Kriterijumi stabilnosti(1).ppt

7/26/2019 Kriterijumi stabilnosti(1).ppt

1/32

StabilnostKriterijum stabilnosti


2/32

Sadraj

Pojam stabilnosti

DefinicijeSpregnuti prenos

Algebarski kriterijum Hurvic (Hurwit! "ov

Algebarski kriterijum #aut (#out$! "ov

%rafo"analiti&ki 'ajkvist (')wist! "ov


3/32

Pojam stabilnosti

* + op,tem slu&aju stabilnost SA+ se defini,e kao svojstvo sistema da seprilikom ivo-enja i ravnotenog (stacionarnog! stanja sam. bespolja,njeg dejstva. vrati u to ravnoteno stanje/ Drugi na&in formulacijestabilnosti sistema je da na ograni&ene vrednosti ulane veli&ine. sistemdaje ograni&ene vrednosti ilanog signala/

* Ako sistem ima osobinu da pri odre-enim uslovima do-e u stanjesamooscilovanja ili nekontrolisanog pove0anja upravljane veli&ine(signala gre,ke! onda je on nestabilan/ 'estabilnost sistema je pojavakoja nikako nije dovoljena kod SA+ i dva osnovna raloga1 (a!veli&ina koja se reguli,e osciluje u ,irokom opsegu. pri &emu se ne

dovodi ili bar pribliava nekom malom odstupanju od eljene vrednosti.&ime se ne ispunjava osnovni cilj regulisanja2 (b! nekontrolisanooscilovanje moe dovesti do naru,avanja integriteta $ardvera sistema,to a posledicu moe imati veoma velike materijalne gubitke. pa &ak iugroavanje ljudski$ ivota/


4/32

Pojam stabilnosti

3! stabilna ravnotea

b! labilna ravnoteac! indiferentna ravnotea


5/32

Pojam stabilnosti

Kada se na ulau pojavi impulsna pobuda odivi mogu biti1

a! 4a stabilan sistemb! 4a grani&no stabilan sistem

c! 4a nestabilan sistem


6/32

Definicije5/

6/Kada je pobuda sistema 7(t!

8/ Kada su svi polovi (koreni karakteristi&nejedna&ine! funkcije prenosa 9(s!:P(s!;


7/32

Definicije

* Diferencijalna jedna&ina dinami&kog pona,anjasistema

* Ako se pretpostavi da na sistem od trenutka t = =po&inje da deluje neka ulana veli&ina r(t!

* >lana veli&ina moe predstaviti kao bir dvekomponente1 komponente stacionarnog stanja ystikomponente prelanog procesa ?y

( ) ( 1)

1 1 0

( ) ( 1)1 1 0

. . .

. . .

m m

m m

n nn n

a x a x a x a x

b y b y b y b y

+ + + + =

= + + + +

( ) ( 1) ( ) ( 1)

1 1 0 1 1 0. . . . . .n n m m

n n m mb y b y b y b y d r d r d r d r

+ + + + = + + + +


8/32

Definicije

* @nda je1

* Prelana komponenta se dobija kao op,te re,enje$omogene linerane diferencijalne jedna&ine1

* Sa re,enjem u obliku1

* @p,te re,enje $omogene linearne diferencijalne

jedna&ine je1

* e je ilana veli&ina1

( ) ( ) ( )sty t y t y t= +

( ) ( 1)1 1 0. . . 0n nn nb y b y b y b y + + + + =

( ) ty t e=

1 2

1 2( ) . . .ntt t

ny t C e C e C e = + + +

1 2

1 2( ) . . . ( )ntt t

n sty t C e C e C e y t

= + + + +


9/32

Definicije

* @davde proiilai jo, jedna mogu0a definicijastabilnosti SA+1 linearan kontinualan SA+ jeapsolutno stabilan ako je ispunjen uslov1

* Bto je ispunjeno a odre-ene vrednosti Ck

5/Ckuvek manje od =. . onda1

Kada . tada svi &lanovi tee =/ +slovstabilnosti je adovoljen/

lim ( ) 0t y t =

k k =

1 2

1 2( ) . . .ntt t

ny t C e C e C e

= + + +t


10/32

Definicije

6/ K"ti sabirak je konjugovano kompleksni parpolova1

Ako je . onda 0e a . biti

prigu,ena kvaiperiodi&na funkcija/8/ Ako je realni deo konjugovano kompleksnog para

jednak nuli . onda je funkcija periodi&naneprigu,ena. pa uslov stabilnosti nije ispunjen/

