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Juan Ángel Díaz Hernando
Doctor Ingeniero Industrial
Licenciado en Ciencias Matemáticas
Profesor Titular de la Universidad Politécnica de Madrid
MISCELÁNEA DE CÁLCULO DIFERENCIALE
INTEGRALTomo I
Análisis Algebraico
Madrid, 2017
Datos de catalogación bibliográfica.'
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JUAN ÁNGEL DÍAZ HERNANDO.
Miscelánea de Cálculo Diferencial e Integral . Tomo I. Análisis Algebraico
©JUAN ÁNGEL DÍAZ HERNANDO, Madrid 2017
Formato 176 x 250 mm Páginas: 645
Todos los derechos reservados.
Queda prohibida, salvo excepción prevista por la ley, cualquier forma de reproducción, distribución, co-
municación pública y transformación de esta obra sin contar con autorización del titular de la propiedad
intelectual. La infracción de los derechos mencionados puede ser constitutiva de delito contra la propie-
dad intelectual (arts. 270 y sgts. Código Penal)
DERECHOS RESERVADOS
©2017 por Juan Ángel Díaz Hernando
Presentación: M-008291/2017
R.P.I. 16/2018/2310 del 9 de Abril de 2018
(España)
Editor: Juan Ángel Díaz Hernando
Técnico editorial: E.B.M.
IMPRESO EN ESPAÑA - PRINTED IN SPAIN
Anda plácidamente entre el ruido y la prisa,y recuerda que paz puede haber en el silencio.Evita a las personas ruidosas y agresivas,pues son vejatorias para el espíritu.
Desiderata
III
PrólogoCon este libro abro una nueva miscelánea, la del Cálculo Diferencial e Integral, y lo hago rompiendo una
lanza en favor de la Aritmética, cuyo conocimiento debiera ser obligatorio para todo aquél que quiera
moverse en el mundo de las matemáticas; por supuesto el aspirante a universitario debe manejarla con
soltura.
Quiero encuadrar, los libros que seguirán a éste, en el ámbito de aquellas publicaciones en las que me
entretuve allá por los años ochenta. Mi justificación se apoya en que no es lo mismo explicar algo a
un estudiante, cual es mi posición, que facilitar el resultado de una investigación a un especialista en la
materia; cada una tiene su propio lenguaje, lo que no significa que el primero tenga que ser incorrecto,
sino simplemente pedagógico. En relación con el saber son importantes el conocimiento y la enseñanza;
si no se sabe, nada se puede transmitir, y si se sabe mucho pero no se transmite, ¿dónde está el maestro?.
Después de practicar con el principio de inducción completa y de los sistemas de numeración, trataré
de la divisibilidad y de los números primos, así como los m.c.d. y m.c.m., estudiando, también la con-
gruencia. Seguirán los logaritmos, que se manejan más adelante, y en particular la combinatoria, de
aplicación inmediata al cálculo de probabilidades, que sigue. Una curiosidad la constituyen los cuadra-
dos mágicos y los triángulos pitagóricos, de los que damos unas ideas; un tratamiento muy completo
de los mismos se puede ver en los libros de Fourrey y de Descombres que figuran en la Bibliografía.
Al estudio de las sucesiones de números reales y la determinación de sus correspondientes límites, de-
dico todo un capítulo.
A continuación trato, casi en forma exhaustiva, las progresiones, tanto las aritméticas como las geo-
métricas, y en el capítulo siguiente las series numéricas, para continuar con el dedicado a las series
potenciales.
En el penúltimo capítulo doy, a modo de pincelada, unas nociones acerca de un tema tan importante
como es el de las series de Fourier, con la idea de completarlo en el Tomo II, que seguirá a éste.
En el último capítulo sobrevuelo dos temas muy relacionados entre sí, que aunque se apartan un poco
de la línea que estamos siguiendo, pues están más en la llamada programación, tienen un atractivo es-
pecial: Dan solución a un problema clásico, como es el de las Torres de Hanoi, para los que hablamos
antes de árboles y recursividad.
Una buena política ante cualquier decisión a tomar, nos la sugiere el siguiente pensamiento, no se de
quién pero muy realista: Dame, ¡Oh Señor!, serenidad para aceptar las cosas inevitables que no pue-
do cambiar; valentía para emprender aquellas que puedo y debo cambiar; pero sobre todo, dame, ¡Oh
Señor!, sabiduría para distinguirlas.
Siempre en mi memoria mis amigos, mi esposa y mis padres, mis hijos y mis queridos nietos: Lucía,
Diego y Mario.
Juan Angel Díaz Hernando.
V
ÍNDICE
VII
CAPÍTULO I
Generalidades.................................................................................... 1
Lección 1 PRINCIPIO DE INDUCCIÓN COMPLETA
1.1 Principio de inducción completa............................................................. 3
Lección 2 SISTEMAS DE NUMERACIÓN
2.1 Sistemas de numeración.......................................................................... 15
Lección 3 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Y PARTICULARIDADES
CURIOSAS DE LOS NÚMEROS
3.1 Criterios de divisibilidad y particularidades curiosas de los números.... 21
Lección 4 NÚMEROS PRIMOS
4.1 Números primos...................................................................................... 39
Lección 5 MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN
MÚLTIPLO
5.1 Máximo común divisor y mínimo común múltiplo................................ 53
Lección 6 NÚMEROS CONGRUENTES
6.1 Números congruentes............................................................................. 69
Lección 7 NÚMEROS INCONGRUENTES
7.1 Números incongruentes.......................................................................... 79
Lección 8 RESTOS POTENCIALES
8.1 Restos potenciales................................................................................... 91
Lección 9 LOGARITMOS
9.1 Logaritmos............................................................................................... 103
Lección 10 DESIGUALDADES
10.1 Desigualdad de Cauchy............................................................................ 111
10.2 Desigualdad de Bernouilli........................................................................ 112
10.3 Desigualdad de Cauchy-Buniakovski...................................................... 113
10.4 Ejemplos................................................................................................... 114
Lección 11 ECUACIONES DIOFÁNTICAS
11.1 Ecuaciones diofánticas............................................................................. 123
IX
Lección 12 COMBINATORIA
12.1 Combinatoria........................................................................................ 129
Lección 13 NÚMEROS COMBINATORIOS
13.1 Números combinatorios........................................................................ 139
Lección 14 CÁLCULO DE PROBABILIDADES
14.1 Cálculo de probabilidades..................................................................... 149
Lección 15 PROBABILIDAD TOTAL Y PROBABILIDAD COMPUESTA
15.1 Probabilidad total y probabilidad compuesta........................................ 159
Lección 16 FÓRMULA DE BAYES
16.1 Fórmula de Bayes.................................................................................. 171
Lección 17 RAÍCES ENTERAS Y FRACCIONES DE UNA ECUACIÓN
17.1 Raíces enteras y fracciones de una ecuación......................................... 179
Lección 18 CUADRADOS MÁGICOS Y TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS
18.1 Cuadrados mágicos............................................................................... 187
18.2 Cuadrados anti-mágicos........................................................................ 199
18.3 Cuadrados sorprendentes...................................................................... 202
18.4 Triángulos pitagóricos........................................................................... 205
CAPÍTULO II
Sucesiones de números reales.................................................. 207
Lección 19 SUCESIONES DE NÚMEROS REALES
19.1 Sucesiones de números reales............................................................... 209
Lección 20 LÍMITE DE UNA SUCESIÓN DE NÚMEROS REALES
20.1 Límite a una sucesión de números reales............................................. 217
Lección 21 CRITERIO GENERAL DE CONVERGENCIA Y CÁLCULO
DE LÍMITES
21.1 Criterio general de convergencia y cálculo de límites.......................... 227
Lección 22 LÍMITES DE EXPRESIONES RACIONALES E
IRRACIONALES, EL NÚMERO e22.1 Límite de expresiones racionales e irracionales.................................... 239
22.2 El número e........................................................................................... 245
Lección 23 INFINITÉSIMOS E INFINITOS. PRINCIPIO DE
SUSTITUCIÓN
23.1 Infinitésimos e infinitos.......................................................................... 249
23.2 Principio de sustitución.......................................................................... 253
X
Lección 24 LÍMITES DE LA FORMA 1ααα ,∞∞∞0 y 00
24.1 Límites de la forma 1ααα ........................................................................ 265
24.2 Límites de la forma ∞∞∞0 y 00............................................................. 268
Lección 25 CRITERIOS DE STOLZ-CESAREO Y DE LAS MEDIAS
ARITMÉTICA Y GEOMÉTRICA
25.1 Criterio de Stolz-Cesareo..................................................................... 273
25.2 Criterio de la media aritmética............................................................. 279
25.3 Criterio de la media geométrica........................................................... 279
25.4 Criterio de la razón y de la raíz............................................................ 280
CAPÍTULO III
Progresiones y sucesiones recurrentes................................ 287
Lección 26 PROGRESIONES ARITMÉTICAS
26.1 Progresiones aritméticas....................................................................... 289
Lección 27 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
27.1 Progresiones geométricas..................................................................... 299
Lección 28 PROGRESIONES ARITMÉTICAS DE ORDEN SUPERIOR
28.1 Progresiones aritméticas de orden superior.......................................... 313
Lección 29 PROGRESIONES ARITMÉTICO-GEOMÉTRICAS
29.1 Progresiones aritmético-geométricas................................................... 337
Lección 30 PROGRESIONES HIPERGEOMÉTRICAS
30.1 Progresiones hipergeométricas............................................................. 343
Lección 31 SUCESIONES RECURRENTES
31.1 Sucesiones recurrentes......................................................................... 347
CAPÍTULO IV
Series numéricas.......................................................................... 367
Lección 32 SERIES NUMÉRICAS
32.1 Series numéricas................................................................................... 369
Lección 33 SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS
33.1 Serie de términos positivos................................................................... 381
33.2 Criterio de Rieman-Pringsheim............................................................ 388
33.3 Criterio de D’Alembert........................................................................ 390
33.4 Criterio de Cauchy................................................................................ 395
XI
33.5 Criterio de Raabe-Duhamel............................................................... 398
33.6 Criterio de Logarítmico..................................................................... 401
33.7 Criterios de Kummer y de Gauss...................................................... 403
33.8 Cuadro Resumen.............................................................................. 408
Lección 34 SERIES ALTERNADAS
34.1 Series alternadas.............................................................................. 409
Lección 35 SERIES DE TÉRMINOS CUALESQUIERA
35.1 Series de términos cualesquiera....................................................... 415
Lección 36 OPERACIONES CON SERIES
36.1 Operaciones con series.................................................................... 425
Lección 37 SUMACIÓN DE SERIES (I)
Sumación de series........................................................................... 431
37.1 Series geométricas........................................................................... 432
37.2 Series aritmético-geométricas.......................................................... 433
37.3 Series hipergeométricas.................................................................... 436
Lección 38 SUMACIÓN DE SERIES (II)
38.1 Series sumables por descomposición............................................... 447
38.2 Series de término general x =1
(b+p ⋅n)!...................................... 457
Lección 39 SUMACIÓN DE SERIES (III)
39.1 Series trigonométricas....................................................................... 465
39.2 Series formadas por los términos de la armónica
(SERIES DE EULER)...................................................................... 469
39.3 Series no encuadradas entre las anteriores (Ejemplos).................... 474
Lección 40 SUMACIÓN APROXIMADA DE SERIES
40.1 Series de términos positivos............................................................. 479
40.2 Series alternadas.............................................................................. 486
40.3 Cálculo aproximada de raíces.......................................................... 489
CAPÍTULO V
Series potenciales..................................................................... 493
Lección 41 SERIES POTENCIALES. RADIO DE CONVERGENCIA
41.1 Series potenciales............................................................................ 495
41.2 Radio de convergencia.................................................................... 497
XII
Lección 42 CONVERGENCIA UNIFORME
42.1 Convergencia uniforme................................................................... 507
42.2 Continuidad de las series convergentes.......................................... 509
42.3 Derivadas e integrales de las series potenciales............................. 514
Lección 43 DESARROLLOS EN SERIE DE POTENCIAS
43.1 Desarrollo en serie de potencias..................................................... 517
Lección 44 SUMACIÓN DE SERIES DEL TIPO∞∞∞
∑n=0
P(n) ⋅an ⋅xn
44.1 Sumación de series del tipo∞∞∞
∑n=0
P(n) ⋅an ⋅xn.................................. 525
Lección 45 PRODUCTOS INFINITOS
45.1 Productos infinitos........................................................................... 529
CAPÍTULO VI
Series de Fourier..................................................................... 535
Lección 46 SERIES DE FOURIER
46.1 Series de Fourier.............................................................................. 537
Lección 47 FUNCIONES PARES E IMPARES
47.1 Funciones pares e impares.............................................................. 545
CAPÍTULO VII
Fracciones Continuas........................................................... 549
Lección 48 FRACCIONES CONTINUAS
48.1 Fracciones continuas...................................................................... 551
Lección 49 DESARROLLOS EN FRACCIÓN CONTINUA
49.1 Desarrollo de los números racionales............................................. 563
49.2 Irracionales cuadráticos.................................................................. 567
Lección 50 ALGORITMO DE LOS CUMULANTES
50.1 Algoritmo de los cumulantes.......................................................... 593
CAPÍTULO VIII
Lección 51 ÁRBOLES
51.1 Definiciones.................................................................................... 605
51.2 Creación, inversión y borrado........................................................ 607
51.3 Recorrido y tratamiento de un árbol............................................... 613
XIII
Lección 52 RECURSIVIDAD
52.1 Recursividad................................................................................... 617
52.2 Ejemplos......................................................................................... 618
52.3 Las torres de Hanoi........................................................................ 619
52.4 Identificar la bola............................................................................ 623
ALFABETO GRIEGO ..................................................................................................... 629
BIBLIOGRAFÍA ...................................................................................................... 631
XIV
CAPÍTULO I
Generalidades
Lección 1.- EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN COMPLETA
1.1 El principio de inducción completa
1.1 El principio de inducción completa
Un método de demostración, de gran interés en matemáticas, es el llamado principio de inducción
completa, cuyo enunciado es el siguiente:
Si una proposición, en la cual se presenta un número natural n,
indeterminado, cumple las dos condiciones siguientes:
a.- la proposición es cierta para n = 0.
b.- de la hipótesis de ser cierta para el número n se deduce
que la proposición es cierta para el número n+1,
entonces la proposición es cierta para todos los números naturales.
Es frecuente usar los términos siguientes: La proposición para n = 0 es la base de la inducción; la
hipótesis de que la proposición es cierta para el número n se llama hipótesis de inducción, y por último,
se dice que la inducción se hace respecto del número n.
Ejemplo 1. Establecer la fórmula
0+1+2+3+ . . . . . . +n = n ⋅(n+1)2
a.- La fórmula es cierta para n = 0, pues
0 = 0 ⋅(0+1)2
b.- Supongamos la fórmula cierta para el número n, y probémosla para n+1:
Sumando n+1 a los dos miembros de la igualdad dada se tiene
0+1+2+3+ . . . . . . +n+(n+1) = n ⋅(n+1)2
+(n+1) = (n+1) ⋅( n2+1) = (n+1) ⋅(n+2)
2
lo que nos prueba la fórmula para n+1.
En virtud del principio de inducción completa queda demostrada la fórmula dada, para todos los números
naturales.
A veces, en proposiciones que dependen de n, la condición a.- no se verifica para n = 0, sino cuando n es igual a
otro número natural fijo p, mientras que la condición b.- se cumple. En este caso, el principio de inducción completa
asegura que si la posposición es cierta para todos los números de la serie natural a partir de p. Observemos que
bastará sustituir n por n+p para volver al caso general.
3
Ejemplo 2. Establecer la fórmula
11 ⋅2 +
12 ⋅3 + . . . . . . + 1
(n−1) ⋅n = 1− 1n
a.- La fórmula es cierta para n = 2, pues1
1 ⋅2 = 1− 12= 1
2
b.- Supongamos la formula cierta para el número n, y probémosla para n+1:
Sumando1
n ⋅(n+1) a los dos miembros de la igualdad dada se tiene
11 ⋅2 + 1
2 ⋅3 + . . . . . . + 1(n−1) ⋅n + 1
n ⋅(n+1) = 1− 1n+ 1
n ⋅(n+1) =
= (1− 1n
)+( 1n− 1
n+1) = 1− 1
n+1
que nos prueba la fórmula para n+1. Así, la fórmula es cierta para todos los números naturales a partir del 2.
La necesidad simultánea de las condiciones a.- y b.- , para establecer la conclusión del principio de inducción
completa queda justificada por los dos ejemplos siguientes.
Ejemplo 3. Aunque una igualdad tal como la
n3+2 ⋅n = 3 ⋅n2
se verifique para n = 0 , n = 1 y n = 2, puede no verificarse para ningún otro n; en consecuencia, en la aplicación
del principio de inducción completa, la condición b.- es esencial.
El ejemplo se ha construido teniendo en cuenta que
n ⋅(n−1) ⋅(n−2) = n3−3 ⋅n2+2 ⋅n .
En la misma forma la igualdad
(n−1) ⋅(n−2) ⋅(n−3). . . . . . (n−500) = 0
se verifica para los quinientos números 1, 2, . . . .. . . , 500 , y no por eso será cierta, en general, para cualquier valor
de n.
Ejemplo 4. La fórmula, falsa,
n = n+8 ,
cumple, evidentemente la condición b.- , pero en cambio no cumple la condición a.- , ni para n=0, ni para cualquier
otro valor de n.
Intuitivamente el principio podría plantearse en la forma siguiente: Supongamos que tenemos fichas de
dominó colocadas en fila, empezando por una determinada a la que siguen una infinidad de ellas. ¿Cómo
obtener la certeza de que golpeando a la primera todas las demás caerán?
4
El principio dice que, para ello, bastará comprobar:
a.- Que la primera ficha cae al ser golpeada.
b.- Que las fichas están situadas de manera que si una cualquiera de ellas cae, automáticamente golpea
y hace caer a la siguiente.
Entonces, aunque la fila se extienda indefinidamente, afirmamos que todas las fichas caerán, en virtud
del principio de inducción completa
Una segunda forma del principio de inducción completa es la siguiente:
Si una proposición, en la cual se presenta un número natural n,
indeterminado, cumple las dos condiciones:
a.- la proposición es cierta para n = 0.
b.- de la hipótesis de ser cierta para el número n y todos
los números naturales menores que n se deduce que la
proposición es cierta para el número n+1 entonces
la proposición es cierta para todos los números naturales.
Observemos que la diferencia entre este enunciado del principio de inducción completa, respecto del
primero, es que en la condición b.- se exige que la proposición sea cierta no sólo para el número n, sino
para todos los números naturales menores que n.
Ejemplo 5. Sea una sucesión de números naturales
a1 ,a2, a3, . . . . . . , an, . . . . . .
en la que
a = 1 , a2 = 22 , a3 = 32
y cada uno de los términos siguientes se obtiene a partir de los tres anteriores por la relación
an = 3 ⋅an−1−3 ⋅an−2+an−3 .
Se trata de probar que: an = n2.
La proposición es cierta para n = 4, puesto que
3 ⋅a3−3 ⋅a2+a1 = 3 ⋅32−3 ⋅22+1 = 16 = 42 = a2
5
Supongamos que sea cierta para los números menores que n: entonces se tiene
an−1 = (n−1)2 , an−2 = (n−2)2 , an−3 = (n−3)2
de donde se deduce que
3 ⋅(n−1)2−3 ⋅(n−2)2+(n−3)2 = 3 ⋅n2−6 ⋅n+3−3 ⋅n2+12 ⋅n−12+n2−6 ⋅n+9 = n2
lo que nos dice que
an = n2
como queríamos demostrar.
Veamos, ahora, unos cuantos ejemplos más, de aplicación del principio de inducción completa. Empece-
mos con unos del tipo aritmético:
Ejemplo 6. Determinar an sabiendo que a1 = 1, y que para todo número natural k > 1 se verifica
ak = ak−1+3 .
En este caso no conocemos la hipótesis de inducción, que debemos establecer.
Observando que:
a1 = 1 = 3 ⋅1−2
a2 = 1+3 = 4 = 3 ⋅2−2
a3 = 4+3 = 7 = 3 ⋅3−2
a4 = 7+3 = 10 = 3 ⋅4−2
se nos ocurre que puede verificarse
an = 3 ⋅n−2
que es la proposición a comprobar.
La fórmula es cierta para n = 1, puesto que
a1 = 3 ⋅1−2 = 1
Supongámosla cierta para n, y comprobémosla para n+1:
an+1 = an+3 = 3 ⋅n−2+3 = 3 ⋅(n+1)−2
Queda así probada la fórmula : an = 3 ⋅n−2.
Ejemplo 7. Establecer la formula siguiente:
12+22+32+42+ . . . . . . +n2 = n ⋅(n+1) ⋅(2 ⋅n+1)6
a.- La fórmula es cierta para n = 1, pues
1 ⋅(1+1) ⋅(2 ⋅1+1)6
= 1 = 12
6
b.- Supongamos la fórmula cierta para el número n, y probémosla para n+1:
Sumando (n+1)2 a los dos miembros de la igualdad dada se tiene
12+22+32+42+ . . . . . . +n2+(n+1)2 = n ⋅(n+1) ⋅(2 ⋅n+1)6
+(n+1)2 =
= n ⋅(n+1) ⋅(2 ⋅n+1)+6 ⋅(n+1)2
6=
= (n+1) ⋅(n ⋅(2 ⋅n+1)+6 ⋅(n+1))6
=
= (n+1) ⋅(2 ⋅n2+7 ⋅n+6)6 =
= (n+1) ⋅(n+2) ⋅(2 ⋅n+3)6
=
= (n+1) ⋅ [(n+1)+1] ⋅ [2 ⋅(n+1)+1]6
lo que nos prueba la fórmula para n+1.
En consecuencia, la fórmula dada es cierta para todos los números naturales a partir de 1.
Ejemplo 8. Establecer la fórmula siguiente:
13+23+33+43+ . . . . . . +n3 = ( n ⋅(n+1)2
)2
a.- La fórmula es cierta para n = 1, pues
( 1 ⋅(1+1)2
)2= 1 = 13
b.- Supongamos la fórmula cierta para el número n, y probemosla para n+1:
Sumando (n+1)3 en los dos miembros de la igualdad dada se tiene,
13+23+33+43+ . . . . . . +n3+(n+1)3 = ( n ⋅(n+1)2
)2+(n+1)3 =
= n2 ⋅(n+1)2+4 ⋅(n+1)3
4=
(n+1)2 ⋅[n2+4 ⋅(n+1)]4
=
= (n+1)2 ⋅(n2+4 ⋅n+4)4
= (n+1)2 ⋅(n+2)2
4=
= (n+1) ⋅ [(n+1)+1]2
4= ( (n+1) ⋅ [(n+1)+1]
2)
2
lo que nos prueba la formula para n+1.
En consecuencia, la fórmula dada es cierta para todos los números naturales a partir del 1.
Ejemplo 9. Comprobar que la suma de los cubos de tres números naturales consecutivos es divisible por 9.
a.- La proposición es cierta si el primero de los tres números naturales es el n = 1, pues
13+23+33 = 36 ,
que es divisible por 9.
7
b.- Supongamos que la proposición es cierta para el número n, y probémosla para el n+1.
Así, supondremos que el número
n3+(n+1)3+(n+2)3
es divisible por 9.
La suma(n+1)3+(n+2)3+(n+3)3 = (n+1)3+(n+2)3+(n3+9 ⋅n2+27 ⋅n+27) =
= [n3+(n+1)3+(n+2)3]+9 ⋅(n2+3 ⋅n+3)
es entonces divisible por 9 , puesto que lo son cada uno de los dos sumandos que figuran en el último
miembro, lo que nos prueba la posposición para n+1.
En consecuencia, la proposición que nos interesa es cierta para todos los números naturales a partir del 1.
Veamos, ahora, como el principio de inducción completa se aplica para establecer igualdades trigono-
métricas.
Ejemplo 10. Establecer la identidad siguiente
cos ααα ⋅cos 2ααα ⋅cos 22ααα ⋅ . . . . . . cos 2n
ααα = sen 2n+1ααα
2n+1 ⋅ sen ααα,
a.- La igualdad es cierta para n = 0, pues
cos ααα = sen 2ααα
2 ⋅ sen ααα
b.- Supongamos que la igualdad es cierta para el número n, y probémosla para el n+1.
Multiplicando los dos miembros de la igualdad por cos 2n+1ααα , se tiene
cos ααα ⋅cos 2ααα ⋅cos 22ααα ⋅ . . . . . . cos 2n
ααα ⋅ cos 2n+1ααα = sen 2n+1
ααα
2n+1 ⋅ sen ααα⋅cos 2n+1
ααα =
= sen 2n+1ααα ⋅cos 2n+1
ααα
2n+1 ⋅ sen ααα=
12⋅ sen (2 ⋅2n+1
ααα)
2n+1 ⋅ sen ααα= sen 2(n+1)+1
ααα
2(n+1)+1 ⋅ sen ααα
lo que nos prueba la igualdad para n+1.
En consecuencia, la igualdad dada es cierta para todos los números naturales.
También se puede utilizar el principio de inducción completa para establecer desigualdades.
Ejemplo 11. Comprobar que para todo número natural n > 1, se verifica la desigualdad siguiente:
1n+1
+ 1n+2
+ . . . . . . + 12 ⋅n > 13
24.
a.- La desigualdad es cierta para n = 2, pues
12+1
+ 12+2
= 4+312
= 712
= 1424
> 1324
8
b.- Supongamos la desigualdad cierta para el número n, y probemosla para el n+1.
Si llamamos Sn al primer miembro de la desigualdad, eso significa que, de ser cierto que
Sn >1324
debe deducirse que también
Sn+1 >1324
.
Como
Sn =1
n+1+ 1
n+2+ . . . . . . + 1
2 ⋅ny
Sn+1 =1
n+2+ 1
n+3+ . . . . . . + 1
2 ⋅n + 12 ⋅n+1
+ 12 ⋅n+2
si restamos de la segunda igualdad la primera se tiene
Sn+1−Sn =1
2 ⋅n+1+ 1
2 ⋅n+2− 1
n+1= 2 ⋅n+2+2 ⋅n+1−2 ⋅(2 ⋅n+1)
2 ⋅(2 ⋅n+1) ⋅(n+1) =
= 1(2 ⋅n+1) ⋅(2 ⋅n+2) > 0
Luego Sn+1 >1324
, lo que nos prueba la desigualdad para n+1, y en definitiva para todo número natural
n > 1.
Veamos, por último, unos ejemplos muy ilustrativos en lo que se refiere al principio de inducción com-
pleta.
Ejemplo 12. Establecer la desigualdad siguiente:
2n > 2 ⋅n+1 .
a.- La fórmula no es cierta ni para n = 1, ni para n = 2. Sin embargo, si es cierta para n = 3.
b.- Supuesta cierta para el número n probémosla para el n+1.
Como para todo k ⩾ 1 se verifica: 2k ⩾ 2, sumemos a la desigualdad que suponemos cierta, esta última para
k = n:2n > 2 ⋅n+1
2n ⩾ 2 ,
de donde resulta
2n+2n > 2 ⋅n+1+2
es decir
2n+1 > 2 ⋅(n+1)+1
lo que nos prueba la desigualdad que nos interesa para n+1.
En consecuencia, la desigualdad dada es cierta para todos los números naturales a partir del 3.
9
Ejemplo 13. Establecer la desigualdad siguiente:
2n > n2
a.- La desigualdad es cierta para n = 1, sin embargo no es cierta para n = 2, 3, 4. Vuelve a ser cierta para n = 5.
b.- Supongamos, ahora, que es cierta para el número n, y veamos bajo que condiciones es cierta para el n+1. En
el ejemplo anterior establecimos la desigualdad
(∀∀∀n ⩾ 3) 2n > 2 ⋅n+1 .
Sumemos ésta a la que suponemos cierta
2n > n2 ,
de donde resultará
(∀∀∀n ⩾ 3) 2n+2n > 2 ⋅n+1+n2
es decir
(∀∀∀n ⩾ 3) 2n+1 > (n+1)2
lo que nos prueba la desigualdad que nos interesaba, para n+1, siempre que n ⩾ 3.
Como en a.- se estableció que la desigualdad era cierta para n = 1, pero no lo era para n = 2, 3, 4, y volverá a serlo
para n = 5, resultará que el principio de inducción completa nos garantiza la desigualdad en cuestión para valores
mayores o iguales que
máx (5, 3) = 5 ,
es decir, para n ⩾ 5. Además, por la comprobación directa efectuada, podemos afirmar que también se verifica para
n = 1.
(El símbolo ∀∀∀ debe leerse “para todo”).
Ejemplo 14. Comprobar que para todo número natural n (n ⩾ 2) se cumple la igualdad
1 ⋅2+2 ⋅3+ . . . . . . +(n−1) ⋅n = n ⋅(n2−1)3
Designemos el primer miembro de la igualdad con Sn.
a.- Para n = 2, se tiene
S2 = 1 ⋅2 = 2 ⋅(22−1)3
= 2
es decir la igualdad se verifica para n = 2
b.- Supongamos, ahora, que la igualdad dada se cumple para n = k, es decir que
Sk =k ⋅(k2−1)
3,
Debemos establecer que
Sk+1 =(k+1) ⋅((k+1)2−1)
3= (k+1) ⋅(k2+2 ⋅k)
3
10
Sabemos que
Sk+1 = Sk+k ⋅(k+1) .
Así,
Sk+1 =k ⋅(k2−1)
3+k ⋅(k+1) = k+1
3⋅ [k ⋅(k−1)+3 ⋅k] = (k+1) ⋅(k2+2 ⋅k)
3como queríamos establecer, lo que nos prueba que se cumple la igualdad para todo número natural, n ⩾ 2.
Ejemplo 15. Comprobar que para todo número natural n la suma de los cubos de n números impares es
igual a: n2 ⋅(2 ⋅n2−1).
Se trata de comprobar la igualdad:
13+33+53+ . . . . . . +(2 ⋅n−1)3 = n2 ⋅(2 ⋅n2−1) , (n ⩾ 1)
Si denotamos por Sn la suma buscada, entonces debe ser
Sn = n2 ⋅(2 ⋅n2−1) .
a.- Si n = 1, tendremos:
S1 = 13 = 1 , y S1 = 12 ⋅(2 ⋅12−1) = 1 ,
es decir la igualdad es cierta para n = 1.
b.- Supongamos que la igualdad se cumple para n = k, es decir que se verifica
Sk = k2 ⋅(2 ⋅k2−1)
y veamos que se verifica para n = k+1, es decir establezcamos que
Sk+1 = (k+1)2 ⋅(2 ⋅(k+1)2−1) = 2 ⋅k4+8 ⋅k3+11 ⋅k2+6 ⋅k+1 .
De la definición de la suma Sn deducimos que
Sk+1 = Sk+(2 ⋅(k+1)−1)3 = Sk+(2 ⋅k+1)3
Utilizando la hipótesis de inducción aquí, obtenemos
Sk+1 = k2 ⋅(2 ⋅k2−1)+(2 ⋅k+1)3 = 2 ⋅k4+8 ⋅k3+11 ⋅k2+6 ⋅k+1
lo que nos prueba la igualdad para k+1 ; luego la igualdad es cierta para todos los números naturales.
Ejemplo 16. Comprobar que se verifica la igualdad√
2+√
2+ . . . . . . +√
2´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
n
= 2 ⋅cos ( πππ
2n+1 )
siendo n ⩾ 1.
Denotamos con Rn y Sn, respectivamente el primer y el segundo miembro de la igualdad dada.
11
a.- Sea n = 1. Tendremos entonces que
R1 =√
2 y S1 = 2 ⋅cosπππ
4=√
2 ,
es decir: R1 = S1, lo que nos prueba que la igualdad dada es cierta para n = 1.
b.- Supongamos ahora que la igualdad dada es cierta para n = k, es decir que tenemos Rk = Sk :
√2+
√2+ . . . . . . +
√2 = 2 ⋅cos ( πππ
2n+1 )
Para comprobar que Rk+1 = Sk+1 , transformemos la expresión anterior de la siguiente manera:
2+√
2+√
2+ . . . . . . +√
2´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
k
= 2 ⋅cos ( πππ
2k+1 )+2
2+√
2+√
2+ . . . . . . +√
2´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
k
= 2 ⋅(2 ⋅cos2 ( πππ
2k+2 )−1)+2
2+√
2+√
2+ . . . . . . +√
2´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
k
= 4 ⋅cos2 ( πππ
2k+2 )
¿ÁÁÁÁÁÀ
2+√
2+√
2+ . . . . . . +√
2´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
k
=√
4 ⋅cos2 ( πππ
2k+2 )
√2+
√2+ . . . . . . +
√2
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶k+1
= 2 ⋅cos ( πππ
2k+2 )
Es decir: Rk+1 = Sk+1 , lo que demuestra la validez de la igualdad dada.
Ejemplo 17. Los números de Fibonacci, F(n), están definidos por la ecuación recurrente:
F(n+2) = F(n)+F(n+1)
siendo: n ⩾ 1 y además F(1) = 1 y F(2) = 1 .
Comprobar que
F(1)+F(2)+ . . . . . . +F(n) = F(n+2)−1
Denotemos el primer miembro de la igualdad con Sn.
a.- Si n = 1, entonces por la propia definición de los números de Fibonacci, se tiene que: F(1) = 1 . Así, consi-
derando los dos miembros de la fórmula que nos interesa, tenemos
S1 = F(1) = 1 y S1 = F(3)−1 = F(1)+F(2)−1 = 1
luego, la igualdad se verifica para n = 1.
12
b.- Supongamos, ahora, que la igualdad se cumple para n = k, es decir que
Sk+1 = F(k+2)−1 .
Comprobemos entonces que la igualdad es cierta para n = k+1, es decir, que
Sk+1 = F(k+3)−1 .
Como tenemos
Sk+1 = Sk+F(k+1) ,
tomando en consideración la hipótesis de inducción obtenemos
Sk+1 = Sk+F(k+1) = F(k+2)−1+F(k+1) = F(k+3)−1
como queríamos establecer, lo que nos prueba que se cumple la igualdad dada para todo número natural.
Ejemplo 18. Comprobar que si n > 2, se verifica que:
(1 ⋅2 ⋅3, . . . . . . ⋅n)2 > nn .
Procedamos por inducción completa:
a.- Si n = 3, entonces: (1 ⋅2 ⋅3)2 = 36 > 33 = 27.
b.- Suponemos que la desigualdad se verifica para n:
(1 ⋅2 ⋅3 . . . . . . ⋅n)2 > nn (Hipótesis de la inducción)
y comprobémoslo para n+1, es decir,
(1 ⋅2 ⋅3 . . . . . . ⋅n ⋅(n+1))2 > (n+1)n+1 .
Considerando la hipótesis de la inducción, podemos escribir
(1 ⋅2 ⋅3 . . . . . . ⋅n)2 ⋅(n+1)2 > nn ⋅(n+1)2 Ô⇒ (1 ⋅2 ⋅3 . . . . . . ⋅n ⋅(n+1))2 > nn ⋅(n+1)2
Si conseguimos demostrar que
nn ⋅(n+1)2 > (n+1)n+1
tenderemos resuelto el problema. Para ello acotamos el cociente siguiente:
(n+1)n+1
nn ⋅(n+1)2 = ( n+1n
)n⋅ 1
n+1< 3 ⋅ 1
n+1< 1
donde se ha tenido en cuenta que: ( n+1n
)n
es el término general de la sucesión que define el número e,
que está acotada entre 2 y 3, y que para n > 2 la fracción3
n+1es menor que 1.
En consecuencia:
(n+1)n+1 < nn ⋅(n+1)2
y por tanto se cumplirá que
(1 ⋅2 ⋅3 . . . . . . ⋅n ⋅(n+1))2 > (n+1)2 .
13
Lección 2.- SISTEMAS DE NUMERACIÓN
2.1 Sistemas de numeración
2.1 Sistemas de numeración
Llamamos sistema de numeración al conjunto de reglas que permiten la representación de todos los
números.
Sistemas muy conocidos, pero de índole muy diversa, lo constituyen el romano y el decimal. El primero
descompone el número en suma o diferencia de otros varios, cada uno de los cuales está representado
por un símbolo especial:
I, V, X, L, C, D, M ,
mientras que el segundo utiliza el principio del valor relativo es decir, una misma cifra representa valores
distintos, según el lugar que ocupa.
Los sistemas fundados en los mismos principios que el decimal, son los únicos que tienen interés arit-
mético.
El sistema decimal está fundado en el número fijo DIEZ; sin embargo, desde el punto de vista aritméti-
co se puede establecer un sistema de numeración de igual naturaleza que el decimal, tomando como base
un número cualquiera mayor que uno.
El fundamento de estos sistemas son los siguientes convenios:
1º.- Se toma como base un número n mayor que uno, y se adoptan símbolos, denominados cifras o
guarismos para representar el cero y los números menores que la base. Se llaman significativas
las cifras, prescindiendo del cero.
2º.- El número uno recibe el nombre de unidad (o de orden cero). Cada n unidades de un cierto orden
constituyen una unidad de orden superior.
3º.- Los números mayores que la base se expresan escribiendo varias cifras, unas a continuación de
otras. La primera cifra de la derecha representa las unidades simples que contiene el número, la
segunda, las unidades de primer orden contenidas en el mismo; la tercera, las de segundo orden, y
así sucesivamente.
Ejemplo 1. Consideremos el número representado por:
c b 0 a
Consta de a unidades simples, b de segundo orden y c de tercer orden.
Vemos, ya, en este ejemplo la necesidad del símbolo cero, 0, que debe ocupar el lugar de las cifras de las unidades
15
de órdenes no contenidas en el número. En este caso, no hay unidades de primer orden.
El convenio 3º.- puede también enunciarse diciendo: Una cifra colocada a la izquierda de otra representa unidades
del orden inmediatamente superior al de ésta.
PROPOSICIÓN 1. Elegido un número n, mayor que uno, todo número N puede expresarse de
manera única en la forma:N = ` ⋅nm
+k ⋅nm−1+h ⋅nm−2
+ . . . . . . +c ⋅n2+b ⋅n+a
En efecto: Si efectuamos la división entera de N por n, y así mismo, dividimos por n los sucesivos cocientes
que resulten, mientras la operación sea posible, tendremos
N n
a q1 n
b q2 n
c q3 ⋅ ⋅ ⋅qm−2 n
h qm−1 n
k `
N = q1 ⋅n+a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[1]q1 = q2 ⋅n+b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...[n]q2 = q3 ⋅n+c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..[n2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
qm−2 = qm−1 ⋅n+h. . . . . . . . . . . . ..[nm−2]qm−1 = ` ⋅n+k. . . . . . . . . . . . ..[nm−1]
Sumando miembro a miembro las igualdades anteriores, previamente multiplicadas por las potencias de n
que figuran a la derecha, entre corchetes, y suprimiendo sumandos comunes a ambos miembros, resultará
la relación que queremos demostrar. El segundo miembro de dicha relación recibe el nombre de:
expresión polinómica del número N en la base n.
Los números `, k, h . . . , c, b, a reciben el nombre de coeficientes del polinomio en cuestión.
Evidentemente la expresión obtenida es única.
Al algoritmo utilizado le llamaremos: de las divisiones sucesivas.
Ejemplo 2. Consideremos el número N = 1900, y elijamos otro número n = 2.
La expresión polinómica del número N en la base n, la obtenemos como se ha indicado antes.
1900 2
0 950 2
0 475 2
1 237 2
1 118 2
0 59 2
1 29 2
1 14 2
0 7 2
1 3 2
1 1
N = 0+0 ⋅2+1 ⋅22+1 ⋅23+0 ⋅24+1 ⋅25+1 ⋅26+0 ⋅27+1 ⋅28+1 ⋅29+1 ⋅210
16
¡¡ Atención !! Comprobaremos, ya en el próximo ejemplo, que el número N = 1900 10 se expresará en
el sistema de base 2, como:
N = 11101101100 2
siendo sus cifras, a partir de la primera, el último cociente y luego sucesivamente y en orden ascendente,
como indica la flecha, los sucesivos restos.
Veamos, ahora, como pasar de un sistema de numeración a otro:
1.- Dado un número en un sistema de base n, expresarlo en el sistema decimal.
Bastará escribir la expresión polinómica en base n del número dado y efectuar en el sistema deci-
mal las operaciones indicadas.
Ejemplo 3. Dado el número, en base 2:
N = 11101101100 2
determinemos su expresión en el sistema decimal:
N = 0+0 ⋅2+1 ⋅22+1 ⋅23+0 ⋅24+1 ⋅25+1 ⋅26+0 ⋅27+1 ⋅28+1 ⋅29+1 ⋅210 = 1900
Ejemplo 4. Dado el número, en base 5,
N = 13404 5
determinemos su expresión en el sistema decimal:
N = 4+0 ⋅5+4 ⋅52+3 ⋅53+1 ⋅54 = 1104 10
Ejemplo 5. Si la base es superior a 9, nos van a faltar guarismos; así si la base es 11, los guarismos serían:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ααα
significando con el ααα , la hipotética cifra 10.
Dado el número, en base 11,
N = 172ααα 11
determinemos su expresión en el sistema decimal:
N =ααα +2 ⋅11+7 ⋅112+1 ⋅113 = 10+22+847+1331 = 2210 10
2.- Dado un número, N en el sistema decimal expresarlo en el sistema de base n:
La regla a aplicar es la siguiente: Se divide N por n, y los cocientes enteros que vayan resultando,
mientras la operación sea posible. Si a, b, c,. . . . . . , h, k, `, son los restos enteros por defecto de las
divisiones efectuadas, y ` < n, el último cociente obtenido, la expresión:
` k h. . . . . . c b a
es la del número buscado.
17
Ejemplo 6. Dado el número, en base 10,
N = 60502 10
determinemos su expresión en el sistema de base 12:
Empezaremos aplicando el algoritmo de las divisiones sucesivas:
60502 12
10 5041 12
1 420 12
0 35 12
11 2
(En este caso representaremos: 10 =ααα y 11 =βββ .)
Luego el número N = 60502 10 , tendrá en la base n = 12 , la expresión:
N = 2βββ01ααα 12
3.- Dado un número en un sistema no decimal expresarlo en otro sistema no decimal:
Ordinariamente se resuelve este problema utilizando 1.- y 2.- ; es decir, se comienza pasando el
número dado al sistema decimal, y luego se pasa al sistema pedido.
Ejemplo 7. Dado el número, en base 5; N = 13404 5 , expresarlo en base 6.
Paso 1.- : Expresamos N = 13404 5 , pasándolo al sistema decimal:
N = 4+0 ⋅5+4 ⋅52+3 ⋅53+1 ⋅54 = 1104 10
Paso 2.- : Expresamos N = 1104 10, pasándolo al sistema de base 6:
1104 6
0 184 6
4 30 6
0 5
Luego, el número N = 1104 10, tendrá en la base n = 6 la expresión:
N = 5040 6 .
En definitiva:
N = 13404 5 = 5040 6 .
18
Ejemplo 8. Comprobar que el número
N = 111. . . . . .12888. . . . . .896
que tiene n cifras 1 y n−1 cifras 8, es un cuadrado perfecto.
Podemos expresar el número N en la forma:
N= 102⋅n+1+102⋅n+ . . . . . . +10n+2+2 ⋅10n+1+8 ⋅10n+ . . . . . . +8 ⋅102+9 ⋅10+6 == 10n+1 ⋅(10n+ . . . . . . +10+1)+10n+1+8 ⋅(10n+ . . . . . . +10+1)+8 == (10n+ . . . . . . +10+1) ⋅(10n+1+8)+(10n+1+8) =
= ( 10n+1−19
+1) ⋅(10n+1+8) = ( 10n+1+83
)2
Ejemplo 9. Determinar un número de tres cifras que, disminuido en tres unidades, sea divisible por 5 y por
14, y que la suma de sus tres cifras sea 14.
Sea x y z el número buscado, que puede expresarse así:
100 ⋅x+10 ⋅y+z .
Disminuido en 3 unidades será el:
100 ⋅x+10 ⋅y+(z−3)que como debe ser múltiplo de 5 y de 14 = 2 ⋅7, lo tendrá que ser de: 5, 2 y 7.
En consecuencia, z−3 = 0 , luego tendremos que:
100 ⋅x+10 ⋅y = 7 .
En definitiva:z = 3
y ademásx+y = 11
El único número de dos cifras múltiplo de 7, y tal que sus cifras sumen 11, es el 56.
En consecuencia, el número buscado es el: 563.
Ejemplo 10. Determinar el número de dos cifras que cumple con la condición de que la diferencia entre el
doble del número obtenido invirtiendo sus cifras y el número buscado es igual al triple de la suma de sus cifras
más 3.
Sea el número:
N = ab
Se debe verificar:
2 ⋅(10 ⋅b+a)−(10 ⋅a+b) = 3 ⋅(a+b)+3 .
Simplificando, resulta:
16 ⋅b−11 ⋅a = 3
o sea
11 ⋅a+3 = 16 ⋅b .
El valor mínimo de a es 7, y el de b es 5.
Luego el número buscado es el 75.
19
Las tablas de CRELLE
Contienen estas tablas todos los productos entre números inferiores a 1000, utilizando para ello un siste-
ma de base 1000, que precisa de 999 cifras.
Se adoptan como tales las mismas expresiones:1, 2, . . . ..., 99, 100, ......, 999.
El procedimiento seguido en este caso es el siguiente: Se dividen las cifras del número dado, a partir
de la derecha, en grupos de a tres; los grupos obtenidos expresan las unidades simples, de primer
orden, segundo, etc.
Así, por ejemplo:
40812597063 = 40 812 597 063 1000
Todas las reglas operativas son, por tanto, válidas cuando se adopta esta base 1000, operando con grupos
de tres cifras en vez de cifras aisladas.
La ventaja de la adopción de esta base 1000, la tiene la multiplicación, cuando se trata de obtener el
producto de dos números con muchas cifras; así, vemos que en vez de incorporar al producto siguiente,
las unidades superiores que resulten de cada producto, es mejor escribir éste íntegro, y en vez de correr
cada producto parcial un lugar a la izquierda respecto del anterior, será preciso trasladarlo tres lugares.
Ejemplo. Efectuar la siguiente multiplicación: 42965062 × 684213.
Productos
(tomados de la tabla)
213 ⋅ 62 = 13206
213 ⋅965 = 205545
213 ⋅ 42 = 8946
684 ⋅ 62 = 42408
684 ⋅965 = 660060
684 ⋅ 42 = 28728
42 965 062
684 213
13 206
205 545
8 946
42 408
660 060
28 728
29 397 253 966 206
20
Lección 3.- CRITERIOS DE DIVISIBILIDADY
PARTICULARIDADES CURIOSAS DE LOS NÚMEROS
3.1 Criterios de divisibilidad y particularidades curiosas de los números
3.1 Criterios de divisibilidad y particularidades curiosas de los números
Existen ciertos criterios de divisibilidad, que nos pueden ayudar a conocer algunos divisores de un nú-
mero dado. Veamos unos cuantos:
Divisibilidad por: Criterio
2 Todos los números pares son divisibles por 2
3 Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3
4 Si sus dos últimas cifras son múltiplo de 4, o son 00
5 Si su última cifra es 0 ó 5
7 Si al sumar el doble de la centena a las dos últimas cifras se obtiene un
múltiplo de 7
9 Si la suma de sus cifras es múltiplo de 9
11 Si la diferencia entre la suma de las cifras de lugar par y de lugar impar
es 0, 11 ó múltiplo de 11
13 Si al restar cuatro veces la centena a las dos últimas cifras se obtiene un
múltiplo de 13
17 Si al restar el doble de la centena a las dos últimas cifras del número se
obtiene un múltiplo de 17
25 Si lo es el número formado por las dos últimas cifras
125 Si lo es el número formado por las tres últimas cifras
Observaciones: Cualquier número con las tres cifras repetidas es un múltiplo de 37, y es
igual al producto de 37 por la suma de las tres cifras.
Ejemplo: 666 = 37×(6+6+6) = 37×18
21
Veamos, ahora, unas curiosas particularidades de los números siguientes:
Del 9 Los productos del número 9 por los diferentes términos de la sucesión natural de los números
presentan un resultado curioso. Así, los productos de 9 por los nueve primeros números son, respectiva-
mente,
09, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90 .
Observemos que las primeras cifras de cada uno de estos números son las diez cifras del sistema decimal
en su orden natural, y las últimas cifras en el orden inverso.
Se verifica, así mismo, una propiedad análoga para una sucesión cualquiera de números enteros conse-
cutivos. Por ejemplo, para los números
231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240
el producto por 9 nos da
2079, 2088, 2097, 2106, 2115, 2124, 2133, 2142, 2151, 2160 .
Las últimas cifras de estos productos forman la sucesión decreciente de las diez cifras. En cuanto a las
tres primeras cifras, forman una sucesión de números consecutivos.
Veamos , ahora , la curiosa forma que presentan los cuadrados de los números formados sólo
con las cifras 9 :92 = 8 1
992 = 9 8 0 1
9992 = 9 9 8 0 0 1
99992 = 9 9 9 8 0 0 0 1
999992 = 9 9 9 9 8 0 0 0 0 1. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Jugando con el número 9 obtenemos los siguientes resultados:
Al sumar las cifras de cualquier múltiplo de 9 (y mientras no se obtenga un número de una cifra, seguir
sumando), el resultado es el número 9.
95= 531441 Ô⇒ 5+3+1+4+4+1 = 18 Ô⇒ 1+8 = 9
La suma de las cifras de todo múltiplo de 9, es un múltiplo de 9
97= 4782969 Ô⇒ 4+7+8+2+9+6+9 = 45 = 9 ⋅5 = 9
Si a un número de dos cifras se le resta la suma de sus cifras se obtiene un múltiplo de 9.
78−(7+8) = 78−15 = 63 = 9 ⋅7 = 9
22
Si restamos dos números, que contienen las mismas cifras, pero en distinto orden, obtenemos siempre
un múltiplo de 9.
4373−3734 = 639 = 9 ⋅71 = 9
Del 11 Las potencias sucesivas del número 11, son:
111 = 1 1
112 = 1 2 1
113 = 1 3 3 1
114 = 1 4 6 4 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Así, para obtener una cierta potencia de 11, se escribe la cifra de las unidades de la potencia prece-
dente, que siempre será 1, luego se suma esta cifra 1 a la cifra de las decenas de la misma potencia; a
continuación la de las decenas a la cifra de las centenas, y así sucesivamente.
Como generalización veamos como son los cuadrados de los números formados por la cifra 1:
12 = 1
112 = 1 2 1
1112 = 1 2 3 2 1
11112 = 1 2 3 4 3 2 1
111112 = 1 2 3 4 5 4 3 2 1
1111112 = 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
11111112 = 1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1
111111112 = 1 2 3 4 5 6 7 8 7 6 5 4 3 2 1
1111111112 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Recordemos que la llamada sucesión de Fibonacci es la:
(u0 = 0) , u1 = 1 , u2 = 1 , u3 = 2 , u4 = 5 , u6 = 8 , u7 = 13, . . . . . .
cuyos términos verifican la ecuación de recurrencia:
un+2 = un+1+un (n ⩾ 1)
Para poder comprobar las tres propiedades que van a seguir, vamos a explicitarla un poco más. Así
tendremos:
(0)ÓÒ, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946,
17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309,
3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155, 165580141,
267914296, 433494437, 701408733, 1134903170, . . . . . .
23
1º.- La suma de diez números consecutivos de la sucesión, dividida entre 11, da como resultado el
séptimo número de los diez elegidos.
Ejemplo 1. Consideremos los diez números consecutivos a partir del 89; su suma será
89+144+233+377+610+987+1597+2584+4181+6765 = 17567
Haciendo la división:17567
11= 1597
2º.- La suma de los n primeros números de la sucesión de Fibonacci es igual al término n+2 de la
sucesión menos una unidad.
Ejemplo 2. Sumemos los doce primeros términos de la sucesión:
1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89+144 = 376
El término n = 14, es el 377, lo que nos muestra que efectivamente que la suma vale:
376 = 377−1
3º.- La suma de los cuadrados de los n primeros términos, de la sucesión de Fibonacci, es igual al
producto del último término de la sucesión por el siguiente, es decir
n∑iii=1
F2iii = F2
1+F22+ . . . . . . +F2
n = Fn ⋅Fn+1
Ejemplo 3. Consideremos los siete primeros términos, n = 7,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13
cuyos cuadrados son:
1, 1, 4, 9, 25, 64, 169
y cuya suma vale
1+1+4+9+25+64+169 = 273
El producto, del último término de la sucesión, 13, multiplicado por el siguiente, 21, vale, efectivamente:
13×21 = 273
Apuntemos, por último, como multiplicar por 11, números de dos o tres cifras:
1.- Número de dos cifras. La regla es la siguiente:
ab×11 = (a)(a+b)(b)
(Si a+b > 10, sumamos 1 a la primera cifra)
24
2.- Número de tres cifras. La regla es la siguiente:
abc×11 = (a)(a+b)(b+c)(c)
(si alguna suma es ⩾ 10, sumamos 1 a la cifra anterior)
Ejemplo 4.23×11 = (2)(2+3)(3) = 253
47×11 = (4)(4+7)(7) = (4+1)(1)(7) = 517
Ejemplo 5.135×11= (1)(1+3)(3+5)(5) = 1485
472×11= (4)(4+7)(7+2)(2) = (4+1)(1)(9)(2) = 5192
375×11= (3)(3+7)(7+5)(5) == (3)(3+7+1)(2)(5) == (3+1)(1)(2)(5) = 4125
329×11= (3)(3+2)(2+9)(9) == (3)(3+2+1)(1)(9) = 3619
Del 37 Consideremos la progresión aritmética, de razón 3,
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27
y multipliquemos por 37 cada uno de sus términos. Obtendremos
111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999
sucesión formada por elementos de tres cifras idénticas, y tales que la suma de sus cifras es igual al
elemento que los ha producido.
Del 45 El número 45 puede obtenerse a partir de los números 8, 12, 5 y 20 ; así
8+12+5+20 = 45 ,
tales que:8+2 = 10
12−2 = 10
5×2 = 10
20 ∶ 2 = 10
Consideremos, ahora, el número formado por las nueve cifras significativas:
9 8 7 6 5 4 3 2 1y el simétrico
1 2 3 4 5 6 7 8 9 .
25
La suma de las cifras de cada uno de esos números es 45.
Si del primero restamos el segundo, tendremos
9 8 7 6 5 4 3 2 1−1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 8 6 4 1 9 7 5 3 2
número que también verificará que la suma de sus cifras es 45.
Del 100 El número 100 puede obtenerse a partir de los números 12, 20, 4 y 64; así
12+20+4+64 = 100
tales que
12+4 = 16
20−4 = 16
4×4 = 16
64 ∶ 4 = 16
Se puede escribir el número 100 con cinco veces la misma cifra:
100 = 111−11
100 = 3×33+33
100 = 5×5×5−5×5
100 = (5+5+5+5)×5
Se puede escribir el número 100 de diversas maneras con las nueve cifras significativas. Veamos algunas:
100 = 1+2+3+4+5+6+7+(8×9)
100 = 74+25+36+
918
100 = 95+4+3876
+12
100 = 98+1+36+
2754
Del 143 Al multiplicar el número 143 por cada uno de los 999 primeros múltiplos de 7, los produc-
tos obtenidos estarán formados por dos números idénticos, que será precisamente iguales al rango del
múltiplo de 7. Veamos algún ejemplo:
143×(352×7) = 143×2464 = 352352
143×(215×7) = 143×1505 = 215215
143×(400×7) = 143×2800 = 400400
26
Si el rango es un número con menos de tres cifras, las dos partes podrán estar separadas por uno o más
ceros:143×(4×7) = 143×28 = 4004
143×(72×7) = 143×504 = 72072
Se obtiene un resultado análogo al multiplicar por 77 los 999 primeros múltiplos de 13; por ejemplo
77×(312×13) = 77×4056 = 312312
77×(25×13) = 77×325 = 25025 ,
y también al multiplicar por 91 los 999 primeros múltiplos de 11; por ejemplo:
91×(316×11) = 91×3476 = 316316
Del 225 Se puede formar el número 225 sumando números compuestos por las nueve cifras significa-
tivas, tomadas cada una una sola vez:
225 = 1+23+45+67+89
(Observemos que cada uno de los sumandos se obtiene añadiendo 22 al número precedente)
Del 142857 Este número presenta la siguiente curiosa propiedad: Sus seis primeros múltiplos son:
142857, 285714, 428571, 571428, 714285, 857142 .
Observemos que están compuestos por las mismas cifras, dispuestas en el mismo orden, y que una de
ellas puede obtenerse sobre la precedente por una simple transposición de cifras. Por ejemplo: la cuarta
se deduce de la tercera trasladando las tres últimas cifras de ésta a la cabeza, como las tres primeras.
Del 12345679 Consideremos la progresión aritmética de razón 9 :
9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81
Observemos que si se multiplica el número 12345679 (que contiene todas las cifras significativas, en
su orden natural, salvo la 8), por un término cualquiera de la progresión, resultará un número de nueve
cifras iguales. La cifra constante representará la diferencia entre la decena del término inmediatamente
superior al que multiplica y la de éste, o bien al rango de ese término en la progresión.
Veámoslo con más ejemplos:
Ejemplo 6. 12345679×63 = 777777777
(70−63 = 7 ; el número del término 63 es el 7)
Ejemplo 7. 12345679×9 = 111111111
(10−9 = 1 ; el número del término 9 es el 1)
27
Del 134498697 Este número se puede escribir utilizando una sola vez cada una de las nueve cifras
significativas, como sigue:
134498697 = 1+23+45
+67+89
Por último, una curiosidad más: Se toma un número cualquiera y se construye, a partir de él, una sucesión,
siguiendo el siguiente criterio: Si el número es impar, el siguiente debe ser este número multiplicado por
3 y sumándole 1. Si el número es par, el siguiente será su mitad.
Observemos que, cualquiera que sea el número elegido, siempre llegamos al 1.
Ejemplo 8. Si tomamos el número 12, tendremos:
12, 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
Ejemplo 9. Si tomamos el número 9, tendremos:
9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
Ejemplo 10. Comprobar que un número arbitrario formado por 3n cifras iguales es divisible por 3n.
Denotemos el número buscado con Rn, es decir
Rn = aa. . . . . .a´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
3n
(1 ⩽ a ⩽ 9) .
Se trata, por tanto, de establecer que Rn es múltiplo de 3n.
a.- Sea n = 1. Entonces, R1 = aaa°
3
es múltiplo de 3, puesto que la suma de las cifras que lo forman es 3 ⋅a,
divisible por 3.
b.- La hipótesis de inducción supone que Rk es múltiplo de 3k.
Demostremos, por tanto, que Rk+1 es múltiplo de 3k+1. La propia definición nos permite escribir
Rk+1 = aa. . . . . .a´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
3k+1
= aa. . . . . .a´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
3k
aa. . . . . .a´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
3k
aa. . . . . .a´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
3k
= aa. . . . . .a´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
3k
⋅102⋅3k+aa. . . . . .a´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
3k
⋅103k+aa. . . . . .a´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
3k
=
= aa. . . . . .a´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
3k
⋅(102⋅3k+103k
+1) =
= Rk ⋅(102⋅3k−1+103k
−1+3) =
= Rk ⋅(99. . . . . .9´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
2 ⋅3k
+99. . . . . .9´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
3k
+3)
Dado que, por la hipótesis de inducción, Rk es múltiplo de 3k, y el número
99. . . . . .9´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
2 ⋅3k
+99. . . . . .9´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
3k
+3
28
es múltiplo de 3, puesto que lo es cada uno de sus sumandos resulta que Rk+1 es múltiplo de 3k+1.
En consecuencia, Rn es múltiplo de 3n para todo número n ⩾ 1.
Ejemplo 11. Determinar qué números de la forma: aa y bbcc son tales que:
aa =√
bbcc
Se verifica, sucesivamente:(aa)2 = bbcc
(10 ⋅a+a)2 = 1000 ⋅b+100 ⋅b+10 ⋅c+c
(11 ⋅a)2 = b000+b00+c0+c
112 ⋅a2 = bb00+cc
11 ⋅11 ⋅a2 = 11 ⋅(100 ⋅b+c)11 ⋅a2 = b0c
El número b0c es, por tanto, un múltiplo de 11, lo que implica que:
b+c = 11 ,
debiendo coincidir la cifra de las unidades con la de a2, por lo que c debe ser: 4, 5, 6 ó 9 (No puede ser 1, pues
entonces debería ser: b = 11−1 = 10).
Para c = 4 Ô⇒ b = 7 Ô⇒ (√
7744 = 88) Ô⇒ a = 8
(Los demás valores posibles de a: 5, 6 y 9, no proporcionan soluciones). En consecuencia:
aa = 88 y bbcc = 7744 .
Ejemplo 12. Comprobar que para todo número natural, n, la expresión
4n+15 ⋅n−1 ,
es divisible por 9.
Hagamos Rn = 4n+15 ⋅n−1.
a.- Si n = 1, entonces
R1 = 4+15−1 = 18 ,
que es múltiplo de 9.
b.- Supongamos que para n = k , Rk es múltiplo de 9, y veamos que también Rk+1 es múltiplo de 9.
Para ver que Rk+1 es divisible por 9, procedemos como sigue:
Rk+1 = 4k+1+15 ⋅(k+1)−1 = 4 ⋅(4k+15 ⋅k−1)−45 ⋅k+18 = 4 ⋅Rk−45 ⋅k+18
Dado que Rk es, por hipótesis, múltiplo de 9, deducimos que Rk+1 también es divisible por 9, como queríamos
establecer.
Así la expresión dada es divisible por 9, para todo número n ⩾ 1.
29
Ejemplo 13. Comprobar que para todo n ∈N, el número
55⋅n+1+45⋅n+2+35⋅n
es divisible por 11.
Transformemos, en primer lugar, la expresión dada
55⋅n+1+45⋅n+2+35⋅n = 5 ⋅(55)n+16 ⋅(45)
n+(35)
n=
= 5 ⋅3125n+16 ⋅1024n+243n == 5 ⋅(11 ⋅284+1)n+16 ⋅(11 ⋅93+1)n+(11 ⋅22+1)n
Podemos escribir, entonces, que se verifica:
55⋅n+1+45⋅n+2+35⋅n = 5 ⋅(11 ⋅A+1)+16 ⋅(11 ⋅B+1)+(11 ⋅C+1) == 11 ⋅(5 ⋅A+16 ⋅B+C)+5+16+1 =
= 11 ⋅(5 ⋅A+16 ⋅B+C+2 ⋅D) = 11
siendo: A = 284 , B = 93 , C = 22 , D = 1.
Ejemplo 14. Comprobar que para todo n ∈N, el número
32⋅n+3+40 ⋅n−27
es divisible por 64.
Si transformamos la expresión inicial tendremos
32⋅n+3+40 ⋅n−27= 27 ⋅9n+40 ⋅n−27 == 27 ⋅(8+1)n+40 ⋅n−27 == 27 ⋅(64 ⋅A+8 ⋅n+1)+40 ⋅n−27 == 27 ⋅64 ⋅A+256 ⋅n = 64 ⋅(27 ⋅A+40 ⋅n) = 64
siendo:
A = 8n−2+n ⋅8n−1+ . . . . . . + n ⋅(n−1)2
por ser
(8+1)n = 8n+n ⋅8n−1+ . . . . . . + n ⋅(n−1)2
⋅82+8 ⋅n+1 =
= 82 ⋅(8n−2+n ⋅8n−3+ . . . . . . + n ⋅(n−1)2
)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
A
+8 ⋅n+1 =
= 64 ⋅A+8 ⋅n+1
Ejemplo 15. Comprobar que para todo número entero positivo n, el número
25⋅n+3+5n ⋅3n+2
es divisible por 17.
En primer lugar, transformemos la expresión dada
25⋅n+3+5n ⋅3n+2 = 8 ⋅(25)n+5n ⋅3n ⋅32 = 8 ⋅32n+9 ⋅15n =
= 8 ⋅(17+15)n+9 ⋅15n = 8 ⋅(17 ⋅A+15n)+9 ⋅15n
30
puesto que
(17+15)n = 17n+n ⋅17n−1 ⋅15+ . . . . . . +n ⋅17 ⋅15n−1+15n == 17 ⋅(17n−1+n ⋅17n−2 ⋅15+ . . . . . . +15n−1 ⋅n)
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶A
+15n
de donde25⋅n+3+5n ⋅3n+2 = 8 ⋅17 ⋅A+8 ⋅15n+9 ⋅15n =
= 8 ⋅17 ⋅A+(8+9) ⋅15n = 17 ⋅(8 ⋅A+15n) = 17
Ejemplo 16. Comprobar que para todo n ∈N, el número
5n ⋅(5n+1)−6n ⋅(3n+2n)
es divisible por 91.
Dado que: 91 = 7 ⋅13, la comprobación la haremos estableciendo que la expresión dada es divisible por 7 y por 13
(Recordemos que tanto 7 como 13 son números primos).
1.- 5n ⋅(5n+1)−6n ⋅(3n+2n)= 25n+5n−18n−12n == (7+18)n+5n−18n−(7+5)n == (7 ⋅A+18n)+5n−18n−(7 ⋅B+5n) = 7 ⋅A−7 ⋅B = 7
donde A y B son números enteros.
2.- 5n ⋅(5n+1)−6n ⋅(3n+2n)= 25n+5n−18n−12n == (13+12)n+5n−(13+5)n−12n == (13 ⋅C+12n)+5n−(13 ⋅D+5n)−12n = 13 ⋅C−13 ⋅D = 13
donde C y D son números enteros.
Como la expresión dada es múltiplo de 7 y 13, entonces también es múltiplo de: 7 ⋅13 = 91.
Ejemplo 17. Si x, y, z son tres números enteros consecutivos, se verifica que: x3+y3+z3, es divisible por 9.
Sean los números: x−1 , x , x+1. La suma de sus cubos es
(x−1)3+x3+(x+1)3 = 3 ⋅x ⋅(x2+2)
Dado que esta suma es un múltiplo de 3, bastará establecer que: x ⋅(x2+2), es también un múltiplo de 3, para todo
valor de x.
Así tendremos:
1.- x = 3 Ô⇒ x ⋅(x2+2) = 3
2.- x = 3+1 Ô⇒ x ⋅(x2+2) = (3+1) ⋅[(3+1)2+2] == (3+1) ⋅(3+1+2) = (3+1) ⋅ 3 = 3
3.- x = 3+2 Ô⇒ x ⋅(x2+2) = (3+2) ⋅[(3+2)2+2] == (3+2) ⋅(3+4+2) = (3+2) ⋅ 3 = 3
En consecuencia, la suma que nos interesa es múltiplo de 9.
31
Ejemplo 18. Comprobar que si n es un número par, entonces: 13n+6 es divisible por 7.
Si hacemos n = 2 ⋅k, con k ∈N, tenemos
132⋅k = (132)k = 169k = (168+1)k =
= (k0) ⋅168k+(k
1) ⋅168k−1+ . . . . . .( k
k−1) ⋅168+(k
k) = ˙168+1
Ahora bien, 168 es múltiplo de 7, (168 = 7 ⋅24), es decir
132⋅k = 7+1 .
En consecuencia:
13n+6 = 132⋅k+6 = (7+1)+6 = 7+(1+6) = 7
Al mismo resultado hubiésemos llegado utilizando congruencias, es decir,
13 ≡ −1 (7) Ô⇒ 132 ≡ 1 (7) Ô⇒ 132⋅k ≡ 1 (7) Ô⇒ 132⋅k+6 ≡ (1+6) (7) Ô⇒
Ô⇒ 132⋅k+6 ≡ 0 ⋅(7) Ô⇒ 132⋅k+6 = 7
Ejemplo 19. Comprobar que el número: 255+1, es divisible por 11.
Se verifica que:
25+1 = 33 = 11 .
Elevando ambos miembros de la igualdad al exponente 11, tenemos
(25+1)11 = 3311 = 11
y al desarrollar la potencia del binomio obtendremos
(25+1)11 = (110) ⋅255+(11
1) ⋅250+(11
2) ⋅245+ . . . . . . +(11
10) ⋅25+1 = 255+ 11+1 = 11
En consecuencia:
255+1 = 11 .
Al mismo resultado hubiésemos llegado utilizando congruencias, es decir.
Puesto que:
255+1 = (25)11+1 = 3211+1
vemos que
3211+1 = 11 .
Así, tenemos
32 ≡ −1 (11) Ô⇒ 3211 ≡ (−1)11 = −1 (11) Ô⇒ 3211+1 = 11
Ejemplo 20. Si n es un número entero positivo, comprobar que el número
1n+2n+3n+4n
es divisible por 5 si, y sólo si, n no es divisible por 4.
Se trata de establecer que:
1n+2n+3n+4n = 5 ⇐⇒ n ≠ 4
32
1.- Supongamos que n = 4, y comprobemos que
1n+2n+3n+4n ≠ 5
Al ser n = 4 ⋅k, la suma
1n+2n+3n+4n = 14⋅k+24⋅k+34⋅k+44⋅k = 1+16k+81k+256k
termina en 4, puesto que
1+6+1+6 = 14 ,
luego no es 5.
2.- Supongamos ahora que n ≠ 4. En este caso, n podría ser de la forma:
2.1.- n = 4 ⋅k+1, en cuyo caso la suma
1n+2n+3n+4n = 14⋅k+1+24⋅k+1+34⋅k+1+44⋅k+1 == 1+2 ⋅24⋅k+3 ⋅34⋅k+4 ⋅44⋅k
terminaría en 0, por ser:
1+2+3+4 = 10
luego sería 5.
2.1.- n = 4 ⋅k+2, en cuyo caso la suma
1n+2n+3n+4n = 14⋅k+2+24⋅k+2+34⋅k+2+44⋅k+2 == 1+4 ⋅24⋅k+9 ⋅34⋅k+16 ⋅44⋅k
terminaría en 0, por ser
1+4+9+6 = 20
luego sería 5.
2.3.- n = 4 ⋅k+3, en cuyo caso la suma
1n+2n+3n+4n = 14⋅k+3+24⋅k+3+34⋅k+3+44⋅k+3 == 1+8 ⋅24⋅k+27 ⋅34⋅k+64 ⋅44⋅k
terminaría en 0, por ser
1+8+7+4 = 20
luego sería 5.
Ejemplo 21. Calcular el valor de
√2+
√2+
√2+ . . .
Hacemos
x =√
2+√
2+√
2+ . . . (x > 0)
y elevando al cuadrado resulta
x2 = 2+√
2+√
2+ . . .
33
es decir
x2 = 2+x ⇐⇒ x2−x−2 = 0
cuyas soluciones son:
x1 = 2 y x2 = −1 .
Como hemos supuesto x > 0, tendremos
x1 = 2 ⇐⇒ x = 22−2 = 2
es decir
x =√
2+√
2+√
2+ . . . = 2
Ejemplo 22. Calcular el valor de: 3√999700029999. Se verifica que
3√999700029999 = 3√
999 ⋅109+7 ⋅108+2 ⋅104+9999 =
= 3√
(103−1) ⋅109+7 ⋅108+2 ⋅104+104−1 =
= 3√
1012−109+7 ⋅108+3 ⋅104−1 =
= 3√
1012−3 ⋅108+3 ⋅104−1 = 104−1 = 9999 .
Ejemplo 23. Calcular el valor de√
4444488889. Se verifica que:
√4444488889=
√4444444444+44444+1 =
=√
4 ⋅1111111111+4 ⋅11111+1 =
= 13⋅√
4 ⋅9999999999+4 ⋅99999+9 =
= 13⋅√
4 ⋅(1010−1)+4 ⋅(105−1)+1 =
= 13⋅(2 ⋅105+1) = 200001
3= 66667
Ejemplo 24. Calcular el valor de:3√
50+19 ⋅√
7
Si hacemos
x = 3√
50+19 ⋅√
7+ 3√
50−19 ⋅√
7
y elevamos al cubo, tenemos
x3 = 50+19 ⋅√
7+50−19 ⋅√
7+3 ⋅ 3√−27 ⋅x
(recordemos que: (a+b)3 = a3+b3+3 ⋅a ⋅b ⋅(a+b))
es decir
x3 = 100+3 ⋅(−3) ⋅x
o lo que es lo mismo
x3+9 ⋅x−100 = 0
34
ecuación con una única solución real: x = 4.
Por tanto
x = 3√
50+19 ⋅√
7+ 3√
50−19 ⋅√
7 = 4
Si hacemos ahora3√
50+19 ⋅√
7 = y ,
y puesto que
( 3√
50+19 ⋅√
7) ⋅( 3√
50−19 ⋅√
7) = 3√
502−192 ⋅7 = 3√−27 = −3
tenemos3√
50−19 ⋅√
7 = − 3y
Así calcularemos el valor de 3√
50+19 ⋅√
7 resolviendo la ecuación
y− 3y= 4 Ô⇒ y2−4 ⋅y−3 = 0
cuyas soluciones son: y = 2±√
7.
Dado que y > 0 , tendremos que la solución válida esy = 2+
√7
En consecuencia3√
50+19 ⋅√
7 = 2+√
7 .
Ejemplo 25. La raíz cuadrada por defecto, con error menor que 0,1 , de una fracción irreducible es 1,3 , y
la suma de sus términos es 81.
Se trata de determinar dicha fracción.
Seapq
la fracción, que debe verificar:√
pq−1,3 < 1
10de donde √
pq
< 1310
+ 110
= 1410
Ô⇒ pq
< 4925
Ô⇒ p < 4925
⋅q
Sumando q a cada miembro obtenemos
p+q < 4925
⋅q+q Ô⇒ p+q < 7425
⋅q Ô⇒ (p+q = 81) Ô⇒ 81 < 7425
⋅q
de donde
q > 81 ⋅2574
= 27,36. . . Ô⇒ q ⩾ 28
Luego:
1.- Si q = 28 Ô⇒ p = 81−28 = 53 Ô⇒ pq
= 5328
2.- Si q = 29 Ô⇒ p = 81−29 = 52 Ô⇒ pq
= 5329
Para los restantes valores de p y q, la fracción es reducible o el valor de su raíz cuadrada es menor que 1,3 . En
consecuencia las únicas soluciones son:5328
y5329
.
35
Ejemplo 26. Determinar las cuatro últimas cifras del número: 32004.
Tenemos que
32004 = 91002 = (10−1)1002 .
Desarrollando, ahora, por el binomio de Newton, resulta:
(10−1)1002 = (10020
) ⋅101002−(10021
) ⋅101001+ . . . . . .+
+[(1002998
) ⋅104−(1002999
) ⋅103+(10021000
) ⋅102−(10021001
) ⋅10+1]
En los últimos cinco sumandos de este desarrollo, encerrados entre corchetes, aparecen las cuatro últimas cifras
finales.
Estos términos son:4174995825 ⋅105−167167 ⋅106+501501 ⋅102−10020+1 =
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . +50150100−10020+1 == . . . . . . . . . + . . . . . .50100−10019 = . . . . . .0081
Las cuatro últimas cifras son, por tanto,
0081 .
(Observemos que sólo han intervenido en este resultado los tres últimos términos situados entre corchetes.)
Ejemplo 27. Calcular la suma de todos los múltiplos de 7 que tienen cinco cifras.
El menor múltiplo de 7 de cinco cifras es: 10003 y el mayor: 99995.
Los múltiplos de 7 forman, evidentemente, una progresión aritmética de razón 7.
Sabiendo que: a1 = 10003 y an = 99995 podemos determinar el número de términos de que consta la progresión
que nos interesa, aplicando la fórmula:
an = a1+(n−1) ⋅d ,
es decir
99995 = 10003+(n−1) ⋅7 .
Despejando n obtenemos:
n = 12857 .
Así la suma que nos interesa vale:
S = a1+an2
⋅n = 10003+999952
⋅12857 = 707122143
Ejemplo 28. Determinar en cuantos ceros termina el número 1000!
El número 1000! termina en tantos ceros como productos 2 ⋅5 aparezcan en la descomposición en factores primos
de dicho número; y habrá tantos de esos productos como veces figura el factor 5, que es menos numeroso que el 2.
Habrá un factor 5 por cada múltiplo de 5, que son 200, otro más por cada múltiplo de 25, que son 40, otro más por
cada múltiplo de 125, que son 8, y por último otro más por cada múltiplo de 625, que es 1.
En total tenemos:
200+40+8+1 = 249 .
36
En consecuencia el número 1000! termina en 249 ceros.
Otra manera de obtener el número de cincos consiste en aplicar que la descomposición en factores primos de m!, el
exponente de un factor p, es la suma de los cocientes obtenidos al expresar m en el sistema de numeración de base
p. En nuestro caso: m = 1000 y p = 5.
1000 5
0 200 5
0 40 5
0 8 5
3 1Tendremos, entonces, la misma suma:
200+40+8+1 = 249 .
Una curiosidad sobre los cubosEn Aritmética, los cubos reciben este nombre porque son la expresión del volumen de un cubo geomé-
trico del que se conoce su arista a:a ⋅a ⋅a = a3
La suma de los cubos de los n primeros números enteros es igual al cuadrado de la suma de estos
números:13 = 1
13+23 = (1+2)2
13+23+33 = (1+2+3)2
13+23+33+43 = (1+2+3+4)2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y en general
S = 13+23
+33+ . . . . . . +n3
= [n2−
n ⋅(n−1)2
]
2
= [n ⋅(n+1)
2]
2
Otra curiosidad, esta vez sobre lo que son demostraciones falsas:
1.- 4 = 516−36 = 25−45
16−36+(814
) = 25−45+(814
)
16−36+(92
)
2= 25−45+(
92
)
2
(4−92
)
2= (5−
92
)
2
4−92= 5−
92
4 = 5 x2
= y2Ô⇒Ò x = y
37
2.- 3 = −2 Sean A = 3 , B = 2 , C = 5 luego
A+B =C
Multiplicando ambas miembros por (A+B) obtenemos
(A+B) ⋅(A+B) = (A+B) ⋅C
A2+2 ⋅A ⋅B+B2 =A ⋅C+B ⋅C
A2+A ⋅B−A ⋅C = −A ⋅B−B2+B ⋅C
A ⋅(A+B−C) = −B ⋅(A+B−C)
A = −B Ô⇒ 3 = −2 A+B−C = 0
3.- 8 = 12x+4x−8
−3 =2 ⋅x−2812−x
Operando tenemosx+4−3 ⋅(x−8)
x−8=
2 ⋅x−2812−x
−2 ⋅x+28x−8
=2 ⋅x−2812−x
2 ⋅x−288−x
=2 ⋅x−2812−x
8−x = 12−x
8 = 12
La igualdad sólo es válida para x = 14
38
Lección 4.- NÚMEROS PRIMOS
4.1 Números primos
4.1 Números primos
De un número diremos que es primo si no admite más divisores que el mismo y la unidad.
Diremos que dos números son primos entre sí, cuando su único divisor común es el 1.
Observemos que un número primo lo es con todos los números menores que él.
Ejemplo 1. Dado el número 7, son primos entre sí los pares de números:
(2, 7) , (3, 7) , (4, 7) , (5, 7) , (6, 7) .
Veamos unas cuantas propiedades de los números primos:
PROPOSICIÓN 1. Si un número primo divide a un producto de varios factores, divide por lo
menos a uno de ellos.
En efecto: Si p divide al producto a ⋅b ⋅c. . . . . . f , o divide a a o es primo con él, en cuyo caso debe
dividir al producto b ⋅c. . . . . . f . Si tampoco divide al factor b, será primo con él, luego dividirá al producto
c. . . . . . f .
Siguiendo así, resultará que, si p no es divisor de a, ni de b, ni de c, . . . . . . , lo será del último factor f.
PROPOSICIÓN 2. Todo número no primo es un producto de factores primos.
En efecto: Si el número m no es primo, admitirá divisores distintos de m y de 1; sea a el menor de ellos.
Seguramente este número es primo, pues si admitiera un divisor d distinto de 1 y de a (y por tanto, menor
que a), tendría m este divisor d < a, contra lo supuesto. Por tanto, m = a ⋅m′.
Si m′ no es primo, por las mismas razonas admitirá un divisor primo b, y será m = a ⋅b ⋅m′′ , y así sucesi-
vamente.
Esta descomposición no puede prolongarse indefinidamente, es decir, se llegará a una expresión.
m = a ⋅b ⋅c . . . . . . f ,
siendo a, b, c, . . . . . . , f, números primos, varios de los cuales pueden ser iguales. Así, la expresión más
general de un número no primo, es:
m = aααα ⋅bβββ ⋅cγγγ . . . . . . f λλλ
donde a, b, c, . . . . . . , f son números primos, y ααα, βββ , γγγ, . . . . . . , λλλ , son números naturales.
A los números no primos se les suele llamar compuestos.
39
PROPOSICIÓN 3. La descomposición de un número en factores primos es única.
La comprobación es inmediata, entendiendo que la unicidad lo es a menos del orden de los factores.
PROPOSICIÓN 4. La sucesión de números primos es indefinida, es decir dado cualquier número
primo, p, hay siempre otro mayor.
En efecto: Formemos el producto de todos los números primos desde 2 hasta p, incrementándolo en 1, con
lo que obtenemos el número
q = 2 ⋅3 ⋅5 ⋅7 ⋅11 . . . . . .p+1 .
Si este número es primo, la proposición queda demostrada, pues q > p .
Si q no fuese primo, admitirá un divisor primo, el cual no puede ser ninguno de los números 2, 3, 5, . . . . . . ,
p puesto que q, dividido por cualquiera de ellos, dará como resto 1.
En cualquier caso hemos “obtenido” un número primo mayor que p.
¡¡Atención!! El comentario final de la demostración de la proposición anterior pudiera confundirnos
al pensar que la operación
2 ⋅3 ⋅5 ⋅7. . . . . .p+1
permite construir nuevos números primos lo cual no es cierto, como nos muestra el siguiente ejemplo:
2 ⋅3 ⋅5 ⋅7 ⋅11 ⋅13+1 = 30031 = 59 ⋅509
Así, el problema que queda abierto es el siguiente: Dado un número primo ¿Como encontrar el
siguiente?
Puestos a plantear problemas, conviene destacar otros dos, también abiertos:
1.- ¿Existe una infinidad de números primos p tales que
2 ⋅3 ⋅5 ⋅7 ⋅11 ⋅13 . . . . . . . . . p+1
sea primo?
2.- ¿Existe una infinidad de números primos p tales que
2 ⋅3 ⋅5 ⋅7 ⋅11 ⋅13 . . . . . . . . . p+1
sea compuesto?Resulta muy curiosa, en relación con lo planteado en la llamada de atención anterior, la comprobación
de que la expresión
2 ⋅3 ⋅5 ⋅7 . . . . . . . . . p+1
es un número primo para: p = 2, 3, 5, 7, 11, y con un número compuesto se se dan los valores: p = 13,
17, 19, 23.
(Son, aquí, de utilización las Tablas de CRELLE)
40
Para la obtención de números primos, un método sería el llamado Criba de Eratóstenes, que consiste
en lo siguiente:
1º.- Se escribe la sucesión de los números naturales, hasta el límite prefijado, prescindiendo de los
números pares mayores que 2.
2º.- Partiendo del número 32 = 9, se tachan los números de tres en tres lugares (es decir, los números
9, 15, 21,. . . . . . ).
3º.- El primer número que habrá quedado sin tachar es el 5; así, a partir del número 52 = 25, se tachan
los números de cinco en cinco lugares (es decir, los números 25, 35, 45,. . . . . . ).
4º.- Se sigue así, hasta llegar al máximo número sin tachar, cuyo cuadrado no exceda el límite superior
de la tabla. (Por ejemplo, si el límite es 100, basta hacer los superiores correspondientes a los
números 3, 5 y 7, puesto que 112 = 121 > 100).
5º.- Los números restantes, son todos los números primos menores que 100.
1 2 3 5 7 9ÓÒ 11ÓÒ 13 15ÓÒ 17 19
21ÓÒ 23 25ÓÒ 27ÓÒ 29 31 33ÓÒ 35ÓÒ 37 39ÓÒ
41 43 45ÓÒ 47 49ÓÒ 51ÓÒ 53 55ÓÒ 57ÓÒ 59
61 63ÓÒ 65ÓÒ 67 69ÓÒ 71 73 75ÓÒ 77ÓÒ 79
81ÓÒ 83 85ÓÒ 87ÓÒ 89 91ÓÒ 93ÓÒ 95ÓÒ 97 99ÓÒ
(Los números recuadrados son los primos menores que 100)
La irregularidad con que aparecen en la sucesión natural de los números primos, ha dado lugar a que se
propongan fórmulas que den números primos, dando a una variable valores: 1, 2, 3, . . . . . . . . .
Cabe destacar, por ejemplo, las siguientes fórmulas de Euler:
1ª.- x2+x+17. . . . . . . . . da números primos desde x = 0 hasta x = 15
2ª.- 2 ⋅x2+29. . . . . . . . . da números primos desde x = 0 hasta x = 28
3ª.- x2+x+41. . . . . . . . . da números primos desde x = 0 hasta x = 39
Sin embargo, cabe apuntar lo siguiente: Los números obtenidos por la aplicación de dichas fórmulas
son, efectivamente, números primos pero no son todos los que cabría esperar. Así, por ejemplo, la 1ª.-
fórmula nos da los siguientes:
17, 19, 23, 29, 37, 47, 59, 73, 89, 107, 127, 149, 173, 199, 227, 257
la 2ª.- fórmula nos da:
29, 31, 37, 47, 61, 79, 101, 127, 157, 191, 229, 271, 317, 367, 421, 479, 541, 607,
677, 751, 829, 911, 997, 1087, 1181, 1487, 1597
41
y la 3ª.- fórmula nos da:
41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281, 313,
347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 911, 971, 1033,
1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601.
¡¡Atención!! Observamos dos cosas. La primera es que hay números primos que sólo nos da alguna
de las fórmulas, otros son comunes a dos de ellas, y otros son comunes a las tres. La segunda es que
ni siquiera reuniendo todos los números primos proporcionados por las tres fórmulas obtenemos todos
los posibles, hasta el 1601, que es el mayor de ellos, como es inmediato comprobar al comparar este
conjunto con el de todos los números primos desde el 2 hasta el 1601, como podemos ver en la siguiente
tabla.
Números primos, desde el 2 hasta el 1601 (Total = 252)
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61
67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151
157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251
257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359
367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463
467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593
599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701
709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827
829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953
967 971 977 983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069
1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213
1217 1223 1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303 1307 1319 1321
1327 1361 1367 1373 1381 1393 1409 1423 1427 1429 1433 1439 1447 1451 1453 1459 1471 1481
1483 1487 1489 1493 1499 1511 1523 1531 1543 1549 1553 1559 1567 1571 1579 1583 1597 1601
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1. Determinar dos números, a y b , tales que la diferencia de sus cuadrados sea un número
primo, p.
Sea
a2−b2 = p
es decir
(a+b) ⋅(a−b) = p .
Por ser p primo, debe ser:
a+b = p y a−b = 1
42
de donde resulta:
a = p+12
, b = p−12
Concretando; si p = 17:
a = 17+12
= 9 , b = 17−12
= 8 .
Efectivamente:
92−82 = 81−64 = 17 .
Ejemplo 2. Si p es un número primo, determinar el menor entero cuyo cuadrado sumado a p, da un cuadrado
perfecto.
Sea
a2+p = b2 ,
es decir
p = b2−a2 = (b+a) ⋅(b−a) ,
y por ser p primo, debe ser:
b+a = p y b−a = 1
es decir
a = p−12
Concretando; si p = 17
a = 17−12
= 8.
Efectivamente:
82+17 = 64+17 = 81 = 92
Ejemplo 3. Un número de la forma 7a está precedido de 705894 enteros primos con él. Determinar a.
Dado que el indicador de 7a es 705894, se tendrá que
7a−1 ⋅(7−1) = 705894
de donde
6 ⋅7a−1 = 705894
es decir
7a−1 = 117649 .
En consecuencia:
a−1 = 6
o sea:
a = 7 .
43
(En la Lección 7, se define el indicador de un número, m, como el número de números primos con m, y
no superior a él).
Ejemplo 4. Si n es un número natural, comprobar que si 2n+1 es primo y mayor que 3, entonces n es
necesariamente un número par.
Procedamos por reducción al absurdo.
Si n fuese un número impar tendríamosn = 2 ⋅k+1 (k ∈N)
luego:
2n+1= 22⋅k+1+1 = 2 ⋅22⋅k+1 = 2 ⋅4k+1 == 2 ⋅(3+1)k+1 = 2 ⋅(3+1)+1 == 2 ⋅ 3+2+1 = 2 ⋅ 3+3 = 3
lo que contradice a la hipótesis, que suponía 2n+1 primo.
Ejemplo 5. Determinar un número natural, n, tal que ninguno de los 100 números consecutivos: n, n+1 ,
n+2, . . . . . . , n+99 sea primo.
Consideremos el númeroP = 2 ⋅3 ⋅5 ⋅7. . . . . . 97 ⋅101
producto de los números primos sucesivos hasta el 101
Así tendremos que se verifican= P+2 (es múltiplo de 2, por serlo P)
n+1= P+3 (es múltiplo de 3)
n+2= P+4 (es múltiplo de 2)
n+3= P+5 (es múltiplo de 5)
n+4= P+6 (es múltiplo de 2)
n+5= P+7 (es múltiplo de 7, por serlo P)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n+98= P+100 es múltiplo de 2
n+99= P+101 es múltiplo de 101, por serlo PEn consecuencia, los números: n+1 , n+2, . . . , n+99 son todos compuestos, es decir no primos.
Cumple, por tanto, lo que nos pide el enunciado el número:n = P+2 .
Ejemplo 6. Comprobar que si: p1, p2, . . . . . . , pn son números primos distintos, entonces
1p1
+ 1p2
+ . . . . . . + 1pn
no es un número entero.
SeanS = 1
p1+ 1
p2+ . . . . . . + 1
pn
P = p1 ⋅p2. . . . . .pn−1
44
Se verifica, entonces, que
S ⋅P= Pp1
+ Pp2
+ . . . . . . + Ppn
=
= p2 ⋅p3. . . . . .pn−1+p1 ⋅p3. . . . . .pn−1+ . . . . . .p1 ⋅p2. . . . . .pn−2+Ppn
El valor de S ⋅P no es un entero, pues son enteros todos los sumandos excepto el último.
En consecuencia, al ser S ⋅P un número no entero, mientras si que lo es P, necesariamente S no es un número entero.
Ejemplo 7. Determinar los valores enteros y positivos de n que hacen que la fracción:
n+8n−7
,
sea un número entero y positivo.
Dado quen+8n−7
= 1+ 15n−7
bastará con hallar los valores enteros y positivos de n que hagan que15
n−7sea entero y positivo, es decir
15n−7
= k ,
lo cual implica que
15 = k ⋅(n−7) .
Ahora bien, las únicas descomposiciones posibles de 15, en dos factores son:
15 = 1 ⋅15 , 15 = 3 ⋅5 , 5 = 15 ⋅1 , 15 = 5 ⋅3
las cuales dan, respectivamente:
(k = 1 , n−7 = 15) , (k = 3 , n−7 = 5) , (k = 15 , n−7 = 1) , (k = 5 , n−7 = 3) ,
obteniéndose para n los valores:
n = 22 , n = 12 , n = 8 , n = 10
Ejemplo 8. Comprobar que la expresión:
n5−5 ⋅n3+4 ⋅nn+2
,
donde n es un número entero, es siempre divisible por 24, con tal que n > 2.
Efectuando la división obtenemos:
n5−5 ⋅n3+4 ⋅nn+2
= n4−2 ⋅n3−n2+2 ⋅n =
= n ⋅(n3−2 ⋅n2−n+2) == (n−2) ⋅(n−1) ⋅n ⋅(n+1)
es decir, un producto de cuatro números consecutivos.
45
Lo enunciado se verifica, puesto que:
24 = 2 ⋅3 ⋅4
Ejemplo 9. Comprobar que para todo número natural impar n, el número
N = n3−n ,es divisible por 24.
Tenemos:
N = n3−n = n ⋅(n2−1) = (n−1) ⋅n ⋅(n+1)
lo que nos dice que, N es el producto de tres números consecutivos, el intermedio impar y los de los extremos pares.
Por otra parte, un número será divisible por 24, cuando lo sea por 3 y por 8.
1.- Los números n−1 y n+1 son pares consecutivos, luego uno de ellos es múltiplo de 4 y el otro de 2. En
consecuencia, su producto será múltiplo de 8.
2.- Por tratarse de tres números consecutivos, uno de ellos debe ser múltiplo de 3.
De las consideraciones 1.- y 2.- resulta que
N = (n−1) ⋅n ⋅(n+1) = n3−n
es múltiplo de 8 ⋅3 = 24.
Ejemplo 10. Comprobar que para todo número natural, n, el número dado por : N = (2 ⋅n+1)2−1, es divi-
sible por 8.
Tenemos:
N = (2 ⋅n+1)2−1 = 4 ⋅n2+4 ⋅n+1−1 = (2 ⋅n+2) ⋅2 ⋅n
Dado que se trata de dos números pares consecutivos, uno de ellos será divisible por 2 y el otro por 4. En consecuen-
cia su producto será divisible por 8.
Ejemplo 11. Comprobar que para todo número natural impar, n, el número: N = n4−1, es divisible por 16.
Tenemos:N = (n2+1) ⋅(n−1) ⋅(n+1)
1.- Por ser n impar, n−1 y n+1 son dos números pares consecutivos, luego su producto
(n−1) ⋅(n+1) ,
es divisible por 8.
2.- Por ser n impar, su cuadrado, n2, es impar, luego n2+1, será par, y por tanto divisible por 2.
De las consideraciones 1.- y 2.-) resulta que
N = (n2+1) ⋅(n−1) ⋅(n+1) = n4−1
es divisible por: 8 ⋅2 = 16
46
Ejemplo 12. Comprobar que para todo número natural mayor que 3, el número
N = n7−14 ⋅n5+49 ⋅n3−36 ⋅nes divisible por 5040.
Tenemos que:
N = (n−3) ⋅(n−2) ⋅(n−1) ⋅n ⋅(n+1) ⋅(n+2) ⋅(n+3)
y por otra parte
5040 = 1 ⋅2 ⋅3 ⋅4 ⋅5 ⋅6 ⋅7
Por ser N el producto de siete números consecutivos, siempre hay uno divisible por 2, otro por 3,. . . . . .y otro por 7.
En consecuencia N es divisible por 5040.
Ejemplo 13. Determinar un número de tres cifras sabiendo que es divisible por 9, que si se le invierte es
divisible por 5, y que sus decenas enteras son divisibles por 8.
Observemos, en primer lugar, que la primera cifra del número que nos interesa ha de ser 5, para que invertido sea
divisible por 5.
Por otra parte, el grupo de las dos primeras cifras ha de ser divisible por 8, y dado que la primera es 5, la otra tiene
que ser 6. Como la suma de esas dos primeras cifras es: 5+6 = 11, para que el número sea divisible por 9, la cifra de
las unidades tiene que ser el 7.
En consecuencia, el número pedido es: 567.
Veamos, ahora, como determinar el número de divisores del número N = aααα ⋅bβββ ⋅ . . . . . . . . . ⋅mγγγ , siendo,
a, b, . . . . . . , m, números primos, y los ααα , βββ , . . . . . . , γγγ números naturales: Evidentemente cualquier
término del producto (desarrollado),
(1+a+a2+ . . . . . . +aααα
) ⋅(1+b+b2+ . . . . . . +bβ
). . . . . . (1+m+m2+ . . . . . . +mγγγ
)
es un divisor de N, puesto que sus factores primos están en N con exponentes iguales o mayores. Como,
además, cualquier divisor de N coincide con uno de los términos de dicho producto, resulta que los
términos de éste son todos los divisores de N.
Resulta, por tanto, que el número N tiene tantos divisores como términos el producto anterior, es
decir:
(ααα +1) ⋅(βββ +1). . . . . . (γγγ +1) .
Ejemplo 14. El número de divisores de N = 914760 es, dado que
917460 = 23 ⋅33 ⋅5 ⋅7 ⋅112
el siguiente:
n = (3+1) ⋅(3+1) ⋅(1+1) ⋅(1+1) ⋅(2+1) = 4 ⋅4 ⋅2 ⋅2 ⋅3 = 192
47
Veamos ahora, con un ejemplo práctico como determinar todos los divisores de un número.
Sea éste el: N = 20250 = 2 ⋅34 ⋅53.
Se comienza por escribir las sucesivas potencias: (1, 3, 32, 33, 34) del factor del exponente más elevado.
Debajo de ellas se escriben sus productos por las potencias sucesivas (5, 52, 53) de otro factor. Luego,
se multiplican todos los números anteriores por 2. El último número así obtenido es, precisamente, el
dado. (La generalización a otro caso cualquiera es evidente).
1 3 9 27 81
5 15 45 135 405
25 75 225 675 2025
125 375 1125 3375 10125
2 6 18 54 162
10 30 90 270 810
50 150 450 1350 4050
250 750 2250 6750 20250
Ejemplo 15. Determinar el número de divisores comunes que tienen los números: 83853 y 1760913.
Dado que:
1760913 = 83853 ⋅21
tendremos que
m.c.c.(83853, 1760913) = 83853
y como
83853 = 32 ⋅7 ⋅113
el número de divisores comunes es:
n = (2+1) ⋅(1+1) ⋅(3+1) = 3 ⋅2 ⋅4 = 24
Sabemos, por tanto, determinar el número de divisores de un número N; determinemos, ahora, la suma
de esos divisores.
La suma valdrá, si es: N = aααα ⋅bβββ . . . . . .mγγγ ,
S =aααα+1−1
a−1⋅
bβββ+1−1b−1
. . . . . .mγγγ+1−1
m−1.
48
Observemos que cada una de las fracciones es la suma de los términos de las progresiones geométricas
1+a+a2+ . . . . . . +aααα =aααα+1−1
a−1
1+b+b2+ . . . . . . +bβββ =bβββ+1−1
b−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1+m+m2+ . . . . . . +mγγγ =mγγγ+1−1
m−1
que en el caso del Ejemplo 15, vale: (N = 83853 = 32 ⋅7 ⋅113)
S =33−13−1
⋅72−17−1
⋅114−111−1
=262
⋅486⋅
1464010
= 13 ⋅8 ⋅1464 = 152256
Para determinar el producto de esos divisores procederemos como sigue.
Ordenando los divisores en sentido creciente y multiplicándolos se tiene:
P = d1 ⋅d2 ⋅d3. . . . . .dυυυ−2 ⋅dυυυ−1 ⋅dυυυ
y si invertimos el orden de los factores
P = dυυυ ⋅dυυυ−1 ⋅dυυυ−2. . . . . .d3 ⋅d2 ⋅d1
Multiplicando miembro a miembro estas igualdades y teniendo en cuenta que
N = d1 ⋅dυυυ = d2 ⋅dυυυ−1 = . . . . . . . . .
resulta
P2= (d1 ⋅dυυυ) ⋅(d2 ⋅dυυυ−1) ⋅(d3 ⋅dυυυ−2). . . . . .
υ. . . . . . . . . (dυυυ ⋅d1)
es decir
P2=N ⋅N ⋅N. . . . . .
υ. . . . . . . . .N =Nυυυ
de donde
P =√
Nυυυ
que en el caso del Ejemplo 15 vale: (N = 83853 , υυυ = 24)
P =√
8385324 = 8385312
Ejemplo 16. Sabiendo que el número 435600 tiene raíz cuadrada exacta, determinar ésta sin recurrir a la
regla general para su extracción.
Bastará descomponer el número dado en sus factores primos:
√435600 =
√24 ⋅32 ⋅52 ⋅112 = 22 ⋅3 ⋅5 ⋅11 = 660
49
Ejemplo 17. Determinar el menor número entero que, multiplicado por 429975 da un producto cuya raíz
cuadrada es exacta.
Descomponiendo el número dado en sus factores primos tenemos:
√429975 =
√33 ⋅52 ⋅72 ⋅13
Para que esta raíz sea exacta, el menor número por el que hay que multiplicar el radicando es:
3 ⋅13 = 39
Ejemplo 18. Determinar el menor número por el que hay que dividir el 108675 para que el cociente sea un
cuadrado perfecto.
Se verifica que:
108675 = 33 ⋅52 ⋅7 ⋅23
Así, el menor número por el que hay que dividir este producto para que el cociente sea un cuadrado perfecto es:
3 ⋅7 ⋅23 = 483
Ejemplo 19. Determinar qué cifras deben sustituir a las 2 y 3 del número 52103 para que el resultado sea
divisible por 72.
El número que sea divisible por 72 lo ha de ser por 8 y por 9.
Para que sea divisible por 8, el grupo de las tres últimas cifras ha de ser múltiplo de 8, y dado que las dos primeras
cifras de este grupo no han de cambiar, la última cifra tiene que ser 4, ya que
13 ⋅8 = 104 ,
y el producto de 14 ⋅8 haría cambiar la cifra de las decenas.
Además, la suma de los valores absolutos de las cifras del número, a excepción del 2 es
5+1+0+4 = 10 ,
y como ha de ser múltiplo de 9, la suma de todas las cifras debe ser 18; luego la cifra 8 debe sustituir a la 2.
Así hemos obtenido:
52103 Ô⇒ 58104 .
Ejemplo 20. Resolver el sistema⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
x√
x+y = 2
(x+y) ⋅3x = 279936
50
La primera ecuación nos permite escribir
(x+y) = 2x
Sustituyendo ahora en la segunda tenemos
2x ⋅3x = 279936
y teniendo en cuenta que
279936 = 67
obtenemos
6x = 67 Ô⇒ x = 7 .
Sustituimos, ahora este valor en la segunda ecuación:
(7+y) ⋅37 = 27 ⋅37
de donde:
7+y = 27
y despejando la y, resulta
y = 27−7 = 128−7 = 121 .
51
Lección 5.- MÁXIMO COMÚN DIVISORY
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
5.1 Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
5.1 Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
Los divisores comunes a varios números, a, b, c, . . . . . . . . . , f no pueden ser mayores que el menor de
estos. Formarán, por tanto, un conjunto finito, y entre ellos habrá uno, D, que será mayor que todos los
demás; a un tal número le llamaremos máximo común divisor de los números dados, y escribiremos
m.c.d. (a, b, c, . . . . . . . . . , f) =D
Diremos que varios números son primos entre sí, cuando su m.c.d. es la unidad. Si cada uno de los
números es primo con cada uno de los demás, se dirá que son primos entre sí dos a dos.
Ejemplo 1. Dados los números: 6, 10, 20 se verifica que:
m.c.d. (6, 10, 20) = 2 ,
y evidentemente no son primos entre sí dos a dos.
Por otra parte, los números: 6, 10, 15, son primos entre sí,
m.c.d. (6, 10, 15) = 1 ,
sin embargo no son primos entre sí dos a dos;
m.c.d. (6, 10) = 2 , m.c.d. (6, 15) = 3 , m.c.d. (10, 15) = 5
PROPOSICIÓN 1. Los divisores comunes a dos números son los comunes al menor de ellos y al
resto, por defecto o por exceso, de la división de ambos.
Supongamos que a > b, siendo q el cociente y r el resto de la división de a por b, es decir
a = b ⋅q±r
Todo divisor de a y b lo es de b ⋅q, luego también de r, y todo divisor de b y r lo es de b ⋅q, luego también
de a.
Resulta, por tanto que los pares a, b y b, r, tienen los mismos divisores comunes, y por tanto igual m.c.d.
Observemos que, puesto que el m.c.d. (a, b) =m.c.d.(b, r), serán, los números a, y b, primos entre sí
cuando lo sean los b y r; y recíprocamente. En consecuencia, podemos afirmar que para averiguar si
dos números son primos entre sí, se puede sustituir el mayor por el resto de su división por el otro.
53
Ejemplo 2. Consideremos los números 14 y 105. ¿Son primos entre sí?
Dividimos el mayor, 105, entre el menor, 14 y obtenemos
105 14
07 7m.c.d. (14, 105) = m.c.d. (14, 7) = 7
luego no son primos entre sí.
Si los números considerados hubiesen sido 14 y 107, tendríamos:
107 14
09 7m.c.d. (14, 107) = m.c.d. (14, 9) = 1
y los números serían primos entre sí.
La aplicación reiterada de la propiedad estudiada conduce a una sucesión de operaciones, para determinar
el m.c.d. de dos números, que se conoce como el algoritmo de Euclides. Los cocientes sucesivos se
escriben sobre los respectivos divisores, para dar lugar a nuevos restos, como se indica a continuación:
q1 q2
q3
a b r1 r2
qn-1 nq n+1q
0
rn-1rn-2rn
rnr1 r2 r3
Dado que los restos sucesivos cumplen: b > r1 > r2 > . . . , debe llegarse necesariamente a un resto 0. Si
rn es el divisor que da este resto 0, resulta que los divisores del par a y b, son los mismos que los del
par b, r1, . . . . . . y finalmente los mismos que los del par rn−1 y rn. El resultado es que: El último resto
distinto de 0 es el m.c.m. (a, b).
Observemos que, los divisores comunes de los números a y b son todos los divisores de su máximo
común divisor, y sólo estos.
Ejemplo 3. Apliquemos el algoritmo de Euclides a los números 375 y 315.
1 5 4
375 315 60 1560 15 0
m.c.d (375, 315) = 15
¡¡Atención!! Cuando en el proceso anterior se reconozca que el resto es primo con el divisor, no será
preciso proseguir con la operación, puesto que los números dados son primos entre sí; es decir, su
máximo común divisor vale 1.
54
Ejemplo 4. Consideremos los números 1463 y 240. Si aplicamos el algoritmo de Euclides tenemos:
6 10 ^^^^^^^^^^^^ 2 3 3
1463 240 23 10 3 1
23 10 ^^^^^^^^^^^^ 3 1 0
m.c.d. (1463, 240) = 1
El proceso podía haberse interrumpido, al observar que el divisor 23 y el resto 10 son primos entre sí.
Es inmediato comprobar que: Si dos números se multiplican por un mismo número, el m.c.d. queda
multiplicado por este número, y que si los dos números se dividen por un divisor común, su m.c.d.
queda dividido por este número.
¡¡Atención!! Los cocientes de dividir dos números por su m.c.d. son primos entre sí, puesto que el m.c.d.
de estos cocientes es la unidad.
La siguiente propiedad suele conocérsela como el Teorema de Euclides.
PROPOSICIÓN 2. Si un número m divide a un producto de dos factores a ⋅b , y es primo con uno
de ellos, a, entonces divide al otro, b.
En efecto: Por hipótesis, m.c.d. (m, a) = 1, luego tendremos
m.c.d. (m ⋅b,a ⋅b) = b .
Así, el número m es un divisor de a ⋅b y de m ⋅b, luego también de su m.c.d., b.
Ejemplo 5. Consideremos los números 27 y 20, cuyo producto es 540.
El número m = 4, divide a 540, pues540
4= 135, pero no divide al 27. Luego, debe dividir al 20; efectivamente
204
= 5 .
Consideremos, ahora, dos números a y b. Si es m.c.d. (a, b) =D y son a′ y b′ los cocientes de dividirlos
por él, tendremos:
a =D ⋅a′ , b =D ⋅b′
En consecuencia, todo múltiplo de a es de la forma: M =D ⋅a′ ⋅p. Si este número es , además múltiplo
de b, tendremos
D ⋅a′ ⋅p = b ⋅q =D ⋅b′ ⋅q ,
con lo que
a′ ⋅p = b′ ⋅q .
El número b′ es, pues, un divisor de a′ ⋅p, y como es primo con a′ debe dividir a p, es decir, será:
p = b′ ⋅k .
55
En resumen:
M =D ⋅a′ ⋅b′ ⋅k
Recíprocamente: cualquiera que sea k, de las igualdades
a =D ⋅a′ y b =D ⋅b′ ,
resulta que este número es múltiplo de a y b. Luego en esa expresión están contenidos todos los múltiplos
comunes a a y b. El menor de todos, distinto de cero, se obtiene haciendo k = 1, y se le llamará mínimo
común múltiplo, representándole por : m.c.m. (a, b), es decir:
m.c.m. (a, b) =D ⋅a′ ⋅b′ = a ⋅b′ = a′ ⋅b .
Los razonamientos anteriores nos permiten escribir las propiedades siguientes:
PROPOSICIÓN 3. El m.c.m. de dos números se obtiene multiplicando cualquiera de ellos por
el cociente de dividir el otro por el m.c.d. de ambos. Si ésos son primos entre sí, el m.c.m. es su
producto.
PROPOSICIÓN 4. Todos los múltiplos comunes a dos números son los múltiplos de su m.c.m.Observemos que, en particular, si dos números son primos entre sí, podemos afirmar que: Todo número
múltiplo de otros dos, que son primos entre sí, es múltiplo de su producto.
Ejemplo 6. Consideremos los números 375 y 315. Tendremos
m.c.d. (375, 315) = 15
luego
m.c.m. (375, 315) = 37515
⋅315 = 25 ⋅315 = 7875
¡¡Atención!! Es inmediato comprobar que todos los divisores a varios números son los divisores de su
m.c.d. Así mismo, los múltiplos comunes de varios números son los múltiplos de su m.c.m.
Ejemplo 7. Siendo los números a y b primos entre sí, determinar el máximo común divisor de : a ⋅b y a+b.
Dado que el a+b y a ⋅b no pueden tener ningún factor común, por ser a y b primos entre sí, tendremos
m.c.d. (a ⋅b, a+b) = 1
Observemos que por la misma razón tendríamos que:
m.c.d. (a ⋅b, a−b) = 1 .
56
Ejemplo 8. Dados los números a, b, c, si es
D = m.c.d. (a, b, c)
entonces el m.c.d (a ⋅b, b ⋅c,c ⋅a) es un múltiplo de D2.
Tenemos que:
a = D ⋅P , b = D ⋅q , c = D ⋅r
siendo p, q, r primos entre sí. Podemos, por tanto, escribir
a ⋅b = D2 ⋅p ⋅q , b ⋅c = D2 ⋅q ⋅r , c ⋅a = D2 ⋅r ⋅p ,
luego si:
m.c.d. (p ⋅q, q ⋅r, r ⋅p) = h
resultará que
m.c.d. (a ⋅b, b ⋅c, c ⋅a) = D2 ⋅h
Observemos que, si p ⋅q, q ⋅r, r ⋅p son primos entre sí, se tendrá:
m.c.d. (a ⋅b, b ⋅c, c ⋅r) = D2
Particularizando: Si a = 14, b = 34, c = 26 tendremos que
m.c.d. (14, 34, 26) = 2 ,
y por tanto
14 = 2 ⋅p , 34 = 2 ⋅q , 26 = 2 ⋅r
con lo que:
p = 7 , q = 17 , r = 13 Ô⇒ p ⋅q = 119 , q ⋅r = 121 , r ⋅p = 91
que son primos entre sí. Luego:
m.c.d. (14 ⋅34 , 34 ⋅26 , 26 ⋅14) = 22
Ejemplo 9. Determinar dos números a y b, conociendo su suma S = a+b y su mínimo común múltiplo M.
Designando por d al máximo común divisor de a y b, comprobemos, en primer lugar, que d es también máximo
común divisor de S y M:
Si es
d′ = m.c.d (S, M)
dividiendo s y M por d, se obtiened′
d= m.c.d. ( S
d,
Md
) .
Como se tiene
Sd
= ad+ b
d= a′+b′ ;
Md
=a ⋅bdd
= a′ ⋅b′
57
resulta:d′
d= m.c.d. (a′+b′, a′ ⋅b′)
Ahora bien, a′+b′ y a′ ⋅b′ son primos entre sí, luego tendremos
d′
d= 1 Ô⇒ d′ = d .
Tenemos, por tanto, que conocemos d y también
M ⋅d = a ⋅b = p .
Conocemos, pues, la suma S, y el producto p. En consecuencia los números buscados serán las raíces de la ecuación
x2−S ⋅x+p = 0 .
Particularizando: Si S = 35 y M = 300, la ecuación sería
x2−35 ⋅x+300 = 0
cuyas soluciones nos darían los valores de a y b. Así:
x = 35±√
352−4 ⋅3002
= 35±52
=⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
20
15
es decir: a = 20 y b = 15.
Ejemplo 10. Hallar dos números naturales sabiendo que su mínimo común múltiplo es 1260, y la suma de
sus cuadrados 39456.
Recordemos que se verifican las relaciones siguientes, para dos números a y b dados:
d = m.c.d. (a, b) Ô⇒ a = d ⋅a′ , b = d ⋅b′
siendo a′ y b′, primos entre sí, es decir: m.c.d. (a′, b′) = 1. Así mismo se tiene que:
m.c.m. (a, b) = d ⋅a′ ⋅b′ .
Particularizando a nuestro enunciado, podemos escribir, siendo a > b:
d ⋅a′ ⋅b′ = 1260
(d ⋅a′)2+(d ⋅b′)2 = 39456
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭⇐⇒
d2 ⋅a′2 ⋅b′2 = 12602
d2 ⋅(a′2+b′2) = 39456
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭
Al dividir ambas igualdades tendremos:
a′2 ⋅b′2
a′2+b′2= 12602
39456= 24 ⋅34 ⋅52 ⋅72
25 ⋅32 ⋅137= 32 ⋅52 ⋅72
2 ⋅137= 11025
274
de donde resultará:(2 ⋅a′ ⋅b′)2
a′2+b′2= 44100
274
58
lo que nos permite escribir
2 ⋅a′ ⋅b′ = 210
a′2+b′2 = 274
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭Sumando y restando estas dos igualdades obtendremos:
a′2+b′2+2 ⋅a′ ⋅b′ = (a′+b′)2 = 484
a′2+b′2−2 ⋅a′ ⋅b′ = (a′−b′)2 = 64
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭y extrayendo la raíz cuadrada
a′+b′ = 22
a′−b′ = 8
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭Ô⇒
a′ = 15
b′ = 7
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭Podemos entonces calcular d = m.c.d. (a, b):
1260 = d ⋅15 ⋅7
es decir
d = 1260105
= 12 .
Los números pedidos serán, por tanto:⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
a = d ⋅a′ = 12 ⋅15 = 180
b = d ⋅b′ = 12 ⋅7 = 84
Ejemplo 11. Hallar dos números sabiendo que su máximo común divisor es 120, y que la diferencia de sus
cuadrados es: 345600.
Como en el ejemplo anterior tenemos las siguientes relaciones:
d = m.c.d. (a, b) , a = d ⋅a′ , b = d ⋅b′ , m.c.d. (a′, b′) = 1 , m.c.m. (a, b) = d ⋅a′ ⋅b′
Particularizando a nuestro enunciado, podemos escribir, siendo a > b
d = 120
(d ⋅a′)2−(d ⋅b′)2 = 345600
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭Ô⇒
d = 120
(a′+b′) ⋅(a′−b′) = 24
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭De la última igualdad, siendo a′+b′ y a′−b′ números naturales, resultan los sistemas siguientes:
(a′+b′) = 24
a′−b′ = 1
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭Ô⇒ Sin solución en N
(a′+b′) = 12
a′−b′ = 2
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭Ô⇒ a′ = 7 , b′ = 5
(a′+b′) = 8
a′−b′ = 3
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭Ô⇒ Sin solución en N
(a′+b′) = 6
a′−b′ = 4
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭Ô⇒ a′ = 5 , b′ = 1
59
1.- Así de la solución: a′ = 7 , b′ = 5, se obtiene
a = d ⋅a′ = 120 ⋅7 = 840 , b = d ⋅b′ = 120 ⋅5 = 600
2.- y de la solución a′ = 5 , b′ = 1, resulta
a = d ⋅a′ = 120 ⋅5 = 600 , b = d ⋅b′ = 120 ⋅1 = 120
En definitiva, tenemos dos soluciones:
(a = 840 , b = 600) y (a = 600 , b = 120)
Ejemplo 12. Hallar dos números naturales sabiendo que su producto es 3024 y su mínimo común múltiplo
504.
Como en el ejemplo anterior tenemos las siguientes relaciones:
d = m.c.d (a, b) , a = d ⋅a′ , b = d ⋅b′ , m.c.d. (a′, b′) = 1 , m.c.m. (a, b) = d ⋅a′ ⋅b′
Particularizando a nuestro enunciado podemos escribir, siendo a > b:
a ⋅b = 3024
d ⋅a′ ⋅b′ = 504
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭Ô⇒
d ⋅a′ ⋅d ⋅b′ = 3024
d ⋅a′ ⋅b′ = 504
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭Ô⇒
d2 ⋅a′ ⋅b′ = 3024
d ⋅a′ ⋅b′ = 504
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭Ô⇒
Ô⇒d ⋅504 = 3024
d ⋅a′ ⋅b′ = 504
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭Ô⇒
d = 6
a′ ⋅b′ = 84
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭dado que: 84 = 4 ⋅3 ⋅7 = 84 ⋅1 = 21 ⋅4 = 12 ⋅7 = 28 ⋅3, tendremos las siguientes posibilidades; siendo a = d ⋅a′ y b = d ⋅b′:
(d = 6 , a′ = 84 , b′ = 1) Ô⇒ a = 6 ⋅84 = 504 , b = 6 ⋅1 = 6
(d = 6 , a′ = 28 , b′ = 3) Ô⇒ a = 6 ⋅28 = 168 , b = 6 ⋅3 = 18
(d = 6 , a′ = 21 , b′ = 4) Ô⇒ a = 6 ⋅21 = 126 , b = 6 ⋅4 = 24
(d = 6 , a′ = 12 , b′ = 7) Ô⇒ a = 6 ⋅12 = 72 , b = 6 ⋅7 = 42
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭En definitiva, tenemos cuatro soluciones:
(a = 504 , b = 6) , (a = 168 , b = 18) , (a = 126 , b = 24) , (a = 72 , b = 42)
Ejemplo 13. El número natural N descompuesto en producto de factores primos es de la forma: N = aααα ⋅bβββ ⋅cγγγ ,
y el número de divisores de N, N2 y N3 es, respectivamente, 60, 315 y 910.
Sabiendo que el máximo común divisor de todos los posibles valores de N es 900, se trata de determinarlos.
Evidentemente, los números naturales N, N2 y N3 tienen los mismos factores, pues:
N = aααα ⋅bβββ ⋅cγγγ Ô⇒ (N2 = a2⋅ααα ⋅b2⋅βββ ⋅c2⋅γγγ y N3 = a3⋅ααα ⋅b3⋅βββ ⋅c3⋅γγγ)
luego:
(ααα +1) ⋅(βββ +1) ⋅(γγγ +1) = 60
(2 ⋅ααα +1) ⋅(2 ⋅βββ +1) ⋅(2 ⋅γγγ +1) = 315
(3 ⋅ααα +1) ⋅(3 ⋅βββ +1) ⋅(3 ⋅γγγ +1) = 910
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
60
Además, como 900 es el máximo común divisor de todos los posibles valores de N, y es
900 = 22 ⋅32 ⋅52 ,
se tendrá que N será de la forma:
N = 2ααα ⋅3βββ ⋅5γγγ
con: ααα ⩾ 2 , βββ ⩾ 2 , γγγ ⩾ 2.
De estas acotaciones, y de
(ααα +1) ⋅(βββ +1) ⋅(γγγ +1) = 60 = 3 ⋅4 ⋅5
resultará que:
ααα = 2 , βββ = 3 , γγγ = 4
o una permutación cualquiera de los números: 2, 3, 4.
(Observemos que la información relativa al número de divisores de N2 y N3 es superflua).
Los números buscados, serán, por tanto, los seis siguientes:
N1 = 22 ⋅33 ⋅54 = 67500 , N2 = 22 ⋅34 ⋅53 = 40500 , N3 = 23 ⋅32 ⋅54 = 45000
N4 = 23 ⋅34 ⋅52 = 16200 , N5 = 24 ⋅32 ⋅53 = 18000 , N6 = 24 ⋅33 ⋅52 = 10800
Ejemplo 14. Determinar dos números naturales cuyo máximo común divisor es 18, sabiendo que uno de ellos
tiene 21 divisores y el otro tiene 10.
Si son P y Q los números buscados, tendremos:
P = aααα ⋅bβββ . . . . . . . . . `λλλ Ô⇒ 21 = (ααα +1) ⋅(βββ +1). . . . . . (λλλ +1) = 7 ⋅3Q = a′ααα
′⋅b′βββ
′. . . . . . . . . `′
λλλ′Ô⇒ 10 = (ααα ′+1) ⋅(βββ ′+1). . . . . . (λλλ ′+1) = 5 ⋅2
y de aquí:
P = a6 ⋅b2 y Q = a′4 ⋅b′
Puesto que: m.c.d. (a, b) = 18 = 2 ⋅32, se sigue que los factores de P y Q son únicamente 2 y 3.
Resulta, entonces, que los casos posibles son:
1.- (P = 26 ⋅32 y Q = 24 ⋅3) Ô⇒ m.c.d. (P, Q) = 24 ⋅32.- (P = 26 ⋅32 y Q = 2 ⋅34) Ô⇒ m.c.d. (P, Q) = 2 ⋅32
3.- (P = 22 ⋅36 y Q = 24 ⋅3) Ô⇒ m.c.d. (P, Q) = 22 ⋅34.- (P = 22 ⋅36 y Q = 2 ⋅34) Ô⇒ m.c.d. (P, Q) = 2 ⋅34
Como: m.c.d. (P, Q) = 18 = 2 ⋅32, el único caso que cumple las condiciones del enunciado es el 2.- . Luego:
P = 26 ⋅32 = 576 y Q = 2 ⋅34 = 162 .
Ejemplo 15. Hallar dos números naturales sabiendo que su máximo común divisor es 8, y que su mínimo
común múltiplo es 504.
Dados los números a y b, sabemos que se verifican las siguientes relaciones:
d = m.c.d. (a, b) , a = d ⋅a′ , b = d ⋅b′ , m.c.d. (a′, b′) = 1 , m.c.m. (a, b) = d ⋅a′ ⋅b′
61
Suponiendo a > b, tendremos que:
d = 8
d ⋅a′ ⋅b′ = 504
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭Ô⇒
d = 8
a′ ⋅b′ = 63 = 1 ⋅63 = 7 ⋅9
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭En consecuencia:
d = 8 , a′ = 63 , b′ = 1
o bien
d = 8 , a′ = 9 , b′ = 7
Los números buscados serán, por tanto:
a = d ⋅a′ = 8 ⋅63 = 504 y b = d ⋅b′ = 8 ⋅1 = 8
o bien
a = d ⋅a′ = 8 ⋅9 = 72 y b = d ⋅b′ = 8 ⋅7 = 56
Tendremos, por tanto, dos soluciones
(a = 504 , b = 8) y (a = 72 , b = 56)
Un criterio para decidir si un número es divisible por otro es el siguiente:
Una condición necesaria y suficiente para que un número, m, sea
múltiplo de otro, n, es que contenga todos los factores primos de éste,
con iguales o mayores exponentes.
Ejemplo 16. El número m = 24 ⋅55 ⋅74 ⋅133 es divisible por el número n1 = 22 ⋅7 ⋅132 y por el n2 = 55 ⋅72 ⋅13, pero
no es divisible por el número n3 = 25 ⋅52 ⋅74, ni por el número n4 = 2 ⋅32 ⋅7.
Cuando resulta fácil la descomposición en factores primos, el método más rápido para hallar, tanto el
m.c.d., como el m.c.m. se apoya en las propiedades siguientes:
El m.c.d. de varios números es el producto de los factores primos
comunes a todos ellos, tomando cada uno con el menor de los expo-
nentes con que figura en todos los números.
El m.c.m. de varios números es el producto de los factores primos de
todos ellos, tomando cada uno con el mayor de sus exponentes.
Ejemplo 17. Los números 180, 375, y 135 admiten las siguientes descomposiciones en factores primos:
180 = 22 ⋅32 ⋅5375 = 3 ⋅53
135 = 33 ⋅5
62
luego:
m.c.d. (180, 375, 135) = 3 ⋅5 = 15
m.c.m. (180, 375, 135) = 22 ⋅33 ⋅53 = 13500
Ejemplo 18. Determinar el menor número no divisible por 4, 6, 9, 11, y 12, que al ser dividido por éstos se
obtienen restos iguales.
El número pedido, N, ha de ser múltiplo de 4, 6, 9, 11 y 12, aumentado en r. Dado que tanto N como r han de ser lo
menores posibles, se verificará que:
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
N = m.c.m. (4, 6, 9, 11, 12) = 396
r = 1
El número pedido será, por tanto:
396+1 = 397 .
Ejemplo 19. Determinar un número comprendido entre 80000 y 200000, que sea divisible por 182 y 2156.
Si es:
m.c.m. (182, 2156) = 196196
este será el número pedido, puesto que
80000 < 196196 < 200000
y cualquier otro múltiplo de él quedará fuera de lo admitido.
Ejemplo 20. Determinar tres números enteros que multiplicados, respectivamente, por 858, 2508 y 4554, den
productos iguales, sabiendo que este producto debe estar comprendido entre 8000000 y 10000000.
Tenemos que:
m.cm. (858, 2508, 4554) = 2249676 ,
y un múltiplo de éste, comprendido entre 8000000 y 10000000 será el
2249676 ⋅4 = 8998704 .
Los números pedidos serán, por tanto, los cocientes de dividir este múltiplo por los números dados:
8998704858
= 10488
89987042508
= 3588
89987044554
= 1976
Ejemplo 21. Determinar el menor número divisible por 7, tal que al dividirlo por 2, 3, 4, 5 ó 6, dé siempre 1
de resto.
Se tiene que:
m.c.m. (2, 3, 4, 5, 6) = 60
63
Si n es el número pedido, deberá verificarse:
n−1 = 60 ⋅m Ô⇒ n = 1+60 ⋅m
siendo m un factor a determinar, con la condición de que n sea múltiplo de 7, es decir:
1+60 ⋅m = 7Por ser:
60 = 7+4 ,
la igualdad anterior se convierte en la
4 ⋅m+1 = 7
El menor valor de m que satisface esta igualdad es m = 5, con lo que el número pedido será:
n = 1+60 ⋅5 = 301 .
Ejemplo 22. Determinar dos números tales que su m.c.d. = 36 y su m.c.m. = 5148.
Sean A y B los números pedidos, y representemos por D el m.c.d. de ellos, y por M su m.c.m., es decir:
M = A ⋅BD
Ô⇒ M ⋅D = A ⋅B
Si AD
= C yBD
= C′
tendremosA = C ⋅D
B = C′ ⋅D
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭Ô⇒ A ⋅B = C ⋅C′ ⋅D2 = M ⋅D ; C ⋅C′ = M
D= C′′
Como C y C′ son primos entre sí, el problema queda reducido a descomponer C′′ en un producto de factores primos
entre sí, y el número de soluciones será:
2n−1−1 ,
siendo n el número de factores primos de C′′.
Conocidos C y C′, bastará sustituir sus valores en las anteriores igualdades: A = C ⋅D y B = C′ ⋅D, para
obtener A y B.
En el problema que tenemos planteado es:
C′′ = C ⋅C′ = 514836
= 143 = 11 ⋅13
resultando, en este caso que no hay más que una solución: C = 11, C′ = 13, que nos proporcionan
A = 11 ⋅36 = 396 , B = 13 ⋅36 = 468 .
Ejemplo 23. Al dividir 1866 y 1479 por un cierto número, se tiene, por restos, 33 y 22, respectivamente.
Determinar el mayor divisor que cumple con esta condición.
Bastará con restar a los números dados, los 33 y 22, respectivamente, y hallar luego el m.c.d. de las diferencias que
resulten:1866−33 = 1833 , 1479−22 = 1457
m.c.d (1833, 1457) = 47
El número pedido será, por tanto, el 47.
64
Planteémonos, ahora, el problema de la descomposición de m! en factores primos.
Según la proposición 1, de la lección anterior para que un número primo divida a m!, debe dividir al
menos a uno de sus factores; luego bastará hallar el exponente con que cada número primo p ⩽m figura
en m!
Apliquemos a m el mismo algoritmo que si tratásemos de representarlo en el sistema de numeración de
base p, es decir
m p
a q1 p
b q2 p
c q3⋅⋅⋅
qk−2 p
f qk−1 p
g qk = h
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
m = q1 ⋅p+a
q1 = q2 ⋅p+b
q2 = q3 ⋅p+c
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
qk−1 = qk ⋅p+g
qk = h
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
(*)
Entre los números 1, 2, 3,. . . . . . , m, los únicos múltiplos de p son:
p, 2 ⋅p, 3 ⋅p, . . . . . . . . . , q1 ⋅p
cuyo producto es:
q1! ⋅pq1 .
Entre los números 1, 2, 3,. . . . . . , q1, que componen q1!, los únicos múltiplos de p son:
p, 2 ⋅p, 3 ⋅p, . . . . . . . . . , q2 ⋅p ,
cuyo producto es:
q2! ⋅pq2
Siguiendo así, vamos separando, de m!, las potencias
pq1 , pq2 , . . . . . . . . . , pqk
hasta llegar a un factorial qk! que ya no contiene nuevas potencias de p, por ser qk < p.
El exponente con que figura p en m! será, por tanto:
x = q1+q2+ . . . . . . . . . +qk
Podemos, por tanto, concluir que, el exponente x de un factor primo p en el número m!, es la suma
de los cocientes obtenidos al expresar m en el sistema de numeración de base p.
65
Ejemplo 24. Sea m = 1900, determinemos los exponentes de los números primos 7, 11 y 2, en el número:
m! = 1900!
Para el número 7 tenemos:
1900 7
3 271 7
5 38 7
3 5
luego el exponente buscado será:
271+38+5 = 314
Para el número 11 tenemos
1900 11
8 172 11
7 15 11
4 1
luego el exponente buscado será:
172+15+1 = 188
Para el número 2:
1900 2
0 950 2
0 475 2
1 237 2
1 118 2
0 59 2
1 29 2
1 14 2
0 7 2
1 3 2
1 1
luego el exponente buscado será:
950+475+237+118+59+29+14+7+3+1 = 1893
Otra forma de obtener el resultado anterior se obtiene de la siguiente manera: Sumando las igualdades
(*), y llamando s a la suma
s = a+b+c+ . . . . . . . . . +g+h
66
de las cifras de m, (que recordemos, son las cifras de m en el sistema de numeración de base p), resulta:
m+x = x ⋅p+ s
es decir
m− s = x ⋅(p−1) Ô⇒ x =m− sp−1
.
Podemos concluir, por tanto, en la siguiente:
REGLA DE LEGENDRE. El exponente x del factor primo p en la descomposición de m!, es
el cociente:m− sp−1
, siendo s la suma de las cifras de m expresado en el sistema de base p.
Ejemplo 25. Aplicando esta regla al ejemplo anterior, tendremos:
1900 = 5353 7 , luego el exponente de 7 en 1900! es:
1900−167−1
= 18846
= 314
1900 = 1478 11, luego el exponente de 11 en 1900! es:
1900−2011−1
= 188010
= 188
1900 = 11101101100 2 , luego el exponente de 2 en 1900! es:
1900−72−1
= 18931
= 1893
Ejemplo 26. Determinar el menor factorial que es divisible por 71665.
Sea m! el factorial buscado. Evidentemente, m tiene que ser un múltiplo de 7; luego hacemos:
m = 7 ⋅ t .
Por otra parte según la regla de Legendre:
m− s = x ⋅(p−1) ,
siendo: s la suma de las cifras de m expresado en el sistema de base p, y x el exponente del factor primo p en la
descomposición de m!
En nuestro caso:
x = 1665 , p = 7
luego:
m− s = 1665 ⋅6 = 9990
o sea
m = 7 ⋅ t = 9990+ s
El menor número que hace 9990+ s múltiplo de 7 es 6. En consecuencia:
m = 9996 .
67
Lección 6.- NÚMEROS CONGRUENTES
6.1 Números congruentes
6.1 Números congruentes
Dados dos números a y b diremos que son congruentes respecto del módulo m, cuando divididos por
él dan el mismo resto.
Expresaremos esta relación de congruencia en cualquiera de las dos formas siguientes:
a ≡ b (mód. m) , a ≡ b(m) .
De la propia definición resultan las siguientes propiedades:
1.- Todo número es congruente consigo mismo, respecto de cualquier módulo.
2.- Dos números congruentes con un tercero, respecto de un mismo módulo, son congruentes entre sí,
respecto de dicho módulo.
3.- Son congruentes con cero, según el módulo m, todos los múltiplos de m.
4.- Si a es primo con m, todo número b congruente con a (mód. m) es primo con m.
PROPOSICIÓN 1. Una condición necesaria y suficiente para que dos números sean congruentes,
respecto del módulo m, es que su diferencia sea un múltiplo de m.
En efecto: La condición es necesaria, pues si a ≡ b (mód. m) será:
a = m+r , b = m+r ,
y suponiendo b > a, resulta
b−a = m− m = m
La condición es suficiente, pues si esta relación existe, es
b = a+ m ,
y si r es el resto de a respecto de m, es decir: a = m+r, será
b = a+ m = m+ m+r = m+r ,
luego también es r el resto de b respecto de m.
PROPOSICIÓN 2. Se puede multiplicar los dos miembros y el módulo por cualquier número, o
dividirlos por cualquier divisor común de los tres.
En efecto: De la proposición anterior resulta, que sí
a ≡ b (mód. m) ,
69
es decir, si
a−b = m ⋅k ,
también será
a ⋅h−b ⋅h = (m ⋅h) ⋅k ,
luego
a ⋅h ≡ b ⋅h (mód. m ⋅h) ,
y recíprocamente.
PROPOSICIÓN 3. Si dos números son congruentes respecto de varios módulos, entonces son con-
gruentes respecto del m.c.m. de éstos.
En efecto: De la proposición 1 resulta que si es:
a ≡ b (mód. m) , a ≡ b (mód. m′), . . . . . . . . .a ≡ b (mód. m(i))
o sea, si se verifica (suponiendo a > b)
a−b = m , a−b = m′, . . . . . . . . . , a−b = m(i)
puesto que los múltiplos comunes de varios números son los múltiplos de su m.c.m., será
a−b múltiplo del m.c.m. (m, m′, . . . . . . . . . ,m(i)) = M ,
es decir:
a ≡ b (mód. M) .
Veamos, ahora, como operar con las congruencias:
PROPOSICIÓN 4. Sumando (restando) miembro a miembro varias congruencias respecto del mó-
dulo m, resulta otra congruencia respecto del mismo módulo.
En efecto: Si esa ≡ a′
b ≡ b′
. . . . . .
. . . . . .
h ≡ h′
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
(mód. m)
significa que es
a = a′± m
b = b′± m
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
h = h′± m
luego
a+b+ . . . . . . . . . +h = a′+b′+ . . . . . . . . . +h′± m
70
es decir:
(a+b+ . . . . . . . . . +h) ≡ (a′+b′+ . . . . . . . . . +h′) (mód. m)
En forma análoga resulta:
(a±b± . . . . . . . . . ±h) ≡ (a′±b′± . . . . . . . . . ±h′) (mód. m)
La proposición anterior nos muestra que:
1.- Se puede sumar a los dos miembros de una congruencia un mismo número.
2.- Se puede restar de los miembros de una congruencia un mismo número, igual o menor que ambos.
PROPOSICIÓN 5. Multiplicando miembro a miembro varias congruencias respecto de un mismo
módulo m, se obtiene otra congruencia (mód. m).
En efecto: Multiplicando las igualdades
a = a′± m y b ≡ b′± ⋅m
resulta
a ⋅b = a′ ⋅b′± m
es decir
a ⋅b ≡ a′ ⋅b′ (mód. m)
Aplicando esta propiedad de nuevo, resulta:
a ⋅b ⋅c ≡ a′ ⋅b′ ⋅c′ (mód. m)
y así sucesivamente.
La proposición anterior nos muestra que:
1.- Se puede multiplicar los dos miembros de una congruencia por un mismo número.
2.- Si a ≡ b (mód. m) será: an ≡ bn (mód. m), cualquiera que sea el exponente n.
PROPOSICIÓN 6. Si en un polinomio, a0 ⋅xn+a1 ⋅xn−1+ . . . . . . +an−1 ⋅x+an , se sustituyen dos
valores, a y b de x, congruentes respecto del módulo m, los valores obtenidos son también con-
gruentes.
En efecto: Se verifica que
an ≡ bn
an−1 ≡ bn−1
. . . . . . . . . . . .
a2 ≡ b2
a ≡ b
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
(mód. m) Ô⇒
a0 ⋅an ≡ a0 ⋅bn
a1 ⋅an−1 ≡ a1 ⋅bn−1
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
an−2 ⋅a2 ≡ an−2 ⋅b2
an−1 ⋅a ≡ an−1 ⋅ban ≡ an
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
(mód. m)
y sumando, resulta la congruencia:
(a0 ⋅an+a1 ⋅an−1+ . . . . . . . . . +an−1 ⋅a+an) ≡ (a0 ⋅bn+a1 ⋅bn−1+ . . . . . . . . . +an−1 ⋅b+an) (mód. m)
71
La proposición anterior nos muestra que:
1.- Si un número a satisface a la congruencia
a0 ⋅xn+a1 ⋅xn−1
+ . . . . . . . . . +an−1 ⋅x+an ≡ 0 (mód. m)
(es decir, si haciendo x = a, el valor que toma el polinomio es m) todo número congruente con a
(mód. m) satisface a la misma congruencia.
PROPOSICIÓN 7. Los cocientes de dividir dos números congruentes (mód. m) por un divisor
común, primo con m, son congruentes respecto del mismo módulo.
En efecto: Sean los dos números: a ⋅h y b ⋅h, y supongamos que a ⋅h > b ⋅h.
Por ser:
a ⋅h−b ⋅h = (a−b) ⋅h = m
y ser m primo con h, m dividirá a a−b, es decir
a ≡ b (mód. m)
.
PROPOSICIÓN 8. Se puede dividir los dos miembros de una congruencia por cualquier divisor
común h, dividiendo también el módulo por su m.c.d. con h.
En efecto: Si el número h, divisor de a ⋅h y b ⋅h, no es primo con m, sino que: m.c.d. (m, h) = d, será
m = d ⋅m′ , h = d ⋅h′ ,
luego de la congruencia: a ⋅h ≡ b ⋅h (mód. m), se deduce
a ⋅h′ ≡ b ⋅h′ (mód. m′) ,
y de ésta resulta, por ser primo con m′,
a ≡ b (mód. m′) .
PROPOSICIÓN 9. Se pueden dividir las congruencias:
a ⋅h ≡ b ⋅k , h ≡ k (mód. m)
si h y k son primos con m.
En efecto: Se verifica que
a ⋅h ≡ a ⋅k ≡ b ⋅k Ô⇒ a ≡ b
72
Ejemplo 1. Determinar el menor número que, dividido por 7, 8 y 9, da de resto 3.
Tenemos:n ≡ 3 (mód. 7)n ≡ 3 (mód. 8)n ≡ 3 (mód. 9)
El m.c.m. (7, 8, 9) = 504; luego se verificará
n ≡ 3 (mód. 504)
es decir
n = 504 ⋅k+3 .
El menor número buscado se obtendrá, por tanto para k = 1, o sea:
n = 504+3 = 507 .
Ejemplo 2. Comprobar que, para cualquier valor de n, tendremos que
32⋅n+2+26⋅n+1
es divisible por 11.
