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Articolo di Aldo Bonet, studioso di Storia della Matematica antica.
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1
IL DIAGRAMMA DI ARGILLA
L’ALBA DEL PENSIERO SCIENTIFICO
Aldo Bonet
2
IL DIAGRAMMA DI ARGILLA: L’ALBA DEL PENSIERO SCIENTIFICO
Aldo Bonet 1
…”E (gli uomini) dissero l’uno all’altro:
‹‹ Orsù, facciamo dei mattoni e cociamoli col fuoco! ››
E si valsero di mattoni invece di pietre, e di bitume invece di calcina.
…ora nulla li impedirà di condurre a termine ciò che disegnano di fare.”
(Genesi: 11, 3…6)
With this article, I intend to run over a hypothetical, historical – interpretative itinerary of the clay
diagram, which was fundamental, in my opinion, for the inception of pre-scientific, algebraic-
geometric thought as well as for mesopotamic man’s emergence from protohistory. This was
furthermore fundamental to the symbiotic interactive peculiarity with human being, ensuring his
evolution, with concomitant that one of mathematics and of scientific thought.
1. Introduzione.
1.1 Nascita del pensiero prescientifico.
Col presente articolo, intendo percorrere un ipotetico itinerario storico-interpretativo del diagramma
di argilla, che, a mio parere, fu fondamentale per la nascita del pensiero algebrico-geometrico
prescientifco ed anche per l’uscita dell’uomo mesopotamico dalla protostoria. Questo, inoltre, fu
fondamentale per la peculiarità simbiotica interattiva con l’uomo, garantendo la sua evoluzione
insieme con quella concomitante della matematica e del pensiero scientifico.
Secondo la mia ipotesi, il diagramma di argilla a modulo quadrato fu una formidabile, inattesa e
versatile macchina matematica scaturita da un’arcaica arte edile costruttiva mediante mattoni pieni
standardizzati che ha creato il primordiale pensiero scientifico.
1.2 Il diagramma di argilla dentro le grandi civiltà potamiche ( dei grandi fiumi ).
A mio parere, questo simmetrico diagramma di argilla a modulo quadrato, fu scoperto dagli antichi
artigiani-costruttori Sumeri e utilizzato anche dalle altre civiltà potamiche orientali: Egizi, Cinesi,
Indiani, come versatile e formidabile macchina algebrico-geometrica che consentiva in modo
semplice, così come ho dimostrato con le mie pubblicazioni, di arrivare tramite un artigianale
algoritmo visivo, alle soluzioni dei loro numerosi problemi algebrici rinvenuti, di visualizzare
regole o identità algebriche notevoli da loro già conosciute e di imbastire artigianalmente altre
importanti scoperte matematiche compiute dalle citate civiltà potamiche ma sempre, ancorate a
quest’unico strumento matematico di base, utilizzato come una sorta di gioco logico-enigmistico.2a
Questa semplice macchina matematica fu trasferita stabilmente dentro le rinomate scuole degli
antichi scribi delle civiltà potamiche per migliaia di anni, conservando nel tempo e nella memoria la
sua centrale e fedele utilità didattica operativa algebrico-geometrica, tramite una tecnica edile-
artigianale a secco, fatta con una tassellatura componibile in forma tridimensionale mediante
mattoni o mattoncini (laterizi con spessore) impilabili a incastro o a mosaico. Poteva essere
suddivisa, conformemente al suo utilizzo algebrico, in quattro parti uguali mediante due cordicelle
sovrapponibili e forse, evocava allo scriba uno spirito familiare con i giochi da tavolo dell’epoca. 2b
1Ricercatore autodidatta e studioso di storia della matematica delle civiltà arcaiche. [email protected]
2aGioco reale di Ur: http://it.wikipedia.org/wiki/Gioco_reale_di_Ur
2b Giochi arcaici http://www.pergioco.net/Giochi/GiochiDiTavoliere/Ur/Ur.htm
3
1.3 Il diagramma di argilla entra nell’Ellade e negli Elementi di Euclide.
Il diagramma di argilla, sempre secondo la mia ipotesi, fu importato nell’Ellade grazie ai primi
pionieri ellenici; tra questi, ci fu Pitagora di Samo.
Le scuole pitagoriche, probabilmente smontarono e trasferirono il diagramma, dalla sua originaria
forma tridimensionale in mattoni, dentro una configurazione rievocativa bidimensionale rigida per
poterlo adattare, tramite l’uso di riga e compasso, al più “moderno” papiro introdotto dall’Egitto
nell’Ellade intorno al VI secolo a.C. attraverso il porto fenicio di Gubal, in greco Byblos, diffusosi
poi rapidamente in tutto il mondo classico. 3
Si può ancor oggi intravvederlo, in tutta la sua efficacia algebrica, a iniziare dai primi due libri degli
‹‹Elementi›› di Euclide attraverso le sue note proposizioni che sono abbinate a rigide costruzioni
geometriche e presentate graficamente mediante «linee e superfici bidimensionali senza parti né
alcuno spessore» così volutamente definite nel Libro I, Def.1-7. La tecnica empirico-deduttiva di
base del diagramma di argilla, riecheggia con le cinque Nozioni Comuni, anch’esse non a caso
presenti ed elencate nel Libro I. 3
1.4 Il diagramma perdurò nelle Domus romane e presso gli ultimi seguaci musulmani.
Il diagramma di argilla adornò sicuramente diverse Domus dell’impero romano ma fu carpito, alle
conquistate civiltà talassiche e potamiche, solo come figura modulare geometrica decorativa per
mosaici. Arrivò, attraverso le correnti persiane e indo-arabe, fino all’estreme coste occidentali del
Mediterraneo.4a Questi invece, contrariamente ai romani, lo utilizzarono perlopiù nella sua funzione
matematica originale: quella modulare o algebrico-geometrica risolvente. Il diagramma di argilla,
nell’arte islamica, fu inserito inoltre come figura modulare per ornamento d’interni attraverso la
geometria pratica degli artigiani e così, perdurò nell’arte decorativa dell’ultima roccaforte
matematica dell’antico mondo islamico: l’Alhambra di Granada.
