Jasmina Premec Zavrsni Rad

SVEUCILITE U ZAGREBUFAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

ZAVRNI RAD

Jasmina PREMEC

Zagreb, 2014.

SVEUCILITE U ZAGREBUFAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

ZAVRNI RAD

Voditelj rada:Prof.dr.sc. Dubravko MAJETIC

Student:Jasmina PREMEC

Zagreb, 2014.

Izjavljujem da sam ovaj rad izradila samostalno koristeci stecena znanja tijekomstudija i navedenu literaturu.

Eksperimentalni dio rada provela sam u laboratorijima Sveucilita Paderborn,Fakulteta strojarstva, odjela za Mehatroniku i dinamiku, kojima se zahvaljujem na fi-nanciranju i opremi. Posebno se zahvaljujem mentoru M.sc. Jamesu Kuria Kimotho,pod cijim mentorstvom sam provela eksperimente, na vodstvu, strucnim savjetima istrpljenju.

Srdacno se zahvaljujem voditelju rada prof.dr.sc. Dubravku Majeticu na prihva-canju mentorstva za ovaj rad, pruanju korisnih savjeta te strucne pomoci pri izradirada.

Jasmina Premec

Jasmina Premec Zavrni rad

Sadraj

Sadraj i

Popis slika iii

Popis tablica v

Popis oznaka vi

Saetak viii

Summary ix

1 Uvod 1

2 Piezoelektricni bimorfni pretvornik 32.1 Piezoelektricni efekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 O efektu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1.2 Matematicka reprezentacija efekta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.3 Piezoelektricni materijali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.4 Primjena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 O pretvorniku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Eksperiment 93.1 Uvod i oprema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Eksperiment 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2.1 Provedba eksperimenta 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2.2 Analiza eksperimenta 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3 Eksperiment 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3.1 Provedba eksperimenta 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3.2 Analiza eksperimenta 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.4 Eksperiment 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.4.1 Provedba eksperimenta 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.4.2 Analiza eksperimenta 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Izgradnja i verifikacija matematickog modela piezoelektricnog pretvornika 224.1 Matematicki model pretvornika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.2 Izracun ekvivalentnih parametara modela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3 Verifikacija matematickog modela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5 Primjena statickih neuronskih mrea u pracenju degradacije pretvornika 295.1 Uvod u umjetne neuronske mree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.1.1 Bioloki i umjetni neuron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.1.2 Osnovne podjele umjetnih neuronskih mrea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.2 Staticka neuronska mrea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2.1 Unaprijedna faza ucenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.2.2 Povratna faza ucenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Fakultet strojarstva i brodogradnje i


5.2.3 Algoritam povratnog rasprostiranja pogreke (Error Back Propagation) . . . . . . . . . . 355.2.4 Levenberg - Marquardt algoritam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.3 Aproksimacija pomaka na temelju mjerenog napona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.4 Aproksimacija rezonantne frekvencije i ekvivalentnog otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Zakljucak 51

Literatura 52

Fakultet strojarstva i brodogradnje ii


Popis slika

1.1 Epiezoelektricni uredaji, a)duo-unimorfna prihvatnica, b)duo-bimorfna prihvatnica MOC (eng.Microrobot On Chip), c)radna ploca s piezoelektricnom prihvatnicom . . . . . . . . . . . . . . . 1

2.1 Prikaz piezoelektricnog efekta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 a)kristal kvarca; b)neoptereceni kristal; c)optereceni kristal du x-osi; d)optereceni kristal du y-osi 42.3 Piezosenzor - princip rada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Piezoaktuator - princip rada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5 Bimorfni pretvornik: princip rada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.6 Shema bimorfnog pretvornika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.7 Pretvornik - prikaz rada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.8 Vrste grednih pretvornika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.9 Provodnost (eng. addmitance) pretvornika kod karakteristicnih frekvencija . . . . . . . . . . . . . 83.1 Piezoelektricni pretvornik, geometrijske znacajke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Oprema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Oprema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4 Eksperiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.5 Napon na senzorskoj strani - jedno uzorkovanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.6 Napon na senzorskoj strani kroz 12 sati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.7 Promjena amplitudnih vrijednosti senzorskog napona svih uzoraka . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.8 Mjerena brzina i pomak jednog uzorkovanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.9 Pomak pretvornika kroz 12 sati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.10 Promjena amplitudnih vrijednosti pomaka kroz 12 sati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.11 Analiza elektricne vodljivosti (admittance) pretvornika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.12 Elektricna vodljivost (eng. admittance) pretvornika s parametrima . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.13 Promjena rezonantne frekvencije kroz mjerenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.14 Promjena ekvivalentnog otpora kroz mjerenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.15 Mjerena elektricna vodljivost pretvornika prije i nakon loma (crno - prije, crveno - poslije) . . . . 183.16 Ulazni signal mjeren osciloskopom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.17 Pretvornik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.18 Analiza signala senzorskog napona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.19 Analiza parametara dobivenih analizom elektricne vodljivosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.1 Ekvivalentni model u a) mehanickom i b) elektricnom prikazu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.2 SIMULINK model piezoelektricnog pretvornika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3 Usporedba mjerenog i simuliranog signala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.1 Pojednostavljena struktura biolokog neurona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.2 Struktura umjetnog neurona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.3 Nelinearna bipolarna sigmoidalna aktivacijska funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.4 Model staticke unaprijedne neuronske mree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.5 Topologija trenirane staticke neuronske mree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.6 Parametri treniranja mree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.7 Usporedba mjerenog i izlaznog signala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.8 Usporedba mjerenog i izlaznog signala kod amplitudnih vrijednosti . . . . . . . . . . . . . . . . 455.9 Usporedba mjerenog i izlaznog signala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.10 Usporedba mjerenog i izlaznog signala kod amplitudnih vrijednosti . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Fakultet strojarstva i brodogradnje iii


5.11 Blok shema testiranja mree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.12 Usporedba mjerenog i izlaznog signala kod amplitudnih vrijednosti . . . . . . . . . . . . . . . . 475.13 Topologija mree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.14 Parametri treniranja mree LM algoritmom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.15 Rezonantna frekvencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.16 Ekvivalentni otpor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.17 Parametri treniranja mree EBP algoritmom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.18 Rezonantna frekvencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.19 Ekvivalentni otpor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Fakultet strojarstva i brodogradnje iv


Popis tablica

2.1 Parametri pretvornika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.1 Parametri eksperimentalnog pretvornika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.1 Velicine dobivene od proizvodaca za materijal M1876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2 Parametri pretvornika dobiveni na temelju (4.13) - (4.30) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Fakultet strojarstva i brodogradnje v


Popis oznaka

Oznaka Jedinica OpisD C/m2 gustoca elektricnog toka F/m dielektricnostE V/m jakost elektricnog poljaS - deformacijas m2/N neotpornostT N/m2 naprezanjelb mm ukupna duljina pretvornikal mm slobodna duljina pretvornikaw mm irina pretvornikat mm debljina pretvornikay mm ukupni otklonFb mN sila na pojedinoj strani pretvornikaC nF kapacitet pojedine keramicke straneUmax V radni naponfm Hz frekvencija minimalne impedancijefs Hz frekvencija serijske rezonancefr Hz rezonantna frekvencijafn Hz frekvencija maksimalne impedancijefp Hz frekvencija paralelne rezonancefa Hz antirezonantna frekvencijatp mm debljina piezoslojatsh mm debljina meduslojaRm ekvivalentni otporLm mH ekvivalentni induktivitetCm pF ekvivalentni kapacitetCp nF kapacitet piezoelektricnog sustavaQm - faktor mehanicke kvalitetex m pomakF N silaM kg ekvivalentna masaB Ns/m ekvivalentno mehanicko priguenjeK N/m ekvivalentna mehanicka krutost - prijenosni faktork - piezoelektricni faktor spojaYb N/m2 modul elasticnosti gredeIb m4 moment inercije grede

Fakultet strojarstva i brodogradnje vi


Yp N/m2 modul elasticnosti piezokeramickog slojaYsh N/m2 modul elasticnosti meduslojaYbsc N/m2 modul elasticnosti pretvornika kod donje granice krutostiYboc N/m2 modul elasticnosti pretvornika kod gornje granice krutostiIbsc m4 moment inercije pretvornika za donju granicu krutostiIboc m4 moment inercije pretvornika za gornju granicu krutostiKbsc N/m donja granica krutostiKboc N/m gornja granica krutostiMb kg masa pretvornikap kg/m3 gustoca piezokeramickog slojash kg/m3 gustoca meduslojanet - vrijednost funkcije sumey - vrijednost izlaza neuronaZi - ulazi u mreuvi j - teine veza izmedu ulaznog i skrivenog slojawk j - teine veza izmedu skrivenog i izlaznog slojaOk - izlazi iz mreeBIAS - neuroni izlazne vrijednosti jednake jediniciH - oznaka skrivenog slojaI - broj ulaznih neurona + 1J - broj neurona u skrivenom sloju + 1Kp - nagib lienarne aktivacijske funkcijeE - greka ucenjadn - eljeni izlaziN - broj koraka u skupu za ucenje - teinski koeficijenti - koeficijent ucenja mree - momentumJ(w) - Jacobieva matrica

Fakultet strojarstva i brodogradnje vii


Saetak

Piezoelektricni bimorfni pretvornik elektronicki je element koji ima iroku namjenu uraznim uredajima. Najcece se koristi kao aktuator za pozicioniranje na mikrometarskoj razini,zbog cega je bitno uociti promjenu bilo koje vrste u parametrima koji utjecu na promjenu vri-jednosti pomaka. U ovom radu opisan je piezoelektricni bimorfni pretvornik, njegova struktura,parametri, nacin rada, svojstva. Izveden je i matematicki model pretvornika te provedena si-mulacija istog u odgovarajucem softverskom paketu. Zatim su opisana tri eksperimenta prove-dena na pretvornicima istog tipa te je dana analiza rezultata. Primjenjena je umjetna neuronskamrea u svrhu aproksimiranja parametara cijom analizom je moguce utvrditi stanje pretvor-nika. Parametri se aproksimiraju na temelju lako mjerljivih velicina poput napona i struje tese tako izbjegava prekid rada uredaja i koritenje skupocjenih senzora. Koritenjem umjetnihneuronskih mrea moguce je dobiti uvid u broj preostalih radnih sati pretvornika prije negodode do zamora materijala te zakazati pravovremeno odravanje. Takoder je moguce utvrditilom ili neki drugi oblik kvara pretvornika.

Kljucne rijeci: piezoelektricni bimorfni pretvornik, aktuator, pozicioniranje, eksperimenti,matematicki model pretvornika, umjetna neuronska mrea, zamor piezoelektricnog materijala,lom, kvar.

Fakultet strojarstva i brodogradnje viii


Summary

Piezoelectric bimorph transducer is an electronic component that has wide application invarious devices. Since it is generally used as an actuator for positioning on a micrometer scale,it is important to determine any kind of change in properties that effect the displacement of thetransducer. In this paper piezoelectric bimorph transducer is described, its structure, parame-ters, mode of work and properties are given. Mathematical model of the transducer is described,also simulation of the model in proper software package is conducted. Three experiments areexecuted on transducers of the same type, and analysis of the results is given. Artificial neuralnetwork is used to approximate parameters that are relevant for determining condition of thetransducer. Parameters are approximated based on values that can be measured easily, such asvoltage or current. By using artificial neural networks it is possible to get insight in remainingworking hours of the transducer before it comes to fatigue, therefore it is possible to schedulemaintenance on time. Furthermore, cracks or any other type of failure can be determined.

