HPT K2PI

Hà Tĩnh tháng 11 năm 2015

K2pi

.Net

.Vn

LateX by Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Phần I. Đề BàiBài Toán 1 . Giải hệ phương trình sau

x3 + 3x2 + 3x = 2y3 + 6y2 + 6y

x2 + y2 = y√x (x + y) + x

√y (y − x)

Bài Toán 2 . Giải hệ phương trình sau

√y + 2x− 1 +

√1− y = y + 2

x√x =

√y (x− 1) +

√x2 − y


y3 + y

√x4 + y4 = x3 + x

2√x− y +

x3y3

(xy +√x− y)

2 = xy


(x + 1)y2014 = 2√x

2x + 3 = 4√x− y2015


4x3 + y3 + y√

2x− y = 3y2x(x +√

4x2 + 1) (

y + 2√y2 + 1

)= 3xy


xy(x +√x2 + 1

) (y +

√y2 + 1

)= x2 + y2

29y2 + 8y√

y2 − xy + 4xy = x2 + 16y√

3y2 + xy


x3 + 3x2 + 3x = 2y3 + 6y2 + 6y

x2 + y2 = 2(y√

x (x + y) + x√

y (y − x))


√x + y + 1 + (x + y)2 + 2y =

√2x + 2 + 3(x + 1)2 + x2

√2xy + 2x− 3 +

√5x2 + 6x− 3 = x + 2y


x2 + y2 + (xy)2 = 3

x√y2 + 1 + y

√x2 + 1 = 2 (x + y)


(y +√x2 + 1

) (x +

√y2 + 1

)= 1

3y2 + 4√

1 + 3x + 1 = 12x + 12√

1 + y


x(y +

√y2 + 1

)= y (x2 + 1)

(x + 2)(y +

√y2 + 1

)=√x2 + 1


(x +√x2 + 1

) (y +

√y2 + 1

)= 1

3y2 + 4√

1 + 3x + 1 = 12x + 12√

1 + y

c© Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 2

K2pi

.Net

.Vn



(√x +√y)(x + y + 1) = 2x

√y + 1 + 2y

√x− 1 + 2

√y

x√x + y + (y + 1) 4

√x + 3y = xy + 3x− 1


x√

1 + y + y√

1 + x = (x + y)√xy(√

x +√y + 1

) (−√y +

√x + 1

)= 1


(x2 + 1)(y +√

2y + 1)

=√

2x2 + 1(1 + 2

√x + 1

) (−1 +

√2y + 1

)= 2y

√x2 + 1


x2

y2+ 2√x2 + 1 + y2 = 3

x +y√

1 + x2 + x+ y2 = 0


x

y− 1

xy+

y

x=

1

x2+

1

y2− 1

x

x + 1+

y

y + 1=

x2 − xy + y2

xy


21√x + (y − 7x2)

√y = 315

xy + 7 = (x + 1) (y − 7x− 14)


4 (x2 + y2) + 6y 3√

1− x = 3x + 4y + 6

4√

2y − x + 2 + 6√y − 7x + 8 = 3y − 8x + 23


√x + 2y −

√2x− 3y = 1

x2 + x− 8y + 2 = 2(x− 2)√

2x− 3y


x√x + y

√y = 1

2x + 5y =√

(1 + x) (2− 5y)


√

x +1

x + 1− 1 = 3

√1

y3+

2

y2√x + 4√y + 1 =

√y + 4√x + 1


2015x+y(x +√x2 + 1

)+ 2015xy

(y +

√y2 + 1

)= 0

3y2 + 8√x + 2y + 1 + x2 + 4xy = 4 (x + y) + 8

√y + 1


(y − 1)√x− 1 = x2−y

2

x + y + 4√

2x− x2 =√

2y − y2 + 2


K2pi

.Net

.Vn



√x− y + 1 +

√3x + 2y + 6 = 3x + 1

x√x− 2 +

√x + 3y + 1 = (y + 5)

√y + 1


3y√

2 + x + 8√

2 + x = 10y − 3xy + 12

5y3√

2− x− 8 = 6y2 + xy3√

2− x


√x +

1

x + 1− 1 = 3

√1

y3+

2

y2√x + 4√y + 1 =

√y + 4√x + 1


x−√x = y +

√y

(x− y)2 + y + 3 = 2√

4x− 2y


x2 + 6xy + 4y2 + 1 = 2x + 4y + 2

√2xy

2xy + 10√

2x4 + 32y4

x3y + 4xy3= 21


x− y =√y + 3

(x− y)2 + 4 (y + 1) = 24(√

2x− y − 2)


(7x + 5)√x = 12

√2x2 − xy

4y − 5x + 1 = 4√

(x− y) (2x− y)


x− y = 6(1−√xy)

x +6√

2(x6 + y6)

x2 + xy + y2= 3 +

√2(x2 + y2)


(x + y + 3)√x− y + 2y + 4 = 0

(x− y)(x2 + 4) = y2 + 1


(x2 + y2 − 7)(x + y)2 + 2 = 0

(x− 3)(x + y) = 1


x2 + y2 +2xy

x + y= 1

√x + y = x2 − y


6x− 5y + 4√

(x− y) (2x− y) = 11 + 4√

6√y + 1

[2y + 3 + 4

(√x− y +

√2x− y

)]= 0


K2pi

.Net

.Vn



4x2 + 4xy + y2 + 2x + y = 2

8√

1− 2x + y2 − 9 = 0


√

4x− 3 = (2y2 + 11)(17− y) +√y

y(y − 3x + 3) = 15x + 10


(x + 5) (x2 + 5x + 9) = (2y + 1) (3− y)√x + 3 + 3

√30− 2y = 4 (y − 1) +

√2y − 2


y3 = 2(√

2x3 +√

2x− y)

y(y − x− 2) = 3− 3x


xy − 1

1 + xy− 1

1 + y2=

x2

1 + x2

√x− 1

√y − 1

√x2 + x + 1 + (x + 1)

√x2 − x + 1 = 2x2 − x + y


x +√x + y − 2y = y2 + 2

4√

x +√x + y − 1 = 2− 2y − x


4√

2x2 − x3 = 9 + 4y2 − 12y

4√x(2y2 +

√2− x) = 4y4 + x− 2


2x2 +√

2− x +√y − 1− 34 = 2xy + x

2y2 +√

2− x +√y − 1− 34 = −xy + 2y


3x(√x− 3− y

√y) +

√3x− 3y3 +

√x + y − 5 = 3

3y3 − 3y + 8 = 2x


2y − 3x +√y (x− 2) = 4

(√x− 2−√y

)− 6

√y + 2

√y (xy − x + 5) = 2 (y + 2)−

√5x + 6


x2 (y2 + 1 +√x)− (

√x + 1) (y − 2) = y3 − 2y2

y√x2 − x + 1 = x3 − 3x− 3 + 2y


√

3x2 + 6xy + 4y2 + 2y + 1 = 3x + 2y − 1

4√x + y + 2 + 4y

√2(y + 1) = 5y2 + 6x + 3 +

√2(y2 + x)


K2pi

.Net

.Vn



y4 − 2xy2 + 7y2 = −x2 + 7x + 8√

3− x +√

y2 + 1 = x3 + x2 − 4y2 + 3


K2pi

.Net

.Vn


Phần II. Lời Giải Chi TiếtGiải hệ phương trình sau

x3 + 3x2 + 3x = 2y3 + 6y2 + 6y (1)

x2 + y2 = y√x (x + y) + x

√y (y − x) (2)

Bài toán 1

Hướng Dẫn GiảiĐiều kiện x (x + y) ≥ 0 , y (y − x) ≥ 0

Ta cóy√

x (x + y) ≤ x2 + xy + y2

2

x√y (y − x) ≤ x2 − xy + y2

2

⇒ y√

x (x + y) + x√

y (y − x) ≤ x2 + y2 (3)

Khi đó

(2)⇔

{y2 = x2 + xy

x, y ≥ 0⇔

x =−1 +

√5

2y

x =−1−

√5

2y

x, y ≥ 0

⇔

x =−1 +

√5

2y

x, y ≥ 0 x =−1−

√5

2y

x, y ≥ 0

⇔

x =

−1 +√

5

2y

x, y ≥ 0

x = y = 0

Với

x =−1 +

√5

2y

x, y ≥ 0thay lên phương trình còn lại ta được

(−1 +

√5

2y

)3

+ 3

(−1 +

√5

2y

)2

+ 3.−1 +

√5

2y = 2y3 + 6y2 + 6y

⇔(−4 +

√5)y3 −

(3 + 3

√5

2

)y2 +

−15 + 3√

5

2y = 0⇔ y = 0⇒ x = 0

Với x = y = 0 thay lên phương trình trên thỏa mãn.Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) = (0; 0) �

