Informe. Pràctica 1: Moviment harmònic simple. Superposició … II...Informe. Pràctica 1: Moviment harmònic simple. Superposició i figures de Lissajous. Física II Valentín

Informe de laboratori Pràctica 1: Moviment harmònic simple. Superposició i figures de Lissajous.

Grup 4 GrETA Equip 6 Antonio Shu

Valentin Valhondo Pascual Professor: Jordi Zamora

Informe. Pràctica 1: Moviment harmònic simple. Superposició i figures de Lissajous.

Física II Valentín Valhondo Pascual i Antonio Shu

1

1. Introducció

En aquesta pràctica s’estudiaran els diferents casos resultants de la superposició de dos

moviments harmònics, ja siguin en la mateixa direcció o en direccions perpendiculars,

mitjançant un oscil·loscopi de raigs catòdics de dos canals, dos generadors de baixa freqüència,

dos diapasons amb caixa de ressonància i anella lliscant i un micròfon.

En els muntatges que es realitzaran observarem les diferents figures que es van formant en

l’oscil·loscopi a mesura que anem realitzat les diferents superposicions ja siguin MHS,

pulsacions o figures de Lissajous.

Un cop s’hagin recollit les mesures que es demanen en el guió de la pràctica, s’analitzaran les

dades obtingudes i es resoldran unes pregunte sobre el tema tractat.



2

2. Fonaments Teòrics 1

El moviment harmònic simple és una oscil·lació periòdica present en molts sistemes que

verifiquen unes condicions sobre els paràmetres que els defineixen i sempre ve definida per

una equació diferencial del tipus:

Una possible solució a aquesta equació diferencial és l’equació sinusoïdal:

La superposició de dos MHS de diferent però semblant freqüència que oscil·len en la mateixa

direcció produeix una pulsació, una variació periòdica de l’amplitud màxima de l’oscil·lació.

D’altra banda, la superposició de dos MHS perpendiculars i freqüències dóna lloc a una

figura, que en cas que la relació de freqüències sigui una relació entre números senzills, és

tancada i rep el nom de figura de Lissajous. Aquesta figura verifica la següent relació:

1 En la realització dels fonaments teòrics s’han emprat els següents documents:

- “Moviment harmònic simple. Superposició i figures de Lissajous.” del Laboratori OOT del Departament de Física i Enginyeria Nuclear del centre ETSEIAT.



3

3. Mètode Experimental

En aquesta pràctica, amb l’objectiu de realitzar el calibratge de freqüències es realitzaran les

següents accions:

Respecte al mètode experimental, es troba dividit en quatre parts:

Oscil·lació harmònica d’un diapasó: amb l’objectiu d’estudiar els paràmetres que defineixen la

vibració mecànica produïda en colpejar l’extrem d’un diapasó, es connectarà el micròfon a

l’entrada de l’oscil·loscopi i es col·locarà davant la caixa de ressonància del diapasó. Tot seguit,

es colpejarà el diapasó amb un martellet de goma i s’observarà la forma de l’ona que s’obté en

l’oscil·loscopi tot ajustant l’escala per a que apareguin 3 oscil·lacions completes. Aquesta acció

es repetirà amb diferents intensitats i es determinarà quins paràmetres romanen constants i

quins no, i els valors de l’amplitud i la freqüència.

Superposició de dos MHS en la mateixa direcció: Per tal d’obtenir les freqüències dels dos MHS

que produeixen la pulsació, es sintonitzaran els dos generadors aproximadament a una

mateixa freqüència entre 100Hz i 1000Hz tot connectant-los a l’oscil·lador en els diferents

canals i s’aconseguirà que l’amplitud dels dos sigui la mateixa. A continuació es farà que

l’oscil·lador sumi les dues ones mitjançant el botó ADD i s’ajustarà l’escala de temps per a què

siguin visible les pulsacions. Es canviarà la

freqüència d’una de les ones per tal que

aparegui una ona estable en pantalla i es

determinarà la freqüència suma de la

pulsació. Finalment, desactivant el botó

ADD i jugant amb els canals d’entrada, es

mesurarà amb la màxima precisió possible

les freqüències individuals generades.