Key words: piezoelectric bimorph transducer, actuator, positioning, experiments, mathe-matical model of the transducer, artificial neural network, fatigue, crack, failure.

Fakultet strojarstva i brodogradnje ix


1 Uvod

Piezoelektricni bimorfni pretvornici elektronicki su elementi koji se koriste kao senzori ikao aktuatori zbog reverzibilne karakteristike piezoelektricnog efekta, a svojim su djelovanjemslicni bimetalima. Kako konstrukcija piezoelektricnih bimorfnih pretvornika omogucuje otklonod nekoliko milimetara, sile do nekoliko Newtona, ostvarene u vrlo kratkom vremenskom peri-odu, piezoelektricni bimorfni pretvornik smatra upravljackim elementom visoke djelotvornostii brze reakcije. Piezoelektricni bimorfni gredni aktuatori niskonaponski su elementi, imaju ve-liku brzinu upravljanja, tihi su i ne zahtjevaju puno prostora, to ih cini iroko rasprostranjenimu raznim primjenama. Specificni dizajn aktuatora zajedno s ucinkovitom keramikom uspjenopostie regulaciju otklona i sile.

Upotreba piezoelektricnih pretvornika u aktuatorskom modu rada najceca je kod po-zicioniranja na mikro/nanometarskoj skali. Primjer primjene je piezoprihvatnica (slika 1.1a),b)) koriten za mikromanipulaciju ili mikromontau sitnih dijelova, poput biolokih objekataili mikrostrukture (slika 1.1c)).

Slika 1.1: Epiezoelektricni uredaji, a)duo-unimorfna prihvatnica, b)duo-bimorfna prihvatnica MOC (eng. Micro-robot On Chip), c)radna ploca s piezoelektricnom prihvatnicom

U aktuatorskom modu rada potrebno je unaprijediti pouzdanost pretvornika kontinuiranimpracenjem stanja prilikom radnih uvjeta, jer tijekom radnog vijeka dolazi do zamora mate-rijala to uzrokuje promjene u preciznosti pretvornika, smanjen iznos postignutog otklona isile. Najrasprostranjenija metoda za pracenje je analizom svojstvenih parametara pretvornika

Fakultet strojarstva i brodogradnje 1


koritenjem uredaja za analizu impedancije. Ipak, to nije uvijek najprakticnija metoda testira-nja tijekom rada s obzirom da zahtjeva prekid rada, a najcece i odvajanje piezoelemenata odostatka konstrukcije da bi se mogli podatci pravilno izmjeriti. Stoga je potrebno razviti alter-nativnu metodu za utvrdivanje i pracenje degradacije, a dobiveni podaci mogli bi se koristiti zapracenje degradacije te u skladu s time pravovremeno odravanje cime bi se sprijecio nepravi-lan rad uredaja.

Jedna od metoda za jednostavnije pracenje degradacije piezoelektricnog pretvornika je ko-ritenje umjetnih neuronskih mrea. Mreama je moguce na temelju dostupnih signala, primje-rice napona i struje, aproksimirati parametre za cije mjerenje bi bili potrebni skupocjeni senzorii prekid rada. Na temelju tih parametara moguce je procijeniti stanje pretvornika.



2 Piezoelektricni bimorfni pretvornik

2.1 Piezoelektricni efekt

2.1.1 O efektu

Piezoelektricitet je elektricni naboj koji se generira kao reakcija na mehanicko napreza-nje. Kada je na piezoelektricni materijal narinuta mehanicka sila generira se elektricni naboj,isto tako dolazi do mehanickog naprezanja prilikom narinutog elektricnog napona. Reverzibil-nost ove pojave posljedica je simetrije u kristalima.

Slika 2.1: Prikaz piezoelektricnog efekta

Piezoelektricitet su otkrili Jacques i Pierre Curie 1880. godine. Primjenjujuci silu nakristal u odredenim smjerovima, otkrivena je pojava elektricnih polova razlicitih predznaka nasuprotnim krajevima kristala. Godinu poslije potvrdili su i postojanje suprotnog efekta. Prvaprakticna primjena piezoelektricnog efekta bila je za vrijeme Prvog svjetskog rata, kada su pro-izvedeni prvi sonarni uredaji za otkrivanje podmornica. Kako su otkrivani novi piezoelektricnimaterijali, unaprijedivano je i teorijsko razumijevanje pojave. Danas se i dalje razvijaju novetehnoloke primjene i otkrivaju novi piezoelektricni materijali.

Piezoelektricni materijal u prisustvu elektricnog polja na molekulskoj razini stvaradipolni moment, odnosno krajevi molekula imaju razlicite naboje, koji se manifestiraju kaopovrinski naboj. Dipolni momenti kristala simetricno su orijentirani tako da je on nepolaran,ali njegovim stlacenjem ukupnom zbroju dipolnih momenata preostaje dio vertikalne kompo-nente. Ovaj proces najjednostavnije je objanjen na primjeru kristala kvarca. Kada kristal nijemehanicki napregnut, svi elektrcini naboji su u ravnotei (slika 2.2 b)). Ako u smjeru osi x



djeluje sila F1 (slika 2.2 c)), naruava se ravnotea i kao rezultat na elektrodama se javlja elek-trostaticki naboj. Ako se djeluje silom F2 du osi y, ponovno ce se javiti elektricni naboj naistim elektrodama, ali sa suprotnim predznakom (slika 2.2 d)).

Slika 2.2: a)kristal kvarca; b)neoptereceni kristal; c)optereceni kristal du x-osi; d)optereceni kristal du y-osi

Spajanjem gornje i donje strane kristala na elektrode i ukljucivanjem ampermetra ukrug, detektira se protok naboja. Kada se jednom naboj odvede s povrine dielektrika, unutarkristala nastaje nova ravnotea, tj. ukupni dioplni momenti molekula icezavaju, stoga stalantlak na piezoelektrik nece proizvoditi stalnu struju.

2.1.2 Matematicka reprezentacija efekta

Piezoelektricitet je spoj elektricne karakteristike materijala:

D = E

gdje je D Cm2 gustoca elektricnog toka, Fm dielektricnost, E

Vm jakost elektricnog polja te

mehanicke karakteristike materijala:S = sT

gdje je S deformacija, s neotpornost (eng. compliance) i T naprezanje.Navedene jednadbe mogu biti kombinirane u tzv. spregnute jednadbe, odnos deformacija-

naboj:

S = [sE ]T +[d]E (2.1)

D = [dt ]T +[T ]E (2.2)

gdje je [d] matrica direktnog piezoelektricnog efekta, a [dt ] matrica reverznog piezoelektric-nog efekta. Gornji indeks E oznacava nulto ili konstantno elektricno polje, dok gornji indeksT oznacava nulto ili konstantno polje naprezanja.



2.1.3 Piezoelektricni materijali

Kao piezoelektricni materijali koriste se:

kristali - kvarc, litijski niobat, Rochellova sol, litijski tantalid i drugo, keramika - najceci strukturni tip izgraden je od oksigen-oktaedara u kutovima (eng.

orner-sharing oxigen-octahedra). Primjeri piezoelektricne keramike koje imaju ovu struk-turu su barijev titanat (BaTiO3), olovni titanat (PbTiO3) i drugi,

piezoelektricni polimeri - npr. polivinildilenski florid (PVDF).Postoje i kombinacije keramike i polimera.

2.1.4 Primjena

Primjena uredaja koji rade na principu piezoelektricnog efekta vrlo je rasprostranjena.Neki od primjera su elektricni upaljac, gdje mu je svrha generiranje elektricne energije, za-tim u raznim sonarnim uredajima, oscilatorima koji slue kao generatori takta u racunalima,zvucnicima, tintnim pisacima i slicno. Takoder je jedna od primjena piezoelektricnog efekta uprikupljanju energije iz okolnih vibracija (eng. energy harvesting) poput ljudskog hoda, ili vi-bracija uzrokovanih industrijskim strojevima, gdje se prikupljena energija skladiti u baterije tese napajaju uredaji niskog napona poput mikrokontrolera ili beicnih radio uredaja. Kombina-cija piezoelektrika se moe koristiti i za uklanjanje neeljenih vibracija kod preciznih uredaja,tako da jedan piezoelektrik otkriva vibracije, a drugi emitira vibracije koje ih ponitavaju.

Piezoelektricni efekt zbog svojeg reverzibilnog svojstva ima iroku upotrebu kao senzori kao aktuator.

Slika 2.3: Piezosenzor - princip rada



Slika 2.4: Piezoaktuator - princip rada

Jedan od uredaja koji takoder slui kao aktuator i kao senzor je piezoelektricni bimorfnipretvornik.

2.2 O pretvorniku

Dvije povezane piezoelektricne keramicke ploce zajedno s meduslojem, na koje je nari-nut napon, rezultiraju deformacijom konstrukcije, slicnom deformaciji strukture bimetala. Naploce je narinut napon suprotne polarizacije, tako da u istom trenutku na gornjoj ploci pojav-ljuje tlak, a na donjoj vlak (slika 2.5) to rezultira otklonom odredenog iznosa. Promjenompolarizacije dolazi do otklona u suprotnom smjeru.

+ + + + + + + + +

+ + + + + + + + +

- - - - - - - - -

- - - - - - - - -

+- V

Slika 2.5: Bimorfni pretvornik: princip rada

Slika 2.6: Shema bimorfnog pretvornika

Na slici 2.7 prikazan je rad pretvornika, gdje ute ploce simboliziraju elektrode, narancastepiezokeramiku a crne vezivni sloj metala, medusloj, koji izmedu ostalog slui kao vodic.



Slika 2.7: Pretvornik - prikaz rada

Gredni pretvornik sastavljen od dva sloja piezokeramike sa sredinjim slojem izmedu nazivabimorf. Takoder postoje i multimorfni gredni aktuatori koji ukljucuju nekoliko aktivnih slojeva,pa tako i monomorfni gredni aktuatori, gdje postoji samo jedan sloj piezokeramike zajedno saslojem metala. (slika 2.8).

Slika 2.8: Vrste grednih pretvornika

Piezoelektricni bimorfni gredni pretvornici karakterizirani su sljedecim parametrima: mate-rijal, ukupna duljina, slobodna duljina, irina, debljina, ukupni otklon, blokirajuca sila sa svakestrane, kapacitet po keramickoj strani, maksimalni napon za rad.

U tablici 2.1 navedeni su podaci za 4 razlicita piezoelektricna grednih pretvornika tvrtkeJohnson Matthey (www.piezoproducts.com). Geometrijske znacajke kotirane su na slici 3.1.



