1. TITULO

Ingeniería Civil

MOVIMIENTO

ARMÓNICO

SIMPLE

2. OBJETIVO

Ingeniería Civil

Determinar experimentalmente los periodos de oscilación de un péndulo simple y a partir de ellos comprobar la ecuación teórica

Estudiar la relación del periodo con la masa, longitud y ángulo de desviación en un péndulo simple.

Estudiar el movimiento oscilatorio de un sistema masa-resorte.

3. FUNDAMENTO

TEORICO

Ingeniería Civil

Toda ecuación diferencial del tipo 02

2

2

xdt

xd caracteriza un movimiento armónico

simple (MAS), cuya solución general es del tipo armónico T

tAsentx 2;)()(

donde T es el periodo, la frecuencia angular y el desfasaje.

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)

Vamos a estudiar un movimiento llamado MAS, Movimiento Armónico Simple. Para ello, empezaremos viendo una serie de definiciones sencillas:

Movimiento periódico: un movimiento se dice periódico cuando a intervalos iguales de tiempo, todas las variables del movimiento (velocidad, aceleración, etc.), toman el mismo valor.

Movimiento oscilatorio: Son los movimientos periódicos en los que la distancia del móvil al centro, pasa alternativamente por un valor máximo y un mínimo.

Movimiento vibratorio: Es un movimiento oscilatorio que tiene su origen en el punto medio, de forma que las separaciones a ambos lados, llamadas amplitudes, son iguales.

Movimiento vibratorio armónico simple: es un movimiento vibratorio con aceleración variable, producido por una fuerza que se origina cuando el cuerpo se separa de su posición de equilibrio.

Ingeniería Civil

Un resorte cuando lo separamos de su posición de equilibrio, estirándolo o comprimiéndolo, adquiere un movimiento vibratorio armónico simple, pues la fuerza recuperadora de ese resorte es la que genera una aceleración, la cual le confiere ese movimiento de vaivén.

Observando el movimiento del resorte, vemos que se desplaza entre dos puntos, desde la máxima compresión hasta la máxima elongación, pasando por un punto medio, de equilibrio. La distancia desde el punto medio a cualquiera de los extremos la llamamos amplitud y la representamos por A .

La posición que ocupa la bola roja en cada momento con respecto al punto central la conocemos como elongación, x .

El tiempo en realizar una oscilación completa es el período, representado por T y medido en segundos.

La frecuencia es el número de oscilaciones por segundo que realiza y la representamos por f

PÉNDULO SIMPLE:

Llamamos péndulo simple a un ente ideal constituido por una masa puntual suspendido de un hilo inextensible y sin peso, capaz de oscilar libremente en el vacío y sin rozamiento. Al separar la masa de su posición de equilibrio, oscila a ambos lados de dicha posición, realizando un movimiento armónico simple. En la posición de uno de los extremos se produce un equilibrio de fuerzas, según observamos en el gráfico:

Ingeniería Civil

A continuación demostraremos la fórmula del período:

El peso de la bola se descompone en dos componentes: una primera componente que se equilibra con la tensión del hilo, de manera que:

La segunda componente, perpendicular a la anterior, es la que origina el movimiento oscilante:

Sin embargo, para oscilaciones de valores de ángulos pequeños, se cumple: .

Por consiguiente, podremos escribir, teniendo en cuenta, el valor del seno del ángulo:

Se observa que la fuerza recuperadora, que hace oscilar al péndulo, es función de la elongación (X), con lo que podemos afirmar que se trata de un M. A. S. Por ello, podemos

Ingeniería Civil

comparar la ecuación que caracteriza a este tipo de movimientos, que vemos a continuación:

,con la ecuación obtenida anteriormente

Vemos que la pulsación es: ,y teniendo en cuenta que

donde T es el período: Tiempo utilizado en realizar una oscilación completa, llegamos a:

Relación del período con la masa:

Utilizando péndulos de la misma longitud y de diferentes masas en un mismo lugar se demuestra que el periodo de un péndulo simple es independiente de su masa, igual ocurre con la naturaleza de la masa que conforma al péndulo.

Relación del período con la longitud:

Si se miden los periodos de un mismo péndulo simple, haciendo variar únicamente su longitud, se comprueba que, el periodo de un péndulo simple es proporcional a la raíz cuadrada de su longitud.

Relación del período con el ángulo de desviación:

Cuando el ángulo de desviación máximo respecto de la vertical es pequeño (en la práctica menor que 10º) el péndulo oscila con movimiento armónico simple alrededor del punto de equilibrio. En esta situación el periodo resulta ser independiente del ángulo inicial, es decir, el ángulo donde se libera el péndulo, y depende únicamente de la longitud del péndulo y de la aceleración de la gravedad.

También se sabe que el periodo de un péndulo varía con respecto a la amplitud, cuando se trabaja con ángulos muy pequeños, el periodo varía muy poco, esto físicamente es conocido como la ley del isocronismo

4. MATERIALES

Ingeniería Civil

1. Soporte Universal.

2. Pesas.

Ingeniería Civil

3. Transportador.

4. Regla graduada.

5. Cronometro.

Ingeniería Civil

6. Resorte

7. Péndulo

5. PROCEDIMIENTO

Ingeniería Civil

1.- DEDUCCION DE LA ECUACION DEL PERIODO DE UN PENDULO SIMPLE.