Tenemos:
32⋅n+2+26⋅n+1 = 32⋅n ⋅32+26⋅n ⋅2
Observemos que
32+2 = 11
y que
32 ≡ 26 (mód. 11)
así como
32⋅n ≡ 26⋅n (mód. 11)
Se sigue, entonces, que
32 = 11−2 , 32⋅n = 11+26⋅n .
Multiplicando, ahora, miembro a miembro obtenemos:
32⋅n+2 = 11−26⋅n+1
es decir:
32⋅n+2+36⋅n+1 = 11 .
73
Ejemplo 3. Comprobar que se verifica: 3 ⋅52⋅n+1+23⋅n+1 = 17.
Observemos que la primera potencia de 5, que es congruente con una potencia de 2, (mód. 17), es 25 = 52, la cual
es congruente con 8 = 23. Es decir:
52⋅n ≡ 23⋅n (mód.17)
o sea:
52⋅n = 17+23⋅n
Por otra parte:
3 ⋅5 = 17−2 .
Multiplicando estas dos igualdades resulta:
3 ⋅52⋅n+1 = 17−23⋅n+1
y en definitiva
3 ⋅52⋅n+1+23⋅n+1 = 17
Ejemplo 4. Si un número dividido por 8 da resto 2, y dividido por 11 da resto 9, determinar que resto se
obtendrá al dividirlo por 88. Obtener, entonces, los tres menores números que cumplan dicha condición.
Podemos escribir
n ≡ 2 (mód. 8) , n ≡ 9 (mód. 11)
Multiplicando la primera por 11, y la segunda por 8, será:
11 ⋅n ≡ 22 (mód. 88) , 8 ⋅n ≡ 72 (mód. 88)
Multiplicando, ahora, la primera por a y la segunda por b, y restando, obtendremos:
(8 ⋅b−11 ⋅a) ⋅n ≡ 72 ⋅b−22 ⋅a (mód. 88)
Se determina a y b con la condición:
8 ⋅b−11 ⋅a = 1 ,
lo que nos da:
a = 5 , b = 7 .
Se obtiene, pues:
n ≡ 394 (mód. 88) .
o lo que es lo mismo
n ≡ 42 (mód. 88) .
Los tres números pedidos son:
42, 130, 218 .
74
Ejemplo 5. Comprobar que para todo número natural, n, el número:
N = 33⋅n−26n−1 ,
es divisible por 13.
Tenemos:N≡ 33⋅n−26n−1 (mód. 13)≡ 27n−1 (mód. 13)≡ 1n−1 (mód. 13)≡ 0 (mód. 13)
luego: N = 33⋅n−26n−1, es divisible por 13.
Ejemplo 6. Comprobar que para todo número natural, n, el número
N = 17n−4 ⋅n−1es divisible por 4.
Tenemos:N≡ 17n−4 ⋅n−1 (mód. 4)≡ 1n−1 (mód. 4)≡ 0 (mód. 4)
luego: N = 17n−4 ⋅n−1, es divisible por 4.
Ejemplo 7. Comprobar que para todo número natural, n, el número
N = 112⋅n+9 ⋅n−22⋅n
es divisible por 3.
Tenemos:N≡ 112⋅n+9 ⋅n−22⋅n (mód. 3)≡ 22⋅n−22⋅n (mód. 3)≡ 0 (mód. 3)
luego: N = 112⋅n+9 ⋅n+22⋅n es divisible por 3.
Ejemplo 8. Comprobar que para todo número natural, n, el número
N = n ⋅(n+1) ⋅(n+5)
es divisible por 6.
Tenemos:N≡ n ⋅(n+1) ⋅(n+5) (mód. 6)≡ n ⋅(n+1) ⋅(n−1) (mód. 6) , pues 5 ≡ −1)
≡ 0 (mód. 6) , ya que se trata
de tres números consecutivos de los cuales uno será múltiplo de 2 y el otro de 3.
Luego: N = n ⋅(n+1) ⋅(n+5) es divisible por 6.
75
Ejemplo 9. Comprobar que para todo número natural, n, el número
N = n ⋅(2 ⋅n+1) ⋅(7 ⋅n+1)
es divisible por 6.
Tenemos: N = n ⋅(2 ⋅n+1) ⋅(7 ⋅n+1) ≡ n ⋅(2n+1) ⋅(n+1) (mód. 6)puesto que: 7 ≡ 1 (mód. 6).
Por otra parte, N es divisible por 6 si, y sólo sí, lo es por 2 y por 3.
1.- N es divisible por 2, ya que n y n+1 son números consecutivos.
2.- N es divisible por 3 ya que:
a.- Si n = 3 ⋅k; es evidente.
b.- Si n = 3 ⋅k+1; entonces 2 ⋅n+1 = 6 ⋅k+3, que es múltiplo de 3.
c.- Si n = 3 ⋅k+2; entonces n+1 = 3 ⋅k+3, que es múltiplo de 3.
(En los tres casos, N es divisible por 3).
Luego: N = n ⋅(2 ⋅n+1) ⋅(7 ⋅n+1) es divisible por: 2 ⋅3 = 6.
Ejemplo 10. Determinar los números tales que, divididos por: 2, 3, 4, 5 y 6, dan como resto, respectivamente,
1, 2, 3, 4, 5.
Si x es uno de tales números, las condiciones del enunciado nos permiten escribir las siguientes congruencias, y sus
correspondientes implicaciones:
x ≡ 1 (mód. 2) Ô⇒ x+1 ≡ 0 (mód. 2)
x ≡ 2 (mód. 3) Ô⇒ x+1 ≡ 0 (mód. 3)
x ≡ 3 (mód. 4) Ô⇒ x+1 ≡ 0 (mód. 4)
x ≡ 4 (mód. 5) Ô⇒ x+1 ≡ 0 (mód. 5)
x ≡ 5 (mód. 6) Ô⇒ x+1 ≡ 0 (mód. 6)
Resulta, por tanto, que x+1 es múltiplo de: 2, 3, 4, 5 y 6, es decir, x+1 es múltiplo de
m.c.m. (2, 3, 4, 5, 6) = 60
En consecuencia, los números buscados serán de la forma:
x = 60 ⋅ t−1 (t ∈ Z)
Ejemplo 11. Comprobar que para todo número natural, n, el número
N = 32⋅n+3+40 ⋅n−27
es divisible por 64.
La comprobación para n = 0 y n = 1 es inmediata:
n = 0 ∶ N = 33−27 = 27−27 = 0
n = 1 ∶ N = 35+40−27 = 243+40−27 = 256 = 4 ⋅64
76
Sea entonces n ⩾ 2:
32⋅n+3+40 ⋅n−27≡ 33 ⋅32⋅n+40 ⋅n−27 (mód. 64)
≡ 27 ⋅9n+40 ⋅n−27 (mód. 64)
≡ 27 ⋅(8+1)n+40 ⋅n−27 (mód. 64)
≡ 27 ⋅[(n1) ⋅8n−1+(n
2) ⋅8n−2+ . . . . . . +8 ⋅n+1]+40−27 (mód. 64)
≡ 27 ⋅(8 ⋅n+1)+40 ⋅n−27 (mód. 64)
≡ 216 ⋅n+27+40 ⋅n−27 (mód. 64)
≡ 256 ⋅n (mód. 64)
≡ 0 (mód. 64)
En consecuencia, N es divisible por 64.
Ejemplo 12. Comprobar que para todo número natural, n, el número
N = 10n ⋅(9 ⋅n−1)+1
es divisible por 9.
Tenemos: 10n ⋅(9 ⋅n−1)+1≡ 1n ⋅(0−1)+1 (mód. 9)
≡ −1+1 (mód. 9)
≡ 0 (mód. 9)
En consecuencia, N es divisible por 9.
Ejemplo 13. Comprobar que para todo número natural, n, el número
N = 3 ⋅52⋅n+1+23⋅n+1
es divisible por 17.
Tenemos 3 ⋅52⋅n+1+23⋅n+1 ≡ 15 ⋅52⋅n+2 ⋅23⋅n (mód. 17)≡ 15 ⋅25n+2 ⋅8n (mód. 17)≡ 15 ⋅8n+2 ⋅8n (mód. 17)≡ (15+2) ⋅8n (mód. 17)≡ 0 (mód. 17)
En consecuencia, N es divisible por 17.
Ejemplo 14. Comprobar que para todo número natural, n, el número
N = 32⋅n+2+26⋅n+1
es divisible por 11.
Tenemos: 32⋅n+2+26⋅n+1 ≡ 9 ⋅32⋅n+2 ⋅26⋅n (mód. 11)≡ 9 ⋅9n+2 ⋅64n (mód. 11)≡ 9 ⋅9n+2 ⋅9n (mód. 11)≡ (9+2) ⋅9n (mód. 11)≡ 0 (mód. 11)
En consecuencia, N es divisible 11.
77
Ejemplo 15. Para todo número natural, n, estudiar la divisibilidad del número
N = 2n+1
por 3.
Distinguiremos dos casos:
1.- Si n es un número par, tenemos:
N≡ 2n+1 (mód. 3)≡ 22⋅k+1 (mód. 3)≡ 4k+1 (mód. 3)≡ (3+1)k+1 (mód. 3)≡ 1k+1 (mód. 3)≡ 2 (mód. 3)
luego, N no es divisible por 3.
2.- Si n es un número impar, tenemos:
N≡ 2n+1+1 (mód. 3)≡ 22⋅k+1+1 (mód. 3)≡ 2 ⋅22⋅k+1 (mód. 3)≡ 2+1 (mód. 3)≡ 3 (mód. 3)≡ 0 (mód. 3)
Luego, N es divisible por 3.
Ejemplo 16. Comprobar que se verifica: 63! ≡ 61! (mód. 71)Tenemos:
63!≡ 61! ⋅62 ⋅63 (mód. 71)≡ 61! ⋅(−9) ⋅(−8) (mód. 71)≡ 61! ⋅72 (mód. 71)≡ 61! ⋅1 (mód. 71)≡ 61! (mód. 71)
Ejemplo 17. Comprobar que para todo número natural, n, el número
N = n ⋅(n2+5)
es divisible por 6.
Tenemos:N = n ⋅(n2+5)≡ n ⋅(n2−1) (mód. 6)
≡ n ⋅(n+1) ⋅(n−1) (mód. 6)≡ (n−1) ⋅n ⋅(n+1) (mód. 6)≡ 0 (mód. 6)
(Al ser (n−1) ⋅n ⋅(n+1) tres números naturales consecutivos, uno será múltiplo de 2 y otro múltiplo de 3; en
definitiva el producto será múltiplo de 2 ⋅3 = 6).
78
Lección 7.- NÚMEROS INCONGRUENTES
7.1 Números incongruentes
7.1 Números incongruentes
Diremos que varios números forman un sistema de números incongruentes (mód. m), cuando sus
restos respecto de este módulo son todos distintos.
Evidentemente, estos restos son todos menores que m, luego no hay sistema de números incongruentes
que conste de más de m números.
Un sistema de m números incongruentes (mód. m) se llamará sistema completo.
Ejemplo 1. Un sistema completo de números incongruentes (mód. 7) sería el siguiente:
9, 15, 17, 20, 21, 25, 33 .
El sistema completo más sencillo de números incongruentes (mód. m) es el
0, 1, 2, 3, . . . . . . . . . , m−1 .
PROPOSICIÓN 1. Si los términos: a1, a2, . . . . . . . . . , de un sistema de números incongruentes
(mód. m), se multiplican por un número n, primo con m, y se les suma o resta después un número
cualquiera h, los números así obtenidos
a1 ⋅n±h , a2 ⋅n±h, . . . . . . . . .
son incongruentes. Además, si los primeros forman un sistema completo, también lo formarán los
segundos.En efecto: Basta ver que dos cualesquiera de ellos
ai ⋅n±h y aj ⋅n±h
son incongruentes, es decir, que su diferencia (ai−aj) ⋅n (si ai > aj) no es múltiplo de m. Si tal sucediese,
por ser m primo con n, debería dividir a: ai−aj, es decir sería: a1 ≡ aj(mód. m), contra lo supuesto.
Análogamente: Los números: h−a1 ⋅n , h−a2 ⋅n, . . . . . . . . . , h−am ⋅n, (cuando estas sustracciones son
posibles), forman un sistema completo de números incongruentes.
En particular, si p es un número primo
0, 1, 2, 3, .........,p−1
79
es un sistema completo de números incongruentes (mód. p); luego los productos
0 ⋅n, 1 ⋅n, 2 ⋅n, 3 ⋅n, ........, (p−1) ⋅n ,
tiene la misma propiedad, si n es primo con p, es decir, si no es n múltiplo de p. Prescindiendo del primer
término, los restos de los demás son distintos y menores que p; luego son los números
1, 2, 3, ........,p−1 (en general en orden distinto) .
Por consiguiente:
1 ⋅n ⋅2 ⋅n ⋅3 ⋅n.......... ⋅(p−1) ≡ 1 ⋅2 ⋅3 ⋅ .......... ⋅(p−1) (mód. p)
y como los números 1, 2, 3, .........,p−1 son primos con p, se puede dividir por ellos ambos miembros
de la congruencia, resultando que:
Si n es un número cualquiera, no divisible por el número primo p, entonces se verifica que:
np−1≡ 1 (mód. p) (Congruencia de Fermat)
Es decir: Si n y p son primos entre sí, y p es primo, entonces:
np−1≡ 1 (mód.p)
Ejemplo 2. Comprobar que para todo número natural, n, el número
N = n5−n
es divisible por 30.
Tenemos: N = n5−n = n ⋅(n4−1) = n ⋅(n2−1) ⋅(n2+1) = (n−1) ⋅n ⋅(n+1) ⋅(n2+1)Como 30 = 6 ⋅5, N será divisible por 30 si lo es por 6 y por 5.
1.- N es divisible por 6, ya que: (n−1), n, (n+1) son tres números consecutivos, luego al menos uno de ellos
es par, luego múltiplo de 2, y otro es múltiplo de 3.
2.- N es divisible por 5 ya que:
a.- Si n = 5 ⋅k, es evidente
b.- Si n ≠ 5 ⋅k, entonces n4−1 es divisible por 5, en virtud de la congruencia de Fermat.
De las consideraciones 1.- y 2.- resulta que
N = (n−1) ⋅n ⋅(n+1) ⋅(n2+1) = 5n−n
es divisible por: 6 ⋅5 = 30.
80
Ejemplo 3. Comprobar que para todo número natural, n, y para todo número primo, p, el número
N = np−nes divisible por p.
Tenemos: N = np−n = n ⋅(np−1−1)Puesto que n y p son primos entre sí, aplicando la congruencia de Fermat, resulta que
np−1−1 ≡ 0 (mód. p)
En consecuencia, N = np−n es divisible por p
Ejemplo 4. Comprobar que A = (274)9−(253)6 es divisible por 37.
Tenemos que:
A = 2736−536
Dado que
m.c.d. (27, 37) = 1 y m.c.d. (5, 37) = 1
se tienen las siguientes congruencias de Fermat:
2736 ≡ 1 (mód. 37)
536 = 1 (mód. 37)
de donde
2736−536 ≡ 0 (mód. 37)
En consecuencia, A es divisible por 37.
Ejemplo 5. Comprobar que si a y b son números primos, entonces el número
N = ab−1+ba−1−1
es divisible por a ⋅b.
Por ser a y b números primos, N será divisible por a ⋅b si lo es por a y b, separadamente.
Así tenemos:N = ab−1+ba−1−1≡ ba−1−1 (mód. a)
≡ 1−1 (mód. a), por la congruencia de Fermat
≡ 0 (mód. a)
luego, N es divisible por a.
Además,
N = ab−1+ba−1−1≡ ab−1−1 (mód. b)≡ 1−1 (mód. b), por la congruencia de Fermat
≡ 0 (mód. b)
luego, N es divisible por b.
En consecuencia, N es divisible por a ⋅b.
81
Ejemplo 6. Comprobar que el número
N = 2015−1
es divisible por: 11 ⋅31 ⋅61.
Dado que 11, 31 y 61 no tienen ningún factor común, comprobaremos que N es divisible por cada uno de estos
números.
1.- N es divisible por 11, ya que:
2015−1≡ 915−1 (mód. 11)≡ 330−1 (mód. 11)≡ (35)6−1 (mód. 11)≡ (243)6−1 (mód. 11)≡ 16−1 (mód. 11)≡ 0 (mód. 11)
2.- N es divisible por 31, ya que:
2015−1≡ (−11)15−1 (mód. 31)
≡ ((−11)3)5−1 (mód. 31)
≡ (−1331)5−1 (mód. 31)≡ (−29)5−1 (mód. 31)≡ 25−1 (mód. 31)≡ 32−1 (mód. 31)≡ 0 (mód. 31)
3.- N es divisible por 61, ya que:
2015−1≡ (20+61)15−1 (mód. 61)≡ 8115−1 (mód. 61)≡ (34)15−1 (mód. 61)≡ 360−1 (mód. 61)≡ 1−1 (mód. 61) (Congruencia de Fermat)
≡ 0 (mód. 61)
Ejemplo 7. Comprobar que para todo número primo, p, el número
N = 5p−2 ⋅3p+1
es divisible por p.
Distinguiremos tres casos:
1.- p = 3 . Entonces N ≡ 125+1 ≡ 126 ≡ 0 (mód. 3)
luego N es divisible por el número primo 3.
2.- p = 5 . Entonces N ≡ −2 ⋅35+1 ≡ −485 ≡ 0 (mód. 5)
luego N es divisible por el número primo 5.
82
3.- p ≠ 3 y 5 . Entonces, por la congruencia de Fermat resulta:
5p−1 ≡ 1 (mód. p) Ô⇒ 5p ≡ 5 (mód. p)3p−1 ≡ 1 (mód. p) Ô⇒ 3p ≡ 3 (mód. p)
luego
N≡ 5p−2 ⋅3p+1 (mód. p)≡ 5−2 ⋅3+1 (mód. p)≡ 0 (mód. p)
de donde resulta que N es divisible por p.
Dado un número m es interesante para muchas cuestiones determinar cuantos números hay en la sucesión
1, 2, 3, ........., m
que son primos con m. Así, llamaremos indicador de m al número de ellos, y lo designaremos con el
símbolo ϕϕϕ(m).
Concretando: Indicador de un número m es el número de números primos con m, y no superiores a
él. (Convendremos en considerar el número 1 como primo consigo mismo, de modo que: ϕϕϕ(1) = 1).
Por otra parte, podemos generalizar el concepto de indicador, considerando en lugar de la sucesión
1, 2, 3, ........., m
la progresión aritmética
h, h+n, h+2 ⋅n, ........., h+(m−1) ⋅n ;
siendo n un número primo con m, y h un número cualquiera.
Para saber si uno de los términos, de esta progresión, es primo con m, basta sustituirlo por el resto que
da al dividirlo por m. Ahora bien, en virtud de la proposición 1, los restos (mód. m) de los números de
la progresión dada, son precisamente los números
0, 1, 2, 3, ........., m−1 ;
luego en la progresión hay tantos números primos con m, como haya en la
0, 1, 2, 3, ........., m−1, m ,
es decir, ϕϕϕ(m). Nos permite esto decir que: En una progresión aritmética de m términos, cuya razón
es prima con m, el número de términos que son primos con m es ϕϕϕ(m).
83
Veamos, ahora, algunas propiedades del indicador de un número:
1.- El indicador de un número primo p, es p−1
2.- Si el número dado es una potencia pααα del número primo p, en la sucesión: 1, 2, 3, ........., pααα , los
únicos números no primos con pααα son los múltiplos de p, es decir: p, 2 ⋅p, 3 ⋅p, .........., (pααα−1 ⋅p);
luego, descontando estos pααα−1 números, quedan:
pααα−pααα−1
= pααα−1⋅(p−1) .
Por consiguiente
ϕϕϕ(pααα) = pααα−1
⋅(p−1) .
3.- El indicador del producto de varios números primos entre sí dos a dos, es el producto de los
indicadores de éstos. Veámoslo:
Sean m y n dos números primos entre sí. La sucesión de los números
1, 2, 3, .........,m ⋅n
puede descomponerse como sigue:
1 2 3 ...... h ...... n
n+1 n+2 n+3 ...... n+h ...... 2 ⋅n
2 ⋅n+1 2 ⋅n+2 2 ⋅n+3 ...... 2 ⋅n+h ...... 3 ⋅n
.................................................................................................................
.................................................................................................................
(m−1) ⋅n+1 (m−1) ⋅n+2 (m−1) ⋅n+3......(m−1) ⋅n+h...... m ⋅n
Observemos que, si h es primo con n, todos los números de su columna son también primos con
n; y si h no es primo con n, tampoco lo son los demás números de la misma columna.
En la primera fila, el número de números primos con n es ϕϕϕ(n); los números de las columnas por
ellos encabezados son, pues, los únicos primos con n que hay en todo el cuadro. Por otra parte,
en cada columna hay ϕϕϕ(m) que son primos con m; luego en total, hay en el cuadro: ϕϕϕ(n) ⋅ϕϕϕ(m),
números que son primos con m y con n, es decir, primos con m ⋅n. Por tanto
ϕϕϕ(m ⋅n) =ϕϕϕ(m) ⋅ϕϕϕ(n) .
Aplicada esta propiedad reiteradamente, quedará establecida para varios números primos entre sí
dos a dos.
4.- Dado un número cualquiera
M = aααα⋅bβββ
⋅cγγγ .........`λλλ ,
84
como los números: aααα , bβββ , cγγγ .........`λλλ son primos entre sí dos a dos, en virtud de las propiedades
anteriores 2.- y 3.- , tenemos:
ϕϕϕ(M)=ϕϕϕ(aααα) ⋅ϕϕϕ(bβββ ) ⋅ϕϕϕ(cγγγ).........ϕϕϕ(`λλλ ) =
= aααα−1 ⋅bβββ−1 ⋅cγγγ−1.........`λλλ−1 ⋅(a−1) ⋅(b−1) ⋅(c−1).........(`−1) .
Ejemplo 8. Consideremos el número: 60 = 22 ⋅3 ⋅5. Tenemos
ϕϕϕ(60) =ϕϕϕ(22 ⋅31 ⋅51) = 21 ⋅(2−1) ⋅30 ⋅(3−1) ⋅50(5−1) = 2 ⋅1 ⋅2 ⋅4 = 16
Vamos, ahora, a generalizar la congruencia de Fermat suponiendo, en vez del módulo primo p, un nú-
mero cualquiera m, y tomando con base n un número cualquiera, primo con m.
Consideremos en la sucesión: 1, 2, 3, ........., m, de números incongruentes (mód. m), solamente aque-
llos que sean primos con m, es decir:
a1, a2, ........., aϕϕϕ(m) ,
su número total, según sabemos es el indicador de m, es decir ϕϕϕ(m).
En virtud de la proposición 1, del apartado anterior, los números
a1 ⋅n, a2 ⋅n, ........., aϕϕϕ(m) ⋅n ,
son incongruentes (mód. m); es decir, los restos que dan al dividirlos por m son todos distintos, y además
los términos de la sucesión anterior son primos con m; luego también dichos restos son primos con m.
Dado que los únicos números primos con m y menores que m son los
a1, a2, ........., aϕϕϕ(m) ,
tendremos que los restos de los números
a1 ⋅n, a2 ⋅n, .........., aϕϕϕ(m) ⋅n
respecto del módulo m, son precisamente los anteriores, en general en otro orden.
Por tanto, el producto: a1 ⋅a2 ⋅ ......aϕϕϕ(m), es congruente con el producto a1 ⋅n ⋅a2 ⋅n ⋅ ......aϕϕϕ(m) ⋅n, es
decir:
a1 ⋅n ⋅a2 ⋅n ⋅ .........aϕϕϕ(m) ⋅n ≡ a1 ⋅a2 ⋅ ........aϕϕϕ(m) (mód. m)
y como: a1, a2, ........., aϕϕϕ(m) son primos con m, podemos dividir por ellos, resultando: nϕϕϕ(m) . Pode-
mos, por tanto, enunciar que:
Si m y n son dos números cualesquiera, primos entre sí, se verifica:
nϕϕϕ(m)≡ 1 (mód. m) (Congruencia de Euler)
85
¡¡Atención!! Observemos que, si m es primo, entonces ϕϕϕ(m) =m−1, resultando la congruencia de
Fermat un caso particular de la congruencia de Euler.
Ejemplo 9. Consideremos el número m = 8 (no primo), y el número n = 3 (primo con m = 8).
Consideremos, así mismo, en la sucesión
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
de números incongruentes (mód. 8), solamente aquellos que son primos con 8, es decir, los siguientes:
1, 3, 5, 7.
Observemos que: ϕϕϕ(8) =ϕϕϕ(23) = 22 ⋅(2−1) = 4 ⋅1 = 4 (indicador de 8)
La congruencia de Euler nos dice:
nϕϕϕ(m) ≡ 1 (mód. m) Ô⇒ 34 ≡ 1 (mód. 8)
Efectivamente:
81 ≡ 1 (mód. 8)
Diremos que dos números a y b son asociados (mód. m) cuando su producto da resto uno al dividirlo
por m, es decir si
a ⋅b ≡ 1 (mód. m)
Según sabemos: c ≡ d (mód. m) Ô⇒ m.c.d. (c, m) =m.c.d. (d, m), luego como en la congruen-
cia anterior, el segundo miembro de la misma es primo con m, también deben serlo los números a y b
con m.
¡¡Atención!! Observemos que los números no primos con el módulo carecen de asociado.
Ejemplo 10. Los números 3 y 12 son asociados (mód. 7) puesto que
3 ⋅12 ≡ 1 (mód. 7)
Sin embargo, el número 14, no primo con el 7 carece de asociados pues
14 ⋅a /≡ 1 (mód. 7)
cualquiera que sea a.
PROPOSICIÓN 2. Todo número, a, primo con el módulo admite un sólo asociado menor que el
módulo.
En efecto: Dado el módulo m consideremos el sistema completo de números incongruentes (mód. m):
0, 1, 2, 3, ........., m−1
86
Como, por hipótesis, a es primo con m, los números
0, a, 2 ⋅a, 3 ⋅a, ........., (m−1) ⋅a
también forman un sistema completo de números incongruentes (mód. m); luego en este último sistema
sólo hay un término: a′ ⋅a, que da resto 1, al dividirlo por m, es decir:
a′ ⋅a ≡ 1 (mód. m)
Si a es primo con m, acabamos de ver que sólo existe un asociado a′ de a menor que m. Sin embargo hay
infinitos asociados mayores que el módulo, ya que si b es congruente con a′, respecto del módulo m, se
tiene
b ≡ a′ (mód. m)
y multiplicando los dos miembros de esta congruencia por a resulta
b ⋅a ≡ a′ ⋅a ≡ 1 (mód. m) .
En consecuencia, cualquier número b congruente con a′ (mód. m) es asociado con a.
PROPOSICIÓN 3. Los únicos números menores que p asociados de sí mismos, respecto del módulo
primo p son: 1 y p−1.
En efecto: Si a es asociado de sí mismo se tiene que verificar:
a2 ≡ 1 (mód. m)
es decir
a2−1 = (a+1) ⋅(a−1) = p
que se cumple únicamente para: a = 1 ó a = p−1.
Si multiplicamos, ahora, cada uno de los números
2, 3, ........., p−3, p−2
por su asociado menor que p, cada uno de los productos obtenidos es congruente con 1 (mód. p).
Multiplicando todas estas congruencias, y puesto que en el primer miembro figura uno de los números
2, 3, ........., p−3, p−2
sólo una vez, obtenemos
2 ⋅3 ⋅ ......... ⋅(p−3) ⋅(p−2) ≡ 1 (mód. p)
bastando, entonces, con sumar 1 a los dos miembros para obtener:
(p−1)!+1 ≡ 0 (mód. p) (Congruencia de Wilson)
87
Recíprocamente, si un número p satisface a esa congruencia, entonces es primo, puesto que todo divisor
suyo, por figurar como factor en (p−1)!, y dividir a la suma, debería dividir al sumando 1.
Concretando: Una condición necesaria y suficiente para que un número p sea primo es que satisfaga
a la condición
(p−1)!+1 = p
Ejemplo 11. Comprobar que si x y p son números naturales, siendo p primo, se verifica:
(x+1) ⋅(x+2) ⋅(x+3).........(x+p−1) ≡ xp−1−1 (mód. p)
Bastará probar que:
(x+1) ⋅(x+2) ⋅(x+3).........(x+p−1)−xp−1+1 = p
Supongamos que x no sea múltiplo de p, y agrupemos el primer miembro en la forma:
[(x+1) ⋅(x+2) ⋅(x+3).........(x+p−1)]−(xp−1−1)
Necesariamente uno de los factores del primer término es múltiplo de p. En cuanto el segundo término es múltiplo
de p, por la congruencia de Fermat.
Supongamos, ahora, que x = p, y agrupemos el primer miembro en la forma:
[(x+1) ⋅(x+2).........(x+p−1)+1]−xn−1 .
El primer término es múltiplo de p, por la congruencia de Wilson, y el segundo término por serlo x.
Ejemplo 12. Comprobar que se verifica que:
138!+197138 = ˙139
El número 139 es primo; luego según la congruencia de Wilson
138!+1 = ˙139
y según la congruencia de Fermat
197139−1−1 = ˙139
Sumando estas dos igualdades tendremos
138!+197138 = ˙139
88
Ejemplo 13. Comprobar que el número
N = 138!+197138
es divisible por 139.
Tenemos138!+1 ≡ 0 (mód. 139) , (congruencia de Wilson)
197138−1 ≡ 0 (mód. 139) , (congruencia de Fermat)
de donde resulta
138!+197138 ≡ 0 (mód. 139)
En consecuencia, N es divisible por 139.
Ejemplo 14. Comprobar que para todo número natural, n, el número
N = n7−n
es divisible por 42.
Dado que: 42 = 2 ⋅3 ⋅7, y que:
N = n7−n= n ⋅(n6−1) = n ⋅(n3−1) ⋅(n3+1) == n ⋅(n−1) ⋅(n2+n+1) ⋅(n+1) ⋅(n2−n+1)
tenemos que:
1.- N es divisible por 2, ya que: n ó n−1 es par.
2.- N es divisible por 3, ya que: n−1, n, n+1 contiene un múltiplo de 3.
3.- N es divisible por 7, ya que: n6−1, es múltiplo de 7, por la congruencia de Fermat.
En consecuencia, N es divisible por: 2 ⋅3 ⋅7 = 42.
Dados dos números naturales m y n, diremos que son números amigos si la suma de los divisores
propios de m es igual a n, y la suma de los divisores propios de n es igual a m.
Ejemplo 15. Si m = 220 y n = 284, tendremos que:
Los divisores de m = 220 son:
1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110
cuya suma es:
1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284 = n
Además, los divisores de n = 284 son:
1, 2, 4, 71, 142
cuya suma es:
1+2+4+71+142 = 220 = m
En consecuencia podemos afirmar que 220 y 284 son números amigos.
89
Ejemplo 16. Como en el ejemplo anterior se comprueba que los números: 1184 y 1210 son números amigos.
El procedimiento siguiente nos proporciona parejas de números amigos:
Si n > 1 es un entero tal que:
p = 3 ⋅2n−1−1 , q = 3 ⋅2n−1 , r = 9 ⋅22⋅n−1−1
son números primos, entonces
2n ⋅p ⋅q y 2n ⋅r
son números amigos.
Ejemplo 17. Si n = 2, se verifica:
p = 3 ⋅22−1−1 = 5 , q = 3 ⋅22−1 = 11 , r = 9 ⋅22⋅2−1−1 = 71
que son primos, luego:
22 ⋅5 ⋅11 = 220 y 22 ⋅71 = 284
son números amigos.
El procedimiento anterior no proporciona todas las parejas de números amigos, pues, por ejemplo, la
pareja de números amigos
1184 y 1210
no se obtienen de esta manera.
Llamaremos número perfecto a todo número entero positivo m tal que la pareja (m, m) es de números
amigos, es decir, m es la suma de sus divisores primos.
Ejemplo 18. El número m = 28 es un número perfecto, puesto que sus divisores son:
1, 2, 4, 7, 14
y se verifica que
1+2+4+7+14 = 28
El procedimiento siguiente nos proporciona número prefectos
Si 2n−1 es primo, entonces: 2n−1
⋅(2n−1) es perfecto.
No está demostrado que todos los números perfectos se obtienen de esta manera, pero si se ha comproba-
do que los únicos números perfectos conocidos son todos de esta forma. En particular, no se sabe todavía
si existen números perfectos impares.
90
Lección 8.- RESTOS POTENCIALES
8.1 Restos potenciales
8.1 Restos potenciales
Los restos potenciales de un número n, respecto de un módulo m, son los restos (mód. m) de las
sucesivas potenciales de n; es decir, los restos de
n0= 1, n1, n2, n3, ........., nh, nh+1, .........
Del número n suele decirse, en muchas ocasiones, que constituye la base.
El cálculo de los restos potenciales se facilita aplicando las propiedades, ya estudiadas, de las congruen-
cias.
Ejemplo 1. Si r1 y rh son los restos de las potencias n y nh, tenemos las siguientes congruencias:
n ≡ r1 , nh ≡ rh (mód. m)
cuyo producto danh+1 ≡ r1 ⋅rh (mód. m)
Luego, hallando el resto (mód. m) de r1 ⋅rh tendremos el de la potencia nh+1.
Así, si m = 7 , n = 30 tendremos:30 ≡ 2 (mód. 7) ......... r1 = 2
302 ≡ 4 (mód. 7) ......... r2 = 4
y como: r1 ⋅r2 = 8 ≡ 1 (mód. 7)
será: 303 ≡ 1 (mód. 7)
Ejemplo 2. Procediendo como en el ejemplo anterior, obtenemos los restos potenciales de 12 (mód. 7):
120 ≡ 1 , 121 ≡ 5 , 122 ≡ 4 , 123 ≡ 6 , 124 ≡ 2 , 125 ≡ 3 , 126 ≡ 1
PROPOSICIÓN 1. Si una potencia nh+k da el mismo resto (mód. m) que otra potencia nh, la su-
cesión de restos es periódica, pues los restos de potencias siguientes a la nh+k son repetición de los
restos de las potencias que siguen a nh.
En efecto: Por hipótesis se verifica que
nh+k ≡ nh (mód. m)
Multiplicando sucesivamente los dos miembros de esta congruencia por: n, n2, n3, ........., tendremos las
siguientes
nh+k+1 ≡ nh+1 , nh+k+2 ≡ nh+2 , nh+k+3 ≡ nh+3 ,...... (mód. m) .
como queríamos establecer.
91
En el estudio de los restos potenciales cabe distinguir tres casos, que son los siguientes:
1º.- Todos los factores primos del módulo están contenidos en la base. . .
Así, si la base es n = aααα ⋅bβββ ⋅ ......... ⋅ `λλλ , y el módulo es m = aααα′⋅bβββ
′⋅ ......... ⋅ `λλλ
′, pudiendo ser
nulos algunos de los exponentes ααα′, βββ
′, ......, λλλ′, tendremos que puede ocurrir:
a.- Si se verifican las relaciones:
ααα ⩾ααα′ , βββ ⩾βββ
′ , ........ , λλλ ⩾λλλ′ .
entonces, la base n y sus potencias n2, n3, ...... son múltiplos de n, y en consecuencia
n0≡ 1 , n1
≡ 0 , n2≡ 0 , n3
≡ 0 , ......... (mód. m)
b.- Si no se cumplen las relaciones
ααα ⩾ααα′ , βββ ⩾βββ
′ , ........ , λλλ ⩾λλλ′ ,
entonces, al elevar n al exponente h, tendremos
nh= aααα ⋅h
⋅bβββ ⋅h⋅ ......... ⋅ `λλλ ⋅h ,
y para un valor de h suficientemente grande se verifican las relaciones siguientes:
ααα ⋅h ⩾ααα′ , βββ ⋅h ⩾βββ
′ , ........ , λλλ ⋅h ⩾λλλ′ .
El menor valor de h que verifique las relaciones anteriores determinará la menor potencia de n que
es múltiplo de m, y tendremos
nh≡ 0 , nh+1
≡ 0 , nh+2≡ 0 , ......... , (mód. m) .
Ahora bien, este menor valor de h, es el mayor de los cocientes exactos o enteros por exceso de las
divisiones de: ααα′, βββ
′, ......, λλλ′, respectivamente, por ααα, βββ , ......, λλλ . En consecuencia, podemos
afirmar que: Si h es el mayor de los cocientes exactos o enteros por exceso de los exponentes
de los factores primos del módulo por los correspondientes en la base, los restos de las po-
tencias: n0, n1, n2, ........., nh−1, son distintos de cero, y todos los demás son nulos. Por tanto,
la sucesión constará de h restos no nulos.
Ejemplo 3. Determinar el número de restos no nulos, sucesión de los restos potenciales de:
n = 27 ⋅32 ⋅52 ⋅73 ((mód. m) = 213 ⋅511 ⋅76)
Los cocientes exactos o enteros por exceso de los exponentes correspondientes son:
[13 ∶ 7]+1 = 2 , [11 ∶ 2]+1 = 6 , 6 ∶ 3 = 2 ,
92
luego:
h = 6 .
Por tanto, las potencias
n0, n1, n2, n3, n4, n5
dan restos distintos de cero.
2º.- Ninguno de los factores primos del módulo están contenidos en la base.
a.- Dado que, en este caso, el módulo m y la base n, son primos entre sí, lo mismo ocurrirá con
el módulo y las potencias nh de la base. En consecuencia, ninguna de las divisiones nh ∶m
será exacta, y no existirán restos nulos.
b.- Como los restos son inferiores al divisor m, a lo sumo habrá m−1 restos potenciales distintos,
es decir , que cuando hayamos calculado los restos de las m primeras potencias: n0,
n1, n2, ........., nm−1, alguno de los restos ha debido repetirse, luego, en este caso, la sucesión
de los restos potenciales es periódica.
Ejemplo 4. Si es n = 22 ⋅5 y m = 3 , tendremos:
n0 = 1 , n1 = 20 , n2 = 400 , n3 = 8000 , n4 = 160000 , ......
de restos sucesivos
1 , 2²
, 1 , 2²
, 1 , ...²
, ......
c.- El primer resto que se repite es el 1. Si la potencia nh+k da el mismo resto que nh, será
nn+k≡ nh (mód. m) ,
luego
nh⋅(nk
−1) = m .
Ahora bien, dado que m es primo con nh, tenemos que
nk−1−1 ≡ m ,
y por tanto
nk≡ 1 (mód. m) ,
es decir, que antes que nh+k existe una potencia nk, que da el mismo resto que n0 ≡ 1. Luego,
los restos de
nk, nk+1, nk+2, .........
coincide con los de
n0, n1, n2, .........
y la sucesión de restos potenciales es periódica pura.
93
d.- Si n es primo con m, llamaremos gausiano de n respecto del módulo m, al menor exponente
g tal que la potencia ng dé resto 1 al dividirlo por m.
El gausiano es, por tanto, el menor valor de g que satisfaga
ng≡ 1 (mód. m) ,
y como 1 es el primer resto que se repite, los restos de las potencias
n0, n1, n2, ......, ng−1
son distintos entre sí; según lo establecido en c.- , los restos de las potencias
ng, ng+1, ng+2, ......, n2⋅g−1 ,
coinciden con los de las anteriores, y lo mismo los de las potencias
n2⋅g, n2⋅g+1, n2⋅g+2, ........., n2⋅g−1 ,
y así sucesivamente.
Podemos afirmar, entonces, que: La sucesión de restos potenciales es periódica pura, siendo
el número de términos del periodo el gausiano de la base respecto del módulo. Las únicas
potencias que dan resto 1 son las de exponente múltiplo del gausiano.
Ejemplo 5. Comprobar que si n es primo con m, el gausiano de n (mód. m), es divisor del indicador de m.
La congruencia de Euler es: nϕϕϕ(m) ≡ 1 mód. m), y como de acuerdo con lo que acabamos de ver, las únicas potencias
de n que dan resto 1 (mód. m) son las de exponente múltiplo del gausiano, se tiene: ϕϕϕ(m) = g.
Ejemplo 6. Consideremos los restos potenciales de 12 (mód. 35):
1, 12, 4, 13, 16, 17, 29, 33, 11, 27, 9, 3; 1, 12, 4 .........
El periodo consta de doce términos, es decir: g = 12
Ejemplo 7. Calcular el resto de la división de 317890123 por 17.
Dado que 31 = 1 ⋅17+14, tendremos que
317890123 ≡ 147890123 (mód. 17) .
Los restos potenciales de 14 (mód. 17) son los siguientes:
140 ≡ 1 , 141 ≡ 14 , 142 ≡ 9 , 143 ≡ 7 , 144 ≡ 13 , 145 ≡ 12 , 146 ≡ 15 ,
147 ≡ 6 , 148 ≡ 16 , 149 ≡ 3 , 1410 ≡ 8 , 1411 ≡ 10 , 1412 ≡ 4 , 1413 ≡ 5 ,
1414 ≡ 2 , 1415 ≡ 11 , 1416 ≡ 1 ; ...............
94
Por tanto el gausiano es 16.
Como: 7890123 = 16 ⋅493132+11 = 16+11, tenemos
317890123 ≡ 147890123 (mód. 17)
≡ 1416+11 (mód. 17)
≡ 1411 (mód. 17)
≡ 10 (mód. 17)
Luego el resto de la división enunciada es: 10.
Ejemplo 8. Calcular el resto (mód. 11) de 29735342.
2973 ≡ 3 (mód. 11) Ô⇒ 29735342 ≡ 35342 (mód. 11)
Calculemos, ahora, los restos potenciales de 3 (mód. 11):
30 ≡ 1 , 31 ≡ 3 , 32 ≡ 9 , 33 ≡ 5 , 34 ≡ 4 , 35 ≡ 1 , ......
Por tanto, el gausiano es 5.
Como 5342 = 5+2 , tenemos
29735342 ≡ 35342 ≡ 35+2 ≡ 32 ≡ 9 (mód. 11)
Luego, el resto pedido es 9.
3º.- Parte de los factores primos del módulo están contenidos en la base. En este caso tendremos
que la sucesión de los restos potenciales es periódica mixta.
a.- Como parte de los factores primos del módulo están contenidos en la base, si es m′ el pro-
ducto de estos, y m′′ el producto de los restantes factores, se tiene: m =m′ ⋅m′′.
b.- Como la base n no tiene los factores primos de m′′, ninguna potencia de n es múltiplo de m,
luego tampoco en este caso hay restos nulos.
Razonando como 2º.- b.-, se prueba que también aquí la sucesión de restos es periódica.
Sin embargo, vamos a ver que hay una diferencia esencial entre ambos casos, pues allí la
sucesión de restos era periódica pura, mientras que aquí la sucesión de restos es periódica
mixta.
c.- Si la potencia nh+k da el mismo resto que nh, será:
nn+k≡ nh (mód. m) Ô⇒ nh
⋅(nk−1) = m Ô⇒ nk
⋅(nk−1) =m′
⋅m′′⋅q
Como m′ divide al primer miembro y es primo con nk−1, debe dividir a nh. Análogamente,
m′′ siendo primo con nh debe dividir a nk−1; luego, si nh+k ≡ nh (mód. m), se verifican:
nh= m′ y nk
−1 = m′′ .
95
El exponente de la primera potencia nh, cuyo resto se repite, resulta del menor valor de h que
satisface a: nh = m′, y el número de cifras del periodo, del menor valor de k que satisface a:
nk−1 = m′′.
Ahora bien, razonando como en el caso 1º.- , el menor valor h′ de h que satisface a: nh = m′,
es el mayor de los cocientes exactos o enteros por exceso de los exponentes de los factores
primos con m′ por sus correspondientes en la base n.
Así mismo, razonando como en el caso 2º.- el menor valor g de k que satisface a: nk−1 = m′′,
es el gausiano de n respecto de m′′. Según esto, designando por: r0, r1, r2, ...... los restos
(mód. m), de las potencias n0, n1, n2, ......, la sucesión de restos será de la forma
r0 = 1, r1, r2, .........,rh′−1, rh′ , rh′+1, ........., rh′+g−1´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
(periodo)
Resumiendo: Si el módulo m es el producto m′ ⋅m′′, donde m′ es el producto de los factores del
módulo contenidos en la base n, y m′′ es primo con n, la sucesión de restos potenciales es periódica
mixta. La parte no periódica consta de tantos restos como indica el mayor de los cocientes exactos
o enteros por exceso, de los exponentes de los factores primos de m′ por los correspondientes de la
base n. El número de restos del periodo es el gausiano de n respecto del módulo m′′.
Ejemplo 9. Comprobar que todos los restos del periodo son múltiplos de m′.
Sabemos que
a ≡ b (mód. m) Ô⇒ m.c.d. (a, m) = m.c.d. (b, m) .
Para cualquier resto del periodo se verifica
nh′+k ≡ rh+k (mód. m)
pero m′ es divisor de m, y también en virtud de
nh = m′ ,
es divisor de nh′ , luego es divisor de su m.c.d. y por tanto de : rh+k′
Ejemplo 10. Calcular el resto (mód. 224) de 251008715
Se verifica que
25100 ≡ 12 (mód. 224) Ô⇒ 251008715 ≡ 128715 (mód. 224)
Los restos potenciales de 12, (mód. 224) ;
r0 = 1 , r1 = 12 , r2 = 144 , r3 = 160 , r4 = 128 , r5 = 192 , r6 = 64 , r7 = 96 , r8 = 32 , r9 = 160
forman una sucesión periódica mixta, con periodo de seis términos.
Como 8715 = 6+3, tenemos
128715 ≡ 123+6 ≡ 160 (mód. 224)
96
El resto pedido es 160, pues coincide con el 129.
Al hallar este resto hemos visto que la sucesión de restos potenciales (mód. 224), de 12, y lo mismo de 25100 es la
sucesión periódica mixta.
1, 12, 144, 160, 128, 192, 64, 96, 32
Sin necesidad de hallar estos restos puede determinarse el número de cifras de la parte no periódica y del periodo.
En efecto: n = 12 = 22 ⋅3 , m = 224 = 25 ⋅7 , m′ = 25 , m′′ = 7.
h′ = [5 ∶ 2]+1 = 3 , g = 6 (gausiano de 12, mód. 7)
h′ da el número de cifras de la parte no periódica, y g el de cifras del periodo.
Vamos a aplicar las propiedades de las congruencias para comprobar las operaciones aritméticas:
1.- Adición y sustracción
Consideremos la suma: S = a1+a2+ .........+an.
Si r1, r2, ........., rn son los restos, mód. m, de cada uno de los sumandos, se tiene
a1 ≡ r1 , a2 ≡ r2 ,......... , an ≡ rn (mód. m)
luego: el resto de la suma coincide con el resto de la suma de los restos de los sumandos.
Para la diferencia resulta una regla análoga, con la salvedad de que si no puede restarse r2 de r1,
por ser r1 < r2, se calcula la diferencia (m+r1)−r2.
Ejemplo 11. Consideremos la suma:
S = 1+5+7+4+8 = 25
Ahora tomemos m = 4, con lo que los restos (mód. 4) de los sumandos serán:
1, 1, 3, 0, 0
cuya suma será: 5, cuyo resto (mód. 4) es: 1
Por otra parte, el resto de 25 (mód. 4) es: 1
lo que nos muestra que la suma efectuada es correcta.
2.- Multiplicación
Sea el producto : P = a1 ⋅a2.
Si r1, r2 son los restos, (mód. m), de los factores, se tiene:
a1 ≡ r1 , a2 ≡ r2 (mód. m)
y multiplicando miembro a miembro estas congruencias, resulta:
P ≡ r1 ⋅r2 (mód. m)
luego: El resto del producto coincide con el resto del producto de los restos de los factores.
97
Ejemplo 12. Consideremos el producto:
P = 7 ⋅5 ⋅8 ⋅4 = 1120
Ahora tomemos m = 3, con lo que los restos de los factores (mód. 3) serán:
1, 2, 2, 1
cuyo producto será, 4, cuyo resto (mód. 3) es: 1
Por otra parte, el resto de 1120 (mód. 3) es: 1
lo que nos muestra que el producto es correcto.
3.- División entera.
Consideremos la división entera, cuyo dividendo, divisor, cociente y resto, representamos, respec-
tivamente por: D, d, q, R. Tenemos, entonces:
D = d ⋅q+R .
Si r1, r2, r3, r4 son sus restos respectivos, (mód. m), se verifican las congruencias:
D ≡ r1 , d ≡ r2 , q ≡ r3 , R ≡ r4 (mód. m)
y teniendo presente la expresión anterior resultará
r1 ≡ r2 ⋅r3+r4 (mód. m)
luego: el resto del dividendo D coincide con el resto de la suma del resto de R con el producto
de los restos del divisor d y del cociente q.
Ejemplo 13. Consideremos la división siguiente
453 = 22 ⋅20+13
Ahora tomemos m = 7, con lo que los restos, respectivos, del dividendo, 453, el divisor, 22, cociente, 20, y el resto,
13; son:
5, 1, 6, 6 .
Observemos que el resto de dividendo vale: 5
y que la suma del resto, con el producto de divisor y cociente es:
6+1 ⋅6 = 12 ≡ 5
lo que nos muestra que la división es correcta
¡¡Atención!! En ocasiones puede ocurrir que aún cumpliéndose lo establecido en 1.- , 2.- y 3.- ,
las operaciones pueden estar equivocadas. Ocurre esto cuando la confusión no modifica el resto del
resultado.
98
Prueba de los nueves.
Dado que los restos potenciales de 10 (mód. 9) son todos iguales a 1, dado un número: N = h......cba,
expresado en el sistema de base 10, se tiene
N = a+10 ⋅b+102⋅c+ .........+10k
⋅h ≡ a+b+c+ .........+h (mód. 9) .
Significa esto que, para hallar el resto (mód. 9) de un número, basta determinar el resto de la suma de
los valores absolutos de sus cifras.
Ejemplo 14. Consideremos el caso de la división:
D d
r cD = d ⋅c+r
es decir, debe ser D ≡ (d ⋅c+r) (mód. 9)
La disposición práctica es la siguiente:
d′
(d ⋅c′+r′)′ D′
c′
en donde: d′, c′, d′ ⋅c′+r′, D′ son los restos (mód. 9) de d, c, d ⋅c+r, D.
El resultado será correcto si: (d′ ⋅c′+r′)′ = D′.
Por ejemplo, si consideramos la división:
D = 37210 ≡ 4 (mód. 9)
d = 435 ≡ 3 (mód. 9)
37210 435
2410 85 c = 85 ≡ 4 (mód. 9)
235
r = 235 ≡ 1 (mód. 9)
tendremos: [4 = (3 ⋅4+1)′ = (13)′ = 4]
En general, se dispone este control en la forma
d′ = 3
(3 ⋅4+1)′ Ô⇒ 4 D′ = 4
c′ = 4
⇐⇒
3
4 4
4
99
Ejemplo 15. En el caso de la multiplicación tendremos
M
× m
R
R = M ⋅m
es decir, debe ser: R ≡ (M ⋅m) (mód. 9)La disposición practica es la siguiente:
M′
M′ ⋅m′ R′
m′
en donde : M′ , m′ , M′+m′ , R′ son los restos (mód. 9) de M, m, M ⋅m, R.
El resultado será correcto si: M′ ⋅m′ = R′
Por ejemplo, si consideramos la multiplicación:
3572
× 38
M′ ≡ 8
m′ ≡ 2
⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭
(M ⋅m)′ ≡ 7
28576
10716
135736
R′ ≡ 7
tendremos : [7 = (8 ⋅2)′ = (16)′ = 7]
En general, se dispone este control en la forma:
M′ = 8
(8 ⋅2)′ = 7 R′ = 7
m′ = 2
⇐⇒
8
7 7
2
Ejemplo 16. En el caso de la raíz cuadrada tendremos
√R r
b aR = r2+b
es decir, debe ser: R ≡ (r2+b) (mód. 9)La disposición práctica es la siguiente:
r′
(r2+b)′ R
r′
100
en donde: r′ , (r2+b)′ , R′ son los restos (mód. 9) de r , r2+b , R.
El resultado será correcto si: (r2+b)′ = R′.
Por ejemplo, si consideramos la radicación:
1768 42
168 82×2 = 164
4
√r′ = 6 , (r2)′ = 0
R′ = 4
b′ = 4
tendremos: [4 = (6 ⋅6)′+4 = 0+4 = 4]
En general, se dispone este control en la forma:
r′ = 6
(6 ⋅6+4)′ = 4 R′ = 4
r′ = 6
⇐⇒
6
4 4
6
En forma análoga se actúa en el caso de la raíz cúbica, etc.
¡¡Atención!! Si las operaciones están bien efectuadas, lo mostrado en los ejemplos anteriores es lo que
debe cumplirse. Sin embargo, a veces se cumplen éstas y los resultados no resultan ser los correctos;
ocurre esto cuando la confusión no modifica la conclusión.
Ejemplo 17. Consideremos las multiplicaciones:
1.-
3572
× 38
28576
10716
135736
8
7 7
2
La multiplicación es correcta.
2.-
3572
× 38
28576
10716
135763
8
7 7
2
La multiplicación no es la correcta.
Observemos que la confusión, en este caso, es haber bailado las dos últimas cifras del resultado.
101
Lección 9.- LOGARITMOS
9.1 Logaritmos
9.1 Logaritmos
Consideremos la igualdad definida por la potenciación:
c = an .
Si los datos son c y n, la incógnita a, que llamaremos raíz n-ésima de c, se calcula por una operación
inversa de la potenciación, llamada radicación, que se expresa así:
a = n√c .
Del número c se dirá que es el radicando y n recibirá el nombre de índice de la raíz. La operación se
leerá como sigue:
a es la raíz n-ésima de c
Al signo √ le llamaremos radical.
Se podrá decir, por tanto, que las igualdades
n√c = a , c = an
son equivalentes, y que la raíz n-ésima de un número es otra cuya n-ésima potencia es el primero.
En el caso de las raíces cuadradas suele omitirse la escritura del índice.
Vamos ahora con el tema que nos ocupa: Si los datos son a y c, la incógnita n, se llamará logaritmo de c
en la base a, y se calculará por una operación inversa de la potenciación, que llamaremos logaritmación.
¡¡Atención!! Puede resultar una buena regla nemotécnica la siguiente: Logaritmo de un número es el
“número” a que hay que elevar la base para obtener el número:
Formalmente diríamos: Logaritmo, y, de un número, x, en la base positiva, a, distinta de 1, es el expo-
nente a que hay que elevar la base para obtener el número, y escribiremos:
y = loga x , (que por definición equivale a: ay= x) ,
y leeremos: y es igual al logaritmo de x en la base a.
103
Las propiedades de los logaritmos se deducen de las de las potencias. Veamos algunas de ellas:
1.- Los números negativos no tienen logaritmo real.
2.- El logaritmo de 1 es 0, es decir: loga 1 = 0 , puesto que a0 = 1.
3.- El logaritmo de la base es 1, es decir: loga a = 1, puesto que a1 = a.
4.- Los logaritmos aumentan al aumentar los números.
5.- Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo, y los menores que 1 logaritmo negativo.
¡¡Atención!! Aunque no va ser de nuestro interés, cabría la posibilidad de considerar una base nega-
tiva; se razonaría en forma análoga el caso en que era positiva, y evidentemente sus resultados serían
“contrarios” a los obtenidos antes.
Mediante la igualdad:
y = loga x (a > 0)
establecemos una correspondencia entre dos conjuntos de números reales, de modo que a todo valor real
positivo de x corresponde un valor real de y. A esta correspondencia se le llama función logarítmica, y
es, evidentemente, inversa de la función exponencial. Sus representaciones serían las siguientes:
yy
a
10
1 x0 1
x
y = ax y = loga x
Los logaritmos cuya base es el número e = 2,718......... se llaman neperianos, y también naturales, en
honor a Neper, que fue el primero en estudiarlos sistemáticamente.
PROPOSICIÓN 1. El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de sus factores, es
decir: loga (x ⋅y) = loga x+ loga y.
En efecto: Sean m = loga x , n = loga y. Equivalen estas igualdades a las siguientes:
am = x , an = y ,
104
que multiplicadas miembro a miembro dan:
am+n = x ⋅y
igualdad que equivale a
loga (x ⋅y) = m+n = loga x+ loga y .
PROPOSICIÓN 2. El logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos del dividendo y
del divisor, es decir: loga (xy
) = loga x− loga y.
En efecto: Sean m = loga x , n = loga y. Equivalenten estas igualdades a las siguientes:
am = x , an = y ,
que divididas miembro a miembro dan
am−n = xy
igualdad que equivale a
loga ( xy
) = m−n = loga x− loga y
PROPOSICIÓN 3. El logaritmo de una potencia es el producto del exponente por el logaritmo de
la base, es decir: loga (xy) = y ⋅ loga x.
En efecto: Sean m = loga x. Igualdad, ésta, que equivale a la:
am = x .
Elevando a y ambos miembros de la igualdad, resulta
am⋅y = xy
igualdad que equivale a
loga (xy) = m ⋅y = y ⋅ loga x
PROPOSICIÓN 4. El logaritmo de una raíz es el cociente del logaritmo del radicando por el índice,
es decir: logan√x =
loga xn
.
En efecto: Se deduce de la proposición anterior, haciendo y = 1n
.
PROPOSICIÓN 5. Consideremos un número n, y si a y b son dos bases distintas, los logaritmos de
n están relacionados en la forma siguiente:
logb n =loga nloga b
.
En efecto: Si tenemos logb n = p, será:
bp = n ,
105
y tomando, ahora, logaritmos, en base a, de los dos miembros de esta igualdad, tendremos
p ⋅ loga b = loga n
es decir
logb n ⋅ loga b = loga n
de donde resulta la igualdad que nos interesaba
logb n = loga nloga b
.
¡¡Atención!! observemos que los logaritmos de dos números, tomados cada uno en la base indicada por
el otro, son recíprocos, es decir
logb a ⋅ loga b = 1 .
Bastaría hacer, en el resultado de la proposición anterior, n = a, y tener presente que loga a = 1
Ejemplo 1. Dado el número 2, cuyo logaritmo decimal es:
log10 2 = 0,301030.........
Se trata de determinar el logaritmo del número 10 en la base 2.
Tenemos que se verifica:
log10 2 ⋅ log2 10 = 1 ;
luego
log2 10 = 1log10 2
= 10,301030
= 3,320000
En los cálculos ordinarios se opera con logaritmos en base 10, llamados decimales (y también vulgares,
o de Briggs). Sin embargo, la formación directa de tablas de logaritmos decimales es más costosa que las
de logaritmos neperianos, por lo cual se han calculado éstas y de ellas se han deducido las de los loga-
ritmos decimales, multiplicando los logaritmos neperianos por el llamado módulo del sistema decimal,
que es:
M =1
loge 10= 0,434294........
En general, para referirnos al logaritmo decimal de un número antepondremos a ésta la abreviatura log, y
cuando nos referimos a los logaritmos neperianos escribiremos una ` delante del número, o la abreviatura
Log .
Así:
log n (logaritmo decimal) ,` n
Log n
⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭
logaritmo neperiano
Para las operaciones con logaritmos lo normal es utilizar tablas (las de Eusebio Sanchez Ramos, las de
Bruño, etc.).
106
En los logaritmos hay que distinguir dos partes. Una entera que se llama característica y otra decimal
denominada mantisa. La característica consta de tantas unidades como cifras, menos una, tiene el
número. Los números que constan de una sola cifra tienen 0 de característica; los de dos cifras, tienen
una unidad; los de tres cifras tienen dos unidades de característica, y así sucesivamente. La mantisa suele
tener cinco, seis o siete cifras, según las tablas. Los números formados por la unidad seguida de ceros no
tienen mantisa. Su logaritmo es un número entero.
Ejemplo 2. Transformar en neperiano el logaritmo decimal del número n = 20,653, que es:
log10 n = log10 20,653 = 1,314983 .
Dado que:
log10 n = Loge n ⋅M (M = 0,434294)
tendremos
Loge 20,653 = 1,3149830,434294
= 3,027860
Ejemplo 3. Veamos algunos logaritmos de números enteros:
Número Logaritmo Número Logaritmo
4 ...... 0,602060 10 ...... 1,000000
12 ...... 1,079181 100 ...... 2,000000
135 ...... 2,130334 1000 ...... 3,000000
2426 ...... 3,384891 10000 ...... 4,000000
En cuanto a los números con decimales, la característica tendrá las unidades que correspondan a las
cifras de la parte entera y la mantisa será la de todo el número considerado como entero, prescindiendo
de la coma.
Ejemplo 4. Veamos algunos logaritmos de números con decimales:
Número Logaritmo
1,75 ...... 0,243038
12,20 ...... 1,086360
147,75 ...... 2,169527
1359,50 ...... 3,133379
En los números decimales comprendidos entre 0 y 1, la característica será negativa y constará de tantas
unidades como ceros haya, más uno, entre la coma y la primera cifra significativa.
107
Ejemplo 5. Veamos algunos logaritmos de números entre 0 y 1:
Número Logaritmo
0,75 ...... 1,875061
0,05 ...... 2,698970
0,00125 ...... 3,096910
0,00077 ...... 4,886491
Para buscar el logaritmo de un quebrado se puede proceder de dos maneras:
1.- Se busca el logaritmo del numerador y el del denominador y se halla la diferencia entre los dos;
2.- Se convierte el quebrado en una fracción decimal y se procede como en el caso estudiado antes.
Ejemplo 6. Veamos algunos logaritmos de quebrados
12= 0,50 ∶ log 1 = 0,000000
−(log 2 = 0,301030)
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭
log12= 1,698970 log 0,50 = 1,698970
34= 0,75 ∶ log 3 = 0,477121
−(log 4 = 0,602060)
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭
log34= 1,875061 log 0,75 = 1,875061
Ejemplo 7. Comprobar que se verifica
loga b ⋅ logb c ⋅ logc d ⋅ logd a = 1
Expresando los logaritmos en base a y operando tenemos
loga b ⋅ loga cloga b
⋅ loga dloga c
⋅ loga aloga d
= loga a = 1
Ejemplo 8. Comprobar que si los números: loga x , logb x y logc x, con x ≠ 1, están en progresión aritméti-
ca, entonces se verifica que:
c2 = (a ⋅c)loga b .
En primer lugar, pasamos todos los logaritmos a la base a:
logb x = loga xloga b
, logc x = loga xloga c
.
Por estar en progresión aritmética se verificará que
logb x− loga x = logc x− logb x
108
es decirloga xloga b
− loga x = loga xloga c
− loga xloga b
Dividiendo, ahora, por loga x (posible por ser loga x ≠ 0, por ser x ≠ 1), obtenemos
1loga b
−1 = 1loga c
− 1loga b
de donde resulta2
loga b= 1+ 1
loga c= loga c+1
loga c= loga c+ loga a
loga c= loga (a ⋅c)
loga cy por tanto
2 ⋅ loga c = loga b ⋅ loga (a ⋅c)
es decir
c2 = (a ⋅c)loga b
Ejemplo 9. Resolver el sistema:⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
xy = yx
8x = 5y
Tomamos logaritmos en la segunda ecuación
x ⋅ log 8 = y ⋅ log 5 Ô⇒ x = log 5log 8
⋅y
y hacemoslog 5log 8
= a , x = a ⋅y ;
llevamos ahora esta expresión a la primera ecuación, con lo que resultará
(a ⋅y)y = ya⋅y Ô⇒ a ⋅y = ya Ô⇒ a = ya−1 ,
es decir
y = a1
a−1 , x = a ⋅y = a ⋅a1
a−1 = a1
a−1 +1 = aa
a−1
Teniendo en cuenta que
log 5 = 0,698970 , log 8 = 0,903090 ,
tenemos que
a = 0,6989700,903090
= 0,77 ,
sustituyendo este valor y operando resultará
x = 0,770,77
0,77−1 = 2,405 ; y = 0,771
0,77−1 = 3,107
109
Lección 10.- DESIGUALDADES
10.1 Desigualdad de Cauchy
10.2 Desigualdad de Bernoulli
10.3 Desigualdad de Cauchy- Buniakovski
10.4 Ejemplos
10.1 Desigualdad de Cauchy
Si a1, a2, ........., an son números positivos arbitrarios, es decir
a ⩾ 0 , a2 ⩾ 0 , ........., an ⩾ 0 ,
entonces se verifica que:
a1+a2+ ........+an
n⩾ n√a1 ⋅a2 ⋅ ......... ⋅an , (n ⩾ 2) .
La demostración de la desigualdad de Cauchy se apoya en la siguiente propiedad:
Sean a1, a2, ........., an números positivos arbitrarios tales que
x1 ⋅x2 ⋅ ......... ⋅xn = 1 .
Se verifica, entonces, que
x1+x2+ .........+xn ⩾ n (n ⩾ 2) .
En efecto: Procediendo por inducción tenemos:
a.- Si n = 2, entonces x1 ⋅x2 = 1. Si x1 ⩽ 1, debe ser x2 ⩾ 1 (o evidentemente a la inversa: x1 ⩾ 1 Ô⇒ x2 ⩽ 1).
En cualquier caso se cumple que
(x1−1) ⋅(x2−1) ⩽ 0 ,
y puesto que: x1 ⋅x2 = 1, deducimos que
x1+x2 ⩾ x1 ⋅x2+1 = 1+1 = 2 ;
así, la desigualdad que nos interesa se cumple para n = 2.
b.- Supongamos que la desigualdad dada es cierta para n = k (hipótesis de inducción).
Consideremos que n = k+1 y x1 ⋅x2 ⋅ ......... ⋅xk ⋅xk+1 = 1 . Supongamos que xk+1 ⩽ 1.
Dado que x1 ⋅x2 ⋅ ......... ⋅xk ⋅xk+1 = 1, entre los números x1, x2, ........., xk existirá, al menos, un número
mayor o igual que 1. Sin pérdida de generalidad supongamos que ese número es xk, es decir: xk ⩾ 1.
Entonces
(xk−1) ⋅(xk+1−1) ⩽ 0 o bien xk+xk+1 ⩾ xk ⋅xk+1+1 (I)
111
(Si xk+1 ⩾ 1, entonces xk ⩽ 1 y la desigualdad también se cumple).
De acuerdo con las condiciones del enunciado tenemos
x1 ⋅x2 ⋅ ......... ⋅xk−1 ⋅(xk ⋅xk+1) = 1 ,
y según la hipótesis de inducción, de aquí se deduce la desigualdad
x1+x2+ .........+xk−1+xk ⋅xk+1 ⩾ k (II)
Utilizando las desigualdades (I) y (II) obtenemos
x1+x2+ .........+xk+xk+1 ⩾ x1+x2+ .........+xk−1+xk ⋅xk+1+1 ⩾ k+1
como queríamos establecer.
En consecuencia la desigualdad enunciada es cierta para todo n ⩾ 2.
Pasemos, ahora, a demostrar la desigualdad de Cauchy:
Sean los n números positivos: x1, x2, ......... , xn dados como sigue:
x1 =a1
n√a1 ⋅a2 ⋅ ......... ⋅an, x2 =
a2n√a1 ⋅a2 ⋅ ......... ⋅an
, ......... , xn =an
n√a1 ⋅a2 ⋅ ......... ⋅an
Dado que: x1 ⋅x2 ⋅ ......... ⋅xn = 1, se verificará que
x1+x2+ .........+xn ⩾ n
es decir
a1n√a1 ⋅a2 ⋅ ......... ⋅an
+a2
n√a1 ⋅a2 ⋅ ......... ⋅an+ .........+
ann√a1 ⋅a2 ⋅ ......... ⋅an
⩾ n
de donde resulta la desigualdad de Cauchy
a1+a2+ ........+an
n⩾ n√a1 ⋅a2 ⋅ ......... ⋅an (n ⩾ 2)
10.2 Desigualdad de Bernoulli
Si x > −1, y n es un número natural, entonces se verifica que:
(1+x)n⩾ 1+n ⋅x
Procedamos por inducción.
a.- Si n = 1, la desigualdad dada se transforma en la igualdad
1+x = 1+x .
112
b.- Supongamos que la desigualdad dada se cumple para n = k, es decir
(1+x)k⩾ 1+k ⋅x . (Hipótesis de inducción)
Veamos que la desigualdad también se cumple para n = k+1, es decir comprobemos que
(1+x)k+1⩾ 1+k ⋅x+x .
Utilizando la hipótesis de inducción podemos escribir
(1+x)k+1 = (1+x) ⋅(1+x)k ⩾ (1+x) ⋅(1+k ⋅x) =
= 1+k ⋅x+x+k ⋅x2 ⩾ 1+k ⋅x+x
como queríamos establecer. En consecuencia la desigualdad de Bernuolli se cumple para todo
número n ⩾ 1.
10.3 Desigualdad de Cauchy-Buniakovski
Para números reales arbitrarios
a1, a2, ........., an, b1, b2, ........., bn
se cumple que
(a1 ⋅b1+a2 ⋅b2+ .........+an ⋅bn)2⩽ (a2
1+a22+ .........+a2
n) ⋅(b21+b2
2+ .........+b2n)
siendo n ⩾ 2.
Evidentemente, para todo valor real arbitrario x se cumple la desigualdad:
(a1+x ⋅b1)2+(a2+x ⋅b2)
2+ .........+(an+x ⋅bn)
2⩾ 0
Desarrollando los paréntesis y agrupando convenientemente tenemos
x2⋅(b2
1+b22+ .........+b2
n)+2 ⋅x ⋅(a1 ⋅b1+a2 ⋅b2+ .........+an ⋅bn)+(a21+a2
2+ .........+a2n) ⩾ 0
Como para todo x el trinomio anterior toma valores no negativos, su discriminante debe ser menor o
igual que 0, es decir
(a1 ⋅b1+a2 ⋅b2+ .........+an ⋅bn)2−(a2
1+a22+ .........+a2
n) ⋅(b21+b2
2+ .........+b2n) ⩽ 0
de donde resulta inmediatamente la desigualdad de Cauchy-Buniakovski:
(a1 ⋅b1+a2 ⋅b2+ .........+an ⋅bn)2⩽ (a2
1+a22+ .........+a2
n) ⋅(b21+b2
2+ .........+b2n)
113
10.4 Ejemplos
Ejemplo 1. Comprobar que para todo número natural n se verifica la desigualdad:
1+ 12+ .........+ 1
n⩾ n ⋅( n√n+1−1)
Si denotamos
Sn = 1+ 12+ ........+ 1
ndemostremos que se verifica:
Sn+n ⩾ n ⋅ n√n+1
Podemos escribir
n+Sn = n+(1+ 12+ ........+ 1
n) = (1+1)+(1+ 1
2)+ .........+(1+ 1
n) =
= 21+ 3
2+ .........+ n+1
n⩾ (por la desigualdad de Cauchy)
⩾ n ⋅ n
√21⋅ 3
2⋅ ......... n+1
n= n ⋅ n√n+1
Recordemos que la desigualdad de Cauchy dice que:
Si a1 ⩾ 0 , a2 ⩾ 0 , ...........,an ⩾ 0 , entonces, si
n ⩾ 2 ∶a1+a2+ .....+an
n⩾ n√a1 ⋅a2 ⋅ ..... ⋅an
Ejemplo 2. Comprobar que se verifica la desigualdad
xy+2 ⋅
√ yz+3 ⋅ 3
√ zx⩾ 6 ,
siendo x > 0 , y > 0 , z > 0.
Podemos escribir:
xy+2 ⋅
√ yz+3 ⋅ 3
√ zx= x
y+√ y
z+√ y
z+ 3√ z
x+ 3√ z
x+ 3√ z
x⩾
( por la desigualdad de Cauchy, para n = 6 )
⩾ 6 ⋅ 6
¿ÁÁÀ x
y⋅√ y
z⋅√ y
z⋅ 3√ z
x⋅ 3√ z
x⋅ 3√ z
x=
= 6 ⋅ 6
√xy⋅ y
z⋅ z
x= 6
114
Ejemplo 3. Comprobar que para dos números no negativos cualesquiera a y b se cumple la desigualdad:
2 ⋅√
a+3 ⋅ 3√b ⩾ 5 ⋅ 5√a ⋅b
Podemos escribir2 ⋅
√a+3 ⋅ 3√b =
√a+
√a+ 3√b+ 3√b+ 3√b ⩾
( por la desigualdad de Cauchy, para n = 5 )
⩾ 5 ⋅ 5√√
a ⋅√
a ⋅ 3√b ⋅ 3√b ⋅ 3√b = 5 ⋅ 5√a ⋅b
Ejemplo 4. Comprobar la desigualdad
1+2 ⋅a4 ⩾ a2+2 ⋅a3
Aplicando la desigualdad de Cauchy, para n = 2, tenemos
1+a4 ⩾ 2 ⋅√
1 ⋅a4 = 2 ⋅a2
y aplicándola para n = 4, se tiene
1+a4+a4+a4 ⩾ 4 ⋅ 4√
1 ⋅a4 ⋅a4 ⋅a4 = 4 ⋅a3
Sumando, ahora, las dos desigualdades obtenidas, obtenemos
2+4 ⋅a4 ⩾ 2 ⋅a2+4 ⋅a3
y dividiendo, ambos miembros por 2, resulta
1+2 ⋅a4 ⩾ a2+2 ⋅a3 .
Ejemplo 5. Comprobar que se verifica la desigualdad√
a ⋅ba ⋅b+c
+√
b ⋅cb ⋅c+a
+√ a ⋅c
a ⋅c+b⩽ 3
2
siendo : a+b+c = 1 , y a > 0 , b > 0 , c > 0.
Podemos escribir:√
a ⋅ba ⋅b+c
=√
a ⋅ba ⋅b+(1−a−b) =
√a ⋅b
(1−a) ⋅(1−b) =√
a ⋅b(a+b+c−a) ⋅(a+b+c−b) =
=√
a ⋅b(b+c) ⋅(a+c) =
√a
a+c⋅ b
b+c⩽
( por la desigualdad de Cauchy, para n = 2 )
⩽ 12⋅( a
a+c+ b
b+c)
115
Razonando de forma análoga, tendríamos√
b ⋅cb ⋅c+a
⩽ 12⋅( b
a+b+ c
a+c) , y
√ a ⋅ca ⋅c+b
⩽ 12⋅( a
a+b+ c
b+c)
Sumando, ahora, las tres desigualdades obtenidas, obtenemos√
a ⋅ba ⋅b+c
+√
b ⋅cb ⋅c+a
+√ a ⋅c
a ⋅c+b⩽
⩽ 12⋅( a
a+c+ b
b+c+ b
a+b+ c
a+c+ a
a+b+ c
b+c) =
= 12⋅( a+c
a+c+ b+c
b+c+ b+a
a+b) = 1
2⋅(1+1+1) = 3
2
Ejemplo 6. Si a > 0 , b > 0 , c > 0, entonces se verifica la desigualdad:
( a+2 ⋅bc
)2+( b+2 ⋅c
a)
2+( c+2 ⋅a
b)
2⩾ 27
Aplicamos la desigualdad de Cauchy, para n = 3, con lo que obtenemos una minoración para cada término del primer
término de la desigualdad propuesta; para el primero será:
( a+2 ⋅bc
)2= ( a+b+b
c)
2⩾⎛⎝
3 ⋅ 3√a ⋅b2
2⎞⎠
2
= 9 ⋅ 3√a2 ⋅b4
c2
y razonando lo mismo para los otros dos, tendremos:
( b+2 ⋅ca
)2⩾ 9 ⋅ 3√b2 ⋅c4
a2
( c+2 ⋅ab
)2⩾ 9 ⋅ 3√c2 ⋅a4
b2
con lo que sumando las tres desigualdades obtenidas, obtendremos:
( a+2 ⋅bc
)2+( b+2 ⋅c
a)
2+( c+2 ⋅a
b)
2⩾
⩾ 9 ⋅ 3√a2 ⋅b4
c2 + 9 ⋅ 3√b2 ⋅c4
a2 + 9 ⋅ 3√c2 ⋅a4
b2 ⩾
⩾ 3 ⋅ 3
√9 ⋅9 ⋅9 ⋅ 3√a2 ⋅b4 ⋅ 3√b2 ⋅c4 ⋅ 3√c2 ⋅a4
a2 ⋅b2 ⋅c2 ⩾
⩾ 3 ⋅9 ⋅ 3
√3√a6 ⋅b6 ⋅c6
a2 ⋅b2 ⋅c2 = 27 ⋅ 3
√a2 ⋅b2 ⋅c2
a2 ⋅b2 ⋅c2 = 27
116
Ejemplo 7. Si x > 1 , y > 1 , z > 1 , entonces se verifica la desigualdad:
x√y−1
+ y√z−1
+ z√x−1
⩾ 6 .
Dado, que en particular, la desigualdad de Cauchy, para n = 2, toma la forma:
a1+a22
⩾√a1 ⋅a2 ,
y que, por ser x > 1, se cumple que: x−1 > 0, podemos escribir para el primer sumando de la desigualdad planteada:
x√y−1
= x−1√y−1
+ 1√y−1
⩾ 2 ⋅√
x−1√y−1
⋅ 1√y−1
= 2 ⋅√
x−1y−1
En la misma forma, tendremos para el segundo y tercer sumando:
y√z−1
⩾ 2 ⋅√
y−1z−1
,
z√x−1
⩾ 2 ⋅√
z−1x−1
.
Sumando las tres desigualdades obtenidas, y aplicando de nuevo la desigualdad de Cauchy, ahora para n = 3, obten-
dremosx√y−1
+ y√z−1
+ z√x−1
⩾
⩾ 2 ⋅√
x−1y−1
+2 ⋅√
y−1z−1
+2 ⋅√
z−1x−1
⩾
⩾ 3 ⋅ 3
¿ÁÁÀ2 ⋅
√x−1y−1
⋅2 ⋅√
y−1z−1
⋅2 ⋅√
z−1x−1
= 6
Ejemplo 8. Comprobar que se verifica la desigualdad
a2+b2+c2 ⩾ 13
,
siendo : a+b+c = 1 .
Recordando la desigualdad de Cauchy-Buniakovski, que dice:
Si a1, a2, ........., an, b1, b2, ........., bn son números reales arbitrarios,
donde n ⩾ 2, se verifica la desigualdad:
(a1 ⋅b1+ ........+an ⋅bn)2 ⩽ (a21+a2
2+ ........+a2n) ⋅(b2
1+b22+ ........+b2
n)
podemos escribir
1 = (a+b+c)2 = (1 ⋅a+1 ⋅b+1 ⋅c)2 ⩽⩽ (12+12+12) ⋅(a2+b2+c2) = 3 ⋅(a2+b2+c2)
de donde resulta
a2+b2+c2 ⩾ 13
117
Ejemplo 9. Si para los números a, b, c se cumple la condición:
a2+b2+c2 = 1 ,
entonces se verifica la desigualdad
−√
3 ⩽ a+b+c ⩽√
3 .
Aplicando la desigualdad de Cauchy-Buniakosvski tenemos
(a+b+c)2 = (1 ⋅a+1 ⋅b+1 ⋅c)2 ⩽
⩽ (12+12+12) ⋅(a2+b2+c2) = 3 ⋅(a2+b2+c2)
y puesto que se cumple
a2+b2+c2 = 1 ,
se verificará
(a+b+c)2 ⩽ 3
luego
−√
3 ⩽ a+b+c <√
3 .
Ejemplo 10. Comprobar que si: a ⩾ 0 , b ⩾ 0 , c ⩾ 0 , d ⩾ 0, entonces
√(a+c) ⋅(b+d) ⩾
√a ⋅b+
√c ⋅d
Aplicando la desigualdad de Cauchy-Buniakosvski tenemos
(√
a ⋅b+√
c ⋅d)2⩽ [(
√a)
2
+(√
c)2
] ⋅[(√
b)2
+(√
d)2
] = (a+c) ⋅(b+d)
de donde√
a ⋅b+√
c ⋅d ⩽√
(a+c) ⋅(b+d) .
Ejemplo 11. Comprobar que se verifica la desigualdad
12⋅ 3
4⋅ 5
6⋅ ........... ⋅ 99
100< 1
10.
Hagamos
x = 12⋅ 3
4⋅ 5
6⋅ ........... ⋅ 99
100Dado que, evidentemente, se verifica las desigualdades siguientes
12< 2
3,
34< 4
5,
56< 6
7, .........
99100
< 100101
se verificará que12⋅ 3
4⋅ 5
6⋅ ........... ⋅ 99
100´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
x
< 23⋅ 4
5⋅ 6
7⋅ ......... ⋅ 100
101
118
de donde
x < 23⋅ 4
5⋅ 6
7⋅ ........... ⋅ 100
101desigualdad ésta que, multiplicada miembro a miembro por la igualdad
x = 12⋅ 3
4⋅ 5
6⋅ ........... ⋅ 99
100
nos permite escribir
x2 < 12⋅ 3
4⋅ 5
6⋅ ........... ⋅ 99
100⋅ 2
3⋅ 4
5⋅ 6
7⋅ ......... ⋅ 100
101Simplificando obtenemos
x2 < 1100
es decir
x < 110
,
y en definitiva12⋅ 3
4⋅ 5
6⋅ ........... ⋅ 99
100< 1
10.
Ejemplo 12. Comprobar que para todo número natural n (n ⩾ 2) se cumple la desigualdad
1n+1
+ 1n+2
+ .........+ 12 ⋅n > 13
24
Denotemos el primer miembro de la desigualdad con Sn.
a.- Si n = 2, entonces
S2 =13+ 1
4= 7
12> 13
24luego se cumple la desigualdad.
b.- Supongamos ahora que la desigualdad se cumple para n = k, es decir: Sk >1324
(Hipótesis de inducción)
Veamos entonces que también: Sk+1 >1324
.
De la propia definición resulta:
Sk =1
k+1+ 1
k+2+ .........+ 1
2 ⋅k
Sk+1 =1
k+2+ 1
k+3+ ........+ 1
2 ⋅k + 12 ⋅k+1
+ 12 ⋅k+2
Restando, miembro a miembro, las dos igualdades anteriores
Sk+1−Sk =1
2 ⋅k+1+ 1
2 ⋅k+2− 1
k+1= 1
2 ⋅(k+1) ⋅(2 ⋅k+1) > 0
luego
Sk+1 > Sk ,
y puesto que Sk >1324
, se cumple que
Sk+1 >1324
como queríamos establecer.
En consecuencia, desigualdad enunciada es cierta para todo n ⩾ 2 .
119
Ejemplo 13. Comprobar que para todo número natural n (n ⩾ 3) se cumple la desigualdad
n√n > n+1√n+1 .
En primer lugar transformaremos la desigualdad dada, en otra equivalente, elevando sus dos miembros al exponente
n ⋅(n+1).
Así obtenemos la desigualdad
nn+1 > (n+1)n
es decir la siguiente:
(1+ 1n
)n< n .
a.- Sea n = 3. Entonces de la desigualdad anterior se deduce
(1+ 13
)3< 3 ,
desigualdad cierta, puesto que 64 < 81.
b.- Supongamos ahora que la desigualdad se cumple para n = k (hipótesis de inducción), es decir
(1+ 1k
)k< k .
Veamos entonces que la desigualdad se cumple para n = k+1, es decir, comprobemos que se verifica la
desigualdad
(1+ 1k+1
)k+1
< k+1 .
En efecto, se cumple que
(1+ 1k+1
)k+1
= (1+ 1k+1
) ⋅(1+ 1k+1
)k< (1+ 1
k+1) ⋅(1+ 1
k)
k<
< (1+ 1k+1
) ⋅k = k2+2 ⋅kk+1
< (k+1)2
k+1= k+1
Como queríamos establecer.
En consecuencia, la desigualdad enunciada es cierta para todo n ⩾ 3.
Ejemplo 14. Comprobar que se verifica
a2+b2 ⩽ 1+a ⋅b ,
siendo a y b positivos tales que: a3+b3 = a5+b5
Vamos a proceder por reducción al absurdo.
Supongamos que existen números positivos, a y b, para lo cuales se verifica:
1.- la igualdad: a3+b3 = a5+b5 , y
2.- la desigualdad a2+b2 > 1+a ⋅b. (NEGACIÓN DE LA TESIS)
Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por a3 y luego b3, tendremos
a3 ⋅(a2+b2) > a3 ⋅(1+a ⋅b)b3 ⋅(a2+b2) > b3 ⋅(1+a ⋅b)
120
que sumadas nos dan
a5+a3 ⋅b2+a2 ⋅b3+b5 > a3+a4 ⋅b+b3+a ⋅b4
Dado que es condición del ejercicio que a3+b3 = a5+b5, deducimos que:
a3 ⋅b2+a2 ⋅b3 > a4 ⋅b+a ⋅b4
a2 ⋅b+a ⋅b2 > a3+b3
a ⋅b ⋅(a+b) > (a+b) ⋅(a2−a ⋅b+b2)a ⋅b > a2−a ⋅b+b2
0 > (a−b)2
lo que representa una contradicción.
Nos indica esto que, si a3+b3 = a5+b5, entonces la desigualdad inicial es cierta.
121
Lección 11.- ECUACIONES DIOFÁNTICAS
11.1 Ecuaciones diofánticas
11.1 Ecuaciones diofánticas
La resolución, en el campo de los números naturales, de una ecuación algebraica con varias incógnitas,
es decir, la determinación de los números naturales que la satisfacen, se llama problema diofántico.
Ejemplo 1. La división entera de D por d, es decir, la determinación de dos valores, x, y, que satisfagan a la
ecuaciónd ⋅x+y = D
con la condicióny < d ,
es, por tanto, un problema diofántico.
Consideremos la ecuación lineal con dos incógnitas: A ⋅x±B ⋅y =C. Si A y B no son primos entre sí, y
es D su m.c.d., si existen valores x, y que satisfagan a la ecuación, será el primer miembro múltiplo de
D; luego debe serlo también C.
Podemos, por tanto, afirmar que: Es condición necesaria, para que la ecuación lineal tenga solución,
que el segundo miembro C sea divisible por el m.c.d. de A y B.
Si suponemos cumplida la condición anterior, dividiendo por D los dos miembros, obtenemos otra ecua-
ción:a ⋅x±b ⋅y = c ,
en la cual a y b son primos entre sí. Vamos a estudiar separadamente ambos tipos de ecuación lineal.
1º.- Ecuación a ⋅x−b ⋅y = c
Los números 0, 1, 2, ........., a−1 forman un sistema completo de números incongruentes
(mód. a); luego, también los números
b ⋅0+c , b ⋅1+c , b ⋅2+c , ......... , b ⋅(a−1)+c
forman un sistema completo de números incongruentes (mód. a). Por tanto, habrá entre ellos uno
y sólo uno: b ⋅βββ +c = a ⋅ααα ,
que sea múltiplo de a; es decir
b ⋅βββ +c = a ⋅ααα Ô⇒ a ⋅ααα −b ⋅βββ = c .
Obtenemos, pues, una solución (ααα, βββ) de la ecuación que estamos estudiando, y como βββ es el
menor valor posible de y que cumple con la condición anterior, es ααα es el menor posible de x.
123
Partiendo de esta solución, (ααα, βββ), obtenemos cualquier otra (x, y), pues comparando las igual-
dadesa ⋅x−b ⋅y = c , a ⋅ααα −b ⋅βββ = c
resulta:
a ⋅x−b ⋅y = a ⋅ααα −b ⋅βββ Ô⇒ a ⋅(x−ααα) = b ⋅(y−βββ) ,
y siendo b primo con a, debe ser:
x−ααα = b ⋅ t ,
y sustituyendo, tendremos así mismo:
y−βββ = a ⋅ t .
En consecuencia: Todo par de valores (x, y) que satisfagan a la ecuación a ⋅x−b ⋅y = c, está dado
por las fórmulas:
x =ααα +b ⋅ t , y =βββ +a ⋅ t
Recíprocamente, cualquiera que sea el valor 0, 1, 2, 3, ......... atribuido a t, obtenemos una solu-
ción (x, y) de la ecuación
a ⋅x−b ⋅y = c ,
pues, sustituyendo en ella, resulta, efectivamente:
a ⋅(ααα +b ⋅ t)−b ⋅(βββ +a ⋅ t) = a ⋅ααα −b ⋅βββ = c .
Ejemplo 2. Consideremos la ecuación: 26 ⋅x−42 ⋅y = 98.
El m.c.d. (26, 42) = 2. Luego, simplificando la ecuación tenemos:
13 ⋅x−21 ⋅y = 49 .
Entre los números
21 ⋅y+49 (y = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12)
el único múltiplo de 13 es:
21 ⋅2+49 = 13 ⋅7
luego
ααα = 7 , βββ = 2
Resulta, entonces, que la solución general es:
x = 7+21 ⋅ t 7 , 28 , 49 , .........
y = 2+13 ⋅ t 2 , 15 , 28 , .........
124
2º.- Ecuación a ⋅x+b ⋅y = c
Siendo, como 1º.- , a y b primos entre sí, los números
c−b ⋅0 , c−b ⋅1 , c−b ⋅2 , ......... , c−b ⋅(a−1)
(si son posibles todas las sustracciones) forman un sistema completo (mód. a) , y por tanto, habrá
en él un número, y sólo uno,
c−b ⋅βββ
que sea múltiplo de a ; es decir
c−b ⋅βββ = a ⋅ααα Ô⇒ a ⋅ααα +b ⋅βββ = c
El valor βββ es el menor posible de y, que cumple con la condición anterior, y por tanto es ααα es
mayor valor posible de x.
Las demás soluciones (x, y) se obtendrán, como antes, igualando
a ⋅x+b ⋅y = c y a ⋅ααα +b ⋅βββ = c
es decir
a ⋅x+b ⋅y = a ⋅ααα +b ⋅βββ Ô⇒ b ⋅(y−βββ) = a ⋅(ααα −x) ,
y debiendo ser, como antes
ααα −x = b ⋅ t , y−βββ = a ⋅ t
obtenemos las fórmulas generales:x =ααα −b ⋅ t , y
y =βββ +a ⋅ t ,
donde t puede recibir los valores 0, 1, 2, ......... que hagan posible la sustracción x =ααα −b ⋅ t , es
decir, no superiores al cociente entero de ααα por βββ .
En consecuencia, en este caso, la ecuación tiene un número finito de soluciones, o carece de ellas.
Ejemplo 3. Consideremos la ecuación: 10 ⋅x+26 ⋅y = 1324
El m.c.d. (10, 26) = 2. Luego simplificando la ecuación dada tenemos
5 ⋅x+13 ⋅y = 662
Entre los números
662−13 ⋅y (y = 0, 1, 2, 3, 4) ,
el único múltiplo de 5 es
662−13 ⋅4 = 5 ⋅122
luego:
ααα = 122 , βββ = 4 .
Resulta, entonces, que la solución general es:
x = 122−13 ⋅ t 122 , 109 , 96 , 83 , 70 , 57 , 44 , 31 , 18 , 5
y = 4+5 ⋅ t 4 , 9 , 14 , 19 , 24 , 29 , 34 , 39 , 44 , 49
125
Ejemplo 4. Consideremos la ecuación: 21 ⋅x+15 ⋅y = 48
El m.c.d. (21, 15) = 3. Luego simplificando la ecuación dada tenemos
7 ⋅x+5 ⋅y = 16 .
Entre los números
16−5 ⋅0 = 16 , 16−5 ⋅1 = 11 , 16−5 ⋅2 = 6 , 16−5 ⋅3 = 1
no hay ningún múltiplo de 7, luego la ecuación no tiene solución.
Aunque el estudio se puede extender a ecuaciones con cualquier número de incógnitas, por razones de
brevedad nos limitamos aquí, al de ecuaciones con tres incógnitas, entendiendo que los razonamientos
que siguen se extienden sin dificultad a ecuaciones con cualquier número de ellas.
Sea la ecuación:
A ⋅x+B ⋅y+C ⋅z =H (A, B, C, H ∈ Z)
y supongamos que el m.c.d. de A, B, C, divide a H, es decir, que se cumple la condición necesaria para
la ecuación admita soluciones enteras.
Dividiendo la ecuación por este m.c.d. obtenemos
a ⋅x+b ⋅y+c ⋅z = h (a, b, c primos entre sí)
Puede presentarse dos casos:
1.- Entre los números a, b, c, existe al menos un par de números primos entre sí. (Supongamos
que estas sean a y b)
La ecuación se puede escribir:
(I) a ⋅x+b ⋅y = h−c ⋅z ,
y por ser primos entre sí a y b, la ecuación
a ⋅x+b ⋅y = 1
admite soluciones enteras.
Si x =ααα , y =βββ es una de estas soluciones tendremos
a ⋅ααα +b ⋅βββ = 1
luego
a ⋅ [ααα ⋅(h−c ⋅z)]+b ⋅ [βββ ⋅(h−c ⋅z)] = h−c ⋅z
de manera que las expresiones
x =ααα ⋅(h−c ⋅z) , y =βββ ⋅(h−c ⋅z)
126
verifican la ecuación: a ⋅x+b ⋅y = h−c ⋅z , cualquiera que sea z.
Luego, según ya sabemos, la solución general de dicha ecuación es:
x =ααα ⋅(h−c ⋅z)+b ⋅ t , y =βββ ⋅(h−c ⋅z)−a ⋅ t ,
pudiendo, en estas fórmulas, tomar z y t valores enteros arbitrarios.
Ejemplo 5. Consideremos la ecuación: 2 ⋅x+6 ⋅y−12 ⋅z+5 ⋅u = 17
Un par de coeficientes primos entre si es: 2 y 5. Luego siguiendo el método expuesto:
2 ⋅x+5 ⋅u = 17−6 ⋅y+12 ⋅z .
Una solución de:
2 ⋅x+5 ⋅u = 1 ,
es
x = −2 , u = 1 ,
luego la solución general de la ecuación dada es
x= −2 ⋅(17−6 ⋅y+12 ⋅z)+5 ⋅ t= 1 ⋅(17−6 ⋅y+12 ⋅z)−2 ⋅ t
donde y, z, t son enteros arbitrarios.
2º.- Entre los números a, b, c, no existen dos que sean primos entre sí.
Si es: m.c.d. (a, b) = d, de la ecuación
a ⋅x+b ⋅y = h−c ⋅z
deducimos
(II) a ⋅x+b ⋅y = h−c ⋅z y a′ ⋅x+b′ ⋅y =h−c ⋅z
ddonde a′, b′ son los cocientes que resultan de dividir a y b por su m.c.d.
Al sustituir en los dos miembros de las igualdades anteriores las soluciones enteras de la ecuación,
como el primer miembro es entero también debe serlo el segundo; luego, las igualdades anteriores
nos llevan a resolver diofánticamente las ecuaciones
h−c ⋅zd
= u ; a′ ⋅x+b′ ⋅y = u ,
o bien
d ⋅u+c ⋅z = h ; a′ ⋅x+b′ ⋅y = u
Al resolver la primera obtendremos
(III) z = γγγ +d ⋅ t , u = δδδ −c ⋅ t (t, entero arbitrario)
127
Para resolver la segunda comenzamos por hallar una solución ααα , βββ , de a′ ⋅x+b′ ⋅y = 1, y luego
multiplicamos por u. Así, obtenemos:
(IV) x =ααα ⋅u+b′ ⋅ t′ , y =βββ ⋅u−a′ ⋅ t′ (t′, entero arbitrario)
De (III) y (IV) obtenemos la solución general de (II), que es equivalente a la ecuación (I)
propuesta:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x =ααα ⋅(δδδ −c ⋅ t)+b′ ⋅ t′
y =βββ ⋅(δδδ −c ⋅ t)−a′ ⋅ t′
z = γγγ +d ⋅ t
(t, t′,enteros arbitrarios)
Ejemplo 6. Consideremos la ecuación: 30 ⋅x+42 ⋅y+70 ⋅z+105 ⋅u = −3
Estamos en el caso 2º.- , pues no existen dos coeficientes primos entre sí; así que seguiremos el método indicado.
Así:
30 ⋅x+42 ⋅y = 105 ⋅u−70 ⋅z−3 , 5 ⋅x+7 ⋅y = 105 ⋅u−70 ⋅z−36
La última da lugar a las siguientes:
105−70 ⋅z−6 ⋅v = 3 6 ⋅v+70 ⋅z = 105 ⋅u−3 3 ⋅v+35 ⋅z = 105 ⋅u−32
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
105 ⋅u−2 ⋅w = 3 1
3 ⋅v+35 ⋅z = w 2
5 ⋅x+7 ⋅y = v
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
x = 3 ⋅v−7 ⋅ t
y = −2 ⋅v+5 ⋅ t
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
x = 3 ⋅v−7 ⋅ t
y = −2 ⋅v+5 ⋅ t
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
x = 3 ⋅v−7 ⋅ t 3
y = −2 ⋅v+5 ⋅ t 4
La solución 1 es:
u = 1+2 ⋅ t′ , w = 51+105 ⋅ t′ (t′ , entero arbitrario)
La solución 2 , teniendo en cuenta éstas, es:
v = 12 ⋅(51+105 ⋅ t′)−35 ⋅ t′′ = 1260 ⋅ t′−35 ⋅ t′′+612
z = −(51+105 ⋅ t′)+3 ⋅ t′′ = −105 ⋅ t′+3 ⋅ t′′−51(t′ , t′′ enteros arbitrarios)
Finalmente, sustituyendo en 3 y 4 , el valor de v que acabamos de calcular, podemos escribir la solución general
de la ecuación propuesta:
x = 3 ⋅(1260 ⋅ t′−35 ⋅ t′′+612)−7 ⋅ ty = −2 ⋅(1260 ⋅ t′−35 ⋅ t′′+612)+5 ⋅ tz = −105 ⋅ t′+3 ⋅ t′′−51
u = 1+2 ⋅ t′
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
(t , t′ , t′′ enteros arbitrarios)
La ecuación es triplemente indeterminada.
¡¡Atención!! Se puede demostrar, nosotros no lo haremos, que: Es condición necesaria y suficiente para
que una ecuación lineal con dos o mas incógnitas, admita soluciones enteras, es que el m.c.d. de los
coeficientes de las incógnitas divida al término independiente.
128
Lección 12.- COMBINATORIA
12.1 Combinatoria
12.1 Combinatoria
Estudia la combinatoria tanto las distintas ordenaciones que pueden recibir los elementos de un conjunto
finito como los distintos grupos que pueden formarse con esos elementos, así como las relaciones entre
unos y otros grupos. En este estudio se hace abstracción de la naturaleza de los elementos que forman el
conjunto finito dado, hasta tal punto que no hay inconveniente alguno en suponer que los elementos del
conjunto en cuestión son los números naturales 1, 2, ........., m, si m el cardinal del conjunto. En lo que
sigue vamos a considerar lo que llamaremos variaciones, permutaciones y combinaciones.
Llamaremos variaciones de orden n de m elementos distintos, siendo n ⩽m, y también variaciones de
m elementos tomados de n en n, a los distintos conjuntos ordenados de n elementos elegidos entre m
elementos dados.
Dos variaciones serán, pues, distintas cuando difieran en algún elemento o en el orden de colo-
cación de los mismos.
El número de variaciones de m elementos tomados de n en n se suele representar por Vm,n , y a veces
también por Vnm.
Ejemplo 1. Consideremos el conjunto A = 1, 2, 3, 4. Las variaciones de orden 2, de los cuatro elementos de A
son:
(1, 2) , (1, 3) , (1, 4) , (2, 1) , (2, 3) , (2, 4) , (3, 1) , (3, 2) , (3, 4) , (4, 1) , (4, 2) , (4, 3)
En lo sucesivo informalizaremos un tanto la manera de expresar estos conjuntos y escribiremos simplemente:
12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43
Así
V4,2 = 12
Ejemplo 2. Consideremos el conjunto A = 1, 2, 3, 4. La variaciones de orden 3 de los cuatro elementos de A
son:123 213 312 412
124 214 314 413
132 231 321 421
134 234 324 423
142 241 341 431
143 243 342 432
129
Observemos que leídos por columnas, los números, que representan las sucesivas variaciones forman una sucesión
creciente.
Así
V4,3 = 24
Las variaciones de m elementos tomados de n en n se obtienen de la siguiente manera:
Las variaciones de orden 1 son:
1, 2, 3, ........., m
Las variaciones de orden 2 resultan de escribir, a continuación de cada uno de estos números, cada uno
de los m−1 restantes12 21 31 ............ m1
13 23 32 ............ m2
14 24 34 ............ m3
............................................................
1m 2m 3m ............m,m−1
y su número será, por tanto: m ⋅(m−1).
Las variaciones de orden 3 serán el resultado de escribir, a continuación de cada uno de estos números,
cada uno de los m−2 restantes, y su número será por tanto: m ⋅(m−1) ⋅(m−2).
El proceso continua en esa forma.
En general, supuestas formadas todas las variaciones de orden n−1, se escribe a continuación de cada
una de ellas cada uno de los elementos restantes. Las variaciones que se obtienen son distintas puesto
que las que proceden de la misma variación difieren en el último término, y las que proceden de distinta
variación difieren en al menos uno de los n−1 primeros números; por otra parte, procediendo como o
hemos hecho se han obtenido todas las variaciones de orden n, ya que dada una cualquiera, al prescindir
del último número resulta una variación de orden n−1, que se supone dada, y como a cada una de éstas
se le han añadido todos los elementos restantes se habrá formado en particular la variación considerada.
Se verificará entonces la relación:
Vm,n =Vm,n−1 ⋅(m−n+1) .
Según hemos visto antes Vm,1 =m, luego aplicando reiteradamente la fórmula anterior se tiene
Vm,2 =Vm,1 ⋅(m−2+1) =m ⋅(m−1)
Vm,3 =Vm,2 ⋅(m−3+1) =m ⋅(m−1) ⋅(m−2)
y así sucesivamente, resultando finalmente
Vm,n =m ⋅(m−1) ⋅(m−2) ⋅ ......... ⋅(m−n+1) .
130
Ejemplo 3. El número de variaciones de 7 elementos tomados de 4 en 4 es
V7,4 = 7 ⋅6 ⋅5 ⋅4 = 840 .
¡¡Atención!! Resulta muy útil darse cuenta de que las variaciones de m elementos tomados de n en n es
el producto de n factores, el primero de ellos el número m, y que los restantes van decreciendo de unidad
en unidad.
Otra expresión de Vm,n, muy utilizada también, se obtiene al multiplicar y dividir la anterior por
(m−n)!. Así resulta
Vm,n =m ⋅(m−1) ⋅ ......... ⋅(m−n+1) =m ⋅(m−1) ⋅ ......... ⋅(m−n+1) ⋅(m−n)!
(m−n)!=
=m ⋅(m−1) ⋅ ......... ⋅(m−n+1) ⋅(m−n) ⋅(m−n−1) ⋅ ......... ⋅1
(m−n)!=
m!(m−n)!
es decir
Vm,n =m!
(m−n)!.
Veamos algunos ejemplos más sobre variaciones:
Ejemplo 4. Determinar cuantas veces aparece la cifra 2 en las variaciones que se pueden formar con las 9
cifras significativas tomadas de 4 en 4.
El número total de variaciones es
V9,4 = 9 ⋅8 ⋅7 ⋅6 = 2024
El número de variaciones en las que no figura la cifra 2 es
V8,4 = 8 ⋅7 ⋅6 ⋅5 = 1680
Así, el número de variaciones en las que aparece la cifra 2 es
2024−1680 = 344 .
Ejemplo 5. Determinar cuanto números de seis cifras se pueden formar de manera que las cuatro primeras
sean cifras impares y las dos últimas sean pares, sin que se repita ninguna cifra.
Como las cifras impares son las 1, 3, 5, 7, 9, con ellas se podrían formar un total de
V5,4 = 5 ⋅4 ⋅3 ⋅2 = 120
números de cuatro cifras, sin que se repita ninguna cifra.
Como las cifras pares son las 0, 2, 4, 6, 8, se podrán formar un total de
V5,2 = 5 ⋅4 = 20
números de dos cifras, sin que se repita ninguna de ellas.
El número pedido será, por tanto,
V5,4 ⋅V5,2 = 120 ⋅20 = 2400 .
131
Ejemplo 6. Determinar cuantos números hay, mayores de 400 y menores que 700, que estén formados por
cifras distintas.
Que empiecen por 4 habrá
V9,2 = 9 ⋅8 = 72 ,
e igual número habrá que empiecen por 5 y 6; luego el total de los números pedidos es
3 ⋅V9,2 = 3 ⋅72 = 216 .
En el establecimiento de las variaciones hemos supuesto que los elementos que aparecían en cada va-
riación eran distintos. Constituyen en alguna manera una generalización de este concepto el aceptar que
los elementos pueden aparecer repetidos un número arbitrario de veces, lo que nos conduce a una nueva
definición.
Llamaremos variaciones con repetición de orden n de m elementos distintos, y también variaciones
con repetición de m elementos tomados de n en n, a los distintos conjuntos ordenados de n elementos,
iguales o distintos, elegidos entre los m elementos dados.
Dos variaciones con repetición serán, pues, distintas cuando difieran en algún elemento o en el
orden de colocación de los mismo.
El número de variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n se suele representar por
RVm,n, y a veces también por RVnm.
Ejemplo 7. Consideremos el conjunto A = 1, 2, 3, 4. La variaciones con repetición de orden 2 de los cuatro
elementos de A son:
11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44
Así
RV4,2 = 16 .
¡¡Atención!! Al contrario de lo que pasaba con las variaciones, aquí n no está limitado por m.
La forma de establecer la variaciones con repetición es en todo análoga a la forma en que se establecieron
las variaciones (sin repetición). Así, supuestas establecidas la variaciones con repetición de m elemen-
tos tomados de n−1 en n−1, bastará añadir a cada una de ellas, cada uno de los m elementos dados,
obteniéndose de esta manera todas las variaciones con repetición de orden n. La relación que se verifica
ahora es:
RVm,n =RVm,n−1 ⋅m
Como RVm,1 =m, la aplicación reiterada de la igualdad anterior conduce a la fórmula general
RVm,n =mn .
132
Ejemplo 8. El número de variaciones con repetición de 3 elementos tomados de 2 en 2 es
RV3,2 = 32 = 9 .
Ejemplo 9. El número de variaciones con repetición de 2 elementos tomados de 3 en 3 es
RV2,3 = 23 = 8 .
Si los elementos son los del conjunto A = 1, 2, las variaciones con repetición son las siguientes:
11, 12, 21, 22´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
RV2,2 = 4
Ô⇒ 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
RV2,3 = 8
Llamaremos permutaciones de m elementos distintos a los distintos conjuntos ordenados cuyos ele-
mentos son los m dados.
Dos permutaciones serán, pues, distintas cuando difieran en el orden de colocación de sus ele-
mentos.
Las permutaciones son un caso particular de las variaciones de m elementos de n en n, aquél en el que
m = n. Así, si Pm designa al número de permutaciones de m elementos, se tiene que
Pm =Vm,m =m ⋅(m−1) ⋅ ......... ⋅(m−m+1) =m!
Ejemplo 10. Consideremos el conjunto A = 1, 2, 3. Las permutaciones de esos tres elementos son
123, 132, 213, 231, 312, 321
Así
P3 = 3! = 3 ⋅2 ⋅1 = 6 .
Con independencia de que puedan ser tratadas como variaciones, existe una manera sencilla de escribir
directamente las permutaciones de m elementos de manera ordenada: Si se designan éstos, como venimos
haciendo, con las cifras 1, 2, 3, ........., m, se obtendrán todas las permutaciones escribiendo en sucesión
creciente todos los números que pueden formarse con tales cifras.
Ejemplo 11. Consideremos el conjunto A = 1, 2, 3, 4 .
Las P4 = 4! = 4 ⋅3 ⋅2 ⋅1 = 24 permutaciones de esos cuatro elementos son:
1234 2134 3124 4123
1243 2143 3142 4132
1324 2314 3214 4213
1342 2341 3241 4231
1423 2413 3412 4312
1432 2431 3421 4321
133
Veamos algunos ejemplos más sobre permutaciones.
Ejemplo 12. Determinar cuantos números se pueden formar con las cinco primeras cifras significativas, sin
que se repita ninguna de ellas, y que sean menores de 54000.
El total de números de cinco cifras formadas con las cinco primeras cifras significativas es,
P5 = 5! = 5 ⋅4 ⋅3 ⋅2 ⋅1 = 120 ,
de las cuales empiezan por 54,
P3 = 3! = 3 ⋅2 ⋅1 = 6
luego, el total de los números pedidos es
P5−P3 = 120−6 = 114 .
Ejemplo 13. Determinar de cuantas maneras se pueden alinear los n primeros números pares y los n prime-
ros números impares, de formas que no haya dos números pares seguidos y que los impares estén en orden
decreciente.
Dentro de cada alineación los números impares estarán siempre en orden decreciente, luego conservarán siempre el
mismo orden.
Con los números pares se pueden forman n! permutaciones, cada una de las cuales dará lugar a dos alineaciones
distintas, según que empiece por número par o impar; luego el número total de alineaciones será:
2 ⋅n! .
En muchas ocasiones interesa considerar permutaciones con repetición, es decir, entre elementos no
todos distintos, así como calcular su número. Aunque las permutaciones son un caso particular de las
variaciones, las permutaciones con repetición son un concepto completamente distinto de las variaciones
con repetición.
Llamaremos permutaciones con repetición de m elementos, entre los cuales hay ααα i iguales entre sí,
siendo ααα1+ααα2+ .........+αααp =m , a los distintos conjuntos ordenados cuyos elementos son los m dados.
Se considerarán distintas dos permutaciones con repetición, si al menos hay un par de elementos situados
en el mismo lugar, en una y otra, que son distintos.
El número de permutaciones con repetición que acabamos de definir se suele representar por
Pααα1, ααα2, ......... , αααpm
En la practica no se indican los ααα i que valen 1.
134
Ejemplo 14. Las permutaciones con repetición de los números 1, 1, 2 son:
112 , 121 , 211 .
Así
P23 = 3 .
Veamos como se establece el número de permutaciones con repetición: Supuesto que se han formado las
permutaciones con repetición de m elementos entre los cuales hay ααα1 iguales entre sí, siendo todos los
demás distintos, si en vez de los ααα i elementos iguales se colocan ααα i elementos distintos y se permutan
éstos de todas las maneras posibles, de cada una de las permutaciones anteriores resultarán ααα i! permuta-
ciones distintas, que estarán formadas por m elementos distintos y cuyo número sabemos que es m!. Se
tiene así la relación
m! = Pααα1m ⋅ααα!
es decir
Pααα1m =
m!ααα!
.
Cuando además hay otros ααα2 elementos iguales, repitiendo el razonamiento resultará que el número de
permutaciones con repetición distintas quedará dividido por ααα2!, es decir
Pααα1, ααα2m =
m!ααα1! ⋅ααα2!
En general, el número de permutaciones con repetición que se pueden formar con m elementos, entre los
cuales hay ααα1 iguales entre sí, ααα2 iguales entre sí y distintos de los anteriores, y así sucesivamente hasta
αααp iguales entre sí y distintos de todos los anteriores es:
Pααα1, ααα2, ......... , αααpm =
m!ααα1! ⋅ααα2! ⋅ ......... ⋅αααp
siendo
ααα1+ααα2+ .........+αααp =m .
Ejemplo 15. El número de permutaciones con repetición de los números 1, 1, 1, 2, 2 es:
P3,25 = 5!
3! ⋅2!= 5 ⋅4 ⋅3 ⋅2 ⋅1
3 ⋅2 ⋅1 ⋅2 ⋅1 = 10
Las permutaciones son las siguientes
11122 , 11212 , 11221 , 12112 , 12121
12211 , 21112 , 21121 , 21211 , 22111
135
Una manera de obtener los Pαααm, conocidas Pn, es sustituir en estas ααα números cualesquiera por uno de ellos, y
eliminar los elementos repetidos: Así, m = 3, ααα = 2 tendremos,
P3 = 3! = 6 (123, 132, 213, 231, 312, 321) .
P23 =
3!2!
= 3 ; haciendo 1 = 2 Ô⇒ (113 131 113ÓÒ 131ÓÒ 311 311ÓÒ) Ô⇒ (113 131 311) .
Ejemplo 16. Determinar el número de quinielas distintas que pueden rellenarse de manera que todas tengan
nueve 1, tres× y dos 2. (Cada quiniela tiene un total de 14 casillas).
Se tiene en este caso:
P9,3,214 = 14!
9! ⋅3! ⋅2!= 20020 .
Llamaremos combinaciones de orden n de m elementos distintos, siendo n ⩽m, y también combina-
ciones de m elementos tomados de n en n, a los distintos conjuntos de n elementos elegidos entre m
elementos dados.
Dos combinaciones serán, pues, distintas cuando difieran en algún elemento.
El número de combinaciones de m elementos tomados de n en n se suele representar por Cm,n, y a veces
también por Cnm.
Ejemplo 17. Consideremos el conjunto A = 1, 2, 3, 4 . Las combinaciones de orden 3 de los cuatro elementos
de A son:
123, 124, 134, 234
Así
C4,3 = 4 .
En las combinaciones no cuenta el orden en que se escriben los elementos como ocurría con las variacio-
nes; sin embargo, resulta cómodo escribirlas en orden creciente, tal como muestra el ejemplo anterior.
Para determinar su número hacemos lo siguiente: Consideremos formadas todas las combinaciones de
orden n de m elementos y a partir de cualquiera de ellas, que contiene n elementos, se forman todas
las permutaciones posibles, que son n! . Procediendo de esta manera resulta que a partir de todas las
combinaciones obtenemos todas las variaciones; se verifica entonces la relación:
Vm,n =Cm,n ⋅n!
de donde
Cm,n =Vm,n
n!.
136
Otra expresión para el número de combinaciones se obtiene a partir de la anterior
Cm,n =m ⋅(m−1) ⋅ ......... ⋅(m−n+1)
n!
a base de multiplicar y dividir por (m−n)! ; así
Cm,n =m ⋅(m−1) ⋅ ......... ⋅(m−n+1) ⋅(m−n)!
n! ⋅(m−n)!
o lo que es lo mismo
Cm,n =m!
n! ⋅(m−n)!.
Ejemplo 18. Determinar de cuantas maneras se pueden distribuir 10 naipes entre dos jugadores dando 4 a
cada uno.
Al primer jugador se le pueden entregar 4 naipes de C10,4 maneras distintas, y en cada caso para el segundo jugador
quedan 6 naipes, que se le pueden entregar de C6,4 maneras diferentes.
En total se tendrá
C10,4 ⋅C6,4 =10 ⋅9 ⋅8 ⋅74 ⋅3 ⋅2 ⋅1 ⋅ 6 ⋅4 ⋅3 ⋅2
4 ⋅3 ⋅3 ⋅1 = 210 ⋅6 = 1260 .
En línea con lo establecido para las variaciones y las permutaciones vamos a considerar ahora, en el caso
de las combinaciones, la posibilidad de que aparezcan elementos repetidos, lo que nos conduce una vez
más a una nueva definición.
Llamaremos combinaciones con repetición de orden n de m elementos distintos, y también combi-
naciones con repetición de m elementos tomados de n en n, a los distintos grupos de n elementos,
iguales o distintos, elegidos entre los m dados, considerando como iguales los formados por los mismos
elementos repetidos igual números de veces.
Dos combinaciones con repetición serán, pues, distintas cuando difieran en algún elemento.
El número de combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n se suele representar por
RCm,n, y a veces también por RCnm .
Ejemplo 19. Consideremos el conjunto A = 1, 2, 3, 4 . Las combinaciones con repetición de orden 2 de los
cuatro elementos de A son:
11, 12, 13, 14, 22, 23, 24, 33, 34, 44
Así
RC4,2 = 10 .
¡¡Atención!! Lo mismo que en el caso de las variaciones con repetición, aquí n no está limitado por m.
137
Para establecer el número de combinaciones con repetición, de m elementos tomados de n en n, nos valemos del si-
guiente artificio: Si representamos los m elementos, tal como veníamos haciendo, por los números 1, 2, 3, ........., m,
y consideramos una combinación con repetición cualquiera, entendiendo que los números dentro de la combinación
están en orden creciente, si sumamos el primero, segundo, ........., n-esímo elemento de la misma, respectivamente
los números 0, 1, ........, n−1 resultará siempre una combinación (sin repetición) de orden n de un conjunto de
m+n−1 elementos, puesto que dos elementos que eventualmente podían aparecer repetidos se han transformado
en elementos distintos pues les hemos sumado números diferentes y, por otra parte, dos elementos que ya fueran
distintos se transforman en otras dos también distintos puesto que al mayor de ellos le sumamos un número mayor
que al primero; el mayor número que puede aparecer así es el m+n−1.
Procediendo ahora a la inversa, es decir, dada una combinación (sin repetición) de m+n−1 elementos, también
ordenados los números que la componen en orden creciente, queda determinada una combinación con repetición,
de m elementos tomados de n en n, sin más que restar al primero, segundo, ........., n-esímo elemento de la misma,
respectivamente los números 0, 1, ........, n−1.
En consecuencia el número de combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n, coincide con el
número de combinaciones (sin repetición) de m+n−1 elementos tomados de n en n, es decir
RCm,n =Cm+n−1,n .
Ejemplo 20. Siguiendo el proceso anterior veamos como determinar las combinaciones con repetición de 3
elementos tomados de 4 en 4.
Formados las C3+4−1,4 = C6,4 =6!
4! ⋅2!= 15 combinaciones (sin repetición), de 6 elementos tomados de 4 en 4, y
restando en la forma indicada ( 0, 1, 2, 3 a los números situados en las posiciones 1ª, 2ª, 3ª y 4ª ) resultan las
combinaciones con repetición que nos interesan.
Combinaciones Ô⇒ Combinaciones con repetición
1234.................................................................................1111
1235.................................................................................1112
1236.................................................................................1113
1245.................................................................................1122
1246.................................................................................1123
1256.................................................................................1133
1345.................................................................................1222
1346.................................................................................1223
1356.................................................................................1233
1456.................................................................................1333
2345.................................................................................2222
2346.................................................................................2223
2356.................................................................................2233
2456.................................................................................2333
3456.................................................................................3333
138
Lección 13.- NÚMEROS COMBINATORIOS
13.1 Números combinatorios
13.1 Números combinatorios
En las más diversas ramas de las matemáticas se presentan cocientes del tipo
m!n! ⋅(m−n)!
que tal como hemos visto en la lección anterior puede interpretarse como el número de combinaciones
de m elementos tomados de n en n, Cm,n . Con mucha frecuencia se utiliza un simbolismo especial,
acompañado de un lenguaje también específico; así, dicho número se representa por (mn), es decir
(mn) =
m!n! ⋅(m−n)!
y se le llama número combinatorio. Se dice así mismo que el número combinatorio (mn) es
de orden n.
Podemos escribir, por tanto, que
Cm,n = (mn) y RCm,n = (
m+n−1n
)
Así como, por ejemplo, que
(m0) = 1 , (
m1) =m , (
mm) = 1
La mayoría de las propiedades de los números combinatorios son tan sencillas de comprobar como luego
útiles; veamos algunas de ellas.
PROPOSICIÓN 1. Dos números combinatorios con igual numerador m y con denominadores n y
n′ tales que n+n′ =m son iguales.
En efecto: Se tiene que
(mn) = m!
n! ⋅(m−n)!
(mn′
) = ( mm−n
) = m!(m−n)! ⋅(m−m+n)!
= m!(m−n)! ⋅n!
luego
(mn) = ( m
m−n)
A esta igualdad se le suele llamar fórmula de los complementos.
139
PROPOSICIÓN 2. Todo número combinatorio se puede expresar como suma de dos, en la forma
siguiente:
(mn) = (
m−1n
)+(m−1n−1
) .
En efecto: Consideremos el segundo miembro de la igualdad que queremos establecer y operamos:
(m−1n
)+(m−1n−1
)= (m−1)!n! ⋅(m−1−n)!
+ (m−1)!(n−1)! ⋅(m−1−n+1)!
=
= (m−1)!n! ⋅(m−1−n)!
+ (m−1)!(n−1)! ⋅(m−n)!
=
= (m−1)! ⋅(m−n)+(m−1)! ⋅nn! ⋅(m−n)!
=
= (m−1)! ⋅(m−n+n)n! ⋅(m−n)!
= m!n! ⋅(m−n)!
= (mn)
Obtenemos así el primer miembro, y la igualdad que nos interesaba queda probada.
A esta igualdad se le suele llamar fórmula de la adición.
La propiedad anterior permite escribir muy fácilmente los números combinatorios de orden n conocidos
los de orden (n−1), lo que da origen al denominado triángulo de Tartaglia. (A veces llamado, también,
triángulo de Pascal).
(10) (1
1)
(20) (2
1) (2
2)
(30) (3
1) (3
2) (3
3)
(40) (4
1) (4
2) (4
3) (4
4)
.....................................................................
en el que cada término es la suma de los dos que tienen encima.
En la practica, y con la interpretación anterior, se suele escribir así:
1
m = 1 ∶ 1 1
m = 2 ∶ 1 2 1
m = 3 ∶ 1 3 3 1
m = 4 ∶ 1 4 6 4 1
........... .................................
140
PROPOSICIÓN 3. Todo número combinatorio admite la siguiente descomposición:
(m+1n+1
) = (mn)+(
m−1n
)+(m−2
n)+ ........ +(
n+1n
)+(nn)
En efecto: Escritas las siguientes igualdades elementales
(m+1n+1
) = ( mn+1
)+(mn)
( mn+1
) = (m−1n+1
)+(m−1n
)
(m−1n+1
) = (m−2n+1
)+(m−2n
)
....................................................
(n+2n+1
) = (n+1n+1
)+(n+1n
)
(n+1n+1
) = (nn)
si sumamos miembro a miembro y simplificamos resulta directamente la igualdad enunciada.
El número combinatorio admite una generalización importante que consiste en admitir que su numerador
pueda ser un número real cualquiera, no necesariamente un número natural, condición ésta que se reserva
sólo para el denominador; entonces
(an) =
n³¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹·¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹µa ⋅(a−1) ⋅(a−2) ⋅ ......... ⋅(a−n+1)
n!
Ejemplo 1. Calcular los números combinatorios (−32) y
⎛⎜⎜⎝
12
3
⎞⎟⎟⎠
.
(−32) = (−3) ⋅(−3−1)
2!= (−3) ⋅(−4)
2 ⋅1 = 122
= 6
⎛⎜⎜⎝
12
3
⎞⎟⎟⎠=
12⋅( 1
2−1) ⋅( 1
2−2)
3!=
12⋅(− 1
2) ⋅(− 3
2)
3 ⋅2 ⋅1 =386
= 116
141
Apliquemos ahora lo anterior al manejo de potencias de binomios y polinomios.
Una relación importante en la que intervienen números combinatorios y en cuyo establecimiento se
utiliza el principio de inducción completa la constituye la que expresa explícitamente la potencia entera
de un binomio.
PROPOSICIÓN 4. Si a y b son números reales cualesquiera, y n es un número entero positivo
dado, se verifica
(a+b)n= (
n0) ⋅an
+(n1) ⋅an−1
⋅b+(n2) ⋅an−2
⋅b2+ ........ +(
nn−1
) ⋅a ⋅bn−1+(
nn) ⋅bn .
En efecto: Vamos a demostrarlo aplicando el principio de inducción completa.
La igualdad que nos interesa puede compactarse en la forma siguiente:
(a+b)n =n∑k=0
(nk) ⋅an−k ⋅bk
La inducción la haremos sobre el número n.
1º.- La igualdad dada es cierta para n = 1, puesto que
1∑k=0
(1k) ⋅a1−k ⋅bk = (1
0) ⋅a+(1
1) ⋅b = a+b = (a+b)1
2º.- Supongamos ahora que la igualdad dada es cierta para n, y establezcámosla para n+1 .
La hipótesis de inducción es, por tanto,
(a+b)n =n∑k=0
(nk) ⋅an−k ⋅bk .
Multiplicando los dos miembros de la misma por a+b resulta
(a+b)n+1 = [n∑k=0
(nk) ⋅an−k ⋅bk] ⋅(a+b)
142
Transformaremos ahora el segundo miembro, que será
n∑k=0
(nk) ⋅an+1−k ⋅bk+
n∑k=0
(nk) ⋅an−k ⋅bk+1 =
= (n0) ⋅an+1+
n∑k=1
(nk) ⋅an+1−k ⋅bk+
n+1∑k=1
( nk−1
) ⋅an−k+1 ⋅bk =
= (n0) ⋅an+1+
n∑k=1
(nk) ⋅an+1−k ⋅bk+
n+1∑k=1
( nk−1
) ⋅an−k+1 ⋅bk+(nn) ⋅bn+1 =
= (n0) ⋅an+1+
n∑k=1
[(nk)+( n
k+1)] ⋅an+1−k ⋅bk+(n
n) ⋅bn+1 =
= (n0) ⋅an+1+
n∑k=1
(n+1k
) ⋅an+1−k ⋅bk+(nn) ⋅bn+1 =
= (n+10
) ⋅an+1+n∑k=1
(n+1k
) ⋅an+1−k ⋅bk+(n+1n+1
) ⋅bn+1 =
=n+1∑k=0
(n+1k
) ⋅an+1−k ⋅bk .
Luego en definitiva resulta
(a+b)n+1 =n+1∑k=0
(n+1k
) ⋅an+1−k ⋅bk .
En virtud del principio de inducción completa queda establecida la fórmula dada, para todo número natural
n ⩾ 1.
La propiedad establecida en la proposición anterior se suele llamar fórmula del binomio de Newton.
Ejemplo 2. Determinar el coeficiente de x4 ⋅y6 en el desarrollo de (x+y)10 .
De acuerdo con la fórmula del binomio de Newton, el sumando correspondiente es el
(106) ⋅x4 ⋅y6
luego el coeficiente es
(106) = (10
4) = 10 ⋅9 ⋅8 ⋅7
4 ⋅3 ⋅2 ⋅1 = 210 .
143
Ejemplo 3. Desarrollar (x+y)5, apoyándonos en la fórmula de Newton y el triángulo de Tartaglia.
(x+y)5 = (50) ⋅x5+(5
1) ⋅x4 ⋅y+(5
2) ⋅x3 ⋅y2+(5
3) ⋅x2 ⋅y3+(5
4) ⋅x ⋅y4+(5
5) ⋅y5
y como
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
se tiene
(x+y)5 = x5+5 ⋅x4 ⋅y+10 ⋅x3 ⋅y2+10 ⋅x2 ⋅y3+5 ⋅x ⋅y4+y5
Así como en la potencia de un binomio se manejan números combinatorios, cuando se trata de la po-
tencia de un polinomio lo que aparecen son permutaciones con repetición, que tienen aquí una de sus
aplicaciones más importantes. Vamos enunciar, sin demostrar, la fórmula que nos da una tal potencia:
PROPOSICIÓN 5. Si a1, a2, ........., an son números reales cualesquiera, y m es un número entero
positivo dado, se verifica:
(a1+a2+ ......... +an)m= ∑
βββ 1+βββ 2+ ...+βββ n=m
m!βββ 1! ⋅βββ 2! ......... ⋅βββ n!
⋅aβββ 11 ⋅aβββ 2
2 ⋅ .........aβββ nn
donde βββ 1, βββ 2, ......... +βββ n reciben todos los sistemas posibles de valores naturales en que se puede
descomponer el número m.
A la igualdad establecida en esta propiedad se le suele llamar fórmula de Leibniz.
Ejemplo 4. Determinar el coeficiente de x8 en el desarrollo de (3 ⋅x2+2 ⋅x+1)6 .
La fórmula de Leibniz dice en este caso:
(3 ⋅x2+2 ⋅x+1)6 = ∑ααα+βββ+γγγ=6
6!ααα! ⋅βββ ! ⋅γγγ!
⋅(3 ⋅x2)ααα ⋅(2 ⋅x)βββ ⋅(1)γγγ
Veamos qué valores de ααα, βββ , γγγ dan términos con x8:
ααα βββ γγγ
2 4 0
3 2 1
4 0 2
144
Los correspondientes términos son:
6!2! ⋅4! ⋅0!
⋅(3 ⋅x2)2 ⋅(2 ⋅x)4 ⋅(1)0 = 2160 ⋅x8
6!3! ⋅2! ⋅1!
⋅(3 ⋅x2)3 ⋅(2 ⋅x)2 ⋅(1)1 = 648 ⋅x8
6!4! ⋅0! ⋅2!
⋅(3 ⋅x2)4 ⋅(2 ⋅x)0 ⋅(1)2 = 1215 ⋅x8
que sumados dan 9855 ⋅x8; luego el coeficiente pedido es el
9855 .
Ejemplo 5. Determinar el coeficiente de x4 ⋅y2 en el desarrollo de (2 ⋅x2+2 ⋅x ⋅y+1)6 .
La fórmula de Leibniz dice en este caso:
(2 ⋅x2+2 ⋅x ⋅y+1)6 = ∑ααα+βββ+γγγ=6
6!ααα! ⋅βββ ! ⋅γγγ!
⋅(2 ⋅x2)ααα ⋅(2 ⋅x ⋅y)βββ ⋅(1)γγγ
Veamos que valores de ααα, βββ , γγγ dan términos x4 ⋅y2:
ααα βββ γγγ
1 2 3
El único término que se obtiene es el:
6!1! ⋅2! ⋅3!
⋅(2 ⋅x2)1 ⋅(2 ⋅x ⋅y)2 ⋅(1)3 = 480 ⋅x4 ⋅y2
luego el coeficiente pedido es el
480 .
Si en la fórmula del binomio de Newton
(a+b)n= (
n0) ⋅an
+(n1) ⋅an−1
⋅b+ ......... +(n
n−2) ⋅a2
⋅bn−2+(
nn−1
) ⋅a ⋅bn−1+(
nn) ⋅bn
hacemos: a = x y b = 1, tendremos:
(x+1)n= xn
+n ⋅xn−1+ ......... +
n ⋅(n−1)2
⋅x2+n ⋅x+1
luego
(x+1)n=A ⋅x+1
siendo
A = xn−1+n ⋅xn−2
+ ......... +n ⋅(n−1)
2⋅x+n
145
y
(x+1)n=B ⋅x2
+n ⋅x+1
siendo
B = xn−2+n ⋅xn−3
+ ......... +n ⋅(n−1)
2Observemos que, si x es un número entero también lo son A y B.
Las fórmulas anteriores nos van a permitir resolver algunos ejercicios; entre otros los siguientes.
Ejemplo 6. Comprobar que para todo n ∈N el número
4n+15 ⋅n−1
es divisible por 9.
Podemos escribir que
4n+15 ⋅n−1= (3+1)n+15 ⋅n−1 == (9 ⋅A+3 ⋅n+1)+15 ⋅n−1 = 9 ⋅A+18 ⋅n = 9 ⋅(A+2 ⋅n) = 9
siendo:
A = 3n−2+3n−3 ⋅n+ ......... + n ⋅(n−1)2
puesto que:
(3+1)n = (n0) ⋅3n+(n
1) ⋅3n−1+ .........+( n
n−2) ⋅32+( n
n−1) ⋅3+(n
n) =
= 3n+n ⋅3n−1+ ......... + n ⋅(n−1)2
⋅32+n ⋅3+1 =
= 32 ⋅(3n−2+n ⋅3n−3+ ......... + n ⋅(n−1)2
)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
A
+3 ⋅n+1
Ejemplo 7. Determinar la suma de los coeficientes de los términos x20, x21, x22, x23, x24 del desarrollo de
A = (x+x2+x3+ ......... +x10)4
Observemos que la expresión de A puede escribirse como sigue:
A = x4 ⋅( x10−1x−1
)4
= x4 ⋅(1−x10)4 ⋅(1−x)−4
Desarrollando ahora los dos últimos factores tendremos
A= x4 ⋅(1−4 ⋅x10+6 ⋅x20− .........) ⋅[1−(−41) ⋅x+(−4
2) ⋅x2+(−4
3) ⋅x3+ ......] =
= x4 ⋅(1−4 ⋅x10+6 ⋅x20− .........) ⋅[1+(41) ⋅x+(5
2) ⋅x2+(6
3) ⋅x3+ .........] =
= x4 ⋅(1−4 ⋅x10+6 ⋅x20− .........) ⋅[1+(41) ⋅x+(5
2) ⋅x2+ ......... +(n+3
n) ⋅xn+ ......]
146
Los términos que nos interesan son:
x20 ∶ x4 ⋅[1 ⋅(1916
)−4 ⋅(96)] ⋅x16
x21 ∶ x4 ⋅[1 ⋅(2017
)−4 ⋅(107)] ⋅x17
x22 ∶ x4 ⋅[1 ⋅(2118
)−4 ⋅(118)] ⋅x18
x23 ∶ x4 ⋅[1 ⋅(2219
)−4 ⋅(129)] ⋅x19
x24 ∶ x4 ⋅[1 ⋅(2320
)−4 ⋅(1310
)+6] ⋅x20
Luego la suma de los coeficientes pedidos será
S = (1916
)+(2017
)+(2118
)+(2219
)+(2320
)−4 ⋅[(96)+(10
7)+(11
8)+(12
9)+(13
10)]+6
Nos evita un buen número de operaciones el aplicar la siguiente propiedad de los números combinatorios:
(m+1n+1
) = ( mn+1
)+(m−1n
)+(m−2n−1
)+ ......... +(m−n1
)+(m−n−10
)
Así tenemos
S = (2420
)−(1915
)−4 ⋅[(1410
)−(95)]+6 = 3528
En efecto: Aplicando la fórmula anterior, dos veces, tenemos
(2420
) = (2320
)+(2219
)+(2118
)+(2017
)+(1916
)+ ......... +(41)+(3
0)
(1915
) = (1815
)+(1714
)+ .......... +(41)+(3
0)
y restando, la primera de la segunda, tenemos
(2410
)−(1915
) = (2320
)+(2219
)+(2118
)+(2017
)+(1916
) .
Procediendo de la misma manera, se tiene
(1420
) = (1310
)+(129)+(11
8)+(10
7)+(9
6)+(8
5)+ . . . . . . +(4
1)+(3
0)
(95) = (8
5)+(7
4)+(6
3)+(5
2)+(4
1)+(3
0)
y restando, tenemos
(1410
)−(95) = (13
10)+(12
9)+(11
8)+(10
7)+(9
6) .
147
Otra propiedad de los números combinatorios, análoga a la anterior, y que vale la pena retener, es la
siguiente
(m+1n+1
) = (mn)+(
m−1n
)+(m−2
n)+ ......... +(
n+1n
)+(nn) .
148
Lección 14.- CÁLCULO DE PROBABILIDADES
14.1 Cálculo de probabilidades
14.1 Cálculo de probabilidades
La teoría de la probabilidad es una rama de las Matemáticas aplicadas que tratan de los efectos del azar.
La palabra azar que se utiliza a menudo en el lenguaje diario, suele serlo de una manera bastante indefi-
nida. Contrapuesta a azar aparece la palabra necesidad, que puede ser lógica o física.
Así, la afirmación: “La suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos rectos”, es una necesidad
lógica (siempre que aceptemos los axiomas de la Geometría euclidiana).
Sería una necesidad física la que se deduce de la afirmación: “Un dado, arrojado sobre un tapete, nunca
queda sostenido sobre una arista”.
Decir que el azar es la negación de la necesidad es una afirmación demasiada vaga, pero algunos ejem-
plos pueden ayudar a entenderla mejor. Si arrojamos un dado sobre una mesa, estamos seguros de que
alguna de sus seis caras quedará hacia arriba. Pero el hecho de que quede hacia arriba una cara particular
depende de lo que hemos llamado azar, y no puede ser predicho.
Otro ejemplo: Si números iguales de bolas blancas y negras, que no difieren en otra cosa que en el color,
se hallan encerradas es una urna, y sacamos una de ellas, a ciegas, es perfectamente cierto que su color
será blanco o negro, pero si será uno de ellos, no podemos predecirlo; ello depende del azar.
La idea de la necesidad está íntimamente vinculada con la de certeza, mientras que la de azar está
relacionada con la de posibilidad o probabilidad.
Un acontecimiento A puede presentarse en varias formas particulares mutuamente excluyentes: a, b,
........., `; esto es, si se presenta A, uno y sólo uno de los acontecimientos: a, b, ........., ` se presen-
ta también, e inversamente, la presentación de uno de esos acontecimientos supone necesariamente la
presentación de A.
Así, si A consiste en sacar un as de una baraja, A puede suceder de cuatro maneras mutuamente
excluyentes: El as de oros, el de copas, el de espadas o el de bastos.
Si representamos el acontecimiento A por sus formas particulares a1, a2, ........., am que junto con
otros acontecimientos: am+1, ........., an constituyen un conjunto completo de casos mutuamente ex-
cluyentes e igualmente probables, consistentes con unas condiciones dadas, S, y a los acontecimientos
a1, a2, ........., am les llamamos “casos favorables a A”, podemos establecer una definición de proba-
bilidad matemática:
149
Si existen n casos igualmente probables, mutuamente excluyentes y completos, consistentes con
las condiciones S, y entre ellos hay m favorables a un cierto acontecimiento A, la probabilidad
matemática de A se define como la relaciónmn
.
Al objeto de ilustrar la anterior afirmación consideraremos unos ejemplos sencillos que tratarán de fijar
en que consiste este método directo de calcular probabilidades.
Ejemplo 1. Se arrojan dos dados. Se trata de determinar cual es la probabilidad de obtener un total de 8
puntos.
Hay 6 casos posibles en cuanto al número de puntos del primer dado, y otros tantos para el segundo dado. Luego el
número de casos posibles será n = 6×6 = 36.
Veamos cuales serán los casos favorables (que consisten en que la suma de los puntos de ambos dados sea 8):
Primer dado Segundo dado
2 .............. 6
3 .............. 5
4 .............. 4
5 .............. 3
6 .............. 2
Así, el número de casos favorables en m = 5, luego la probabilidad de obtener 8 puntos es:
p = 536
.
Ejemplo 2. Una moneda se arroja al azar 3 veces sucesivamente. Se pide determinar
1º.- la probabilidad de obtener dos caras (y una cruz).
2º.- la probabilidad de obtener al menos una cruz.
Observemos que en ambos casos el número de casos posibles es : n = 2×2×2 = 8.
1º.- Los casos favorables serán:
Primera tirada Segunda tirada Tercera tirada
Cara Cara Cruz
Cara Cruz Cara
Cruz Cara Cara
por tanto m = 3, y la probabilidad de obtener 2 caras es:
p = 38
.
2º.- Observemos que en este caso existe un único caso en el que no presentan cruces (cuando en las tres tiradas
salen siempre cara). Luego
m = 8−1 = 7
y por tanto
p = 78
.
150
Ejemplo 3. Si se sacan al azar 2 cartas de una baraja, determinar la probabilidad de que las dos cartas que
se han sacado sucesivamente sean ases.
Puesto que hay 52 cartas en la baraja, existen 52 maneras distintas de extraer una primera carta. Después de haber
extraído la primera carta, la segunda debe ser una de las 51 restantes. Por tanto, el número total de maneras distintas
se sacar dos cartas es
52×51 = 2652 .
Para encontrar el número de casos favorables para la obtención de 2 ases, observemos que existen 4 ases en la baraja;
por tanto, hay 4 maneras de sacar el primer as, y después de que éste ha sido extraído, hay 3 maneras de obtener el
segundo as. Por tanto, el número total de maneras distintas para obtener dos ases es
m = 4×3 = 12 .
En consecuencia:
p = 122652
= 1221
.
Ejemplo 4. Se sacan dos cartas de una baraja, de manera que después de haber sacado la primera, se vuelve
a reintegrarla a la baraja antes de sacar la segunda. Se pide, determinar la probabilidad de que ambas cartas
extraidas pertenezcan a un mismo palo (bien determinado).