Giải hệ phương trình sau

√y + 2x− 1 +

√1− y = y + 2

x√x =

√y (x− 1) +

√x2 − y

Bài toán 2

Hướng Dẫn GiảiPhương trình thứ hai của hệ ta có:√

y (x− 1) +√x2 − y = x

√x


K2pi

.Net

.Vn


⇔√xy − y −

√x2 − y =

xy − y − (x2 − y)√y (x− 1) +

√x2 − y

=x (y − x)

x√x

=y − x√

x

⇒ 2√xy − y =

y − x√x

+ x√x =

x2 − x + y√x

⇒ 2√

y (x2 − x) = x2 − x + y

⇒ 4y(x2 − x

)=(x2 − x + y

)2⇔(y − x2 + x

)2= 0

⇔ y = x2 − x

Thế vào phương trình thứ nhất của hệ ta có√x2 + x− 1 +

√−x2 + x + 1 = x2 − x + 2

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

x2 − x + 2 =√x2 + x− 1 +

√−x2 + x + 1 ≤ x2 + x− 1 + 1

2+−x2 + x + 1 + 1

2

⇔ (x− 1)2 ≤ 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = 0

Thử lại thấy thõa mãnVậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1; 0) �


y3 + y

√x4 + y4 = x3 + x

2√x− y +

x3y3

(xy +√x− y)

2 = xy

Bài toán 3

Hướng Dẫn GiảiTa thấy xy = 0 không phải là nghiệm của phương trình thứ haiChia cả 2 vế pt 2 cho xy ta được

2√x− y

xy+

1

(1 +

√x− y

xy)2

= 1

Đăt t =

√x− y

xythì phương trình trở thành

2t +1

(1 + t)2= 1⇔ (1− 2t)(1 + t)2 = 1⇔

t = 0

t = −3

2

• Với t = 0⇒ x = y

Thay vào phương trình đầu ta được nghiệm x = y =14√

2(T/M)

• Với t = −3

2⇔ 2√x− y + 3xy = 0

Từ phương trình đầu của hệ ta có được

y4 + y2√

x4 + y4 = xy(x2 + 1) ⇒ xy > 0


K2pi

.Net

.Vn


Từ đó suy ra trường hợp này vô nghiệmVậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = y =

14√

2�


(x + 1)y2014 = 2√x

2x + 3 = 4√x− y2015

Bài toán 4

Hướng Dẫn GiảiĐiều kiện x ≥ 0.Xét phương trình thứ nhất của hệ,

(x + 1)y2014 = 2√x ≤ x + 1⇒ y2014 ≤ 1⇒ y ∈ [−1; 1].

Khi đó 0 = 2x− 4√x + 3 + y2015 ≥ 2x− 4

√x + 3− 1 = 2(

√x− 1)

2 ≥ 0.Do đó x = 1 và y = −1 thõa mãn hệVậy hệ có nghiệm duy nhất (1;−1) �


4x3 + y3 + y√

2x− y = 3y2x(x +√

4x2 + 1) (

y + 2√y2 + 1

)= 3xy

Bài toán 5

Hướng Dẫn GiảiTa có 3xy =

(x +√

4x2 + 1) (

y + 2√

y2 + 1)≥ 0.

Nhận thấy xy = 0 không là nghiệm nên xét hai trường hợp sauNếu x > 0 thì y > 0 và có(

x +√

4x2 + 1)(

y + 2√

y2 + 1)≥ (x + 2x) (y + 2y) = 9xy > 3xy

Suy ra trường hợp này vô nghiệm.Nếu x < 0 thì y < 0 và xét phương trình thứ nhất

−√

2x− y = −3xy +4x3

y+

y2

2+

y2

2≥ −3xy + 3xy +

√2x− y = 0⇒ y = 2x.

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có(x +√

4x2 + 1)(

2x + 2√

4x2 + 1)

= 6x2

⇔(x +√

4x2 + 1)2

= 3x2

⇔ x +√

4x2 + 1 = −√

3x

⇔ x = − 1√2√

3⇒ y = − 2√

2√

3(T/M)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) =

(− 1√

2√

3;− 2√

2√

3

)


K2pi

.Net

.Vn



xy(x +√x2 + 1

) (y +

√y2 + 1

)= x2 + y2

29y2 + 8y√

y2 − xy + 4xy = x2 + 16y√

3y2 + xy

Bài toán 6

Hướng Dẫn GiảiTa có

xy =x2 + y2(

x +√x2 + 1

) (y +

√y2 + 1

) ≥ 0

Nếu x = 0 hoặc y = 0 thì tương ứng từ phương trình thứ nhất ta có y = 0 hoặc x = 0

Đồng thời thấy (x; y) = (0; 0) cũng thỏa mãn phương trình thứ hai.Với xy > 0 ta lần lượt xét hai trường hợp sau• Nếu y > 0 thì với phương trình thứ hai, ta có

29 + 8

√1− x

y+ 4

x

y=

(x

y

)2

+ 16

√3 +

x

y

⇔ 16(√

3 + t− 2)− 8√

1− t + t2 − 4t + 3 = 0 ; Với t =x

y∈ (0; 1]

⇔ 16(t− 1)√3 + t + 2

− 8√

1− t + (t− 1)(t + 3) = 0

⇔√

1− t

[−16√

1− t√3 + t + 2

− 8−√

1− t(t + 3)

]= 0

Do −16√

1− t√3 + t + 2

− 8−√

1− t(t + 3) < 0 ∀t ∈ (0; 1] nên phương trình suy ra t = 1

Khi đó x = y, thay vào phương trình thứ nhất của hệ, ta được

x2(x +√x2 + 1

)2= 2x2

⇔ x +√x2 + 1 =

√2⇔ x =

1

2√

2

• Nếu y < 0 thì với phương trình thứ hai, ta có

29− 8

√1− x

y+ 4

x

y=

(x

y

)2

− 16

√3 +

x

y

Với t =x

y∈ (0; 1] ta xét hàm số f(t) = t2 − 4t− 16

√3 + t + 8

√1− t− 29

Dễ dàng nhận thấy f(t) nghịch biến trên (0; 1] nên f(t) < f(0) < 0 ; ∀t ∈ (0; 1].

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (0; 0) và(

1

2√

2;

1

2√

2

)�


x3 + 3x2 + 3x = 2y3 + 6y2 + 6y

x2 + y2 = 2(y√x (x + y) + x

√y (y − x)

)Bài toán 7

Hướng Dẫn Giải


K2pi

.Net

.Vn


Nếu một trong hai số x = 0 hoặc y = 0 thì từ phương trình thứ nhất nhận số còn lại là 0, nócũng thỏa phương trình còn lại nên (0; 0) là một nghiệm của hệ.Đặt f(t) = t3 + 3t2 + 3t thì phương trình thứ nhất của hệ là f(x) = 2f(y).Do f ′(t) = 3t2 + 6t + 3 = 3(t + 1)2 ≥ 0 nên f đồng biến trên R.Khi đó nếu x > 0 thì 0 = f(0) < f(x) = 2f(y)⇒ f(y) > 0⇒ y > 0.Tương tự nếu x < 0 thì dẫn đến y < 0.Bây giờ ta lần lượt xét các trường hợp sauNếu x < 0 thì y < 0 khi đó phương trình thứ hai

0 < x2 + y2 = 2(y√x(x + y) + x

√y(y − x)

)< 0.

