii h (I): 2

2 1 1I

2 25 5

x y y y

x xy

Vy nghim ca h l ; 2;1 , 2; 1x y

Bi 19: Nhn xt rng 0x khi v ch khi 0y . Vy h c mt nghim l 0;0 .

Trng hp , 0x y . Nhn cho v theo v nh sau:

2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4

2 22 2 2 2

2 3 20 3 3 17 20 0

2 310 2 3

y x y x y x y x x y x x y y

y x y xx x y y y x y x

2 2

2 22 2 2 2

2 22 2

2 2

4 0I

2 34 3 5 0

3 5 02 3II

2 3

x y

y x y xx y x y

x yy x y x

y x y x

Gii h th nht:

2 2 3

2 2

4 2I

2 3 2

x y y x

y x y x x y

2

3 2

2

3

2 1 1

2 21

2 121

22

x y y y

y y x y xy

x y yx yy

xy y x y

Gii h th hai:

2 2 2 2

32 2 3

55 533 3II

42 3 4 99

x yx y x y

yy x y x y x x

4 4

2 4 4

5 3 5 3 5. .

3 2 3 2 3

4 5 3 125 3 125. .

9 3 2 27 2 27

x y y y

y x x

Vy nghim ca h l 4 4 4 43 125 3 5 3 125 3 5

; 0;0 , 2;1 , 2; 1 , . ; . , . ; .2 27 2 3 2 27 2 3

x y

Bi 20: iu kin 0x x y .

t 6

0x

a ax y

th phng trnh th nht tr thnh:



21 5 12 5 2 22 2

a a a a aa

(tho mn).

+) 6

2 2 2x

a x yx y

. Thay vo phng trnh th hai, ta c:

2 23 2 9 2 3 9 0y y y y , v nghim do 63 0 .

+) 1 6 1

232 2

xa y x

x y

. Thay vo phng trnh th hai ta c:

2 224 23 9 23 24 9 0x x x x , v nghim do ' 63 0 .

Vy h phng trnh cho v nghim

Bi 21: T phng trnh th hai ca h, ta nh gi c , 1;1x y . Ta c:

3 3 2 23 34 2 4 2 4 2

5 0 5 05 5

1 1 1

x y x y x y x y xy x yx x y y

x y x y x y

2 2 2 24 2 4 2

5 0 do , 1;1 5 0

1 1

x y x xy y x y x y x y xy

x y x y

4 2 2 21 5 5 1 5 11 02 2 2

x yx y x yx y

x x x x x

Vy nghim ca h l 5 1 5 1 5 1 5 1

; ; , ;2 2 2 2

x y

Bi 22: iu kin 0 32x . Cng v theo v hai phng trnh ca h cho, ta c: 24 432 32 6 21x x x x y y .

nh gi hai v ca phng trnh ny nh sau:

+) 22VP 6 21 3 12 12 1y y y . Du bng xy ra khi 3y .

+) nh gi v tri bng bt ng thc Cauchy Schwart (Bunhiacpxki) nh sau:

2 2

2 24 4

32 1 1 32 8

VT 12 2

32 1 1 32 2.8 4

x x x x

x x x x

Du bng 2 xy ra 0;32

1632

xx

x x

.

T 1 , 2 VT = VP 12 16, 3x y .


Bi 23: Thay 0x vo h thy khng tho mn 0x .

T phng trnh th hai ca h ta rt: 2 1

1x

yx

(*).

Th vo phng trnh th nht ca h ta c:



2 2 2 22 2 2 21 1 1 2 13 4 1 . . 3 4 1

x x x xx x x x x x x

x x x x

2 2 2 4 2 2 4 21 2 1 3 4 1 2 3 1 3 4 1 2 6 4 0x x x x x x x x x x x

2 2

2 1 2 0 1 2 0 1 2x x x x x x x .

Quay li th vo (*), ta c:

+) Vi 1x th 1 0 1y y . +) Vi 2x th 3 5

12 2

y y

.

Vy nghim ca h l 5

; 1; 1 , 2;2

x y

Bi 24: Thay 0x vo phng trnh th hai thy khng tho mn nn suy ra 0x .

Vi iu kin ny, h tng ng vi:

2

2

22

2

166

1 1 25 5

yy y yx xxx

yy y

x x x

I

t 1

,y

a y bx x

th h I tr thnh:

222

2 223

5 556 2 222 5 5

3 3 4 05 12 0. 62

a aab bba b

a b aa a aa aa

2

2

2

5

2 3

23 73 3 4 0

2 4

ab

a

ba do a a a

Vi 3 , 2a b , thay tr li bc t:

2

123

21

2 3 2 3 1 02

y xyy xx

y x x xx

x

21

112

21 12

y x

x xx

yyx

Vy nghim ca h l 1

; 1;2 , ;12

x y

Bi 25: H cho tng ng vi:

2 2 2 2

2 2 2

5 16 16 5 16 16

5 16 16 8 4 0 2 8 4 0

y x x y x x

y x x y xy y y xy

2 2 2 25 16 16 5 16 16

2 4 2 0 0 2 4

y x x y x x

y y x y y x



2 2

2 40I II

5 4 4 0 2 4 5 16 16

y xy

x x x x x

Gii h I ta c 4

; 4;0 , ;05

x y

.

Gii h 2

2 4 0II

49 0

y x x

yx

.

Vy nghim ca h l 4

; 4;0 , ;0 , 0;45

x y

Bi 26: Ta thy gi tr 0y khng tho mn phng trnh th nht ca h 0y .

Lc ny h cho tng ng vi:

2

2

14

21

xx y

y

yx y

x

.

t 2 1

, 0x

x y a b by

th h tr thnh:

2

4 44 1

1 132 2 4 0 2 1 0

a b a ba b b

aa b b bb b

(tho mn)

Tr li bc t:

2 2

2

2 2

31 1 1 2

12 51 1 3 2 0

x yy x y x x x

xy yx x x x

y

Vy nghim ca h l ; 1;2 , 2;5x y

Bi 27: Dng php th:

3 3 2 2 3 3 2 22 2 2 2

2 9 2 2 9

3 3

x y x y xy x y xy x y x y x xy y

x xy y x xy y

3 3 3 3 3 3

2 2 2 22 3 2 2

2 22 9 8

4 2 3 13 3

x y x yx y x y x y

y y y yx xy y x xy y

1 1

2 2

y y

x x

Vy nghim ca h l ; 2;1 , 2; 1x y Bi 28: Bin i h t n ph:

2 22 2 2 2

2 2

3 33 2 2 7 3 7

1 13 3

x xy y x xy y x y x yx y x y

x y x y x y x yx y x y



t

22

2

1 1; 2 2a x y b x y a a x y

x y x y

. H tr thnh:

2 2

2 22

3 33 13

3 4 6 4 03 3 13

b a b aa b

a b a aa a

3

12 22 TM khng TM 2

21 1 1

32

xa x ya a

b x yb a y

Vy nghim ca h l 3 1

; ;2 2

x y

Bi 29: iu kin , 0x y . t , 2 , 0a x b y a b th h tr thnh:

2 2 2 2

2 22 22 22 2

10 10 4 4 23 4 23

84 8410 2

10 210 2 310333 2 84

848484

b b ab a b b ab a

a ab aaa b ab ab a

2 2 2

22 2 2

10 2 5 1 2 1 2 1 1 6613 . 3 0 5. 132 0

4488 5

b ab a b a b a

a a aa a a a

1 6612

1325

0 1 6611 661

66

b a a

a ab

2

2

1 661 331 661132 8712

331 6611 1 66143562 66

x x

yy

Vy nghim ca h l 331 661 331 661

; ;8712 4356

x y

Bi 30: Cng v theo v hai phng trnh: 2 23 2 23

1 12

2 9 2 9xy x y

x x y y

nh gi hai v ca phng trnh ny:

+)

3 32 23 3

1 1 1 1VT 2 2 2

8 81 8 1 8

xy xy xy

x y

.

+) 22 2VP 2 do 0x y xy x y . M ta li c VT= VP nn du bng cc ng thc trn phi xy ra, tc l:

1 1 01

x yx y

x y

.



Th li, ta thy rng 1;1 l nghim ca h cho.


Bi 31: Bi ton ny chng ta s dng phng php nh gi:

233

33 2

2 3 2 2 1 2 13 4I

2 2 3 22 6 2 2 2 1 2 2

y x x y x xy x x

x y yx y y x y y

+) Nu 2x th t 1 2 0y v t 2 2y , mu thun nn loi. +) Nu 2x th t 1 2 0y v t 2 2y , mu thun nn cng loi nt. +) Nu 2x th thay vo ( I ) tm c 2y .

Vy nghim ca h l ; 2;2x y Lu : Nu s dng php th y t phng trnh th nht xung phng trnh th hai ta c:

8 7 6 5 4 3 22 2 4 10 44 34 76 188 160 51 0x x x x x x x x x . Phng trnh bc 8 kia rt l kh nhai! Dng o hm chng minh n v nghim cng rt kh. Nhng khi dng bin i tng ng n th ta s thu c:

2

4 3 21 2 2 6 16 10 2 02

x x x x .