Pretvornik 1 2 3 4materijal M1100 M1100 M1876 M1876

ukupna duljina lb [mm] 49.95 49.0 47.0 32.5slobodna duljina l [mm] 38.0 38.0 38.0 27.5

irina w [mm] 7.2 2.1 5.9 1.9debljina t [mm] 0.80 0.90 0.80 0.70

ukupni otklon y [mm] 2 2 2.8 1.4sila na pojedinoj strani Fb [mN] 450 150 500 180

kapacitet pojedine keramicke strane C [nF] 45 14 60 10radni napon Umax [V] 230 230 230 230

Tablica 2.1: Parametri pretvornika

Izloen promjenjivom elektricnom polju, piezoelektricni pretvornik se deformira periodicno,frekvencijom polja. Na slici 2.9 prikazan je graf koji pokazuje odnos elektricne vodljivosti (eng.addmitance) i frekvencije. Povecavanjem iznosa frekvencije, dostie se frekvencija minimalneimpedancije (maksimalne elektricne vodljivosti), fm, koja aproksimira frekvenciju serijske re-zonance, fs. Kod frekvencije serijske rezonance impedancija elektricnog dijela ekvivalentnogkruga je nula, to znaci da su samo mehanicki parametri relevantni za karakteristike pretvor-nika. Frekvencija minimalne impedancije je rezonantna frekvencija, fr, frekvencija na kojojpretvornik vibrira najbre te najucinkovitije pretvara elektricnu energiju u mehanicku.

Kako se frekvencija nadalje povecava, impedancija raste do maksimuma (minimalna elek-tricna vodljivost). Frekvencija maksimalne impedancije, fn, aproksimira frekvenciju paralelnerezonance, fp, frekvenciju kod koje je paralelni otpor ekvivalentnog elektricnog kruga besko-nacan, ako se zanemari otpor uzrokovan mehanickim gubicima. Frekvencija maksimalne im-pedancije je antirezonantna frekvencija fa.

Slika 2.9: Provodnost (eng. addmitance) pretvornika kod karakteristicnih frekvencija



3 Eksperiment

3.1 Uvod i oprema

Iako podijeljen na nekoliko dijelova, u osnovi, eksperiment se bazira na napajanju jed-nog piezokeramickog sloja pretvornika, koristeci ga kao aktuator te mjerenja napona i struje sdrugog sloja piezokeramike koji slui kao senzor. Takoder, mjeri se postignuta brzina i otklon.Pokusi i mjerenja traju dok se ne primjeti promjena parametara pretvornika, odnosno dok nedode do zastoja u radu, kvara. Parametri se mjere u odredenim intervalima, otprilike svakih satvremena.

U eksperimentu je koritena sljedeca oprema:

piezoelektricni bimorfni pretvornik, slika 3.4, 10 - parametri navedeni u tablici 3.1, naosnovi geometrijskih znacajki prikazanih na slici 3.1,

Slika 3.1: Piezoelektricni pretvornik, geometrijske znacajke

materijal M1876ukupna duljina lb [mm] 49.95slobodna duljina l [mm] 38.0

irina w [mm] 2.1debljina t [mm] 0.9

debljina piezosloja tp [mm] 0.31debljina medusloja tsh [mm] 0.28

Tablica 3.1: Parametri eksperimentalnog pretvornika

hvataljka, slika 3.4, 9 generator signala, slika 3.2, 3 pojacalo, slika 3.2, 4 diferencijalna sonda (eng. differential probe), slika 3.3, 7 osciloskop, slika 3.2, 2



mjerac struje (eng. current probe), slika 3.3, 6 laserski vibrometar:

laserska glava, slika 3.4, 11

upravljacki uredaj (eng. vibrometer controller), slika 3.2, 1

interferometar optickog vlakna (eng. fiber interferometer), slika 3.3, 8

mjerac impedancije (eng. impedance analyser), slika 3.3, 5

Fotografije opreme i eksperimenta:

Slika 3.2: Oprema

Slika 3.3: Oprema



Slika 3.4: Eksperiment

3.2 Eksperiment 1

3.2.1 Provedba eksperimenta 1

Jedna strana pretvornika, gornja, bila je napajana sinusnim signalom frekvencije 180 Hz,istosmjerne komponente 78 V, amplitude 75 V. Na osciloskopu su mjereni sljedeci parame-tri: ulazni napon aktuatorske strane, izlazni napon senorske strane i brzina mjerena laserskimvibrometrom. Ulazni signal oblika sinusa, amplitude 3.5 V generiran je na signal generatoru(slika 3.2, 3) te pojacan preko pojacala ( slika 3.2, 4) na iznos od 78 V DC komponente te 75V ukupne amplitude. U osciloskop dovedena su 4 signala: ulazni napon direktno iz pojacala,zatim ulazni napon mjeren, odnosno spojen direktno na gornju elektrodu i medusloj, zatim iz-lazni napon ocitan s donje elektrode i medusloja preko diferencijalne sonde (slika 3.3) te brzinamjerena laserskim vibrometrom. Laserski vibrometar sastoji se od lasera s dvije glave, ali je uovom eksperimentu koritena samo jedna glava (slika 3.4, 11), upravljackog uredaja (eng. vi-brometer controller) (slika 3.2, 1) te interferometra optickog vlakna (eng. fiber interferometer),(slika 3.3, 8). Pretvornik se napajao i podaci su se uzorkovali sve dok se nije bila primjecenaznacajna promjena brzine, odnosno pomaka (otklona) i izlaznog napona senzorske strane. Na-pajanje pretvornika u ovom eksperimentu trajalo je 12 sati. Podatci s osciloskopa YokogawaDL1640L preko mree prebaceni su na racunalo u binarnom obliku s .wvf i .hdr ekstenzijama,za cije citanje je potrebna skripta softvera Matlab dostupna na www.mathworks.com (datotekawvfread_V1.7).



3.2.2 Analiza eksperimenta 1

Uzorkovanje je provedeno svakih sat vremena tijekom eksperimenta. Nakon obrade sig-nala u programskom paketu MATLAB, kod je priloen na kraju potpoglavlja, slijedi analizamjerenih rezultata.

Na slici 3.5 prikazan je signal izlaznog napona senzorske strane sniman u prvom satu eks-perimenta. Broj uzoraka u jednom snimanju ovisi o rezoluciji postavljenoj na osciloskopu, uovom eksperimentu jedno snimanje ima 100200 uzoraka. Nakon oduzimanja srednje vrijed-nosti, odnosno oduzimanja DC razine narinute na pojacalu, vidljiva je sinusna karakteristikasenzorskog signala.

Slika 3.5: Napon na senzorskoj strani - jedno uzorkovanje

Kako je eksperiment trajao 12 sati, snimano je 12 datoteka, to sveukupno rezultira s 1202400uzoraka, pokazanih na slici 3.6. Vidljivo je postepeno smanjenje amplitudnih vrijednosti sig-nala, ciji iznosi su vidljivi na slici 3.7.

Slika 3.6: Napon na senzorskoj strani kroz 12 sati



Slika 3.7: Promjena amplitudnih vrijednosti senzorskog napona svih uzoraka

Koritenjem laserskog vibrometra moguce je direktno mjerenje pozicije, tj. otklona, ali se topokazalo vrlo nestabilnim uslijed visoke frekvencije vibriranja. Prakticnije je mjerenje brzinete naknadno integriranje obradom u programskom paketu MATLAB. Na slici 3.8, na gornjemgrafu vidljiva je mjerena brzina jednog uzorkovanja, dok je na donjem vidljiv pomak dobivenintegriranjem brzine.

Slika 3.8: Mjerena brzina i pomak jednog uzorkovanja

Slika 3.9 prikazuje promjenu pomaka tokom cijelog eksperimenta, kroz svih 12 snimaka,odnosno 1202400 uzoraka.



Slika 3.9: Pomak pretvornika kroz 12 sati

Na slici 3.10 vidljiva je promjena amplitudnih vrijednosti kroz uzorke uzorkovane tokom 12sati.

Slika 3.10: Promjena amplitudnih vrijednosti pomaka kroz 12 sati

Vrijednost dvostruke amplitude napona na senzorskoj strani piezokeramickog sloja pretvor-nika na pocetku eksperimenta iznosi 13.333 V, dok je na kraju eksperimenta 8.333 V. Iznosdvostruke amplitude pomaka vrha pretvornika je 0.88644 mm, dok na kraju eksperimenta iz-nosi 0.50817 mm. Smatra se da je u piezoelektricnom bimorfnom pretvorniku dolo do zamoramaterijala ili loma, odnosno da je komponentu potrebno zamijeniti, kada vrijednosti pomakapadnu ispod 80% pocetnih vrijednosti. U ovom eksperimentu pomak se nakon 12 radnih satireducirao na 57.33%, dok je napon na senzorskoj strani reduciran na 62.5% pocetne vrijednosti,iz cega se moe zakljuciti da je dolo do zamora piezoelektricnog materijala.



3.3 Eksperiment 2


U ovom eksperimentu pretvornik je takoder napajan sinusnim naponom od 150 V dvos-truke amplitude, 78 V istosmjerne komponente te frekvencije 100 Hz. Uz mjerenje senzorskognapona i pomaka, svakih sat vremena mjere se i dodatni parametri preko mjeraca impedancije(eng. impedance analyser, slika 3.3, 5). Softverom kreiranim na Uni Paderbornu od struc-njaka na Strojarskom fakultetu, odjelu za Mehatroniku i dinamiku, koji slui za analizu para-metara piezoelektricnih elemenara preko impedancije pretvornika, programiranim u grafickomsoftverskom paketu Agilent VEE Pro, moguce je dobiti vrijednosti parametara specificnih zapiezoelektricne elemente. Na slici 3.11 vidljiv je prikaz softvera (freq_sweep) za analizu impe-dancije.

Slika 3.11: Analiza elektricne vodljivosti (admittance) pretvornika

Nakon spajanja pretvornika na mjerac impedancije, prije pokretanja softvera podeava seraspon frekvencije za ispitivanje, najcece od 0.2 do 0.32 kHz. Raspon vrijednosti rezonantnei antirezonantne frekvencije pretvornika dan je od proizvodaca, ali iznos nije dovoljno tocan,



stoga je potrebno provesti analizu. Analizom se u gornjem desnom kutu na slici 3.11 iscr-tavaju grafovi frekvencije i faznog pomaka. Nakon provedenog mjerenja, podaci se ocita-vaju i analiziraju koritenjem ranije spomenute datoteke te se dobiva graf elektricne vodljivosti(impedancije1), prikazan na slici 3.12. Analizom elektricne vodljivosti dobivaju se sljedeciparametri:

ekvivalentni otpor koji predstavlja priguenje konstrukcije, Rm ekvivalentni induktivitet koji predstavlja masu konstrukcije, Lm mH ekvivalentni kapacitet koji predstavlja krutost konstrukcije, Cm pF kapacitet piezoelektricnog sustava Cp nF rezonatna frekvencija, fr Hz antirezonantna frekvencija, fa Hz frekvencija maksimalne vodljivosti, fm Hz frekvencija minimalne vodljivosti, fn Hz frekvencija serijske rezonance, fs Hz

Slika 3.12: Elektricna vodljivost (eng. admittance) pretvornika s parametrima



Pomocu mjeraca impedancije moguce je povezati promjenu jednog od najznacajnijih para-metara, rezonantne frekvencije pretvornika, s promjenom iznosa napona senzorske strane pre-tvornika i mjerenim pomakom. Eksperiment je trajao 30 sati zbog manje frekvencije ulaznogsignala, svakih sat vremena uzorkovani su mjereni signali na osciloskopu i izvrena je analizaimpedancije gorenjg sloja piezokeramike koji je sluio kao aktuator.


Osim zamora i troenja materijala, moguc oblik kvara je i lom osjetljive piezokeramike,ili odvajanje sloja piezokeramike od medusloja. Tim pojavama pretvornik takoder gubi svojasvojstva, stoga ih je potrebno detektirati i poduzeti odgovarajuce mjere.