Habra 52 maneras distintas de obtener la primera carta, y otras 52 maneras de sacar la segunda, luego el total será:
n = 52×52 = 2704 .
Ahora bien, debido a que existen 13 cartas de cada palo, el número total de casos favorables para obtener 2 cartas de
un palo dado será
13×13 = 169 .
En consecuencia
p = 1692704
= 116
.
Ejemplo 5. Una urna contiene 3 bolas blancas y 5 negras. Se saca una bola. ¿Cual es la probabilidad de que
sea negra?
En este caso tendremos:
n = 3+5 = 8 , m = 5 .
En consecuencia:
p = 58
.
151
Ejemplo 6. Una urna contiene 3 bolas blancas y 5 negras. Sacamos una bola y se la deja a un lado sin ver su
color, luego extraemos otra bola. ¿Cual es la probabilidad de que esta nueva bola sea blanca?
Existen 8 maneras de sacar la primera bola y sólo 7 maneras distintas de extraer la segunda bola. En consecuencia
el número de casos igualmente probables será:
n = 8×7 = 56 .
Calculemos, ahora, el número de casos favorables: Si la primera bola sacada es blanca, posible de 3 maneras distintas,
sólo quedarán dos bolas blancas, que podrán ser extraidas de dos maneras distintas. Luego, el número de casos en
que pueden salir dos bolas blancas es
m′ = 3×2 = 6 .
Supongamos ahora que la primera bola sacada era negra; extracción que era posible en 5 casos. Podemos entonces
sacar una bola blanca, puesto que siguen quedando tres, de 3 maneras distintas. En consecuencia, el número de casos
en que pueden salir, sucesivamente, bola negra y bola blanca es de
m′′ = 5×3 = 15 .
El número de casos favorables será, por tanto, de
m = 6+15 = 21 ,
y la posibilidad que nos interesa es
p = 2156
= 38
.
Como curiosidad observamos que esta posibilidad coincide con la de, directamente, extraer una bola y que ésta sea
blanca.
Ejemplo 7. Consideremos tres cajas idénticas. La primera contiene dos monedas de oro, la segunda dos
monedas de plata y la tercera una moneda de oro y otra de plata.
Elegida una caja al azar, la pregunta es: ¿Cual es la probabilidad de que contenga monedas de distintos
metales, si en una elección de la caja, se abre y se encuentra una moneda de oro?
Designemos, en la 1ª caja, las monedas 1 (oro) y 2 (oro); en la 2ª caja 3 (plata) y 4 (plata); por último, en la 3ª caja
5 (oro) y 6 (plata).
En lugar de los 3 casos igualmente posibles
Caja 1 , Caja 2 , Caja 3 ,
tenemos 6 casos:
monedas 1 y 2 , monedas 3 y 4 , monedas 5 y 6 ,
que deben considerarse igualmente probables:
Si no se supiese nada respeto del contenido de la caja que se ha abierto, las posibilidades serian cualquiera de los
números
1, 2, 3, 4, 5, 6 ,
152
pero en cuanto extraigamos una moneda de oro en la caja elegida, sólo quedarán tres suposiciones igualmente
probables para la segunda moneda:1, 2 , 6 .
Con esto quedan tres casos, y sólo uno de ellos, es decir el 6 conducirá a que la moneda sea de plata (lo que significa
que la caja contendrá monedas de distintos metales).
En consecuencia la respuesta esp = 1
3.
Veamos, ahora, como en los ejemplos siguientes utilizamos la combinatoria.
Ejemplo 8. Una urna contiene a bolas blancas y b bolas negras. Si sacamos de esta urna ααα +βββ bolas, deter-
minar la probabilidad de que entre ellas haya exactamente ααα bolas blancas y βββ bolas negras.
Si no distinguimos el orden en el cual van saliendo las bolas de la urna, el número total de maneras distintas de
obtener ααα +βββ bolas del número total, a+b, será
n = Ca+b, ααα+βββ (combinaciones de a+b elementos tomados ααα +βββ en ααα +βββ )
siendo éste el número de todos los casos posibles e igualmente probables en este problema.
Por otra parte , el número total de maneras de obtener ααα bolas blancas del total de a bolas blancas existen
en la urna es
Ca,ααα (combinaciones de a elementos tomados de ααα en ααα)
Análogamente , número total de maneras de obtener βββ bolas negras del total de b bolas negras existentes
en la urna es
Cb,βββ (combinaciones de b elementos tomados de βββ en βββ )
Ahora bien, cada grupo de ααα bolas blancas se combina con cada uno de los posibles grupos de βββ bolas negras de
modo que el número total de maneras distintas de formar todos los grupos que contiene ααα bolas blancas y βββ bolas
negras, es:
m = Ca,ααα ⋅Cb,βββ
que representa el número de los casos favorables.
En consecuencia, la probabilidad pedida es
p =Ca,ααα ⋅Cb,βββ
Ca+b, ααα+βββ
.
Por ejemplo, si (a = 5 , b = 3) y (ααα = 3 , βββ = 2) será
C5+3,3+2 = C8,5 =5!
5! ⋅(8−5)!= 8 ⋅7 ⋅6
3 ⋅2 = 56
C5,3 =5!
3! ⋅(5−3)!= 5 ⋅4
2= 10 ; C3,2 =
3!2! ⋅(3−2)!
= 31= 3
C5,3 ⋅C3,2 = 10 ⋅3 = 30
luego
n = 3056
= 1528
.
153
Ejemplo 9. De una urna que contiene a bolas blancas y b bolas negras se extrae un cierto número de bolas,
k, al azar, y se las aparta, ignorando su color. Luego se saca una bola más y se pide encontrar la probabilidad
de que sea blanca o negra.
Supongamos que las k bolas que hemos sacado en primer lugar y la última se colocan en k+1 lugares distintos, de
forma que la última ocupe la posición extrema derecha. El número total de maneras distintas de formar grupos de
k+1 bolas del número total de a+b bolas, teniendo en cuenta el orden es
Va+b,k+1 = (a+b) ⋅(a+b−1) ⋅ ......... ⋅(a+b−k)
que corresponden a las variaciones de a+b elementos tomados de k+1 en k+1. Corresponden al número total de
casos.
Para determinar el número de casos favorables a que la última bola sea blanca, habrá que tener en cuenta que las
anterores k bolas forman una de las posibles variaciones de las a+b−1 bolas restantes tomadas de k en k. Así, el
número de casos favorables es
a ⋅Va+b−1,k = a ⋅(a+b−1) ⋅ ......... ⋅(a+b−k) .
En consecuencia la propiedad pedida para una bola blanca es
p =a ⋅Va+b−1,kVa+b,k+1
= aa+b
.
En forma análoga se establecerá que la probabilidad para una bola negra es
p =b ⋅Va+b−1,k
Va+b,k+1= b
a+b.
Ejemplo 10. Si se arrojan n veces sucesivamente dos dados ¿Cuál es la probabilidad de obtener un doble 6,
por lo menos una vez?
El número de casos posibles en cada tirada es
6×6 = 36 ,
y que cada caso de la primera tirada se puede combinar con cada caso de la segunda tirada, y así sucesivamente,
resultará que el número total de casos en n tiradas será
36n .
En lugar de tratar de encontrar directamente el número de casos favorables, resulta mas fácil encontrar el número de
casos no favorables; es decir el número de casos en los cuales los dobles 6 están excluidos. Dado que en una tirada
hay 35 casos no favorables, en n tiradas habrá 35n.
Luego los casos favorables serán
36n−35n ,
y en consecuencia la probabilidad pedida es
p = 36n−35n
36n = 1−( 3536
)n.
154
La experiencia del ejemplo anterior nos dice que, si un dado se arrojan n veces seguidas, la probabilidad
de obtener 6 puntos, por lo menos una vez, sería
p = 1−(56
)
n.
Así mismo, si lo que queremos es determinar el número de tiradas suficiente para asegurar una probabi-
lidad >12
de obtener un 6, por lo menos una vez, tendremos que resolver la desigualdad
(3536
)
n<
12
,
resultando que:
n >log 2
log 36− log 35=
0,3010301,556303−1,544068
= 24,6......(≃ 25) .
Significa esto que en 25 tiradas hay mas posibilidad de obtener un doble 6, por lo menos una vez, que la
de no obtenerlo ninguna vez. Por esa razón, en 24 tiradas tendremos menos probabilidad de acertar que
de fallar.
Si se tratase de un sólo dado, resultará que en 4 tiradas hay mas probabilidades de obtener 6, por lo
menos una vez, que la de no obtener ninguno, pues de
(56
)
n<
12
resulta que
n >log 2
log 6− log 5=
0,3010300,778151−0,698970
= 3,8......(≃ 4) .
Ejemplo 11. Dada una urna que contiene n bolas, determinar la probabilidad de que, sacando un puñado de
ellas, el número de bolas extraídas sea par.
Dado que en la urna hay n bolas, una cualquiera puede extraerse de n maneras distintas; dos bolas de tantos modos
como pueden combinarse dos a dos de las n de la urna, es decir (n2) maneras; tres bolas de las n, de (n
3) maneras
diferentes; etc.
Así el número de casos posibles será:
m = (n1)+(n
2)+(n
3)+ ...... +(n
n) .
Por otra parte, el número de casos favorables corresponderá a las maneras distintas de combinarse dos a dos, cuatro
a cuatro; etc. la n bolas. Luego, tendremos
g = (n2)+(n
4)+ .........
155
Apliquemos, ahora, la expresión
(1+x)n = 1+(n1) ⋅x+(n
2) ⋅x2+(n
3) ⋅x3+ ......... +(n
n) ⋅xn
como sigue:
1.- (1+1)n
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶2n
= 1+(n1)+(n
2)+(n
3)+ ......... +(n
n)
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶m
luego
m = 2n−1
2.- (1−1)n = 1−(n1)+(n
2)−(n
3)+ ......... +(−1)n ⋅(n
n)
Sumando las expresiones 1.- y 2.- , resultará
2n = 2 ⋅
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1+(n2)+(n
4)+ .........
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶g
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦de donde
g = 2n−1−1 .
En consecuencia, la probabilidad de que cada extracción sea de un número par de bolas, será
p = gm
= 2n−1−12n−1
= 12− 1
2 ⋅(2n−1)
Observemos que la probabilidad de sacar un número impar de bolas en cada extracción, sería
q = 1−p = 1− 12+ 1
2 ⋅(2n−1) = 12+ 1
2 ⋅(2n−1) .
Además, como q > p, resultará mas probable sacar cada vez de una urna un número impar de bolas que un número
par. Ahora bien, cuanto mayor es el número n, tanto más se aproximan a la igualdad p y q.
Para n = 10, tendremos
p = 5111023
= 12− 1
2046, q = 512
1023+ 1
2046.
De m = 2n−1 y g = 2n−1−1, se deduce que: m−g = 2n−1, para el número de extracciones de un número impar de
bolas. Como para el número de extracciones de un número par es 2n−1−1, resultará que
2n−1−(2n−1−1) = 1 ,
es decir, el número de casos favorables para extraer un número impar es superior en 1, al que corresponde al de casos
favorables para extraer un número par de bolas.
Por último, apuntemos que si en la urna se dispone de 3 bolas, numeradas 1, 2 y 3 , respectivamente, las extracciones
pueden ser:
1, 2, 3, 1−2, 1−3, 2−3, 1−2−3 .
156
De estos siete casos posibles, tres corresponden a extracciones de un número par de bolas, y cuatro a las de un
número impar. En consecuencia,
p = 37
, g = 47
resultado que, evidentemente, puede deducirse de las fórmulas.
Ejemplo 12. En una urna hay n bolas numeradas de 1 a n. Determinar la probabilidad de que al sacar un
número arbitrario de bolas, la suma de los números escritos en ellas sea un número par.
El número de casos posibles, es decir, el de todas las sumas que se pueden formar con los n números, es
m = (n1)+(n
2)+(n
3)+ ......... +(n
n) = 2n−1 .
Para hallar los casos favorables correspondientes a las sumas de resultado par, habrá que distinguir, en primer lugar,
si el número n es par o impar.
I.- Supongamos que n sea par, es decir: n = 2 ⋅a:
En este caso, a bolas llevaran números pares, y a impares.
Una suma que nos de resultado par, puede obtenerse en las extracciones siguientes:
1.- sacando solamente bolas con número par
2.- sacando un número par de bolas con número impar
3.- cuando al mismo tiempo que se extraen bolas con número par, se saca un número par de bolas con
número impar.
Así, el total de sumas de resultado par, es decir, el de casos favorables será:
g =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(a
1)+(a
2)+ ...... +(a
a)⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(a
2)+(a
4)+ ......
⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭+
+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(a
1)+(a
2)+ ...... +(a
a)⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭⋅⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(a
2)+(a
4)+ ......
⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭de donde resultará que
g = (2a−1)+(2a−1−1)+(2a−1) ⋅(2a−1−1) = 22⋅a−1−1 = 2n−1−1 .
II.- Supongamos que n sea impar, es decir: 2 ⋅a+1.
En este caso, a bolas levan un número par, y a+1 bolas un número impar. Luego,
g =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(a
1)+(a
2)+ ...... +(a
a)⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(a+1
2)+(a+1
4)+ ......
⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭+
+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(a
1)+(a
2)+ ...... +(a
a)⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭⋅⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(a+1
2)+(a+1
4)+ ......
⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭en consecuencia tendremos:
g = (2a−1)+(2a−1)+(2a−1) ⋅(2a−1) = 22⋅a−1 = 2n−1−1 .
157
De I.- y II.- resulta que sea n par o impar, obtendremos siempre:
p = gm
= 2n−1−12n−1
Observamos que el resultado de este problema es el mismo que el del anterior.
158
Lección 15.- PROBABILIDAD TOTALY
PROBABILIDAD COMPUESTA
15.1 Probabilidad total y probabilidad compuesta
15.1 Probabilidad total y probabilidad compuesta
Suele ocurrir que los problemas se van complicando al crecer las dificultades para enumerar los casos.
Muchas complicaciones podremos evitarlas simplemente utilizando los dos teoremas que vamos a esta-
blecer, por otra parte fundamentales en la teoría de la probabilidad: el de la probabilidad total y el de la
probabilidad compuesta. Su enunciado precisa que definamos, previamente lo que entenderemos por
sucesos mutuamente excluyentes (o incompatibles).
Serán “acontecimientos mutuamente excluyentes” si la presentación de uno de ellos excluye la presen-
tación de todos los demás. En caso contrario los acontecimientos se llamarán “compatibles”.
El simbolismo que utilizamos será el siguiente: Para representar la probabilidad de un acontecimiento
A usaremos el símbolo (A), mientras que para representar la probabilidad de los acontecimientos A o B
(o ambos) utilizaremos el símbolo (A+B). En el caso de considerar varios acontecimientos A, B, ......,
L, el símbolo (A+B+ .........+ L) representará la probabilidad de que se produzca por lo menos uno
de los acontecimientos dados. En el caso de que los acontecimientos A, B, ......, L, sean mutuamente
excluyentes, dicho símbolo representará la probabilidad de que se presente uno de ellos, sin especificar
del que se trata.
Teorema de la probabilidad total. La probabilidad de que se produzca uno de los aconte-
cimientos A1, A2, ......... , An, mutuamente excluyentes, es la suma de las probabilidades de cada
uno de los acontecimientos:
(A1+A2+ ...... +An) = (A1)+(A2)+ ......... +(An) .
En efecto: Sea N el número de todos los casos posibles e igualmente probables para los cuales se tienen
m, casos favorables al acontecimiento A1 , m2 casos favorables al acontecimiento A2, ......y mn casos
favorables al acontecimiento An.
Todos los casos son distintos, puesto que A1, A2, ........., An son incompatibles.
El número de casos favorables a cualquiera de los acontecimientos A1, A2, ........., An, será, por tanto,
m1+m2+ ...... +mn .
159
Luego, en virtud de la definición
(A1+A2+ ......... +An) =m1+m2+ ...... +mn
N= m1
N+ m2
N+ ......... + mn
N.
Aplicando de nuevo la definición de probabilidad, será
m1N
= (A1) ,m2N
= (A2) , ......... ,mnN
= (An) ,
y en definitiva
(A1+A2+ ......... +An) = (A1)+(A2)+ ......... +(An)
como queríamos establecer.
El teorema anterior, enunciado de una manera algo distinta resulta especialmente útil en sus aplicaciones.
Dado que un acontecimiento, A, puede presentarse de varias formas A1, A2, ......... , An, mutuamente
excluyentes, podemos considerar éstas como si se tratase de acontecimientos mutuamente excluyentes.
Siempre que ocurre A uno de estos acontecimientos debe también ocurrir, y recíprocamente.
Por ejemplo, la obtención de 5 puntos al arrojar dos dados es A, acontecimiento que ocurre de
cuatro formas distintas mutuamente excluyentes:
(1, 4) , (2, 3) , (3, 2) , (4, 1)
Con este nuevo punto de vista, el teorema anterior puede enunciarse así:
Teorema de la probabilidad total (2ª forma). La probabilidad de un acontecimiento A es la
suma de las probabilidades de sus formas mutuamente excluyentes A1, A2, ......... , An; es decir
(A) = (A1)+(A2)+ ......... +(An) .
Ejemplo 1. Determinar la probabilidad de obtener 5 puntos al arrojar dos dados.
Tendremos que la probabilidad de ese acontecimiento (A) será:
p = 136
+ 136
+ 136
+ 136
= 436
= 19
en correspondencia con las cuatro formas mutuamente excluyentes
A1 = (1, 4) , A2 = (2, 3) , A3 = (3, 2) , A4 = (4, 1) .
Observemos que si los acontecimientos A1, A2, ......... , An fuesen no solamente excluyentes, sino ade-
más completos, es decir que necesariamente debe producirse uno de ellos, entonces la probabilidad de
que se presente uno de ellos es la certeza, es decir que debe tenerse
(A1)+(A2)+ ......... +(An) = 1 .
160
Un acontecimiento que no es necesario, puede suceder o no, lo que constituye un par de casos netamen-
te excluyentes. La no presentación de un acontecimiento, A, la entenderemos como el “acontecimiento
opuesto” al A, que simbolizaremos como A. Dado que A y A constituyen dos casos mutuamente exclu-
yentes y que se completan, de acuerdo con la observación anterior verificarán:
(A)+(A) = 1 ,
es decir, si p es la probabilidad de A
q = 1−p
representará la probabilidad de que A no ocurra.
Si consideramos un acontecimiento A en relación con otro acontecimiento B, el acontecimiento com-
puesto AB consiste en la presentación simultánea de A y B. De tres acontecimientos A, B, C, el acon-
tecimiento compuesto ABC consistirá en la presentación simultánea de A, B y C. Etc. .......
Representaremos la probabilidad de un acontecimiento compuesto AB....L mediante el símbolo
(AB........L) .
Un acontecimiento A puede producirse de dos maneras distintas mutuamente excluyentes, es decir, como
A y B, o como A y B. Por tanto, en virtud del anterior Teorema de la probabilidad total,
(A) = (AB)+(AB)
y en forma análoga
(B) = (BA)+(BA)
y en definitiva, como: (BA) = (AB), se tiene
(B) = (AB)+(AB) .
La suma (A)+(B) puede expresarse como sigue
(A)+(B) = (AB)+ [(AB)+(AB)+(AB)] , (*)
También, de acuerdo con el mismo Teorema, la suma
(AB)+(AB)+(AB)
representa la probabilidad (A+B), de presentación de por lo menos uno de los acontecimientos A o B,
con lo que la anterior ecuación, (*), conduce a la fórmula:
(A+B) = (A)+(B)−(AB)
161
que constituye, evidentemente, una generalización del Teorema de la probabilidad total, puesto que
(AB) = 0 si A y B son incompatibles.
La formula anterior puede extenderse fácilmente al caso de más de dos acontecimientos. Si B significa
la ocurrencia de al menos uno de los acontecimientos A1 ó A2, en virtud de la fórmula, se tiene
(A+A1+A2) = (A)+(A1+A2)−(AB)
Como (A1+A2) viene dado por la fórmula, el acontecimiento compuesto AB significa la presentación
de al menos uno de los acontecimientos AA1 o AA2. En consecuencia, aplicando la fórmula una vez
más se tiene
(AB) = (AA1+AA2) = (AA1)+(AA2)−(AA1A2)
y en definitiva
(A+A1+A2) = (A)+(A1)+(A2)−(AA1)−(AA2)−(A1A2)+(AA1A2)
Sean A y B dos acontecimientos cuyas probabilidades son (A) y (B). Entendemos que la probabilidad
(A) está determinada de manera completamente independiente de B, cuando nada se sabe respecto de la
presentación, o no, de B. Cuando se sabe que B ha ocurrido, A puede tener una probabilidad distinta,
la cual representaremos mediante el símbolo (A, B), que llamaremos “probabilidad condicional de A,
cuando B ha ocurrido realmente”.
Teorema de la probabilidad compuesta. La probabilidad de que ocurran simultáneamente
A y B está dada por el producto de la probabilidad no condicional del acontecimiento A por la
probabilidad condicional de B, supuesto que A haya ocurrido realmente. Es decir
(AB) = (A) ⋅(B, A) .
En efecto: Sea N el número de casos igualmente probables entre los cuales hay m casos favorables al
acontecimiento A. Los casos favorables a A y B, deben estar entre los m casos favorables a A; sean estos
m1. Entonces por la propia definición de probabilidad
(AB) = m1N
,
que también podemos escribir como sigue:
(AB) = mN
⋅ m1m
.
La razónmN
representa la probabilidad de A. Para determinar el significado dem1m
, observemos que,
suponiendo que suceda A, hay solamente m casos restantes igualmente probables (los casos totales restan-
tes N−m resultan ser imposibles) de los cuales m1 son favorables a B. En consecuencia, la razónm1m
162
representa la probabilidad condicional (B, A), de B suponiendo que A se haya presentado realmente.
Dado quemN
= (A) ,m1m
= (B, A) ,
la probabilidad del acontecimiento compuesto AB se expresa como sigue:
(AB) = (A) ⋅(B, A)
Puesto que el acontecimiento compuesto AB contiene A y B, en forma simétrica, también podemos escribir
(AB) = (B) ⋅(A, B)
Evidentemente, el Teorema de la probabilidad compuesta puede extenderse fácilmente a varios aconte-
cimientos. Si, por ejemplo, consideramos tres acontecimientos A, B y C, la presentación de A, B y C
equivale a que ocurra el acontecimiento compuesto AB y C. Tenemos, por tanto,
(ABC) = (AB) ⋅(C, AB) ,
en virtud del anterior Teorema de la probabilidad compuesta. Por el mismo Teorema:
(AB) = (A) ⋅(B, A)
de modo que:
(ABC) = (A) ⋅(B, A) ⋅(C, AB)
Ejemplo 2. Dada una baraja, con 52 cartas, determinar la probabilidad de sacar un as y después un rey.
La probabilidad de sacar una as es:4
52= 1
13y sacado éste, la probabilidad a que en una segunda extracción salga un rey es
451
.
En consecuencia, la probabilidad de lo que nos interesa es:
p = 452
⋅ 451
= 113
⋅ 451
= 4663
Ejemplo 3. Dada una baraja, con 52 cartas, determinar la probabilidad de sacar en dos jugadas as y rey,
prescindiendo del orden en que aparezcan.
En la primera jugada hay 52 casos posibles y 8 favorables, que corresponden a la aparición de uno de los cuatro ases
y a uno de los cuatro reyes. Sea as o rey la primera carta extraída, los casos favorables en la segunda jugada son 4, y
los posibles 51.
La probabilidad pedida es, por tanto,
p = 852
⋅ 451
= 322652
= 8663
.
163
El mismo resultado se puede obtener como probabilidad completa, considerando que el acontecimiento puede reali-
zarse de dos maneras diferentes: Bien saliendo primero un as y luego un rey, o inversamente, primero un rey y luego
un as.
La probabilidad en el primer caso es (ver ejemplo anterior):4
663, y evidentemente, la correspondiente al segundo
también es4
663. Luego la probabilidad pedida es:
p = 4663
+ 4663
= 8663
Ejemplo 4. Una urna contiene 2 bolas blancas y 3 bolas negras. Sacamos 2 bolas, y nos preguntamos ¿cuál
es la probabilidad de que ambas sean blancas?
Sea A el acontecimiento que consiste en la aparición del color blanco en la primera bola, y B el acontecimiento que
consiste en la aparición del color blanco en la segunda bola.
La probabilidad (A) de extraer en primer lugar una bola blanca es
(A) = 25
.
Para determinar la probabilidad condicional (B, A), observemos que después de sacar una bola blanca, quedan en
la urna una bola blanca y tres negras. La probabilidad de sacar una bola blanca, en tales circunstancias, es
(B, A) = 14
.
En virtud del Teorema de la probabilidad compuesta tenemos
(AB) = 25⋅ 1
4= 1
10.
Observamos que, evidentemente, en el ejemplo anterior, hemos tratado con acontecimientos indepen-
dientes. Como ejemplo de acontecimientos independientes veamos el siguiente.
Ejemplo 5. Supongamos que lanzamos una moneda n veces, y nos preguntamos ¿cual es la probabilidad de
obtener sólo caras?
El acontecimiento compuesto contiene n componentes independientes; es decir, una cara en cada lanzamiento: Dado
que la probabilidad de cara en cada tirada es12
, la probabilidad pedida será:
12⋅ 1
2⋅ ......... ⋅ 1
2= 1
2n .n
Ejemplo 6. Tres urnas contienen respectivamente una bola blanca y dos negras; tres blancas y una negra;
dos blancas y tres negras. Se saca una bola de cada urna, y se trata de determinar la probabilidad de que
entre las bolas sacadas haya dos bolas blancas y una negra.
Sean las urnas
1b+2n , 3b+1n , 2b+3n1 2 3
164
Las posibilidades que tenemos es que las bolas extraídas de las tres urnas sean respectivamente,
a.- b+b+n
b.- b+n+b
c.- n+b+b
Cuyas probabilidades serán:
a.- p1 =13⋅ 3
4⋅ 3
5= 3
20
b.- p2 =13⋅ 1
4⋅ 2
5= 1
30
c.- p3 =23⋅ 3
4⋅ 2
5= 1
5En consecuencia, la probabilidad buscada es:
p = p1+p2+p3 =3
20+ 1
30+ 1
5= 9+2+12
60= 23
60
Ejemplo 7. Dos urnas idénticas en apariencia contienen, respectivamente, 3 bolas blancas y 2 negras; 2
blancas y 5 negras. Se toma una urna y de ella se saca una bola. Se trata de determinar cual es la probabilidad
de que la bola sea blanca.
Tenemos dos posibilidades
1.- Elegir la primera urna, y de ella extraer una bola blanca.
2.- Elegir la segunda urna, y de ella extraer una bola blanca.
Las probabilidades correspondientes serán:
p1 =12⋅ 3
5= 3
10, para el caso 1.-
p2 =12⋅ 2
7= 1
7, para el caso 2.-
En definitiva
p = p1+p2 =3
10+ 1
7= 21+10
70= 31
70
Ejemplo 8. Una urna contiene a bolas blancas y b bolas negras, y otra urna contiene c bolas blancas y d bolas
negras. Se pasa una bola de la primera urna a la segunda, y luego de esta última se se saca una bola. Se trata
de determinar cuál es la probabilidad de que sea una bola blanca.
La obtención de una bola blanca de la segunda urna puede ocurrir de dos maneras mutuamente excluyentes: Cuan-
do la bola transferida es blanca o cuando es negra. Para aplicar el Teorema de la probabilidad total debemos
determinar las probabilidades correspondientes a ambas formas.
Para encontrar la probabilidad de la primera forma, observamos que representa un acontecimiento compuesto, que
165
consiste en que la bola transferida sea blanca, y que la bola extraída sea también blanca. Así, la probabilidad de que
la bola transferida sea blanca será,a
a+b,
y ese caso, la probabilidad de que la bola retirada de la segunda urna sea blanca será,
c+1c+d+1
.
Por tanto, en virtud del Teorema de la probabilidad compuesta, la probabilidad de la primera forma será,
aa+b
⋅ c+1c+d+1
.
Razonando de la misma manera, resultará que la probabilidad de la segunda forma será,
ba+b
⋅ cc+d+1
.
La suma de esos dos números
aa+b
⋅ c+1c+d+1
+ ba+b
⋅ cc+d+1
= a ⋅c+b ⋅c+a(a+b) ⋅(c+d+1)
nos dará la probabilidad pedida.
Ejemplo 9. Dos jugadores acuerdan jugar de acuerdo con las siguientes reglas: Alternativamente, cada uno
de ellos saca bolas de una urna que contiene a bolas blancas y b bolas negras, a razón de una bola por vez. El
que saque la primera bola blanca gana el juego. Se trata de determinar cuál es la probabilidad de ganar que
tiene el jugador que comienza el juego.
Sea A el jugador que saca la primera bola, y B el otro.
El juego puede ser ganado por A, en primer lugar, si extrae la primera vez una bola blanca; en segundo lugar, si A y B
extraen alternativamente dos bolas negras y luego A saca una bola blanca; en tercer lugar, si A y B alternativamente
extraen cuatro bolas negras, y la quinta bola sacada por A es blanca, y así sucesivamente.
Según el Teorema de la probabilidad total, la probabilidad que tiene A de ganar el juego, es la suma de las
probabilidades de las maneras mutuamente excluyentes, descritas antes, de las cuales puede ganar el juego.
La probabilidad de extraer una bola blanca al inicio es
aa+b
.
La probabilidad de extraer dos bolas negras y luego una blanca se encuentra aplicando directamente el Teorema de
la probabilidad compuesta, es decir
ba+b
⋅ (b−1)a+b−1
⋅ aa+b−2
= a ⋅b ⋅(b−1)(a+b) ⋅(a+b−1) ⋅(a+b−2) .
La probabilidad de extraer cuatro bolas negras, y luego una blanca es
a ⋅b ⋅(b−1) ⋅(b−2) ⋅(b−3)(a+b) ⋅(a+b−1) ⋅(a+b−2) ⋅(a+b−3) ⋅(a+b−4)
que se obtiene así mismo aplicando el mismo Teorema.
Siguiendo por este camino podemos considerar todos los casos posibles y mutuamente excluyentes que pueden hacer
que A gane el juego.
166
Sumando las expresiones anteriores obtenemos la probabilidad que nos interesaba:
p = aa+b
⋅[1+ b ⋅(b−1)(a+b−1) ⋅(a+b−2) + b ⋅(b−1) ⋅(b−2) ⋅(b−3)
(a+b−1) ⋅(a+b−2) ⋅(a+b−3) ⋅(a+b−4) + .........]
Observemos que la formación de los diferentes términos de esa suma es obvia, y que la suma termina, automática-
mente, en el término cuyo valor es nulo.
Razonando de la misma manera, se determina la probabilidad que tiene el jugador B de ganar:
q = aa+b
⋅[ ba+b−1
⋅ b ⋅(b−1) ⋅(b−2)(a+b−1) ⋅(a+b−2) ⋅(a+b−3) + .........]
Particularizando, si tuviésemos: a = 5 , b = 4 sería:
p = 59⋅[1+ 4 ⋅3
8 ⋅7 + 4 ⋅3 ⋅2 ⋅18 ⋅7 ⋅6 ⋅5 +0] = 43
63= 0,68
q = 59⋅[ 4
8+ 4 ⋅3 ⋅2
8 ⋅7 ⋅6 +0] = 2063
= 0,32
Observemos que:
p+q = 4363
+ 2063
= 6363
= 1
Ejemplo 10. Dada una baraja con 52 cartas, determinar la probabilidad de sacar al menos un as en dos
extracciones.
Se presentan tres posibilidades:
1ª.- Sacar un as en la primera extracción y también en la segunda.
2ª.- Sacar un as en la primera extracción y no en la segunda.
3ª.- No sacar un as en la primera extracción y si en la segunda.
Así tenemos
1ª.- p1 =4
52⋅ 3
51= 12
2652
2ª.- p2 =4
52⋅ 48
51= 192
2652
3ª.- p3 =4852
⋅ 451
= 1922652
Luego la probabilidad que nos interesa es:
p = p1+p2+p3 =12+192+192
2652= 396
2652= 33
221
Al mismo resultado se llega calculando la probabilidad contraria, de que no aparezca ningún as:
q = 4852
⋅ 4751
= 22562652
es decir
p = 1−q = 1− 22562652
= 2652−22562652
= 3962652
= 33221
.
167
Ejemplo 11. Dos personas, A y B tienen respectivamente n+1 y n monedas, que arrojan al azar simultánea-
mente. Se trata de determinar la probabilidad de que A obtenga mas caras que B.
Sean a1 , a2 y b1 , b2, respectivamente los números de caras y cruces obtenidas por A y B, de modo que:
a1+b1 = n+1 , a2+b2 = n .
La probabilidad que nos interesa, p, es la probabilidad de que se presente la desigualdad
a1 > b1 .
La probabilidad del acontecimiento opuesto, 1−p, es que
a1 ⩽ b1 ,
que coincide con la probabilidad de tener la desigualdad
b1 > b2 ,
es decir, 1−p es la probabilidad de que A obtenga más cruces que B.
Por razones de simetría:
1−p = p ,
es decir
p = 12
.
Ejemplo 12. Disponemos de tres urnas que contienen respectivamente:
1.- 1 bola blanca y 2 negras.
2.- 3 bolas blancas y 1 negra.
3.- 2 bolas blancas y 3 negras.
Si se saca una bola de cada urna. ¿Cual es la probabilidad de que entre las bolas sacadas haya 2 blancas y 1
una negra?1ª urnaÐ→2ª urnaÐ→3ª urnaÐ→
b
b
n±
p1
b
n
b±
p2
n
b
b±
p3
p1 =13⋅ 3
4⋅ 3
5= 9
60
p2 =13⋅ 1
4⋅ 2
5= 2
60
p3 =23⋅ 3
4⋅ 2
5= 12
60La probabilidad pedida será, por tanto,
p = p1+p2+p3 =9
60+ 2
60+ 12
60= 23
60
168
Ejemplo 13. Consideremos 2 urnas, numeradas 1 y 2, que contienen respectivamente:⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
10 bolas blancas y 3 bolas negras
3 bolas blancas y 5 bolas negras
Se transfieren 2 bolas de la urna 1, a la 2, y luego se saca una bola de esta última urna.
La pregunta es: ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sacada sea blanca?
Las posibilidades son:
1º.- Sacar de la urna 1; dos blancas; siendo su probabilidad
p1 =1013
⋅ 912
= 9012 ⋅13
2º.- Sacar de la urna 1, una bola blanca y una negra; siendo su probabilidad
p1 =1013
⋅ 312
+ 313
⋅ 1012
= 6012 ⋅13
3º.- Sacar de la urna 1, dos bolas negras; siendo su probabilidad
p1 =3
13⋅ 2
12= 6
12 ⋅13
El resultado es que en la urna 2, habrá, según los casos:
1º.- 5 bolas blancas y 5 negras (pb1 =510
)
2º.- 4 bolas blancas y 6 negras (pb2 =410
)
3º.- 3 bolas blancas y 7 negras (pb3 =310
)
En consecuencia, la probabilidad pedida será:
p = p1 ⋅pb1 +p2 ⋅pb1 +p3 ⋅pb3 =90
12 ⋅13⋅ 5
10+ 60
12 ⋅13⋅ 4
10+ 6
12 ⋅13⋅ 3
10= 59
130
Ejemplo 14. Una urna contiene tres bolas, numeradas: 1, 2, 3. En dos extracciones se sacan dos números,
uno después del otro, pero con la condición de que antes de sacar el segundo número, el primera se echa de
nuevo a la urna.
Se trata de determinar, cual es la probabilidad de sacar como número más alto el 2.
El acontecimiento puede puede darse de tres maneras diferentes:
1ª.- Sale el 1, y luego sale el 2
2ª.- Sale el 2, y luego el 1
3ª.- Sale el 2, y luego el 2
A cada una de estas posibilidades corresponde una probabilidad:
pi =13⋅ 1
3= 1
9,
luego, la probabilidad pedida será
p =3∑i=1
pi =19+ 1
9+ 1
9= 3
9= 1
9
169
Lección 16.- FÓRMULA DE BAYES
16.1 Fórmula de Bayes
16.1 Fórmula de Bayes
El tipo de problemas que vamos a tratar de resolver, en esta lección, difieren de los tipos resueltos en las
anteriores.
Por ejemplo: Disponemos de dos urnas, 1 y 2, que contienen, respectivamente, 2 bolas blancas y 3 negras,
y 4 blancas y una negra. Se elige al azar una de las urnas y de ella se saca una bola, que resulta ser blanca.
Se pregunta entonces: ¿Cual es la probabilidad de que provenga de la primera urna?
El problema que acabamos de plantear resulta ser un caso particular del siguiente problema, por otra
parte fundamental:
PROBLEMA 1. Un acontecimiento A sólo puede ocurrir si alguno de los acontecimientos
B1,B2, ........., Bn
completos e incompatibles ocurren. Las probabilidades de estos acontecimientos
(B1), (B2), ........., (Bn)
corresponden a la ausencia total de todo conocimiento respecto de la presencia o ausencia del aconteci-
miento A. También se conocen las probabilidades condicionales
(A,Bi) , i = 1, 2, ......, n
de que A ocurra, suponiendo que se presenta Bi. La pregunta es:
¿Como cambian las probabilidades de Bi cuando se conoce la información adicional de que A ha ocurrido
realmente?
RESOLUCIÓN. La cuestión planteada equivale a determinar la probabilidad condicional (Bi,A). La
probabilidad de un acontecimiento compuesto: AB puede presentarse en dos formas:
(ABi) = (Bi) ⋅(A, Bi)
(ABi) = (A) ⋅(Bi,A) .
Igualando los segundos miembros resulta
(Bi) ⋅(A, Bi) = (A) ⋅(Bi,A)
de donde
(Bi,A) =(Bi) ⋅(A, Bi)
(A)
171
Dado que el acontecimiento A puede producirse en las siguientes formas, mutuamente excluyentes
AB1, AB2, ........., ABn ,
aplicando el Teorema de la probabilidad total, tenemos
(A) = (B1) ⋅(A, B1)+(B2) ⋅(A, B2)+ .........+(Bn) ⋅(A, Bn)
de donde resulta, por sustitución en la anterior fórmula de (Bi, A):
(Bi, A) =(Bi) ⋅(A, Bi)
(B1) ⋅(A, B1)+(B2) ⋅(A, B2)+ .........+(Bn) ⋅(A, Bn)
formula que suele conocerse bajo el nombre de FÓRMULA DE BAYES, y en ocasiones Teorema
de Bayes; y en muchas otras como la fórmula de las probabilidades de la hipótesis, dado que los
acontecimientos B1, B2, ......, Bn pueden considerarse como hipótesis para explicar la presentación de
A. En general, se suele hablar de las probabilidades
(B1), (B2), ........, (Bn)
como probabilidades a priori de las hipótesis
B1,B2, ........., Bn
mientras que de las
(Bi, A) , i = 1, 2, ......, n
se suele decir que son las probabilidades a posteriori de las mismas hipótesis.
Ejemplo 1. Tres urnas, numeradas 1, 2, y 3, contienen, respectivamente las siguientes bolas:
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
1 blanca, 2 negras, 3rojas
2 blanca, 1 negra, 1 roja
4 blancas, 5 negras, 3 rojas
Se elige, al azar, una urna, y de ella se extraen 2 bolas, con el resultado de que: una es blanca y la otra es roja.
Se pregunta ¿Cual es la probabilidad de que provengan de la urna 2, o de la 3?
El acontecimiento A representa el hecho de que las dos bolas sacadas de la urna elegida fuesen de color blanco y
rojo respectivamente.
Para explicar este hecho, se tienen tres hipótesis: La urna elegida fue la 1, la 2, o la 3. Representaremos estas
hipótesis, en el orden indicado, por B1, B2, B3. Puesto que nada distingue las urnas entre sí, las probabilidades de
estas hipótesis antes de que se sepa nada de A son:
(B1) = (B2) = (B3) =13
172
Además, las probabilidades de A, suponiendo esas hipótesis, son
(A,B1) =15
, (A,B2) =13
, (A,B3) =211
puesto que
(A, B1) =16⋅ 3
6+ 3
6⋅ 1
5= 6
30= 1
5
(A, B2) =24⋅ 1
3+ 1
4⋅ 2
3= 4
12= 1
3
(A, B3) =412
⋅ 311
+ 312
⋅ 411
= 2411 ⋅12
= 211
En consecuencia, aplicando la fórmula de Bayes, se tiene
(B2, A) =13⋅ 1
313⋅ 1
5+ 1
3⋅ 1
3+ 1
3⋅ 2
11
= 55118
(B3, A) =13⋅ 2
1113⋅ 1
5+ 1
3⋅ 1
3+ 1
3⋅ 2
11
= 30118
Ejemplo 2. Dos urnas, numeradas 1 y 2, contienen respectivamente 2 bolas blancas y 1 negra, y 1 bola blanca
y 5 negras.
Se pasa una bola de la urna 1 a la 2, y luego se saca una bola de esta última, que resulta ser blanca.
La pregunta es: ¿Que probabilidad hay de que la bola transferida fuese negra?
Cabe, en este caso, considerar dos posibilidades:
1.- B1, que afirma que la bola transferida era negra, cuya probabilidad a priori es
(B1) =13
2.- B2, que afirma que la bola transferida era blanca, cuya probabilidad a priori es
B2 =23
Así resulta que las probabilidades de sacar una bola blanca de la urna 2, supuesto B1 y B2 sean ciertas son respecti-
vamente
(A, B1) =17
, (A, B2) =27
.
En consecuencia, la probabilidad buscada es
(B1, A) =13⋅ 1
713⋅ 1
7+ 2
3⋅ 2
7
= 15
173
Ejemplo 3. Tres urnas, numeradas 1, 2 y 3, contienen respectivamente las siguientes bolas⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
1 blanca y 2 negras
2 blancas y 1 negra
2 blancas y 2 negras
Se elige una de las urnas, y de ella se saca una bola, que resulta ser blanca.
La pregunta es: ¿Cual es la probabilidad de que la urna elegida haya sido la tercera?
El acontecimiento A representa el hecho de que la bola sacada de la urna elegida fuese blanca.
Para explicar este hecho, se tienen tres hipótesis: La urna elegida fue la 1, la 2, o la 3. Representemos estas hipótesis,
en el orden indicado, por B1, B2, B3. Puesto que nada distingue las urnas entre sí, las probabilidades de estas
hipótesis antes de que se sepa nada de A son:
(B1) = (B2) = (B3) =13
Además, las probabilidades de A, suponiendo esas hipótesis, son:
(A,B1) =13
, (A,B2) =23
, (A,B3) =24
En consecuencia, aplicando la fórmula de Bayes, se tiene
(B3, A) =13⋅ 2
413⋅ 1
3+ 1
3⋅ 2
3+ 1
3⋅ 2
4
= 13
Ejemplo 4. En una tirada de dados se han obtenido 4 puntos.
¿Cual es la probabilidad de que la jugada se haya hecho con 3 dados?
Tirando un dado, sólo de una manera podemos obtener 4 puntos. Con dos dados, el punto 4, se puede obtener de tres
maneras distintas:
1+3 , 2+2 , 3+1
Con tres dados, el punto 4, se puede obtener de otras tres maneras distintas
1+1+2 , 1+2+1 , 2+1+1
Por último, con cuatro dados, el punto 4 saldrá en una sola forma
1+1+1+1 .
En consecuencia, la probabilidad se sacar 4 puntos según lo establecido mas arriba es:
16
con un dado
362 con dos dados
363 con tres dados
164 con cuatro dados.
174
Así, la probabilidad de hayan sido 3 los dados empleados será:
p =
364
16+ 3
62 + 363 + 1
64
= 18343
= 0,0525
Observemos que la fórmula de Bayes ha quedado simplificada en esta aplicación por ser:
(B1) = (B2) = (B3) = (B4) =14
Ejemplo 5. Una persona se coloca delante de tres armarios, de igual aspecto, provisto cada uno con tres
cajones.
En los del primero hay una moneda de oro en cada uno.
En los del segundo hay una moneda de plata en cada uno.
En dos cajones del tercer armario hay una moneda de oro, en cada uno, pero en el tercer cajón hay una de
plata.
La persona saca un cajón y encuentra una moneda de oro.
La pregunta es: ¿Cual es la probabilidad de que el cajón sacado pertenezca al tercer armario?
La probabilidad de que al sacar un cajón del primer armario contenga una moneda de oro es: 1.
Para el segundo armario la probabilidad es: 0.
Por último la probabilidad para el tercer armario es:23
.
En consecuencia, la probabilidad buscada es:
p3 =23
1+0+ 23
= 25
.
(Vale la observación del ejemplo anterior.)
Ejemplo 6. Sabemos que una urna contiene 10 bolas, se llenó de la siguiente manera: Se arrojó al azar 10
veces una moneda y según se obtuviese cara o cruz, se coloca en la urna una bola blanca o negra.
Se van extrayendo bolas de esta urna, una cada vez, 10 veces en total (siempre restituyendo a la urna la bola
sacada antes de sacar la siguiente), y sucede que todas las bolas así sacadas son blancas.
La pregunta es: ¿Que probabilidad hay de que la urna sólo contenga bolas blancas?
El acontecimiento A consiste en el hecho de que en las 10 pruebas independientes con una probabilidad definida,
pero desconocida, sólo se tienen bolas blancas.
Para explicar este hecho tenemos 10 hipótesis respecto del número de bolas blancas en la urna; es decir, que el
número de ellas sea 1, 2, 3, ......., ó 10.
La probabilidad a priori de la hipótesis Bi de que haya exactamente i bolas blancas en la urna, de acuerdo con la
manera de llenar la urna, es la misma que la probabilidad de obtener i caras tirando 10 veces una moneda; así:
(Bi) =10!
i! ⋅(10− i)!⋅ 1
210 , i = 1, 2, ........, 10
175
Admitida la hipótesis Bi, la probabilidad de A es
(A, Bi) = ( i10
)10
Dado que lo que se nos pide es que determinemos (B10, A), tendremos que aplicando la fórmula de Bayes tendre-
mos:
(B10, A) =10!
10! ⋅0!⋅ 1
21010∑i=1
10!i! ⋅(10− i)!
⋅ 1210 ⋅( i
10)
10= 1
n∑i=1
[( 10!i! ⋅(10− i)!
) ⋅( i10
)10]= 1
10∑i=1
C10,i ⋅(i
10)
10
Si calculamos el denominador obtendremos
10∑i=1
C10,i ⋅(i
10)
10= 14,247
luego
(B10, A) = 114,247
= 0,0702 .
Observemos que si en lugar de 10 tiradas, hubiésemos hecho m, y en cada extracción hubiesen aparecido sólo bolas
blancas, la probabilidad (B10, A) vendría dada por
(B10, A) = 110∑i=1
C10,i ⋅(i
10)
m.
PROBLEMA 2. Utilizando las mismas notaciones, condiciones y datos del anterior PROBLEMA 1, determinar la
probabilidad de que suceda otro acontecimiento C, admitiendo que A ha ocurrido realmente. Se suponen conocidas
las probabilidades condicionales
(C, ABi) , i = 1, 2, ......, n
RESOLUCIÓN. Puesto que el hecho de que ocurra A supone que uno, y sólo uno de los acontecimientos
B1, B2, ........., Bn ,
se han producido, el acontecimiento C (supuesto que se ha producido A), puede presentarse en las siguientes formas,
mutuamente excluyentes:
CB1, CB2, . . . . . . . . . , CBn .
En consecuencia, la probabilidad (C, A) que nos interesa vendrá dada por:
(C, A) = (CB1, A)+(CB2, A)+ .........+(CBn, A) .
Aplicando el Teorema de la probabilidad compuesta, tenemos
(CBi,A) = (Bi ,A) ⋅(C, BiA)
y
(C, A) = (B1, A) ⋅(C, AB1)+(B2,A) ⋅(C, AB2)+ ..........+(Bn, A) ⋅(C, ABn) .
176
Bastará, ahora, sustituir (Bi, A) por su expresión dada por la Fórmula de Bayes, para llegar a la expresión final
(C, A) =
n∑i=1
(Bi) ⋅(A, Bi) ⋅(C, ABi)
n∑i=1
(Bi) ⋅(A, Bi)
En el caso de que la hipótesis B haga a C independiente de A, en cuyo caso tendríamos: (C, ABi) = (C, Bi), la
fórmula anterior se simplifica a la siguiente:
(C, A) =
n∑i=1
(Bi) ⋅(A, Bi) ⋅(C, Bi)
n∑i=1
(Bi) ⋅(A, Bi)
El acontecimiento C puede considerarse respecto de A como un acontecimiento futuro; razón por la que las fórmulas
anteriores expresar probabilidades de acontecimientos futuros.
Ejemplo 7. De una urna que contiene 3 bolas blancas y 5 negras, se transfieren 4 bolas a otra urna vacía. De
esta última se sacan luego 2 bolas, resultando que ambas son blancas. La pregunta es: ¿Cual es la probabilidad
de que la tercera bola que se saque de la misma urna sea blanca?
Consideremos dos casos:
a.- Supongamos que las dos bolas que se sacan en primer lugar vuelven a la segunda urna. Caben entonces las
siguientes hipótesis referentes a los colores de las cuatro bolas que se transfirieron desde la primera urna.
Entre ellas hay necesariamente 2 bolas blancas; por tanto, sólo caben dos posibilidades:
B1 ∶ 2 bolas blancas y 2 negras
B2 ∶ 3 bolas blancas y 1 negra
Las probabilidades a priori de estas hipótesis son:
(B1) =C3,2 ⋅C5,2
C8,4=
(32) ⋅(5
2)
(84)
= 3 ⋅1070
= 37
(B2) =C3,3 ⋅C5,1
C8,4=
(33) ⋅(5
1)
(84)
= 1 ⋅570
= 114
El acontecimiento A consiste en el color blanco de las dos bolas que se sacan de la segunda urna. Las
probabilidades condicionales (A, B1) y (A, B2) son
(A, B1) =(2
2)
(42)
= 16
; (A, B2) =(3
2)
(42)
= 36
177
El acontecimiento futuro, C, consiste en el color blanco de la tercera bola.
Puesto que las dos bolas que se sacan en primer lugar se vuelven a introducir en la urna, resulta que C es
independiente de A, desde el momento en que se sepa cuál de las hipótesis se ha verificado. Por tanto,
(C, AB1) = (C, B1) =(2
1)
(41)
= 12
(C, AB2) = (C, B2) =(3
1)
(41)
= 34
Sustituyendo estos valores en la fórmula siguiente tenemos
(C, A) =
n∑i=1
(Bi) ⋅(A, Bi) ⋅(C, Bi)
n∑i=1
(Bi) ⋅(A, Bi)=
37⋅ 1
6⋅ 1
2+ 1
14⋅ 3
6⋅ 3
437⋅ 1
6+ 1
14⋅ 3
6
= 712
b.- En el caso de que las dos bolas extraídas en primer lugar no se reintegran a la urna, se tiene
(C, AB1) = 0
(C, AB2) =12
Luego, utilizando la misma fórmula se tiene
(C, A) =114
⋅ 36
12
37⋅ 1
6+ 1
14⋅ 3
6
= 16
178
Lección 17.- RAÍCES ENTERASY
FRACCIONES DE UNA ECUACIÓN
17.1 Raíces enteras y fracciones de una ecuación
17.1 Raíces enteras y fracciones de una ecuación
En muchos problemas, sobre todo de tipo académico, tiene mucho interés la determinación de las raíces
enteras, y a veces también las fraccionarias, de una ecuación con coeficientes enteros, sobre todo porque
suele ser éste un paso previo para resolver lo que de verdad constituye el problema. No vamos pues tratar
de resolver la problemática de la determinación de todas las soluciones de una ecuación, sino a dar unas
orientaciones generales que ayuden a poder determinar las raíces enteras y fraccionarias de la misma.
Conviene observar que si los coeficientes de la ecuación dada fuesen racionales bastaría mul-
tiplicarla por el mínimo común múltiplo de los denominadores de los coeficientes para que la
ecuación se transforme en otra equivalente de coeficientes enteros.
Las dos propiedades que siguen constituyen criterios de exclusión para las raíces enteras, puesto que
fijan condiciones que necesariamente han de cumplir dichas raíces, pero que no son suficientes ya que
puede haber números que sin ser raíces las satisfacen. Veámoslas:
PROPOSICIÓN 1. Toda raíz entera, no nula, de la ecuación con coeficientes enteros
an ⋅xn+an−1 ⋅xn−1
+ .........+a1 ⋅x+a0 = 0 (an ≠ 0 , a0 ≠ 0)
divide al término independiente a0.
En efecto: Si ααα es una raíz entera se tiene que
an ⋅αααn+an−1 ⋅αααn−1+ .........+a1 ⋅ααα +a0 = 0
es decir
ααα ⋅(an ⋅αααn−1+an−1 ⋅αααn−2+ .........+a1)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
número entero E
+a0 = 0
Así se verifica que
ααα ⋅E+a0 = 0
o o que es lo mismo
a0 =ααα ⋅(−E)
que es lo que queríamos establecer.
179
Observemos que si el término independiente de la ecuación dada fuese cero, es decir a0 = 0, eso signifi-
caría que la ecuación admitiría la raíz ααα = 0. Lo primero que habría que hacer, en ese caso, es eliminar
esta raíz dividiendo la ecuación por x, tantas veces como haga falta, hasta llegar a tener un término
independiente no nulo.
Ejemplo 1. Determinar las raíces enteras de la ecuación
x4−x2 = 0 .
Como su término independiente es cero, la ecuación admite la raíz entera ααα = 0, doble, pues hay que dividir por x2
para obtener una ecuación con término independiente no nulo.
Hecho esto queda
x2−1 = 0
La propiedad anterior nos dice que sólo pueden, además, ser raíces los números 1 y −1, pues son los únicos que
dividen a a0 = −1. Por sustitución directa resultan ser ambos raíces de la ecuación dada.
Así las raíces enteras buscadas son
ααα1 = 0 (doble) , ααα2 = 1 , ααα3 = −1 .
PROPOSICIÓN 2. Toda raíz entera no nula, ααα , de la ecuación con coeficientes enteros
p(x) = an ⋅xn+an−1 ⋅xn−1
+ .........+a1 ⋅x+a0 = 0 (an ≠ 0 , a0 ≠ 0)
verifica las relaciones:
p(1) =ααα −1 ; p(−1) =ααα +1 ,
En efecto: Por ser ααα una raíz de p(x) = 0, dividiendo p(x) por x−ααα resulta
p(x) = (x−ααα) ⋅p1(x) ,
o lo que es lo mismo
p(x) = −(ααα −x)p1 ⋅(x) ,
y haciendo en esta última igualdad, sucesivamente, x = 1 y x = −1, resulta
p(1) = −(ααα −1) ⋅p1(1) y p(−1) = −(ααα +1) ⋅p1(−1)
Por ser p(x) un polinomio con coeficientes enteros resulta que
p(1) , p(−1) , p1(1) , p1(−1)
son enteros, luego
p(1) =ααα −1 y p(−1) =ααα +1 .
180
Ejemplo 2. Determinar las raíces enteras de la ecuación
x2−4 ⋅x−60 = 0 .
Las raíces se encontrarán entre las que
1º.- dividen a −60.
2º.- cumplen las condiciones p(1) =ααα −1 y p(−1) =ααα +1 , siendo
p(1) = 1−4−60 = −63 y p(−1) = 1+4−60 = −55 .
Cumplen con la primera condición los números:
±1, ±2, ±4, ±6, ±10, ±12, ±20, ±30, ±60
De entre ellos cumplen la segunda condición los números
−2, 4, −6, 10 .
Debemos ahora tantear estos números; así
p(−2) = −48 ≠ 0 , p(4) = −60 ≠ 0 , p(−6) = 0 , p(10) = 0 .
Luego las raíces de la ecuación dada son:
ααα1 = 6 , ααα2 = 10 .
Evidentemente, la ecuación dada por ser de segundo grado hubiese podido resolverse directamente; sin embargo lo
interesante es que nos ha servido para utilizar las propiedades enunciadas y además comprobar que dichas propie-
dades son sólo necesarias y no suficientes, pues los números −2 y 4 las cumplen y no son raíces
El ejemplo anterior nos muestra muy claramente la marcha a seguir para determinar las raíces enteras
de una ecuación con coeficientes enteros y término independiente no nulo, cuyo resumen podría ser el
siguiente:
Dada la ecuación p(x) = 0 con a0 ≠ 0:
1º.- Se calculan p(1) y p(−1).
2º.- Se escriben los divisores positivos y negativos de a0, y de ellos se rechazan los que no
satisfagan las condiciones
p(1) =ααα −1 y p(−1) =ααα +1
3º.- Los valores no rechazados pueden ser raíces y deben comprobarse uno a uno.
181
¡¡Atención!! Si ocurriese que p(1) = 0 significaría que ααα = 1 es raíz de la ecuación dada, lo mismo
que si p(−1) = 0 sería ααα = −1 también raíz. Procede entonces eliminar dichas raíces de la ecuación,
por ejemplo utilizando RUFINI, hasta conseguir que p(1) ≠ 0 y p(−1) ≠ 0, a partir de cuyo momento
reiniciaríamos la marcha anterior.
Ejemplo 3. Determinar las raíces enteras de la ecuación
x4−x3−4 ⋅x2+4 ⋅x = 0 .
Como no tiene término independiente significa que ααα = 0 es raíz de la ecuación. Dividiendo por x resulta:
x3−x2−4 ⋅x+4 = 0 .
Calculamos p(1) y p(−1):
p(1) = 1−1−4+4 = 0
p(−1) = −1−1+4+4 = 6
Luego ααα = 1 es raíz de la ecuación. Dividiendo p(x) por x−1, según RUFINI, tenemos
1 −1 −4 4
1 1 0 −4
1 0 −4 0
es decir
x2−4 = 0 .
Volvemos a calcular, para la nueva ecuación, que ya no tiene la raíz ααα = 1, los valores p(1) y p(−1):
p(1) = 1−4 = −3
p(−1) = 1−4 = −3
Escribimos ahora los divisores positivos y negativos de a0 = −4, salvo ±1 que ya sabemos no son raíces de esta
última ecuación:
±2 , ±4 .
De entre estos, rechazamos los que no satisfacen las condiciones
p(1) = −3 =ααα −1 , y p(−1) = −3 =ααα −1 ,
que sólo cumplen
±4
Así quedan como posibles raíces los valores
+2 y −2 .
que son los que tanteamos:
p(2) = 22−4 = 0
p(−2) = (−2)2−4 = 0
182
Luego +2 y −2 son raíces de la ecuación dada.
En definitiva las raíces que buscábamos son
0, 1, 2, −2 .
Para la búsqueda de las raíces fraccionarias disponemos de la siguiente propiedad:
PROPOSICIÓN 3. Dada la ecuación con coeficientes enteros
an ⋅xn+an−1 ⋅xn−1
+ .........+a1 ⋅x+a0 = 0 (an ≠ 0 , a0 ≠ 0)
siuv
(u y v enteros primos entre sí) es una raíz, entonces se verifica que
a0 = u y an = v
En efecto: Por seruv
una raíz de la ecuación dada se cumple
an ⋅un
vn +an−1 ⋅un−1
vn−1 + ........a1 ⋅uv+a0 = 0 ,
en donde, multiplicando por vn resulta:
an ⋅un+an−1 ⋅un−1 ⋅v+ ........a1 ⋅u ⋅vn−1+a0 ⋅vn = 0 ,
igualdad de la que deducimos las siguientes:
an ⋅un = −(an−1 ⋅un−1+ ........+a1 ⋅u ⋅vn−2+a0 ⋅vn−1)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
número entero E1
⋅v = E1 ⋅v
a0 ⋅vn = −(an ⋅un−1+an−1 ⋅un−2 ⋅v+ ........+a1 ⋅vn−1)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
número entero E2
⋅u = E2 ⋅u
Así, de la primera resulta que v divide al producto an ⋅un, y como es primo con u, luego con un debe dividir
a an.
En forma análoga, de la segunda resulta que u debe dividir a a0.
Consecuencia inmediata de la propiedad anterior es la siguiente:
PROPOSICIÓN 4. Dada la ecuación con coeficientes enteros
an ⋅xn+an−1 ⋅xn−1
+ .........+a1 ⋅x+a0 = 0 (an ≠ 0 , a0 ≠ 0)
si el coeficiente an = 1, entonces la ecuación dada no tiene raíces fraccionarias.
En efecto: No existen, puesto que el denominador de una eventual raíz fraccionaria debe dividir a an.
183
Ejemplo 4. Determinar las raíces enteras y fraccionarias de la ecuación
3 ⋅x5+x4−17 ⋅x3+13 ⋅x2−20 ⋅x+12 = 0
Determinemos primero las enteras, tal como ya hemos hecho en ejemplos anteriores. Como
p(1) = 3+1−17+13−20+12 = −8
p(−1) = −3+1+17+13+20+12 = 60
las posibles raíces enteras son:
±2 , ±3 , ±6 , ±12
De entre estas rechazamos las que no satisfacen las condiciones
p(1) = −8 =ααα −1 , y p(−1) = 60 =ααα +1 ,
es decir
−2, 6, −6, 12, −12 .
Así quedan, como posibles raíces, los valores
2, 3, −3
que son los que tanteamos:
p(2) = 0 , p(3) = 420 , p(−3) = 0
Luego 2 y −3 son las raíces enteras de la ecuación dada.
De acuerdo con esto vamos a reducir el grado de la ecuación dada dividiendo p(x) por (x−2) y luego por (x+3).
Aplicando RUFINI se tiene:
3 1 −17 13 −20 12
2 6 14 −6 14 −12
3 7 −3 7 −6 0
−3 −9 6 −9 6
3 −2 3 −2 0
La ecuación resultante es la
3 ⋅x3−2 ⋅x2+3 ⋅x−2 = 0
de la que como posibles raíces fraccionarias tenemos las siguientes
± 13
, ± 23
que hay que tantear; así
p( 13
) = + 109
p(− 13
) = − 103
p( 23
) = 0
p(− 23
) = − 529
.
184
Luego, la única raíz fraccionaria es la23
.
En definitiva, la ecuación dada tiene, como raíces enteras y fraccionarias, las siguientes:
2 , −2 ,23
.
185
Lección 18.- CUADRADOS MÁGICOSY
TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS
18.1 Cuadrados mágicos
18.2 Cuadrados anti-mágicos
18.3 Cuadrados sorprendentes
18.4 Triángulos pitagóricos
18.1 Cuadrados mágicos
Consideremos un cuadrado◻
ABCD, dividido en celdas iguales por paralelas a los lados, cada una de las
cuales mantiene un número entero positivo.
2 9 4
7 5 3
6 1 8
A B
CD
(Suma mágica: s.m. = 15)
(I)
Diremos que este cuadrado es mágico si la suma de los números de cada línea (en sentido temporal), y
los de cada columna (en sentido vertical) y los de cada diagonal, es en todos los casos la misma.
El cuadrado de la figura es mágico, pues la suma de todas las líneas, columnas y diagonales es, en todos los
casos 15. De ese valor constante diremos que es la suma mágica, y lo designaremos por s.m. Llamaremos
primera diagonal a la AC, y segunda diagonal a la BD.
Los cuadrados mágicos los designaremos por el número de divisiones iguales de su lado. Así, el de la
figura anterior será un cuadrado de 3.
De los números contenidos en las celdas diremos que son los elementos del cuadrado.
De las dos celdas, en una línea o en una columna, situadas a igual distancia del punto medio de la línea
o columna considerada, diremos que son correspondientes. De los elementos contenidos en esas celdas
diremos, igualmente, que son correspondientes.
En el caso de que los elementos den una suma constante solamente según las líneas y las columnas,
diremos que se trata de un cuadrado semi-mágico.
Veamos, ahora, algunas propiedades generales de los cuadrados que estamos estudiando, cuya compro-
bación es inmediata.
187
PROPOSICIÓN 1. Un cuadrado mágico se transforma en otro cuadrado mágico, si se aumenta, o
disminuye, cada uno de sus elementos con un mismo número.
Resultará, por tanto, que si un cuadrado es mágico para una sucesión determinada de números consecutivos,
lo seguirá siendo si se reemplazan éstos, respectivamente, por un mismo número de enteros cualesquiera,
pero consecutivos.
19 26 21
24 22 20
23 18 25
4 18 8
14 10 6
12 2 16
(II) s.m. = 66 (III) s.m. = 30
Ejemplo 1. El cuadro (II) se ha obtenido, a partir del (I), aumentando cada uno de sus elementos en 17; o lo que
es lo mismo, reemplazando éstos por un mismo número de enteros consecutivos:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Ô⇒ (18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26)
PROPOSICIÓN 2. Un cuadrado mágico sigue siéndolo si se multiplican o dividen cada uno de sus
elementos por un mismo numero.
Ejemplo 2. El cuadro (III) se ha obtenido, a partir del (I), multiplicando cada uno de sus elementos por 2.
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Ô⇒ (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18)
PROPOSICIÓN 3. Si un cuadrado es mágico para una cierta sucesión de enteros consecutivos,
seguirá siéndolo si se reemplazan éstos, respectivamente por los términos de una progresión arit-
mética cualquiera.
Ejemplo 3. Queremos situar, en un cuadrado de 3, los términos de la progresión aritmética:
80, 84, 88, 92, 96, 100, 104, 108, 112
de razón 4. El resultado será el que figura en el cuadro (IV).
Observemos que eso es posible, puesto que
18×4+8 = 80 , 19×4+8 = 84, ...........
operaciones justificadas por las anteriores proposiciones 1 y 2
84 112 92
104 96 88
100 80 108
(IV) s.m. = 288
188
¡¡Atención!! “Colocar los términos de una progresión aritmética en un cuadrado de forma que resulte
mágico, resultará tan sencillo como construir un cuadrado mágico con los primeros enteros: 1, 2, 3,
......, y reemplazar, luego, cada uno de estos por el término de igual rango en la progresión dada.
Observemos, por otra parte, que dado un cuadrado mágico, es posible deducir de él una infinidad de
ellos.”
PROPOSICIÓN 4. Sumando los elementos de celdas, del mismo rango, de dos cuadrados mágicos,
se obtiene otro cuadrado mágico.
Ejemplo 4. A partir de los cuadrados mágicos (II) y (III), obtenemos el (V).
23 44 29
38 32 26
35 20 41
(V) s.m. = 96
PROPOSICIÓN 5. Un cuadrado mágico sigue siendo mágico si se permutan dos columnas 1 y 4, y
luego dos líneas (o al revés), que sean las cuatro, respectivamente, correspondientes.
Ejemplo 5. Dado el cuadrado mágico (a), permutando las columnas 1 y 4, y luego, de ese resultado, las filas 1 y
4, obtenemos el cuadrado mágico (b).
14 7 1
9 4 6
8 13 11
12 7 1
15 4 6
2 13 11
5 10 16
15 4 6
2 13 11
12
15
2
3 10 16 5
14
9
8
5 10 16 3
3
9
8
12 7 1 14
(a) (b)
s.m. = 34 s.m. = 34 s.m. = 34
PROPOSICIÓN 6. La suma mágica, en un cuadrado mágico montado según una progresión arit-
mética, es igual a la mitad del producto de la suma del primer y último término de la progresión,
por el lado del cuadrado.
Ejemplo 6. Consideremos el cuadrado mágico (I), montado sobre la progresión geométrica:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .
La suma mágica, según ya vimos, vale:12⋅(1+9) ⋅3 = 15 .
189
Vamos a establecer, ahora, unas reglas generales para formar cuadrados mágicos, distinguiendo entre
los cuadrados según la paridad de sus lados.
Así denominaremos cuadrados impares o cuadrados pares, según que sean impares o pares, respec-
tivamente, sus lados; dividiendo, además los cuadrados pares en : doblemente pares y simplemente
pares, según sus lados sean respectivamente, divisibles por 4 o no lo sean.
Ejemplo 7. Los cuadrados de 4, 8, 12, 16, ...... son doblemente pares, mientras que los cuadrados de 6, 10, 14, 18,
...... son simplemente pares.
Dada un progresión aritmética, llamaremos términos complementarios a aquellos que están situados a
igual distancia de los extremos de la progresión.
Ejemplo 8. En la progresión aritmética:
1, 4, 7, 10, 13, 16 ,
serán términos complementarios los 4 y 13, así como los 7 y 10.
Observemos que la suma de dos términos complementarios cualesquiera es constante, e igual a la suma
de los términos extremos.
Veamos, a continuación, como un cuadrado semi-mágico puede transformarse en un cuadrado mágico,
simplemente por una permutación líneas y columnas.
14 12 7
9 15 4
8 2 13
6
1
11
3 5 10 16
14 127
9 154
8 213
6
1
11
3 510 16
>
(VI) s.m. = 34 (VII) s.m. = 34
Así, si en el cuadrado semi-mágico (VI) elegimos cuatro números, por ejemplo: 14, 4, 11, 5, pertene-
cientes a líneas y columnas diferentes, y de suma 34, bastará permutar las columnas, de maneras que los
números seleccionados queden situados sobre una diagonal, para obtener el cuadrado mágico (VII).
Ejemplo 9. No obtendríamos cuadrado mágico si los números seleccionados fuesen 12, 4, 8, 16, puesto que su
suma vale 40 ≠ 34.
Si obtendríamos cuadrado mágico si los números seleccionados fuesen: 14, 11, 5, 4, puesto que en este caso su suma
vale, efectivamente, 34.
190
Antes de pasar a establecer métodos generales vamos a expresar un método particular para formar cua-
drados impares y con el único inconveniente de que sólo nos da una solución.
Por ejemplo, construyamos un cuadrado mágico de 5. Tal como nos muestra la figura siguiente, en el
exterior del cuadrado de 25 celdas, dibujamos escalonadas, las que figuran punteadas.
En la dirección de una de las diagonales del cuadrado, rellenemos los cinco escalones de cinco celdas,
que hemos formado, con los 25 primeros números enteros en su orden natural.
Luego, permaneciendo ya fijos los números escritos de esta manera, en el interior del cuadrado, intro-
duzcamos los del exterior en la columna / fila en la que se encuentran, “cruzándolos” en los huecos.
11 7
9
4
517 13
19
12 8
2
23
16
18 14
1
6 2
21
22 10
15
24 20
25
11 7
917 13
19
12 8
2
23
18 14
15
24 20
4
10
6
5
25
1
21
2
16
22
(IX) s.m. = 65
(VIII) [11+12+13+14+15 = 65]
A este método se le conoce como el método de Bachet.
Método general para construir cuadrados mágicos impares.
Vamos a ejemplarizarlo , entendiendo que el procedimiento es general. Así , formaremos un
cuadrado de 5.
1º.- En la primera línea de un cuadrado de 25 celdas escribimos los cinco primeros números, en un
orden cualquiera; en la segunda línea se escriben esos mismos números en el mismo orden, pero
empezando por el número de la primera línea que sigue al situado en el punto medio, ...... y así
sucesivamente para el resto de las líneas.
El cuadrado (X) así construido es mágico.
2º.- Construimos, ahora, un segundo cuadrado auxiliar, con el mismo número de celdas, disponiendo
sobre la primera línea, y colocándolo en un orden cualquiera los términos la progresión aritmética.
0, 5, 10, 15, 20
191
comenzando por 0 y formada por los múltiplos sucesivos de 5.
Formaremos la segunda línea con los elementos de la primera, en el mismo orden, pero comen-
zando por el número de la primera línea situado en el punto medio, ....... y así sucesivamente para
el resto de las líneas.
El cuadrado (XI) así construido es mágico.
5 2
5
4
1 3
4
1
4
2
3
5 2
1 3
1
0 10
1520 5
0
15 0
20
15
10 20
10
5 15
10
5
20
0
20
15
10
5
5
04
2
3
5
1
4
5
2
3
(X) (XI)
3º.- Sumando, ahora, los dos cuadrados obtenidos, es decir celda a celda situadas en las mismas posi-
ciones, se obtiene el cuadrado mágico buscado formado con los 25 primeros números enteros.
5 12
2021 8
4
19 1
24
17
15 22
11
6 18
13
9
23
2
25
14
10
7
316
(XII) s.m. = 65
¡¡Atención!! Este método no es en general aplicable al cuadrado de 3. Sin embargo, como no existe más
que un cuadrado mágico de 3, su obtención puede hacerse por el método de Bachet, antes descrito”.
Método general para construir cuadrados mágicos doblemente pares.
Vamos a ejemplarizarlo , entendiendo que el procedimiento es general. Así , formaremos un
cuadrado de 4.
1º.- En la primera línea de un cuadrado de 16 celdas escribiremos los cuatro primeros números, en
un orden cualquiera, pero con la condición de que los números complementarios estén situados
en celdas correspondientes. Por ejemplo, los complementarios 2 y 3 estarán en celdas situadas a
igual distancia del punto medio de la 1ª línea. La segunda línea se formará invirtiendo el orden de
192
la primera. (En al caso de un cuadrado de lado superior a 4, la 3ª línea se compondría como la 1ª,
y la cuarta como la 2ª, y así sucesivamente hasta completar la mitad de las líneas).
2º.- La segunda mitad del cuadrado es siempre idéntica a la primera mitad, salvo que el orden de las
líneas paralelas es el inverso.
3º.- Construimos, ahora, un segundo cuadrado auxiliar, con ayuda de la progresión aritmética.
0, 4, 8, 12
Comenzando por 0, y formada por los múltiplos de 4, lado del cuadrado.
Se colocan los términos de esta progresión en la primera columna en un cuadrado de 16 celdas, y en
un orden cualquiera, pero con la condición de que los números complementarios estén situados
en celdas correspondientes. Las otras columnas se deducen de la primera, en la misma forma
como deducíamos, en el primer cuadro auxiliar, de la 1ª línea las demás líneas del cuadrado.
4º.- Sumando, ahora, los dos cuadrados obtenidos, es decir celda a celda situadas en las mismas posi-
ciones, se obtiene el cuadrado mágico buscado formado por los 16 primeros números enteros.
2 4 1
3 1 4
3 1 4
2
3
21
2 4 1 3
12 00
4 88
8 44
4
12
8
0 1212 0
14 14
7 129
11 85
6
15
10
2 1316 3
(XIII) (XIV)
(XV) s.m. = 34
Método general para construir cuadrados mágicos simplemente pares.
No existen para estos cuadrados reglas tan sencillas como para los otros; aunque complicada, la siguiente
pudiera ser de las más sencillas.
Vamos a ejemplarizarlo, formando un cuadrado de 6.
193
1º.- Formamos el cuadrado (XVI), con los seis primeros números, aplicando el método utilizado en el
caso de los cuadrados doblemente pares:
5 3
15 3
4
1 3
1
2
6 4
6
6 4
2
5
1
6
4
4
3
6
13
2
5
2
2
5
5 6 3 4 1 2
(XVI)
2º.- Formamos el cuadrado (XVII) con los términos de la progresión
0, 6, 12, 18, 24, 30
24 24
1812 12
30
30 0
6
30
12 18
0
6 24
0
18
0
18
0
12
30
30
1218
24
0
12
18
30
6 24 6 6 24 6
(XVII)
3º.- Sumando los cuadrados (XVI) y (XVII), obtenemos el cuadrado (XVIII).
29 27
1917 15
34
31 3
7
32
18 22
6
12 28
2
23
1
24
4
16
33
36
1321
26
5
14
20
35
11 30 9 10 25 8
(XVIII)
194
4º.- Vamos a mover los elementos de este último cuadrado. Los anteriores cuadrados (XVI) y (XVII),
no son mágicos, pero sus diagonales dan la suma mágica, lo mismo que el (XVIII), es decir:
s.m. = 111.
Se trata, por tanto, de considerar sucesivamente en cada vertical y luego en cada horizontal de
(XVIII), lo que falta para obtener la suma mágica, dejando fijos los elementos de las diagonales.
Para obtenerlo, podemos intercambiar los elementos siguientes:
a.- En la primera línea y la primera columna , los correspondientes: 12 y 7 , 27 y 28 ;
2 y 32 , 17 y 23.
b.- En la segunda y la última línea: 4 y 3, 9 y 10; en la segunda y la última columna: 24 y 18, 14
y 20.
Habremos así obtenido el cuadrado (XIX):
29 28
1923 15
34
31 4
12
2
24 22
6
7 27
32
17
1
18
3
16
33
36
1321
26
5
20
14
35
11 30 10 9 25 8
(XIX)
c.- Los extremos de la cuarta línea y de la cuarta columna de este último cuadro: 17 y
14, 27 y 9.
El cuadrado resultante (XX), así obtenido es entonces mágico.
29 28
1923 15
34
31 4
12
2
24 22
6
7 9
32
17
1
18
3
16
33
36
1321
26
5
20
17
35
11 30 10 27 25 8
(XX) s.m. = 111
Podemos , por tanto , enunciar la siguiente regla , aplicable a un cuadrado cualquiera
simplemente par:
195
Una vez construido el cuadrado (XVIII), construido como hemos dicho en el ejemplo anterior, se
mantienen en su lugar todos los elementos diagonales. Luego, los elementos restantes se intercam-
bian entre ellos, sucesivamente, como sigue:
a.- los elementos correspondientes en la primera línea y en la primera columna.
b.- los elementos centrales en la segunda y la última línea, y la segunda y última columna.
c.- los elementos extremos en una de las dos líneas, y en una de las dos columnas centrales.
Cuadrados semi-diabólicos
Se llaman cuadrados semi-diabólicos a aquellos que siguen siendo mágicos al invertir los dos rectángu-
los iguales en que se pueden dividir estos cuadrados.
Así, el siguiente cuadrado
1 14 15
12 7 6
8 11 10
4
9
5
13 2 3 16
s.m. = 34
es semi-diabólico, puesto que, efectivamente al invertir sus dos mitades verticales se obtiene el siguiente
cuadrado, que también es mágico:
15 4 1
6 9 12
10 5 8
14
7
11
3 16 13 2
s.m. = 34
Igualmente nos resultaría mágico el obtenido al invertir sus dos mitades horizontales.
En el caso de que el cuadrado sea de lado impar, no habría más que cambiar las líneas o las columnas
situadas a cada lado de la columna o de la línea central, que permanecería invariable.
196
Por tanto, es simi-diabólico el cuadrado mágico (XXI) pues operando como acabamos de decir obtene-
mos el (XXII), también mágico.
11 7
9
12
17 13
19
8
3
23
4
18 14
24 20
15
10
5
6
25
1
21
2
16
22
7
13
19
25
1
9
8
3
14
20
15
21
2
16
22
11
12
17
23
4
18
24
10
5
6
(XXI) s.m. = 65 (XXII) s.m. = 65
Cuadrados diabólicos
Se llaman cuadrados diabólicos los que permanecen mágicos al permutar las dos porciones desiguales
que resultan de cortarla por una paralela a un lado.
11 7
917 13
19
8
3
23
4
14
20
15
10
12
18
24
5
6
25
1
21
2
16
22
11
917
8
3
23
4
14
20
15
10
12
18
24
5
6
21
2
16
22
7
13
19
25
1
(XXIII) s.m. = 65 (XXIV) s.m. = 65
Rectángulos mágicos
Consideremos un rectángulo dividido en celdas iguales, que rellenamos con la sucesión natural de los
números enteros. Diremos que se trata de un rectángulo mágico si los elementos de cada una de sus
líneas tienen la misma suma, y los elementos de cada una de sus columnas tienen, también una suma
constante, en general distinta de la primera. Un rectángulo mágico se designa por el producto del número
de celdas contenidos en su base y en su altura. (El rectángulo (XXVI) es de 5×3).
Por otra parte es necesario que, para que el rectángulo sea mágico, que el número de celdas de cada línea
y de cada columna sean, ambos pares, o ambos impares.
Por otra parte la suma mágica de las líneas y las de las columnas no pueden elegirse arbitrariamente. Así,
si por ejemplo, se trata de un rectángulo de 5×3 = 15, la suma de los elementos que contiene será
1, 2, 3, ........., 15 Ô⇒ 1+2+3+ .........+15 =15 ⋅16
2= 15 ⋅8 ,
197
con lo que la suma mágica de una línea deberá ser13
, es decir: 5 ⋅8 = 40, y la suma mágica de una
columna15
, o sea 3 ⋅8 = 24.
Ejemplo 10. Construir un rectángulo mágico de 4×2.
Dado que los enteros considerados son:
1, 2, 3, ......, 8
su suma será:9 ⋅82
= 36, luego la suma mágica de las líneas debe ser362
= 18, y la de las columnas364
= 9.
Si escribimos en una primera línea los cuatro primeros enteros y en una segunda sus complementarios a 9, tendremos
la suma mágica según las columnas:
××Ö1 2 3 4
8 7 6 5
Construiremos el rectángulo mágico, fijando como primera columna la⎡⎢⎢⎢⎢⎣
1
8
⎤⎥⎥⎥⎥⎦, y las siguientes las que la siguen, pero
alternando su orden de manera que la suma de las filas valga, en ambas, 18. Así resultará
1 7 6 4
8 2 3 5s.m. ∶ 18 y 9
(XXV)
Ejemplo 11. Construir un rectángulo mágico de 5×3.
Tal como calculamos antes, los enteros serán 1, 2, ........., 15, y su suma15 ⋅16
2= 8, con lo que tendríamos como
sumas mágicas para las líneas 5 ⋅8 = 40, y para las columnas 3 ⋅8 = 24.
La suma mágica según las columnas será
1 2 3 4 5
15 13 11 14 12
8 9 10 6 7
y el rectángulo mágico resultante será:
1 13 10 4
15 9 3 6
12
7
8 2 11 14 5
s.m. ∶ 40 y 24
(XXVI)
¡¡Atención!! “Si los lados del rectángulo fuesen iguales, obtendríamos, por este procedimiento, un cua-
drado semi-mágico”.
198
18.2 Cuadrados anti-mágicos
Diremos que un cuadrado numérico es anti-mágico cuando se verifique que las sumas lineales de las
filas, de las columnas y de las diagonales principales son todas diferentes.
Ejemplo 1. Consideremos un cuadrado 3×3, es decir de 9 casillas, en el que sus elementos son los nueve primeros
enteros.4 5 2
6 3 1
8 7 9
11
10
16121518
24
13
(Cuadrado anti-mágico normal).
Ejemplo 2. Consideremos un cuadrado 4×4, es decir de 16 casillas, en el que sus elementos son los dieciséis
primeros enteros.
52
22
36
32
27303123
46
29
7 3 11 1
16 2 6 12
15 8 5 4
14 10 9 13
(Cuadrado anti-mágico normal).
¡¡Atención!! “Cuando los elementos son la sucesión de los n2 enteros consecutivos, diremos que se trata
de un cuadrado anti-mágico normal”.
Ejemplo 3. Consideremos un cuadrado 5×5, es decir, de 25 casillas, en el que sus elementos son los veinticinco
primeros enteros
53
72
9050
57
64
887339
93
57
4 18 5 9
19 22 1 23
2 12 24 16
11 25 6 17
21 14 13 3 8
15
7
10
20
59
(Cuadrado anti-mágico normal).
199
Por otra parte podemos imponer, como condición suplementaria, por ejemplo que las 2 ⋅n+2 sumas
diferentes dan todas pares o impares, o bien que sean todas números primos, o que formen una progresión
aritmética, etc.
Ejemplo 4. El siguiente cuadrado, de orden 3 y no normal, está formado por términos cualesquiera, y en él todas
las sumas lineales componen la sucesión de los ocho primeros números primos consecutivos a partir del 2.
2
2 0 1
5 0 6
12 5 0
3
11
7519
17
13
Ejemplo 5. Los siguientes dos cuadrados anti-mágicos, cuyos elementos van del 1 hasta el n2, son tales que sus
sumas lineales forman una sucesión de 2 ⋅n+2 enteros consecutivos.
68
70
6069
67
61
716662
63
65
23 13 10 2
6 3 15 25
18 7 24 1
14 17 4 16
5 8 20 9 22
19
21
11
12
64
38
3033
35
32
293637
31
34
2 15 5 13
16 3 7 12
9 8 14 1
6 4 11 10
(Sumas lineales del 29 al 38)
(Sumas lineales del 60 al 71)
Veamos, ahora, dos métodos para construir cuadrados anti-magicos.
1.- Construcción de un cuadrado anti-mágico normal de orden par:
A partir del cuadrado natural, obtenemos un cuadrado anti-mágico normal de orden par, permu-
tando en una fila o columna, situada en la frontera del cuadrado, los dos términos extremos.
Ejemplo 6. Para n = 4, el cuadrado natural es el:
1 2 3 4
5 6 7 8
9
16
10 11 12
13 14 15
200
Permutando, en la primera columna, los elementos 1 y 5, obtenemos
22
3228
14
42
384036
58
34
2 3 4
1 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
5
Observemos que procediendo así podríamos obtener 8 soluciones.
Ejemplo 7. Para n = 6, el cuadrado natural es el
1 2 3 4 5 6
7 8
16
9 10 11 12
13 14 15 17 18
19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36
Permutando, en la última fila, los elementos 31 y 32 obtenemos
1 2 3 4 5 6
7 8
16
9 10 11 12
13 14 15 17 18
19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30
3132 33 34 35 36
21
57
93
129
165
201
111
126120114108101
112
97
Procediendo así, volveríamos a obtener 8 soluciones.
201
2.- Construcción de un cuadrado anti-mágico normal de orden impar.
Obtenemos este tipo de cuadrado inscribiendo la sucesión natural de los enteros en espiral, a partir
de una casilla angular o bien a partir de la casilla central.
Ejemplo 8. Consideremos el caso de n = 3. Procediendo en espiral a partir de la primera casilla tendremos:
15
1
9
6
21
121716
18
19
2 3
8 4
7 6 5
Ejemplo 9. Consideremos el caso de n = 5. Procediendo en espiral a partir de la casilla central tendremos:
95
39
5156
54
42
457152
75
57
1
115
7 8 9 10
6 2 11
5 4 3 12
16 15 14 13
21 22 23 24 25
20
19
18
17
18.3 Cuadrados sorprendentes
Los cuadrados numéricos encierran no pocas sorpresas; veámoslo con el siguiente:
Ejemplo 1. Consideremos el siguiente cuadrado, evidentemente no mágico, pero si sorprendente:
1 2 7 12 25 2
3
12
2
1
7
25
4 6 10 15 28 5
13 15 19 24 37 14
3 5 9 14 27 4
2 4 8 13 26 3
8 10 14 19 32 9
26 28 32 37 50 27
202
Lo sorprendente es que la suma de seis elementos cualesquiera de dicho cuadrado, no pertenecientes dos
a dos a la misma fila ni columna, es siempre 100.
Una forma sencilla de seleccionar tales seis elementos sería la siguiente: Tomar un número cualquiera
del cuadrado y tachar el resto de la fila y la columna en que se encuentra. De entre los números restantes,
elíjase otro, suprimiéndose también el resto de su fila y su columna; y así sucesivamente mientras queden
números libres. La suma de los seleccionados será siempre 100.
Observemos el cuadrado: La diferencia entre los elementos correspondientes de dos líneas paralelas
es constante. Nos indica esto que el cuadrado puede generarse como suma de dos grupos de elementos
constantes; es decir, el cuadrado no es más que una tabla de sumar de los valores arbitrariamente elegidos
(en nuestro caso: 3, 12, 2, 1, 7, 25) y situados también arbitrariamente en las cabeceras de fila y columna,
como datos de partida.
Observemos, así mismo, que en nuestro caso:
2 ⋅(3+12+2+1+7+25) = 2 ⋅50 = 100 ,
y que seis números elegidos como hemos dicho antes, por ejemplo
4, 9, 24, 10, 50, 3
verifican
4+9+24+10+50+3 = 100
Los números iniciales (en nuestro caso: 1, 3, 7, 12, 25, 2) pueden ser cualesquiera, y su orden de coloca-
ción en las filas y columnas generadoras, arbitrario en ambas. Evidentemente, lo que variará, en el nuevo
cuadrado, será el valor de su suma.
Conocido el procedimiento resulta fácil la construcción de un cuadrado de este tipo, de un orden y una
suma cualesquiera. Veámoslo para un cuadrado 3×3.
5 7 2
2 7 9 4
5 10 12 7
7 12 14 9
Si seleccionamos los números: 4, 10, 14 obtenemos:
4+10+14 = 28
2 ⋅(5+7+2) = 2 ⋅14 = 28
203
y si hubiésemos seleccionado los: 9, 7, 12 obtendríamos igualmente:
9+7+12 = 28
2 ⋅(5+7+2) = 2 ⋅14 = 28 .
Sorprendente resulta el llamado por algunos, cuadrado mágico apocalíptico. Se trata de un cuadrado
mágico de 6 (es decir de 6×6), en el que todas las casillas contienen números primos, siendo su suma
mágica: s.m. = 666. Tal vez su nombre venga dado porque el número 666 recibe el nombre de número
de la Bestia, (el Anticristo), según el libro del Apocalipsis, de San Juan (Capítulo XIII, versículo 18).
3 107 5 131 109 311
7 331 193 11 83 41
103 53 71 89 151 199
113 61 97 197 167 31
367 13 173 59 17 37
73 101 127 179 139 47
s.m. = 666
Se suelen llamar potencias apocalípticas a los números de la forma 2n que contiene los dígitos apoca-
lípticos 666. El menor exponente que da lugar a uno de tales números es el 157.
2157= 182 ⋅687 ⋅704 ⋅ 666 ⋅362 ⋅844 ⋅775 ⋅460 ⋅604 ⋅089 ⋅535 ⋅377 ⋅456 ⋅991 ⋅567 ⋅872
Otro cuadrado sorprendente es el llamado cuadrado mágico especular:
96 64 37 45
39 43 98 62
84
78
76 25 57
25 59 82
s.m. = 242
Observemos que si invertimos cada uno de los números de las casillas, obtenemos otro cuadrado mágico,
también con s.m. = 242.
69 46 73 54
93 34 89 26
48
87
67 52 75
52 95 28
s.m. = 242
204
18.4 Triángulos pitagóricos
Establezcamos, ahora, lo que se denomina un “triángulo pitagórico entero”.
Ya desde la antigüedad para construir un triángulo
rectángulo se recurría al pitagórico, de medidas 3,
4, 5, o a sus múltiplos.
Es posible, sin embargo, determinar triángulos rec-
tángulos, distintos de los anteriores, cuyos catetos
e hipotenusa tengan valores enteros. Estamos ha-
blando de los triángulos pitagóricos enteros.
a=10 b=4
c=3
Las siguientes expresiones generan las tres medidas de un triángulo rectángulo:
1.- c = 2 ⋅n+1 , b = 2 ⋅n ⋅(n+1) , a = 2 ⋅n2+2 ⋅n+1
Ejemplo 1. Para n = 2 ; c = 5 ; b = 12 ; a = 13.
Comprobación: 52+122 = 25+144 = 169 = 132
2.- c = 2(n+1) , b = n(n+2) , a = n2+2 ⋅n+2
Ejemplo 2. Para n = 2 ∶ c = 6 , b = 8 , a = 10
Comprobación: 62+82 = 36+64 = 100 = 102
3.-c = x ⋅y , b =
x2−y2
2, a =
x2+y2
2
siendo x e y números enteros.
Ejemplo 3. Para x = 7 , y = 3, se tiene:
c = 7 ⋅3 = 21 , b = 72−32
2= 20 , a = 72+32
2= 29
Comprobación: 212+202 = 441+400 = 841 = 292.
(En el supuesto de que resultase algún número decimal bastaría multiplicar por 2.)
Veamos, por último, los dos procedimientos que utilizaba Fibonacci, para determinar “ternas pitagóri-
cas”:
1.- n número impar: La terna estará constituida por los números
n , n2−
n2−12
,n2+1
2
205
Ejemplo 4. Si n = 7:n2−1
2= 49−1
2= 24 ,
n2+12
= 49+12
= 25
En efecto:
n2+( n2−12
)2
= (n2+12
)2
Ô⇒ 49+576 = 625
Así, la terna resulta ser:
(7, 24, 25)
2.- n número par: La terna estará constituida por los números
n ,n2−4
4,
n2+44
Ejemplo 5. Si n = 8:n2−4
4= 64−4
4= 15 ,
n2+44
= 64+44
= 17
En efecto
n2−( n2−44
)2
= ( n2+14
)2
Ô⇒ 64+225 = 289
Así, la terna resulta ser:
(8, 15, 17)
206
CAPÍTULO II
Sucesiones de números reales
Lección 19.- CONJUNTOSY
SUCESIONES DE NÚMEROS REALES
19.1 Conjuntos y sucesiones de números reales
19.1 Conjuntos y sucesiones de números reales
En todo lo que sigue nuestro conjunto universal, al que también llamamos referencial, será el cuerpo
de los números reales R.
Diremos que un conjunto de números reales, A, está acotado superiormente si existe un número, Ks,
que llamaremos cota superior, que es mayor o igual que todos los números de A. En forma análoga se
definen los conjuntos acotados inferiormente, y las cotas inferiores, Ki.
De un conjunto diremos que está acotado si lo está superior e inferiormente.
Ejemplo 1. El conjunto A = x ∈R ∣ 2 ⩽ x < 5 es un conjunto acotado. Son cotas superiores, entre una infinidad
de ellas, los números 5 y 6. Son cotas inferiores, también dentro de una infinidad de ellas, los números 1 y 2.
Observemos que una cota inferior, el número 2, pertenece al propio conjunto A, mientras que ninguna cota superior
pertenece a A.
Geométricamente tendríamos:
-1 0 1 2 3 4 5 6
cotas inferiores A cotas superiores
Ejemplo 2. El conjunto B = x ∈R ∣ x ⩽ 2 no es un conjunto acotado, puesto que aunque está acotado superior-
mente, por el número 2 y todos los mayores que 2, no lo está inferiormente.
Geométricamente tendríamos:
-1 0 1 2 3 4 5 6
B cotas superiores
Dado un conjunto de números reales, A, diremos que un número m ∈A es el máximo (resp. el mínimo)
si para todo x ∈A se tiene x ⩽m (resp. m ⩽ x).
209
Ejemplo 3. El conjunto A = x ∈R ∣ 2 ⩽ x < 5 admite el número 2 como elemento mínimo. Sin embargo, no existe
elemento máximo; aparentemente el número 5 parece serlo, pero no lo es puesto que no pertenece al conjunto A.
Dado un conjunto de números reales, A, diremos que un número real es extremo superior ( resp. extre-
mo inferior) del conjunto A si es el mínimo (resp. el máximo) del conjunto de las cotas superiores (resp.
cotas inferiores) del conjunto A.
Ejemplo 4. El conjunto A = x ∈R ∣ 2 ⩽ x < 5 admite como extremo superior el número 5, y como extremo inferior
el número 2.
Ejemplo 5. El conjunto B = x ∈R ∣ x ⩽ 2 admite como extremo superior el número 2. Sin embargo no existe
extremo inferior.
Evidentemente, todo conjunto de números reales acotado admite un extremo superior y un extremo
inferior únicos.
Al objeto de uniformizar el lenguaje, cuando el conjunto A no está acotado superiormente (resp. inferior-
mente), convendremos en decir que su extremo superior (resp. inferior) es más infinito, que simboliza-
remos por +∞∞∞ (resp. menos infinito, que simbolizaremos por −∞∞∞). Sin embargo, nada autoriza a tomar
el símbolo∞∞∞ como un número, y mucho menos a aplicarle las reglas ordinarias del cálculo aritmético.
Podemos, entonces, enunciar que: Todo conjunto de números reales admite un extremo superior y
un extremo inferior únicos (finitos o infinitos).
Ejemplo 6. El conjunto B = x ∈R ∣ x ⩽ 2 admite como extremo superior el número 2 , y como extremo
inferior −∞∞∞.
Dado un conjunto de números reales, A, diremos que un número real S es límite superior del conjunto
A, no se verifican las dos condiciones siguientes:
1º.- Si S+εεε está superado, a lo sumo, por un número finito de elementos de A.
2º.- Si S−εεε está superado por infinitos elementos de A.
¡¡Atención!! Observemos que, en principio, sólo tiene sentido hablar de límite superior, exista o no, si
el conjunto A es infinito, cosa que no ocurre con el concepto de extremo superior. Cuando el conjunto A
es finito el extremo superior es el mayor de los elementos de A, es decir su máximo.
En forma análoga, dado un conjunto de números reales, A, diremos que un número real, I, es límite
inferior del conjunto A si se verifican las dos condiciones siguientes:
1º.- Si I−εεε supera, a lo sumo, a un número finito de elementos de A.
2º.- Si I+εεε supera a infinitos elementos de A.
210
Observación: En todos los casos en que aparece un εεε , salvo que se diga lo contrario, su significado es
el de un número real estrictamente positivo, tan pequeño como se quiera.
En forma análoga al caso de los extremos se puede enunciar que: Todo conjunto de infinitos números
reales, acotado, admite un límite superior y un límite inferior únicos.
Puede ocurrir que el límite superior, S, y el límite inferior, I, existan y sean iguales, en cuyo caso al valor
común, S = I, se le llamará, simplemente, límite del conjunto.
Ejemplo 7. Consideremos el conjunto: A = x ∈R ∣ x = 1+ 1n−(−1)n , n ∈N∗ cuya visualización es la
siguiente.
-1 0 1 2 3 414_ 2+ 1
3_
21_
para n=4
para n=1para n=2
para n=3
El límite superior de A es el número 2.
El límite inferior de A es el número 0.
Podemos afirmar además que:
El extremo superior de A es el número 3, que es también máximo.
El extremo inferior de A es el 0; no hay mínimo en el conjunto A.
También aquí, como antes para los extremos, cabe uniformizar el lenguaje. Así, si el conjunto A no está
acotado superiormente (resp. inferiormente) convendríamos en decir que su límite superior es +∞∞∞ (resp.
inferior es −∞∞∞), con las mismas restricciones que antes.
Podemos, entonces, anunciar que: Todo conjunto de infinitos números reales admite un límite supe-
rior y un límite inferior únicos (finitos o infinitos).
Ejemplo 8. Consideremos el conjunto A = x ∈R ∣ x = (1−(−1)n) ⋅n+ 1n
, n ∈N∗ cuya visualización es la si-
guiente:
0 1 2 3 821_
para n=4 para n=1para n=2
4 5 6 7 9 10
para n=3 para n=5
El límite superior de A es +∞∞∞ (que es también su extremo superior).
El límite inferior de A es 0 (que es también su extremo inferior).
Dado un conjunto, A, de infinitos números reales, diremos que el número real a, perteneciente o no
al conjunto A, es un punto de acumulación de A, si en todo intervalo abierto ]a−εεε , a+εεε[ existen
elementos de A distintos del a.
211
Al intervalo abierto ]a−εεε , a+εεε[ se le suele llamar εεε−entorno de a, o simplemente entorno de a.
Evidentemente, si a es un punto de acumulación del conjunto A, entonces en todo entorno de a hay
infinitos elementos de A.
Ejemplo 9. Consideremos el conjunto: A = x ∈R ∣ x = 1−(−1)n− 1+(−1)n
2 ⋅n , n ∈N∗ cuya visualización es la
siguiente:
0 1 2 3
para n=4 para n imparpara n=2
-121_-
41_-
El número 0 es punto de acumulación del conjunto A, mientras que el número 2 no lo es.
Uniformizar aquí el lenguaje es establecer lo siguiente: Dado un conjunto A de números reales, diremos
que infinito es punto de acumulación de A si fuera de todo entorno de cero existen elementos de A.
Ejemplo 10. Si A es el conjunto de los números naturales N, infinito es punto de acumulación de A.
Teorema de Bolzano-Weierstrass. Todo conjunto, A, de infinitos números reales admite, al
menos, un punto de acumulación.
En efecto: Supongamos que el conjunto A está acotado, pues si no lo estuviera admitiría el infinito como
punto de acumulación, y la propiedad seria cierta.
Así, supuesto A acotado, sabemos que dicho conjunto admite un límite superior, S. Este punto, S, es pun-
to de acumulación de A pues, por la propia definición de punto límite, en todo εεε-entorno del mismo,
]S−εεε , S+εεε[ , existen puntos de A distintos del S.
Se hubiera podido razonar, también, con el límite inferior, I, que también existe. Como variante, puede ocu-
rrir que exista un único límite si S = I, y también que existan otros puntos de acumulación comprendidos
entre ambos.
Ejemplo 11. El conjunto A = x ∈R ∣ x = 1n−(−1)n , x ∈N∗ admite como puntos de acumulación sus límites
superior e inferior:
S = 2 y I = 0 .
¡¡Atención!! Los puntos de acumulación de un conjunto no tienen por qué pertenecer al conjunto. El
Teorema de Bolzano-Weierstrass afirma la existencia de al menos un punto de acumulación, pero no
dice que debe pertenecer al conjunto.
Dado un conjunto de números reales, A, llamaremos conjunto derivado del A, y se representará por A′,
al conjunto de los puntos de acumulación de A.
212
Ejemplo 12. Dado el conjunto A = x ∈R ∣ 2 < x < 3 su conjunto derivado es el
A′ = x ∈R ∣ 2 ⩽ x ⩽ 3
Ejemplo 13. El conjunto derivado del A =Q es el A′ =R.
Si todos los puntos de un conjunto son de acumulación del mismo, el conjunto se llamará denso.
Ejemplo 14. El conjunto A = x ∈R ∣ 2 < x < 3 es denso.
Si todos los puntos de acumulación de un conjunto pertenecen a él, el conjunto se llamará cerrado o
completo.
Ejemplo 15. El conjunto A = x ∈R ∣ 2 < x < 3 no es cerrado.
Ejemplo 16. El conjunto A′ = x ∈R ∣ 2 ⩽ x ⩽ 3 es cerrado.
Ejemplo 17. El conjunto Q no es cerrado.
Ejemplo 18. El conjunto R es cerrado.
Si el conjunto es denso y cerrado, de dicho conjunto diremos que es perfecto.
Ejemplo 19. El conjunto A = x ∈R ∣ 2 ⩽ x ⩽ 3 es perfecto.
Ejemplo 20. El conjunto A = x ∈R ∣ 2 < x < 3 no es perfecto.
Mostramos, ahora, un ejemplo gráfico en el que se dan distintas posibilidades.
Ejemplo 21. En la representación los puntos del conjunto considerados son los ennegrecidos:
denso, no cerrado (no perfecto)
no denso, no cerrado (no perfecto)
no denso, cerrado (no perfecto)
denso, cerrado (perfecto)
Llamaremos sucesión de números reales a toda aplicación de N en R, es decir
fff ∶N Ð→ Rn z→ fff (n)
En lugar de fff (n) escribiremos αααn, y la aplicación fff se escribirá como (αααn)n∈N. La visualización de una
213
sucesión de números reales se hará sobre la recta real, en la medida en que ello sea posible, marcando
los puntos ααα0, ααα1, ααα2, ......... sobre dicha recta:
0
4α nα5α2α1α0α3α
En muchas ocasiones, en lugar de (αααn)n∈N se escribe:
ααα0, ααα1, ααα2, , ααα3, ........., αααn, .........
Evidentemente, salvo en casos muy particulares, resulta prácticamente imposible tanto representar la
sucesión como escribirla explícitamente. Afortunadamente, lo que ocurre es que las sucesiones que nos
proponemos estudiar vienen dadas por expresiones que dependen de n, subíndice del término n-ésimo
αααn de la sucesión, lo que permite o tener cualquier término por simple particularización de n.
Ejemplo 22. Si decimos que:
1,12,
14,
18,
116
, .........
es una sucesión de números reales, no estamos siendo nada precisos, puesto que lo que hemos escrito son los cinco
primeros términos de una sucesión:
ααα0 = 1 , ααα1 =12
, ααα2 =14
, ααα3 =18
, ααα4 =116
cuyo sexto término, al igual que cualquiera de los que siguen, no sabemos cuál es. Otra cosa hubiese sido decir que
1,12,
14,
18,
116
, .........,12n , .........
es una sucesión de números reales, puesto que aquí el conocimiento del término n-ésimo
αααn =12n
nos determina completamente la sucesión. En este caso el sexto término sería el
ααα5 =125 = 1
32.
La visualización (parcial como siempre) de esta sucesión, ( 12n )
n∈N, sería la siguiente:
-1 0
21_
1α =
1_42α =
1_83α =
0α =1
1
¡¡Atención!! El primer término de la sucesión, (αααn)n∈N, hemos dicho que era el ααα0, el segundo el ααα1,
etc. Establecido así hay que tener cuidado, puesto que el sexto término será el ααα5, y no el ααα6, como
pudiera ocurrírsenos. En ocasiones, y sin más comentarios, supondremos que la sucesión es la:
ααα1, ααα2, , ααα3, ........., αααn, .........
214
lo cual equivale a que la aplicación es de N∗ (en lugar de N) en R. Además, el que estemos en un caso
o en otro salta a la vista en cuanto conozcamos el primer término y el término n-ésimo de la sucesión.
El siguiente ejemplo intenta aclarar esta cuestión, que por otra parte no es más que una disquisición
que no afecta a lo que va a constituir nuestro objetivo: la determinación de lo que llamaremos límite de
una sucesión de números reales.
Ejemplo 23. Consideremos la sucesión
1,12,
13,
14, .........,
1n, .........
El término n-ésimo es aquí el
αααn =1n
El primer término se obtiene para n = 1,
ααα1 =11= 1 ;
Así la sucesión dada es de la forma
ααα1, ααα2, , ααα3, ........., αααn, .........
y el quinto término es el
ααα5 =15
Para que la sucesión dada sea del tipo
ααα0, ααα1, ααα2, , ααα3, ........., αααn, .........
bastará con sustituir en el término n-ésimo la n por n+1. Así:
αααn =1
n+1
con lo que la sucesión se transforma en la
1,12,
13,
14, .........,
1n+1
, .........
El quinto término será ahora el
ααα4 =15
que coincide, evidentemente, con el anterior ααα5.
La expresión del término n-ésimo, que nos determina completamente la sucesión, no tiene por qué ser
exactamente una expresión calculable, bastará con que nos determine sin lugar a dudas la sucesión.
Ejemplo 24. La sucesión,
0,2, 0,23, 0,233, ........, 0,23.........3, .........n
tiene por término n-ésimo el
αααn = 0,23............3n
215
Ejemplo 25. La sucesión
0,12, 0,
14, 0, ........., 0,
2n+3
, ........
tiene por término n-ésimo el
αααn =⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
0 si n es par2
n+3si n es impar
216
Lección 20.- LÍMITE DE UNA SUCESIÓNDE
NÚMEROS REALES
20.1 Límite de una sucesión de números reales
20.1 Límite de una sucesión de números reales
Estableceremos, a continuación, un concepto muy importante, el de límite de una sucesión numérica.
Diremos que una sucesión de números reales (αααn)n∈N tiene por límite el número real L, y escribiremos:
lımn→∞∞∞
=L ,
Cuando, para todo número real εεε > 0 exista un número natural n0 tal que:
n > n0 Ô⇒ ∣αααn−L∣ < εεε
También diremos, entonces, que la sucesión (αααn) converge hacia L, o que es convergente, y que su
límite es L.
Muchas veces se dice que (αααn)n∈N tiende hacia L, y también se escribe (αααn)Ð→L.
Observemos que si la sucesión (αααn)n∈N tiende hacia L significa que la diferencia ααα −L llega a ser tan
pequeña como se quiere, en valor absoluto, en cuanto tomemos el término αααn bastante avanzado.
En el tipo de visualización que ya hemos manejado, al εεε le correspondería el intervalo abierto ]L−εεε , L+εεε[,
dentro del cual deberán quedar representados todos los αααn para n > n0.
4α2α 1α
nα ( n>n )0
3α()
LL-ε L+ε
Eventualmente, algún αααn, para n ⩽ n0, también podrá pertenecer al intervalo abierto ]L−εεε , L+εεε[ .
Al intervalo abierto ]L−εεε , L+εεε[ , ya le hemos llamado antes εεε-entorno de L, o simplemente entorno
de L.
Ejemplo 1.- La sucesión
1,12,
14,
18, . . . . . . ,
12n , . . . . . .
tiene por límite el número 0.
En efecto, ∣ 12n −0∣ = 1
2n puede hacerse tan pequeño como se quiera, pues fijado un εεε > 0, si hacemos
12n0
< εεε
217
resulta
2n0 > 1εεε
.
Basta, entonces, tomar un n0 que cumpla esa condición. Por ejemplo, si εεε = 0,001 ,
2n0 > 10,001
= 1000 ,
desigualdad que es satisfecha por n0 = 10. Luego
lımn→∞∞∞
12n = 0 .
Ejemplo 2.- La sucesión
1,12,
13,
14, . . . . . . ,
1n, . . . . . .
tiene por límite el número 0, puesto que la diferencia ∣ 1n−0∣ = 1
n< εεε si tomamos n > 1
εεε. Por ejemplo, si εεε = 0,001
n > 10,001
= 1000 .
Así todos los términos, a partir del ααα1001, quedarán representados en el intervalo abierto ]−0,001 , 0,001[ .
Se puede escribir, por tanto, que
lımn→∞∞∞
1n
= 0 .
Ejemplo 3.- La sucesión
0,2 , 0,23 , 0,233 , . . . . . . ,0,23. . . . . .3 , . . . . . .n
tiene por límite el número730
, puesto que la diferencia
730
−0,23. . . . . .3n
puede hacerse menor que cualquier número real positivo, tomando n suficientemente grande.
¡¡Atención!! Observemos que en este último ejemplo, el término n-ésimo nos genera un número decimal
periódico. El límite de tal tipo de sucesión es siempre el número racional que genera el término n-nésimo.
En este sentido, conviene recordar que la expresión racional del número decimal periódico
E, N
P
esENP−EN
9. . . . . .90. . . . . .0,P N
es decir, en el numerador la parte entera seguida de la no periódica y de la periódica menos la parte
entera seguida de la no periódica, y en el denominador un número con tantos nueves como cifras tiene
la parte periódica y tantos ceros como cifras tiene la parte decimal no periódica.
218
Ejemplo 4.- Consideremos el siguiente número decimal periódico
21¯E, 5®N
32¯P
(
Su expresión racional es la:21532−215
990= 21317
990.
Ejemplo 5.- Consideremos el siguiente número decimal periódico
3®E, 251°
P
(
Su expresión racional es la:3251−3
999= 3248
999.
Ejemplo 6.- Consideremos el siguiente número decimal periódico
0®E, 00¯N
5®P
(
Su expresión racional es la:0005−000
900= 5
9.
Ejemplo 7.- Consideremos el siguiente número decimal periódico
1®E, 0®N
9®P
(
Su expresión racional es la:109−10
90= 99
90= 11
10.
Vamos a proceder, ahora, a una generalización del concepto de límite. Hemos convenido, antes, en llamar
convergente a toda sucesión que tiene límite; convengamos, ahora, en llamar no convergente a toda
sucesión que no tiene límite.
Ejemplo 8.- La sucesión
1, 2, 5, 10, . . . . . . ,n2+1, . . . . . .
es, evidentemente, no convergente. Los términos de la sucesión crecen continuamente, de forma que fijado cualquier
valor positivo existe un término, en la sucesión, a partir del cual todos le mayoran.
219
Ejemplo 9.- La sucesión
1, −1, 1, −1, . . . . . . ,(−1)n, . . . . . .
es también no convergente. Sin embargo, al contrario que en el ejemplo anterior, todos los términos permanecen
acotados en valor absoluto por cualquier número mayor que 1.
Ejemplo 10.- La sucesión
1, 2,13, 4,
15, 6, . . . . . . , αααn, . . . . . .
siendo
αααn =⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
1n+1
si n es par.
n+1 si n es impar.
es así mismo no convergente. Es una especie de mezcla de las que figuran en los ejemplos anteriores; por una
parte, fijado cualquier valor positivo existe un término, en la sucesión, a partir del cual una infinidad de términos la
mayoran, pero al mismo tiempo una infinidad de términos están acotados por cualquier número mayor que 1.
Parecen sugerir estos ejemplos una partición de las sucesiones no convergentes, tal como sigue.
Diremos que una sucesión de números reales (αααn)n∈N tiene límite infinito, y escribiremos
lımn→∞∞∞
αααn =∞∞∞
cuando para todo número real a > 0 existe un número natural n0 tal que
n > n0 Ô⇒ ∣αααn∣ > a .
Permite esta definición, efectivamente clasificar las sucesiones no convergentes en dos clases:
1ª.- las que tienen límite infinito (de las que diremos que son divergentes)
2ª.- las que no tienen límite infinito (de las que diremos son oscilantes)
Ejemplo 11.- La sucesión
1, 2, 5, 10, . . . . . . ,n2+1, . . . . . .
es divergente, pues su límite es infinito.
Ejemplo 12.- La sucesión
1, −1, 1, −1, . . . . . . , (−1)n, . . . . . .
es oscilante.
Ejemplo 13.- La sucesión
1, 2,13, 4,
15, 6, . . . . . . ,
1n+1
, n+1, . . . . . .
es oscilante.
220
¡¡Atención!! Cuando hemos dicho que una sucesión (αααn)n∈N tiene límite infinito escribíamos
lımn→∞∞∞
αααn =∞∞∞
Nada autoriza, sin embargo, a considerar el símbolo∞∞∞ como un número, ni mucho menos a aplicarle las
operaciones aritméticas; lo que si existe es la posibilidad de matizar, en algunos casos. Así, si existiendo
límite infinito, desde un cierto término en adelante todos son positivos, diremos que el límite es +∞∞∞, y
escribiremos
lımn→∞∞∞
αααn = +∞∞∞
mientras que, si por el contrario, desde un cierto término en adelante todos son negativos, diremos que
el límite es −∞∞∞, y escribiremos
lımn→∞∞∞
αααn = −∞∞∞
Ejemplo 14.- La sucesión
1, 2, 5, 10, . . . . . . ,n2+1, . . . . . .
tiene límite +∞∞∞ .
Ejemplo 15.- La sucesión
1, −2, 5, −10, . . . . . . ,(−1)n ⋅(n2+1), . . . . . .
tiene límite∞∞∞ .
Tal como hemos convenido, las sucesiones de números reales, desde el punto de vista del concepto de
límite, se clasifican como sigue:
CONVERGENTES. . . . . . . . . . . . [Admiten límite (finito)]
NO CONVERGENTES . . . . . .
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
DIVERGENTES. . . . . . [Admiten límite infinito]
OSCILANTES. . . . . . ... [No admiten ningún tipo
de límite]
Sin embargo, según los distintos autores, la clasificación puede ser distinta, sin que ello signifique en
ningún caso que se varíen los conceptos: es exclusivamente una cuestión de nomenclatura, ante la cual
conviene prevenirse. El cuadro siguiente muestra algunas de esas posibilidades.
Convergente Convergente Convergente Convergente
No convergente Divergente Divergente Divergente con límite∞∞∞
Oscilante Divergente sin límite
Las siguientes propiedades de las sucesiones de números reales lo son en relación al concepto de límite:
221
PROPOSICIÓN 1. Una sucesión convergente no puede tener más de un límite.
En efecto: Sea (αααn)n∈N una sucesión convergente, y supongamos que tiene dos límites: L1 y L2, siendo
L1 < L2.
A partir de un cierto orden todos los términos de la sucesión deben pertenecer, simultáneamente, a los
entornos ]L1−εεε , L1+εεε[ y ]L2−εεε , L2+εεε[ , lo cual es imposible en cuanto tomemos
εεε < L2−L12
__L -ε1 L +ε1 L -ε2 L +ε2
L 2L 1
PROPOSICIÓN 2. Si la sucesión (αααn)n∈N es convergente, sus términos, a partir de uno de ellos,
son mayores que todo número menor que su límite L.
En efecto: Sea m un número cualquiera que cumpla con la condición de ser m < L. Tomemos, entonces,
un εεε que verifique
εεε < L−m
Todos los términos de la sucesión dada pertenecen, a partir de uno de ellos, al entorno ]L−εεε , L+εεε[ . En
consecuencia, todos ellos son mayores que m.
__
L-ε L+ε
L m
En forma análoga se prueban las propiedades siguientes:
PROPOSICIÓN 3. Si la sucesión (αααn)n∈N es convergente, sus términos, a partir de uno de ellos,
son menores que todo número mayor que su límite L.
PROPOSICIÓN 4. A partir de un cierto término, los términos de una sucesión convergente tienen
el mismo signo que su límite, supuesto éste distinto de cero.
PROPOSICIÓN 5. Si (αααn)n∈N y (βββ n)n∈N son dos sucesiones convergentes cuyos límites respectivos
son ααα y βββ , y si para todo n > n0 (siendo n0 un número fijo) es αααn <βββ n, entonces se verifica que ααα ⩽βββ .
En efecto: No puede ocurrir que ααα > βββ , puesto que en este caso, a partir de un cierto n = n0, sería
αααn >βββ n, por estar incluidos esos αααn, en el entorno ]ααα −εεε , ααα +εεε[ y los correspondientes βββ n en el en-
torno ]βββ −εεε , βββ +εεε[ , todo ello en contradicción con lo que se ha supuesto.
Estamos suponiendo que ααα ≠βββ , en cuyo caso basta tomar un
εεε < ααα −βββ
2.
En el caso de ser ααα =βββ no habría nada que demostrar, puesto que este caso está amparado por el ααα ⩽βββ .
222
De una sucesión (γγγn)n∈N diremos que está comprendida entre las sucesiones (αααn)n∈N y (βββ n)n∈N, si se
verifica que:
(∀∀∀n ∈N) αααn ⩽ γγγn ⩽βββ n .
PROPOSICIÓN 6. Toda sucesión comprendida entre otras dos, que tienen igual límite, tiene este
mismo límite.
En efecto: Si el límite común de las sucesiones (αααn)n∈N y (βββ n)n∈N es L, se verifica que, a partir de un
cierto n > n0:
L−εεε <αααn < L+εεε , L−εεε <βββ n < L+εεε
Luego por ser:
αααn ⩽ γγγn ⩽βββ n .
si es (γγγn)n∈N la sucesión comprendida entre las (αααn)n∈N y (βββ n)n∈N resulta
L−εεε ⩽ γγγn ⩽ L+εεε
es decir
lımn→∞∞∞
γγγn = L
De una sucesión (βββ n)n∈N diremos que está contenida en la (αααn)n∈N, y también que es una subsucesión
de la (αααn)n∈N, si todos los términos de la (βββ n)n∈N figuran en los de la (αααn)n∈N.
PROPOSICIÓN 7. Si una sucesión (αααn)n∈N es convergente, toda sucesión (βββ n)n∈N contenida en
ella es también convergente, y tiene el mismo límite.
En efecto: Si ααα es el límite de la sucesión (αααn)n∈N se tiene
ααα −εεε <αααn0 <ααα +εεε , ααα −εεε <αααn0+1 <ααα +εεε , ααα −εεε <αααn0+2 <ααα +εεε ,. . . . . . . . .
Ahora bien, entre los términos ααα1 , . . . . . . . . . , αααn0−1 existirán, quizás, algunos βββ 1 , . . . . . . . . . , βββ p de la
sucesión (βββ n)n∈N, luego todos los siguientes al βββ p, por ser posteriores al n0, quedarán incluidos en el
entorno ]ααα −εεε , ααα +εεε[ . En consecuencia
lımn→βββ
βββ n =ααα .
¡¡Atención!! Con un razonamiento análogo al anterior se puede establecer que: Toda subsucesión de
una sucesión divergente es divergente. Sin embargo puede ocurrir que una sucesión sea oscilante y otra
contenida en ella sea convergente o divergente.
Ejemplo 16.- Consideremos la sucesión
1,12, 2,
14, 1,
16, 2,
18, 1,
110
, 2, . . . . . .
que es oscilante.
La subsucesión12,
14,
16,
18,
110
, . . . . . . . . .
223
es convergente, de límite 0.
La subsucesión
1, 2, 1, 2, 1, 2, . . . . . . . . .
es oscilante, como también lo es la
1,12,
14, 2,
16,
18, 1,
110,
. . . . . .
Ejemplo 17.- Consideremos la sucesión
1,12, 2,
14, 3,
16, 4,
18, 5,
110
, . . . . . . . . .
que es oscilante.
La subsucesión
12,
14,
16,
18,
110
, . . . . . . . . .
es convergente, de límite 0.
La subsucesión
1, 2, 3, 4, 5, . . . . . . . . .
es divergente.
PROPOSICIÓN 8. Al alterar el orden de una sucesión no se altera ni su carácter ni su límite.
En efecto: Basta con darse cuenta de que alterar el orden de una sucesión no es más que considerar una
subsucesión de la primera; aplicaríamos, entonces, los resultados anteriores.
PROPOSICIÓN 9. Toda sucesión monótona creciente, acotada superiormente, es convergente, y
su límite es menor o igual que cualquier cota superior.
En efecto: Si la sucesión tiene infinitos términos iguales, el valor común de esos términos es el límite de la
sucesión, pues, prescindiendo de los primeros términos, la sucesión es una constante.
Si la sucesión tiene infinitos términos distintos, el conjunto formado con ellos admite un límite superior,
L, que es menor que una cota superior. Además, resulta inmediatamente que si el elemento an0 pertenece
al semientorno ]L−εεε , L[ todos los términos que siguen al an0 pertenecen también a ese semientorno, lo
cual prueba que la sucesión dada es convergente, y que su límite es L.
En forma análoga se prueba la propiedad siguiente:
PROPOSICIÓN 10. Toda sucesión monótona decreciente, acotada inferiormente, es convergente,
y su límite es mayor o igual que cualquier cota inferior.
Sin que sea una generalización, el concepto de punto de acumulación de un conjunto de números reales
admite una réplica cuando lo que manejamos son sucesiones de números reales: el límite de oscilación.
224
Dada una sucesión de números reales, (αααn)n∈N, diremos que el número real βββ es límite de oscilación de
la sucesión dada, si todo entorno de βββ contiene infinitos términos de la sucesión.
Uniformizar el lenguaje, en este caso, sería decir que: Dada la sucesión (αααn)n∈N, infinito es límite de
oscilación, de la sucesión dada, si todo entorno de∞∞∞ contiene infinitos términos de la sucesión, es decir,
si fuera de todo entorno de cero existen infinitos términos de la sucesión.
Ejemplo 18.- Los límites de oscilación de la sucesión
1,12, 1,
14, 1,
16, 1,
18, 1,
110
, 1, . . . . . .
son 1 y 0.
Observemos que el primero, es decir el 1, figura una infinidad de veces en la sucesión, mientras que el segundo, es
decir 0, no figura ninguna.
Ejemplo 19.- Consideremos la sucesión cuyo término n-ésimo es el siguiente:
αααn = 1+n ⋅(1−(−1)n) ,
es decir la
1, 3, 1, 7, 1, 11, 1, 15, 1, 19, . . . . . . . . .
Los límites de oscilación de esta sucesión son 1 e∞∞∞.
¡¡Atención!! Conviene observar que, de acuerdo con lo establecido, si una sucesión admite un límite de
oscilación único, entonces es convergente o divergente, pero nunca oscilante.
PROPOSICIÓN 11. Toda sucesión de números reales (αααn)n∈N, oscilante, admite mas de un límite
de oscilación.
En efecto: Pueden ocurrir dos casos, que son los siguientes:
1º.- Los términos de la sucesión dada forman un “conjunto” finito. Por ser convergente la sucesión, al menos dos
de esos términos se repetirán una infinidad de veces, siendo por tanto límites de oscilación de la sucesión.
2º.- Los términos de la sucesión dada forman un “conjunto” infinito. Dicho conjunto admitirá entonces al menos
un punto de acumulación, y cada uno de los eventuales puntos de acumulación será un límite de oscilación.
Ahora bien, no puede existir uno sólo, pues entonces éste sería el límite de la sucesión que resultaría así ser
convergente, contra lo que hemos supuesto. En consecuencia, al menos habrá dos límites de oscilación.
Si (αααn)n∈N es una sucesión de números reales cualesquiera (convergente, divergente u oscilante), al
mayor de sus límites de oscilación le llamamos límite superior de oscilación de la sucesión, y se repre-
sentará en cualquiera de las formas
lım sup αααn , lım αααn , ααα .
225
Así mismo, el menor de sus límites de oscilación le llamaremos límite inferior de oscilación de la
sucesión, y se representará en cualquiera de las formas
lım inf αααn , lım αααn , ααα .
Observemos que, si (αααn)n∈N es una sucesión convergente, de límite a, se tiene
lım αααn = lım αααn = lım αααn = a ,
y si es divergente, se verifica
lım αααn = lım αααn = lım αααn =∞∞∞ .
Ejemplo 19.- Dada la sucesión (αααn)n∈N, siguiente:
1, 3, 1, 7, 1, 11, 1, 15, . . . . . . , 1+n ⋅(1−(−1)2, . . . . . .
se verifica que:
lım αααn =∞∞∞ , lım αααn = 1 .
226
Lección 21.- CRITERIO GENERAL DE CONVERGENCIAY
CÁLCULO DE LÍMITES
21.1 Criterio general de convergencia y cálculo de límites
21.1 Criterio general de convergencia y cálculo de límites
A la siguiente propiedad, que establece la existencia del límite de una sucesión de números reales, se la
conoce, generalmente, bajo el nombre de criterio general de convergencia y también como CRITERIO
DE CAUCHY.
PROPOSICIÓN 1. Una condición necesaria y suficiente para que la sucesión de números reales
(αααn)n∈N tenga límite (finito) es que, para todo número real estrictamente positivo εεε exista un nú-
mero n0 tal que, para todos los p y q, mayores que n0, se verifique:
∣αααp−αααq∣ < εεε .
En efecto: Veamos primero que la condición es necesaria:
Sea εεε un número real estrictamente positivo, y hagamos εεε′ = εεε
2. Si es
lımn→∞∞∞
αααn = L
significa que existe un n0(εεε ′) tal que todos los términos αααn de la sucesión, para n > n0, pertenecen al
intervalo ]L−εεε′ , L+εεε
′[ , luego la diferencia entre dos cualesquiera de éstos es, en valor absoluto, menor
que 2 ⋅εεε ′, es decir
n′ , n′′ > Ô⇒ ∣αααn′ −αααn′′ ∣ < 2 ⋅εεε ′ = εεε
Veamos ahora que la condición es suficiente:
Bastará demostrar que, si se verifica la condición en cuestión, entonces son finitos e iguales los límites
superior e inferior de la sucesión, L1 y L2, en cuyo caso la sucesión es convergente.
Fijado un εεε > 0, existe un n0(εεε) tal que:
n >υυυ > n0 Ô⇒ ∣an−aυυυ ∣ < εεε
es decir
aυυυ −εεε < an < aυυυ +εεε ,
Luego todos los términos de la sucesión que siguen al aυυυ pertenecen al εεε −entorno ]aυυυ −εεε , aυυυ +εεε[ ; en
consecuencia los límites L1 y L2 son finitos.
Además, L1 = L2, ya que si fuesen L1 ≠ L2, tomando un εεε = L1−L23
, no podrá cumplirse la condición
227
que suponemos cierta, pues cada εεε −entorno ]L1−εεε , L1+εεε[ y ]L2−εεε , L2+εεε[ habría infinitos térmi-
nos de la sucesión, y la diferencia entre dos elementos cualesquiera, uno de cada uno de esos εεε −entornos,
serían mayor que εεε .
Diremos que una sucesión (αααn)n∈N es una sucesión de Cauchy si para todo εεε > 0, existe un número
natural n0 tal que, para todos los p y q mayores que n0, se verifica:
∣αααp−αααq∣ < εεε .
Con esta definición, el criterio general de convergencia se puede expresar así:
CRITERIO DE CAUCHY. Una sucesión de números reales (αααn)n∈N converge si y sólo si, es una
sucesión de Cauchy.
¡¡Atención!! La condición de que la sucesión sea, precisamente de números reales es primordial en el
enunciado anterior, en el sentido siguiente: Al decir sucesión de números reales se sobreentiende que el
conjunto universal es el de los números reales. Puede suceder que una sucesión de números racionales
sea una sucesión de Cauchy y su límite sea un número real no racional, lo que significa que si el conjunto
universal es el de los números racionales la conclusión es la de que no es convergente.
Ejemplo 1.- Se puede obtener√
2 como sucesión de números racionales, sucesión de Cauchy no convergente si el
conjunto universal considerado es Q.
Dada una sucesión (αααn)n∈N la operación que consiste en hallar su límite se llama paso al límite. Las
operaciones aritméticas ordinarias tienen un número finito de datos, mientras que esta nueva opera-
ción aritmética maneja un número infinito de números. En las primeras se puede asegurar, simplemente
inspeccionando los datos, si la operación es posible o no; en cambio, no existen reglas sencillas para
reconocer si una sucesión tiene límite o carece de él, y aun demostrada su existencia no hay regla general
para su determinación.
Sin embargo, cuando la sucesión dada se ha construido a partir de dos o más sucesiones, de las cuales
se conocen sus límites, es posible, en un buen número de casos, hallar el límite de dicha sucesión. Las
siguientes propiedades responden a esos casos.
PROPOSICIÓN 2. Si las sucesiones (αααn)n∈N y (βββ n)n∈N tienden, respectivamente, a los límites
finitos ααα y βββ , entonces la sucesión (αααn+βββ n)n∈N tiende al límite ααα +βββ .
En efecto: Se verifica aquí que
∀∀∀ εεε > 0 ∃ n0 ∈N tal que (n > n0) Ô⇒
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
− εεε
2<ααα −αααn <
εεε
2
− εεε
2<βββ −βββ n <
εεε
2
228
y sumando miembro a miembro las desigualdades resulta:
−εεε < (ααα +βββ)−(αααn+βββ n) < εεε
es decir
lımn→∞∞∞
(αααn+βββ n) =ααα +βββ .
En forma análoga se establece que: La sucesión (αααn−βββ n) tiende al límite ααα −βββ .
Así mismo, aplicando reiteradamente la propiedad anterior, resulta:
PROPOSICIÓN 3. Toda suma algebraica de sumandos que tienen límites finitos, tiene por límite
la suma algebraica de los sumandos.
Por otra parte, si una de las series es divergente obtenemos la siguiente:
PROPOSICIÓN 4. Si la sucesión (αααn)n∈N tiene por límite +∞∞∞, −∞∞∞ ó ∞∞∞, y si la sucesión (βββ n)n∈N
es tal que sus términos se conservan, en valor absoluto, menores que un determinado número K,
entonces la sucesión (αααn+βββ n)n∈N tiene por límite, respectivamente, +∞∞∞ , −∞∞∞ ó ∞∞∞.
En efecto: Se verifica aquí que
(∀∀∀ n ∈N) −K <βββ n < K
luego, si es lımn→∞∞∞
αααn = +∞∞∞ , significa que para todo número positivo A, existe un n0 ∈N tal que:
(∀∀∀ n > n0) A+K <αααn
desigualdad que sumada con la primera da:
(∀∀∀ n > n0) A <αααn+βββ n .
En consecuencia
lımn→∞∞∞
(αααn+βββ n) = +∞∞∞ .
Supongamos ahora que lımn→∞∞∞
αααn = −∞∞∞. Significa esto que para todo número positivo A existe un n0 ∈Ntal que:
(∀∀∀ n > n0) αααn < −A−K
desigualdad que sumada con la primera
(∀∀∀ n > n0) αααn+βββ n < −A .
En consecuencia
lımn→∞∞∞
(αααn+βββ n) = −∞∞∞ .
La conclusión en el caso de ser lımn→∞∞∞
αααn =∞∞∞, resulta de reunir los dos anteriores.
Admite también un resultado el caso en el que las dos sucesiones sean divergentes en la forma siguiente:
229
PROPOSICIÓN 5. Si las sucesiones (αααn)n∈N y (βββ n)n∈N tienden simultáneamente, ambas, a +∞∞∞ ó
a −∞∞∞, entonces (αααn+βββ n)n∈N tiende al mismo límite, +∞∞∞ ó a −∞∞∞.
En efecto: Si el límite de ambas sucesiones es +∞∞∞, significa que, para todo número positivo A, existe un
n0 ∈N tal que:
(∀∀∀ n > n0)A2
<αααn yA2
<βββ n
Sumandos las dos desigualdades se tiene:
(∀∀∀ n > n0) A <αααn+βββ n .
En consecuencia
lımn→∞∞∞
(αααn+βββ n) = +∞∞∞ .
En forma análoga se establece que si el límite de las dos sucesiones es −∞∞∞, se verifica que:
lımn→∞∞∞
(αααn+βββ n) = −∞∞∞ .
¡¡Atención!! Los casos en que las sucesiones (αααn)n∈N y (βββ n)n∈N tienen límites +∞∞∞ y −∞∞∞, respec-
tivamente, o bien ambas por límite ∞∞∞, sin signo determinado, no están contemplados en la anterior
proposición, y eso porque no puede asegurarse nada respecto del límite de la sucesión (αααn+βββ n)n∈N.
Resulta así el primer caso de indeterminación, que denotaremos:∞∞∞−∞∞∞.
Ejemplo 2.- Dadas las sucesiones (αααn)n∈N y (βββ n)n∈N , cuyos términos n-ésimos respectivos son:
αααn =n2−n+10
ny βββ n =
5−n3
n2
de límites +∞∞∞ y −∞∞∞ , resulta que la sucesión (αααn+βββ n)n∈N cuyo término n-ésimo es
αααn+βββ n =5+10 ⋅n−n2
n2
tiene por límite −1.
Ejemplo 3.- Dadas las sucesiones (αααn)n∈N y (βββ n)n∈N, cuyos términos n-ésimos respectivos son:
αααn = 3n y βββ n = (−3)n
de límites (αααn)n∈N y (βββ n)n∈N, resulta que la sucesión (αααn+βββ n)n∈N cuyo término n-énesimo es
αααn+βββ n = 3n+(−3)n
no tiene límite.
230
PROPOSICIÓN 6. Si la sucesión (αααn)n∈N tiene por límite 0, y la sucesión (βββ n)n∈N es tal que sus
términos se conservan, en valor absoluto, menores que un determinado número K, entonces la
sucesión (αααn+βββ n)n∈N tiene por límite 0.
En efecto: Se verifica aquí que, para todo εεε > 0 existe un n0 ∈N tal que:
(∀∀∀ n > n0) ∣αααn∣ <εεε
K,
luego
(∀∀∀ n > n0) ∣αααn ⋅βββ n∣ = ∣αααn∣ ⋅ ∣βββ n∣ <εεε
K⋅K = εεε .
En consecuencia
lımn→∞∞∞
(αααn ⋅βββ n) = 0
PROPOSICIÓN 7. Si la sucesión (αααn)n∈N tiene límite ∞∞∞, y la sucesión (βββ n)n∈N es tal que sus tér-
minos se conservan, en valor absoluto, mayores que un número positivo K, entonces la sucesión
(αααn ⋅βββ n)n∈N tiene por límite∞∞∞.
En efecto: Se verifica aquí que, para todo a > 0 existe un n0 ∈N tal que:
(∀∀∀ n > n0) ∣αααn∣ >aK
,
luego
(∀∀∀ n > n0) ∣αααn ⋅βββ n∣ = ∣αααn∣ ⋅ ∣βββ n∣ >aK⋅K = a .
En consecuencia
lımn→∞∞∞
(αααn ⋅βββ n) =∞∞∞
PROPOSICIÓN 8. Si las sucesiones (αααn)n∈N y (βββ n)n∈N tienden, respectivamente, a los límites ααα
y βββ , entonces la sucesión (αααn ⋅βββ n)n∈N tiende al límite ααα ⋅βββ .
En efecto: La diferencia ααα ⋅βββ −αααn ⋅βββ n se puede escribir en la forma
ααα ⋅βββ −αααn ⋅βββ n =ααα ⋅(βββ −βββ n)+βββ n ⋅(ααα −αααn) .
Como
lımn→∞∞∞
ααα ⋅(βββ −βββ n) = 0 y lımn→∞∞∞
βββ ⋅(ααα −αααn) = 0
resulta que
lımn→∞∞∞
(ααα ⋅βββ −αααn ⋅βββ n) = 0 .
En consecuencia
lımn→∞∞∞
=ααα ⋅βββ .
¡¡Atención!! En ninguna de las tres propiedades anteriores se ha contemplado el caso en que una
de las sucesiones, (αααn)n∈N, sea divergente, y la otra (βββ n)n∈N, tenga por límite 0, y eso porque no
puede asegurarse nada respecto del límite de la sucesión (αααn ⋅βββ n)n∈N . Resulta así el segundo caso de
indeterminación, que denotaremos:∞∞∞⋅0.
231
Ejemplo 4.- Dadas las sucesiones (αααn)n∈N y (βββ n)n∈N, cuyos términos n-ésimos respectivos son:
αααn = n y βββ n =2
n+1
de límites +∞∞∞ y 0, resulta que la sucesión (αααn ⋅βββ n)n∈N cuyo término n-ésimo es
αααn ⋅βββ n =2 ⋅nn+1
tiene por límite 2.
Ejemplo 5.- Dadas las sucesiones (αααn)n∈N y (βββ n)n∈N, cuyos términos n-ésimos respectivos son:
αααn = n2 y βββ n =2
n+1
de límites +∞∞∞ y 0, resulta que la sucesión (αααn ⋅βββ n)n∈N cuyo término n-ésimo es
αααn ⋅βββ n =2 ⋅n2
n+1
tiene por límite +∞∞∞.
PROPOSICIÓN 9. Si las sucesiones (αααn)n∈N y (βββ n)n∈N tienden, respectivamente, a los límites
finitos ααα y βββ , siendo βββ ≠ 0, la sucesión (αααn
βββ n)
n∈Ntiende al límite
ααα
βββ.
En efecto: Busquemos primero el límite de la sucesión1
βββ n.
Para ello escribimos1βββ− 1
βββ n= βββ n−βββ
βββ ⋅βββ n= (βββ n−βββ) ⋅ 1
βββ ⋅βββ n.
Si, por ejemplo, es βββ > 0, podemos elegir un número positivo δδδ < βββ , de manera que existirá un n0 ∈N tal
que:
(∀∀∀ n > n0) δδδ <βββ n .
Así, la fracción1
βββ ⋅βββ nse conservará menor que el número
1βββ ⋅δδδ , y como la diferencia βββ n−βββ tiende a
0, resultará que1βββ− 1
βββ ntambién tiende a 0; es decir
lımn→∞∞∞
1βββ n
= 1βββ
.
Visto lo anterior se tiene que:
lımn→∞∞∞
αααnβββ n
= lımn→∞∞∞
(αααn ⋅1
βββ n) = ( lım
n→∞∞∞αααn) ⋅( lım
n→∞∞∞1
βββ n) = ααα
βββ
232
PROPOSICIÓN 10. Si la sucesión (αααn)n∈N es tal que sus términos se conservan, en valor absoluto,
menores que un determinado número K, y la sucesión (βββ n)n∈N tiene límite∞∞∞, entonces la sucesión
(αααn
βββ n)
n∈Ntiene por límite 0.
En efecto: Se verifica aquí que, para todo εεε > 0 existe un n0 ∈N tal que:
(∀∀∀ n > n0) ∣βββ n∣ >Kεεε
,
es decir
(∀∀∀ n > n0) ∣ αααnβββ n
∣= ∣αααn∣∣βββ n∣
< KKεεε
= εεε ,
luego
lımn→∞∞∞
αααnβββ n
= 0
PROPOSICIÓN 11. Si la sucesión (αααn)n∈N es tal que sus términos se conservan, en valor absoluto,
mayores que un número fijo K, y la sucesión (βββ n)n∈N tiende a 0, entonces la sucesión (αααn
βββ n)
n∈Ntiene por límite∞∞∞.