Phng trnh ny r rng v nghim! Vy l bi ton c gii quyt. Bi 32: T phng trnh th hai ta t iu kin , 0x y .

Phng trnh th nht ca h tng ng vi: x ye x e y 1 .

Xt hm s tf t e t trn 0; . o hm: 0' 1 1 0tf t e e nn hm s ng bin trn 0; . Ta li c 1 c dng f x f y x y . Thay vo phng trnh th hai ca h ta c:

22 22 1 2 2

22

log 1 2log 3log 2 log 3log 2 0

log 2 4

x xx x x x

x x

Vy nghim ca h l ; 2;2 , 4;4x y

Bi 33: Tr v theo v hai phng trnh ca h cho ta c:

3 3 2 2 2 22 2 2 2 2x y x y x y x y x xy y x y x y

2 2 2 2 4 0 0x y x y xy x y x y x y

(do 2 2 22 2 1 12 2 4 2 2 0

2 2x y xy x y x y x y )

Thay x y tr li h ta c:

23 2 3 2 1 51 1 01 2 2 1 0 12

x yx yx y x y

y y yy y y y y y

Vy nghim ca h l 1 5 1 5 1 5 1 5

; 1;1 , ; , ;2 2 2 2

x y

Bi 34: iu kin 2 1x . Phng trnh th nht ca h tng ng vi:



2 2

2 2 2

2

11 . 1 1 1 1

1

y yx x x x y y

y y

(do 2 21y y y nn 2 1 0y y ). Tng t: 2 21 1 2y y x x . Kt hp 1 , 2 ta c h:

2 22 2 2 2

2 22 2 2 2

1 1 2 1 2 1

1 11 1 1 1

x yx x y y y x

x x y yy y x x x x y y

2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1

x y x y x y x y

x x y y x x x x x x x x

0

0

x y x yx y x y

x x y

(loi 0x y do 2 1x ).

Vy x y . Thay vo phng trnh th nht ca h thy tho mn v thay vo phng trnh

th hai ca h ta c 2

350 3

121

yy

y

. D thy rng 0y (v nu 0y th v tri

dng nn n v l). Kt hp vi iu kin cn thc ta c y < 1.

2 22

2 2

22

35 35 353 1

12 12 1211

y yy y y y y

yy

SUY RA

2 2 2

2 2 2 235 35 35 35 1225. 212 12 12 6 144

y y y y y y y y

2 2

2 2 235 1369 37 35 37 35 371 1 1 012 144 12 12 12 12 12

y y y y y y

2 235 49 35 25 5 5 35 3577012 12 12 12 4 3 12

y y y y y y y

.

(T tng trong u phi xc nh rng: khng s gii phng trnh bc 4, n c cch gii m)

Thay li vo phng trnh 1 ta thy ch c cc nghim 5 5

,4 3

y y

tho mn 1 .


; ; , ;4 4 3 3

x y

Cc em c th tm hiu mt cch chi tit nht v phng trnh bc 4 trong cun sch Chinh phc phng trnh, bt phng trnh i s. Ch cn nm c cch gii phng trnh bc 4 phi hp vi mt s k nng s dng my tnh c gii thiu trong cun sch l cc em s hon ton t tin x l c c mt lp bi ton phng trnh v t hay gp! Cch gii khc: C th x l phng trnh (1) bng phng php o hm.

Xt hm s 2 1f t t t trn .

Hm s c o hm 2

2 2 2

1' 1 0

1 1 1

t tt t tf t

t t t

nn f t ng bin trn .

Phng trnh (1) li c dng f x f y x y .



Phng trnh (3) c vit li thnh:

2

1 350

1211

y

y

.

Vi iu kin y < 1, ta c th t 1

cos ;2

t ty

th phng trnh trn tr thnh:

2

1 1 35 1 1 35 350 0 sin cos sin cos 0

cos 12 cos sin 12 121 cost t t t

t t tt

.

n y c th t sin cost t t gii tip.

Bi 35: Nhn thy rng phng trnh th hai ca h c nhm h s ca 2y nn ta c

tng a phng trnh th hai ca h thnh bc hai vi n l 2y .

T phng trnh th nht suy ra: 2 23 9 48 16 144y x y x .

Thay vo phng trnh th hai ca h ta c: 4 2 24 2 3 16 48 11 0y x y x x .

Xem nh y l mt phng trnh bc hai vi n l 2y v tham s l x , ta c:

22 2' 4 2 3 16 48 11 25 0

yx x x nn phng trnh c hai nghim l:

2 2 2 3 5y x hay chnh l 2 1 4y x hoc 2 11 4y x .

+) Nu 2

2 11 44

yy x x

. Th vo phng trnh th nht ta c:

22 4 2

4 21 2 13 9 3 9 2 48 1434 16

y y yy y y y y

2 22 2 21 2 12 1 2 12 1 2 12 0y y y y y y

22

2

2 11 0 1 2 3 3 32 11 0

2 13 0 (VN) 1 2 3 3 3

y y y xy y

y y y x

(tho mn)

+) Nu 2

2 1111 44

yy x x

. Th vo phng trnh th nht ta c:

22 4 2

4 211 22 1213 9 3 9 22 48 234 16

y y yy y y y y

22

2 2 21 2 6 2 6 2 6 1 2 6 2 6 1 2 6 0y y y y y y

2

2

2 6 1 2 6 0 *

2 6 1 2 6 0 **

y y

y y

Gii tng phng trnh:

211 6 2 3 3 26 2 3

4 2*6 2 3 3 2

6 2 32

yy x

y x



211 3 2 2 3 66 3 2

4 2**2 3 6 3 2

6 3 22

yy x

y x

Vy nghim ca h l

; 3 3 ;2 3 1 , 3 3 ; 2 3 1 ,

6 2 3 3 2 6 2 3 3 2; 2 3 6 , ; 2 3 6 ,

2 2

3 2 2 3 6 2 3 3 2 6; 6 3 2 , ; 6 2 3 .

2 2

x y

Bi 36: t 15

5

ty . T phng trnh th nht suy ra

15 151;1 ;

3 3y t

.

Phng trnh th hai ca h tr thnh: 5 3

5 315 15125 125 6 15 0 3 5 2 05 5

t tt t

2 3 2

3 2

11 3 6 4 2 0

3 6 4 2 0 1

tt t t t

t t t

Xt hm s 3 23 6 4 2f t t t t trn on 15 15

;3 3

. Hm s c o hm

22' 9 12 4 3 2 0f t t t x nn hm s ng bin on

15 15;

3 3

.

Suy ra 3 215

3 6 4 2 12 3 15 03

t t t f

, nn 1 v nghim.

Vy 15

15

t y . Thay vo phng trnh th nht ca h ta tm c 10

5x .

Vy cc nghim ca h l 10 15

; ;5 5

x y

Bi 37: Bin i h nh sau:

3 23 2

3 23 2

20002000 0

500 *500 0

x xy yx xy y

y yx xy yx x

+) Nu 0x , thay vo phng trnh th hai ta c 0y , tho mn h.

+) Nu 3 20 0 0x y yx y . Lc ny ta nhn cho hai v ca h nh sau:

3 2 3 2 4 2 2 4 2 2500 2000 4 4x x xy y y yx x x y y x y

4 2 2 4 2 2 2 25 4 0 4 0x x y y x y x y 2 2x y x y x y x y .



Nu x y . Thay vo (*) ta c: 3 3 500 0x x x x , loi.

Nu x y . Thay vo (*) ta c: 3 2 500 0x x x x x , loi nt.

Nu 2x y . Thay vo ta c: 3 3 3 24 1000 1000 0 1000 0y y y y y y y . iu ny khng th xy ra do 20 , 1000 0y y .

Nu 2x y . Thay vo (*) ta c:

3 3 2 24 1000 3 1000 0 3 1000y y y y y y 10 30 20 30

3 3

10 30 20 30

3 3

y x

y x

Vy h c cc nghim l 20 30 10 30 20 30 10 30

; 0;0 , ; , ;3 3 3 3

x y

Bi 38: Thay 0y vo h thy khng tha mn nn h tng ng vi:

2 42 2

2 2 2

2 3 2 3

1 1 1 12 1

2 2 1 1 2 1 1 2

yxy x y xyy y y y

x x y x y

T (1) 4 41 0 1 1 1y y y .

T (2) 3 31 0 1 1y y y .

V vy y ch c th bng 1 1x .

Vy nghim ca h l ; 1; 1x y

Bi 39: iu kin 1

, 0;2

x y

. Vi iu kin ny suy ra

10

4xy .

Khai thc phng trnh th nht ca h. p dng bt ng thc Cauchy Schwart ta c:

2

2 2

2 2 2 22 2

1 1 1 1 1 11 1 2

1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 x y x yx y

*

n y ta s chng minh: 2 2

1 1 42 1

1 21 2 1 2 xyx y

(vi

10

4xy ).

Tht vy

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 21 1 2 1 1 2 1 2

1 21 2 1 2

x yxy x y x y

xyx y

2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 1 2 2 4x y xy x y xy y x x y

2 22 2 2 22 2 2 0 2 0x y xy xy xy x y x y xy x y

2

1 2 0x y xy , iu ny ng do 2 1 1

0 ; 1 2 1 2. 04 2

x y xy .