( ) ( )

( )( )

1

1sin sinsin

k k k k

k

k

j t j t

k k

t

k k k k

t

k k k

C e C e

e C t C t D e t

+

+

+

+ =

= =

= +

0k < t ( )y t

0k =


11/32

Spregnuti prenos

Prenosna funkcija spregnutog prenosa


12/32

Algebarski kriterijum

* Karakteristi&na jedna&ina1

* aktoriacijom karakteristi&ne jedna&inese dobija1


13/32


Polovi karakteristi&ne jedna&ine mogu biti realni i prosti i;ilikonjugovano kompleksni/ Ako se pri tome na ula ovede impulsna

pobuda1

EF/

%de su1 "Gi realni polovi. dok su "CkjIkkompleksni

polovi i Ji. kL Mkkonstante/

( ) ( ) ( )W s s Y s =

( )2 2

1 1

( )p r

i k k

i kik k

A B s CY s

s s = =

+= +

+ +


14/32


* Primenom inverne Naplasove transformacije odivprelai u vemenski domen1 (adiciona formula a sin Ocos!

( )1 1

( ) sini kp r

t t

i k k k

i k

y t A e D e t

= =

= + +

( ) lim ( ) 0t

y y t

= =4a uslov stabilnosti1


15/32

Algebarski kriterijum+slov stabilnosti 0e biti adovoljen samo ako1

Svi polovi sistema imaju realni deo manji od =/


16/32

Algebarski kriterijumAko sistem ima bar jedan pol u koordinatnom

po&etku (pol je jednak nuli! onda je on grani&no

stabilan/

Ako je Gi := a ostali polovi imaju realne delove

manje od = onda je sistem na aperiodi&noj

granici stabilnosti/ Ako je "CkjIk:= onda je sistem na osilatornoj

granici stabilnosti/


17/32

Hurvicov (Hurwit! kriterijum

* Kriterijum stabilnosti se asniva na formiranju matricesa&injene od koeficijenata karakteristi&nog polinoma sistemai ispitivanju poitivnosti dijagonalni$ determinanti formiranematrice/

* >li u faktoriovanom obliku

* noenjem &inilaca se dobija

11 1 0( ) . . .n nn n nQ s a s a s a s a= + + + +

( ) ( ) ( )1 2( ) . . . 0n n nQ s a s s s s s s= =

( ) ( )

( ) ( )

1 2

1 2 1 2 1 3 2 3

3

1 2 3 1 2 4 1 2 3

( ) . . . . . .

. . . . . . 1 ...

n n n

n n n n n

nn

n n n

Q s a s a s s s s a s s s s s s s

a s s s s s s s a s s s s

= + + + + + +

+ + + +


18/32

Hurvicov (Hurwit! kriterijum* + sstoje koeficijenti karakteristi&nog polinoma

* Karakteristini polinom sistema ima sve levekorene samo ako su mu svi koeficijenti

razliiti od nule i pozitivni.

* Hurvicova matrice dimenija nQn

1 3 5

2 4

1 3

2

2 0

... 0 0

... 0 0

0 ... 0 0

0 ... 0 0

. . . . . .

0 0 0 ...

n n n

n n n

n n

n n

a a a

a a a

a a

a a

a a


19/32

Hurvicov (Hurwit! kriterijum

* 'a osnovu formirane determinante se defini,eHurvicov kriterijum stabilnosti kao1 sistem e bitistabilan ako su svi dijagonalni minori Hurvicove

matrice pozitivni.* Primer1 >spitati stabilnost sistema sa karakteristi&nim

polinomom 3 2( ) 2 24Q s s s s= + + +

1 24 0

1 2 0

1 24

1

2

3 2 0

1 1 0;

1 241 2 1 24 22 0;

1 2

22 24 528.a

= = >

= = =

Documents

Kriterijumi stabilnosti(1).ppt