En efecto: Se verifica aquí que, para todo a > 0 existe un n0 ∈N tal que:
(∀∀∀ n > n0) ∣βββ n∣ <Ka
,
luego
(∀∀∀ n > n0) ∣ αααnβββ n
∣ = ∣αααn∣∣βββ n∣
> KKa
= a .
En consecuencia
lımn→∞∞∞
αααnβββ n
=∞∞∞
PROPOSICIÓN 12. Si la sucesión (αααn)n∈N tiene por límite ∞∞∞, y la sucesión (βββ n)n∈N es tal que
sus términos se conservan, en valor absoluto, menores que un número fijo K, entonces la sucesión
(αααn
βββ n)
n∈Ntiene por límite∞∞∞.
En efecto: Se verifica aquí que, para todo a > 0 existe un n0 ∈N tal que:
(∀∀∀ n > n0) ∣αααn∣ < K ⋅a ,
y como para todo valor de n es:
∣βββ n∣ < K
resulta
∣ αααnβββ n
∣ = ∣αααn∣∣βββ n∣
> K ⋅aK
= a
En consecuencia
lımn→∞∞∞
( αααnβββ n
) =∞∞∞
233
¡¡Atención!! En ninguna de las cuatro propiedades anteriores se ha contemplado el caso en que las
dos sucesiones, (αααn)n∈N y (βββ n)n∈N, sean divergentes, ni tampoco aquél en que ambas sucesiones
tienden simultáneamente a 0. Resulta así, respectivamente, el tercer y cuarto caso de indeterminación,
que denotaremos:∞∞∞
∞∞∞y
00
.
Ejemplo 6.- Dadas las sucesiones (αααn)n∈N y (βββ n)n∈N, cuyos términos n-ésimos respectivos son:
αααn = n y βββ n = 2 ⋅n−3
de límites +∞∞∞∞∞∞∞∞∞ y +∞∞∞∞∞∞∞∞∞, resulta que la sucesión ( αααnβββ n
)n∈N
, cuyo término n-ésimo es:
αααnβββ n
= n2 ⋅n−3
tiene por límite12
.
Ejemplo 7.- Dadas las sucesiones (αααn)n∈N y (βββ n)n∈N, cuyos términos n-ésimos respectivos son:
αααn = n2 y βββ n = 2 ⋅n−3
de límites +∞∞∞∞∞∞∞∞∞ y +∞∞∞∞∞∞∞∞∞, resulta que la sucesión ( αααnβββ n
)n∈N
, cuyo término n-ésimo es:
αααnβββ n
= n2
2 ⋅n−3
tiene por límite +∞∞∞.
Ejemplo 8.- Dadas las sucesiones (αααn)n∈N y (βββ n)n∈N, cuyos términos n-ésimos respectivos son:
αααn =1
n+1y βββ n =
n+13 ⋅n2+5
de límites 0 y 0, resulta que la sucesión ( αααnβββ n
)n∈N
, cuyo término n-ésimo es:
αααnβββ n
=1
n+1n+1
3 ⋅n2+5
= 3 ⋅n2+5n2+2 ⋅n+1
tiene por límite 3.
Ejemplo 9.- Dadas las sucesiones (αααn)n∈N y (βββ n)n∈N, cuyos términos n-ésimos respectivos son:
αααn =1
n+1y βββ n =
13 ⋅n2+5
de límites 0 y 0, resulta que la sucesión ( αααnβββ n
)n∈N
, cuyo término n-ésimo es:
αααnβββ n
=1
n+11
3 ⋅n2+5
= 3 ⋅n2+5n+1
tiene por límite∞∞∞.
234
Las proposiciones anteriores han establecido las reglas generales por las que se regirá la determinación
de límites, en lo que se refiere a la suma, diferencia, producto y cociente, a menos de los cuatro primeros
casos de indeterminación, que junto con los otros tres que nos van a aparecer a continuación conformarán
lo que constituye el verdadero problema del cálculo de límites aritméticos.
Las propiedades siguientes tratan con logaritmos, potenciales y expresiones potenciales-exponenciales.
PROPOSICIÓN 13. Si la sucesión (βββ n)n∈N tiende al límite finito y positivo βββ , entonces la sucesión
(loga βββ n)n∈N tiende al límite loga βββ .
En efecto: Supongamos, por ejemplo que a > 1, en cuyo caso es:
(∀∀∀ εεε > 0) aεεε > 1 y a−εεε < 1 .
Como se verifica que
lımn→∞∞∞
βββ nβββ
= 1
es decir, existe un n0 ∈N tal que
(∀∀∀ n > n0) −εεε < loga βββ n− loga βββ < εεε
lo cual verifica que:
lımn→∞∞∞
(loga βββ n) = loga βββββββββ .
El resultado es el mismo si es a < 1, puesto que el único que cambia es el sentido de las desigualdades.
No caben otras posibilidades, puesto que además de ser a > 0, debe ser a ≠ 1, para que el planteamiento
tenga sentido.
PROPOSICIÓN 14. Si la sucesión (βββ n)n∈N tiende al límite finito βββ (positivo, nulo o negativo), y ααα
es un número positivo cualquiera, entonces la sucesión (αααβββ n)n∈N tiende al límite ααα
βββ .
En efecto: Cualquiera que sea el valor de n, se verifica que:
αααβββ n −ααα
βββ =αααβββ ⋅(ααα
βββ n−βββ −1)
es decir
∣αααβββ n −αααβββ ∣ =ααα
βββ ⋅ ∣αααβββ n−βββ −1∣ ,
expresión a partir de la cual es inmediato obtener que
lımn→∞∞∞
αααβββ n =ααα
βββ
puesto que se cumple, porque así lo hemos supuesto, que:
lımn→∞∞∞
βββ n =βββ .
235
PROPOSICIÓN 15. Si la sucesión (αααn)n∈N tiende al límite finito y positivo ααα , y la sucesión (βββ n)n∈N
tiende al límite finito βββ (positivo, nulo o negativo), entonces la sucesión (αααβββ nn )
n∈Ntiene por límite
αααβββ .
En efecto: Basta tomar logaritmos en un sistema de base cualquiera c > 1, para obtener
logc αααβββ nn =βββ n ⋅ logc αααn
es decir
αααβββ nn = cβββ n⋅logc αααn
expresión a partir de la cual, y de acuerdo con las dos proporciones anteriores resulta
lımn→∞∞∞
(αααβββ nn ) = c lım
n→ααα(βββ n⋅logc αααn) = cβββ ⋅logc ααα = (clogc ααα)
βββ
=αααβββ
¡¡Atención!! Al establecer la proposición anterior supusimos que, simultáneamente, ααα era un número
positivo y βββ era un número (positivo, nulo o negativo) con lo cual el límite del producto βββ n ⋅ logc αααn
no presentaba ningún tipo de indeterminación, puesto que valía βββ ⋅ logc ααα . Aparecen así los tres últimos
casos de indeterminación anunciados, precisamente cuando βββ n ⋅ logc αααn adopta la forma indeterminada
∞∞∞⋅0 ó 0 ⋅∞∞∞, en cuyo caso no es posible obtener, en general, el límite de αααβββ nn ; ocurre esto de los
siguientes modos:
(αααn)Ð→ 1 y (βββ n)Ð→∞∞∞ ; la forma indeterminada se denota 1∞∞∞
(αααn)Ð→ +∞∞∞ y (βββ n)Ð→ 0 ; la forma indeterminada se denota ∞∞∞0
(αααn)Ð→ 0 y (βββ n)Ð→ 0 ; la forma indeterminada se denota 00
Ejemplo 10.- Dadas las sucesiones (αααn)n∈N y (βββ n)n∈N, cuyos términos n-ésimos respectivos son:
αααn =n+1
ny βββ n = n2
de límites 1 y +∞∞∞, resulta que la sucesión (αααβββ nn )
n∈N, cuyo término n-ésimo es
αααβββ nn = ( n+1
n)
n2
tiene por límite +∞∞∞.
Ejemplo 11.- Dadas las sucesiones (αααn)n∈N y (βββ n)n∈N, cuyos términos n-ésimos respectivos son:
αααn =n+1
ny βββ n = n
de límites 1 y +∞∞∞, resulta que la sucesión (αααβββ n)
n∈N, cuyo término n-ésimo es
αααβββ n = ( n+1
n)
n
tiene por límite el número e, tal como estableceremos un poco más adelante.
236
En el cuadro siguiente aparecen los siete casos de indeterminación considerados.
∞∞∞−∞∞∞ ∞∞∞⋅0∞∞∞
∞∞∞
00
1∞∞∞ ∞∞∞0 00
Conviene no perder de vista que lo que aparece en el cuadro son los símbolos con los que se denotan
los casos de indeterminación; nunca debe pensarse en la posibilidad de realizar operaciones con ellas.
Así, por ejemplo, 1∞∞∞ no significa que el número 1 esté elevado a ∞∞∞, sino que representa una potencia,
cuya base αααn, tiene por límite el número 1, cuyo exponente βββ n tiene por límite ∞∞∞, cuyo límite está
indeterminado en el sentido de que distintos αααn y βββ n con esos mismos límites, 1 e ∞∞∞, pueden dar
distintos límites para αααβββ nn , tal como nos muestran los dos ejemplos anteriores.
Por otra parte, admitiendo esta simbología podemos expresar una buena parte de los resultados que
aparecen en las propiedades que hemos venido estudiando, según lo que podemos llamar igualdades
simbólicas, las cuales no presentan ningún tipo de indeterminación sino todo lo contrario:
∞∞∞+k =∞∞∞ ; ∞∞∞⋅k =∞∞∞ ;∞∞∞
k=∞∞∞ ;
k∞∞∞
= 0 ;k0=∞∞∞
0+∞∞∞ = 0 ; 0−∞∞∞ = +∞∞∞ ; (+∞∞∞)+∞∞∞
= +∞∞∞ ; ∞∞∞−∞∞∞
= 0
237
Lección 22.- LÍMITE DE EXPRESIONESRACIONALES E IRRACIONALES,
EL NÚMERO e
22.1 Límite de expresiones racionales e irracionales
22.2 El número e
22.1 Límite de expresiones racionales e irracionales
La forma característica en la que se presentan las expresiones racionales es la siguiente:
αααn =a0 ⋅np+a1 ⋅np−1+ . . . . . . +ap
b0 ⋅nq+b1 ⋅nq−1+ . . . . . . +bq
en las que se supone: a0 ≠ 0 , b0 ≠ 0 y p y q son números naturales.
Considerada como término n-ésimo de una sucesión de números reales es el ejemplo típico de indeter-
minación de la forma∞∞∞
∞∞∞.
En a determinación del límite de αααn caben tres posibilidades:
1ª.- p < q. La expresión se transforma dividiendo, tanto el numerador como el denominador, por np,
con lo que se obtiene
αααn =a0+
a1
n+ . . . . . . +
ap
np
b0 ⋅nq−p+b1 ⋅nq−p−1+ . . . . . . +bq
np
Al tender n a infinito, el numerador tiende a a0, y el denominador a infinito, luego:
lımn→∞∞∞
αααn = 0
2ª.- p > q. La expresión se transforma dividiendo, tanto el numerador como el denominador, por nq,
con lo que se obtiene:a0 ⋅np−q+a1 ⋅np−q−1+ . . . . . . +
ap
nq
b0+b1
n+ . . . . . . +
bq
nq
Al tender n a infinito, el numerador tiende a infinito, y el denominador a b0, luego:
lımn→∞∞∞
αααn =∞∞∞
3ª.- p = q. La expresión se transforma dividiendo, tanto el numerador como el denominador, por np = nq,
con lo que se obtiene:
αααn =a0+
a1
n+ . . . . . . +
ap
np
b0+b1
n+ . . . . . . +
bq
nq
239
Al tender n a infinito, el numerador tiende a a0 y el denominador a b0, luego:
lımn→∞∞∞
αααn =a0
b0
Ejemplo 1.- Hallar el límite de: αααn = (n3) ⋅ 1
n3 .
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
n ⋅(n−1) ⋅(n−2)3!
⋅ 1n3 = lım
n→∞∞∞n3−3 ⋅n2+2 ⋅n
6 ⋅n3 = 16
Ejemplo 2.- Hallar el límite de: αααn =n ⋅(n2+1)
(n+2) ⋅(n−2) .
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
n3+nn2−4
=∞∞∞
Ejemplo 3.- Hallar el límite de: αααn =n2−2 ⋅n
n2 ⋅(n2−1).
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
n2−2 ⋅nn4−n2 = 0
El cálculo del límite de una sucesión cuyo término general es una expresión irracional, en forma inde-
terminada, suele facilitarse, multiplicando y dividiendo por expresiones convencionales.
En algunas ocasiones resulta muy útil el conocimiento de las denominadas conjugadas de expresiones
que contienen radicales, en particular cuando dichas expresiones figuran en el denominador de una frac-
ción.
Veamos algunos casos:
1º.- La conjugada de n√a esn√
an−1.
La racionalización de una fracción de este tipo se efectúa así:
An√a
=A ⋅
n√an−1
n√a ⋅ n√an−1=
A ⋅n√an−1
a
2º.- Si el denominador es: n√a− n√b (caso que incluye el n√a−c), pretendemos obtener otro cuyo
denominador sea a−b. Así, si E es la conjugada será:
An√a− n√b
=A ⋅Ea−b
Ô⇒ E =a−b
n√a− n√b
de donde
E =a−b
n√a− n√b=
(n√an)−(
n√bn)
n√a− n√b=
n√
an−1+n√
an−2 ⋅b+ . . . . . . + n√
a ⋅bn−2+n√
bn−1
que es la expresión conjugada del denominador.
240
Ejemplos:
1√
a−b=
√a+b
a2−b;
13√a− 3√2 ⋅b
=
3√a2+3√2 ⋅a ⋅b+ 3√4 ⋅b2
a−2 ⋅b
3º.- Si el denominador es n√a+ n√b (caso que incluye el n√a+c), operando como en el punto anterior,
se prueba que la conjugada del denominador es
E =n√
an−1−n√
an−2 ⋅b+ n√
an−3 ⋅b2− . . . . . . ±n√
bn−1
Ejemplos:
1√
a+√
b=
√a−
√b
a−b,
13√a+ 3√2 ⋅b
=
3√a2−3√2 ⋅a ⋅b+ 3√4 ⋅b2
a+2 ⋅b
14√a+ 4√2 ⋅b
=
4√a3−4√2 ⋅a2 ⋅b+ 4√4 ⋅a ⋅b2−
4√8 ⋅b3
a−2 ⋅b
4º.- De los casos 2º.- y 3º.- se deducen otros dos, tomando por denominador la conjugada obtenida,
en cuyo caso es conjugada el antiguo denominador.
Ejemplos:1
3√a2+3√2 ⋅a ⋅b+ 3√4 ⋅b2
=3√a− 3√2 ⋅b
a−2 ⋅b
14√a3−
4√2 ⋅a2 ⋅b+ 4√4 ⋅a ⋅b2−4√8 ⋅b3
=4√a+ 4√2 ⋅b
a−2 ⋅b
5º.- Si el denominador es un trinomio, etc., se procede agrupando los términos del denominador y
procediendo como en los casos anteriores.
Ejemplos:
I.-1
√a+
√b+
√c=
A[(
√a+
√b)+
√c] ⋅ [(
√a+
√c)−
√c]
=
=A
(√
a+√
b)2−c=
A2 ⋅
√a ⋅b+(a+b+c)
siendo: A =√
a+√
b−√
c.
El denominador de la última expresión se racionaliza fácilmente multiplicando los dos tér-
minos por: 2 ⋅√
a ⋅b−(a+b−c).
II.-1
√a+
√b+
√c−
√d=
M[(
√a+
√b)+(
√c−
√d)] ⋅ [(
√a+
√b)−(
√c−
√d)]
=
=M
2 ⋅√
a ⋅b+2 ⋅√
c ⋅d+(a+b+−c−d)
que corresponde al tipo del ejemplo anterior.
241
Ejemplo 4.- Hallar el límite de: αααn =√
n2+a ⋅n+b−n
(Es de la forma indeterminada∞∞∞−∞∞∞).
Para hacer desaparecer la indeterminación multiplicamos y dividimos por la conjugada de la expresión dada:
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
(√
n2+a ⋅n+b−n) ⋅(√
n2+a ⋅n+b+n)√
n2+a ⋅n+b+n=
= lımn→∞∞∞
a ⋅n+b√n2+a ⋅n+b+n
= lımn→∞∞∞
a+ bn√
1+ an+ b
n2 +1= a
2
Ejemplo 5.- Hallar el límite de: αααn = n ⋅⎛⎝
3
√8+ 2
n−2
⎞⎠
.
(Es de la forma indeterminada∞∞∞⋅0).
Para hacer desaparecer la indeterminación multiplicamos y dividimos por la conjugada del segundo factor, que es:
3
¿ÁÁÀ(8+ 2
n)
2+2 ⋅ 3
√8+ 2
n+4 .
Así, tendremos
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
n ⋅⎛⎝
3
√8+ 2
n−2
⎞⎠⋅⎛⎝
3
√(8+ 2
n)
2+2 ⋅ 3
√8+ 2
n+4
⎞⎠
3
√(8+ 2
n)
2+2 ⋅ 3
√8+ 2
n+4
=
= lımn→∞∞∞
n ⋅ 2n
3
√(8+ 2
n)
2+2 ⋅ 3
√8+ 2
n+4
= 24+4+4
= 16
Ejemplo 6.- Hallar el límite de: αααn = 3√n3+a ⋅n2− 3√n3−a ⋅n2.
Es del tipo∞∞∞−∞∞∞.
Multiplicando y dividiendo por:3√
n3+a ⋅n2+ 3√
n3−a ⋅n2
obtenemos
(n3+a ⋅n2)23 −(n3−a ⋅n2)
23
(n3+a ⋅n2)13 +(n3−a ⋅n2)
13
=
=n2+ 2
3⋅(n3)
23 −1
⋅a ⋅n2+ . . . . . . . . . −[n2− 23⋅(n3)
23 −1
⋅a ⋅n2+ . . . . . . ]
n+ 13⋅(n3)
13 −1 ⋅a ⋅n2+ . . . . . . . . . +n− 1
3⋅(n3)
13 −1 ⋅a ⋅n2+ . . . . . .
=n2+ 2
3⋅a ⋅n+ . . . . . . . . . −n2+ 2
3⋅a ⋅n. . . . . .
2 ⋅n+ . . . . . . =43⋅a ⋅n+ . . . . . .
2 ⋅n+ . . . . . .
242
luego
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
43⋅a ⋅n+ . . . . . .
2 ⋅n+ . . . . . . = 23⋅a
Ejemplo 7.- Hallar el límite de: αααn =√
n2+n+1−a ⋅n.
Es del tipo∞∞∞−∞∞∞.
Multiplicando y dividiendo por su expresión conjugada resulta.
√n2+n+1−a ⋅n = n2+n+1−a2 ⋅n2
√n2+n+1+a ⋅n
=(1−a2) ⋅n2+n+1√
n2+n+1+a ⋅nCaben tres posibilidades:
1ª.- a2 ≠ 1 , lımn→∞∞∞
αααn =∞∞∞
2ª.- a = 1 , en este caso tendremos
√n2+n+1−n = n+1√
n2+n+1+n=
1+ 1n√
1+ 1n+ 1
n2 +1
siendo entonces: lımn→∞∞∞
αααn =12
3ª.- a = −1 , lımn→∞∞∞
αααn =∞∞∞.
Ejemplo 8.- Hallar el límite de: αααn =√
n+1−√
n.
Es de la forma∞∞∞−∞∞∞
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
(√
n+1−√
n) = lımn→∞∞∞
(√
n+1−√
n) ⋅(√
n+1+√
n)√
n+1+√
n=
= lımn→∞∞∞
n+1−n√n+1+
√n= lım
n→∞∞∞1√
n+1+√
n= 0
Ejemplo 9.- Hallar el límite de: αααn = (√
n2+3 ⋅n−4−n) .
Es de la forma∞∞∞−∞∞∞Para su resolución multiplicaremos y dividiremos, la expresión dada, por su conjugado:
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
(√
n2+3 ⋅n−4−n) = lımn→∞∞∞
(√
n2+3 ⋅n−4−n) ⋅(√
n2+3 ⋅n+4+n)√
n2+3 ⋅n+4+n=
= lımn→∞∞∞
n2+3 ⋅n−4−n2√
n2+3 ⋅n−4+n= lım
n→∞∞∞
3− 4n√
1+ 3n− 4
n2 +1
= 32
243
Ejemplo 10.- Hallar el límite de: αααn = ( 3√
n3+2 ⋅n2−n) .
Es de la forma∞∞∞−∞∞∞Para su resolución multiplicaremos y dividiremos, la expresión dada, por su conjugada:
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
( 3√n3+2 ⋅n2−n) ⋅( 3√
(n3+2 ⋅n2)2+n ⋅ 3√n3+2 ⋅n2+n2)
3√
(n3+2 ⋅n2)2+n ⋅ 3√n3+2 ⋅n2+n2=
= lımn→∞∞∞
n3+2 ⋅n2−n3
3√
(n3+2 ⋅n2)2+n ⋅ 3√n3+2 ⋅n2+n2=
= lımn→∞∞∞
2
3
¿ÁÁÁÀ (n3+2 ⋅n2)
2
n6 + 3
√n3+2 ⋅n2
n3 +1
= 23
Ejemplo 11.- Hallar el límite de: αααn =√
n2+4−n3√n3+8 ⋅n−n
Para deshacer la indeterminación, multiplicamos numerador y denominador por las conjugadas de ambos.
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
(√
n2+4−n) ⋅(√
n2+4+n) ⋅( 3√
(n3+8 ⋅n)2+n ⋅ 3√n3+8 ⋅n+n2)
( 3√n3+8 ⋅n−n) ⋅(√
n2+4+n) ⋅( 3√
(n3+8 ⋅n)2+n ⋅ 3√n3+8 ⋅n+n2)=
= lımn→∞∞∞
4 ⋅( 3√
(n3+8 ⋅n)2+n) ⋅( 3√n3+8 ⋅n+n2)
8 ⋅n ⋅(√
n2+4+n)=
= lımn→∞∞∞
4 ⋅⎛⎝
3
√(1+ 8
n2 )2+ 3
√1+ 8
n2 +1⎞⎠
8 ⋅⎛⎝
√1+ 4
n2 +1⎞⎠
= 4 ⋅38 ⋅2 = 3
4
Hay, sin embargo, sucesiones cuyo término general es una expresión irracional, en forma indeterminada,
que tiene otro tratamiento. Veamos un ejemplo sencillo.
Ejemplo 12.- Hallar el límite de: αααn =1+n√
n.
La indeterminación que presenta es del tipo∞∞∞∞∞∞ , que se resuelve fácilmente:
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
1n+1
√n
n
= lımn→∞∞∞
( 1n+1) ⋅
√n =∞∞∞
244
Ejemplo 13.- Hallar el límite de: αααn =2n+1+3n+1
2n+3n .
Es de la forma∞∞∞∞∞∞ .
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
2n+1+3n+1
2n+3n = lımn→∞∞∞
2n+1
3n + 3n+1
3n
2n
3n + 3n
3n
= lımn→∞∞∞
2 ⋅( 23
)n+3
( 23
)n+1
= 3
Ejemplo 14.- Hallar el límite de: αααn =n ⋅ sen n!
n2+1.
Es de la forma∞∞∞∞∞∞ .
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
n ⋅ sen n!n2+1
= lımn→∞∞∞
sen n!
n+ 1n
= 0
22.2 El número eConsideremos la sucesión siguiente:
(1+11
)
1, (1+
12
)
2, (1+
13
)
3, . . . . . . , (1+
1n
)
n, . . . . . .
Respecto del límite, corresponde esta sucesión a la forma indeterminada 1∞∞∞, luego no es evidente que
sea convergente. Puesto que se trata de una sucesión de números reales positivos, estableceremos su
convergencia probando que:
1º.- La sucesión es creciente
2º.- La sucesión es acotada
En efecto: Comprobemos en primer lugar que la sucesión es creciente.
Por aplicación de la fórmula del binomio de Newton, se tiene:
αααn = (1+ 1n
)n= (n
0)+(n
1) ⋅ 2
n+(n
2) ⋅ 1
n2 + . . . . . . +(nn) ⋅ 1
nn =
= 1+1+ n ⋅(n−1)2! ⋅n2 + . . . . . . + n ⋅(n−1). . . . . . (n−n+1)
n! ⋅nn =
= 2+ 12!
⋅(1+ 1n
)+ . . . . . . + 1n!
⋅(1− 1n
) ⋅(1− 2n
) . . . . . . (1− n−1n
)
Consta la expresión de αααn de n sumandos.
Procediendo en forma análoga se obtiene
αααn+1 = 2+ 12!
⋅(1− 1n
)+ . . . . . . + 1(n+1)!
(1− 1n+1
) ⋅(1− 2n+1
) . . . . . . (1− nn+1
)
245
Consta la expresión de αααn+1 de n+1 sumandos.
Como los sumandos de αααn+1, son mayores que sus correspondientes de αααn, salvo el primero que es igual,
resulta que
αααn <αααn+1 ,
luego la sucesión (αααn)n∈N es creciente.
Comprobemos ahora que la sucesión está acotada.
Consideremos las siguientes expresiones:
αααn = 2+ 12!
⋅(1+ 1n
)+ 13!
⋅(1− 1n
) ⋅(1− 2n
)+ . . . + 1n!
⋅(1− 1n
) ⋅(1− 2n
) . . . (1− n−1n
)
βββ n = 2+ 12!
+ 13!
+ . . . . . . + 1n!
γγγn = 2+ 12+ 1
22 + . . . . . . + 12n−1
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶(progresión geométrica)
Comparándolas término a término resulta que, a partir de n = 3, se verifica:
2 <αααn <βββ n < γγγn = 3− 12n−1
es decir
2 <αααn < 3 ,
luego, la sucesión (αααn)n∈N está acotada.
Se puede, por tanto afirmar que: La sucesión de término general αααn = (1+1n
)
nes convergente, y su
límite está comprendido entre 2 y 3. A este límite se le designa con el nombre de número e. Se trata
de un número irracional cuyas quince primeras cifras decimales son:
e = 2,718281828459045. . . . . .
Establezcamos ahora la propiedad siguiente:
PROPOSICIÓN 1. La sucesión de término general αααn = (1+1n
)
n+1es decreciente y tiene, tam-
bién, por límite el número e.
En efecto: Si verifica, en primer lugar, que su límite es e, puesto que:
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
[(1+ 1n
)n⋅(1+ 1
n)] = e ⋅1 = e
Para ver que es decreciente comprobemos queαααn−1αααn
> 1:
αααn−1ααα
=(1+ 1
n−1)
n
(1+ 1n
)n+1 = n
n+1⋅( n2
n2−1)
n
=
= nn+1
⋅(1+ 1n2−1
)n> n
n+1⋅(1+ n
n2−1) = n3+n2−n
n3+n2−n−1> 1
246
Hemos obtenido, así, una importante relación, para su aplicación posterior al estudio de las series alter-
nadas:
(1+1n
)
n< e < (1+
1n
)
n+1
La siguiente propiedad constituye una generalización muy importante en la práctica.
PROPOSICIÓN 2. Si (αααn)n∈N es una sucesión divergente, se verifica que:
lımn→∞∞∞
(1+1
αααn)
αααn
= e .
En efecto: Supongamos primero que: lımn→∞∞∞
ααα = +∞∞∞.
Los distintos términos no tienen por qué ser enteros, pero lo que sí ocurrirá siempre es que para cada uno
de ellos habrá dos números enteros consecutivos que lo limitan; así
m ⩽αααn < m+1
luego:
(1+ 1m+1
)m< (1+ 1
αααn)
αααn
< (1+ 1m
)m+1
Al tender n a infinito, tiende αααn a infinito, y también m y m+1. Resulta entonces que la sucesión cuyo
término n-ésimo es
(1+ 1αααn
)αααn
está comprendido entre dos sucesiones que tienden al número e; en consecuencia tiende también a e.
Supongamos, ahora, que lımn→∞∞∞
αααn = −∞∞∞.
Si hacemos αααn = −βββ n, resultará que la sucesión (βββ n)n∈N es tal que: lımn→∞∞∞
βββ n = +∞∞∞; luego
lımn∈∞∞∞
(1+ 1αααn
)αααn
= lımn→∞∞∞
(1− 1βββ n
)−βββ n
= lımn→∞∞∞
( βββ nβββ n−1
)βββ n
=
= lımn→∞∞∞
(1+ 1βββ n−1
)βββ n
=
= lımn→∞∞∞
(1+ 1βββ n−1
)βββ n−1
⋅(1+ 1βββ n−1
) = e ⋅1 = e
Por último, si (αααn)n∈N tiende a infinito sin signo determinado, es decir: lımn→∞∞∞
αααn =∞∞∞, entonces también
es
lımn∈∞∞∞
(1+ 1αααn
)αααn
= e ,
puesto que tanto los términos con αααn positivo, como los términos con αααn negativo, toman valores tan
próximos a e como queramos.
Como consecuencia inmediata de la proposición anterior resulta que si la sucesión (εεεn)n∈N es un infini-
tésimo, es decir, si lımn→∞∞∞
εεεn = 0, se verifica que
lımn→∞∞∞
(1+εεεn)1
εεεn = e
247
pues basta hacer εεεn =1
αααn, donde αααn resultaría ser el término n-ésimo de una serie divergente.
Ejemplo 1.- Hallar el límite de αααn =n2⋅n
(1+n2)n
Es del tipoααα
ααα.
Podemos escribir
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
n2⋅n
(1+n2)n = lımn→∞∞∞
elım
n→∞∞∞(n ⋅Log
n2
1+n2 )=
= elım
n→∞∞∞[n ⋅( n2
1+n2 −1)]= e
lımn→∞∞∞
[n ⋅( n2−1−n2
1+n2 )]=
= elım
n→∞∞∞−n
1+n2= e0 = 1
También hubiéramos podido resolverlo de la siguiente manera:
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
n2⋅n
(1+n2)n = lımn→∞
1
( 1n2 +1)
n = lımn→∞
1
⎡⎢⎢⎢⎣( 1
n2+1)
n2⎤⎥⎥⎥⎦
1n
=
= lımn→∞∞∞
1
e 1n
= 1lım
n→∞∞∞n√e
= 11= 1
248
Lección 23.- INFINITÉSIMOS E INFINITOSPRINCIPIO DE SUSTITUCIÓN
23.1 Infinitésimos e infinitos
23.2 Principio de sustitución
23.1 Infinitésimos e infinitos
La primera clasificación que hicimos de las sucesiones de números reales fue simplemente en:
1.- CONVERGENTES (las que admiten límite finto)
2.- NO CONVERGENTES
De entre las primeras, merecen destacarse aquellas cuyo límite es cero, por las aplicaciones que tienen en
la determinación de límites. Así, llamaremos sucesión infinitésima o simplemente infinitésimo a toda
sucesión cuyo límite es cero.
Por otra parte, las segundas, es decir las no convergentes, las subdividimos en DIVERGENTES (las
que admiten límite infinito) y OSCILANTES (las que no admiten ninguna clase de límite). También las
sucesiones divergentes tienen su aplicación en la determinación de límites. Así, llamaremos infinito a
toda sucesión divergente.
Unas primeras propiedades de los infinitésimos serán las dos siguientes:
PROPOSICIÓN 1. La suma de un número finito de infinitésimos es un infinitésimo.
En efecto: Dados los p infinitésimos
(αααn)n∈N , (βββ n)n∈N , . . . . . . . . . , (γγγn)n∈Np
se verifica que, para todo εεε > 0 existe un n0 ∈N tal que:
(∀∀∀n > n0) ∣αααn∣ <εεε
p, ∣βββ n∣ <
εεε
p, . . . . . . . . . , ∣γγγn∣ <
εεε
p
luego
(∀∀∀n > n0) ∣αααn+βββ n+ . . . . . . . . . +γγγn∣ ⩽ ∣αααn∣+ ∣βββ n∣+ . . . . . . . . . + ∣γγγn∣ <εεε
p
p
en consecuencia (αααn+βββ n+ . . . . . . . . . +γγγn) es un infinitésimo.p
PROPOSICIÓN 2. El producto de un infinitésimo por una constante o por una sucesión acotada
superiormente en valor absoluto, es un infinitésimo.
En efecto: Si (αααn)n∈N es un infinitésimo, y la sucesión (βββ n)n∈N está acotada en valor absoluto por el
número k, es decir:
(∀∀∀n ∈N) ∣βββ n∣ <εεε
k,
249
se tiene que, para todo εεε > 0 existe un n0 ∈N tal que
(∀∀∀ n > n0) ∣αααn∣ <εεε
k,
luego
(∀∀∀ n > n0) ∣αααn ⋅βββ n∣ = ∣αααn∣ ⋅ ∣βββ n∣ <εεε
k⋅k = εεε ,
en consecuencia, (αααn ⋅βββ n) es un infinitésimo.
Si en lugar de (βββ n)n∈N se trata de una constante, el razonamiento es en todo análogo.
Vamos ahora a preparar un resultado, al que llamaremos PRINCIPIO DE SUSTITUCIÓN, que nos
va a facilitar, en muchos casos, la operación de paso al límite. Tendremos ocasión de comprobar con
qué rapidez y comodidad proporciona límites de sucesiones cuyo cálculo realizado de otro modo podría
resultar muy laborioso.
Diremos que dos sucesiones son asintóticamente equivalentes cuando su cociente tiende a uno.
Cuando no haya lugar a confusión se hablará, simplemente, de sucesiones equivalentes.
En particular, dos infinitésimos (o dos infinitos) son equivalentes si su cociente tiende a uno.
Para indicar que las sucesiones (αααn)n∈N y (βββ n)n∈N son asintóticamente equivalentes se suele escribir
αααn < >βββ n .
Así mismo, al objeto de aligerar las demostraciones de las relaciones que siguen, todas importantes para
las aplicaciones, lo que haremos será dar unas indicaciones informales pero suficientes. Salvo que se
diga lo contrario, todos los logaritmos serán neperianos.
PROPOSICIÓN 3. Si (εεεn)n∈N es un infinitésimo, se verifica la equivalencia
Log (1+εεεn) < > εεεn
En efecto: Basta probar que el cociente de ambas expresiones tiende a la unidad. Así:
lımn→∞∞∞
Log (1+εεεn)εεεn
= lımn→∞∞∞
(1+εεεn)1
εεεn = Log e = 1
PROPOSICIÓN 4. Si (βββ n)n∈N es una sucesión de números reales que tiende a 1, se verifica la
equivalencia
Log βββ n < >βββ n−1
En efecto: Basta hacer βββ n = 1+εεεn, y sustituir en la equivalencia que figura en la proposición anterior.
250
PROPOSICIÓN 5. Si (εεεn)n∈N es un infinitésimo se verifica la equivalencia
sen εεεn < > εεεn (εεεn , en radianes) .
En efecto: Bastará probar que lımn→∞∞∞
εεεnsen εεεn
= 1 Para ello se parte de la representación geométrica:
A
R=1B
C
DE
0
tg εn
sen εn
εn
AC < ADC < AE+EC
Como OD = 1 y 0 < εεεn <πππ
2, las desigualdades anteriores, significan
sen εεεn < εεεn < tg εεεn ,
y dividiendo por sen εεεn ,
1 < εεεnsen εεεn
< 1cos εεεn
.
Al tender n a infinito, lımn→∞∞∞
εεεn = 0 y lımn→∞∞∞
cos εεεn = 1 , luego
lımn→∞∞∞
εεεnsen εεεn
= 1
PROPOSICIÓN 6. Si (εεεn)n∈N es un infinitésimo se verifica la equivalencia
tg εεεn < > εεεn (εεεn , en radianes)
En efecto: En la desigualdad establecida antes
sen εεεn < εεεn < tg εεεn
bastará dividir por tg εεεn, con lo que resultará
cos εεεn <εεεn
tg εεεn< 1 ,
y pasar, a continuación, al límite.
251
PROPOSICIÓN 7. Si (δδδ n)n∈N es un infinitésimo se verifican las equivalencias.
δδδ n <> arc sen δδδ n <> arc tg δδδ n .
En efecto: Si en la equivalencia sen εεεn < > εεεn , hacemos εεεn = arc sen δδδ n, es decir δδδ n = sen εεεn , resulta
δδδ n < > arc sen δδδ n .
En la misma forma, si en la equivalencia tg εεεn < > εεεn , hacemos εεεn = arc tg δδδ n , es decir δδδ n = tg εεεn,
resulta
δδδ n < > arc tg δδδ n
PROPOSICIÓN 8. Si (εεεn)n∈N es un infinitésimo se verifica la equivalencia
1−cos εεε < >εεε
2n
2
En efecto: Sabiendo que: 1−cos εεε = 2 ⋅ sen2 εεε2n
2, se puede escribir
lımn→∞∞∞
1−cos εεεn
εεε2n
2
= lımn→∞∞∞
2 ⋅ sen2 εεεn2
εεε2n
2
= lımn→∞∞∞
⎛⎜⎜⎝
senεεεn2
εεεn2
⎞⎟⎟⎠
2
= 12 = 1
Veamos ahora algunas relaciones importantes en lo que a infinitos se refiere.
PROPOSICIÓN 9. Un polinomio entero en n es asintóticamente equivalente a su término de grado
más elevado, cuando n tiende a infinito.
En efecto: La comprobación es inmediata, puesto que según vimos al estudiar el límite de expresiones
racionales
lımn→∞∞∞
a0 ⋅np+a1 ⋅pp−1+ . . . . . . . . . +ap
a0 ⋅np = 1
PROPOSICIÓN 10. Cuando n tiende a infinito se verifica la equivalencia
Log (a0 ⋅np+a1 ⋅pp−1
+ . . . . . . . . . +ap) < >Log np(a0 > 0)
En efecto: Para establecer que el cociente
Log (a0 ⋅np+a1 ⋅pp−1+ . . . . . . . . . +ap)Log np
tiende a 1, basta comprobar que la diferencia
δδδ n =Log (a0 ⋅np+a1 ⋅pp−1+ . . . . . . . . . +ap)
Log np −1 =
= Log (a0 ⋅np+a1 ⋅pp−1+ . . . . . . . . . +ap)−Log np
Log np =Log
a0 ⋅np+a1 ⋅pp−1+ . . . . . . . . . +ap
np
Log np
252
tiende a 0. Como el numerador tiende a Log a0, y el denominador tiende a infinito, resulta que, efectiva-
mente
lımn→∞∞∞
δδδ n = 0
PROPOSICIÓN 11. Si ϕϕϕ(n) es una función racional de grado p ≠ 0, positiva para valores suficien-
temente grandes de n, se verifica:
Log ϕϕϕ(n) < >Log np
En efecto: El procedimiento para establecer esta equivalencia es en todo análogo al desarrollo de la demos-
tración de la proposición anterior.
Enunciemos por último, sin demostración, la llamada FORMULA DE
STIRLING, que dice: Para nÐ→∞∞∞ se verifica la equivalencia
n! < > e−n⋅nn
⋅√
2 ⋅πππ ⋅n
23.2 Principio de sustitución
Establezcamos ahora la propiedad conocida como el PRINCIPIO DE SUSTITUCIÓN:
PROPOSICIÓN 1. El límite de una sucesión convergente o divergente no se altera al sustituir uno
de sus factores o divisores por otro asintóticamente equivalente.
En efecto: Supongamos primero el caso en que αααn < >βββ n, y que el producto: γγγn ⋅αααn admite límite. Se
puede escribir entonces que:
lımn→∞∞∞
(γγγn ⋅αααn) = lımn→∞∞∞
(γγγn ⋅αααn ⋅αααnβββ n
) = lımn→∞∞∞
(γγγn ⋅βββ n)
puesto que: lımn→∞∞∞
αααnβββ n
= 1
En segundo lugar, si sigue siendo αααn < >βββ n, y el cocienteγγγnβββ n
admite límite, podemos escribir, que
lımn→∞∞∞
γγγnαααn
= lımn→∞∞∞
( γγγnβββ n
⋅ βββ nαααn
) = lımn→∞∞∞
γγγnβββ n
puesto que lımn→∞∞∞
βββ nαααn
= 1 .
253
En el siguiente cuadro resumimos las equivalencias que hemos estudiado:
(εεεn)Ð→ 0
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
sen εεεn < > εεεn < > tg εεεn
arc sen εεεn < > εεεn < > arc tg εεεn
1−cos εεεn < >εεε
2n
2
Log (1+εεεn) < > εεεn
(un)Ð→ 1 Log un < > un−1
(n)Ð→∞∞∞
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
n! < > e−n ⋅nn ⋅√
2 ⋅πππ ⋅n
a0 ⋅np+a1 ⋅np−1+ . . . . . . < > a0 ⋅np
Log (a0 ⋅np+a1 ⋅np−1+ . . . . . . ) < >Log np (a0 > 0)
(n)Ð→∞∞∞ Log ϕϕϕ(n) < >Log np
(si ϕϕϕ(n) es una función de grado p ≠ 0, positiva para
valores suficientemente grandes de n)
(an)Ð→ a an < > a
254
Ejemplo 1.- Hallar el límite de αααn =8 ⋅n6 ⋅Log (1+ 1
2 ⋅n ) ⋅ sen3 1n
(2 ⋅n2+5 ⋅n) ⋅cos2 ⋅πππ ⋅n−2
6 ⋅n+3Utilizamos las equivalencias en la forma siguiente:
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
8 ⋅n6 ⋅
12 ⋅n³¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹·¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹µ
Log (1+ 12 ⋅n ) ⋅
⎛
⎝
1n⎞
⎠
3
³¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹·¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹µsen3 1
n
(2 ⋅n2+5 ⋅n)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
2 ⋅n2
⋅cos2 ⋅πππ ⋅n−2
6 ⋅n+3´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
cos2 ⋅πππ ⋅n
6 ⋅n
=
= lımn→∞∞∞
8 ⋅n6 ⋅ 12 ⋅n ⋅ 1
n3
2 ⋅n2 ⋅cos2 ⋅πππ ⋅n
6 ⋅n
=8 ⋅ 1
2
2 ⋅ 12
= 4
Ejemplo 2.- Hallar el límite de αααn = (n+2) ⋅( n√e−1)Utilizamos las equivalencias en la forma siguiente:
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
n³¹¹¹¹¹¹¹·¹¹¹¹¹¹µ(n+2) ⋅
Log n√e³¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹·¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹µ( n√e−1) =
= lımn→∞∞∞
n ⋅Log n√e = lımn→∞∞∞
n ⋅ 1n⋅Log e = Log e = 1
Vamos a comparar tanto infinitésimos como infinitos, estableciendo el concepto de orden entre ellos.
Así, dados dos infinitésimos, (αααn)n∈N y (βββ n)n∈N, pueden presentarse cuatro casos:
1º.- No existe el límite del cocienteαααn
βββ n. En este caso se dice que los infinitésimos αααn y βββ n no son
comparables.
2º.- lımn→∞∞∞
αααn
βββ n= 0. En este caso se dice que αααn es de orden superior a βββ n.
3º.- lımn→∞∞∞
αααn
βββ n=∞∞∞. En este caso se dice que αααn es de orden inferior a βββ n.
4º.- lımn→∞∞∞
αααn
βββ n=L ≠ 0. En este caso se dice que αααn y βββ n son del mismo orden.
¡¡Atención!! Es importante no confundir los conceptos “infinitésimos equivalentes” e “infinitésimos
del mismo orden”. Los infinitésimos equivalentes son siempre del mismo orden, pero en general no
puede afirmarse lo contrario.
255
Ejemplo 3.- Los infinitésimos: αααn =2 ⋅n+1
n2+n+2y βββ n =
1n−1
, son del mismo orden, pero no equivalentes, puesto
que
lımn→∞∞∞
αααnβββ n
= 2
Ejemplo 4.- Dados los infinitésimos: αααn = 1−cos1
np (p > 0) y βββ n =1
2 ⋅n4+1, como
lımn→∞∞∞
αααnβββ n
= lımn→∞∞∞
1−cos1
np
12 ⋅n4+1
= lımn→∞∞∞
12⋅( 1
np )2
12 ⋅n4+1
= lımn→∞∞∞
2 ⋅n4+12 ⋅np
se verifica que:
a.- Si p = 1, αααn es de orden inferior a βββ n, pues:
lımn→∞∞∞
αααnβββ n
= lımn→∞∞∞
2 ⋅n4+12 ⋅n2 =∞∞∞
b.- Si p = 2, αααn y βββ n son del mismo orden, ya que:
lımn→∞∞∞
αααnβββ n
= lımn→∞∞∞
2 ⋅n4+12 ⋅n4 = 1 ,
y además son equivalentes.
c.- Si p = 3, (y en general si p > 2), αααn es de orden superior a βββ n, pues se tiene que:
lımn→∞∞∞
αααnβββ n
= lımn→∞∞∞
2 ⋅n4+12 ⋅n6 = 0 .
Dados dos infinitos (An)n∈N y (Bn)n∈N, pueden presentarse cuatro casos:
1º.- No existe el límite del cocienteAn
Bn. En este caso se dice que los infinitos An y Bn no son
comparables.
2º.- lımn→∞∞∞An
Bn= 0. En este caso se dice que An y es de orden inferior a Bn.
3º.- lımn→∞∞∞An
Bn=∞∞∞. En este caso se dice que An es de orden superior a Bn.
4º.- lımn→∞∞∞An
Bn=L ≠ 0. En este caso se dice que An y Bn son del mismo orden.
Ejemplo 5.- Dados los infinitos: An = n2+2 y Bn = np−p (p > 0), como
lımn→∞∞∞
AnBn
= lımn→∞∞∞
n2+2np−p
se verifica que:
a.- Si p = 1, An es de orden superior a Bn, pues
lımn→∞∞∞
AnBn
= lımno→∞
n2+2n−p
=∞∞∞
256
b.- Si p = 2, An y Bn son del mismo orden, ya que
lımn→∞∞∞
AnBn
= lımn→∞
n2+2n2−2
= 1
c.- Si p = 3, (y en general si p > 2), An es de orden inferior a Bn, puesto que:
lımn→∞∞∞
AnBn
= lımn→∞∞∞
n2+2n3−3
= 0
En las cuestiones en las que intervienen varios infinitésimos suele adoptarse uno de ellos como término
de comparación con los demás. Aunque puede ser otro, en general se toma el1n
. Este infinitésimo, que
tiene carácter unitario, se llama infinitésimo principal.
En forma análoga se define el infinito principal, tomándose como tal, en general el n. El infinito de
referencia puede ser cualquiera, en el sentido de que no tiene que ser necesariamente un potencial.
Así, si (αααn)n∈N es un infinitésimo cualquiera y (γγγn)n∈N es el infinitésimo principal, se llama orden del
infinitésimo (αααn) al exponente, k, que debe asignarse a (γγγn) para que tenga límite finito, no nulo, el
cocienteαααn
γγγ kn
; es decir, para que
lımn→∞∞∞
αααn
γγγ kn
= l ≠ 0
Según que k = 1, 2, . . . . . . , p , se dice que el infinitésimo (αααn)n∈N es de primero, segundo, . . . . . . . . . ,
p-ésimo orden.
En forma análoga se definen los órdenes de los infinitos.
Ejemplo 6.- El orden del infinitésimo: αααn = 1−cos1
n3 , respecto del infinitésimo principal γγγn =1n
, es k = 6,
puesto que:
lımn→∞∞∞
αααn
γγγ6n= lım
n→∞∞∞
1−cos1
n3
( 1n
)6 = lım
n→∞∞∞
12⋅( 1
n3 )2
( 1n
)6 = 1
2
Ejemplo 7.- El infinito An = 22⋅n+32⋅n+42⋅n, es de 2º orden respecto del Bn = 4n, puesto que
lımn→∞∞∞
AnBn
= 22⋅n+32⋅n+42⋅n
(4n)2 = 1
Ejemplo 8.- El infinito An = 4 ⋅n3⋅n, es de 3er orden respecto del Bn = nn, ya que
lımn→∞∞∞
AnBn
= lımn→∞∞∞
4 ⋅n3⋅n
(nn)3 = 4
La anterior igualdad
lımn→∞∞∞
αααn
γγγ kn
= l ≠ 0
257
es equivalente a la siguiente:
ααα
γγγ kn
= l+εεεn (siendo (εεεn) un infinitésimo)
de la cual se deduce la expresión
αααn = (l+εεεn) ⋅γγγk
n .
A esta expresión se le llama la forma normal del infinitésimo (αααn)n∈N. Si un infinitésimo viene expre-
sado como suma de varios, se llama parte principal del infinitésimo al sumando de menor orden.
De la forma normal del infinitésimo (αααn)n∈N se deduce que la parte principal de (αααn)n∈N es L ⋅γγγ kn .
Ejemplo 9.- Dado el infinitésimo: αααn = 1−cos1
n3 , como,
lımn→∞∞∞
1−cos1
n3
1n6
= 12
resulta que la forma normal de αααn es:
( 12+εεεn) ⋅
1n6
y su parte principal es:1
2 ⋅n6
Si el infinito (An)n∈N es de orden k, respecto del infinito principal (Un)n∈N se tiene
lımn→∞∞∞
An
Ukn=L ≠ 0
o lo que es lo mismo,
An = (L+εεεn) ⋅Ukn ,
que es la forma normal del infinito (An)n∈N , de la cual L−Ukn es su parte principal. A diferencia de
los infinitésimos, en los infinitos la parte principal es el sumando de mayor orden.
Ejemplo 10.- Dado el infinito An = 3 ⋅n2+2, como
lımn→∞∞∞
3 ⋅n2+2n2 = 3 ,
resulta que la forma normal de An
(3+εεεn) ⋅n2
y su parte principal es:
3 ⋅n2 .
258
Desde un punto de vista práctico es importante conocer los denominados órdenes fundamentales de
infinitud dados en el siguiente cuadro. (Tal como están escritos, de izquierda a derecha, sus órdenes van
decreciendo).
Potencial - Exponencial Exponencial Potencial Logaritmo
na⋅n bn nc (logd n)p
(a > 0) (b > 1) (c > 0) (d > 1 , p > 0)
Potencial - Exponencial
Exponencial
Potencial
Logaritmo
lımn→∞∞∞
na⋅n
bn =∞∞∞ , lımn→∞∞∞
bn
nc =∞∞∞ , lımn→∞∞∞
nc
(logd n)p =∞∞∞
Veamos, a continuación, como se justifican estos límites:
1.- En primer lugar se tiene que: lımn→∞∞∞
bn
nc =∞∞∞ , b > 1 , c > 0
En efecto: Como b > 1, podemos escribir,
b = 1+p , p > 0 .
Por otra parte c es un entero positivo o está comprendido entre dos enteros positivos
consecutivos, es decir:
0 ⩽ q ⩽ c < q+1 .
Así resulta que
bn
nc >(1+p)n
nq+1 >
(n0)+(
n1) ⋅p+ . . . . . . +(
nq+2
) ⋅pq+2
nq+1 >
(n
q+2) ⋅pq+2
nq+1
259
es decirbn
nc >n ⋅(n−1). . . . . . . . . (n−q−1)
nq+1 ⋅pq+2
(q+2)!
Ahora bien, el segundo factor que figura en la desigualdad, es decir
pq+2
(q+2)!
es un número, mientras que el primer factor, es decir
n ⋅(n−1). . . . . . (n−q−1)nq+1
por ser su numerador un polinomio en n de grado q+2, tiende a infinito con n. En conse-
cuencia,
lımn→∞∞∞
bn
nc =∞∞∞ .
2.- Comprobemos ahora que se verifica: lımn→∞∞∞
nc
(logd n)p =∞∞∞ , c > 0 , d > 1 , p > 0
En efecto: Si hacemos la sustitución logd n =m, es decir
n = dm
y puesto que cuando n→∞∞∞, también m→∞∞∞, y recíprocamente, tenemos que
lımn→∞∞∞
nc
(logd n)p = lımm→∞∞∞
(dc)m
mp =∞∞∞
Como caso particular, cuando p = 1, se tiene: lımn→∞∞∞
nc
logd n=∞∞∞ , c > o , d > 1
3.- Por otra parte, se verifica: lımn→∞∞∞
na⋅n
bn =∞∞∞ , a > 0 , b > 1
En efecto: La comprobación es inmediata ya que:
lımn→∞∞∞
na⋅n
bn = lımn→∞∞∞
(na
b)
n=∞∞∞
Vamos, ahora, a ampliar la tabla anterior introduciendo en la comparación un nuevo orden de infinitud:
el factor n! .
Para ello establecemos los siguientes límites:
1.- En primer lugar se verifica que: lımn→∞∞∞
na⋅n
n!=∞∞∞ , a ⩾ 1
260
En efecto: Para hacer desaparecer el factorial bastará con aplicar la fórmula de Stirling.
Así:
lımn→∞∞∞
na⋅n
n!= lım
n→∞∞∞
na⋅n
nn ⋅e−n ⋅√
2 ⋅πππ ⋅n= lım
n→∞∞∞[
n(a−1)⋅n√
2 ⋅πππ⋅
en
n12] =∞∞∞
2.- Por otra parte se tiene que: lımn→∞∞∞
na⋅n
n!= 0 , 0 < a < 1
En efecto: Volvemos a aplicar la fórmula de Stirling para hacer desaparecer el factorial.
Así:
lımn→∞∞∞
na⋅n
n!= lım
n→∞∞∞
na⋅n
nn ⋅e−n ⋅√
2 ⋅πππ ⋅n=
= lımn→∞∞∞
en
√2 ⋅πππ ⋅n(1−a)⋅n ⋅n
12
=
= lımn→∞∞∞
[1
√2 ⋅πππ ⋅n
12
⋅en
n(1−a)⋅n ] = 0
3.- Se tiene así mismo que: lımn→∞∞∞
n!bn =∞∞∞ , b > 1
En efecto: Utilizando una vez más la fórmula de Stirling resulta que:
lımn→∞∞∞
n!bn = lım
n→∞∞∞
nn ⋅e−n ⋅√
2 ⋅πππ ⋅nbn = lım
n→∞∞∞[
nn
(e ⋅b)n ⋅√
2 ⋅πππ ⋅n12 ] = 0
Ejemplo 11.- Hallar el límite de αααn =n√n!n
Es de la forma∞∞∞∞∞∞ .
Aplicando la fórmula de Stirling tenemos
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
n√n!n
= lımn→∞∞∞
n√
e−n ⋅nn ⋅√
2 ⋅πππ ⋅nn
=
= lımn→∞∞∞
e−1 ⋅n ⋅ 2⋅n√2 ⋅πππ ⋅ 2⋅n√nn
y como
lımn→∞∞∞
2⋅n√2 ⋅πππ = lımn→∞∞∞
(2 ⋅πππ)1
2⋅n = elım
n→∞∞∞1
2 ⋅n ⋅Log (2 ⋅πππ)= e0 = 1
lımn→∞∞∞
2⋅n√n = lımn→∞∞∞
n1
2⋅n = elım
n→∞∞∞1
2 ⋅n ⋅Log n= e0 = 1
tendremos
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
(e−1 ⋅ 2⋅n√2 ⋅πππ ⋅ 2⋅n√n) = e−1 = 1e
261
Ejemplo 12.- Hallar el límite de: αααn =Log (nn)Log (n!)
Es de la forma∞∞∞∞∞∞ .
Aplicando la fórmula de Stirling tenemos:
lımn→∞∞∞
αααn =Log (nn)Log (n!) = lım
n→∞∞∞Log nn
Log (e−n ⋅nn ⋅√
2 ⋅πππ ⋅n)=
= lımn→∞∞∞
n ⋅Log n
−n+n ⋅Log n+ 12⋅(Log 2 ⋅πππ +Log n)
=
= lımn→∞∞∞
1
− 1Log n
+1+12⋅Log 2 ⋅πππ
n ⋅Log n+ 1
2 ⋅n
= 1
Ejemplo 13.- Hallar el límite de αααn =n! ⋅en
nn .
Se verifica que:
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
n! ⋅en
nn = lımn→∞∞∞
nn ⋅e−n ⋅√
2 ⋅πππ ⋅n ⋅en
nn =∞∞∞
Ejemplo 14.- Hallar el límite de αααn =n! ⋅en
nn+ 12
Se verifica que
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
n! ⋅en
nn+ 12
= lımn→∞∞∞
nn ⋅e−n ⋅√
2 ⋅πππ ⋅n ⋅en
nn ⋅√
n=√
2 ⋅πππ
El nuevo cuadro que resulta es el siguiente:
n!na·n
Potencial - exponencial Factorial
Exponencial Potencial Logaritmo
bn nc (log n)d
p
(b > 1) (d > 1 , p > 0)
(0 < a < 1)
(a > 1)
(c > 0)Factorial Potencial - exponencial
n! na·n
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
lımn→∞∞∞
na⋅n
n!=∞∞∞ , (a ⩾ 1)
lımn→∞∞∞
na⋅n
n!= 0 , (0 < a < 1)
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
lımn→∞∞∞
na⋅n
bn =∞∞∞
lımn→∞∞∞
n!bn =∞∞∞
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
lımn→∞∞∞
bn
nc =∞∞∞ ; lımn→∞∞∞
nc
(logd n)p =∞∞∞
262
Ejemplo 15.- Hallar el límite de αααn = n ⋅ [ n√a− n√b ]Es del tipo∞∞∞⋅0 .
Podemos escribir
n ⋅[ n√a− n√b] = n ⋅ n√a ⋅⎡⎢⎢⎢⎢⎣
1− n
√ba
⎤⎥⎥⎥⎥⎦
Por una parte sabemos que: lımn→∞∞∞
n√a = 1, y en cuanto a
n ⋅⎡⎢⎢⎢⎢⎣
1− n
√ba
⎤⎥⎥⎥⎥⎦
si hacemos
1− n
√ba=ααα
resultará que
( ba
)1n= 1−ααα
Tomando, ahora, logaritmos tendremos
1n⋅ log ( b
a) = log (1−ααα) ,
y despejando n se obtiene
n =log ( b
a)
log (1−ααα)
Sustituimos, y obtenemos
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
n ⋅⎡⎢⎢⎢⎢⎣
1− n
√ba
⎤⎥⎥⎥⎥⎦= lım
ααα→0
log ( ba
)
log (1−ααα) ⋅ααα = lımααα→0
log ( ba
)1ααα
⋅ log (1−ααα)=
= lımααα→0
log ( ba
)
log (1−ααα) 1ααα
=log ( b
a)
log e−1 = −logba= log
ba
Ejemplo 16.- Hallar el límite de αααn = (n ⋅ n√a−n)Tal como está planteado es de la forma∞∞∞−∞∞∞, pero si hacemos αααn = n ⋅( n√a−n), sería de la forma∞∞∞⋅0.
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
(n ⋅ n√a−n) = lımn→∞∞∞
[n ⋅( n√a−1)] =
= lımn→∞∞∞
(n ⋅Log n√a) = lımn→∞∞∞
(n ⋅ 1n⋅Log a) = Log a
263
Ejemplo 17.- Hallar el límite de αααn =(3 ⋅n2+1) ⋅(1−cos
1n
)
(n2−2) ⋅Log (1+ 1n2 )
.
Es de la forma∞∞∞⋅0∞∞∞⋅0 .
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
(3 ⋅n2+1) ⋅(1−cos1n
)
(n2−2) ⋅Log (1+ 1n2 )
= lımn→∞∞∞
3 ⋅n2 ⋅( 1
n)
2
2
n2 ⋅ 1n2
= 32
264
LECCIÓN 24.- LÍMITES DE LA FORMA 1∞∞∞ , ∞∞∞0 y 00
24.1 Límites de la forma 1∞∞∞
24.2 Límites de la forma∞∞∞0 y 00
24.1 Límites de la forma 1∞∞∞
El cálculo del límite de una sucesión que toma esta forma se facilita tomando logaritmos y haciendo uso,
después, del principio de sustitución.
Ejemplo 1.- Hallar el límite de αααn = ( nn+1
)n
Tomando logaritmos neperianos y haciendo luego uso de la equivalencia:
un Ð→ 1 , Log un <> un−1 ,
tenemos
lımn→∞∞∞
Log αααn = lımn→∞∞∞
[n ⋅Log ( nn+1
)] = lımn→∞∞∞
[n ⋅( nn+1
−1)] = lımn→∞∞∞
−nn+1
= −1
Luego, como:
lımn→∞∞∞
Log αααn = −1
se tiene
lımn→∞∞∞
αααn = elım
n→∞∞∞Log αααn
= e−1
Conociendo el tipo de resultado de esta clase de límites se podría plantear directamente la solución. Así,
sí
αααn =βββγγγnn (con βββ n Ð→ 1 y γγγn Ð→ ∞∞∞)
por ser
αααn = eLog βββγγγnn
se tiene
lımn→∞∞∞
αααn = elım
n→∞∞∞γγγn ⋅Log βββ n
= elım
n→∞∞∞γγγn ⋅(βββ n−1)
Ejemplo 2.- Hallar el límite de αααn = ( nn+1
)n
Planteamos la solución directamente
lımn→∞∞∞
αααnelım
n→∞∞∞n ⋅( n
n+1−1)
= elım
n→∞∞∞−n
n+1 = e−1
También se puede, en este tipo de límites, sumando y restando 1 a la base, forzar la aparición del número
e. Veámoslo con el ejemplo que estamos manejando.
265
Ejemplo 3.- Hallar el límite de αααn = ( nn+1
)n
Sumamos y restamos 1 a la base y transformamos de expresión, como sigue:
αααn = (1+ nn+1
−1)n= (1+ −1
n+1)
n=
= (1+ 1−(n+1) )
n
=⎡⎢⎢⎢⎢⎣(1+ 1
−(n+1) )−(n+1)⎤⎥⎥⎥⎥⎦
n−(n+1)
luego,
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
⎡⎢⎢⎢⎢⎣(1+ 1
−(n+1) )−(n+1)⎤⎥⎥⎥⎥⎦
n−(n+1)
= elım
n→∞∞∞n
−(n+1)= e−1
Veamos algunos ejemplos más, de límites de la forma 1∞∞∞.
Ejemplo 4.- Hallar el límite de αααn = (1− 1n
)n
Veámoslo con dos planteamientos distintos:
lımn→∞∞∞
= (1− 1n
)n=
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
lımn→∞∞∞
[(1+ 1−n
)−n
]
n−n = e−1
elım
n→∞∞∞n ⋅Log (1− 1
n)= e
lımn→∞∞∞
n ⋅ −1n = e−1
Ejemplo 5.- Hallar el límite de αααn = (1+ 1n!+1
)n!−1
Es de la forma 1∞∞∞.
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
(1+ 1n!+1
)n!−1
= lımn→∞∞∞
[(1+ 1n!+1
)n!+1
]
n!−1n!+1 = e1 = e
Ejemplo 6.- Hallar el límite de αααn = ( a+na+n−1
)n
Es de la forma 1∞∞∞. Luego tendremos
lımn→∞∞∞
αααn = elım
n→∞∞∞n ⋅( a+n
a+n−1−1)
= elım
n→∞∞∞n
a+n−1= e1 = e
266
Ejemplo 7.- Hallar el límite de αααn =⎛⎝
a1n +b
1n
2⎞⎠
n
, (a > 0 , b > 0)
Es de la forma 1∞∞∞
lımn→∞∞∞ αααn = lımn→∞∞∞
⎛⎝
a1n +b
1n
2⎞⎠
n
= elım
n→∞∞∞
⎡⎢⎢⎢⎢⎣n ⋅Log
a1n +b
1n
2
⎤⎥⎥⎥⎥⎦ =
= elım
n→∞∞∞
⎡⎢⎢⎢⎢⎣n ⋅
⎛⎝
a1n +b
1n −2
2⎞⎠
⎤⎥⎥⎥⎥⎦ = elım
n→∞∞∞
⎡⎢⎢⎢⎢⎣n ⋅
⎛⎝
a1n −1+b
1n −1
2⎞⎠
⎤⎥⎥⎥⎥⎦ =
= elım
n→∞∞∞
⎡⎢⎢⎢⎢⎣n ⋅
⎛⎝
Log a1n +Log b
1n
2⎞⎠
⎤⎥⎥⎥⎥⎦ = elım
n→∞∞∞
⎛⎝
n ⋅ Log (a ⋅b)1n
2⎞⎠ =
= elım
n→∞∞∞Log a ⋅b
2 = eLog√
a⋅b =√
a ⋅b
Ejemplo 8.- Hallar el límite de αααn = (cos1n
)n2
Es de la forma 1∞∞∞.
lımn→∞∞∞ αααn = lımn→∞∞∞
(cos1n
)n2
= elım
n→∞∞∞[n2 ⋅Log (cos
1n
)]=
= elım
n→∞∞∞[n2 ⋅(cos
1n−1)]
= elım
n→∞∞∞[−n2 ⋅(1−cos
1n
)]=
= elım
n→∞∞∞
⎡⎢⎢⎢⎢⎣−n2 ⋅
1n2
⎤⎥⎥⎥⎥⎦ = e −12 = 1√
e
Ejemplo 9.- Hallar el límite de αααn = ( 2+nn+1
)n
Resolvamos directamente:
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
( 2+nn+1
)n= e
lımn→∞∞∞
n ⋅Log ( 2+nn+1
)= e
lımn→∞∞∞
n ⋅( 2+nn+1
−1)= e
lımn→∞∞∞
n ⋅ 1n+1 = e
¡¡Atención!! Conviene no obsesionarse pensando que todos los límites que nos pidan calcular tienen que
ser, necesariamente, indeterminados, sobre todo si su aspecto es complicado. Veamos, en este sentido,
los ejemplos siguientes.
267
Ejemplo 10.- Hallar el límite de:
αααn =⎛⎝
5
√2 ⋅n−33 ⋅n+4
⎞⎠
⎛⎜⎝
n3−1n3+n
⎞⎟⎠
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
n+√
22+3 ⋅n
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
No hay ninguna indeterminación, y el resultado es.
lımn→∞∞∞
αααn =⎛⎝
5
√23
⎞⎠
113
= 5
√23
Ejemplo 11.- Hallar el límite de αααn =⎛⎝
√1−n
1−2 ⋅n⎞⎠
2 ⋅n−11+3 ⋅n
Resolvamos directamente
lımn→∞∞∞
αααn = ( 1−n1−2 ⋅n )
12⋅
2 ⋅n−11+3 ⋅n = ( 1
2)
12⋅
23 = 1
3√2
24.2 Límites de la forma ∞∞∞0 y 00
Al igual que ocurría con los límites de la forma 1∞∞∞, el cálculo de límites de sucesiones de la forma
∞∞∞0 y 00 se facilita tomando logaritmos, y haciendo uso después del principio de sustitución.
Ejemplo 1.- Hallar el límite de αααn = (2+3 ⋅n4)1
3+2 ⋅Log (n+1)
Es de la forma∞∞∞0.
Tomando logaritmos y haciendo luego uso de las equivalencias
n→∞∞∞ a0 ⋅nk+a1 ⋅nk−1+ . . . . . . < > a0 ⋅nk
n→∞∞∞ Log (a0 ⋅nk+a1 ⋅nk−1+ . . . . . . ) < > Log nk
tenemos
lımn→∞∞∞
Log αααn = lımn→∞∞∞
Log (2+3 ⋅n4)3+2 ⋅Log (n+1) =
= lımn→∞∞∞
Log n4
2 ⋅Log n= lım
n→∞∞∞42⋅ Log n
Log n= 2
Luego, como
lımn→∞∞∞
Log αααn = 2
se tiene
lımn→∞∞∞
αααn = elım
n→∞∞∞Log αααn
= e2
268
Ejemplo 2.- Hallar el límite de αααn = ( n+23 ⋅n3−1
)1
Log (n4−3)
Es de la forma 00.
Tomando logaritmos y haciendo uso de las equivalencias
Log ϕϕϕn < > Log nk
n→∞∞∞ , Log (a0 ⋅nk+a1 ⋅nk−1. . . . . . ) < > Log nk
tenemos
lımn→∞∞∞
Log αααn = lımn→∞∞∞
( 1Log (n4−3)
⋅Logn+2
3 ⋅n3−1) =
= lımn→∞∞∞
⎛⎜⎜⎜⎝−
Log3 ⋅n3−1
n+2Log (n4−3)
⎞⎟⎟⎟⎠= − lım
n→∞∞∞Log n2
Log n4 = − lımn→∞∞∞
24⋅ Log n
Log n= − 1
2
Luego, como
lımn→∞∞∞
Log αααn = −12
se tiene
lımn→∞∞∞
αααn = elım
n→∞∞∞Log αααn
= e−
12
Tal vez es más práctico, puesto que conocemos el tipo de resultado de esta clase de límites (como en el
caso de la forma 1∞∞∞) plantear directamente la solución, es decir, si
αααn =βββγγγnn con
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
βββ n Ð→ ∞∞∞ y γγγn Ð→ 0
βββ n Ð→ 0 y γγγn Ð→ 0
por ser
αααn = eLog βββγγγnn
tiene que ser:
lımn→∞∞∞
αααn = elım
n→∞∞∞γγγn ⋅Log βββ n
Ejemplo 3.- Hallar el límite de αααn = (n3+a ⋅n2+b ⋅n+c)1n
Es de la forma∞∞∞0.
Tomando logaritmos tendremos:
Log αααn =1n⋅Log (n3+a ⋅n2+b ⋅n+c) = 1
n⋅Log[n3 ⋅(1+ a
n+ b
n2 + cn3 )] =
= Log n3
n+
Log (1+ an+ b
n2 + cn3 )
n
269
Ahora bien:
lımn→∞∞∞
Log n3
n= 0 y lım
n→∞∞∞
Log (1+ an+ b
n2 + cn3 )
n= 0
luego
lımn→∞∞∞
Log αααn = 0
En consecuencia
lımn→∞∞∞
αααn = e0 = 1
Ejemplo 4.- Hallar el límite de αααn = (n3+2 ⋅n2+3 ⋅n+4)1n
Es de la forma∞∞∞0
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
(n3+2 ⋅n2+3 ⋅n+4)1n = e
lımn→∞∞∞
( 1n⋅Log (n3+2 ⋅n2+3 ⋅n+4))
=
= elım
n→∞∞∞( 1
n⋅Log n3)
= elım
n→∞∞∞3 ⋅Log n
n = e0 = 1
Ejemplo 5.- Hallar el límite de αααn = (a+b ⋅nm)1
ααα +βββ ⋅Log n (m > 0)Es del tipo∞∞∞0.
Tomando logaritmos tenemos
Log αααn1
ααα +βββ ⋅Log n⋅Log (a+b ⋅nm) =
Log [nm ⋅(a ⋅n−m+b)]ααα +βββ ⋅Log n
=
= m ⋅Log nααα +βββ ⋅Log n
+Log (a ⋅n−m+b)
ααα +βββ ⋅Log n
Ahora bien
lımn→∞∞∞
m ⋅Log nααα +βββ ⋅Log n
= mβββ
, lımn→∞∞∞
Log (a ⋅n−m+b)ααα +βββ ⋅Log n
= 0
En consecuencia
lımn→∞∞∞
αααn = emβββ
Ejemplo 6.- Hallar el límite de αααn = (2+3 ⋅n4)1
3+2 ⋅Log (n+1)
La solución sería:
lımn→∞∞∞
= elım
n→∞∞∞( 1
3+2 ⋅Log (n+1) ⋅Log (2+3 ⋅n4))= e2
270
Ejemplo 7.- Hallar el límite de αααn = ( n+23 ⋅n3−1
)
1Log (n4−3)
La solución sería
lımn→∞∞∞
αααn = elım
n→∞∞∞
⎡⎢⎢⎢⎣1
Log (n4−3)⋅Log
n+23 ⋅n3−1
⎤⎥⎥⎥⎦ = e−
12
Ejemplo 8.- Hallar el límite de αααn = ( 1n
)
1
Log3n
Es de la forma 00.
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
( 1n
)
1
Log3n = e
lımn→∞∞∞
⎛⎝
1Log 3
n⋅Log
1n
⎞⎠ =
= elım
n→∞∞∞−Log n
Log 3−Log n= e1 = e
Ejemplo 9.- Hallar el límite de αααn = ( 1n
)
1
1+2 ⋅Log1n
Es del tipo 00.
Tomando logaritmos tenemos
Log αααn =1
1+2 ⋅Log1n
⋅Log1n
= −Log n1−2 ⋅Log n
= −11
Log n−2
Ahora bien:
lımn→∞∞∞
Log αααn =12
En consecuencia
lımn→∞∞∞
αααn = e 12 =
√e
Ejemplo 10.- Hallar el límite de: αααn = ( 1n
)
1
Log3n
Es del tipo 00.
Tomando logaritmos tenemos
Log αααn =1
Log3n
⋅Log1n
= −Log nLog 3−Log n
= −1Log 3Log n
−1
Ahora bien
lımn→∞∞∞
Log αααn = 1
En consecuencia
lımn→∞∞∞
αααn = e1 = e
271
Lección 25.- CRITERIO DE STOLZ-CESARO,Y DE LAS
MEDIAS ARITMÉTICA Y GEOMÉTRICA
25.1 Criterios de Stolz-Cesareo
25.2 Criterio de la media aritmética
25.3 Criterio de la media geométrica
25.4 Criterio de la razón y de la raíz
25.1 Criterios de Stolz-Cesareo
El criterio de Stolz-Cesaro es de aplicación en la determinación de límites de sucesiones cuyo término
general es de la formaan
bn, siempre que tanto an como bn cumplan determinadas condiciones, siendo
su enunciado el siguiente:
Criterio de STOLZ-CESARO. Si la sucesión (bn)n∈N es estrictamente creciente divergente y si la
expresiónan−an−1
bn−bn−1
admite, para n→∞∞∞, límite finito o infinito de signo determinado, se verifica:
lımn→∞∞∞
an
bn= lım
n→∞∞∞
an−an−1
bn−bn−1
(De la sucesión (an)n∈N , cabe suponer que es divergente).
En efecto: Veamos los dos casos posibles que figuran en el enunciado.
1º.- Si la fracciónan−an−1bn−bn−1
tiende a un límite finito, l, entonces fijado un εεε > 0 existe un υυυ ∈N tal que
las fracciones
aυυυ+1−aυυυ
bυυυ+1−bυυυ
,aυυυ+2−aυυυ+1bυυυ+2−bυυυ+1
, , . . . . . . . . . ,an−an−1bn−bn−1
, , . . . . . . . . .
están comprendidas entre L−εεε , L+εεε . Además, como sus denominadores son positivos, pues hemos
supuesto (bn)n∈N estrictamente creciente, también estará comprendida entre esos números la fracción
que resulta al sumar numeradores y denominadores, es decir
L−εεε < an−aυυυ
bn−bυυυ
< L+εεε
lo cual se traduce en que:
lımn→∞∞∞
an−aυυυ
bn−bυυυ
= L
273
Observemos que, en general, se verifica:
A < ab
,cd
< B ⇐⇒
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
A < ab
< B
A < cd
< B
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Si b > 0 y d > 0
Ô⇒⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
A ⋅b < a < B ⋅bA ⋅d < c < B ⋅d
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭Ô⇒ A ⋅(b+d) < a+c < < B ⋅(b+d) Ô⇒
A < a+cb+d
< B
Ahora bien, como aυυυ y bυυυ son números fijos, y (bn)n∈N es divergente, se verifica que:
L = lımn→∞∞∞
an−aυυυ
bn−bυυυ
= lımn→∞∞∞
anbn
− aυυυ
bn
1− bυυυ
bn
=lım
n→∞∞∞anbn
−0
1−0= lım
n→∞∞∞anbn
2º.- Supongamos ahora que la fracciónan−an−1bn−bn−1
tiende a “más infinito”. Entonces, fijado un número
k, tan grande como queramos, existe un υυυ ∈N tal que las fracciones:
aυυυ+1−aυυυ
bυυυ+1−bυυυ
,aυυυ+2−aυυυ+1bυυυ+2−bυυυ+1
, . . . . . . . . . ,an−an−1bn−bn−1
, . . . . . . . . .
son todas mayores que k. Además, como sus denominadores son positivos, pues hemos supuesto (bn)n∈N
estrictamente creciente, también será mayor que k la fracción que resulta al sumar numeradores y denomi-
nadores, es decir:an−aυυυ
bn−bυυυ
> k
lo cual se traduce en que
lımn→∞∞∞
an−aυυυ
bn−bυυυ
= +∞∞∞
Ahora bien, como aυυυ y bυυυ son números fijos, y (bn)n∈N es divergente, se verifica que:
lımn→∞∞∞
an−aυυυ
bn−bυυυ
= +∞∞∞ = lımn→∞∞∞
anbn
− aυυυ
bn
1− bυυυ
bn
= lımn→∞∞∞
anbn
Ejemplo 1.- Hallar el límite de αααn =1!+2!+ . . . . . . . . . +n!
n!Aplicando el criterio de Stolz-Cesaro tenemos:
lımn→∞∞∞
αααn(1!+2!+ . . . . . . . . . +n!)−(1!+2!+ . . . . . . . . . +(n−1)!)
n!−(n−1)!=
= lımn→∞∞∞
n!n!−(n−1)!
= lımn→∞∞∞
1
1− (n−1)!n!
= lımn→∞∞∞
1
1− 1n
= 1
274
Ejemplo 2.- Hallar el límite de αααn =1+ 1
2+ 1
3+ . . . . . . . . . + 1
nLog n
Aplicando el criterio de Stolz-Cesaro tenemos:
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
1+ 12+ 1
3+ . . . . . . . . . + 1
n−(1+ 1
2+ 1
3+ . . . . . . . . . + 1
n−1)
Log n−Log (n−1)
= lımn→∞∞∞
1n
Log n−Log (n−1) = lımn→∞∞∞
1n
Logn
n−1
= lımn→∞∞∞
1n
nn−1
−1= 1
Ejemplo 3.- Hallar el límite de αααn =1ααα +2ααα +3ααα + . . . . . . . . . +nααα
nααα+1
Es de la forma∞∞∞∞∞∞
Aplicaremos el criterio de Stolz-Cesaro.
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
nααα
nααα+1−(n−1)ααα+1 = lımn→∞∞∞
nααα
nααα+1−(nααα+1−(ααα +1) ⋅nααα + . . . . . . . . . )=
= lımn→∞∞∞
nααα
(ααα +1) ⋅nααα + . . . . . . . . . = 1ααα +1
Ejemplo 4.- Hallar el límite de αααn =1+
√2+ 3√3+ . . . . . . . . . + n√n
nEs de la forma
∞∞∞∞∞∞
Aplicaremos el criterio de Stolz-Cesaro.
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
1+√
2+ 3√3+ . . . . . . . . . + n√n− [1+√
2+ 3√3+ . . . . . . . . . + n−1√n−1]n−(n−1) =
= lımn→∞∞∞
n√n = lımn→∞∞∞
nn−1
= 1
(En la última transformación hemos aplicado el Criterio de la razón y de la raíz, adelantándonos en su
utilización, pues realmente será establecido en el próximo apartado 25.4).
Ejemplo 5.- Hallar el límite de αααn =12+22+32+ . . . . . . . . . +n2
1+n+n2+n3
En de la forma∞∞∞∞∞∞
Aplicaremos el criterio de Stolz-Cesaro:
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
n2
(1+n+n2+n3)− [1+(n−1)+(n−1)2+(n−1)3]=
= lımn→∞∞∞
n2
3 ⋅n2−n+1= lım
n→∞∞∞1
3− 1n+ 1
n2
= 13
275
Ejemplo 6.- Hallar el límite de αααn =√
nLog n
Es de la forma∞∞∞∞∞∞
Aplicaremos el criterio de Soltz-Cesaro:
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
√n
Log n= lım
n→∞∞∞
√n−
√n−1
Log n−Log (n−1) = lımn→∞∞∞
√n−
√n−1
Logn
n−1
=
= lımn→∞∞∞
(√
n−√
n−1) ⋅(√
n+√
n−1)
(√
n+√
n−1) ⋅Logn
n−1
= lımn→∞∞∞
1
Log ( nn−1
)√
n+√
n−1=
= lımn→∞∞∞
1
Log ( nn−1
)√
n+Log ( n
n−1)√
n−1
Ahora bien
lımn→∞∞∞
( nn−1
)√
n= lım
n→∞∞∞Log(1+ 1
n−1)√
n= lım
n→∞∞∞Log [(1+ 1
n−1)
n−1]
√n
n−1
=
= Log elım
n→∞∞∞
√n
n−1 = Log e0 = Log 1 = 0
Procediendo en la misma forma se tiene
lımn→∞∞∞
Log ( nn−1
)√
n−1= 0
Luego
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
√n
Log n=∞∞∞
Ejemplo 7.- Hallar el límite de: αααn =Log (n!)Log (nn)
Es de la forma∞∞∞∞∞∞
Aplicaremos el criterio de Stolz-Cesaro:
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
Log (n!)Log (nn) = lım
n→∞∞∞
Log n!−Log (n−1)!Log nn−Log (n−1)n−1
y puesto que:
Log n!−Log (n−1)! = Logn!
(n−1)!= Log n
Log n2−Log (n−1)n−1 = n ⋅Log n−(n−1) ⋅Log (n−1) =
= Log n+(n+1) ⋅(Log n−Log (n−1) ) = Log n+(n+1) ⋅Logn
n−1=
= Log n+Log ( nn−1
)n−1
276
tendremos:lım
n→∞∞∞αααn = lım
n→∞∞∞Log n
Log n+Log (1+ 1n−1
)n−1 = lım
n→∞∞∞Log n
Log n+Log e =
= lımn→∞∞∞
1
1+ Log eLog n
= 1
Ejemplo 8.- Hallar el límite de: αααn =1n⋅Log
en−1n
Podemos escribir:
1n⋅Log
en−1n
= 1n⋅ [Log (en−1)−Log n] =
Log (en−1)n
− Log nn
Ahora bien, aplicando el criterio de Stolz-Cesaro:
lımn→∞∞∞
Log nn
= lımn→∞∞∞
Log n−Log (n−1)n−(n−1) = lım
n→∞∞∞Log
nn−1
= Log 1 = 0
Por otra parte:
lımn→∞∞∞
Log (en−1)n
= lımn→∞∞∞
Log (en ⋅(1−e−n))n
=
= lımn→∞∞∞
⎡⎢⎢⎢⎣nn+
Log (1−e−n)n
⎤⎥⎥⎥⎦= 1+ lım
n→∞∞∞
Log (1−e−n)n
= 1
Luego:
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
1n⋅Log
en−1n
= 1
Ejemplo 9.- Hallar el límite de αααn =12+22+32+ . . . . . . . . . +n2
n3
Es de la forma∞∞∞∞∞∞
Aplicaremos el criterio de Stolz-Cesaro:
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
(12+22+32+ . . . . . . . . . +n2)−(12+22+32+ . . . . . . . . . +(n−1)2)n3−(n−1)3 =
= lımn→∞∞∞
n2
n3−(n3−3 ⋅n2+3 ⋅n−1)=
= lımn→∞∞∞
n2
3 ⋅n2−3 ⋅n+1= lım
n→∞∞∞1
3−3 ⋅ 1n+ 1
n2
= 13
¡¡Atención!! Conviene no perder de vista dos cosas. La primera es que el criterio de Stolz-Cesaro dice
que: si existe el límite de la sucesión generalan−an−1
bn−bn−1, entonces existe el límite de la sucesión de
término generalan
bn, y ambos límites coinciden, lo cual no está en contradicción con que no exista el
límite de la primera sucesión y sin embargo exista el de la segunda. En segundo lugar, el criterio hace
277
unas afirmaciones, pero en unos supuestos; así, si éstos no se cumplen, pueden los límites de ambas
sucesiones existir, pero no ser iguales.
Ejemplo 10.- Consideremos la sucesión:
12
,13
,1+32+4
,1+32+5
,1+3+52+4+6
,1+3+52+4+7
,1+3+5+72+4+6+8
,1+3+5+72+4+6+9
, . . . . . . . . .
Al intentar aplicar el criterio de Stolz-Cesaro resulta que:
lımn→∞∞∞
an−an−1bn−bn−1
=⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
0 , si n =número par
1 , si n =número impar
luego no existe límite para la sucesión cuyo término general es:an−an−1bn−bn−1
Sin embargo:
lımn→∞∞∞
anbn
=
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
lımn→∞∞∞
1+3+5+ . . . . . . . . . +(n−1)(2+4+6+ . . . . . . . . .n)+1
= lımn→∞∞∞
n2
4n2
4+ n
2+1
= 1 ,si n = número par
lımn→∞∞∞
1+3+5+ . . . . . . . . . +n2+4+6+ . . . . . . . . . +(n+1) = lım
n→∞∞∞
(n+1)2
4(n+1)2
4+ n+1
2
= 1 ,si n = número impar
luego la sucesión dada tiene por límite 1.
Ejemplo 11.- Consideremos la sucesión
1, − 12,
23, −2
4, . . . . . . . . . + 1−2+3−4+ . . . . . . . . . +(−1)n+1 ⋅n
n, . . . . . . . . .
Intentar aplicar el criterio de Stolz-Cesaro significa calcular el límite de la expresiónan−an−1bn−bn−1
, que si existe debe
coincidir con el límite del cocienteanbn
.
Veamos lo que pasa en este caso:
lımn→∞∞∞
an−an−1bn−bn−1
= lımn→∞∞∞
(−1)n+1 ⋅nn−(n−1) = lım
n→∞∞∞(−1)n+1 ⋅n =∞∞∞
Por otra parte, calculando directamente:
lımn→∞∞∞
1−2+3−4+ . . . . . . . . . +(−1)n+1 ⋅nn
=
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
lımn→∞∞∞
(1+3+5+ . . . . . . . . . +2 ⋅n−1)−(2+4+6+ . . . . . . . . . +2 ⋅n)2 ⋅n = − 1
2, si n =número par
lımn→∞∞∞
(1+3+5+ . . . . . . . . . +2 ⋅n+1)−(2+4+6+ . . . . . . . . . +2 ⋅n)2 ⋅n+1
= + 12
, si n =número par
n
n+1
es decir, la sucesión dada es oscilante, con límites − 12
y + 12
, y por tanto su suma no vale infinito.
En este caso el criterio de Stolz-Cesaro no era aplicable porque no se cumple la condición de que el límite de la
expresiónan−an−1bn−bn−1
, en el caso de ser infinito lo es con signo determinado.
278
25.2 Criterio de la media aritmética
Como aplicación del criterio de Stolz-Cesaro se tiene la siguiente propiedad:
Criterio de la media aritmética: Si la sucesión: c1, c2, c3, . . . . . . . . . , cn, . . . . . . . . . tiene límite finito
o infinito de signo determinado, se verifica que:
lımn→∞∞∞
c1+c2+c3+ . . . . . . . . . +cn
n= lım
n→∞∞∞cn
En efecto: Apliquemos el criterio de Stolz-Cesaro a la sucesión de término general
anbn
= c1+c2+c3+ . . . . . . . . . +cnn
Como:
an−an−1bn−bn−1
= (c1+c2+c3+ . . . . . . . . . +cn)−(c1+c2+c3+ . . . . . . . . . +cn−1)n−(n−1) = cn
resulta
lımn→∞∞∞
c1+c2+c3+ . . . . . . . . . +cnn
= lımn→∞∞∞
cn
Ejemplo 1.- Hallar el límite de αααn =1+ 1
2+ 1
3+ . . . . . . . . . + 1
nn
Por aplicación directa del criterio de la media aritmética resulta:
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
1+ 12+ 1
3+ . . . . . . . . . + 1
nn
= lımn→∞∞∞
1n
= 0
¡¡Atención!! El recíproco no es cierto, como muestra el siguiente ejemplo:
Sea (cn)n∈N tal que: cn =
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
0 , si n = 2
1 , si n ≠ 2; resulta entonces que la sucesión (cn), 0, 1, 0, 1, 0, 1, . . . . . .
no tiene límite, mientras que:
lımn→∞∞∞
0+1+0+1+ . . . . . . . . . +cn
n=
12
25.3 Criterio de la media geométrica
Como aplicación del criterio de la media aritmética se tiene la siguiente propiedad:
Criterio de la media geométrica: Si la sucesión: c1, c2, c3, . . . . . . , cn, . . . . . . es de términos estric-
tamente positivos, convergente o divergente, se verifica que:
lımn→∞∞∞
n√c1 ⋅c2 ⋅ . . . . . . . . . ⋅cn = lımn→∞∞∞
cn .
279
En efecto: Aplicado el criterio de la media aritmética a la sucesión
Log c1, Log c2, Log c3, . . . . . . . . . , Log cn, . . . . . . . . .
se tiene
lımn→∞∞∞
Log c1+Log c2+Log c3+ . . . . . . . . . +Log cnn
= lımn→∞∞∞
Log cn
igualdad equivalente a la siguiente
lımn→∞∞∞
Log n√
c1 ⋅c2 ⋅c3 ⋅ . . . . . . . . . ⋅cn = lımn→∞∞∞
Log cn ,
en la que al tomar antilogaritmos resulta
lımn→∞∞∞
n√
c1 ⋅c2 ⋅c3 ⋅ . . . . . . . . . ⋅cn = lımn→∞∞∞
cn
Ejemplo 1.- Hallar el límite de αααn = n
√(3+1) ⋅(3+2) ⋅ . . . . . . . . . ⋅(3+n)
n!Por aplicación directa del criterio de la media geométrica:
lımn→∞∞∞
n
√(3+1) ⋅(3+2) ⋅ . . . . . . . . . ⋅(3+n)
n!= lım
n→∞∞∞n
√3+1
1⋅ 3+2
2⋅ . . . . . . . . . ⋅ 3+n
n=
= lımn→∞∞∞
3+nn
= 1
25.4 Criterio de la razón y de la raíz
La siguiente propiedad es interesante no sólo porque puede facilitar la determinación de algunos límites,
sino por su aplicación en el estudio de la convergencia de series, tanto numéricas como funcionales,
como tendremos ocasión de ver más adelante.
Criterio de la razón y de la raíz: Sea: a1, a2, a3, . . . . . . . . . , an, . . . . . . . . . una sucesión de términos
positivos. Si la razónan
an−1es convergente o divergente se verifica que:
lımn→∞∞∞
n√an = lımn→∞∞∞
an
an−1
En efecto: Basta considerar la sucesión
c1 =a11
, c2 =a2a1
, c3 =a3a2
, . . . . . . . . . , cn =an
an−1, . . . . . . . . .
a la que aplicamos el criterio de la media geométrica, resultando:
lımn→∞∞∞
n√an = lımn→∞∞∞
n
√a11⋅ a2
a1⋅ a3
a2⋅ . . . . . . . . . ⋅ an
an−1= lım
n→∞∞∞an
an−1
280
Ejemplo 1.- Hallar el límite de αααn = n√n
Aplicando el criterio de la razón y de la raíz, tenemos
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
n√n = lımn→∞∞∞
nn−1
= 1
Ejemplo 2.- Hallar el límite de: αααn =Log (1+en)
nEs de la forma
∞∞∞∞∞∞
Aplicaremos, aquí, el criterio de la razón y de la raíz:
lımn→∞∞∞
ααα = lımn→∞∞∞
Log (1+en)n
= lımn→∞∞∞
Log n√1+en = Log lımn→∞∞∞
n√1+en =
= Log lımn→∞∞∞
1+en
1+en−1 = Log lımn→∞∞∞
1en +1
1en + 1
e= Log
11e
= Log e = 1
Ejemplo 3.- Hallar el límite de: αααn = [(n+1) ⋅(n+2) ⋅ . . . . . . . . . ⋅(2 ⋅n)]1n
Se verifica que:
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
n√
(n+1) ⋅(n+2) ⋅ . . . . . . . . . ⋅(2 ⋅n) =
= lımn→∞∞∞
(n+1) ⋅(n+2) ⋅ . . . . . . . . . ⋅(2 ⋅n)n ⋅(n+1) ⋅ . . . . . . . . . ⋅(2 ⋅n−2) =
= lımn→∞∞∞
2 ⋅n ⋅(2 ⋅n−1)n
= lımn→∞∞∞
2 ⋅(2 ⋅n−1) =∞∞∞∞∞∞∞∞∞
Ejemplo 4.- Hallar el límite de: αααn = n
√sen2 1√
n
Aplicaremos, aquí, el criterio de la raíz y de la razón:
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
n
√sen2 1√
n= lım
n→∞∞∞
sen2 1√n
sen2 1√n−1
=
= lımn→∞∞∞
1√n⋅ 1√
n1√
n−1⋅ 1√
n−1
= lımn→∞∞∞
1n1
n−1
= lımn→∞∞∞
n−1n
= 1
281
Ejemplo 5.- Hallar el límite de: αααn = n√
a0 ⋅n4+a1 ⋅n3+a2 ⋅n2+a3 ⋅n+a4
Se verifica que
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
n√
a0 ⋅n4+a1 ⋅n3+a2 ⋅n2+a3 ⋅n+a4 =
= lımn→∞∞∞
a0 ⋅n4+a1 ⋅n3+a2 ⋅n2+a3 ⋅n+a4a0 ⋅(n−1)4+a1 ⋅(n−1)3+a2 ⋅(n−1)2+a3 ⋅(n−1)+a4
=
= a0a0
= 1
TEOREMA DE TOEPLITZ. (Algoritmo lineal de convergencia). Consideremos el cuadro de
números reales siguiente:
λλλ 11 λλλ 12 λλλ 13 . . . . . . . . . λλλ 1n . . . . . . . . .
λλλ 21 λλλ 22 λλλ 23 . . . . . . . . . λλλ 2n . . . . . . . . .
λλλ 31 λλλ 32 λλλ 33 . . . . . . . . . λλλ 3n . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
λλλ n1 λλλ n2 λλλ n3 . . . . . . . . . λλλ nn . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(Cuando un tal cuadro cumple las tres condiciones siguientes se llama cuadro de Toeplitz).
1ª.- Cada fila constituye una sucesión convergente, de límite cero; es decir:
(∀∀∀ i ∈ N∗) lımn→∞∞∞
λλλ in = 0
2º.- La suma de los n términos de la columna n-ésima, tiende al límite finito λλλ ; es decir:
lımn→∞∞∞
(λλλ 1n+λλλ 2n+λλλ 3n+ . . . . . . . . . +λλλ nn) =λλλ
3º.- La suma de los valores absolutos de los n términos de la colma n-ésima está acotada, cual-
quiera que sea n; es decir:
∣λλλ 1n∣+ ∣λλλ 2n∣+ ∣λλλ 3n∣+ . . . . . . . . . + ∣λλλ nn∣ < k
Si se cumplen las tres condiciones anteriores, entonces si (αααn)n∈N es una sucesión convergente de
límite finito ααα ; es decir si
lımn→∞∞∞
αααn =ααα ,
282
se verifica que la sucesión (un)n∈N , de término general
un =ααα1 ⋅λλλ 1n+ααα2 ⋅λλλ 2n+ααα3 ⋅λλλ 3n+ . . . . . . . . . +αααn ⋅λλλ nn =n∑i=1
ααα i ⋅λλλ in
es convergente y su límite vale ααα ⋅λλλ ; es decir
lımn→∞∞∞
un =ααα ⋅λλλ
En efecto: Podemos descomponer el término general un de la siguiente manera:
un =n∑i=1
ααα i ⋅λλλ in =n∑i=1
(ααα i−ααα) ⋅λλλ in+ααα ⋅n∑i=1
λλλ in =
=ααα ⋅n∑i=1
λλλ in
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶A
+n−1∑i=1
(ααα1−ααα) ⋅λλλ in
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶B
+n∑i=p
(ααα i−ααα) ⋅λλλ in
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶C
Se tiene que:
lımn→∞∞∞
A =ααα ⋅λλλ (por la 2ª condición)
y además
lımn→∞∞∞
B = 0
puesto que, según la 1ª condición, se trata de una suma finita de infinitésimos.
Comprobemos, ahora, que también es: lımn→∞∞∞
C = 0 , con lo que habremos establecido la propiedad. Así:
lımn→∞∞∞
C =n∑i=p
(ααα i−ααα) ⋅λλλ in
y dado que la sucesión: (αααn)n∈N es convergente, se verifica que para todo εεε > 0 existe un p ∈N∗ tal que
∀∀∀ n > p ∶
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
−εεε <αααp−ααα < εεε
−εεε <αααp+1−ααα < εεε
. . . . . . . . . . . . . . .
−εεε <αααn−ααα < εεε
de donde resulta que:
∀∀∀ n > p ∶
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
−εεε ⋅ ∣λλλ pn∣ < (αααp−ααα) ⋅λλλ pn < εεε ⋅ ∣λλλ pn∣
−εεε ⋅ ∣λλλ p+1,n∣ < (αααp+1−ααα) ⋅λλλ p+1,n < εεε ⋅ ∣λλλ p+1,n∣
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−εεε ⋅ ∣λλλ nn∣ < (αααn−ααα) ⋅λλλ nn < εεε ⋅ ∣λλλ nn∣
desigualdades que sumadas, y teniendo en cuenta la 3ª condición, dan:
∀∀∀ n > p ∶ ∣n∑i=p
(ααα1−ααα) ⋅λλλ in∣ < εεε ⋅k
283
y puesto que k es un número fijo, esta relación equivale a la:
lımn→∞∞∞
n∑i=p
(ααα i−ααα) ⋅λλλ in = 0 .
¡¡Atención!! Observemos que los elementos del cuadro de Toeplitz, que aparecen en el triángulo rayado,
no son significativos, puesto que no intervienen en los razonamientos.
Ejemplo. Hallar el límite de:
un =1
n2 +√
2(n−1)2 +
3√3(n−2)2 + . . . . . . . . . +
n√n12 .
Consideremos el siguiente cuadro de Toeplitz:
0122
132
142 . . . . . .
1n2 . . . . . .
0 1122
132 . . . . . .
1(n−1)2 . . . . . .
0 0 1122 . . . . . .
1(n−2)2 . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 0 . . . . . . 1 . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
es decir, tal que:
λλλ in =⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
1(n− i+1)2 si i ⩽ n
0 si i > n
Se verifica que:
lımn→∞∞∞
n∑i=1
λλλ in = lımn→∞∞∞
( 1n2 + 1
(n−1)2 + . . . . . . . . . + 122 + 1
12 ) = πππ2
6
Además, la sucesión: (αααn)n∈N∗ , cuyo término general es:
αααn = n√n
verifica que:
lımn→∞∞∞
αααn = 1
Luego, aplicando el Teorema de Toeplitz resulta:
lımn→∞∞∞
un = 1 ⋅ πππ2
6= πππ
2
6
El Teorema de Toeplitz es muy potente en el sentido de que a partir de él se pueden establecer criterios
tan importantes como los de Stolz-Cesaro, media aritmética, media geométrica, razón y raíz, que ya
tenemos establecidos. También se deduce, de dicho teorema la denominada:
284
Propiedad de Jangel. Sea (αααn)n∈N∗ una sucesión convergente, a partir de la cual establecemos
una nueva sucesión convergente, (An)n∈N∗ , cuyo término general es:
An = lımn→∞∞∞
(ααα1+ααα2+ . . . . . . . . . +αααn) .
de forma que:
lımn→∞∞∞
An =A .
Sea (βββ n)n∈N∗ una sucesión convergente, de límite cero, tal que
lımn→∞∞∞
(βββ 1+βββ 2+ . . . . . . . . . +βββ n) =B
y además, existe un número fijo, k, tal que
∣βββ 1∣+ ∣βββ 2∣+ . . . . . . . . . + ∣βββ n∣ < k .
Se verifica, entonces, que
lımn→∞∞∞
(A1 ⋅βββ b+A2 ⋅βββ n−1+ . . . . . . . . . +An ⋅βββ 1) =A ⋅B
En efecto: Basta formar el cuadro siguiente:
βββ 1 βββ 2 βββ 3 . . . . . . . . . βββ n . . . . . . . . .
0 βββ 1 βββ 2 . . . . . . . . . βββ n−1 . . . . . . . . .
0 0 βββ 1 . . . . . . . . . βββ n−2 . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
que es un cuadro de Toeplitz, y aplicar la propiedad anterior.
285
CAPÍTULO III
Progresiones y sucesiones recurrentes
Lección 26.- PROGRESIONES ARITMÉTICAS
26.1 Progresiones aritméticas
26.1 Progresiones aritméticas
Llamaremos progresión aritmética a toda sucesión, finita o infinita, de números reales tales que cada
uno de ellos se deduce del anterior sumándole un número fijo llamado razón de la progresión.
Se suele indica que se trata de una progresión aritmética escribiendo los números así:
÷ a1, a2, a3, . . . . . . , an
Los números de la progresión se llaman términos, y constituye una sucesión creciente o decreciente
según que la razón sea un número real positivo o negativo.
Ejemplo 1.- La progresión aritmética siguiente
÷ 1, 3, 5, 7, 9, 11
tiene seis términos y la razón vale 2.
Las progresiones aritméticas poseen las propiedades siguientes:
PROPOSICIÓN 1. Un término cualquiera de una progresión aritmética es igual a la suma de otro
anterior con tantas veces la razón como indique la diferencia de lugares entre ambos.
En efecto: Si designamos con d la razón de una progresión, y esta es la
÷ a1, a2, a3, . . . . . . , ap, . . . . . . aq, . . . . . . , an
se pueden escribir las igualdades
ap+1 = ap+d
ap+2 = ap+1+d
. . . . . . . . . . . . . . .
aq−1 = aq−2+d
aq = aq−1+d
Sumando éstas miembro a miembro y simplificando resulta
aq = ap+(q−p) ⋅d .
289
PROPOSICIÓN 2. La suma de dos términos de una progresión aritmética, equidistantes de los
extremos, es igual a la suma de éstos.
En efecto: Si en la progresión
÷ a1, . . . . . . , a1+h, . . . . . . an−h, . . . . . . , an
consideramos los términos a1+h , an+h , equidistantes de los extremos a1 , an la proposición anterior
permite escribir, siendo d la razón
a1+h = a1+h ⋅dan = an−h+h ⋅d
es decira1+h = a1+h ⋅dan−h = an−h ⋅d .
Sumando estas últimas igualdades miembro a miembro resulta
a1+h+an−h = a1+an
PROPOSICIÓN 3. La suma de los términos de una progresión aritmética es igual a la semi-suma
de los términos extremos multiplicada por el número de términos.
En efecto: Dada la progresión
÷ a1, a2, a3, . . . . . . , an−1, an
Consideremos su suma en las dos formas siguientes
Sn = a1+a2+ . . . . . . . . . +an−1+an
Sn = an+an−1+ . . . . . . . . . +a2+a1
Sumando, ahora, miembro a miembro, y asociando cada dos sumandos obtenemos:
2 ⋅Sn = (a1+an)+(a2+an−1)+ . . . . . . . . . +(an−1+a2)+(an+a1)
Como las sumas que figuran en cada paréntesis son iguales entre sí, por ser en cada caso los sumandos
términos equidistantes de los extremos, resulta
2 ⋅Sn = (a1+an) ⋅n
y en definitiva
Sn =(a1+an) ⋅n
2
¡¡Atención!! Desde un punto de vista nemotécnico es mucho más práctico que recordar la fórmula,
recordar la forma en que se obtiene y deducirla, dada su elementabilidad. Veremos en la próxima lección
que este criterio es válido para el caso de la suma de una progresión geométrica.
290
Ejemplo 2.- Consideremos una progresión aritmética cuyo primer término es el a1 = 5, y tal que la razón
vale d = 3. Se trata de determinar el valor de a7.
Se verifica que
aq = ap+(q−p) ⋅d ,
luego
a7 = 5+(7−1) ⋅3 = 23
Ejemplo 3.- Si a1 = 2,5 y a13 = 26,5 son los términos extremos de una progresión aritmética, se trata de
determinar cuanto vale la suma de los términos a4 y a10.
Como a4 y a10 son términos equidistantes de los extremos, se verifica que
a4+a10 = a1+a13 = 2,5+26,5 = 29
Observemos, por otra parte, que a7 es término equidistante de los extremos, verificándose para él que
a7+a7 = a1+a13 = 29 Ô⇒ 2 ⋅a7 = 29
de donde
a7 =292
= 14,5 .
Ejemplo 4.- Consideremos una progresión aritmética compuesta de 20 términos, tal que: a1 = −5 y d = 3.
Se trata de calcular cuanto vale su suma.
Calculamos, en primer lugar, su último término
a20 = a1+(20−1) ⋅d = −5+19 ⋅3 = 52
y aplicamos, luego, la fórmula general
S20 =(−5+52) ⋅20
2= 470
Los problemas elementales sobre progresiones aritméticas que suelen plantearse son los de calcular
alguno de los siguientes elementos: el último término, el primero, la razón, el número de términos,
la suma. Supuesto que los datos sean los suficientes, las tres proposiciones anteriores resuelven esos
problemas.
¡¡Atención!! Conviene no perder de vista que, prácticamente son tres las fórmulas que nos resuelven
esa problemática:
aq = ap+(q−p) ⋅p
a1+h+an−h = a1+an
Sn =(a1+an) ⋅n
2=
[ 2 ⋅a1+(n−1) ⋅d] ⋅n2
291
Ejemplo 5.- Comprobar que√
2 ,√
3 y√
4 no pueden formar parte de una progresión aritmética.
Si√
2 fuese el primer término,√
3 el p+1-ésimo y√
4 el q+1-ésimo, tendríamos
√3 =
√2+p ⋅d
√4 =
√2+q ⋅d
y eliminando d entre esas dos ecuaciones quedaría√
3−√
2p
=√
4−√
2q
es decir √3−
√2√
4−√
2= p
q,
lo cual es absurdo por ser√
3−√
2√4−
√2= (
√3−
√2) ⋅(2+
√2)
2. . . . . . . . . . . .un número irracional, y
pq
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . un número racional
Ejemplo 6.- Resolver la ecuación
(√
2) ⋅(√
2)3⋅(√
2)5⋅(√
2)7⋅ . . . . . . . . . ⋅(
√2)
2⋅x−1= 256
Se puede escribir la ecuación en la forma
(√
2)1+3+5+7+. . . . . . . . .+(2⋅x−1)
= 256 ,
y como el exponente es la suma de una progresión aritmética de x términos, cuyos a1 = 1 , an = 2 ⋅x−1, se tiene
1+3+5+7+ . . . . . . . . . +2 ⋅x−1 = (1+2 ⋅x−1) ⋅x2
= x2 ,
luego
(√
2)x2
= 256 .
Por otra parte
256 = 28 = (√
2)16
.
En consecuencia, la ecuación dada se puede poner en la forma
(√
2)x2
= (√
2)16
.
de donde resulta
x2 = 16 ,
es decir
x = 4 .
292
Ejemplo 7.- Los cuatro términos centrales de una progresión aritmética creciente de diez términos suman
24, y el producto del cuarto término por el séptimo es 27. Se trata de determinar la progresión.
Los datos de que disponemos nos permiten escribir
a4+a5+a6+a7 = 24
a4 ⋅a7 = 27
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭Ahora bien, como cualquier subconjunto de términos consecutivos de una progresión aritmética forman a su vez una
progresión aritmética, tendremos que
a4+a5+a6+a7 =(a4+a7) ⋅4
2= 24 Ô⇒ a4+a7 = 12
lo que nos permite escribir
a4+a7 = 12
a4 ⋅a7 = 27
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭Así, a4 y a7 son las raíces de la ecuación:
x2−12 ⋅x+27 = 0 ,
que resuelta da
a4 = 3 , a7 = 9 (por ser la progresión creciente) .
Tenemos ahora que
a4 = a1+3 ⋅d , a7 = a1+6 ⋅d
de donde, restando
a7−a4 = 3 ⋅d
es decir
6 = 3 ⋅d Ô⇒ d = 2
y finalmente
a1 = a4−3 ⋅d = 3−3 ⋅2 = −3 .
La progresión resulta ser la siguiente:
÷ −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 .
Otro problema que suele plantearse es el de interpolar entre dos números, a y b, otros m números, de
manera que estos últimos resulten ser los términos intermedios (es decir, no extremos) de una progresión
aritmética de extremos a y b.
El problema se reduce a hallar la razón, d, de la progresión de m+2 términos
÷ a, c1, c2, . . . . . . . . . , cm, b
293
siendo los c1, c2, . . . . . . . . . , cm los m números a interpolar, en cuya determinación estamos interesados.
Aplicando la fórmula general
an = a1+(n−1) ⋅d
resulta, por ser an = b , a1 = a y n =m+2,
d =b−am+1
.
Conocida ya la razón, d, y partiendo del número a, se puede formar la progresión, en la que aparecerán
los términos c1, c2, . . . . . . . . . , cm que nos interesaban.
Ejemplo 8.- Dados los números: a = 1 , b = 5, interpolar siete números (m = 7) de manera que el resultado
sea una progresión aritmética.
Bastará aplicar la fórmula general (d = b−am+1
) que nos da la razón:
d = 5−17+1
= 12
Conocida la razón, d = 12
, y partiendo del número a = 1 , podemos formar la progresión aritmética:
÷ 1,32, 2,
52, 3,
72, 4,
92, 5
Los términos intermedios que hemos interpolado son:
c1 =32
, c2 = 2 , c3 =52
, c4 = 3 , c5 =72
, c6 = 4 , c7 =92
Ejemplo 9.- Dados dos números: a = 2 y b = −6 , interpolar tres números (m = 3) de manera que el
resultado sea una progresión aritmética.
En primer lugar determinamos la razón
d = b−am+1
= −6−23+1
= −2 ,
y a partir del número a = 2 , la progresión
÷ 2, 0, −2, −4, −6 .
Los términos interpolados son:
c1 = 0 , c2 = −2 , c3 = −4 .
Ejemplo 10.- Calcular la suma de los números que figuran en la siguiente tabla:
1 2 3 . . . . . . n
2 3 4 . . . . . . n+1
3 4 5 . . . . . . n+2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n n+1 n+2 . . . . . . 2 ⋅n−1
294
Tenemos que la suma vale:
S = [1+2+ . . . . . . . . . +n]+ [2+3+ . . . . . . . . . +(n+1)]+ [3+4+ . . . . . . . . . +(n+2)]+
+. . . . . . . . . + [n+(n+1)+ . . . . . . . . . +(2 ⋅n−1)] =
= n+12
⋅n+ n+32
⋅n+ n+52
⋅n+ . . . . . . . . . + 3 ⋅n−12
⋅n =
= n2⋅[n2+1+3+5+ . . . . . . . . . +(2 ⋅n−1)] =
= n2⋅[n2+ 1+(2 ⋅n−1)
2⋅n] = n
2⋅[n2+n2] = n3
Ejemplo 11.- Consideremos una progresión aritmética con 2 ⋅n−1 términos, de la que se conoce la suma
S1 de los n primeros términos y la suma S2 de los n últimos. La progresión queda determinada en cuanto
conozcamos el primer término a1 y la razón d, que tenemos que determinar en el caso de ser:
n = 5 , S1 = 100 , S2 = 200 .
Se tiene que:
S1 = a1+a2+ . . . . . . . . . +an
S2 = an+an+1+ . . . . . . +a2⋅n−1
Sumando resulta:
S1+S2 = (a1+a2+ . . . . . . . . . +a2⋅n+1)+an =
= a1+a1+(2 ⋅n−2) ⋅d2
⋅(2 ⋅n−1)+a1+(n−1) ⋅d = 2 ⋅n ⋅a1+2 ⋅n ⋅(n−1) ⋅d
y restando resulta
S2−S1 = (an−a1)+(an+1−a2)+ . . . . . . . . . +(a2⋅n−1−an) = n ⋅(n−1) ⋅d
A partir de estos resultados obtenemos los valores buscados:
S2−S1 = n ⋅(n−1) ⋅d
S1+S2 = 2 ⋅n ⋅a1+2 ⋅n ⋅(n−1) ⋅d
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒
d = S2−S1n ⋅(n−1)
a1 =3 ⋅S1−S2
2 ⋅nSi n = 5 , S1 = 100 y S2 = 200 :
a1 =3 ⋅100−200
2 ⋅5 = 10 , d = 200−1005 ⋅(5−1) = 5
Ejemplo 12.- Hallar el límite de αααn = [ 1+3+5+7+ . . . . . . . . . +(2 ⋅n−1)n+1
− 2 ⋅ +12
]Puesto que 1+3+5+7+ . . . . . . . . . +(2 ⋅n−1) es una progresión aritmética de razón 2, se tiene
1+3+5+7+ . . . . . . . . . +(2 ⋅n−1) = n2
295
luego
αααn =n2
n+1− 2 ⋅n+1
2= 2 ⋅n2−(n+1) ⋅(2 ⋅n+1)
2 ⋅(n+1) = −3 ⋅n−12 ⋅(n+1)
En consecuencia
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
−3 ⋅n−12 ⋅(n+1) = lım
n→∞∞∞
−3− 1n
2+ 2n
= −32
Ejemplo 13.- Hallar el límite de αααn = ( 1n2 + 2
n2 + 3n2 + . . . . . . . . . + n−1
n2 )Puesto que: 1+2+ . . . . . . . . . +n−1 es una progresión aritmética de razón 1, se tiene
1n2 + 2
n2 + 3n2 + . . . . . . . . . + n−1
n2 = 1+2+3+ . . . . . . . . . +(n−1)n2 =
n ⋅(n−1)2
n2 = n2−n2 ⋅n2
luego
αααn =n2−n2 ⋅n2
En consecuencia
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→ααα
n2−n2 ⋅n2 = lım
n→∞∞∞
1− 1n
2= 1
2
Ejemplo 14.- Comprobar que para todo número natural n es cierta la igualdad
(1+2+ . . . . . . . . . +n)2 = 13+23+ . . . . . . . . . +n3
Denotemos por Rn y Sn, el primer y segundo miembro, respectivamente, de la igualdad que queremos comprobar,
lo que equivaldrá a establecer que Rn = Sn.
a.- La igualdad es cierta para n = 1, ya que R1 = S1 = 1
b.- Supongamos ahora que la igualdad es cierta para k, y probemos para k+1. Tendremos
Rk+1 = (1+2+ . . . . . . . . . +k+(k+1))2 == Rk+2 ⋅(1+2+ . . . . . . . . . +k)
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶progresión aritmética
⋅(k+1)+(k+1)2 =
= Rk+2 ⋅ (k+1) ⋅k2
⋅(k+1)+(k+1)2 =
= Rk+(k+1)3 = Sk+(k+1)3 = Sk+1
En virtud del principio de inducción completa queda demostrada la igualdad enunciada para todos los
números naturales.
Ejemplo 15.- Suponiendo que los números: a1, a2, . . . . . . . . . , an, an+1, forman una progresión aritmética,
comprobar que se verifica:
1a1 ⋅a2
+ 1a2 ⋅a3
+ . . . . . . . . . + 1an ⋅an+1
= na1 ⋅an+1
Denotemos el primer miembro de la igualdad con Sn.
296
a.- Sea n = 1. Entonces
S1 =1
a1 ⋅a2;
por tanto la igualdad es cierta para n = 1.
b.- Supongamos ahora que la igualdad es cierta para n = k , es decir que
Sk =k
a1 ⋅ak+1.
y demostremos que también es cierta para n = k+1, es decir que se verifica
Sk+1 =k+1
a1 ⋅ak+2.
Se verifica que
Sk+1 = Sk+1
ak+1 ⋅ak+2luego se verificará (siendo d la razón de la progresión aritmética)
Sk+1 = Sk+1
ak+1 ⋅ak+2= k
a1 ⋅ak+1+ 1
ak+1 ⋅ak+2= k ⋅ak+2+a1
a1 ⋅ak+1 ⋅ak+2=
= k ⋅(ak+1+d)+a1a1 ⋅ak+1 ⋅ak+2
= k ⋅ak+1+a1+k ⋅da1 ⋅ak+1 ⋅ak+2
=
= k ⋅ak+1+ak+1a1 ⋅ak+1 ⋅ak+2
= (k+1) ⋅ak+1a1 ⋅ak+1 ⋅ak+2
= k+1a1 ⋅ak+2
.
Como queríamos demostrar.
Así la formula dada se verifica para todo número natural n.
Apoyándonos en lo que hemos definido como una progresión aritmética, obtenemos las siguientes cu-
riosidades:
Los números triangulares forman una sucesión: 1, 3, 6, 10, 15, . . . . . . correspondiente el número de
puntos de triángulos que crecen sin cesar:
T1 T2 T3 T4 T5
Observemos que el número del triángulo de lugar n viene dado por la fórmula:
n ⋅(n+1)2
(Suma de los n términos de una progresión aritmética, cuyo primer término es el a1 = 1, y su razón d = 1).
Así, los siguientes números son triangulares:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, . . . . . . . . .
297
Como curiosidad, apuntemos que el número del triángulo 36, es:
36 ⋅372
= 666 (El número de la Bestia del Apocalipsis) .
Más curiosidades:
1.- Todo cuadrado perfecto es la suma de dos triángulos sucesivos:
52= 25 = 10+15 , 72
= 49 = 21+28, . . . . . . . . .
2.- Todo cuadrado perfecto impar es igual a ocho veces un número triangular, más uno:
52= 25 = 8 ⋅3+1 , 72
= 49 = 8 ⋅6+1, . . . . . . . . .
3.- Un número N es triangular si, y sólo sí, es la suma de los M primeros enteros, para algún
valor entero de M:
6 = 1+2+3 , 15 = 1+2+3+4+5
4.- 8 ⋅Tn+1 es siempre un cuadrado perfecto:
8 ⋅21+1 = 169 = 132 , 8 ⋅91+1 = 729 = 272, . . . . . . . . .
298
Lección 27.- PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
27.1 Progresiones geométricas
27.1 Progresiones geométricas
Llamaremos progresión geométrica a toda sucesión finita o infinita de números reales tales que cada
uno de ellos se deduce del anterior multiplicándolo por un número fijo, llamado razón de la progresión.
Se suele indicar que se trata de una progresión geométrica escribiendo los números así:
÷÷ a1, a2, . . . . . . . . . , an .
Los números de la progresión se llaman términos y crecen o decrecen, en valor absoluto, según que el
valor absoluto de la razón sea mayor menor que 1.
Ejemplo 1.- La progresión geométrica siguiente
÷÷ 2, −4, 8, −16, 32, −64
tiene seis términos y la razón vale -2.
Las progresiones geométricas poseen las propiedades siguientes:
PROPOSICIÓN 1. Un término cualquiera de una progresión geométrica es igual al producto de
otro anterior por la razón elevada a un exponente igual a la diferencia de lugares entre ambos.
En efecto: Si designamos con r la razón de la progresión, y ésta es la
÷÷ a1, . . . . . . . . . ,ap, . . . . . . . . . ,aq, . . . . . . . . . , an
Se pueden escribir las desigualdades
ap+1 = ap ⋅rap+2 = ap+1 ⋅r. . . . . . . . . . . . . . .
aq−1 = aq−2 ⋅raq = aq−1 ⋅r .
Multiplicando éstas miembro a miembro, y simplificando resulta:
aq = ap ⋅rq−p
299
PROPOSICIÓN 2. El producto de dos términos de una progresión geométrica, equidistantes de
los extremos, es igual al producto de éstos.
En efecto: Si en la progresión
÷÷ a1, . . . . . . . . . ,a1+h, . . . . . . . . . ,an−h, . . . . . . . . . , an
consideramos los términos a1+h , an−h equidistantes de los términos a1 , an, la propiedad anterior permite
escribir, siendo r la razóna1+h = a1 ⋅rh
an = an−h ⋅rh
es decira1+h = a1 ⋅rh
an−h =an
rh
Multiplicando estas últimas igualdades miembro a miembro resulta
a1+h ⋅an−h = a1 ⋅an
PROPOSICIÓN 3. El producto de los términos de una progresión geométrica es igual a la raíz
cuadrada del producto de los términos extremos elevado al número de términos.
En efecto: Dada la progresión
÷÷ a1, a2, . . . . . . . . . , an−1, an .
consideremos su producto en las dos formas siguientes:
Pn = a1 ⋅a2 ⋅ . . . . . . . . . ⋅ an−1 ⋅an
Pn = an ⋅an−1 ⋅ . . . . . . . . . ⋅a2 ⋅a1
Multiplicando, ahora, miembro a miembro y asociando cada dos factores obtenemos
P2n = (a1 ⋅an) ⋅(a2 ⋅an−1) ⋅ . . . . . . . . . ⋅(an−1 ⋅a2) ⋅(an ⋅a1)
Como los productos que figuran en cada paréntesis son iguales entre sí, por ser en cada caso los factores
términos equidistantes de los extremos, resulta
P2n = (a1 ⋅an)n
y en definitiva
Pn =√
(a1 ⋅an)n .
Ejemplo 2.- Consideremos una progresión geométrica cuyo primer término es el a1 = 5 , y tal que la razón
vale r = 3. Se trata de determinar el a7.
Se verifica que
aq = ap ⋅rq−p
luego
a7 = 5 ⋅37−1 = 5 ⋅36 = 3645
300
Ejemplo 3.- Si a1 = 2,5 y a7 = 160 son los términos extremos de una progresión geométrica, se trata de
determinar cuanto vale el producto de los términos a3 y a5.
Como a3 y a5 son términos equidistantes de los extremos, se verifica que
a3 ⋅a5 = a1 ⋅a7 = 2,5 ⋅160 = 400
Observemos, por otra parte, que a4 es término equidistante de los extremos. Para él se verifica que
a4 ⋅a4 = a1 ⋅a7 = 400 Ô⇒ a4 =√
400 = 20 .
Ejemplo 4.- Consideremos una progresión geométrica compuesta por siete términos, y tal que: a1 = −2,5 , r = −2.
Se trata de determinar cuanto vale su producto.
Calculamos, en primer lugar, su último término
a7 = a1 ⋅r7−1 = −2,5 ⋅(−2)6 = −160 ,
y aplicamos, luego, la fórmula general:
Pn =√
[(−2,5) ⋅(−160)]7 =√
4007 = 1280000000
Los problemas elementales sobre progresiones geométricas que suelen presentarse son los de calcular
alguno de los siguientes elementos: el último término, el primero, la razón, el número de términos, el
producto.
Conviene observar que las propiedades estudiadas hasta aquí, para las progresiones geométricas, se co-
rresponden con las estudiadas para las progresiones aritméticas. Sin embargo, la siguiente propiedad no
tiene correspondiente entre las de las progresiones aritméticas.
PROPOSICIÓN 4. La suma de los términos de una progresión geométrica es igual al primer tér-
mino menos el último por la razón, dividido entre uno menos la razón.
En efecto: Dada la progresión
÷÷ a1, a2, a3, . . . . . . . . . , an−1, an .
consideremos su suma
Sn = a1+a2+a3+ . . . . . . . . . +an−1+an .
Al multiplicar ambos miembros por la razón se obtiene
Sn ⋅r = a1 ⋅r+a2 ⋅r+a3 ⋅r+ . . . . . . . . . +an−1 ⋅r+an ⋅r
es decir
Sn ⋅r = a2+a3+a4+ . . . . . . . . . +an+an ⋅r
301
Restando, ahora, miembro a miembro esas dos igualdades resulta
Sn−Sn ⋅r = a1−an ⋅r
es decir
Sn =a1−an ⋅r
1−r
¡¡Atención!! Desde un punto de vista nemotécnico, nos referimos a la llamada de atención, de la lección
anterior, en la que ante una situación similar, a la que nos ocupa, decíamos, y volvemos a decir aquí,
que es mucho más práctico que recordar la fórmula, recordar la forma en que se obtiene y deducirla,
dada su elementabilidad.
Ejemplo 5.- Consideremos una progresión geométrica compuesta por cinco términos, tal que: a1 = 1,5 y r = 2.
Se trata de calcular cuanto vale su suma.
Calculamos, en primer lugar, su último término
a5 = a1 ⋅r5−1 = 1,5 ⋅24 = 24 ,
y aplicamos, luego, la fórmula general
S5 =1,5−24 ⋅2
1−2= 46,5
Ejemplo 6.- Consideremos una progresión geométrica compuesta por cinco términos, tal que a1 = 2 y a5 = 32.
Se trata de calcular cuanto vale su suma.
Calculamos, en primer lugar, la razón
a5 = a1 ⋅r5−1 Ô⇒ r = 4
√a5a1
= 4
√322
= 4√16 = 2
y aplicamos, luego, la fórmula general
S5 =2−32 ⋅2
1−2= 62
¡¡Atención!! Conviene no perder de vista que, prácticamente, son cuatro las fórmulas que nos resuelven
la problemática sobre las progresiones geométricas:
aq = ap ⋅rq−p
a1+h ⋅an−h = a1 ⋅an
Pn =√
(a1 ⋅an)n
Sn =a1−an ⋅r
1−r=
a1−a1 ⋅rn
1−r
302
Ejemplo 7.- Determinar cuatro números en progresión geométrica, siendo su suma igual a 15, y la diferencia
entre el tercer término y el primero igual a 3.
Se tiene que
a1+a2+a3+a4 = 15
y si r es la razón
S4 =a1−an ⋅r
1−r= a1−a1 ⋅r4
1−r=
a1 ⋅(1−r4)1−r
es decira1 ⋅(1−r4)
1−r= 15
o lo que es lo mismo
a1 ⋅(1+r2) ⋅(1+r) = 15 .
Por otra parte es
a3−a1 = 3
y como
a3 = a1 ⋅r2
se tiene
a1 ⋅(r2−1) = 3
o lo que es lo mismo
a1 ⋅(r+1) ⋅(r−1) = 3
En definitiva, podemos escribir que⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
a1 ⋅(1+r2) ⋅(1+r) = 15
a1 ⋅(r+1) ⋅(r−1) = 3
Dividiendo, ahora, miembro a miembro estas dos igualdades resulta
1+r2
r−1= 5
lo que nos proporciona una ecuación que nos va a permitir determinar r:
r2−5 ⋅r+6 = 0
Se obtienen dos soluciones
r1 = 3 , r2 = 2 .
Para r1 = 3, se tiene que
a1 =15
(1+32) ⋅(1+3)= 15
40= 3
8
y aparece una primera solución al problema planteado:
38
,98
,278
,818
.
303
Para r2 = 2, se tiene que
a1 =15
(1+22) ⋅(1+2)= 15
15= 1 ,
y aparece una segunda solución al problema planteado
1, 2, 4, 8
Ejemplo 8.- Determinar cuatro números en progresión geométrica que sumen 85, y tales que la diferencia
entre el tercer término y el primero sea igual a 15.
Tenemos
a1+a2+a3+a4 = 85
es decira1 ⋅(1−r4)
1−r= 85 ,
igualdad que podemos escribir así:
a1 ⋅(1+r2) ⋅(1−r2)1−r
=a1 ⋅(1+r2) ⋅(1+r) ⋅(1−r)
1−r= 85
o sea
a1 ⋅(1+r2) ⋅(1+r) = 85
Por otra parte
a3−a1 = 15
y como
a3 = a1 ⋅r2
será
a1 ⋅(r2−1) = 15
que podemos escribir así:
a1 ⋅(r+1) ⋅(r−1) = 15
Dividiendo las dos igualdades recuadradas se obtiene
r2+1r−1
= 8515
lo que nos proporciona la ecuación
3 ⋅r2−17 ⋅r+20 = 0
que tiene dos soluciones
r1 = 4 , r2 =53
La primera solución nos da
1, 4, 16, 64
304
y la segunda13516
,22516
,37516
,62516
Ejemplo 9.- Dada la progresión geométrica
÷÷ a1, a2, a3, a4 .
se trata de determinar el término a4, sabiendo que
a1 = 16 , a2+a3 = 96 .
Si r es la razón de la progresión se tiene que
a2 = a1 ⋅r , a3 = a1 ⋅r2
es decir
a1 ⋅r+a1 ⋅r2 = 96
o lo que es lo mismo
16 ⋅(r+r2) = 96
Se obtiene así una ecuación que nos va a permitir determinar r:
r2+r−6 = 0
Se obtienen dos soluciones
r1 = 2 , r2 = −3
Para r1 = 2, aparece la primera solución al problema planteado:
a1 = 16 , a2 = 32 , a3 = 64 , a4 = 128
Para r2 = −3, aparece la segunda solución al problema planteado
a1 = 16 , a2 = −48 , a3 = 144 , a4 = −432
Otro problema que suele plantearse, como en el caso de las progresiones aritméticas, es el de interpolar
entre dos números a y b, otros m números, de manera que estos últimos resulten ser los términos inter-
medios (es decir, no extremos) de una progresión geométrica de extremos a y b.
El problema se reduce a hallar la razón r, de la progresión de m+2 términos
÷÷ a, c1, c2, . . . . . . . . . , cm, b
siendo los c1, c2, . . . . . . . . . , cm los números a interpolar, en cuya determinación estamos interesados.
Aplicando la fórmula general
an = a1 ⋅rn−1
305
resulta (an = b , a1 = a , n =m+2)
r = m+1
√ba
.
Conocida ya la razón, r, y partiendo del número a, se puede formar la progresión, en la que aparecen los
términos intermedios c1, c2, . . . . . . . . . , cm que nos interesaban.
Ejemplo 10.- Dados dos números: a = 1 y b = 256 , se trata de interpolar tres números (m = 3) de manera
que el resultado sea una progresión geométrica.
Bastará aplicar la fórmula general
r = m+1
√ba
que nos da la razón
r = 4
√256
1= 4 .
Conocida la razón, r = 4, y partiendo del número a = 1, podemos formar la progresión geométrica
÷÷ 1, 4, 16, 64, 256 .
Los términos intermedios, que hemos interpolado, son los
c1 = 4 , c2 = 16 , c3 = 64 .
Ejemplo 11.- Dados dos números a = 200 , b = −25 , se trata de interpolar dos números (m = 2) de manera
que el resultado sea una progresión geométrica.
En primer lugar determinamos la razón
r = m+1
√ba= 3
√−25200
= − 12
y a partir del número a = 200 , podemos formar la progresión geométrica
÷÷ 200, −100, 50, −25 .
Los términos interpolados son los:
c1 = −100 , c2 = 50 .
Ejemplo 12.- Consideremos una progresión geométrica con 2n−1 términos de la que se conoce su suma S1
de los n primeros términos y la suma S2 de los n últimos. Se trata de determinar la progresión sabiendo que:
n = 3 , S1 = 7 y S2 = 28.
Vamos a proceder en general para luego particularizar a los valores dados.
Se tiene que:
S1 = a1+a2+ . . . . . . . . . +an
S2 = an+an+1+ . . . . . . . . . +a2⋅n−1
306
Sumando resulta:
S1+S2 = (a1+a2+ . . . . . . . . . +a2⋅n−1)+an =a1 (r2⋅n−1−1)
r−1+a1 ⋅rn−1 =
= a1 ⋅r2⋅n−1−1+rn−rn−1
r−1= a1 ⋅
(rn−1) ⋅(rn−1+1)r−1
y restando resulta:
S2−S1 = (an−a1)+(an+1−a2)+ . . . . . . . . . +(a2⋅n−1−an) =
= a1 ⋅(rn−1−1) ⋅(1+r+r2+ . . . . . . . . . +rn−1) = a1 ⋅(rn−1−1) ⋅(rn−1)
r−1
Se obtiene asíS1+S2S2−S1
= rn−1+1rn−1−1
.
de donde
r = n−1
√S2S1
.
Así mismo se obtiene
S1+S2 = a1 ⋅(rn−1) ⋅(rn−1+1)
rn−1 = S2S1
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
a1 =S1 ⋅
⎡⎢⎢⎢⎢⎣( S2
S1)
1n−1
−1⎤⎥⎥⎥⎥⎦
( S2S1
)n
n−1−1
Particularizando ahora (n = 3, S1 = 7, S2 = 28) tendremos:
a1 = 1 , r = 2 .
Ejemplo 13.- La suma de los términos de una progresión geométrica decreciente ilimitada es 6, y la de sus
dos primeros términos es 4,5. Se trata de determinar la razón.
Tenemos⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
a1+a2+a3+ . . . . . . . . . =a1
1−r= 6
a1+a1 ⋅r = 4,5
de donde ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
a1 = 6 ⋅(1−r)
a1 ⋅(1+r) = 4,5
En consecuencia, sustituyendo resultará
6 ⋅(1−r) ⋅(1+r) = 4,5
es decir
6 ⋅(1−r2) = 4,5
307
y despejando r obtenemos
r =√
1,56
Ejemplo 14.- Calcular el número que hay que sumar a los a, b y c para que formen una progresión geomé-
trica.
Sea x dicho número. Se verifican entonces las igualdades
b+x = (a+x) ⋅rc+x = (b+x) ⋅r
Dividiendo ahora miembro a miembro se obtiene
b+xc+x
= a+xb+x
de donde, despejando la x, se tiene
x = b2−a ⋅ca+c−2 ⋅b .
Así, si fuesen: a = 2 , b = 5 y c = 10 tendríamos
x = 52−2 ⋅102+10−2 ⋅5 = 25−20
12−10= 5
2
valor que sumado a los dados nos daría
a′ = 2+ 52= 9
2, b′ = 5+ 5
2= 15
2, c′ = 10+ 5
2= 25
2
La progresión92
,152
,252
es geométrica, y su razón valdría
r =15292
=252
152
= 53
Veamos ahora un par de ejemplos en que intervienen simultáneamente progresiones aritméticas y geo-
métricas.
Ejemplo 15.- Consideremos la sucesión que se obtiene al multiplicar, término a término, una progresión
aritmética cuyo primer término vale 0 y de razón d, con otra geométrica cuyo primer término vale12
y de
razón r = 12
. Supuesto que la suma de los cinco primeros términos de la sucesión así formada es 3, se trata
de calcular d.
Se tiene que
÷ 0, d, 2 ⋅d, 3 ⋅d, 4 ⋅d, . . . . . . . . .
÷÷ 12,
122 ,
123 ,
124 ,
125 , . . . . . . . . .
308
luego la sucesión que formamos es la
0,d22 ,
2 ⋅d23 ,
3 ⋅d24 ,
4 ⋅d25 , . . . . . . . . .
La suma de los cinco primeros términos de esta sucesión es
S = 0+ d22 + 2 ⋅d
23 + 3 ⋅d24 + 4 ⋅d
25
que puede escribirse como sigue
S = d22 + d
23 + d24 + d
25 + Ð→ [= d ⋅( 12− 1
25 )]
+ d23 + d
24 + d25 + Ð→ [= d ⋅( 1
22 − 125 )]
+ d24 + d
25 + Ð→ [= d ⋅( 123 − 1
25 )]
+ d25 + Ð→ [= d ⋅( 1
24 − 125 )]
Luego
S = d ⋅(12+ 1
22 + 123 + 1
24 − 425 ) = d ⋅ 13
16= 3
de donde
d = 3 ⋅1613
= 4813
Ejemplo 16.- Comprobar que tres números distintos colocados en su orden natural no pueden ser términos
consecutivos a la vez de una progresión aritmética y otra geométrica.
Si supusiésemos que es posible, entonces tendríamos, llamando: a, b y c, a estos números
b = a+d
c = a+2 ⋅d
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭(sucesión aritmética)
b = a ⋅rc = a ⋅r2
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭(sucesión geométrica)
Eliminando a, b y c entre estas cuatro relaciones se tiene (basta con igualar las expresiones de la b y c, y en las dos
igualdades resultantes eliminar la a).d
r−1= 2 ⋅d
r2−1es decir
r2−1 = 2 ⋅(r−1)
y en definitiva
r2−2 ⋅r+1 = 0
309
que resuelta nos da la solución doble:
r = 1
lo cual es absurdo, por haber supuesto a, b y c distintos.
Ejemplo 17.- Hallar el límite de αααn =12+ 1
4+ 1
8+ . . . . . . . . . + 1
2n
Puesto que:12+ 1
4+ 1
8+ . . . . . . . . . + 1
2n es una progresión geométrica de razón12
, se tiene
12+ 1
4+ 1
8+ . . . . . . . . . + 1
2n = 1− 12n
luego:
αααn = 1− 12n
En consecuencia:
lımn→ααα
αααn = lımn→ααα
(1− 12n ) = 1
Ejemplo 18.- Hallar el límite de αααn = 1− 13+ 1
9− 1
27+ . . . . . . . . . + (−1)n−1
3n−1
Puesto que: 1− 13+ 1
9− 1
27+ . . . . . . . . . + (−1)n−1
3n−1 es una progresión geométrica de razón−13
, se tiene
1− 13+ 1
9− 1
27+ . . . . . . . . . + (−1)n−1
3n−1 = 34⋅(1+ (−1)n−1
3n )
luego
αααn =34⋅(1+ (−1)n−1
3n )
En consecuencia
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
[ 34⋅(1+ (−1)n−1
3n )] = 34
Ejemplo 19.- Hallar el límite de ααα ∶√
2 ,√
2 ⋅√
2 ,
√2 ⋅
√2 ⋅
√2 , . . . . . . . . .
Podemos expresar αααn como sigue:
αααn ∶ 212 , 2
12 ⋅2
14 , 2
12 ⋅2
14 ⋅2
18 , . . . . . . . . . , 2
12 ⋅2
14 ⋅2
18 ⋅ . . . . . . . . . ⋅2
1n
es decir el término n-ésimo será
αααn = 212 ⋅2
14 ⋅2
18 ⋅ . . . . . . . . . ⋅2
1n = 2
12 +
14 +
18 +. . . . . . . . .+
1n
El exponente es una progresión geométrica de razón12
, cuya suma será:
12+ 1
4+ 1
8+ . . . . . . . . . + 1
n= 1− 1
2n = 2n−12n
En consecuencia
lımn→∞∞∞
αααn = lımn→∞∞∞
2
2n−12 ⋅n = 2
lımn→∞∞∞
2n−12 ⋅n = 2
lımn→∞∞∞
1− 12n
1 = 21 = 2
310
Ejemplo 20.- Se trata de determinar si las longitudes de los lados de un triángulo pueden ser términos de
una progresión geométrica; es decir, si a = b ⋅r = c ⋅r2 , para algún r > 0.
Los lados serán: c, b = c ⋅r y a = c ⋅r2
1º.- Si 0 < r < 1: El lado mayor es el c, y se debe verificar que c < a+b; por tanto
c < c ⋅r2+c ⋅r Ô⇒ r2+r−1 > 0
Resolviendo el sistemar2+r−1 > 0
0 < r < 1
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭Ô⇒ r ∈ [
√5−12
, 1]
2º.- Si r = 1. Los lados son: a = b = c. Luego el triángulo es equilátero.
3º.- Si r > 1. El lado mayor es el a = c ⋅r2 , con lo que
c ⋅r2 < c+c ⋅r Ô⇒ r2−r−1 < 0
Revolviendo el sistemar2−r−1 < 0
1 < r
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭Ô⇒ r ∈ [1 ,
1+√
52
]
En consecuencia, r puede tomar cualquier valor del intervalos
[√
5−12
,1+
√5
2]
Ejemplo 21.- Las longitudes de los lados de un triángulo están en progresión geométrica de razón r.
Determinar los valores de r para los que el triángulo es, respectivamente, acutángulo, rectángulo u obtusán-
gulo.
Para que los números a, b, c sean las longitudes de los lados de un triángulo debe verificarse que:
c < a+b ,
y será acutángulo rectángulo u obtusángulo según que c2 sea menor, igual o mayor que a2+b2.
(Apuntemos que, una progresión geométrica de términos positivos es creciente o decreciente según que la razón sea
mayor que 1, o esté comprendida entre 0 y 1).
Veamos los casos que pueden presentarse:
1.- r = 1 En este caso los tres lados son iguales, es decir el triángulo es equilátero, y por tanto acutángulo.
