TRABAJO DE INVESTIGACION

Fricción en el fluido y transferencia de calor

El esfuerzo cortante en la pared puede expresarse en términos de un coeficiente de fricción C,

T μ=C fPμ∞2

2

Para poder realizar la relación entre la fricción y la transferencia se lo hace analizando las formulas siguientes:

C fx

2=3

2μu∞4.64

μ∞vx

1ρμ∞2 =0.323 ℜ−1/2

Stx=¿

hx

ρc ρμ∞¿

St x Pr2/3=¿ 0.323 ℜ−1/2

Por comparación entre las dos formulas observamos que los miembros del lado derecho son semejantes excepto por la diferencia de alrededor de 3% en la constante, que es el resultado de la naturaleza aproximada del análisis integral de capa límite. Reconocemos esta aproximación y escribimos:

St x Pr2/3=C fx

2

La Ecuación se llama la analogía de Reynolds-Colburn y expresa la relación entre la fricción del fluido y la transferencia de calor para flujo laminar sobre una placa plana. El coeficiente de transferencia de calor puede así determinarse haciendo mediciones del arrastre por fricción sobre una placa bajo condiciones, en las cuales no se involucra transferencia de calor, Resulta que la

Ecuación también puede aplicarse a flujo turbulento sobre una placa plana y en una forma modificada, a flujo turbulento en un tubo. Esto no se aplica a flujo laminar en tubos. En general, es necesario un tratamiento más riguroso de las ecuaciones que controlan cuando se emprenden

nuevas aplicaciones de la analogía entre transferencia de calor y flujo de fluidos, y los resultados no siempre toman la forma sencilla de la Ecuación.

La transferencia de calor en la capa limite turbulenta.

Considérese una porción de una capa límite turbulento. Una región muy delgada cerca de la superficie de la placa tiene un carácter laminar, y la acción viscosa y la transferencia de calor tienen lugar bajo circunstancias como las que existen en flujo laminar. Más lejos, a distancias y mayores de la placa, se observa alguna acción turbulenta, pero la acción viscosa molecular y la conducción de calor son aún importantes. Esta región se llama la capa de transición.

Aún más lejos, el flujo es por completo turbulento, y el mecanismo principal de intercambio de momento .y calor, es uno que involucra porciones macroscópicas de fluido moviéndose alrededor en el flujo. En esta región por completo turbulenta hablamos de viscosidad turbulenta y conductividad térmica turbulenta. Estas propiedades turbulentas pueden ser 10 veces mayores que los valores moleculares.

Figura : Velocidad en la capa limite turbulento.

El mecanismo típico de transferencia de calor en flujo turbulento es bastante similar al de flujo laminar; la diferencia básica es que uno debe tratar con propiedades turbulentas en lugar de la viscosidad y la conductividad térmicas ordinarias. La dificultad principal en el tratamiento analítico es que estas propiedades turbulentas varían a través de la capa límite, y la variación específica sólo puede determinarse a partir de datos experimentales. Este es un punto importante.

Todos los análisis de flujo turbulento deben basarse eventualmente en datos experimentales, debido a que no hay una teoría adecuada por completo para predecir el comportamiento de flujo turbulento.

El valor medio de la fluctuación, U’ , debe ser cero sobre un periodo largo para condiciones de flujo estacionario. También hay fluctuaciones en el componente y de la velocidad, así que

escribiríamos: u=ü+u’

Figura: Fluctuaciones turbulentas en el tiempo.

Espesor de la capa límite turbulenta

Una cantidad de investigaciones experimentales han mostrado que el perfil de velocidad

en una capa límite turbulenta, fuera de la subcapa laminar puede describirse por

una relación a la potencia de un séptimo

uu∞

=( y∂ )

1/7

donde delta d es el espesor de la capa límite como antes. Para propósitos de un análisis integral, la integral de momento puede evaluarse con la 1 debido a que la subcapa laminar es tan delgada. Sin embargo, el esfuerzo cortante de la pared no puede calcularse de la 1 porque da un valor infinito a y = 0. Para determinar el espesor de la capa límite turbulenta empleamos la ecuación

ρ ddx∫0

δ

(u∞−u )udy=τ ω=u δuδy y=0

Para la relación integral de momento y evaluamos el esfuerzo cortante en la pared a partir

de las relaciones empíricas para fricción superficial que presentamos anteriormente.

De acuerdo con la ecuación.

τ ω=C f ρu∞2

2

y así para Re, < 107 obtenemos

τ ω=0.0296( vu∞ x )

1 /5

ρu∞2

Ahora, usando la ecuación integral de momento para gradiente de presión cero junto con el perfil de velocidad y el esfuerzo cortante en la pared, obtenemos

dδdx

=727

(0.0296)( vu∞ )

1 /5

x−1 /5

Integraremos esta ecuación para dos situaciones físicas

1. La capa límite es turbulenta por completo a partir del borde principal de la placa.

2. La capa límite sigue un patrón de crecimiento laminar hasta ReCrit = 5 X 10^5 y un crecimiento turbulento en seguida.

Para el primer caso integramos la ecuación anterior con la condición que 6 = 0 en x = 0, para obtener

∂−∂lam=727

(0.0296)( vu∞ )

1/5 54 (x4 /5−xcrit

4 /5 )

Combinando las diversas regiones precedentes se obtiene

∂x=0.381Re−1/5−10 ;256 Re−1

Esta relación se aplica solamente para la región 5 X 105 Re, c 107

Transferencia de calor de flujo laminar en tubos

Considérese el sistema de flujo en un tubo de la figura. Deseamos calcular la transferencia de calor bajo condiciones de flujo desarrolladas cuando el flujo permanece laminar.