Vy, 1 ng. Kt hp vi * suy ra

2

2 2

1 1 4

1 21 2 1 2 xyx y

.



Ly cn hai v ta c :2 2

1 1 2

1 21 2 1 2 xyx y

.

Trong bi ny, du bng xy ra, tc l 1

0;2

x y x . Nh vy h cho tr thnh:

2 2 1

1 2 1 2 2 1 2 1 29 9 81

x y x y x y

x x y y x x x x

273

1 9 7312 0 9

81 364

x yx yx y

x x xx

(tha mn)

Vy nghim ca h l 9 73 9 73 9 73 9 73

, ; , ;36 36 36 36

x y

Bi 40: iu kin 1

1 ,2

x y . Vit h li nh sau:

3 3

1 2 2 1 2 1 2 13 2 2 2 1 0

2 2 2 1 1 2 2 2 1 1

x x y yx x y y

x y x y

Ta t 2 , 2 1 , 0a x b y a b th h trn tr thnh:

2 2 2 23 333 3

1 1 1 0

2 12 1 2 1

a a b b a b a b aba a b b

a ba b a b

2 2

233

0 do 1 0

1 1 02 12 1

a ba b a b ab a b

a a aa aa b

1 51

2

a b

a a

(do 0a nn ta loi nghim

1 5

2a

)

+) Nu 1 2 2 1 1 1; 1a b x y x y .

+) Nu 5 1 5 1 1 5 5 5

2 2 1 ,2 2 2 4

a b x y x y

.


; 1;1 , ;2 4

x y

Lu : C th dng phng php hm s kt lun 2 2 1x y .

Bi 41: Bin i h nh sau: 3 3 3 3 3 2 3 2

2 2 2 2 2 2

9 1 8 3 3 1 6 12 8

2 4 0 6 12 3 3 2 4 0

x y x y x x x y y y

x y x y y y x x x y x y



3 3

2 222 2

1 2 31 2

3 9 6 03 2 3 4 02 4 0

x y x yx y

y yy y y yx y x y

3 2 1

1 2 1 2

x y x x

y y y y

Vy nghim ca h l ; 2; 1 , 1; 2x y

Bi 42: Chuyn s 3 t v tri ca phng trnh th hai sang v phi:

23 2 23 3 3

2 2 2 22 2 2 2

8 2 8 08 2 8 .33

3 3 1 3 2 3 2 3 2

xyxx x y y x xx x y y x x y

x y x y x y x y

222

2

2 222 22 2

2 2

0

03 240 3 2 ( ) 3 24 0

3 24 03 23 24 0

3 6 03 23 2

x

xxy loai x xy y

x xy xx yx xy

y xx yx y

22

2

22

24 22 2 2 4

3 243 24 3 24

3 2426 426 1728 03 6 0 3 3 24 6 0

xxy xyx y

x xx

x xx x x xx

2

2 2

4 78 4 783 243 3 13 13

1 196 78 789

13 13 13

xx xy

x xx

y yx x y y

Vy nghim ca h l 4 78 78 4 78 78

; 3;1 , 3; 1 , ; , ;13 13 13 13

x y

Cch gii khc: Cch 1: a phng trnh th nht v dng 3 3 2 8x y y x v a phng

trnh th hai v 2 23 6x y , sau nhn hai v a v phng trnh ng cp bc 3.

Cch 2: Bnh phng h:

2 2 2 2

3 3 3 3 2 2 2 28 2 8 2 8 2x x y y x x y y x x y y .

Vic cn li ca chng ta l rt 2y t phng trnh th hai v th vo phng trnh trn.

Bi 43: Rt y t phng trnh th hai v nhn hai v ca phng trnh th nht cho 7 ta c:

22

2 2 2 22 2

7 2 9 67 2 9 6

2 3 2 9 6 28 9 2 9 67 .2 7 .3 28 7 .9

y x xy x x

x x x x x x xy x y y x y



22

24 3 2

7 2 9 67 2 9 6

2 2 1 2 9 27 04 24 31 99 54 0

y x xy x x

x x x xx x x x

22 9 6 12 9 3 33

7 216 4

11 9 3 33372

72 4

x xxy x

x

yy yx x x

Vy h c 4 nghim 16 1 1 9 3 33

; 2; , ; , ;37 2 7 4

x y

Bi 44: Bin i v t n ph gii h:

24 3 2 2 3 2 34 3 2 2

3 2 3 2 3 2

2 1 11

1 1 1

x x y x y x y x xy x yx x y x y

x y x xy x y x xy x y x xy

t 2 3,a x xy b x y th h ny tr thnh:

2

2 2

1 1 0 11

1 01 11 0

b a b a a aa b

b ba ab a a a

+) Nu

2 2

3 4

0 1 10, 1

1 11 1

x xy xy x x xa b

y yx y x

+) Nu

2 2

3

1 11, 0

0 00

x xy x xya b

x yx y

n y d thy h ny v nghim.


Bi 45: Bin i h v t n ph:

4 2 24 2 2

2 2 2 2

4 4 6 9 44 6 9 0

2 22 0 2 3 4 2 4 3 8 0

x x y yx x y y

x y x y x y x y

t 2 2 , 3 2a x b y a th h tr thnh:

22 2

2

8 42 44

4 4 8 0 8 4 8 20 0

ab a ba b aba b

ab a b ab a b a b a b

8 4 2 100 482 10

ab a b a b a b

ab aba b a b

Loi 10, 48a b ab do 2

4 100 4.48 0a b ab .

Vi 2 0 2

0 2 0

a b a a

ab b b



Quay tr li bc t:

2

2

2 0 2

3 2 5

22 2

33 0

x x

y y

xx

yy

Vy nghim ca h l 2;5 , 2;3x y Cch gii khc: T phng trnh th hai rt 2x theo y ri th vo phng trnh th nht c phng trnh bc 4 c nghim p. Bi 46: Nhn thy 0y khng tho mn h 0y .

Lc ny h cho tng ng vi:

3 33 3

22

22

27 278 18 8 18

3 94 64 . 2 . 31

x xy y

x xx x

y yy y

n y t 3

2 ,a x by

th h li tr thnh:

33 3 3 3 2 2

3 32 2 3 3 3 3

318 3 3 27 27

183 18 18

a ba b a b a b ab a b

a ba b ab a b a b

3 2 3 2

3 5 3 53 3 2 2

27 27 9 18 3 1 0 3 5 3 5

2 2

a ab a b a

a a a a a ab b

+) Vi 3 5 3 5 3 5 3 9 3 5

; ,2 2 2 4 2

aa b x y

b

.

+) Vi 3 5 3 5 3 5 9 3 5

; ,2 2 4 2

a b x y

.

Vy nghim ca h l 3 5 9 3 5 3 5 9 3 5

; ; , ;4 2 4 2

x y

Bi 47: Bin i tng ng h nh sau:

2 22 2

2 2 2 22 2

33

2 2 1 1 161 1 4

xy x yx y xy

x y x yx y

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

3 3

5 2 1 16 2 4 11

xy x y xy x y

xy x y x y x y xy xy

(iu kin 11xy )

2 22 2 2 2

22 2 2 2

33 335

4 4 11 33 26 105 03

xy x yxy x y xy x y

x y xy xy xy xyx y xy



2 2

3

6

xy

x y

(tho mn)

2 2

35

3

35 263 0

3 3

xy

x y

(loi)

Vy 2 2

2 4 2 2

2

33 3

3 3 3

96 3 36 6 9 0 3

yxy y y x xx

x xx y y yx x x x

x

Nghim ca h l ; 3; 3 , 3; 3x y Bi 48: Gii h bng phng php hm s:

2 1 1 2 1 1

11 1

x y x y x y x y

x yx y x y

e e x e x y x e x y

x y ee x y e x y

Cng v theo v ca hai phng trnh vi nhau ta c: x y x ye x y e x y * .

Xt hm s tf t e t trn . Hm s c o hm ' 1 0tf t e nn f t ng bin trn . Mt khc * c dng f x y f x y nn 0x y x y y .

Thay y = 0 vo hai phng trnh ca h ta c: 1 1 0x xe x e x (**).

Kho st hm s 1xg x e x trn . o hm ' 1xg x e .

' 0 1 0xg x e x . y chnh l im cc tiu ca hm s. Lp bng bin thin, thy rng 0g x x . Du bng xy ra khi v ch khi 0x , tc l (**) 0x .


Bi 49: iu kin 1

, 0y xx

. t t x y th phng trnh th nht ca h tr thnh:

1 2 1 241 4 .5 1 3 5 5. 3 1 0 15

t

t t t t t

.

Xt hm s 1 24

5 5. 3 1 05

t

t tf t

trn .

Hm s c o hm 1 24 4

' 5 .ln5 5. .ln 3 .ln3 05 5

t

t tf t t

(d thy iu ny

do 1 24

5 .ln5 0, ln 0, 3 .ln3 05

t t ).

Mt khc ta c 0 0f nn 1 0 0t x y x y .

Th y x vo phng trnh th hai ca h ta c: 21

3 1 2x x x xx

.