1.1. Disponga el péndulo simple (el peso que cuelga del hilo se mantendrá constante), tal como se muestra en la fig. 1

1.2. Seleccione una longitud (l) de unos 0,20m. Sujetando por la pesa dé una pequeña inclinación vertical, suéltelo y mida el tiempo que demoran 10 oscilaciones completas (t1). Repita esto tres veces (t2 y t3). Obtenga el promedio y luego calcule el periodo (T).

1.3. Repita 1.2. incrementando la longitud en 0,10 m. hasta llegar a una longitud de

1,00m. registre sus datos tal como se muestra en la tabla 1.

Ingeniería Civil

2. DEPENDENCIA DEL PERIODO DE UN PENDULO SIMPLE CON LA MASA QUE CUELGA DEL HILO

2.1. Disponga un péndulo simple (fig. 1), con una longitud (L) de 1,00m (el cual se mantendrá constante)

2.2. Seleccione una pesa de masa m. sujetando por la pesa dé una pequeña inclinación vertical, suéltelo y mida el tiempo que demoran 10 oscilaciones completas. Calcule el periodo.

2.3. Repita 2.2. Con otras 3 masas. Registre sus datos tal como se muestra en la tabla 2.

Ingeniería Civil

3. DEPENDENCIA DEL PERIODO DE UN PENDULO SIMPLE CON LA INCLINACION DEL HILO QUE CUELGA.

3.1 Disponga un péndulo simple (fig. 1), con una longitud (L) de 1,00m (el cual se mantendrá constante)

3.2. Sujetando por la pesa dé una inclinación vertical de 3º, suéltelo y mida el tiempo que demoran 10 oscilaciones completas. Calcule el periodo.

3.3. Repita 3.2. Incrementando la inclinación cada 3º hasta los 15º

Ingeniería Civil

3.4. Repita 3.2. para una inclinación vertical de 30º y 60º . Registre sus datos tal como se muestra en la tabla 3.

4. SISTEMA MASA RESORTE.

4.1. Coloque una masa en un extremo del resorte, tal como se muestra en la fig. 2.

4.2. Sujetando por la pesa dé un estiramiento al resorte (mida dicho estiramiento) suéltelo y tome el tiempo para 10 oscilaciones. Calcule el periodo.

4.3. Repetir 4.2. con otras 6 masas (para todos dé el mismo estiramiento). Registre sus datos tal como se muestra en la tabla 4.

6. DATOS

EXPERIMENTALES

Ingeniería Civil

1. DEDUCCION DE LA ECUACION DEL PERIODO DE UN PENDULO SIMPLE.

TABLA I

Para 10 oscilaciones Para 1 oscilaciones

N (m) t1(s) t2(s) t3(s) Promedio t(s)

T (s)

1 0.10 6.2 6.21 6.4 6.27 0.627

2 0.20 8.8 8.83 8.83 8.82 0.882

3 0.30 10.1 10.19 10.01 10.1 1.01

4 0.40 12.5 12.55 12.57 12.54 1.254

5 0.50 13.91 13.81 13.99 13.90 1.39

6 0.60 15.18 15.3 15.27 15.25 1.525

7 0.70 16.54 16.65 16.46 16.55 1.655

8 0.80 17.95 17.9 17.98 17.94 1.794

9 0.90 19.3 19.2 19.27 19.26 1.926

10 1.00 19.9 19.95 20 19.95 1.995

Ingeniería Civil

2. DEPENDENCIA DEL PERIODO DE UN PENDULO SIMPLE CON LA MASA QUE CUELGA DEL HILO

3. DEPENDENCIA DEL PERIODO DE UN PENDULO SIMPLE CON LA INCLINACION DEL HILO QUE CUELGA.

TABLA III

Angulo de inclinación T de 10 oscilaciones (s) Tuna oscilación (s) 3° 19.7 1.97

6° 19.91 1.991

9° 19.81 1.981

12° 19.78 1.978

15° 19.66 1.966

30° 20.16 2.016

60° 20.71 2.071

4. SISTEMA MASA RESORTE.

TABLA IV

m (Kg) T de 10 oscilaciones (s) Tuna oscilación (s) 0.10 3.02 0.302

0.15 3.14 0.314

0.20 4.03 0.403

0.25 4.11 0.411

0.30 4.52 0.452

0.35 4.66 0.466

m(Kg) T de 10 oscilaciones (s) Tuna oscilación (s) 0.002 19.50 1.95

0.004 19.35 1.94

0.009 19.59 1.96

0.019 19.51 1.95

0.024 19.89 1.99

7. MANEJO DE DATOS

Ingeniería Civil

8. CUESTIONARIO

Ingeniería Civil

1.- Averigüe la ecuación completa del péndulo simple (que no solo dependa de la longitud). Discuta esta ecuación con la ecuación que usamos en nuestra experiencia

Si las ecuaciones de movimiento no se reducen a la forma de la ecuación

�̈� + 𝑤𝑛2𝑥 = 0

El movimiento no será armónico simple. Sin embargo, existen muchos movimientos bastante bien mediante la ecuación anterior mientras la amplitud del movimiento sea pequeña. Tal es el caso del péndulo simple.