Superposició de les vibracions generades per dos diapasons: en aquest cas, es desconnectarà

els terminals dels dos generadors, es tornarà a connectar el micròfon a l’entrada i s’encendrà.

Seguidament es colpejaran els dos diapasons idèntics, s’escoltarà el seu so i es visualitzarà a

l’oscil·loscopi. S’haurà de comparar el resultat obtingut amb el de l’experiència realitzada

anteriorment en colpejar-ne només un.



4

Superposició de dos MHS en direccions perpendiculars: Figures de Lissajous: es tornaran a

connectar els generadors als dos canals de l’oscil·loscopi, intentant que les amplituds de les

oscil·lacions siguin semblants, que les escales verticals dels dos canals sigui la mateixa i que

permetin veure l’oscil·lació completa dels dos senyals. Tot seguit es polsarà el botó X-Y, que

permet sumar els dos senyals perpendicularment i selecciona en la senyal vertical una

freqüència de 40Hz i en la senyal horitzontal una de 20Hz. S’observarà la figura que es formi,

tot comptant els punts de tangència i es verificarà la relació 8. Es repetirà l’experiència tres

vegades canviant les freqüències del generador.



5

4. Resultats

4.1. Oscil·lació Harmònica d'un diapasó

Un cop fet el muntatge experimental, hem comprovat que variant la intensitat amb la que

colpegem el diapasó, només aconseguim fer variar l'amplitud de l'oscil·lació, però en cap cas

varia la freqüència. Per tant, dels paràmetres rellevants d'una oscil·lació podem dir que al

diapasó la freqüència és constant i l'amplitud varia en funció de amb la força que facis al

diapasó.

A la següent representació gràfica, es pot veure la diferència que observàvem a la pantalla de

l'oscil·loscopi al fer un cop fort i un fluix:

Observem que efectivament el període no canvia i que és:

TIME/DIV = 0.5 ms / div

VOLTS/DIV=10.0mV/div



6

Calculem la freqüència del diapasó i és de:

⁄

Cosa que és bastant raonable ja que la majoria de diapasons estan fets per vibrar a una

freqüència de 440 Hz. Pel que respecta a l'amplitud de l'oscil·lació, en cap moment és constant

ja que poc a poc va decaient a mesura que passa el temps. En el moment en que es van

prendre les mesures, les amplituds valien:

L'equació del moviment que provoca a les partícules de l'aire en el cas en que no hi hagués

atenuació, seria:

Si es considerés l'atenuació, llavors l'amplitud aniria decaient en el temps.

Es pot comprovar que això correspon a un MHS ja que aquesta equació és solució de l'equació

diferencial que defineix a tots els MHS, que és:

4.2. Superposició de dos MHS en la mateixa direcció

Càlcul de partint de la superposició:

Calculem el període de l'oscil·lació i trobem que és

de:

TIME/DIV = 5 ms / div

VOLT/ DIV = 0.2 V / div

T = 2.8 div



7

Per tant, tenim que:

Si mesurem per separat les freqüències i fem la diferència, el valor que ens dona per la

freqüència és:

1a OSC: Es mesuren 2 oscil·lacions completes.

2a OSC: Es mesuren 2 oscil·lacions completes.

La diferència entre les 2 és de:

Sabent que les freqüències reals a les que es treballaven eren de:

En aquest cas la variació real seria de:

Per tant, podem observar que resulta més precís mesurar les freqüències per separat i

després calcular la variació.

4.3. Superposició de les vibracions produïdes per dos diapasons

Vam observar que l'anella al diapasó el feia variar la freqüència. Quan estava molt proper a la

base, la freq. canviava poc, però quan estava molt amunt, les freqüències eren molt diferents

respecte a un diapasó sense anella.



8

La gràfica que resultava de superposar dues oscil·lacions de la mateixa freqüència (anella abaix

de tot) era una oscil·lació amb interferència constructiva:

La gràfica de color més fosc representa cada oscil·lador individualment i la de color clar seria

la suma de les 2.

La gràfica que resultava de superposar dues oscil·lacions de freqüència semblant (anella al mig)

era una oscil·lació en què variava lleugerament l’amplitud.