Kako dolazi do zamora ili troenja materijala, postepeno dolazi i do smanjenja iznosa rez-nonantne frekvencije. Kada je pretvornik u kvaru, rezonantna frekvencija se smanji za 40akHz. Prvo mjerenje pokazalo je iznos frekvencije od 251.22 Hz te je kroz 29 sati eksperimentafrekvencija postepeno smanjena na iznos od 241.53 Hz, to je jo uvijek premalo smanjenje dabi se moglo reci da je pretvornik u kvaru. U zadnjem mjerenju eksperimenta vidljivo je naglosmanjenje iznosa rezonantne frekvencije na 214.87 Hz (slika 3.13), na temelju cega proizlazizakljucak da je dolo do loma u piezokeramici pretvornika.

Slika 3.13: Promjena rezonantne frekvencije kroz mjerenja

Slika 3.14: Promjena ekvivalentnog otpora kroz mjerenja



Takoder, na parametru ekvivalentnog otpora Rm vidljivo je da je dolo do nagle promjene,odnosno loma, naglim skokom izmedu 28. i 29. mjerenja (slika 3.14).

Na slici 3.15 vidljiva je usporedba elektricne vodljivosti i iznosa odgovarajucih parametaraprije i nakon loma.

Slika 3.15: Mjerena elektricna vodljivost pretvornika prije i nakon loma (crno - prije, crveno - poslije)

3.4 Eksperiment 3


Eksperiment 3 proveden je s pretvornikom neto drugacijih parametara, materijala M1100i neto manje irine, 1.9 mm. Ovaj pretvornik vece je kvalitete, tako da je njegovo testiranje doknije dolo do potpunog kvara trajalo cak 60 sati, iako je narinut napon kvadratne karakteristike,za razliku od prijanjih sinusnih. Razlog koritenja kvadratnog signala umjesto sinusnog suotri rubovi signala koji uzrokuju bre troenje i zamor materijala. Testiran je na 100 Hz, 150V dvostruke amplitude, 78 V istosmjerne komponente kvadratnog signala te su takoder mjereni



parametri na mjeracu impedancije svakih sat vremena. Na slici 3.16 prikazan je ulazni signalmjeren osciloskopom.

Slika 3.16: Ulazni signal mjeren osciloskopom

Na slici 3.17 prikazana je fotografija eksperimenta na kojoj je vidljiv pomak vrha pretvor-nika mjeren laserskim vibrometrom te je jasno vidljiva hvataljka preko koje su na vodice spo-jeni gornji i donji sloj piezokeramike.

Slika 3.17: Pretvornik


Kako je u ovom eksperimentu koriten kvadratni signal, potrebno je, uz analizu amplitud-nih vrijednosti, analizirati dodatne znacajke karakteristicne za analizu signala. Analiziranjemizlaznog, senzorskog napona potrebno je naci znacajke koje takoder pokazuju rastucu ili pada-



jucu tendenciju kako dolazi do zamora materijala.

Analizirane su sljedece znacajke izlaznog, senzorskog napona kroz 59 uzorkovanja, prika-zane na slici 3.18:

maksimum (max) efektivna vrijednost (RMS)

RMS =

1n

n

i=1

x2i

varijancaVAR =

1n

n

i=1

(xi x)2

vrni faktor (crest factor)CF =

maxRMS

faktor jasnoce (clearance factor)

ClF =max

(1n ni=1

|x|)2 faktor oblika (shape factor)

SF =RMS

1n

ni=1 |xi|

Slika 3.18: Analiza signala senzorskog napona



Na temelju grafova koji se nalaze na slici 3.18, vidljivo je da sve znacajke osim vrnog fak-tora pokazuju neki oblik rasta ili pada amplitude, te ih se moe koristiti u nastavku.

Slika 3.19: Analiza parametara dobivenih analizom elektricne vodljivosti

Na slici 3.19 prikazani su parametri dobiveni mjeracem impedancije gornje strane piezoke-ramike pretvornika. Takoder, potrebno je uociti koji parametri pokazuju rast ili pad usporednosa zamorom materijala. Vidljivo je da rast ili pad pokazuju sljedeci parametri: rezonantna frek-vnecija fr, antirezonantna frekvencija fa, ekvivalentni kapacitet Cp te ekvivalentni otpor Rm tece ih se stoga moci koristiti u primjeni neuronskih mrea.



4 Izgradnja i verifikacija matematickog modela piezoelektricnog pretvor-nika

4.1 Matematicki model pretvornika

Piezoelektricni materijali su elektromehanicki materijali koji posjeduju spoj mehanickih ielektricnih karakteristika. Slika 4.1 prikazuje ekvivalentan mehanicki (a) i elektricni (b) modelkoji opisuju elektromehanicko ponaanje piezoelektricnog elementa blizu njegove rezonantnefrekvencije.

Slika 4.1: Ekvivalentni model u a) mehanickom i b) elektricnom prikazu

Mehanicki parametri modela su ekvivalentna masa M, ekvivalentno mehanicko priguenjeB i ekvivalentna mehanicka krutost K. Parametri koji opisuju elektricna svojstva su kapacitetCp i otpor Rp. je prijednosni faktor izmedu elektricne i mehanicke domene. V je generiranili narinut napon, Q elektricni naboj, F je generirana ili narinuta sila te x pomak mase M.

Na temelju mehanickog prikaza sustava dobivena je sljedeca diferencijalna jednadba:

Mx(t)+Bx(t)+Kx(t) = F(t) (4.1)

gdje je:

x - pomak, [m]F - sila, [N]M - ekvivalentna masa, [kg]B - ekvivalentno mehanicko priguenje, [Ns/m]K - ekvivalentna mehanicka krutost, [N/m]



Odnos izmedu mehanickog i elektricnog dijela pretvornika prikazan je preko prijenosnogfaktora . Iz mehanickog prikaza dobivena je sljedeca relacija, momentna jednadba oko tockeA:

F(t) 1 =V (t)

F(t) = V (t) (4.2)

Iz elektricnog prikaza piezoelementa proizlaze sljedece jednadbe:

x(t) =Cpv(t)+ q(t) (4.3)

q(t) =v(t)R

(4.4)

x = q

x = q (4.5)

Primjena Laplaceove transofrmacije na jednadbe (4.1), (4.3) i (4.4):

[Ms2+Bs+K]X(s) = F(s) (4.6)

X(s) =CpV (s)+Q(s) (4.7)

sQ(s) =V (s)

R(4.8)

Za aktuatorsku stranu pretvornika ulazna varijabla je napon V (s), dok je izlazna varijablapomak X(s). Stoga slijedi prijenosna funkcija aktuatorske strane iz (4.6):

X(s)V (s)

=

Ms2+Bs+K(4.9)

Kod senzorske strane pretvornika, ulazna varijabla je pomak X(s), dok je izlazna varijablanapon V (s). Iz (4.7) i (4.8) slijedi prijenosna funkcija:

V (s)X(s)

=Rs

RCps+1(4.10)



4.2 Izracun ekvivalentnih parametara modela

Za verificiranje modela potreban je izracun ekvivalentnih parametara. Izracun je baziranprema [4].

Kod analiziranja krutosti, dvije granice krutosti mogu biti definirane kod piezoelektricnihgrednih pretvornika: gornja i donja. Kod gornje granice krutosti elektrode su otvorene, nemaprotoka naboja, Q = 0 te je odnos izmedu sile i pomaka definiran sljedecom jednadbom:

F =(

K+2

Cp

)x (4.11)

Ako su elektrode kratko spojene, postoji protok naboja te vrijedi V = 0, to oznacava donjugranicu krutosti. U tom slucaju odnos izmedu sile i pomaka definiran je jednadbom:

F = Kx (4.12)

Za pretvornike nad kojima su provedeni eksperimenti vrijedi donja granica krutosti, odnossile i pomaka definiran je jednadbom (4.12), ali je potrebno razmatrati i gornju granicu kru-tosti kako bi se dobile odgovarajuce vrijednosti traenih parametara.

Vaan parametar za izracun krutosti je neotpornosti (eng. compliance) s, za gornju granicusD te donju sE . Odnos izmedu gornje i donje neotpornosti:

sD = sE(1 k2) (4.13)

gdje je:

k - piezoelektricni faktor spoja (eng.coupling factor)

Piezoelektricni pretvornici rade na dva nacina:

33. nacin 31. nacinU 33. modu (nacinu), smjer narinutog ili izvrenog (eng.exerted) naprezanja i deformacije

te smjer narinutog ili dobivenog napona su isti kao i smjer polaziracije. U 31. nacinu, smjernarinutog ili dobivenog napona je isti kao i smjer polarizacije, dok su deformacija i naprezanjeokomiti na smjer polarizacije. Za izracun koji slijedi, u obzir je uzet 31. nacin.

Za daljnji izracun parametara potrebno je u obzir uzeti geometrijske znacajke bazirane naslici 3.1, cije vrijednosti su definirane u tablici 3.1.



Izraz za krutost gredne konstrukcije:

Kb =3YbIb

l3(4.14)

vlastita frekvencija:

fb =1

2pi

KbM

(4.15)

gdje je:

Yb - modul elasticnosti, [N/m2]Ib - moment inercije grede, [m4]

Modul elasticnosti donje granice krutosti (Ypsc):

Ypsc =1sE

(4.16)

Modul elasticnosti gornje granice krutosti (Ypoc):

Ypoc =1sD

=1

sE(1 k2) (4.17)

Izraz za modul elasticnosti piezoelektricnog elementa gredne konstrukcije sa slojevima isteirine:

Yb =2tpYp+ tshYsh

2tp+ tsh(4.18)

gdje je:

Yp - modul elasticnosti piezokeramickog sloja, [N/m2]Ysh - modul elasticnosti medusloja, [N/m2]

Modul elasticnosti bimorfnog pretvornika kod donje granice krutosti (Ybsc):

Ybsc =2tp+ tshYshsE

sE(2tp+ tsh)(4.19)

Modul elasticnosti bimorfnog pretvornika kod gornje granice krutosti(Yboc):

Yboc =2tp+ tshYshsE(1 k2)sE(1 k2)(2tp+ tsh) (4.20)

Moment inercije pretvornika za donju granicu krutosti (Ibsc) je:

Ibsc =YpscYsh

wt3p6

[1+3

(1+

tshtp

)2]+

wt3sh12

(4.21)



Moment inercije pretvornika za gornju granicu krutosti (Iboc) je:

Iboc =YpocYsh

wt3p6

[1+3

(1+

tshtp

)2]+

wt3sh12

(4.22)

Slijedi izraz za donju granicu krutosti prema (4.14):

Kbsc =3YbscIbsc

l3(4.23)

te gornju granicu krutosti:

Kboc =3YbocIboc

l3(4.24)

Izraz za ekvivalentnu masu koritenu za izracunavanje vlastite frekvencije grede:

M =33

140Mb+Mt ;Mt = 0 (4.25)

Mb = (2ptp+shtsh)wl (4.26)

gdje je:

Mb - masa pretvornika, [kg]p - gustoca piezokeramickog sloja, [kg/m3]sh - gustoca medusloja, [kg/m3]

Izraz za donju granicu vlastite frekvencije fbsc:

fbsc =1

2pi

KbscM

(4.27)

