Lab. Vezba - Paralelno RLC Kolo

Priručnik za laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike

45

vežba broj 11

11.11.11.11. PARALELNO RLC KOLOPARALELNO RLC KOLOPARALELNO RLC KOLOPARALELNO RLC KOLO

U ovoj vežbi:

Aktivna, reaktivna i prividna provodnost

Antirezonantno kolo

Pretežno kapacitivno kolo

Pretežno induktivno kolo

Trougao admitansi

Paralelna veza 2 prijemnika

Teorijska OsnovaTeorijska OsnovaTeorijska OsnovaTeorijska Osnova

Ako imamo prijemnik koji se sastoji od paralelne veze otpornika, kalema i kondenzatora, onda

taj prijemnik ima svoju aktivnu, reaktivnu i prividnu provodnost i razliku faza električne struje i

napona na njemu. CCC

G L Cu

+i

Slika 11.1

Admitansa prijemnika Y je prividna provodnost prijemnika. Definiše se količnikom amplitude

struje i napona na prijemniku:

22

m

m BGU

I

U

IY +=== .

Admitansa je uvek pozitivna (amplitude Im i Um su uvek pozitivne).

G je aktivna provodnost prijemnika (konduktansa) i uvek je pozitivna.

B je reaktivna provodnost prijemnika (susceptansa):

LCBBB LC

ωω

1−=−= .


46

<<

==

>>

LC

LC

LC

B

ωω

ωω

ωω

1,0

1,0

1,0

, kolo je pretežno kapacitivno

, antirezonantno kolo

, kolo je pretežno induktivno

Reaktivna provodnost može biti pozitivna (kada je kapacitivni deo veći od induktivnog). Tada

kažemo da se prijemnik ponaša kao kapacitivnost.

Reaktivna provodnost može biti negativna (kada je kapacitivni deo manji od induktivnog). Tada

kažemo da se prijemnik ponaša kao induktivnost.

Antirezonantno kolo je paralelno RLC kolo u kome kalem i kondenzator imaju takve vrednosti

induktivnosti i kapacitivnosti da je reaktivna provodnost kola jednaka 0.

Glavne karakteristike antirezonantnog kola su da je admitansa minimalna (impedansa

maksimalna), a električna struja u napojnoj grani minimalna.

Za paralelnu vezu se definiše fazna razlika struje i napona:

G

LC

G

B ωω

θψν

1

arctgarctg

−

==−= .

Svi ovi obrasci mogu se pamtiti pomoću ’’trougla admitansi’’:

22 BGY ++++====

G

B

G

Barctgtg ====⇒⇒⇒⇒==== νννννννν

ννννcosYG ====

ννννsinYB ====

ν

G

BY


47

Paralelna veza dva prijemnika

Ako imamo paralelnu vezu dva RLC prijemnika, onda prilikom proračuna važe sledeća pravila:

CCC

u

+

i

G1 L1 C1 CCCG2 L2 C2

Slika 11.2

Aktivne provodnosti u paralelnoj vezi se smeju sabirati:

21e GGG +=

Reaktivne provodnosti u paralelnoj vezi se smeju sabirati:

21e BBB +=

Admitanse u paralelnoj vezi se ne smeju sabirati:

21e YYY +≠

Fazne razlike u paralelnoj vezi se ne smeju sabirati:

21e ννν +≠

U paralelnoj vezi se ne smeju sabirati parametri redne veze!


48

Zadatak Zadatak Zadatak Zadatak VVVVežbeežbeežbeežbe

Na osnovu urađenog primera reši preostale navedene zadatke.

11.1 Otpornik provodnosti G = 1 mS, kalem induktivnosti L = 100 mH i kondenzator

kapacitivnosti C = 200 nF vezani su paralelno, a između njihovih krajeva je uspostavljen

prostoperiodičan napon efektivne vrednosti U = 22 V, kružne učestanosti ω = 104

s-1

i početne

faze 4/πθ = prema usvojenom referentnom smeru. Odrediti struju napojne grane ove paralelne

veze. Kakvog je karaktera ova veza elemenata?

CCC

G L C

i(t)

u(t)

Rešenje:

Napišimo najpre izraz za trenutnu vrednost napona. Data je efektivna vrednost napona pa je

amplituda:

V42V222m =⋅== UU .

Otuda je izraz za trenutnu vrednost napona:

( ) ( ) V4

10sin4sin4

m

+=+=

πθω ttUtu .

CCC

G L C

i(t)

u(t)

i (t)R i (t)L i (t)C

Slika 11.3

Analiza paralelnog RLC kola vrši se na analogan način analizi radnog RLC kola. Struje kroz

pojedine elemente, prema usaglašenim referentnim smerovima (slika 11.3), su:

( ) ( ) ( )θω +⋅=⋅= tUGtuGti sinm ,

( )

++⋅=

2sinmC

πθωω tUCti ,

( )

−+⋅=

2sin

1mL

πθω

ωtU

Lti .

