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THERMODYNAMIQUE APPLIQUÉE
PARTIE 4
CYCLES THERMODYNAMIQUES
I. Quelques hypothèses de modélisation
1. Idéalisation des cycles thermodynamiques
L’étude de vrais cycles thermodynamiques est difficile et complexe :frottements et non équilibres par exemple.
C’est pourquoi on en fait en général une idéalisation pour :
I pouvoir faire des études analytiques simplesI étudier les effets principauxI en tirer des conclusions sur les cycles réels
V
P idéalisation
cycle réel
2. Quelques hypothèses générales
Pour l’étude des cycles, les hypothèses suivantes sont généralement faites :
1. Les processus d’expansion et de compression ont lieu avec unehypothèse d’équilibre quasi-statique : ρ = cte dans tout le domainepar exemple
2. Tous les processus sont réversibles (de manière interne mais pasnécessairement externe)
3. La combustion est remplacée par une source de chaleur externe4. Pour les cycles à gaz, le gaz a un comportement de gaz parfait5. Les capacités calorifiques sont souvent supposées constantes
Pour les cycles ouverts :
1. Pas de transfert de chaleur au travers des canalisations2. Les frottements sont négligés : pas de perte de pression dans les
canalisations ou les échangeurs
3. L’écoulement est stationnaire4. Variations d’énergies potentielle et cinétique généralement
négligées : hypothèse généralement raisonnable, suivant le problèmephysique traité
5. Pour les transformations où la transformation n’est pas un cycle (e.g.moteur d’avion), l’échappement est remplacé par un processus de rejetde chaleur qui replace le fluide dans son état initial
II. Cycles fermésSens du cycleTransformations réversibles : δW rev = −P dv et δQrev = T dsSur le cycle : W + Q = 0
Cycle générateurP
v
W < 0
T
s
Q > 0
Cycle récepteurP
v
W > 0
T
s
Q < 0
1. Cycle de Carnot
a) Rappels sur le cycle de Carnot
1
3
4
2
T = T2
T = T1
Adiabatique
Q2
Q1
V
P
s
T Adiabatique
T1 1 4
32T2
Q2
Q1
b) Bilan énergétique
Le système étant fermé, à chaque étape du cycle, on a
Uj − Ui = Wji + Qji
U2 − U1 = W21
U3 − U2 = W32 + Q2
U4 − U3 = W43
U1 − U4 = W14 + Q1
Sur le cycle :0 = Q2 + Q1 + W
c) Bilan entropique
Le système étant fermé, à chaque étape du cycle, on a
Sj − Si =Qji
Tk
S2 − S1 = 0
S3 − S2 =Q2
T2
S4 − S3 = 0
S1 − S4 =Q1
T1
Sur le cycle :
0 =Q2
T2+
Q1
T1
d) Bilan exergétique
Le système étant fermé, à chaque étape du cycle, on a
D∗ji = Ta (Sj − Si )−QjiTa
Tk
D∗21 = Ta (S2 − S1) = 0
D∗32 = Ta (S3 − S2)−Q2Ta
T2= 0
D∗43 = Ta (S4 − S3) = 0
D∗14 = Ta (S1 − S4)−Q1Ta
T1= 0
Sur le cycle :D∗ = D∗21 + D∗32 + D∗43 + D∗14 = 0
e) Rendements
Rendement énergétique
η =|W |Q2
=Q1 + Q2
Q2= 1 +
Q1
Q2
Rendement énergétique du cycle de Carnot
η = 1 − T1
T2
Rendement exergétique
Définition :η =
|W |
Q2
„1− Ta
T2
«η =
Q1 + Q2
Q2 (1− Ta/T2)=
Q2 (1− T1/T2)
Q2 (1− Ta/T2)=
T2 − T1
T2 − Ta
Si la source froide (T1) est en équilibre avec le milieu ambiant (Ta), lerendement exergétique vaut 1
f) Quelques remarques sur le cycle de Carnot
I Aucun cycle ne peut être aussi efficace que le cycle de CarnotI Pourquoi ne pas prendre le cycle de Carnot comme seul cycle
modèle ?1. Beaucoup de cycles réels n’ont pas la forme du cycle de Carnot, même
de manière approchée, et leur idéalisation ne peut pas reposer sur cedernier
2. Le cycle de Carnot est très idéal : il y a toujours équilibre thermique avecles sources de chaleur extérieures. Les idéalisation des cycles réelsreposent sur l’hypothèse de réversibilité interne mais pas externe : il n’y apas équilibre thermique avec les sources extérieures
I Le cycle de Carnot fournit des informations utiles quant àl’efficacité thermique des cycles
1. L’efficacité augmente avec l’augmentation de la température moyenneà laquelle de la chaleur est fournie au système. La températuremaximum est en générale limitée par des contraintes mécaniques (tenuedes aubes de turbines par exemple).