Nell’Europa medievale invece, il diagramma di argilla rientrò attraverso i testi greci e indo-arabi
importati soprattutto grazie a Leonardo Pisano (1170-1240), diffusi in seguito da molti altri
matematici, che svilupparono l’algebra del Rinascimento4b. L’arcaico diagramma di argilla fu però
sconosciuto ai matematici dell’Europa medievale, in quanto, negli antichi testi importati, si ritrovò
già mascherato sia dentro un calcolo e un simbolismo algebrico più evoluto, sia dentro procedimenti
algebrico-geometrici più raffinati a seguito dell’evoluzione matematica prodottasi nel corso dei
millenni storici. Fu questo il motivo per il quale, i nostri matematici rinascimentali furono
assolutamente ignari dell’esistenza di quest’arcaico paradigma in mattoni e progenitore degli antichi
problemi algebrici.
Difatti, si può ancor oggi osservare che, sia le proposizioni, sia i diagrammi, sia lo svolgimento di
problemi algebrici contenuti ad esempio: nell’‹‹Aritmetica›› di Diofanto (III sec.d.C.) o quelli
algebrico-geometrici nell’‹‹Algebra›› di al Khuwarizmi (780-850 d.C.) o negli ‹‹Elementi›› di
Euclide (circa III a.C.), non presentano esplicitamente questo particolare e basilare diagramma di
argilla a modulo quadrato. Ciò non di meno, vi si possono far risalire, sia alcune proposizioni e sia
le nozioni euclidee, sia alcuni problemi algebrici diofantei descritti, sia alcuni diagrammi algebrico-
geometrici esposti nell’‹‹Algebra›› di al Khuwarizmi; tutte tracce riconducibili al diagramma di
argilla e presenti nelle citate Opere, che influenzarono i matematici del Rinascimento.4c
3Periodico di Matematiche, organo della Mathesis, numero 3, Set-Dic 2008- Vol.1-Serie X, Anno CXVIII, 56-60.
4aVedere i miei lavori su Google: La dimostrazione di Bhaskara I . Il diagramma di argilla: soltanto casualita?
4b Studiosi provenienti dall’Europa medievale si radunarono a Cordova e a Toledo alla ricerca di antichi saperi.
4cVa anche tenuta conto l’influenza reciproca della matematica araba con quella indiana e, questa, con quella cinese.
4
2. Breve storia della rinascita del diagramma di argilla.
I miei primi passi intuitivi ed esplorativi concernenti la rinascita di questo straordinario paradigma
modulare risalgono al 1978. Già allora lo ipotizzavo quale strumento utilizzato dagli antichi scribi
per giungere alle soluzioni algebriche dei loro problemi di 1°, 2° e 3° grado, rinvenuti sulle tavolette
cuneiformi 5…Ero ancora uno studente al quarto anno delle scuole medie superiori.
Questi primi e faticosi passi si concretarono circa dieci anni dopo grazie a due allieve di Tullio
Viola: Livia Giacardi e di Silvia C. Roero, che intermediarono per la mia prima pubblicazione. Il
mio primo articolo fu pubblicato nel dicembre 1989, per merito di Oscar Montaldo, direttore della
Rivista:‹‹L’educazione Matematica››. Nella citata pubblicazione proponevo un probabile metodo
algebrico-geometrico sulle origini dell’arcaico principio della semisomma e della semidifferenza in
uso presso i Babilonesi. 5
Fig.1-Planimetrie del diagramma di argilla a modulo quadrato secondo la mia ipotesi, estratto
dall’articolo a pag. 203- Fig.3 e pag 210- Fig.8, ‹‹L’educazione Matematica››, dicembre 1989. 5
Detto principio, capii che poteva essere stato visualizzato, dai costruttori mesopotamici, mediante
l’applicazione casuale di due cordicelle nel suddividere in quattro parti uguali un unico diagramma
in mattoni: una sorta di versatile macchina algebrica di argilla sempre da me ipotizzata ed esposta
nel citato articolo (Fig.1).
Forse per svago, gli artigiani Sumeri scoprirono che imbastendo o impilando con i mattoni
quest’unico diagramma di base a modulo quadrato si poteva mutarlo in altri diagrammi equivalenti
e usarlo come supporto visivo di algoritmi risolventi per molteplici problemi di 1° e 2° grado o per
varie identità algebriche che sapevano applicare abilmente. Scoprirono inoltre che, lo stesso
diagramma di base si poteva svilupparlo facilmente in forma cubica e utilizzarlo ancora come
strumento ausiliario per problemi consequenziali di 3° grado. Nel potenziare il diagramma di argilla
fu però inevitabile introdurre l’uso di tavole complementari per valori quadratici o cubici risolventi.
Problemi rinvenuti del tipo: n 3
+ n 2, erano risolti consultando tavole per valori di n intero
variabile, una di queste, fu rinvenuta con n che varia da 1 a 30; valori non registrati sulle tavole,
venivano ricavati mediante interpolazione. 6
5
Le possibili origini geometriche del principio della semisomma e semidifferenza delle incognite in uso presso i
Babilonesi e sue applicazioni. Rivista “L’educazione Matematica”, Anno X –Serie II – Vol.4 – n°3 – Dicembre 1989,
pagg. 197-218. Diretta da Oscar Montaldo. 6 Carl B. Boyer, Storia della matematica, cap. 3, Milano: Mondadori, 2011.
5
Demotivato dall’indifferenza e dall’inspiegabile ostilità per pregiudizio attorno a queste mie ipotesi
sulle origini del pensiero algebrico prescientifico, dettata più da una vera e propria mancanza, nella
comunità italiana degli storici delle matematiche, di validi o imparziali specialisti nel campo
matematico delle civiltà arcaiche, nella primavera del 1991 abbandonai a malincuore tutte le mie
ricerche che ripresi casualmente molto tempo dopo: trascorse esattamente un ciclo Saronico.7
Difatti, nell’autunno del 2007 vidi casualmente diverse costruzioni geometriche ipotizzate come
probabili risolventi dei problemi algebrici cuneiformi, dagli attuali specialisti internazionali in
materia di matematica mesopotamica: Jens Høyrup 8a
e Jöran Friberg.