Izraz za gornju granicu vlastite frekvencije fboc:

fboc =1

2pi

KbocM

(4.28)

Kapacitet jednog piezoelektricnog sloja:

Cp,1 =wlb33T (1 k231)

tp(4.29)

gdje je:

T33 - piezoelektricna relativna dielektricna konstanta, [nF/m]k31 - piezoelektricni faktor spoja (eng.coupling factor)

Prijenosni faktor:

=(KbocKbsc)Cp (4.30)



U tablici 3.1 navedene su geometrijske znacajke pretvornika, u tablici 4.2 navedene su vri-jednosti parametara dobivene od proizvodaca za materijal M1876, dok su u tablici 4.2 vrijed-nosti izacunate izracunate vrijednosti parametara izraenih jednadbama (4.13) - (4.30).

parametar jedinica iznosp kg/m3 8100sh kg/m3 1800sh kg/m3 1800sE11 m

2/N 14.2 1012k31 / 0.33T33 nF/m 45Ysh N/m2 120 109

Tablica 4.1: Velicine dobivene od proizvodaca za materijal M1876

parametar jedinica iznosYpsc N/m2 7.0423 1010Ypoc N/m2 7.9029 1010Ybsc N/m2 8.5847 1010Yboc N/m2 9.1775 1010Ibsc m4 7.6455 1014Iboc m4 8.5329 1014Kbsc N/m 358.8395Kboc N/m 428.1478M kg 1.0394 104fs Hz 295.71fp Hz 323.01

Cp nF 1.3446 / 9.6537fo Hz 100

d.rat. / 0.3382Cc Ns/m 0.3863B Ns/m 0.1306R 20000

fsim V 100tsim V 0.2004

Tablica 4.2: Parametri pretvornika dobiveni na temelju (4.13) - (4.30)

gdje je:

Cc - koeficijent kriticnog priguenja, Ns/mk31 - piezoelektricni faktor spoja (eng.coupling factor)

4.3 Verifikacija matematickog modela

Verifikacija matematickog modela piezoelektricnog bimorfnog pretvornika realizirana jeu matematickom programskom paketu MATLAB, softveru za modeliranje, simulaciju i ana-



lizu dinamickih sustava SIMULINK. Na slici 4.2 prikazan je konstruiran model pretvornika,temeljen na prijenosnim funkcijama (4.9) i (4.10).

Slika 4.2: SIMULINK model piezoelektricnog pretvornika

Slika 4.3: Usporedba mjerenog i simuliranog signala

Na slici 4.3 prikazana je usporedba mjerenog i simuliranog signala sinusnog ulaznog naponaamplitude 75V, 100 Hz te mjerenog i simuliranog senzorskog, izlaznog napona. Mjereni isimulirani podaci se poklapaju, cime je potvrdena tocnost matematickog modela pretvornika.



5 Primjena statickih neuronskih mrea u pracenju degradacije pretvor-nika

5.1 Uvod u umjetne neuronske mree

5.1.1 Bioloki i umjetni neuron

Osnovni koncept umjetnih neuronskih mrea bazira se na neuronskoj mrei mozga co-vjeka. Bioloki neuron (slika 5.1) sastoji se od tijela, aksona, dendrita i sinapsi. Akson se moezamisliti kao tanka cjevcica koja je jednim krajem spojena na tijelo neurona, dok se drugi krajdijeli na niz grana. Krajevi niza grana dodiruju dendrite ili tijelo drugog neurona. Mali raz-mak izmedu zavretka aksona prethodnog neurona i dendrita ili tijela sljedeceg neurona nazivase sinapsa. Impulsi jednog neurona preko aksona dolaze do sinapsi, gdje se signali razlicitoginteziteta alju kroz dendrite u tijelo drugog neurona, ili direktno na tijelo neurona, ukolikoje akson sinapsom spojen direktno na tijelo. Da bi neuron "ispalio" impuls u akson, njegovauzbuda mora biti veca od praga osjetljivosti neurona.

Slika 5.1: Pojednostavljena struktura biolokog neurona

Umjetni neuron (slika 5.2) oponaa osnovne funkcije biolokog neurona. Ulazi umjetnogneurona zamjenjuju aksone prethodnih biolokih neurona (veza s okolinom), teine zamjenjujusinapse dok ulazi u sumator zamjenjuju dendrite. Teine, kao i sinapse, povezuju izlaze drugihneurona (aksoni) s ulazima sumatora (dendriti). Tijelo neurona zamjenjuje se sumatorom, dokaktivacijska funkcija preuzima ulogu praga osjetljivosti biolokog neurona. Izlaz iz sumatorapredstavlja akson. Svaki neuron ima jedan ili vie ulaza, ali samo jedan izlaz.



Slika 5.2: Struktura umjetnog neurona

Aktivacijske funkcije mogu biti linearne i nelinearne. Linearne mnoe izlaz iz sumatoranekim faktorom te se tako dobiva izlaz iz neurona. Nelinearne aktivacijske funkcije prevodeizlaz iz sumatora na izlaz neurona preko nelinarnog pojacanja. Najcece nelinerane funkcije sufunkcije praga osjetljivosti, sigmoidalne, hiperbolicke i harmonicke.

5.1.2 Osnovne podjele umjetnih neuronskih mrea

Umjetne neuronske mree kreirane su povezivanjem umjetnih neurona prema odredenojtopologiji. Paralelno sloen skup neurona gradi jedan sloj neuronske mree. Dakle, premabroju slojeva mree mogu biti:

jednoslojne, vieslojne - sastoje se od ulaznog i izlaznog sloja, a izmedu njih je jedan ili vie sakrivenih

slojeva.

Uz broj slojeva, osnovna podjela mrea je takoder prema toku signala odnosno strukturineurona u mrei, gdje se mrea dijeli na:

staticke (unaprijedne) - slojevi neuronske mree povezani su tako da signali putuju samou jednom smjeru, od ulaza prema izlazu. Staticki neuron ne sadri dinamicke clanovepa stoga njegov izlaz ovisi samo o trenutacnim vrijednostima ulaznih signala i teinskimkoeficijentima.



dinamicke (povratne) - Kod ovog modela neurona prostiranje signala odvija se unapri-jed, ali i unatrag preko unutarnjih povratnih veza. Dinamika se dodaje ispred aktivacijskefunkcije, tako da aktivnost neurona bude u funkciji stanja neurona. Dinamicki neurondjeluje na temelju ulaznih signala i prethodno dobivenih vrijednosti izlazne velicine dina-mickog clana dinamickog neurona.

Neuronske mree kategoriziraju se i prema pravilu, odnosno algoritmu ucenja koji sluiza podeavanje parametara mree s ciljem postizanja eljenog vladanja. Nabrojeno je samonekoliko od mnogobrojnih algoritama ucenja.

ucenje korekcijom pogreke:Back propagation,

Gauss Newton,

Levenberg Marquardt.

Hebbovo ucenje, optimalno ucenje, adaptivno, statisticko, ...Prema ucenju neuronskih mrea, razlikuje se supervizorno (uz nadzor) i nesupervizorno

(bez nadzora) ucenje. Supervizorno ucenje provodi "ucitelj" neuronske mree, koji promatra ikorigira ponaanje mree. Nesupervizorno ucenje bazira se na samoorganizirajucim mreama.Prema nacinu ucenja postoji ucenje kroz jedan korak ili iterativno. Jedan korak predstavljaprolazak kroz cijeli skup ulaznih i izlaznih parametara. Takoder, prema podacima za ucenjemree mogu biti autoasocijativne i heteroasocijativne.

U nastavku se detaljnije opisuje i koristi staticka vieslojna mrea, ucena povratnim prosti-ranjem pogreke uz nadzor (ucitelja).

5.2 Staticka neuronska mrea

Model statickog neurona prikazan je na slici 5.2. Za svaki staticki neuron karakteristicne susljedece znacajke:

da svaki staticki neuron ima vie ulaza i samo jedan izlaz, da je svakom statickom neuronu dodan ulaz vrijednosti 1 (bias).

Bias ima funkciju odredivanja oblika, nagiba i orijentacije sigmoidalne aktivacijske funk-cije. Koritenjem biasa moguce je aktivacijsku funkciju translatirati za odredeni iznos dux-osi, u suprotnom je moguce samo mijenjati iznos nagiba.

Temeljne podfunkcije statickog neurona su funkcija sume (5.1) i aktivacijska funkcija (5.2).

net =J

j=1

w jx j (5.1)



y = (net) (5.2)

Najcece koritena aktivacijska funkcija, koritena i u primjerima u iducem potpoglavlju,je nelinearna bipolarna sigmoidalna funkcija, (5.3), slika 5.3. Izlazi ove funkcije normirajuvrijednosti izlaza izmedu -1 i 1, stoga je potrebno ulaze i izlaze normirati prije ucenja mree.

y =2

1+ enet1 (5.3)

Slika 5.3: Nelinearna bipolarna sigmoidalna aktivacijska funkcija

Staticka unaprijedna vieslojna mrea sastoji se od neurona povezanih u slojeve, koji sumedusobno povezani vezama s teinskim koeficijentima. Na slici 5.4 prikazana je mrea kojase sastoji od ulaznog, izlaznog i skrivenog sloja. Skriveni sloj je sloj koji nije u direktnojinterakciji s okolinom. Broj skrivenih slojeva je proizvoljan, a prema [6] najcece se koristijedan do dva sloja.

Parametri staticke unaprijedne neuronske mree:

Zi - ulazi u mreu, vi j - teine veza izmedu ulaznog i sakrivenog sloja, wk j - teine veza izmedu sakrivenog i izlaznog sloja, Ok - izlazi iz mree. BIAS - neuroni izlazne vrijednosti jednake jedinici,

Postupak ucenja odvija se u dvije faze: unaprijedna i povratna faza. U principu, ucenjemree svodi se na ucenje teinskih koeficijenata koji povezuju slojeve neuronske mree svedok se ne postignu eljeni izlazi mree, odnosno dok odstupanje od eljene vrijednosti ne budemanje od zadane pogreke ucenja. Kroz ucenje, promjena parametara teinskih koeficijenatamree u jednom koraku provodi se onoliko puta koliko ima ulazno izlaznih parova u skupu zaucenje. Promjena parametara ovom procedurom naziva se pattern ili stohastic procedura.



Slika 5.4: Model staticke unaprijedne neuronske mree

5.2.1 Unaprijedna faza ucenja

U unaprijednoj fazi ucenja mree iz skupa za ucenje uzimaju se vrijednosti ulaza mreeZ te se izracunavaju vrijednosti izlaza mree O, koji se kasnije usporeduju s izlaznim vrijednos-tima d, vrijednostima koje izlaz iz mree pokuava aproksimirati. Za izracunavanje potrebnoje zadati pocetne vrijednosti teina mree, W i V, koje se zadaju generatorom slucajnih bro-jeva. Prema [6], ako su vrijednosti skupa ucenja normirane izmedu -1 i 1, i vrijednosti teinapotrebno je generirati u tom intervalu. Slijedi primjer unaprijedne faze ucenja prema slici 5.4.

Ulazi Z, pomnoeni teinama V, ulaze u sumatore skrivenog sloja. Za skriveni sloj, funkcijasume izracunava se na sljedeci nacin:

netH j =I

i=1

v jiZi (5.4)

j = 1,2, ...,J1, i = 1,2, ..., Igdje je:



H - oznaka sloja,I - broj ulaznih neurona + 1,J - broj neurona u skrivenom sloju + 1 (bias).