2. L’efficacité augmente avec la diminution de la température moyenne àlaquelle de la chaleur est rejetée du système. La température minimumest en générale limitée par des contraintes environnementales (températurede l’eau de refroidissement par exemple)
2. Le moteur à essence : le cycle de Otto
a) Description du cycle
EntréeDétenteCompression Echappement
V
P
ouverturesoupape sortieallumage
soupape entréeouverture
fin combustion
compression
détente
b) Idélisation : le cycle de Otto
1
4
2
3
s = cte
s=
cte
Q1
Q2
P
v
T
s
v = cte
v =cte
1
2
3
4
Q2
Q1
1-2 Compression isentropique
2-3 Chaleur apportée à v = cte
3-4 Détente isentropique
4-1 Chaleur cédée à v = cte
Pas de travail dans les étapes d’échange de chaleur
c) Bilan énergétique
Le système considéré est le fluide compris dans le cylindre lors desphases de compression et de détente
Pour une unité de masse et pour chaque étape :
∆u = Cv ∆T = q + w
u2 − u1 = Cv (T2 − T1) = w21
u3 − u2 = Cv (T3 − T2) = q2
u4 − u3 = Cv (T4 − T3) = w43
u1 − u4 = Cv (T1 − T4) = q1
Sur le cycle :0 = w + q1 + q2
d) Bilan entropique
Le système considéré est le fluide
s2 − s1 = 0
s4 − s3 = 0
⇒
T4
T3=
„v3
v4
«γ−1
=
„v2
v1
«γ−1
=T1
T2
⇒
T4
T1=
T3
T2
e) Rendement énergétique
η =−wq2
= 1 +q1
q2= 1 +
T1 − T4
T3 − T2= 1− T1
T2
T4/T1 − 1T3/T2 − 1
Rendement énergétique du cycle de Otto
η = 1 − 1„v1
v2
«γ−1
L’efficacité dépend uniquement du rapport de compression (v1/v2) etdu rapport des capacités calorifiques γ : l’efficacité augmente lorsque lerapport de compression augmente.
Cette conclusion s’applique également aux moteurs à combustion réels.
On ne peut pas augmenter le rapport de compression indéfiniment :au-delà d’une certaine limite, la température en fin de cycle de compressiondépasse la température d’auto-allumage du mélange. Ce phénomène(audible) peut endommager les moteurs.
On a donc utilisé des mélanges qui retardent la limite d’auto-allumage(essence “plombée”).
3. Le moteur diesel : le cycle de Diesel
a) Le principe
Moteur similaire au moteur à essence : seule la méthode d’allumagediffère.
Compression Détente
Dans le moteur diesel, l’air est compriméà une température supérieure à latempérature d’auto-allumage dumélange.
La combustion commence lorsque lecarburant est injecté dans cet airchaud.
Puisque l’air seul est comprimé, leproblème de l’auto-allumage est éliminé eton peut atteindre des températuresplus élevées, ce qui permet de brûlerdes produits moins raffinés.
b) Modélisation du cycle
L’injection commence lorsque le piston approche de la fin de sa course et sepoursuit au cours de la première partie de la phase de détente.