Mi accorsi subito che la maggior parte delle diverse costruzioni geometriche di Jens Høyrup e di
Jöran Friberg 8b
, associate a ogni problema algebrico cuneiforme esaminato, dovevano collocarsi
più correttamente per conformità, all’interno di un unico o centrale modulo artigianale di base. Mi
risultò, infatti, facile costatare che erano tutte riconducibili o derivanti da un unico paradigma
risolvente di fattura edile-costruttiva che avevo ipotizzato: ‹‹il diagramma di argilla a modulo
quadrato››. Tale ipotesi figura in un mio articolo pubblicato nel 1989 nella precitata Rivista e, per
facilitarne qui la comprensione, ripresento la sola Fig.8 di pag.210 in una forma più esplicativa nelle
seguenti Figure, 2 e 3:
Fig.2- Planimetria del diagramma, estratto di pag. 210, Fig.8, dicembre 1989.
5 Secondo la mia
ipotesi, il diagramma di argilla era costituito da quattro mattoni a sezione rettangolare imbastiti a
modulo quadrato. Le due cordicelle sovrapposte erano fissate sulla mezzeria del lato esterno (o
interno) del diagramma in modo che lo suddividevano equamente in quattro parti quadrate, sia
internamente(4v2), sia interamente(4u
2). Le due cordicelle così applicate visualizzano il principio
della semisomma e della semidifferenza.
Il principio della semisomma e della semidifferenza utilizzato frequentemente dai babilonesi per le
soluzioni dei loro problemi algebrici rinvenuti su tavolette in forma retorica, fu individuato agli
inizi del novecento dall’Assiriologo F. Thureau-Dangin nel tradurre linguisticamente i numerosi
testi matematici cuneiformi. Fu anche l’unico, a tradurre correttamente e conservare maggiormente
nel loro significato originale i frequenti termini accadici usati dagli scribi nei testi matematici, quali
ad esempio: “Šiddu-Pûtum” che significa letteralmente“ il Fianco-il Fronte”; Otto Neugebauer
invece, per convenienza matematica, li decifrò come:“la Lunghezza-la Larghezza”. Ebbene, nel
loro significato originale, questi termini sono usati ancor oggi in edilizia per indicare le facce
laterali di un mattone o di uno scavo. Un pratico scriba, risolveva molto più facilmente i problemi
algebrici manipolando cordicelle, unità solide di misura e mattoni anziché dover prontamente
disegnare e imprimere precise linee, quadrati e rettangoli sull’argilla fresca che si seccava in fretta,
rendendo difficili aggiunte e correzioni. 9
7 Il ciclo Saronico è riferito tra le due approvazioni intercorse alle due pubblicazioni scientifiche avvenute: 1989-2008
8aJens Høyrup, Lengths, Widths, Surfaces. Berlino:Spinger 2002.
8bJöran Friberg, Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics World Scientific 2007
9 Lo scriba utilizzava maggiormente l’argilla per scrivere l’algoritmo che compiva col dinamico diagramma di argilla.
6
PRIME IDENTITÀ ALGEBRICHE VISIBILI SUL DIAGRAMMA DI ARGILLA
y
4x + 4 v2 =4 x y + 4 [(x – y)/2)]
2 =x
2 + 2 x y + y
2 =4 [(x + y)/2]
2 =4 u
2 =4 (v
2 + x y) =(x+y)
2
Fig.3- Semidifferenza: v =(x – y)/2; semisomma: u =(x + y)/2, applicate sul diagramma di argilla.
Ritenni, pertanto, opportuno rendere il tutto più incisivo con un successivo lavoro esplicativo, che
fu pubblicato nel Dicembre 2008 10grazie all’intermediazione di Francesca Galasso, presidente di
GioiaMathesis e col vivo interesse di Andrea Laforgia, direttore del Periodico di Matematiche della
Mathesis che acconsentì di complementare la mia pubblicazione del 1989.
Annarita Ruberto11, dal 2009, ospita sui suoi blog: Matem@ticaMente e Scientificando i miei lavori
inerenti a queste ipotesi sulle origini del pensiero scientifico. Difatti, sui citati blog, si possono
sfogliare gratuitamente: “La Scienza di Talete, Lettera dello Scriba, Genesi del Teorema di
Pitagora, La dimostrazione di Bhaskara I, Il diagramma di argilla: soltanto casualita?”… Ecc. 12
Nel marzo 2012, seguì una mia mirata sperimentazione della peculiarità interattiva del diagramma
di argilla grazie alla disponibilità collaborativa di Marco Cameriero13, uno studente che ha avuto
modo di mostrare il suo talento informatico grazie ai citati blog. Durante lo scambio di e-mail con
Marco, in un suo applet che gli avevo richiesto per creare, a scopo didattico, una generalizzazione
del diagramma di argilla, intravidi casualmente l’anello mancante che stavo cercando da qualche
tempo, in altre parole, quella tecnica arcaica che doveva esserci alla base di un unico metodo
artigianale, valido per tutti i diagrammi modulari, per generare le diverse foggiature di prima
imbastitura dei vari poligoni regolari di argilla. Marco Cameriero, dopo quell’esperienza, scrisse un
suo articolo “Matematica d’argilla: generalizzazione del diagramma quadratico”, che gli fu
pubblicato da Annarita Ruberto su Matem@ticaMente e anche sulla rivista Scuola e Didattica.
Anche gli alunni di Annarita Ruberto hanno potuto sperimentare, direttamente in classe, la valenza
interattiva del diagramma di argilla che fabbricai volutamente per l’esperimento. A tal esperienza,
avvenuta nel marzo 2011, seguì un post sul blog Matem@ticaMente: E’ arrivato a scuola il
millenario diagramma di argilla a modulo quadrato. Questo strumento matematico, se ricostruito
con l’argilla e riutilizzato in modo fedele all’originale, mette in gioco tutti i sensi dell’uomo.