D thy rng 0x khng tho mn nn ta c th chia hai v ca phng trnh ny cho x:



1 1 1 1 1 13 2 3 2 0 1 2 0x x x x x x

x x x x x x

2

2

1 11 1 51

1 02

1 4 1 01 4 2 52

x xx x xx x

x xx xxxx

Nghim 1 5 1 5 1 5 1 5; ; , ; , 2 5;2 5 , 2 5;2 52 2 2 2

x y

Bi 50: Vi iu kin 2 , 0x y y th phng trnh th nht ca h tng ng vi: 2 22 6 2 ( 2 ) 2 6 0y y x y x y x y y x y y

Xem y l phng trnh bc hai vi n l 2x y . Ta c: 2 2 224 25y y y nn phng

trnh ny c hai nghim l 2 3x y y v 2 2x y y (y l phng trnh ng bc).

+) Nu 2

02 3

9 2

yx y y

x y y

Thay vo phng trnh th hai ca h ta c:

2 2 2 29 2 3 9 2 3 2 9 5 9 5 2 0y y y y y y y y y y 29 5 1y y (loi) 29 5 2y y (tha mn) 29 5 4 0y y

1y (loi) 4

9y (tha mn). Vi

4 8

9 3y x .

+) Nu 2

02 2

4 2

yx y y

x y y

Thay vo phng trnh th hai ca h ta c:

2 2 2 24 2 2 4 2 3 2 4 4 5 2y y y y y y y y y 22 4 5 2y y y (do 0y ) 2

14 7 2 0

4y y y (loi) 2y (tha mn).

Vi 2 12y x .

Vy nghim ca h l 8 4

; ; , 12; 23 9

x y

Bi 51: iu kin y khc 0.

H cho tng ng vi:

2

2

12 2

1 22

x xy

xy y

t 1

0a ay

th h trn tr thnh:



2 222 22

2 2 0 1 02 2

2 2 2 22 2

x a x a x a x ax x a

a x a x x ax x a

2

2 2

(I)2 2 1

1 1(II)

2 2 1 02 1 2 1 2

x a x a

a a

x a x a

a aa a

1 1(I)

1 1

a a

x x

1 3 1 3

2 2(II)

1 3 1 3

2 2

a a

x x

+) Vi 1a th 1y . +) Vi 1a th 1y .

+) Vi 1 3

2a

th 1 3y . +) Vi

1 3

2a

th 1 3y .


; 1;1 , 1; 1 , ;1 3 , ;1 32 2

x y

Bi 52: iu kin 2 2x y .

t 2 2 , 0, 0a x y b x y a b th 2 2 2a x y x y x y .

Suy ra 2 2a a

x yx y b

.

Ta li c 21 1

2 2

ay x y x y b

b

.

Lc ny h tr thnh:

22 2

2 2

1 1212 242

144 24 24 121212

a b ab a b a a bb

a a a a ab ab a

2

12 3 4

9 824 168 288 0

b a a a

b ba a

(tho mn).

+) Nu 2 2 2

913 59

9 499

x ya xx y ax y

b yx yx y

+) Nu 2 2 24 2 54 16

8 8 38

a x y xx y

b x y yx y



Vy nghim ca h l ; 5;4 , 5;3x y Bi 53: iu kin 0, 0, 0x y x y y . Thay 0y vo h thy v l 0y .

Chia hai v ca phng trnh th nht ca h cho 0y ta c: 1 1 2x x

y y .

t 1, 1 0x x

a b a by y

, ta c h sau: 2 2

32 2

12

2

aa b

a bb

Thay tr li bc t ta tm c 5 5

4 4

x yx

y .

Thay vo phng trnh th hai ca h: 5 4 5 4

5 3 . 14 5 4 5

yy y x .

Vy nghim ca h l 4

; 1;5

x y

Bi 54: Thay 0y vo phng trnh th nht ca h ta c 2 1 0x , v l nn 0y .

Chia cc v ca h cho 0y ta c:

2

22

14

2 27

xx y

y y

xx y

y y

(1)

n y ta t 2 1

,x

a b x yy

th h (1) tr thnh:

22 244 4 3 5

1 92 4 7 02 7 2 15 0

a ba b a b b b

a ab bb a b b

+) Vi

2

2 2

13 31 1 21

3 2 51 3 2 03

xy x y xa x x

yb y yx x x x

x y

.

+) Vi

2

2 2

15 59 9

5 1 9 5 9 46 05

xy x y xa

yb x x x x

x y

(v nghim)

Vy nghim ca h l ; 1;2 , 2;5x y Bi 55: Thay 0y vo phng trnh th nht thy ngay n khng tho mn 0y .

Phng trnh th hai ca h tng ng vi:

3 3 3 3 2 2 3 2 2 32 1. 2 2 2 2 2 2 3 0x y y x x y y x y x x x y xy y 3 2 2

2

32 2 5 0 1 5 0 1

x x x x x x xx y

y y y y y yy

.

Thay x y tr li h ta c:

1x .




Bi 56: Cng cho v theo v hai phng trnh ca h: 2 22 2x x x y y y (1)

Xt hm s 2 2f t t t t trn 0 ; . o hm 1

' 2 2 02

f t tt

nn f t

ng bin trn 0; . Phng trnh (1) c dng f x f y x y . Thay x y tr li h ta c phng trnh

2 32 2 1 0 1 1 0x x x x x x x x x x 1 5

1 02

x x x

(loi 1 5

02

x

, v n r rng v l).

3 5

0 12

x x x

.


; 0;0 , 1;1 , ;2 2

x y

Bi 57: a phng trnh th nht ca h v 22 4 1 5 2 6 2x x y y (1). Xt hm s 2 1f t t t trn . Hm s c o hm 2' 3 1 0f t t t nn hm

s ng bin trn . Phng trnh (1) c dng 2 5 2f x f y nn ta c:

22

02 0

2 5 2 5 44 5 2

2

xx

x y xx y y

Th vo phng trnh th hai ca h ta c:

22

2 5 44 2 3 4 72

xx x

(2).

Nhn thy 3

0,4

x x khng l nghim ca phng trnh (2).

Xt hm s 2

22 5 44 2 3 4

2

xg x x x

trn

30;

4

. o hm:

2

25 4 4 4' 8 2. . 4 4 4 3 02 3 4 3 4

xg x x x x x

x x

vi mi

30;

4x

Suy ra hm s g x nghch bin trn 3

0;4

. Ta li c 1

02

g

nn (2) c nghim 1

2x .

Vi 1

2x th 2y (tha mn).

Vy nghim ca h l 1

; ;22

x y

( thi i hc khi A nm 2010)

Bi 58: Rt y t phng trnh th hai 22 9 6

7

x xy

v th vo phng trnh th nht:



2 2 22 22 9 6 2 9 6 2 9 62 . 3 . 4 9.

7 7 7

x x x x x xx x x

4 3 24 24 31 99 54 0x x x x 22 2 1 2 9 27 0x x x x .

Phng trnh ny c 4 nghim nh sau:

+) 16

27

x y

. +) 1 1

2 7x y

.

+) 9 297

34

x y

. +) 9 297

34

x y

.

Vy h c cc nghim l 16 1 1 9 297

; 2; , ; , ;37 2 7 4

x y

Bi 59: D dng thy y l mt h cha phng trnh ng cp.

Nu 0y , thay vo h thy khng tho mn nn suy ra 0y . Tng t, ta c 0x .

Th phng trnh th nht vo phng trnh th hai ta c:

4 4 3 3 2 3 2 2 32 8 2 8 4 0 12 8 0x y x y x y xy xy x y yx 6 2 0 6 2 0 6 2xy x y x y x y x y x y x y .

+) Nu 6x y , thay vo phng trnh th nht ca h: 33 3

1 6200 1

200 200y y x .

+) Nu 2x y , thay vo phng trnh th nht ca h: 31

8 1 12

y y x .

Vy nghim ca h l 3 3

1 6 1; 1 ; , ;

2 200 200x y

Bi 60: Nu 0x , thay vo phng trnh th hai thy khng tho mn 0x .

Thc hin php chia a h v dng:

2

2

3

3

6

119

y y

x x

yx

. t 1

0z zx th h li tr thnh:

33 3 2 22 2

3 33 3 3 33 3

13 16 1

1 1919 1919

y zz y z y zyyz y z y z

y yz y z yz y

2

1 3 2

2 33 3 18 0

z y y y

z zy y

+) Vi 1

22

z x

. +) Vi 1

33

z x .

Vy nghim ca h l 1 1

; ;3 , ; 22 3

x y

Bi 61: iu kin 2 1 0, 2x y . a phng trnh th nht v dng sau:

2

2 1 2 2 1 1 2 2 2 1x x y y (1).



Xt hm s 22 1f t t t trn 0; . Hm s c o hm 2' 6 1 0f t t nn f t

ng bin trn 0; . Mt khc (1) c dng 2 1 2f x f y nn n tng ng vi 22 1 2 4 4 3x y y x x . Thay vo phng trnh th hai ta c:

24 2 8 8 14 6x x x (2).

Dng my tnh nhm ngay c nghim 1

2x . n y c hai cch gii quyt: dng o hm

(v thy n ng bin) hoc nhn lin hp (p dng cch ny i vi bi ton ny v n cho kt qu nhanh hn m khng cn l lun qu phc tp nh o hm).

