KAMATNI RAČUN

Kamatni račun je račun koji određuje odnose koji se uspostavljaju između dužnika i poverioca. Naime, dužnik pozajmljuje određeni novac od poverioca na određeno vreme i plaća određenu novčanu nadoknadu  poveriocu, kao naknadu za korišćenje pozajmljenog novca. Suma koju dužnik pozajmljuje od poverioca naziva se kapital ili glavnica i najčešće se označava sa K.

Iznos koji dužnik godišnje plaća za svakih 100 novčanih jedinica od pozajmljenog novca naziva se kamatna stopa ili interesna stopa. Kamatna (interesna) stopa se (isto kao i procentna stopa) može izražavati i u procentualnom i u decimalnom zapisu. Veza između decimalnog i procentualnog zapisa kamatne stope p je ista kao i kod procentne stope, tj:

p(decimalni zapis) = p(procentualni zapis/100) .

Ukupna suma koju dužnik isplaćuje poveriocu, kao nadoknadu za pozajmljeni novac na određeno vreme, uz kamatnu stopu p, naziva se  kamata ili interes i najčešće se obeležava sa I.

Vreme  t  za koje dužnik koristi novac poverioca i za koje se i  računa kamata se može dati u godinama ( tg ) , u mesecima ( tm ) i u danima ( td ). Ako je vreme za koje se računa kamata dato u danima, onda se ono može računati ili po kalendaru uz pretpostavku da godina ima 360 ili 365 dana, što se obeležava sa (k,360) ili (k,365), ili uz pretpostavku da svaki mesec ima 30 dana, a godina 360 ili 365 dana, što se obeležava (30,360) ili (30,365).

Kamatna stopa p se može vremenski menjati i može biti različita za različite iznose glavnice, što je predmet dogovora između dužnika i poverioca.

Kamata se izračunava u nekim vremenskim intervalima, koji se određuju dogovorom između dužnika i poverioca. Taj vremenski interval u kome se izračunava kamata se zove obračunski period.

Kamata se može računati na istu osnovicu u svim obračunskim periodima i tada se takav račun naziva prost kamatni račun, a može se računati i tako što se osnovica, na koju se kamata računa u datom obračunskom periodu, uvećava za kamatu iz prethodnog  obračunskog perioda i tada se takav račun naziva složen kamatni račun.

1

1. PROST KAMATNI RAČUN

Prost kamatni račun je račun koji određuje zavisnosti između kapitala (glavnice) K, interesa (kamate) I, interesne (kamatne) stope p (koja je data na godišnjem nivou) i vremena za koje se računa kamata t, gde se kamata obračunava uvek na istu osnovicu. Ove zavisnosti određuje sledeća teorema.

Teorema 1. (osnovna teorema prostog kamatnog računa)

Ako je dužnik pozajmio glavnicu K od poverioca pod kamatnom (interesnom) stopom p, onda kamata (interes) I koju on mora da plati poveriocu posle vremena t datog u godinama (t=tg)  iznosi

a njegov ukupni dug prema poveriocu posle vremena t datog u godinama (t=tg)  iznosi

Ako je vreme t dato u mesecima tm  ili u danima td ( pod uslovima (k,360) ili (k,365)) onda važi

pa je kamata

a ukupni dug  je

2

2. SLOŽEN KAMATNI RAČUN

Kao što je već rečeno, osnovna razlika između prostog i složenog kamatnog računa je u tome što se kod prostog kamatnog računa kamata u svim obračunskim periodima obračunava na istu sumu (početnu glavnicu), a kod složenog kamatnog računa, u svakom obračunskom periodu, kamata se računa na sve veću glavnicu, odnosno na glavnicu iz prethodnog perioda  uvećanu za iznos kamate iz prethodnog perioda. Zbog ovakvog povećanja glavnice iz perioda u period, veći su iznosi kamate kod složenog kamatnog računa od kamata koje daje prost kamatni račun.

U praksi se kamata najčešće obračunava i dodaje kapitalu (kapitališe) godišnje, polugodišnje, kvartalno (tromesečno) i neprekidno uz kamatnu stopu p(decimalni zapis) koja se određuje na godišnjem nivou.

Ako se izračunavanje kamate i njeno dodeljivanje kapitalu vrši na kraju svakog obračunskog perioda, tada se takvo računjanje kamate naziva dekurzivnim i obeležava se slovom d uz kamatnu stopu, na primer 5%(d).

Ako se izračunavanje kamate i njeno dodeljivanje kapitalu vrši na početku svakog obračunskog perioda (unapred), tada se takvo računjanje kamate naziva anticipativnim i obeležava se slovom a uz kamatnu stopu, na primer 5%(a).