Quan teníem l'anella a dalt de tot i fèiem sonar els dos diapasons alhora, per pantalla

observàvem una oscil·lació similar a la de l'apartat 4.2, i feia un so molt estrident i es notava la

variació d'amplitud de l'ona.

4.4. Superposició de dos MHS en direccions perpendiculars: Figures de Lissajous.

Vam realitzar diferents fotografies a les figures de Lissajous que vam trobar provant diferents

freqüències. Les fotografies són:

En aquesta figura de Lissajous veiem que amb l'eix horitzontal

hi ha 4 punts de tangència i als verticals 2, per tant la relació de

freqüències és de :



9

En aquesta figura de Lissajous veiem que amb l'eix horitzontal hi

ha 6 punts de tangència i als verticals 2, per tant la relació de








5. Qüestions

5.1. Indica amb quina funció d'ona es podria descriure de forma més precisa la vibració

d'un diapasó

La funció d'una ona "ideal" és:

Abans s'ha trobat que .



10

k és el nombre d'ona que es calcula fent k= w/v, on v és la velocitat de propagació, en aquest

cas la del so : 340m/s. Considerem que .

L'equació queda com:

Aquesta equació expressa el moviment de l'ona entre l'origen i un punt de l'espai proper a

l'origen. Per acabar de ser completa l'equació, caldria tenir en compte l'atenuació tant per

absorció com per augmentar la distància.

5.2. Com es podrien utilitzar les figures de Lissajous en la calibració d'un generador de

funcions sinusoïdals com el que s'utilitza en aquesta pràctica?

Degut a que per fer les figures de Lissajous es necessiten 2 generadors de freqüències, almenys

un dels 2 ha d'estar perfectament calibrat, ja que sinó s'intentaria calibrar 2 generadors alhora

i és gairebé impossible. Doncs bé, si ens trobem en la situació de que tenim un oscil·loscopi i

un generador de funcions calibrats, i un altre sense calibrar, el procediment que podríem

provar seria:

Ficar els 2 generadors a una freqüència el més semblant possible per així poder ficar les

amplituds iguals. Un cop tinguessin la mateixa amplitud, polsar el botó X-Y i anar provant amb

diferents freqüències per a trobar les figures de Lissajous. A la pantalla de l'oscil·loscopi

hauríem de veure la figura TOTALMENT estàtica, si no fos el cas, hauríem de variar poc a poc la

freqüència del generador que estem calibrant fins que estigui estàtica. En aquest moment,

observem la freqüència que marca que està generant i així sabrem quant error té el calibrador.

Repetir amb diferents freqüències per obtenir un resultat de la calibració més precís.

5.3. Demostra l'equació 5

Primer de tot, com sabem que les oscil·lacions són fenòmens lineals, podem aplicar el principi

de superposició i per tant, el resultat de la interferència entre les 2 oscil·lacions serà una altre

que resulta de sumar les 2 anteriors, per tant:

Sent i dos MHS d’equacions:



11

Per poder sumar les 2 equacions trigonomètriques, hem de trobar algun recurs que ens

permeti expressar d’una altre forma aquesta suma:

Sabem per trigonometria que:

Si sumem les 2 equacions tenim que:

Ens inventem el següent sistema que ens portarà a la solució buscada:

Que té com a solució:

Per tant ens queda que:

Un cop hem trobat aquesta forma d’expressar la suma com a producte, substituïm A per

i tenim que:

(

) (

)

(

) (

)

Que és efectivament, l’equació 5 que volíem demostrar.

6. Conclusions



12

L’objectiu principal d’aquesta pràctica era l’estudi de les diferents superposicions existents

entre dos MHS, ja fossin en la mateixa direcció o en direccions perpendiculars. Mitjançant les

eines de les que disposàvem en el laboratori trobem que l’experiència ha sigut tot un èxit, ja

que hem pogut observar la formació de pulsacions i la formació de figures de Lissajous de

manera molt satisfactòria. De la mateixa manera, hem pogut assolir un coneixement sòlid de

les diferents característiques que tenen les superposicions i que ens seran de molta utilitat en

els temes següents.

7. Annex

Documents

Informe. Pràctica 1: Moviment harmònic simple. Superposició … II...Informe. Pràctica 1: Moviment harmònic simple. Superposició i figures de Lissajous. Física II Valentín