2

2

2

4 2 8 8 62 4 2 2 8 8 10 4 0 0

4 2 2 8 8 10 4

x x xx x x

x x x

2

1 2 3 14 2 0 4 2 0 6

24 2 2 8 8 10 4

xx x x y

x x x

.

(D thy vi 1

2x

th

2

1 2 32 3 0 0

4 2 2 8 8 10 4

xx

x x x

).

Vy h c mt nghim 1

; ;62

x y

Bi 62: Nu 0y th thay vo phng trnh th nht : 2 1 0x , v l 0y .

D dng nhn thy n ph trong bi ton:

2

2 2

2

2

111

221

1

xx yx y xy y

yy

x y yx yx

x

t 2 1

, 0x

a x y b by

th h tr thnh:

2

1 11 1

(VN)1 11 . 2 12 1 2 1 0

a b a ba b a b

b b ba b b bb b

Vy, h cho v nghim

Bi 63: Phng trnh th nht ca h tng ng vi:

4 3 3 2 27 7 7 7 9.7 0x x y y x x y y x

3 2 3 2 2 27 9 0x x x y y xy x y x y x (th s 2 27 x y x )

22 27 9 0x x y x xy y xy x y x x y x y

2

7 9 0x x y x y x y x y

16 2 0 0 8x x y x y x y x x y x y y x . Loi ngay 0x , x y v x y v khi v tri ca phng trnh th hai s bng 0 nn

khng tho mn. Vy ta c 8y x .

Thay vo phng trnh th hai ta c:



3 3

2 2 3 1 3 8. 364 7 89 3 3

x x x x x y x .

Vy nghim ca h l 3 33 8. 3

; ;3 3

x y

Bi 64: Bin i t hai phng trnh ca h nh sau:

3 3 2 2 3 2 3 23 2 3 35 3 4 9 6 12 8 9 27 27x y x y x y x x x y y y

3 3

2 3 2 3 5x y x y x y .

V vy h cho tng ng vi:

2 22 2

55

2 10 25 3 4 5 9 02 3 4 9 0

x yx y

y y y y yx y x y

2

5 2 3

3 25 25 30 0

x y y y

x xy y

.

Vy nghim ca h l ; 3; 2 , 2; 3x y Bi 65: iu kin: 0, 0x y .

Phng trnh th nht 2 0

2

x yx y x y

x y y x

+) Nu y x , thay vo phng trnh th hai: 2 21 1 3 3x x x . Nhn thy v tri khng dng, cn v phi th dng nn phng trnh ny v nghim. +) Nu 2y x , thay vo phng trnh th hai:

2 2 22 1 1 3 3 2 3 1 2x x x x x x

2 2 2 4 3 22 3 2 3

1 4 4 3 3 4 4 4 3 3 4 3 3 0

x x

x x x x x x x x

Dng my tnh nhm nghim c 3x nn ta nhm nh sau:

4 3 2 2 34 4 3 4 4 3 3 0 4 4 3 3 0x x x x x x x x x

33 TM

4 3 3 0 1

x

x x

By gi ta gii phng trnh (1). Dng my tnh gii phng trnh bc 3, ta thy rng c hai

nghim phc v mt nghim 3

0,453222

nn phng trnh ny s khng c nghim thuc

3;

2

. V vy min gi tr ca hm s cha x s khng c gi tr bng 0 nn dng

phng php hm s chng minh phng trnh v nghim:



Xt hm s 34 3 3f x x x trn 3

D ;2

. o hm: 2' 12 3 0f x x nn

f x ng bin trn D 33

4 3 3 2 3 02

x x f

nn (1) v nghim.

Vy 3 2 3x y .

Nh vy nghim ca h l ; 3;2 3x y

Cch gii khc: Khi bin i n 2y x , ta a phng trnh th hai v: 22

12 3

xx

x

m hm s 2 1f x x ng bin, 2

2 3

xg x

x

nghch bin vi x dng nn phng

trnh (1) c nhiu nht mt nghim. V nghim l x = 3 .

Bi 66: iu kin: , 0; 3 0x y y x . Bin i h nh sau:

12 21

3

12 61

3

y x x

y x y

Cng hai v ta c: 1 3

1x y (1). Tr v theo v ta c:

1 3 12

3y xx y

(2)

Nhn v theo v ca (1) vi (2) ta c: 1 9 12 9 12

3 3

y x

x y y x xy y x

2

2 26 27 0 6. 27 0 3 (TM) 9y y y y

y xy xx x x x

(loi) (do x, y > 0)

Vi 3y x , thay vo 1 ta c: 1 3

1 1 33

xx x

4 2 3 12 6 3x y .

Vy nghim ca h l ; 4 2 3;12 6 3x y ( thi hc sinh gii Quc gia 2007 2008 )

Cch gii khc: ng dng s phc: t 3 , , 0a x b y a b th h tr thnh

2 2 2 2

2 22 2

12 121 2 3 2 3 1

12126 21 6

aa a

a b a b

bbb

a ba b

Nhn phng trnh (2) vi i (n v o s phc), sau cng vi phng trnh (1) ta c:

2 2

122 3 6

a bia bi i

a b

.

t z a bi z a bi v 2 2.z z a b , t phng trnh trn tr thnh:



212. 122 3 6 2 3 6 2 3 6 12 0.

zz i z i z i z

zz z .

Ta c: 2

2 3 6 4.12 24 24 3.i i . Mt cn bc hai ca l 6 2 3i nn phng

trnh c hai nghim l

12

2 3 6 6 2 3

2

i iz

hay chnh l:

1 3 3 3 3z i (tha mn) v 2 3 3 3 3z i (khng tha mn 0a ) 2

2

4 2 33 3 3

12 6 3

ax

a b

y b

Cch gii ny rt l v kh th v, th nhng so vi cch trn th dng nh cch ny vn cha pht huy c hiu qu lm nhanh!

Bi 67: iu kin: ,x y khng ng thi bng 0. H cho:

2 2

2 2

33 1

30 2

x yx

x y

y xy

x y

+) Nu 0x , thay vo (1) ta c 1y . Thay 1y vo (2) thy tho mn.

+) Nu 0x . Chia lm hai trng hp:

(+) Nu y = 0. Thay vo (2) ta c 2

30

x

x

, r rng iu ny v l.

(+) Nu 0y . Thc hin cc php nhn:

Nhn (1) vi y : 2

2 2

33

xy yxy y

x y

(3). Nhn (2) vi x :

2

2 2

30

xy xxy

x y

(4)

Cng (3) vi (4) c mt kt qu rt p: 2 2

2 2

3 3 3 32 3 2 3 3

2

x y yxy y xy y x

x y y

n y chng ta s phi chu kh mt cht i gii phng trnh bc 4. Thay vo (2):

2

2

2

2

9 9

3 3 9 920 0

2 23 3

2

yy

y yyy y y y

y yyy

y

.

Nhn hai v vi 4 0y ta c:

2 4 2 4 2 2 29

3 3 4 4 18 18 0 4 5 9 0 kTM 14

y y y y y y y y

3 31 0 (kTM)

2

1 3

yy x

y

y x

Vy h c hai nghim l ; 0;1 , 3; 1x y

Bi 68: Phng trnh th hai ca h tng ng vi: 3 32 2x yx y (1)



Xt hm s 32tf t t trn c o hm 2' 2 .ln2 3 0tf t t nn f t ng bin. Ta li c 1 f x f y x y .

Thay y x vo phng trnh th nht ta c: 24 2 44 2 5x xx x (2).

Tip tc s dng o hm. Xt hm s 24 2 44 2x xg x x x trn .

o hm: 2 23 2 4 2 2 4' 4 4 2 1 .2 .ln 2 2 1 2 2 2 2 .ln 2x x x xg x x x x x x .

Ta c: ' 0 1g x x (do 22 2 42 2 2 2 .ln2 0x xx x ) m 1 5g nn (2) ch c 1

nghim 1x .

Vy nghim ca h l ; 1;1x y Bi 69: Nu 0y th t phng trnh th nht suy ra 0x , thay vo phng trnh th hai thy

khng tho mn nn suy ra 0y .

Chia 2 v ca phng trnh th nht cho 11 0y : 11

11x x y yy y

(1).

Xt hm s 11f t t t trn c o hm 10' 11 1 0f t t nn ( )f t ng bin trn .

Mt khc (1) 2 0x x

f f y y x yy y

. Thay vo phng trnh th hai ta c:

2 2 2 23 3213 8

6 13 8 2 . 5 2 8 6 2. 5 2 8 0x x x x x x x x xx x

(2)

Xt hm s 23213 8

6 2. 5 2 8f x x x xx x

trn 0; .

o hm: 2

2 3 2 32 3

13 16 1' 2. . 15 4 8 . 5 2 8 0 0;

3f x x x x x x x

x x

nn

hm f x nghch bin trn 0; .

Mt khc ta li c 2 0f nn (2) 2x (tho mn) 2y .