2.1. Dekurzivni složeni kamatni račun

Veličine koje figurišu prilikom izračunavanja dekurzivnog složenog kamatnog računa su:

K0 - početna vrednost kapitala, odnosno glavnica koju je dužnik pozajmio od poverioca pod određenim kamatnim uslovima

t - vreme na koje je dužnik pozajmio novac, odnosno vreme posle koga se izračunava krajnja vrednost kapitala

Kt - krajnja vrednost kapitala, odnosno zbir glavnice i kamate na tu glavnicu koje dužnik duguje poveriocu posle vremena t

p(d) - dekurzivna interesna (kamatna) stopa na godišnjem nivou (decimalni zapis)

m - broj obračunskih perioda u toku jedne godine (ovaj broj je obično ceo broj)

tm- vreme obračunskog perioda, odnosno vremenski interval obračunavanja kamate i njegovog dodavanja kapitalu

l - ukupan broj obračunskih perioda u toku ukupnog vremena t na koje je dužnik pozajmio novac (ovaj broj ne mora biti ceo broj)

3

Naravno, proizvod ukupnog broja obračunskih perioda i vremena obračunskog perioda predstavlja ukupno vreme na koje je dužnik pozajmio novac, odnosno

odnosno

Takođe, ako je vreme obračunskog perioda (tm)  dato u godinama, između broja obračunskih perioda u toku jedne godine (m) i vremena obračunskog perioda datog u godinama (tm)  važi sledeća relacija

Odnos izmedju krajnje i početne vrednosti kapitala kod složenog kamatnog računa, za date uslove kamaćenja, kada je vreme na koje je dužnik pozajmio novac jednako celom broju obračunskih perioda  (l je ceo broj) je odnos između krajnje i početne vrednosti kapitala i određuje ga sledeća teorema.

Teorema 7. (složen kamatni račun, vreme ukamaćivanja je jednako celom broju obračunskih perioda)

Ako je dužnik uzeo od poverioca  na zajam kapital K0 pod godišnjom dekurzivnom kamatnom stopom p (decimalni zapis), uz godišnje kapitalisanje u m obračunskih perioda, onda posle vremena t koje je jednako l obračunskih perioda, gde je l ceo broj, krajnja vrednost kapitala Kt  iznosi

Primena ove teoreme u slučaju kada je kapitalisanje godišnje (m=1), a vreme za koje se računa krajnja vrednost kapitala dato u godinama (t = n godina) daje sledeće:

U slučaju kada se m puta u toku godine vrši kapitalisanje, a vreme za koje se računa krajnja vrednost kapitala je takodje dato u godinama ( t = n godina), tada je

pa je

4

Izraz

se vrlo često koristi u složenom kamatnom računu za različite vrednosti  p% i  n , pa su, zbog njegove lakše i brže primene, izračunate vrednosti tog izraza za razne vrednosti p% i  n, i date u vidu tablice .

Recipročna vrednost tabličnih vrednosti tablice je data u vidu tablice  .  Dakle, važi 

Teorema 7. definiše odnos između pet veličina  K0, Kt, p, m, l. Ako su poznate bilo koje četiri od ovih veličina, onda je uvek moguće izračunati preostalu nepoznatu veličinu jednostavnim rešavanjem jednačine date u Teoremi 7. po toj nepoznatoj veličini.

Odnos izmedju krajnje i početne vrednosti kapitala kod složenog kamatnog računa, za date uslove kamaćenja, kada vreme na koje je dužnik pozajmio novac nije jednako celom broju obračunskih perioda  (l nije ceo broj): u praksi, vreme na koje je dužnik pozajmio novac, često nije jednako celom broju obračunskih perioda ( l nije ceo broj) . Veza između krajnje i početne vrednosti kapitala se u tom slučaju može odrediti kombinovanjem metode prostog i složenog kamatnog računa (ovo su takozvane metode prekidnog kapitalisanja), kao i metodom neprekidnog (kontinualnog) kapitalisanja. U ovom slučaju:

a) je količnik realan broj

b) i da , ako se sa  obeleži ceo deo tog realnog broja, važi

gde  tost  može biti dato:

5

- u danima, obeležavamo ga sa   tost (d)

- u mesecima, obeležavamo ga sa  tost (m)

- u godinama, obeležavamo ga sa tost (g)

Tako, na primer ako je: t = 7godina i 8 meseci (odnosno 92 meseca),  a tm= 6 meseci onda je:

meseci = 2 meseca

Metode prekidnog kapitalisanja su:

-         racionalni metod

-         komercijalni metod.

Način izračunavanja krajnje vrednosti kapitala racionalnom metodom prekidnog kapitalisanja, određuje sledeća teorema.