Le processus de combustion est donc plus long. Ce processus est alorsapproché par un processus d’apport de chaleur à pression constante (etnon plus à volume constant).
Les autres parties du cycle sont identiques au moteur à essence.
P
1
4
v
Q1
Q2
s = cte
s=
cte
32 T
s
P = cte
v =cte
1
2
3
4
Q2
Q1
c) Bilan énergétique
P
1
4
v
Q1
Q2
s = cte
s=
cte
32
u2 − u1 = w21
u3 − u2 = q2 + w32 = q2 − P2 (v3 − v2)
u4 − u3 = w43
u1 − u4 = q1
q1 = Cv (T1 − T4)
q2 = u3 − u2 + P2 (v3 − v2)
= (u3 + P3 v3)− (u2 + P2 v2)
= h3 − h2
q2 = Cp (T3 − T2)
Sur le cycle :0 = w + q1 + q2
d) Bilan entropique
T
s
P = cte
v =cte
1
2
3
4
Q2
Q1
s2 − s1 = 0
s3 − s2 = Cp lnT3
T2
s4 − s3 = 0
s1 − s4 = Cv lnT1
T4
⇒
T2
T1=
„v1
v2
«γ−1
„T3
T2
«γ=
T4
T1
e) Rendement énergétique
η =−wq2
= 1 +q1
q2= 1− T4 − T1
γ (T3 − T2)= 1− T1
γ T2
T4/T1 − 1T3/T2 − 1
η = 1− 1(v1/v2)γ−1
1γ
(T3/T2)γ − 1(T3/T2)− 1
P3 = P2 ⇒T3
T2=
v3
v2
Rendement énergétique du cycle Diesel
η = 1 − 1„v1
v2
«γ−1
»1γ
(v3/v2)γ − 1
(v3/v2) − 1
–
Le terme entre crochets est toujours supérieur à 1 ; donc ηDiesel < ηOtto
lorsque les deux cycles fonctionnent avec le même rapport decompression.
Mais les moteurs diesel fonctionnent à des rapport de compressionplus élevés et sont donc plus efficaces
4. Cycle de Stirling
a) Le principe (type alpha)
q2
q1 q1
q2 q2
q1 q1
q2
Par expansionthermique, le gazchauffé a pousséle piston au fondde sa course.
L’expansion sepoursuit vers lecylindre froid.1-2
Le volume de gazest maximum.Le gaz commenceà se refroidir.2-3
Le gaz estquasiment toutdans le cylindrefroid où il secontracte.La contractionthermique entraînele piston froid versle bas.3-4
Le volume de gazest minimum.Le gaz seréchauffe dans lecylindre chaud, cequi fait bouger lepiston chaud.4-1
b) Modélisation
P
q1
q2
1
4 2
3
v
T=
cte
T= cte
1-2 Détente isotherme2-3 Refroidissement isochore3-4 Compression isotherme4-1 Chauffage isochore
c) Bilan énergétique
0 = q21 + w21 = q21 −Z 2
1P dv = q21 − r T1 ln
„v2
v1
«Cv (T3 − T2) = q32
0 = q43 + w43 = q43 −Z 4
3P dv = q43 − r T3 ln
„v1
v2
«Cv (T2 − T3) = q14
d) Rendement énergétique
P
q1
q2
1
4 2
3
v
T=
cte
T= cte
Travail fourni
w = − (w21 + w43) = r (T1 − T3) ln„
v2
v1
«Chaleur fournie
q2 = q14 + q21 = Cv (T1 − T3) + r T1 ln„
v2
v1
«
Rendement
η =wq2
=r (T1 − T3) ln(v2/v1)
Cv (T1 − T3) + r T1 ln(v2/v1)
Si la chaleur nécessaire au chauffage isochore est entièrement récupérée aucours du refroidissement isochore
q = q14 + q21 + q32 = r T1 ln„
v2
v1
«alors le rendement devient
η = 1− T3
T1
C’est-à-dire le rendement de Carnot
III. Cycles ouvertsDans ces cycles, le fluide circule à travers différents composant
Sens du cycleTransformations réversibles : δW ′rev = v dP et δQrev = T dsSur le cycle : W ′ + Q = 0
Cycle générateurP
v
W ′ < 0
T
s
Q > 0
Cycle récepteurP
v
W ′ > 0
T
s
Q < 0
1. Cycle d’Ericsson
a) Présentation du cycle théorique
compresseur turbine
32
isotherme isotherme
W ′
Q21 Q43
41
Q32
régénérateur adiabatique