2.- 0 < r < 1 En este caso los lados del triángulo serán, en orden creciente: a ⋅r2 , a ⋅r , a, y deberá cumplirse
que:
a < a ⋅r2+a ⋅r Ô⇒ 1 < r2+1 , (y además 0 < r < 1) ,
lo que se verifica para:
r ∈ [√
5−12
, 1]
311
La diferencia entre el cuadrado del lado mayor y la suma de los cuadrados de los otros dos es:
D= a2−(a2 ⋅r2+a2 ⋅r4) = a2 ⋅(1−r2−r4) =
= a2 ⋅⎛⎝
√ √5−12
−r⎞⎠⋅⎛⎝
r+√ √
5−12
⎞⎠⋅(r2+
√5+12
)
lo que nos permite la siguiente clasificación:
a.-√
5−12
< r <√ √
5−12
Ô⇒ D > 0 Ô⇒ Obtusángulo
b.- r =√ √
5−12
Ô⇒ D = 0 Ô⇒ Rectángulo
c.-
√ √5−12
< r < 1 Ô⇒ D < 0 Ô⇒ Acutángulo
3.- r > 1 En este caso, los lados del triángulo son: a, a ⋅r, a ⋅r2, y deberá cumplirse que
a ⋅r2 < a+a ⋅r Ô⇒ r2 < 1+r (y además r > 1)
lo que se verifica para
r ∈ [1 ,1+
√5
2]
La diferencia entre el cuadrado del lado mayor y la suma de los cuadrados de los otros dos es:
D= (a ⋅r2)2−(a2+(a ⋅r)2) = a2 ⋅(r4−r2−1) =
= a2 ⋅⎛⎝
r−√
1+√
52
⎞⎠⋅⎛⎝
r+√
1+√
52
⎞⎠⋅(r2+
√5−12
)
lo que nos permite la siguiente clasificación:
a.- 1 < r <√
1+√
52
Ô⇒ D < 0 Ô⇒ Acutángulo
b.- r =√
1+√
52
Ô⇒ D = 0 Ô⇒ Rectángulo
c.-
√1+
√5
2< r < 1+
√5
2Ô⇒ D > 0 Ô⇒ Obtusángulo
Podemos establecer un resumen visual como sigue:
Obtusángulo Acutángulo Obtusángulo
√5−12
√ √5−12
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶Rectángulo
1
√1+
√5
2´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶Rectángulo
1+√
1+√
52
312
Lección 28.- PROGRESIONES ARITMÉTICASDE
ORDEN SUPERIOR
28.1 Progresiones aritméticas de orden superior
28.1 Progresiones aritméticas de orden superior
Llamaremos progresión aritmética de orden p a toda sucesión finita o infinita de números reales que
resulta al calcular los valores de un polinomio de grado p, para valores enteros consecutivos de su varia-
ble.
Al polinomio que sirve para formar la progresión la llamaremos término general de la misma.
Ejemplo 1.- Dado el polinomio: n2+n+1 , a los valores n = 1, 2, 3, 4 corresponden los siguientes términos de
una progresión aritmética de orden 2.
a1 = 3 , a2 = 7 , a3 = 13 , a4 = 21 .
Así, el término general de una progresión aritmética de orden p es de la forma
an = ap ⋅np+ap−1 ⋅np−1+ . . . . . . . . . +a1 ⋅n+a0
¡¡Atención!! Observemos que las progresiones aritméticas “ordinarias” son un caso particular de las
progresiones de orden p. Corresponden al caso p = 1.
El término general es, en este caso, de la forma
d ⋅n+a1
de manera que al dar a n los valores 0, 1, 2, 3, . . . . . . . . . resultan los términos
a1 , a1+d , a1+2 ⋅d , a1+3 ⋅d, . . . . . . . . .
que son los de una progresión aritmética de primer término a1 y razón d.
Cambiar los valores a n significa cambiar de progresión.
Ejemplo 2.- Dado el polinomio n+2, a los valores n = 0, 1, 2, 3, 4 corresponden los siguientes términos de una
progresión aritmética
÷ 2, 3, 4, 5, 6 .
313
Con el mismo polinomio, dando a su variable otros valores, por ejemplo n = 1, 2, 3, 4, 5, obtenemos otra progresión
aritmética
÷ 3, 4, 5, 6, 7 .
Vamos a estudiar ahora lo que llamaremos diferencias finitas de una sucesión de números reales.
Dada una sucesión numérica cualquiera
y1, y2, y3, y4, . . . . . . . . .
haciendo (algoritmo de las diferencias finitas)
∆∆∆y1 = y2−y1 , ∆∆∆y2 = y3−y2 , . . . . . . . . . , ∆∆∆yn = yn+1−yn , . . . . . . . . .
se obtiene otra sucesión numérica, llamada de las diferencias primeras o de primer orden:
∆∆∆y1 , ∆∆∆y2 , ∆∆∆y3 , . . . . . . . . . , ∆∆∆yn , . . . . . . . . .
A partir de esta última sucesión y aplicando el mismo algoritmo se obtiene otra sucesión
∆∆∆2y1 , ∆∆∆
2y2 , ∆∆∆2y3 , . . . . . . . . . , ∆∆∆
2yn , . . . . . . . . .
en la que
∆∆∆2y1 =∆∆∆y2−∆∆∆y1 , ∆∆∆
2y2 =∆∆∆y3−∆∆∆y2 , . . . . . . . . . , ∆∆∆2yn =∆∆∆yn+1−∆∆∆yn , . . . . . . . . .
En forma análoga se obtienen las sucesiones que llamaríamos diferencias terceras, cuartas, etc.
Una buena disposición, que facilita el cálculo de las diferencias sucesivas, es la de escribir en columna
los números de la sucesión dada y en columnas paralelas los de las diferencias finitas. Obtenemos así lo
que en lo sucesivo llamaremos cuadro de las diferencias:
y1
∆∆∆y1
y2 ∆∆∆2y1
∆∆∆y2 ∆∆∆3y1
y3 ∆∆∆2y2 ⋮ ∆∆∆
4y1
∆∆∆y3 ⋮ ⋮ ⋮
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ . . .
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
yn−2 ⋮ ⋮ ⋮ ∆∆∆4yn−4
∆∆∆yn−2 ⋮ ∆∆∆3yn−3
yn−1 ∆∆∆2yn−2
∆∆∆yn−1
yn
314
Observemos que para llegar a una diferencia n-ésima es preciso partir de n+1 valores de y.
Ejemplo 3.- Formar el cuadro de las diferencias finitas a partir de la Sucesión
3, 12, 33, 72, 135, 228, 357 .
yi
Δ yi
Δ yi
Δ2 3 4yi
yi
Δ
39
121221
6
33 18 039
6
72 24 063
6
135 30 093
6
228 36129
357
La siguiente propiedad nos resuelve lo que podríamos llamar un problema recíproco.
PROPOSICIÓN 1. Conocidos los valores ∆∆∆y1 , ∆∆∆2y1 , . . . . . . . . . , ∆∆∆
n−1y1 , la expresión de yn en
función de ellos es la siguiente:
yn = y1+(n−1
1) ⋅∆∆∆y1+(
n−12
) ⋅∆∆∆2y1+ . . . . . . . . . +(
n−1n−1
) ⋅∆∆∆n−1y1 .
En efecto: Recordemos la disposición por columnas de una sucesión y sus sucesivas diferencias finitas
(cuadro de las diferencias)
y1
∆∆∆y1
y2 ∆∆∆2y1
∆∆∆y2 ∆∆∆3y1
y3 ∆∆∆2y2 ⋮ ⋮
∆∆∆y3 ⋮ ⋮ ⋮y4 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
315
Nos facilita esto el escribir las siguientes igualdades
y2 = y1+∆∆∆y1
y3 = y2+∆∆∆y2 = (y1+∆∆∆y1)+(∆∆∆y1+∆∆∆2y1) = y1+2 ⋅∆∆∆y1+∆∆∆
2y1
y4 = y3+∆∆∆y3 = (y1+2 ⋅∆∆∆y1+∆∆∆2y1)+(∆∆∆y2+∆∆∆
2y2) == (y1+2 ⋅∆∆∆y1+∆∆∆
2y1)+[(∆∆∆y1+∆∆∆2y1)+(∆∆∆
2y1+∆∆∆3y1)] =
= y1+3 ⋅∆∆∆y1+3 ⋅∆∆∆ 2y1+∆∆∆3y1
. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Estos resultados se pueden escribir en la forma
y2 = y1+∆∆∆y1
y3 = (20) ⋅y1+(2
1) ⋅∆∆∆y1+(2
2) ⋅∆∆∆ 2y1
y4 = (30) ⋅y1+(3
1) ⋅∆∆∆y1+(3
2) ⋅∆∆∆ 2y1+(3
3) ⋅∆∆∆ 3y1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
expresiones que sugieren que en general se verifique
yn = (n−10
) ⋅y1+(n−11
) ⋅∆∆∆y1+(n−12
) ⋅∆∆∆ 2y1+ . . . . . . . . . +(n−1n−1
) ⋅∆∆∆ n−1y1 .
Así mismo
∆∆∆y2 =∆∆∆y1+∆∆∆2y1
∆∆∆y3 =∆∆∆y2+∆∆∆2y2 = (∆∆∆y1+∆∆∆
2y1)+(∆∆∆2y1+∆∆∆
3y1) ==∆∆∆y1+2 ⋅∆∆∆ 2y1+∆∆∆
3y1
∆∆∆y4 =∆∆∆y3+∆∆∆2y3 = (∆∆∆y1+2 ⋅∆∆∆ 2y1+∆∆∆
3y1)+(∆∆∆2y2+∆∆∆
3y2) ==∆∆∆y1+2 ⋅∆∆∆ 2y1+∆∆∆
3y1+∆∆∆2y1+∆∆∆
3y1+∆∆∆4y1 =
=∆∆∆y1+3 ⋅∆∆∆ 2y1+3 ⋅∆∆∆ 3y1+∆∆∆4y1
. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Expresiones que sugieren que en general se verifique
∆∆∆yn = (n−10
) ⋅∆∆∆y1+(n−11
) ⋅∆∆∆ 2y1+(n−12
) ⋅∆∆∆ 3y1+ . . . . . . . . . +(n−1n−1
) ⋅∆∆∆ ny1
Comprobemos, por inducción, que se verifican simultáneamente las dos fórmulas:
yn = (n−10
) ⋅y1+(n−11
) ⋅∆∆∆y1+(n−12
) ⋅∆∆∆ 2y1+ . . . . . . . . . +(n−1n−1
) ⋅∆∆∆ n−1y1
∆∆∆yn = (n−10
) ⋅∆∆∆y1+((n−1)1
) ⋅∆∆∆ 2y1+(n−12
) ⋅∆∆∆ 3y1+ . . . . . . . . . +(n−1n−1
) ⋅∆∆∆ ny1
316
Evidentemente son ciertas para n = 1.
Supongámoslas, ahora, ciertas para n y veamos que también lo son para n+1. Sumando ambas expresiones
resulta:
yn+∆∆∆yn = (n−10
) ⋅y1+[(n−10
)+(n−11
)] ⋅∆∆∆y1+
+[(n−11
)+(n−12
)] ⋅∆∆∆ 2y1+ . . . . . . . . . . . .+
+[(n−1n−2
)+(n−1n−1
)] ⋅∆∆∆ n−1y1+(n−1n−1
) ⋅∆∆∆ ny1
y como
yn+∆∆∆yn = yn+1
(n−1k−1
)+(n−1k
) = (nk)
(n−10
) = (n0) ; (n−1
n−1) = (n
n)
se tiene
yn+1 = (n0) ⋅y1+(n
1) ⋅∆∆∆y1+(n
2) ⋅∆∆∆ 2y1+ . . . . . . . . . +(n
n) ⋅∆∆∆ ny1
Dado que la sucesión de las diferencias de segundo orden se comportan, respecto de las de primero, como
las diferencias de primer orden respecto de la sucesión y1, y2, . . . . . . . . . , yn repitiendo el proceso anterior
en la forma conveniente resultaría
∆∆∆yn+1 = (n0) ⋅∆∆∆y1+(n
1) ⋅∆∆∆ 2y1+(n
2) ⋅∆∆∆ 3y1+ . . . . . . . . . +(n
n) ⋅∆∆∆ n+1y1
Ejemplo 4.- Conocidos los valoresy1 = 3 , ∆∆∆y1 = 9 , ∆∆∆
2y1 = 12
determinar y3,
Aplicamos la fórmula general, para el caso en que n = 3:
y3 = (20) ⋅y1+(2
1) ⋅∆∆∆y1+(2
2) ⋅∆∆∆ 2y1 =
= y1+2 ⋅∆∆∆y1+∆∆∆2y1 = 3+2 ⋅9+12 = 33
Ejemplo 5.- Conocidos los valores
y1 = 3 , ∆∆∆y1 = 9 , ∆∆∆2y1 = 12 , ∆∆∆
3y1 = 6 , ∆∆∆4y1 = 0
determinar y5.
Aplicamos la fórmula general, para el caso en que n = 5:
y5 = (40) ⋅y1+(4
1) ⋅∆∆∆y1+(4
2) ⋅∆∆∆ 2y1+(4
3) ⋅∆∆∆ 3y1+(4
4) ⋅∆∆∆ 4y1 =
= y1+4 ⋅∆∆∆y1+6 ⋅∆∆∆ 2y1+4 ⋅∆∆∆ 3y1+∆∆∆4y1 =
= 3+4 ⋅9+6 ⋅12+4 ⋅6+0 = 135
317
¡¡Atención!! Como aplicación, muy interesante, del resultado anterior podemos determinar el término
general de una progresión aritmética (de orden superior) a la que pertenece una sucesión de términos
dados. Para ello bastará montar el cuadro de las diferencias y aplicar la fórmula:
yn = (n−1
0) ⋅y1+(
n−11
) ⋅∆∆∆y1+(n−1
2) ⋅∆∆∆
2y1+ . . . . . . . . . +(n−1n−1
) ⋅∆∆∆n−1y1
como se muestra en los ejemplos siguientes.
Ejemplo 6.- Determinar el término n-ésimo de una progresión aritmética la que pertenece, en ese orden, los
números
3, 12, 33, 72, 135, 228, 357 .
Se establece para ello el cuadro de las diferencias, hasta llegar a la columna de ceros:
yi
Δ yi
Δ yi
Δ2 3 4yi
yi
Δ
39
121221
6
33 18 039
6
72 24 063
6
135 30 093
6
228 36129
357
yi
Δ5
Como a partir de la columna de los ∆∆∆4y1 , inclusive, todas son cero, resulta que el término n-ésimo buscado es el:
yn = (n−10
) ⋅y1+(n−11
) ⋅∆∆∆y1+(n−12
) ⋅∆∆∆ 2y1+(n−13
) ⋅∆∆∆ 3y1 =
= (n−10
) ⋅3+(n−11
) ⋅9+(n−12
) ⋅12+(n−13
) ⋅6 =
= 3+(n−1) ⋅9+ (n−1) ⋅(n−2)2
⋅12+ (n−1) ⋅(n−2) ⋅(n−3)6
⋅6 =
= 3+9 ⋅n−9+(n−1) ⋅(n−2) ⋅(n+3) =
= −6+9 ⋅n+n3−7 ⋅n+6 = n3+2 ⋅n
La progresión aritmética a la que pertenecen los números dados resulta ser de orden 3, y su término general es el
yn = n3+2 ⋅n
318
Ejemplo 7.- Determinar el término n-ésimo de una progresión aritmética a la que pertenecen, en ese orden,
los números
3, 12, 33 .
Si planteamos, como en el ejemplo anterior, el cuadro de las diferencias
yi
Δ yi
Δ2 3yi
yi
Δ
39
121221
33
observamos que no llegamos a la esperada columna de ceros. Sin embargo, nada más fácil que completar un cuadro
de diferencias, como sigue:
yi
Δ yi
Δ yi
Δ2 3 4yi
yi
Δ
39
121221
33 1233
0
66
012+021+1233+33
Se obtiene entonces el término n-ésimo buscado:
yn = (n−10
) ⋅y1+(n−11
) ⋅∆∆∆ ⋅y1+(n−12
) ⋅∆∆∆ 2y1 =
= (n−10
) ⋅3+(n−11
) ⋅9+(n−12
) ⋅12 =
= 3+(n−1) ⋅9+ (n−1) ⋅(n−2)2
⋅12 =
= 3+9 ⋅n−9+6 ⋅(n−1) ⋅(n−2) =
= 6 ⋅n2−9 ⋅n+6
La progresión aritmética a la que pertenecen los números dados (3, 12, y 33) resulta ser de orden 2, y su término
general es el
yn = 6 ⋅n2−9 ⋅n+6
Evidentemente a la misma progresión, como cuarto término, pertenece el número 66.
319
¡¡Atención!! Los ejemplos anteriores nos muestran el procedimiento para obtener el término general de
la progresión de menor orden posible determinada por los números dados.
Veamos con otro ejemplo como, si no pretendemos el orden mínimo, el número de soluciones es infinito.
Ejemplo 8.- Determinar el término n-ésimo de una progresión aritmética a la que pertenecen, en ese orden,
los números
3, 12, 33 .
Para obtener un resultado distinto, al del ejemplo anterior, tendremos que ampliar el cuadro de las diferencias con
un número distinto del cero, lo que desencadena un proceso para completar dicho cuadro.
Partamos, por ejemplo, del número 2:
yi
Δ yi
Δ yi
Δ2 3 4yi
yi
Δ
39
121221
33 14 035
2
68 1651
2
119
yi
Δ5
El término n-ésimo resulta entonces ser
yn = (n−10
) ⋅y1+(n−11
) ⋅∆∆∆y1+(n−12
) ⋅∆∆∆ 2y1+(n−13
) ⋅∆∆∆ 3y1 =
= (n−10
) ⋅3+(n−11
) ⋅9+(n−12
) ⋅12+(n−13
) ⋅2 =
= 3+(n−1) ⋅9+ (n−1) ⋅(n−2)2
⋅12+ (n−1) ⋅(n−2) ⋅(n−3)6
⋅2 =
= 13⋅n3+4 ⋅n2− 16
3⋅n+4
La progresión aritmética a la que pertenecen los números dados (3, 12, y 33) resulta ser de orden 3, y su término
general es el
yn =13⋅n3+4 ⋅n2− 16
3⋅n+4
Si en lugar de haber considerado el número 2, hubiéramos arrancado con el número 6, la progresión, también de
orden 3, hubiese tenido como término general el
yn = n3+2 ⋅n2
tal como aparece en un ejemplo anterior.
Por otra parte si hubiésemos querido obtener una progresión de orden 4, tendríamos que haber partido de dos valores
no nulos y distintos en la columna ∆∆∆3y1 y completado el cuadro, como hemos hecho antes.
320
Vamos a considerar, ahora, en particular, diferencias finitas de sucesiones de términos correspondientes
a progresiones aritméticas (de orden p). Se verifica entonces la propiedad siguiente:
PROPOSICIÓN 2. Las diferencias primeras de los términos de una progresión aritmética de orden
p forman una progresión aritmética de orden p−1.
En efecto: Bastará probar que el término general de la sucesión de las diferencias primeras es un polinomio
de grado p−1. Para ello escribimos
yn = ap ⋅np+ap−1 ⋅np−1+ . . . . . . . . . +a1 ⋅n+a0
yn+1 = ap ⋅(n+1)p+ap−1 ⋅(n+1)p−1+ . . . . . . . . . +a1 ⋅(n+1)+a0
que restadas miembro a miembro dan
∆∆∆yn = yn+1−yn = p ⋅ap−1+ . . . . . . . . .
que es un polinomio de grado p−1, como nos interesaba demostrar.
Ejemplo 9.- Consideremos la progresión aritmética de orden 3.
3, 12, 33, 72, 135, 228, 357
cuyo término general es el
yn = n3+2 ⋅n
tal como hemos determinado en un ejemplo anterior.
Formemos su correspondiente cuadro de las diferencias,
yi
Δ yi
Δ yi
Δ2 3 4yi
yi
Δ
39
121221
6
33 18 039
6
72 24 063
6
135 30 093
6
228 36129
357
Si consideramos ahora la sucesión formada por las diferencias primeras
9, 21, 39, 63, 93, 129
321
resulta que éstas forman una progresión aritmética de orden 2, ya que si formamos el cuadro de las diferencias
yi
Δ yi
Δ2 3yi
yi
Δ
912
21
6
18 039
6
24 063
6
30 093
6
36129
obtenemos como término general, para dicha solución, el
yn = (n−10
) ⋅y1+(n−11
) ⋅∆∆∆y1+(n−12
) ⋅∆∆∆ 2y1 =
= (n−10
) ⋅9+(n−11
) ⋅12+(n−12
) ⋅6 =
= 9+(n−1) ⋅12+ (n−1) ⋅(n−2)2
⋅6 =
= 9+12 ⋅n−12+3 ⋅(n−1) ⋅(n−2) ⋅6 =
= 3 ⋅n2+3 ⋅n+18
lo que establece que, efectivamente, se trata de una progresión aritmética de orden 2.
Resulta así que, como las diferencias segundas son diferencias primeras de las diferencias primeras,
formarán una progresión aritmética de orden p−2. Así mismo las diferencias terceras formarán una pro-
gresión aritmética de orden p−3; etc. Las diferencias de orden p−1 formarán una progresión aritmética
de orden 1, es decir ordinaria. Por último, las diferencias de orden p serán constantes y todas las demás
serán nulas.
Ejemplo 10.- Continuando con el ejemplo anterior, en el que partíamos de la progresión aritmética de orden 3,
3, 12, 33, 72, 135, 228, 357
la sucesión de las diferencias segundas es
12, 18, 24, 30, 36
322
que es una progresión aritmética de orden 1, ya que si formamos su cuadro de diferencias
yi
Δ2yi
yi
Δ
12
6
18 06
24 06
30 06
36
obtenemos como término general, para dicha sucesión el
yn = (n−10
) ⋅y1+(n−11
) ⋅∆∆∆y1 = (n−10
) ⋅12+(n−11
) ⋅6 = 12+(n−1) ⋅6 = 6 ⋅n+6
lo que establece que, efectivamente, se trata de una progresión aritmética de orden 1, es decir ordinaria.
Observemos así mismo que las diferencias de orden 3 de la progresión inicial son constantes (e iguales a 6) y todas
las demás son nulas.
Después de lo que nos han mostrado los ejemplos anteriores, la siguiente propiedad no puede sorpren-
dernos. En otro planteamiento hubiera podido incluso, servir para definir las progresiones aritméticas de
orden superior.
PROPOSICIÓN 3. Si las diferencias de orden p de los números de la sucesión
y1, y2, y3, . . . . . . . . . , yn
son constantes, estos números son términos consecutivos de una progresión aritmética de orden p.
En efecto: Al ser constantes las diferencias de orden p serán ambas las diferencias de órdenes
superiores a p:
∆∆∆p+1y1 = 0 , ∆∆∆
p+2y1 = 0 ,. . . . . . . . .
luego
yn = y1+(n−11
) ⋅∆∆∆y1+(n−12
) ⋅∆∆∆ 2y1+ . . . . . . . . . +(n−1p
) ⋅∆∆∆ py1
y como
(n−1p
) = (n−1) ⋅(n−2) ⋅ . . . . . . . . . ⋅(n−p)p!
resulta que yn es un polinomio de grado p en n, luego la sucesión dada es una progresión aritmética de
orden p.
323
Ejemplo 11.- Dada la sucesión: 1, 3, 5, 13, se verifica que las diferencias de orden 2 son constantes
yi
Δ2yi
yi
Δ
1
3 22
7 24
136
con lo que los números de la sucesión dada son términos consecutivos de una progresión aritmética de orden 2, de
término general:
yn = n2−n+1 .
Vamos ahora a resolver el problema de sumar los términos de una progresión aritmética de orden p.
Dada la progresión
y1, y2, y3, . . . . . . . . . , yn
sabemos que podemos escribir
y1 = y1
y2 = (10) ⋅y1+(
11) ⋅∆∆∆ ⋅y1
y3 = (20) ⋅y1+(
21) ⋅∆∆∆ ⋅y1+(
22) ⋅∆∆∆ 2y1
y4 = (30) ⋅y1+(
31) ⋅∆∆∆ ⋅y1+(
32) ⋅∆∆∆ 2y1+(
33) ⋅∆∆∆ 3y1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
yn = (n−1
0) ⋅y1+(
n−11
) ⋅∆∆∆y1+(n−1
2) ⋅∆∆∆ 2y1+(
n−13
) ⋅∆∆∆ 3y1+ . . . . . . +(n−1n−1
) ⋅∆∆∆ n−1y1
Sumando las igualdades anteriores ordenadamente y recordando que, para todo k ⩽ n,
(kk)+(
k+1k
)+(k+2
k)+ . . . . . . . . . . . . +(
nk) = (
n+1k+1
)
resulta la fórmula que nos da la suma de los n términos de la progresión aritmética dada:
Sn = (n1) ⋅y1+(
n2) ⋅∆∆∆y1+(
n3) ⋅∆∆∆
2y1+(n4) ⋅∆∆∆
3y1+ . . . . . . . . . . . . +(nn) ⋅∆∆∆
n−1y1
324
Ejemplo 12.- Determinar la suma de los cuatro primeros términos de la progresión aritmética, de orden 3,
3, 12, 33, 72, 135, 228, 357 .
Formemos el cuadro de las diferencias y aplicamos la fórmula anterior:
yi
Δ yi
Δ yi
Δ2 3 4yi
yi
Δ
39
121221
6
33 18 039
6
72 24 063
6
135 30 093
6
228 36129
357
S4 = (41) ⋅y1+(4
2) ⋅∆∆∆y1+(4
3) ⋅∆∆∆ 2y1+(4
4) ⋅∆∆∆ 3y1 =
= (41) ⋅3+(4
2) ⋅9+(4
3) ⋅12+(4
4) ⋅6 =
= 4 ⋅3+ 4 ⋅32
⋅9+ 4 ⋅3 ⋅22
⋅12+1 ⋅6 =
= 12+54+48+6 = 120
Evidentemente, el ejemplo anterior sólo pretende ilustrar la aplicación de la fórmula de la suma. La
utilidad de dicha fórmula se puede apreciar, ya, en el ejemplo siguiente:
Ejemplo 13.- Sumar la progresión aritmética, de orden 3, cuyo término general es el
yn = n3+2 ⋅n ,
y cuyos 500 términos son:
3, 12, 33, 72, 135, 228, 357, . . . . . . . . . , 125001000 .
325
Formamos el cuadro de las diferencias y aplicamos la fórmula de la suma de n términos de la progresión aritmética
dada:
yi
Δ yi
Δ yi
Δ2 3 4yi
yi
Δ
39
121221
6
33 18 039
6
72 24 063
6
135 30 093
6
228 36129
357
528
17142
60
Sn = (n1) ⋅y1+(n
2) ⋅∆∆∆y1+(n
3) ⋅∆∆∆ 2y1+ . . . . . . . . . . . . +(n
n) ⋅∆∆∆ n−1y1
Como en nuestro caso es n = 500, y a partir de la ∆∆∆4y1, inclusive, todas las diferencias son cero, se tiene
S500 = (5001
) ⋅3+(5002
) ⋅9+(5003
) ⋅12+(5004
) ⋅6 =
= 500 ⋅3+ 500 ⋅4992
⋅9+ 500 ⋅499 ⋅4986
⋅12+ 500 ⋅499 ⋅498 ⋅49724
⋅6 =
= 15687813000
Ejemplo 14.- En la progresión aritmética del ejemplo anterior
3, . . . . . . . . . . . . , 12500100500
cuyo término general es el
yn = n3+2 ⋅n
sumar los diez primeros términos.
Basta hacer, ahora, n = 10 en la fórmula de la suma:
S10 = (101) ⋅3+(10
2) ⋅9+(10
3) ⋅12+(10
4) ⋅6 =
= 10 ⋅3+ 10 ⋅92
⋅9+ 10 ⋅9 ⋅86
⋅12+ 10 ⋅9 ⋅8 ⋅724
⋅6 = 3135
326
¡¡Atención!! Tal como debe ser, la suma de una progresión aritmética ordinaria es un caso particular
de suma de una progresión aritmética de orden p, cuando p = 1.
Ejemplo 15.- Sumar la progresión aritmética ordinaria
÷ 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20 .
Se verifica: d = 3, a1 = 2 y n = 7, luego:
S = (a1+an) ⋅n2
= (2 ⋅a1+(n−1) ⋅d) ⋅n2
= (2 ⋅2+(7−1) ⋅3) ⋅72
= 77
El tratamiento general que hubiéramos dado al problema, de no habernos dado cuenta que se trataba de una progre-
sión aritmética ordinaria, sería el siguiente:
yi
Δ2yi
yi
Δ
23
5
0
38
0
311
0
317
0
320
S = (71) ⋅2+(7
2) ⋅3 = 7 ⋅2+ 7 ⋅6
2⋅3 = 77 ,
resultado que coincide con el obtenido más arriba.
Veamos ahora unos cuantos ejemplos más sobre progresiones aritméticas de orden superior y sus aplica-
ciones.
Ejemplo 16.- Hallar la suma de los cubos de los n primeros números de N∗, es decir
S = 13+23+33+ . . . . . .
Se trata de sumar la progresión
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, . . . . . . . . . . . . , n3
327
Establecemos el correspondiente cuadro de las diferencias
yi
Δ yi
Δ yi
Δ2 3 4yi
yi
Δ
17
12819
6
27 18 037
6
64 24 061
6
125 30 091
6
216 36127
343
lo que nos permite obtener la suma buscaba
Sn = (n1) ⋅1+(n
2) ⋅7+(n
3) ⋅12+(n
4) ⋅6 =
= n+ n ⋅(n−1)2
⋅7+ n ⋅(n−1) ⋅(n−2)6
⋅12+ n ⋅(n−1) ⋅(n−2) ⋅(n−3)24
⋅6 =
= n2 ⋅(n+1)2
4
Ejemplo 17.- Dada la progresión
3, 5, 13, 27, 47, . . . . . . . . .
se trata de determinar la suma de los ocho primeros términos.
En primer lugar formamos el cuadro de las diferencias
yi
Δ yi
Δ2 3yi
yi
Δ
32
58 0
13
6
14 027
6
2047
6
se trata de una progresión aritmética de segundo orden, cuyo término general es
yn = 3+(n−11
) ⋅2+(n−12
) ⋅6 = 3 ⋅n2−7 ⋅n+7
328
siendo la suma de sus n primeros términos
Sn = (n1) ⋅3+(n
2) ⋅2+(n
3) ⋅6 = n3−2 ⋅n2+4 ⋅n
En particular, si n = 8, resulta
S8 = 83−2 ⋅82+4 ⋅8 = 416 .
Ejemplo 18.- Dada la progresión
2 ⋅n, 5 ⋅(n−1), 8 ⋅(n−2), 11 ⋅(n−3), . . . . . . . . .
se trata de determinar la suma de los n primeros términos.
En primer lugar formamos el cuadro de las diferencias
yi
Δ2 yi
Δ3yi
yi
Δ
2·n3·n-5
5·(n-1)
8·(n-2)
11·(n-3)
3·n-11
3·n-17-6
-60
se trata de una progresión aritmética de segundo orden, en la que la suma de sus n primeros términos vale
Sn = (n1) ⋅2 ⋅n+(n
2) ⋅(3 ⋅n−5)+(n
3) ⋅(−6) =
= 2 ⋅n2+ n ⋅(n−1)2
⋅(3 ⋅n−5)+ n ⋅(n−1) ⋅(n−2)3 ⋅2 ⋅(−6) =
= n ⋅(n+1)2
2
Ejemplo 19.- Determinar el orden de la progresión aritmética a la que pertenecen los números
2, 4, 12, 32, 70, 132, 224
así como la expresión del término general y la suma de los n primeros términos.
329
En primer lugar establecemos el correspondiente cuadro de las diferencias
yi
Δ yi
Δ yi
Δ2 3 4yi
yi
Δ
22
648
6
12 12 020
6
32 18 038
6
70 24 062
6
132 3092
224
El orden de las últimas diferencias no nulas es 3 (pues ∆∆∆3y1 = 6 y ∆∆∆
4y1 = 0), luego la progresión aritmética de
menor orden dentro de las que contienen a los números dados es 3. Por otra parte, la expresión del término general
de dicha progresión es
yn = (n−10
) ⋅y1+(n−11
) ⋅∆∆∆ ⋅y1+(n−12
) ⋅∆∆∆ 2y1+(n−13
) ⋅∆∆∆ 3y1 =
= (n−10
) ⋅2+(n−11
) ⋅2+(n−12
) ⋅8+(n−13
) ⋅6 =
= n3−3 ⋅n2+4 ⋅n
y la expresión de la suma de los n primeros términos de esa progresión es
Sn = (n1) ⋅y1+(n
2) ⋅∆∆∆y1+(n
3) ⋅∆∆∆ 2y1+(n
4) ⋅∆∆∆ 3y1 =
= (n1) ⋅2+(n
2) ⋅2+(n
3) ⋅6+(n
4) ⋅6 =
= n4−2 ⋅n3+3 ⋅n2+6 ⋅n4
Ejemplo 20.- Hallar el término general de la sucesión
1 ⋅31
,3 ⋅83
,5 ⋅15
6,
7 ⋅2411
,9 ⋅3519
,11 ⋅48
31, . . . . . . . . . . . .
Buscamos los términos generales de las sucesiones que forman cada uno de los factores de los numeradores y los
denominadores, es decir1, 3, 5, 7, 9, 11, . . . . . . . . .
3, 8, 15, 24, 35, 48, . . . . . .
1, 3, 6, 11, 19, 31, . . . . . . .
330
Los términos de la primera sucesión corresponden a una progresión aritmética ordinaria, de término general
un = 2 ⋅n−1 ;
los de la segunda a una progresión aritmética de orden 2, de término general
vn = n2+2 ⋅n ;
y los de la tercera a una progresión aritmética de orden 3, de término general
wn =n3−3 ⋅n2+14 ⋅n−6
6.
Resulta así que, el término general de la sucesión dada es:
yn =un ⋅vn
wn= 6 ⋅(2 ⋅n−1) ⋅(n2+2 ⋅n)
n3−3 ⋅n2+14 ⋅n−6.
Ejemplo 21.- Colocados los números impares, por filas, en la forma
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
21 23 25 27 29
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
determinar la suma de los números de la fila n-ésima.
Los primeros términos de cada fila, es decir la primera columna, forman una progresión aritmética de segunda orden,
puesto queyi
Δ yi
Δ2 3yi
yi
Δ
12
34 0
7
2
6 013
2
821
2
y su término general es
yn = (n−10
) ⋅1+(n−11
) ⋅2+(n−12
) ⋅2 = n2−n+1
Por otra parte cada una de las filas constituye una progresión aritmética ordinaria, de razón d = 2, siendo el número
de términos de la fila n-ésima igual a n.
Por tanto, para determinar la suma de los términos de la fila n-ésima bastará aplicar la fórmula general
S = (a1+a1+(n−1) ⋅d) ⋅n2
331
siendo:a1 = n2−n+1
d = 2
n = nAsí resulta
S =(n2−n+1+n2−n+1(n−1) ⋅2) ⋅n
2= n3
Ejemplo 22.- Colocados los términos de la progresión aritmética
÷ 1, 5, 9, 13, . . . . . . . . .
por filas, en la forma1
5 9 13
17 21 25 29 33
37 41 45 49 53 57 61
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
determinar la suma de los números de la fila n-ésima.
Los primeros términos de cada fila, es decir la primera columna, forman una progresión aritmética de segundo orden,
puesto que
yi
Δ yi
Δ2 3yi
yi
Δ
14
5
8
12 017
8
20 037
8
28 065
8
36101
y su término general es
yn = (n−10
) ⋅1+(n−11
) ⋅4+(n−12
) ⋅8 = 4 ⋅n2−8 ⋅n+5
Por otra parte, cada una de las filas constituye una progresión aritmética ordinaria, de razón d = 4, siendo el número
de términos de la fila n-ésima igual a 2 ⋅n−1.
Por tanto, para determinar la suma de los números de la fila n-ésima bastará aplicar la fórmula general
S = (a1+a1+(n−1) ⋅d) ⋅n2
siendo:a1 = 4 ⋅n2−8 ⋅n+5
d = 4
n = 2 ⋅n−1
332
Así resulta
S =[4 ⋅n2−8 ⋅n+5+4 ⋅n2−8 ⋅n+5+(2 ⋅n−1−1) ⋅4] ⋅(2 ⋅n−1)
2= 8 ⋅n3−12 ⋅n2+6 ⋅n−1 .
Ejemplo 23.- Dada la progresión
1, 3, 11, 31, 69, 131, . . . . . . . . .
se trata de determinar el lugar que ocupa en ella el término 8021.
En primer lugar formaremos el cuadro de las diferencias
yi
Δ yi
Δ yi
Δ2 3 4yi
yi
Δ
12
638
11 12 020
6
31 18 038
6
69 2462
6
131
se trata de una progresión aritmética de tercer orden cuyo término general es
yn = 1+(n−11
) ⋅2+(n−12
) ⋅6+(n−13
) ⋅6 =
= 1+2 ⋅(n−1)+3 ⋅(n−1) ⋅(n−2)+(n−1) ⋅(n−2) ⋅(n−3) == n3−3 ⋅n2+4 ⋅n−1
si hacemos ahora
n3−3 ⋅n2+4 ⋅n−1 = 8021
resulta
n = 21
(las otras dos raíces son imaginarias)
Ejemplo 24.- Calcular la suma de los productos binarios de los números:
1, 2, 3, 4, . . . . . . . . . , n .
Podemos ordenar los productos binarios como sigue:
S = 1 ⋅2+1 ⋅3+1 ⋅4+1 ⋅5+1 ⋅6+ . . . . . . . . . . . . +1 ⋅(n−1)+1 ⋅n++2 ⋅3+2 ⋅4+2 ⋅5+2 ⋅6+ . . . . . . . . . . . . +2 ⋅(n−1)+2 ⋅n+
+3 ⋅4+3 ⋅5+3 ⋅6+ . . . . . . . . . . . . +3 ⋅(n−1)+3 ⋅n+. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
+(n−2) ⋅(n−1)+(n−2) ⋅n++(n−1) ⋅n .
333
y sumando por columnas resulta
S = 1 ⋅2+3 ⋅(1+2)+4 ⋅(1+2+3)+5 ⋅(1+2+3+4)+ . . . +(n−1) ⋅(1+ . . . +(n−2))+n ⋅(1+ . . . +n−1)
El último término se puede expresar como sigue:
n ⋅(1+2+3+ . . . . . . . . . +(n−1))´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
progresión aritmética
= n ⋅ [1+(n−1)] ⋅(n−1)2
= n3−n2
2
que resulta ser, por tanto, el término general de la progresión S, lo que nos permite escribir como suma de la misma:
S =n∑p=2
p3−p2
2= 1
2⋅⎛⎝
n∑p=2
p3−n∑p=2
p2⎞⎠= 1
2⋅⎛⎝
n∑p=1
p3−n∑p=1
p2⎞⎠
siendon∑p=1
p3 yn∑p=1
p2 , sendas progresiones aritméticas de orden superior, que pasamos a sumar.
Paran∑p=1
p3 tenemos:
n∑p=1
p3 = 1+8+27+64+125+216+343+ . . . . . . . . . +n3
Formamos ahora su cuadro de las diferencias finitas
yi
Δ yi
Δ yi
Δ2 3 4yi
yi
Δ
17
12819
6
27 18 037
6
64 24 061
6
125 30 091
6
216 36127
343
A partir de la columna ∆∆∆4y1 , inclusive, todas son cero; por tanto, el término n-ésimo buscado es el
yn = (n−10
) ⋅y1+(n−11
) ⋅∆∆∆ ⋅y1+(n−12
) ⋅∆∆∆ 2y1+(n−13
) ⋅∆∆∆ 3y1 =
= 1+(n−1) ⋅7+ (n−1) ⋅(n−2)2
⋅12+ (n−1) ⋅(n−2) ⋅(n−3)6
⋅6 =
= 1+7 ⋅n−7+6 ⋅(n2−3 ⋅n+2)+n3−6 ⋅n2+11 ⋅n−6 == (1−7+12−6)+(7−18++11) ⋅n+(6−6) ⋅n2+n3 == n3
resultado, este, evidentemente previsible.
Paran∑p=1
p2 tenemos:
n∑p=1
p2 = 1+4+9+16+25+36+ . . . . . . . . . +n2
334
Formamos ahora su cuadro de las diferencias
yi
Δ yi
Δ2 3yi
yi
Δ
13
4
2
5 09
2
7 016
2
9 025
2
1136
A partir de la columna ∆∆∆3y1 , inclusive, todas son cero; por tanto, el término n-ésimo buscado es el
yn = (n−10
) ⋅y1+(n−11
) ⋅∆∆∆ ⋅y1+(n−12
) ⋅∆∆∆ 2y1 =
= 1+(n−1) ⋅3+ (n−1) ⋅(n−2)2
⋅2 =
= 1+3 ⋅n−3+n2−3 ⋅n+2 =
= (1−3+2)+(3−3) ⋅n+n2 = n2
resultado, este, como en el caso anterior, evidentemente previsible.
Con los datos obtenidos pasamos a determinar los sumatorios que nos interesan para calcular la suma que nos
interesa:
n∑p=1
p3 = (n1) ⋅1+(n
2) ⋅7+(n
3) ⋅12+(n
4) ⋅6 =
= n+ n ⋅(n−1)2
⋅7+ n ⋅(n−1) ⋅(n−2)6
⋅12+ n ⋅(n−1) ⋅(n−2) ⋅(n−3)24
⋅6 =
= 14⋅n4+ 1
2⋅n3+ 1
4⋅n2 = n2 ⋅(n+1)2
4n∑p=1
p2 = (n1) ⋅1+(n
2) ⋅3+(n
3) ⋅2 = n+ n ⋅(n−1)
2⋅3+ n ⋅(n−1) ⋅(n−2)
6⋅2 =
= 16⋅n+ 1
2⋅n2+ 1
3⋅n3 = n ⋅(n+1) ⋅(2 ⋅n+1)
6Luego, la suma pedida será:
S= 12⋅⎡⎢⎢⎢⎢⎣
n∑p=1
p3−n∑p=1
p2⎤⎥⎥⎥⎥⎦= 1
2⋅[ 1
4⋅n4+ 1
6⋅n3− 1
4⋅n2− 1
6⋅n] =
= 3 ⋅n4+2 ⋅n3−3 ⋅n2−2 ⋅n24
= n ⋅(n−1) ⋅(n+1) ⋅(3 ⋅n+2)24
335
Lección 29.- PROGRESIONES ARITMÉTICO - GEOMÉTRICAS
29.1 Progresiones aritmético - geométricas
29.1 Progresiones aritmético - geométricas
Llamaremos progresión aritmético - geométrica a toda sucesión finita o infinita de números reales,
cada uno de ellos expresado como producto de otros dos
a1 ⋅b1 , a2 ⋅b2 , a3 ⋅b3 , . . . . . . . . . , an ⋅bn , . . . . . . . . .
construyendo, la sucesión de los primeros factores: a1 , a1 , . . . . . . . . . , an , . . . . . . . . . una progresión
aritmética, y la de los segundos: b1 , b1 , . . . . . . . . . , bn , . . . . . . . . . una progresión geométrica.
Diremos que la progresión aritmético - geométrica es de orden p si la progresión aritmética : a1 , a1 , . . .
. . . . . . , an , . . . . . . es de orden p.
Ejemplo 1.- A partir de la progresión aritmética de orden dos
3 , 6 , 11 , . . . . . . . . . , n2+2
y de la progresión geométrica
1 , 3 , 9 , . . . . . . . . . , 3n−1
se forman la progresión aritmética - geométrica, de orden dos,
3 ⋅1 , 6 ⋅3 , 11 ⋅9 , . . . . . . . . . , (n2+2) ⋅3n−1
o lo que es lo mismo
3 , 18 , 99 , . . . . . . . . . , (n2+2) ⋅3n−1
Ejemplo 2.- La sucesión siguiente
2 , 12 , 54 , 216 , 810 , . . . . . . . . . , 2 ⋅n ⋅3n−1
es una progresión aritmética - geométrica de primer orden, puesto que sus términos se pueden expresar en la forma
siguiente
1 ⋅2 , 2 ⋅6 , 3 ⋅18 , 4 ⋅54 , 5 ⋅162 , . . . . . . . . . , n ⋅(2 ⋅3n−1)
en donde
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , . . . . . . . . . , n
es una progresión aritmética de primer orden, y
2 , 6 , 18 , 54 , 162 , . . . . . . . . . , 2 ⋅3n−1
es una progresión geométrica (cuyo primer término es 2 y su razón vale 3).
337
Un problema que interesa resolver es el de sumar los términos de una progresión aritmético - geométrica.
Si la progresión es de primer orden vamos a ver que existe una fórmula que nos resuelve el problema; si
por el contrario la progresión es de orden superior hay que proceder por pasos sucesivos, “reduciendo” el
problema hasta llegar a tratar una de primer orden. Veamos primero el caso de una progresión de primer
orden; sea ésta la siguiente:
a ⋅b , (a+b) ⋅b ⋅r , (a+2 ⋅d) ⋅b ⋅r2 , . . . . . . . . . , (a+(n−1) ⋅d) ⋅b ⋅rn−1 .
La suma de los términos de esta progresión se expresa así:
S = a ⋅b+(a+d) ⋅b ⋅r+(a+2 ⋅d) ⋅b ⋅r2+ . . . . . . . . . +(a+(n−1) ⋅d) ⋅b ⋅rn−1
Multiplicando ambos miembros por r, razón de la progresión geométrica, se tiene
S ⋅r = a ⋅b ⋅r+(a+d) ⋅b ⋅r2+(a+2 ⋅d) ⋅b ⋅r3
+ . . . . . . . . . +(a+(n−1) ⋅d) ⋅b ⋅rn
y restando de la anterior, la igualdad obtenida resulta:
S ⋅(1−r) = a ⋅b+d ⋅r ⋅(b+b ⋅r+b ⋅r2+ . . . . . . . . . +b ⋅rn−2
+b ⋅rn−1)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
suma de la progresión geométrica
−(a+n ⋅d) ⋅b ⋅rn
b , b ⋅r , b ⋅r2 , . . . . . . . . . , b ⋅rn−1
que vale:b−b ⋅rn
1−res decir
S ⋅(1−r) = a ⋅b−(a+n ⋅d) ⋅b ⋅rn+d ⋅r ⋅
b−b ⋅rn
1−rDespejando ahora S, obtenemos la fórmula de la suma de los términos de la progresión aritmético -
geométrica de primer orden dada:
S =a ⋅b−(a+n ⋅d) ⋅b ⋅rn
1−r+d ⋅r ⋅
b−b ⋅rn
(1−r)2
Ejemplo 3.- Sumar la progresión aritmético - geométrica de primer orden
4 ⋅2 , (4+5) ⋅2 ⋅3 , (4+25) ⋅2 ⋅32 , (4+3 ⋅5) ⋅2 ⋅33 , . . . . . . . . .
Se tiene que
a = 4 , d = 5 , b = 2 , r = 3 , n = 4
luego
S = 4 ⋅2−(4+4 ⋅5) ⋅2 ⋅34
1−3+5 ⋅3 ⋅ 2−2 ⋅34
(1−3)2 = 1340
338
¡¡Atención!! Dado que una fórmula, tal como la anterior, puede olvidarse con facilidad, resulta muy
interesante en ambos casos tratar de recordar su proceso de obtención y rehacerlo, en el caso particular
que nos planteen. Aplicamos esto al ejemplo anterior.
Ejemplo 4.- Sumar la progresión aritmético - geométrica de primer orden
4 ⋅2 , (4+5) ⋅2 ⋅3 , (4+2 ⋅5) ⋅2 ⋅32 , (4+3 ⋅5) ⋅2 ⋅33 .
La suma se expresa así
S = 4 ⋅2+(4+5) ⋅2 ⋅3+(4+2 ⋅5) ⋅2 ⋅32+(4+3 ⋅5) ⋅2 ⋅33
Multiplicando ambos miembros por r = 3 se tiene
S ⋅3 = 4 ⋅2 ⋅3+(4+5) ⋅2 ⋅32+(4+2 ⋅5) ⋅2 ⋅33+(4+3 ⋅5) ⋅2 ⋅34
Restando ahora esas dos igualdades resulta
S ⋅(1−3) = 4 ⋅2+5 ⋅2 ⋅3+5 ⋅2 ⋅32+5 ⋅2 ⋅33−(4+3 ⋅5) ⋅2 ⋅34
o lo que es lo mismo (sumando y restando 5 ⋅2 ⋅34 al segundo miembro)
S ⋅(1−3) = 4 ⋅2+5 ⋅2 ⋅3+5 ⋅2 ⋅32+5 ⋅2 ⋅53+5 ⋅2 ⋅34−(4+4 ⋅5) ⋅2 ⋅34
de donde
S ⋅(1−3) = 4 ⋅2+5 ⋅3 ⋅(2+2 ⋅3+2 ⋅32+2 ⋅33)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
2−2 ⋅34
1−3
−(4+4 ⋅5) ⋅2 ⋅34
Así obtendremos
S ⋅(1−3) = 4 ⋅2−(4+4 ⋅5) ⋅2 ⋅34+5 ⋅3 ⋅ 2−2 ⋅34
1−3de donde podemos despejar S:
S = 4 ⋅2−(4+4 ⋅5) ⋅2 ⋅34
1−3+5 ⋅3 ⋅ 2−2 ⋅34
1−3= 1340
La llamada de “atención” y la repetición del ejemplo anterior se justifican aún más, si cabe, ante el
planteamiento que vamos a hacer para sumar progresiones aritmético - geométricas de orden superior,
tal como ya anunciamos antes.
Si la progresión es de orden p, se opera como cuando la progresión era de primer orden, expresándose
entonces su suma en función de otra progresión de orden p−1; se sumará ésta, que quedaría en función
de otra de orden p−2, y así sucesivamente hasta llegar a una progresión de primer orden, a la cual se
aplica la “fórmula” antes establecida.
Los siguientes ejemplos pretenden aclarar esta metodología.
339
Ejemplo 5.- Sumar la progresión aritmético - geométrica de tercer orden
1 ⋅1 , 8 ⋅3 , 27 ⋅32 , 64 ⋅33
La suma se expresa así
S = 1 ⋅1+8 ⋅3+27 ⋅32+64 ⋅33
Multiplicando ambos miembros por r′ = 3, razón de la progresión geométrica, se tiene
S ⋅3 = 1 ⋅3+8 ⋅32+27 ⋅33+64 ⋅34
Restando ahora estas dos igualdades resulta
S ⋅(1−3) = 1−64 ⋅34+3 ⋅ (7+19 ⋅3+37 ⋅32)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
progresión aritmético - geométrica
de segundo orden de suma S′
Calculamos ahora la suma de la progresión que figura en el paréntesis
S′ = 7+19 ⋅3+37 ⋅32
Por tratarse de una progresión aritmético - geométrica de segundo orden procederemos como en el ejemplo anterior,
reduciendo el problema al de sumar una de primer orden.
Multiplicando ambos miembros por r′ = 3, razón de la progresión geométrica, se tiene
S′ ⋅3 = 7 ⋅3+19 ⋅32+37 ⋅33
Restando estas dos últimas igualdades resulta
S′ ⋅(1−3) = 7−37 ⋅33+3 ⋅ (12+18 ⋅3)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
progresión aritmético - geométrica
de primer orden de suma S′′
Obtenida S′′ (en este caso es muy sencillo, pero en general se procedería como en el ejemplo anterior)
S′′ = 66 ,
se calcula S′ :
S′ = 7−37 ⋅33+3 ⋅66−2
= 397
y finalmente S :
S = 1−64 ⋅34+3 ⋅397−2
= 1996
340
Ejemplo 6.- Sumar la progresión aritmético - geométrica de segundo orden
2 ⋅1 , 5 ⋅3 , 10 ⋅32 , 17 ⋅33 , . . . . . . . . . , 9802 ⋅398 , 10001 ⋅399
La suma se expresa así
S = 2 ⋅1+5 ⋅3+10 ⋅32+17 ⋅33+ . . . . . . . . . +9802 ⋅398+10001 ⋅399
Multiplicando ambos miembros por r = 3, razón de la progresión geométrica, se tiene
S ⋅3 = 2 ⋅3+5 ⋅32+10 ⋅33+17 ⋅34+ . . . . . . . . . +9802 ⋅399+10001 ⋅3100
Restando ahora esas dos igualdades resulta
S ⋅(1−3) = 2−10001 ⋅3100+3 ⋅ (3+5 ⋅3+7 ⋅32+ . . . . . . . . . +199 ⋅398)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶progresión aritmético - geométrica de
primer orden de S′
Calculamos ahora la suma de la progresión que figura en el paréntesis
S′ = 3 ⋅1+(3+2) ⋅3+(3 ⋅2 ⋅2) ⋅32+ . . . . . . . . . +(3+98 ⋅2) ⋅398
multiplicando ambos miembros por r′ = 3, razón de la progresión geométrica,
S′ ⋅3 = 3 ⋅1 ⋅3+(3+2) ⋅32+(3 ⋅2 ⋅2) ⋅33+ . . . . . . . . . +(3+98 ⋅2) ⋅399
y restando luego
S′ ⋅(1−3) = 3 ⋅1+2 ⋅3+2 ⋅32+ . . . . . . . . . +2 ⋅398−(3+98 ⋅2) ⋅399
o lo que es lo mismo (sumando y restando 2 ⋅399 al segundo miembro)
S′ ⋅(1−3) = 3 ⋅1+2 ⋅3+2 ⋅32+ . . . . . . . . . +2 ⋅398+2 ⋅399−(3+99 ⋅2) ⋅399
de donde
S′ ⋅(1−3) = 3 ⋅1+3 ⋅(2+2 ⋅3+ . . . . . . . . . +2 ⋅398)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
2−2 ⋅399
1−3
−(3+99 ⋅2) ⋅399
Así obtenemos
S′ ⋅(1−3) = 3 ⋅1−(3+99 ⋅2) ⋅399+3 ⋅ 2−2 ⋅399
1−3de donde podemos despejar S′ :
S′ = 3 ⋅1−(3+99 ⋅2)99 ⋅399
1−3+3 ⋅ 2−2 ⋅399
(1−3)2 = 33 ⋅3100
Sustituyendo ahora este valor, en la expresión de donde fue tomado para su cálculo, tenemos
S ⋅(1−3) = 2−10001 ⋅3100+3 ⋅33 ⋅3100
341
de donde
S = 2−9902 ⋅3100
−2= 4951 ⋅3100−1
¡¡Atención!! Cuando el número de términos de la progresión aritmético - geométrica de orden superior
es elevado puede ser interesante desinformalizar el procedimiento. En este sentido vamos a repetir el
ejemplo anterior
Ejemplo 7.- Sumar la progresión aritmético - geométrica de segundo orden
2 ⋅1 , 5 ⋅3 , 10 ⋅32 , 17 ⋅33 , . . . . . . . . . , 9802 ⋅398 , 10001 ⋅399
Teniendo en cuenta que la razón de la progresión geométrica es r = 3, se procede como sigue
S= 2 ⋅1+5 ⋅3+10 ⋅32+17 ⋅33+ . . . . . . +9802 ⋅398+10001 ⋅399
3 ⋅S= 2 ⋅3+5 ⋅32+10 ⋅33+17 ⋅34+ . . . . . . +9802 ⋅399+10001 ⋅3100
(S−3 ⋅S) = −2 ⋅S= 2 ⋅1+3 ⋅3+5 ⋅32+7 ⋅33+ . . . . . . +199 ⋅399−10001 ⋅3100
3 ⋅(−2 ⋅S)= 2 ⋅3+3 ⋅32+5 ⋅33+7 ⋅34+ . . . . . . +199 ⋅3100−10001 ⋅3101
(−2 ⋅S−3 ⋅(−6 ⋅S)) = 4 ⋅S= 2+3+2 ⋅32+2 ⋅33+ . . . . . . +2 ⋅399−10200 ⋅3100+10001 ⋅3101
es decir
4 ⋅S = 5+2 ⋅(32+33+ . . . . . . . . . +399)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
progresión geométrica
−10200 ⋅3100+10001 ⋅3101
o lo que es lo mismo
4 ⋅S = 5+2 ⋅ 32−3100
1−3−10200 ⋅3100+10001 ⋅3101
de dondeS= 1
4⋅(5−9+3100−10200 ⋅3100+10001 ⋅3101) =
= 14⋅(−4−10199 ⋅3100+30003 ⋅3100) =
= −1+ (30003−10199)4
⋅3100 = 4951 ⋅3100−1
342
Lección 30.- PROGRESIONES HIPERGEOMÉTRICAS
30.1 Progresiones hipergeométricas
30.1 Progresiones hipergeométricas
Llamaremos progresión hipergeométrica a toda sucesión finita o infinita de números reales tales que el
cociente de dos términos consecutivos es de la forma siguiente
an+1
an=
αααn+βββ
αααn+γγγ
siendo: ααα , βββ , γγγ determinados números reales, sin más restricción que no anularse simultáneamente
ni ααα y γγγ , ni ααα y γγγ .
Observamos que si ααα = 0 , entonces la progresión dada es una progresión geométrica.
Ejemplo 1.- La sucesión de números reales
11 ⋅3 ⋅5 ,
13 ⋅5 ⋅7 ,
15 ⋅7 ⋅9 , . . . . . . . . . ,
1(2 ⋅n−1) ⋅(2 ⋅n+1) ⋅(2 ⋅n+3) , . . . . . . . . . ,
constituye una progresión hipergeométrica, puesto que
an+1an
= 2 ⋅n−12 ⋅n+5
se tiene aquí que
ααα = 2 , βββ = −1 , γγγ = 5 .
Tal como hemos venido haciendo con los otros tipos de progresiones ya estudiados, vamos a establecer
el procedimiento para sumar los términos de una progresión hipergeométrica.
Si la progresión es la siguiente
a1 , a2 , a3 , . . . . . . . . . , an
su suma será
S = a1+a2+a3+ . . . . . . . . . +an
Por el hecho de ser hipergeométrica se verifica
an+1
an=
ααα ⋅n+βββ
ααα ⋅n+γγγ
condición que podemos escribir en la forma
(ααα ⋅n+γγγ) ⋅an+1 = (ααα ⋅n+βββ) ⋅an ,
343
expresión, ésta última, de la que resultan al dar a n los valores: 1 , 2 , 3 , . . . . . . . . . , n−1 , las siguientes
igualdades(ααα +γγγ) ⋅a2 = (ααα +βββ) ⋅a1
(2 ⋅ααα +γγγ) ⋅a3 = (2 ⋅ααα +βββ) ⋅a2
(3 ⋅ααα +γγγ) ⋅a4 = (3 ⋅ααα +βββ) ⋅a3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
((n−1) ⋅ααα +γγγ) ⋅an = ((n−1) ⋅ααα +βββ) ⋅an−1
Sumando ahora todas ellas, miembro a miembro, y simplificando tenemos
(n−1) ⋅ααα ⋅an+γγγ ⋅(a2+a3+ . . . . . . . . . +an) = (a1+a2+ . . . . . . . . . +an−1) ⋅(ααα +βββ)
e introduciendo la suma en esta igualdad, se tiene:
(n−1) ⋅ααα ⋅an+γγγ ⋅(S−a1) = (S−an) ⋅(ααα +βββ)
de donde, despejando S resulta la fórmula de la suma:
S =(n ⋅ααα +βββ) ⋅an−γγγ ⋅a1
ααα +βββ −γγγ
Ejemplo 2.- Sumar la progresión hipergeométrica
11 ⋅3 ⋅5 ,
13 ⋅5 ⋅7 ,
15 ⋅7 ⋅9 , . . . . . . . . . ,
1(2 ⋅n−1) ⋅(2 ⋅n+1) ⋅(2 ⋅n+3)
Se tiene, en esta caso,an+1an
= 2 ⋅n−12 ⋅n+5
es decir
ααα = 2 , βββ = −1 , γγγ = 5
luego aplicando la fórmula de la suma
Sn =(n ⋅2−1) ⋅ 1
(2 ⋅n−1) ⋅(2 ⋅n+1) ⋅(2 ⋅n+3) −5 ⋅ 11 ⋅3 ⋅5
2−1−5=
= 112
− 14 ⋅(2 ⋅n+1) ⋅(2 ⋅n+3)
En particular, la suma de una tal progresión con diez términos, se obtendrá haciendo n = 10 :
S10 =112
− 14 ⋅(2 ⋅10+1) ⋅(2 ⋅10+3) = 40
483
¡¡Atención!! En la fórmula que da la suma de los n términos de una progresión hipergeométrica apare-
cen los parámetros obtenidos al considerar el cocientean+1
an. Si en lugar de ese cociente calculamos
elan
an−1, los parámetros que aparecen son distintos de los anteriores, lo que hace que la fórmula sólo
puede aplicarse ligada al primer cociente, o bien deberíamos establecer la correspondiente al segundo.
344
Ejemplo 3.- Consideremos la progresión hipergeométrica
11 ⋅3 ⋅5 ,
13 ⋅5 ⋅7 ,
15 ⋅7 ⋅9 , . . . . . . . . . ,
1(2 ⋅n−1) ⋅(2 ⋅n+1) ⋅(2 ⋅n+3)
Por una parte se verifica quean+1an
= 2 ⋅n−12 ⋅n+5
lo que nos da como parámetros
ααα = 2 , βββ = −1 , γγγ = 5 ,
y por otra parte se tiene quean
an−1= 2 ⋅n−3
2 ⋅n+3lo que nos da como parámetros
ααα′ = 2 , βββ
′ = −3 , γγγ′ = 3 .
La fórmula de la suma, establecida antes, sólo es aplicable para la primera terna de parámetros, tal como hicimos en
el ejemplo anterior.
Ejemplo 4.- Sabiendo que en la progresión hipergeométrica
1 ⋅3+3 ⋅5+ . . . . . . . . . +(2 ⋅m−1) ⋅(2 ⋅m+1)
la suma de los n primeros términos vale 215, y que los 5 últimos vale 1655, determinar el número de términos
y la suma total.
Se verifica que
am+1am
= 2 ⋅m+32 ⋅m−1
Ô⇒
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
ααα = 2
βββ = 3
γγγ = −1
Los n primeros términos son:
1 ⋅3+3 ⋅5+ . . . . . . . . . +(2 ⋅n−1) ⋅(2 ⋅n+1)
cuya suma
Sn =(2 ⋅n−1) ⋅(2 ⋅n+1) ⋅(2 ⋅n+3)+3
6= 215 Ô⇒ n = 5
Los 5 últimos términos son
(2 ⋅m−9) ⋅(2 ⋅m−7)+2 ⋅m−7) ⋅(2 ⋅m−5)+ . . . . . . . . . +(2 ⋅m−1) ⋅(2 ⋅m+1)
cuya suma es
S′ = 20 ⋅m2−80 ⋅m+115 = 1655
de donde resulta
m = 11
siendo la suma pedida
S11 = 2013
345
Lección 31.- SUCESIONES RECURRENTES
31.1 Sucesiones recurrentes
31.1 Sucesiones recurrentes
Diremos que una sucesión numérica (un)n∈N∗ , que también podemos escribir
u1 , u2 , u3 , . . . . . . . . . , un , . . . . . . . . .
es una sucesión recurrente de orden k, si existen k números
a1 , a2 , a2 , . . . . . . . . . , ak
tales que, a partir de un cierto n, se verifica la ecuación
un+k = a1 ⋅un+k−1+a2 ⋅un+k−2+ . . . . . . . . . +ak ⋅un
Tal como vamos a ver más adelante, el concepto de sucesión recurrente generaliza los de progresión arit-
mética y progresión geométrica, y comprende importantes casos particulares, entre los que cabe destacar
las sucesiones de los coeficientes del cociente que se obtiene al dividir, según las potencias crecientes,
dos polinomios cualesquiera, algoritmo éste al que se puede reconducir toda sucesión recurrente.
Ejemplo 1.- Consideremos la sucesión recurrente de orden 2, dada por la ecuación
un+2 = un+1+un
Cada uno de los términos de la sucesión se obtiene como suma de los dos anteriores. En consecuencia, fijados los
dos primeros términos de la sucesión queda ésta completamente determinada. Así, si
u1 = 1 , u2 = 1
la sucesión será la:
u1 = 1 , u2 = 1 , u3 = 2 , u4 = 3 , u5 = 5 , u6 = 8 , u7 = 13 , . . . . . . . . .
A esta sucesión particular se le llama sucesión de Fibonacci, y a sus términos números de Fibonacci.
Veamos ahora con unos ejemplos, como es posible conocida una sucesión, establecer su ecuación de
recurrencia.
347
Ejemplo 2.- Consideremos la sucesión de los cuadrados de los números naturales estrictamente positivos
u1 = 12 , u2 = 22 , u3 = 32 , u4 = 42 , . . . . . . . . . , un = n2 , . . . . . . . . .
Para obtener su ecuación de recurrencia procedemos como sigue: Por la propia definición tenemos
un+1 = (n+1)2 = n2+2 ⋅n+1
o lo que es lo mismo
un+1 = un+2 ⋅n+1
Sustituyendo las n por n+1 se tiene
un+2 = un+1+2 ⋅n+3
y restando de esta última igualdad la anterior resulta
un+2−un+1 = un+1−un+2
es decir
un+2 = 2 ⋅un+1−un+2
Sustituyendo las n por n+1 en la última igualdad se tiene la siguiente
un+3 = 2 ⋅un+2−un+1+2
y si de ésta se resta la anterior obtenemos
un+3−un+2 = 2 ⋅un+2−3 ⋅un+1+un
es decir
un+3 = 3 ⋅un+2−3 ⋅un+1+un
que es la ecuación recurrente buscada. Así, la sucesión de los cuadrados de los números naturales estrictamente
positivos es una sucesión recurrente de tercer orden.
Ejemplo 3.- Consideremos la sucesión de los cubos de los números naturales estrictamente positivos.
u1 = 13 , u2 = 23 , u3 = 33 , u4 = 43 , . . . . . . . . . , un = n3 , . . . . . . . . .
Para obtener la ecuación de recurrencia procedemos como sigue. Por la propia definición tenemos
un+1 = (n+1)3 = n3+3 ⋅n2+3 ⋅n+1
o lo que es lo mismo
un+1 = un+3 ⋅n2+3 ⋅n+1
Sustituyendo las n por n+1 se tiene
un+2 = un+1+3 ⋅n2+9 ⋅n+7
348
y restando de esta última igualdad la anterior resulta
un+2−un+1 = un+1−un+6 ⋅n+6
es decir
un+2 = 2 ⋅un+1−un+6 ⋅n+6
Sustituyendo las n por n+1 en esta última igualdad se tiene la siguiente
un+3 = 2 ⋅un+2−un+1+6 ⋅n+12
y si de ésta se resta la anterior obtenemos
un+3−un+2 = 2 ⋅un+2−3 ⋅un+1+un+6
es decir
un+3 = 3 ⋅un+2−3 ⋅un+1+un+6
Sustituyendo, una vez más, las n por n+1 en esta última igualdad se tiene la siguiente
un+4 = 3 ⋅un+3−3 ⋅un+2+un+1+6
y si de ésta se resta la anterior se obtiene
un+4−un+3 = 3 ⋅un+3−6 ⋅un+2+4 ⋅un+1−un
es decir
un+4 = 4 ⋅un+3−6 ⋅un+2+4 ⋅un+1−un
que es la ecuación recurrente buscada. Así, la sucesión de los cubos de los números naturales estrictamente positi-
vos es una sucesión recurrente de cuarto orden.
¡¡Atención!! Conviene no caer en el error de pensar que toda sucesión admite una ley de recurren-
cia. Los siguientes ejemplos nos muestran sucesiones para las que no es posible establecer una ley de
recurrencia, simplemente porque no son recurrentes.
Ejemplo 4.- La sucesión de los números primos no es recurrente.
Ejemplo 5.- La sucesión: 1 ,12
,13
, . . . . . . . . . ,1n
, . . . . . . . . . no es recurrente.
Ejemplo 6.- La sucesión: 1 ,√
2 ,√
3 , . . . . . . . . . ,√
n , . . . . . . . . . , no es recurrente.
Ejemplo 7.- La sucesión Log 1 , Log 2 , . . . . . . . . . , Log n , . . . . . . . . . no es recurrente.
Veamos con un ejemplo como tratar las sucesiones periódicas, todas las cuales son sucesiones recurren-
tes. En el ejemplo trataremos, en particular, la sucesión de las cifras de la descomposición decimal de un
número racional.
349
Ejemplo 8.- Consideremos la sucesión formada por las cifras de la descomposición decimal del número
411133300
= 0,12 345 345 345. . . . . . . . .
En este caso
u1 = 1 , u2 = 2 , u3 = 3 , u4 = 4 , u5 = 5 , u6 = 3 , u7 = 4, . . . . . . . . .
Evidentemente se verifica
un+3 = un , para n ⩾ 3 ,
ecuación que podemos escribir como
un+3 = 0 ⋅un+2+0 ⋅un+1+1 ⋅un (n ⩾ 3)
Así resulta que la sucesión es recurrente de tercer orden.
Por otra parte se verifican las dos importantes afirmaciones siguientes.
PROPOSICIÓN 1. Toda progresión aritmética es una sucesión recurrente de segundo orden.
En efecto: Si la progresión aritmética es la siguiente
u1 = a1 , u2 = a1+d ,. . . . . . . . . , un = a1+(n−1) ⋅d ,. . . . . . . . .
se tiene
un+1 = un+d
Sustituyendo n por n+1 obtenemos la igualdad
un+2 = un+1+d
y si de ésta restamos la anterior resulta
un+2−un+1 = un+1−un
es decir
un+2 = 2 ⋅un+1−un
que es una ecuación de segundo orden.
PROPOSICIÓN 2. Toda progresión geométrica es una sucesión recurrente de primer orden.
En efecto: Si la progresión geométrica es la siguiente
u1 = a1 , u2 = a1 ⋅r , . . . . . . . . . . . . , un = a1 ⋅rn−1 , . . . . . . . . . ,
se tiene
un+1 = r ⋅un
que es una ecuación de primer orden.
350
¡¡Atención!! Conviene observar que existe una única ecuación recurrente para todas las progresiones
aritméticas, mientras que en la ecuación recurrente de una progresión geométrica aparece la razón de
la misma.
El cociente de dos polinomios, en lo que se refiere a la sucesión de sus coeficientes, resulta ser una
herramienta importante tal como muestran las dos proposiciones siguientes.
PROPOSICIÓN 3. La sucesión de los coeficientes del cociente que se obtiene al dividir, según las
potencias crecientes, dos polinomios cualesquiera
p(x) = a0+a1 ⋅x+ . . . . . . . . . . . . +ap ⋅xp
q(x) = b0+b1 ⋅x+ . . . . . . . . . . . . +bq ⋅xq (b0 ≠ 0)
de grados respectivos p y q , es una sucesión recurrente de orden q.
En efecto: Si la división no es exacta entonces puede prolongarse indefinidamente, siendo el cociente de la
forma
c(x) = c0+c1 ⋅x+c2 ⋅x2+ . . . . . . . . . +cn ⋅nn+ . . . . . . . . .
Para ver que la sucesión
c0 , c1 , c2 , . . . . . . . . . , cn , . . . . . . . . .
es una sucesión recurrente de orden q, fijemos un número natural cualquiera n, con la única condición de
que
n ⩾ p−q+1
y detengamos el proceso de división en el término del cociente que contiene xn+q. Así,
p(x) q(x)c0+c1 ⋅x+ . . . . . . . . . +cn+q ⋅xn+q
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
r(x) = dn+q−1 ⋅xn+q+1+ . . . . . . . . .
La relación entre dividendo, divisor, cociente y resto permite escribir la identidad siguiente
a0+a1 ⋅x+ . . . . . . +ap ⋅xp = (b0+b1 ⋅x+ . . . . . . +bq ⋅xq) ⋅(c0+c1 ⋅x+ . . . . . . +cn+q ⋅xn+q)+r(x)
Igualemos ahora los coeficientes de xn+q en ambos miembros de esa identidad. Resulta entonces
0 = cn+q ⋅b0+cn+q−1 ⋅b1+ . . . . . . . . . +cn ⋅bq
y como b0 ≠ 0, podemos escribir
cn+q = −b1b0
⋅cn+q−1− . . . . . . . . . −bq
b0⋅cn (n ⩾ p−q+1)
que es una ecuación recurrente de orden q, con lo que queda demostrado lo que nos interesaba.
351
Ejemplo 9.- Consideremos los dos polinomios
p(x) = 1+x (de grado p = 1)
q(x) = 1+2 ⋅x+x2 (de grado q = 2)
y dividamos el primero entre el segundo:
1+x−2 ⋅x−x2
−x−x2
1+2 ⋅x+x2
1−x+x2−x3
2 ⋅x2+x3
x2+x3
−2 ⋅x3−x4
−x3+x4
2 ⋅x4+x5
r(x) = x4+x5
Hemos detenido la división en ese momento porque al poder elegir un n ∈N tal que:
n ⩾ p−q+1 = 1−2+1 = 0
hemos considerado n = 1, y como q = 2, el último término obtenido del cociente debe ser el que contiene
x1+2 = x3 ,
lo que nos permite establecer la ecuación de recurrencia, de orden q = 2,
cn+2 = −2 ⋅cn+1−cn (n ⩾ 1)
de la ecuación recurrente de los coeficientes del cociente que se obtiene al dividir p(x) entre q(x), es decir la
c0 = 1 , c1 = −1 , c2 = 1 , c3 = −1, . . . . . .
(Observemos que en lugar de n = 1, hubiéramos podido tomar n = 0)
Ejemplo 10.- Consideremos los dos polinomios
p(x) = 1+x+x2 (de grado p = 2)
q(x) = 1+x+ (de grado q = 1)
Aquí debe ser:
n ⩾ p−q+1 = 2−1+1 = 2 ,
luego tomamos n = 2, con lo que la división la detendremos cuando el último término del cociente sea el que contiene
x2+1 = x3. Así, se tiene:
1+x+x2
−xx2
1+x
1+x2−x3
−x3
−x3
x4
r(x) = x4
352
Luego, la ecuación de recurrencia, de orden q = 1, es:
cn+1 = −cn (n ⩾ 2)
y la sucesión recurrente de los coeficientes del cociente:
c0 = 1 , c1 = 0 , c2 = 1 , c3 = −1, . . . . . .
PROPOSICIÓN 4. Toda sucesión recurrente de orden q
u1 , u2 , u3 , . . . . . . . . . , un , . . . . . . . . .
que satisface a la ecuación:
un+q = a1 ⋅un+q−1+a2 ⋅un+q−2+ . . . . . . . . . +aq ⋅un (n ⩾m ⩾ 1)
coincide con la sucesión de los coeficientes del cociente que se obtiene al dividir, según las potencias
crecientes, un polinomio p(x) entre el polinomio:
q(x) = 1−a1 ⋅x−a2 ⋅x2− . . . . . . . . . −aq ⋅xq
En efecto: Consideremos un número natural n sometido a la única condición
n > q+m−2 ,
y multipliquemos el polinomio q(x) por el polinomio
u1+u2 ⋅x+u3 ⋅x2+ . . . . . . . . . +un+1 ⋅xn
Así, se tiene
(1−a1 ⋅x−a2 ⋅x2− . . . . . . −aq ⋅xq) ⋅(u1+u2 ⋅x+u3 ⋅x2+ . . . . . . +un+1 ⋅xn) == [u1+(u2−a1 ⋅u1) ⋅x+ . . . . . . +(uq+m−1−a1 ⋅uq+m−2− . . . . . . −aq ⋅um−1) ⋅xq+m−2]++[(uq+m−a1 ⋅uq+m−1− . . . −aq ⋅um) ⋅xq+m−1+ . . . +(un+1−a1 ⋅un− . . . −aq ⋅un−q+1) ⋅xn]−−[(a1 ⋅un+1+ . . . . . . +aq ⋅un−q+2) ⋅xn+1+ . . . . . . +aq ⋅un+1 ⋅xn+k]
En el primer corchete del segundo miembro figura un polinomio de grado no mayor que q+m−2 , con
coeficientes que no dependen de n; llamemos p(x) a ese polinomio:
p(x) = u1+(u2−a1 ⋅u1) ⋅x+ . . . . . . +(uq+m−1−a1 ⋅uq+m−2− . . . . . . −aq ⋅um−1) ⋅xq+m−2
En el segundo corchete figura un polinomio en el que todos los coeficientes son nulos, en virtud de la
igualdad
un+q = a1 ⋅un+q−1+a2 ⋅un+q−2+ . . . . . . . . . +aq ⋅un (n ⩾ m ⩾ 1)
353
Por último, en el último corchete figura un polinomio cuyos coeficientes dependen de n, y no contiene
términos de potencias menores que n+1; indiquemos este polinomio por rn(x).
De esta forma, la igualdad que estamos analizando se puede escribir como sigue:
p(x) = (1−a1 ⋅x−a2 ⋅x2− . . . . . . . . . −aq ⋅xq) ⋅(u1+u2 ⋅x+ . . . . . . . . . +un+1 ⋅xn)+rn(x)
lo que nos muestra que, efectivamente, u1+u2 ⋅x+ . . . . . . . . . +un+1 ⋅xn es el cociente y rn(x) el resto de
la división del polinomio p(x) entre el polinomio q(x) = 1−a1 ⋅x− . . . . . . . . . −aqxq.
Ejemplo 11.- Consideremos la sucesión de Fibonacci:
u1 = 1 , u2 = 1 , u3 = 2 , u4 = 3 , u5 = 5 , u6 = 8, . . . . . . . . .
cuyos términos verifican la ecuación de recurrencia
un+2 = un+1+un (n ⩾ 1)
En este caso se tiene que
m = 1 , q = 2 , a1 = 1 , a2 = 1 , y q(x) = 1−x−x2 .
El grado del polinomio p(x) será, como máximo, igual a: q+m−2 = 2+1−2 = 1.
Aplicando ahora la fórmula:
p(x) = u1+(u2−a1 ⋅u1) ⋅x+ . . . . . . . . . +(uq+m−1−a1 ⋅uq+m−2− . . . . . . . . . −aq ⋅um−1) ⋅xq+m−2
resulta:
p(x) = 1+(1−1 ⋅1) ⋅x = 1
Así se tiene que: los números de Fibonacci coinciden con la sucesión de los coeficientes del cociente que se obtiene
al dividir 1 entre 1−x−x2:
1x+x2
x+x2
1−x−x2
1+x+2 ⋅x2+3 ⋅x3+5 ⋅x4+8 ⋅x5+ . . . . . . . . .
x2+x3
2 ⋅x2+x3
2 ⋅x3+2 ⋅x4
3 ⋅x3+2 ⋅x4
3 ⋅x4+3 ⋅x5
5 ⋅x4+3 ⋅x5
5 ⋅x5+5 ⋅x6
8 ⋅x5+5 ⋅x6
8 ⋅x6+8 ⋅x7
13 ⋅x6+8 ⋅x7
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
354
¡¡Atención!! Conocida la sucesión y su ley de recurrencia es inmediato formar el divisor q(x). Así,
sabido que:p(x)q(x)
= u1+u2 ⋅x+u3 ⋅x2+ . . . . . . . . . +un ⋅xn
+ . . . . . . . . .
se puede obtener directamente p(x), despejando en la igualdad anterior y operando en el segundo
miembro. En este sentido repitamos el ejemplo anterior.
Ejemplo 12.- Consideremos la sucesión de Fibonacci:
u1 = 1 , u2 = 1 , u3 = 2 , u4 = 3 , u5 = 5 , u6 = 8, . . . . . . . . .
cuyos términos verifican la ecuación de recurrencia
un+2 = un+1+un (n ⩾ 1)
En este caso se tiene
q = 2 , a1 = 1 , a2 = 1 ,
luego:
q(x) = 1−x−x2
tendremos entonces quep(x)q(x) = u1+u2 ⋅x+u3 ⋅x2+ . . . . . .
es decirp(x)
1−x−x2 = 1+x+2 ⋅x2+3 ⋅x3+5 ⋅x4+8 ⋅x5+ . . . . . . . . .
En consecuencia, operando resulta
p(x)= (1−x−x2) ⋅(1+x+2 ⋅x2+3 ⋅x3+5 ⋅x4+8 ⋅x5+ . . . . . . . . . ) =
=
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
1+x+2 ⋅x2+3 ⋅x3+5 ⋅x4+8 ⋅x5+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .+−x−x2−2 ⋅x3−3 ⋅x4−5 ⋅x5− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .+
−x2 −x3−2 ⋅x4−3 ⋅x5− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
= 1
Una generalización del problema que se plantea en el caso de las progresiones sería, aquí, el de como
determinar la suma de los n primeros términos de una sucesión recurrente. La siguiente proposición
representa un paso importante en este sentido.
PROPOSICIÓN 5. Dada la sucesión recurrente de orden k,
u1 , u2 , u3 , . . . . . . . . . , un , . . . . . . . . .
cuyos términos verifican la ecuación
un+k = a1 ⋅un+k−1+a2 ⋅un+k−2+ . . . . . . . . . +ak ⋅un ,
355
la sucesión formada por las sumas parciales
S1 = u1 , S2 = u1+u2 , S3 = u1+u2+u3, . . . . . . . . . , Sn = u1+u2+ . . . . . . +un , . . . . . . . . .
es también una sucesión recurrente, de orden k+1, cuyos términos verifican la ecuación:
Sn+k+1 = (1+a1) ⋅Sn+k+(a2−a1) ⋅Sn+k−1+ . . . . . . . . . +(ak−ak−1) ⋅Sn+1−ak ⋅Sn
En efecto: Observemos que se verifican las siguientes relaciones:
u1 = S1 , u2 = S2−u1 = S2−S1 , . . . . . . , un = Sn−(u1+ . . . . . . +un−1) = Sn−Sn−1 ,. . . . . .
Si hacemos S0 = 0, de manera que: u1 = S1−S0, e introducimos en la ecuación.
un+k = a1 ⋅un+k−1+a2 ⋅un+k−2+ . . . . . . . . . +ak ⋅un
en lugar de las: u1 , u2 , . . . . . . , un , sus expresiones en términos de S0 , S1 , . . . . . . , Sn , obtenemos
Sn+k+Sn+k−1 = a1 ⋅(Sn+k−1−Sn+k−2)+a2 ⋅(Sn+k−2−Sn+k−3)+ . . . . . . . . . +ak ⋅(Sn−Sn−1)
de donde
Sn+k = (1+a1) ⋅Sn+k−1+(a2−a1) ⋅Sn+k−2+ . . . . . . . . . +(ak−ak−1) ⋅Sn−ak ⋅Sn−1 (n ⩾ m)
y sustituyedo n+1 en lugar de n, resulta
Sn+k+1 = (1+a1) ⋅Sn+k+(a2−a1) ⋅Sn+k−1+ . . . . . . +(ak−ak−1) ⋅Sn+1−ak ⋅Sn (n ⩾ m−1)
que es la ecuación recurrente de la sucesión recurrente
S1 , S2 , S3 , . . . . . . . . . , Sn , . . . . . . . . .
de orden k+1.
Ejemplo 13.- La sucesión de Fibonacci tiene como ecuación recurrente la siguiente:
un+2 = un+1+un ,
luego la sucesión de sus sumas parciales debe verificar la ecuación de recurrencia
Sn+3 = 2 ⋅Sn+2−Sn .
¡¡Atención!! Conviene observar que la ecuación de recurrencia de la sucesión de las sumas parciales
de una sucesión dada, se forma a partir de la ecuación recurrente de esta última, pero interviniendo en
su formación los términos de la sucesión.
356
Vamos ahora a analizar la estructura de los términos de una sucesión recurrente con el objetivo de es-
tablecer fórmulas que permitan determinar, en el caso más general, cualquier término de la sucesión
recurrente sin necesidad de calcular los términos anteriores. Podremos considerar esas fórmulas como
una generalización de las fórmulas correspondientes a los términos generales de una progresión aritmé-
tica o geométrica.
Como primer paso, en esa dirección, establezcamos la proposición siguiente.
PROPOSICIÓN 6. Dada una ecuación recurrente de orden k existe un número infinito de suce-
siones recurrentes distintas que la verifican, y cualquiera de ellas se puede obtener a partir de
k sucesiones (que también verifican la ecuación recurrente y que constituyen una base de la misma)
multiplicando cada una de ellas por unos números c1 , c2 , . . . . . . . . . , ck, y sumando luego éstas
término a término.
En efecto: Consideremos la ecuación recurrente de orden k:
un+k = a1 ⋅un+k−1+a2 ⋅un+k−2+ . . . . . . . . . +ak ⋅un
Evidentemente los términos de una sucesión recurrente de orden k, que verifique esa ecuación, quedarán
unívocamente determinados en cuanto se fijen los k primeros términos u1 , u2 , . . . . . . . . . , uk . Por otra
parte se puede obtener un número infinito de sucesiones que verifiquen esa ecuación, difiriendo unas de
otras al menos en uno de los k primeros términos.
Así mismo es sencillo comprobar que sumando término a término un determinado número de tales suce-
siones previamente multiplicadas por escalares distintos, se obtiene otra sucesión del mismo tipo, es decir
que verifica la ecuación recurrente dada.
Veamos ahora en qué condiciones es posible asegurar que cualquier sucesión que verifique la ecuación re-
currente dada se puede expresar como combinación lineal de un conjunto fijo de tales sucesiones. Cuando
exista un tal conjunto diremos de él que constituye una base.
Consideradas k sucesiones
(x) ≡ x1 , x2 , . . . . . . . . . , xk , . . . . . . . . . , xn , . . . . . . . . .
(y) ≡ y1 , y2 , . . . . . . . . . , yk , . . . . . . . . . , yn , . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(z) ≡ z1 , z2 , . . . . . . . . . , zk , . . . . . . . . . , zn , . . . . . . . . .
una sucesión cualquiera:
(u) ≡ u1 , u2 , . . . . . . . . . , uk , . . . . . . . . . , un , . . . . . . . . .
de entre las que también verifica la ecuación recurrente dada, se podrá expresar como combinación lineal
de las anteriores, es decir
(u) = C1 ⋅(x)+C2 ⋅(y)+ . . . . . . . . . +Ck ⋅(z)
357
siempre que sea compatible el sistema de ecuaciones siguiente (en el que las variables a determinar son
C1 , C2 , . . . . . . . . . , Ck):
C1 ⋅x1+C2 ⋅y1+ . . . . . . . . . +Ck ⋅z1 = u1
C1 ⋅x2+C2 ⋅y2+ . . . . . . . . . +Ck ⋅z2 = u2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C1 ⋅xk+C2 ⋅yk+ . . . . . . . . . +Ck ⋅zk = uk
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Comprobar que al menos existe una base es inmediato; puede ser ésta la siguiente:
x1 = 1 , x2 = 0 , . . . . . . . . . , xk = 0 , xk+1 , . . . . . . . . . , xn, . . . . . . . . .
y1 = 0 , y2 = 1 , . . . . . . . . . , yk = 0 , yk+1 , . . . . . . . . . , yn, . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
z1 = 0 , z2 = 0 , . . . . . . . . . , zk = 1 , zk+1 , . . . . . . . . . , zn, . . . . . . . . .
Por supuesto que hay más ; otra base sería la siguiente:
x1 = 1 , x2 = 1 , . . . . . . . . . , xk = 1 , xk+1 , . . . . . . . . . , xn, . . . . . . . . .
y1 = 0 , y2 = 1 , . . . . . . . . . , yk = 1 , yk+1 , . . . . . . . . . , yn, . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
z1 = 0 , z2 = 0 , . . . . . . . . . , zk = 1 , zk+1 , . . . . . . . . . , zn, . . . . . . . . .
Así, la proposición anterior establece que tendremos resuelta completamente una ecuación recurrente
de orden k, que es en lo que estamos interesados, cuando conozcamos k sucesiones que verificando la
ecuación dada constituya una base de la misma.
Ejemplo 14.- Consideremos la ecuación recurrente de segundo orden
un+2 = 2 ⋅un+1−un
Una base cualquiera de la misma estará formada por dos sucesiones: (xn)n∈N∗ , (yn)n∈N∗ , que en particular podemos
determinar haciendo:x1 = 1 , x2 = 1 ,
y1 = 0 , y2 = 1 .
Así, una sucesión cualquiera (un)n∈N∗ que verifique la ecuación recurrente dada podrá expresarse en la forma:
(un) = C1 ⋅(xn)+C2 ⋅(yn) ,
determinándose C1 , C2 como soluciones del sistema:
C1 ⋅1+C2 ⋅0 = u1
C1 ⋅1+C2 ⋅1 = u2
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭siendo u1 , u2 los dos primeros térmicos de la sucesión a expresar; es decir:
C1 = u1 , C2 = u2−u1 .
358
Así, si u1 = 2 y u2 = 3 , será
C1 = 2 , C2 = −1 ,
de donde
(un) = 2 ⋅(xn)−(yn) .
Por otra parte, volviendo a las sucesiones que hemos elegido como componentes de la base
x1 = 1 , x2 = 1 , x3 = 1 , x4 = 1 , . . . . . . . . . , xn = 1 , . . . . . . . . .
y1 = 0 , y2 = 1 , y3 = 2 , y4 = 3 , . . . . . . . . . , yn = n−1 , . . . . . . . . .
resulta que
xn = 1 , yn = n−1 ,
lo que permite expresar el término general de la sucesión (un)n∈N∗ en función sólo de u1 y u2, y evidentemente de
n, que es lo que constituye el objetivo final que estamos persiguiendo:
un = u1 ⋅1+(u2−u1) ⋅(n−1)
La razón de este logro reside en que cada uno de los términos generales de las sucesiones que componen la base
viene expresado en esa forma general.
Veamos ahora, que en condiciones muy generales, se puede encontrar para una ecuación recurrente
de orden k, una base compuesta de k progresiones geométricas de distintas razones. Así se tiene la
proposición siguiente:
PROPOSICIÓN 7. A toda ecuación recurrente de orden k:
un+k = a1 ⋅un+k−1+a2 ⋅un+k−2+ . . . . . . . . . +ak ⋅un
le corresponde una ecuación algebraica de grado k:
rk= a1 ⋅rk−1
+a2 ⋅rk−2+ . . . . . . . . . +ak
(a la que llamaremos ecuación característica de la ecuación recurrente dada) tal que toda raíz de ésta
es razón de una progresión geométrica que verifica la ecuación recurrente.
Si todas las raíces de la ecuación característica son distintas, se obtienen k progresiones geométri-
cas diferentes que forman una base de la ecuación recurrente. Si las raíces son
r1 =ααα , r2 =βββ , . . . . . . . . . , rk = γγγ ,
la expresión de un será la:
un =C1 ⋅αααn−1
+C2 ⋅βββn−1
+ . . . . . . . . . +Ck ⋅γγγn−1 .
359
En efecto: Veamos primero que toda raíz de la ecuación
rk = a1 ⋅rk−1+a2 ⋅rk−2+ . . . . . . . . . +ak
que llamamos ecuación característica de la ecuación recurrente:
un+k = a1 ⋅un+k−1+a2 ⋅un+k−2+ . . . . . . . . . . . . +ak ⋅un
es razón de una progresión geométrica que verifica dicha ecuación recurrente.
Si r =ααα es una raíz (real) de la ecuación característica, tomando,
xn =αααn−1 (n = 1 , 2 , . . . . . . . . . )
obtenemos una progresión geométrica, cuyo primer término es x1 = 1, y cuya razón es r =ααα , que satisface
la ecuación recurrente, puesto que de
αααk = a1 ⋅αααk−1+a2 ⋅αααk−2+ . . . . . . . . . +ak
multiplicando ambos miembros por αααn−1, siendo n un número natural estrictamente positivo cualquiera,
se obtiene:
αααn+k−1 = a1 ⋅αααn+k−2+a2 ⋅αααn+k−3+ . . . . . . . . . +ak ⋅αααn−1
de donde resulta que la sucesión (xn)n∈N∗ satisface la ecuación recurrente dada.
Para formar una base compuesta sólo de progresiones geométricas de razones distintas, será preciso dispo-
ner de k de tales progresiones, para lo que se necesita que la ecuación característica tenga k raíces distintas.
Veamos ahora que, efectivamente, sin son distintas todas las raíces de la ecuación característica:
r1 =ααα , r2 =βββ , . . . . . . . . . , rk = γγγ
las k progresiones geométricas
1 , ααα , ααα2 , . . . . . . . . . , ααα
n−1 , . . . . . . . . .
1 , βββ , βββ2 , . . . . . . . . . , βββ
n−1 , . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 , γγγ , γγγ2 , . . . . . . . . . , γγγ
n−1 , . . . . . . . . .
constituyen una base, es decir cualquiera que sea la sucesión (un)n∈N∗ , que verifica la ecuación recurrente
dada, existen k números C1 , C2 , . . . . . . . . . , Cn tales que para todo n se tiene:
un = C1 ⋅αααn−1+C2 ⋅βββ n−1+ . . . . . . . . . +Ck ⋅γγγ n−1
Para ello basta establecer que el sistema de ecuaciones siguiente (en el que las variables son C1 , C2 ,
. . . . . . . . . , Ck):
C1 +C2 + . . . . . . . . . +Ck = u1
C1 ⋅ααα +C2 ⋅βββ + . . . . . . . . . +Ck ⋅γγγ = u2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C1 ⋅αααk−1+C2 ⋅βββ k−1+ . . . . . . . . . +Ck ⋅γγγ k−1 = uk
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
360
es compatible, lo cual es inmediato, puesto que el determinante de la matriz de los coeficientes es un
determinante de Vandermonde con ααα , βββ , . . . . . . , γγγ todos distintos, luego distinto de cero, por tanto la
matriz de rango k, y el sistema es compatible determinado.
Ejemplo 15.- Consideremos la sucesión de Fibonacci, de ecuación recurrente:
un+2 = un+1+un
con u1 = 1 , u2 = 1.
Su ecuación característica es:
r2 = r+1 ,
y sus dos raíces (distintas):
ααα = 12+ 1
2⋅√
5 , βββ = 12− 1
2⋅√
5 .
Así, el término general de la sucesión de Fibonacci puede representarse en la forma:
un = C1 ⋅αααn−1+C2 ⋅βββ n−1 .
Para determinar C1 y C2 , formamos el sistema:
n = 1 ∶ C1 +C2 = 1
n = 2 ∶ C1 ⋅ααα +C2 ⋅βββ = 1
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭
es decir:C1 +C2 = 1
C1 ⋅(12+ 1
2⋅√
5)+C2 ⋅(12− 1
2⋅√
5)= 1
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭que resuelta da:
C1 =√
5+12 ⋅
√5
, C2 =√
5−12 ⋅
√5
En consecuencia, podemos escribir que
un =√
5+12 ⋅
√5⋅( 1+
√5
2)
n−1
+√
5−12 ⋅
√5⋅( 1−
√5
2)
n−1
o bien
un =√
55
⋅⎡⎢⎢⎢⎢⎣( 1+
√5
2)
n
−( 1−√
52
)n⎤⎥⎥⎥⎥⎦
que nos da la expresión general para los números de Fibonacci.
¡¡Atención!! Observemos que en el ejemplo anterior hemos establecido, de acuerdo con la propiedad
anterior, que el término un se expresaba como combinación lineal de dos potencias de las raíces ααα
y βββ , con exponentes n−1, para finalmente expresarlo como combinación lineal de dos potencias de
las mismas raíces pero de exponentes n. Evidentemente las dos expresiones eran correctas gracias al
361
cambio de valor de los correspondientes coeficientes. El procedimiento es válido en general puesto que
nunca aparece la raíz cero, luego:
un = C1 ⋅αααn−1+ C2 ⋅βββ
n−1+ . . . . . . . . . + Ck ⋅γγγn−1 =
=C1
ααα⋅αααn +
C2
βββ⋅βββ n + . . . . . . . . . +
Ck
γγγ⋅γγγ n =
= A1 ⋅αααn + A2 ⋅βββ
n + . . . . . . . . . + Ak ⋅γγγn
y por su mejor nemotecnia es la última expresión la que se suele utilizar.
Ejemplo 16.- Consideremos la sucesión de FIbonacci, de ecuación recurrente
un+2 = un+1+un
con u1 = 1 , u2 = 1.
Su ecuación característica es
r2 = r+1
y sus dos raíces (distintas):
ααα = 12+ 1
2⋅√
5 , βββ = 12− 1
2⋅√
5 .
Así, el término general de la sucesión de FIbonacci puede representarse en la forma
un = A1 ⋅αααn+A2 ⋅βββ n
Para determinar A1 y A2, formamos el sistema:
n = 1 ∶ A1 ⋅ααα +A2 ⋅βββ = 1
n = 2 ∶ A1 ⋅ααα2+A2 ⋅βββ 2 = 1
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭es decir
n = 1 ∶ A1 ⋅(12+ 1
2⋅√
5) +A2 ⋅(12− 1
2⋅√
5) = 1
n = 2 ∶ A1 ⋅(12+ 1
2⋅√
5)2+A2 ⋅(
12− 1
2⋅√
5)2= 1
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭que resuelto da
A1 =√
55
, A2 = −√
55
.
En consecuencia se puede escribir que
un =√
55
⋅⎡⎢⎢⎢⎢⎣( 1+
√5
2)
n
−( 1−√
52
)n⎤⎥⎥⎥⎥⎦
que nos da la expresión general para los números de Fibonacci.
En la demostración de la última proposición hemos estado suponiendo que las raíces eran reales; sin
embargo, todo el razonamiento es válido aunque sean complejas. La única particularidad es que, en el
362
caso de no ser reales, las raíces imaginarias vendrían dadas a pares, con cada raíz su conjugada, por ser
la ecuación característica de coeficientes reales. Así, si
r1 =ρρρ ⋅(cos ααα + iii ⋅ sen ααα)
es raíz de la ecuación característica, también lo es su conjugada:
r2 =ρρρ ⋅(cos ααα − iii ⋅ sen ααα)
luego, la expresión de un, como combinación lineal de las potencias de éstas, de exponente n, aparecerán
así:un =C1 ⋅rn
1 +C2 ⋅rn2 + . . . . . . . . . =
=C1 ⋅ρρρn ⋅(cos nααα + iii ⋅ sen nααα)+C2 ⋅ρρρ
n ⋅(cos nααα − iii ⋅ sen nααα)+ . . . . . . . . . =
=ρρρn ⋅ [(C1+C2) ⋅cos nααα + iii ⋅(C1−C2) ⋅ sen nααα]+ . . . . . . . . . =
=ρρρn ⋅(A ⋅cos nααα +B ⋅ sen nααα)+ . . . . . . . . .
En definitiva dos raíces de la ecuación característica:
ρρρ ⋅(cos ααα ± iii ⋅ sen ααα)
que sean simples intervienen en la expresó de un en la forma:
un = . . . . . . . . . +ρρρn⋅(A ⋅cos nααα +B ⋅ sen nααα)
en donde A, B son constantes arbitrarias.
Ejemplo 17.- Consideremos la sucesión de números reales, de ecuación recurrente:
un+3 = 3 ⋅un+2−4 ⋅un+1+2 ⋅un
con u1 = 2 , u2 = 0 , u3 = −1.
Su ecuación característica es:
r3 = 3 ⋅r2−4 ⋅r+2
y sus raíces son:
r1 = 1+ iii , r2 = 1− iii , r3 = 1 .
Las aíres r1 y r2 se pueden escribir en la forma:
ρρρ ⋅(cos ααα ± iii ⋅ sen ααα) =√
2 ⋅(cosπππ
4± iii ⋅ sen
πππ
4) .
Así el término general de la sucesión dada puede representarse en la forma:
un = (√
2)n⋅(A ⋅cos
nπππ
4+B ⋅ nπππ
4)+C3 ⋅1n
es decir
un = 2n2 ⋅(A ⋅cos
nπππ
4+B ⋅ sen
nπππ
4)+C3 .
363
Para determinar A, B y C3 formamos el sistema:
n = 1 ∶ 212 ⋅(A ⋅cos
πππ
4+B ⋅ sen
πππ
4)+C3 = 2
n = 2 ∶ 2 ⋅(A ⋅cosπππ
4+B ⋅ sen
πππ
4)+C3 = 0
n = 3 ∶ 232 ⋅(A ⋅cos
3πππ
4+B ⋅ sen
3πππ
4)+C3 = −1
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭es decir
√2 ⋅(A ⋅
√2
2+B ⋅
√2
2)+C3 = 2
2 ⋅(A ⋅0+B ⋅1)+C3 = 0
2 ⋅√
2 ⋅(A ⋅ −√
22
+B ⋅√
22
)+C3 = −1
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭o lo que es lo mismo
A+B+C3 = 2
2 ⋅B+C3 = 0
−2 ⋅A+2 ⋅B+C3 = −1
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭cuyas soluciones son
A = 12
, B = − 32
, C3 = 3
en consecuencia se puede escribir que:
un = 2n2 ⋅( 1
2⋅cos
nπππ
4− 3
2⋅ sen
nπππ
4)+3
Cabe plantearse, ahora, el caso en que las raíces de la ecuación característica de una ecuación recurrente
no sean simples, tanto en el caso de ser éstas reales como complejas. Por su mayor complejidad no vamos
a dar la justificación de los resultados que vamos a enunciar:
PROPOSICIÓN 8. Si la raíz r =ααα de la ecuación característica es real y de multiplicidad p,
entonces interviene en la expresión de un en la forma:
(C1 ⋅np−1+C2 ⋅np−2
+ . . . . . . . . . +Ck−1 ⋅n+Ck) ⋅αααn
Ejemplo 18.- Consideremos la sucesión de números reales de ecuación recurrente:
un+2 = 4 ⋅un+1−4 ⋅un
con u1 = 4 , u2 = 12.
Su ecuación característica es:
r2 = 4 ⋅r−4 ,
364
y sus raíces son:
r1 = 2 , r2 = 2
es decir, una raíz doble.
Así, el término general de la sucesión dada puede representarse en la forma
un = (C1 ⋅n+C2) ⋅2n .
Para determinar C1 y C2 formamos el sistema
n = 1 ∶ (C1+C2) ⋅2 = 4
n = 2 ∶ (2 ⋅C1+C2) ⋅22 = 12
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭es decir
C1+C2 = 2
2 ⋅C1+C2 = 3
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭cuyas soluciones son:
C1 = 1 , C2 = 1 .
En consecuencia, se puede escribir
un = (n+1) ⋅2n
PROPOSICIÓN 9. Si las raíces imaginarias
ρρρ ⋅(cos ααα ± iii ⋅ sen ααα)
de la ecuación característica son de multiplicidad p, entonces intervienen en la expresión de un en la forma:
ρρρn ⋅[(A1 ⋅np−1+A2 ⋅np−2+ . . . . . . . . . +Ap) ⋅cos nααα +(B1 ⋅np−1+B2 ⋅np−2+ . . . . . . . . . +Bp) ⋅ sen nααα]
en donde A1 , . . . . . . , Ap , B1 , . . . . . . , Bp son constantes arbitrarias.
Ejemplo 19.- Consideremos la sucesión de números reales de ecuación recurrente:
un+4 = −2 ⋅un+2−un
con u1 = −2 , u2 = 1 , u3 = 0 , u4 = 3.
Su ecuación característica es:
r4 = −2 ⋅r2−1
y sus raíces son:
r1 = iii , r2 = iii , r3 = −iii , r4 = −iii ,
es decir, dos raíces imaginarias dobles.
Las raíces pueden escribirse en la forma
cosπππ
2± iii ⋅ sen
πππ
2con la multiplicidad 2.
Así, el término general de la sucesión puede representarse como sigue:
un = (A1 ⋅n+A2) ⋅cosnπππ
2+(B1 ⋅n+B2) ⋅ sen
nπππ
2
365
Para determinar A1 , A2 , B1 y B2 formamos el sistema:
n = 1 ∶ (A1+A2) ⋅0 + (B1+B2) ⋅1 = −2
n = 2 ∶ (2 ⋅A1+A2) ⋅(−1)+(2 ⋅B1+B2) ⋅0 = 1
n = 3 ∶ (3 ⋅A1+A2) ⋅0 +(3 ⋅B1+B2) ⋅(−1) = 0
n = 4 ∶ (4 ⋅A1+A2) ⋅1 +(4 ⋅B1+B2) ⋅0 = 3
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
es decirB1+B2 = −2
−2 ⋅A1−A2 = 1
−3 ⋅B1−B2 = 0
4 ⋅A1+A2 = 3
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭cuyas soluciones son:
A1 = 2 , A2 = −5 , B1 = 1 , B2 = −3 .
En consecuencia, se puede escribir que:
un = (2 ⋅n−5) ⋅cosnπππ
2+(n−3) ⋅ sen
nπππ
2.
366
CAPÍTULO IV
Series numéricas
Lección 32.- SERIES NUMÉRICAS
32.1 Series numéricas
32.1 Series numéricas
Dada una sucesión indefinida de números reales (xn)n∈N, es decir
x0 , x1 , x2 , . . . . . . . . . , xn , . . . . . . . . .
si para todo n ∈N escribimos
Sn = x0+x1+x2+ . . . . . . . . . +xn
lo que hemos hecho es establecer una nueva sucesión (Sn)n∈N, a partir de la primera.
Por otra parte, a partir de la segunda sucesión es posible determinar la primera como sigue:
(∀∀∀ n ∈ N∗) xn = Sn−Sn−1 y x0 = S0 .
Nos van a permitir estas consideraciones precisar lo que entenderemos por suma de infinitos sumandos
y estudiar cuales de las propiedades de la adición subsisten en esta generalización. Por otra parte, nuestro
referencial continúa siendo el cuerpo de los números reales, razón ésta por la que no vamos a tratar aquí
del estudio en el campo de los números complejos que aplazamos, y que generalizará utilizando el que
vamos a desarrollar a continuación. Así:
Llamaremos serie asociada a una sucesión de números reales (xn)n∈N, a la sucesión (Sn)n∈N definida
por
Sn =n∑k=0
xk .
En lugar de denotar la serie por (Sn)n∈N, escribiremos (xn), lo que pone muy de manifiesto la sucesión
a partir de la que se establece. Se suele decir, entonces, que Sn es la suma parcial de rango n y xn es
término general de la serie.
Es frecuente el que, en lugar de xn, se denote la serie por
x0+x1+x2+ . . . . . . . . . +xn+ . . . . . . . . .
y a veces también por∞∞∞
∑k=0
xk .
Ejemplo 1.- A partir de una progresión geométrica indefinida, sea la
÷÷ 2 ,23
,29
, . . . . . . . . . ,23n , . . . . . . . . .
369
se forma la serie ( 23n ), es decir la
2+ 23+ 2
9+ . . . . . . . . . + 2
3n + . . . . . . . . .
El término general de esta serie es
xn =23n
y la suma parcial de rango n es
Sn = 2+ 23+ 2
9+ . . . . . . . . . + 2
3n =2− 2
3n+1
1− 13
Diremos que la serie (xn) es convergente si la sucesión (Sn)n∈N es convergente, es decir si
∃∃∃ S ∈ R tal que lımn→∞∞∞
Sn =S
en caso contrario diremos que la serie es no convergente. Al número S se le llamará suma de la serie
(xn).
En el caso de que la serie (xn) sea convergente, de suma S, suele escribirse
S =∞∞∞
∑k=0
xk .
Cabe una sub-clasificación para las series no convergentes, en la forma siguiente:
1.- La serie (xn) se dirá divergente cuando la sucesión (Sn)n∈N es divergente, es decir si
lımn→∞∞∞
Sn =∞∞∞
2.- Cuando la sucesión (Sn)n∈N no admite límite, ni finito ni infinito, de la serie (xn) se dirá que es
oscilante.
La clasificación anterior está en línea con la dada en su momento para las sucesiones de números reales,
con las mismas observaciones. Así, a veces en lugar de “no convergente” se habla de “divergentes”, y
aun más, se reserva el término no convergente para las oscilantes. En lo sucesivo nosotros mantendremos
el vocabulario establecido antes.
Los siguientes ejemplos tienen un interés especial, como vamos a ver inmediatamente.
Ejemplo 2.- La serie de término general: xn =23n ,
2+ 23+ 2
9+ . . . . . . . . . + 2
3n + . . . . . . . . .
es convergente, puesto que
S = lımn→∞∞∞
Sn =2
1− 13
= 3
370
Ejemplo 3.- La serie de término general: xn = 2n+1,
2+4+8+ . . . . . . . . . +2n+1+ . . . . . .
es divergente, puesto que
Sn =2−2n+2
1−2y se verifica que
lımn→∞∞∞
Sn = lımn→∞∞∞
2−2n+2
1−2=∞∞∞
Ejemplo 4.- La serie de término general: xn = (−1)n ⋅2,
2−2+2−2+ . . . . . . . . . +(−1)n ⋅2+ . . . . . . . . .
es oscilante puesto que no existe ni límite finito ni infinito para la correspondiente sucesión (Sn)n∈N.
Los tres ejemplos anteriores son casos particulares de la serie geométrica, formada a partir de los térmi-
nos de una progresión geométrica indefinida,
a1+a1 ⋅r+a1 ⋅r2+ . . . . . . . . . +a1 ⋅rn−1
+ . . . . . . . . .
La expresión de la suma de los n primeros términos es, según sabemos
Sn =a
1−r−
a1 ⋅rn
1−r
de donde resultan los casos siguientes:
1º.- Si ∣r∣ > 1 , la serie es divergente, pues lımn→∞∞∞
Sn =∞∞∞
2º.- Si ∣r∣ < 1 , la serie es convergente, de suma S =a1
1−r
3º.- Si r = 1 , la serie es divergente, pues se reduce a : a1+a1+a1+ . . . . . . . . .
4º.- Si r = −1 , la serie es oscilante, pues se reduce a : a1−a1+a1−a1+ . . . . . . . . .
¡¡Atención!! Las consideraciones hechas, cuando en su momento estudiamos las sucesiones, acerca de
que el primer término sea el a0 ó el a1, siguen siendo válidas aquí, puesto que en definitiva una serie
no es más que una sucesión. Así, conocido el término general y el primer término, queda determinado
perfectamente el planteamiento. Sólo cabe la indefinición cuando nos dan sólo el término general, como
función de n, y aún en este caso no afecta al carácter de la serie, sólo a la suma.
371
Ejemplo 5.- La serie de término general
xn =1
n+1y de primer término el 1 es:
x0+x1+x2+ . . . . . . . . . + 1n+1
+ . . . . . . . . .
es decir
1+ 12+ 1
3+ . . . . . . . . . + 1
n+1+ . . . . . . . . .
Otra manera de definirla sería diciendo que se trata de la serie
∞∞∞
∑n=0
1n+1
Ejemplo 6.- Decir que (xn) es la serie de término general
xn =1
n+1
es un planteamiento que puede discutirse, pues se presta a interpretar que la serie es
∞∞∞
∑n=0
1n+1
ó∞∞∞
∑n=1
1n+1
No plantearía esa duda hablar de la serie (xn) cuyo término general es el
xn =1n
puesto que no tiene sentido adjudicar a n el valor 0; así, automáticamente debemos suponer que la serie es la
∞∞∞
∑n=1
1n
Estudiar una serie es resolver lo que consideraremos los dos problemas fundamentales:
a.- Determinar el carácter de la serie, es decir averiguar si la serie dada es convergente, divergente u
oscilante.
b.- En el caso de ser convergente, obtener su suma.
Ejemplo 7.- La respuesta a una petición de estudio de la serie
2+ 23+ 2
9+ . . . . . . . . . + 2
3n + . . . . . . . . .
sería:
a.- es convergente
b.- su suma vale 3 .
Las siguientes propiedades y consideraciones, de carácter general, van encaminadas a resolver esa pro-
blemática:
372
PROPOSICIÓN 1. El carácter de una serie no cambia si se suprimen, en la misma, un número
finito de términos.
En efecto: La serie
xp+1+xp+2+xp+3+ . . . . . . . . . +xp+n+ . . . . . . . . .
deducida de la (xn) suprimiendo los primeros términos, hasta el de rango p, tiene como suma parcial
S′n = xp+1+xp+2+ . . . . . . . . . +xp+n = Sp+n−Sp
siendo Sn la suma parcial de la serie (xn). Como Sp es un número fijo, resulta que la sucesión (S′n)n∈Ntiene límite sí, y sólo si, la sucesión (Sn)n∈N lo tiene.
Si los términos que se suprimen no estuvieran al principio de la serie, el razonamiento sería análogo.
Si la serie (xn) es convergente y su suma es S, entonces se llama resto de orden n de la serie dada a
rn =S−Sn
Como se verifica que
lımn→∞∞∞
Sn =Sresulta que
lımn→∞∞∞
rn = 0 ,
es decir, para toda serie convergente el resto de orden n tiende a cero cuando n tiende hacia infinito.
Se verifica, por otra parte, que:
PROPOSICIÓN 2. Una condición necesaria (pero no suficiente) para que una serie sea convergente
es que su término general, xn, tienda a cero cuando n tiende hacia infinito.
En efecto: Si (xn) es una serie convergente de suma S y puesto que:
xn = Sn−Sn−1 y lımn→∞∞∞
Sn =S
se tiene
lımn→∞∞∞
xn = 0 .
Ejemplo 8.- Determinar el carácter de la serie
1 ⋅32 ⋅4 + 3 ⋅5
4 ⋅6 + 5 ⋅76 ⋅8 + . . . . . . . . . + (2 ⋅n−1) ⋅(2 ⋅n+1)
2 ⋅n ⋅(2 ⋅n+2) + . . . . . . .
Se verifica
lımn→∞∞∞
xn = 1 ,
luego la serie es divergente.
373
Ejemplo 9.- Determinar el carácter de la serie (xn) de término general
xn =3n
n3+1.
Se verifica que
lımn→∞∞∞
xn = lımn→∞∞∞
3n
n3+1=∞∞∞
luego la serie es divergente.
Ejemplo 10.- Determinar el carácter de la serie (xn) de término general
xn =n√n!n
.
Por aplicación de la fórmula de Stirling (n! ≈ nn ⋅e−n ⋅√
2 ⋅πππ ⋅n) resulta
lımn→∞∞∞
n√n!n
= lımn→∞∞∞
√n!nn = lım
n→∞∞∞
n
√nn ⋅e−n ⋅
√2 ⋅πππ ⋅n
nn = lımn→∞∞∞
2⋅n√2 ⋅πππ ⋅ne = 1
e
luego la serie es divergente.
Ejemplo 11.- Determinar el carácter de la serie (xn) de término general
xn =nn
2 ⋅n!
Por aplicación de la fórmula de Stirling resulta
lımn→∞∞∞
nn
2 ⋅n!= lım
n→∞∞∞nn
2 ⋅nn ⋅e−n ⋅√
2 ⋅πππ ⋅n= lım
n→∞∞∞en
2 ⋅√
2 ⋅πππ ⋅n=∞∞∞
luego la serie es divergente.
Ejemplo 12.- Determinar el carácter de la serie de término general
3√
n3+1−√
n2+1
Transformemos el término general en la forma siguiente
an =3√
n3+1−√
n2+1 = n ⋅⎡⎢⎢⎢⎢⎣(1+ 1
n3 )13−(1+ 1
n2 )12⎤⎥⎥⎥⎥⎦
Dado que los sumandos,1
n3 y1
n2 , tiende a cero para n→∞∞∞ podemos operar como sigue:
an = n ⋅⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎛⎜⎝
1+(131
) ⋅ 1n3 +(
132
) ⋅ 1n6 + . . .
⎞⎟⎠−⎛⎜⎝
1+(121
) ⋅ 1n2 +(
122
) ⋅ 1n4 + . . .
⎞⎟⎠
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦= − 1
2 ⋅n + 13 ⋅n2 + . . .
Resulta, entonces, que
lımn→∞∞∞
n ⋅an = −12≠ 0
luego aplicando el criterio de Pringsheim, podemos afirmar que la serie dada es divergente.
374
Ejemplo 13.- Determinar el carácter de la serie de término general
an =A√n+a
+ B√n+b
Podemos expresar el término general en la forma siguiente
an =A ⋅
√n+b+B ⋅
√n+a√
(n+a) ⋅(n+b)
luego
lımn→∞∞∞
n12 ⋅an = A+B
Aplicando el criterio Pringsheim resultará que si A+B ≠ 0 la serie dada es divergente.
En el caso de ser A+B = 0 (B = −A) tendremos que
an = A ⋅√
n+b−√
n+a√(n+a) ⋅(n+b)
= A ⋅(b−a)(√
n+b+√
n+a) ⋅√
(n+a) ⋅(n−b)
luego
lımn→∞∞∞
n32 ⋅an =
A ⋅(b−a)2
Aplicando el criterio de Pringsheim resultará que si A+B = 0 la serie dada es convergente.
Así mismo se tiene que:
PROPOSICIÓN 3. Para que una serie, (xn), sea convergente es necesario y suficiente que, para
todo εεε > 0 exista un r ∈N tal que, para todo n ⩾ r y todo p > 0:
∣Sn+p−Sn∣ = ∣xn+1+xn+2+ . . . . . . . . . +xn+p∣ < εεε .
En efecto: Si (xn) es una serie convergente ,de suma S, entonces la sucesión (Sn)n∈N es una sucesión de
Cauchy. Recíprocamente, por ser R un espacio completo, toda sucesión de Cauchy es convergente.
Ejemplo 14.- Consideremos la serie de término general: xn = 1n ,
1+ 12+ 1
3+ . . . . . . . . . + 1
n+ . . . . . . . . .
a la que se llama serie armónica.
El término general tiende a cero,
lımn→∞∞∞
1n
= 0 ,
sin embargo la serie es divergente. Veámoslo
S2⋅n−Sn =1
n+1+ 1
n+2+ . . . . . . . . . + 1
n+n⩾ 1
2 ⋅n + 12 ⋅n + . . . . . . . . . + 1
2 ⋅n = 12
n n
La sucesión (Sn)n∈N no es una sucesión de Cauchy, puesto que la diferencia S2⋅n−Sn está minorada por12
;
luego la serie armónica es divergente.
375
PROPOSICIÓN 4. El carácter de una serie no cambia si se multiplican todos sus términos por un
mismo número a ≠ 0 . Además, si la serie es convergente, y de suma S, la nueva serie tiene por suma
a ⋅S . (PROPIEDAD DISTRIBUTIVA).
En efecto: Dada la serie (xn), al multiplicar sus términos por el número a ≠ 0, se obtiene la nueva serie
a ⋅x0+a ⋅x1+a ⋅x2+ . . . . . . . . . +a ⋅xn+ . . . . . . . . .
La suma parcial de ésta es
S′n = a ⋅x0+a ⋅x1+a ⋅x2+ . . . . . . . . . +a ⋅xn = a ⋅Sn ,
luego, según la serie(xn) sea convergente, de suma
S = lımn→∞∞∞
Sn
o divergente, es decir tal que
lımn→∞∞∞
Sn =∞∞∞
se tendrá, respectivamente,
S′ = lımn→∞∞∞
S′n = a ⋅S , o bien lımn→∞∞∞
S′n =∞∞∞ .
Veamos ahora una propiedad que se refiere a las serie convergentes y divergentes.
PROPOSICIÓN 5. Si en una serie, convergente o divergente, se sustituyen varios términos con-
secutivos por su suma, la nueva serie tiene el mismo carácter que la primera. Ademas, si la serie
dada es convergente, la nueva serie tiene la misma suma. (PROPIEDAD ASOCIATIVA).
En efecto: Asociando términos de la serie
x0+x1+x2+ . . . . . . . . . +xn+ . . . . . . . . .
resulta la serie
(x0+x1+ . . . . . . . . . +xi)+(xi+1+xi+2+ . . . . . . . . . +xj)+ . . . . . . . . .
Las sumas parciales de la nueva serie serán
S′0 = Si , S′1 = Sj , . . . . . . . . .
sucesión ésta que está contenida en la
S0 , S1 , . . . . . . . . . , Si , . . . . . . . . . , Sj , . . . . . . . . . , Sn , . . . . . . . . .
luego tendrá el mismo límite que ésta.
El siguiente ejemplo nos muestra que las series oscilantes no poseen la PROPIEDAD ASOCIATIVA.
376
Ejemplo 15.- Dada la serie oscilante
1− 1 ⋅322 +1− 2 ⋅4
32 +1− 3 ⋅542 +1− 4 ⋅6
52 + . . . . . . . . .
Asociando cada dos términos, es decir
(1− 1 ⋅322 )+(1− 2 ⋅4
32 )+(1− 3 ⋅542 )+(1− 4 ⋅6
52 )+ . . . . . . . . .
resulta la serie convergente122 + 1
32 + 142 + 1
52 + . . . . . . . . .
¡¡Atención!! Ni siquiera para las series convergentes se verifica, en general, lo que podríamos llamar
PROPIEDAD DISOCIATIVA, es decir: no se pueden descomponer arbitrariamente los términos de una
serie en suma de varios, pues que una sucesión tenga un límite finito o infinito no se puede deducir que
lo tenga la serie disociativa. Veremos, sin embargo, más adelante, cuando tratemos con las series de
términos positivos, bajo que condiciones sí se verifica la disociatividad.
Ejemplo 16.- Dada la serie convergente
12+ 1
4+ 1
8+ 1
16+ . . . . . . . . .
disociando cada término en la forma
(1− 12
)+(1− 34
)+(1− 78
)+(1− 1516
)+ . . . . . . . . .
se obtiene la serie oscilante
1− 12+1− 3
4+1− 7
8+1− 15
16+ . . . . . . . . .
¡¡Atención!! Tampoco tiene, en general, las series la propiedad CONMUTATIVA, la cual será una
propiedad de las series de términos positivos, según veremos más adelante.
Ejemplo 17.- Dada la serie
1− 12+ 1
3− 1
4+ 1
5− 1
6+ 1
7− 1
8+ . . . . . . . . .
convergente, y de suma S = Log 2, permutando convenientemente sus términos resulta la serie
1− 12− 1
4+ 1
3− 1
6− 1
8+ 1
5− . . . . . . . . .
convergente, pero de suma S′ = 12⋅Log 2 .
Permutando ahora de otra manera, se obtiene la serie
1+ 13− 1
2+ 1
5+ 1
7− 1
4+ . . . . . . . . .
377
también convergente, pero de suma: S′′ = 23⋅Log 2 .
El siguiente resultado permite trasvasar el estudio del carácter de una serie al de una sucesión:
PROPOSICIÓN 6. La sucesión (an)n∈N es convergente sí, y sólo sí, la serie (xn) de término general
xn = an−an+1
es convergente. Además, la suma de la serie es entonces
S = a0− lımn→∞∞∞
an+1
En efecto: Como la suma parcial de orden n, de la serie es
Sn =n∑k=0
(ak−ak+a) = a0−an+1
la serie será convergente sí, y sólo sí, la sucesión (an)n∈N lo es.
Por otra parte, y supuesta convergente la serie, resulta:
lımn→∞∞∞
Sn = a0− lım an+1 .
Ejemplo 18.- Estudiar la serie de término general
xn =1
n ⋅(n+1) ,
es decir la serie1
1 ⋅2 + 12 ⋅3 + 1
3 ⋅4 + . . . . . . . . . + 1n ⋅(n+1) + . . . . . . . . .
Como1
n ⋅(n+1) = 1n− 1
n+1podemos asociar a la serie la sucesión (an)n∈N, de término general
an =1n
es decir la sucesión
1 ,12
,13
, . . . . . . . . . ,1n
, . . . . . . . . .
que es, evidentemente, convergente puesto que
lımn→∞∞∞
an = lımn→∞∞∞
1n
= 0 .
Así resulta que la serie dada es convergente, y su suma vale
S = a0− lımn→∞∞∞
an = 1−0 = 1 .
378
Ejemplo 19.- Dada la sucesión (an)n∈N de término general
an = arc tg1n
formamos la serie (xn), de término general
xn = an−an+1 = arc tg1n−arc tg
1n+1
= arc tg1
n2+n+1,
recordando que
(tg ααα = 1n
, tg βββ = 1n+1
) Ô⇒ tg (ααα −βββ) = tg ααα − tg βββ
1+ tg ααα ⋅ tg βββ= 1
n2+n+1
Como
lımn→∞∞∞
an = lımn→∞∞∞
arc tg1n
= 0
la sucesión (an)n∈N es convergente, luego resulta que la serie (xn) es convergente, y su suma vale
S = a0− lımn→∞∞∞
an =πππ
2−0 = πππ
2.
Por otra parte observamos que si en lugar de haber considerado la sucesión (an)n∈N,
a0 = arc tg∞∞∞ , a1 = arc tg 1 , a2 = arc tg12
, . . . . . . . . . , an = arc tg1n
, . . . . . . . . .
y consecuentemente la serie
arc tg 1+arc tg13+arc tg
17+ . . . . . . . . . +arc tg
1n2+n+1
+ . . . . . . . . .
cuya suma valeπππ
2, es decir
S = arc tg 1+arc tg13+ . . . . . . . . . +arc tg
1n2+n+1
+ . . . . . . . . . = πππ
2
hubiésemos considerado la sucesión (an)n∈N∗
a1 = arc tg 1 , a2 = arc tg12
, . . . . . . . . . +arc tg1n+ . . . . . . . . .
y consecuentemente la serie
arc tg13+arc tg
17+ . . . . . . . . . +arc tg
1n2+n+1
+ . . . . . . . . .
la suma de ésta valdría
S = a1− lımn→∞∞∞
an =πππ
4−0 = πππ
4y podríamos escribir
S = arc tg13+arc tg
17+ . . . . . . . . . +arc tg
1n2+n+1
+ . . . . . . . . . = πππ
4
(Recordemos que: N = 0 , 1 , 2 , . . . . . . . . . y N∗ = 1 , 2 , . . . . . . . . .).
379
Lección 33.- SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS
33.1 Series de términos positivos
33.2 Criterio de Rieman-Pringsheim
33.3 Criterio de D’Alembert
33.4 Criterio de Cauchy
33.5 Criterio de Raabe-Duhamel
33.6 Criterio Logarítmico
33.7 Criterios de Kummer y de Gauss
33.8 Cuadro resumen
33.1 Series de términos positivos
Diremos que una serie (xn) es de términos positivos cuando todos sus términos lo son, es decir si se
verifica
(∀∀∀ n ∈N) xn ⩾ 0 .
Consideramos la suma parcial de orden n de la serie de términos positivos (xn):
Sn = x0+x1+x2+ . . . . . . . . . +xn ;
entonces
Sn+1 = Sn+xn+1
de donde resulta
Sn+1 ⩾ Sn .
Caben entonces dos posibilidades:
1.- el conjunto de los números Sn está mayorado, en cuyo caso la sucesión (Sn)n∈N tiene un límite
(finito), y por tanto la serie (xn) es convergente.
2.- el conjunto de los números Sn no está mayorado, en cuyo caso la sucesión (Sn)n∈N tiene límite
infinito, y por tanto la serie es divergente.
En definitiva : Para que una serie, (xn), de términos positivos sea convergente es necesario y sufi-
ciente que la sucesión de las sumas parciales (Sn)n∈N esté mayorada.
¡¡Atención!! Observemos que una serie de términos positivos nunca puede ser oscilante.
381
PROPOSICIÓN 1. En una serie de términos se puede alterar el orden de sus términos sin que
cambie el carácter de la serie dada, ni su suma si es convergente. (PROPIEDAD CONMUTATIVA).
En efecto: Consideremos la serie de términos positivos (xn), y sea (yn) otra serie que tiene los mismos
términos que la primera en orden distinto.
Si (xn) es convergente y su suma es S, se verifica que, fijado εεε > 0 existe un n0 tal que
n ⩾ n0 Ô⇒ S−Sn < εεε
Por otra parte, existirá un m0 tal que en la suma parcial S′m0 de la serie (yn) figuran los términos de Sn0 ,
luego
S′m0 ⩾ Sn0
Además, todos los términos de S′m0 estarán contenidos en una suma parcial de (xn), luego
S′m0 ⩽S .
Así resulta que:
0 <S−S′m0 <S−Sn0 < εεε
de donde
lımm0→∞∞∞
S′m0 = S .
Si (xn) es divergente también lo es (yn), pues si fuera convergente lo sería la primera, de acuerdo con todo
lo anterior.
Ejemplo 1.- La serie131 +1+ 1
33 + 132 + 1
35 + 134 + . . . . . . . . .
tiene la misma suma, S = 32
, que la serie geométrica
1+ 131 + 1
32 + 133 + 1
34 + . . . . . . . . .
que resulta de alterar el orden de sus elementos.
PROPOSICIÓN 2. En una serie de términos positivos se puede descomponer arbitrariamente cada
término en un número finito de sumandos positivos sin que se altere su carácter, ni su suma si es
convergente. (PROPIEDAD DISOCIATIVA).
En efecto: La disociación de cada término en varios sumandos positivos puede hacerse, pues por asociación
de éstas resulta la serie dada.
¡¡Atención!! Conviene recordar, en lo sucesivo, que estas dos propiedades establecidas son caracterís-
ticas de las serie de términos positivos, como habíamos apuntado en la lección anterior.
Dada una serie convergente, en general no se puede hallar su suma de manera sencilla, como ocurría
con las series geométricas. Así, antes de intentar hallar la suma de una serie es conveniente comprobar
382
su convergencia, aparte de que en muchos casos no se precisa conocer dicha suma sino únicamente el
carácter de la serie. A tal fin vamos a establecer, a continuación, criterios de convergencia de series de
términos positivos, comparando convenientemente las series con determinados patrones.
Dadas dos series de términos positivos (xn) e (yn) , diremos que la serie (yn) mayora a la serie (xn) ,
o que la serie (xn) minora a la serie (yn) , si se verifica
(∀∀∀ n ∈N) xn ⩽ yn .
Se dirá también, en este caso, que la (yn) es una serie mayorante de la serie (xn) , y que la serie (xn)
es una serie minorante de la (yn).
Ejemplo 2.- Dadas las series de términos positivos (xn) e (yn) , de términos generales respectivos
xn =1
n+1, yn =
1n
,
tendremos que (yn) mayora a la (xn), puesto que
(∀∀∀ n ∈N) 1n+1
< 1n
,
es decir: (yn) es serie mayorante de la (xn), y (xn) es serie minorante de la (yn).
El resultado siguiente es fundamental en lo que sigue.
PROPOSICIÓN 3. Para dos series (xn) e (yn), de términos positivos, tales que (yn) es serie mayo-
rante de la (xn), se verifica que:
1º.- Si (yn) es convergente, entonces (xn), es convergente.
2º.- Si (xn) es divergente, entonces (yn) es divergente.
En efecto: Si para n > n0 los términos de la serie (xn) son menores que sus correspondientes de la (yn),
es decir, si
xn0+1 ⩽ yn0+1 , xn0+2 ⩽ yn0+2 , . . . . . . . . . , xn0+p ⩽ yn0+p , . . . . . . . . .
entonces
xn0+1+xn0+2+ . . . . . . . . . +xn0+p ⩽ yn0+1+yn0+2+ . . . . . . . . . +yn0+p
Ahora bien, si la serie (yn) es convergente, la suma del segundo miembro de la desigualdad está acotada,
cualquiera que sea el valor de p, y en consecuencia también lo está la suma del primer miembro, luego la
serie (xn)xn0+1+xn0+2+ . . . . . . . . . +xn0+p+ . . . . . . . . .
es convergente. Así mismo es convergente la serie (xn0) que resulta de la anterior, simplemente de antepo-
nerla un número finito de sumandos:
x0+x1+ . . . . . . . . . +xn0 .
383
Queda sí probado el apartado 1º.- . Para establecer el 2º.- basta con cambiar el sentido de las desigualdades
y razonar en forma análoga.
¡¡Atención!! En la demostración de la propiedad anterior ha quedado establecido que basta con que los
términos de la serie (yn) mayoren a los correspondientes de la serie (xn) , a partir de un cierto n = n0,
para que la conclusión de dicha propiedad sea cierta, lo cual es muy interesante en las aplicaciones.
Ejemplo 3.- La serie
1+ 122 + 1
33 + . . . . . . . . . + 1nn + . . . . . . . . .
es convergente, ya que sus términos son menores (a partir del tercero) que los de la serie geométrica convergente, de
razón r = 12
,121 + 1
22 + 123 + . . . . . . . . . + 1
2n + . . . . . . . . .
Ejemplo 4.- La serie
1+ 1Log 2
+ 1Log 3
+ . . . . . . . . . + 1Log n
+ . . . . . . . . .
es divergente, ya que sus términos son mayores (a partir del segundo) de los de la serie armónica
1+ 12+ 1
3+ . . . . . . . . . + 1
n+ . . . . . . . . .
que, según sabemos, es divergente.
¡¡Atención!! Cuando, en la próxima lección, tratemos de las series alternadas comprobaremos que la
serie11−
12+
13−
14+
15−
16+ . . . . . . . . .
es convergente; así mismo, también mas adelante, cuando estudiemos la convergencia y divergencia
incondicional, comprobaremos que la serie
112 −
12+
132 −
14+
152 −
16+ . . . . . . . . .
es divergente.
Pudiera parecer, a primera vista, que hay contradicción entre estos resultados y la propiedad anterior,
puesto que la segunda serie tiene sus términos menores o iguales que los de la primera. Sin embargo,
no existe contradicción alguna puesto que la propiedad se refiere exclusivamente a series de términos
positivos.
Consecuencia inmediata del resultado anterior son las dos siguientes.
384
PROPOSICIÓN 4. Para dos series (xn) e (yn), de términos estrictamente positivos, tales que
(∀∀∀ n ∈N)xn+1
xn⩽
yn+1
yn,
se verifica que
1º.- Si (yn) es convergente, entonces (xn) es convergente.
2º.- Si (xn) es divergente, entonces (yn) es divergente.
En efecto: Si se verifica quexn+1xn
⩽ yn+1yn
se tiene quexn+1yn+1
⩽ xnyn
,
luego la sucesión ( xnyn
) es decreciente y está, por tanto, mayorada por k = x0y0
. En consecuencia
(∀∀∀ n ∈N) xn ⩽ k ⋅yn ,
es decir, la serie (xn) está mayorada por la serie (k ⋅yn).
Aplicando a estas series la propiedad anterior resulta la propiedad que nos ocupa.
PROPOSICIÓN 5. Para las series (xn) e (yn) , de términos positivos, tales que
lımn→∞∞∞
yn
xn=L ≠ 0 ,
se verifica que: Las series (xn) e (yn) convergen o divergen simultáneamente.
En efecto: Si se verifica que
lımn→∞∞∞
ynxn
= L ≠ 0 ,
entonces, para todo εεε ∈]0 , L[ , existe un n0 ∈N tal que
n > n0 Ô⇒ ∣ ynxn
−L∣ < εεε Ô⇒ L−εεε < ynxn
< L+εεε
Resulta entonces que, por ser positivos tanto L+εεε como L−εεε:
a.- Si (xn) es convergente, la serie ((L+εεε) ⋅xn) también es convergente, y como mayora a la (yn), esta
serie es convergente.
b.- Si (xn) es divergente, la serie ((L−εεε) ⋅xn) también es divergente, y como minora a la (yn), esta serie
también es divergente.
De dos series (xn) e (yn) de términos positivos tales que
lımn→∞∞∞
yn
xn=L ≠ 0
diremos que son series de términos asintóticamente equivalentes.
385
Ejemplo 5.- Las series (xn) e (yn) de términos generales
xn =1
1+ 12+ . . . . . . . . . + 1
n
, yn =1
Log n
son series de términos asintóticamente equivalentes, pues
lımn→∞∞∞
1Log n
1
1+ 12+ . . . . . . . . . + 1
n
= 1 ≠ 0
Ejemplo 6.- Las series (xn) e (yn) de términos generales
xn =1
n2 , yn =4
n3
Log (1+ 2n
)
son de términos asintóticamente equivalentes, pues
lımn→∞∞∞
4n3
Log (1+ 2n
)1
n2
= 2 ≠ 0 .
De acuerdo con lo que hablamos antes, vamos a establecer “series patrón” con las que poder comparar
las que queramos estudiar. Con esta orientación enunciamos el resultado que sigue.
PROPOSICIÓN 6. Sea fff una función numérica definida sobre ]0 , +∞∞∞[ , positiva y decreciente.
Para que la serie ( fff (n)) converja es necesario y suficiente que la integral ∫+∞∞∞
1fff (x) dx converja.
En efecto: Por ser decreciente la función fff , se tiene para todo k ∈ N∗,
k ⩽ x ⩽ k+1 Ô⇒ fff (k+1) ⩽ fff (x) ⩽ fff (k)
(1)
(2)
(k)
(k+1)
1 2 k k+1
x
ffffffffffffffffffffffffffffff
ffffffffffffffffffffffffffffff
y por tanto
∫k+1
kfff (k+1) dx ⩽ ∫
k+1
kfff (x) dx ⩽ ∫
k+1
kfff (k) dx
386
o lo que es lo mismo
fff (k+1) ⩽ ∫k+1
kfff (x) dx ⩽ fff (k)
Sumando ahora las desigualdades obtenidas, al hacer variar k desde k = 1 hasta k = n, se tiene
Sn+1− fff (1) ⩽ ∫n+1
1fff (x) dx ⩽ Sn
siendo
Sn = fff (1)+ fff (2)+ . . . . . . . . . + fff (n) .
Resulta entonces que
a.- Si existe la integral ∫+∞∞∞
1fff (x) dx
Sn+1− fff (1) ⩽ ∫n+1
1fff (x) dx ⩽ ∫
+∞∞∞
1fff (x) dx ,
la sucesión (Sn+1) está mayorada y en consecuencia la serie ( fff (n)) es convergente.
b.- Si la serie ( fff (n)) es convergente, y designamos por n la parte entera de cualquier número real p ⩾ 1,
se tiene que n ⩽ p < n+1, de donde resulta que
∫p
1fff (x) dx ⩽ ∫
n+1
1fff (x) dx ⩽ Sn
y por estar Sn mayorada, también lo está la integral ∫p
1fff (x) dx. En consecuencia, existe (converge) la
integral
∫+∞∞∞
1fff (x) dx .
¡¡Atención!! La propiedad anterior nos abre una posibilidad de tratamiento para las series, en cuanto
a determinar su carácter, que se materializará en el criterio de Rieman-Pringsheim. Por otra parte, la
integral que se maneja ∫+∞∞∞
1fff (x) dx puede sustituirse por la ∫
+∞∞∞
afff (x) dx, siendo a un número entero
positivo cualquiera, eso sí, fijo y determinado, lo cual no significaría más que se ha prescindido en la
serie de algunos términos, lo cual no altera su carácter.
Ejemplo 7.- Dada la serie∞∞∞
∑n=2
1n ⋅(Log n)k
resulta que
∫+∞∞∞
a
dxx ⋅(Log x)k =
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
[Log (Log x)]+∞∞∞a si k = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DIVERGENTE
[ (Log x)1−k
1−k]+∞∞∞
asi k ≠ 1. . . . . . . . .
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
k > 1. . . . . . . . . CONVERGENTE
k < 1. . . . . . . . . DIVERGENTE
El resultado no depende del valor de a ⩾ 2.
Llamaremos serie de Rieman, correspondiente a la serie de términos positivos (1
nααα), siendo ααα un
número real dado.
387
Ejemplo 8.- La serie de Rieman, correspondiente a ααα = 1, es la serie armónica
1+ 12+ 1
3+ . . . . . . . . . + 1
n+ . . . . . . . . .