La temperatura de la pared es Tw el radio del tubo es ro y la velocidad en el centro del tubo es u0. Se supone que la presión es uniforme en cualquier sección transversal.

La distribución de velocidad puede determinarse considerando el elemento de fluido mostrado en la figura. Las fuerzas de presión están balanceadas por las fuerzas viscosas de corte de modo que

u= 14 μ

r dpdx

r2+const

la velocidad en el centro del tubo está expresada por

u0=−r0

2

4dpdx

de modo que la distribución de velocidad puede escribirse

uu0

=1− r2

r02

que es la conocida distribución parabólica para flujo laminar en tubos. Ahora considérese el proceso de transferencia de calor para este sistema de flujo. Para simplificar el análisis, suponemos que hay un flujo de calor constante en la pared del tubo; esto es,

dpu

dx=constante

El flujo de calor conducido hacia el elemento anular es

dq=−k2 πr dx δT∂ r

y el calor conducido hacia el exterior es

dqr+dr=−k2 π (r+dr ) dx ( ∂T∂r+ ∂2T

∂r2 )dr

El calor neto que sale del elemento por convección es

2πrdrρ c puδTδx

dx

El balance de energía es

Energía neta que sale por convección = calor neto que entra por-conducción

o despreciando diferenciales de segundo orden

rρ c puδTδx

dxdr=k ( ∂T∂r

+r ∂2T∂ r2 )

lo cual puede reescribirse

1ur

∂∂r (r ∂T

∂r )=1x∂Tdx

La distribución de temperatura puede escribirse en términos de la temperatura en el centro del tubo:

T−T c=1α

δTδx

u0r02

4 [( rr0 )

2

−14 ( r

r0 )4]

La temperatura global

El coeficiente de transferencia de calor por convección de flujo en tubos se define por lo general como

Flujo decalor local=q} =h( {T} rsub {w} - {T} rsub {b} ¿

donde Tw, es la temperatura de pared y Tb es la llamada temperatura global o temperatura de energía promedio del fluido a través del tubo, la cual puede calcularse a partir de

T b=T=∫

0

r0

ρ2πr dr ucpT

∫0

r 0

ρ2πr dr uc p

La razón para usar la temperatura global en la definición de coeficientes de transferencia de calor puede explicarse de la siguiente manera. En flujo en tubos, no hay una

condición de corriente libre fácilmente perceptible como está presente en flujo sobre una placa plana.

La temperatura global

T b=T c+7

96u0 r0

2

α∗δx

Temperatura de pared

T w=T c+3

16u0r0

2

α∂T∂ x

El coeficiente de transferencia de calor

h= k (∂T /∂r )T w−T b

El gradiente de temperatura

∂T∂r r=r0

=u0

∝∂T∂x ( r2− r 3

4 r02 )r=r 0

=u0 r0

4∝∂T∂x

número de Nusselt,

N ud=hd0

k=4.3

Flujo turbulento en un tubo

El perfil de velocidad desarrollado para flujo turbulento en un tubo aparecerá como se muestra en la Fig. 5-15. Una subcapa laminar o “película”, ocupa el espacio cerca de la superficie, mientras el núcleo central del flujo es turbulento. Para determinar analíticamente la transferencia de calor para esta situación, necesitamos, como siempre, conocer la distribución de temperatura en el flujo. Para obtener esta distribución de temperatura, el análisis debe tomar en consideración el efecto de contracorrientes turbulentas en la transferencia de calor y momento. Usaremos un análisis aproximado que relaciona la conducción y el transporte de calor al transporte de momento en el flujo, es decir, efectos viscosos.

Figura : Flujo turbulento en un tubo.

La Ecuación se llama la analogía de Reynolds para flujo en tubos, Relaciona la rapidez de transferencia de calor a las pérdidas por fricción en flujo en tubos y está en buen acuerdo con experimentos cuando se usa con gases cuyos números de Prandtl están cerca de la unidad:

St= hρc γum

= f8

Una fórmula empírica para el factor de fricción turbulento hasta números de Reynolds de alrededor de 2 X lo5 para flujo en tubos lisos es:

f=0.316ℜd

1 /4

Para propósitos de cálculo, la relación correcta que debe usarse para flujo turbulento en un tubo liso es la Ecuación, la cual escribimos aquí para comparación:

Nud=0.023ℜ0.8 Pr0.4

CUADRO

TEMA FORMULA

Fricción en el fluido y transferencia de calor

St x Pr2/3=C fx

2

La transferencia de calor en la capa limite turbulenta.

u=ü+u’

Espesor de la capa límite turbulenta

ρ ddx∫0

δ

(u∞−u )udy=τ ω=u δuδy y=0

Transferencia de calor de flujo laminar en tubos

T b=T c+7

96u0 r0

2

α∗δx

T w=T c+316

u0r02

α∂T∂ x

N ud=hd0

k=4.3

Flujo turbulento en un tubof=0.316

ℜd1 /4

Nud=0.023ℜ0.8 Pr0.4