1-2 Compression isotherme
2-3 Apport de chaleur isobare
3-4 Détente isotherme
4-1 Rejet de chaleur isobare
I La réalisation technique d’une compression ou d’une détente isothermeest très difficile
I Mais potentiellement très intéressant
compresseur turbine
32
isotherme isotherme
W ′
Q21 Q43
41
Q32
régénérateur adiabatiqueh
s
P=
P 1
P=
P 2
2
3 4
Q211
Q43
Q32
b) Bilan énergétique
m (h2 − h1) = W ′c + Q21
m (h3 − h2) = Q32
m (h4 − h3) = W ′t + Q43
m (h1 − h4) = −Q32
Sur le cycle :
W ′c + W ′t + Q21 + Q43 = 0
c) Bilan d’entropie
h
s
P=
P 1
P=
P 2
2
3 4
Q211
Q43
Q32
m (s2 − s1) =Q21
T2
m (s4 − s3) =Q43
T3
Régénérateur idéal : le transfert dechaleur du fluide chaud au fluide froidse fait sans différence de températureentre ces deux fluides (localement).
Gaz parfait à Cp constant :
s2 − s1 = −r ln„
P2
P1
«= s3 − s4
Q21 = −Q43T2
T3
c) Rendement énergétique
compresseur turbine
32
isotherme isotherme
W ′
Q21 Q43
41
Q32
régénérateur adiabatique
Définition : η =−W ′
Q43
Or W ′ = W ′t + W ′c
Et W ′ = −Q21 − Q43
Q21 = −Q43T2
T3
Donc
W ′ = −Q43
„1− T2
T3
«
Rendement énergétique du cycle d’Ericsson
η = 1 − T2
T3
Ce rendement est égal au rendement du cycle de Carnot
2. Les turbines à gaz : le cycle de Brayton
a) Présentation générale
Le cycle de Brayton est utilisé en général pour les turbines à gaz lorsque lacompression et la détente sont réalisées avec des machines tournantes.Les turbines à gaz fonctionnent en général en cycle ouvert.
3combustioncarburant
air gaz échappement
travailcompresseur turbine
41
2
b) Modélisation
Le cycle ouvert de turbine à gaz peut être modélisé par un cycle fermé.
Combustion→ apport de chaleur à pression constanteEchappement→ rejet de chaleur à l’air ambiant à pression constante
échangeur
échangeur
compresseur turbine
Q2 > 0
W ′ < 0
Q1 < 0
4
32
1
1-2 Compressionisentropique
2-3 Apport de chaleurisobare
3-4 Détente isentropique
4-1 Rejet de chaleurisobare
Certaines installations fonctionnent avec un cycle réellement fermé
échangeur
échangeur
compresseur turbine
Q2 > 0
W ′ < 0
Q1 < 0
4
32
1
P
v
Q23
s=
cte
s=
cte
Q1
1
2
4
T
s
P = cte
P =cte
1
2
3
4
Q2
Q1
c) Bilan énergétique
Pour chaque composant du cycle, on a, par unité de masse, :
∆h = w + q
h2 − h1 = wc
h3 − h2 = q2 = Cp (T3 − T2)
h4 − h3 = wt
h1 − h4 = q1 = Cp (T1 − T4)
Sur le cycle :w + q2 + q1 = 0
d) Bilan entropique
Pour chaque transformation, les irréversibilités internes sont nulles
Pour les compressions et détentes qui sont des adiabatiques réversibles, ona s = cte :
T2
T1=
„P2
P1
« γ−1γ
T3
T4=
„P3
P4
« γ−1γ
=
„P2
P1
« γ−1γ
D’oùT2
T1=
T3
T4
e) Rendement énergétique
On définit le rendement énergétique par
η =−wq2
Soit
η = 1 +q1
q2= 1 +
T1 − T4
T3 − T2= 1− T1
T2
T4/T1 − 1T3/T2 − 1
Rendement énergétique du cycle de Brayton
η = 1 − 1„P2
P1
« γ−1γ
L’efficacité d’un cycle de Brayton augmente avec le rapport de pressionde la turbine et avec γ (si le fluide est différent de l’air).