La serie de Rieman, correspondiente a ααα = 2, es
1+ 12+ 1
9+ . . . . . . . . . + 1
n2 + . . . . . . . . .
La serie de Rieman, correspondiente a ααα = −1, es
1+2+3+ . . . . . . . . . +n+ . . . . . . . . .
PROPOSICIÓN 7. La serie de Rieman (1
nααα) es convergente para ααα > 1 y divergente para ααα ⩽ 1.
En efecto: Si ααα ⩽ 0, la serie es divergente, puesto que su término general no tiende a cero.
En el caso de ser ααα > 0, la función
fff ∶ x z→ 1xααα
es positiva y decreciente en ]0 , +∞∞∞[ , luego de acuerdo con la proposición anterior la serie dada es
convergente sí, y sólo sí, existe la integral
∫+∞∞∞
1
dxxααα
,
lo que, evidentemente ocurre sí, y sólo sí, ααα > 1.
Estamos ahora en condiciones de poder establecer criterios para el estudio prático de las series de térmi-
nos positivos, en lo que a su carácter se refiere.
33.2 Criterio de Rieman-Pringsheim
Si (xn) es una serie de términos positivos y existe un a ∈R tal que: lımn→∞∞∞
⋅xn =L, entonces.
1º.- Si a > 1, y L es un número real (eventualmente puede ser L = 0), la serie (xn) es convergente.
2º.- Si a ⩽ 1, y L es un número real distinto del 0 (eventualmente puede ser L = +∞∞∞), la serie (xn)
es divergente.
En efecto: Si las series (xn) y ( 1na ) tiene sus términos asintóticamente equivalentes se verifica que:
lımn→∞∞∞
xn1
na
= lımn→∞∞∞
na ⋅xn = L ≠ 0
Ahora bien según hemos visto antes, si a > 1 la serie ( 1na ) es convergente, luego también lo será la (xn).
Por el contrario, si a ⩽ 1 la serie ( 1na ) es divergente, luego también lo será la (xn).
388
Observemos que si una serie de términos positivos (xn) es convergente y el producto n ⋅xn admite límite,
este debe ser nulo. Por otra parte, la serie puede ser convergente aunque este límite no exista.
Ejemplo 1.- Determinar el carácter de la serie (xn), de término general
xn =3+n2+n2 .
Aplicando el criterio de Rieman-Pringsheim, para a = 1, resulta
lımn→∞∞∞
n ⋅ 3+n2+n2 = 1 ,
luego la serie es convergente.
Ejemplo 2.- Determinar el carácter de la serie (xn), de término general
xn =Log n√
n.
Aplicando el criterio de Rieman-Pringsheim, para a = 1, resulta
lımn→∞∞∞
n ⋅ Log n√n
= lımn→∞∞∞
√n ⋅Log n =∞∞∞ ,
luego la serie es divergente.
También hubiéramos podido tomar a = 12
, con lo que
lımn→∞∞∞
n12 ⋅ Log n√
n= lım
n→∞∞∞Log n =∞∞∞ ,
evidentemente con el mismo resultado.
Ejemplo 3.- Determinar el carácter de la serie (xn), de término general
xn =1√
n ⋅(n+1) ⋅(√
n+√
n+1).
Aplicando el criterio de Rieman-Pringsheim, para a = 32
, resulta
lımn→∞∞∞
n32 ⋅ 1√
n ⋅(n+1) ⋅(√
n+√
n+1)= 1
2.
luego la serie es convergente.
Ejemplo 4.- Determinar el carácter de la serie (xn), de término general
xn =3 ⋅n−1n4+1
.
Comparando la serie dada con la serie (yn) de término general
yn =3 ⋅nn4 ,
389
que es convergente (basta aplicar el criterio de Rieman-Pringsheim para a = 3) resulta:
lımn→∞∞∞
3 ⋅n−1n4+13 ⋅nn4
= lımn→∞∞∞
(3 ⋅n−1) ⋅n4
3 ⋅n ⋅(n4+1)= 1 ,
luego las series (xn) y (yn) son de igual carácter.
En consecuencia, la serie dada es convergente.
33.3 Criterio de D’Alembert
Si (xn) es una serie de términos estrictamente positivos se verifica que:
1º.- Si a partir de un cierto rango n0, la razón de término al anterior es menor que un número
fijo h < 1, la serie dada es convergente, y si es mayor que 1 la serie es divergente.
2º.- Si se verifica que lımn→∞∞∞
xn+1
xn=L entonces
si L < 1, la serie (xn) es convergente, y
si L > 1, la serie (xn) es divergente.
En efecto: En primer lugar veamos que se cumple 1º.- .
Si para todos los n > n0 se verifica que
xn0+1xn0
< h ,xn0+2xn0+1
< h ,xn0+3xn0+2
< h , . . . . . . . . .
también se tiene que
xn0+1 < xn0 ⋅hxn0+2 < xn0+1 ⋅h < xn0 ⋅h2
xn0+3 < xn0+2 ⋅h < xn0 ⋅h3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Por ser 0 < h < 1, la serie geométrica
xn0 ⋅h+xn0 ⋅h2+xn0 ⋅h
3+ . . . . . . . . . . . .
es convergente, luego también lo será la serie
xn0+1+xn0+2+xn0+3+ . . . . . . . . . . . . ,
por estar mayorada por la anterior. Así mismo es convergente la serie (xn), ya que resulta anteponer a la
última n0 términos.
Por otra parte, si para todos los n > n0 se verifica que
xn0+1xn0
> 1 ,xn0+2xn0+1
> 1 ,xn0+3xn0+2
> 1 , . . . . . . . . .
390
entonces
xn0 < xn0+1 < xn0+2 < xn0+3 < . . . . . . . . . . . .
sucesión, ésta, de números positivos creciente, luego
lımn→∞∞∞
xn ≠ 0
y en consecuencia la serie (xn) es divergente.
Una vez establecido 1º.- , es inmediato establecer 2º.- , puesto que si
lımn→∞∞∞
xn+1xn
= L < 10
L h
1
fijado un h, tal que L < h < 1, existe un n0 ∈N tal que
∀∀∀n > n0 ,xn+1xn
< h
y si
lımn→∞∞∞
xn+1xn
= L > 10
Lh
1
fijado un h, tal que 1 < h < L, existe un n0 ∈N tal que
∀∀∀n > n0 ,xn+1xn
> h > 1
¡¡Atención!! Si dada la serie (xn) se verifica que el lımn→∞∞∞
xn+1
xn= 1, pero la razón se conserva mayor que
uno, entonces la serie es divergente, de acuerdo con el razonamiento desarrollado en el establecimiento
del criterio de D’Alembert. Sin embargo, cuando el lımn→∞∞∞
xn+1
xn= 1 , conservándose la razón menor que
uno, no podemos afirmar nada, y se debe recurrir a otro criterio para resolver la indeterminación.
Por otra parte, en la práctica es indistinto calcular el lımn→∞∞∞
xn+1
xn, o el lım
n→∞∞∞
xn
xn−1.
Al criterio de D’Alembert se le suele llamar, con frecuencia, criterio de la razón.
Ejemplo 1.- Determinar el carácter de la serie (xn), de término general
xn =n3
n!.
Aplicando el criterio de D’Alembert, se tiene
lımn→∞∞∞
n3
n!(n−1)3
(n−1)!
= lımn→∞∞∞
n3
n ⋅(n−1)3 = 0 ,
luego la serie es convergente.
391
Ejemplo 2.- Determinar el carácter de la serie (xn), de término general
xn =n!nn .
Aplicando el criterio de D’Alembert, se tiene
lımn→∞∞∞
n!nn
(n−1)!(n−1)n−1
= lımn→∞∞∞
n ⋅(n−1)n−1
nn = lımn→∞∞∞
( n−1n
)n−1
=
= lımn→∞∞∞
(1− 1n
)n⋅(1− 1
2)−1
= e−1 ⋅1 = 1e
luego la serie es convergente.
Ejemplo 3.- Determinar el carácter de la serie (xn), de término general
xn =12⋅ 3
4⋅ 5
6. . . . . . . . . ⋅ 2 ⋅n−1
2 ⋅n ⋅ 1n ⋅2n .
Aplicando el criterio de D’Alembert, se tiene
lımn→∞∞∞
12⋅ 3
4⋅ 5
6. . . . . . . . . ⋅ 2 ⋅n−1
2 ⋅n ⋅ 1n ⋅2n
12⋅ 3
4⋅ 5
6. . . . . . . . . ⋅ 2 ⋅n−3
2 ⋅n−2⋅ 1(n−1) ⋅2n−1
= lımn→∞∞∞
2 ⋅n−12 ⋅n ⋅ (n−1) ⋅2n−1
n ⋅2n = 12
luego la serie es convergente.
Ejemplo 4.- Determinar el carácter de la serie (xn), de término general
xn =Log na
n!(a ≠ 0) .
Aplicando el criterio de D’Alembert, se tiene
lımn→∞∞∞
Log na
n!Log (n−1)a
(n−1)!
= lımn→∞∞∞
Log na
n ⋅Log (n−1)a = lımn→∞∞∞
a ⋅Log nn ⋅a ⋅Log (n−1) = 0 ,
luego la serie es convergente.
Ejemplo 5.- Determinar el carácter de la serie (xn), de término general
xn =112 + 1
1+ 1
34 + 133 + 1
56 + 155 + . . . . . . . . .
Por tratarse de una serie de términos positivos podemos agruparlo resultando la serie equivalente
∞∞∞
∑n=1
( 1(2 ⋅n−1)2⋅n + 1
(2 ⋅n−1)2⋅n−1 ) =∞∞∞
∑n=1
2 ⋅n(2 ⋅n−1)2⋅n
392
Aplicando ahora el criterio de D’Alembert se tiene
lımn→∞∞∞
2 ⋅n(2 ⋅n−1)2⋅n
2 ⋅n−2(2 ⋅n−3)2⋅n−2
= lımn→∞∞∞
2 ⋅n ⋅(2 ⋅n−3)2⋅n−2
(2 ⋅n−2) ⋅(2 ⋅n−1)2⋅n = lımn→∞∞∞
2 ⋅n2 ⋅n−2
⋅ (2 ⋅n−3)2⋅n−2
(2 ⋅n−1)2⋅n =
= lımn→∞∞∞
2 ⋅n2 ⋅n−2´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
1
⋅( 2 ⋅n−32 ⋅n−1
)2⋅n
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶e−2
⋅ 1(2 ⋅n−3)2
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶0
= 1 ⋅e−2 ⋅0 = 0
En consecuencia, la serie es convergente.
Ejemplo 6.- Determinar el carácter de la serie (xn), de término general
xn =(n!)2
(2 ⋅n)!− 10 ⋅n+3
3 ⋅n−1.
Aplicando el criterio de D’Alembert se tiene
lımn→∞∞∞
(n!)2 ⋅(10 ⋅n+3)(2 ⋅n)! ⋅(3 ⋅n−1)
[(n−1)!]2 ⋅ [10 ⋅(n−1)+3](2 ⋅n−2) ⋅ [3 ⋅(n−1)−1]
= lımn→∞∞∞
(n!)2 ⋅(10 ⋅n+3) ⋅(2 ⋅n−2)! ⋅(3 ⋅n−4)(2 ⋅n)! ⋅(3 ⋅n−1) ⋅ [(n−1)!]2 ⋅(10 ⋅n−7)
=
= lımn→∞∞∞
n2 ⋅(10 ⋅n+3) ⋅(3 ⋅n−4)(2 ⋅n−1) ⋅2 ⋅n ⋅(3 ⋅n−1) ⋅(10 ⋅n−7) = lım
n→∞∞∞30 ⋅n2
120 ⋅n2 = 14
luego la serie es convergente.
Ejemplo 7.- Determinar el carácter de la serie (xn), de término general
xn =ααα ⋅(ααα +1) ⋅(ααα +2) ⋅ . . . . . . . . . ⋅(ααα +n−1)βββ ⋅(βββ +1) ⋅(βββ +2) ⋅ . . . . . . . . . ⋅(βββ +n−1)
Aplicando ahora el criterio de D’Alembert se tiene
lımn→∞∞∞
xn+1xn
= lımn→∞∞∞
n+ααα
n+βββ= 1 .
Aplicando ahora el criterio de Raabe-Duhamel se tiene
lımn→∞∞∞
(1− xn+1xn
) = lımn→∞∞∞
n ⋅(ααα −βββ)n+βββ
=βββ −ααα
Luego
βββ −ααα > 1 ⇐⇒ βββ >ααα +1 CONVERGENTE
βββ −ααα < 1 ⇐⇒ βββ <ααα +1 DIVERGENTE
βββ −ααα = 1 ⇐⇒ βββ =ααα +1 (caso dudoso)
Para el caso dudoso: βββ =ααα +1, tenemos por el criterio de Pringsheim:
lımn→∞∞∞
np ⋅xn = 1 , para p = 1
luego para βββ =ααα +1, la serie es DIVERGENTE
393
Ejemplo 8.- Determinar el carácter de la serie
∞∞∞
∑n=1
an
n!.
Aplicando el criterio del cociente tenemos:
lımn→∞∞∞
an
n!an−1
(n−1)!
= lımn→∞∞∞
an
= 0 < 1 ,
luego, la serie es convergente cualquiera que sea el valor de a.
Ejemplo 9.- Determinar el carácter de la serie
∞∞∞
∑n=1
an2
n.
Aplicando el criterio del cociente tenemos:
lımn→∞∞∞
an2
na(n−1)2
n−1
= lımn→∞∞∞
( n−1n
⋅a2⋅n−1) =
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
0 si a < 1
∞∞∞ si a > 1
1 si a = 1
luego
Si a < 1 , la serie dada es convergente.
Si a > 1 , la serie dada es divergente.
En el caso de ser a = 1, la serie dada es la armónica, que es divergente.
Ejemplo 10.- Determinar el carácter de la serie
∞∞∞
∑n=1
an
n.
Aplicando el criterio del cociente tenemos:
lımn→∞∞∞
an
nan−1
n−1
= lımn→∞∞∞
n−1n
⋅a = a ,
luego, si ∣a∣ < 1, la serie es convergente, y si ∣a∣ > 1 la serie es divergente.
Por otra parte, si a = 1, la serie dada es la armónica, que es divergente, y si a = −1, la serie dada es armónica alternada,
que es convergente.
394
33.4 Criterio de Cauchy
Si (xn) es una serie de términos estrictamente positivos se verifica que:
1º.- Si a partir de un cierto rango n0 se cumple que n√xn < h, siendo h un número fijo menor que
1, entonces la serie es convergente. Si a partir de un cierto rango n0, se cumple que n√xn > 1,
la serie es divergente.
2º.- Si se verifica que lımn→∞∞∞
n√xn =L, entonces
si L < 1, la serie (xn) es convergente, y
si L > 1, la serie (xn) es divergente.
En efecto: En primer lugar veamos que se cumple 1º.- .
Si para todos los n > n0 se verifica que
n0√
xn0 < h , n0+1√xn0+1 < h , n0+2
√xn0+2 < h , . . . . . . . . .
también se tiene que
xn0 < hn0 , xn0+1 < hn0+1 , xn0+2 < hn0+2 , . . . . . . . . .
lo que nos prueba que la serie
xn0 +xno+1+xn0+2+ . . . . . . . . .
es convergente, puesto que está mayorada por una serie geométrica de razón h, con 0 < h < 1, que es
convergente. Así mismo es convergente la serie (xn), pues resulta de anteponer a aquella n0 términos.
Por otra parte, si para todo n > n0 es n√
xn > 1, también es xn > 1 , luego
lımn→∞∞∞
xn ≠ 0
y en consecuencia la serie (xn) es divergente.
Una vez establecido 1º.- , es inmediato establecer 2º.- , en forma análoga a como se hizo en el caso del
criterio de D’Alembert, puesto que si
lımn→∞∞∞
n√
xn = L < 10
L h
1
fijado un h, tal que L < h < 1, existe n0 ∈N tal que
∀∀∀ n > n0 , n√
xn = L < h
y si
lımn→∞∞∞
n√
xn = L > 10
Lh
1
395
fijado un h, tal que 1 < h < L, existe un n0 ∈N tal que
∀∀∀ n > n0 , n√
xn > h > 1
¡¡Atención!! Si la serie (xn) se verifica que el lımn→∞∞∞
n√xn = 1, pero la raíz se conserva mayor que uno,
entonces la serie es divergente, de acuerdo con el razonamiento desarrollado en el establecimiento
del criterio de Cauchy. Sin embargo, cuando lımn→∞∞∞
n√xn = 1, conservándose la raíz menor que uno, no
podemos afirmar nada y se debe recurrir a otro criterio para resolver la indeterminación.
Al criterio de Cauchy se le suele llamar, con frecuencia, criterio de la raíz.
Ejemplo 1.- Determinar el carácter de la serie (xn) de término general
xn =nn
(2 ⋅n+1)n
Aplicando el criterio de Cauchy, resulta
lımn→∞∞∞
n
¿ÁÁÀ nn
(2 ⋅n+1)n = lımn→∞∞∞
n2 ⋅n+1
= 12
luego, la serie es convergente.
Ejemplo 2.- Determinar el carácter de la serie (xn) de término general
xn = n2 ⋅e−n
Aplicando el criterio de Cauchy se tiene
lımn→∞∞∞
n√
n2 ⋅e−n = lımn→∞∞∞
n√
n2 ⋅e−1 = 1e ,
luego la serie es convergente.
Ejemplo 3.- Determinar el carácter de la serie (xn) de término general
xn =1+ sen3 n
nn
Aplicando el criterio de Cauchy se tiene
lımn→∞∞∞
n
√1+ sen3 n
nn = lımn→∞∞∞
n
√1+ sen3 n
n= 0
luego las serie es convergente.
Ejemplo 4.- Determinar el carácter de la serie (xn) de término general
xn =1
(Log n)n .
396
Aplicando el criterio de Cauchy se tiene
lımn→∞∞∞
n
√1
(Log n)n = lımn→∞∞∞
1Log n
= 0 ,
luego las serie es convergente.
Ejemplo 5.- Determinar el carácter de la serie (xn) de término general
xn =n3
en
Aplicando el criterio de D’Alembert se tiene
lımn→∞∞∞
n3
en
(n−1)3
en−1
= lımn→∞∞∞
n3 ⋅en−1
(n−1)3 ⋅en = 1e
luego, la serie es convergente.
El resultado aplicando el criterio de Cauchy es el mismo
lımn→∞∞∞
n
√n3
en = lımn→∞∞∞
n√n3
e = 1e
Ejemplo 6.- Determinar el carácter de la serie (xn) de término general
xn =1
n ⋅2n
Aplicando el criterio de D’Alembert se tiene
lımn→∞∞∞
1n ⋅2n
1(n−1) ⋅2n−1
= lımn→∞∞∞
(n−1) ⋅2n−1
n ⋅2n = lımn→∞∞∞
n−1n
⋅ 12= 1
2
luego la serie es convergente.
El resultado aplicando el criterio de Cauchy es el mismo
lımn→∞∞∞
n
√1
n ⋅2n = lımn→∞∞∞
1n√n ⋅2
= 12
Los dos últimos ejemplos sirven, además, para recordarnos una propiedad que establecimos al estudiar
los límites aritméticos y que alcanza en este momento su importancia. Decía ésta:
Dada la sucesión de términos positivos (xn)n∈N, si la razónxn
xn−1es convergente o divergente,
se verifica
lımn→∞∞∞
n√xn = lımn→∞∞∞
xn
xn−1.
397
Sin embargo, puede ocurrir, y lo vamos a ver con un ejemplo, que existe el límite de la raíz y no el de la
razón, lo cual significa que el criterio de la raíz es más general que el criterio de la razón.
Ejemplo 7.- Consideremos la serie
12+ 2
22 + 123 + 4
24 + 125 + 6
26 + . . . . . . . . .
La razónxn+1xn
carece de límite, puesto que
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
lımn→∞∞∞
x2⋅nx2⋅n−1
= lımn→∞∞∞
2 ⋅n22⋅n
122⋅n−1
= lımn→∞∞∞
2 ⋅n2
=∞∞∞
lımn→∞∞∞
x2⋅n+1x2⋅n
= lımn→∞∞∞
122⋅n+1
2 ⋅n22⋅n
= lımn→∞∞∞
14 ⋅n = 0
Sin embargo
lımn→∞∞∞
n√
xn =12
En consecuencia, la serie dada es convergente.
33.5 Criterio de Raabe-Duhamel
Si (xn) es una serie de términos estrictamente positivos se verifica que:
1º.- Si a partir de un cierto rango n0 se cumple que: n ⋅(1−xn+1
xn) > h, siendo h un número
fijo mayor que 1, entonces la serie dada es convergente. Si a partir de un cierto rango n0, se
cumple que: n ⋅(1−xn+1
xn) < 1, la serie es divergente.
2º.- Si se verifica que: lımn→∞∞∞
n ⋅(1−xn+1
xn) =L, entonces
si L > 1, la serie es convergente, y
si L < 1, la serie es divergente.
En efecto: En primer lugar veamos que se cumple 1º.- .
Si para todos los n > n0 se verifica que
n ⋅(1− xn+1xn
) > 1+a (h = 1+a)
entonces
(n−1) ⋅xn > n ⋅xn+1+a ⋅xn ,
398
y dando aquí, a n, los valores n0+1 , n0+2 , . . . . . . . . . , n0+p obtenemos las sucesivas desigualdades
n0 ⋅xn0+1 > (n0+1) ⋅xn0+2+a ⋅xn0+1
(n0+1) ⋅xn0+2 > (n0+2) ⋅xn0+3+a ⋅xn0+2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(n0+p−1) ⋅xn0+p > (n0+p) ⋅xn0+p+1+a ⋅xn0+p
Sumando miembro a miembro estas desigualdades resulta
n0 ⋅xn0+1 > (n0+p) ⋅xn0+p+1+a ⋅(xn0+1+xn0+2+ . . . . . . . . . +xn0+p)
es decir
xn0+1+xn0+2+ . . . . . . . . . +xn0+p <n0 ⋅xn0+1−(n0+p) ⋅xn0+p+1
a<
n0 ⋅xn0+1a
.
Esta relación (primer y tercer miembro) se verifica cualquiera que sea p; luego la serie
xn0+1+xn0+2+xn0+3+ . . . . . . . . . +xn0+p+ . . . . . . . . . . . .
es convergente por tener sus sumas parciales acotadas. Así mismo es convergente la serie (xn), pues resulta
de anteponer a esa n0 términos.
Por otra parte, si para todo n > n0 es
n ⋅(1− xn+1xn
) < 1
o lo que es lo mismo
(n−1) ⋅xn < n ⋅xn+1 ,
se verificará la cadena de desigualdades
n0 ⋅xn0+1 < (n0+1) ⋅xn0+2 < (n0+2) ⋅xn0+3 < (n0+3) ⋅xn0+4 < . . . . . . . . . . . .
o lo que es igual
xn0+11
n0
<xn0+2
1n0+1
<xn0+3
1n0+2
<xn0+4
1n0+3
< . . . . . . . . . . . .
Significa esto que la razón de los términos correspondientes de las series
xn0+1+xn0+2+xn0+3+xn0+4+ . . . . . . . . . . . .
y1
n0+ 1
n0+1+ 1
n0+2+ 1
n0+3+ . . . . . . . . . . . .
es mayor que el número fijo
k =xn0+1
1n0
luego como la segunda serie es divergente (es la armónica) también lo es la primera, y como consecuencia
es divergente la serie (xn), pues resulta de anteponer a la primera n0 términos.
399
Una vez establecido 1º.- , es inmediato establecer 2º.- , en forma análoga a como se hizo en los casos de
D’Alembert y de Cauchy.
¡¡Atención!! Si dada la serie (xn) se verifica que: lımn→∞∞∞
n ⋅(1−xn+1
xn) = 1 , pero la expresión se con-
serva menor que uno, entonces la serie es divergente, de acuerdo con el razonamiento desarrollado en
el establecimiento del criterio de Raabe-Duhamel. Sin embargo, cuando: lımn→∞∞∞
n ⋅(1−xn+1
xn) = 1 , con-
servándose la expresión mayor que uno, no podemos afirmar nada, y se debe recurrir a otro criterio
para resolver la indeterminación.
Ejemplo 1.- Determinar el carácter de la serie
11 ⋅2 + 1
2 ⋅3 + 13 ⋅4 + . . . . . . . . . + 1
n ⋅(n+1) + . . . . . . . . . . . .
Aplicando el criterio de D’Alembert se tiene
lımn→∞∞∞
1n ⋅(n+1)
1(n−1) ⋅n
= lımn→∞∞∞
n−1n+1
= 1 .
Aplicando ahora el criterio de Raabe-Duhamel resulta
lımn→∞∞∞
n ⋅(1− n−1n+1
) = lımn→∞∞∞
n ⋅( 2n+1
) = 2 ,
luego la serie es convergente.
Ejemplo 2.- Determinar el carácter de la serie (xn) de término general
xn =1 ⋅3 ⋅5 ⋅ . . . . . . . . . ⋅(2 ⋅n−1)
2 ⋅4 ⋅6 ⋅ . . . . . . . . . ⋅2 ⋅n
Aplicando el criterio de D’Alembert se tiene
lımn→∞∞∞
1 ⋅3 ⋅5 ⋅ . . . . . . . . . ⋅(2 ⋅n−1)2 ⋅4 ⋅6 ⋅ . . . . . . . . . ⋅2 ⋅n
1 ⋅3 ⋅5 ⋅ . . . . . . . . . ⋅(2 ⋅n−3)2 ⋅4 ⋅6 ⋅ . . . . . . . . . ⋅(2 ⋅n−2)
= lımn→∞∞∞
2 ⋅n−12 ⋅n = 1
Aplicando ahora el criterio de Raabe-Duhamel resulta
lımn→∞∞∞
n ⋅(1− 2 ⋅n−12 ⋅n ) = lım
n→∞∞∞n ⋅( 1
2 ⋅n ) = 12
luego la serie es divergente.
400
33.6 Criterio de Logarítmico
Si (xn) es una serie de términos estrictamente positivos se verifica que:
1º.- Si a partir de un cierto rango n0 se cumple que:Log
1xn
Log n> h, siendo h un número fijo
mayor que 1, entonces la serie dada es convergente. Si a partir de un cierto rango n0, se
cumple que:Log
1xn
Log n< 1, la serie es divergente.
2º.- Si se verifica que: lımn→∞∞∞
Log1xn
Log n=L , entonces
si L > 1, la serie (xn) es convergente, y
si L < 1, la serie (xn) es divergente.
En efecto: En primer lugar veamos que se cumple 1º.- .
Si para todos los n > n0 se verifica que
Log1xn
Log n> h > 1 ,
se tendrá también
Log1xn
> h ⋅Log n = Log nh
luego
xn <1
nh ,
y en consecuencia la serie (xn) es convergente, puesto que lo es la serie ( 1nh ), pues h > 1, que es mayo-
rante de la dada.
Por otra parte, si para todo n > n0 es
Log1xn
Log n< 1
se tendrá también
Log1xn
< Log n ,
luego
xn >1n
,
y en consecuencia la serie (xn) es divergente, puesto que lo es la serie armónica ( 1n
), que es minorante
de la dada.
Una vez establecido 1º.- , es inmediato establecer 2º.- , en forma análoga a como se hizo en los casos de
D’Alembert, Cauchy y Raabe-Duhamel.
401
¡¡Atención!! Si dada la serie (xn) se verifica que: lımn→∞∞∞
Log1xn
Log n= 1, pero la expresión se conserva
menor que uno, entonces la serie es divergente, de acuerdo con el comportamiento desarrollado en el
establecimiento del criterio logarítmico. Sin embargo, cuando lımn→∞∞∞
Log1xn
Log n= 1, conservándose la
expresión mayor que uno, no podemos afirmar nada, y se debe recurrir a otro criterio para resolver su
indeterminación.
Ejemplo 1.- Determinar el carácter de la serie (xn) de término general
xn = nLog a (a > 0)
Aplicando el criterio logarítmico se tiene
lımn→∞∞∞
Log1xn
Log n= lım
n→∞∞∞Log n−Log a
Log n= −Log a .
Resulta entonces que:
a < 1e Ô⇒ (xn) convergente
a > 1e Ô⇒ (xn) divergente
Por otra parte, observemos que si: a = 1e , la serie (xn) resulta ser la armónica, que es divergente.
Ejemplo 2.- Determinar el carácter de la serie (xn) de término general
xn =1
(Log Log n)Log n .
Aplicando el criterio logarítmico se tiene
lımn→∞∞∞
Log1xn
Log n= lım
n→∞∞∞
Log (Log Log n)Log n
Log n= lım
n→∞∞∞Log (Log Log n) =∞∞∞
luego la serie es convergente.
Ejemplo 3.- Determinar el carácter de la serie (xn) de término general
xn =1
(Log n)Log Log n .
Aplicando el criterio logarítmico se tiene
lımn→∞∞∞
Log1xn
Log n= lım
n→∞∞∞
Log (Log n)Log Log n
Log n= lım
n→∞∞∞
(Log Log n)2
Log n= 0
luego la serie es divergente.
402
33.7 Criterios de Kummer y de Gauss
Criterio de Kummer
Si (xn) e (yn) son series de términos positivos, entonces:
1º.- La serie (xn) es convergente si a partir de un cierto rango n0 se verifica1yn
⋅xn
xn+1−
1yn+1
> k > 0
2º.- Si la serie (yn) es divergente, y a partir de un cierto rango n0 se verifica1yn
⋅xn
xn+1−
1yn+1
⩽ 0
entonces la serie (xn) es también divergente.
En efecto:
1º.- Si para n > n0 se cumple que
1yn
⋅ xnxn+1
− 1yn+1
> k > 0
entonces
xn0+1 <1k⋅( xn0
yn0
−xn0+1yn0+1
)
xn0+2 <1k⋅(
xn0+1yn0+1
−xn0+2yn0+2
)
xn0+3 <1k⋅(
xn0+2yn0+2
−xn0+3yn0+3
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y al sumar estas desigualdades se tiene
xn0+1+xn0+2+xn0+3+ . . . . . . . . . < 1k⋅ xn0
yn0
.
Significa esto que la serie que aparece en el primer miembro, y por tanto la serie (xn) que resulta de
anteponer a esa un número finito de términos, es convergente por tener acotadas sus sumas parciales.
2º.- Si para n ⩾ n0 se cumple que
1yn
⋅ xnxn+1
− 1yn+1
⩽ 0
entoncesxn0
yn0
⩽xn0+1yn0+1
⩽xn0+2yn0+2
⩽ . . . . . . . . .
Prueba esto que el cociente de los términos correspondientes de las series (xn) e (yn), a partir de un
término dado es mayor o igual que el número fijo: k = xn0
yn0
. Como la serie (yn) es divergente, también
será divergente la
xn0 +xn0+1+xn0+2+ . . . . . . . . .
y en definitiva la (xn), que resulta de anteponer a esta última un número finito de términos.
403
El criterio de Kummer, precisamente por su gran generalidad, es poco práctico. Casos particulares de él
son los criterios de D’Alembert y de Raabe-Duhamel; el primero resulta al hacer
y1+y2+y3+ . . . . . . . . . = 1+1+1+ . . . . . . . . .
y el segundo al hacer
y1+y2+y3+ . . . . . . . . . = 1+12+
13+ . . . . . . . . .
Cuando la serie dada, (xn), es tal que
xn+1
xn=
np+a1 ⋅np−1+a2 ⋅np−2+ . . . . . . . . .np+b1 ⋅np−1+b2 ⋅np−2+ . . . . . . . . .
lo cual significaría que el criterio de D’Alembert no nos da el carácter de la serie, y precisaríamos aplicar
el de Raabe-Duhamel, es recomendable aplicar el criterio de Gauss, que vamos a enunciar a continuación,
el cual se deduce también del criterio de Krummer haciendo
y1+y2+y3+ . . . . . . . . . = 1+12+
13+ . . . . . . . . .
Criterio de Gauss
Si la razónxn+1
xnde dos términos consecutivos de una serie de términos positivos puede ponerse
en la forma de cociente de dos polinomios del mismo grado.
xn+1
xn=
np+a1 ⋅np−1+a2 ⋅np−2+ . . . . . . . . .
np+b1 ⋅np−1+b2 ⋅np−2+ . . . . . . . . .
entonces la serie es:convergente si: b1−a1 > 1
divergente si: b1−a1 ⩽ 1 .
En efecto: Si en la expresión que aparece en el criterio de Kummer
1yn
⋅ xnxn+1
− 1yn+1
hacemos
yn =1n
, yxn
xn+1= np+b1 ⋅np−1+b2 ⋅np−2+ . . . . . . . . .
np+a1 ⋅np−1+a2 ⋅np−2+ . . . . . . . . .resulta
n ⋅ np+b1 ⋅np−1+b2 ⋅np−2+ . . . . . . . . .np+a1 ⋅np−1+a2 ⋅np−2+ . . . . . . . . .
−(n+1) = (b1−a1−1) ⋅np+ . . . . . . . . .np+a1 ⋅np−1+ . . . . . . . . .
Si b1−a1−1 > 0, en virtud del criterio de Kummer la serie dada es convergente.
Por otra parte, considerando la misma expresión y puesto que la serie ( 1n
) es divergente, aplicando otra
vez el criterio de Kummer, resulta que, si b1−a1−1 ⩽ 0, la serie dada es divergente.
404
Ejemplo 1.- Determinar el carácter de la serie
11 ⋅2 + 1
2 ⋅3 + 13 ⋅4 + . . . . . . . . . + 1
n ⋅(n+1) + . . . . . . . . . . . .
Se verifica que
xn+1xn
=
1(n+1) ⋅(n+2)
1n ⋅(n+1)
= n2+nn2+3 ⋅n+2
.
Por aplicación del criterio de Gauss resulta, por ser
3−1 > 1 ,
la serie dada es convergente.
Ejemplo 2.- Determinar el carácter de la serie (xn), de término general
xn =1 ⋅3 ⋅5 ⋅ . . . . . . . . . ⋅(2 ⋅n−1)
2 ⋅4 ⋅6 ⋅ . . . . . . . . . ⋅2 ⋅n
Se verifica quexn+1xn
= 2 ⋅n+12 ⋅n+2
Por aplicación del criterio de Gauss resulta, por ser
2−1 = 1 ,
la serie es divergente.
Veamos ahora unos cuantos ejemplos en los que se estudia el carácter de unas series por comparación
con otras cuyo carácter es conocido o fácil de conocer aplicando el criterio conveniente de entre los
estudiados.
Ejemplo 3.- Determinar el carácter de la serie (xn), de término general
xn = sen2 πππ
n
Para todo n ∈N∗ se verifica que
sen2 πππ
n< ( πππ
n)
2,
y como la serie (yn), de término general
yn =πππ
2
n2
es convergente, resulta que la serie dada también es convergente.
405
Ejemplo 4.- Determinar el carácter de la serie (xn), de término general
xn =n+4
n ⋅√
n−3
Comparando la serie dada con la serie (yn), de término general
yn =1
n12
,
que es divergente, resulta
lımn→∞∞∞
n+4n ⋅
√n−31
n12
= 1
luego, las series (xn) e (yn) son de igual carácter; en consecuencia la serie dada es divergente.
Ejemplo 5.- Determinar el carácter de la serie (xn), de término general
xn =1n⋅ sen
πππ√n
.
Comparando la serie dada con la serie (yn) de término general
yn =πππ
n32
,
que es convergente, resulta
lımn→∞∞∞
1n⋅ sen
πππ√n
πππ
n32
= lımn→∞∞∞
senπππ√
nπππ√
n
= 1
luego, las series (xn) e (yn) son de igual carácter; en consecuencia la serie dada es convergente.
Ejemplo 6.- Determinar el carácter de la serie (xn), de término general
xn = Log (1+ 1n2 ) .
Comparando la serie dada con la (yn) de término general
yn =1
n2 ,
que es convergente, resulta
lımn→∞∞∞
Log (1+ 1n2 )
1n2
= lımn→∞∞∞
(1+ 1n2 )
1n2
= Log e = 1 ,
luego las series (xn) e (yn) son de igual carácter; en consecuencia, la serie dada es convergente.
406
Ejemplo 7.- Determinar el carácter de la serie (xn), de término general
xn =(n−1) ⋅ 3√n5+2
(n3−4 ⋅n+1) ⋅√
n3+1.
Comparando la serie dada con la serie (yn) de término general
yn =n ⋅ 3√n5
n3 ⋅√
n3
que es convergente, resulta:
lımn→∞∞∞
(n−1) ⋅ 3√n5+2(n3−4 ⋅n+1) ⋅
√n3+1
n ⋅ 3√n5
n3 ⋅√
n3
= 1 ,
luego las series (xn) e (yn) son de igual carácter; en consecuencia la serie dada es convergente.
Ejemplo 8.- Determinar el carácter de la serie (xn), de término general
xn =n+1
3 ⋅n2+1.
Comparando la serie dada con la serie (yn) de término general
yn =1n
que es divergente (serie armónica), resulta:
lımn→∞∞∞
n+13 ⋅n2+1
1n
= lımn→∞∞∞
(n+1) ⋅n3 ⋅n2+1
= 13
luego las series (xn) e (yn) son de igual carácter; en consecuencia la serie dada es divergente.
Ejemplo 9.- Determinar el carácter de la serie (xn), de término general
xn =n+1
n⋅ tg 1
n⋅Log
n+1n
Comparando la serie dada con la serie (yn), de término general
yn =1
n2 ,
que es convergente, resulta
lımn→∞∞∞
n+1n
⋅ tg 1n⋅Log
n+1n
1n2
= lımn→∞∞∞
[ n+1n
⋅(n ⋅ tg 1n
) ⋅(n ⋅Logn+1
n)] = 1
luego las series (xn) e (yn) son de igual carácter; en consecuencia la serie dada es convergente.
El siguiente cuadro trata de esquematizar los criterios estudiados.
407
33.8 Cuadro ResumenCRITERIOS DE CONVERGENCIA DE SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS
1er.- criterio de comparación. Dadas las series (xn) e (yn), tales que: xn ⩽ yn a partir de un determinado n = n0, se verifica:
(yn) convergente Ô⇒ (xn) convergente
(xn) divergente Ô⇒ (yn) divergente
2º.- criterio de comparación. Dado las series (xn) e (yn), tales que: existe el lımn→∞∞∞
xn
ynfinito y distinto de cero, se verifica:
(xn) e (yn) son convergentes o divergentes simultáneamente.
Criterio de Rieman-Pringsheim. Dada la serie (xn), se verifica:
lımn→∞∞∞ nααα
⋅xn = L
ααα = número que vaya bien
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
ααα > 1
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
L =∞∞∞ ?
L = finito C
L = 0 C
ααα ⩽ 1
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
L =∞∞∞ D
L = finito D
L = 0 ?
Criterio de D’Alembert (o de la razón). Dada la serie (xn), se verifica:
lımn→∞∞∞
xn+1
xn= L
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
L > 1 D
L < 1 C
L = 1 ?
Criterio de Cauchy (o de la Raíz). Dada la serie (xn), se verifica:
lımn→∞∞∞
n√xn = L
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
L > 1 D
L < 1 C
L = 1 ?
Criterio de Raabe-Duhamel. Dada la serie (xn), se verifica:
lımn→∞∞∞ n ⋅(1−
xn+1
xn) = L
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
L > 1 C
L < 1 D
L = 1 ?
Criterio de logarítmico. Dada la serie (xn), se verifica:
lımn→∞∞∞
Log1xn
Log n= L
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
L > 1 C
L < 1 D
L = 1 ?
Criterio de Kummer. Dadas las series (xn) e (yn), tales que:
1º.- lımn→∞∞∞ (
1yn
⋅xn
xn+1−
1yn+1
) > 0 C
2º.- Si (yn) es divergente y lımn→∞∞∞ (
1yn
⋅xn
xn+1−
1yn+1
) ⩽ 0 D
Criterio de Gauss. Dadas las series (xn), tal que:xn+1
xn=
np+a1 ⋅np−1
+a2 ⋅np−2+ . . . . . . . . .
np +b1 ⋅np−1 +b2 ⋅np−2 + . . . . . . . . .
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
b1 −a1 > 1 C
b1 −a1 ⩽ 1 D
408
Lección 34.- SERIES ALTERNADAS
34.1 Series alternadas
34.1 Series alternadas
Llamaremos series alternadas a las que tienen sus términos alternativamente positivos y negativos.
Ejemplo 1. La siguiente serie es alternada
1− 12+ 1
3− 1
4+ 1
5− . . . . . . . . . +(−1)n+1 ⋅ 1
n+ . . . . . . . . .
Ejemplo 2. La siguiente serie es alternada
−2+6−18+64− . . . . . . . . . +(1)n ⋅2 ⋅3n−1+ . . . . . . . . .
En lo que sigue vamos a estudiar sólo las series alternadas cuyos términos decrecen en valor absoluto,
pues son las que poseen propiedades interesantes. Por otra parte, supondremos que el primer término de
la serie es positivo; si fuera negativo bastaría multiplicar, por −1, todos los términos de la serie, con lo
que se convertiría en positivo, teniéndolo luego en cuenta en los razonamientos.
CRITERIO DE LEIBNITZ. Dada la serie alternada
a1−a2+a3−a4+ . . . . . . . . . +(−1)n+1⋅an+ . . . . . . . . .
siendo: a1 , a2 , . . . . . . . . . , an , . . . . . . . . . una sucesión de números positivos, monótona decrecien-
te, es decir tal que
a1 > a2 > a3 > a4 > . . . . . . . . . . . . > an > . . . . . . . . .
se verifica que la condición necesaria para la convergencia de la serie:
lımn→∞∞∞
an = 0
es también una condición suficiente para dicha convergencia.
En efecto: El considerar las sumas parciales de orden impar, S2⋅n−1 escritas en la forma
S2⋅n−1 = a1−(a2−a3)−(a4−a5)− . . . . . . . . . −(a2⋅n−2−a2⋅n−1)
permite observar que, por ser positivas las diferencias encerradas entre paréntesis, irán disminuyendo al
crecer n, es decir:
S1 > S3 > S5 > . . . . . . . . . . . . > S2⋅n−1 > . . . . . . . . .
409
Así mismo, como las sumas parciales de orden par, S2⋅n se pueden escribir
S2⋅n = (a1−a2)+(a3−a4)+ . . . . . . . . . +(a2⋅n−1−a2⋅n) ,
por la misma razón, irán aumentando al crecer n, es decir
S2 < S4 < S6 < . . . . . . . . . < S2⋅n < . . . . . . . . .
Comparemos ahora cualquier suma de orden par, S2⋅m, con cualquiera de orden impar, S2⋅n−1 :
Si m = n, se tendrá
S2⋅m < S2⋅n−1
pues la diferencia
S2⋅m−1−S2⋅m = a2⋅m > 0
Si m > n, se tendrá
S2⋅m < S2⋅m−1 < S2⋅n−1
Si m < n, se tendrá
S2⋅m < S2⋅n < S2⋅n−1 .
Así, resulta que cualquier suma parcial de orden par es menor que cualquiera de orden impar.
Al suponer: lımn→∞∞∞
an = 0 , la diferencia entre cada dos sumas correspondientes:
S2⋅m−1−S2⋅m = a2⋅m ,
tiende a cero, y las sucesiones de las sumas parciales de órdenes par e impar son monótonas convergentes,
luego ambas tienen un límite común, y la serie alternada dada es convergente.
La visualización del conjunto de las sumas parciales sería la siguiente:
SS2 S4 S2·n S2·n-1 S3 S1
Ejemplo 3. La serie alternada
1− 12+ 1
3− 1
4+ . . . . . . . . . +(−1)n+1 ⋅ 1
n+ . . . . . . . . .
de términos constantemente decrecientes en valor absoluto, es convergente, puesto que
lımn→∞∞∞
1n
= 0
Ejemplo 4. La serie
52− 7
4+ 9
6− 11
8+ . . . . . . . . . +(−1)n+1 ⋅ 2 ⋅n+3
2 ⋅n + . . . . . . . . .
Cumple con la condición de ser monótona decreciente la sucesión de los valores absolutos de sus términos, pero
como
lımn→∞∞∞
2 ⋅n+32 ⋅n = 1 ≠ 0
la serie no es convergente.
410
PROPOSICIÓN 1. Al tomar una suma parcial cualquiera como valor aproximado de una serie
alternada de términos constantemente decrecientes convergente, el error cometido es menor que
el primer término despreciado.
En efecto: Llamando S a la suma de la serie, es decir al límite común de las dos sucesiones
S1 , S3 , S5 , . . . . . . . . . , S2⋅n−1 , . . . . . . . . . (estrictamente decreciente)
S2 , S4 , S6 , . . . . . . . . . , S2⋅n , . . . . . . . . . (estrictamente creciente)
se verifica
S2⋅n <S < S2⋅n+1 < S2⋅n−1 S2⋅n S S2⋅n+1 S2⋅n−1
luego
S−S2⋅n < S2⋅n+1−S2⋅n = a2⋅n+1
S2⋅n−1−S < S2⋅n−1−S2⋅n = a2⋅n
Ejemplo 5. Dada la serie alternada convergente
1− 12+ 1
3− 1
4+ . . . . . . . . . +(−1)n+1 ⋅ 1
n+ . . . . . . . . .
el error que se comete al tomar como suma la de los m primeros términos es menor que1
m+1.
Así, si tomamos m = 4 ,
S4 = 1− 12+ 1
3− 1
4= 7
12
y el error es menor que15
por defecto, es decir
S− 712
< 15
Si hacemos m = 3, entonces
S3 = 1− 12+ 1
3= 5
6
y el error es menor que14
por exceso, es decir
56−S < 1
4
Cuando estudiemos la suma de series comprobaremos que la suma de la serie
1− 12+ 1
3− 1
4+ 1
5+ . . . . . . . . . +(−1)n+1 ⋅ 1
n+ . . . . . . . . .
es Log 2.
411
Una representación de lo anterior sería la siguiente:
1 2 e x
Log x
1
Log 2
S = 0,52
S = 563
S = 7124
Las sumas parciales de la serie dada,
S1 , S1 , S3 , S4 , . . . . . . . . .
así como el valor de la suma S, se han representado en el eje de ordenadas.
¡¡Atención!! Si bien en los ejemplos anteriores era inmediato ver que los términos de las series alterna-
das decrecían en valor absoluto, hay ocasiones en que esto no es tan sencillo, precisándose entonces de
un examen más detenido, que va desde la determinación del signo de la diferencia an+1−an hasta el es-
tudio de la derivadadan
dn, tomando n como variable real, para analizar el crecimiento o decrecimiento
de la función an.
Ejemplo 6. Determinar el carácter de la serie
1√2− 2
3+ 3
2 ⋅√
7− 4√
65+ . . . . . . . . . +(−1)n+1 ⋅ n√
n3+1+ . . . . . . . . .
Se cumple que
lımn→∞∞∞
n√n3+1
= 0 .
Veamos ahora que sus términos decrecen en valor absoluto:
a2n+1−a2
n =(n+1)2
(n3+1)3+1− n2
n3+1= n2+2 ⋅n+1
n3+3 ⋅n2+3 ⋅n+2− n2
n3+1=
= −n4−2 ⋅n3−n2+2 ⋅n+1(n3+3 ⋅n2+3 ⋅n+2) ⋅(n3+1)
< 0 (∀∀∀ n ∈N∗)
Luego, por el criterio de Leibnitz, la serie es convergente.
¡¡Atención!! En el caso de que los valores absolutos de los términos de una serie alternada no formen
una sucesión decreciente, el estudio de su carácter se hará considerándola como una serie de términos
positivos y negativos.
412
Ejemplo 7. Determinar el carácter de la serie
21− 1
1+ 2
2− 1
2+ 2
3− 1
3+ 2
4− 1
4+ . . . . . . . . .
No se puede aplicar aquí el criterio de Leitbnitz, pues aunque se verifica que
lımn→∞∞∞
an = 0 ,
la serie es de términos no decrecientes en valor absoluto.
La serie dada es divergente pues la suma de sus 2 ⋅n primeros términos es:
S2⋅n = 1+ 12+ 1
3+ . . . . . . . . . + 1
n
y
lımn→∞∞∞
Sn = +∞∞∞ .
Ejemplo 8. Determinar el carácter de la serie
1− 15+ 1
2− 1
52 + 13− 1
53 + . . . . . . . . .
No se puede aplicar aquí el criterio de Leibnitz, pues aunque se verifica que
lımn→∞∞∞
an = 0 ,
la serie es de términos no decrecientes en valor absoluto.
Considerando la suma de sus 2 ⋅n primeros términos se tiene
S2⋅n = S′n+S′′n
dondeS′n = 1+ 1
2+ 1
3+ . . . . . . . . . + 1
n
S′′n = −( 15+ 1
52 + . . . . . . . . . + 15n )
y como
lımn→∞∞∞
S′n = +∞∞∞
lımn→∞∞∞
S′′n = − 14
resulta
lımn→∞∞∞
S2⋅n = +∞∞∞
Luego, la serie dada es divergente.
413
Ejemplo 9. Determinar el carácter de la serie
1− 122 + 1
33 − 142 + 1
53 − 162 + . . . . . . . . .
No se puede aplicar aquí el criterio de Leibnitz, pues aunque se verifica que
lımn→∞∞∞
an = 0 ,
la serie es de términos no decreciente en valor absoluto.
Sin embargo, la serie dada es convergente. (La comprobación la podremos hacer más adelante, puesto que es, según
estableceremos, absolutamente convergente).
Ejemplo 10. Determinar el carácter de la serie
12− 1
12 + 142 − 1
32 + 162 − 1
52 + . . . . . . . . .
Por la misma razón que en el ejemplo anterior no es de aplicación aquí el criterio de Leibnitz.
Así mismo, la serie es convergente (La justificación es la misma que la del ejemplo anterior).
Una serie alternada muy particular es la estudiada en el ejemplo siguiente:
Ejemplo 11. Consideremos la serie alternada
1−Log21+ 1
2−Log
32+ 1
3− . . . . . . . . . + 1
n−Log
n+1n
+ 1n+1
+ . . . . . . . . .
Se verifica la condición
lımn→∞∞∞
an = 0 ,
necesaria para la convergencia de la serie, puesto que
lımn→∞∞∞
1n
= 0 y lımn→∞∞∞
( n+1n
) = 0 ,
Además, de las desigualdades
(1+ 1n
)n< e < (1+ 1
n)
n+1
tomando logaritmos se deducen las siguientes:
1n
> Log ( n+1n
) y Log ( n+1n
) > 1n+1
las cuales prueban que los valores absolutos de los términos de la serie dada forman una sucesión decreciente.
En consecuencia, la serie dada es convergente. A su suma se le llama constante de Euler, y vale
γγγ = 0,57721566. . . . . . = 1−Log21+ . . . . . . . . . + 1
n−Log
n+1n
+ . . . . . . . . .
414
Lección 35.- SERIES DE TÉRMINOS CUALESQUIERA
34.1 Series de términos cualesquiera
35.1 Series de términos cualesquiera
Tenemos hecho ya el estudio de las series de términos reales positivos o eventualmente nulos. En el
caso de que la serie esté formada por términos negativos el problema se reconduce al anterior con sólo
multiplicar por −1, lo cual no altera el carácter de la serie, quedando su suma multiplicada por −1, si ésta
es convergente.
Si la serie tiene un número finito de términos negativos, se puede prescindir de ellos, lo que la reduce
a una serie de términos positivos. Ocurre lo análogo si la serie contiene un número finito de términos
positivos.
Justifican estas consideraciones el que nos ocupemos ahora del estudio de las series de términos reales,
constituidas por infinitos términos positivos e infinitos términos negativos, de las que las series alternadas
cuyos términos decrecen en valor absoluto, y hemos visto antes, son un caso particular.
Diremos que una serie (xn) es absolutamente convergente si la serie de valores absolutos (∣xn∣), es
decir la
∣x0∣+ ∣x1∣+ ∣x2∣+ . . . . . . . . . + ∣xn∣+ . . . . . . . . .
es convergente.
Ejemplo 1. La serie
1− 11!
+ 12!
− 13!
+ . . . . . . . . . +(−1)n ⋅ 1n!
+ . . . . . . . . .
es absolutamente convergente.
La serie
1− 12+ 1
3− 1
4+ . . . . . . . . . +(−1)n+1 ⋅ 1
n+ . . . . . . . . .
no es absolutamente convergente.
De una serie que no es absolutamente, pero sí convergente, se suele decir también que es semiconver-
gente.
El estudio de una serie absolutamente convergente se apoya en el de las series de términos positivos en
virtud del resultado siguiente:
415
PROPOSICIÓN 1. Toda serie de números reales (xn) absolutamente convergente es convergente.
Además, se verifica que
∣∞∞∞
∑n=0
xn∣ ⩽∞∞∞
∑n=0
∣xn∣ .
En efecto: Ser absolutamente convergente la serie (xn) significa que es convergente la serie (∣xn∣), luego
es una sucesión de Cauchy y en consecuencia, para todo εεε > 0 existe un n0 ∈N tal que
(∀∀∀n ⩾ n0 , ∀∀∀p ⩾ 0) Ô⇒ ∣xn+1∣+ ∣xn+2∣+ . . . . . . . . . + ∣xn+p∣ < εεε .
Como se verifica que
∣xn+1+xn+2+ . . . . . . . . . +xn+p∣ ⩽ ∣xn+1∣+ ∣xn+2∣+ . . . . . . . . . + ∣xn+p∣
resulta que
(∀∀∀n ⩾ n0 , ∀∀∀p ⩾ 0) Ô⇒ ∣xn+1+xn+2+ . . . . . . . . . +xn+p∣ < εεε
lo que significa, según ya sabemos, que la serie (xn) es convergente.
Por otra parte, se verifica siempre que
∣n∑n=0
xk∣ ⩽n∑n=0
∣xk∣ ,
y como cada uno de los dos miembros de la desigualdad admite límite, cuando n→ +∞∞∞, resulta
∣∞∞∞
∑n=0
xk∣ ⩽∞∞∞
∑n=0
∣xk∣ .
Diremos que una serie (yn), de términos positivos, es mayorante de la serie (xn), cuyos términos tienen
un signo cualquiera, si a partir de un cierto rango se cumple
∣xn∣ ⩽ yn .
PROPOSICIÓN 2. Si una serie (xn) admite una serie mayormente, entonces la serie dada es abso-
lutamente convergente.
En efecto: La propiedad resulta inmediatamente como consecuencia del 1er criterio de comparación de
series de términos positivos.
Ejemplo 2. Consideremos la serie
sen ααα
1 ⋅3 + sen 2ααα
2 ⋅3 + sen 3ααα
3 ⋅4 + . . . . . . . . . + sen nααα
n ⋅(n+1) + . . . . . . . . .
siendo ααα un ángulo dado.
La serie de sus valores absolutos
∣sen ααα ∣1 ⋅3 + ∣sen 2ααα ∣
2 ⋅3 + ∣sen 3ααα ∣3 ⋅4 + . . . . . . . . . + ∣sen nααα ∣
n ⋅(n+1) + . . . . . . . . .
416
tiene sus términos menores que los de la serie
11 ⋅2 + 1
2 ⋅3 + 13 ⋅4 + . . . . . . . . . + 1
n ⋅(n+1) + . . . . . . . . .
que resulta ser una serie mayorante convergente de la dada.
En consecuencia la serie considerada es absolutamente convergente.
Una manera de estudiar el carácter de una serie de términos reales y signos cualesquiera, es considerando
la serie de los valores absolutos; la convergencia de ésta implica la convergencia de la serie dada.
Sin embargo, la divergencia de la serie de los valores absolutos no implica la divergencia de la serie dada.
Ejemplo 3. Consideremos la serie
1− 12!
− 13!
+ 14!
− 15!
− 16!
+ 17!
− . . . . . . . . .
La serie de sus valores absolutos es la siguiente
1+ 12!
+ 13!
+ 14!
+ 15!
+ 16!
+ 17!
+ . . . . . . . . .
que es convergente.
La serie dada es, por tanto, absolutamente convergente, luego convergente.
Ejemplo 4. La serie alternada
1− 12+ 1
3− 1
4+ 1
5− . . . . . . . . . +(−1)n+1 ⋅ 1
n+ . . . . . . . . .
es convergente Sin embargo, no es absolutamente convergente, pues la serie de sus valores absolutos, que es la
armónica
1+ 12+ 1
3+ 1
4+ 1
5+ . . . . . . . . . + 1
n+ . . . . . . . . .
es divergente.
Los dos criterios siguientes completan los que se enunciaron en el estudio de las series de términos
positivos:
CRITERIO DE CAUCHY. Si (xn) es una serie de términos reales y se verifica que
lımn→∞∞∞
n√
∣xn∣ =L ,
entonces:
1º.- Si L < 1, la serie (xn) es absolutamente convergente.
2º.- Si L > 1, la serie (xn) es divergente.
417
En efecto: Si L < 1, la serie (∣xn∣) es convergente, luego la serie (xn) es absolutamente convergente y en
consecuencia convergente.
Si L > 1, la serie (∣xn∣) es divergente, y como a partir de un cierto rango n√
∣xn∣ > 1, también es ∣xn∣ > 1,
luego el término xn no tiende a cero, y en consecuencia la serie (xn) es divergente.
Ejemplo 5. Consideremos la serie (xn) de término general
xn = a ⋅ bn
n!.
SI a = 0 ó b = 0, la serie dada es evidentemente convergente.
Si a ≠ 0 y b ≠ 0, se tiene
n√
∣xn∣ =n√
∣a∣ ⋅ ∣b∣n√n!
,
y por tanto
lımn→∞∞∞
n√
∣xn∣ = lımn→∞∞∞
n√
∣a∣ ⋅ ∣b∣n√n!
= 0 ,
luego la serie dada es absolutamente convergente.
CRITERIO DE D’ALEMBERT. Si (xn) es una serie de términos reales y se verifica que
lımn→∞∞∞
∣xn+1∣
∣xn∣=L ,
entonces:
1º.- Si L < 1, la serie (xn) es absolutamente convergente.
2º.- Si L > 1, la serie (xn) es divergente.
En efecto: Si L < 1, la serie (∣xn∣) es convergente, luego la serie (xn) es absolutamente convergente, y en
consecuencia convergente.
Si L > 1, la serie (∣xn∣) es divergente, y como ∣xn∣ no tiende a cero, resulta que tampoco tiende a cero el
término xn, luego la serie (xn) es divergente.
Ejemplo 6. Consideremos la serie (xn) de término general
xn = a ⋅ bn
n!
Si a = 0 ó b = 0, la serie dada es, evidentemente, convergente.
Si a ≠ 0 y b ≠ 0, se tiene∣xn+1∣∣xn∣
= ∣b∣n+1
y por tanto
lımn→∞∞∞
∣xn+1∣∣xn∣
= 0 ,
luego la serie dada es absolutamente convergente.
418
Diremos que una serie (xn) es incondicionalmente convergente si es convergente y su suma no se altera
al variar el orden de sus términos.
Diremos que una serie (xn) es incondicionalmente divergente si es divergente independientemente del
orden de sus términos.
Cuando la serie (xn) es convergente, pero su suma se altera al variar el orden de sus términos diremos
que es condicionalmente convergente, o que su convergencia es condicional.
¡¡Atención!! Veremos más adelante que las series absolutamente convergentes son incondicionalmente
convergentes, y recíprocamente.
Otra manera de estudiar una serie (an) de términos positivos y negativos, es considerando las dos series
de términos positivosx0+x1+x2+ . . . . . . . . . +xn+ . . . . . . . . .
y0+y1+y2+ . . . . . . . . . +yn+ . . . . . . . . .
la primera formada por los términos positivos de (an), y la segunda formada por los valores absolutos
de los términos negativos de (an), ambas tomadas en el mismo orden en que aparecen en (an).
Ejemplo 7. La serie (an)1− 1
2+ 1
3− 1
4+ 1
5− 1
6+ 1
7− . . . . . . . . .
determina la serie (xn)1+ 1
3+ 1
5+ 1
7+ . . . . . . . . .
y la serie (yn)12+ 1
4+ 1
6+ . . . . . . . . .
Caben tres posibilidades, en este estudio:
1º.- Las dos series (xn) e (yn) son convergentes
2º.- De las dos series (xn) e (yn) una es convergente y la otra es divergente.
3º.- Las dos series (xn) e (yn) son divergentes.
(Observemos que como (xn) e (yn) son series de términos positivos, ninguna de ellas puede ser oscilante).
A esas tres posibilidades corresponden las tres propiedades siguientes:
PROPOSICIÓN 3. Dada la serie (an), si las series (xn) e (yn), formadas respectivamente por sus
términos positivos y los valores absolutos de sus términos negativos, son convergentes, entonces
(an) convergente incondicionalmente.
En efecto: Si en la suma parcial de rango n, de la serie (an), n1 términos son positivos y su suma es S′n1 , y
n2 términos son negativos y su suma es S′′n2 , se tiene
Sn = S′n1 −S′′n2 (n1+n2 = n)
419
Al pasar al límite, para n→∞∞∞, n1 y n2 tienden también a infinito, luego
S = lımn→∞∞∞
Sn = lımn→∞∞∞
S′n1 − lımn→∞∞∞
S′′n2 =S′−S′′.
Cualquier alteración en el orden de los términos de la serie (an), altera el orden en las series de térmi-
nos positivos (xn) e (yn), lo cual no modifica sus sumas S′y S′′
. En consecuencia la suma S de la
serie (an) es, con independencia del orden de sus términos: S′−S′′. Por consiguiente, la serie dada es
incondicionalmente convergente.
PROPOSICIÓN 4. Dada la serie (an), si las dos series (xn) e (yn), formadas respectivamente por
sus términos positivos y los valores absolutos de sus términos negativos, una es convergente, y la
otra divergente, entonces (an) diverge incondicionalmente.
En efecto: Razonando como en la demostración de la proposición anterior se establece la igualdad
Sn = S′n1 −S′′n2 (n1+n2 = n)
Suponiendo ahora que la serie divergente sea la (xn), se tiene al pasar al límite en la igualdad anterior
lımn→∞∞∞
Sn =∞∞∞−S′′ =∞∞∞
relación ésta que se verifica con independencia del orden de los términos de (an).
Por consiguiente la serie dada es incondicionalmente divergente.
Ejemplo 8. La serie alternada
112 − 1
2+ 1
32 − 14+ 1
52 − 16+ . . . . . . . . .
es incondicionalmente divergente, puesto que la serie de los términos positivos es convergente y la de los términos
negativos es divergente.
PROPOSICIÓN 5. (TEOREMA DE RIEMAN) Dada la serie (an), si las series (xn) e (yn), forma-
das, respectivamente, por sus términos positivos y los valores absolutos de sus términos negativos,
son divergentes, entonces la convergencia o divergencia de la serie (an) es condicional. Además, si
la serie dada cumple la condición
lımn→∞∞∞
an = 0 ,
alternando convenientemente el orden de sus términos se obtiene una serie convergente de suma
prefijada, una divergente o una oscilante.
En efecto: por ser divergente la serie (xn), la suma parcial
Sn = x0+x1+x2+ . . . . . . . . . +xn
puede hacerse mayor que cualquier número. Así, si Sααα es la menor de las sumas parciales mayor que S(siendo S un número positivo prefijado cualquiera) se tiene que
S0 < S1 < S2 < . . . . . . . . . < Sααα−1 ⩽S ⩽ Sααα
420
Restando ahora de Sααα términos sucesivos suficientes: y0 , y1 , . . . . . . . . . , yβββ , de la serie divergente (yn)se llega a la suma:
Sααα+βββ = x0+x1+x2+ . . . . . . . . . +xn−y0−y1−y2− . . . . . . . . . −yβββ
menor que S, de manera que
Sααα > Sααα+1 > Sααα+2 > . . . . . . . . . > Sααα+βββ−1 ⩾S > Sααα+βββ .
Sumando ahora a Sααα+βββ términos sucesivos:
xααα+1 , xααα+2 , . . . . . . . . . , xααα+ααα ′ ,
en número suficiente, se llega a una suma mayor que S, de forma que
Sααα+βββ < Sααα+βββ+1 < Sααα+βββ+2 < . . . . . . . . . < Sααα+βββ+ααα ′−1 ⩽S < Sααα+βββ+ααα ′ .
Restamos ahora de Sααα+βββ+ααα ′ , términos sucesivos suficientes
yβββ+1 , yβββ+2 , . . . . . . . . . , yβββ+βββ ′
para llegar a una suma menor que S de manera que
Sααα+βββ+ααα ′ > Sααα+βββ+ααα ′+1 > . . . . . . . . .Sααα+βββ+ααα ′+βββ ′−1 ⩾S > Sααα+βββ+ααα ′+βββ ′ .
Y así sucesivamente. . . . . .
Una visualización de lo que estamos haciendo sería la siguiente:
0 S0 S1 Sααα−1 Sααα+βββ Sααα+βββ+ααα ′+βββ ′ S Sααα+βββ+ααα ′ Sααα
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶xααα
En el intervalo [Sααα−1 , Sααα ] cuya amplitud es xααα , está contenido S , y entre S y Sααα están
Sααα+1 , Sααα+2 , . . . . . . . . . , Sααα+βββ−1, luego todas estas sumas difieren de S en menos de xααα .
Así mismo en el intervalo [Sααα−βββ , Sααα+βββ−1] está S , y entre Sααα+βββ y S están Sααα+βββ+1 , Sααα+βββ+2 , . . .
. . . . . . , Sααα+βββ+ααα ′−1 luego estas sumas difieren de S en menos de yβββ .
Y así sucesivamente. . . . . .
Si se verifica entonces que
lımn→∞∞∞
xn = 0 , lımn→∞∞∞
yn = 0 ,
resultará que, fijado un εεε > 0, existe un n0 ∈N tal que
(∀∀∀ n > n0) ∣Sn−S∣ < εεε
421
luego
lımn→∞∞∞
Sn =S .
(Si el número S hubiese sido un número negativo, se hubiese procedido en forma análoga).
Si lo que se quiere obtener es una serie divergente, de límite +∞∞∞, se toman de la serie (xn) términos
suficientes para que
x0+x1+x2+ . . . . . . . . . +xααα > y0+1 ;
se resta luego de ambos miembros y0, con lo que tendremos
x0+x1+x2+ . . . . . . . . . +xααα −y0 > 1 .
Se suman ahora, de entre los restantes de la serie (xn), términos suficientes para que
xααα+1+xααα+2+ . . . . . . . . . +xααα+βββ > y1+1 ;
se resta luego de ambos miembros y1, con lo que tendremos
xααα+1+xααα+2+ . . . . . . . . . +xααα+βββ −y1 > 1 .
Procediendo de esta manera se obtiene la serie
x0+x1+x2+ . . . . . . . . . +xααα −y0+xααα+1+xααα+2+ . . . . . . . . . +xααα+βββ −y1+ . . . . . . . . .
en la cual se verifica
Sααα+1 , Sααα+βββ+2 > 2 , Sααα+βββ+γγγ+3 > 3 , . . . . . . . . .
lo cual nos muestra que dicha serie es divergente de límite +∞∞∞.
(En forma análoga se puede obtener una serie divergente de límite −∞∞∞).
Si lo que se desea es obtener es una serie oscilante, con límites de oscilación prefijados, S1 < S2, el proceso
es análogo al seguido para obtener una suma prefijada, S, sumando y restando ahora términos suficientes
para que las sumas sucesivas queden a la izquierda de S1 y a la derecha de S2.
Ejemplo 9. La convergencia cela serie alternada
1− 12+ 1
3− 1
4+ . . . . . . . . . +(−1)n+1 ⋅ 1
n+ . . . . . . . . .
es condicional, pues la serie de sus módulos es la armónica, que es divergente.
Veamos como una reordenación modifica su suma. Por ejemplo, escribiendo cada término positivo seguido de los
negativos tenemos, asociando como sigue:
(1− 12
)− 14+( 1
3− 1
6)− 1
8+( 1
5− 1
10)− 1
12+ . . . . . . . . . +( 1
2 ⋅n−1− 1
4 ⋅n−2)− 1
4 ⋅n + . . . . . . . . .
es decir12− 1
4+ 1
6− 1
8+ 1
10− 1
12+ . . . . . . . . . + 1
4 ⋅n−2− 1
4 ⋅n + . . . . . . . . .
cuya suma es, evidentemente, la mitad de la suma de la serie alternada dada.
422
Vamos a establecer ahora lo que habíamos anunciado en la última llamada de atención, resultando éste
que suele conocerse como el TEOREMA DE DIRICHLET:
PROPOSICIÓN 6. Toda serie incondicionalmente convergente es absolutamente convergente, y
recíprocamente.
En efecto: Dada la serie (an), sean (xn) e (yn) las series formadas por sus términos positivos y los valores
absolutos de sus términos negativos.
Según ya sabemos la convergencia incondicional de (an) sólo puede darse cuando (xn) e (yn) son conver-
gentes. Veamos que, en este caso, la serie (an) es absolutamente convergente, es decir que la serie (∣an∣)es convergente.
Si designamos con Sn las sumas parciales de la serie (∣an∣), y supuesto que de los n primeros términos de
la serie (an) hay n1 positivos y n2 negativos, se tiene
Sn = S′n1 +S′′n2 (n = n1+n2)
siendo S′n1 , S′′n2 sumas parciales de (xn) e (yn) .
Pasando al límite se tiene
S = lımn→∞∞∞
Sn = lımn→∞∞∞
S′n1 + lımn→∞∞∞
S′′n2 = Sx+Sy ,
lo que muestra que (∣an∣) es convergente, luego (an) absolutamente convergente.
Recíprocamente, si (an) es absolutamente convergente, es decir (∣an∣) convergente, veamos que (xn) e
(yn) son también convergentes.
Si S es la suma de la serie (∣an∣), sus sumas parciales son menores que S, y lo mismo sucede con las
sumas parciales de las series (xn) e (yn), luego estas son convergentes, y por tanto la serie (an) es incon-
dicionalmente convergente.
Ejemplo 10. La serie
1− 122 − 1
32 + 142 − 1
52 − 162 + 1
72 − . . . . . . . . .
es absolutamente convergente y por tanto incondicionalmente convergente, pues la serie de sus módulos
1+ 122 + 1
32 + 142 + 1
52 + 162 + 1
72 + . . . . . . . . .
es convergente.
423
Lección 36.- OPERACIONES CON SERIES
36.1 Operaciones con series
36.1 Operaciones con series
Vamos a considerar como operaciones elementales, sobre las series numéricas de números reales, la
adición y la multiplicación por una constante, que son las que determinan una estructura algebraica
sobre el conjunto de las series convergentes.
ADICIÓN: Consideradas las series (xn) e (yn), diremos que la serie (zn) es su suma si para todo n ∈N
se verifica
zn = xn+yn .
Ejemplo 1. Dadas las series∞∞∞
∑n=0
1n+1
,∞∞∞
∑n=0
n2−1n
,
su suma es la serie∞∞∞
∑n=0
( 1n+1
+ n2−1n
)
Si llamamos, respectivamente, Xn , Yn , Zn a las sumas de los n primeros términos de las series (xn) , (yn) ,
(zn) , se tiene que
Zn = Xn+Yn .
Así, resulta lo siguiente:
a.- Si las series (xn) e (yn) son convergentes, entonces Xn e Yn tienden, respectivamente hacia
límites X e Y, luego
lımn→∞∞∞
Zn =X+Y
y en consecuencia la serie (zn) es convergente y su suma vale X+Y.
b.- Si la serie (xn) es convergente y la serie (yn) no lo es, entonces la serie (zn) no es convergente,
pues si lo fuera, escribiendo yn = zn−xn podríamos concluir que (yn) es convergente, utilizando
el resultado de a.- .
c.- Si ninguna de las series (xn) e (yn) es convergente, no se puede concluir nada para la serie (zn).
425
MULTIPLICACIÓN POR UNA CONSTANTE: Si a es un número real y (xn) una serie, es posible
determinar una nueva serie (a ⋅xn), como resultado de multiplicar cada término de la serie dada por la
constante a ∈R.
Ejemplo 2. Dada la serie∞∞∞
∑n=0
1n
y la constante a = 3, resulta la nueva serie, como resultado de multiplicar la serie
dada por la constante:∞∞∞
∑n=0
3n
Si a ≠ 0, entonces (xn) y (a ⋅xn) son ambas simultáneamente convergentes o no convergentes, ya que si
es Xn la suma de los n primeros términos de la primera, a ⋅Xn será la suma de los n primeros términos
de la segunda. Así, si la primera es convergente y tiene por suma S, la segunda lo es también, y su suma
es a ⋅S.
Definidas de esta manera las dos operaciones sobre las series, es inmediato comprobar que:
El conjunto de las series convergentes forma un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números
reales.
MULTIPLICACIÓN: Consideradas las series (xn) e (yn), diremos que la serie (zn) es su producto si
para todo n ∈N se verifica:
zn =n∑i=0
xi ⋅yn−i
es decir, si las series dadas son las
x0+x1+x2+ . . . . . . . . . +xn+ . . . . . . . . .
y0+y1+y2+ . . . . . . . . . +yn+ . . . . . . . . .
su producto es la serie
x0 ⋅y0+(x0 ⋅y1+x1 ⋅y0)+(x0 ⋅y2+x1 ⋅y1+x2 ⋅y0)+(x0 ⋅y3+ . . . . . . . . . +x3 ⋅y0)+ . . . . . . . . .
Del producto de las series dadas, escrito de esta manera, suele decirse que está ordenado según la regla
de Cauchy.
En particular, se verifica la propiedad siguiente:
PROPOSICIÓN 1. Si (xn) e (yn) son series absolutamente convergentes, su producto (zn), definido
por
(∀∀∀ n ∈N) zn = x0 ⋅yn+x1 ⋅yn−1+ . . . . . . . . . +xn−1 ⋅y1+xn ⋅y0
es una serie absolutamente convergente. Además, se tiene
∞∞∞
∑n=0
zn = (∞∞∞
∑n=0
xn) ⋅(∞∞∞
∑n=0
yn) .
426
En efecto: Vamos a utilizar la simbología que sigue
S =∞∞∞
∑n=0
xn , S′ =∞∞∞
∑n=0
yn
Sn = x0+x1+ . . . . . . . . . +xn
S′n = y0+y1+ . . . . . . . . . +yn
σσσn = z0+z1+ . . . . . . . . . +zn
Supongamos, en primer lugar, que las series (xn) e (yn) son convergentes y de términos positivos.
El producto Sn ⋅S′n es una suma de términos del tipo xi ⋅yj, con i+ j ⩽ 2 ⋅n, que contiene todos los términos
del tipo xi ⋅yj, con i+ j ⩽ 2 ⋅n, luego
(∀∀∀ n ∈N) Sn ⋅S′n ⩽σσσ2⋅n y σσσn ⩽ Sn ⋅S′n
La segunda desigualdad permite afirmar que la sucesión creciente (σσσn)n∈N está mayorada por S ⋅S′, y por
tanto
σ ⩽S ⋅S′
mientras que la primera desigualdad permite afirmar ahora, que
S ⋅S′ ⩽σ
y en consecuencia
S ⋅S′ =σ
Supongamos, en segundo lugar, que las series (xn) e (yn) son convergentes, pero de términos cualesquiera.
Hagamos, ahora, para todo n ∈N,
un = ∣x0∣+ ∣x1∣+ . . . . . . . . . + ∣xn∣vn = ∣y0∣+ ∣y1∣+ . . . . . . . . . + ∣yn∣
Como (xn) e (yn) son absolutamente convergentes, las series (un) e (vn) son convergentes. Sean
U = lımn→∞∞∞
un , V = lımn→∞∞∞
vn .
Por lo establecido antes, sabemos que el producto de las series (∣xn∣) e (∣yn∣) es convergente, y tiene por
producto U ⋅V. Así, si designamos por wn la suma de rango n de esta serie producto
wn =n∑n=0
(∣x0∣ ⋅ ∣yk∣+ . . . . . . . . . + ∣xk∣ ⋅ ∣y0∣)
se tiene
lımn→∞∞∞
wn = U ⋅V .
Por otra parte se verifica, siempre que
(∀∀∀ n ∈N) ∣zn∣ ⩽ ∣x0∣ ⋅ ∣yn∣+ ∣x1∣ ⋅ ∣yn−1∣+ . . . . . . . . . + ∣xn∣ ⋅ ∣y0∣
427
La serie de términos positivos (∣zn∣) admite, por tanto, una serie mayormente convergente, luego (zn) es
absolutamente convergente.
Sea ahora σ la suma de la serie (zn). Como el producto Sn ⋅S′n contiene todos los términos del tipo xi ⋅yi,
con i+ j ⩽ n, cuya suma es σσσn, resulta
∣Sn ⋅S′n−σσσn∣ ⩽ un ⋅vn−wn ,
luego
lımn→∞∞∞
(un ⋅vn−wn) = 0 Ô⇒ lımn→∞∞∞
∣Sn ⋅S′n−σσσn∣ = 0 ,
y en consecuencia
σ =S ⋅S′.
Ejemplo 3. Dadas las raíces
1+ a1!
+ a2
2!+ . . . . . . . . . + an
n!+ . . . . . . . . .
1+ b1!
+ b2
2!+ . . . . . . . . . + bn
n!+ . . . . . . . . .
absolutamente convergentes para cualesquiera que sean los números reales a y b, la serie producto de ambas es la
siguiente
1+ a+b1!
+ (a+b)2
2!+ . . . . . . . . . + (a+b)n
n!+ . . . . . . . . .
también absolutamente convergente.
Para las aplicaciones resulta interesante el siguiente resultado, que enunciamos sin demostración, cono-
cido normalmente como el TEOREMA DE MERTENS:
Si una serie absolutamente convergente (xn), de suma X, se multiplica por otra convergente (yn),
de suma Y, su producto es una serie convergente, de suma X ⋅Y.
¡¡Atención!! Si las series que se multiplican son convergentes, la serie producto obtenida puede ser
convergente o no serlo. En caso de serlo su suma es el producto de las sumas de los factores. Por
otra parte, la serie producto puede resultar absolutamente convergente aún siendo las series factores
divergente.
Ejemplo 4. Dada la serie convergente (pero no absolutamente convergente).
1− 1√2+ 1√
3− 1√
4+ 1√
5− 1√
6+ . . . . . . . . . ,
si la multiplicamos por sí misma resulta como producto la serie no convergente.
1−( 1√2+ 1√
2)+( 1√
1 ⋅3+ 1√
2 ⋅2+ 1√
3 ⋅1)− . . . ±
⎛⎝
1√1 ⋅n
+ 1√2 ⋅(n−1)
+ . . . + 1√n ⋅1
⎞⎠∓ . . .
pues recordando que para a y b números positivos
√a ⋅b ⩽ a+b
2
428
el término general de la serie obtenida es en valor absoluto mayor que
1n+1
2
+ 1n+1
2
+ . . . . . . . . . + 1n+1
2
= 2 ⋅nn+1
Ð→ 2
Ejemplo 5. Comprobar que el producto de las siguientes series, divergentes,
1−∞∞∞
∑n=1
( 32
)n
, 1+∞∞∞
∑n=1
( 32
)n−1
⋅(2n+ 12n+1 )
proporciona una serie convergente absolutamente.
Utilizando la regla de Cauchy tenemos
cn = a1 ⋅bn+b1 ⋅an+n−1∑k=2
ak ⋅bn−k+1
donde:
a1 = 1 , an = −( 32
)n−1
, b1 = 1 , bn = ( 32
)n−2
⋅(2n−1+ 12n ) , n = 2 , 3 , . . . . . . . . .
En consecuencia:
cn = ( 32
)n−2
⋅(2n−1+ 12n )−( 3
2)
n−1−4 ⋅3n−2 ⋅
n−1∑k=2
12k − 3n−2
22⋅n−1 ⋅n−1∑k=1
2k = ( 34
)n−1
de donde resulta∞∞∞
∑n=1
cn =∞∞∞
∑n=1
( 34
)n−1
= 1
1− 34
= 4
Ejemplo 6. Multiplicar la serie convergente (no absolutamente convergente)
1− 1√2+ 1√
3− 1√
4+ . . . . . . . . . ± 1√
n∓ . . . . . . . . .
por sí misma, y estudiar la convergencia de la serie que resulta.
Si formamos el producto según regla de Cauchy el término general del mismo es
cn = ±⎡⎢⎢⎢⎢⎣
1√n ⋅1
+ 1√(n−2) ⋅2
+ 1√(n−2) ⋅3
+ . . . . . . . . . + 1√2 ⋅(n−1)
+ 1√1 ⋅n
⎤⎥⎥⎥⎥⎦
Dado que todos los radicados son menores que ( n+12
)2, por ser productos de factores de suma constante, se tiene
∣cn∣ >n√
( n+12
)2= 2 ⋅n
n+1> 1
luego la serie no es convergente.
429
Ejemplo 7. Comprobar que el cuadrado de la serie convergente.
∞∞∞
∑n=1
(−1)n+1√
n
es una serie divergente.
(Observemos que la serie dada convergente condicionalmente).
Según la regla de Cauchy se tiene
cn =n∑k=1
( (−1)k+1√
k⋅ (−1)n−k+2√
n−k+1) = (−1)n+1 ⋅
n∑k=1
1√k ⋅(n−k+1)
Dado que1√
k ⋅(n−k+1)⩾ 1
n, n ∈N , k = 1 , . . . . . . . . . , n
se verifican∑k=1
1√k ⋅(n−k+1)
⩾ nn
= 1
Por consiguiente, la serie∞∞∞
∑n=1
cn es divergente.
Ejemplo 8. Establecer que se verifica
∞∞∞
∑n=1
1n!
⋅∞∞∞
∑n=0
(−1)n√
n!= 1
Dado que la serie∞∞∞
∑n=1
1n!
converge, podemos escribir:
∞∞∞
∑n=0
1n!
⋅∞∞∞
∑n=0
(−1)n
n!=∞∞∞
∑n=1
1(n−1)!
⋅∞∞∞
∑n=1
(−1)n−1
(n−1)!=∞∞∞
∑n=1
cn = 1+∞∞∞
∑n=2
cn
donde
cn =n∑k=1
ak ⋅bn−k+1 = (−1)n ⋅n∑k=1
(−1)k
(k−1)! ⋅(n−k)!,
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
ak =1
(k−1)!
bk =(−1)k
(k−1)!Como
n∑k=0
(−1)k
k! ⋅(n−k)!= 1
n!⋅(1−1)n = 0 , n ∈N ,
se tiene
cn+1 = (−1)n ⋅n∑k=0
(−1)k
k! ⋅(n−k)!= 0 , n ∈N .
lo que establece la igualdad que queríamos establecer.
430
Lección 37.- SUMACIÓN DE SERIES (I)
37.1 Series geométricas
37.2 Series aritmético-geométricas
37.3 Series hipergeométricas
Sumación de series
La segunda parte del estudio de una serie, después de haber establecido su convergencia, la constituye
el cálculo de su suma, problema éste más complicado que el primero. En lo que sigue vamos a exponer
como tratar algunos tipos de series que pueden sumarse por métodos elementales. Quiere esto decir que
lo que sigue puede considerarse como introducción a toda una problemática: la sumación de series.
Los tipos que vamos a considerar son:
1.- Series geométricas
2.- Series aritmético-geométricas
3.- Series hipergeométricas
4.- Series sumables por descomposición:
4.1.- de término general: xn =P(x)Q(x)
4.2.- de término general: xn =P(n)
n!⋅an
5.- Series de término general: xn =1
(b+p ⋅m)!
6.- Series trigonométricas
7.- Series formadas por términos de la armónica (Series de Euler)
8.- Series no encuadradas entre las anteriores (Ejemplos)
Como es fácil comprender esta relación no pretende ser exhaustiva. Por otra parte vamos a tratar de que
la exposición de lo que sigue sea muy práctica. En esta lección estudiaremos los tres primeros tipos, y
en las dos siguientes los restantes.
431
37.1 Series geométricas
Son las generadas a partir de las progresiones geométricas indefinidas. Su expresión más general es:
a1+a1 ⋅r+a1 ⋅r2+ . . . . . . . . . +a1 ⋅rn−1
+ . . . . . . . . .
La expresión de la suma de sus n primeros términos es:
Sn =a1−a1 ⋅rn
1−rSólo cuando ∣r∣ < 1 la serie es convergente, en cuyo caso la suma vale:
S = lımn→∞∞∞
a1−a1 ⋅rn
1−r=
a1
1−rUnos ejemplos ilustrarán este resultado.
Ejemplo 1. Determinar la suma de la serie√
3√3+1
+√
3√3+3
+√
33 ⋅
√3+3
+√
33 ⋅
√3+32
+√
332 ⋅
√3+32
+ . . . . . . . . .
Se trata de una serie geométrica, de razón r = 1√3< 1.
Por tanto, la serie es convergente y su suma es
S =
√3√
3+1
1− 1√3
=√
3 ⋅√
3(√
3+1) ⋅(√
3−1)= 3
3−1= 3
2
Ejemplo 2. Determinar la suma de la serie
12+ 2
4+ 3
8+ 4
16+ 5
32+ . . . . . . . . . + n
2n + . . . . . . . . .
Se trata de una serie de términos positivos convergente, pues aplicando el criterio de Cauchy resulta:
lımn→∞∞∞
n√
n2n = lım
n→∞∞∞
n√n2
= 12
Podemos, por tanto, descomponer la serie en la forma
12+ 1
4+ 1
8+ 1
16+ 1
32+ . . . . . .
⎛⎜⎜⎝=
12
1− 12
= 1⎞⎟⎟⎠
14+ 1
8+ 1
16+ 1
32+ 1
64+ . . . . . .
⎛⎜⎜⎝=
14
1− 12
= 12
⎞⎟⎟⎠
18+ 1
16+ 1
32+ 1
64+ 1
128+ . . . . . .
⎛⎜⎜⎝=
18
1− 12
= 14
⎞⎟⎟⎠
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
432
La suma buscada resulta, así, ser la de la serie geométrica
1+ 12+ 1
4+ . . . . . . . . .
es decir
S = 1
1− 12
= 2 .
37.2 Series aritmético-geométricas
Son las generadas a partir de las progresiones aritmético-geométricas indefinidas. Su expresión más
general es
a1 ⋅b1+a2 ⋅b2+a3 ⋅b3+ . . . . . . . . . +an ⋅bn+ . . . . . . . . .
en la cual los términos de la sucesión: a1 , a2 , a3 , . . . . . . , an , . . . . . . están en progresión aritmética, y
los términos de la sucesión: b1 , b2 , b3 , . . . . . . . . . , bn , . . . . . . . . . están en progresión geométrica, de
razón r.
Aplicando el criterio de D’Alembert resulta:
lımn→∞∞∞
an+1 ⋅bn+1
an ⋅bn= lım
n→∞∞∞
bn+1
bn= r
lo que permite afirmar que la serie dada es convergente siempre que ∣r∣ < 1. Para ∣r∣ ⩾ 1, la serie es no
convergente.
Veamos como se obtiene una fórmula que nos da la suma de una progresión aritmético-geométrica de
primer orden. El proceso es en todo análogo al caso de las progresiones geométricas.
De la serie dada
a1 ⋅b1+a2 ⋅b2+a3 ⋅b3+ . . . . . . . . . +an ⋅bn+ . . . . . . . . .
en la que
an = a1+(n−1) ⋅d , bn = b1 ⋅rn−1(∣r∣ < 1) ,
se considera la suma parcial de rango n
Sn = a1 ⋅b1+(a1+d) ⋅b1 ⋅r+(a1+2 ⋅d) ⋅b1 ⋅r2+ . . . . . . . . . +(a1+(n−1) ⋅d) ⋅b1 ⋅rn−1
se multiplican ambos miembros por r
r ⋅Sn = a1 ⋅b1 ⋅r+(a1+d) ⋅b1 ⋅r2+(a1+2 ⋅d) ⋅b1 ⋅r3
+ . . . . . . . . . +(a1+(n−1) ⋅d) ⋅b1 ⋅rn
y se resta, de la primera igualdad la segunda
Sn−r ⋅Sn = a1 ⋅b1+d ⋅b1 ⋅r+d ⋅b1 ⋅r2+ . . . . . . . . . +d ⋅b1 ⋅rn−1
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
d ⋅b1 ⋅(r+r2+ . . . . . . . . . +rn−1
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶r−rn
1−r
)
−(a1+(n−1)) ⋅b1 ⋅rn
433
Resulta entonces que
Sn =a1 ⋅b1−(a1+(n−1) ⋅d) ⋅b1 ⋅rn
1−r+d ⋅b1 ⋅
r−rn
(1−r)2
expresión a partir de la cual se obtiene el valor de la suma de la serie dada
S = lımn→∞∞∞
Sn =a1 ⋅b1
1−r+
d ⋅b1 ⋅r(1−r)2
En las aplicaciones ocurre que, salvo que tengamos la anterior fórmula a la vista, y mejor que tratar de
recordarla, dado que la metodología es muy sencilla, lo práctico es aplicar ésta directamente. Veámoslo
con un ejemplo sencillo.
Ejemplo 1. Determinar la suma de la serie
32 ⋅4 + 3 ⋅4
2 ⋅4 ⋅6 + 3 ⋅4 ⋅52 ⋅4 ⋅6 ⋅8 + . . . . . . . . . + 3 ⋅4 ⋅5 ⋅ . . . . . . . . . ⋅(n+2)
2 ⋅4 ⋅6 ⋅8 ⋅ . . . . . . . . . ⋅2 ⋅(n+1) + . . . . . . . . .
La serie también se puede escribir como sigue
323 + 4
24 + 525 + . . . . . . . . . + n+2
2n+2 + . . . . . . . . .
puesto que
3 ⋅4 ⋅5 ⋅ . . . . . . . . . ⋅(n+2)2 ⋅4 ⋅6 ⋅ . . . . . . . . . ⋅2 ⋅(n+1) = 3 ⋅4 ⋅5 ⋅ . . . . . . . . . ⋅(n+2)
2n+1 ⋅(1 ⋅2 ⋅3 ⋅ . . . . . . . . . ⋅(n+1))= 3 ⋅4 ⋅5 ⋅ . . . . . . . . . ⋅(n+2)
2n+2 ⋅(1 ⋅2 ⋅3 ⋅ . . . . . . . . . ⋅(n+1))= n+2
2n+2
Resulta entonces que la serie es aritmético-geométrica, con d = 1 y r = 12
, luego será convergente.
Para sumar procederemos en forma análoga a como hicimos con las correspondiente progresiones:
Sn =323 + 4
24 + 525 + . . . . . . . . . + n+2
2n+2
12⋅Sn =
324 + 4
25 + 526 + . . . . . . . . . + n+1
2n+2 + n+22n+3
y restando miembro a miembro resulta:
(1− 12
) ⋅Sn =323 +( 1
24 + 125 + . . . . . . . . . + 1
2n+2 )− n+22n+3 .
La progresión que figura entre paréntesis es geométrica de razón12
y su suma vale:
124 + 1
25 + . . . . . . . . . + 12n+2 =
124 − 1
2n+3
1− 12
= 123 − 1
2n+2
Así se tiene
Sn =322 + 1
22 − 12n+1 − n+2
2n+2
y pasando al límite obtenemos
S = lımn→∞∞∞
Sn =322 + 1
22 −0−0 = 1
434
La metodología se puede extender a la sumación de series aritmético-geométricas de orden superior,
puesto que según vimos al estudiar las progresiones aritmético-geométricas, este problema se resolvía
por “reducciones” sucesivas, hasta llegar a uno de primer orden. Además, una vez sabido que el pro-
blema admite solución, podemos permitirnos el prescindir de determinados formalismos, como son los
de determinar las sumas parciales de rango n, de las que luego hay que buscar su límite por n→∞∞∞.
Veámoslo con un ejemplo sencillo.
Ejemplo 2. Determinar la suma de la serie
∞∞∞
∑n=1
n2+n+13n ,
Se trata de una serie aritmético-geométrica de segundo orden, con r = 13< 1, luego convergente.
Procedemos como sigue:
S= 33+ 7
32 + 1333 + 21
34 + 3135 + 43
36 + . . . . . . . . . . . . . . .
13⋅S= 3
32 + 733 + 13
34 + 2135 + 31
36 + 4337 + . . . . . . . . . . . .
(1− 13
) ⋅S= 33+ 4
32 + 633 + 8
34 + 1035 + 12
36 + . . . . . . . . . . . . . . .
13⋅(1− 1
3) ⋅S= 3
32 + 433 + 6
34 + 835 + 10
36 + 1237 + . . . . . . . . . . . . . . .
[(1− 13
)− 13⋅(1− 1
3)] ⋅S= 3
3+ 1
32 + 233 + 2
34 + 235 + 2
36 + . . . . . . . . . . . . . . .´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
progresión geométrica
de donde resulta
( 23
)2⋅S = 2
3+ 1
32 +
232
1− 13
es decir49⋅S = 1+ 1
9+ 1
9= 11
4y en definitiva
S = 94⋅ 11
9= 11
4
435
Ejemplo 3. Determinar la suma de la serie
∞∞∞
∑n=1
n2+n+12n .
Se trata de una serie aritmético-geométrica de segundo orden, con r = 12< 1, luego convergente. Procedemos como
sigue:
S= 32+ 7
22 + 1323 + 21
24 + 3125 + 43
26 + . . . . . . . . . . . . . . .
12⋅S= 3
22 + 723 + 13
24 + 2125 + 31
26 + 4327 + . . . . . . . . . . . .
(1− 12
) ⋅S= 32+ 4
22 + 623 + 8
24 + 1025 + 12
26 + . . . . . . . . . . . . . . .
12⋅(1− 1
2) ⋅S= 3
22 + 423 + 6
24 + 825 + 10
26 + 1227 + . . . . . . . . . . . . . . .
[(1− 12
)− 12⋅(1− 1
2)] ⋅S= 3
2+ 1
22 + 223 + 2
24 + 225 + 2
26 + . . . . . . . . . . . . . . .´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
progresión geométrica
de donde resulta
14⋅S = 2
3+ 1
4+
223
1− 12
es decir14⋅S = 3
2+ 1
4+ 1
2= 6+1+2
4= 9
4y en definitiva
S = 94⋅4 = 9
37.3 Series hipergeométricas
Son las generadas a partir de las progresiones hipergeométricas indefinidas; su expresión más general es:
a1+a2+a3+ . . . . . . . . . +an+ . . . . . . . . . , siendoan+1
an=
ααα ⋅n+βββ
ααα ⋅n+γγγ
La expresión de la suma de sus n primeros términos es:
Sn =(n ⋅ααα +βββ) ⋅an−γγγ ⋅a1
ααα +βββ −γγγ.
436
Si suponemos (an) convergente, entonces lımn→∞∞∞
n ⋅an = 0, pues si fuese distinto de cero, entonces apli-
cando el criterio de Rieman-Pringsheim a la serie (an), para ααα = 1, resultaría que ésta es divergente.
Como además debe ser lımn→∞∞∞
an = 0, resulta que la suma de la serie vale:
S = lımn→∞∞∞
Sn = lımn→∞∞∞
ααα ⋅n ⋅an+βββ ⋅an−γγγ ⋅a1
ααα +βββ −γγγ=
a1 ⋅γγγ
γγγ −ααα −βββ
¡¡Atención!! Una serie hipergeométrica puede ser divergente, razón ésta por la que antes de tratar
de calcular su suma habrá que comprobar que existe, para lo cual hay que analizar su carácter y ver
que es convergente. Si no lo hacemos así, podríamos caer en la tentación de, una vez determinados los
ααα , βββ y γγγ aplicar la fórmula de la suma y dar un resultado evidentemente falso.
Ejemplo 1. Consideremos la serie
111 ⋅7 ⋅13
+ 11 ⋅171 ⋅7 ⋅13 ⋅19
+ . . . . . . . . . + 11 ⋅17 ⋅23 ⋅ . . . . . . . . . ⋅(11+6 ⋅(n−1))1 ⋅7 ⋅13 ⋅ . . . . . . . . . ⋅(1+6 ⋅(n−1)) + . . . . . . . . .
Se trata de una serie hipergeométrica puesto que:
an+1an
=
11 ⋅17 ⋅23 ⋅ . . . . . . . . . ⋅(11+6 ⋅n)1 ⋅7 ⋅13 ⋅ . . . . . . . . . ⋅(1+6 ⋅n)
11 ⋅17 ⋅23 ⋅ . . . . . . . . . ⋅(11+6 ⋅(n−1))1 ⋅7 ⋅13 ⋅ . . . . . . . . . ⋅(1+6 ⋅(n−1))
= 6 ⋅n+116 ⋅n+1
Veamos cual es su carácter. Aplicando el criterio de D’Alembert se tiene
lımn→∞∞∞
an+1an
= lımn→∞∞∞
6 ⋅n+116 ⋅n+1
= 1
indeterminación que desharemos al aplicar el criterio de Raabe-Duhamel. Sin embargo, recordando la llamada de
atención que hicimos cuando establecimos el criterio de D’Alembert, observando que la razónxn+1xn
se conserva
mayor que uno en todo momento, podemos ya establecer la divergencia de la serie dada, lo que nos va a confirmar
Raabe-Duhamel:
lımn→∞∞∞
n ⋅(1− 6 ⋅n+116 ⋅n+1
) = lımn→∞∞∞
−10 ⋅n6 ⋅n+1
= − 53< 1
que nos muestra que efectivamente la serie es divergente. (¡no hay suma!).
¡¡Atención!! Observemos que si la serie es hipergeométrica se tiene
an+1
an=
ααα ⋅n+βββ
ααα ⋅n+γγγ,
que, en principio, siempre nos sugerirá la utilización del criterio de Raabe-Duhamel, dado que el de
D’Alembert nos dará indeterminación. Al aplicarlo tendremos
lımn→∞∞∞
n ⋅(1−ααα ⋅n+βββ
ααα ⋅n+γγγ) = lım
n→∞∞∞n ⋅(
ααα ⋅n+γγγ −ααα ⋅n−βββ
ααα ⋅n+γγγ) =
γγγ −βββ
ααα
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
> 1 convergente
< 1 divergente
437
lo que se traduce en:⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
γγγ −βββ −ααα > 0 , convergencia
γγγ −βββ −ααα < 0 , divergencia
En el ejemplo anterior teníamos: ααα = 6 , βββ = 11 , γγγ = 1 Ô⇒ γγγ −βββ −ααα < 0 Divergencia
Ejemplo 2. Determinar la suma de la serie
11 ⋅2 ⋅3 ⋅ . . . ⋅m + 1
2 ⋅3 ⋅4 ⋅ . . . ⋅(m+1) + . . . . . . + 1n ⋅(n+1) ⋅(n+2) ⋅ . . . ⋅(n+m−1) + . . . (m > 1)
Se trata de una serie hipergeométrica, puesto que
an+1an
=
1(n+1) ⋅(n+2) ⋅ . . . . . . . . . ⋅(n+m)
1n ⋅(n+1) ⋅(n+2) ⋅ . . . . . . . . . ⋅(n+m−1)
= nn+m
en la que: ααα = 1 , βββ = 0 , γγγ = m
Aplicando directamente lo establecido en la llamada de atención anterior, tendremos:
γγγ −βββ −ααα = m−0−1 = m−1 > 0 ,
luego a serie es convergente, y su suma será:
S =1
m!⋅m
m−1−0= 1
(m−1)! ⋅(m−1)
Ejemplo 3. Determinar la suma de la serie
1119
+ 11 ⋅1719 ⋅25
+ 11 ⋅17 ⋅2319 ⋅25 ⋅31
+ . . . . . . . . . + 11 ⋅17 ⋅23 ⋅ . . . . . . . . . (11+6 ⋅(n−1))19 ⋅25 ⋅31 ⋅ . . . . . . . . . ⋅(1+6 ⋅(n+2)) + . . . . . . . . .
Se trata de una serie hipergeométrica, puesto que
an+1an
= 6 ⋅n+116 ⋅n+19
en la que: ααα = 6 , βββ = 11 , γγγ = 19.
Aplicando directamente lo establecido en la llamada de atención anterior tendremos:
γγγ −βββ −ααα = 19−11−6 = 2 > 0
luego la serie es convergente, y su suma será:
S = a1 ⋅γγγααα −ααα −βββ
=1119
⋅19
19−6−11= 11
2
438
¡¡Atención!! Cuando aplicamos el criterio de D’Alembert lo que hacemos es buscar el lımn→∞∞∞
an+1
an.
Evidentemente, el resultado final es el mismo si lo que hacemos es determinar el lımn→∞∞∞
an
an−1. Sin em-
bargo, el calcular el límite de la expresión lımn→∞∞∞
an+1
antiene la ventaja, cuando tratamos con series
hipergeométricas, de que de esta expresión resultan los ααα , βββ , γγγ , que aparecen en la fórmula de la
suma de dichas series que según es inmediato comprobar no son los mismos que aparecen al considerar
lımn→∞∞∞
an
an−1. Veámoslo en los ejemplos siguientes.
Ejemplo 4. Estudiar la serie
∞∞∞
∑n=1
a ⋅(a+2) ⋅(a+4) ⋅ . . . . . . . . . ⋅(a+2 ⋅n)(a+3) ⋅(a+5) ⋅(a+7) ⋅ . . . . . . . . . ⋅(a+2 ⋅n+3) (a ≠ −3 , −5 , −7 , . . . . . . . . . )
Aplicando el criterio de D’Alembert se tiene
a ⋅(a+2) ⋅ . . . . . . . . . ⋅(a+2 ⋅n)(a+3) ⋅(a+5) ⋅ . . . . . . . . . ⋅(a+2 ⋅n−3)
a ⋅(a+2) ⋅ . . . . . . . . . ⋅(a+2 ⋅n−2)(a+3) ⋅(a+5) ⋅ . . . . . . . . . ⋅(a+2 ⋅n+1)
= lımn→∞∞∞
2 ⋅n+a2 ⋅n+3+a
= 1
y aplicando ahora el criterio de Raabe-Duhamel obtenemos:
lımn→∞∞∞
n ⋅(1− 2 ⋅n+a2 ⋅n+3+a
) = lımn→∞∞∞
3 ⋅n2 ⋅n+3+a
= 32> 1
lo que nos permite afirmar que la serie dada es convergente.
Por otra parte se verifica quexn+1xn
= 2 ⋅n+2+a2 ⋅n+5+a
luego se trata de una serie hipergeométrica, con
ααα = 2 , βββ = 2+a , γγγ = 5+a .
En consecuencia:
S =
a ⋅(a+2)(a+3) ⋅(a+5) ⋅(5+a)
5+a−2−(2+a) = a ⋅(a+2)a+3
Observemos que el cocientea
a+3, es en realidad un factor que multiplica a todos los términos de la serie; lo que
realmente deberíamos expresado como suma de la serie es:
S = aa+3
⋅⎛⎜⎜⎝
a+2a+5
⋅(5+a)
5+a−2−(2+a)
⎞⎟⎟⎠= a ⋅(a+2)
a+3
que como vemos no altera el resultado.
Ejemplo 5. Estudiar la serie
∞∞∞
∑n=1
n! ⋅an
(1+a) ⋅(1+2 ⋅a) ⋅ . . . . . . . . . ⋅(1+n ⋅a) (0 < a < 1)
439
Aplicando el criterio de D?Alembert se tiene
lımn→∞∞∞
anan−1
= lımn→∞∞∞
n! ⋅an
(1+a) ⋅(1+2 ⋅a) ⋅ . . . . . . . . . ⋅(1+n ⋅a)(n−1)! ⋅an−1
(1+a) ⋅(1+2 ⋅a) ⋅ . . . . . . . . . ⋅(1+(n−1) ⋅a)
= lımn→∞∞∞
n ⋅an ⋅a+1
= 1 ,
y aplicando ahora el criterio de Raabe-Duhamel obtenemos:
lımn→∞∞∞
n ⋅(1− n ⋅an ⋅a+1
) = lımn→∞∞∞
nn ⋅a+1
= 1a
Como 0 < a < 1, la serie dada es convergente.
Por otra parte, se verifica quean+1an
= a ⋅n+aa ⋅n+1+a
,
luego se trata de una serie hipergeométrica, con : ααα = a , βββ = a , γγγ = 1+a.
En consecuencia:
S =a
1+a⋅(1+a)
1+a−a−a= a
1−a
Ejemplo 6. Determinar la suma de la serie
11 ⋅3 + 1
2 ⋅4 + . . . . . . . . . + 1n ⋅(n+2) + . . . . . . . . .
Aplicando el criterio de D’Alembert se tiene
lımn→∞∞∞
anan−1
= lımn→∞∞∞
1n ⋅(n+2)
1(n−1) ⋅(n+1)
= lımn→∞∞∞
n2−1n2+2 ⋅n
= 1
y aplicando ahora el criterio de Raabe-Duhamel obtenemos:
lımn→∞∞∞
n ⋅(1− n2−1n2+2 ⋅n
) = lımn→∞∞∞
2 ⋅n2+nn2+2 ⋅n
= 2 > 1
lo que nos permite afirmar que la serie dada es convergente.
Así, podemos escribir
S =∞∞∞
∑n=1
1n ⋅(n+2) = S1+S2
siendoS1 =
11 ⋅3 + 1
3 ⋅5 + 15 ⋅7 + . . . . . . . . . + 1
(2 ⋅n−1) ⋅(2 ⋅n+1) + . . . . . . . . .
S2 =1
2 ⋅4 + 14 ⋅6 + 1
6 ⋅8 + . . . . . . . . . + 12 ⋅n ⋅(2 ⋅n+2) + . . . . . . . . .
S1 resulta ser la suma de una serie hipergeométrica, con α = 2α = 2α = 2 , βββ = −1 , γγγ = 3 , puesto que:
xn+1xn
=
1(2 ⋅n+1) ⋅(2 ⋅n+3)
1(2 ⋅n−1) ⋅(2 ⋅n+1)
= 2 ⋅n−12 ⋅n+3
440
de donde
S1 =1
1 ⋅3 ⋅3
3−2+1= 1
2Por otra parte, S2 resulta también ser la suma de una serie hipergeométrica, con α = 2α = 2α = 2 , βββ = 0 , γγγ = 4 , ya que:
xn+1xn
=
1(2 ⋅n+2) ⋅(2 ⋅n+4)
12 ⋅n ⋅(2 ⋅n+2)
= 2 ⋅n2 ⋅n+4
de donde
S2 =1
2 ⋅4 ⋅44−2+0
= 14
Resulta, en definitiva, la suma de la serie dada:
S = 12+ 1
4= 3
4
¡¡Atención!! Cuando se trata de sumar una serie hipergeométrica y lo queremos hacer aplicando la
fórmula
S =a1 ⋅γγγ
γγγ −ααα −βββ,
sabemos que los parámetros ααα , βββ , γγγ son los que resultan al hacer
xn+1
xn=
ααα ⋅n+βββ
ααα ⋅n+γγγ,
y estamos prevenidos contra la utilización del cocientexn
xn−1, en lugar del correcto
xn+1
xn, que es para
el que se ha establecido la fórmula que nos da la suma de la serie.
Sin embargo, es posible que se nos haya pasado por alto otro detalle importante, cual es que en la citada
fórmula también aparece el término a1, evidentemente el primer término de la serie, pero no sólo eso
sino que debe ser el que obtengamos al hacer n = 1, en el término general de la serie, puesto que si no
fuese así significaría que, en alguna manera, estaríamos calculando unxn+1
xnincorrecto.
Este problema no se ha planteado hasta aquí puesto que en todos los ejemplos vistos el sumatorio era
del tipo∞∞∞
∑n=1
.
El problema, como tal, desaparece simplemente transformando el sumario dado,∞∞∞
∑n=p
, al correspondiente
∞∞∞
∑n=1
, haciendo el cambio, en el primero: n = n+p−1. Veámoslo con un ejemplo.
Ejemplo 7. Determinar la suma de la serie hipergeométrica convergente:
11 ⋅2 ⋅3 + 1
2 ⋅3 ⋅4 + . . . . . . . . . + 1(n−2) ⋅(n−1) ⋅n + . . . . . . . . . =
∞∞∞
∑n=3
1(n−2) ⋅(n−1) ⋅n
441
Supongamos que no nos damos cuenta de que el sumario está extendido donde n = 3 hasta n =∞∞∞. Pensando en que
lo está desde n = 1, lo que haríamos es:
an+1an
=
1(n−1) ⋅n ⋅(n+1)
1(n−2) ⋅(n−1) ⋅n
= n−2n+1
con lo cual se tendría
ααα = 1 , βββ = −2 , γγγ = 1
y la suma valdría
S = a1 ⋅γγγγγγ −ααα −βββ
=1
1 ⋅2 ⋅31−1+2
= 112
Sin embargo, las cosas no son así, puesto que el primer término de la serie
∞∞∞
∑n=3
1(n−2) ⋅(n−1) ⋅n
se obtiene para n = 3. Si queremos aplicar la fórmula de la suma de las progresiones hipergeométricas indefinidas
tenemos que preparar la obtención de sus parámetros. Así, lo primero que tenemos que hacer es el cambio
n = n+2
en el sumatorio, es decir
∞∞∞
∑n=3
1(n−2) ⋅(n−1) ⋅n = [
∞∞∞
∑n+2=3
1(n+2−2) ⋅(n+2−1) ⋅(n+2) ] =
∞∞∞
∑n=1
1n ⋅(n+1) ⋅(n+2)
y luego
an+1an
=
1(n+1) ⋅(n+2) ⋅(n+3)
1n ⋅(n+1) ⋅(n+2)
= nn+3
con lo que resulta
ααα = 1 , βββ = 0 , γγγ = 3
y la suma vale
S = a1 ⋅γγγγγγ −ααα −βββ
=1
1 ⋅2 ⋅3 ⋅3
3−1−0= 1
4
que es el resultado correcto.
Por el interés que tienen para resolver, en algunos casos, el problema de la sumación de series, adelan-
tamos aquí el desarrollo en serie de algunas funciones, que en el próximo capítulo estudiaremos con
442
detalle. Sean estas las siguientes:
ex = 1+x+x2
2!+
x3
3!+
x4
4!+ . . . . . . . . . (x ∈R)
sen x = x−x3
3!+
x5
5!−
x7
7!+ . . . . . . . . . (x ∈R)
cos x = 1−x2
2!+
x4
4!−
x6
6!+ . . . . . . . . . (x ∈R)
arctg x = x−x3
3+
x5
5−
x7
7+ . . . . . . . . . (∣x∣ ⩽ 1)
Log (1+x) = x−x2
2+
x3
3−
x4
4+ . . . . . . . . . (∣x∣ ⩽ 1)
(1+x)m = 1+(m1) ⋅x+(
m2) ⋅x2+(
m3) ⋅x3+ . . . . . . . . . (∣x∣ < 1)
11+x
= 1−x+x2−x3+x4−x5+ . . . . . . . . . (∣x∣ ⩽ 1)
11−x
= 1+x+x2+x3+x4+x5+ . . . . . . . . . (∣x∣ ⩽ 1)
1(1−x)2 = 1+2 ⋅x+3 ⋅x2+4 ⋅x3+5 ⋅x4+ . . . . . . . . . (∣x∣ ⩽ 1)
1(1+x)3 =
12⋅(1 ⋅2+2 ⋅3 ⋅x+3 ⋅4 ⋅x2+4 ⋅5 ⋅x3+ . . . . . . . . . (∣x∣ ⩽ 1)
¡¡Atención!! Recordemos que, aunque m no sea un número natural, mientras que k sí lo sea, se verifica
que:
(mk) =
m ⋅(m−1) ⋅(m−2) ⋅ . . . . . . . . . ⋅(m−k+1)k!
Ejemplo 8. Aplicando la serie binómica determinar
lımn→∞∞∞
an = lımn→∞∞∞
(√
n2+a ⋅n+b−n)
Tenemos que
an = n ⋅⎡⎢⎢⎢⎢⎣(1+( a
n+ b
n2 ))12−1
⎤⎥⎥⎥⎥⎦y haciendo:
x = an+ b
n2 ,
443
como para n suficientemente grande es ∣x∣ < 1, puede aplicarse el desarrollo
(1+x)m = 1+(m1) ⋅x+(m
2) ⋅x2+(m
3) ⋅x3+ . . . . . . . . . ∣x∣ < 1
a(1+x)
12 = (1+( a
n+ b
n2 ))12
de lo que resulta
an = n ⋅⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1+(121
) ⋅( an+ b
n2 )+(122
) ⋅( an+ b
n2 )2+ . . . . . . . . . −1
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦=
= n ⋅
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
12⋅( a
n+ b
n2 )+
12⋅( 1
2−1)
2⋅( a
n+ b
n2 )2+ . . . . . . . . .
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
=
= 12⋅(a+ b
n)− 1
2⋅( a2
n+ 2 ⋅a ⋅b
n2 + b2
n3 )+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . =
= 12⋅a+ 1
n⋅[ b
2− 1
2⋅(a2+ 2 ⋅a ⋅b
n+ b2
n2 )+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . ]
y pasando al límite resulta
lımn→∞∞∞
an = lımn→∞∞∞
[√
n2+a ⋅n+b−n] = a2
Este límite fue, también, determinado en la Lección 23, como Ejemplo 9, multiplicando y dividiendo
por su expresión conjugada, se deshizo la indeterminación∞∞∞−∞∞∞.
Ejemplo 9. Aplicando la serie binómica determinar
lımn→∞∞∞
bn = lımn→∞∞∞
√n2+4−n
n√n3+8 ⋅n−n
Tenemos que
bn =√
n2+4−n√n3+8 ⋅n−n
=n ⋅
⎡⎢⎢⎢⎢⎣(1+ 4
n2 )12−1
⎤⎥⎥⎥⎥⎦
n ⋅⎡⎢⎢⎢⎢⎣(1+ 8
n2 )13−1
⎤⎥⎥⎥⎥⎦
=1+(
121
) ⋅ 4n2 +(
122
) ⋅ 16n4 + . . . . . . . . . −1
1+(131
) ⋅ 8n2 +(
132
) ⋅ 64n4 + . . . . . . . . . −1
=
2− 2n2 + . . . . . .
83− 64
9 ⋅n2 + . . . . . . . . .
y pasando al límite se obtiene
lımn→∞∞∞
bn = lımn→∞∞∞
√n2+4−n
3√n3+8 ⋅n−n= 2
83
= 34
444
Este límite fue, también determinado, como el del ejemplo anterior, en la Lección 23, como Ejemplo
11, multiplicando y dividiendo por sus expresiones conjugadas.
Ejemplo 10. Determinar, para n→∞∞∞, el límite de la suma
Sn = (a+b ⋅√
1n
)2
+(a2+b ⋅√
2n
)2
+(a3+b ⋅√
3n
)2
+ . . . . . . . . . +(an+b ⋅√
nn
)2
(0 < a < 1)
Efectuamos los cuadrados, luego sumamos y por último determinamos los límites de los tres sumandos que aparecen
en la suma:
(a+b ⋅√
1n
)2
= a2+2 ⋅a ⋅b ⋅√
1n
+b2 ⋅ 1n2
(a2+b ⋅√
2n
)2
= a4+2 ⋅a2 ⋅b ⋅√
2n
+b2 ⋅ 2n2
(a3+b ⋅√
3n
)2
= a6+2 ⋅a3 ⋅b ⋅√
3n
+b2 ⋅ 3n2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(an+b ⋅√
nn
)2
= a2⋅n+2 ⋅an ⋅b ⋅√
nn
+b2 ⋅ nn2
Sn = (a2+a4+a6+ . . . . . . . . . . . . . . . +a2⋅n´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶progresión geométrica de razón a2
)+
+ 2 ⋅bn
⋅(a+a2 ⋅√
2+a3 ⋅√
3+ . . . . . . . . . +an ⋅√
n´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
serie convergente
)+
+ b2
n2 ⋅( 1+2+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . +n´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶(progresión aritmética de razón 1)
) =
=n∑p=1
a2⋅p+ 2 ⋅bn
⋅n∑p=1
ap ⋅√p+ b2
n2 ⋅n∑p=1
p
lımn→∞∞∞
Sn =a2
1−a2 +0+ b2
2= a2
1−a2 + b2
2
445
Lección 38.- SUMACIÓN DE SERIES (II)
38.1 Series sumables por descomposición
38.2 Series de término general: xn =1
(b+p ⋅n)!
En esta lección estudiaremos los siguientes tipos: según la clasificación que hicimos en la anterior.
4.- Series sumables por descomposición
4.1.- de término general: xn =P(n)Q(n)
4.2.- de término general: xn =P(n)
n!⋅an
5.- Series de término general: xn =1
(b+p ⋅n)!
siguiendo la clasificación que hicimos en la lección anterior.
38.1 Series sumables por descomposición
En ocasiones es posible obtener la suma de una serie dada descomponiendo su término general en un
número finito de sumandos cada uno de los cuales tiende a cero, lo que no altera ni su carácter ni su
suma.
4.1.- Series de término general: xn =P(n)Q(n)
, siendo P(n) y Q(n) polinomios en la variable n, y
el grado del denominador superior al del numerador al menos en dos unidades, condición ésta necesaria
y suficiente para la convergencia de la serie dada (basta aplicar el criterio de Riemann-Pringsheim).
El procedimiento para obtener la suma de la serie en cuestión comienza descomponiendo el término
general en fracciones simples, lo que proporciona la descomposición a que hacíamos referencia antes.
La mejor manera de continuar con el proceso es siguiendo los ejemplos siguientes.
Ejemplo 1. Determinar la suma de la serie
11 ⋅2 + 1
2 ⋅3 + . . . . . . . . . + 1n ⋅(n+1) + . . . . . . . . .
La serie es, evidentemente, convergente.
Descomponemos el término general en fracciones simples:
1n ⋅(n+1) = A
n+ B
n+1
de donde identificando primero y segundo miembro resulta
A = 1 , B = −1 ,
447
es decir∞∞∞
∑n=1
1n ⋅(n+1) =
∞∞∞
∑n=1
( 1n− 1
n+1) .
Damos ahora a n los valores: 1 , 2 , 3 , . . . . . . . . . y sumamos ordenadamente:
S = (1+ 12+ 1
3+ . . . . . . . . .)−( 1
2+ 1
3+ . . . . . . . . .) = 1
Ejemplo 2. Determinar la suma de la serie
∞∞∞
∑n=2
1
n2− 14
.
Se verifica que
1
n2− 14
= 1
n2−( 12
)2 = 1
(n+ 12
) ⋅(n− 12
)= A
n+ 12
+ B
n− 12
=A ⋅(n− 1
2)+B ⋅(n+ 1
2)
n2− 14
=(A+B) ⋅n+ 1
2⋅B− 1
2⋅A
n2− 14
Luego debe ser
A+B = 012⋅B− 1
2⋅A = 1
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭Ô⇒ A = −1 , B = 1
por tanto1
n2− 14
= −1
n+ 12
+ 1
n− 12
= −22 ⋅n+1
+ 22 ⋅n−1
= 2 ⋅( 12 ⋅n−1
− 12 ⋅n+1
)
Así, tendremos
Sn = 2 ⋅[1− 13+ 1
3− 1
5+ 1
7− . . . . . . . . . + 1
2 ⋅n−1− 1
2 ⋅n+1]
y pasando al límite
S = lımn→∞∞∞
Sn = 2
Ejemplo 3. Determinar la suma de la serie∞∞∞
∑n=4
1n2−22
Se verifica que
1n2−22 = 1
(n+2) ⋅(n−2) = An+2
+ Bn−2
= A ⋅(n−2)+B ⋅(n+2)n2−22 = (A+B) ⋅n+2 ⋅B−2 ⋅A
n2−22
luego debe ser:
A+B = 0
2 ⋅B−2 ⋅A = 1
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭Ô⇒ B = 1
4, A = −1
4
448
por tanto,1
n2−22 = 14⋅[ 1
n−2− 1
n+2]
Así tendremos:
Sn =14⋅[ 1
2+ 1
3+ 1
4+ 1
5−( 1
n−1+ 1
n+ 1
n+1+ 1
n+2)]
y pasando al límite
S = lımn→∞∞∞
Sn =14⋅( 1
2+ 1
3+ 1
4+ 1
5) = 77
240
Ejemplo 4. Determinar la suma de la serie
∞∞∞
∑n=3
1(n−2) ⋅(n−1) ⋅n .
La serie es evidentemente convergente.
Descomponemos el término general en fracciones simples:
1(n−2) ⋅(n−1) ⋅n = A
n−2+ B
n−1+ C
n
de donde identificando primero y segundo miembro resulta:
A = 12
, B = −1 , C = 12
,
es decir∞∞∞
∑n=3
1(n−2) ⋅(n−1) ⋅n = 1
2⋅∞∞∞
∑n=3
( 1n−2
− 2n−1
+ 1n
) .
Damos ahora a n los valores: 3 , 4 , 5 , . . . . . . . . . y sumamos ordenadamente:
S= 12⋅(1+ 1
2+ 1
3+ 1
4+ . . . . . . . . .)−
− 12⋅(1 + 2
3+ 2
4+ . . . . . . . . .)+
+ 12⋅( 1
3+ 1
4+ . . . . . . . . .) = 1
2⋅(1+ 1
2−1) = 1
4
Ejemplo 5. Determinar la suma de la serie
122−1
+ 132−1
+ . . . . . . . . . + 1n2−1
+ . . . . . . . . .
La serie es evidentemente convergente.
Descomponemos el término general en fracciones simples:
1n2−1
= 1(n+1) ⋅(n−1) = A
n+1+ B
n−1
de donde identificando primero y segundo miembro resulta:
A = − 12
, B = 12
449
es decir∞∞∞
∑n=2
1n2−1
= 12⋅∞∞∞
∑n=2
( −1n+1
+ 1n−1
) .
Damos ahora a n los valores 2 , 3 , 4 , . . . . . . . . . y sumamos ordenadamente
S= 12⋅( 1
3+ 1
4+ 1
5+ . . . . . . . . .)+
+ 12⋅(1+ 1
2+ 1
3+ 1
4+ 1
5+ . . . . . . . . .) = 1
2⋅(1+ 1
2) = 3
4
Ejemplo 6. Determinar la suma de la serie
∞∞∞
∑n=3
4 ⋅n−3(n−2) ⋅n ⋅(n+3)
La serie es evidentemente convergente.
Descomponemos el término general en fracciones simples, resultando:
∞∞∞
∑n=3
4 ⋅n−3(n−2) ⋅n ⋅(n+3) =
∞∞∞
∑n=3
⎛⎜⎜⎝
12
n−2+
12n
+ −1n+3
⎞⎟⎟⎠.
Damos ahora a n los valores 3 , 4 , 5 , . . . . . . . . . y sumamos ordenadamente:
S=⎛⎜⎜⎝
12+
122
+123
+124
+125
+126
+127
+128
+ . . . . . . . . .⎞⎟⎟⎠+
+⎛⎜⎜⎝
123
+124
+125
+126
+127
+128
+ . . . . . . . . .⎞⎟⎟⎠+
+( − 16
− 17
− 18
− . . . . . . . . .) =
= 12+ 1
4+ 1
3+ 1
4+ 1
5= 23
15
¡¡Atención!! Cuando se nos plantea el sumar una serie de término general xn =P(n)Q(n)
, una operación
que puede, en muchos casos, resultar rentable es comprobar si la serie es, o no, hipergeométrica. En
caso afirmativo puede interesar sumarla como tal.
Ejemplo 7. De entre las series que figuran en los cuatro ejemplos anteriores.
∞∞∞
∑n=1
1n ⋅(n+1) ;
∞∞∞
∑n=3
1(n−2) ⋅(n−1) ⋅n ;
∞∞∞
∑n=2
1n2−1
;∞∞∞
∑n=3
4 ⋅n−3(n−2) ⋅n ⋅(n+3)
las dos primeras son hipergeométricas.
450
4.2.- Series de término general: xn =P(n)
n!⋅an , siendo P(n) un polinomio en la variable n, y a una
constante.
También aquí los ejemplos van a ser más elocuentes que cualquier explicación; veámoslo:
Ejemplo 8. Determinar la suma de la serie
∞∞∞
∑n=1
n3+2 ⋅n+1(n−1)!
.
Descomponemos el término general xn de forma conveniente, es decir:
n3+2 ⋅n+1(n+1)!
= A(n−1)!
+ B(n−2) + C
(n−3)!+ D
(n−4)!
y reduciendo a común denominador e identificando numeradores, resulta:
n3+2 ⋅n+1 = A+B ⋅(n−1)+C ⋅(n−1) ⋅(n−2)+D ⋅(n−1) ⋅(n−2) ⋅(n−3)
Dado ahora a n los valores 1 , 2 , 3 , 4 , . . . . . . . . . se obtiene:
A = 4 , B = 9 , C = 6 , D = 1 .
Por tanto
S=∞∞∞
∑n=1
n3+2 ⋅n+1(n−1)!
=
= 4 ⋅∞∞∞
∑n=1
1(n−1)!
+9 ⋅∞∞∞
∑n=2
1(n−2)!
+6 ⋅∞∞∞
∑n=3
1(n−3)!
+∞∞∞
∑n=4
1(n−4)!
y sabiendo que
e = 10!
+ 11!
+ 12!
+ 13!
+ . . . . . . . . .
obtenemos
S = 4 ⋅e+9 ⋅e+6 ⋅e+e = 20 ⋅e
¡¡Atención!! Observemos que, en el ejemplo anterior, cada uno de los sumatorios que figuran en el
segundo miembro de S están extendidos desde el menor de los valores de n, que hace que tenga sentido
el primero de los sumandos hasta infinito. Debe ser así, y no hay arbitrariedad; la razón aparece en que,
en el desarrollo de las fracciones propias, éstas se anulan precisamente cuando aparecen sin sentido.
En cualquier caso el menor valor a que se extienden los sumatorios no debe ser inferior al menor valor
a que se extiende el sumario general.
451
Ejemplo 9. Determinar la suma de la serie
∞∞∞
∑n=1
n3−1n!
.
Descomponemos el término general xn de forma conveniente, es decir:
n3−1n!
= An!
+ B(n−1)!
+ C(n−2)!
+ D(n−3)!
y reduciendo a común denominador e identificando numeradores, resulta:
n3−1 = A+B ⋅n+C ⋅n ⋅(n−1)+D ⋅n ⋅(n−1) ⋅(n−2) .
Dando ahora a n los valores 0 , 1 , 2 y 3 se obtiene
A = −1 , B = 1 , C = 3 , D = 1 .
Por tanto
S = −∞∞∞
∑n=1
1n!
+∞∞∞
∑n=1
1(n−1)!
+3 ⋅∞∞∞
∑n=2
1(n−2)!
+∞∞∞
∑n=3
1(n−3)!
y recordando que
e = 10!
+ 11!
+ 12!
+ 13!
+ . . . . . . . . .
obtenemos
S = −(e−1)+e+3 ⋅e+e = 4 ⋅e+1
Ejemplo 10. Determinar la suma de la serie
∞∞∞
∑n=2
3 ⋅n2−1(n+1)!
⋅an
Como3 ⋅n2−1(n+1)!
= 2(n+1)!
+ −3n!
+ 3(n−1)!
podemos escribir
S =∞∞∞
∑n=2
3 ⋅n2−1(n+1)!
⋅an = 2a⋅∞∞∞
∑n=2
an+1
(n+1)!−3 ⋅
∞∞∞
∑n=2
an
n!+3 ⋅a ⋅
∞∞∞
∑n=2
an−1
(n−1)!
y sabiendo que
ea = 10!
+ a1!+ a2
2!+ a3
3!+ . . . . . . . . .
obtenemos
S= 2a⋅(ea−1−a− a2
2)−3 ⋅(ea−1−a)+3 ⋅a ⋅(ea−1) =
= ( 2a−3+3 ⋅a) ⋅ea−( 2
a−1+a)
Ejemplo 11. Determinar la suma de la serie∞∞∞
∑n=1
n(n+1)!
.
452
Se verifica quen
(n+1)!= A
(n+1)!+ B
n!= (A+B)+B ⋅n
(n+1)!luego debe ser
A+B = 0
B = 1
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭Ô⇒ A = −1 , B = 1
por tanton
(n+1)!= − 1
(n+1)!+ 1
n!.
Así tendremos que la serie se puede escribir
∞∞∞
∑n=1
n(n+1)!
= −∞∞∞
∑n=1
1(n+1)!
+∞∞∞
∑n=1
1n!
y como∞∞∞
∑n=1
1(n+1)!
= 12!
+ 13!
+ 14!
+ . . . . . . . . . = e−2
∞∞∞
∑n=1
1n!
= 11!
+ 12!
+ 13!
+ . . . . . . . . . = e−1
resultará
S =∞∞∞
∑n=1
n(n+1)!
= −(e−2)+(e−1) = 1
Ejemplo 12. Determinar la suma de la serie
∞∞∞
∑n=0
n2+(2 ⋅x−1) ⋅n+3 ⋅xn!
.
Se verifica que
n2+(2 ⋅x−1) ⋅n+3 ⋅x = (n−1) ⋅n+A ⋅n+B
e identificandon2+(2 ⋅x−1) ⋅n+3 ⋅x= n2−n+A ⋅n+B
= n2+(A−1) ⋅n+B
resulta: A = 2 ⋅x , B = 3 ⋅x , con lo que el numerador resulta ser
n ⋅(n+1)+2 ⋅x ⋅n+3 ⋅x
En consecuencia
S =∞∞∞
∑n=0
n ⋅(n+1)+2 ⋅x ⋅n+3 ⋅xn!
=∞∞∞
∑n=2
1(n−2)!
+2 ⋅x ⋅∞∞∞
∑n=1
1(n−1)!
+3 ⋅x ⋅∞∞∞
∑n=0
1n!
y dado que:∞∞∞
∑n=2
1(n−2)!
=∞∞∞
∑n=1
1(n−1)!
=∞∞∞
∑n=0
1n!
= e
tendremos que
S = e+2 ⋅x ⋅e+3 ⋅x ⋅e = e+5 ⋅x ⋅e = e ⋅(1+5 ⋅x)
453
Ejemplo 13. Determinar la suma de la serie∞∞∞
∑n=2
Sn(n+1)!
siendo Sn la suma de los productos binarios de los n primeros números naturales.
Sabemos que: Sn =n ⋅(n−1) ⋅(n+1) ⋅(3 ⋅n+2)
24, (ver Ejemplo 24 de la Lección 28)
Así∞∞∞
∑n=2
Sn(n+1)!
= 124
⋅∞∞∞
∑n=2
n ⋅(n−1) ⋅(n+1) ⋅(3 ⋅n+2)(n+1)!
=
= 124
⋅∞∞∞
∑n=2
3 ⋅n+2(n−2)!
=
= 18⋅∞∞∞
∑n=2
1(n−3)!
+ 13⋅∞∞∞
∑n=2
1(n−2)!
=
= ( 18+ 1
3) ⋅e = 11
24⋅e
Ejemplo 14. Determinar la suma de la serie∞∞∞
∑n=0
n2
(n+2)! ⋅2n
Si hacemosn2
(n+2)!= A
(n+2)!+ B
(n+1)!+ C
n!= (A+2 ⋅B+2 ⋅C)+(B+3 ⋅C)+C ⋅n2
(n+2)!identificando tenemos
A+2 ⋅B+2 ⋅C = 0
B+3 ⋅C = 0
C = 1
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒C = 1
B = −3
A = 4
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭luego
n2
(n+2)!= 4
(n+2)!− 3
(n+1)!+ 1
n!.
En consecuencia la serie dada se puede escribir como sigue:
∞∞∞
∑n=0
n2
(n+2)! ⋅2n = 4 ⋅∞∞∞
∑n=0
12n
(n+2)!−3 ⋅
∞∞∞
∑n=0
12n
(n+1)!+∞∞∞
∑n=0
12n
n!=
= 4 ⋅ 1122
⋅∞∞∞
∑n=0
12n+2
(n+2)!−3 ⋅ 1
12
⋅∞∞∞
∑n=0
12n+1
(n+1)!+∞∞∞
∑n=0
12n
n!=
= 16 ⋅∞∞∞
∑n=2
12n
n!−6 ⋅
∞∞∞
∑n=1
12n
n!+∞∞∞
∑n=0
12n
n!=
= 16 ⋅(e 12 −1− 1
2)−6 ⋅(e 1
2 −1)+e 12 = 11 ⋅e 1
2 −18
454
Se puede obtener una fórmula general de las series (xn) tales que su término general es de la forma
xn =P(x)
n!⋅an
utilizando el algoritmo de las diferencias finitas (que estudiamos con las progresiones aritméticas de
orden superior).
Supongamos, por ejemplo, que P(n) es un polinomio de grado 4. Entonces puede éste considerarse
como término general de una progresión aritmética de orden 4. Así, del cuadro de las diferencias
P(0)
∆∆∆P(0)
P(1) ∆∆∆2P(0)
∆∆∆P(1) ∆∆∆3P(0)
P(2) ∆∆∆2P(1) 0
∆∆∆P(2) ∆∆∆3P(1)
P(3) ∆∆∆2P(2)
∆∆∆P(3)
∆∆∆P(4)
resulta
P(n) = (n0) ⋅P(0)+(
n1) ⋅∆∆∆P(0)+(
n2) ⋅∆∆∆
2P(0)+(n3) ⋅∆∆∆
3P(0)
(Observemos que en los numeradores de los números combinatorios hemos puesto n en vez de n−1 ,
debido a que vamos a hacer variar la n a partir de 0, en lugar de partir de 1).
Dividiendo ahora por n! , y multiplicando por an se obtiene:∞∞∞
∑n=0
P(n)n!
⋅an= P(0) ⋅
∞∞∞
∑n=0
an
n!+
a1!
⋅∆∆∆P(0) ⋅∞∞∞
∑n=1
an−1
(n−1)!+
+a2
2!⋅∆∆∆ 2P(0) ⋅
∞∞∞
∑n=2
an−2
(n−2)!+a3
⋅∆∆∆3P(0) ⋅
∞∞∞
∑n=3
an−3
(n−3)!
de donde resulta:∞∞∞
∑n=0
P(n)n!
⋅an= [P(0)+
a1!
⋅∆∆∆P(0)+a2
2!⋅∆∆∆
2P(0)+a3
3!⋅∆∆∆
3P(0)] ⋅ea
En las aplicaciones habrá que tener en cuenta que si la serie no comienza por el valor n = 0 , habrá que
descontar los términos que procedan. Veamos unos ejemplos:
Ejemplo 15. Determinar la suma de la serie∞∞∞
∑n=1
n3−1n!
455
En este caso P(n) es un polinomio de grado 3. Así el cuadro de las diferencias es el siguiente:
P(0) = −1
∆∆∆P(0) = 1
P(1) = 0 ∆∆∆2P(0) = 6
∆∆∆P(1) = 7 ∆∆∆3P(0) = 6
P(2) = 7 ∆∆∆2P(1) = 12 0
∆∆∆P(2) = 19 ∆∆∆3P(1) = 6
P(3) = 26 ∆∆∆2P(2) = 18
∆∆∆P(3) = 37
∆∆∆P(4) = 63
Haciendo en la fórmula general a = 1 , resulta:
∞∞∞
∑n=0
n3−1n!
= [−1+ 11!
+ 62!
+ 63!
] ⋅e = 4 ⋅e
de donde, como∞∞∞
∑n=1
n3−1n!
= (∞∞∞
∑n=0
n3−1n!
)− 03−10!
se obtiene∞∞∞
∑n=1
n3−1n!
= 4 ⋅e+1
Ejemplo 16. Determinar la suma de la serie
∞∞∞
∑n=2
3 ⋅n2−1(n+1)!
Para poder aplicar la fórmula anterior debemos cambiar el denominador, de forma que en él aparezca n!. Bastará
sustituir, en todo el sumario, n+1 por n. Así tenemos:
∞∞∞
∑n=2
3 ⋅n2−1(n+1)!
=∞∞∞
∑n=3
3 ⋅(n−1)2−1n!
.
Se tiene entonces, que P(n) = 3 ⋅(n−1)2−1 es un polinomio de grado 2, luego su cuadro de las diferencias es el
siguiente:
P(0) = 2
−3
P(1) = −1 6
3 0
P(2) = 2 6
9
P(3) = 11
456
Haciendo en la fórmula general a = 1 , resulta:
∞∞∞
∑n=0
3 ⋅(n−1)2−1n!
= [2− 31!+ 6
2!] ⋅e = 2 ⋅e
de donde, como∞∞∞
∑n=3
3 ⋅(n−1)2−1n!
= (∞∞∞
∑n=0
3 ⋅(n−1)2−1n!
)−( 20!
− 11!
+ 22!
)
se obtiene∞∞∞
∑n=3
3 ⋅(n−1)2−1n!
= 2 ⋅e−2
38.2 Series de término general xn =1
(b+p ⋅n)!En primer lugar vamos a recordar algo muy sencillo sobre las raíces p-ésimas (complejas) de la unidad.
Se verifica que las p raíces son de la forma siguiente:
√1 = cos
2kπππ
p+ iii sen
2kπππ
p
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
e0 = 1 = εεε1
e2πππp iii
= εεε2
e4πππp iii
= εεε3
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
e2πππ ⋅(p−1)
p iii= εεεp
(k = 0 , 1 , . . . . . . , p−1)ε8
7ε6ε
5ε
4ε3ε
2ε
1=1ε
2πp_
En la figura se han representado las raíces correspondientes a p = 8 , que nos muestran en particular una
propiedad general:
εεε1+εεε2+ . . . . . . . . . +εεεp=0
Por otra parte es inmediato comprobar la siguiente:
εεεααα
1 +εεεααα
2 + . . . . . . . . . +εεεαααp =
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
0 si a ≠ p
p si ααα = p
Apoyándonos en estas dos propiedades vamos a ver como es posible la sumación de determinados tipos
de series.
Supongamos que tenemos sumada la serie potencial siguiente:
a0+a1 ⋅x+a2 ⋅x2+ . . . . . . . . . +an ⋅xn
+ . . . . . . . . . = fff (x)
Si en esta igualdad sustituimos la variable x, sucesivamente, por
x ⋅εεε1 Ð→ a0+a1 ⋅x ⋅εεε1+a2 ⋅x2 ⋅εεε21+ . . . . . . . . . +an ⋅xn ⋅εεεn
1 + . . . . . . . . . = fff (x ⋅εεε1)
x ⋅εεε2 Ð→ a0+a1 ⋅x ⋅εεε2+a2 ⋅x2 ⋅εεε22+ . . . . . . . . . +an ⋅xn ⋅εεεn
2 + . . . . . . . . . = fff (x ⋅εεε2)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x ⋅εεεp Ð→ a0+a1 ⋅x ⋅εεεp+a2 ⋅x2 ⋅εεε2p+ . . . . . . . . . +an ⋅xn ⋅εεεn
p+ . . . . . . . . . = fff (x ⋅εεεp)
457
y sumamos las p igualdades obtenidas, resulta:
p ⋅a0+0+ . . . +0+p ⋅ap ⋅xp+0+ . . . +0+p ⋅a2⋅p ⋅x2⋅p
+ . . . = fff (x ⋅εεε1)+ fff (x ⋅εεε2)+ . . . + fff (x ⋅εεεp)
es decir:∞∞∞
∑k=0
ak⋅p ⋅xk⋅p=
1p⋅ [ fff (x ⋅εεε1)+ fff (x ⋅εεε2)+ . . . . . . . . . + fff (x ⋅εεεp)]
Observemos que en la fórmula obtenida sólo aparecen términos a partir del a0 y de rango
múltiplos de p.