10
Periodico di Matematiche- n. 3, Set-Dic 2008- Vol. 1 –Serie X , Anno CXVIII, pagg.33-78: «Il diagramma di argilla,
geometrico risolvente a modulo quadrato che governava l’intera arte algebrica degli antichi scribi. Un paradigma che
ha aperto le porte alla Cultura Matematica delle civiltà arcaiche». 11
Annarita Ruberto, insegna Matematica e Scienze nella Scuola sec. di 1° “Ungaretti”, Solarolo (Ra). Ha collaborato,
per oltre un decennio, con la Rivista “Scuola e Didattica” Editrice La Scuola. Il suo profilo professionale: http://it.linkedin.com/pub/annarita-ruberto/7/50/397 12
Alcuni lavori furono pubblicati anche da Francesca Galasso, Antonio Bernardo, Luigi Gaudio e Michele Luongo sui
loro rispettivi siti e blog: GioiaMathesis, Matematicamente, ATuttaScuola e BluArte; visitabili anche dal mio sito: www.storiadellamatematica.it 13
Marco Cameriero studia al quinto anno superiore dell’Istituto A.Orsini di Ascoli Piceno: www.marcosroom.it
7
3. Tre grandi conquiste delle civiltà arcaiche: l’incognito, l’inaccessibile e l’irraggiungibile.
PLANIMETRIA DEL DIAGRAMMA DI ARGILLA NELLA FORMA STANDARD O “NORMALE”14
Fig.4- Fasi risolutive artigianali dei problemi di 2° grado nella forma: X ± Y = S; X ∙ Y = b
U= (X+Y)/2; V= (X-Y)/2 ; X= U+V ; Y= U-V.
L’ARTIGIANALE TASSELLATURA SUL DIAGRAMMA VISUALIZZA UN NOTEVOLE TEOREMA.
15a
Fig. 5.1- Prime fasi del teorema “di Pitagora” dell’alta antichità
15b da A a D: d
2 = x
2 + y
2
Fasi C= C1= D: la tassellatura induce a spostare o ruotare in C1, i 2 mattoni triangolari xy/2.
Fig.5.2- Fasi del teorema da E a H con la scoperta induttiva dello gnomone: y2
= nd +n(d-n).
Fasi F-G: La tassellatura induce a far scivolare o ruotare il nuovo mattone quadrato x2 in G.
In virtù delle fasi visualizzate in precedenza: C=C1=D, l’area gnomonica che si unisce al
mattone quadrato x2 è uguale all’area del quadratino y
2.
14 I babilonesi riconducevano spesso problemi più complessi a una forma standard o normale: X ± Y = S; X ∙ Y = b.
15 aPeriodico di Matematiche- n. 3, Set-Dic 2008- Vol. 1 –Serie X , Anno CXVIII, pagg. 33-49.
15 bLe fasi portano a visualizzare: d
2 = x
2 + y
2. È facile vedere anche in D, che: d
2 = (x – y)
2 + y
2 + (4xy/2 –y
2);
inoltre: (x – y)2 = x
2 + y
2 – 4xy/2. Questa identità è sfruttata nella tavoletta Db2-146. È facile vedere anche nella
Fig.5.2 in E, che: (x – y)2 = (x + y)
2 - 8xy/2.
8
Questa tassellatura (Fig.5.1.2.3) spinse ad architettare i problemi dello scivolamento del palo.
Fig.5.3- Fasi finali del teorema da I a M per ricavare la diagonale: d =(y
2+n
2)/2n.
Non dimentichiamo che i progetti edili erano creati mediante modellini in mattoni.
Fig.6-Problemi dello scivolamento del palo o della canna: Tavola B.M.85196 n°9 e Tavola
B.M.34568 n°12.
Testo n°9 BM.85196 (antica Babilonia - II millennio a.C.): Un palo, lungo 30, posto
verticalmente contro un muro, è disceso di 6 verso il basso. Di quanto si è allontanato alla base
del muro? Dati del problema: n=6; d=30; y= ?; x= d-n.
Testo n°12 BM.34568 (epoca seleucida - III sec. a.C.): Una canna è posta verticalmente contro
un muro. Se discende (con l’estremità superiore della canna) di 3cubiti, la canna si discosta
(dalla base del muro) di 9 cubiti. Quanto è (lunga) la canna? Quanto è il muro? Ovvero, quanto
misura la parte del muro occupata dalla canna? Dati del problema: n=3; y=9; d= ?; x=d-n.
I due procedimenti esposti in forma retorica da entrambi gli scribi, ripercorrono perfettamente le
fasi esposte nella tassellatura di Fig.5.1.2.3. Che questo strumento algebrico di argilla era
verosimilmente utilizzato è altresì avvalorato dal fatto che, per l’ultima domanda del Testo n°12
BM 34568: “Quanto è il muro?”, lo scriba risponde correttamente ma percorrendo un prolisso
procedimento algebrico più simile a una verifica anziché preferire una più facile operazione
aritmetica, come fece il suo predecessore. Un ridondante procedimento algebrico perfettamente
ripercorribile, passo dopo passo, poiché basta confrontarlo con le fasi a ritroso visibili in
Fig.5.3.2. Ciò porta a pensare che, da parte dello scriba di epoca seleucida, ci fosse un forte
legame col diagramma di argilla e che questo strumento governasse interamente l’arte algebrica
degli antichi scribi. Vedere il mio lavoro su Google: “Genesi del teorema di Pitagora”.
Questo particolare problema menzionato era molto diffuso tra le arcaiche civiltà potamiche:
Sumeri, Egizi, Cinesi e Indiani, i quali, lo risolvevano in modo pressoché identico e questo ci fa
intuire che tra le precitate civiltà anche il diagramma di argilla era altrettanto diffuso. Questo
problema si ritroverà inoltre in epoche diverse: nel Liber Abaci di Leonardo Pisano e nel Summa
di Luca Pacioli, ma entrambi ignari del diagramma di argilla per i motivi già citati a pag. 3.
9
Senza la scoperta dell’argilla, dell’invenzione in serie del mattone che gode almeno di 10.000
anni di storia16
e della conseguente scoperta del diagramma di argilla a modulo quadrato,
grazie alla quale le civiltà mesopotamiche stabilirono la prima grande conquista dell’incognito
e, senza la Scienza strumentale di Talete di Mileto17 supportata con l’invenzione del Suo
multifunzionale strumento, un’altra formidabile macchina matematica versatile (Fig.7) con la
quale stabilì le grandi conquiste dell’inaccessibile terrestre e dell’irraggiungibile celeste,
vengono i brividi a pensare in quale povertà culturale e scientifica potremmo essere ancora
immersi.