Với x > 0 thì y > 0, đặt y = tx, t > 0 và thay vào phương trình thứ hai của hệ

x2 + t2x2 = 2[tx√

x(x + tx) + x√

tx(tx− x)]

⇔ t√t + 1 +

√t2 − t =

t2 + 1

2, (a)

⇒ t(t2 + 1)

t√t + 1−

√t2 − t

=t2 + 1

2

⇒ t√t + 1−

√t2 − t = 2t , (b)

Cộng hai phương trình (a) và (b) theo vế ta có

2t√t + 1 =

t2 + 4t + 1

2⇔ t2 + 2t

√t + 1 + t + 1 =

3(t2 + 2t + 1)

2

⇔[√

2(t +√t + 1

)]2=[√

3 (t + 1)]2⇔√

2(t +√t + 1

)=√

3 (t + 1)

⇔

[t = 2 +

√6−√

3−√

2

t = 2 +√

6 +√

3 +√

2

Với t = 2 +√

6−√

3−√

2 ta thay y = t1x vào phương trình thứ nhất của hệ ta được

(2t31 − 1)x3 + (6t21 − 3)x2 + (6t1 − 3)x = 0

Để ý thấy các hệ số đều dương nên phương trình không thể có nghiệm dương.Tương tự phương trình cũng vô nghiệm với trường hợp t = 2 +

√6 +√

3 +√

2

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (0; 0). �


√x + y + 1 + (x + y)2 + 2y =

√2x + 2 + 3(x + 1)2 + x2

√2xy + 2x− 3 +

√5x2 + 6x− 3 = x + 2y

Bài toán 8

Hướng Dẫn GiảiTa có phương trình thứ nhất tương đương√

x + y + 1 + (x + y)2 + 2(x + y) =√

2x + 1 + 1 + (2x + 1)2 + 2(2x + 1)


K2pi

.Net

.Vn


Xét hàm f(t) =√t + 1 + t2 + 2t với t ≥ −1

f ′(t) =1

2√t + 1

+ 2t + 2 > 0 ∀t ≥ −1

Vậy hàm đồng biến suy ra x + y = 2x + 1⇔ y = x + 1

Thế vào phương trình thứ hai ta có√

2x2 + 4x− 3 +√

5x2 + 6x− 3 = 3x + 2

Thấy x = −2

3không phải là nghiệm nên điều kiện là x > −2

3.

Phương trình tương đương với

3x2 + 2x√5x2 + 6x− 3−

√2x2 + 4x− 3

= 3x + 2

x =√

5x2 + 6x− 3−√

2x2 + 4x− 3

⇒

{x =√

5x2 + 6x− 3−√

2x2 + 4x− 3

3x + 2 =√

5x2 + 6x− 3 +√

2x2 + 4x− 3

⇔ 2x + 1 =√

5x2 + 6x− 3

⇔

x ≥ −1

24x2 + 4x + 1 = 5x2 + 6x− 3

⇔ x =√

5− 1→ y =√

5

Thử lại thấy thõa mãnVậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) =

(√5− 1;

√5)

�


x2 + y2 + (xy)2 = 3

x√y2 + 1 + y

√x2 + 1 = 2 (x + y)

Bài toán 9

Hướng Dẫn GiảiTừ phương trình một ta có :

3− x2y2 = x2 + y2 ≥ 2xy

⇔ (xy)2 + 2xy − 3 ≤ 0 ⇔ −3 ≤ xy ≤ 1

Xét phương trình hai chúng ta được :

⇔ x(√

y2 + 1− 1)

+ y(√

x2 + 1− 1)

= x + y

⇔ xy2√y2 + 1 + 1

+yx2

√x2 + 1 + 1

= x + y

⇔ xy

(y√

y2 + 1 + 1+

x√x2 + 1 + 1

)= x + y

⇔ xy

x√

y2 + 1 + y√x2 + 1 + x + y(√

x2 + 1 + 1) (√

y2 + 1 + 1) = x + y


K2pi

.Net

.Vn


Kết hợp với phương trình đầu suy ra[

x + y = 0(√x2 + 1 + 1

) (√y2 + 1 + 1

)= 3xy

Mặt khác3xy =

(√x2 + 1 + 1

)(√y2 + 1 + 1

)≥ 4⇔ xy ≥ 4

3

Kết hợp với điều kiện xy đã tìm được suy ra hệ phương trình đã cho tương đương với{x + y = 0

x2 + y2 + x2y2 = 3

Giải hệ phương trình trên ta thu được các nghiệm (1;−1) và (−1; 1)


(y +√x2 + 1

) (x +

√y2 + 1

)= 1

3y2 + 4√

1 + 3x + 1 = 12x + 12√

1 + y

Bài toán 10

Hướng Dẫn GiảiXử lý phương trình một như sau

Đặt a = x +√x2 + 1 ⇒

x =

a2 − 1

2a√x2 + 1 =

a2 + 1

2a

(a > 0)

Và b = y +√

y2 + 1⇒

y =

b2 − 1

2b√y2 + 1 =

b2 + 1

2b

(b > 0)

Khi đó phương trình thứ nhất trở thành :(a2 − 1

2a+

b2 + 1

2b

)(a2 + 1

2a+

b2 − 1

2b

)= 1

⇔

[ab = 1

ab (a + b)2 + (a− b)2 = 0 (V T > 0)⇒ ab = 1

⇒(y +√x2 + 1

)(x +

√y2 + 1

)= 1

Phương trình này ta suy ra được x = −y. Thế vào phương trình thứ hai ta có

3x2 + 4√

1 + 3x + 1 = 12x + 12√

1− x

Phương trình này giải ra chỉ có nghiệm x = 1

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (1;−1) �


x(y +

√y2 + 1

)= y (x2 + 1)

(x + 2)(y +

√y2 + 1

)=√x2 + 1

Bài toán 11

Hướng Dẫn GiảiDo x = −2 không là nghiệm nên chia theo vế, ta nhận được x

(x + 2)√x2 + 1

= y


K2pi

.Net

.Vn


Thay vào phương trình thứ nhất, ta được

x

(x

(x + 2)√x2 + 1

+

√x2

(x + 2)2(x2 + 1)+ 1

)=

x√x2 + 1

(x + 2)

Do x = 0 không là nghiệm và x > −2 nên phương trình tương đương với

x +√x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 4 = x2 + 1

⇔ 6x3 + 3x2 + 6x + 3 = 0

⇔ x = −1

2⇒ y = −2

√5

15(T/M)

Vậy hệ phương trình có nghiệm(−1

2;−2√

5

15

)�


(x +√x2 + 1

) (y +

√y2 + 1

)= 1

3y2 + 4√

1 + 3x + 1 = 12x + 12√

1 + y

Bài toán 12

Hướng Dẫn GiảiPhương trình thứ nhất tương đương với

x +√x2 + 1 = (−y) +

√(−y)2 + 1⇔ y = −x

Thay vào phương trình còn lại ta có

3x2 + 4√

1 + 3x + 1 = 12x + 12√

1− x

⇔ 12√

1− x + 4(

2−√

1 + 3x)− 3x2 + 12x− 9 = 0

⇔√

1− x

[12 +

4√

1− x

2 +√

1 + 3x+ 3√

1− x(x− 3)

]= 0

Ta có√

1− x ≤ 2− x

2nên 3(x− 3)

√1− x ≥ 3

2(2− x)(x− 3) = f(x)

Dễ dàng có được

minf(x) = f

(−1

3

)= −35

3

Do đó 12 +4√

1− x

2 +√

1 + 3x+ 3(x− 3)

√1− x ≥ 12− 35

3=

1

3> 0

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (1;−1) �


(√x +√y)(x + y + 1) = 2x

√y + 1 + 2y

√x− 1 + 2

√y

x√x + y + (y + 1) 4

√x + 3y = xy + 3x− 1

Bài toán 13

Hướng Dẫn GiảiĐiều kiện:x ≥ 1 ; y ≥ 0


K2pi

.Net

.Vn


Phương trình thứ nhất tương đương với

x√

y + 1 + y√x− 1 =

x + y + 1

2

√x +

x + y − 1

2

√y (∗)

Ta có

V T (∗) =√x√x√

y + 1 +√y√y√x− 1 ≤ x + y + 1

2

√x +

x + y − 1

2

√y = V P (∗)

Đẳng thức xảy ra khi y = x− 1.Thế vào phương trình hai ta có

x√

2x− 1 + x 4√

4x− 3 = x2 + 2x− 1 (x ≥ 3

4)

⇒√

2x− 1 + 4√

4x− 3 = x + 2− 1

x= x +

2x− 1

x≥ 2√

2x− 1

⇔ 4√

4x− 3 ≥√

2x− 1

⇔ 4x− 3 ≥ (2x− 1)2

⇔ 4(x− 1)2 ≤ 0

⇔ x = 1⇒ y = 0 (T/M)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là

x = 1

y = 0�


x√

1 + y + y√

1 + x = (x + y)√xy(√

x +√y + 1

) (−√y +

√x + 1

)= 1

Bài toán 14

Hướng Dẫn GiảiĐiều kiện x, y ≥ 0

Đặt{

a =√x +√x + 1

b =√y +√y + 1

(Với a, b ≥ 1)

⇒

1

a=√x + 1−

√x

1

b=√y + 1−√y

⇒

√x =

1

2

(a− 1

a

)√x + 1 =

1

2

(a +

1

a

)√y =

1

2

(b− 1

b

)√y + 1 =

1

2

(b +

1

b

)Từ phương trình thứ hai của hệ suy ra(

a +1

b+

1

a− b

)(a +

1

b+ b− 1

a

)= 4

⇔(a +

1

b

)2

−(b− 1

a

)2

= 4


K2pi

.Net

.Vn


⇔ a4 − 1

a2+

b4 − 1

b2+ 2

(√a

b−√

b

a

)2

= 0

Mà{

a4 − 1 ≥ 0

b4 − 1 ≥ 0

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = 1 hay x = y = 0

Thay x = y = 0 vào phương trình (1) thỏa mãn.Vậy nghiệm của hệ là (0; 0) �


(x2 + 1)(y +√

2y + 1)

=√

2x2 + 1(1 + 2

√x + 1

) (−1 +

√2y + 1

)= 2y

√x2 + 1

Bài toán 15

Hướng Dẫn GiảiĐiều kiện của hệ phương trình: x ≥ −1; y ≥ −1

2Phương trình thứ hai tương đương với(

1 + 2√x + 1

)2y = (2y

√x2 + 1)

(1 +

√2y + 1

).