Za aktivacijsku funkciju odabrana je nelinearna bipolarna sigomidalna funkcija (slika 5.3). Sli-jede izlazi neurona skrivenog sloja:

y j =2

1+ enetH j(5.5)

yJ = 1(bias) (5.6)

Vrijednosti izlaznog sloja preko teina W spojene su na ulaz svakog neurona izlaznog sloja.Funkcija sume izlaznog sloja izracunava se na sljedeci nacin:

netOk =J

j=1

wk jy j (5.7)

k = 1,2, ...,K

gdje je:

K - broj neurona izlaznog sloja,y - izlaz iz aktivacijskih funkcija skrivenog sloja.

Za aktivacijsku funkciju izlaznog sloja koristi se linearna funkcija koja omogucuje vrijednostiizlaza mree vece od 1. Slijedi izlaz mree:

Ok = KpnetOk (5.8)

gdje je Kp nagib linearne aktivacijske funkcije. U nastavku se uzima Kp = 1.

5.2.2 Povratna faza ucenja

U povratnoj fazi ucenja, ostvareni izlazi iz mree, O, i eljeni izlazi iz mree, d, us-poreduju se te se na temelju razlike izracunava greka ucenja, prema kojoj se vri promjenaparametara teina V i W. Za svaki ulazno-izlazni par postupak se ponavlja dok greka ucenjane bude manja ili jednaka eljenoj koju odreduje sam ucitelj. Prema [6], najcece koritenafunkcija mjere odstupanja je suma kvadrata pogreke:

E =12

N

n=1

(dnOn)2 (5.9)

gdje je N broj uzoraka u skupu za ucenje. 12 u (5.9) pojednostavljuje derivaciju funkcije cilja(mjere odstupanja) koja tei minimumu.



Nakon izracuna mjere odstupanja, vri se adaptacija teinskih koeficijenata ( ):

(n+1) = (n)+(n) (5.10)

gdje je:

n - trenutni korak ucenja,(n) - velicina promjene parametara,(n+1) - nova vrijednost parametara ucenja (teina w i v).

Postoji mnogo algoritama za izracunavanje promjene (n) parametra, u ovom radu detalj-nije su objanjeni algoritam povratnog rasprostiranja pogreke i Levenberg - Marquardt algori-tam.

5.2.3 Algoritam povratnog rasprostiranja pogreke (Error Back Propagation)

Algoritam povratnog prostiranja pogreke (eng. Error Back-Propagation Algorithm) je jednos-tavna metoda za izracunavanje gradijenta pogreke s obzirom na parametre ucenja. Promjenaparametara ucenja odvija se u suprotnom smjeru od toka signala.

Pogreku E() moguce je u okoliu tocke aproksimirati s prva dva clana Taylorovogreda:

E( +) E()+E() (5.11)E() = TE() (5.12)

E() =E()

(5.13)

Izraz (5.13) je gradijent pogreke, za koji je cilj da se smanjuje najvecim mogucim izno-som. Gradijent pogreke predstavlja smjer najbre promjene pogreke te je pogreku potrebnosmanjiti za najveci moguci iznos, odnosno, potrebno je odrediti () za koji E() poprimanajveci negativni iznos:

=E() (5.14)gdje je koeficijent brzine ucenja koji odreduje ucitelj, prema [6] izmedu 103 i 10, koji

omogucuje utjecaj na velicinu koraka parametara ucenja. Potrebno je procijeniti optimalaniznos koeficijenta brzine ucenja, jer odabirom malog koeficijenta ucenja usporava se ucenje itime se povecava mogucnost zaglavljivanja u lokalnom minimumu. U suprotnom, odabiromvelikog koeficijenta brzine ucenja ubrzava se ucenje, ali se povecava mogucnost preksakivanjaminimuma.Uvrtavanjem (5.14) u (4.10) dobiva se algoritam za izracunavanje promjena teina mree:



(n+1) = (n)E((n)) (5.15)Za ucenje EBP algoritmom potreban je velik broj potrebnih iteracija da bi se greka smanjila

na eljenu vrijednost, da bi se umanjio taj problem i ostali problemi tipicni za EBP algoritam,radi se modifikacija algoritma dodavanjem momentuma prema (5.16):

=E()+(n1) (5.16)Vrijednost koeficijenta momentuma odreduje ucitelj, prema [6] bira se u intervalu izmedu

0.1 i 0.9. Momentum skalira promjenu parametara ucenja u prethodnom koraku se dodaje uizraz za promjenu u sadanjem koraku. Slijedi promjena parametara ucenja s momentumom:

(n+1) = (n)E((n))+(n1) (5.17)Postoje i modifikacije EBP algoritma dodavanjem jo jednog momentuma (momentuma

drugog reda), zatim uvodenje adaptivnog koeficijenta ucenja, no ove modifikacije nece se de-taljno obraditi u ovom radu.

Slijedi promjena parametara ucenja od izlaznog prema skrivenom sloju. Prvo se mijenjajuteinski faktori izmedu izlaznog i skrivenog sloja, W:

wk j(n+1) = wk j(n)E((n))+wk j(n1) (5.18)Izraz za gradijent pogreke:

E(n) =E(n)wk j

=E(n)Ok

OknetOk

netOkwk j

(5.19)

Prema [6] uvodi se karakteristicna vrijednost algoritma povratnog prostiranja pogreke, :

=E(n)net

(5.20)

Iz (5.9) slijedi:

E(n)Ok

=(dkOk) (5.21)

Iz (5.8) slijedi:

OknetOk

= 1 (5.22)

Iz (5.19) do (5.22) slijedi izraz za :

Ok = dkOk (5.23)



Iz (5.7) slijedi:

netOkwk j

= y j (5.24)

Uvrtavanjem (5.21), (5.22) i (5.23) u (5.19) slijedi:

E(n) =E(n)wk j

=(dkOk)y j = Oky j (5.25)

Slijedi konacni algoritam promjene teina izlaznog sloja uvrtavanjem (5.25) u (5.18):

wk j(n+1) = wk j(n)+Oky j +wk j(n1) (5.26)Nakon promjene teina izlaznog sloja, slijedi promjena teina sakrivenog sloja, V:

v ji(n+1) = v ji(n)E((n))+v ji(n1) (5.27)Slijedi izracun gradijenta pogreke:

E(n) =E(n)v ji

=E(n)y j

y jnetH j

netH jv ji

(5.28)

Na promjenu svake teine skrivenog sloja utjecu svi neuroni u izlaznom sloju, stoga slijedi:

E(n)y j

=K

k=1

E(n)Ok

OknetOk

netOky j

(5.29)

gdje je K broj neurona izlaznog sloja. Takoder slijedi:

E(n)Ok

=(dkOk) (5.30)

OknetOk

= 1 (5.31)

netOky j

= wk j (5.32)

Uvrtavanjem (5.30) - (5.32) u (5.29) slijedi:

E(n)y j

=K

k=1

(dkOk)wk j (5.33)

odnosno uvrtavanjem (5.23) u (5.33) slijedi:

E(n)y j

=K

k=1

Okwk j (5.34)



Iz (5.5) slijedi:

y jnetH j

=12(1 y2j) (5.35)

te iz (5.4):

netH jv ji

= Zi (5.36)

Slijedi konacni oblik algoritma promjene teina skrivenog sloja:

v ji(n+1) = v ji(n)+12(1 y2j)Zi

(K

k=1

Okwk j

)+v ji(n1) (5.37)

5.2.4 Levenberg - Marquardt algoritam

Levenberg - Marquardt agloritam je najcece koritena metoda u podrucju nelinearneoptimizacije. Kombinacijom dobrih strana obicne gradijentne metode i Gauss - Newtonovemetode cilj je pronaci minimum funkcije cilja u to manjem broju koraka. Jedan od nedosta-taka EBP algoritma je nedostatak informacije o obliku funkcije pogreke (drugoj derivaciji poparametrima ucenja), poznata je samo informacija o samom gradijentu (prva derivacija pogre-ke po parametrima ucenja), to nije slucaj za Levenberg- Marquardtov algoritam.

Slijedi aproksimacija kvadraticne funkcije pogreke u okolini minimuma funkcije premaGauss-Newtonovoj metodi:

(n+1) = (n) [2E(n)]1E(n) (5.38)

gdje 2E(n) predstavlja drugu derivaciju pogreke po parametrima ucenja, tzv. Hessian ma-tricu. Kako je cesto puta drugu derivaciju teko izracunati, koristi se aproksimacija Hessianovematrice dobivena pomocu umnoka gradijenta pogreke po parametrima ucenja (prvih deriva-cija). Gradijent pogreke E(n) racuna se na sljedeci nacin:

E(n) = JT (n) e(n) (5.39)te se Hessianova matrica racuna prema:

2E(n) = JT (n) J(n) (5.40)

gdje je e vektor pogreke, J Jacobian matrica (matrica derivacije pogreke po parametrima



ucenja). Slijedi izracun poregke e:

e =N

n=1

K

k=1

(dknOkn) (5.41)

gdje je:

N - broj redaka skupa za ucenje,K - broj izlaznih neurona mree.

Dimenzije eljenog i stvarnog izlaza mree su dim(dn) = dim(On) = [1K], dok je dimen-zija vektora pogreke dim(e) = [N1].

Jacobianova matrica sadri derivacije pogreke po parametrima ucenja. Mrea uci tri razli-cita vektora parametara - teine sakrivenog i izlaznog sloja te nagib sigmoidalne aktivacijskefunkcije. Slijedi oblik Jacobianove matrice u opcenitom obliku:

J(w) =

e1w1

e1w2

e1w3

e1wPe2w1

e2w2

e2w3

e2wP...

...... . . .

...eNw1

eNw2

eNw3

eNwP

(5.42)Dimenzija Jacobiana je dim(J) = [NP], gdje je:

N - broj redaka (uzoraka) skupa za ucenje,P - broj elemenata vektora odredenog parametra ucenja.

U ovom radu koritena je troslojna unaprijedna neuronska mrea, gdje je ukupan broj ne-urona ulaznog sloja I, ukupan broj neurona skrivenog sloja J te ukupan broj neurona izlaznogsloja K, prema cemu slijede dimenzije parametara ucenja, s ukljucenim biasima:

dim(w) = [K J] (5.43)dim(v) = [J I] (5.44)

dim(c) = [1 (J1)] (5.45)

gdje je c vektor nagiba nelinearne bipolarne sigmoidalne aktivacijske funkcije. U teorij-skoj razradi Levenberg - Marquardtova algoritma kao parametar koji se uci uzima se i nagibfunkcije, ali u primjeni mrea u ovom radu nagib funkcije nije parametar ucenja. U program-skom paketu MATLAB nelinearna bipolarna sigmoidalna aktivacijska funkcija definirana jenaredbom tansig u kojoj je nagib funkcije konstantan i iznosi 2, te je tako uzeto i u treniranjumrea.



Ukoliko se matrice w i v zapiu u vektorskom obliku slijedi:

dim(w) = [1K J] (5.46)dim(v) = [1 (J1) I] (5.47)

Slijede dimenzije Jacobijevih matrica prema vektorima parametara w,v i c:

dim(J(w)) = [NK J] (5.48)dim(J(v)) = [N (J1) I] (5.49)dim(J(c)) = [N (J1)] (5.50)

Elementi Jacobijanove matrice odreduju se analogno odredivanju gradijenta sume kvadratapogreke po parametrima ucenjima opisanim u prethodnom potpoglavlju, no umjesto derivacijesume kvadrata pogreke vri se derivacija pogreke e po parametrima ucenja.