LA SCIENZA DI TALETE
Fig.7a - L’irraggiungibile Fig.7b - L’inaccessibile
Fig.7c - Didattica strumentale Fig.7d – L’irraggiungibile
Fig.7-Talete di Mileto il maestro conquistatore.
Senza queste tre grandi conquiste, l’uomo, non sarebbe certamente partito dopo alla grande
conquista dell’invisibile mondo del microcosmo e della macrocosmica materia universale, solo
per citare un esempio.
16 James W.P. Campbell- Will Pryce, ( 2003) il mattone e la sua storia, 8000 anni di architettura, Bolis Edizioni.
17 La Scienza di Talete, Aldo Bonet, Lulu .com. 2009, scaricabile gratuitamente: www.storiadellamatematica.it
10
4. L’importanza della comparsa del mattone e del diagramma di argilla nella storia.
La mia riscoperta della Scienza di Talete (VII-VI secolo a.C.), si può considerarla una
ricostruzione fondamentale che mancava nel mosaico frammentario perduto della storia del
pensiero scientifico, ma la mia riscoperta del diagramma di argilla (circa 3200 a. C.), nel campo
storico sulle origini del pensiero algebrico-geometrico prescientifico, si può considerarla ancora
più importante.
I‹‹mattoni››, sin dall’alba dei tempi (A.T. Libro della Genesi 11), dopo che furono inventati
dall’uomo mesopotamico e in seguito standardizzati in gran quantità, diedero impulso e forma al
primordiale pensiero algebrico-geometrico prescientifico e a tutto lo sviluppo che ne seguì.
Fig.8- Babilonesi occupati con progetti e problemi algebrico-geometrici mediante mattoni.
In Fig.8, le prime tre imbastiture, visibili a sinistra (A – B – C) e con quella in (B) utilizzata come
base per tutte le altre (A-C-D), servivano rispettivamente a risolvere i problemi di 1° e di 2° grado
e, indifferentemente sia quelli diretti ( x ± a = b. x2
± ax = c) che quelli con sistema:
Le tassellature a destra (D = E) invece, servivano per la dimostrazione iniziale del loro “teorema di
Pitagora” dell’alta antichità: Il quadrato costruito sulla diagonale dei mattoni (D) è uguale
all’unione dei quadrati costruiti sul fianco e sul fronte dei mattoni costituenti (E).
Senza la comparsa del mattone, senza la scoperta del diagramma di argilla, senza l’avvento di
quell’arcaico pensiero algebrico nato in simbiosi contemplativa con i mattoni grazie agli artigiani-
costruttori mesopotamici 18
che lo scoprirono in un gioco logico-enigmistico e, senza aver
assimilato prima, una certa maturità con una vera consapevolezza dell’uomo di poter sfidare e
conquistare facilmente l’incognito mediante una costante preparazione mentale algebrico-
geometrica, sarebbe stata impossibile, se non addirittura impensabile, la realizzazione delle più
grandi sfide e conquiste future dell’umanità.
18 Anche la matematica dei mattoni della cultura Harappa (3000 a.C.), come quella degli altari, era affidata ad artigiani.
11
5. Il diagramma di argilla: un vitale strumento didattico per l’uomo delle civiltà potamiche.
Fu la particolarità modulare del diagramma di argilla a “insegnare” inizialmente o suggerire
visivamente all’uomo delle civiltà potamiche (così come fu per me che lo studiai attentamente) i
primi passi algebrico-geometrici da compiere (e non viceversa). Solo in seguito, entrando sempre
più in confidenza o in simbiosi contemplativa con esso, l’uomo, mise il diagramma di argilla al
centro di un gioco logico-enigmistico educativo o scolastico come macchina didattica con la quale
risolvere molteplici problemi (o sfide) di natura algebrico-geometrica. Fu l’inizio dell’arte algebrica
degli antichi scribi e di un’evoluzione sociale che portò l’uomo verso nuove sfide e numerose
scoperte compiute in simbiosi con lo stesso diagramma di argilla e sempre più, con importanti
passi o pensieri algebrici, geometrici, matematici e linguistici, che stimolarono l’uomo delle civiltà
potamiche a progettare sempre più in grande e in modo sempre più scientifico.
Fig.9- Scriba intento a descrivere i passaggi algebrico-geometrici compiuti col diagramma.
Grandi imprese come la realizzazione delle prime metropoli urbane, delle maestose ziqqurat 19a,
delle imponenti piramidi Egizie 19b
, delle grandiose scienze antiche 19c
, fino allo sbarco sulla Luna e
alle conquiste più recenti, sarebbero state impensabili per l’uomo se non avesse preventivamente
maturato un pensiero algebrico-geometrico o matematico sempre più scientifico.
Il diagramma di argilla fu uno straordinario e potente strumento artigianale nelle mani dell’uomo
mesopotamico che lo scoprì e lo utilizzò, come macchina matematica di svago, probabilmente già
nella seconda metà del IV millennio a.C. e paragonabile per frequenza di utilizzo, con l’altro
arcaico strumento matematico complementare, certamente in uso presso le antiche civiltà potamiche
e talassiche: l’abaco. Con l’abaco e per la necessaria funzionalità reciproca col diagramma di
argilla, vi fu anche un’integrazione con l’uso consultivo delle tavole: dei quadrati, dei cubi, dei
reciproci e delle costanti, ecc.. alle quali ricorrevano spesso gli antichi scribi.
19a -
Costruzione templare caratteristica delle religioni dell’area mesopotamica.
19b - Houdin J.P. (2007). Cheope, i segreti della costruzione della grande piramide. Torino: Ananke.
19c - Bonet A. (2009). La Scienza di Talete. Canada: Lulù.com di Robert Young.
12
6. Il diagramma di argilla fu la chiave di volta nella cronologia evolutiva dell’uomo?
Probabilmente sì, e questo spiegherebbe per esempio, perché l’uomo venuto dal ghiaccio o del
Similaun o del tardo neolitico alpino detto Ötzi, viveva ancora in uno stato primitivo rispetto al suo
contemporaneo mesopotamico che si stabilì presso i due grandi fiumi: il Tigri e l’Eufrate.