• Nếu y = 0 hệ có nghiệm (x; y) = (0; 0)

• Nếu y 6= 0 hệ tương đương vớiy +√

2y + 1 =

√2x2 + 1

x2 + 1√

2y + 1 + 1 =2√x + 1 + 1√x2 + 1

⇔

(√

2y + 1 + 1)2 =

(√2x2 + 1 + 1√

x2 + 1

)2

√2y + 1 + 1 =

2√x + 1 + 1√x2 + 1

Từ đây suy ra√

2x2 + 1 = 2√x + 1⇔ x =

2±√

10

2Thay x tìm được vào phương trình thứ hai ta tính được y �


x2

y2+ 2√x2 + 1 + y2 = 3

x +y√

1 + x2 + x+ y2 = 0

Bài toán 16


Hệ phương trình tương đương với

(x

y+ y

)2

+ 2(√

1 + x2 − x) = 3(x

y+ y

)+ (√

1 + x2 − x) = 0


K2pi

.Net

.Vn


Cộng đại số suy ra phương trình

(x

y+ y

)2

− 2

(x

y+ y

)− 3 = 0⇔

x

y+ y = −1

x

y+ y = 3

• Trường hợp 1. Với x

y+ y = −1⇒

√1 + x2 − x = 1 hệ này có nghiệm (x; y) = (0;−1)

• Trường hợp 2. Với xy

+ y = 3⇒√

1 + x2− x = −3, hệ này có 2 nghiệm (x; y) =

(4

3;3±√

5

2

)

Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm (0;−1) ,

(4

3;3±√

5

2

)�


x

y− 1

xy+

y

x=

1

x2+

1

y2− 1

x

x + 1+

y

y + 1=

x2 − xy + y2

xy

Bài toán 17

Hướng Dẫn GiảiĐiều kiện x, y 6= {0,−1}Phương trình đầu tương đương với

(xy − 1)(x2 + y2 + xy) = 0

⇔ xy = 1⇔ 1

x + 1+

1

y + 1= 1 (3)

Phương trình thứ hai tương đương

3− (1

x + 1+

1

y + 1) =

x2 + y2

xy(4)

Kết hợp (3) và (4)

⇒ 2 =x2 + y2

xy⇔ x = y

Từ đó ta kết hợp các dấu bằng tìm được x = y = 1

Vậy hệ phương trình có nghiệm (1; 1) �


21√x + (y − 7x2)

√y = 315

xy + 7 = (x + 1) (y − 7x− 14)

Bài toán 18

Hướng Dẫn GiảiTừ phương trình thứ hai của hệ ta suy ra y = 7x2 + 21x + 21

Thay vào phương trình đầu tiên ta có√x + (x2 + x)

√7x2 + 21x + 21 = 15

⇔ (x− 1)

[1√x + 1

+(x2 + x)(x + 4)√7x2 + 21x + 21

+ 7(x + 2)

]= 0


K2pi

.Net

.Vn


Vì x ≥ 0⇒ x = 1

Vậy nghiệm của hệ là (x, y) = (1, 49) �


4 (x2 + y2) + 6y 3√

1− x = 3x + 4y + 6

4√

2y − x + 2 + 6√y − 7x + 8 = 3y − 8x + 23

Bài toán 19


Đặt

a =√

2y − x + 2

b =√y − 7x + 8

suy ra

a2 + b2 + 13 = 3y − 8x + 23 = 4a + 6b

⇔ (a− 2)2 + (b− 3)2 = 0

⇔

a = 2

b = 3⇔

x = 0

y = 1(T/M)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (0; 1) �


√x + 2y −

√2x− 3y = 1

x2 + x− 8y + 2 = 2(x− 2)√

2x− 3y

Bài toán 20


Điều kiện

x + 2y ≥ 0

2x ≥ 3y

Phương trình đầu tương đương với√x + 2y =

√2x− 3y + 1

⇔ x + 2y = 2x− 3y + 1 + 2√

2x− 3y

⇔ 5y = x + 1 + 2√

2x− 3y

Thế vào phương trình hai ta được

x2 + x− 3y −(x + 1 + 2

√2x− 3y

)+ 2 = 2(x− 3)

√2x− 3y

⇔ x2 + 1 = 2(x− 1)√

2x− 3y + 3y

⇔(x− 1−

√2x− 3y

)2= 0

⇔ x− 1 =√

2x− 3y ⇔

x ≥ 1

x2 + 1 = 4x− 3y


K2pi

.Net

.Vn


Do đó hệ phương trình đã cho trở thành

x− 1 =√

2x− 3y

5y = x + 1 + 2√

2x− 3y

⇔

x− 1 =√

2x− 3y

5y = 3x− 1⇔

x = 2

y = 1(T/M)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (2; 1) �


x√x + y

√y = 1

2x + 5y =√

(1 + x) (2− 5y)

Bài toán 21

Hướng Dẫn GiảiPhương trình thứ hai của hệ đã cho tương đương

2(√

1 + x)2−(√

2− 5y)2

=√

(1 + x) (2− 5y)⇒ x = 1− 5y

Thay vào ta có hệ sau

a3 + b3 = 1

5 (a2 − 1) = b2

Với

a =√

1− 5y

b =√y

. Từ phương trình thứ hai cho ta thấy hệ có nghiệm khi a ≥ 1

Phương trình a3 − 1 + b3 = (a− 1) (a2 + a + 1) + b3 ≥ 0 (a ≥ 1)

Dấu bằng xảy ra tương ứng y = 0⇒ x = 1

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (1; 0)


√x +

1

x + 1− 1 = 3

√1

y3+

2

y2√x + 4√y + 1 =

√y + 4√x + 1

Bài toán 22

Hướng Dẫn GiảiĐiều kiện x, y ≥ 0

Phương trình đầu tương đương với

⇔ a +4√b2 + 1 = b +

4√a2 + 1 (Với

a =√x ≥ 0

b =√y ≥ 0

)

⇔ a− b =(a− b)(a + b)

( 4√a2 + 1 + 4

√b2 + 1)(

√a2 + 1 +

√b2 + 1)

⇔

[a− b = 0⇔ x = y > 0

( 4√a2 + 1 + 4

√b2 + 1)(

√a2 + 1 +

√b2 + 1) = a + b (∗)

Ta có V T (∗) > (a + b)(1 + 1) > V P ⇒ (∗) V N


K2pi

.Net

.Vn


Thay vào phương trình hai,ta được

x2 =√x + 1 3

√2x + 1

⇔ x(x−√x + 1) +

√x + 1(x− 3

√2x + 1) = 0

⇔ x.x2 − x− 1

x +√x + 1

+

√x + 1(x + 1)(x2 − x− 1)

x2 + x 3√

2x + 1 + ( 3√

2x + 1)2= 0

⇔ (x2 − x− 1)

[x

x +√x + 1

+

√x + 1(x + 1)

x2 + x 3√

2x + 1 + ( 3√

2x + 1)2

]= 0

Do biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương ∀x, y ≥ 0 nên suy ra x2 − x− 1 = 0

⇔ x =1 +√

5

2⇒ y =

1 +√

5

2

Vậy nghiệm (x, y) của hệ phương trình là (1 +√

5

2,1 +√

5

2) �


2015x+y(x +√x2 + 1

)+ 2015xy

(y +

√y2 + 1

)= 0

3y2 + 8√x + 2y + 1 + x2 + 4xy = 4 (x + y) + 8

√y + 1

Bài toán 23

Hướng Dẫn GiảiTừ phương trình thứ hai của hệ, nhân lượng hiên hợp ta có

(x + y)

(x + 3y +

8√x + 2y + 1 +

√y + 1

)= 4 (x + y)

Với x = −y thay lại được phương trình cơ bản

x +√x2 + 1− 2015x2(−x +

√x2 + 1) = 0

⇔ x +√x2 + 1− 2015x2

x +√x2 + 1

= 0

⇔(x +√x2 + 1

)2− 2015x2 = 0

⇔ 2x√x2 + 1− 2013x2 + 1 = 0

....