Par obtener la suma de términos a partir del a1 y de rango 1+ p procederíamos como sigue:
Consideremos la igualdad anterior
a0+a1 ⋅x+a2 ⋅x2+ . . . . . . . . . +an ⋅xn
+ . . . . . . . . . = fff (x)
y aplicamos la fórmula obtenida antes para el caso particular p = 2, con lo que: εεε1 = 1 y εεε2 = −1 ,
resultando:
a0+a2 ⋅x2+a4 ⋅x4
+ . . . . . . . . . +a2⋅n ⋅x2⋅n+ . . . . . . . . . =
12⋅ [ fff (x)+ fff (−x)]
Restando ahora de la primera la segunda igualdad resulta:
a1 ⋅x+a3 ⋅x3+ . . . . . . . . . +a1+2⋅n ⋅x1+2⋅n
+ . . . . . . . . . = fff (x)−12⋅ [ fff (x)+ fff (−x)]
es decir
a1+a3 ⋅x2+ . . . . . . . . . +a1+2⋅n ⋅x2⋅n
+ . . . . . . . . . =fff (x)− fff (−x)
2 ⋅xSi en esta igualdad sustituimos la variable x, sucesivamente, por
x ⋅εεε1 Ð→ a1+a3 ⋅x2 ⋅εεε21+ . . . . . . . . . +a2⋅n+1 ⋅x2⋅n ⋅εεε2⋅n
1 + . . . . . . . . . =fff (x ⋅εεε1)− fff (−x ⋅εεε1)
2 ⋅εεε1
x ⋅εεε2 Ð→ a1+a3 ⋅x2 ⋅εεε22+ . . . . . . . . . +a2⋅n+1 ⋅x2⋅n ⋅εεε2⋅n
2 + . . . . . . . . . =fff (x ⋅εεε2)− fff (−x ⋅εεε2)
2 ⋅εεε2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x ⋅εεεp Ð→ a1+a3 ⋅x2 ⋅εεε2p+ . . . . . . . . . +a2⋅n+1 ⋅x2⋅n ⋅εεε2⋅n
p + . . . . . . . . . =fff (x ⋅εεεp)− fff (−x ⋅εεεp)
2 ⋅εεεp
y sumamos las p igualdades obtenidas, resulta:
p ⋅a1+0+ . . . +0+p ⋅ap+1 ⋅xp+0+ . . . +0+p ⋅a2⋅p+1 ⋅x2⋅p+ . . . =
=fff (x ⋅εεε1)− fff (−x ⋅εεε1)
2 ⋅x ⋅εεεp+ . . . +
fff (x ⋅εεεp)− fff (−x ⋅εεεp)
2 ⋅x ⋅εεεp
458
es decir∞∞∞
∑k=0
ak⋅p+1 ⋅xk⋅p=
1p⋅[
fff (x ⋅εεε1)− fff (−x ⋅εεε1)
2 ⋅x ⋅εεε1+ . . . +
fff (x ⋅εεεp)− fff (−x ⋅εεεp)
2 ⋅x ⋅εεεp]
Veamos unos ejemplos de aplicación de ambas fórmulas:
Ejemplo 1. Sabiendo que
1+ x1!+ x2
2!+ . . . . . . . . . + xn
n!+ . . . . . . . . . = ex
calcular la suma de la serie
1+ 13!
+ 16!
+ . . . . . . . . . + 1(3 ⋅n)!
+ . . . . . . . . .
Las raíces cúbicas (p = 3) de la unidad son:
εεε1 = 1 , εεε2 = e 2πππ
3 iii = − 12+ iii
√3
2, εεε3 = e 4πππ
3 iii = − 12− iii
√3
2
Aplicando ahora la primera de las fórmulas obtenidas antes,
∞∞∞
∑k=0
ak⋅p ⋅xk⋅p = 1p⋅ [ fff (x ⋅εεε1)+ fff (x ⋅εεε2)+ . . . . . . . . . + fff (x ⋅εεεp)]
resulta en nuestro caso, haciendo: p = 3 , x = 1 :
∞∞∞
∑k=0
1(3 ⋅k)!
= 13⋅ [eεεε1 +eεεε2 +eεεε3] = 1
3⋅[e+e− 1
2 +iii√
32 +e− 1
2 −iii√
32 ] =
= 13⋅[e+e− 1
2 ⋅(eiii√
32 +e−iii
√3
2 )] = 13⋅[e+e− 1
2 ⋅(2 ⋅cos√
32
)]
y en definitiva
1+ 13!
+ 16!
+ . . . . . . . . . + 1(3 ⋅n)!
+ . . . . . . . . . = 13⋅(e+2 ⋅e− 1
2 ⋅cos√
32
)
Ejemplo 2. Sabiendo que
1+ x1!+ x2
2!+ . . . . . . . . . + xn
n!+ . . . . . . . . . = ex
calcular la suma de la serie
11!
+ 15!
+ 19!
+ . . . . . . . . . + 1(4 ⋅n+1)!
+ . . . . . . . . .
Las raíces cuartas (p = 4) de la unidad son:
εεε1 = 1 , εεε2 = e 2πππ
4 iii = iii , εεε3 = e 4πππ
4 iii = −1 , εεε4 = e 6πππ
4 iii = −iii
Aplicando ahora la segunda de las fórmulas obtenidas antes
∞∞∞
∑k=0
akp+1 ⋅xk⋅p = 1p⋅[ fff (x ⋅εεε1)− fff (−x ⋅εεε1)
2 ⋅x ⋅εεε1+ . . . . . . . . . + fff (x ⋅εεεp)− fff (−x ⋅εεεp)
2 ⋅x ⋅εεεp]
459
resulta, en nuestro caso, haciendo: p = 4 , x = 1 :
∞∞∞
∑k=1
1(4 ⋅k+1)!
= 14⋅[ e−e−1
2− eiii−e−iii
2iii+ e−1−e1
−2+ e−iii−eiii
−2iii] =
= 14⋅[e−e−1+ eiii−e−iii
iii] = 1
4⋅(e−e−1+2 ⋅ sen 1)
y en definitiva11!
+ 15!
+ 19!
+ . . . . . . . . . + 1(4 ⋅n+1) + . . . . . . . . . = e−e−1+2 ⋅ sen 1
4
Los resultados anteriores nos muestran como determinar la suma de términos a partir del ab y de rango
b+ p. Veámoslo:
Si transformamos la igualdad
a0+a1 ⋅x+a2 ⋅x2+ . . . . . . . . . +an ⋅xn
+ . . . . . . . . . = fff (x)
en la siguiente
ab+ab+1 ⋅x+ . . . . . . . . . +an ⋅xn+ . . . . . . . . . =
fff (x)−(a0+a1 ⋅x+ . . . . . . . . . +ab−1 ⋅xb−1)
xb
y sustituimos la variable x, sucesivamente, por
x ⋅εεε1 , x ⋅εεε2 , . . . . . . . . . , x ⋅εεεp
y sumamos las p igualdades obtenidas, resulta
∞∞∞
∑n=0
ap⋅n+b ⋅xp⋅n=
1p⋅
p∑iii=1
fff (x ⋅εεεiii)−(a0+a1 ⋅x ⋅εεεiii+ . . . . . . . . . +ab−1 ⋅xb−1 ⋅εεεb−1iii )
xb ⋅εεεbiii
Ejemplo 3. Sabiendo que
1+ x1!+ x2
2!+ . . . . . . . . . + xn
n!+ . . . . . . . . . = ex
calcular la suma de la serie
15!
+ 19!
+ 113!
+ . . . . . . . . . + 1(5+4 ⋅n)!
+ . . . . . . . . .
Las raíces cuartas (p = 4) de la unidad son
εεε1 = 1 , εεε2 = iii , εεε3 = −1 , εεε4 = −iii
Aplicando ahora la última fórmula obtenida resulta, haciendo: b = 5 , p = 4 , x = 1 :
∞∞∞
∑n=0
a4⋅n+5 =14⋅
4∑iii=1
fff (εεεiii)−a0−a1 ⋅εεεiii−a2 ⋅εεε2iii −a3 ⋅εεε3
iii −a4 ⋅εεε4iii
εεε5iii
460
es decir
∞∞∞
∑n=0
1(5+4 ⋅n)!
= 14⋅
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
e−1−1− 12− 1
6− 1
2415 +
+eiii−1− iii− 1
2iii2− 1
6iii3− 1
24iii4
iii5+
+e−1−1+1− 1
2+ 1
6− 1
24(−1)5 +
+e−iii−1+ iii− 1
2⋅(−iii)2− 1
6⋅(−iii)3− 1
24⋅(−iii)4
(−iii)5
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
=
= 14⋅[e−e−1+2 ⋅ sen 1−4] = e−e−1+2 ⋅ sen 1
4−1
y en definitiva
15!
+ 19!
+ . . . . . . . . . + 1(5+4 ⋅n)!
+ . . . . . . . . . = e−e−1+2 ⋅ sen 14
−1
Observemos lo relacionado que está este ejemplo con el anterior, de cuyo resultado difiere en 1, que es
precisamente el valor del primer sumando de la serie
11!
+15!
+19!
+ . . . . . . . . .
que no aparece en la serie:15!
+19!
+ . . . . . . . . .
¡¡Atención!! La observación anterior permite simplificar el proceso de sumación de algunas series.
Veámoslo con un ejemplo.
Ejemplo 4. Sabiendo que
1+ x1!+ x2
2!+ . . . . . . . . . + xn
n!+ . . . . . . . . . = ex
calcular la suma de la serie
113!
+ 117!
+ 121!
+ . . . . . . . . . + 1(13+4 ⋅n)!
+ . . . . . . . . .
El procedimiento que salta a la vista es hacer como en el ejemplo anterior:
∞∞∞
∑n=0
a13+4⋅n =14⋅∞∞∞
∑iii=1
fff (εεεiii)−a0+a1 ⋅εεεiii−a2 ⋅εεε2iii − . . . . . . . . . −a10 ⋅εεε10
iii −a11 ⋅εεε11iii −a12 ⋅εεε12
iii
εεε13iii
461
siendo εεε1 , εεε2 , εεε3 , εεε4 las raíces cuartas de la unidad.
Sin embargo, si nos damos cuenta que se verifica
113!
+ 117!
+ . . . . . . . . . + 1(13+4 ⋅n)!
+ . . . . . . . . . =
= [ 11!
+ 15!
+ 19!
+ 113!
+ 117!
+ . . . . . . + 1(4 ⋅n+1)!
+ . . . . . . ]−[ 11!
+ 15!
+ 19!
]
entonces calculamos la suma de la serie
11!
+ 15!
+ 19!
+ 113!
+ . . . . . . . . . + 1(1+4 ⋅n)!
+ . . . . . . . . . (= e−e−1+2 ⋅ sen 14
)
que precisa de un menor número de operaciones y a ese resultado le restamos
11!
+ 15!
+ 19!
= 9!+9 ⋅8 ⋅7 ⋅6+19!
= 365905362880
= 7318172576
Así se tiene
113!
+ 117!
+ . . . . . . . . . + 1(13+4 ⋅n)!
+ . . . . . . . . . = e−e−1+2 ⋅ sen 14
− 7318172576
¡¡Atención!! No debe pensarse que siempre son posibles las simplificaciones del tipo que figura en el
ejemplo anterior.
Ejemplo 5. El cálculo de la suma de la serie
113!
+ 133!
+ 153!
+ . . . . . . . . . + 1(13+20 ⋅n)!
+ . . . . . . . . .
no admitirá una simplificación del tipo del ejemplo anterior, puesto que aquí.
p = 20 > b = 13
El hecho de que en los ejemplos anteriores sólo haya aparecido la función fff (x) = ex , no quiere decir
que no podamos utilizar otra. Veámoslo con un ejemplo más:
Ejemplo 6. Sabiendo que
Log (1+x) = x− x2
2+ x3
3− x4
4+ . . . . . . . . . +(−1)n+1 ⋅ xn
n+ . . . . . . . . .
calcular la suma de la serie
1− 14+ 1
7− 1
10+ . . . . . . +(−1)n ⋅ 1
1+3 ⋅n + . . . . . . . . .
En este caso se tiene: p = 3.
Las raíces cúbicas de la unidad son:
εεε1 = 1 , εεε2 = −12+ iii
√3
2, εεε3 = −
12− iii
√3
2
462
Aplicamos ahora la última fórmula obtenida, es decir:
∞∞∞
∑n=0
ap⋅n+b ⋅xp⋅n = 1p⋅
p∑iii=1
fff (x ⋅εεεiii)−(ao+a1εεεiii+ . . . . . . . . . +ab−1 ⋅xb−1 ⋅εεεb−1iii )
xb ⋅εεεbiii
en la que haciendo x = 1 , y
b = 1 , p = 3 , a0 = 0 , εεε1 = 1 , εεε2 =12+ iii
√3
2, εεε3 = −
12− iii
√3
2
resulta:
1− 14+ 1
7− 1
10+ . . . . . . +(−1)n ⋅ 1
1+3 ⋅n + . . . . . . = 13⋅
3∑iii=1
Log (1+εεεiii)εεεiii
=
= 13⋅
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
Log (1+1)1
+Log (1− 1
2+ iii
√3
2)
− 12+ iii
√3
2
+Log (1− 1
2− iii
√3
2)
− 12− iii
√3
2
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
=
= 13⋅
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
Log 2+(− 1
2− iii
√3
2) ⋅Log ( 1
2+ iii
√3
2)+(− 1
2+ iii
√3
2) ⋅Log ( 1
2− iii
√3
2)
14+ 3
4
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
=
= 13⋅[Log 2− 1
2⋅[Log ( 1
2+ iii
√3
2)+Log ( 1
2− iii
√3
2)]− iii
√3
2⋅[Log ( 1
2+ iii
√3
2)−Log ( 1
2− iii
√3
2)]] =
= 13⋅
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
Log 2− 12⋅Log [( 1
2+ iii
√3
2) ⋅( 1
2− iii
√3
2)]− iii
√3
2⋅Log
12+ iii
√3
212− iii
√3
2
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
=
= 13⋅
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
Log 2− 12⋅Log 1− iii
√3
2⋅Log
( 12+ iii
√3
2)
2
1
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
= 13⋅[Log 2−0− iii
√3
2⋅Log εεε2] =
(si z es un número complejo Ô⇒ Log z = Log ∣z∣+ iii arg z)
= 13⋅[Log 2− iii
√3
2⋅(Log 1+ iii
2πππ
3)] = 1
3⋅[Log 2− iii
√3
2⋅(0+ iii
2πππ
3)] = 1
3⋅[Log 2+
√3πππ
3]
¡¡Atención!! El ejemplo anterior nos presenta como complicación extra el que es preciso, para aplicar
esta metodología, un cierto conocimiento de los números complejos, lo cual no debe extrañarnos puesto
que en definitiva nuestro referencial aquí es el campo complejo. Otra enseñanza que se desprende del
mismo es que si por este procedimiento hubiéramos querido determinar la suma de la serie:
1+15+
19+ . . . . . . . . . +
14 ⋅n+1
+ . . . . . . . . .
para la que p = 4 , el procedimiento no hubiese sido aplicable puesto que una de las raíces cuartas de 1
es = εεε = −1 , en un momento de nuestros cálculos nos hubiese aparecido el Log (1−1) =Log 0, lo cual
463
es absurdo. Una enseñanza extra la recibimos cuando nos damos cuenta que la serie en cuestión, de
término general: xn =1
4 ⋅n+1, es divergente (basta aplicar el criterio de Riemann-Pringsheim para
ααα = 1), o lo que es equivalente en este caso, “antes de lanzarse a sumar una serie conviene estar seguro
de que existe su suma”.
Las fórmulas establecidas antes, con las que hemos mostrado ejemplos que las utilizaban en el campo
de la sumación de series, se apoyaban en el conocimiento de unas propiedades elementales de las raíces
p-ésimas de la unidad (en el campo complejo). Hemos abierto, así, una puerta y mas posibilidades que
¡ahí quedan!. Por ejemplo, si en lugar de considerar las raíces p-ésimas de la unidad consideramos las
raíces p-ésimas de -1, se tiene que
p√−1 = cos
(2 ⋅k+1)πππp
+ iii sen(2 ⋅k+1)πππ
p=
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
εεε1
εεε2
⋮
εεεp
las cuales verifican
εεεααα
1 +εεεααα
2 + . . . . . . . . . +εεεαααp =
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
0 si ααα ≠ p
p si ααα = 2 ⋅n ⋅p
−p si ααα = (2 ⋅n+1) ⋅p
A partir de esta propiedad es posible, evidentemente, establecer fórmulas análogas a las ya conocidas,
que pueden facilitarnos sumas de series que no obtendríamos con aquellas.
464
Lección 39.- SUMACIÓN DE SERIES (III)
39.1 Series trigonométricas
39.2 Series formadas por términos de la armónica (SERIES DE EULER)
39.3 Series no encuadradas entre las anteriores (Ejemplos)
En esta lección estudiaremos los siguientes tipos, según la clasificación que establecimos:
6.- Series trigonométricas
7.- Series formadas por términos de la armónica (Series de Euler)
8.- Series no encuadradas entre las anteriores (ejemplos)
siguiendo la clasificación que hicimos en la Lección 37.
39.1 Series trigonométricas
Para la sumación de series en cuyo término general figura como factor un cos nααα o un sen nααα , existe
una metodología que se fundamenta en la fórmula
eαααiii= cos ααα + iii cos ααα .
Consiste en generar una serie análoga a la dada, pero que tiene en lugar de un cos nααα , en su término
general, un sen nααα , o viceversa según el caso; se multiplica luego la serie que posee los sen nααα por iii,
y se le suma a la serie de los cos nααα . Se suma la serie obtenida y se separan partes reales e imaginarias
que resultan ser las sumas de las raíces dada y generada.
Veamos, con unos ejemplos, como aplicar esta metodología.
Ejemplo 1. Determinar la suma de la serie∞∞∞
∑n=0
(2+3 ⋅n) ⋅ cos nααα
2n .
Generamos la serie análoga∞∞∞
∑n=0
(2+3 ⋅n) ⋅ sen nααα
2n
y si llamamos S1 y S2 a sus correspondientes sumas, multiplicando la segunda por iii, podemos escribir después de
sumar, las expresiones obtenidas:
S = S1+ iiiS2 =∞∞∞
∑n=0
(2+3 ⋅n) ⋅ cos nααα
2n + iii∞∞∞
∑n=0
(2+3 ⋅n) ⋅ sen nααα
2n =
=∞∞∞
∑n=0
(2+3 ⋅n) ⋅ cos nααα + iii sen nααα
2n =ααα
∑n=0
(2+3 ⋅n) ⋅ enαααiii
2n =
=∞∞∞
∑n=0
(2+3 ⋅n) ⋅( eαααiii
2)
n
465
Desde un punto de vista formal la serie obtenida es aritmético-geométrica de primer orden, siendo la razóneαiαiαi
2,
que pasamos a sumar. Aunque podríamos aplicar una fórmula, vamos a proceder siguiendo la metodología de su
obtención; así tenemos
Sn = 2+(2+3) ⋅ eαiαiαi
2+(2+3 ⋅2) ⋅( eαiαiαi
2)
2
+ . . . . . . . . . +(2+3 ⋅n) ⋅( eαiαiαi
2)
n
( eαiαiαi
2) ⋅Sn = 2 ⋅ eαiαiαi
2+(2+3) ⋅( eαiαiαi
2)
2
+(2+3 ⋅2) ⋅( eαiαiαi
2)
3
+ . . . . . . . . . +(2+3 ⋅n) ⋅( eαiαiαi
2)
n+1
y restando resulta
(1− eαiαiαi
2) ⋅Sn = 2+3 ⋅
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
eαiαiαi
2+( eαiαiαi
2)
2
+ . . . . . . . . . +( eαiαiαi
2)
n⎤⎥⎥⎥⎥⎦−(2+3 ⋅n) ⋅( eαiαiαi
2)
n+1
es decir
(1− eαiαiαi
2) ⋅Sn = 2+3 ⋅
eαiαiαi
2−( eαiαiαi
2)
n+1
1− eαiαiαi
2
−(2+3 ⋅n) ⋅( eαiαiαi
2)
n+1
y tomando límites, en ambas miembros, para n→∞∞∞ se tiene
(1− eαiαiαi
2) ⋅S = 2+3 ⋅
eαiαiαi
2
1− eαiαiαi
2
o lo que es lo mismo
S= S1+ iiiS2 =2
1− eαiαiαi
2
+3 ⋅eαiαiαi
2
(1− eαiαiαi
2)
2 =
= 42−cos ααα − iii sen ααα
+ 6 ⋅(cos ααα + iii sen ααα)(2−cos ααα − iii sen ααα)2 =
= [4 ⋅(2−cos ααα − iii sen ααα)+6 ⋅(cos ααα + iii sen ααα)] ⋅(2−cos ααα + iii sen ααα)2
(2−cos ααα − iii sen ααα)2 ⋅(2−cos ααα + iii sen ααα)2 =
= 2 ⋅(4+cos ααα + iii sen ααα) ⋅(2−cos ααα + iii sen ααα)2
(5−4 ⋅cos ααα)2 =
= 32−24 ⋅cos ααα −16 ⋅ sen2ααα +2 ⋅ cos ααα
(5−4 ⋅cos ααα)2 + iii38 ⋅ sen ααα −16 ⋅ sen ααα ⋅cosααα
(5−4 ⋅cos ααα)2
De la igualación de partes reales e imaginarias se obtiene la suma pedida:
S1 =32−22 ⋅cos ααα −16 ⋅ sen2
ααα
(5−4 ⋅cos ααα)2
466
Ejemplo 2. Determinar la suma de la serie∞∞∞
∑n=0
sen nααα
n!
Generamos la serie análoga∞∞∞
∑n=0
cos nααα
n!
y si llamamos S2 y S1 a sus correspondientes sumas, multiplicando la primera por iii podemos después escribir
después de sumar las expresiones obtenidas:
S= S1+ iii S2 =ααα
∑n=0
cos nααα
n!+ iii
∞∞∞
∑n=0
sen nααα
n!=
=ααα
∑n=0
cos nααα + iii sen ααα
n!=∞∞∞
∑n=0
enαααiii
n!=∞∞∞
∑n=0
(eαααiii)n
n!
y sabiendo que
ex = 1+ x1!+ x2
2!+ . . . . . . . . . + xn
n!+ . . . . . . . . .
resulta
S1+ iii S2 = eeαααiii
= ecos ααα+iii sen ααα = ecos ααα ⋅ [cos (sen ααα)+ iii sen (sen ααα)]
De la igualación de partes reales e imaginarias se obtiene la suma pedida.
S2 = ecos ααα ⋅ sen (sen ααα) .
Ejemplo 3. Determinar la suma de la serie
ααα
∑n=1
cos2πππn
32n .
Se verifica que
cos2πππn
3= 1−2 ⋅ sen2 πππn
3=⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
− 12
si n ≠ 3
1 si n = 3
entonces se tendrá:
∞∞∞
∑n=1
cos2πππn
32n = − 1
2⋅( 1
2+ 1
22 )+ 123 − 1
2⋅( 1
24 + 125 )+ 1
26 −
− 12⋅( 1
27 + 128 )+ 1
29 − . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . =
= − 12⋅( 1
2+ 1
22 + 123 )+ 1
2⋅ 1
23 + 123 −
− 12⋅( 1
24 + 125 + 1
26 )+ 12⋅ 1
26 + 126 −
467
− 12⋅( 1
27 + 128 + 1
29 )+ 12⋅ 1
29 + 129 − . . . . . . . . . =
= − 12⋅( 1
2+ 1
22 + 123 + 1
24 + 125 + 1
26 + . . . . . . . . .)+
+ 32⋅( 1
23 + 126 + 1
29 + . . . . . . . . .) =
= − 12⋅∞∞∞
∑n=1
12n + 3
2⋅∞∞∞
∑n=1
123⋅n =
= − 12⋅⎛⎜⎜⎝
12
1− 12
⎞⎟⎟⎠+ 3
2⋅⎛⎜⎜⎝
123
1− 123
⎞⎟⎟⎠=
= − 12+ 3
2 ⋅7 = −7+32 ⋅7 = − 2
7
Ejemplo 4. Determinar la suma de la serie
∞∞∞
∑n=1
2n−1 ⋅ tg2 a2n ⋅ tg a
2n−1
Se verifica que
tga
2n−1 = tg (2 ⋅ a2n ) =
2 ⋅ tg a2n
1− tg2 a2n
de donde
tga
2n−1 − tga
2n−1 ⋅ tg2 a2n = 2 ⋅ tg a
2n
es decir
tga
2n−1 ⋅ tg2 a2n = tg
a2n−1 −2 ⋅ tg a
2n
Así, se tiene
Sn = (tg a−2 ⋅ tg a2
)+(2 ⋅ tg a2−2 ⋅ tg a
22 )+
+(22 ⋅ tg a22 −2 ⋅ tg a
23 )+ . . . . . . . . .+
+(2n−1 ⋅ tg a2n−1 −2n ⋅ tg a
2n ) = tg a−2n ⋅ tg a2n
y pasando el límite resulta
S = tg a−a
(Recordemos que, cuando εεεn→ 0, entonces: sen εεεn < > εεεn < > tg εεεn)
468
39.2 Series formadas por términos de la armónica (SERIES DE EULER)
La constante de Euler: γγγ = 0,57721566. . . . . . , que apareció en el estudio de las series alternadas en la
forma
γγγ = 1−Log21+
12−Log
32+ . . . . . . . . . +
1n−Log
n+1n
+ . . . . . . . . . . . .
va a ser, aquí, utilizada en la sumación de determinadas series en las que aparecen los términos de la
serie armónica. Vamos a establecer para ello tres relaciones importantes.
La suma de los n primeros términos de las series
∞∞∞
∑n=1
1n
,∞∞∞
∑n=1
12 ⋅n
,∞∞∞
∑n=1
12 ⋅n−1
se pueden expresar en la forma siguiente:
1.- Hn = 1+12+
13+ . . . . . . . . . +
1n
= γγγ +Log n+xn ( lımn→∞∞∞
xn = 0)
2.- An =12+
14+
16+ . . . . . . . . . +
12 ⋅n
=12⋅(γγγ +Log n)+yn ( lım
n→∞∞∞yn = 0)
3.- Bn = 1+13+
15+ . . . . . . . . . +
12 ⋅n−1
=12⋅(γγγ +Log n)+Log 2+zn ( lım
n→∞∞∞zn = 0)
En efecto: Veamos que se verifica la primera igualdad.
Dada la serie alternada
1−Log21+ 1
2−Log
32+ 1
3−Log
43+ . . . . . . . . . + 1
n−Log
n+1n
+ . . . . . . . . .
al tomar como valor de la constante γγγ la suma parcial S2⋅n−1, el error que cometemos lo es, según sabemos,
por exceso y menor que el primer término despreciado, es decir
εεε2⋅n−1 < Log (1+ 1n
)
que tiende a cero cuando n tiende a infinito. En consecuencia, por ser
S2⋅n−1 = (1+ 12+ . . . . . . . . . + 1
n)−(Log
21+Log
32+ . . . . . . . . . +Log
nn+1
) =
= (1+ 12+ . . . . . . . . . + 1
n)−Log
2 ⋅3 ⋅ . . . . . . . . . ⋅(n−1) ⋅n1 ⋅2 ⋅ . . . . . . . . . ⋅(n−2) ⋅(n−1) =
= (1+ 12+ . . . . . . . . . + 1
n)−Log n
se tiene
γγγ = S2⋅n−1−εεε2⋅n−1 = (1+ 12+ . . . . . . . . . + 1
n)−Log n−εεε2⋅n−1
y en definitiva
Hn = 1+ 12+ . . . . . . . . . + 1
n= γγγ +Log n+εεε2⋅n−1 .
469
Basta escribir xn = εεε2⋅n−1 para tener la relación que figura en el enunciado.
La comprobación de la segunda y tercer relación es, así mismo, inmediata teniendo en cuenta que:
An =12⋅Hn y H2⋅n = An+Bn .
Así,
An =12⋅(γγγ +Log n+xn) =
12⋅(γγγ +Log n)+yn
siendo: yn =12⋅xn.
Bn = H2⋅n−An = γγγ +Log 2 ⋅n+x2⋅n−12⋅(γγγ +Log n)−yn =
= γγγ +Log 2+Log n+x2⋅n−12⋅γγγ − 1
2⋅Log n−yn =
= 12⋅(γγγ +Log n)+Log 2+zn
siendo zn = x2⋅n−yn
Ejemplo 1. Determinar la suma de la serie
13
− 15− 1
7
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶n = 3
+ 15− 1
9− 1
11+ 1
7
− 113
− 115
+ . . . . . . . . .
Se verifica que si es:
Bn = 1+ 13+ 1
5+ 1
7+ . . . . . . . . . + 1
2 ⋅n−1= 1
2⋅(γγγ +Log n)+Log 2+xn
0
tendríamos
S3⋅n = (−1+Bn+1)−(−1− 13+B2⋅n+2)
¡¡Atención!! S3⋅n significa que consideramos los 3 primeros términos de la serie dada.
Bn+1 significa que de Bn tomamos los 2 primeros términos (n+1 = 1+1 = 2)B2⋅n+2 significa que de Bn tomamos los 4 primeros términos (2 ⋅n+2 = 2 ⋅1+2 = 4).
Así:S3 = −1+(1+ 1
3)−(−1− 1
3+1+ 1
3+ 1
5+ 1
7) = 1
3− 1
5− 1
7´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
Así:
Sn = (−1+[ 12⋅(γγγ +Log (n+1))+Log 2])−(−1− 1
3+[ 1
2⋅(γγγ +Log (2 ⋅n+2))+Log 2]) =
= 13+Log (n+1)−Log (2 ⋅n+2) =
= 13+Log (n+1)−Log (2 ⋅(n+1)) =
= 13+Log (n+1)−(Log 2+Log (n+1)) =
= 13−Log 2+xn
0
470
luego
S = 13−Log 2 .
Ejemplo 2. Determinar la suma de la serie
1+ 13+ 1
5− 1
2− 1
4´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
n = 5
+ 17+ 1
9+ 1
11− 1
6− 1
8+ . . . . . . . . .
Se verifica que, si son:
An =12+ 1
4+ 1
6+ . . . . . . . . . + 1
2 ⋅n = 12⋅(γγγ +Log n)+yn
Bn = 1+ 13+ 1
5+ . . . . . . . . . + 1
2 ⋅n−1= 1
2⋅(γγγ +Log n)+Log 2+zn
0
0
tendremos
S5⋅n = B3⋅n−A2⋅n
luego
S5⋅n =12⋅(γγγ +Log 3 ⋅n)+Log 2− 1
2⋅(γγγ +Log 2 ⋅n) =
= 12⋅Log 3 ⋅n+Log 2− 1
2⋅Log 2 ⋅n =
= Log (3 ⋅n)12 +Log 2−Log (2 ⋅n)
12 =
= Log(3 ⋅n)
12 ⋅2
(2 ⋅n) 12
= Log(12 ⋅n)
12
(2 ⋅n) 12
=
= Log ( 6 ⋅nn
)12
Pasando al límite se tiene
S = lımn→∞∞∞
Log ( 6 ⋅nn
)12= Log 6
12 = Log
√6 .
Ejemplo 3. Determinar la suma de la serie
1+ 13− 1
2´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
n = 3
+ 15+ 1
7− 1
4+ . . . . . . . . .
Se verifica que, si son:
An =12+ 1
4+ 1
6+ . . . . . . . . . + 1
2 ⋅n = 12⋅(γγγ +Log n)+yn
Bn = 1+ 13+ 1
5+ . . . . . . . . . + 1
2 ⋅n−1= 1
2⋅(γγγ +Log n)+Log 2+zn
0
0
tendremos:
S3⋅n = B2⋅n−An ,
471
luego
S3⋅n =12⋅(γγγ +Log 2 ⋅n)+Log 2− 1
2⋅(γγγ +Log n) =
= 12⋅Log 2 ⋅n+Log 2− 1
2⋅Log n =
= Log (2 ⋅n)12 +Log 2−Log n
12 =
= Log(2 ⋅n)
12 ⋅2
n12
= Log(8 ⋅n)
12
n12
= Log√
8 ⋅nn
Pasando al límite se tiene
S = lımn→∞∞∞
Log
√8 ⋅nn
= Log√
8 = Log (2 ⋅√
2) .
Ejemplo 4. Determinar la suma de la serie
1+ 13+ 1
5+ 1
7− 1
2+ 1
9+ 1
11+ 1
13+ 1
15− 1
4+ . . . . . . . . . . . .
Se verifica que, si es:
An =12+ 1
4+ 1
6+ . . . . . . . . .
Bn = 1+ 13+ 1
5+ 1
7+ 1
9+ . . . . . . . . .
tendríamos:
S5⋅n = B4⋅n−An
luego
S5⋅n =12⋅(γγγ +Log (4 ⋅n))+Log 2−( 1
2⋅(γγγ +Log n)) =
= 12⋅Log 4 ⋅n+Log 2− 1
2⋅Log n =
= 12⋅(Log 4+Log n)+Log 2− 1
2⋅Log n =
= 12⋅Log 4+Log 2 = Log 4
12 +Log 2 =
= Log 2+Log 2 = 2 ⋅Log 2 = Log 22 = Log 4
Ejemplo 5. Determinar la suma de la serie
1− 12
´¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¶n = 2
+ 13− 1
4+ 1
5− 1
6+ . . . . . . . . .
Se verifica que
Sn = Bn−An = Log 2+zn−yn
luego:
S = lımn→∞∞∞
Sn = Log 2
472
¡¡Atención!! Aunque es algo que ya sabemos, no viene mal recordar que, en general, un problema puede
resolverse por más de un procedimiento. Así, en el ejemplo anterior se ha sumado la serie dada utilizando
una propiedad que involucra el conocimiento de la constante de Euler, que luego evidentemente no
aparece en el resultado. Otro procedimiento que maneja un material completamente distinto aparece en
el ejemplo siguiente:
Ejemplo 6. Determinar la suma de la serie
1− 12+ 1
3− 1
4+ 1
5− 1
6+ . . . . . . . . .
Recordando que
Log (1+x) = x1− x2
2+ x3
3− x4
4+ x5
5− x6
6+ . . . . . . . . .
y haciendo: x = 1, resulta
S = Log (1+1) = Log 2 .
Ejemplo 7. Determinar la suma de la serie
14− 1
3´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
n = 2
+ 18− 1
9+ 1
12− 1
15+ 1
16− 1
21+ . . . . . . . . .
Se verifica que, si son
An =12+ 1
4+ 1
6+ . . . . . . . . . + 1
2 ⋅n = 12⋅(γγγ +Log n)+yn
Bn = 1+ 13+ 1
5+ . . . . . . . . . + 1
2n−1= 1
2⋅(γγγ +Log n)+Log 2+zn
Hn = 1+ 12+ 1
3+ . . . . . . . . . + 1
n= γγγ +Log n+xn
0
0
0
tendríamos
S2⋅n =14⋅Hn−
13⋅Bn
Luego:
S2⋅n =14⋅ [γγγ +Log n]− 1
3⋅[ 1
2⋅(γγγ +Log n)+Log 2] =
= 14⋅γγγ + 1
4⋅Log n− 1
6⋅γγγ − 1
6⋅Log n− 1
3⋅Log 2 =
= 14⋅Log n− 1
6⋅Log n− 1
3⋅Log 2+ 1
12⋅γγγ =
= ( 14− 1
6) ⋅Log n− 1
3⋅Log 2+ 1
12⋅γγγ =
= 112
⋅Log n−( 13⋅Log 2+ 1
12⋅γγγ)
Pasando al límite se tiene
S = lımn→∞∞∞
( 112
⋅Log n−( 13⋅Log 2+ 1
12⋅γγγ)) =∞∞∞
Luego la serie es divergente.
473
39.3 Series no encuadradas entre las anteriores (Ejemplos)
Ejemplo 1. Determinar la suma de la serie
∞∞∞
∑n=1
12n
1+2+ . . . . . . +n.
Como
1+2+ . . . . . . . . . +n = (1+n) ⋅n2
y además
Log (1+x) = x− x2
2+ x3
3− x4
4+ . . . . . . . . . (∣x∣ < 1) ,
cambiando aquí x por −x,
−Log (1−x) = x+ x2
2+ x3
3+ x4
4+ . . . . . . . . . =
∞∞∞
∑n=1
xn
n= x+
∞∞∞
∑n=1
xn+1
n+1
Sustituyendo ahora: x = 12
, obtenemos
−Log (1− 12
) = 12+∞∞∞
∑n=1
12n+1
n+1.
La serie dada la podemos descomponer como sigue
∞∞∞
∑n=1
12n
1+2+ . . . . . . +n=∞∞∞
∑n=1
12n
n ⋅(n+1)2
= 2 ⋅∞∞∞
∑n=1
12n
n ⋅(n+1) =
= 2 ⋅∞∞∞
∑n=1
12n
n−2 ⋅
∞∞∞
∑n=1
12n
n+1=
= 2 ⋅∞∞∞
∑n=1
12n
n− 2
12
⋅∞∞∞
∑n=1
12n+1
n+1
Así, se puede escribir
∞∞∞
∑n=1
12n
1+2+ . . . . . . +n= 2 ⋅
⎛⎜⎜⎝
12+∞∞∞
∑n=1
12n+1
n+1
⎞⎟⎟⎠−4 ⋅
∞∞∞
∑n=1
12n+1
n+1=
= 2 ⋅(−Log (1− 12
))−4 ⋅(− 12−Log (1− 1
2)) =
= 2 ⋅Log 2+2+4 ⋅Log ( 12
) =
= 2 ⋅Log 2+2−4 ⋅Log 2 = 2−Log 2 .
474
Ejemplo 2. Determinar la suma de la serie
∞∞∞
∑n=0
1n+2n+ . . . . . . . . . +pn
n!
Descomponemos el sumatorio en p sumatorios, como sigue:
∞∞∞
∑n=0
1n+2n+ . . . . . . . . . +pn
n!=∞∞∞
∑n=0
1n
n!+∞∞∞
∑n=0
2n
n!+ . . . . . . . . . +
∞∞∞
∑n=0
pn
n!
y teniendo en cuenta que para todo x ∈R se verifica:
10!
+ x1!
+ x2
2!+ x3
3!+ . . . . . . . . . + xn
n!+ . . . . . . . . . = ex
se obtiene∞∞∞
∑n=0
1n+2n+ . . . . . . +pn
n!= e1+e2+ . . . . . . . . . +ep =
(ep−1) ⋅ee−1
Ejemplo 3. Determinar la suma de la serie
1− 13+ 1
2− 1
9+ 1
4− 1
27+ 1
8+ . . . . . . . . .
Se puede expresar la serie en la forma
1− 13⋅(1+ 1
3+ 1
9+ 1
27+ . . . . . . . . .)
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶⎛⎜⎝
progresión geométrica
de razón13
⎞⎟⎠
+ 12⋅(1+ 1
2+ 1
4+ 1
8+ . . . . . . . . .)
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶⎛⎜⎝
progresión geométrica
de razón12
⎞⎟⎠
=
= 1− 13⋅ 1
1− 13
+ 12⋅ 1
1− 12
=
= 1− 123
+ 112
= 1− 32+2 = 3− 3
2= 3
2
Ejemplo 4. Determinar la suma de la serie
∞∞∞
∑n=1
a+(n−1) ⋅xyn−1
Veamos, en primer lugar, si es convergente. Aplicando el criterio de la razón
lımn→∞∞∞
a+n ⋅xyn
a+(n−1) ⋅xyn−1
= lımn→∞∞∞
( yn−1
yn ⋅ a+n ⋅xa+(n−1) ⋅x ) = 1
y
Si y > 1 la serie es convergente. Procederemos, por tanto, a sumarla, descomponiéndola en las dos siguientes:
∞∞∞
∑n=1
a+(n−1) ⋅xyn−1 = a ⋅
∞∞∞
∑n=1
1yn−1 +x ⋅
∞∞∞
∑n=1
n−1yn−1
475
La primera serie, resultado de esta descomposición, es una serie geométrica, de razón1y
, cuya suma vale:
a ⋅∞∞∞
∑n=1
1yn−1 = a
1− 1y
= a ⋅yy−1
Por otra parte el segundo sumatorio se puede descomponer así:
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
1y+ 1
y2 + 1y3 + . . . . . . . . . =
1y
1− 1y
= 1y−1
1y2 + 1
y3 + 1y2 + . . . . . . . . . =
1y2
1− 1y
= 1y ⋅(y−1)
1y3 + 1
y4 + 1y5 + . . . . . . . . . =
1y3
1− 1y
= 1y2 ⋅(y−1)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y su suma será la de la serie
1y−1
+ 1y ⋅(y−1) + 1
y2 ⋅(y−1)+ . . . . . . . . . =
1y−1
1− 1y
= y(y−1)2
En definitiva tendremos:
S = a ⋅yy−1
+ x ⋅y(y−1)2
Ejemplo 5. Determinar la suma de la serie∞∞∞
∑n=1
n ⋅an−1 ∣a∣ < 1
Se verifica que
Sn = 1+2 ⋅a+3 ⋅a3+ . . . . . . . . . +n ⋅an−1
Multiplicando por a se obtiene
a ⋅Sn = a+2 ⋅a2+3 ⋅a3+ . . . . . . . . . +n ⋅an
y restando miembro a miembro resulta:
(1−a) ⋅Sn = 1+a+a2+ . . . . . . . . . +an−1
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶⎛⎜⎝
progresión geométrica
de razón a
⎞⎟⎠
−n ⋅an
476
Despejando Sn tenemos
Sn =1+a+a2+ . . . . . . . . . +an−1
1−a− n ⋅an
1−a=
an−1 ⋅a−1a−11−a
− n ⋅an
1−a
y pasando al límite
S = lımn→∞∞∞
Sn = lımn→∞∞∞
⎛⎜⎜⎜⎝
an
a−1− 1
a−11−a
− n ⋅an
1−a
⎞⎟⎟⎟⎠=− 1
a−11−a
= 1(1−a2)
Ejemplo 6. Sabiendo que la suma de los n primeros términos de una serie es:
n2+1n2+n
,
determinar si es convergente y hallar su término general.
Dado que
Sn =n2+1
n2+2 ⋅npasando al límite se obtiene
lımn→∞∞∞
Sn = lımn→∞∞∞
n2+1n2+2 ⋅n
= 1
Luego, la serie es convergente, y su suma vale 1.
Por otra parte su término general será:
an = Sn+1−Sn =(n+1)2+1
(n+1)2+2 ⋅(n+1)− n2+1
n2+2 ⋅n=
=[(n+1)2+1] ⋅(n2+2 ⋅n)−[(n+1)2+2 ⋅(n+1)] ⋅(n2+1)
[(n+1)2+2 ⋅(n+1)] ⋅ [n2+2 ⋅n]=
=[n2+2 ⋅n+2] ⋅(n2+2 ⋅n)−[n2+2 ⋅n+1+2 ⋅n+2] ⋅(n2+1)
[n2+2 ⋅n+2]+(n2+2 ⋅n)− [n2+4 ⋅n+3] ⋅(n2+1)=
=n4+4 ⋅n3+6 ⋅n2+4 ⋅n−(n4+4 ⋅n3+4 ⋅n2+4 ⋅n+3)
n4+6 ⋅n3+11 ⋅n2+6 ⋅n=
= 2 ⋅n2−3n4+6 ⋅n3+11 ⋅n2+6 ⋅n
Ejemplo 7. Determinar la suma de la serie siguiente:
∞∞∞
∑n=1
cos2nπππ
32n .
Se verifica que
cos2nπππ
3= 1− sen2 nπππ
3=⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
− 12
si n ≠ 3 ⋅k , k ∈N ,
1 si n = 3 ⋅k
477
y dado que las series∞∞∞
∑n=1
123⋅n y
∞∞∞
∑n=1
12n
son convergentes, tenemos que
∞∞∞
∑n=1
cos2nπππ
32n = − 1
2⋅( 1
2+ 1
22 )+ 123 − 1
2⋅( 1
24 + 125 )+ 1
26 − 12⋅( 1
27 + 128 )+ . . . . . . . . . =
= − 12⋅[ 1
2+ 1
22 + 124 + 1
25 + 127 + 1
28 + . . . . . . . . . ]+
+( 123 + 1
26 + 129 + . . . . . . . . .) =
= − 12⋅[ 1
2+ 1
22 + 123 + 1
24 + 125 + 1
26 + 127 + 1
28 + 129 + . . . . . . ]+
+ 12⋅[ 1
23 + 126 + 1
29 + . . . . . . . . . ]+( 123 + 1
26 + 129 + . . . . . . . . .) =
= − 12⋅⎛⎜⎜⎝
12
1− 12
⎞⎟⎟⎠+( 1
2+1) ⋅
⎛⎜⎜⎝
123
1− 123
⎞⎟⎟⎠=
= − 12⋅⎛⎜⎜⎝
1212
⎞⎟⎟⎠+ 3
2⋅⎛⎜⎜⎜⎜⎝
123
23−123
⎞⎟⎟⎟⎟⎠= − 1
2+ 3
2⋅ 1
7= − 2
7
478
Lección 40.- SUMACIÓN APROXIMADA DE SERIES
40.1 Series de términos positivos
40.2 Series alternadas
40.3 Cálculo aproximado de raíces
En ocasiones puede no ser posible obtener exactamente la suma de una serie convergente, lo que nos
obliga a obtener un valor aproximado de dicha suma, acotando, eso sí, el error cometido, lo cual suele
bastar en las aplicaciones.
Trataremos dos casos: 1.- Series de términos positivos , y 2.- Series alternadas.
40.1.- Series de términos positivos: (Evidentemente, se razonará de la misma manera si todos
los términos son negativos).
Consideremos la serie convergente de términos positivos:
a1+a2+a3+ . . . . . . . . . +an+an+1+an+2+ . . . . . . . . .
Si aceptamos como valor aproximado de la serie, la suma
Sn = a1+a2+ . . . . . . . . . +an
el error cometido será su resto
εεε = an+1+an+2+an+3+ . . . . . . . . .
Por supuesto, todo valor superior al valor de este resto servirá para acotar superiormente el error come-
tido.
Una forma muy cómoda de acotar el error es sustituir la serie εεε (que nos da el error cometido) por una
mayorante cuya suma sea fácil obtener:
Ejemplo 1. Determinar, con un error menor que 10−4, la suma de la serie
1+ 0,31!
+ 0,32
2!+ 0,33
3!+ . . . . . . . . .
Si tomamos como valor aproximado la suma parcial
1+ 0,31!
+ 0,32
2!+ 0,33
3!+ . . . . . . . . . + 0,3n
n!
479
el error que cometeremos será, (que acotaremos mayorándole):
εεε = 0,3n+1
(n+1)!+ 0,3n+2
(n+2)!+ 0,3n+3
(n+3)!+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . <
< 0,3n+1
(n+1)!+ 0,3n+2
(n+2) ⋅(n+1)!+ 0,3n+3
(n+2)2 ⋅(n+1)!+ . . . . . . . . . =
= 0,3n+1
(n+1)!⋅[1+ 0,3
n+2+ 0,32
(n+2)2 + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ]´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
progresión geométrica de razón0,3
n+2
=
= 0,3n+1
(n+1)!⋅ 1
1− 0,3n+2
= 0,3n+1 ⋅(n+2)(n+1)! ⋅(n+1,7)
El número de términos que debemos tomar, para que el error cometido sea menor que 10−4, se determinará por la
inecuación
εεε < 0,3n+1 ⋅(n+2)(n+1)! ⋅(n+1,7) < 1
104
Por tanteos sucesivos obtenemos que se satisface para n ⩾ 4.
En consecuencia, la suma aproximada que nos interesaba es
1+ 0,31!
+ 0,32
2!+ 0,33
3!+ 0,34
4!= 24+7,2+1,08+0,108+0,0081
24= 1,3498. . . . . .
y dado que este resultado es aproximado por defecto, bastara incrementar en 1 la cifra de las diezmilésimas para
tener la solución
1,3499
Ejemplo 2. Calcular con un error menor que 10−4, la suma de la serie
1+ 122 + 1
33 + 144 + . . . . . . . . . + 1
nn + . . . . . . . . .
Si tomamos como valor aproximado la suma parcial
1+ 122 + 1
33 + . . . . . . . . . + 1nn
el error que cometeremos será (que acotaremos mayorándola)
εεε = 1(n+1)n+1 + 1
(n+2)n+2 + 1(n+3)n+3 + . . . . . . . . . <
< 1nn+1 + 1
nn+2 + 1nn+3 + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . =
= 1nn+1 ⋅[1+ 1
n+ 1
n2 + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ]´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
(progresión geométrica de razón1n
)
=
= 1nn+1 ⋅ 1
1− 1n
= nnn+1 ⋅(n−1)
= 1nn ⋅(n−1)
480
El número de términos que debemos tomar, para que el error cometido sea menor que 10−4, se determinará por la
inecuación
εεε < 1nn ⋅(n−1) < 1
104
Por tanteos sucesivos obtenemos que se satisface para n ⩾ 5
En consecuencia, la suma aproximada que nos interesaba es
1+ 122 + 1
33 + 144 + 1
55 = 1+0,25+0,03703+0,00390+0,00032 = 1,29129. . . . . .
y dado que este resultado es aproximado por defecto, bastará incrementar en 1 la cifra de las diezmilésimas para
tener la solución
S = 1,2913
Ejemplo 3. Determinar, con un error menor que 10−3, la suma de la serie
1+ 12 ⋅3 + 1
4 ⋅5 ⋅6 + 17 ⋅8 ⋅9 ⋅10
+ . . . . . . . . .
Si tomamos como valor aproximado la suma de los tres primeros sumandos, el error cometido es
εεε < 17 ⋅8 ⋅9 ⋅10
+ 111 ⋅12 ⋅13 ⋅14 ⋅15
+ 116 ⋅17 ⋅18 ⋅19 ⋅20 ⋅21
+ . . . . . . . . . <
< 17 ⋅8 ⋅9 ⋅10
+ 17 ⋅8 ⋅9 ⋅10 ⋅15
+ 17 ⋅8 ⋅9 ⋅10 ⋅152 + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . =
= 17 ⋅8 ⋅9 ⋅10
⋅[1+ 115
+ 1152 + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ]
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶(progresión geométrica de razón
115
)
=
= 17 ⋅8 ⋅9 ⋅10
⋅ 1
1− 115
= 17 ⋅8 ⋅9 ⋅10
⋅ 1514
=
= 14704
< 11000
En consecuencia, la suma aproximada que nos interesa es:
1+ 16+ 1
120= 141
120= 1,175 .
Para la determinación de la serie mayorante puede comenzarse estudiando la razón:an+1
an, de dos tér-
minos consecutivos.
Consideremos dos casos, según que el límite: ` < 1, de esa razón, supuesto que existe, sea mayor o me-
nor a ella.
1.- Si ` >an+1
anse verificarán:
an+2
an< ` ,
an+3
an+2< ` ,
an+4
an+3< ` ,. . . . . . . . .
481
o bien
an+2 < ` ⋅an+1 , an+3 < `2⋅an+1 , an+4 < `
3⋅an+1 ,. . . . . . . . . ,
luego si tomamos como valor aproximado de la serie
a1+a2+a3+ . . . . . . . . . +an+an+1+an+2+ . . . . . . . . .
la suma
Sn = a1+a2+a3+ . . . . . . . . . +an
el error cometido quedará acotado como sigue:
εεε = an+1+an+2+an+3+ . . . . . . . . . < an+1 ⋅(1+ `+ `2+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . )
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
⎛⎜⎝
progresión geométrica
de razón `
⎞⎟⎠
=an+1
1− `
Podemos, por tanto afirmar que: Cuando la razónan+1
an, tiende al límite `, conservándose menor
que él, el error cometido al tomar como suma de una serie de términos positivos una suma parcial,
es menor que el primer término despreciado dividido entre la unidad menos dicho límite.
Ejemplo 4. Determinar, con un error menor que 10−3, la suma de la serie
2 ⋅⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1−(131
) ⋅ 18+(
132
) ⋅ 182 −(
133
) ⋅ 183 + . . . . . . . . . ±(
13n
) ⋅ 18n ∓ . . . . . . . . .
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦
Dado que
−(13
n+1) ⋅ 1
8n+1
(13n
) ⋅ 18n
= 18⋅ 3 ⋅n−1
3 ⋅n+3Ð→ 1
8, (` = 1
8> an+1
an)
y todos los términos de la serie, a partir del segundo, son de signo constante, podemos aplicar la conclusión anterior.
Así, tomando los n+1 términos que figuran explícitamente en el enunciado, el error cometido queda acotado como
sigue:
εεε < 2 ⋅
RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR
(13
n+1) ⋅ 1
8n+1
(1− 18
)
RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR
=RRRRRRRRRRRR(
13
n+1) ⋅ 2
7 ⋅8n
RRRRRRRRRRRR
Como para n ⩾ 2 el valor anterior es menor que 10−3, tendremos que la suma de la serie dada, con error menor que
103, será
S = 2 ⋅⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1−(131
) ⋅ 18+(
132
) ⋅ 182
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦= 2 ⋅(1− 1
24− 1
576) = 1102
576= 1,913. . . . . .
482
Como este valor obtenido es aproximado por exceso, de la suma de la serie, pues todos los sumados que constituye
el resto son negativos, no es preciso incrementar su última cifra.
En consecuencia, la suma aproximada que nos interesaba es:
S = 1,913 .
Ejemplo 5. Determinar, con un error menor que 0,01, la suma de la serie
∞∞∞
∑n=1
n!3 ⋅5 ⋅ . . . . . . . . . ⋅(2 ⋅n+1)
Tenemos
lımn→∞∞∞
(n+1)!3 ⋅5 ⋅ . . . . . . . . . ⋅(2 ⋅n+3)
n!3 ⋅5 ⋅ . . . . . . . . . ⋅(2 ⋅n+1)
= lımn→∞∞∞
n+12 ⋅n+3
= 12
conservándosen+1
2 ⋅n+3< 1
2.
Si tomamos k−1 términos de la serie se verificará que
S−Sk =k!
3 ⋅5 ⋅ . . . . . . . . . ⋅(2 ⋅k+1) + (k+1)!3 ⋅5 ⋅ . . . . . . . . . ⋅(2 ⋅k+3) + . . . . . . . . .
y como se tiene quek!
3 ⋅5 ⋅ . . . . . . . . . ⋅(2 ⋅k+1) = k!3 ⋅5 ⋅ . . . . . . . . . ⋅(2 ⋅k+1)
(k+1)!3 ⋅5 ⋅ . . . . . . . . . ⋅(2 ⋅k+3) < k!
3 ⋅5 ⋅ . . . . . . . . . ⋅(2 ⋅k+1) ⋅ 12
(k+2)!3 ⋅5 ⋅ . . . . . . . . . ⋅(2 ⋅k+5) < k!
3 ⋅5 ⋅ . . . . . . . . . ⋅(2 ⋅k+1) ⋅ 122
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
obtenemos:
S−Sk <k!
3 ⋅5 ⋅ . . . . . . . . . ⋅(2 ⋅k+1) ⋅ [1+ 12+ 1
22 + . . . . . . . . . ]´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶⎛⎜⎝
progresión geométrica
de razón12
⎞⎟⎠
= 2 ⋅k!3 ⋅5 ⋅ . . . . . . . . . (2 ⋅k+1)
Habrá que tomar, entonces, k de manera que
2 ⋅k!3 ⋅5 ⋅ . . . . . . . . . ⋅(2 ⋅k+1) < 1
100
es decir3 ⋅5 ⋅ . . . . . . . . . ⋅(2 ⋅k+1)
2 ⋅k!> 100
Procedemos a tantear: Para k = 6:3 ⋅5 ⋅ . . . . . . ⋅132 ⋅1 ⋅2 ⋅3 ⋅4 ⋅5 ⋅6 = 93,8
483
Para k = 7:3 ⋅5 ⋅ . . . . . . ⋅13 ⋅152 ⋅1 ⋅2 ⋅3 ⋅4 ⋅5 ⋅6 ⋅7 = 201
En consecuencia tomaremos (7−1) = 6 términos de la serie
1!3+ 2!
3 ⋅5 = 3!3 ⋅5 ⋅7 + 4!
3 ⋅5 ⋅7 ⋅9 + 5!3 ⋅5 ⋅7 ⋅9 ⋅11
+ 6!3 ⋅5 ⋅7 ⋅9 ⋅11 ⋅13
=
= 13+ 2
15+ 2
35+ 8
315+ 8
693+ 48
9009=
= 15015+6006+2574+1144+520+24045045
=
= 2549945045
= 0,57
Ejemplo 6. Determinar, con un error menor que 0,001, la suma de la serie
1(1!)3 + 1
(2!)3 + 1(3!)3 + . . . . . . . . .
Si tomamos k−1 términos, tendremos
S−Sk−1 =1
(k!)3 + 1[(k+1)!]3 + . . . . . . . . . + 1
[(k+n−1)!]3
Así, se tiene
an+1an
=
1[k+n)!]3
1[(k+n−1)!]3
= 1(k+n)3 < 1
k3
con lo que, haciendo: n = k , k+1 , k+2 ,. . . . . . . . . . . .
ak = ak
ak+1 < ak ⋅1
k3
ak+2 < ak ⋅1
k6
. . . . . . . . . . . . . . .
Sustituyendo, obtenemos
S−Sk−1 < ak ⋅[1+ 1k3 + 1
k6 + . . . . . . . . . ]´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶⎛⎜⎝
progresión geométrica
de razón1
k3
⎞⎟⎠
= ak
1− 1k3
= k3 ⋅akk3−1
=
=k3 ⋅ 1
(k!)3
k3−1= 1
[(k−1)!]3 ⋅(k3−1)
Habrá que tomar, entonces, k de manera que sea
1[(k−1)!]3 ⋅(k3−1)
< 11000
484
o sea
[(k−1)!]3 ⋅(k3−1) > 1000 .
Procedemos a tantear:
Para k = 3: (2!)3 ⋅(33−1) = 208
Para k = 4: (3!)3 ⋅(43−1) = 13608
En consecuencia tomamos (4−1) = 3 términos de la serie:
1(1!)3 + 1
(2!)3 + 1(3!)3 = 1+ 1
8+ 1
216= 61
54
2.- Si ` <an+1
an, ésta, generalmente tiende al límite formando una sucesión monótona decreciente.
Cuando es así, tomando como número k el valor dean+1
an, se tendrá que
an+2
an+1< k ,
an+3
an+2< k ,
an+4
an+3< k ,. . . . . . . . .
y razonando como en 1.- , tendremos la siguiente cota superior del error:
εεε = an+1+an+2+ . . . . . . . . . < an+1 ⋅(1+k+k2+ . . . . . . . . . . . . . . . )
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
⎛⎜⎝
progresión geométrica
de razón k
⎞⎟⎠
=an+1
1−k
La regla correspondiente a este caso es análogo al enunciado en 1.-
¡¡Atención!! El valor que debe tomarse para k es menor que 1, lo cual siempre es posible, pues al ser
la serie convergente el límite `, cuya existencia se ha supuesto, es menor que 1.
Ejemplo 7. Como aplicación de la serie exponencial
ex = 1+x+ x2
2!+ x3
3!+ x4
4!+ . . . . . . . . .
calcular 10√e, con error absoluto menor que 10−4.
Haciendo x = 110
en la fórmula anterior tenemos
e 110 = 1+ 1
10+ 1
2! ⋅102 + 13! ⋅103 + . . . . . . . . . + 1
n! ⋅10n + . . . . . . . . .
Por otra parte
lımn→∞∞∞
an+1an
= lımn→∞∞∞
1(n+1)! ⋅10n+1
1n! ⋅10n
= lımn→∞∞∞
110 ⋅(n+1) = 0
Luego, si tomamos como valor de 10√e, la reducida formada por los n+1 sumandos
1+ 110
+ 12! ⋅102 + . . . . . . . . . + 1
n! ⋅10n
485
el error cometido queda acotado como sigue:
εεε <
110n+1 ⋅(n+1)!
1
1− 110 ⋅(n+1)
= 110 ⋅(n+9) ⋅n! ⋅10n
Tanteando obtenemos que para n ⩾ 3 la última fracción es menor que 10−4; luego tendremos, con error menor que
10−4:10√e = 1+ 1
10+ 1
102 ⋅2!+ 1
103 ⋅3!= 6631
6000= 1,1051. . . . . . . . .
Como la aproximación lo es por defecto tendremos que:
10√e = 1,1052 .
40.2.- Series alternadas: En la Lección 35 ya establecimos (Proposición 1) que, al tomar
una suma parcial cualquiera como valor aproximado de una serie alternada de términos constantemente
decrecientes (en valor absoluto), el error cometido es menor que el primer término despreciado.
Ejemplo 1. Determinar con un error menor que 0,0001, la suma de la serie
1+(151
) ⋅ 116
+(152
) ⋅ 1162 + . . . . . . . . . +(
15n
) ⋅ 116n + . . . . . . . . .
Observemos que, al operar, la serie a partir del segundo término es alternada, puesto que
(151
) = 15
(152
) =
15⋅( 1
5−1)
2!= − 2
25
(153
) =
15⋅( 1
5−1) ⋅( 1
5−2)
3!= 6
125
(154
) =
15⋅( 1
5−1) ⋅( 1
5−2) ⋅( 1
5−3)
4!= −21
625
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
El primer término a despreciar será el primero de los que verifiquen
(15
n+1) ⋅ 1
16n+1 ⩽ 1104
desigualdad que se verifica para n ⩾ 2, puesto que
(15
2+1) ⋅ 1
162+1 = 6125
⋅ 1163 = 3
256000= 0,0000117 < 1
104
486
mientras que
(15
1+1) ⋅ 1
161+1 = 225
⋅ 1256
= 16400
= 0,00015 > 1104
La suma aproximada, que nos interesa, con el error menor que 0,0001, será:
1+(151
) ⋅ 116
−(152
) ⋅ 1162 = 1+ 1
5⋅ 1
16− 2
25⋅ 1
162 = 1+ 180
− 13200
=
= 1+0,0125−0,0003125 = 1,0121875
es decir
Saprox. = 1,0121875
Ejemplo 2. Determinar, como aplicación de la serie exponencial
ex = 1+x+ x2
2!+ x3
3!+ x4
4!+ . . . . . . . . . + xn
n!+ . . . . . . . . . (x ∈R)
el valor de1
5√e,
con un error menor que 0,0001.
Obtendremos una serie alternada haciendo x = − 15
en la fórmula anterior, es decir:
15√e
= e− 15 = 1− 1
5+ 1
2! ⋅52 − 13! ⋅53 + . . . . . . . . . ± 1
n! ⋅5n ∓ . . . . . . . . .
El primer término despreciado debe ser menor que 10−4, es decir
1(n+1)! ⋅5n+1 ⩽ 1
104
desigualdad que se verifica para n ⩾ 3, puesto que
1(3+1)! ⋅53+1 = 1
4! ⋅54 = 14 ⋅3 ⋅2 ⋅1 ⋅5 ⋅5 ⋅5 ⋅5 = 1
15000= 0,000066
mientras que1
(2+1)! ⋅52+1 = 13 ⋅2 ⋅1 ⋅5 ⋅5 ⋅5 = 1
750= 0,00133
La suma aproximada que nos interesa, con el error menor que 0,0001, será
1− 15+ 1
2! ⋅52 − 13! ⋅53 = 1− 1
5+ 1
50− 1
750=
= 750−150+15−1750
= 614750
= 0,8186. . . . . .
es decir:1
5√e= 0,8186
487
Ejemplo 3. Determinar con un error menor que 10−5 el valor de1e
Como aplicación de la serie exponencial
ex = 1+x+ x2
2!+ x3
3!+ x4
4!+ . . . . . . . . . + xn
n!+ . . . . . . . . .
obtendremos una serie alternada haciendo x = −1 en la fórmula anterior
1e = 1
2!− 1
3!+ 1
4!− 1
5!+ . . . . . . . . . ± 1
n!∓ . . . . . . . . .
El primer término despreciado debe ser menor que 10−5, es decir
1n!
⩽ 1105
desigualdad que se verifica para n ⩾ 9 puesto que
19!
= 19 ⋅8 ⋅7 ⋅6 ⋅5 ⋅4 ⋅3 ⋅2 ⋅1 = 1
362880= 0,00000275
mientras que
18!
= 140320
= 0,0000272
La suma aproximada que nos interesa, con el error menor que 0,00001 será
12!
− 13!
+ 14!
− 15!
+ 16!
− 17!
+ 18!
− 19!
=
= ( 12!
+ 14!
+ 16!
+ 18!
)−( 13!
+ 15!
+ 17!
+ 19!
) =
= 2189740320
− 63577362880
= 0,54308−0,17520 = 0,36788
es decir
1e = 0,36788
488
Resumiendo lo establecido, tanto en este apartado como en el anterior, tenemos que: Si para
la serie convergente
a1+a2+ . . . . . . . . . +an+an+1+ . . . . . . . . .
se adopta el valor aproximado de su suma reducida
a1+a2+ . . . . . . . . . +an ,
su error absoluto se acota de la siguiente manera:
εεε < an+1 . . . . . . . . . en las series alternadas
εεε <∣an+1∣
1− `. . . . . . . . . en las series de términos positivos (o negativos)
siendo ` el límite de la razónan+1
an, cuando
es superior a ella.
εεε <∣an+1∣
1−k. . . . . . . . . en las series de términos positivos (o negativos)
cuando la razónan+1
antiende monótona
y decreciente a su límite k ⩾an+1
an
40.3 Cálculo aproximado de raíces
Como aplicación de la serie binómica
(1+x)m= 1+(
m1) ⋅x+(
m2) ⋅x2
+(m3) ⋅x3
+ . . . . . . . . . (∣x∣ < 1)
podemos calcular fácilmente valores aproximados de raíces.
1.- Si n es la raíz m-ésima, por defecto, del número N, se tiene que:
m√N =m√nm+r = n ⋅(1+
rnm )
1m
= n ⋅⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1+(
1m1
) ⋅r
nm +(
1m2
) ⋅r2
n2⋅m + . . . . . . . . .
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦
Parar
nm < 1, la serie es alternada, y sus términos decrecen en valor absoluto, luego hallaremos el valor
aproximado de la raíz como procedíamos en el apartado anterior.
489
Ejemplo 1. Determinar, con un error menor que 10−4, la 5√34.
Podemos escribir:5√34= 5
√25+2 = 5√32+2 = 2 ⋅(1+ 2
32)
15= 2 ⋅(1+ 1
16)
15=
= 2 ⋅⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1+(151
) ⋅ 116
+(152
) ⋅ 1162 + . . . . . . . . .
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦La suma de esta serie se ha obtenido en el Ejemplo 1 del apartado anterior, es decir
1+(151
) ⋅ 116
+(152
) ⋅ 1162 + . . . . . . . . . = 1,0121875 (error < 1
104 )
luego:5√34 = 2 ⋅1,0121875 = 2,024375
Ejemplo 2. Determinar, con un error menor que 10−4, la 3√20.
Observemos que si hiciésemos
3√20 = 3√
23+12 = 3√8+12 = 2 ⋅(1+ 128
)13
la serie deducida de esta composición no sería convergente por ser128
> 1.
En este caso podríamos operar como sigue:
3√20 = 110
⋅ 3√20000= 110
⋅ 3√273+317 = 2710
⋅(1+ 317273 )
13= 27
10⋅(1+ 317
19683)
13=
= 2710
⋅⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1+(131
) ⋅ 31719683
+ . . . . . . . . .⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦
Acotamos el error
2710
⋅(13
n+1) ⋅( 317
19683)
n+1⩽ 1
104
desigualdad que se verifica para: n ⩾ 1, luego
3√20= 2710
⋅⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1+(131
) ⋅ 31719683
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦= 27
10⋅[1+ 1
3⋅ 317
19683] =
= 2710
+ 9 ⋅317196830
= 2710
+ 2853196830
= 2,7+0,0144 = 2,7144
Ejemplo 3. Determinar, con un error menor que 10−5, la 3√9.
Podemos escribir
3√9 = 3√23+1= 3√8+1 = 2 ⋅(1+ 18
)13=
= 2 ⋅⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1+(131
) ⋅ 18+(
132
) ⋅ 182 +(
133
) ⋅ 183 + . . . . . . . . .
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦
490
Tenemos que al operar, la serie es alternada, puesto que
(131
) = 13
(132
) =
13⋅( 1
3−1)
2!= − 1
9
(133
) =
13⋅( 1
3−1) ⋅( 1
3−2)
3!= 5
81
(134
) =
13⋅( 1
3−1) ⋅( 1
3−2) ⋅( 1
3−3)
4!= − 10
243
(135
) =
13⋅( 1
3−1) ⋅( 1
3−2) ⋅( 1
3−3) ⋅( 1
3−4)
5!= 22
729
El primer término a despreciar será el primero de los que verifiquen
2 ⋅(13
n+1) ⋅ 1
8n+1 ⩽ 1105
desigualdad que se verifica para n ⩾ 4, puesto que
2 ⋅(135
) ⋅ 185 = 2 ⋅ 22
729⋅ 1
85 = 115971268
= 0,000001 < 1105
mientras que
2 ⋅(134
) ⋅ 184 = 2 ⋅ 10
243⋅ 1
4096= 0,00002 > 1
105
La suma que nos interesa, aproximada con un error menor que 0,00001, será
2 ⋅[1+ 13⋅ 1
8− 1
9⋅ 1
82 + 581
⋅ 183 − 10
243⋅ 1
84 ] =
= 2 ⋅[1+ 124
− 1576
+ 541472
− 10472392
] =
= 2 ⋅ [1,04178−0,00002] = 2 ⋅ [1,04001] = 2,08002
es decir3√9 = 2,08002
2.- Si n es la raíz m-ésima, por exceso, del número N, se tiene que:
m√N =m√nm−r = n ⋅(1−
rnm )
1m
= n ⋅⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1−(
1m1
) ⋅r
nm +(
1m2
) ⋅r2
n2⋅m −(
1m3
) ⋅r3
n3⋅m + . . . . . . . . .
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦
Parar
nm < 1, la serie es convergente, y sus términos a partir del segundo tienen signo constante, luego
hallaremos el valor aproximado de la raíz como procedíamos en el apartado 38.1.
491
Ejemplo 4. Determinar, con un error menor que 10−3, la 3√7.
Podemos escribir3√7 = 3
√13+6 = 3√1+6 = 1 ⋅(1+ 6
1)
13
y observamos que la serie deducida de esta composición no sería convergente, por ser61> 1.
Podríamos, sin embrago operar de la siguiente manera:
3√7 = 110
⋅ 3√7000= 110
⋅ 3√193+141 = 110
⋅ 3√6859+141 =
= 1910
⋅(1+ 1416859
)13= 19
10⋅⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1+(131
) ⋅ 1416859
+ . . . . . . . . .⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦
Acotemos el error
1910
⋅(13
n+1) ⋅( 141
6859)
n+1⩽ 1
1000desigualdad que se verifica para n ⩾ 2, luego
3√7= 1910
⋅⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1+(131
) ⋅ 1416859
+(132
) ⋅( 1416859
)2⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦
=
= 1910
⋅[1+ 13⋅ 141
6859− 1
9⋅ 19881
41045881] =
= 1910
+ 1930
⋅ 1416859
− 1990
⋅ 1988141045881
=
= 1,9+0,01302−0,00012 = 1,9129
492
CAPÍTULO V
Series potenciales
Lección 41.- SERIES POTENCIALESRADIO DE CONVERGENCIA
41.1 Series potenciales
41.2 Radio de convergencia
41.1 Series potenciales
Llamaremos serie funcional a toda serie
fff 1(x)+ fff 2(x)+ fff 3(x)+ . . . . . . . . . + fff n(x)+ . . . . . . . . .
cuyos términos son funciones de una variable x.
Al asignar a la variable x un valor a, perteneciente al campo de definición de todas las funciones, la serie
funcional se convierte en una serie numérica, cuyos términos son los valores que las funciones fff 1(x) ,
fff 2(x) , fff 3(x) ,. . . . . . . . . , fff n(x) ,. . . . . . . . . , toman para x = a:
fff 1(a)+ fff 2(a)+ fff 3(a)+ . . . . . . . . . + fff n(a)+ . . . . . . . . .
La serie numérica obtenida de esta manera puede ser convergente, divergente u oscilante.
Llamaremos campo de convergencia, de la serie funcional dada, al conjunto de los valores que se pueden
asignar a la variable x, y que convierten a la serie funcional dada en una serie numérica convergente.
Así, una serie funcional define una función cuyo dominio es su campo de convergencia, siempre que éste
sea un conjunto no vacío.
Ejemplo 1. Consideremos la serie
x+(x−1) ⋅x+(x−1) ⋅x2+ . . . . . . . . . +(x−1) ⋅xn−1+ . . . . . . . . .
Se verifica que
Sn(x) = x+(x−1) ⋅x+(x−1) ⋅x2+ . . . . . . . . . +(x−1) ⋅xn−1 = xn .
Luego la serie define la función
S(x) = lımn→∞∞∞
Sn(x) = lımn→∞∞∞
xn =⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
1 si x = 1
0 si ∣x∣ < 1
Así, el campo de convergencia de la serie funcional dada es el intervalo
I = ]−1 , 1] ,
puesto que, para x = −1, la serie es oscilante, y para ∣x∣ > 1, la serie resulta ser divergente.
495
De entre las series funcionales cabe destacar, como muy importantes, las que llamaremos series poten-
ciales, a las que también se suele llamar series de potencias o series enteras. Se denominan así a las
series funcionales de la forma
a0+a1 ⋅x+a2 ⋅x2+ . . . . . . . . . +an ⋅xn
+ . . . . . . . . .
en las que los términos son potencias sucesivas de la variable x multiplicadas por unos coeficientes a0 ,
a1 , a2 ,. . . . . . . . . , an ,. . . . . . . . .
Una generalización inmediata de las series potenciales son las del tipo:
a0+a1 ⋅(x−a)+a2 ⋅(x−a)2+ . . . . . . . . . +an ⋅(x−a)n
+ . . . . . . . . .
de las que las anteriores son un caso particular, cuando a = 0.
No estudiaremos éstas puesto que basta hacer la sustitución y = x−a para llevarlas a la forma
anterior.
Ejemplo 2. Las siguientes series funcionales son series potenciales:
1+x+(2!) ⋅x2+(3!) ⋅x3+ . . . . . . . . . +(n!) ⋅xn+ . . . . . . . . .
12⋅x+x2+ 37
210 ⋅x3+ . . . . . . . . . + n2⋅n+1
2n2+1+ . . . . . . . . .
14⋅x+ 1
2⋅x2+ 27
64⋅x3+ . . . . . . . . . + n3
4n + . . . . . . . . .
En el campo de convergencia de la serie potencial, es decir en el conjunto de valores que hacen conver-
gente la serie
a0+a1 ⋅x+a2 ⋅x2+ . . . . . . . . . +an ⋅xn
+ . . . . . . . . .
queda definida una función. Así, si A es el campo de convergencia de la serie dada, la función definida
será lafff ∶ A ÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐ→R
x ÐÐÐ→ fff (x) = a0+a1 ⋅x+a2 ⋅x2+ . . . . . . +anxn+ . . . . . .
A diferencia de lo que ocurre con las series funcionales más generales, cualquier serie potencial converge
por lo menos en un punto, el 0, para el que se verifica: fff (0) = a0.
496
41.2 Radio de convergencia
El campo de convergencia de una serie potencial es siempre un intervalo real, centrado en el origen,
y a su semiamplitud, que vamos a llamar R y puede ser finita o infinita, la vamos a llamar radio de
convergencia.
El radio de convergencia de la serie∞∞∞
∑n=0
an ⋅xn es el número
R =1L
, siendo L = lımn→∞∞∞
n√
∣an∣ .
En efecto: Si es ∣x∣ < 1L
, elijamos un número h que cumpla
∣x∣ < h < 1L
Entonces, por definición de límite superior, se verifica que existe en cierto n0 tal que:
n > n0 Ô⇒ n√
∣an∣ <1h
o lo que es lo mismo
n > n0 Ô⇒ n√
∣an ⋅xn∣ < ∣x∣h
< 1
Así, al conservarse los valores absolutos de los términos de la serie menores que las potencias sucesivas de
un número menor que 1.
∣an ⋅xn∣ < ( ∣x∣h
)n
, siendo∣x∣h
< 1
la serie dada converge absolutamente para dicho valor de x.
Por otra parte, si es ∣x∣ > 1L
, entonces para infinitos valores de n se verifica que
n√
∣an∣ >1∣x∣
es decirn√
∣an ⋅xn∣ > 1
o lo que es lo mismo
∣an ⋅xn∣ > 1 ,
luego, la serie dada no converge para un tal valor de x.
Supuesto que L = 0, entonces la relación
n√
∣an∣ <1h
se verifica para todo h, por grande que ésta sea, y por tanto se cumple que:
∣an ⋅xn∣ < ( ∣x∣h
)n
, siendo∣x∣h
< 1 ,
para todo x, luego la serie converge absolutamente para todo x.
497
Supuesto que L =∞∞∞ , todo x ≠ 0 verifica, para infinitos valores de n, la relación
n√
∣an∣ >1∣x∣
y en consecuencia la relaciónn√
∣an ⋅xn∣ > 1 ,
o lo que es lo mismo
∣an ⋅xn∣ > 1 ,
luego, la serie dada no converge para ningún valor de x distinto de cero.
Ejemplo 1. Calcular el radio de convergencia de la serie potencial
1+x+(2!) ⋅x2+(3!) ⋅x3+ . . . . . . . . . +(n!) ⋅xn+ . . . . . . . . .
En este caso: an = n! , luego
L = lımn→∞∞∞
n√
∣an∣ = lımn→∞∞∞
n√n! =∞∞∞
en consecuencia
R = 0 .
Ejemplo 2. Calcular el radio de convergencia de la serie potencial
14⋅x+x2+ 37
210 ⋅x3+ . . . . . . . . . + n2⋅n+1
2n2+1⋅xn+ . . . . . . . . .
En este caso: an =n2⋅n+1
2n2+1, luego
L = lımn→∞∞∞
n√
∣an∣ = lımn→∞∞∞
n
¿ÁÁÀ n2⋅n+1
2n2+1= lım
n→∞∞∞n2+ 1
n
2n+ 1n
= 0 ;
en consecuencia
R =∞∞∞ .
Ejemplo 3. Calcular el radio de convergencia de la serie potencial
14⋅x+ 1
2⋅x2+ 27
64⋅x3+ . . . . . . . . . + n3
4n ⋅xn+ . . . . . . . . .
En este caso: an =n3
4n , luego
L = lımn→∞∞∞
n√
∣an∣ = lımn→∞∞∞
n
√n3
4n = lımn→∞∞∞
n3n
4= 1
4;
en consecuencia
R = 4 .
498
Según sabemos, si para la sucesión (an)n∈N existe el lımn→∞∞∞
an+1
an, entonces:
lımn→∞∞∞
n√an = lımn→∞∞∞
an+1
an,
propiedad que podemos utilizar en la determinación de radios de convergencia.
Ejemplo 4. Calcular el radio de convergencia de la serie potencial
∞∞∞
∑n=1
(n!)2
(2 ⋅n)!⋅xn
En este caso: an =(n!)2
(2 ⋅n)!, luego
L = lımn→∞∞∞
∣an+1∣∣an∣
= lımn→∞∞∞
((n+1)!)2
(2 ⋅(n+1))!
(n!)2
(2 ⋅n)!
= 14
en consecuencia
R = 4 .
Por otra parte, también sabemos que el “recíproco” de la afirmación anterior no es cierto, es decir, dada
la sucesión (an)n∈N puede ocurrir que exista el: lımn→∞∞∞
n√an , y sin embargo no existe el: lımn→∞∞∞
an+1
an.
En estos casos el radio de convergencia tendrá que ser calculado necesariamente determinando el primer
límite.
Ejemplo 5. Calcular el radio de convergencia de la serie potencial
3 ⋅x+3 ⋅x2+33 ⋅x3+33 ⋅x4+35 ⋅x5+35 ⋅x6+ . . . . . . . . .
En este caso
an =⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
3n si n impar
3n−1 si n par
luego no existe el lımn→∞∞∞
an+1an
.
Sin embargo, se verifica que
lımn→∞∞∞
n√an =
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
lımn→∞∞∞
n√3n si n impar
lımn→∞∞∞
n√
3n−1 si n par
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
= 3
en consecuencia
R = 13
.
499
A la vista de los ejemplos anteriores pudiera parecer que no deberíamos haber hablado de límite superior,
en la determinación del radio de convergencia, sino simplemente de límite. Sin embargo no es así, como
muestran los ejemplos siguientes.
Ejemplo 6. Calcular el radio de convergencia de la serie potencial
∞∞∞
∑n=2
(1+2 ⋅cosnπππ
4)
n
Log n⋅xn
En este caso es: an =(1+2 ⋅cos
nπππ
4)
n
Log n, luego
lımn→∞∞∞
n√
∣an∣ = lımn→∞∞∞
RRRRRRRRRRR1+2 ⋅cos
nπππ
4
RRRRRRRRRRRn√Log n
= 3 ;
en consecuencia
R = 13
.
Ejemplo 7. Calcular el radio de convergencia de la serie potencial
∞∞∞
∑n=1
(3+(−1)n)n
n⋅xn
En este caso es: an =(3+(−1)n)n
n, luego
si n par : lımn→∞∞∞
√∣an∣ = lım
n→∞∞∞n
√4n
n= 4
si n impar : lımn→∞∞∞
n√
∣an∣ = lımn→∞∞∞
n
√2n
n= 2
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒ lımn→∞∞∞
n√
∣an∣ = 4 ;
en consecuencia
R = 14
.
Ejemplo 8. Determinar el radio de convergencia de la serie
∞∞∞
∑n=0
(n!)2
(2 ⋅n)!⋅x2⋅n .
Se verifica que
lımn→∞∞∞
[(n+1)!]2
[2 ⋅(n+1)]!(n!)2
(2 ⋅n)!
= lımn→∞∞∞
(n+1)2
(2 ⋅n+1) ⋅(2 ⋅n+2) = 14
500
luego el radio de convergencia es
R2 = 4 ÐÐÐ→ R = 2
Ejemplo 9. Determinar el radio de convergencia de la serie
∞∞∞
∑n=0
2n√
(1+4 ⋅n) ⋅5n⋅xn .
Se verifica que
lımn→∞∞∞
n
¿ÁÁÀ 2n
√(1+4 ⋅n) ⋅5n
= 2√5
luego
R =√
52
Ejemplo 10. Determinar el radio de convergencia de la serie
∞∞∞
∑n=0
√n ⋅(n+1)n
2n ⋅(n+1)!⋅xn .
Se verifica que
lımn→∞∞∞
√n+1 ⋅(n+2)n+1
2n+1 ⋅(n+2)!√n ⋅(n+1)n
2n ⋅(n+1)!
= lımn→∞∞∞
12⋅√
1+ 1n⋅(1+ 1
n+1)
n= e
2
luego
R = 2e
Ejemplo 11. Determinar el radio de convergencia de la serie
∞∞∞
∑n=0
(− 1
2n
) ⋅xn .
Se verifica que
lımn→∞∞∞
RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR
(− 1
2n+1
)
(− 1
2n
)
RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR
= lımn→∞∞∞
RRRRRRRRRRRR
− 12−n
n+1
RRRRRRRRRRRR= 1
luego
R = 1 .
La determinación del radio de convergencia de una serie potencial permite clasificar los puntos del eje
real, sobre el que se representa la variable x, de la siguiente manera:
1.- en el interior del intervalo ]−R , R[ , la serie dada es absolutamente convergente
501
2.- en el interior del intervalo [−R , R] , no hay convergencia
3.- en los extremos del intervalo ]−R , R[ caben, en principio, todas las posibilidades
radio de convergencia³¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹·¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹µ
-R 0 R´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
intervalo de convergencia
(campo de convergencia)
Ejemplo 12. Determinar el campo de convergencia de la serie
∞∞∞
∑n=0
(n!) ⋅xn
Según hemos visto en el anterior Ejemplo 1, su radio de convergencia es R = 0. Luego, su campo de convergencia
se limita al punto x = 0.
0
Ejemplo 13. Determinar el campo de convergencia de la serie
∞∞∞
∑n=0
1n!
⋅xn
En este caso es: an =1n!
, luego
lımn→∞∞∞
n√
∣an∣ = lımn→∞∞∞
n
√1n!
= 0 ;
en consecuencia
R =∞∞∞
0Ejemplo 14. Determinar el campo de convergencia de la serie
∞∞∞
∑n=0
xn
En este caso es: an = 1 , luegolım
n→∞∞∞n√
∣an∣ = lımn→∞∞∞
n√1 = 1 ;
en consecuencia:
R = 1 ,
es decir, la serie es absolutamente convergente en el intervalo ]−1 , 1[ . En los extremos la serie no es convergente
(es divergente en x = 1, y oscilante en x = −1). Luego su campo de convergencia es el intervalo ]−1 , 1[ .
−1 0 1
502
Ejemplo 15. Determinar el campo de convergencia de la serie
∞∞∞
∑n=0
(−1)n
(n+1) ⋅(n+2) ⋅xn .
En este caso es: an =(−1)n
(n+1) ⋅(n+2) , luego
lımn→∞∞∞
n√
∣an∣ = lımn→∞∞∞
n
√1
(n+1) ⋅(n+2) = 1
en consecuencia
R = 1 ,
es decir, la serie es absolutamente convergente en el intervalo ]−1 , 1[ . En los extremos la serie dada es conver-
gente. Luego, su campo de convergencia es el intervalo [−1 , 1].
−1 0 1
Ejemplo 16. Determinar el campo de convergencia de la serie
∞∞∞
∑n=1
(−1)n+1
n⋅xn .
En este caso es: an =(−1)n+1
n, luego
lımn→∞∞∞
n√
∣an∣ = lımn→∞∞∞
n
√1n
= 1 ;
en consecuencia:
R = 1 ,
es decir, la serie es absolutamente convergente en el intervalo ]−1 , 1[ . En el extremo x = 1, la serie es convergente,
mientras que en el x = −1 es divergente. Luego su campo de convergencia es el intervalo ]−1 , 1] .
−1 0 1
¡¡Atención!! Conviene no olvidar que para estudiar las series del tipo
a0+a1 ⋅(x−a)+a2 ⋅(x−a)2+ . . . . . . . . . +an ⋅(x−a)n
+ . . . . . . . . .
según hemos venido haciendo, no hay más que hacer la sustitución y = x−a.
Ejemplo 17. Determinar el campo de convergencia de la serie
1+(x−2)+(x−2)2+ . . . . . . . . . +(x−2)n+ . . . . . . . . .
Haciendo la sustitución
y = x−2
503
resulta la serie
1+y+y2+ . . . . . . . . . +yn
o lo que es lo mismo
1+x+x2+ . . . . . . . . . +xn+ . . . . . . . . .
Estudiada esta última, como hemos hecho antes, resulta que su radio de convergencia es: R = 1, y su campo de
convergencia el intervalo: ]−1 , 1] , es decir el conjunto de los valores: −1 < x < 1, o lo que es lo mismo: −1 < y < 1.
Por consiguiente, la serie dada converge para todos los valores de x para los cuales
−1 < x−2 < 1 ,
es decir
1 < x < 3 .
Así su radio de convergencia es: R = 1 y su campo de convergencia el intervalo: ]−1 , 3[ .
Ejemplo 18. Determinar el campo de convergencia de la serie funcional
∞∞∞
∑n=1
(xn+ 1xn )
Comop∑n=1
(xn+ 1xn ) =
p∑n=1
xn+p∑n=1
1xp
y∞∞∞
∑n=1
xn converge sí, y sólo si, ∣x∣ < 1
∞∞∞
∑n=1
1xn converge sí, y sólo si, ∣x∣ > 1
concluimos que la serie dada no converge para ningún valor de x.
Ejemplo 19. Determinar el campo de convergencia de la serie
∞∞∞
∑n=1
n√x .
Se verifica que
lımn→∞∞∞
n√x =⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
0 si x = 0
1 si x > 0
luego la serie dada sólo converge si x = 0.
Ejemplo 20. Determinar el campo de convergencia de la serie funcional
1+2 ⋅ sen x+22 ⋅ sen2 x+ . . . . . . . . . +2n ⋅ senn x+ . . . . . . . . .
Si hacemos
2 ⋅ sen x = r
504
la serie se transforma en la
1+r+r2+ . . . . . . . . . +rn+ . . . . . . . . .
convergente para ∣r∣ < 1 ; luego la serie dada será convergente en los intervalos en los que
∣2 ⋅ sen x∣ < 1 Ô⇒ ∣sen x∣ < 12
es decir, en los que se verifica
− πππ
6+kπππ < x < πππ
6+kπππ , k ∈ Z .
Ejemplo 21. Determinar el campo de convergencia de la serie funcional
∞∞∞
∑n=0
( x1−x
)n.
La serie convergerá sí, y sólo sí,
∣ x1−x
∣< 1
es decir sí, y sólo sí,
∣x∣ < ∣1−x∣
o lo que es lo mismo para
x < 12
y
0 1 x_ _
y= 1 x__ _
y= x_ _
12_
505
Lección 42.- CONVERGENCIA UNIFORME
42.1 Convergencia uniforme
42.2 Continuidad de las series uniformemente convergentes
42.3 Derivadas e integrales de las series potenciales
42.1 Convergencia uniforme
Al objeto de ser aplicadas a las series potenciales, que son las que nos interesan, vamos a estudiar unas
propiedades generales de las series funcionales. Conviene tener presente que, en general, el campo de
convergencia de una serie funcional cualquiera no es, necesariamente, un intervalo.
Ejemplo 1. La serie funcional:∞∞∞
∑n=0
sen nx sólo converge en los puntos
0 , ±πππ , ±2πππ ,. . . . . . . . .Consideremos la serie funcional
fff 0(x)+ fff 1(x)+ fff 2(x)+ . . . . . . . . . + fff n(x)+ . . . . . . . . .
y supongamos para fijar las ideas, que su campo de convergencia es el intervalo I =] a , b [ . Para cada
x ∈ I, y si llamamos
Sn = fff 0(x)+ fff 1(x)+ fff 2(x)+ . . . . . . . . . + fff n(x)
fff (x) = lımn→∞∞∞
Sn
se verifica que:
∀∀∀ εεε > 0 ∃∃∃ n0(εεε , x) ∣ (n > n0 Ô⇒ ∣Sn− fff (x)∣ < εεε)
El número n0 depende, tal como hemos puesto de manifiesto al escribir n0(εεε , x) no solamente de εεε sino
también de x, puesto que para cada valor de x se tiene una serie numérica distinta, y la aproximación a
fff (x), por la suma Sn (para n > n0) se obtendrá en cada caso con distinto número de términos. Presenta,
por tanto un interés especial el caso en que se verifique que para cada εεε > 0 se obtiene la aproximación:
∣Sn(x)− fff (x)∣ < εεε
desde una suma parcial, Sn(x), en adelante y eso
para todos los puntos del intervalo ] a , b [ a
la vez, es decir que se verifique que por del-
gada que sea la “banda plana” comprendida en-
tre y = fff (x)−εεε , e y = fff (x)+εεε , las gráficas
y = Sn(x) quedan dentro de ella, para n suficien-
temente grande, tal como nos muestra la siguiente
figura:
0
y
aI
b x
y = f (x)+ε
εy = f (x)
y = f (x) ε_
ε
y = S (x)n
507
Las consideraciones anteriores permiten establecer el siguiente concepto:
Diremos que la serie∞∞∞
∑n=0
fff n(x) es uniformemente convergente, o que su convergencia es uniforme,
en el conjunto I, si para todo εεε > 0 existe un número natural n0(εεε) (que depende de εεε pero no de x) tal
que para todo x ∈ I
n > n0(εεε) Ô⇒ ∣Sn(x)− fff (x)∣ < εεε
Evidentemente la convergencia uniforme implica la convergencia para cada x de I. Sin embargo, una
serie puede ser convergente en cada punto de I sin serlo uniformemente.
Ejemplo 2. Consideremos la serie
1− 1x+1
+( 1x+1
− 12 ⋅x+1
)+ . . . . . . . . . +( 1(n−1) ⋅x+1
− 1n ⋅x+1
)+ . . . . . . . . .
Veamos que en el intervalo I = [ 12
, 1 ] la serie es uniformemente convergente.
En efecto: Se verifica que
Sn(x) = 1− 1n ⋅x+1
= n ⋅xn ⋅n+1
,
luego
S(x) = lımn→∞∞∞
Sn(x) = lımn→∞∞∞
n ⋅xn ⋅x+1
= 1 , si x ≠ 0 .
Entonces, si x ≠ 0
Sn(x)−S(x) = n ⋅xn ⋅x+1
−1 = −1n ⋅x+1
y la condición
∣Sn(x)−S(x)∣ < εεε
es para valores:12⩽ x ⩽ 1 :
1n ⋅x+1
< εεε
desigualdad que resuelta respecto a n da:
n > 1−εεε
x ⋅εεε
cuyo segundo miembro, fijado el εεε , toma el valor máximo para x = 12
. Por tanto, para todo
n ⩾ 2 ⋅ 1−εεε
εεε
cualquiera que sea: x ∈ [ 12
, 1] se verifica la condición n > 1−εεε
x ⋅εεε .
Sin embargo, en el intervalo J =] 0 , 1] la serie no es uniformemente convergente.
En efecto: dado un εεε > 0, el segundo miembro de
n > 1−εεε
x ⋅εεε
508
no alcanza un valor máximo, y no es posible, por tanto, independizar de x el valor de n a partir del cual se
verifica dicha condición.
Ejemplo 3. Consideremos la serie
x+(x−1) ⋅x+(x−1) ⋅x2+ . . . . . . . . . +(x−1) ⋅xn−1+ . . . . . . . . .
ya estudiada en un ejemplo, en la lección anterior, en lo que se refiere a su campo de convergencia, que era el
intervalo −1 < x ⩽ 1.
En el intervalo −1 < x < 1 se verifica que
S(x) = lımn→∞∞∞
Sn(x) = lımn→∞∞∞
xn = 0 ,
luego
∣Sn(x)−S(x)∣ = ∣xn∣ < εεε
de donde
n ⋅Log ∣x∣ < Log εεε
y como Log ∣x∣ es negativo
n > Log εεε
Log ∣x∣que expresa la dependencia de εεε y de x del valor n0 a partir del cual se verifica la condición
∣Sn(x)−S(x)∣ < εεε
Significa esto que la serie no es uniformemente convergente en su intervalo de convergencia.
Sin embargo, la serie dada es uniformemente convergente en el intervalo 0 < x ⩽ 12
, pues en la condición
n > Log εεε
Log ∣x∣
se puede, fijado el εεε , acotar superiormente el segundo miembro, que toma su valor máximo para x = 12
.
42.2 Continuidad de las series uniformemente convergentes
Una de las razones de la importancia de la convergencia uniforme aparece en que, de alguna manera una
serie uniformemente convergente se comporta en muchos aspectos como la suma de un número finito de
funciones. En este sentido conviene destacar el resultado siguiente.
PROPOSICIÓN 1. La suma fff (x) de una serie,∞∞∞
∑n=0
fff n(x) , uniformemente convergente de funcio-
nes continuas en el conjunto I, es una función continua en I.
En efecto: Si llamamos Sn(x) a la suma parcial de rango n, y Rn(x) a su resto, entonces por ser la serie
uniformemente convergente, se verifica que, para todo εεε > 0 existe un número natural n0(εεε) tal que para
todo x ∈ I
n > n0 Ô⇒ ∣Rn(x)∣ < εεε
3.
509
Fijado de esta manera un n, por ser Sn(x) una función continua en I, para cada punto x ∈ I podemos elegir
un δδδ > 0 tal que
∀∀∀ x1 ∈ I ∣ ∣x1−x∣ < δδδ Ô⇒ ∣Sn(x1)−Sn(x)∣ < εεε
3.
En consecuencia
∣ fff (x1)− fff (x)∣= ∣Sn(x1)−Rn(x1)−Sn(x)−Rn(x)∣ ⩽⩽ ∣Sn(x1)−Sn(x)∣+ ∣Rn(x1)−Rn(x)∣ < εεε
3+ εεε
3+ εεε
3= εεε
lo que prueba la continuidad de fff (x) en I.
¡¡Atención!! La propiedad anterior establece que, en una serie de funciones continuas, la convergencia
uniforme es una condición suficiente para la continuidad de la suma. Sin embargo, la convergencia
uniforme no es una condición necesaria para la continuidad de la dicha suma.
Ejemplo 1. Consideremos la serie de funciones continuas en todo el eje real:
x1+x2 +( 2 ⋅x
1+4 ⋅x2 − 11+x2 )+ . . . . . . . . . +( n ⋅x
1+n2 ⋅x2 − (n−1) ⋅x1+(n−1)2 ⋅x2 )+ . . . . . . . . .
Para calcular su suma, fff (x), hacemos
Sn(x) = n ⋅x1+n2 ⋅x2
de donde
fff (x) = lımn→∞∞∞
Sn (x) = 0
para todo x ∈R. Así la función suma es una función continua.
Sin embargo, la serie no es uniformemente convergente, puesto que
Rn(x) = fff (x)−Sn(x) = −n ⋅x1+n2 ⋅x2 ,
de donde
Rn(1n
) =−n ⋅ 1
n
1+n2 ⋅ 1n2
= − 12
Un criterio sencillo para poder afirmar la convergencia uniforme es el siguiente, conocido como el cri-
terio de la serie mayorante y también como CRITERIO DE WEIERSTRASS.
PROPOSICIÓN 2. Si para todo x ∈ I los términos de la serie∞∞∞
∑n=0
fff n(x) se conservan menores, en
valor absoluto, que los de una serie numérica de términos positivos convergente,∞∞∞
∑n=0
an , la serie
dada es uniformemente convergente en I.
En efecto: Fijado un εεε > 0, existe un n0 ∈N tal que
(∀∀∀υυυ > n0) aυυυ +aυυυ+1+aυυυ+2+ . . . . . . . . . < εεε
510
luego
∣ fff υυυ(x)+ fff υυυ+1(x)+ . . . . . . . . . ∣ ⩽ ∣ fff υυυ(x)∣+ ∣ fff υυυ+1(x)∣+ . . . . . . . . . ⩽ aυυυ +aυυυ+1+ . . . . . . . . . < εεε
para todo x ∈ I.
Ejemplo 2. En todo intervalo I = [a , b] es uniformemente convergente la serie
sen x21 + sen 2x
22 + . . . . . . . . . + sen nx2n + . . . . . . . . .
ya que sus términos se conservan menores, en valor absoluto, que los de la serie numérica de términos positivos
convergente121 + 1
22 + . . . . . . . . . + 12n + . . . . . . . . .
puesto que: ∣sen nx∣ ⩽ 1, cualquiera que sea el valor de x.
¡¡Atención!! El hecho de que el CRITERIO DE WEIERSTRASS nos de a la vez convergencia absoluta
y uniforme, pudiera hacernos creer que ambas propiedades están ligadas. Sin embargo, no es cierto,
puesto que la convergencia absoluta y la convergencia uniforme son independientes.
Ejemplo 3. La serie∞∞∞
∑n=0
xn es absolutamente convergente en el intervalo ] −1 , 1 [ . Sin embargo, la convergencia
no es uniforme en dicho intervalo pues cualquiera que sea n, el resto
Rn(x) = xn
1−x
tiende a∞∞∞, para x→ 1.
Ejemplo 4. La serie∞∞∞
∑n=0
(−1)n+1
n+x2 no es absolutamente convergente para ningún x real, puesto que considerada la
serie de sus valores absolutos, por aplicación del CRITERIO DE PRINGSHEIM, para ααα = 1, resulta
lımn→∞∞∞
nn+x2 = 1 ≠ 0 ,
para todo x real. Sin embargo, la serie es uniformemente convergente en todo el eje real, pues por la acotación del
resto en las series alternadas se tiene
Rn(x) < 1n+x2 ⩽ 1
n
El criterio de la serie mayormente permite establecer muy fácilmente la siguiente propiedad.
PROPOSICIÓN 3. Toda serie potencial, de radio de convergencia no nulo, converge uniformemen-
te en todo intervalo interior al intervalo de convergencia de dicha serie.
En efecto: Dada la serie potencial∞∞∞
∑n=0
an ⋅xn , de radio de convergencia R ≠ 0, y absolutamente convergente
en ] −R , R [ si suponemos
∣x∣ ⩽ρρρ < R ,
511
la serie dada converge uniformemente en todo el intervalo de centro el origen y radio ρρρ , puesto que sus
términos se conservan menores, en valor absoluto, que los de la serie numérica de términos positivos
convergente:∞∞∞
∑n=0
∣an∣ ⋅ρρρn
Ejemplo 5. La serie∞∞∞
∑n=0
xn , cuyo radio de convergencia es R = 1 , es uniformemente convergente en todo intervalo
con centro en el origen, y de radio ρρρ < 1 , es decir en
∣x∣ ⩽ρρρ < 1 .
Como consecuencia de la anterior proposición, y por ser continuos los términos que componen una serie
potencial, se puede afirmar que:
La función fff (x) =∞∞∞
∑n=0
an ⋅xn definida por una serie potencial es continua en todo punto
interior a su campo de convergencia.
El que toda serie potencial, de radio de convergencia no nulo converja unifórmemente en todo intervalo
interior al intervalo de convergencia de dicha serie es un caso particular de una propiedad más amplia el
llamado TEOREMA DE ABEL que estableceremos más adelante. Con esa orientación establezcamos
la siguiente propiedad, conocida también como el LEMA DE ABEL:
PROPOSICIÓN 4. Si las sumas parciales sucesivas de una serie de términos reales,∞∞∞
∑n=0
un , están
acotadas entre los números fijos m y M, y los términos de esta serie se multiplican por los números
positivos y decrecientes: a0 ⩾ a0 ⩾ a1 ⩾ a2 ⩾ . . . . . . . . . , se verifica para todo valor de n:
a0 ⋅m ⩽ a0 ⋅u0+a1 ⋅u1+ . . . . . . . . . +an ⋅un ⩽ a0 ⋅M .
En efecto: Consideremos las sucesivas sumas parciales
U0 = u0 , U1 = u0+u1 , U2 = u0+u1+u2 ,. . . . . . . . . , Un = u0+u1+u2+ . . . . . . . . . +un
Mediante ellas se pueden expresar los términos de la serie∞∞∞
∑n=0
un dada,
u0 = U0 , u1 = U1−U0 , u2 = U2−U1 ,. . . . . . . . . , un = Un−Un−1
La suma que se quiere acotar se puede escribir
a0 ⋅u0+a1 ⋅u1+ . . . . . . . . . +an ⋅un = a0 ⋅U0+a1 ⋅(U1−U0)+ . . . . . . . . . +an ⋅(Un−Un−1) == (a0−a1) ⋅U0+(a1−a2) ⋅U1+ . . . . . . . . . +(an−1−an) ⋅Un−1+an ⋅Un
512
Como los coeficientes de las Ui , en el último miembro de la igualdad anterior son positivos, esa suma se
puede mayorar sustituyendo cada Ui por su cota superior M, y se puede minorar sustituyendo cada Ui por
su cota inferior m, con lo que resulta que estará comprendida entre los números
(a0−a1) ⋅m+(a1−a2) ⋅m+ . . . . . . . . . +(an−1−an) ⋅m+an ⋅m = a0 ⋅m
y
(ao−a1) ⋅M+(a1−a2) ⋅M+ . . . . . . . . . +(an−1−an) ⋅M+an ⋅M = a0 ⋅M
que es lo que queríamos establecer.
Del resultado anterior resultan dos criterios importantes:
CRITERIO DE ABEL: Si la serie de términos reales∞∞∞
∑n=0
un es convergente y la sucesión numérica
(an)n∈N es monótona acotada, entonces también es convergente la serie∞∞∞
∑n=0
an ⋅un.
En efecto: Consideremos las tres posibilidades siguientes,
1ª.- La sucesión (an)n∈N es positiva o nula y decreciente.
En este caso, como la suma de cualquier número de términos de∞∞∞
∑n=0
un , a partir de un cierto lugar n0 , es
en valor absoluto menor que εεε , es decir, está comprendida entre −εεε y +εεε , se tiene
−an0 ⋅εεε < an0 ⋅un0 +an0+1 ⋅un0+1+ . . . . . . . . . +aq ⋅uq < an0 ⋅εεε
Así tenemos que el valor absoluto de esta suma es menor que: an0 ⋅εεε < a0 ⋅εεε , y como a0 es un número
fijo, por aplicación del criterio de Cauchy, resulta la convergencia de la serie∞∞∞
∑n=0
an ⋅un.
2º.- La sucesión (an)n∈N es creciente.
Por ser acotada se verifique para todo n ∈N , an < k siendo k una cota superior. Se determina entonces
bn en el forma
an = k−bn ,
resultando la sucesión positiva y decreciente (bn)n∈N.
En consecuencia la serie∞∞∞
∑n=0
an ⋅un = k ⋅ααα
∑n=0
un−∞∞∞
∑n=0
bn ⋅un
es convergente, como diferencia de dos series convergentes.
3º.- La sucesión (an)n∈N es decreciente pudiendo tomar valores negativos.
En este caso, la sucesión opuesta, (−an)n∈N , es creciente y acotada, siéndole aplicable la conclusión 2ª.-
luego es convergente la serie∞∞∞
∑n=0
an ⋅un.
513
CRITERIO DE DIRICHLET. Si las sumas parciales de la serie∞∞∞
∑n=0
un (sea o no convergente)
están acotadas y la sucesión monótona (an)n∈N tiende a 0, entonces converge la serie∞∞∞
∑n=0
an ⋅un .
En efecto: Si la sucesión (an)n∈N es decreciente, entonces no contiene ningún término negativo puesto
que su límite es cero. Se puede aplicar, por tanto, el LEMA DE ABEL que nos permite escribir
ap ⋅m < ap ⋅up+ap+1 ⋅up+1+ . . . . . . . . . +ap ⋅uq < aq ⋅M
y como ap se conserva menor que cualquier número positivo a partir de un índice dado, resulta convergente
la serie∞∞∞
∑n=0
an ⋅un .
Si por el contrario la sucesión (an)n∈N es creciente entonces no contiene ningún término positivo puesto
que su límite es cero, luego la sucesión (−an)n∈N es de términos positivos y decreciente de límite cero.
Aplicando a ésta el razonamiento anterior, resulta convergente la serie∞∞∞
∑n=0
(−an) ⋅un = −∞∞∞
∑n=0
an ⋅un.
Estamos ya en condiciones de establecer el teorema anunciado.
TEOREMA DE ABEL. Si la serie potencial∞∞∞
∑n=0
an ⋅xn converge en un punto x0, entonces converge
uniformemente en todo el intervalo [ 0 , x0 ] .
En efecto: Los términos an ⋅xn se deducen de los términos de la serie convergente∞∞∞
∑n=0
an ⋅x0 , multipli-
cándolos por la sucesión de números reales positivos
1 > ( xx0
) > ( xx0
)2> ( x
x0)
3> . . . . . . . . .
todos ellos menores que 1, cualquiera que sea el punto x, interior al intervalo [ 0 , x0 ] .
Estamos, por tanto, en las condiciones del CRITERIO DE ABEL, y en particular, de las tres posibilidades
que analizamos en su demostración, en la 1ª.- , es decir el resto de nuestra serie∞∞∞
∑n=0
an ⋅xn es, en valor
absoluto menor que εεε a partir de un cierto n0(εεε) en adelante.
Como n0 no depende de x, la convergencia de nuestra serie es uniforme [ 0 , x0 ] .
42.3 Derivadas e integrales de las series potenciales
PROPOSICIÓN 1. La función continua dada por una serie potencial
fff (x) =∞∞∞
∑n=0
an ⋅xn
es derivable en todo punto interior a su campo de convergencia y la función derivada se obtiene
derivando término a término la serie dada, es decir
fff ′(x) = a1+2 ⋅a2 ⋅x+3 ⋅a3 ⋅x2+ . . . . . . . . . +n ⋅an ⋅xn−1
+ . . . . . . . . .
514
En efecto: En primer lugar se verifica que
fff (x) = a0+a1 ⋅x+a2 ⋅x2+ . . . . . . . . . +an ⋅xn+ . . . . . . . . .
y la serie formada por las derivadas de sus términos
g(x) = a1+2 ⋅a2 ⋅x+3 ⋅a3 ⋅x2+ . . . . . . . . . +n ⋅an ⋅xn−1+ . . . . . . . . .
tienen el mismo radio de convergencia. La razón está en que por ser
lımn→∞∞∞
n√n = 1 ,
se cumple
R = lımn→∞∞∞
n√
n ⋅ ∣an∣ = lımn→∞∞∞
[ n√n ⋅ n√
∣an∣] = lımn→∞∞∞
n√an
Significa lo anterior que la serie obtenida al derivar los términos de la serie dada, fff (x), queda definida una
función ggg(x) con el mismo campo de convergencia, salvo eventualmente sus extremos. Sin embargo esto
no permite asegurar que ggg(x) sea la derivada de fff (x).
Comprobemos que sí se verifica que ggg(x) es la derivada de fff (x): Si x es un punto interior al campo de
convergencia y h es un número tal que x+h es también un punto interior a ese campo entonces las dos
series
fff (x)= a0+a1 ⋅x+a2 ⋅x2+ . . . . . . . . . +an ⋅xn+ . . . . . . . . .fff (x+h)= a0+a1 ⋅(x+h)+a2 ⋅(x+h)2+ . . . . . . . . . +an ⋅(x+h)n+ . . . . . . . . .
son absolutamente convergentes; así, restando término a término y dividiendo por h, se deduce la serie
convergente
fff (x+h)− fff (x)h
= a1+a2 ⋅(2 ⋅x+h)+a3 ⋅(3 ⋅x2+3 ⋅x ⋅h+h3)+ . . . . . . . . . =
= a1+2 ⋅a2+3 ⋅a3 ⋅x2+4 ⋅a4 ⋅x3+ . . . . . .´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
ggg(x)
+a2 ⋅h+a3 ⋅(3 ⋅x ⋅h+h2)+ . . . . . .´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
ϕϕϕ(x)
Ahora bien, ggg(x) es convergente, y ggg(x)+ϕϕϕ(x) también lo es, luego ϕϕϕ(x) es una serie convergente.
Si hacemos
ϕϕϕ(x) = h ⋅(a2+a3 ⋅(3 ⋅x+h)+a4 ⋅(6 ⋅x2+4 ⋅x ⋅h+h2)+ . . . . . . . . .)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
ψψψ(x , h)
se tienefff (x+h)− fff (x)
h= ggg(x)+h ⋅ψψψ(x , h)
Veamos que ψψψ , que depende de x y de h, se conserva inferior a un número fijo.
Sustituyendo las an , x y h por sus valores absolutos, como la serie dada converge absolutamente así como
la fff (∣x∣+ ∣h∣) , por ser: ∣x∣+ ∣h∣ , un punto interior al campo de convergencia, resultan convergentes todas
515
las series del cálculo anterior, y en particular la ψψψ (∣x∣ , ∣h∣) función que decrece con ∣h∣ , y está por tanto
acotada. Al ser
∣ψψψ(x , h)∣ ⩽ψψψ(∣x∣ , ∣h∣) < k
tomando límites, para h→ 0 , en la igualdad
fff (x+h)− fff (x)h
= ggg(x)+h ⋅ψψψ(x , h) ,
resulta
fff ′(x) = lımn→∞∞∞
fff (x+h)− fff (x)h
= ggg(x)
Ejemplo 1. Consideremos la función fff (x) dada por la serie potencial
fff (x) = 1+x+x2+ . . . . . . . . . +xn+ . . . . . . . . .
La función derivada será
fff ′(x) = 1+2 ⋅x+ . . . . . . . . . +n ⋅xn−1+ . . . . . . . . .
El radio de convergencia de ambas series es R = 1.
Consecuencia inmediata de la proposición anterior es la siguiente:
Una función primitiva (integral) de una serie potencial se puede obtener aumentando en
una unidad el exponente de cada término y dividiendo por el nuevo exponente.
Como consecuencia de esa misma proposición podemos determinar las derivadas sucesivas de la función
dada por una serie potencial,
fff (x) = a0+a1 ⋅x+a2 ⋅x2+ . . . . . . . . . +an ⋅xn
+ . . . . . . . . .
siempre dentro de su campo de convergencia. Así:
fff ′(x) = a1+2 ⋅a2 ⋅x+ . . . . . . . . . +n ⋅an ⋅xn−1+ . . . . . . . . . . . . . . .
fff ′′(x) = 2 ⋅a2+ . . . . . . . . . +n ⋅(n−1) ⋅an ⋅xn−2+ . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
fff n (x)= n! ⋅an+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2. Sumar la serie
ggg(x) = 1+2 ⋅x+3 ⋅x2+ . . . . . . . . . +n ⋅xn−1+ . . . . . . . . .
Observemos que se trata de la primera derivada de la función
11−x
= 1+x+x2+x3+ . . . . . . . . . +xn+ . . . . . . . . . ,
luego
ggg(x) = ddx
( 11−x
) = 1(1−x)2
516
Lección 43.- DESARROLLOS EN SERIE DE POTENCIAS
43.1 Desarrollos en serie de potencias
43.1 Desarrollos en serie de potencias
Desarrollar una función en serie de potencias es obtener una serie potencial cuyos valores coincidan,
en todos los puntos de su campo de convergencia, con los valores que toma la función dada en cada uno
de ellos.
Dada una función fff (x) que admite un desarrollo en serie de potencias en un cierto intervalo
fff (x) = a0+a1 ⋅x+a2 ⋅x2+ . . . . . . . . . +anxn
+ . . . . . . . . . , x ∈ I
sabemos que es derivable en él, y que sus derivadas se obtienen derivando término a término el corres-
pondiente desarrollo. Haciendo, en cada una de esas sucesivas derivadas, x = 0 resulta:
fff (0) = a0 , fff ′(0) = 1! ⋅a1 , fff ′′(0) = 2! ⋅a2 ,. . . . . . . . . , fff n(0) = n! ⋅an ,. . . . . . . . .
luego los distintos coeficientes del desarrollo de fff (x) se pueden escribir así:
a0 = fff (0) , a1 =fff ′(0)
1!, a2 =
fff ′′(0)2!
,. . . . . . . . . , an =fff n (0)
n!,. . . . . . . . .
En consecuencia si fff (x) se puede desarrollar en serie de potencias, su desarrollo es único y viene dado
por la fórmula.
fff (x) = fff (0)+fff ′(0)
1!⋅x+
fff ′′(0)2!
⋅x2+ . . . . . . . . . +
fff n (0)n!
⋅xn+ . . . . . . . . .
a la que se conoce como DESARROLLO EN SERIE DE MAC-LAURIN, y también como la FOR-
MULA DE MAC-LAURIN.
Permite esto enunciar el llamado PRINCIPIO DE IDENTIDAD DE LAS SERIES:
PROPOSICIÓN 1. Si dos funciones desarrollables en serie de potencias toman idénticos valores
en todos los puntos de un entorno cualquiera del origen, entonces los dos desarrollos en serie son
idénticos, es decir tienen iguales los coeficientes de las mismas potencias de x.
En efecto: En el entorno en cuestión constituyen una única función, y al ser iguales todas sus derivadas en
el punto x = 0, el desarrollo es único.
517
La propiedad anterior simplifica la cuestión de desarrollar en serie, puesto que la reduce a estudiar si el
desarrollo de Mac-Laurin es legítimo o no.
En el supuesto de que la función fff (x) admita en el punto x = 0, infinitas derivadas finitas, la fórmula de
Mac-Laurin expresa que
fff (x) = fff (0)+fff ′(0)
1!⋅x+
fff ′′(0)2!
⋅x2+ . . . . . . . . . +
fff n (0)n!
⋅xn+Tn(x)
siendo T(x) el término complementario.
Así, si llamamos Sn(x) a la suma de los n+1 primeros términos del desarrollo en serie de Mac-Laurin,
siempre será cierta la igualdad
fff (x) = Sn(x)+Tn(x) ,
y el problema que cabe plantearse es: ¿Cuando coincidirá fff (x) con la serie indefinida?, o lo que es lo
mismo: ¿Cuando se verificará que fff (x) = lımn→∞∞∞
Sn(x) ? La respuesta es fácil, ya que dicha condición
equivale a la siguiente:
lımn→∞∞∞
Tn(x) = 0 .
Así, podemos afirmar que: El desarrollo en serie indefinida de Mac-Laurin, de una función fff (x), es
legítimo para todo valor de x tal que, sustituido en el término complementario Tn(x), verifique la
condición: lımn→∞∞∞
Tn(x) = 0.
¡¡Atención!! Observemos que esta condición conlleva la convergencia de la serie de Mac-Laurin,
puesto que Sn(x) tiene como límite fff (x), que es finita. Ahora bien, la convergencia de dicha serie, por
sí sola, no implica que Tn(x) tienda a cero. Así, puede suceder que la serie sea convergente, es decir
que Sn(x) tenga un límite S(x), pero que este límite no coincide con fff (x), en cuyo caso la función no
es desarrollable en serie.
Ejemplo 1. Consideremos la función definida en todo el eje real
fff (x) =⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
e−1
x2 si x ≠ 0
0 si x = 0
cuyas derivadas sucesivas son todas nulas en el origen.
El desarrollo de Mac-Laurin sería, en este caso,
0+0 ⋅x+0 ⋅x2+ . . . . . . . . . +0 ⋅xn+ . . . . . . . . .
que resulta ser convergente para todo valor de x ∈R , pero que, sin embrago, no coincide con la función en ningún
intervalo por pequeño que éste sea, puesto que la función sólo se anula para x = 0.
La razón de este resultado es la siguiente: El valor del término complementario Tn(x) coincide con el valor de fff (x),
no importando lo que se avance en el desarrollo, y al prescindir de él resulta una igualdad absurda.
518
Ejemplo 2. Consideremos la función definida en todo el eje real, excepto en el punto x = −1:
fff = x1+x
.
Vamos a desarrollar esta función en serie de potencias en el intervalo ] −1 , 1 [ . Para ello, calculamos las derivadas
sucesivas, que particularizaremos en el punto x = 0.
Así resultafff (x) = x
1+x, fff (0) = 0
fff ′(x) 1(1+x)2 , fff ′(0) = 1
fff ′′(x) −2(1+x)3 , fff ′′(0) = −2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
fff (x) n (−1)n+1 ⋅n!(1+x)n+1 , fff n (0) = (−1)n+1 ⋅n!
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La fórmula de Mac-Laurin permite escribir el desarrollo que nos interesa
fff (x) = x−x2+x3− . . . . . . . . . +(−1)n+1 ⋅xn+Tn(x)
siendo, en este caso, el término complementario
Tn(x) = xn+1
(1+θθθ ⋅x)n+2 , con θθθ ∈ ] 0 , 1 [
El radio de convergencia de la serie obtenida es
R = 1
Para x = 1 , la serie es oscilante, y para x = −1 , la serie es divergente; luego el campo de convergencia es el intervalo
] −1 , 1 [.Aunque en este caso salta a la vista que el desarrollo en serie indefinida de Mac-Laurin de la función fff (x) dada es
legítimo en su campo de convergencia, comprobémoslo viendo que: lımn→∞∞∞
Tn(x) = 0 . En efecto,
lımn→∞∞∞
Tn(x) = lımn→∞∞∞
xn+1
(1+θθθ ⋅x)n+2 = lımn→∞∞∞
( x1+θθθ ⋅x )
n+2⋅ 1
x= 0
para x ∈ ] −1 , 1 [ . La serie es por tanto legítima en su campo de convergencia.
¡¡Atención!! Llegados a este punto tal vez convenga reflexionar a cerca de lo que significa desarrollar
una función fff (x) en serie de potencias de x. En este sentido los dos ejemplos siguientes son muy
oportunos.
Ejemplo 3. Consideremos la función: fff (x) = 11+x
. Su desarrollo en serie de potencias de x es el siguiente
11+x
= 1−x+x2−x3+ . . . . . . . . . +(−1)n ⋅xn+ . . . . . . . . .
519
siendo su campo de convergencia el intervalo I =] −1 , 1 [ , puesto que para valores de x mayores 1 en valor
absoluto, es decir ∣x∣ > 1 , el segundo miembro carece de valor numérico, puesto que la serie no es convergente,
mientras que el primer miembro toma valores bien determinados; para x = −1 ambos miembros carecen de valor
numérico, y para x = 1 , el primer miembro vale12
, mientras que la serie es oscilante.
-3 -2 -1
-1
1
f(x)
0
12_
-12_
campo de dfinición de f(x)= R 1_*
campo de definiciónde la serie =] 1 , 1 [_
x
El desarrollo en serie sólo sirve, por tanto, para representar un trozo del arco que define la función dada (hipérbola).
Ejemplo 4. Consideremos la función fff (x) = 11+x2 . Su desarrollo en serie de potencias de x es el siguiente:
11+x2 = 1−x2+x4−x6+x8− . . . . . . . . .
que tiene, como en el ejemplo anterior, el intervalo I =] −1 , 1 [ como campo de convergencia, careciendo el
segundo miembro de valor numérico fuera del mismo, mientras que el primer miembro es una función continua en
todo el campo real sin excepciones.
Tal como hemos visto la fórmula de Mac-Laurin per-
mite obtener el desarrollo en serie de potencias de x de
una función dada.
Si lo que nos interesase es desarrollar la función fff (x) ,
pero en serie de potencias de x−a , entonces tendríamos
que aplicar la FÓRMULA DE TAYLOR
fff (x) = fff (a)+ fff ′(a)1!
⋅(x−a)+ fff ′′(a)2!
⋅(x−2)2+ . . . + fff n (a)n!
⋅(x−a)n+Tn(x)
-1 1
f(x)
0
campo de definiciónde la serie =] 1 , 1 [_
x
campo de dfinición de f(x)= R
12_
1
520
la cual permite deducir, en forma análoga a como se ha desarrollado una función en serie de potencias aplicando la
fórmula de Mac-Laurin, el siguiente desarrollo de la función fff (x):
fff (x) = fff (a)+ fff ′(a)1!
⋅(x−a)+ fff ′′(a)2!
⋅(x−a)2+ . . . . . . . . . + fff n (a)n!
⋅(x−a)n+Tn(x)+ . . . . . . . . .
La validez de tal desarrollo queda limitado al conjunto de valores que cumplan la condición
lımn→∞∞∞
Tn(x) = 0 ,
que expresa la anulación del límite del término complementario de la fórmula de Taylor.
Ejemplo 5. Desarrollar la función: fff (x) = ex en serie de potencias de x−2.
Se verifica que
fff (x) = ex , fff (2) = e2
fff ′(x) = ex , fff ′(2) = e2
fff ′′(x) = ex , fff ′′(2) = e2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
fff n (x) = ex , fff n (2) = e2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aplicando la FÓRMULA DE TAYLOR resulta:
ex = e2+ e2
1!⋅(x−2)+ e2
2!⋅(x−2)!+ . . . . . . . . .
Esta serie es absolutamente convergente para todo valor de x, como es fácil comprobar, y el término complementario
es
Tn(x) = eξξξ
(n+1)!⋅(x−2)n+1 ,
que tiene límite 0, para n→∞∞∞, puesto que eξξξ se conserva acotado entre e2 y ex , y(x−2)n+1
(n+1)!tiende a 0.
El desarrollo obtenido para ex es, por tanto, válido para todo valor de x.
Cuando la función viene dada como cociente de dos polinomios
fff (x) =ppp(x)qqq(x)
el desarrollo en serie de potencias puede obtenerse por el MÉTODO DE LA DIVISIÓN según potencias
crecientes.
Así, si
Cn = c0+c1 ⋅x+ . . . . . . . . . +cn ⋅xn
es el cociente hasta la potencia n-ésima de x, y rn(x) el resto, se puede escribir
fff (x) =p(x)q(x)
= cn(x)+rn(x)q(x)
,
521
y pasando al límite, para n→∞∞∞, se tiene
fff (x) = lımn→∞∞∞
cn(x)+ lımn→∞∞∞
rn(x)q(x)
Para los valores de x que cumplan la condición
lımn→∞∞∞
rn(x)q(x)
= 0
el desarrollo de la función considerada será
fff (x) = c0+c1 ⋅x+c2 ⋅x2+ . . . . . . . . . +cn ⋅xn
+ . . . . . . . . .
Este método puede tener aplicación en el caso de funciones que se presentan en forma de cociente de
otras dos, aunque no sean polinomios.
Ejemplo 6. Desarrollar la función: fff (x) = 11−2 ⋅x+x2 en serie de potencias x.
Dividiendo según las potencias crecientes de x resulta
11−2 ⋅x+x2 = 1+2 ⋅x+3 ⋅x2+4 ⋅x3+ . . . . . . . . . +(n+1) ⋅xn+ (n+2) ⋅xn+1−(n+1) ⋅xn+2
1−2 ⋅x+x2
Para valores ∣x∣ < 1 se tiene que
lımn→∞∞∞
(n+2) ⋅xn+1−(n+1) ⋅xn+2
1−2 ⋅x+x2 = 0 ,
luego en el intervalo I =] −1 , 1 [ es válido el desarrollo
11−2 ⋅x+x2 = 1+2 ⋅x+3 ⋅x2+4 ⋅x3+ . . . . . . . . . +(n+1) ⋅xn+ . . . . . . . . .
En ocasiones puede ser interesante utilizar el llamado MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDE-
TERMINADOS, que consiste en calcular los coeficientes del desarrollo por recurrencia en relaciones
obtenidas al someter la serie, con coeficientes indeterminados, a condiciones que caractericen la función
dada. Como siempre, una vez obtenida la serie, hay que estudiar su convergencia.
Ejemplo 7. Desarrollar la función: fff (x) = ex en serie de potencias de x.
Sea
a0+a1 ⋅x+a2 ⋅x2+ . . . . . . . . . +an ⋅xn+ . . . . . . . . .
el desarrollo buscado. Tomando logaritmos, en fff (x) = ex , y derivando resulta
fff ′(x)fff (x) = 1 Ô⇒ fff ′(x) = fff (x) ,
condición a la que ha de satisfacer dicha función. Sustituyendo la serie y su derivada en esa condición, se tiene
a0+a1 ⋅x+a2 ⋅x2+ . . . . . . . . . +an ⋅xn+ . . . . . . . . . = a1+2 ⋅a2 ⋅x+ . . . . . . . . . +n ⋅xn−1+ . . . . . . . . .
522
e identificando coeficientes, se encuentran las relaciones que permiten calcular, por recurrencia, los coeficientes
indeterminadosa1 = a0 ,
2 ⋅a2 = a1 , a2 =a02!
3 ⋅a3 = a2 , a3 =a23
= a03!
. . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n ⋅an = an−1 , an =an−1
n= a0
n!. . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . .
en consecuencia, el desarrollo será
a0+a0 ⋅x+a02!
⋅x2+ a03!
⋅x3+ . . . . . . . . . + a0n!
⋅xn+ . . . . . . . . .
cuya convergencia, para todo x ∈R , es fácil comprobar.
El único coeficiente indeterminado es el a0, que se determina observando que para x = 0 la función es e0 = 1 ; luego
a0 = 1.
Así, en definitiva el desarrollo de ex resulta ser
ex = 1+ x1!+ x2
2!+ x3
3!+ . . . . . . . . . + xn
n!+ . . . . . . . . .
Digamos, por último, que si es conocido el desarrollo en serie de la derivada de una función, es decir
fff ′(x) = fff ′(0)+fff ′′(0)
1!⋅x+
fff ′′′(0)2!
⋅x2+ . . . . . . . . .
con validez en un cierto intervalo I, entonces el desarrollo de fff (x) se obtiene añadiendo fff (0) al resultado
de integrar término a término el desarrollo de fff ′(x) , siendo válido este resultado en el mismo
intervalo I.
Ejemplo 8. Desarrollar la función: fff (x) = Log (1+x) en serie de potencias de x.
La derivada fff ′(x) = 11+x
tiene el siguiente desarrollo en serie, que se puede obtener por división
11+x
= 1−x+x2−x3+x4− . . . . . . . . .
válido para valores ∣x∣ < 1.
Procedemos como hemos indicado antes, es decir sumamos fff (0) = Log 1 = 0 , al resultado de integrar término a
término el desarrollo de1
1+x, con lo que se obtiene
Log (1+x) = x− x2
2+ x3
3− x4
4+ . . . . . . . . .
válido así mismo en el intervalo I, y aún mas en el extremo x = 1.
¡¡Atención!! El resultado final del ejemplo anterior no es contradictorio con lo que en su momento
dijimos a cerca del campo de definición de una serie y su serie derivada, pues lo que establecimos es
que ambas series tienen el mismo radio de convergencia.
523
Lección 44.- SUMACIÓN DE SERIES DEL TIPO:∞∞∞
∑n=0
P(n) ⋅an ⋅xn
44.1 Sumación de series del tipo:∞∞∞
∑n=0
P(n) ⋅an ⋅xn
44.1 Sumación de series del tipo:∞∞∞∑n=0
P(n) ⋅an ⋅xn
Consideremos una serie de la forma∞∞∞
∑n=0
P(n) ⋅an ⋅xn , siendo P(n) un polinomio en la variable n, y an
una expresión función de n.
Vamos a ver como, si sabemos sumar la serie∞∞∞
∑n=0
an ⋅xn, es posible sumar fácilmente la serie dada.
En primer lugar observemos que todo polinomio P(n) puede ponerse en la forma
P(n) = b0+b1 ⋅n+b2 ⋅n ⋅(n−1)+b3 ⋅n ⋅(n−1) ⋅(n−2)+ . . . . . . . . .
Ejemplo 1.- Dado el polinomio P(n) = n3−1 se puede escribir
n3−1= b0+b1 ⋅n+b2 ⋅n ⋅(n−1)+b3 ⋅n ⋅(n−1) ⋅(n−2) == b0+(b1−b2+2 ⋅b3) ⋅n+(b2−3 ⋅b3) ⋅n2+b3 ⋅n3
e igualando el primero y último miembro resulta
b0 = −1
b1−b2+2 ⋅b3 = 0
b2−3 ⋅b3 = 0
b3 = 1
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒
b0 = −1
b1 = 1
b2 = 3
b3 = 1
es decir
n3−1 = −1+1 ⋅n+3 ⋅n ⋅(n−1)+1 ⋅n ⋅(n−1) ⋅(n−2)
Observemos que la serie dada puede ponerse en la forma:
∞∞∞
∑n=0
P(n) ⋅an ⋅xn=∞∞∞
∑n=0
[b0+b1 ⋅n+b2 ⋅n ⋅(n−1)+b3 ⋅n ⋅(n−1) ⋅(n−2)+ . . . . . . ] ⋅an ⋅xn=
=∞∞∞
∑n=0
b0 ⋅an ⋅xn+∞∞∞
∑n=0
b1 ⋅n ⋅an ⋅xn+∞∞∞
∑n=0
b2 ⋅n ⋅(n−1) ⋅a0 ⋅xn+
+∞∞∞
∑n=0
b3 ⋅n ⋅(n−1) ⋅(n−2) ⋅an ⋅xn+ . . . . . . . . . =
= b0 ⋅∞∞∞
∑n=0
an ⋅xn+b1 ⋅x ⋅
∞∞∞
∑n=1
an ⋅n ⋅xn−1+b2 ⋅x2
⋅∞∞∞
∑n=2
an ⋅n ⋅(n−1) ⋅xn−2+
+b3 ⋅x3 ⋅∞∞∞
∑n=3
an ⋅n ⋅(n−1) ⋅(n−2) ⋅xn−2+ . . . . . . . . .
525
Ahora bien, si hacemos
F(x) =∞∞∞
∑n=0
an ⋅xn
se tiene que
F′(x) =∞∞∞
∑n=1
an ⋅n ⋅xn−1
F′′(x) =∞∞∞
∑n=2
an ⋅n ⋅(n−1)n−2
F′′′(x) =∞∞∞
∑n=3
an ⋅n ⋅(n−1) ⋅(n−2) ⋅x3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
luego, en definitiva
∞∞∞
∑n=0
P(n) ⋅an ⋅xn= b0 ⋅F(x)+b1 ⋅x ⋅F′(x)+b2 ⋅x2
⋅F′′(x)+b3 ⋅x3⋅F′′′(x)+ . . . . . . . . .
Evidentemente los valores de x que cabe considerar son los que corresponden al campo de convergencia
de la serie∞∞∞
∑n=0
an ⋅xn, y el procedimiento funciona si sabemos sumar dicha serie.
Ejemplo 2.- Determinar la suma de la serie
∞∞∞
∑n=0
n3−1n!
⋅xn
En este caso es
P(n) = n3−1 , an =1n!
Como
P(n) = −1+n+3 ⋅n ⋅(n−1)+n ⋅(n−1) ⋅(n−2)
y
F(x) =∞∞∞
∑n=0
xn
n!= ex
F′(x) = ex
F′′(x) = ex
F′′′(x) = ex
resulta∞∞∞
∑n=0
n3−1n!
⋅xn = −ex+x ⋅ex+3 ⋅x2ex+x3 ⋅ex
Si en particular hacemos x = 1, se tiene∞∞∞
∑n=0
n3−1n!
= 4 ⋅e
526
¡¡Atención!! Conviene observar que las series que estamos considerando comprenden como caso par-
ticular a las del tipo∞∞∞
∑n=0
P(x)n!
⋅an cuya suma estudiamos en la Lección 38.
Ejemplo 3.- Determinar la suma de la serie
∞∞∞
∑n=3
3 ⋅n2−6 ⋅n+2n!
⋅an
Preparamos la resolución haciendo
P(n) = 3 ⋅n2−6 ⋅n+2 = b0+b1 ⋅n+b2 ⋅n ⋅(n−1)
b0 = 2
b1−b2 = −6
b2 = 3
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒b0 = 2
b1 = −3
b2 = 3
es decir
3 ⋅n2−6 ⋅n+2 = 2−3 ⋅n+3 ⋅n ⋅(n−1)
Además∞∞∞
∑n=3
3 ⋅n2−6 ⋅n+2n!
⋅x = [∞∞∞
∑n=0
3 ⋅n2−6 ⋅n+2n!
⋅xn]−2+x−x2
Hacemos ahora
F(x) =∞∞∞
∑n=0
xn
n!= ex
F′(x) = ex
F′′(x) = ex
En consecuencia∞∞∞
∑n=0
3 ⋅n2−6 ⋅n+2n!
⋅xn = 2 ⋅ex−3 ⋅x ⋅ex+3 ⋅x2ex
luego∞∞∞
∑n=3
3 ⋅n2−6 ⋅n+2n!
⋅xn = 2 ⋅ex−3 ⋅x ⋅ex+3 ⋅x2ex−2+x−x2
Haciendo x = a, resulta
∞∞∞
∑n=3
3 ⋅n2−6 ⋅n+2n!
⋅an = 2 ⋅ea−3 ⋅a ⋅ea+3 ⋅a2ea−2+a−a2
Si hacemos a = 1, se tiene∞∞∞
∑n=3
3 ⋅n2−6 ⋅n+2n!
⋅xn = 2 ⋅e−2
527
Lección 45.- PRODUCTOS INFINITOS
45.1 Productos infinitos
45.1 Productos infinitos
Consideremos la sucesión de números reales no nulos
1+a1 , 1+a2 , 1+a3 , . . . . . . . . . , 1+an ,. . . . . . . . . . . .
de la que deducimos otra sucesión
P1 , P2 , P3 ,. . . . . . . . . , Pn ,. . . . . . . . .
siendo
P1 = 1+a1 , P2 = (1+a1) ⋅(1+a2) , P3 = (1+a1) ⋅(1+a2) ⋅(1+a3) ,. . . . . . . . .
El algoritmo seguido para obtener la sucesión (Pi)i∈N recibe el nombre de producto infinito, del que los
números 1+a1 , 1+a2 ,. . . . . . . . . se llaman sus factores, y los números P1 , P2 , . . . . . . . . . productos
parciales, o reducidas.
El producto infinito se representará en cualquiera de los dos formas siguientes:
(1+a1) ⋅(1+a2) ⋅(1+a3). . . . . . . . . ,∞∞∞
∏n=1
(1+an)
Diremos que el producto infinito es convergente cuando la sucesión (Pi)i∈N tiende al límite finito no
nulo P, número éste que se toma como valor del producto. En el caso en que la sucesión tienda a cero
o infinito, diremos que el producto es, respectivamente, divergente a cero o divergente a infinito, y
cuando la sucesión carezca de límite se dirá que el producto es oscilante, y también indeterminado.
¡¡Atención!! Observamos en lo que sigue, que el algoritmo de los productos infinitos se desarrolla
en forma análoga al que hicimos de las series, siendo sus objetivos: 1.- Reconocer si el producto es
convergente, divergente u oscilante, y 2.- En el caso de ser convergente, calcular su valor.
Si el producto∞∞∞
∏n=1
(1+an) es convergente, de valor P, dado que
1+an =Pn
Pn−1,
al pasar al límite tendremos
lımn→∞∞∞
(1+an) =PP = 1 ,
529
luego, para que el producto infinito sea convergente es condición necesaria, aunque no suficiente,
que su término general tienda a 1, lo cual exige que:
lımn→∞∞∞
an = 0 .
Ejemplo 1. El siguiente producto infinito
∞∞∞
∏n=1
≡ (1+ 11
) ⋅(1+ 12
) ⋅ . . . . . . . . . ⋅(1+ 1n
) . . . . . . . . .
es tal que, su término general tiende, evidentemente, a 1 y sin embargo su reducida, Pn , tiende a infinito:
lımn→∞∞∞
Pn = lımn→∞∞∞
(1+ 11
) ⋅(1+ 12
) ⋅ . . . . . . ⋅(1+ 1n
) = lımn→∞∞∞
( 21⋅ 3
2⋅ 4
3⋅ . . . . . . ⋅ n+1
n) = lım
n→∞∞∞(n+1) =∞∞∞
Observemos que los productos infinitos con infinitos factores negativos no son convergentes, por no
cumplir la condición necesaria para la convergencia, por lo que los rechazaremos en nuestro estudio,
suponiendo siempre que todos los factores son positivos; en el caso de haber algunos negativos, prescin-
diremos de ellos.
Veamos ahora como están relacionados el producto infinito
∞∞∞
∏n=1
(1+an) = (1+a1) ⋅(1+a2) ⋅ . . . . . . . . . ⋅(1+an) ⋅ . . . . . . . . .
y la serie∞∞∞
∑n=1
Log (1+an) =Log (1+a1)+ . . . . . . . . . +Log (1+an)+ . . . . . . . . .
Si designamos por: S1 , S2 ,. . . . . . . . . , Sn ,. . . . . . . . . las sumas parciales de la serie se verificará:
Sn =Log Pn Ô⇒ Pn = eSn
y pasando al límite, para n→∞∞∞ , tendremos que:
1º.- Si la serie es convergente, de suma S, el producto es convergente, y su valor es eS.
2º.- Si la serie es divergente (tendiendo a +∞∞∞ , o −∞∞∞) el producto es divergente (divergente a
infinito o a cero).
3º.- Si la serie es oscilante, también lo es el producto.
Productos de factores mayores que uno.
Si los factores del producto∞∞∞
∏n=1
(1+an) son mayores que uno, los términos de la serie∞∞∞
∑n=1
Log (1+an)
530
son positivos, por ser logaritmos de números mayores que uno.