Ötzi visse in un periodo di transizione: tra il tardo neolitico e l'inizio del calcolitico (o eneolitico)
alpino. La tipologia abitativa di Ötzi era ancora quella tipica del tardo neolitico, mentre il suo
contemporaneo mesopotamico, della seconda metà del IV millennio a.C., si trovava già nel periodo
tra il tardo calcolitico e l'inizio dell'antica età del bronzo, con un’esperienza nell'arte del costruire
mediante mattoni standardizzati consolidata già da molto tempo, dentro un’innovativa rivoluzione
organizzativa stanziale ben impostata, con la scrittura e il calcolo già sbocciati al culmine di quel
periodo cronologico del Vicino Oriente, noto come: "La rivoluzione urbana". 20
Ötzi quindi, si trovava a transitare tra la fine della preistoria e l'inizio della protostoria, mentre, per
quanto citato, il suo contemporaneo mesopotamico entrava, di fatto (e di diritto) grazie
all’invenzione del mattone e alla successiva scoperta del diagramma di argilla, nella storia. 21
Pertanto, lo stato primitivo di Ötzi era dovuto al fatto nel non aver acquisito, esattamente come i
suoi antenati, un salto mentale evolutivo di qualità nell’arte del costruire, privandosi così,
contrariamente al suo contemporaneo mesopotamico, dell’idea geniale del mattone standardizzato.
Purtroppo, a causa del tipico habitat delle Alpi, delle condizionanti materie prime predominanti e
del rigido clima alpino, per Ötzi e i suoi antenati, sarebbe stato difficile pensare a una diversa
tipologia abitativa stanziale tecnicamente più pratica ed evoluta, poiché sarebbe avvenuta solo
mediante un impiego abbondante di argilla per una produzione in serie, con essiccazione all’aria
aperta, di laterizi modulari geometrici e standardizzati a stampo: prismi- parallelepipedi.
Una tecnica rivoluzionaria nell’arte del costruire fatta con una sfilza di mattoni unitari prefabbricati,
facilmente manipolabili e che si mostrarono soprattutto pratici da imbastire o impilare tra loro con
calcine o bitume. Una tecnica che, se fosse stata ampiamente impiegata già dagli antenati di Ötzi,
avrebbe nel quotidiano, condotto anche l’uomo del neolitico alpino all’inevitabile scoperta del
versatile diagramma di argilla a modulo quadrato. Un diagramma artigianale col quale poi, per
svago 22
, il primitivo uomo del ghiaccio avrebbe mentalmente instaurato (così come avvenne per il
primitivo uomo mesopotamico) un rapporto simbiotico-contemplativo di tipo algebrico-geometrico
che lo avrebbe indotto alla conquista dell’incognito e, fatalmente stimolato di conseguenza, verso
uno sviluppo evolutivo sociale e culturale. 23
20 Mario Liverani ,Antico Oriente, Storia società economia, Editori Laterza, in particolar modo la parte seconda: l'antica
età del bronzo, capitoli IV, V, VI, VII, VIII, IX. Dalla rivoluzione urbana (cap.IV) alla età neo-sumerica (cap. IX) 21
La tavoletta algebrica più antica, finora rinvenuta, risale a 4500 anni fa, ma io ritengo che il diagramma di argilla
fosse utilizzato nella bassa Mesopotamia già alcuni secoli prima, nel periodo cronologico della “rivoluzione urbana”
noto come “tardo-Uruk” ,circa 5200 anni fa, quindi all'epoca di Ötzi, e corrisponde alla prima urbanizzazione, avvenuta al culmine della rivoluzione urbana attraverso il sito-guida della città di Uruk e con la scrittura nonché il calcolo, già
sbocciati. 22
Nella matematica cinese anche i quadrati magici e le bacchette numeriche evocavano uno spirito familiare con i
giochi da tavolo e così anche la matematica vedica indiana dei mattoni con quella mesopotamica dove, il loro
artigianale “teorema di Pitagora” era presentato con una forma algoritmica riconducibile al comune diagramma di
argilla, a dimostrazione del fatto che, questa ricreativa macchina algebrica era presente presso tutte le civiltà potamiche. 23
Il diagramma di argilla, a mio parere, avrebbe cooperato allo sviluppo evolutivo degli strumenti linguistici con quelli
concomitanti del calcolo e della scrittura. Secondo alcuni autori, la nascita del carattere algebrico della matematica
antica (indiana ad esempio) sarebbe stata agevolata dai progressi linguistici: Gheverghese Joseph G. (2012). C’era una
volta un numero. Milano: il Saggiatore. Cap. 8, pag. 218.
13
7. Le ultime impronte rimaste dell’arcaico diagramma di argilla.
Questo arcaico diagramma a modulo quadrato, si trova raffigurato e posato anche interamente in
alcuni pavimenti a mosaico di epoca imperiale romana tuttora esistenti: a Ostia (Roma), nel
Santuario della Bona Dea e nell’isolato IX, Regio IV, testacea spicata tiburtina; a Roma, mosaico
dell’area del Doloceum, sull’Aventino e nell’Aedes Concordiae, pavimento in opus sectile di età
Augustea; a Pompei (Napoli) VII Regia insula 16 Domus; a Corfino (Aquila) Loc. Piano San
Giacomo: Edificio porticato, pavimentazione musiva in ambiente a); a Luni (La Spezia) nella Casa
degli affreschi; a Brescia nel piano interrato dell’Istituto scolastico Veronica Gambara 24
; a
Montegrotto Terme (PD) nella Villa di via San Mauro 25
; a Trento, in via Rosmini, nella Casa del
mosaico di Orfeo 26
. Questo motivo geometrico a modulo quadrato è stato chiaramente catalogato
assieme ai numerosi disegni geometrici a mosaico rinvenuti dagli studiosi dell’antica civiltà
romana.27
È ipotizzabile, così come per gli altri disegni geometrici rinvenuti, che questo motivo a modulo
quadrato, affondi le sue radici nelle più antiche culture millenarie e fu preso dagli antichi romani
alle conquistate civiltà talassiche e potamiche contemporanee e precedenti all’epoca imperiale
romana; per questa ragione, il diagramma di argilla, ricompare in forma decorativa nei pavimenti di
diverse Domus romane sparse un po’ ovunque sul territorio dell’antico impero.