Với x + 3y +8√

x + 2y + 1 +√y + 1

= 4

Đặt a =√x + 2y + 1 , b =

√y + 1, sử dụng đánh giá sau

8 =(a2 + 1

)+(b2 + 1

)+

8

a + b≥ 2 (a + b) +

8

a + b≥ 8

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1. Từ đó giải ra nghiệm �


K2pi

.Net

.Vn



(y − 1)√x− 1 =

x2 − y

2x + y + 4

√2x− x2 =

√2y − y2 + 2

Bài toán 24

Hướng Dẫn GiảiĐiều kiện: 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2

Phương trình thứ nhất của hệ đã cho tương đương(y − 1−

√x− 1

)2= (y − x) (x + y − 1)

Từ đây chúng ta có: x ≤ y là điều kiện để hệ có nghiệm.Hơn thế nữa, chỉ ra được rằng 1 ≤ x, y ≤ 2

Sử dụng phân tích đánh giá cơ bản phương trình thứ hai như sau

(x− 1)

[1− x− 1(√

2x− x2 + 1) (

4√

2x− x2 + 1) +

2y (y − 1)

y +√

2y − y2

]= 0

Dễ thấy(

4√

2x− x2 + 1) (√

2x− x2 + 1)− (x− 1) > 2− x ≥ 0

Và y ≥ 1. Do đó f (x) + g (y) = 0 khi và chỉ khi x = y = 1

Vậy nghiệm của hệ phương trình là x = y = 1 �


√x− y + 1 +

√3x + 2y + 6 = 3x + 1

x√x− 2 +

√x + 3y + 1 = (y + 5)

√y + 1

Bài toán 25


Điều kiện:

x− y + 1 ≥ 0

3x + 2y + 6 ≥ 0

x ≥ 2

y ≥ −1

x + 3y + 1 ≥ 0

Phương trình thứ hai tương đương với

x(√x− 2−

√y + 1) +

√y + 1(x− y − 3) +

√x + 3y + 1− 2

√y + 1 = 0

⇔ x.x− y − 3√

x− 2 +√y + 1

+√

y + 1(x− y − 3) +x− y − 3√

x + 3y + 1 + 2√y + 1

= 0

⇔ (x− y − 3)

[x√

x− 2 +√y + 1

+√

y + 1 +1√

x + 3y + 1 + 2√y + 1

]= 0

⇔

x− y − 3 = 0x√

x− 2 +√y + 1

+√y + 1 +

1√x + 3y + 1 + 2

√y + 1

(∗) ⇒ x = y + 3 Do V T (∗) > 0

Thế vào phương trình đầu ta được

2 +√

2y + 6 + 3(y + 3) = 3(y + 3) + 1


K2pi

.Net

.Vn


⇔√

5y + 15 = 3y + 8

⇔ 9y2 + 43y + 49 = 0 (Vô nghiệm do y ≥ −1)

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm. �


3y√

2 + x + 8√

2 + x = 10y − 3xy + 12

5y3√

2− x− 8 = 6y2 + xy3√

2− x

Bài toán 26

Hướng Dẫn GiảiĐiều kiện x ∈Phương trình thứ hai tương đương

y3√

2− x(5− x) = 6y2 + 8

Từ đó suy ra y > 0

Phương trình thứ hai cũng biến đổi thành

4y3(5− x)(√

2− x− 2

y) + 2y2(2− x− 4

y2) = 0

⇔(

2− x− 4

y2

) 4y3(5− x)√

2− x +2

y

+ 2y2

= 0

⇔ 2− x− 4

y2= 0

Thế vào phương trình (1) ta có

2y2 + 6y + 6 = (3y + 8)√

y2 − 1

Nhường lại cho bạn đọc,chắc không khó với sự hỗ trợ CASIO


√x +

1

x + 1− 1 = 3

√1

y3+

2

y2√x + 4√y + 1 =

√y + 4√x + 1

Bài toán 27

Hướng Dẫn GiảiĐiều kiện x ≥ 0, y > 0. Phương trình thứ hai của hệ tương đương với

√x− 4√x + 1 =

√y − 4

√y + 1 (∗)

Xét hàm số f(t) =√t− 4√t + 1 trên [0; +∞) ta có

f ′ (t) =1

2√t− 1

4 4

√(t + 1)3

= 0 ⇔ 24

√(t + 1)3 =

√t

⇔ 16(t + 1)3 = t2 ⇔ 16t3 + 47t2 + 48t + 16 = 0


K2pi

.Net

.Vn


Vô nghiệm do t > 0, mà f ′ (t) liên tục trên (0 ; +∞)

Suy ra f ′ (t) không đổi dấu trên (0; +∞)

Suy ra f (t) đồng biến trên (0; +∞)

Mặt khác (∗)⇔ f (x) = f (y) ⇔ x = y

Do x ≥ 0 và y > 0 ⇒ x > 0

Thế vào phương trình thứ nhất ta được√x +

1

x + 1− 1 = 3

√1

y3+

2

y2

⇔

√x2

x + 1=

3

√1

x3+

2

x2⇔ x√

x + 1=

3√

2x + 1

x

⇔(

x√x + 1

− 1

)+

(1−

3√

2x + 1

x

)= 0⇔ x−

√x + 1√

x + 1+

x− 3√

2x + 1

x= 0

⇔ x2 − x− 1(x +√x + 1

)√x + 1

+x3 − 2x− 1

x

[x2 + x 3

√2x + 1 + 3

√(2x + 1)2

] = 0

⇔ x2 − x− 1(x +√x + 1

)√x + 1

+(x + 1) (x2 − x− 1)

x

[x2 + x 3

√2x + 1 + 3

√(2x + 1)2

] = 0

⇔ x2 − x− 1 = 0⇔ x =1 +√

5

2

Nghiệm có hệ duy nhất (x; y) =

(1 +√

5

2;1 +√

5

2

). �


x−√x = y −√y

(x− y)2 + y + 3 = 2√

4x− 2y

Bài toán 28

Hướng Dẫn GiảiPhương trình đầu tương đương với

(√x−√y)(

√x +√y − 1) = 0 ⇔

[x = y

√x +√y = 1

• Với x = y thì thay vào phương trình hai ta được nó vô ngiệm• Với

√x +√y = 1

Ta xét phương trình hai,sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

(x− y)2 + y + 3 = 2√

4x− 2y ≤ 4x− 2y + 4

2= 2x− y + 2

⇔ (x− y − 1)2 ≤ 0 ⇔ x− 1 = y

⇔

x− 1 = y√x +√y = 1

⇔

{x = 1

y = 0(T/M)


K2pi

.Net

.Vn


Vậy nghiệm của hệ phương trình là{

x = 1

y = 0�


x2 + 6xy + 4y2 + 1 = 2x + 4y + 2

√2xy

2xy + 10√

2x4 + 32y4

x3y + 4xy3= 21

Bài toán 29

Hướng Dẫn GiảiĐiều kiện xy > 0

Phương trình thứ nhất tương đương với

2(x + 2y) = (√

2xy − 1)2 + (x + 2y)2 ≥ (x + 2y)2

⇔ 0 < x + 2y ≤ 2

Phương trình thứ hai tương đương

21xy(x + 2y)2 − 84x2y2 = 2xy + 10√

2(x4 + 16y4) ≥ 2xy + 5(x + 2y)2

⇔ (21xy − 5)(x + 2y)2 ≥ 84x2y2 + 2xy

⇔ (x + 2y)2 ≥ 84x2y2 + 2xy

21xy − 5

Ta có 2 ≥ x + 2y ≥ 2√

2xy suy ra 0 < xy ≤ 1

2

Xét f(xy) =84x2y2 + 2xy

21xy − 5trên

(0;

1

2

]Ta có

(x + 2y)2 ≥ maxf(xy) = f

(1

2

)= 4 ⇔ x + 2y ≥ 2

Từ đó suy ra

x = 2y

2xy = 1

x + 2y = 2

⇔

x = 1

y =1

2

(T/M)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

x = 1

y =1

2

�


x− y =√y + 3

(x− y)2 + 4 (y + 1) = 24(√

2x− y − 2)