Za teine izlaznog sloja, element Jacobijanove matrice J(w) racuna se na sljedeci nacin:

ekwk j

=ekOk

OknetOk

netOkwk j

=1 1 y j. (5.51)

te iz toga slijedi:

J(w) =

y(1)1 y(1)2 y(1)J | y(1)1 y(1)2 y(1)J | y(2)1 y(2)2 y(2)J | y(2)1 y(2)2 y(2)J |

...... . . .

... | ... ... . . . ... | . . .y(N)1 y(N)2 y(N)J | y(N)1 y(N)2 y(N)J |

(5.52)

Uzdu svakog retka pojavljuju se sekvence koje se razlikuju od retka do retka. Koliko imaneurona skrivenog sloja, s ukljucenim bias neuronom, toliko ce biti elemenata u jednoj sek-venci, dok ce sekvenci biti onoliko koliko ima neurona izlaznog sloja.

Slijedi element Jacobianove matrice J(v):

ev ji

=ey j

y jnetH j

netH jv ji

(5.53)

Pogreka e u gornjem izrazu je ukupna pogreka izlaznog sloja te djeluje na svaki neuronsakrivenog sloja. Drugi razlomak s desne strane dan je izrazom 5.35, dok je treci razlomak danizrazom 5.36. Prvi razlomak jednak je jednak:



ey j

=K

k=1

eOk

OknetOk

netOkv ji

=K

k=1

wk j (5.54)

Slijedi konacni izraz za odredivanje elementa matrice J(v) uvrtavanjem izraza 5.54, 5.35 i5.36 u 5.53:

ev ji

=K

k=1

wk j 12(1 y j) Zi (5.55)

Vidljivo je da element matrice J(v) ovisi o dva indeksa, j i i, pri cemu se prvo mijenja i, pazatim j. Slijedi pojednostavljeni oblik matrice J(v):

J(v) =

e(1)v11

e(1)v12

e(1)v1I |e(1)v21

e(1)v22

e(1)v2I | |e(1)vJ1

e(1)vJ2

e(1)vJIe(2)v11

e(2)v12

e(2)v1I |e(2)v21

e(2)v22

e(2)v2I | |e(2)vJ1

e(2)vJ2

e(2)vJI...

... . . ....|... ... ...| |... ... . . . ...

e(2)v11

e(2)v12

e(2)v1I |e(2)v21

e(2)v22

e(2)v2I | |e(2)vJ1

e(2)vJ2

e(2)vJI

(5.56)

Slijedi element Jacobieve matrice J(c), koja sadri derivacije pogreke po nagibu sigmo-idalne funkcije:

ec j

=ey j

y jc j

(5.57)

Za desni razlomak jednadbe vrijedi:

y jc j

=12

net(1 y2j) (5.58)

dok je lijevi razlomak dan jednadbom 5.54. Stoga slijedi:

ec j

=K

k=1

wk j netH j (1 y2j)12

net(1 y2j) (5.59)

Pojednostavljeni zapis Jacobijeve matrice J(c):

J(c) =

e(1)c1

e(1)c2

e(1)cJ1e(2)c1

e(2)c2

e(2)cJ1...

... . . ....

e(N)c1

e(N)c2

e(N)cJ1

(5.60)Jednadba 5.63 je Gauss-Newtonova metoda, dok je jednadba 5.15 gradijentna metoda za

promjenu parametra ucenja. Dvije navedene metode potrebno je spojiti u jedan izraz, Leven-berg - Marquardtovu metodu promjene parametara ucenja:



(n+1) = (n) (2E(n)+ I)1E(n) (5.61)gdje je koeficijent brzine ucenja gradijentne metode, koji se mnoi jedinicnom matricom

radi pribrajanja Hessianovoj matrici. Ukoliko je pogreka velika (nalazi se daleko od mini-muma), koristi se gradijentna metoda, koeficijent je velik. Ukoliko je pogreka mala (nalazise blizu minimuma) koristi se Gauss-Newtonova metoda, koeficijent je malog iznosa. Ko-eficijent u ovom slucaju je promjenjivog iznosa te se povecava ili smanjuje ovisno o iznosupogreke ucenja.

5.3 Aproksimacija pomaka na temelju mjerenog napona

Prva primjena umjetne neuronske mree kod piezoelektricnih pretvornika za skup ucenjakoristi podatke iz eksperimenta 1, poglavlje 3. Ulaz u neuronsku mreu je mjereni napon (slika3.6). Kako jedno snimanje napona sadri 100200 uzoraka, postoji 12 snimaka, to rezultira sukupno 1202400 uzoraka, odnosno ulaza u mreu. S obzirom na sinusnu karakteristiku signala,moguce je reducirati broj uzoraka a da se zadre sve vane karakteristike signala (amplituda,fazni pomak). Broj uzoraka reduciran je na 600 uzoraka po snimanju (u obzir je uzet svaki167. uzorak), to rezultira s 7200 uzoraka ukupno. Na isti princip reduciran je i eljeni izlaz izmree, mjereni pomak (slika 3.9).

Cilj treniranja neuronske mree s ovim skupom ucenja je pronalazak jednostavnog nacinaodredivanja relevantnih parametara na temelju kojih je moguce uociti zamor materijala, tro-enje, lom ili neki drugi oblik kvara pretvornika. Kao to je ranije receno analizom rezultataovog eksperimenta, smatra se da je dolo do zamora materijala kada amplituda pomaka padnena 80% pocetne vrijednosti. Za mjerenje amplitude pomaka potreban je laserski vibrometarili neki drugi oblik senzora pomaka ili brzine, koji nije uvijek dostupan korisnicima piezo-elektricnih pretvornika. Zato je jednostavniji nacin mjerenje senzorskog napona, te na temeljumjerenja, koritenjem umjetne neuronske mree, doci do iznosa amplitude pomaka.

Za treniranje ove neuronske mree koriten je toolbox softverskog paketa MATLAB, Ne-ural Network Fitting Tool (nftool). Na slici 5.5 prikazana je topologija koritene mree. Mreaje unaprijedna, uz ulazni i izlazni sloj sadri jedan sakriveni sloj s 10 neurona. Aktivacijskafunkcija skrivenog sloja je sigmoidalna, opisana jednadbom (5.3), dok je aktivacijska funkcijaizlaznog sloja linearna. Na ulazu svakog neurona koriten je i ulaz jedinicne vrijednosti, bias.Treniranje mree odvija se promjenom izlaznih i skrivenih teina prema povratnom prostiranjupogreke, te se za promjenu parametara kroz ucenje koristi Levenberg-Marquardtov algoritam.



Slika 5.5: Topologija trenirane staticke neuronske mree

Generirane su vrijednosti pocetnih teina izmedu -1 i 1 te je zadano ogranicenje od maksi-malno 1000 iteracija. Algoritam zavrava treniranje neuronske mree kada postigne maksima-lan broj iteracija ili, ukoliko je zadano, maksimalno vrijeme treniranja. Prije treniranja zadajese i parametar kojim se ocjenjuje tocnost treniranja, odnosno parametar performanse (eng. per-formance), funkcijom net.performFcn. Kao procjena tocnosti algoritma tokom treniranja uzimase srednja kvadratna greka definirana sljedecim izrazom:

MSE =

N

n=1(dnOn)2

N(5.62)

Algoritam treniranja se takoder zaustavlja kada promjena srednje kvadratne greke izmeduprethodnog i trenutnog koraka ucenja, odnosno gradijent srednje kvadratne pogreke, padneispod zadane vrijednosti od 103. Takoder je moguce odrediti parametar provjere valjanosti(eng. validation checks) koji predstavlja broj uzastopnih iteracija u kojima se iznos srednjevrijednost kvadratne greke ne smanjuje. Ovaj parametar podeen je na 15 uzastopnih iteracija.Parametar , koeficijent brzine ucenja Levenberg-Marquardt algoritma, podeen je na pocetnuvrijednost od 0,001. Ovaj parametar mijenja se ovisno o pogreci ucenja, te sukladno tomeraste ili pada za odredeni iznos. Skup ucenja sastoji se 7200 uzoraka, jedan uzorak sadri jedanulaz - napon, i jedan izlaz - pomak. Prije treniranja, ulazni i izlazni parametri normirani suizmedu vrijednosti -1 i 1, s obzirom da je aktivacijska funkcija sigmoidalna koja izvan rasponaovih vrijednosti ulazi u zasicenje te su u rasponu tih vrijednosti generirane i pocetne teine. Unastavku slijede rezultati treniranja.

Slika 5.6: Parametri treniranja mree



Da bi vrijednost gradijenta pogreke bila manja od 103, statickoj mrei s 10 skrivenih ne-urona bilo je potrebno 12 koraka ucenja (slika 5.6).

Kao procjena tocnosti naucenog algoritma ucenja (eng. performance) koristi se normalizi-rani korijen srednje kvadratne pogreke (NRMS):

NRMS =RMSdn

=

N

n=1(dnOn)2

N

dn(5.63)

gdje je:

dn =

1N

N

n1

(dnd)2 (5.64)

d =1N

N

n=1

dn (5.65)

Na slici 5.7 prikazana je usporedba mjerenog signala pomaka kroz cijeli skup ucenja s do-bivenim izlazima iz mree. Vrijednost NRMS parametra iznosi 0,34. Ukoliko bi se prije treni-ranja smanjio iznos zadanog gradijenta pogreke kojim se zaustavlja treniranje cak i do iznosa1010, znacajnije promjene nisu postignute.

Slika 5.7: Usporedba mjerenog i izlaznog signala

Na slici 5.8 poblie je prikazan graf u podrucju amplitudnih vrijednosti. Iako se moeprimjetiti relativno dobro aproksimiranje sinusne karakteristike signala mree, vidljivo je dau podrucju amplitudnih vrijednosti dolazi do vrlo loe aproksimacije. U jednom snimanju



mjerenja amplitudna vrijednost napona je konstantna, dok je amplitudna vrijednost pomaka ujednom snimanju promjenjiva. Dolazi se do zakljucka da je potrebno aproksimirati dinamickisustav, a koritena je staticka neuronska mrea. Ipak, statickom neuronskom mreom, prema[6], moguce je aproksimirati dinamicko ponaanje sustava.

Slika 5.8: Usporedba mjerenog i izlaznog signala kod amplitudnih vrijednosti

Broj ulaznih neurona staticke mree koja opisuje dinamicko ponaanje sustava trebao bi bitijednak redu sustava cije se ponaanje uci. S obzirom da je red sustava nepoznat, aproksimirat cese clanom prvog reda, odnosno mrea ce u skupu za treniranje imati dva ulaza, napon u korakun, Z(n) te mjereni pomak u koraku n 1, d(n 1). Ostali parametri jednaki su prethodnotreniranoj mrei. Slijedi analiza trenirane mree.