Il diagramma di argilla, quasi a voler testimoniare la sua arcaica importanza storico-scientifica per
l’uomo, giace impresso e nella sua forma matematica più vera (Gruppo di simmetrie 442), nei
pavimenti e negli infissi principeschi dell’Alhambra di Granada in Andalusia28
, un gioiello di arte
islamica conosciuta anche col nome di: Medina della simmetria. La scomparsa del diagramma di
argilla dalla memoria umana, avvenne intorno al 1492 d.C. col dissolvimento dei suoi ultimi
seguaci matematici di Granada che coincise con la disfatta del califfato dell’Andalusia e con
l’incoronazione augurale del viaggio di Cristoforo Colombo solennizzata dai re cattolici:
Ferdinando II d’Aragona e Isabella di Castiglia. La regina Isabella ricevette Colombo nel Salone
degli Ambasciatori dell’Alhambra, proprio all’interno del quale è ancora ben presente e visibile il
motivo a modulo quadrato dell’arcaico diagramma di argilla, sia in tutto l’intero pavimento che in
tutte le originali grate lignee collocate sui grandi finestroni a bifora che illuminano l’intero salone,
noto anche come: Salone del Trono o del Sultano o Salón de Comares .
Ringraziamenti.
Ringrazio Gianfranco Arrigo, direttore del Bollettino dei Docenti di Matematica, Centro didattico
cantonale del Cantone Ticino (Svizzera), per essersi impegnato molto nel correggere, semplificare e
snellire linguisticamente questo articolo onde avvicinarlo allo spirito dei suoi lettori. Purtroppo, lo
stesso direttore, non ha più potuto pubblicare il presente articolo a causa di una mancanza di
specialisti o imparziali referee in materia di storia della matematica nel comitato scientifico del
citato Bollettino. Sono fiducioso che, nel pubblicarlo sui Blog scientifici si potrà continuare a
suscitare ugualmente l’interesse dei lettori e dei docenti verso quest’arcaico diagramma di argilla e
soprattutto, tornerà utile all’odierno insegnamento 29
.
24 http://www.arifs.it/caserom.htm 25
http://www.aquaepatavinae.it/portale/?page_id=1690
26 Atti del III Colloquio, Associazione Italiana per lo Studio e la Conservazione del Mosaico-1995- pagg. 533- 534- 676.
Atti del XVI Colloquio, Associazione Italiana per lo Studio e la Conservazione del Mosaico- 2010, Tavola tipologica dei
pavimenti Fig.1,3 di pag. 271 ; Fig. 6 pag. 493, Fig. 8 e 9 pag. 494. 27
Le Décor Géometrique de la Mosaïque Romaine – Picard – Paris - 1985- répertoire graphique et descriptif des
compositions linéaires et isotropes – A.A. V.V. pag. 95 e pag. 141. 28
L’Europa medievale ricercò in Spagna quel sapere orientale che fu poi importante per il Rinascimento. 29
Elena Scubla. I pavimenti e le superfici: http://www.cidi.it/doc/educazione-matematica
14
Conclusioni.
Abbiamo visto in questo articolo, come il diagramma di argilla sia stato indispensabile nella storia
dell’evoluzione dell’uomo e della matematica.
Consapevole della bontà dei miei studi, sono certo che saranno tutte riconosciute le mie intuizioni e
ricerche storiche, sia per il Diagramma di argilla come per la Scienza di Talete e, alla luce di
quest’ultima ed ennesima mancata pubblicazione, in questo caso sul Bollettino dei Docenti di
Matematica, sono altresì certo che i citati direttori: Oscar Montaldo e Andrea Laforgia, che hanno
pubblicato i miei lavori verranno ancor più valorizzati, così come coloro che si sono dedicati per
un’intelligente intermediazione e disponibilità a pubblicarli sui loro blog.
Chi oggi, o un domani, potrebbe mai testimoniare queste riscoperte storiche senza il merito di
coloro che, contro ogni formalismo e pregiudizio, mi hanno dato fiducia nel pubblicarle?
Non è per presunzione, però, dopo una vita passata come studioso autodidatta credo di non aver più
bisogno di esaminatori ma solo di leali: collaboratori. Non ho mai ricevuto, per esempio dal SISM,
smentite alle mie fondate obiezioni mosse alla controversa ipotesi di Jens Høyrup che gli storici
delle matematiche purtroppo hanno sposato; alcuni però, pensano di averla abbracciata in modo
troppo scontato. Jöran Friberg, mi ha confidato che le ipotesi di Høyrup, per come le ha presentate,
non lo convincono molto poiché le costruzioni geometriche, seppur interessanti, gli appaiono troppo
premature e artificiose per l’epoca nonché poco obiettive nell’analisi di supporto della lingua
accadica. Invece, la mia ipotesi unificante include e riunisce non solo varie costruzioni geometriche
di Jöran Friberg ma si promuovono meglio anche le costruzioni di Høyrup se s’inquadrano alla
luce del pertinente diagramma di argilla, giacché il mio semplicissimo diagramma le include tutte
nella sua quarta parte. Vedere anche, critica all’ipotesi di Jens Høyrup, su Google : “Lettera dello
Scriba“.
È mai possibile che, dei normalissimi insegnanti di matematica e alunni di una scuola primaria,
abbiano appreso subito la semplicità e l’efficacia didattica interattiva dell’arcaico diagramma di
argilla? Così come, dei normalissimi insegnanti e alunni delle scuole medie superiori, sia pur
orientati in altre materie, abbiano compreso appieno la semplicità operativa e l’importanza storica di
quest’arcaico paradigma algebrico-geometrico?
È mai possibile che, dei normalissimi artigiani edili trovino con questo diagramma in mattoni a
modulo quadrato una spontanea sintonia operativa?
È mai possibile che, tutti i problemi, tutte le varie sfumature e tutte le fasi dei procedimenti degli
scribi si comprendano appieno col diagramma di argilla? Peraltro, ricomponibile dagli stessi testi
matematici cuneiformi attraverso un’accurata analisi linguistica delle lingue: sumera e accadica.