Bài toán 30

Hướng Dẫn GiảiĐiều kiện y ≥ 0

Từ phương trình đầu suy ra x > 0

Thế x = y +√y + 3 vào phương trình hai,ta có

(√y + 3)2 + 4y + 4 + 48 = 24

√y + 2

√y + 6


K2pi

.Net

.Vn


⇔ 5y + 6√y + 61 = 24

√y + 2

√y + 6

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có

V P = 4.2.3√y + 2

√y + 6 ≤ 4(y +

√2 + 15) = 4y + 8

√y + 61

⇒ 5y + 6√y + 61 ≤ 4y + 8

√y + 60

⇔ y − 2√y + 1 ≤ 0

⇔ (√y − 1)2 ≤ 0

⇔ y = 1⇒ x = 5

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (5, 1) �


(7x + 5)√x = 12

√2x2 − xy

4y − 5x + 1 = 4√

(x− y) (2x− y)

Bài toán 31


Điều kiện

x ≥ 0

x ≥ yPhương trình thứ nhất tương đương

√x(7x + 5− 12

√2x− y) = 0

Với trường hợp x = 0 ta giải được

x = 0

y = −1

8Với trường hợp 7x + 5− 12

√2x− y = 0

Đặt

a =√

2x− y

b =√x− y

ta có hệ

7x + 5 = 12a

4y − 5x + 1 = 4ab

2x− y = a2

x− y = b2

Thế x, y rồi giải theo 2 ẩn a, b ta sẽ có các nghiệm là{x = 1

y = 1;

x = 0

y = −1

8

và

x =

4√

22− 3

49

y =8√

22− 20

63

Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm{x = 1

y = 1;

x = 0

y = −1

8

và

x =

4√

22− 3

49

y =8√

22− 20

63

�


x− y = 6(1−√xy)

x +6√

2(x6 + y6)

x2 + xy + y2= 3 +

√2(x2 + y2)

Bài toán 32



K2pi

.Net

.Vn


Ta có đánh giá cho phương trình hai

3− x +√

2(x2 + y2) =6√

2(x2 + y2)(x4 − x2y2 + y4)

x2 + xy + y2≥ 2√

2(x2 + y2)

⇒ 3− x ≥√

2(x2 + y2)

Từ phương trình đầu ta cũng có

x− y = 6− 6√xy ≥ 6− 3(x + y)⇒ 2x + y ≥ 3

⇒ x + y ≥√

2(x2 + y2)⇔ x = y ⇒ x = y = 1 (T/M)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1; 1) �


(x + y + 3)√x− y + 2y + 4 = 0

(x− y)(x2 + 4) = y2 + 1

Bài toán 33


Đặt{

a = x + y

b =√x− y

⇒ a− b2 = 2y do đó phương trình một trở thành

(a + 3) b + a− b2 + 4 = 0

⇔ a (b + 1) = b2 − 3b− 4⇔ a (b + 1) = (b− 4) (b + 1)

Vì b ≤ 0 nên từ điều trên ta có : a = b− 4⇔ x + y =√x− y − 4.

Thế 4 =√x− y − (x + y) xuống phương trình hai ta được :

(x− y)(√

x− y − x− y + x2)

= y2 + 1

⇔(√

x− y)3 − 1 + x2 (x− y)−

(x2 − y2

)= y2

⇔(√

x− y)3 − 1 + x2 (x− y − 1) = 0

⇔ x− y − 1 = 0

Vậy hệ phương trình đã cho trở thành{x + y =

√x− y − 4

x = y + 1⇔

x = −1

y = −2

Vậy hệ phương trình có nghiệm (−1;−2) �


(x2 + y2 − 7)(x + y)2 + 2 = 0

(x− 3)(x + y) = 1

Bài toán 34

Hướng Dẫn GiảiNhận thấy x + y = 0 không là nghiệm của hệ phương trình nên


K2pi

.Net

.Vn


x2 + y2 +

2

(x + y)2= 7

x− 1

x + y= 3

⇔

2x2 + 2y2 +

4

(x + y)2= 14

2x− 2

x + y= 6

⇔

(x + y)2 +

4

(x + y)2+ (x− y)2 = 14

x + y +2

x + y+ (x− y) = 6

⇔

{a2 + b2 = 18

a + b = 6

Với

a = x + y +2

x + y

b = x− y⇒ a = b = 3

⇒

x + y = 2

x− y = 3

x + y = 1

x− y = 3

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm(

5

2;−1

2

), (2;−1) �


x2 + y2 +2xy

x + y= 1

√x + y = x2 − y

Bài toán 35

Hướng Dẫn GiảiĐiều kiện x + y > 0


(x + y)2 − 1 +2xy(1− x− y)

x + y= 0

⇔ (1− x− y)

(2xy

x + y− (x + y + 1)

)= 0

⇔

[x + y = 1

x2 + y2 + 1 = 0 (vô nghiệm)

Kết hợp phương trình hai ta có

x + y = 1√x + y = x2 − y

⇔ x2 + x− 2− 0⇔

[x = 1⇒ y = 0 (T.M)

x = −2⇒ y = 3 T.m)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (1; 0) và (−2; 3) �


K2pi

.Net

.Vn



6x− 5y + 4√

(x− y) (2x− y) = 11 + 4√

6√y + 1

[2y + 3 + 4

(√x− y +

√2x− y

)]= 0

Bài toán 36

Hướng Dẫn GiảiĐiều kiện y ≥ −1 , x ≥ y

Phương trình hai tương đương y = −1 do 2y + 3 + 4√x− y +

√2x− y > 0 ∀y ≥ −1

Thế vào phương trình đầu ta có phương trình

6x + 5 + 4√

(x + 1)(2x + 1) = 11 + 4√

6

⇔ (x− 1)

[6 + 4

2x− 5√(x + 1)(2x + 1) +

√6

]= 0

⇔ x = 1

Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;−1)


4x2 + 4xy + y2 + 2x + y = 2

8√

1− 2x + y2 − 9 = 0

Bài toán 37


Phương trình đầu tương đương[

2x + y = 1

2x + y = −2

Với 2x + y = 1 thì phương trình (2) tương đương 8√y + y2 − 9 = 0

Xét hàm số f(y) = 8√y + y2 − 9 = 0 với y ≥ 0 ta có f(y) đồng biến

Với y ≥ 0 và f(1) = 0 nên y = 1 là nghiệm,suy ra x = 0

Vậy hệ có nghiệm (0; 1)

Với 2x + y = −2 thế vào phương trình (2) ta có 8√y + 3 + y2 − 9 = 0 tương tự và ta sẽ có

nghiệm (1

2;−3)

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (1

2;−3) và (0; 1) �


√

4x− 3 = (2y2 + 11)(17− y) +√y

y(y − 3x + 3) = 15x + 10

Bài toán 38

Hướng Dẫn GiảiĐiều kiện x ≥ 3

4, y ≥ 0

Phương trình thứ hai tương đương với (y + 5)(y − 3x− 2) = 0 ⇔ y = 3x + 2

Thế vào phương thứ nhất ta có√4x− 17

3= (2y2 + 11)(17− y) +

√y


K2pi

.Net

.Vn


⇔ (y − 17)

1√4y − 17

3+√y

+ 2y2 + 11

= 0

Từ đó hệ có nghiệm

x = 5

y = 17�


(x + 5) (x2 + 5x + 9) = (2y + 1) (3− y)√x + 3 + 3

√30− 2y = 4 (y − 1) +

√2y − 2

Bài toán 39

Hướng Dẫn GiảiĐiều kiện x ≥ −3 , y ≥ 1

Với y ≤ 3

2⇒ V T (2) ≥ 3

√27 = 3

MàV P (2) ≤ 4(

3

2− 1) +

√2

3

2− 2 = 3

Dấu bằng xảy ra khi y =3

2⇒ x = −3

Với y >3

2ta có

√x + 3 + 3

√30− 2y = 4 (y − 1) +

√2y − 2 > 3

⇒√x + 3 > 0⇔ x > −3

Ta sẽ CM : V T (1) > 6

⇔ x3 + 10x2 + 34x + 39 > 0⇔ (x + 3)(x2 + 7x + 13) > 0 (luôn đúng)

Do đóV P (1) > 6⇒ (2y − 1)(3− y) > 6⇔ 1 < y <

3

2

Mà y >3

2nên phương trình vô nghiệm

Vậy hệ phương trình chỉ có nghiệm (x, y) = (−3;3

2) �


y3 = 2(√

2x3 +√

2x− y)

y(y − x− 2) = 3− 3x

Bài toán 40

Hướng Dẫn GiảiĐiều kiện x ≥ 0


y3 + 2y = (√

2x)3 + 2(√

2x)