Slika 5.9: Usporedba mjerenog i izlaznog signala



NRMS vrijednost koja u obzir uzima mjereni pomak i izlaz trenirane mree iznosi 0,02,to je zadovoljavajuc iznos, odnosno trenirana mrea je s dovoljnom tocnocu aproksimiraladinamiku pomaka na temelju dva ulaza po uzorku. U usporedbi s vrijednosti NRMS parametrau prethodnom treniranju u vrijednosti od 0,34, lako je zakljuciti da je dolo do znatnog po-boljanja aproksimacije to je vidljivo i na vrijednosti parametra koji pokazuje tocnost mree.Vrijednost NRMS parametra nije uvijek odlucujuc faktor u odredivanju aproksimira li treni-rana mrea dovoljno dobro eljeni izlaz, vec treba i vizualno analizirati dobivene vrijednosti.Primjerice, moguce je da mrea aproksimira mjereni izlaz sa eljenom tocnocu du cijelogpodrucja, osim u podrucju krajnjih (ili amplitudnih) vrijednosti. Ukoliko je za odredenu pri-mjenu podrucje krajnjih vrijednosti zanemarivo, odnosno nije od velikog znacaja, vrijednostNRMS parametra u iznosu od 0,34 moe biti dovoljno tocno. No, kako je za ovu primjenu vrlobitan upravo iznos krajnjih odnosno amplitudnih vrijednosti pomaka, poeljno je da vrijed-nost NRMS parametra bude to manja, te da aproksimacija u podrucju amplitudnih vrijednostibude to tocnija. Aproksimacija amplitudnih vrijednosti koritenjem staticke mree s dva ulazadetaljno je vidljiva na slici 5.10.


Da bi se naucena mrea mogla testirati, potreban je set ulaznih podataka koji nisu bili uklju-ceni u treniranje. No kako nije izvedeno mjerenje u ovu svrhu na drugom piezoelektricnompretvorniku istog tipa te kako postoji samo 12 snimanja, za testiranje mree koristit ce se ulaznipodaci koriteni za prethodno treniranje iste mree, s jednom razlikom. Kao ulaz u mreu,uz mjereni napon, nece se koristiti mjereni pomak u prethodnom koraku, d(n 1), vec izlaziz testirane mree u prethodnom koraku, O(n 1), prikazano na slici 5.11. Dakle, testiranjemree odvija se provodenjem unaprijedne faze kroz cijeli skup za ucenje. Unaprijedna faza



prikazana je slikom 5.4. Prolaskom kroz cijeli skup za ucenje teine ostaju nepromijenjene, anjihov iznos dobiven je iz prethodno trenirane mree. Slijede rezultati testiranja.

u(n)

O(n1)

O(n)SNN

Slika 5.11: Blok shema testiranja mree


Naknadnim testiranjem parametar NRMS iznosi 0,24, to je nezadovoljavajuc rezultat. Iakose odredeni iznos numericke greke unosi mnoenjem izlaza da bi se nakon normiranja vratiou stvarne vrijednosti, svejedno je vidljivo neuspjeno aproksimiranje amplitudnih vrijednosti(slika 5.12). Iako je u principu moguce za dinamicki sustav koristiti staticku mreu, u ovomslucaju uputno je koritenje dinamicke mree koja u ovom radu nije obradivana. Jedna od koris-nih prednosti dinamicke mree u ovom slucaju je cinjenica da nije potrebno unaprijed znati redsustava, kao to je to slucaj za staticku mreu. Staticka mrea uspjeno bi izvrila zadatak uko-liko bi se, uz napon, mjerio jo jedan signal za koji nije potrebna skupocjena dodatna oprema,poput struje koja je rezultat generiranja naboja na elektrodama piezoelektricnog pretvornika.



5.4 Aproksimacija rezonantne frekvencije i ekvivalentnog otpora

Treniranje sljedece umjetne neuronske mree prodeveno je na temelju eksperimenta 3opisanog u potpoglavlju 3.4. Ulazni podatci skupa za ucenje sastoje se od znacajki mjerenognapona izvedenih na slici 3.18. Ulaz jednog uzorka sastoji se od sljedecih znacajki, detaljnijeopisanih u poglavlju 3.4:

maksimum, efektivna vrijednosti, varijanca, faktor jasnoce, faktor oblika,

dok su za izlaz jednog uzorka iz skupa ucenja odabrane sljedece znacajke iz slike 3.19:

retonantna frekvencija, ekvivalentni otpor.Skup za ucenje ima 59 uzoraka. Koristi se jedan skriveni sloj s 10 neurona. Topologija

mree prikazana je na slici 5.13.

Slika 5.13: Topologija mree

Za treniranje koriten je Levenberg-Marquardtov algoritam s pocetnim parametrima pode-enim jednako kao u prethodnom poglavlju. Ulazi i izlazi prije treniranja skalirani su u rasponuvrijednosti -1 i 1. Slijede rezultati treniranja.

Slika 5.14: Parametri treniranja mree LM algoritmom

Na prethodnoj slici vidljivo je da je u 82 iteracije gradijent pogreke pao na vrijednost manjuod 104, stoga je treniranje prekinuto. No, rezulatati treniranja nisu zadovoljavajuci. NRMS



vrijednost rezonantne frekvencije vrlo je visoka, kao i vrijednost NRMS parametra ekvivalent-nog otpora, to je vidljivo i na slikama 5.15 i 5.16.

Slika 5.15: Rezonantna frekvencija Slika 5.16: Ekvivalentni otpor

Pokuaj treniranja mree klasicnim EBP algoritmom takoder ne daje poboljanje. Topo-logija mree treniranja je nepromijenjena, koeficijent brzine ucenja jednak je 0,1, dok jemomentum jednak 0,5. Slijede rezultati treniranja.

Slika 5.17: Parametri treniranja mree EBP algoritmom

Na slici 5.17 prikazani su parametri treniranja, gdje je vidljivo da u 1000 koraka gradijentpogreke nije imao iznos manji od 103. Na slikama 5.16 i 5.19 vidljiva je loa aproksimacijaoba izlazna signala.

Slika 5.18: Rezonantna frekvencija Slika 5.19: Ekvivalentni otpor



Iako je vidljivo da LM algoritam u odredenoj mjeri bolje aprosksimira od klasicnog EBPalgoritma, glavni razlog zato niti jedna od dvije vrste algoritama nije dala zadovoljavajuc re-zultat je cinjenica da se u ulaznim parametrima znacajnije promjene dogadaju u prvoj polovicisnimanja, izmedu prvog i 30 uzorka, dok je u izlaznim parametrima znacajnija promjena vid-ljiva izmedu 30. i 60. uzorka, dok su u tom intervalu ulazne vrijednosti relativno konstantne(vidljivo usporedbom slika 3.18 i 3.19). Razlika u provodenju ovog eksperimenta od ostalih jeu generiranom ulaznom signalu, koji u ovom slucaju nije sinusnog oblika vec kvadratnog, a sobzirom na dinamiku procesa, zbog otrih rubova u naponskom signalu teko je doci do nekihrelevantnih znacajki signala koje nisu vidljive u ovim parametrima, a koje se mijenjaju ovisnoo promjeni rezonantne frekvencije. Takoder, u izlaznim signalima vidljiv je skok u vrijednostioko 40. i 53. mjerenja, stoga bi trebalo provesti snimanja u gucem periodu od svakih satvremena, primjerice svakih pola sata nakon to se uoci promjena u frekvenciji. Tada bi se tadamogla uspjeno primjeniti umjetna neuronska mrea na ovom skupu podataka za ucenje.



Zakljucak

Glavna ideja provedenih eksperimenata, analize i istraivanja je pronalazak jednostav-nog nacina odredivanja razine degradacije, troenja, zamora materijala ili nekog drugog oblikakvara piezoelektricnog bimorfnog pretvonika, bez prekida rada uredaja i koritenja dodatnihsenzora. Sve to je potrebno za odredivanje stanja pretvornika je izlazni napon ili struja kojise mogu lako mjeriti i tokom rada. Koritenjem treniranih neuronskih mrea, na temelju lakomjerenih velicina, moguce je aproksimirati stvarni iznos pomaka u svakom trenutku, bez do-datnih senzora pomaka ili brzine. Takoder, na temelju nekih karakteristicnih znacajki signalanapona, koritenjem trenirane mree, moguce je aproksimirati stvarne vrijednosti relevantnihparametara poput rezonantne i antirezonantne frekvencije, ekvivalentnog kapaciteta, otpora islicno. Njihovom analizom bi se sa sigurnocu moglo utvrditi tocno stanje pretvornika te za-kazati pravovremeno odravanje pretvornika i dobiti uvid u iznos preostalih radnih sati prijepotrebne zamjene pretvornika. Iako u ovom radu trenirane mree nisu dale eljeni rezultat,postoji mnogo potencijala za napredak primjenom novih ideja, modifikacija mrea i analizasignala.



Literatura

[1] www.piezoproducts.com

[2] I. A. Ivan, M. Rakotondrabe, P. Lutz, N. Chaillet; Cantilevered Actuators for Micromani-pulation and Microassembly Contexts, Signal Measurement and Estimation Techniquesfor Micro and Nanotechnology , DOI 10.1007/978-1-4419-9946-7 2, c Springer Sci-ence+Business Media, LLC 2011

[3] J. K. Kimotho, C. Sondermann-Woelke, W. Sextro; An approach for feature extraction andselection from non-trending data for machinery prognosis, 2013

[4] W. Al-Ashtari, M. Hunstig, T. Hemsel and W. Sextro; Analytical determination of charac-teristic frequencies and equivalent circuit parameters of a piezoelectric bimorph, Journalof Intelligent Material Systems and Structures 2012 23: 15 originally published online 14December 2011

[5] www.americanpiezo.com/knowledge-center/piezo-theory/

[6] B. Novakovic, D. Majetic, M. iroki; Umjetne neuronske mree, X-Press, Zagreb, 1998.

[7] D. Majetic; Neuronske mree, podloge za predavanja, 2013.

[8] H.Yu, B.M. Willamowski;Industrial Electronics Handbook, LevenbergMarquardt Tra-ining (12-1 do 12-15 str.), CRC Press, 2011.

[9] T. Bacek; Neuronske mree - diplomski rad, FSB, 2011.


SadrajPopis slikaPopis tablicaPopis oznakaSaetakSummaryUvodPiezoelektricni bimorfni pretvornikPiezoelektricni efektO efektuMatematicka reprezentacija efektaPiezoelektricni materijaliPrimjena

O pretvorniku

EksperimentUvod i opremaEksperiment 1Provedba eksperimenta 1Analiza eksperimenta 1

Eksperiment 2Provedba eksperimenta 2Analiza eksperimenta 2

Eksperiment 3Provedba eksperimenta 3Analiza eksperimenta 3

Izgradnja i verifikacija matematickog modela piezoelektricnog pretvornikaMatematicki model pretvornikaIzracun ekvivalentnih parametara modelaVerifikacija matematickog modela

Primjena statickih neuronskih mrea u pracenju degradacije pretvornikaUvod u umjetne neuronske mreeBioloki i umjetni neuronOsnovne podjele umjetnih neuronskih mrea

Staticka neuronska mreaUnaprijedna faza ucenjaPovratna faza ucenjaAlgoritam povratnog rasprostiranja pogreke (Error Back Propagation)Levenberg - Marquardt algoritam

Aproksimacija pomaka na temelju mjerenog naponaAproksimacija rezonantne frekvencije i ekvivalentnog otpora

ZakljucakLiteratura

Documents

Jasmina Premec Zavrsni Rad