Sì, è possibile! Perché il segreto sta proprio nella semplicità simbiotica di un siffatto strumento
matematico artigianale, per questo, facilmente scoperto e utilizzato da normalissimi e umili
costruttori edili delle prime civiltà mesopotamiche.
La semplicità è una modesta visione orientata verso albe meravigliose: un privilegio di pochi! La
sofisticatezza è una fastosa visione attratta dagli scenografici tramonti: la prerogativa di molti.
Sì, è possibile! E sarà ancora grazie a dei genuini divulgatori il perdurare dell’immortalità storica
del semplicissimo diagramma d’argilla che determinò anche il successo della prima vera sfida
intrapresa dall’uomo delle civiltà arcaiche: la conquista dell’incognito.
15
L’ALHAMBRA DI GRANADA (secolo XIII - XIV)
Fig. 10- Patio de los Arrayanes con vista verso l’accesso al Salone del Trono.
http://it.wikipedia.org/wiki/Alhambra
Fig. 11- Pavimento presente nel Salone del Trono noto come: Gruppo Simmetrie 442.
Il diagramma a modulo quadrato è chiaramente visibile nell’intreccio del pavimento. -Du Sautoy M. (2007). Il Disordine Perfetto, pag.107. Milano: Rizzoli .
16
Fig.12- Porta d’ingresso dell’Alhambra di Granada detta: Puerta del Vino
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Alhambra-Granada-Puerta_del_Vino.jpg
Fig.13- Porta del Vino: particolare delle grate a modulo quadrato
http://www.europaenfotos.com/granada/pho_gra_83.html
17
Fig.14- Grandi bifore con grate a modulo quadrato nel Salone del Trono.
http://www.thule-italia.net/Marco71/AlHambra/134_3497.JPG
Tavoletta Babilonese BM 15285
Fig.15-Tavoletta Babilonese BM 15285: impronte residue di disegni geometrici. Contorni marcati con linee bianche per evidenziare un probabile diagramma a modulo quadrato che si scorge a fatica sul retro della
tavoletta; risalente al 1800 a. C. circa. Il testo cuneiforme sottostante al disegno è andato purtroppo distrutto. Il disegno geometrico ipoteticamente ricostruito sarebbe pressoché identico al diagramma di argilla qui riproposto in Figura 15 ed estrapolato a pag 10, dalla Fig.8–B. Questo tipo di diagramma, sappiamo, serviva a risolvere i problemi con sistema di 2° grado nella forma standard: x . y = c; x ± y = b.
18
Tavoletta Babilonese BM 15285
Fig.16-Tavoletta Babilonese BM 15285: impronte residue di disegni geometrici. Contorni marcati
con linee bianche per evidenziare un probabile diagramma a modulo quadrato che si scorge a fatica
sul retro della tavoletta; risalente al 1800 a. C. circa. Il testo cuneiforme sottostante, fortunatamente
sopravvissuto, ha permesso la fedele ricostruzione geometrica del disegno, il quale, descrive un
quadrato unitario suddiviso in sedici quadratini. È facile osservare come il disegno sia pressoché
identico al diagramma di argilla qui riproposto in Figura 16 ed estrapolato a pag 10, dalla Fig.8–A.
Il diagramma di argilla così imbastito, sappiamo che serviva a risolvere problemi di 2°grado diretti
del tipo: x2 ± ax = c, presenti sulla tavoletta BM 13901.
Lastra votiva
Fig. 17- Lastra votiva, in calcare (cm 39 x 47), proveniente da Ḡirsu (nel distretto di Lagash),
risalente al XXV secolo a.C. e conservato nel Museo del Louvre (Parigi). Nella parte superiore della
lastra, a sinistra, si vede il re Ur-Nanshe che porta una grande cesta sul capo, contenente dei mattoni
pieni, ed è indicato nella rappresentazione tradizionale come "costruttore di templi". Nella parte
inferiore la figura principale seduta è sempre Ur-Nanshe, rappresentato a destra mentre banchetta
per festeggiare l'avvenuta costruzione del tempio. Questa lastra votiva è rappresentativa di come i
mattoni erano venerati anche dagli stessi re sumeri.
Arte sumera: http://it.wikipedia.org/wiki/Arte_sumera
19
Gioco Reale di Ur
Fig.18- Il Gioco Reale di Urhttp://it.wikipedia.org/wiki/Gioco_reale_di_Ur - cite_note-Finkel-16-1
si riferisce ad alcune tavole da gioco trovate nel cimitero reale dell’antica città-stato di Ur (capitale
dei Sumeri, la biblica Urim) da Charles Leonard Woolley durante una campagna archeologica tra il
1922 e il 1934 e datate in un periodo compreso tra il 2600 e 2400 a.C. Due di questi tavolieri sono
integri e completi di pedine e dadi da gioco, e conservati al British Museum ( Londra). È
considerato tra i più antichi reperti completi di un gioco da tavolo che sia mai stato scoperto. La
tavola più semplice è in ardesia decorata con motivi geometrici in madreperla mentre altre sono
decorate anche con inserti in lapislazzuli e corniola. Una tavola da gioco simile, realizzata in legno,
è stata scoperta nell'Iran meridionale negli scavi di Shahr-i Sokhta , un insediamento dell’età del
bronzo (circa 3200 a.C.). Insieme all’antico gioco egizio Senet risalente tra il periodo predinastico e
la prima dinastia dell’Antico Egitto (3500-3100 a.C.) è considerato da alcuni uno dei predecessori
del moderno backgammon.
Fig.19a Fig.19b
Fig.19- Sulla tavola è presente questa coppia di caselle a disegno geometrico con dei valori tre
(Fig.19a) e cinque (Fig.19b). Le ho estratte fuori poiché danno l’idea di una suddivisione in quattro
parti uguali, molto simile a quella da me ipotizzata per il diagramma di argilla 30
.
30
Fonti tratte da Wikipedia: http://it.wikipedia.org/wiki/Gioco_reale_di_Ur
E da: http://www.pergioco.net/Giochi/GiochiDiTavoliere/Ur/Ur.htm
20
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