⇔ y =√

2x


K2pi

.Net

.Vn


Thế vào phương trình (2) ta có (y − 3)(y − x + 1) = 0

Với y = 3 suy ra x =9

2

Với y = x− 1 suy ra x− 1 =√

2x⇔

x ≥ 1

x2 − 4x + 1 = 0

⇔ x = 2 +√

3⇒ y = 1 +√

3

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm

x =9

2y = 3

;

x = 2 +√

3

y = 1 +√

3�


xy − 1

1 + xy− 1

1 + y2=

x2

1 + x2

√x− 1

√y − 1

√x2 + x + 1 + (x + 1)

√x2 − x + 1 = 2x2 − x + y

Bài toán 41

Hướng Dẫn GiảiĐiều kiện x ≥ 1; y ≥ 1

Từ phương trình đầu ta có

xy − 1

xy + 1=

x2y2 − 1

(1 + y2)(1 + x2)=

x2y2 − 1

1 + x2 + y2 + x2y2≤ (xy − 1)(xy + 1)

(xy + 1)2=

xy − 1

xy + 1

Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y. Thay vào phương trình hai ta có

(x− 1)√x2 + x + 1 + (x + 1)

√x2 − x + 1 = 2x2

⇔ (x + 1)√x2 − x + 1− (x2 + 1) = (x2 − 1)− (x− 1)

√x2 + x + 1

⇔ x(x− 1)2

(x + 1)√x2 − x + 1 + x2 + 1

= (x− 1)x

(x + 1) +√x2 + x + 1

Trường hợp 1. Với x(x− 1) = 0⇔ x = 1 (x ≥ 1)

Trường hợp 2. Với x2 + 1 + (x + 1)√x2 − x + 1 = x2 − 1 + (x− 1)

√x2 + x + 1

⇔ (x + 1)√x2 − x + 1 + 2 = (x− 1)

√x2 + x + 1

⇔ 2x3 + 2x

(x + 1)√x2 − x + 1 + (x− 1)

√x2 + x + 1

+ 2 = 0 > 0

Vậy nghiệm của hệ phương trình (x; y) = (1; 1) �


x +√x + y − 2y = y2 + 2

4√

x +√x + y − 1 = 2− 2y − x

Bài toán 42


Đặt{√

x + y = a

y + 1 = bhệ phương trình tương đương với

{a2 + a = b2 + b

4√a2 − b + a = 3− a2 − b


K2pi

.Net

.Vn


Phương trình đầu tương đương

(a− b)(a + b + 1) = 0⇔ a = b

Thế vào phương trình hai ta có√a = 3− a2 − a

⇔ (a− 1)

(a + 1 + 1 +

1√a + 1

)= 0⇔ a = 1 (a ≥ 0)

Vậy a = 1⇒ b = 1⇒

{x = 1

y = 0�


4√

2x2 − x3 = 9 + 4y2 − 12y

4√x(2y2 +

√2− x) = 4y4 + x− 2

Bài toán 43

Hướng Dẫn GiảiĐiều kiện 0 ≤ x ≤ 2

Từ phương trình (1) ta có

4√x(2y2 +

√2− x) = 4y4 − (2− x) = (2y2 +

√2− x)(2y2 −

√2− x)

• TH1: 2y2 +√

2− x = 0⇔

x = 2

y = 0

Thay vào phương trình (1) không thõa mãn• TH2: 4

√x +√

2− x = 2y2 (3)

Lấy (1) + (3) ta được

4√

2x2 − x3 + 4√x +√

2− x = 6y2 − 12y + 9 (∗)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có

V T (∗) ≤ 3 + x

4+

3 + x

4+

3− x

2= 3

Ta cần chứng minhV P (∗) ≥ 3⇔ 6(y − 1)2 ≥ 0 (luôn đúng)

Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = 1

Vậy nghiệm của hệ phương trình (x, y) = (1; 1) �


2x2 +√

2− x +√y − 1− 34 = 2xy + x

2y2 +√

2− x +√y − 1− 34 = −xy + 2y

Bài toán 44

Hướng Dẫn GiảiĐiều kiện của hệ phương trình x ≤ 2 , y ≥ 1


K2pi

.Net

.Vn


Trừ vế theo vế 2 phương trình ta được

2x2 − (3y + 1)x− (2y2 − 2y) = 0⇔

[x = 2y

y = 1− 2x

• Với x = 2y thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được

2y2 +√

2− 2y +√

y − 1 = 2y − 2y2

Suy ra y = 1 (không thõa mãn)• Với y = 2x− 1 thay vào phương trình đầu tiên của hệ ta được

6x2 − 3x− 30 + (√

2− x− 2) + (√−2x− 2) = 0

⇔ (x + 2)

(3x− 5− 2√

2− x + 2− 2√−2x + 2

)= 0

Với điều kiện của phương trình: x ≤ 0 ta chỉ được nghiệm x = −2.Vậy hệ ban đầu có nghiệm (x; y) = (−2;−5) �


3x(√x− 3− y

√y) +

√3x− 3y3 +

√x + y − 5 = 3

3y3 − 3y + 8 = 2x

Bài toán 45


Điều kiện:

x ≥ 3

y ≥ 0

x− y3 ≥ 0

x + y − 5 ≥ 0


3xy3 + 3− x

y√y +√x− 3

+ 3y3 + 3− x√3x− 3y3 + 3

=√

x + y − 5 ≥ 0

⇔ y3 + 3− x ≥ 0

Ta có 3y3 − 3y + 8 = 2x ≤ 2(y3 + 3)

⇔ (y − 1)2(y + 2) ≤ 0 ⇔

y = 1

x = y3 + 3

x + y − 5 = 0

Suy ra

x = 4

y = 1(thõa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (4; 1) �


K2pi

.Net

.Vn



2y − 3x +√

y (x− 2) = 4(√

x− 2−√y)− 6

√y + 2

√y (xy − x + 5) = 2 (y + 2)−

√5x + 6

Bài toán 46


Xét phương trình (1) đặt

a =√x− 2

b =√y

Khi đó ta có phương trình tương đương

2b2 − 3a2 + ab = 4(a− b)⇔ (b− a)(2b + 3a + 4) = 0

⇔ a = b⇔ y = x− 2

Thế vào phương trình (2) ta được phương trình√x− 2 + 2

√(x− 2)(x2 − 3x + 5) = 2x−

√5x + 6

⇔√x− 2

(1 + 2

√x2 − 3x + 5− 2

√x− 2 +

5√x− 2√

5x + 6 + 4

)= 0

⇔√x− 2

(1 +

2(x2 − 4x + 4 + 3)√x2 − 3x + 5 +

√x− 2

+5√x− 2√

5x + 6 + 4

)= 0

⇔ x = 2 ⇒ y = 0 (T/M)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (2; 0) �


x2 (y2 + 1 +√x)− (

√x + 1) (y − 2) = y3 − 2y2

y√x2 − x + 1 = x3 − 3x− 3 + 2y

Bài toán 47

Hướng Dẫn GiảiTừ phương trình đầu đưa về

(1 +√x + y2)(x2 − y + 2) = 0⇔ y = x2 + 2

Thay vào phương trình 2 ta có

(x2 + 2)√x2 − x + 1 = x3 + 2x2 − 3x + 1

⇔ x(x2 − x + 1)− (x2 + 2)√x2 − x + 1 + 3x2 − 4x + 1 = 0

Xem là phương trình bậc 2 với ẩn t =√x2 − x + 1 ta có

∆ = (x2 + 2)2 − 4x(3x2 − 4x + 1) = (x2 − 4x)2

....