C’est ce que l’on observe effectivement sur les turbines réelles.
La température la plus élevée du cycle est atteinte à la fin de la combustion(en 3) et est en générale limitée par la température maximale que lespales de la turbine peuvent supporter.
Des progrès significatifs dans le domaine des matériaux ont été faits et lesturbines à gaz peuvent supporter des températures allant jusqu’à 1400◦C.
Applications principales des turbines à gaz :I propulsion des avionsI génération de puissance électrique, même en cycle fermé dans les
réacteurs nucléaires de quatrième génération
f) Autres utilisations du cycle de Brayton
Le cycle de Brayton étudié est générateur de puissance (w < 0)
Il peut aussi être utilisé comme :I machine frigorifique (w > 0 ; q1 > 0)I pompe à chaleur (w > 0 ; q2 < 0)
Exemple de la pompe à chaleur
Coefficient de performance :−q2
w=
1η> 1
Principe de fonctionnement :I On prend de la chaleur à la source froide pour la fournir à la source
chaude.I Mais ce processus ne peut pas se faire spontanément et il est
nécessaire de fournir du travail pour qu’il se produise.I Mais le travail fourni est inférieur à la chaleur transmise.
g) Optimisations du cycle de Brayton
i) Regénération
Une partie de la chaleur des gaz chauds sortant de la turbine est utiliséepour préchauffer les gaz à l’entrée de la chambre de combustion.
combustion
5
regénérateur
chaleur
compresseur
1
turbine travail
3
4
2
T
s
1 q1
2
3
4qregenqregen
q2
5
L’efficacité du cycle augmente car une partie de la chaleur normalementcédée à l’extérieur est utilisée pour préchauffer les gaz de combustion etainsi économiser une partie de la chaleur normalement utilisée pourchauffer ces gaz.
Fonctionne uniquement si la température en sortie de turbine est supérieureà la température en sortie de compresseur (T4 > T2), i.e. pour des rapportsde pression relativement élevés.
ii) Effet d’un refroidisseur intermédiaire sur le travail de compression
compresseurcompresseur
1 4
2 3
refroidisseur
Dans le cas réversible, on a : δw = v dP
P
v
1
isentropiques
isotherme23
4
������������������������������
������������������������������
P
v
1
travail économisé
isentropiques
isotherme23
4
Principe général
Le travail de compression (ou de détente) est proportionnel au volume.I Pour minimiser le travail de compression, il faut donc diminuer v , ce que
l’on peut faire en diminuant la température du fluide.I Pour augmenter le travail de détente, il faut augmenter v , ce que l’on
peut faire en augmentant la température du fluide.
C’est ce principe simple qui est appliqué pour les refroidisseur et réchauffeurintermédiaires.
T
s
1
2
3
4
7
8
5
Qregen
Q′2
Q′1Qrefr.
Qrech.
Qregen 6
InterprétationOn approche ainsi d’un cycle d’Ericsson
3. Les turbines à vapeur : le cycle de Rankine
a) Cycle de Carnot
Pourquoi le cycle de Carnot n’est pas un bon modèle pour l’étude des cyclesà vapeur ?
T
s
1 2
34
1. Difficile de beaucoup augmenter latempérature (pour augmenter lerendement).
2. Quantité relative de liquideimportante lors de la détenteisentropique (2-3) : dommagesmécaniques dus à l’impact desgouttelettes.