Consideremos la oscilación del péndulo simple representando en la figura anterior. El péndulo consiste en un punto material de masa m que oscila sujeto al extremo de un hilo inextensible, de masa despreciable y longitud l. se suelta el péndulo a partir de un ángulo inicial 𝜃0 y una celeridad

Ingeniería Civil

inicial �̇�0 = 𝑤0. Como el hilo es inextensible, el punto recorrerá una trayectoria circular con una aceleración

𝑎 = 𝑙�̈�𝑎𝑡 + 𝑙�̈�2𝑎𝑛

Donde el sentido de la normal se toma hacia el punto de suspensión y el sentido de la coordenada tangencial es el de las θ crecientes. Las componentes de la segunda ley de newton nos da entonces la ecuación diferencial del movimiento.

∑ 𝐹𝑇 = 𝑚𝑎𝑡

−𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝑙�̈�

�̈� = −𝑔

𝑙𝑠𝑒𝑛𝜃

Mientras el Angulo θ sea pequeño,𝑠𝑒𝑛𝜃 ≅ 𝜃(𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜃 𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠) 𝜃 ≪ 14° entonces la ecuación queda de la forma.

�̈� = −𝑔

𝑙𝜃

Ingeniería Civil

Por tanto, el péndulo, sigue un movimiento armónico simple cuya pulsación propia es 𝑤𝑛 = √𝑔/𝑙

y cuyo periodo es 𝑇 =2𝜋

𝑤𝑛= 2𝜋√𝑙/𝑔. Si el ángulo θ no se mantuviera pequeño, el movimiento

resultante seguiría siendo oscilatorio, pero no seria armónico simple. En tal caso, la solución se obtendría integrándola ecuación diferencial del movimiento

�̈� = −𝑔

𝑙𝑠𝑒𝑛𝜃

2.- Investigue brevemente el funcionamiento de un sismógrafo.

Un sismógrafo es un instrumento usado para medir movimientos de la Tierra y cosiste de un sensor que detecta el movimiento de la tierra, llamado sismómetro que está conectado a un sistema de registro. Un sismómetro sencillo, que es sensible a movimientos verticales del terreno puede ser visualizado como una pesa suspendida de un resorte que a su vez están suspendidos sobre una base que se mueve con los movimientos de la superficie de la Tierra. El movimiento relativo entre la masa y la base, proporciona una medida del movimiento vertical de la tierra. Para añadir un sistema de registro se coloca un tambor que gira en la base y un marcador sujetado a la masa. El movimiento relativo entre la pesa y la base, puede ser registrado generando una serie de registros sísmicos, al cuál conocemos como sismo-grama.

Los sismógrafos operan con un principio de inercia – objetos estacionarios, como, la pesa en la figura, que se mantienen sin movimiento a menos que se les aplique una fuerza. - Sin embargo, la masa tiende a mantenerse estacionaria, mientras la base y el tambor se mueven. Sismómetros que son usados en estudios de terremotos son diseñados para ser sumamente sensibles a los movimientos de tierra; por ejemplo movimientos tan pequeños como 1/10,000 000 de centésima (distancias casi tan pequeñas como espacios atómicos) pueden ser detectados en lugares sumamente quietos.

Ingeniería Civil

Los sismógrafos modernos de investigación son electrónicos, y en vez de utilizar marcador y tambor, el movimiento relativo entre la pesa y la base generan un voltaje eléctrico que es registrado por una computadora. Modificando la posición del resorte, la pesa y la base; los sismógrafos pueden registrar movimientos en todas direcciones. Los sismómetros comúnmente registran movimientos de muchas y diferentes fuentes naturales; como también aquellas causadas por el hombre; por ejemplo movimientos de los árboles a causa del viento, olas golpeando las playas, y ruidos de autos y grandes camiones.

9. CONCLUSIONES

Ingeniería Civil

Como conclusión podríamos decir que el periodo de un péndulo simple para pequeñas oscilaciones (15 ó 20 0 de máxima separación), depende exclusivamente de la longitud, siendo independiente de la masa y de la amplitud. La ecuación que nos da el periodo de un péndulo simple es:

g

lT 2

10. BIBLIOGRAFIA

Ingeniería Civil

FISICA 2 HUGO MEDINA

MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS R. C. HIBBELER, EDITORIAL PEARSON

FÍSICA II HUMBERTO LEYVA NAVEROS, EDITORIAL MOSHERA, SEGUNDA EDICIÓN.

FISICA I SERWAY RAYMOND, EDITORIAL MC GRAW HILL, SEXTA EDICIÓN.

FÍSICA APLICADA Y EXPERIMENTAL, GUILLÉN CALDERÓN EDER, EDITORIAL AMÉRICA, TERCERA EDICIÓN.