K2pi

.Net

.Vn



√

3x2 + 6xy + 4y2 + 2y + 1 = 3x + 2y − 1

4√x + y + 2 + 4y

√2(y + 1) = 5y2 + 6x + 3 +

√2(y2 + x)

Bài toán 48

Hướng Dẫn GiảiXét phương trình đầuXét y + 1 = 0 (loại)Xét y + 1 > 0 phương trình tương đương với√

3(x + y)2

(y + 1)2+ 1 = 3

x + y

y + 1− 1

Suy ra x + y = y + 1 ⇔ x = 1 thế vào phương trình hai ta có

4√

y + 3 + 4y√

2y + 2 = 5y2 + 9 +√

2(y2 + 1)

⇔ (y − 1)2

[3 +

1√2(y2 + 1) + y + 1

+2y

2√

2y + 2 + y + 3+

1

4√y + 3

]= 0

Ta chứng minh 5y2 + 9 > 4√y + 3

⇔ 25y4 + 86y2 + 4(y − 2)2 + 17 > 0 (Đúng)

suy ra y > 0

Vậy x = y = 1 là nghiệm duy nhất của hệ �


y4 − 2xy2 + 7y2 = −x2 + 7x + 8√

3− x +√y2 + 1 = x3 + x2 − 4y2 + 3

Bài toán 49

Hướng Dẫn GiảiĐiều kiện x ≤ 3


(y2 − x + 8)(y2 − x− 1) = 0⇔ y2 = x + 1 (Vì x ≤ 3)

Thế vào (2) ta được √3− x +

√x + 2 = x3 + x2 − 4x− 1

⇔√

3− x +√x + 2− 3 = (x + 2)(x2 − x− 2)

⇔ 4(u− 3) = (x + 2)(3− u)(u + 3)(u2 + 1) Với√

5 ≤ (u =√

3− x +√x + 2 ≥

√10 )

⇔ (u− 3)[4 + (x + 2)(u + 3)(u2 + 1)] = 0⇔ u = 3

⇔√

3− x +√x + 2 = 3 ⇔

[x = −1

x = 2

Với x = −1 suy ra y = 0

Với x = 2 suy ra y = ±√

3

Vậy hệ có ba nghiệm : (−1; 0), (2;√

3) và (2;−√

3) �


K2pi

.Net

.Vn


Phần III. Bài Tập Đề Nghị


x (x2 − x + 1) = (y + 2)√y + 1

x (x2 + x + 1) =√

(y + 1) (y + 2)


x2 − y = 3 3√y − 1 6

√x− 1

y2 − x = 3 3√x− 1 6

√y − 1


x2 + 2 (y + 1)√x− 1 + y = 0

y +√x2 − x + 2 = x +

√y2 + y


x +√x− y + 1 +

√x2 + 4y3 + y = 2y2 + 1

√1− y

(√1 + 4x + 2

√y2 + 1 + 1

)=√y(y +√x + y + 1

)


x2y2 + (x− y + 1) (1 + xy) = 0

x2 + y2 (1 + 2x) + 2y = 4 (1 + x)


x2y2 + (x− y + 1) (1 + xy) = 0

x2 + y2 (1 + 2x) + 2y = 4 (1 + x)


2 (x2 + y2 + xy) = 3 (x− y + 13)√x− 1 + 4

√6− 5y =

√y − 1 + 4

√x + 6


x (x2 + x + 1) = y√

y2 + 1

2y2 + 4y + 1 = (2x + 1)√

4x + 1


√x− y + 1 +

√3x + 2y + 6 = 3x + 1

x√x− 2 +

√x + 3y + 1 = (y + 5)

√y + 1


x3 + 3 (x + y) = 7y3

xy (x + y) = 3√

x3 + y3 + 6y2x


x2 + 6 = 2 (x + y) + 5√

2y − 5x

y2 + 7y + 6x + 21 = (18− 2y)√

5y − 2x


x + 10√

6y − 5x + 11 = y + 12√

3y − 4x

2y +√

30y − 9x + x = 2√y − x +

√6y − 3x


K2pi

.Net

.Vn



√

2x +√

6y2 + 1 = 3y + 4√x2 + 1

x2 + x√y2 + 1 + (3xy − 1)

√y − x = 1


2 (x + y) = (x + y − 1)

√xy

x

y+

√y

x+

√x

y+

2

x + y + 1=

10

3


x3 = y2 + (x + 2y + 2)√x + 1 + 1

x +√x + y = y +

√x + 1 +

√1− y


7

2+

3y

x + y=√x + 4

√y

(x2 + y2) (x + 1) = 4 + 2xy (x− 1)


x√

1 +√

1 + y = |x− y|

y√

1−√

1− x = |y − x|


(x +√x2 + 1

) (y +

√y2 + 1

)= 3− x2 − y2

(x + y) (x2 + y2 − 1) = 2(x + y + 1)√x2 + y2 − 2


√x +

1

x + 1− 1 = 3

√1

y3+

2

y2

4√x + 4√y + 1 =

√y + 8√x + 1


x√x + y

√y = 1

2x + 5y =√

(1 + x) (2− 5y)


3

√x3 + x2 + x

3=

4

√y−4 + y−3 + y−2 + y−1

4

x2 + y2 = 2xy +√

(x− 1) (y − 1)


x (xy + 1) 3

√x3y3 + 1 = 3

√2 (y2 + xy)

√xy

x2 + 9√

x2 + 3x− xy + y = 9

√x2 +

1

y+ xy


x2y2 + 4xy (x + y) = (x + y)3 + xy

2(x√x− 2y + y

√y − 2x + xy

)= 3 (x + y) + 4


(x3 − 3x2 + 3x)

√x

y= 3√x3 − y3 + 1

(y3 − 3y2 + 3y)

√y

x= 3√

y3 − x3 + 1


K2pi

.Net

.Vn



x4 + y4 + x2 + y2 = x3 + y3 + 5xy

x2 + y2

2+√

2 (x2 + y2 + 2) =√

2 (x2 + y2) +√

(x + y)2 + 4


2 (x + y) = 4 + (x− y)2

√x +√y + xy = 4 +

√3


(3x + y)2 + 36 = 18 (x + y)

2 (x + y) +24

3x + y+ 9√x = 9

√y + 4


y2 + 2x = 1 +√

1 + x + 2√

1 + y

(y − x) (y + 1) + (y2 − 2)√

1 + x = 1


21√x + (y − 7x2)

√y = 315

xy + 7 = (x + 1) (y − 7x− 14)


√

3x2 + 1 + (x + y)√y2 + 1 = 2x

2y2 + 5x2 +√

30x2y2 + 6 + 10xy + 1 = y + 5x


x√x + y

√y = 28

x + y + 2√√

x +√y + xy = 23


x√y − 2 + (3y − 7)

√3x− 1 = 2

(2x + y − 2)3 + 27(2y + x− 5)3 = 54


8x3 + (5y + 7)√

1 + y = x (1 + 3y)

16√

1 + x + 12√

1 + y = y + 8√

1− x + 9


(x2 + 1)(y +√

2y + 1)

=√

2x2 + 1(1 + 2

√x + 1

) (−1 +

√2y + 1

)= 2y

√x2 + 1


(x +√x4 + x2

) (y +

√y4 + y2

)=

2015

x + y3√

1 + xy + 3√

1− xy = 3√

1 + x + y + 3√

1− x− y


y + 12√

1 + x = 8√

1 + y + 4√

1− x + 7

3x3 + (y − x)√x + y = (x2 + y + 2)

√y + 1 + xy


K2pi

.Net

.Vn



2√x + y − 1 +

√2x− 1 =

√4x3 + 3y2 + 2

2

√x2 + 2

6+

√3x− 2y

2=

√2x2 + 4x− y + 4

2


xy + x + y2 + y = (2x + y − 1)√

3x + 1

x2 + 2xy + 3x = y2 + 4y + 1


8(√

y −√x)

+5− 8y2

x=

√y

x

(8√xy +

1

xy

)8(x2 + y2) +

1√xy

= 5


(x2 + 2y) (y2 + 2x) =

√−x + y

2

10 (x + y) + 7 (x2 + y2) + 16 = 10xy


xy(x +√x2 + 1

) (y +

√y2 + 1

)= x2 + y2

29y2 + 8y√

y2 − xy + 4xy = x2 + 16y√

3y2 + xy


9 (x4 + y4) + 11√x4 − y4 = 2(

x + 2√x2 + 1

) (y + 2

√y2 + 1

)= 9xy


x(

3√

1 + y + 3√

1− y)

= y(

3√

1 + x + 3√

1− x)(

x +√x2 + 1

) (y +

√y2 + 1

)= 2

(1 + 3

√xy)2


3 + 3x2 + 3x = y3 + 3y2 + 3y + (xy)3

4y3 − 6y2 + 3y = 4x3 − 6x2 + 3x + 2015xy


x3 + 3x2 + 3x = 2y3 + 6y2 + 6y

x2 + y2 = 2(y√x (x + y) + x

√y (y − x)

)


(x +√x2 + 1)(y +

√y2 + 1) = 2

18x3 + 16y2 + 40xy + 34x2 = 9√

2x + 1. 3√

1− 3x


x3 + 3x2y − 2(y2 + y4)√

2y − 1 = 0

2x2 + 2y2 + 4x− y −√

2− x− 2√

3x + 6 = 0


x2 + y2 +

8xy

x + y= 16

x2

8y+

2x

3=

√x3

3y+

x2

4− y

2


K2pi

.Net

.Vn



(x + y)√

x2 + 2y2 + 4y + x3 + (x− 1)y2 = xy + 6x + 2y√

5− 4y −√

2y + 1 + x2y + 2y = 5


Documents

HPT K2PI