3. Difficile de concevoir un compresseurpouvant travailler avec un “mélange”diphasique (4-1)
b) Cycle de Rankine : le cycle à vapeur idéal
3
condenseur
turbine
bouilleur
pompeW ′2 W ′1
1
2
Q2
Q1
4
T
s
1 4
3
2
W ′1Q2
W ′2 Q1
1-2 Compression isentropique (pompe)
2-3 Chauffage isobare (générateur de vapeur)
3-4 Détente isentropique (turbine)
4-1 Refroidissement isobare (échangeur)
c) Bilan énergétique
Pour chaque composant du cycle, on a (par unité de masse) :
∆h = q + w
Pompeh2 − h1 = w2
Bouilleurh3 − h2 = q2
Turbineh4 − h3 = w1
Condenseurh1 − h4 = q1
Les calculs analytiques ne sont pas possibles (en tout cas beaucoup moinssimples que pour les autres cycles) car il est nécessaire de se donner unmodèle thermodynamique du fluide pour ses phases liquide et vapeur, ce quin’est généralement pas possible
Le recours aux tables thermodynamiques (ou aux diagrammes) est doncnécessaire.
Remarque sur le calcul du travail de la pompe
dh = T ds + v dP
Transformation isentropique et liquide quasiment incompressible⇒
∆h = v ∆P
Remarque sur l’état en sortie de turbine
Cet état est diphasique liquide-vapeur et le titre de vapeur est noté x . On adonc :
h4 = x hsatv + (1− x) hsat
l = hsatl + x Lv
s4 = x xsatv + (1− x) ssat
l = ssatl + x Lv/T sat
d) Interprétation graphique de l’efficacité
T
s
1 4
3
2
W ′1Q2
W ′2 Q1
Aire du cycle (travail net) divisée par l’aire sous la courbe (2-3) (chaleurfournie)
e) Comment améliorer l’efficacité du cycle de Rankine ?
Idées maîtresses :I augmenter la température moyenne à laquelle la chaleur est
transmise au fluideI baisser la température moyenne à laquelle la chaleur est cédée à
l’extérieur
������������������������������������
������������������������������������
������������������������������������
������������������������������������
3
2
s
T
4
1
4’
2’
1’
En abaissant la pression ducondenseur, on abaisse la températurediphasique.
Le gain de travail net est représenté parl’aire hachurée.
On peut plus chauffer le système (airesous la courbe (2-2’)), mais cette chaleurest beaucoup plus faible que le gain total.
Mais : augmentation de la quantité de liquide en sortie de turbine (4’).
��������
��������
3’
2
4’
1
T
s
3
4
En augmentant la température en sortiede bouilleur, on augmente le travail netdu cycle.
La quantité de chaleur supplémentairenécessaire est représentée par l’aire sousla courbe (3-3’).
Mais l’effet net est une augmentation del’efficacité.
La quantité de liquide en sortie de turbine (4’) est abaissée.Il faut que les matériaux de la turbine supportent des températures élevées.
��������������
��������������
�������
�������
������������������������������
������������������������������
21
T
s
3’
4’ 4
3
2’
En augmentant la pression dubouilleur, on augmente la température àlaquelle le changement de phase seproduit et donc la température moyenneau cours du chauffage.
Si on maintient la température maximaleconstante (en entrée de turbine), laquantité de liquide en sortie de turbine estplus importante.
La perte de travail liée au mouvement versla gauche peut être compensée enréchauffant la vapeur.
Cycle de Rankine avec réchauffe
Comment augmenter la pression dans le bouilleur sans augmenter laquantité de liquide dans la turbine ?
Utiliser deux turbines avec réchauffe
2
turbine
64
5
boui
lleur
3
pompe1
cond
ense
ur
turbine
T
s
1 6
2
3 5
4
On peut augmenter le nombre de réchauffes pour s’approcher d’uneisotherme. Mais il est rare que les économies ainsi faites justifient plus de 2réchauffes.