Teorema 8. (racionalni metod)

Ako je dužnik uzeo od poverioca  na zajam kapital K0 pod godišnjom dekurzivnom kamatnom stopom p (decimalni zapis), uz godišnje kapitalisanje u m obračunskih perioda, onda posle vremena t  krajnja vrednost kapitala Kt , po racionalnom metodu prekidnog kapitalisanja, iznosi

gde je tm vreme obračunskog perioda.

Način izračunavanja krajnje vrednosti kapitala komercijalnim metodom prekidnog kapitalisanja, određuje sledeća teorema.

Teorema 9. (komercijalni metod)

6

Ako je dužnik uzeo od poverioca  na zajam kapital K0 pod godišnjom dekurzivnom kamatnom stopom p (decimalni zapis), uz godišnje kapitalisanje u m obračunskih perioda, onda posle vremena t  krajnja vrednost kapitala Kt, po komercijalnom  metodu prekidnog kapitalisanja,  iznosi:

a) ako je tost u godinama

b) ako je tost u mesecima

c) ako je tost u danima

gde je tm vreme obračunskog perioda.

Očigledno je da komercijalna metoda predstavlja kombinovanje složenog i prostog kamatnog računa, na način, gde se za deo vremena t, koji predstavlja ceo broj

obračunskih perioda , kamata obračunava pravilima složenog kamatnog računa, dok

se za ostatak vremena tost, kamata obračunava pravilima prostog kamatnog računa.

Metod neprekidnog kapitalisanja određuje krajnju vrednost kapitala kao graničnu vrednost krajnje vrednosti kapitala dobijene pomoću metoda racionalnog prekidnog kapitalisanja, kada broj obračunskih perioda u toku jedne godine teži u beskonačnost (m).

Način izračunavanja krajnje vrednosti kapitala neprekidnim kapitalisanjem određuje sledeća teorema.

Teorema 10. (neprekidno kapitalisanje)

Ako je dužnik uzeo od poverioca  na zajam kapital K0 pod godišnjom dekurzivnom kamatnom stopom p (decimalni zapis), uz uslove neprekidnog kapitalisanja, onda posle vremena t datog u godinama,  krajnja vrednost kapitala Kt  iznosi:

7

Dokaz: Pošto je vreme t dato u godinama, onda u formuli za metodu racionalnog prekidnog kapitalisanja i vrednost za tm  je takođe data u godinama. Za tm dato u godinama , kao što je ranije rečeno, važi

pa  imajući u vidu da metod neprekidnog kapitalisanja određuje krajnju vrednost kapitala kao graničnu vrednost krajnje vrednosti kapitala dobijene pomoću metoda racionalnog prekidnog kapitalisanja, kada broj obračunskih perioda u toku jedne godine teži u beskonačnost (m), važi sledeće:

Kraj dokaza.

2.1.1. Konformna kamatna stopa

Moguće je pokazati da se povećanjem broja kapitalisanja u toku jedne godine (povećanjem m), uz uslov nepromenjenosti kamatne stope p, povećavaju iznosi kamate i iznosi krajnje vrednosti kapitala Kt. Ovu činjenicu zajmodavac (recimo štediša) može iskoristititi tako, što bi podizao svoje uloge zajedno sa pripadajućom kamatom ranije od obračunskog perioda, i taj ulog zajedno sa pripadajućom kamatom ponovo po istim uslovima oročavao. Ponavljanjem ovakvog procesa, štediša bi postigao da mu se glavnica više puta kapitališe od unapred dogovorenog broja kapitalisanja i samim tim mnogo više uveća od očekivanog.

Ovakve operacije postaju beskorisne ako banka uvede novu kamatnu stopu koja bi, i pored većeg broja kapitalisanja u toku jedne godine, davala za godinu dana iste iznose kamate kao i godišnja kamatna stopa sa jednim kapitalisanjem. Takva kamatna stopa naziva se konformna kamatna stopa, i obeležavamo je sa pk,m (decimalni zapis).

Teorema 11. (konformna kamatna stopa)

Konformna kamatna stopa pk,m (decimalni zapis), tj. stopa koja sa m kapitalisanja početnog kapitala K0 u toku godine, daje isti iznos krajnje vrednosti kapitala K t  kao i kamatna stopa p sa jednim kapitalisanjem u toku godine, se izračunava po formuli:

Dokaz:  Krajnja vrednost početnog kapitala K0 posle jedne godine sa godišnjim kapitalisanjem kamatnom stopom p je

8

dok  krajnja vrednost početnog kapitala K0  posle jedne godine uz m kapitalisanja u toku jedne godine sa kamatnom stopom pk,m  iznosi

mmkt pKK ,0 1

Iz uslova jednakosti ova dva kapitala, sledi

9