Supuesto se cumple la condición necesaria, enunciada antes, tendremos que
lımn→∞∞∞
an = 0 Ô⇒ Log (1+an) < > an ,
en cuyo caso las series∞∞∞
∑n=1
Log (1+an) ,∞∞∞
∑n=1
an
son de igual carácter. Luego, podemos afirmar que: Si los números a1 , a2 ,. . . . . . . . . , an ,. . . . . . . . .
son positivos, el producto infinito∞∞∞
∏n=1
(1+an) es de igual carácter que la serie∞∞∞
∑n=1
an.
Ejemplo 2. El producto infinito
(1+ tg2 a) ⋅(1+ tg2 a2
) ⋅(1+ tg2 a3
) ⋅ . . . . . . . . . ⋅(1+ tg2 an
) ⋅ . . . . . . . . .
es convergente, puesto que la serie
tg2 a+ tg2 a2+ tg2 a
3+ . . . . . . . . . + tg2 a
n+ . . . . . . . . .
es convergente.
Ejemplo 3. El producto infinito∞∞∞
∏n=1
(1+ 1n
) es divergente, puesto que la serie armónica∞∞∞
∑n=0
1n
es divergente.
En el supuesto de que los factores del producto infinito sean todos menores que uno , las series∞∞∞
∑n=0
Log (1+an) y∞∞∞
∑n=0
an son de términos negativos en el caso de divergencia los productos
divergen a cero.
Ejemplo 4. Estudiar el producto infinito∞∞∞
∏n=2
n3−1n3+1
.
Observamos que todos sus factores son menores que uno.
Por otra parte, se verifica quen3−1n3+1
= 1+( n3−1n3+1
−1) = 1− 2n3+1
luego el producto dado es convergente, por serlo la serie∞∞∞
∑n=0
2n3+1
Productos de factores mayores y menores que uno.
Consideremos, ahora, el caso en el que, en el producto, hay infinitos factores mayores que uno e infinitos
factores menores que uno. Diremos, entonces, que el producto infinito
(1+a1) ⋅(1+a2) ⋅ . . . . . . . . . ⋅(1+an) ⋅ . . . . . . . . .
converge absolutamente si converge el producto
(1+ ∣a1∣) ⋅(1+ ∣a2∣) ⋅ . . . . . . . . . ⋅(1+ ∣an∣) ⋅ . . . . . . . . .
531
Las definiciones de convergencia o divergencia condicional son análogas a las de las series.
Al igual que cuando tratamos las series de términos positivos y negativos, se estudian estos productos
considerando los dos productos, denominados producto mayor y producto menor, siendo el primero
el constituido por los factores mayores que uno y el segundo el que considera los menores que uno.
En forma análoga a como se establecieron los resultados correspondientes a las series incondicional-
mente convergentes y divergentes, y condicionalmente convergentes se demuestran las siguientes
propiedades:
1.- Si los productos mayor y menor son convergentes, el producto dado converge incondicional-
mente.
2.- Si el producto mayor es convergente y el menor divergente, o viceversa, el producto dado
diverge incondicionalmente.
3.- Si los productos mayor y menor divergen, y si el término general tiende a uno, el producto
converge o diverge condicionalmente.Mediante ordenación conveniente de sus factores puede lograrse que resulte convergente
de valor dado, divergente hacia cero, divergente hacia infinito u oscilante.
4.- Todo producto infinito incondicionalmente convergente es absolutamente convergente, y re-
cíprocamente.
PROPOSICIÓN 1. Si la serie∞∞∞
∑n=0
a2n es convergente, el producto
∞∞∞
∏n=1
(1+an) y la serie∞∞∞
∑n=0
an con-
vergen o divergen al mismo tiempo.
En efecto: Consideremos, en primer lugar, el límite
lımn→∞∞∞
an−Log (1+an)a2
n= 1
2
del que deducimos que las series de términos positivos
∞∞∞
∑n=0
[an−Log (1+an)] y∞∞∞
∑n=0
a2n
convergen o divergen al mismo tiempo, por tener sus términos asintóticamente proporcionales.
En consecuencia, las raíces
∞∞∞
∑n=0
an y∞∞∞
∑n=0
Log (1+an)
son del mismo carácter, y la segunda será de igual carácter que el producto
∞∞∞
∏n=1
(1+an)
532
PROPOSICIÓN 2. Si∞∞∞
∑n=0
an es divergente y∞∞∞
∑n=0
a2n es convergente, el producto
∞∞∞
∏n=1
(1+an) es diver-
gente a cero.
En efecto: De lo anterior se deduce que∞∞∞
∑n=0
Log (1+an) tiende a −∞∞∞, y el producto∞∞∞
∏n=1
(1+an) diverge
a cero.
Ejemplo 5. El producto
(1+1) ⋅(1− 12
) ⋅(1+ 13
) ⋅(1− 14
) ⋅ . . . . . . . . .
es convergente condicionalmente.
Ejemplo 6. El producto
(1+1) ⋅(1− 1√2
) ⋅(1+ 1√3
) ⋅(1− 1√4
) ⋅ . . . . . . . . .
es divergente a cero.
El cálculo de productos infinitos se corresponde, de alguna manera, con la sumación de series, ya estu-
diada. Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 7. Calcular el producto infinito∞∞∞
∏n=2
n3−1n3+1
.
Su convergencia quedó, ya, establecida en el Ejemplo 4. Por otra parte, podemos escribir
an =(n−1) ⋅(n2+n+1)(n+1) ⋅(n2−n+1)
Así resulta que
Pn =1 ⋅73 ⋅3 ⋅ 2 ⋅13
4 ⋅7 ⋅ 3 ⋅215 ⋅13
⋅ . . . . . . . . . ⋅ (n−2) ⋅(n2−n+1)n ⋅(n2−3 ⋅n+3)
⋅ (n−1) ⋅(n2+n+1)(n+1) ⋅(n2−n+1)
= 2 ⋅(n2−n+1)3 ⋅n ⋅(n+1)
con lo que, al pasar al límite tendremos
P = lımn→∞∞∞
2 ⋅(n2−n+1)3 ⋅n ⋅(n+1) = 2
3
Ejemplo 8. Calcular el producto infinito
(1+x) ⋅(1+x2) ⋅(1+x4) ⋅ . . . . . . . . . ⋅(1+x2n) ⋅ . . . . . . . . .
dentro de su campo de convergencia.
1.- Para ∣x∣ > 1, el producto diverge a infinito
2.- Para ∣x∣ < 1, el producto es absolutamente convergente
3.- Para x = 1 el producto diverge a infinito
4.- Para x = −1, el producto tiene un factor nulo.
533
Si consideramos el caso 2.- , tenemos que
1+x2n= 1−x2n+1
1−x2n ,
Pn =1−x2
1−x⋅ 1−x4
1−x2 ⋅ 1−x8
1−x4 ⋅ . . . . . . . . . ⋅ 1−x2n
1−x2n−1 = 1−x2n
1−x.
Luego
P = 11−x
∣x∣ < 1 .
534
CAPÍTULO VI
Series de Fourier
Lección 46.- SERIES DE FOURIER
46.1 Series de Fourier
46.1 Series de Fourier
La función
fff (x) =a0
2+∞∞∞
∑n=1
(an ⋅cos nx+bn ⋅ sen nx)
recibe el nombre de serie trigonométrica, y los números constantes
a0 , an , bn (n = 1 , 2 ,. . . . . . . . . )
el de coeficientes de la tal serie.
La convergencia de la serie implica que fff (x) es una función periódica, de período 2πππ , ya que tanto
sen nx como cos nx son funciones periódicas de período 2πππ; lo que permite escribir
fff (x) = fff (x+2πππ) .
El problema que nos planteamos, ahora, es el de ver si siendo fff (x) una función, de periodo 2πππ , es posible
determinar una serie trigonométrica que converge hacia la función dada fff (x).
Supongamos, en principio, que la función fff (x), de período 2πππ , es tal que admite una representación
como serie trigonométrica, que converja hacia la función dada en el intervalo (−πππ , πππ), es decir, se
pueda expresar en la forma
fff (x) =a0
2+∞∞∞
∑n=1
(an ⋅cos nx+bn ⋅ sen nx)
y que la integral, de fff (x), sea igual a la suma de las integrales de los términos de la serie; lo que
se verificará si suponemos, además, que la serie trigonométrica converge absolutamente, es decir, si
converge la siguiente serie numérica positiva:
∣a0
2∣+ ∣a1∣+ ∣b1∣+ ∣a2∣+ ∣b2∣+ . . . . . . . . . + ∣an∣+ ∣bn∣+ . . . . . . . . .
En este supuesto la serie trigonométrica dada es mayorable, y en consecuencia podemos integrarla tér-
mino a término, en el intervalo (−πππ , πππ).
Así tendremos
∫
πππ
−πππ
fff (x) dx = ∫πππ
−πππ
a0
2dx+
∞∞∞
∑n=1
(∫
πππ
−πππ
an ⋅cos nx dx+∫πππ
−πππ
bn ⋅ sen nx dx)
537
Calculando cada integral del segundo miembro obtenemos
∫
πππ
−πππ
a0
2dx =πππ ⋅a0
∫
πππ
−πππ
an ⋅cos nx dx = an ⋅∫πππ
−πππ
cos nx dx = [an ⋅ sen nx
n]
πππ
−πππ
= 0
∫
πππ
−πππ
bn ⋅ sen nx dx = bn ⋅∫πππ
−πππ
sen nx dx = [bn ⋅cos nx
n]
πππ
−πππ
= 0
Luego, la igualdad
∫
πππ
−πππ
fff (x) dx =πππ ⋅a0
nos permite determinar el primer coeficiente de la serie trigonométrica
a0 =1πππ⋅∫
πππ
−πππ
fff (x) dx .
Para calcular los demás coeficientes de la serie procederemos como sigue:
Si n y k son números enteros se verifican las siguientes igualdades:
1.- Si n ≠ k :⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
∫
πππ
−πππ
cos nx ⋅cos kx dx = 0
∫
πππ
−πππ
cos nx ⋅ sen kx dx = 0
∫
πππ
−πππ
sen nx ⋅ sen kx dx = 0
2.- Si n = k :⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
∫
πππ
−πππ
cos2 kx dx =πππ
∫
πππ
−πππ
sen kx ⋅cos kx dx = 0
∫
πππ
−πππ
sen2 kx dx =πππ
Para determinar el coeficiente ak , siendo k ≠ 0, multiplicaremos ambos miembros de la igualdad
fff (x) =a0
2+∞∞∞
∑n=1
(an ⋅cos nx+bn ⋅ sen nx)
por cos kx, con lo que obtendremos
fff (x) ⋅cos kx =a0
2⋅cos kx+
∞∞∞
∑n=1
(an ⋅cos nx ⋅cos kx+bn ⋅cos nx ⋅cos kx) .
Dado que la serie del segundo miembro es mayorable, puesto que sus términos no superan en valor
absoluto a los términos de la anterior serie convergente positiva
∣a0
2∣+ ∣a1∣+ ∣b1∣+ ∣a2∣+ ∣b2∣+ . . . . . . . . . + ∣an∣+ ∣bn∣+ . . . . . . . . .
538
podemos integrarla término a término en cualquier intervalo. Si lo hacemos entre los límites −πππ y πππ ,
tendremos
∫
πππ
−πππ
fff (x) ⋅cos kx dx =a0
2⋅∫
−πππ
πππ
cos kx dx+
+∞∞∞
∑n=1
(an ⋅∫πππ
−πππ
cos nx ⋅cos kx dx+bn ⋅∫πππ
−πππ
sen nx ⋅ sen kx dx) .
Las igualdades establecidas antes, nos permiten afirmar que todas las integrales del segundo miembro se
anulan, excepto la integral de coeficiente ak. Luego:
∫
πππ
−πππ
fff (x) cos kx dx = ak ⋅∫πππ
−πππ
cos2 kx dx = ak ⋅πππ
de donde resulta:
ak =1πππ⋅∫
πππ
−πππ
fff (x) ⋅cos kx dx .
Si en lugar de haber multiplicado, antes, por cos kx, lo hubiéramos hecho por sen kx, y procediendo en
forma análoga, el resultado sería el siguiente:
∫
πππ
−πππ
fff (x) ⋅ sen kx dx = bk ⋅∫πππ
−πππ
sen2 kx dx = bk ⋅πππ
siendo el resultado
bk =1πππ⋅∫
πππ
−πππ
fff (x) ⋅ sen kx dx .
Los coeficientes, a0, ak y bk, así determinados reciben el nombre de coeficientes de Fourier de la
función fff (x), y a la serie formada con tales coeficientes se le llama serie de Fourier de la función fff (x).
Nuestro interés se centra, ahora, en determinar las propiedades que ha de poseer la función fff (x) para
que su serie de Fourier converja, así como para que la suma de la serie de Fourier formada de los mismos
valores que la función en cada uno de los puntos de su campo de definición.
Antes de formular la proposición que establece las condiciones suficientes para representar la función
fff (x), por la serie de Fourier, conviene que recordemos la siguiente definición:
De una función, fff (x), diremos que es monótona a tramos en un intervalo [a , b], si se puede
dividir éste, mediante los puntos
x1 , x2 , . . . . . . . . . , xn−1
en un número finito de intervalos
(a , x1) , (x1 , x2) , . . . , (xn−1 , xn−1) ,
de manera que la función sea monótona en
cada uno de esos intervalos.
y=f(x)
f(c-0)
y=f(x)
f(c+0)
0
y
xc
539
De la definición se desprende que si la función es monótona a tramos y acotada, en el intervalo
[a , b] , entonces sólo puede tener puntos de discontinuidad de primera especie, como se muestra
en la figura.
La siguiente proposición que simplemente enunciamos nos muestra que la clase de funciones que pueden
ser representadas, por las series de Fourier, es bastante amplia.
PROPOSICIÓN 1. Si fff (x) es una función periódica, de periodo 2πππ , monótona a tramos y acotada
en el intervalo (−πππ , πππ), entonces, la correspondiente serie de Fourier, converge en todos los puntos.
La suma de la serie obtenida coincide con el valor de la función en todos los puntos de continuidad
de ésta; mientras que en los puntos de discontinuidad, de la función, la suma de la serie es igual a
la media aritmética de los límites de dicha función a la derecha a la izquierda.
Así, si x = c es punto de discontinuidad de fff (x) tendremos
S(x)x=c =fff (c−0)+ fff (c+0)
2
Los siguientes ejemplos tratan de aclarar las posibles dudas que pudieran plantearemos en cuanto a como
ejecutar lo establecido en el planteamiento que hemos hecho.
Ejemplo 1. Consideremos la función fff (x), periódica de periodo 2πππ , definida del modo siguiente:
fff (x) = x , −πππ < x ⩽πππ
0
y
x4π_
3π_
2π_
π_
2π
3π
4π
π
Por tratarse de una función monótona a tramos y acotada, admite el desarrollo en serie de Fourier.
Aplicando las fórmulas establecidas tenemos:
a0 =1πππ⋅∫
πππ
−πππ
x dx = 1πππ⋅[ x2
2]
πππ
−πππ
= 0
ak =1πππ⋅∫
πππ
−πππ
x ⋅cos kx dx = 1πππ⋅([x ⋅ sen kx
k]
πππ
−πππ
+ 1k⋅∫
πππ
−πππ
sen kx dx) = 0
bk =1k⋅∫
πππ
−πππ
x ⋅ sen kx dx = 1πππ⋅(−[ cos kx
k]
πππ
−πππ
+ 1k⋅∫
πππ
−πππ
cos kx dx) = (−1)k+1 ⋅ 2k
540
Así, la serie será
fff (x) = 2 ⋅( sen x1
− sen 2x2
+ sen 3x3
− . . . . . . . . . (−1)k+1 ⋅ sen kxk
+ . . . . . .)
La igualdad se verificará para todos los puntos, excepto en los de discontinuidad, en los que la suma de la serie es
igual a la media aritmética de los límites de la función a la derecha y a la izquierda, es decir, es cero.
Ejemplo 2. Consideremos la función fff (x), periódica de periodo 2πππ , definida del modo siguiente:
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
fff (x) = −x (−πππ ⩽ x ⩽ 0)
fff (x) = x (0 < x ⩽πππ)
0
y
x4π_
3π_
2π_
π_
2π 3π 4ππ
Se trata, por tanto, de la función fff (x) = ∣x∣ monótona a tramos y acotada en el intervalo −πππ ⩽ x ⩽πππ .
Aplicando las fórmulas establecidas tenemos:
a0 =1πππ⋅∫
πππ
−πππ
fff (x) dx = 1πππ⋅(∫
0
−πππ
(−x) dx+∫πππ
0x dx) =πππ
ak =1k⋅(∫
0
−πππ
(−x) ⋅cos kx dx+∫πππ
0x ⋅cos kx dx) =
= 1πππ⋅(−[ x ⋅ sen kx
k]
0
−πππ
+ 1k⋅∫
0
−πππ
sen kx dx+[ x ⋅ sen kxk
]πππ
0− 1
k⋅∫
πππ
0sen kx dx) =
= 1πππ ⋅k ⋅(−[ cos kx
k]
0
−πππ
+[ cos kxk
]πππ
0) =
= 2πππ ⋅k2 ⋅(cos kπππ −1) =
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
0 , k es par
− 4n ⋅k2 , k es impar
bk =1πππ⋅(∫
0
−πππ
(−x) ⋅ sen kx dx+∫πππ
0x ⋅ sen kx dx) = 0
Así, la serie será
fff (x) = πππ
2− 4
πππ⋅( cos x
12 + cos 3x32 + cos 5x
52 + . . . . . . . . . cos (2 ⋅p+1)x(2 ⋅p+1)2 + . . . . . . . . .)
La serie obtenida converge en todos los puntos y su suma es igual a la función dada.
541
Ejemplo 3. Consideremos la función fff (x), periódica de periodo 2πππ , definida del modo siguiente:
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
fff (x) = −1 (−πππ < x < 0)
fff (x) = 1 (0 ⩽ x ⩽πππ)
0
y
x3π_
2π_ π
_2π 3ππ
1
1_
Se trata, por tanto de una función monótona a tramos y acotada en el intervalo −πππ ⩽ x ⩽πππ .
Aplicando las fórmulas establecidas tenemos:
a0 =1πππ⋅∫
πππ
−πππ
fff (x) dx = 1πππ
(∫0
−πππ
(−1) dx+∫πππ
0dx) = 0
ak =1πππ⋅(∫
0
−πππ
(−1) ⋅cos kx dx+∫πππ
0cos kx dx) = −[ sen kx
k]
0
−πππ
+[ sen kxk
]0
πππ
= 0
bk =1πππ⋅(∫
0
−πππ
(−1) ⋅ sen kx dx+∫πππ
0sen kx dx) = 1
πππ⋅([ cos kx
k]
0
−πππ
−[ cos kxk
]πππ
0) =
= 2n ⋅k ⋅(−cos kπππ) =
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
0 , k es par
4k ⋅πππ , k es impar
Así, la serie será
fff (x) = 4πππ⋅( sen x
1+ sen 3x
3+ sen 5x
5+ . . . . . . . . . + sen(2 ⋅p+1)x
2 ⋅p+1+ . . . . . . . . .)
La igualdad se verificará para todos los puntos, excepto en los de discontinuidad, en los que la suma de la serie será
cero.
Ejemplo 4. Consideremos la función fff (x), periódica de periodo 2πππ , definida del modo siguiente:
fff (x) = x2 , (−πππ ⩽ x ⩽πππ)
0
y
x3π_
2π_ π
_2π 3ππ4π
_4π
Se trata, por tanto, de una función monótona a tramos y acotada en el intervalo −πππ ⩽ x ⩽πππ .
Aplicando las fórmulas establecidas tenemos
a0 =1πππ⋅∫
πππ
−πππ
x2 dx = [ 1πππ⋅ x3
3]
πππ
−πππ
= 2 ⋅πππ2
3
542
ak =1πππ⋅∫
πππ
−πππ
x2 cos kx dx = 1πππ⋅⎛⎝[ x2 ⋅ sen kx
k]
πππ
−πππ
− 2k⋅∫
πππ
−πππ
x ⋅ sen kx dx⎞⎠=
= − 2k ⋅πππ ⋅(−[ x ⋅cos kx
k]
πππ
−πππ
+ 1k⋅∫
πππ
−πππ
cos kx dx) =
= 4πππ ⋅k2 ⋅(πππ ⋅cos kπππ) =
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
4k2 , k es par
− 2k2 , k es impar
bk =1πππ⋅∫
πππ
−πππ
x2 ⋅ sen kx dx = 1πππ⋅⎛⎝−[ x2 ⋅cos kx
k]
πππ
−πππ
+ 2k⋅∫
πππ
−πππ
x ⋅cos kx dx⎞⎠=
= 2k ⋅πππ ⋅([ x ⋅ sen kx
k]
πππ
−πππ
− 1k⋅∫
πππ
−πππ
sen kx dx) = 0
Así la serie será
fff (x) = πππ2
3−4 ⋅( cos x
1− cos 2x
22 + cos 3x32 − . . . . . . . . .)
La serie obtenida converge en todos los puntos y su suma es igual a la función dada.
Ejemplo 5. Consideremos la función fff (x), periódica de periodo 2πππ , definida del modo siguiente:
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
fff (x) = 0 (−πππ ⩽ x ⩽ 0)
fff (x) = x (0 < x ⩽πππ)
0
y
x3π_
2π_ π
_2π 3ππ 4π
π
Aplicando las fórmulas establecidas tenemos:
a0 =1πππ⋅∫
πππ
−πππ
fff (x) dx = 1πππ⋅(∫
0
−πππ
0 dx+∫πππ
0x dx) = 1
πππ⋅ πππ
2
2= πππ
2
ak =1πππ⋅∫
πππ
0x ⋅cos kx dx = 1
πππ⋅([ x ⋅ sen kx
k]
πππ
0− 1
k⋅∫
πππ
0sen kx dx) =
= [ 1k ⋅πππ ⋅ cos kx
k]
πππ
0=
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
− 2πππ ⋅k2 , k es impar
0 , k es par
bk =1πππ⋅∫
πππ
0x ⋅ sen kx dx = 1
πππ⋅(−[ x ⋅cos kx
k]
πππ
0+ 1
k⋅∫
πππ
0cos kx dx) =
= πππ
πππ ⋅k ⋅cos kπππ =
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
1k
, k es impar
− 1k
, k es par
543
Así, la serie será
fff (x) = πππ
4− 2
πππ⋅( cos x
12 + cos 3x32 + cos 5x
52 + . . . . . .)+( sen x1
− sen 2x2
+ sen 3x3
− . . . . . .)
En los puntos de discontinuidad de la función, la suma de la serie es igual a la media aritmética de los límites de la
función a la derecha y a la izquierda; en nuestro caso valeπππ
2.
544
Lección 47.- FUNCIONES PARES E IMPARES
47.1 Funciones pares e impares
47.1 Funciones pares e impares
Vamos a ver que cuando la función dada, fff (x), es par o impar, las fórmulas establecidas en la lección
anterior permiten simplificar los cálculos de los coeficientes de Fourier. Evidentemente no toda función
periódica es necesariamente par o impar.
Si suponemos que la función, fff (x), es par tenemos
∫
πππ
−πππ
fff (x) dx= ∫0
−πππ
fff (x) dx+∫πππ
0fff (x) dx = ∫
πππ
0fff (−x) dx+∫
πππ
0fff (x) dx =
= ∫
πππ
0fff (x) dx+∫
πππ
0fff (x) dx = 2 ⋅∫
πππ
0fff (x) dx
puesto que la definición de función par supone: fff (−x) = fff (x)
Si suponemos que la función, fff (x), es impar, procediendo en forma análoga podemos escribir
∫
πππ
−πππ
fff (x)dx = ∫πππ
0fff (−x) dx+∫
πππ
0fff (x) dx = −∫
πππ
0fff (x) dx+∫
πππ
0fff (x) dx = 0
Además, si la función, fff (x), es impar, el producto
fff (x) ⋅cos kx
es también una función impar, y
fff (x) ⋅ sen kx
es una función par; en consecuencia
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
a0 =1πππ⋅∫
πππ
−πππ
fff (x) dx = 0
ak =1πππ⋅∫
πππ
−πππ
fff (x) ⋅cos kx dx = 0
bk =1πππ⋅∫
πππ
−πππ
fff (x) ⋅ sen kx dx =2πππ⋅∫
πππ
−πππ
fff (x) ⋅ sen kx dx
es decir, la serie de Fourier de una función impar contiene solamente senos.
Por otra parte, si la función, fff (x), es par, el producto
fff (x) ⋅ sen kx
es una función impar, y
fff (x) ⋅cos kx
545
es una función par; en consecuencia
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
a0 =2πππ⋅∫
πππ
0fff (x) dx
ak =2πππ⋅∫
πππ
0fff (x) ⋅cos kx dx
bk =1πππ⋅∫
πππ
−πππ
fff (x) ⋅ sen kx dx = 0
es decir, la serie de Fourier de una función par contiene solamente cosenos.
Ejemplo 1. Volvamos a considerar la función estudiada en el Ejemplo 2 de la lección anterior, es decir la
fff (x) = −x (−πππ < x ⩽ 0) fff (x) = x (0 < x ⩽πππ)
de periodo 2πππ , que es par.
Si calculamos de nuevo los coeficientes de Fourier, aprovechando la paridad de esta función tendremos:
1º.- bk = 0 , cualquiera que sea k.
2º.- a0 =2πππ⋅∫
πππ
0x dx =πππ
ak =2πππ⋅∫
πππ
0x ⋅cos kx dx = 2
πππ⋅[ x ⋅ sen kx
k+ cos kx
k2 ]πππ
0=
= 2πππ ⋅k2 ⋅((−1)k−1) =
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
0 , si k es par
− 4πππ ⋅k2 , si k es impar
Evidentemente el resultado es el mismo que el que obtuvimos en el Ejemplo 2, con los mismos coeficientes pero
más simplificados.
Veamos, ahora,como proceder para desarrollar, en serie de Fournier, una función, fff (x), periódica de
periodo 2 ⋅ `, distinto, en general de 2πππ .
Lo primero que tenemos que hacer es el cambio de variable, según la fórmula
x =`
πππ⋅ t ,
con lo que la función
fff (`
πππ⋅ t)
resultará una función periódica de t, de período 2πππ . Podremos, entonces, desarrollarla en el intervalo:
−πππ ⩽ x ⩽πππ :
fff (`
πππ⋅ t) =
a′02
+∞∞∞
∑k=1
(a′k ⋅cos kt+b′k ⋅ sen kt)
546
siendo:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
a′0 =1πππ⋅∫
πππ
−πππ
fff (`
πππ⋅ t) dt
a′k =1πππ⋅∫
πππ
−πππ
fff (`
πππ⋅ t) ⋅cos kt dt
b′k =1πππ⋅∫
πππ
−πππ
fff (`
πππ⋅ t) ⋅ sen kt dt
Restituyendo, ahora, la anterior variable, x, tendremos
x =`
πππ⋅ t Ô⇒ t = x ⋅
πππ
`, dt =
πππ
`dx .
con lo que resultará⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
a0 =1`⋅∫
`
−`fff (x) dx
ak =1`⋅∫
`
−`fff (x) ⋅cos k
πππ
`x dx
bk =1`⋅∫
`
−`fff (x) ⋅ sen k
πππ
`x dx
obteniendo el desarrollo que nos interesa
fff (x) =a0
2+∞∞∞
∑k=1
(ak ⋅coskπππ
`x+bk ⋅ sen
kπππ
`x) ,
que es la serie de Fourier de una función periódica de periodo 2`.
Ejemplo 2. Consideremos la función fff (x), periódica de período 2`, definida del modo siguiente, en el intervalo
[−` , `] : fff (x) = ∣x∣
0
y
x4_
3_
2_ _
2 3 4
l
llllllll 5 l
Puesto que la función dada es par, tendremos
a0 =2`⋅∫
`
0x dx = `
bk = 0
ak =2`⋅∫
`
0x ⋅cos
kπππx`
dx = 2 ⋅ `πππ2 ⋅∫
πππ
0x ⋅cos kx dx =
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
0 , si k es par
− 4 ⋅ `πππ2 ⋅ `2 , si k es impar
En consecuencia, el desarrollo presenta la forma
fff (x) = `
2− 4 ⋅ `
πππ2 ⋅⎛⎜⎜⎜⎝
cosπππ
`x
1+
cos3πππ
`x
32 + . . . . . . . . . +cos
(2 ⋅p+1)`
x
(2 ⋅p+1)2 + . . . . . . . . .⎞⎟⎟⎟⎠
547
548
CAPÍTULO VII
Fracciones continuas
Lección 48.- FRACCIONES CONTINUAS
48.1 Fracciones continuas
48.1 Fracciones continuas
Dada una sucesión de números reales
a1 , a2 , a3 ,. . . . . . . . . , an ,. . . . . . . . .
se deduce, de ella, otra sucesión:
R1 , R2 , R3 ,. . . . . . . . . , Rn ,. . . . . . . . .
utilizando el siguiente algoritmo:
R1 = a1 ; R2 = a1+1a2
; R3 = a1+1
a2+1a3
;. . . . . . ; Rn = a1+1
a2+1
a3+1⋱⋱+
1an
Al procedimiento de cálculo (algoritmo) seguido para obtener la sucesión: R1 , R2 , R3 ,. . . . . . . . . , Rn ,. . . . . .
le llamaremos fracción continua, y a los números: a1 , a2 , a3 ,. . . . . . . . . , an ,. . . . . . cocientes incom-
pletos. Los números R1 , R2 , R3 ,. . . . . . . . . , Rn ,. . . . . . reciben el nombre de reducidas.
La fracción continua suele, también, representarse en la forma
[a1 , a2 , a3 ,. . . . . . . . . , an ,. . . . . . ]
y las reducidas como
Rn = [a1 , a2 , a3 ,. . . . . . . . . , an] .
Según que la sucesión de números reales dada tenga último término o sea ilimitada, diremos que la
fracción continua es, respectivamente, definida o indefinida. Nuestro interés va a estar en estudiar las
indefinidas, y en particular en las que llamaremos ordinarias, en las que la sucesión de números reales
son números naturales positivos salvo el a1 que puede ser nulo.
Por otra parte, si la sucesión de las reducidas es convergente, divergente u oscilante, diremos, también,
que la fracción continua es, respectivamente convergente, divergente u oscilante.
En el estudio que nos hemos propuesto las reducidas se expresarán mediante fracciones de términos
enteros positivos, designando por Nn y Dn, el numerador y el denominador de la reducida n-ésima, Rn,
con lo que tendremos.
551
R1 =N1
D1=
a1
1; R2 =
N2
D2=
a1 ⋅a2+1a2
; R3 =N3
D3=
a1 ⋅a2 ⋅a3+a1+a3
a2 ⋅a3+1=
a3 ⋅N2+N1
a3 ⋅D2+D1; . . . . . .
La anterior reducía R3 parece sugerirnos una ley de formación de las reducidas, ya que ésta se forma
con los términos de las dos anteriores. Comprobemos esta ley es general, haciéndolo por inducción:
Supondremos que se cumple hasta el orden m−1 y vamos a demostrarla para la reducida m-ésima:
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
Hipótesis
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
Nm−1 = am−1 ⋅Nm−2+Nm−3
Dm−1 = am−1 ⋅Dm−2+Dm−3
Tesis
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
Nm = am ⋅Nm−1+Nm−2
Dm = am ⋅Dm−1+Dm−2
En efecto: Tenemos que
Rm−1 =Nm−1Dm−1
= a1+1
a2+1
a3+⋱⋱⋱⋱+ 1am−1
Rm = NmDm
= a1+1
a2+1
a3+⋱⋱⋱⋱+ 1
am−1+1
am
luego, Rm se formará reemplazando en Rm−1 , am−1 por am−1+1
am; y como por hipótesis es
Rm−1 =am−1 ⋅Nm−2+Nm−3am−1 ⋅Nm−2+Dm−3
tendremos
Rm =(am−1+
1am
) ⋅Nm−2+Nm−3
(am−1+1
am) ⋅Dm−2+Dm−3
= am ⋅(am−1 ⋅Nm−2+Nm−3)+Nm−2am ⋅(am−1 ⋅Dm−2+Dm−3)+Dm−2
y teniendo en cuenta la hipótesis, resultará:
Rm = NmDm
= am ⋅Nm−1+Nm−2am ⋅Dm−1+Dm−2
Ejemplo 1. Las cuatro primeras reducidas y el valor de la fracción continua definida
x = [4 , 2 , 3 , 1 , 2]
son
R1 =41
; R2 =92
; R3 =317
; R4 =409
.
552
Observemos que el cálculo de estas reducidas se ha hecho cho sigue ( reduciendo directamente la fracción continua):
R1 =N1D1
= 41
; R2 =N2D2
= 4 ⋅2+12
= 92
; R3 =N3D3
= 4 ⋅2 ⋅3+4+32 ⋅3+1
= 317
R4 =N4D4
= 4 ⋅2 ⋅3 ⋅1+4 ⋅2+4 ⋅1+3 ⋅1+12 ⋅3 ⋅1+1
= 409
y también, como nos indica la teoría
R1 =N1D1
= a11
= 4 ; R2 =N2D2
= a1 ⋅a2+1a2
= 4 ⋅2+1a2
= 4 ⋅2+12
= 92
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
N1 = 4 , D1 = 1
N2 = 9 , D2 = 2
R3 =N3D3
= a3 ⋅N2+N1a3 ⋅D2+D1
= 3 ⋅9+43 ⋅2+1
= 317
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
N3 = 31
D3 = 7
R4 =N4D4
= a4 ⋅N3+N2a4 ⋅D3+D2
= 1 ⋅31+91 ⋅7+2
= 409
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
N4 = 40
D4 = 9
La quinta reducida sería la siguiente, que por otra parte representa el valor de la fracción continua por tratarse de
una fracción continua definida:
x = R5 =N5D5
= a5 ⋅N4+N3a5 ⋅D4+D3
= 2 ⋅40+312 ⋅9+7
= 11125
¡¡Atención!! Observemos que, por la propia ley de formación que hemos establecido tanto los numera-
dores como los denominadores, de las distintas reducidas, forman sucesiones crecientes.
PROPOSICIÓN 1. El numerador de la diferencia de dos reducidas consecutivas vale +1 ó −1,
según que el orden de la reducida del minuendo sea par o impar.
En efecto: Consideremos la diferencia entre dos reducidas consecutivas:
Rn−1−Rn−2 =Nn−1Dn−1
− Nn−2Dn−2
= Nn−1 ⋅Dn−2−Dn−1 ⋅Nn−2Dn−1 ⋅Dn−2
Rn−Rn−1 = NnDn
− Nn−1Dn−1
= (an ⋅Nn−1 ⋅Nn−2) ⋅Dn−1−(an ⋅Dn−1+Dn−2) ⋅Nn−1Dn ⋅Dn−1
=
= − Nn−1 ⋅Dn−2−Dn−1 ⋅Nn−2Dn ⋅Dn−1
Observemos que en las dos diferencias anteriores sus numeradores son iguales y de signo contrario.
Por otra parte se verifica que: R2−R1 =1a2
; se sigue entonces, del razonamiento anterior, que el nume-
rador de R3−R2 será −1, el de R4−R3 será +1, etc.
PROPOSICIÓN 2. La diferencia Rn−Rn−1, de dos reducidas consecutivas de una fracción conti-
nua, ordinaria e indefinida, tiende a cero cuando n tiende a infinito.
En efecto Se verifica que
Rn−Rn−1 =(−1)2
Dn ⋅Dn−1,
553
verificándose, por otra parte que
D1 = 1 ; D2 = a2 ⩾ 1 ; D3 = a3 ⋅D2+D1 ⩾ 2 ; D4 ⩾ 3 ; D5 ⩾ 4 ;. . . . . . . . . ; Dn ⩾ n−1
Dado que el denominador Dn ⋅Dn−1, tiende a infinito la fracción dada tiende a cero.
PROPOSICIÓN 3. Las reducidas de las fracciones continuas ordinarias son fracciones irreduci-
bles.
En efecto: De lo establecido en la Proposición 1 resulta
Nn ⋅Dn−1−Dn ⋅Nn−1 = +1
En consecuencia, los números Nn y Dn no tienen otro divisor común más que la unidad, pues todo divisor
común a ambos debe dividir el segundo miembro.
Ejemplo 2. Desarrollar en fracción continua la suma de las dos fracciones continuas siguientes:
x = 2+ 1
1+ 1
4+ 1
2+ 1
1+ 12
, y = 1
1+ 1
7+ 1
1+ 1
1+ 12
Los valores de x e y los obtendremos calculando la última reducida de cada una.
Para x = [2 , 1 , 4 , 2 , 1 , 2] tenemos
R1 =N1D1
= 21
; R2 =N2D2
= a1 ⋅a2+1a2
= 2 ⋅1+11
= 31
R3 =N3D3
= a1 ⋅a2 ⋅a3+a1+a3a2 ⋅a3+1
= 2 ⋅1 ⋅4+2+41 ⋅4+1
= 145
R4 =N4D4
= a4 ⋅N3+N2a4 ⋅D3+D2
= 2 ⋅14+32 ⋅5+1
= 3111
R5 =N5D5
= a5 ⋅N4+N3a5 ⋅D4+D3
= 1 ⋅31+141 ⋅11+5
= 4516
x = R6 =N6D6
= a6 ⋅N5+N4a6 ⋅D5+D4
= 2 ⋅45+312 ⋅16+11
= 12143
Para y = [0 , 1 , 7 , 1 , 1 , 2] tenemos
R1 =N1D1
= 01
; R2 =N2D2
= a1 ⋅a2+1a2
= 0 ⋅1+11
= 11
R3 =N3D3
= a1 ⋅a2 ⋅a3+a1+a3a2 ⋅a3+1
= 0 ⋅1 ⋅7+0+71 ⋅7+1
= 78
R4 =N4D4
= a4 ⋅N3+N2a4 ⋅D3+D2
= 1 ⋅7+11 ⋅8+1
= 89
R5 =N5D5
= a5 ⋅N4+N3a5 ⋅D4+D3
= 1 ⋅8+71 ⋅9+8
= 1517
y = R6 =N6D6
= a6 ⋅N5+N4a6 ⋅D5+D4
= 2 ⋅15+82 ⋅17+9
= 3843
554
luego
x+y = 12143
+ 3843
= 15943
cuyo desarrollo es la solución a nuestro problema:
15943
= 3+ 3043
= 3+ 14330
= 3+ 1
1+ 1330
= 3+ 1
1+ 13013
=
= 3+ 1
1+ 1
2+ 413
= 3+ 1
1+ 1
2+ 1134
= 3+ 1
1+ 1
2+ 1
3+ 14
En definitiva:x+y = 3+ 1
1+ 1
2+ 1
3+ 14y también
x+y = [3 , 1 , 2 , 3 , 4]
PROPOSICIÓN 4. Dada un fracción continua ordinaria se verifica que: 1.- Las reducidas de
orden impar forman una sucesión creciente. 2.- Las reducidas de orden par forman una sucesión
decreciente. 3.- Las reducidas de orden impar son menores que las de orden par.
En efecto: Consideremos la serie
R1+(R2−R1)+(R3−R2)+ . . . . . . . . . +(Rn−Rn−1)+ . . . . . . . . .
que, en virtud de la Proposición 2, es igual que la
a1+1
D1 ⋅D2+ 1
D2 ⋅D3+ . . . . . . . . . + (−1)n
Dn−1 ⋅Dn+ . . . . . . . . .
Ahora bien, las sumas parciales: S1 , S2 , S3 ,. . . . . . . . . , Sn ,. . . . . . . . . , de esta serie alternada coinciden
con las reducidas de la fracción continua:
S1 = R1
S2 = R1+(R2−R1) = R2
S3 = R1+(R2−R1)+(R3−R2) = R3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Sn = R1+(R2−R1)+(R3−R2)+ . . . . . . . . . +(Rn−Rn−1) = Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
que por tender a cero, decreciendo en valor absoluto, el término general,(−1)n
Dn ⋅Dn−1, de la serie dada,
sus sumas parciales, y por tanto las reducidas de la fracción continua, tienen las propiedades de las series
alternadas decrecientes.
R1 R3 R5 R2⋅n−1 x R2⋅n R6 R4 R2
555
Podemos por tanto afirmar que: Las fracciones continuas indefinidas ordinarias son convergentes, y
su valor es elemento de separación entre las reducidas de órdenes impares y las de órdenes pares.
PROPOSICIÓN 5. Si tomamos una reducida como valor aproximado de una fracción continua
ordinaria el módulo del error cometido es menor que:
1.- la unidad dividida por el producto de los denominadores de esa reducida y de la siguiente,
2.- la unidad dividida por el producto del denominador de la reducida por la suma de éste con
el denominador de la precedente,
3.- la unidad dividida por el cuadrado del denominador de la reducida que hayamos tomado.
En efecto: Tomando la reducida Rn como valor aproximado de la fracción continua x, tenemos que, por
verificarse
Rn < x < Rn+1 , o bien Rn+1 < Rn
se obtiene, como módulo del error cometido:
εεε = ∣x−Rn∣ < ∣Rn+1−Rn∣ =1
Dn ⋅Dn+1⩽ 1
Dn ⋅(Dn+Dn+1)< 1
D2n
.
De la Proposición 4 resulta inmediatamente que las reducidas impares dan aproximaciones por defecto,
y las pares por exceso.
Ejemplo 3. Consideremos la fracción periódica pura: x = [1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 ,. . . . . . . . . ] , al formar la sucesión de
sus reducidas
R1 =12
; R2 =32
; R3 =107
; R4 =139
; R5 =3625
; R6 =12184
; R7 =157109
;. . . . . . . . .
podemos afirmar que R7 =157109
, representa la fracción continua con un error absoluto inferior a 10−4 , puesto que
11092 = 1
11881< 1
10000= 1
104
mientras que para R6 =12184
, tendríamos
1842 = 1
7056> 1
10000= 1
104
Ejemplo 4. Calcular, por fracciones continuas, el valor de x que satisface la condición
x√3 = 2x
con error menor que1
10.
Tomando logaritmos la ecuación equivale a la
1x⋅Log 3 = x ⋅Log 2
556
es decir
x =√
Log 3Log 2
Por serLog 3Log 2
= 1,5848. . . tendremos que la parte entera de x será:
E[x] = 1 ,
luego
x = 1+ 1x1
de donde
x1 =1
x−1= 1√
Log 3Log 2
−1=
√Log 3Log 2
+1
Log 3Log 2
−1= 2,25. . .
0,5848. . .
La parte entera de x1 será, por tanto
E[x1] = 3
luego
x1 = 3+ 1x2
En consecuencia
x2 =1
x1−3= 1√
Log 3Log 2
+1
Log 3Log 2
−1−3
=
Log 3Log 2
−1√
Log 3Log 2
−3 ⋅ Log 3Log 2
+4= 0,5848
1,25+4−4,7544= 0,5848
0,4956
luego la parte entera de x2 será:
E[x2] = 1 .
Tenemos, por tanto que x aproximadamente es:
x = 1+ 1
3+ 11
= 54
con aproximación menor que:142 < 1
10.
Ejemplo 5. Desarrollar en fracción continua
x = 3+√
135
,
y hallar la reducida que aproxima en menos de1
100.
Como B−A2 = 13−32 = 13−9 = 4 no es múltiplo de D = 5 , multiplicaremos numerador y denominador por 5,
obteniendo
x = 3+√
135
= 15+√
52 ⋅135 ⋅5 = 15+
√325
25
557
Dado que
x = 15+√
32525
= 15+18,027725
= 1,32. . . . . .
tendremos que la parte entera de x será:
E[x] = 1 ,
luego
x = 1x1
de donde
x1 =1
x−1= 1
1,32−1= 1
0,32= 3,13 .
La parte entera de x1 será, por tanto
E[x1] = 3
luego
x1 = 3+ 1x2
.
En consecuencia
x2 =1
x1−3= 1
3,13−3= 1
0,13= 7,69
La parte entera de x2 será, por tanto
E[x2] = 7
Tenemos, por tanto, que x aproximadamente es:
x = 1+ 1
3+ 17
= 1+ 722
= 2922
con aproximación menor que1
222 < 1102 = 1
100.
Ejemplo 6. Determinar la expresión que da le siguiente desarrollo en fracción continua
x = 2+ 1
3+ 1
1+ 1
2+ 1
1+ 12+⋱
= [2 , 3 , 1 , 2]
⋱
y calcular la reducida que nos dé el valor aproximado con error menor que1
1000.
Determinaremos, en primer lugar, la ecuación de segundo grado una de cuyas raíces nos habrá dado la fracción
continua dada. Se verifica que:
x = 2+ 1
3+ 1y
y = 1+ 1
2+ 1y
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒x = 7 ⋅y+2
3 ⋅y+1
y = 3 ⋅y+12 ⋅y+1
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒x = 7 ⋅y+2
3 ⋅y+1
2 ⋅y2−2 ⋅y−1 = 0
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
558
La ecuación
2 ⋅y2−2 ⋅y−1 = 0
tiene por raíz positiva:
y = 1+√
32
valor que sustituido en
x = 7 ⋅y+23 ⋅y+1
nos da
x =7+7 ⋅
√3
2+2
3+3 ⋅√
32
+1= 11+7 ⋅
√3
5+3 ⋅√
3= (11+7 ⋅
√3) ⋅(5−3 ⋅
√3)
−2= 4−
√3
En consecuencia, el irracional cuadrático que da el desarrollo que figura en el enunciado es:
x = 4−√
31
Calculemos ahora las sucesivas reducidas de la fracción continua dada:
(Numeradores)2 3 1 2 1 2 1 . . . . . .
0,1 2 7 9 25 34 93 127 . . . . . .
(Denominadores)1 2 1 2 1 2 1 . . . . . .
0,1 1 3 4 11 15 41 56 . . . . . .
Así las sucesivas reducidas serán:
R1 =21
, R2 =73
, R3 =94
, R4 =2511
, R5 =3415
, R6 =9341
,. . . . . . . . .
Tomaremos la reducida que verifique
1D2
n< 1
1000⇐⇒ D2
n > 1000 ⇐⇒ Dn >√
1000
Como152 = 225 < 1000
412 = 1681 > 1000
La reducida con valor aproximado con error menor que1
1000será por tanto:
R6 =9341
559
PROPOSICIÓN 6. Una reducida cualquiera se aproxima más al valor de la fracción continua que
la reducida precedente. (Es decir el módulo del error absoluto al tomar Rn , como valor de la fracción
continua, es menor que el cometido al tomar Rn−1).
En efecto: Llamaremos cocientes completos de la fracción continua: x = [a1 , a2 ,. . . . . . , an , an+1 ,. . . . . . ]a los números xn definidos como sigue:
x = a1+1
a2+1
a3+⋱⋱⋱⋱+ 1
an+1xn
es decir
xn = an+1+1
an+2+1
an+3+⋱⋱⋱
Comparando la expresión de x con la de
Rn+1 = a1+1
a2+1
a3+⋱⋱⋱⋱+ 1
an+1
an+1
se puede observar que se pasa de esta a la de x, reemplazando an+1 por xn.
Ahora bien
Rn+1 =an+1 ⋅Nn+Nn−1an+1 ⋅Dn+Dn−1
,
luego
x = xn ⋅Nn+Nn−1xn ⋅Dn+Dn−1
,
En consecuencia
∣x−Rn∣ = ∣ xn ⋅Nn+Nn−1xn ⋅Dn+Dn−1
− NnDn
∣ = ∣Nn−1 ⋅Dn−Nn ⋅Dn−1∣Dn ⋅(xn ⋅Dn+Dn−1)
= 1Dn ⋅(xn ⋅Dn+Dn−1)
∣x−Rn−1∣ = ∣ xn ⋅Nn+Nn−1xn ⋅Dn+Dn−1
− Nn−1Dn−1
∣ = ∣xn ⋅(Nn ⋅Dn−1−Dn ⋅Nn−1)∣Dn−1 ⋅(xn ⋅Dn+Dn−1)
= 1Dn−1 ⋅(xn ⋅Dn+Dn−1)
luego
∣x−Rn∣ < ∣x−Rn−1∣
puesto que xn < 1 , y Dn−1 < Dn.
560
PROPOSICIÓN 7. Si una fracción ordinariaab
, se aproxima a una fracción continua ordinaria
más que una de sus reducidas, entonces tiene sus términos mayores que los de ésta.
En efecto Seaab
una fracción ordinaria que se aproxima más, al valor de la fracción continua x, que la
reducida Rn =NnDn
. Se trata de comprobar que los términos deab
son mayores que los de Rn, es decir
a > Nn y b > DnRn−1 R′
n x Rn
Si R′n es el simétrico de Rn, respecto de x, suponiendo n par, en virtud de la hipótesis,
ab
queda incluida
en el intervalo [R′n , Rn] y por tanto en el [Rn−1 , Rn]; luego
Rn−1 <ab< Rn
es decirab− Nn−1
Dn−1< Rn−Rn−1
o lo que es lo mismoa ⋅Dn−1−b ⋅Nn−1
b ⋅Dn−1< 1
Dn ⋅Dn−1.
Dado que el numerador del primer miembro es igual o mayor que 1, la desigualdad exige que sea b > Dn .
Por otra parte, a partir de la anterior desigualdad
ab− Nn−1
Dn−1< Rn−Rn−1
se establece queDn−1Nn−1
− ba< Dn−1
Nn−1− Dn
Nnes decir
a ⋅Dn−1−b ⋅Nn−1a ⋅Nn−1
< 1Nn ⋅Nn−1
luego
a > Nn .
Ejemplo 7.-Consideremos el irracional cuadrático
x = 9+√
772
cuyo desarrollo en fracción continua es
x = 9+√
772
= 8+ 1
1+ 1
7+ 1
1+ 17+⋱
= [8 , 1 , 7]
⋱
presenta las siguientes reducidas:
R1 = 8 , R2 = 9 , R3 =718
, R4 =809
, R = 63171
R6 =71180
, R7 =5608631
, R8 =6319711
, R9 =498415608
,. . . . . .
561
Si nos pidiesen determinar la fracción racional más sencilla de términos que no excedan de cuatro cifras, la elección
estaría entre R7 y R8. Dado que una reducida cualquiera se aproxima más al valor que la reducida precedente, la
elegida sería la R8 .
562
Lección 49.- DESARROLLOS EN FRACCIÓN CONTINUA
49.1 Desarrollo de los números racionales
49.2 Irracionales cuadráticos
49.1 Desarrollo de los números racionales
Consideremos un número positivo, x, no entero. Si designamos por a1, su parte entera (a1 ⩾ 0) existe un
número, x1 > 1, tal que
x = a1+1x1
⇐⇒ x1 =1
x−a1
Así mismo, si a2 es la parte entera de x1 (supuesto que x1 no es un entero), se puede determinar un
número, x2 > 1, tal que
x1 = a2+1x2
⇐⇒ x2 =1
x1−a2
Continuando así, tendríamos
x2 = a3+1x3
⇐⇒ x3 =1
x2−a3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xn−1 = an+1xn
⇐⇒ xn =1
xn−1−an. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
De todas las relaciones anteriores, por sustituciones sucesivas, resulta
x = a1+1x1
= a1+1
a2+1x2
= a1+1
a2+1
a3+1x3
= a1+1
a2+1
a3+1
a3+⋱⋱+
1
an+1xn
Como establecimos en la lección anterior a los números
x1 , x2 , x3 ,. . . . . . . . . . . .
les seguiremos llamando cocientes completos.
Si con el algoritmo anterior no se llega nunca a un cociente completo que sea un número entero, esta-
remos ante una fracción continua indefinida, [a1 , a2 , a3 ,. . . . . . . . . , an ,. . . . . . . . . ] que es convergente,
según vimos en la lección anterior. Veamos, ahora, que el valor de esta fracción continua es x.
Deduciendo, como hicimos en la Proposición 6 de la lección anterior, podemos escribir que
x =xn ⋅Nn+Nn−1
xn ⋅Dn+Dn−1,
563
de donde
x−Rn =xn ⋅Nn+Nn−1
xn ⋅Dn+Dn−1−
Nn
Dn=
Nn−1 ⋅Dn−Dn−1 ⋅Nn
Dn ⋅(xn ⋅Dn+Dn−1)=
±1Dn ⋅(xn ⋅Dn+Dn−1)
Dado que al tender n a infinito, también tienden a infinito Dn−1 y Dn, y es xn > 1, tenemos que
lımn→∞∞∞
(x−Rn) = 0
es decir
x = lımn→∞∞∞
Rn
como queríamos establecer.
Por el contrario si con el algoritmo anterior se llega a un cociente completo xn, que sea un número entero,
haciendo xn = an+1, resultará
a1+1
a2+1
a3+1
a3+⋱⋱+
1
an+1
an+1
= [a1 , a2 , a3, . . . . . . , an , an+1]
En ambos casos se obtiene una fracción continua cuyo valor es el número x.
¡¡Atención!! Observemos que el ser los cocientes completos x1 , x2 , . . . . . . , xn ,. . . . . . mayores que 1,
queda asegurado que el último cociente, an+1, es también mayor que 1.
PROPOSICIÓN 1. Todo número positivo admite desarrollo en fracción ordinaria. Si el desarrollo
es indefinido, es único. Si es definido y a su último cociente incompleto le imponemos la condición
de ser mayor que uno, también es único el desarrollo, pero existe otro con un cociente incompleto
más, cuyo último cociente es uno.
En efecto: Consideremos, en primer lugar, los desarrollos indefinidos.
Veamos que si
x = a1+1
a2+1
a3+⋱
= b1+1
b2+1
b3+⋱siendo el primer desarrollo indefinido y los números
a1 , a2 , a3 ,. . . . . . ; b1 , b2 , b3 ,. . . . . .
naturales, se verifica:
a1 = b1 , a2 = b2 , a3 = b3 ,. . . . . . . . . . . . ,
564
es decir los dos desarrollos son idénticos. Para comprobarlo basta con ver, en primer lugar que: a1 = b1, y
tomando, luego, los valores recíprocos de ambos miembros, que queda
x1 =1
x−a1= a2+
1
a3+1
a4+⋱
= b2+1
b3+1
b4+⋱
y en consecuencia que: a2 = b2, por ser ambos la parte entera de x1.
En forma análoga se comprueba que
a3 = b3 , a4 = b4 ,. . . . . . . . .
luego los dos desarrollos coinciden.
Consideremos, ahora, el caso de los desarrollos finitos.
Si tenemos el desarrollo finito.
x = [a1 , a2 , a3 ,. . . . . . . . . , an , an+1] , an−+1 > 1 .
dado que, an+1 = (an+1−1)+1, haciendo an+1 ≠ 1 = a′n+1, se tiene
x = a1+1
a2+⋱= a1+
1a2+⋱⋱ ⋱⋱+ 1
an+1
an+1
⋱+ 1
an+1
a′n+1+11
,
luego obtenemos dos desarrollos en fracción continua de x.
Evidentemente, si imponemos la condición de que el último cociente incompleto sea mayor que uno, el
desarrollo será único.
Estudiemos, ahora, el desarrollo de los números racionales.
Para desarrollar el número racionalab
> 0, se efectúan las mismas operaciones que para calcular, por el
algoritmo de Euclides, el m.c.d. de los números a y b:
a b
a1
r2
a3
r1
a2
r3
r1
r2
an-2 an-1 an
rn-3 rn-2
rn-1
rn-1
r =0n
…
…
…
565
lo que nos permite escribirab
= a1+r1
b= a1+
1br1
br1
= a2+1r1
r2
r1
r2= a3+
1r2
r3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .rn−3
rn−2= an−1+
1rn−2
rn−1
rn−2
rn−1= an
Haciendo sucesivas sustituciones, con estas igualdades, se obtiene el siguiente desarrollo finito:
ab
= a1+1br1
= a1+1
a2+1r1
r2
= a1+1
a2+1
a3+⋱⋱+
1an
y como conclusión, que todo número racional se puede expresar mediante una fracción continua
ordinaria finita; y recíprocamente, que el valor de toda fracción continua ordinaria finita es un
número racional , puesto que al efectuar las operaciones indicadas por ella resulta una fracción
ordinariaab
.
Ejemplo 1. Consideremos el número racional
x = 8631
que vamos a desarrollar en fracción continua ordinaria finita aplicando el algoritmo, análogo al de Euclides:
2 1 3 2 3
86 31
24 7 3
124 7 3
1 0
es decir:8631
= [2 , 1 , 3 , 2 , 3]
o lo que es lo mismo8631
= 2+ 1
1+ 1
3 + 1
2+ 13
566
Ejemplo 2. Consideremos el número racional
x = 30157
que vamos a desarrollar en fracción continua ordinaria finita aplicando el algoritmo análogo al de Euclides:
0 5 4 3 2
30 157
30 7 2
130 7 2
1 0
es decir30
157= [0 , 5 , 4 , 3 , 2]
o lo que es lo mismo30
157= 1
5+ 1
4+ 1
3 + 12
49.2 Irracionales cuadráticos
Llamaremos irracional cuadrático a toda expresión de la forma:
A±√
BD
,
siendo A, B, D números racionales, que pueden suponerse enteros, ya que si fueran fraccionarios pasarían
a ser enteros multiplicando el numerador y denominador por un factor conveniente.
A los irracionales cuadráticosA+
√B
Dy
A−√
BD
,
les llamaremos conjugados entre sí.
Ejemplo 1. Consideremos el irracional cuadrático
32+√
5
10
para su transformación bastará multiplicar numerador y denominador por 2:
32+√
5
12= 3+2 ⋅
√5
24= 3+
√20
24
Si el irracional cuadrático fuese el siguiente:32+ 1
3⋅√
5
12
567
el factor sería en este caso 6:32+ 1
3⋅√
5
12= 9+2 ⋅
√5
72= 9+
√20
72
Por su interés, analicemos la parte entera de los irracionales cuadráticos.
Se verifica que, si a1 es la parte entera del irracional cuadrático.A+
√B
D,
a1 <A+
√B
D< a1+1 .
Supondremos siempre que D > 0, pues en caso contrario multiplicaríamos por −1, tanto el numerador
como el denominador. Así, multiplicando las desigualdades anteriores por D > 0, tendríamos
a1 ⋅D <A+√
B < (a1+1) ⋅D .
Si ααα es la parte entera de√
B, la parte entera de A+√
B será A+ααα , luego
a1 ⋅D ⩽A+ααα < (a1+1) ⋅D Ô⇒ a1 ⩽A+ααα
D< a1+1 ,
en consecuencia, a1 es el cociente entero, por defecto, de la división de A+ααα por D.
Si, ahora, designamos por E[x] la parte entera de x se verifica:
E[A+
√B
D] =E[
A+ααα
D]
Ejemplo 2. La parte entera del irracional cuadrático: x = 30+√
194
es
E[x] = E[ 30+44
] = 8
Ejemplo 3. La parte entera del irracional cuadrático: x = 7+10 ⋅√
35
es
E[x] = E[ 7+10 ⋅√
35
] = E[ 7+√
3005
] = E[ 7+175
] = 4
Observemos que si hubiésemos procedido como sigue, el resultado sería incorrecto:
E[x] = E[ 7+10 ⋅√
35
] = E[ 7+10 ⋅15
] = E[ 705
] = 14
En el supuesto de que el irracional cuadrático tenga su radical negativo, es decir, sea x =A−
√B
D,
tendríamos
a1 <A−
√B
D< a1+1 Ô⇒ a1 ⋅D <A−
√B < (a1+1) ⋅D
568
es decir
a1 ⋅D ⩽A−(ααα +1) < (a1+1) ⋅D
o lo que es o mismo
a1 ⩽A−(ααα +1)
D< a1+1
Por tanto, a1 es el cociente entero por defecto de la división de A−(ααα +1) por D. Así tendremos que
E[A−
√B
D] =E[
A−(ααα +1)D
]
Ejemplo 4. La parte entera del irracional cuadrático: x = 23−√
574
es
E[x] = E[ 23−√
574
] = E[ 23−(7+1)4
] = 3
Como en el anterior ejemplo, conviene prestar atención a este sencillo cálculo, pues si hubiésemos hecho
E[x] = E[ 23−√
574
] = E[ 23−74
] = E[ 164
] = 4
el resultado sería incorrecto.
Veamos, ahora, como proceder en el desarrollo de los irracionales cuadráticos, en fracción continua,
que en principio debe seguir el método general expuesto en la lección anterior. Sentado esto, lo que
vamos a hacer, en lo que sigue, es indicar la manera de obtener con facilidad los sucesivos cocientes
completos.
Así, si a1 es la parte entera del irracional cuadrático: x =A+
√B
D, tendremos
A+√
BD
= a1+1x1
Ô⇒ x1 =D
A−a1 ⋅D+√
B.
Racionalizando el denominador y dividiendo luego por D, ambos términos, resultará
x1 =(a1 ⋅D−A)+
√B
B−(a1 ⋅D−A)2
D
=A1+
√B
D1
habiendo llamado:
A1 = a1 ⋅D−A , D =B−A2
D.
Procediendo en forma análoga, si a2 es la parte entera de x1, tendremos
A1+√
BD1
= a2+1x2 Ô⇒ x2 =
A2+√
BD2
,
calculando A2 y D2 por las siguientes fórmulas análogas a las del caso anterior:
A2 = a2 ⋅D1−A1 , D2 =B−A2
2D1
569
Este algoritmo puede prolongarse indefinidamente, resultando así los sucesivos cocientes incompletos:
a1, a2, a3, . . . . . . , an, . . . . . . , del desarrollo del irracional cuadrático en fracción continua.
La forma general del n-ésimo completo es:
xn =An+
√B
Dn,
donde, An y Bn vienen dados por las fórmulas recurrentes.
An = an ⋅Dn−1−An−1 , Dn =B−A2
nDn−1
.
¡¡Atención!! Observemos que si en la igualdad: D1 =B−A2
1D
, se verifica que B−A21 no es múltiplo
de D, resultará un número fraccionario para D1. Evitaremos que en los cálculos intervengan números
fraccionarios, multiplicando, en estos casos, los dos términos del irracional cuadrático por D:
A+√
BD
=A ⋅D+
√B ⋅D2
D2 =A′+
√B′
D′
Por otra parte, si D1 resulta entero, también son enteros D2, D3, . . . . . . , es decir que no aparecerán
números fraccionarios en todo el proceso.
El procedimiento para desarrollar los irracionales cuadráticos será el siguiente:
1º.- Se determinará el valor de a1, como sigue:
a1 =E[A+
√B
D] =E[
A+ααα
D]
siendo ααα la parte entera de√
B.
2º.- Los sucesivos valores de a2, a3, . . . . . . , ai, . . . . . . se calcularán en la forma siguiente:
an+1 =An+ααα
Dn, siendo :
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
An = an ⋅Dn−1−An−1
Dn =B−A2
nDn−1
, (n ⩾ 1)
Resultará muy cómodo visualizar los resultados en una tabla como la que sigue:
ai
Ai
Di
A0
D0
a1
A1
D1
a2
A2
D2
a3 ….
….
….….
…. ….
….
….
Veámoslo con unos ejemplos.
570
Metodología para desarrollar en fracción continua un irracional cuadrático
x =A+
√B
D1º.- Si B−A2 no es múltiplo de D, entonces se multiplican numerador y denominador por D:
x =A+
√B
D=
A ⋅D+D ⋅√
BD2 =
A ⋅D+√
D2 ⋅BD2 =
A′+√
B′
D′
siendo:
A′=A ⋅D , B′ =D2
⋅B , D′=D2 .
(En el caso de que B−A2 sea múltiplo de D, no hay que hacer nada).
2º.- Determinación de la parte entera del irracional cuadrático dado:
x =A0+
√B0
D0
2.1.- Se determina el valor: ααα =E[√
B] ,
El valor de a1 (parte entera del irracional cuadrático) será
a1 =E[A0+ααα
D0]
2.2.- Los sucesivos a1 se calcularán en forma análoga.
3º.- Determinación de los sucesivos: a2, a3, . . . . . . , ai, . . . . . .
Ai−1 = ai−1 ⋅Di−2−Ai−2
Di−1 =B−A2
i−1Di−2
⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒ ai =Ai−1+ααα
Di−1(i > 1)
4º.- Los valores obtenidos conforman la tabla siguiente:
ai
Ai
Di
A0
D0
a1
A1
D1
a2
A2
D2
a3 ….
….
….….
…. ………
………
……… ….
….
….
….
….
….
……ak
Ak
Dk
ap
Ap-1
Dp-1
….
….
5º.- El proceso termina cuando: Ak =Ap−1 y Dk =Dp−1 siendo entonces:
x = [a1, a2, . . . . . . , ak, ak+1, . . . . . . , ap]
571
Ejemplo 5. Desarrollar en fracción continua el irracional cuadrático
x = 1+√
134
.
(Observemos que como: B−A2 = 13−1 = 12, que es múltiplo de D = 4, no hay que operar sobre x).
Por otra parte, se verifica que:
ααα = E[√
13] = 3 .©Iniciamos el proceso calculando a1:
a1 = E[ A0+ααα
D0] = E[ 1+ 3
4] = E[1] = 1©
pasando, ahora, a determinar los sucesivos ai:
a2 =A1+
√B
D1,
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
A1 = a1 ⋅D0−A0
D1 =B−A2
1D0
⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭Ô⇒
A1 = 1 ⋅4−1 = 3
D1 =13−32
4= 1
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
de donde: a2 = E[ 3+ 31
] = 6©
ai
Ai
Di
A =10
D =40
a =11
A =31
D =11
a =62 ….
….
….
….
….
Calculemos, ahora, a3:
A2 = a2 ⋅D1−A1 = 6 ⋅1−3 = 3
D2 =13−32
1= 4
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒ a3 = E[ 3+ 34
] = 1©
ai
Ai
Di
A =10
D =40
a =11
A =31
D =11
a =62
A =32
D =42 ….
….
a =13 ….
….
….
Sigamos con, a4:
A3 = a3 ⋅D2−A2 = 1 ⋅4−3 = 1
D3 =13−12
4= 3
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒ a4 = E[ 1+ 33
] = 1©
ai
Ai
Di
A =10
D =40
a =11
A =31
D =11
a =62
A =32
D =42 ….
….
a =13 ….
….
….A =13
D =33
a =14
A =24
D =34
a =15
572
Determinamos, ahora, a5
A4 = a4 ⋅D3−A3 = 1 ⋅3−1 = 2
A4 =13−22
3= 3
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒ a5 = E[ 2+ 33
] = 1©
Calculemos a6:
A5 = a5 ⋅D4−A4 = 1 ⋅3−2 = 1
A5 =13−12
3= 4
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒ a6 = E[ 1+ 34
] = 1©
La tabla sería en este momento la siguiente:
a =15ai
Ai
Di
A =10
D =40
a =11
A =31
D =11
a =62
A =32
D =42 ….
….
a =13 ….
….
….A =13
D =33
a =14
A =24
D =34
A =15
D =45
a =16
Detenemos aquí el cálculo dado que el quinto cociente completo coincide con el irracional cuadrático de partida.
El desarrollo se compone, por tanto, de
1, 6, 1, 1, 1
repetido indefinidamente, en decir que tendremos
x = [1, 6, 1, 1, 1 ]
una fracción continua periódica pura.
Ejemplo 6. Desarrollar en fracción continua el irracional cuadrático
x = 3+4 ⋅√
313
En primer lugar transformamos convenientemente el irracional cuadrático dado:
x = 3+4 ⋅√
313
= 3+√
4813
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
A0 = 3
B0 = 48
D0 = 13
Tanteamos el valor: B0−A20 = 48−32 = 39. Dado que es múltiplo de D0 = 13, no hay que operar sobre x.
Además se verifica:
ααα = E[√
48] = 6©
Iniciamos el proceso calculando a1:
a1 = E[ A0+ααα
D0] = E[ 3+6
13] = 0
573
pasando, ahora, a determinar los sucesivos ai:
a2 =A1+
√B
D1,
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
A1 = a1 ⋅D0−A0
D1 =B−A2
1D0
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒A1 = 0 ⋅13−3 = −3
D1 =48−(−3)2
13= 39
13= 3
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭de donde
a2 = E[ −3+63
] = 1
Calculemos, ahora, a3:
a3 =A2+
√B
D2,
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
A2 = a2 ⋅D1−A1
D2 =B−A2
2D1
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒A2 = 1 ⋅3−(−3) = 6
D2 =48−62
3= 12
3= 4
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭de donde
a3 = E[ 6+64
] = 3
Sigamos con a4:
a4 =A3+
√B
D3,
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
A3 = a3 ⋅D2−A2
D3 =B−A2
3D2
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒A3 = 3 ⋅4−6 = 6
D3 =48−62
4= 3
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭de donde
a4 = E[ 6+63
] = 4
Determinemos ahora a5:
a5 =A4+
√B
D4,
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
A4 = a4 ⋅D3−A3
D4 =B−A2
4D3
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒A4 = 4 ⋅3−6 = 6
D4 =48−62
3= 4
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭de donde
a5 = E[ 6+63
] = 4
El proceso ha terminado, puesto que se repiten los valores:
A2 = 6
D2 = 4Ð→
A4 = 6
D4 = 4
Veámoslo en la tabla correspondiente:
ai
Ai
Di
….
….
….
….313
-33 6
4
0 1
6
3
3
6
4
3 4 4
El desarrollo se compone de los cocientes 0, 1, seguidos del periodo 3, 4 , repetido indefinidamente, es decir que
tendremos:
x = [0, 1, 3, 4 ] ,
una fracción continua periódica mixta.
574
Ejemplo 7. Determinar el desarrollo en fracción continua de la raíz correspondiente al radical positivo de
la ecuación
7 ⋅x2−24 ⋅x+5 = 0 .
Resolviendo la ecuación tenemos
x = 12±√
1097
,
luego el irracional cuadrático a desarrollar es el
12+√
1097
Observemos que en este caso:
A0 = 12 , B0 = 109 , D0 = 7 ,
B−A2 = 109−122 = 109−144 = 35 = 7Por otra parte se verifica que:
ααα = E[√
109] = E[10,44] = 10©
Iniciamos el proceso calculando a1:
a1 = E[ A0+ααα
D0] = E[ 12+10
7] = E[ 22
7] = 3©
Para determinar los sucesivos: a2, a3, . . . . . . , ai, . . . . . . los cálculos los dispondremos de la forma siguiente:
ai
Ai
Di 315
87 10
3
1 6
8
4
15
7
4
6 1 2
A =120
D =70
a =31 4 3 2 320 2 11 2
127
59 7
5
8
9
10
1
9
4
10 8 57 9
9 5 12 7 4
de donde resulta:12+
√109
7= [3, 4, 1, 6, 6, 1, 4, 2, 1, 3, 2, 20, 2, 3, 1, 2 ] ,
una fracción periódica mixta.
Ejemplo 8. Determinar los tres primeros cocientes incompletos del desarrollo de√
a2+2 ⋅a , en fracción
continua, siendo, a, un número natural.
Tenemos en este caso: √a2+2 ⋅a = 0+
√a2+2 ⋅a1
,
siendo la parte entera, ααα , de√
a2+2 ⋅a , a, ya que
a2 < a2+2 ⋅a < (a+1)2
Tenemos, por tanto, a considerar los siguientes valores:
A0 = 0 , B0 = a2+2 ⋅a , D = 1 , y ααα = a .
Iniciamos el proceso calculando a1:
a1 = E[ A0+ααα
D0] = E[ 0+a
1] = a .
575
Para determinar las otras a2 y a3, que se nos pide dispondremos su cálculo según ya sabemos:
ai
Ai
Di 1
aA =00
D =10
a =a1
a
2·a
a =12 a =2·a3
a
2·a
Así los tres primeros cocientes incompletos son:
a , 1 , 2 ⋅a .
Ejemplo 9. Desarrollar en fracción continua periódica
√a2−1 = 0+
√a2−11
siendo a un número natural mayor que 1.
La parte entera, ααα , de√
a2−1 es a−1 , ya que
(a−1)2 < a2−1 < a2 .
Tenemos, por tanto, a considerar los siguientes valores:
A0 = 0 , B0 = a2−1 , D0 = 1 y ααα = a−1 .
Iniciamos el proceso calculando a1:
a1 = E[ A0+ααα
D0] = E[ 0+(a−1)
1] = a−1
Para determinar los sucesivos: a2, a3, . . . . . . , ai, . . . . . . los cálculos los dispondremos según ya sabemos:
ai
Ai
Di 1
a-1A =00
D =10
a =a-11
a-1
2·a-2
1 2·a-2
a-1
2·a-2
1
de donde resulta √a2−1 = (a−1)+ 1
1+ 1
2 ⋅a−2+ 11+⋱
= [a−1 , 1 , 2 ⋅a−2 ]
una fracción periódica mixta.
576
Ejemplo 10. Desarrollar en fracción continua el irracional cuadrático
x = 5−√
136
Determinemos, en primer lugar, la parte entera del irracional cuadrático dado, determinando previamente
ααα = E[√
13] = 3 , βββ = 3+1 = 4
Así
a1 = E[ A0−βββ
D0] = E[ 5−4
6] = E[ 1
6] = 0
Calculemos, ahora, a2:
A1 = a1 ⋅D0−A0 = 0 ⋅6−5 = −5
D1 =B−A2
1D0
= 13−(−5)2
6= −12
6= −2
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒ a2 =A1−ααα
D1= −5−3
−2= 4
Determinemos, a continuación, a3:
A2 = a2 ⋅D1−A1 = 4 ⋅(−2)−(−5) = −3
D2 =B−A2
2D1
= 13−(−3)2
−2= 4−2
= −2
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒ a3 =A2−ααα
D2= −3−3
−2= 3
Calculamos, a continuación a4:
A3 = a3 ⋅D2−A2 = 3 ⋅(−2)−(−3) = −3
D3 =B−A2
3D2
= 13−(−3)2
−2= 4−2
= −2
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒ a4 =−3−3−2
= 3
El proceso ha terminado puesto que
A2 = −3
D2 = −2
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭y
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
A3 = −3
D3 = −2
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭a5 =
−3−3−2
= 3
siendo la tabla obtenida la siguiente
ai
Ai
Di 6
-55
0 4 3 3
-2
-3
-2
-3
-2
En consecuencia tendremos
x = 5−√
136
= [0, 4, 3 ] .
577
Ejemplo 11. Desarrollar en fracción continua el irracional cuadrático
x =√
13 ,
que puede considerarse como sigue
x =√
13 = 0+√
131
Procediendo, ahora, como en los ejemplos anteriores obtendríamos una fracción continua periódica mixta
x = [3, 1, 1, 1, 1, 6 ]
compuesta del cociente 3, seguido del periodo 1, 1, 1, 1, 6 , que se repetiría indefinidamente.
Ejemplo 12. Desarrollar en fracción continua el irracional cuadrático
x = 5−√
136
Por ser del tipo:A−
√B
D, tendremos que
ααα = E[13] = 3 y E[x] = E[ 5−(3+1)6
] = E[ 16
] = 0
Luego: a1 = 0
Calculemos a2 :a1 ⋅D0−A0 = 0 ⋅6−5 = −5
D1 =13−A2
1D0
= 13−(−5)2
6= −2
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒ a2 =−5−3−2
= 4
Calculemos a3 :
A2 = a2 ⋅D1−A1 = 4 ⋅(−2)−(−5) = −3
D2 =13−A2
2D1
= 13−(−3)2
−2= 13−9
−2= 4−2
= −2
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒ a3 =−3−3−2
= 3
Calculemos a4 :
A3 = a3 ⋅D2−A2 = 3 ⋅(−2)−(−3) = −3
D3 =13−A2
3D2
= 13−(−3)2
−2= 13−9
−2= −2
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒ a4 =−3−3−2
= 3
Veamos la tabla correspondiente
ai
Ai
Di 6
-55
0 4 3 3
-2
-3
-2
-3
-2
con lo que obtendremos
x = [0, 4, 3 ]
578
Ejemplo 13. Desarrollar en fracción continua
x = 2 ⋅√
3+12
En primer lugar transformamos convenientemente el irracional cuadrático dado:
x = 2 ⋅√
3+12
= 1+2 ⋅√
32
= 1+√
122
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
A0 = 1
B0 = 12
D0 = 2
Tanteamos el valor B0−A20 = 12−12 = 11 , que no es múltiplo de D0 = 2 ; luego tendremos que operar sobre x
como sigue:
x = 1+√
122
= 2+2 ⋅√
124
= 2+√
484
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
A0 = 2
B0 = 48 ; ααα = 6
D0 = 4
que será el irracional cuadrático a desarrollar.
Iniciamos el proceso calculando a1 :
a1 = E[ 2+64
] = 2
pasando, ahora, a determinar los sucesivos ai :
a2 =A1+
√B
D1
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
A1 = a1 ⋅D0−A0
D1 =B−A2
1D0
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒A1 = 2 ⋅4−2 = 6
D1 =48−62
4= 12
4= 3
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
de donde: a2 = E[ 6+63
] = 4
ai
Ai
Di
A =20
D =40
a =21
A =61
D =31
a =42
Calculemos, ahora, a3 :
A2 = a2 ⋅D1−A1 = 4 ⋅3−6 = 6
D2 =B−A2
2D1
= 48−62
3= 4
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒ a3 = E[ 6+64
] = 3
ai
Ai
Di
A =20
D =40
a =21
A =61
D =31
a =42
A =62
D =42
a =33
A =63
D =33
a =44
579
Calculemos ahora, a4 :
A3 = a3 ⋅D2−A2 = 3 ⋅4−6 = 6
D3 =B−A2
3D2
= 48−62
4= 3
⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭Ô⇒ a4 = E[ 6+6
3] = 4
Detenemos aquí el cálculo, dado que el tercer cociente completo coincide con el primero.
El desarrollo se compone por tanto, de
2, 4, 3
es decir que tendremos
x = [2, 4, 3 ]
una fracción periódica mixta:
x = 2+ 1
4+ 1
3+ 1
4+ 13+⋱
= [2, 4, 3 ]
Ejemplo 14. Desarrollar en fracción continua el irracional cuadrático negativo
x = −6+√
34
Observemos que como: B−A2 = 3−(−6)2 = −33 no es múltiplo de D = 4 , tendremos que operar, sobre x, como
sigue:
x = −6+√
34
= −24+4 ⋅√
316
que será el irracional cuadrático a desarrollar.
Dado que el irracional dado está comprendido entre −2 y −1, adoptando como parte entera −2, seguirá a ésta una
fracción continua positiva.
Así, aplicando el algoritmo que ya conocemos tendremos:
ai
Ai
Di 16
-8-24
1
-1
7
1
-2 13
6
12
1
6
1
6
12
12
con lo que obtendremos
x = [−2, 1, 13, 1, 12 ]
En todos los ejemplos anteriores todos los irracionales cuadráticos desarrollados han dado lugar a frac-
ciones continuas periódicas. Vamos a ver, ahora, que no se trataba de casos particulares, puesto que,
con carácter general, todo irracional cuadrático se desarrolla en fracción continua periódica pura o
mixta. Procedamos por partes:
1.- Obtuvimos antes las fórmulas recurrentes
An = an ⋅Dn−1−An−1 , Dn =B−A2
nDn−1
,
580
que permitían obtener, utilizando únicamente valores enteros, los cocientes incompletos y completos
sucesivos. Los cálculos se ordenaban como sigue:
a1 a2 a3 . . . ah . . . am . . .
A A1 A2 A3 . . . Ah . . . Am . . .
D D1 D2 D3 . . . Dh . . . Dm . . .
Dado que los números Ai, Di, son enteros, si comprobamos que están acotados, habremos establecido
que el número de pares distintos, Ai y Di, que puede haber en el cuadro anterior es finito. Luego, después
de aplicar el algoritmo varias veces, llegaremos a un par, Am y Dm; coincidente con otro anterior Ah y
Dh; por consiguiente tendremos que:
am+1 = ah+1 , am+2 = ah+2 , am+3 = ah+3, . . . . . .
lo que nos prueba que el desarrollo es periódico.
2.- En primer lugar comprobemos que existe un valor υυυ tal que para n >υυυ , los números Dn son
positivos. Efectivamente, sabemos que
x =A+
√B
DÔ⇒ x =
xn ⋅Nn+Nn−1
xn ⋅Dn+Dn−1
y cambiando los irracionales cuadráticos x, xn por sus conjugados x , xn se tendrá
x =A−
√B
Dy x =
xn ⋅Nn+Nn−1
xn ⋅Dn+Dn−1
(seguimos suponiendo, como siempre que x es positivo)
Puesto que la diferencia entre dos reducidas consecutivas tiende a cero, llegará a ser, ésta, menor que
cualquier número positivo; luego, para todo n >υυυ será
∣Rn−Rn−1∣ < ∣x−x∣ ,
y dado que x es interior al intervalo [Rn , Rn−1] , x debe ser anterior al mismo. Para que esto ocurra la
anterior igualdad exige que sea xn < 0 , puesto que si fuese xn > 0 , quedaría x dentro de aquél intervalo.
En consecuencia, para n >υυυ es xn < 0 , y por consiguiente es, xn−xn > 0, es decir,2 ⋅
√B
Dn> 0 , y por
último Dn > 0.
3.- Veamos, ahora, que los Ai y Di están acotados.
Efectivamente, de la igualdad
Dn =B−A2
nDn−1
se deduce que
Dn ⋅Dn−1 =B−A2n
581
y de acuerdo con lo establecido en 2.- , para n >υυυ , por ser positivos Dn y Dn−1 , se tienen
Dn ⋅Dn−1 ⩽B y B >A2n
es decir0 <Dn ⩽B y ∣An∣ <
√B ,
relaciones, éstas, que prueban que tanto Dn como An están acotados, lo que permite afirmar que todo
irracional cuadrático se desarrolla en fracción periódica.
Probemos, ahora, la proposición recíproca de la anterior, es decir que el valor de toda fracción continua
periódica pura o mixta es un irracional cuadrático, obteniendo al mismo tiempo la manera de obtener
su valor.
3.- Consideremos la fracción periódica pura, cuyo periodo es la k términos:
x = [a1, a2, a3, . . . . . . , ak ] ,
es decir
x = a1+1
a2+1
a3+⋱
= a1+1
a2+1
a3+⋱⋱+
1
ak+1
a1+1
a2+⋱
⋱1
ak+1x
Como x es el cociente completo de orden k+1, tendremos que es
x =x ⋅Nk+Nk−1
x ⋅Dk+Dk+1,
luego x es la raíz positiva de la ecuación de segundo grado
Dk ⋅x2+(Dk−1−Nk) ⋅x−Nk−1 = 0 ,
por consiguiente x es un irracional cuadrático.
4.- Consideremos, ahora, la fracción periódica mixta:
x = [a1, a2, . . . . . . , ah, b1, b2, . . . . . . , bk ]
es decir
x = a1+1
a2+⋱⋱+
1
ah+1
b1+1
b2+⋱⋱+
1
bk+1
b1+1
b2+⋱
582
cuya parte no periódica consta de h números y el periodo es k.
Si designamos por y la fracción periódica pura:
y = [b1, b2, . . . . . . , bk ] ,
tendremos
x = a1+1
a2+⋱, y = b1+
1b2+⋱⋱+
1
ah+1y
⋱+1
bk+1y
luego
x =y ⋅Nh+Nh−1
y ⋅Dh+Dh−1.
Ahora bien, por ser y valor de una fracción continua periódica pura, será raíz de una ecuación análoga a
la anterior ecuación de segundo grado, es decir de la forma y =A+
√B
D, con lo que sustituyendo este
valor, en la igualdad anterior, resulta la expresión de x, que es otro irracional cuadrático.
Queda, por tanto establecido lo que nos interesaba, es decir, que el valor de toda fracción continua
periódica es un irracional cuadrático.
Ejemplo 15. Determinar la ecuación de segundo grado, una de cuyas raíces es
x = [2, 3, 5 ]
Podemos escribir que
x = 2+ 1
3+ 1
5+ 13+⋱
y haciendo
x = 3+ 1
5+ 13+⋱
tendremos
x−2 = 1y
y también
x−2 = 1
3+ 1
5+ 1y
= 5 ⋅y+116 ⋅y+3
=5+ 1
y
16+ 3y
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭y eliminando la y, resultará
x−2 = 5+(x−2)16+3 ⋅(x−2)
de donde resulta la ecuación pedida:
3x2+3 ⋅x−23 = 0
583
Ejemplo 16. Desarrollar en fracción continua√
a2+1 ,
y determinar la ecuación de segundo grado de que proviene.
Tenemos en este caso √a2+1 = 0+
√a2+11
siendo la parte entera, ααα , de√
a2+1 , a, con lo que partiremos de los valores:
A0 = 0 , B0 = a2+1 , D0 = 1 y ααα = a .
Iniciamos el proceso calculando a1:
a1 = E[ A0+ααα
D0] = E[ 0+a
1] = a
Para determinar las otras a2, a3, . . . . . . dispondremos su cálculo según ya sabemos:
ai
Ai
Di 1
aA =00
D =10
a =a1 2·a
1
a
2·a
Su desarrollo será, por tanto, √a2+1 = a+ 1
2 ⋅a+ 12 ⋅a+⋱
= [a, 2 ⋅a ]
Para determinar la ecuación de segundo grado pedido, haremos:
x =√
a2+1
y = 2 ⋅a+ 1
2 ⋅a+ 12 ⋅a+⋱
Así tendremos:
x−a = 1y
y también
x−a = 1
2 ⋅a+ 1y
,
es decir:
x−a = 12 ⋅a+(x−a) = 1
x+ade donde
(x−a) ⋅(x+a) = 1
siendo la ecuación buscada:
x2−a2 = 1 .
584
Ejemplo 17. Determinar la ecuación de segundo grado, una de cuyas raíces de origen al siguiente desarrollo
en fracción continua
x = 1+ 1
3+ 1
2+ 1
3+ 12+⋱
; x = [1, 3, 2 ]
Se verifica que
x = 1+ 1y
y = 3+ 1
2+ 1y
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒x = y+1
y
2 ⋅y2−6 ⋅y−3 = 0
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒y = 1
x−1
2 ⋅y2−6 ⋅y−3 = 0
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Sustituyendo el valor de y en la segunda ecuación resulta
2(x−1)2 − 6
x−1−3 = 0 Ô⇒ 3 ⋅(x−1)2+6 ⋅(x−1)−2 = 0 Ô⇒
Ô⇒ 3 ⋅x2−6 ⋅x+3+6 ⋅x−6−2 = 0 Ô⇒ 3 ⋅x2−5 = 0
Ejemplo 18. Determinar la ecuación de segundo grado, una de cuyas raíces da el siguiente desarrollo en
fracción continua:
x = [2, 4] , x = 2+ 1
4+ 1
2+ 14+⋱
y calcular su valor exacto.
Se verifica que:
y = 2+ 1
4+ 1y
x = y
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒y = 2+ y
4 ⋅y+1
x = y
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒4 ⋅y2+y = 8 ⋅y+2+y
x = y
⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭Ô⇒
Ô⇒4 ⋅y2−8 ⋅y−2 = 0
x = y
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭Ô⇒
2 ⋅y2−4 ⋅y−1 = 0
x = y
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭Ô⇒
Resolviendo la ecuación pedida
2 ⋅y2−4 ⋅y−1 = 0
y considerando su raíz positiva tenemos:
y = 4+√
16+84
= 4+√
4 ⋅64
= 2+√
62
siendo, por tanto, el valor exacto pedido el siguiente:
x = 2+√
62
585
Ejemplo 19. Determinar la ecuación de segundo grado, una de cuyas raíces da el siguiente desarrollo en
fracción continua,
x = 2+ 1
3+ 1
5+ 1
3+ 15+⋱
; x = [2, 3, 5 ]
y calcular su valor exacto.
Se verifica que
x = 2+ 1y
y = 3+ 1
5+ 1y
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒y = 1
x−2
5 ⋅y2−15 ⋅y−3 = 0
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
y eliminando la y entre las dos ecuaciones anteriores resulta la ecuación pedida.
3 ⋅x2+3 ⋅x−23 = 0 .
Su valor exacto será la raíz positiva de la ecuación anterior
x = −3+√
9+2766
= −3+√
2856
es decir el irracional cuadrático
x = −3+√
2856
Ejemplo 20. Determinar el valor de la fracción continua periódica siguiente:
x = [0, 1, 5, 4 ] ; x = 0+ 1
1+ 1
5+ 14+⋱
Se verifica que:
0+ 1
1+ 1y
y = 5+ 1
4+ 1y
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒x = y
1+y
y = 5+ y4 ⋅y+1
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒x = y
1+y
y = 20 ⋅y+5+y4 ⋅y+1
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒
Ô⇒x = y
1+y
4 ⋅y2+y = 21 ⋅y+5
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒y = x
1−x
4 ⋅y2−20 ⋅y−5 = 0
⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭y eliminando y obtenemos
4 ⋅( x1−x
)2−20 ⋅( x
1−x)−5 = 0
586
es decir
4 ⋅x2−20 ⋅x ⋅(1−x)−5 ⋅(1−x)2 = 0
y simplificando resulta
19 ⋅x2−10 ⋅x−5 = 0
Resolviendo esta ecuación tendremos
x = 10±√
102+4 ⋅19 ⋅52 ⋅19
= 10±√
4802 ⋅19
= 10± ⋅4√
302 ⋅19
= 5±2 ⋅√
3019
Considerando sólo el valor positivo obtendremos el valor pedido
x = 5+2 ⋅√
3019
Ejemplo 21. Determinar el valor de la fracción continua periódica siguiente:
x = [1, 2, 3, 2,4 ] ; x = 1+ 1
2+ 1
3+ 1
2+ 14+⋱
Se verifica que:
x = 1+ 1
2+ 1
3+ 1y
y = 2+ 1
4+ 1y
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒
x = 1+ 1
2+ y3 ⋅y+1
y = 2+ y4 ⋅y+1
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒
Ô⇒x = 1+ 3 ⋅y+1
6 ⋅y+2+y
y = 8 ⋅y+2+y4 ⋅y+1
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒x = 7 ⋅y+2+3 ⋅y+1
7 ⋅y+2
4 ⋅y2+y = 8 ⋅y+2+y
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒
Ô⇒x = 10 ⋅y+3
7 ⋅y+2
4 ⋅y2−8 ⋅y−2 = 0
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒x = 10 ⋅y+3
7 ⋅y+2
2 ⋅y2−4 ⋅y−1 =
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Para eliminar la y, resolvemos la ecuación de segundo grado en y:
y = 4±√
16+84
= 4±2 ⋅√
64
= 2±√
62
y considerando su raíz positiva:
y = 2+√
62
587
la sustituiremos en
x = 10 ⋅y+37 ⋅y+2
con lo que obtendremos el valor pedido:
x =10 ⋅( 2+
√6
2)+3
7 ⋅( 2+√
62
)+2= . . . . . . = 24−
√6
15
Ejemplo 22. Calcular el valor exacto de
x = [ 1, 3 ] = 1+ 1
3+ 1
1+ 13+⋱Si hacemos
y = 1+ 1
3+ 1
1+ 13+⋱
se verifica que
x = 1+ 1
3+ 1y
es decir
x = 1+ y3 ⋅y+1
Ô⇒ x = 3 ⋅y+1+y3 ⋅y+1
Ô⇒ x = 4 ⋅y+13 ⋅y+1
Por otra parte tenemos
x = y
Eliminando y en el sistema
x = 4 ⋅y+13 ⋅y+1
x = y
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭obtenemos la ecuación de segundo grado siguiente
x = 4 ⋅x+13 ⋅x+1
Ô⇒ 3 ⋅x2+x = 4 ⋅x+1 Ô⇒ 3 ⋅x2−3 ⋅x−1 = 0
cuya raíz positiva es
x = 3+√
9+126
= 3+√
216
El valor buscado es, por tanto
3+√
216
Ejemplo 23. Determinar la expresión que dé el siguiente desarrollo en fracción continua
x = [2, 3, 2 ] = 2+ 1
3+ 1
2+ 12+⋱
588
Si hacemos
y = 1
2+ 1
2+ 12+⋱
se verifica que
x = 2+ 1
3+ 1y
es decir
x−2 = 1
3+ 1y
Ô⇒ x−2 = y3 ⋅y+1
Por otra parte tenemos
y = 2+ 1y
Ô⇒ y = 2 ⋅y+1y
es decir
y2−2 ⋅y−1 = 0
que resuelta da
y = 2±√
4+42
= 2±2 ⋅√
22
= 1+√
2
Sustituyendo, ahora, tenemos
x−2 = y3 ⋅y+1
Ô⇒ x−2 = 1+√
23 ⋅(1+
√2)+1
es decir
x = 2+ 1+√
23 ⋅(1+
√2)+1
= . . . . . . = 6−√
22
que es la expresión del irracional pedido.
Hasta aquí hemos tratado de desarrollar números positivos. Cuando se trata de desarrollar números
negativos la generalización cabe hacerla de dos formas:
1.- Si x es un irracional cuadrático negativo, se desarrollará, en fracción continua, su opuesto, −x, y al
resultado se le antepone el signo −.
Ejemplo 24. En el anterior Ejemplo 11, establecimos que
x =√
13 = [3, 1, 1, 1, 1, 6 ]
así pondremos
−x = −√
13 = −[3, 1, 1, 1, 1, 6 ]
589
2.- En el siguiente ejemplo se muestra otro método, en el que el primer cociente incompleto es negativo,
y los demás positivos, como en las fracciones continuas ordinarias.
Ejemplo 25. Desarrollar en fracción continua el irracional cuadrático negativo:
x = −6+√
34
.
Dado que B−A2 = 3−(−62) = −33 no es múltiplo de D = 4 , tendremos que multiplicar numerador y denominador
por 4:
x = −6+√
34
= −6 ⋅4+4 ⋅√
34.4
= −24+√
4816
.
Dado que el irracional dado está comprendido entre −2 y −1,
−2 < x = −1,07 < −1
adoptaremos como parte entera a1 = −2, a la que seguirá una fracción continua positiva, que no es otra más que el
desarrollo del primer cociente completo, a2, que será positivo.
El valor de ααα , será:
ααα = E[√
48 ] = 6 .
El valor de βββ , será:
βββ = E[√
48 ]+1 = 6+1 = 7
siendo, por tanto,
A1 = a1 ⋅D0−A0 = −2 ⋅16−(−24) = −8
D1 =B−A2
1D0
= 48−(−8)2
16= −16
16= −1
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
a2 =−8+7−1
= 1
Continuando en esta línea tendremos:
A2 = a2 ⋅D1−A1 = 1 ⋅(−1)−(−8) = 7
D2 =B−A2
2D1
= 48−72
−1= 1
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
a3 =A2+ααα
D2= 7+6
1= 13
Determinemos, ahora, el valor de a4
A3 = a3 ⋅D2−A2 = 13 ⋅1−7 = 6
D3 =B−A2
3D2
= 48−361
= 12
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
a4 =A3+ααα
D3= 6+6
12= 1
Para determinar el valor de a5, haremos
A4 = a4 ⋅D3−A3 = 1 ⋅12−6 = 6
D4 =B−A2
4D3
= 48−62
12= 12
12= 1
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
a5 =A4+ααα
D4= 6+6
1= 12
Veamos que, por último para determinar a6, haremos
A5 = a5 ⋅D4−A4 = 12 ⋅1−6 = 6
D5 =B−A2
5D4
= 48−62
1= 12
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
a6 =A5+ααα
D5= 6+6
12= 1
590
Dado que se verifica que
A3 = 6
D3 = 12
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭, y
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
A5 = 6
D5 = 12
el proceso ha terminado, siendo la tabla obtenida la siguiente:
ai
Ai
Di 1
7-24
a =-21 1
-1
-8
16 12
6
12
12
6
13
1
6
1 1
En consecuencia tendremos
x = −6+√
34
= [−2, 1, 13, 1, 12 ]
591
Lección 50.- ALGORITMO DE LOS CUMULANTES
50.1 Algoritmo de los cumulantes
50.1 Algoritmo de los cumulantes
Por las aplicaciones que tiene, en el tema que nos ocupa, vamos a establecer el denominado algoritmo
de los cumulantes, como sigue:
Dada una sucesión finita o indefinida
a1 , a2 , . . . . . . . . . , an , . . . . . . . . .
deducimos de ella otra sucesiónp1 , p2 , . . . . . . . . . , pn , . . . . . . . . .
aplicando el algoritmo siguiente:pn = pn−1 ⋅an+pn−2
Se comienza el cálculo partiendo de los números 0 y 1, con lo que obtenemos:
0,1 ∥ p1 = a1 , p2 = a1 ⋅a2+1 , p3 = a1 ⋅a2 ⋅a3+a3+a1 ,
p4 = a1 ⋅a2 ⋅a3 ⋅a4+a3 ⋅a4+a1 ⋅a4+a1 ⋅a2+1 , . . . . . .
Al número pn, formado por medio de los datos: a1 , a2 , . . . . . . , an , se le llama cumulante de estos n
números, y se representa por la notación
pn = (a1 , a2 , . . . . . . , an)
llamada paréntesis de Euler, o de Gauss.
Ejemplo 1. Dada la sucesión: 1 , −2 , 4 , −8 , 16 , −32 , . . . . . . , los cumulantes sucesivos los obtenemos me-
diante el siguiente esquema:
0,1 ∥1 , −2 , 4 , −8 , 16 , −32 , . . . . . . . . . . . . . . . ← Sucesión
1 , −1 , −3 , 23 , 23 , 365 , 11703 , . . . . . . ← Cumulantes
¡¡Atención!! Como curiosidad, observemos que si la sucesión dada es
1 , 1 , 1 , . . . . . . , 1 , . . . . . . . . .
obtenemos como sucesión de sus cumulantes la sucesión de Fibonacci:
0,1 ∥1 , 1 , 1 , 1 , 1 , . . . . . . . . .
1 , 2 , 3 , 5 , 8 , . . . . . . . . .
593
Veamos, ahora, unas propiedades interesantes de los cumulantes:
1.- Los cumulantes formados con los mismos n números, en orden inverso, son iguales, es decir
(a1 , a2 , . . . . . . , an) = (an , . . . . . . , a2 , a1) .
Ejemplo 2. Si es: (1 , −2 , 4 , −8) = 23 se verifica que
(−8 , 4 , −2 , 1) = 23 .
Comprobémoslo:
1 −2 4 −8
0,1 1 −1 −3 23
−8 4 −2 1
0,1 −8 −31 54 23
2.- Cambiando el signo a los n elementos de un cumulante, el valor de éste no cambia, y varía o no
de signo según sea n impar o par.
Ejemplo 3. Consideremos el cumulante: (1 , −2 , 4 , −8) = 23, según hemos comprobado en el ejemplo anterior.
Se verifica que:
(−1 , 2 , −4 , 8) = 23 , pues n = 4 , es par .
−1 2 −4 8
0,1 −1 −1 3 23
Por otra parte: (1 , −2 , 4 , −8 , 16) = 365, verificándose que:
(−1 , 2 , −4 , 8 , −16) = −365, , pues n = 5 , es impar .
−1 2 −4 8 16
0,1 −1 −1 3 23 −365
3.- Si los números a1 , a2 , . . . . . . , an , . . . . . . son naturales, dos cumulantes cualesquiera son pri-
mos entre sí.
Ejemplo 4. Consideremos el cumulante (2 , 3 , 6 , 4 , 1). Se verifica que
2 3 6 4 1 . . . . . .
0,1 2 7 44 183 227Los pares de números:
(2 , 7) , (7 , 44) , (44 , 183) , (183 , 227)
son primos entre sí.
594
Una aplicación importante del algoritmo de los cumulantes, la encontramos en la determinación de la
reducida de una fracción continua, como se resume en el siguiente cuadro.
Dada la fracción continua: x = a0+1
a1+1
a2+⋱⋱+
1
an−1+1
an+⋱
1º.- Para calcular los numeradores de las reducidas se determinan los cumulantes formados por la
parte entera seguida de los cocientes incompletos:
a0 a1 a3 . . . . . . an−1 an . . . . . .
0,1 q0 q1 q3 . . . . . . qn−1 qn . . . . . .
2º.- Para calcular los denominadores de las reducidas se determinan los cumulantes formados por
los cocientes incompletos
a1 a2 a3 . . . . . . an−1 an . . . . . .
0,1 p1 p2 p3 . . . . . . pn−1 pn . . . . . .
Así, las sucesivas reducidas serán:
R1 = q0 , R2 =q1
p1, R3 =
q2
p2, . . . . . . , Rn =
qn−1
pn−1
¡¡Atención!! Observemos que en el caso de tratarse de una fracción continua definida, la metodología
que acabamos de establecer nos permite determinar el valor de la fracción continua dada.
Ejemplo 5. Dada la fracción continua
x = 4+ 1
2+ 1
3+ 1
1+ 12
x = [4 , 2 , 3 , 1 , 2]
tendremos 4 2 3 1 2
0,1 4 9 31 40 111
2 3 1 2
0,1 2 7 9 25
En consecuencia, el valor de la fracción continua dada será:
x = R5 =11125
.
tal como habíamos establecido en el Ejemplo 1. del apartado 48.1 de la Lección 48
595
¡¡Atención!! La misma metodología nos permite, así mismo, el desarrollo de una fracción continua,
fijado un error determinado.
Ejemplo 6. Determinar la fracción racional más sencilla de términos que no excedan de cuatro cifras, y que
más aproxime a
x =√
11+√
7√11−
√7
.
Racionalizando tenemos
x =√
11+√
7√11−
√7=
(√
11+√
7)2
11−7= 11+2 ⋅
√77+7
4= 18+2 ⋅
√77
4= 9+
√77
2.
que es el irracional cuadrático que vamos a poner en fracción continua, como ya sabemos hacer. Así tendremos:
9+√
772
= 8+ 1
1+ 1
7+ 1
1+ 17+⋱
= [8 , 1 , 7 ]
Aplicando la metodología conocida, resultará:
1 7 1 7 1 7 1 7 1
0,1 1 8 9 71 80 631 711 5608 6319(denominadores)
8 1 7 1 7 1 7 1 7
0,1 8 9 71 80 631 711 5608 6319 49841(numeradores)
Las sucesivas reducidas serán:
R1 = 8 , R2 =91= 9 , R3 =
718
, R4 =809
, R5 =63171
R6 =71180
, R7 =5608631
, R8 =6319711
, R9 =498415608
, . . .
La elección está entre R7 y R8 (términos que no excedan de cuatro cifras); dado que una reducida cualquiera se
aproxima mas al valor de la reducida precedente, la fracción pedida será
R8 =6319711
Ejemplo 7. Determinar la quinta reducida del desarrollo en fracción continua de
x =√
3+12
Se trata del irracional cuadrático
x = 1+√
32
,
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
A0 = 1
B0 = 3
D0 = 2
; ααα = 1 .
596
Calculamos: B0−A20 = 3−12 = 2 , que es múltiplo de D0 = 2 ; luego no hay que operar sobre x, que será el irracional
cuadrático a desarrollar.
Iniciamos el proceso calculando a1 :
a1 = E[ A0+ααα
D0] = E[ 1+1
2] = 1
pasando a determinar los sucesivos ai :
a2 =A1+
√B
D1
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
A1 = a1 ⋅D0−A0 = 1 ⋅2−1 = 1
D1 =B−A2
1D0
= 3−12
2= 1
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒ a2 = E[ 1+11
] = 2
ai a1 = 1 a2 = 2
Ai A0 = 1 A1 = 1
Di D0 = 2 D1 = 1Calculamos ahora, a3 :
A2 = a2 ⋅D1−A1 = 2 ⋅1−1 = 1
D2 =B−A2
2D1
= 3−11
= 2
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒ a3 = E[ 1+12
] = 1
ai a1 = 1 a2 = 2 a3 = 1
Ai A0 = 1 A1 = 1 A2 = 1
Di D0 = 2 D1 = 1 D2 = 2Calculamos, ahora, a4:
A3 = a3 ⋅D2−A2 = 1, ⋅2−1 = 1
D3 =B−A2
3D2
= 1
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒ a4 = E[ 1+11
] = 2
A =10 A =12 A =13Ai
a =11 a =22 a =13 a =24a i
D =20 D =11 D =22 D =13iD
A =11
Detenemos aquí el cálculo, dado que el tercer cociente completo coincide con el primero.
El desarrollo se compone por tanto de
1 , 2 , 1
es decir que tendremos
x = [1 , 2 , 1 ]
una fracción periódica mixta:
x = 1+ 1
2+ 1
1+ 1
2+ 1
1+ 1
2+ 11+⋱
= [1 , 2 , 1]
597
Preparemos el cálculo de las reducidas:
(Numeradores)1 2 1 2 1 2 1
0,1 1 3 4 11 15 41 56
(Denominadores)2 1 2 1 2 1 2
0,1 2 3 8 11 30 41 112
Así, las sucesivas reducidas serán
R1 = 1 , R2 =32
, R3 =43
, R4 =118
, R5 =1511
, R6 =4130
La quinta reducida será por tanto:
R5 =1511
Ejemplo 8. Desarrollar en fracción continua
x =√
13
,
aproximando hasta obtener une error menor que1
10000.
Racionalizando tenemos
x =√
1√3= 1√
3=
√3
3= 0+
√3
3En este caso tendremos como punto de partida:
A0 = 0 , B0 = 3 , D0 = 3 , ααα = E[√
3] = 1
Así, aplicando el algoritmo que ya conocemos tendremos la tabla:
A =00Ai
a i
D =30iD
0
0
1 1
1 1
11
1
1 1
12 2
22
con la que establecemos que:
x = [0 , 1 , 1 , 2] ;1√3= 0+ 1
1+ 1
1+ 1
2+ 1
1+ 12+⋱
Aplicando, ahora, la metodología anterior tenemos:
1 1 2 1 2 1 2 1 2
0,1 1 2 5 7 19 26 71 97 194(denominadores de las Ri)
El haber hallado un cumulante superior a 100, ya nos asegura una aproximación con error menor que1
1002 = 1104 ,
(puesto que: 194 >√
1002 = 100 ).
598
La reducida será, por tanto, la décima, y como es par será mayor que1√3
. El error será, pues, por exceso.
El numerador se determinará como sigue
0 1 1 2 1 2 1 2 1 2
0,1 0 1 1 3 4 11 15 41 56 153
En consecuencia tendremos
R10 =153194
Ejemplo 9. Calcular la reducida que nos dé el valor aproximado de: x = 3+√
3 , con error menor que1
1000.
El irracional cuadrático a desarrollar será:
x = 3+√
31
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
A0 = 3
B0 = 3
D0 = 1
, ααα = 1
Iniciamos el proceso calculando a1 :
a1 = E[ A0+ααα
D0] = E[ 3+1
1] = 4
pasando, ahora, a determinar los sucesivos ai :
a2 =A1+ααα
D1
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
A1 = a1 ⋅D0−A0 = 4 ⋅1−3 = 1
D1 =B−A2
1D0
= 3−12
1= 2
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒ a2 = E[ 1+12
] = 1
ai a1 = 4 a2 = 1
Ai A0 = 3 A1 = 1
Di D0 = 1 D1 = 2
Calculamos, ahora, a3 :
A2 = a2 ⋅D1−A1 = 1 ⋅2−1 = 1
D2 =B−A2
2D1
= 3−12
2= 1
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒ a3 = E[ 1+11
] = 2
Calculemos, a continuación, a4 :
A3 = a3 ⋅D2−A2 = 2 ⋅1−1 = 1
A3 =B−A2
3D2
= 3−12
1= 2
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Ô⇒ a4 = E[ 1+12
] = 1
A =30 A =12 A =13Ai
a =41 a =12 a =23 a =14a i
D =10 D =21 D =12 D =23iD
A =11
599
Detenemos aquí el cálculo dado que el tercer cociente completo coincide con el primero.
El desarrollo se compone, por tanto, de
4 , 1 , 2
es decir, tendremos
x = [4 , 1 , 2 ]
una fracción periódica mixta
x = 4+ 1
1+ 1
2+ 1
1+ 12+⋱
= [4 , 1 , 2 ]
Para determinar las sucesivas reducidas aplicaremos la metodología conocida:
4 1 2 1 2 1 2 1 2 . . . . . .
0,1 4 5 14 19 52 71 194 265 . . . . . . . . . . . .numeradores
1 2 1 2 1 2 1 2 . . . . . .
0,1 1 3 4 11 15 41 56 . . . . . . . . . . . .denominadores
Las sucesivas reducidas serán:
R1 = 4 , R2 =51
, R3 =143
, R4 =194
R5 =5211
, R6 =7115
, R7 =19441
, R8 =26556
, . . . . . . . . .
Como: 152 = 225 < 1000
y 412 = 1681 > 1000 la reducida pedida será la
R7 =19441
¡¡Atención!! En ocasiones puede interesarnos multiplicar una fracción continua por un número entero,
que en particular puede ser el −1; para ello bastará con multiplicar la primera línea de la fracción por
el entero en cuestión.
Ejemplo 10. Consideremos la fracción continua
x = 3711
= 3+ 1
2+ 1
1+ 13
Multiplicada por 4 resultará :
4 ⋅x = 3 ⋅4+ 4
2+ 1
1+ 13
= 12+ 4
2+ 1
1+ 13
600
Comprobémoslo:
12+ 4
2+ 1
1+ 13
= 12+ 4
2+ 1 ⋅34
=
= 12+ 4 ⋅411
= 132+1611
= 14811
4 ⋅ 3711
= 14811
Multiplicada por -1 resultará
−x = −3− 1
2+ 1
1+ 13
= −3− 1
2+ 1 ⋅34
= −3− 411
= − 3711
601
CAPÍTULO VIII
Lección 51.- ÁRBOLES
51.1 Definiciones
51.2 Creación, inversión y borrado
51.3 Recorrido y tratamiento de un árbol
51.1 Definiciones
En lo que va a seguir supondremos en el lector un conocimiento general de programación, (en los ejem-
plos que plantearemos utilizaremos el lenguaje PASCAL, como el más sencillo que se nos ocurre).
Vamos a estudiar ARBOLES BINARIOS, que se elaborarán con punteros y que pueden considerarse
una generalización de las listas, fundamentalmente porque su acceso es más rápido que en éstas, mini-
mizando, por tanto el tiempo de búsqueda, si bien los algoritmos para manipular árboles suelen ser más
complicados que los que manejan listas.
Los árboles permiten mantener un conjunto de objetos ordenados, insertando otros o suprimiéndolos,
todo ello en un tiempo más corto que en las listas. El primer nudo juega un papel importante y se le
llama raíz del árbol.
Así, se puede definir de manera intuitiva un árbol como vacío si está constituido únicamente de un
elemento: la raíz. A ésta se le puede encadenar uno o más árboles, considerando entonces al hijo de la
raíz, como raíz de un subárbol.
A cada elemento constitutivo de un árbol se le llama nudo del árbol, definiendo como rama al arco que
une los nudos entre ellos. Por otra parte, a un nudo sin hijos se le llama hoja.
Tal como hemos apuntado más arriba, en esta lección vamos a estar interesados, únicamente, en los
árboles binarios, es decir aquellos en los que cada nudo posee un máximo de dos hijos, que en su caso,
y dado el lenguaje coloquial en el que nos vamos a mover, llamaremos hijo izquierdo (FG), e hijo
derecho (FD), de los que, si colgasen otras estructuras arborescentes, recibirían estas, los nombres de
subárboles izquierdos y derechos, convirtiéndose en ese caso los hijos en padres.
La información almacenada en cada nudo, más o menos compleja, está generalmente compuesta por una
clave que da acceso al resto de la información.
En los ejemplos que vamos a ver, la clave estará constituida por un número entero y la información
consistirá en contar el número de apariciones de esos enteros. (Es fácil cambiar, en esos ejemplos la
información por otra diferente).
605
En lo que sigue consideraremos:
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
TYPE
PUNTERO =↑NODO ;
NODO =RECORD
CLAVE ∶ INTEGER ;
INFO ∶ INTEGER ;
FG, FD ∶ PUNTERO
END ;
CLAVE
INFO
FG FD
y hablaremos de árboles binarios ordenados.
Llamaremos grado de un nodo al número de descendientes directos del nodo, grado de un árbol al
máximo grado de sus nodos.
Manejaremos distintos tipos de árboles, entre los que destacaremos los siguientes:
Árbol perfectamente equilibrado, será aquél en el que para todo nodo, el número de nodos en el
subárbol izquierdo y el número de nodos en el subárbol derecho difieren, a lo sumo, en una unidad.
Árbol equilibrado, será aquel que presenta el número mínimo de niveles, o la altura (profundidad)
mínima, para el número de nodos presentes. Visualizándolo tenemos:
0
1
2NIVELES
ALTURA(profundidad)
20
21
22……
Condición que debe cumplir: 2k−1 < n ⩽ 2k+1
−1⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
n =número de nodos
k = altura Ô⇒ N = 20+21+ . . . . . . +2k = 2k−1−1
Ejemplo : Si tiene k = 3 alturas:
0
1
2
3
10
155
73
1
4 9
Alturas 23−1 < n ⩽ 24−1
⇓7 < n ⩽ 15
Este árbol tiene n = 8 nudos
Este ÁRBOL esÐÐÐÐÐÐÐÐÐ→ Equilibrado
No perfectamente equilibrado
No A.V.L. (según definición siguiente)
606
Árbol A.V.L. , será aquél en el que las alturas de sus subárboles izquierdo y derecho difieren como
máximo en 1.
Ejemplo : 0
2
3
10
155
73
1
4
12alturas
Este ÁRBOL esÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐ→
A.V.L.
No equilibrado (n = 7)
No perfectamente equilibrado
51.2 Creación, inserción y borrado
El criterio para crear un árbol binario es el siguiente: Dada la lista de las claves de los distintos nudos,
nombramos raíz al primero de ellos; tomamos el segundo número (clave) y le comparamos con el pri-
mero; si es menor lo situamos a su izquierda (como FG), y si es mayor a su derecha (como FD). Para
el tercero y siguientes el criterio es el mismo; vamos comparándoles con la raíz y los siguientes hasta
posicionarlos.
Ejemplo : Dados los elementos: 10 , 7 , 9 , 15 , 12 , 3 , 17 , montaremos el árbol paso a paso
10 (raíz) 10 10 10
77 7 15
99
10 10
7 15
9 12
7 15
3 9 12
10
7 15
3 9 12 17
Dado un árbol ya montado puede interesarnos localizar un determinado nudo (dado por su clave). El
proceso se basa en el mismo criterio que en el de la creación: Comparamos el elemento a localizar, en
principio con la raíz; si es menor tomaremos el camino del FG, y si es mayor el del FD, repitiendo en su
caso la comparación y decisión como hicimos con la raíz, hasta su localización.
Ejemplo : Consideremos el árbol del ejemplo anterior y tratemos de localizar el elemento de clave 12.
Dado que 12 > 10, pasaremos a compararlo con su FD = 15; como 12 < 15, pasaremos a su FG = 12, con el que
coincidirá; el elemento dado habrá sido, así, localizado.
607
Un procedimiento para insertar, en un árbol dado, un nudo, X, sería el siguiente
PROCEDURE INSERT_RECUR (Var RAIZ ∶ PUNTERO; X ∶ INTEGER);
BEGIN
IF RAIZ =NIL THEN
BEGIN Se inicia la creación del árbol, que no existe
NEW (RAIZ);
WITH RAIZ ↑ DO
BEGIN
CLAVE ∶=X;
INFO ∶= 1;
FG ∶=NIL;
FD ∶=NIL
END
END
ELSE IF X <RAIZ ↑ . CLAVE THEN INSET_RECUR(RAIZ ↑ . HI, X)
ELSE IF X >RAIZ ↑ . CLAVE THEN INSERT_RECUR(RAIZ ↑ . HD, X)
ELSE El nudo ya existe
RAIZ ↑ . INFO ∶=RAIZ ↑ . INFO+1
END;
Así mismo una función, en este caso para buscar un nudo, X, en un árbol dado sería la siguiente:
FUNCTION ELEMENTO_BUSCADO (P ∶ PUNTERO;X ∶ INTEGER) ∶ PUNTERO;
BEGIN
WHILE (P < >NIL) AND (P ↑ . CLAVE < >X) DO
IF P ↑ . CLAVE <X THEN
P ∶= P ↑ . FG
ELSE
P ∶= P ↑ . FD
ELEMENTO_BUSCADO ∶= P Dirección del elemento, o NIL si no se encuentra
END;
608
El proceso de borrar un nudo, en un árbol dado, precisa de dos pasos:
1º.- Búsqueda del nudo.
2º.- Borrado propiamente dicho.
Para la parte de búsqueda disponemos del algoritmo recursivo de insertar. Una vez encontrado el nudo
el problema consiste en borrar la raíz de un árbol (o subárbol) apuntado por el parámetro RAC. Cabe
distinguir tres casos:
a.- La raíz no tiene hijo: Se pone, entonces NIL en RAC.
b.- La raíz no tiene más que un hijo: Se cortocircuita la raíz, recopiando el puntero del hijo en RAC.
c.- La raíz tiene dos hijos: Con objeto de mantener la relación de orden, se la reemplaza por el
nudo “el de más a la derecha” del SAG (subárbol izquierdo); también podría tomarse “el más a
la izquierda” del SAD (subárbol derecho). Además, este nudo no tiene hijo por la derecha, lo que
permite conectarle el SAD de la raíz. (ASCIENDE Y DEJA SU CARGA EN EL PRIMERO POR
EL QUE PASA).
El esquema para el caso de dos hijos es el siguiente:
RAC
RAÍZ Para borrar
Q
SAG SAD
3PC
1
2Elementoque asciende
PFIN
1
2
3 SAD
En el caso particular en el que la raíz del SAG (apuntada por PC) no tenga hijo por la derecha,
éste es el nudo que se toma para reemplazar el señalado por RAC (a borrar). En caso contrario se
toma el nudo “el más a la derecha” (apuntado por PFIN) desplazando para ello PC.
609
Un procedimiento para borrado, en los árboles binarios ordenados, sería el siguiente:
PROCEDURE BORRAR (VAR RAC ∶ PUNTERO; X; INTEGER);
VAR
Q, PC, PFIN ∶ PUNTERO; Q controla el elemento que borramos, y PC la raíz del SAGAsí mismo, PFIN controla el elemento que asciende
BEGIN
IF RAC = NIL THEN WRITELN (X, ‘NOEXISTE’)ELSE IF RAC ↑ . CLAVE < X THEN BORRAR (RAC ↑ . FD,X)ELSE IF RAC ↑ . CLAVE > X THEN BORRAR (RAC ↑ . FG,X)ELSE (∗Igualdad. Borrador del nudo apuntado por RAC∗)
BEGIN
Q ∶= RAC; (∗El elemento que queremos borrar queda apuntado por Q∗)IF RAC ↑ . FD = NIL THEN
RAC ∶= RAC ↑ . FG (∗Caso de 0 hijos o 1 hijo por la izquierda∗)ELSE IF RAC ↑ . FG = NIL THEN
RAC ∶= RAC ↑ . FD (∗Caso de sólo 1 hijo a la derecha∗)ELSE (∗Caso de 2 hijos. Se reemplaza por el más a la derecha∗)
BEGIN (∗Del subárbol izquierdo: SAG∗)PC ∶= RAC ↑ . FG;
IF PC ↑ . FD = NIL THEN (∗Es la raíz del SAG∗)BEGIN (∗que no tiene hijo por la derecha∗)
PC ↑ . FD ∶= RAC ↑ . FD;
RAC ∶= PC
END
ELSE
BEGIN (∗Se busca el más a la derecha∗)WHILE PC ↑ . FD ↑ . FD < > NIL DO
PC ∶= PC ↑ . FD;
PFIN ∶= PC ↑ . FD;
PC ↑ . FD ∶= PFIN ↑ . FG; (∗Se conecta la rama abajo∗)PFIN ↑ . FD ∶= RAC ↑ . FD; (∗Se conecta el SAD∗)FFIN ↑ . FG ∶= RAC ↑ . FG (∗Se coloca en su sitio el∗)
(∗nuevo nudo∗)RAC ∶= PFIN (∗Se le conecta arriba∗)
END
END;
DISPOSE (Q) (∗Borramos el elemento∗)END
END;
610
Esquematicemos unas aclaraciones al procedimiento BORRAR:
RAC
Q
RAC
Q
NIL
__
_________X
NIL
Q
__
__________
PC
NIL
Q
__
__________
PC
PFIN
________
____
_______
_ _ _ _ _ _ _
NIL
La
raíz
no
tiene
mas
que
un
hijo
.L
a ra
íz d
el SAG
no
tiene
hijo
por
la d
erec
ha.
La
raíz
del
SAG
tien
e hi
jo p
or la
der
echa
.
RAC
IF RAC ↑ . FD =NIL THEN RAC ∶=RAC ↑ . FG
ELSE IF RAC ↑ . FG =NIL THEN RAC ∶=RAC ↑ . FD
ELSEBEGIN
PC ∶=RAC ↑ . FGIF PC ↑ . FD =NIL THEN
BEGINPC ↑ . FD ∶=RAC ↑ . FD;RAC ∶= PC
ENDELSE
BEGINWHILE PC ↑ . FD ↑ . FD <>NIL DO
PC ∶= PC ↑ . FDPFIN ∶= PC ↑ . FD;PC ↑ . FD ∶= PFIN ↑ . FG;PFIN ↑ . FD ∶=RAC ↑ . FD;PFIN ↑ . FG ∶=RAC ↑ . FG;RAC ∶= PFIN
ENDEND;
DISPOSE (Q)
ENDEND;
611
Los esquemas anteriores más informalizados serían los siguientes:
RACQ
RAC
Q
RAC
Q
PC
SAG SAD
RACQ
elemento que asciende
PC
612
51.3 Recorrido y tratamiento de un árbol
Por su interés destacaremos tres tipos de recorrido, según que cada nudo sea tratado
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
antes que
después de
entre
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
sus dos hijos, que suelen llamarse
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
en preorden
en postorden
en orden
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
.
Ejemplo 1.- Consideremos el siguiente árbol
a
b
d
c
e f g
h i j k
Tratado en PREORDEN (Primero el padre y luego los hijos) obtendríamos como resultado:
a − b − d − e − h − i − c − f − g − j − k
Tratado en POSTORDEN (Primero los hijos y luego el padre) obtendríamos como resultado:
d − h − i − e − b − f − j − k −g − c − a
Tratado en ORDEN (El padre entre sus hijos) obtendríamos como resultado:
d − b − h − e − i − a − f − c − j − g − k
Los procedimientos correspondientes a los tres tipos de recorridos anteriores serían los siguientes:
PROCEDURE PREORDEN (P ∶ puntero);
BEGIN
IF P <> NIL THEN
BEGIN
Tratamiento de P ↑PREORDEN (P ↑ . FG);
PREORDEN (P ↑ . FD)END
END;
PREORDEN (P)
P < > NIL P = NIL
Tratamientode P
PREORDEN (P .FG) PREORDEN (P .FD)
613
PROCEDURE POSTORDEN (P ∶ Puntero);
BEGIN
IF P <> NIL THEN
BEGIN
POSTORDEN (P ↑ . FG);
POSTORDEN (P ↑ . FD);
Tratamiento de P ↑END
END;
PROCEDURE EN ORDEN (P ∶ PUNTERO);
BEGIN
IF P <> NIL THEN
BEGIN
ENORDEN (P ↑, FG);
Tratamiento de P ↑ENORDEN (P ↑ . FD)
END
END;
POSTORDEN (P)
P < > NIL P = NIL
Tratamientode P
POSTORDEN (P .FG) POSTORDEN (P .FD)
ENORDEN (P)
P < > NIL P = NIL
Tratamientode P
ENORDEN (P .FG) ENORDEN (P .FD)
Ejemplo 2.- Tratar en PREORDEN el siguiente árbol ordenado:
2º 3º3 I
1II
4III
51º
I
8
6
IIIII
5, 3, 1, 4, 6, 8ÐÐÐÐÐÐÐÐÐ→
recorrido
Ejemplo 3.- Tratar en POSTORDEN el siguiente árbol ordenado:
2º
3º
3
I1
II4
III
5
1º
I 8
6III
II
1, 4, 3, 8, 6, 5ÐÐÐÐÐÐÐÐÐ→
recorrido
614
Ejemplo 4.- Tratar en ENORDEN el siguiente árbol ordenado:
2º
3º3
I1
II
4III
5
1º
I 8
6
III
II1, 3, 4, 5, 6, 8ÐÐÐÐÐÐÐÐÐ→
recorrido
¡¡Atención!! Observemos que el tratamiento ENORDEN sigue, siempre, la secuencia creciente de las
claves.
615
Lección 52.- RECURSIVIDAD
52.1 Recursividad
52.2 Ejemplos
52.3 Las torres de Hanoi
52.4 Identificar la bola
52.1 RecursividadLa recursividad es uno de esos conceptos que parecen desafiar su total comprensión y cuyo funciona-
miento permanece en un absoluto misterio, hasta que finalmente surge una pequeña pista de comprensión
y, entonces, se convierte en algo sencillo e incluso evidente.
Se habla de recursividad cuando una función o un procedimiento se llaman a sí mismos.
La recursividad es efectivamente posible. De hecho, tener un procedimiento que se llame a sí mismo
no es diferente, desde el punto de vista de su codificación, que tener un procedimiento que llame a otro
procedimiento.
¿Qué sucede realmente cuando un procedimiento llama a otro? Este es el proceso:
En primer lugar, el procedimiento que hace la llamada es suspendido; es decir, sus parámetros
formales y variables locales son almacenados en la pila del sistema.
A continuación, la dirección de retorno (la posición del código desde la cual se ha hecho la
llamada al procedimiento y a la cual ha de devolverse el control una vez finalice su ejecución)
también se almacena en la pila del sistema. Finalmente, el control pasa el código del procedi-
miento invocado.
Cuando este procedimiento se termina de ejecutar, la dirección de retorno y las variables y pa-
rámetros formales se recuperan en la pila del sistema. Entonces, el control es devuelto al punto
del código donde se realizó la llamada, que está localizado en la dirección de retorno.
Esto mismo sucede cuando el procedimiento se llama a sí mismo.
En una llamada recursiva se almacenan nuevas copias de los parámetros formales y las variables
locales del procedimiento en la pila. A continuación, el control se pasa nuevamente para el inicio
del procedimiento.
Los problemas comienzan cuando se llega al punto en que el procedimiento se llama, de nuevo,
a sí mismo. Una tercera copia de las variables y parámetros del procedimiento se almacena en
la pila, y éste empieza a ejecutarse otra vez.
Un cuarto almacenamiento, un quinto, . . . . . . y hasta unos cientos de llamadas, harán que la pila
aumente tanto que llegue a invadir otra zona, ya ocupada, de la memoria, y el sistema se venga
abajo.
Evidentemente, lo importante de la recursividad es saber cuando debe detenerse.
617
Un procedimiento recursivo ha de comprobar alguna condición antes de llamarse a sí mismo; así sabrá
si aún necesita hacerlo. Esta condición podrá ser la comparación de un contador frente a un número
predeterminado de llamadas recursivas, o alguna condición booleana que se hace cierta (o falsa) cuando
llega el momento de detener la llamada recursiva y volver hacia atrás.
Cuando se controla de este modo, la recursividad se convierte en una forma realmente potente y elegante
de resolver algunos problemas de programación.
Resumiendo mucho se podría decir que: Un objeto es recursivo si figura en su propia definición.
52.2 Ejemplos
En programación se dice que hay recursividad cuando la ejecución de un subprograma lanza una nueva
ejecución de este subprograma, directa o indirectamente, antes de haber terminado la anterior.
Ejemplo 1.- A partir de la definición recurrente de la función factorial, se puede escribir la función recursiva
siguiente:
FUNCTION FACTO (N ∶ INTEGER) ∶ LONGINT;
BEGIN
IF N = 0 THEN
FACTO ∶= 1
ELSE FACTO ∶= N∗FACTO (N−1)END;
Un primer esquema que representaría esta función sería el siguiente:
FACTO (N)
N = 0 N = 0/
FACTO :=1 FACTO :N FACTO (N 1)_*
618
y si, por ejemplo, hacemos N=3, la visualización de su desarrollo sería la siguiente:
FACTO (3)
BEGINIF N=0 THEN
FACTO :=1ELSE
FACTO :=3 FACTO (3 1)*END;
N
_
BEGINIF N=0 THEN
FACTO :=1ELSE
FACTO :=2 FACTO (2 1)*END;
_
BEGINIF N=0 THEN
FACTO :=1ELSE
FACTO :=1 FACTO (1 1)*END;
_
BEGINIF N=0 THEN
FACTO :=1ELSE
FACTO :=3 FACTO (0 1)*END;
_
FACTO :=3 2 1 1=6* * *
FACTO :=2 1 1* *
FACTO :=1 1*
52.3 Las torres de Hanoi
En el siglo XVII hizo su aparición en Europa un juego llamado las TORRES DE HANOI, con la
explicación de que el juego representaba una tarea que estaba realizándose en el templo de Brahma. En
el momento de la creación del mundo, los sacerdotes recibieron una plataforma de bronce sobre la cual
habría tres agujas de diamante. En la primera aguja estaban apiladas sesenta y cuatro discos de oro, cada
uno ligeramente menor que el que estaba debajo de él. A los sacerdotes se les encomendó la tarea de
pasarlos todos de la primera aguja a la segunda, utilizando la tercera como auxiliar, imponiéndoles dos
condiciones:
1º.- Sólo puede moverse un disco a la vez.
2º.- Ningún disco podrá ponerse encima de otro más pequeño.
Los sacerdotes fueron advertidos de que cuando hubieran terminado de mover los sesenta y cuatro discos,
llegaría el fin del mundo.
A (1) B (2) C (3)
////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
619
Nuestra tarea consiste en hallar una solución recursiva, escribiendo un programa que de una lista de
instrucciones para los sacerdotes, que podemos sintetizar mediante la instrucción:
MOVER (64, 1, 2, 3)
que significa: Muévanse 64 discos desde la aguja 1 a la 2, usando la aguja 3 como almacenamiento
intermedio.
La solución consiste en concentrarse no en el primer paso (que debe ser mover el disco situado en la cima
hacia alguna parte) sino en el paso más difícil, como es mover el disco del fondo, al que no hay forma
de llegar antes de mover los sesenta y tres discos que están sobe él, con la condición de que todos ellos
han de estar en la aguja 3, de manera que podamos trasladarlo de la aguja 1 a la aguja 2. Así, cuando lo
movamos, no podrá haber otros discos en las agujas 1 y 2.
Prestemos atención: Contamos ya con un pequeño paso que nos llevará a la solución, de la que todavía
no disponemos, pues nos queda por determinar como mover los sesenta y tres discos dos veces; con todo
se trata de un paso importante pues nada impide que desplacemos en la misma forma esos discos, pues
en ellos hay un disco grande que debe ser movido al final.
El programa que nos resuelve el problema es el siguiente:
PROGRAM HANOI;
CONST
NDISCS = 3;
TYPE
DISCOS = 0..NDISCS;
AGUJA = 1..3;
PROCEDURE MOVER (N ∶ discos; A, B, C ∶AGUJA);
Mueve N discos desde la aguja ‘A’ hasta la ‘B’, usando la ‘C’ como auxiliar
BEGIN
IF N > 0 THEN
BEGIN
MOVER (N−1, A, C, B);
WRITELN (‘MOVER UN DISCO DE’, A ∶ 3, ‘A’, B ∶ 3);
MOVER (N−1, C, B, A)
END
END;
BEGIN
MOVER (NDISCS, 1, 2, 3)
END.
620
La salida del programa, una vez ejecutado, nos dará las correspondientes instrucciones (Observemos que
en este caso hemos supuesto que el número de discos es N = 3; para un número de discos, mayor y en
principio sin límite, bastaría con cargar en N ese número, con la condición que no se nos produzca un
desbordamiento de la memoria del ordenador).
Las mencionadas instrucciones serán, en este caso:
MOVER UN DISCO DE 1 A 2
MOVER UN DISCO DE 1 A 3
MOVER UN DISCO DE 2 A 3
MOVER UN DISCO DE 1 A 2
MOVER UN DISCO DE 3 A 1
MOVER UN DISCO DE 3 A 2
MOVER UN DISCO DE 1 A 2
El árbol de recursión esquematizado será el siguiente:
MOVER (N, A, B, C)
N > 0 N < 0_
MOVER (N 1, A, C, B)_ MOVER (N 1, C, B, A)_W(A B) END
Siendo el desarrollado el siguiente en el que se ha marcado un camino (en rojo) que indica el orden en
que se han ido imprimiendo las instrucciones.
M (3,1,2,3)
M (2,1,3,2) M (2,3,2,1)
M (1,1,2,3) M (1,2,3,1) M (1,1,2,3)
M (0,1,3,2) M (0,3,2,1) M (0,2,1,3) M (0,1,3,2) M (0,3,2,1) M (0,1,3,2) M (0,1,3,2) M (0,3,2,1)
M (1,3,1,2)
W (1 2)
END END END END END END END END
Primer movimiento Último movimiento
W (1 3)
W (2 3)
W (1 2)
W (3 1) W (1 2)
W (3 2)
621
Observemos que:
El número de movimientos efectuados con los discos ha sido (para n = 3):
1
+2
+4
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
= 7 −(recuadros en rojo W(a→ b) significa: MOVER UN DISCO DE a a b) .
1+2+4 = 20+21+23−1
y que en general (para N cualquiera serían):
S= 20+21+ . . . . . . . . . +2N−1
2 ⋅S= 21+22+ . . . . . . . . . +2N
2 ⋅S−S = 2N−20 Ô⇒ S1 = 2N−1
El número de llamadas al procedimiento (incluida la primera) ha sido (para N = 3)
1
+2
+4
+8
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
= 15 −(recuadros en negro)
1+2+4+8 = 20+21+22+23
y en general serán:S2 = 2N+1
−1
¡¡Atención!! El establecimiento de un árbol de ejecución, análogo al anterior para un nú-
mero cualquiera de discos, es muy fácil de dibujar, sin la ayuda del ordenador, si nos fi-
jamos en como a partir de un padre se establecen sus tres hijos; de la siguiente manera:
M (N 1, a, c, b)_ W (a b)
M (N, a, b, c)
M (N 1, c, b, a)_
Así: Cuando nos inclinamos a la izquierda, se permutan los dos últimos números:
a, b, c pasan a ser a,c, b
Cuando nos inclinamos a la derecha, se permutan los extremos:a, b, c pasan a ser c, b, a
Cuando pasamos al centro simplemente se escriben los dos primeros:a, b, c pasan a ser a→ b .
622
52.4 Identificar la bola
Para terminar planteamos un problema clásico, fácilmente programable conocida la solución lógica que
desarrollaremos a continuación:
Un joyero ha fundido doce bolas, idénticas en su aspecto, dándose cuenta al terminar su trabajo que en
una de ellas varió su composición, lo que supuso que su peso sería distinto al de las demás. El reto es
la determinación de la tal bola, disponiendo sólo de una balanza de platillos, que sólo se permite utilizar
tres veces. El problema se resuelve de la siguiente manera:
PLANTEAMIENTO
Dadas doce bolas, todas iguales en diámetro y aspecto; pesan todas lo mismo, excepto una, de la que no
sabemos si pesa más o menos que cualquiera de las otras.
Se dispone de una balanza de platillos, sin pesas.
Se trata de determinar, como determinar, con sólo tres pesadas, cual es la bola distinta, y si ésta pesa más
o menos que las otras.
RESOLUCIÓN
Lo primero que haremos es etiquetar las bolas: A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L.
El proceso comienza colocando las cuatro primeras en el platillo izquierdo y las otras cuatro en el dere-
cho.
Se pueden plantear tres casos:
CASO 1º.- ABCD =EFGH (pesan igual. Luego la bola buscada está entre las cuatro restantes).
La siguiente pesada la haremos comparando: ABIJ con EFGK.
Puede ocurrir, entonces, que:
a.- También ahora: ABIJ =EFGK, lo que significará que la bola buscaba es la L; así, en una tercera
pesada, por comparación con cualquiera de las restantes averiguamos si pesa más o menos.
b.- Si ABIJ >EFGK, prepararemos la tercera pesada comparando: ABID con JEFG, resultando
que:
• Si ABID = JEFG, la bola buscada es la K (única suprimida), que pesa menos que las
restantes.
• Si ABID > JEFG, la bola será la I (única no movida) que pesa más.
• Si ABID < JEFG, esta inversión sólo puede haber sido producida por la bola J, que pesa
más que las restantes.
c.- Si ABIJ <EFGK, el procedimiento a seguir es análogo al del caso b.- .
623
CASO 2º.- Supongamos ahora que, ya desde el primer momento, tenemos: ABCD >EFGH.
Dispondremos la segunda pesada comparando: ABEI con CFJK.
Puede ocurrir entonces que:
a.- ABEI =CFJK. La bola buscada será la D, la G o la H. El caso es análogo al 1º.- b, por lo que la
tercera pesada será: ABDH con CFJK, resultando que:
• Si ABDH =CFJH, la bola es la G (y pesa menos)
• Si ABDH >CFJH, es la D (y pesa más)
• Si ABDH <CFJH, es la H (y pesa menos)
b.- ABEI >CFJK, la bola estará entre las A, B y F. Como antes dispondremos la tercera pesada
haciendo la comparación entre: AEGI con BJKL.
Puede ocurrir, entonces que:
• Si AEGI =BJKL, la bola es la F (y pesa menos)
• Si AEGI >BJKL, es la A (y pesa más)
• Si AEGI <BJKL, es la B (y pesa menos)
c.- ABEI <CFJK, la bola será la C o la E, que se han cambiado de platillo, por lo que la tercera
pesada comparará C con H, resultando que:
• Si C >H, la bola buscada es la C (y pesa más)
• Si C <H, será la E (y pesa menos)
(Observemos que no puede darse el caso: C =H)
CASO 3º.- Supondremos que tenemos: ABCD <EFGH.
Este caso es análogo al 2º.- caso, con resultados contrarios.
Si el problema se reduce al caso de tres bolas, el tratamiento sería el siguiente:
CASO 1º.- A =B (pesan igual, luego bola buscada es la C)
En una segunda pesada compararemos A y C, con lo que:
Si A <C, pesa más, y
si A >C, pesa menos.
CASO 2º.- A ≠B (pesan distinto, luego la bola buscada es la A o la B)
624
En una segunda pesada comparamos A y C, con lo que:
Si A =C, la bola es la B, y
si A ≠C, la bola es la A,
En una tercera pesada si (en el caso A =C):
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
A <B la bola B pesa más
A >B la bola B pesa menos
En el caso A ≠C, si
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
A <B la bola A pesa menos
A >B la bola A pesa más.
625
ALFABETO GRIEGO
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ALFABETO GRIEGO
Mayúsculas Minúsculas Nombre
A ααα Alfa
B βββ Beta
ΓΓΓ γγγ Gamma
∆∆∆ δδδ Delta
E εεε Epsilon
Z ζζζ Zeta
H ηηη Eta
ΘΘΘ ϑϑϑ Zita (Theta)
I ιιι Iota
K κκκ Kappa
ΛΛΛ λλλ Lambda
M µµµ Mu
N ννν Nu
ΞΞΞ ξξξ Xi
O o Omicron
ΠΠΠ πππ Pi
P ρρρ Ro
ΣΣΣ σσσ Sigma
T τττ Tau
ϒϒϒ υυυ Ipsilon
ΦΦΦ ϕϕϕ Fi
X χχχ Ji
ΨΨΨ ψψψ Psi
ΩΩΩ ωωω Omega
629
BIBLIOGRAFÍA
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Belda Villena, E.; Fz. de Troconiz, A. ANÁLISIS ALGEBRAICO, 1953
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