Vy nghim ca h l ; 2; 2x y Bi 70: Nhn xt: h cha y cc hng t 2 2, , , ,x y xy y x nn ta ngh ngay n hng ng

thc 2

ax by c . By gi ta nhn h s vo hai phng trnh mt cch thch hp a v

hng ng thc ny. S dng phng php h s bt nh ta nhn cc h s nh sau:

2 2

2

25 25 5

200 150 114 50 3 1

x y

x x y x

2 2225 25 150 114 5 150 50x y x xy y (cng hai phng trnh li vi nhau)

2 2 215 5 2.15 .5 2.15 .5 2.5 .5 5 144x y x x y y



2 2

73

15 5 5 12 515 5 5 12

15 5 5 12 173

5

y xx y

x yx y

y x

+) Nu 7

35

y x , thay vo phng trnh th nht ca h:

2

2 2

11 2

7 1 42 44 25 253 10 0

2 15 5 5 25

5 5

x y

x x x x

x y

+) Nu 17

35

y x

, thay vo phng trnh th nht ca h:

2

2 217 1 102 2843 10 05 5 5 25

x x x x

, phng trnh ny v nghim

Nghim ca h l 11 2 2 1

; ; , ;25 25 5 5

x y

( thi chn hc sinh gii Quc gia tnh Ngh An 2010 2011) Cch gii khc v lu : Phng php h s bt nh vi h phng trnh hai n bc hai nh th ny chng ta s trnh by Bi 258 ca tp H PHNG TRNH (Phn III). Ta cng

phng trnh th hai vi K ln phng trnh th hai th tm c K = 1

2 v K = 4 .

Bi gii trn ta s dng K = 1

2.

Vi K = 4 th ta cng hai phng trnh nh sau:

22

2 257 14100 25 3

3 3 1 42

7

75 15 5x x y xx x

yy

y

y

.

By gi ta th tr li vo phng trnh th nht ca h:

22 4 3 2

2

2

100 25 37 1 15625 6250 12525 4100 2440

75 1 5 75 75

y y y y y yy

y y

2

2

25 2 5 1 125 85 1220

75 1

y y y y

y

.

n y th mi vic tr nn n gin hn rt nhiu!

Bi 71: iu kin 0 6x .

Tng t Bi 22, ta cng hai v ca h li ta c: 24 42 2 6 2 2 6 2 2 8 3 2x x x x y y .

nh gi hai v ca phng trnh ny:

+) 2

VP 2 6 3 2 6 3 2y .

+) nh gi v phi:



Nhn xt rng v phi bng 6 3 2 2x , v vy dng im ri trong bt ng thc

Cauchy, ta c:

22.

2

xx

4 6 102. 6

2 2

x xx

4 4

4

1 1 2 2 2 62 . 2.2.2. .

42 4 22.2

x xx x

4 44

2 1 6 4 4 4 182 6 . 6 .4.4.4 .

44.4.4 2 4 2

x xx x

2 10 8 18VT 6 3 2 VP

2 2 4 2 4 2

x x x x

2

2

22 0

26 4

x

xy

yx

Vy nghim ca h l ; 2; 2x y Bi 72: Nhn thy 0y khng th tho mn h 0y .

T phng trnh th nht ca h: 2 2 22 0y x x y . Xem y l phng trnh bc hai vi n

x th phng trnh ny c nghim 4 2' 1 0 1 1;1y y y (1).

T phng trnh th hai ca h, ta suy ra: 3 3' 4 2 3 0 1 1y y y (2).

T (1) v (2) suy ra 1y . Thay tr li h ta c:

2

2

2 1 01

2 4 2 0

x xx

x x

.


Bi 73: T h, ta nhn thy c 4 3 2, , ,x x x x v 4 3 2, , ,y y y y nn ta s tm cch a h v dng:

4 4

x a y b . Khi khai trin hng ng thc 4 4 3 2 2 3 44 6 4a b a a b a b ab b ,

thy rng h ny c iu kin nhm c hng ng thc bc 4:

4 4 4 4

3 2 3 2 3 2 3 2

240 240

3 4 2 12 32 8 24 32 16 96 256

x y x y

x x x y y y x x x y y y

4 3 2 4 3 28 24 32 16 96 256 240x x x x y y y y

4 44 3 2 4 3 28 24 32 16 16 96 256 256 2 4x x x x y y y y x y

2 4 2 4x y x y 2 6x y x y

+) Nu 2x y , thay vo phng trnh th nht ca h ta c:

4 4 3 2 22 240 8 24 32 224 0 2 5 14 0 2 4y y y y y y y y y x +) Nu 6x y , thay vo phng trnh th nht ca h ta c:

4 4 2 3 3 26 240 1296 864 216 24 240 9 36 44 0y y y y y y y y

22 7 22 0 2 4y y y y x . Vy nghim ca h l ; 4;2 , 4; 2x y ( thi hc sinh gii Quc gia 2010 2011)



Bi 74: iu kin 1 1, 0 2x y .

Phng trnh th nht ca h tng ng vi: 22 1 1 1 1y y x x (1).

Xt hm s 2 1f t t t trn . Hm s c o hm 2' 3 1 0f t t t nn f t ng bin trn . Mt khc (1) c dng 1 1f y f x y x . Thay vo phng trnh th hai ca h ta c:

2 21 1 2 1 2 2 1y y y y y y y (iu kin 0 2y )

22 2 1 0y y y y . t 2 22 2 2 2a y y a y y ( 2a )

Phng trnh lc ny tr thnh: 2

22 1 0 2 0 0 kTM 2 TM2

aa a a a a

Vi 2 2 2 22 2 2 2 2 2 1 2 1 0 1 0a y y a y y y y y x

Vy nghim ca h l ; 0;1x y ( thi chn hc sinh gii tnh Ngh An 2010 2011)

Bi 75: Bin i phng trnh th nht ca h xut hin nhn t chung:

3 2 2 22 2 1 1 2 2 2 1 1 0x x y x y x x y x y

2 22 2 1 0 2 1 0 do 2 0 2 1x x y x y x x y . Thay vo phng trnh th hai ca h ta c: 3 22 3 ln 1 0y y y y . Tng t Bi 12, ta gii tm c 1 0y x .


Bi 76: iu kin 2 2 1 0x y .

Nhn lt qua ta thy ngay phng trnh th nht c nhn t chung x y :

3 2 2 2 22 0 2 0 2 0x x y y xy x x y y x y x y x y . +) Nu 2 2 0x y khng tha mn iu kin.

+) Nu x y , thay vo phng trnh th hai ca h ta c:

2 3 2 332 2 1 14 2 2 2 1 2 14x x x x x x x x

3 3

2

22 3 333

2 142 2 1

2 14 2 . 14

x xx x

x x x x

22

22 3 333

6 12 62 2 1

2 14 2 . 14

x xx x

x x x x

2

2

22 3 333

6 2 12 2 1 0

2 14 2 . 14

x xx x

x x x x

22

22 3 333

3 2 12 1 1 0

2 14 2 . 14

x xx x

x x x x



2 2 1 0 1 2x x x .

Nghim ca h l ; 1 2 ;1 2 , 1 2;1 2x y Bi 77: iu kin , 1;1x y .

T nhng iu hin nhin ng sau:

22 2 2 2

2 2

22 2 2 2

1 0 1 2 1

1 1 1

1 0 1 2 1

x y x y x y

x y y x

y x y x y x

.

Vy nn phng trnh th nht ca h tng ng vi:

2

2

1, 0;1

1

x yx y

y x

0 1 1

0 1 1 21 1 2

xx y

y

.

Vy ta li c phng trnh th hai ca h phi tng ng vi 1 1 0

1 2 1

x x

y y

Thay tr li h ta thy tho mn. Vy nghim ca h l ; 0;1x y

Cch gii khc: Cch gii trn dng cho nhng bn kh tinh trong vic nhn nhn bt ng thc. Cch gii sau s mang tnh h thng hn:

t 2 2

2 2

1 sin sincos , cos , 0; (do , 0; )

1 sin sin

x a ax a y b a b a b

y b b

.

H tr thnh:

sin 1cos .sin sin .cos 1 (do , 0;2

1 cos 1 cos 2 1 cos 1 cos 21 cos 1 sin 2 2

a ba b a b a b a b

a b a ba a

Gii phng trnh 2 vi 0;2

a

: 2 sin cos sin .cos 1 0a a a a .

t 21

sin cos 2 sin .cos2

tt a a t a a

, phng trnh trn tr thnh:

221 1 0 2 3 0 1 (TM) 3

2

tt t t t t

(loi).

Vi 2

1 4 41 sin cos 1 sin

34 22

4 4

a k

t a a a k

a k

.

Vi iu kin 0;2

a

th h thng trn ch c mt nghim l 0

2 2a b a

.

Vy cos cos 0, cos cos0 12

x a y b

.



* Nhn thy rng , 1;1x y , ta ngh ngay n vic i bin v hm sin, cos.

Bi 78: Rt xy t phng trnh th hai: 26 6

2

x xxy

. Thay vo phng trnh th nht:

42 2

4 2 4 3 26 6 6 62 . 2 9 12 48 64 02 2

x x x xx x x x x x x

3

4 0 0 4x x x x .

+) Nu 0x , khng tho mn. +) Nu 4x , thay vo h tm c 17

4y .

Vy nghim ca h l 17

; 4;4

x y

( thi i hc Khi B nm 2008 2009 )

Bi 79: Xem phng trnh th hai ca h nh l phng trnh bc hai n x, tham s y :

2 27 6 14 0x y x y y (*).

(*) c nghim 2 2 20 7 4 6 14 0 3 10 7 0x y y y y y 7

13

y .

Tng t xem phng trnh l phng trnh bc hai n y, tham s x :

2 26 7 14 0y x y x x (**).

(**) c nghim 2 2 20 6 4 7 14 0 3 16 20 0y x x x x x 10

23

x .

Vy ta c 7

1;3

y

v

102;

3x

. Phng trnh th nht ca h 1 1 7

2 22

x yx y

.

Xt hm s 1

2f x xx

trn 10

2;3

c o hm 21

' 2 0f xx

nn f x ng bin

trn 10 1 10

2; 2 23 3

f x fx

hay chnh l

7 1 1912

2 30x

x

(1).

Tng t, ta c 1 7

1 23

f y fy

hay chnh l

1 891 2

21y

y

(2).

T (1) v (2) 1 1 7

2 22

x yx y

. Vy nn phng trnh th hai ca h tng ng vi:

; 2;1x y . Thay tr li vo h thy khng tho mn.

Vy h cho v nghim

Bi 80: Phng trnh th nht: cos cos cos cosx y x y x x y y (1).

Xt hm s cosf t t t trn . o hm ' 1 sin 0f t t nn f t ng bin trn .

Mt khc (1) c dng f x f y x y . Thay vo phng trnh th hai ta c:

3 23 18 0 3 3 6 0 3x x x x x x (d thy 2 3 6 0x x ).




Bi 81: Nu 0x th 0y v ngc li nn 0;0 l mt nghim ca h.

Vi 0, 0x y . Thc hin php chia cho xy v 2 2x y ta c:

222 2

2 2

1 11 1 1818

I1 1 1 1

208 212

x yx yx yx y

x y x yx y x y

t 1 1

, 2, 2a x b y a bx y

th h I tr thnh:

22 2 22

1818 18

212 18 56 018 212

b aa b b a

a b a aa a

4 14

14 4

a a

b b

+) Nu 4

14

a

b

2

2

14

4 1 0 2 31 14 1 0 7 4 314

xx x xx

y y yyy

+) Tng t, nu 14 7 4 3

4 2 3

a x

b y

Vy h c 9 nghim l ; 0;0 , 2 3;7 4 3 , 7 4 3;2 3x y Bi 82: iu kin: 0 1; 0 ; 0y xy xy y .

Phng trnh th hai ca h tng ng vi: 1 2 1 1y xy y y y . Kt hp

vi iu kin ta phi c 1y .

Thay vo h ta c: 1

12 1 1 1

xx

x

. Th li thy 1;1 l nghim ca h.


Bi 83: Bin i a h v:

2 2

2 2

4 3 7 (1)

6 7 (2)

x x y y

y y x

T (2) suy ra 0y (do 2 26 0y x ) 7 0 0y x .

a h v dng sau:

2 23 2 3 2 2 3

3 2 3 2 3 2

4 2 7 14 3 7 4 6 3 7 7

6 7 6 7 6 7 3

x y x xy y yx xy y x x y xy y y

y x y y x y y x y

D thy 22 2 24 2 3 0x xy y x x y (do , 0x y )

+) Nu 1 7 1 0 0 1y y x y x y x .



Vi 1, 1x y th ta li c 3 26 1 6 7y x y , tri vi (3), loi.

+) Tng t vi 1y , loi nt.

+) Vi 1y , thay vo phng trnh th nht ca h trn ta c 1x .

Th li, ta thy 1;1 l nghim ca h phng trnh.


Bi 84: Nhn hai v ca phng trnh th hai vi 3 ri cng vi phng trnh th nht ta c:

3 2 2 23 3 24 3 49 24 51x xy x xy y y x

3 2 2 23 51 49 3 3 24 24 0x x x xy y xy y

2 21 2 49 3 1 24 1 0x x x y x y x

2 22 21 2 1 3 24 48 0 1 1 3 4 0x x x y y x x y

1 ; 1;4x x y .

Thy rng (1; 4) l mt nghim ca h nn ta xt trng hp cn li 1x :

Thay 1x tr li h ta c: 2

2

2

1 3 4916 4

1 8 8 17

yy y

y y y

.

Vy h c hai nghim ; 1; 4x y ( thi hc sinh gii Quc gia 2004 2005)

Cch gii khc: t , ,2 2

u v u vu x y v x y x y

, thay vo h ta a v h

phng trnh mi. Sau cng hai v a v hng ng thc bc 3 (s hi phc tp vi nhng bn cha quen bin i phc tp ).

Bi 85: Dng qu quen thuc: mt phng trnh ng cp. Th s 12 phng trnh th nht:

3 2 2 2 3 2 2 32 8 0 2 8 0x xy y x y x x y xy y (1) D thy 0y khng tho mn h 0y . Chia hai v ca (1) cho 3 0y :

3 2 2

22 8 0 2 4 0 2 2

x x x x x x xx y

y y y y y y y

(thy rng

22

2

1 154 0

2 4

x x x

y y y

)

Thay 2x y vo phng trnh th hai ca h ban u:

2 2 21 2

8 4 12 11 2

y xy y y

y x

Vy h c hai nghim l ; 1; 2 , 1;2x y

Bi 86: Li l h cha phng trnh ng cp. Qu quen ri nh .

Nghim ca h l 6 6 6 6

; ; , ;2 2 2 2

x y

Bi 87: Thm mt h cha phng trnh ng cp na.



Nghim ca h l ; 0;1 , 1;0x y

Bi 88: Cch gii phng trnh ny rt quen thuc: Thy 0y khng tho mn h 0y . Vi 0y th h tng ng vi:

3 3

3 33

3

2 2 2

2 22

5 51253 9 3 927. 9

5 5 5 545. 75. 6 3 . 3 . 6 3. 3 . 3.3 . 18

x xxy yy

x xx x x xy y y y y y

2 2 3

3 2

33 333 3

55 5 5 53 33 3. 3 . 3.3 . 27 3 27

125125 125 27 927 9 27 9

xx x x xyy y y y

xx xyy y

3 23

15 5 23 3 3 3 33

552 9 9 027 3 3 9

2

xx x xy y

y yx xx x

Vy nghim ca h l 2 1 5

; ;5 , ;3 3 2

x y

Bi 89: Phn tch: Trong cc phng php gii h ta tng gp, nu ta s dng php th y 4 phng trnh th nht bng x 3 2x 2 + 2x th ta s nhn c mt phng trnh bc 6. Vn c th nhm c mt s nghim ca h ny, th nhng dng s Hocne chia a thc th ( lm gim bc ca phng trnh) c l rng hi phc tp (cha th lm nhng c l s phc

tp). Cn nu ta dng cc php nhn c lng a v dng 4 4

x a y b th s khng

lm c do h s ca 4x v 4y l dng m chng li cng mt v, th nn khi chuyn v

th s khng a c v dng ny. o hm? Nu th th ch dng c phng trnh th

hai. Th nhng vic ny khng thc hin c do bn v phi ch c 2y , m v phi khng th

a v dng ny. Vy ch dng c phng php nh gi. a h v:

2 2 2 24 4

3 2 2 2 2

1 1 1 1 (1)1 1

2 2 1 1 1 1 1 (2)

x x y yx y

x x x y x x x y

+) Nu 2 1y th t (2) suy ra 1x v t (1) suy ra 2 1 0 1 1x x , mu thun.

+) Tng t 2 1y , ta cng nhn c iu mu thun.

+) Nu 2 1 1y y , thay vo h tm c 1x .

Vy nghim ca h l ; 1; 1x y Bi 90: Kh khn khi gii phng trnh ny bi v ta khng s dng c php th. Dng th iu kin c nghim ca phng trnh bc hai cng khng nh gi c. Khng th dng hm

s v cha xy ( phng trnh th nht) v 2x y ( phng trnh th hai). Chng ta cn bin i

kho lo c th t c n ph: +) Nu 0x th 0y .



+) Nu 0x . Ta chia hai v ln lt 2 phng trnh ca h cho 2,x x , ta c:

2 22

2 12 1 0

4 3 0 6 3 0

yyy xx y

xx

y yx y x y

x x

Gii h ny ta c cc nghim:

+)

10 0

2

1 1

2 2

yx x

x x

y y

, v l do 1

2xx

.

+) 2

24 1 23

223 3 2 0

2

y yy x xx

xyx x x

y x

Vy nghim ca h l ; 0;0 , 1;2 , 2;2x y Bi 91: Phn tch: Nhn xt phng trnh th nht ca h cha cn bc hai ca cc hm tm

gi l hm ng cp bc hai (hay hm ng bc) i vi ,x y (hm s ch cha 2 2, ,x y xy m

khng cha h s t do v ,x y ). M cn ca mt hm bc ng cp hai ta coi nh l hm bc

nht. Bn v phi l hm bc nht. Vy hai v ca phng trnh ng bc. V vy ta p dng cch gii phng trnh ng bc. Cha th chia ngay hai v cho x (hay cho y) v khng bit xm hay dng m a vo du cn.V vy ta bnh phng vi iu kin 0x y , ta c:

2 2 2 2 2 2

2 25

2 26 3 6

x y x y x xy yxyx y xy

2 2 2 22 2 10 12

6

x y x xy yx y xy

(1).

Tip tc bnh phng cng c, th trc ht nhng ta nn a v mt n d nhn. D thy

0x khng tho mn h nn chia hai v ca (1) cho 2x ( 2x c th a vo du cn) ta c: 2 22

2

10 121 . 1 1

6

y y y y y

x x x x x

t y

tx , th phng trnh trn tr thnh:

2

2 2 2 2 2 2121 10 1 1 (*) 1 10 24 1 16

t t t t t t t t t t

4 3 2 2 3 420 102 20 1 24 1 2t t t t t t t t

24 3 2 225 4 6

23 4 54 4 23 0 1 23 50 23 0 123

t t t t t t t t t

.

Th li thy ch 1t tho mn phng trnh (*). Vi 1t x y .

Thay vo phng trnh th hai ca h ta c: 2 22 5 3 4 5 3x x x x x . Tip tc dng bin i h qu:



2

2 2 2 4 3 2 4 2 3 22 5 3 4 5 3 2 5 3 16 25 9 40 24 30x x x x x x x x x x x x x

4 3 2 214 45 2 30 9 0 3 2 1 7 5 3 0x x x x x x x x 1 5 109

32 14

x x x

. Th li thy ch 3x h ban u 3y .

Vy nghim ca h l ; 3;3x y Cch gii khc: C th thc hin php nhn lin hp sau vi x khc y :

2 2 2 2

02 2 3 2

x y x y x xy y x y

22 2 22 2

2 2 2 2

3 42 4 0

2 2 3 2

x yx y x xy yx y

x y x y x xy y x y

2 2

2 2 2 20

2 2 3 3

x y x y

x y x y x xy y x y

.

Vi x khc y th hai mu thc trn u dng!

Mt cch khc ngn gn hn nhiu l dng bt ng thc:

2 2

2 2

x y x y v

2 2

3 2

x xy y x y .

Hn na, vic nhn nhn phng trnh ng cp cng kh quan trng tm c li gii nhanh v hay nht. Ta thy:

2 2 2 2 22 5 3 4 5 3 6 . 2 5 3 2 5 3 0x x x x x x x x x x x . y l mt phng trnh ng cp rt d gii! Bi 92: iu kin 0x y . Vi iu kin ny phng trnh th nht ca h tng ng vi:

22 2 2 2 2 22 0x y x y xy x y x y x y x y x y x y

2 2 2 21 1 0 1 0x y x y x y x y x y x y x y 1x y (do 0x y nn

2 2 0x y x y ) (tha mn).


2 21 1 2 0 1 2x x x x x x () Nu 1 1 0x y x . () Nu 2 1x y .


Bi 93: t 1 y

t xyx t

. Lc ny h tr thnh:

2

5 3 2 4 3

5 4 0 *

t y t y

yy t

t



Cng hai v ca h ny li ta c: 2

2 21. 1 3 3 2 0y y t tt

1

+) Nu 1t th 1 tr thnh 2 0 , v l. +) Nu 1t . Xem nh y l phng trnh n y tham s t c bit thc:

2

2 22 19 1 8 . 1 1y t t tt

nn phng trnh c nghim

2

3 3 1

12 1

t ty

t

hay chnh l 22

1

ty

t

hoc

2

1

ty

t

.

(+) Nu 22

1

ty

t

, thay vo * ta c: 24 5 4 0t t , v nghim.

(+) Nu 2

1

ty

t

, thay vo * ta c: 2

11 2

25 4 0

16 54

5 4

t xy y x

t t

t xy y x

Vy nghim ca h l 1 5 16

, 2; , ;2 4 5

x y

( thi th i hc mn ton trng THPT Thi Lo nm hc 2011 2012)

Bi 94: H cho vit li thnh

2 2

22

5

4

5

4

x y xy x y xy

x y xy

t 2 ,u x y v xy th h trn c tr thnh:

2

222

5 10 10

04 255

5 5 344

4 2

u u vu v uv uu u uvu

vu vu vu v v

(*) Nu

2 2 3

3

3

50

0 45 5

5 254 4

16

xx y y xu

v xy xy

(*) Nu

22

2

1 1 1 12 2 2 33 3

1 2 2 3 0 22 2

xu x y y x

yx x xv xy


; 1; , ;2 4 16

x y

Bi 95: u tin tm iu kin xc nh ca h phng trnh: 9x y .



T phng trnh th nht ca h suy ra 3x y x y 9.

Vy nn ta phi c 9x y .

Th 9 9x y x y vo phng trnh th hai ca h ta c: 9 8 0 1y y y .

Nu 1 8y x . Th li thy nghim ny tho mn h ban u.

Vy nghim ca h l ; 8; 1x y Bi 96: Phng trnh th hai ca h tng ng vi:

2 2 2 2 2 22 2 0 1 2 1 0xy x y x y xy x y xy xy 2 2 2 21 2 0 1 2xy x y xy x y .

* Nu 1xy , thay vo phng trnh th nht ta c:

2 2 3 2 2 25 4 3 2 0 5 4 3 2 2 0x y xy y xy x y y x xy y x xy

22 23 6 3 0 3 0 0y x xy y y x y y x y . (+) Thy rng 0y khng tha mn 1xy .

(+) Nu 2 1 1x y xy x x .

Th hai nghim 1;1 , 1; 1 ta thy u tha mn.

* Nu 2 2 2 *x y , ta th vo s 2 phng trnh th nht c:

2 2 3 2 2 3 2 2 35 4 3 0 2 5 4 0x y xy y x y x y y xy x y x

2

2 0 2y x y x x y x y ( xt).

Vi 2x y , thay vo * ta c 210 2 10

5 55 2

2 10 2 10

5 5

y x

y

y x

Vy h c 4 nghim 10 2 10 10 2 10

; 1;1 , 1; 1 , ; , ;5 5 5 5

x y

Bi 97: iu kin x y .

Chuyn h v dng sau:

2

9 2

2 2 41

x y x y

x y x y

n y ta t , 2 , 0a x y b x y a b th h trn tr thnh:

2 22 2 2

99 9

2 18 81 412 41 36 203 0

a ba b a b

b b bb a b b

7

2

b

a

(tha mn)

29

20 0

b

a

(khng tha mn)



Vi

11422 1 3

3 4 77 5 12 7

3

yx yx ya y

yb xx yx

Vy nghim ca h l 1 11

, 5;1 , ;3 3

x y

Bi 98: iu kin 22

, 0, 4 3 03

x y x y .

Ta thy rng kh m khai thc c nhn t chung phng trnh th hai m ch c th phng trnh th nht. Phng trnh th nht tng ng vi:

2 22 2 22

x yx y y y xy x y x y x

x y y

(do 2 0x y y )

1

2 02

x y y x x yx y y

(d thy 1

2 02

y xx y y

).


2 24 3 1 3 2 4 3 3 2 1x x x x x x x x .

n y ta t 1

3 2 , 1 0,3

u x v x u v

th phng trnh trn tr thnh:

2 2

2 2 2 2

0 0 02

2 0 0 22 2

u v u v u vu v u v

u u v u u vu v u v uv

(*) Nu 2 1

03 3

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, khng tha mn 0u v , loi.

(*) Nu

22 2 2

1 00 102

2 4 4 11 6 03 2 4 1

xv xu vx

u v u v x xx x

.

Vy nghim ca h l , 2;2x y

Bi 99: Vit li h di dng ng cp:

2 2

2 2

2 3(I)

3 2

x xy y y x

x xy y x y

thay i cch gii mt cht, ta s gii theo cch sau: TH1: Nu 0x , thay vo h ( I) ta tm c 0y .

TH2: Nu 0x , ta t y t x t , thay vo h ( I) ta c:

2 2

2 2

2 2

2 3 1II 3 1 1 3 1 2 2 *

1 3 1 2

x t t x tt t t t t t

x t t x t

.

(d thy 1

3t khng tha mn h v

222 2 1 1 0t t t nn ta c th nhn cho)

3 2 3 2 3 2* 9 6 2 1 2 3 5 2 7 3 7 3 0t t t t t t t t t

3

1 1 7 3 0 1 17

t t t t t t .



(+) Nu 1t , thay vo h (II) tm c 1 1x y .

(+) Nu 1t , thay vo h (II) tm c 1 1x y .

(+) Nu 3

7t , thay vo h tm c

7 3

43 43x y .

Vy h c 4 nghim l 7 3

, 0;0 , 1;1 , 1; 1 , ;43 43

x y

Bi 100: Thy rng 0x th hai phng trnh ca h mu thun. Do 0x .

Lc ny h tng ng vi:

2 22 2 22

2

7 1 1 77 11 1

7 21 1 2 1 10

10 10

y yxy x yy y

x x x xy y y

y y yy y x x x

x x x xx

2

7 1 0 7 1 07 1 0

1 11613 339 1 0

13 3

xy x y xy x yxy x y

y yy yx y x y

x xx x

2 2

13 3 1, 1; , 3; 1

313 6 1 0 (VN) 3 4 1 0

x y x yx y

y y y y

.

Vy h c hai nghim l 1

, 1; , 3; 13

x y

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Hệ Phương Trình - Phần 1