Za trenutne vrednosti napona i struja važe Kirhofovi zakoni pa je prema prvom Kirhofovom

zakonu:


49

( ) ( ) ( ) ( ) =++= titititi LCR

( ) =

−+⋅+

++⋅++⋅=

2sin

1

2sinsin mmm

πθω

ω

πθωωθω tU

LtUCtUG

( ) )cos(1

sinm θωω

ωθω +

−++⋅= tU

LCtUG m .

I ovde smo primenili činjenicu da je:

απ

α cos2

sin =

+ i α

πα cos

2sin −=

− .

Primenom trigonometrijske relacije:

)A

Barctgsin(BAcosBsinA

22+⋅+=+ ααα ,

na izraz za napon na rednoj RLC vezi, dobijamo:

)

1

arctgsin(1

)sin(

2

2

G

CL

tUL

CGtI mm

ωω

θωω

ωψω

−

++

−+=+ .

Izjednačavanjem amplitude i faze leve i desne strane jednakosti dobijamo odnos amplituda i

razliku faza struje i napona paralelne veze. Generalno, odnos amplituda struje i napona na nekoj

vezi elemenata nazivamo admitansa Y. Admitansa paralelne veze je:

2

2

m

m 1

−+===

LCG

U

I

U

IY

ωω .

Vidimo da je admitansa uvek pozitivna veličina s obzirom da predstavlja odnos amplituda

koje su pozitivne veličine. Veličina G naziva se aktivna provodnost ili konduktansa. Veličina

LC

ωω

1− naziva se reaktivna provodnost ili susceptansa paralelne veze, a predstavlja razliku

susceptansi kondenzatora i kalema. Generalno, susceptansu obeležavamo sa B, pa je u opštem

slučaju admitansa neke veze elemenata: 22 BGY += .

Susceptansa paralelne veze je dakle:

LCBBB LC

ωω

1−=−= .

Razliku faza struje i napona obeležavamo sa ν . Razlika faza struje i napona paralelne veze je:

G

LC

G

B ωω

θψν

1

arctgarctg

−

==−= .

Odavde je:

G

B=νtg .


50

Odredimo sinus i kosinus razlike faza napona i struje. Primenimo trigonometrijske veze između

sinusa, kosinusa i tangensa ugla:

Y

G

BG

G

G

B

=+

=

+

=+

=2222

1

1

tg1

1cos

νν ,

Y

B

BG

B

G

B

G

B

=+

=

+

=+

=2222

2

1tg1

tgsin

ν

νν .

S obzirom da su veličine G i Y uvek pozitivne

veličine, i kosinus ugla ν je uvek pozitivan. Pošto

veličina B može biti i pozitivna i negativna, sinus

ugla ν može biti i pozitivan i negativan. Na osnovu

prethodnog se zaključuje da je oblast definisanosti

razlike faza između struje i napona:

22

πν

π≤≤− ,

što je prikazno na trigonometrijskom krugu na

slici 11.4.

Zamenimo brojne vrednosti u izraze. Susceptansa posmatrane paralelne veze je:

mS1mS1mS2H10100s10

1-F10200s10

1314

914 =−=⋅⋅

⋅⋅=−=−=−−

−−

LCBBB LC

ωω .

Admitansa posmatrane paralelne veze je:

( ) ( ) ( ) mS2mS12mS1mS11 22222

2

2 =⋅=+=+=

−+= BG

LCGY

ωω .

Amplituda struje kroz napojnu granu je:

mA24A1024V4S102 33

mm =⋅=⋅⋅=⋅= −−UYI .

Razlika faza struje i napona posmatrane paralelne veze je:

1 arctgmS1

mS1arctgarctg

1

arctg ===

−

=G

B

G

LC

ωω

ν .

0

1

-1

-1

1

oblastdefinisanosti za ν

0cos >ν

cosν

sinν

Slika 11.4


51

Teoretski, izraz 1 arctg ima dva rešenja: 4

π i

4

3π− ,

kao što je prikazano na slici 11.3. Međutim, s obzirom na

oblast definisanosti ugla 22

πν

π≤≤− , jedino moguće

rešenje je:

4

πν = .

Početna faza struje je:

244

πππνθψ =+=+= .

Sada možemo napisati izraz za trenutnu vrednost struje napojne grane:

( ) ( ) mA2

10sin24sin4

m

+=+=

πψω ttIti .

Na slici 11.6 prikazani su grafici promene trenutnih vrednosti napona i struje posmatrane

paralelne veze.

tωπ π2 π30

4

πθψν =−=

i (t )

u (t )

θ

ψ

π2

π4

Slika 11.6

Sa slike vidmo da struja prednjači naponu za 4

π pa je razlika faza između struje i napona

pozitivna, kao što smo računskim putem dobili. Dakle, posmatrana redna veza ima kapacitivni

karakter jer struja prednjači naponu.

Generalno, kada je susceptansa veze elemenata pozitivna, 0>B , tada je i razlika faza između

struje i napona pozitivna, 0>ν , i tada veza ima pretežno kapacitivni karakter. Obrnuto, kada je

0

1

-1

-1

1

43π−

4π

12

12

Slika 11.5


52

reaktansa veze elemenata negativna, 0<B , tada je i razlika faza između struje i napona negativna,

0<ν , i tada veza ima pretežno induktivni karakter.


53

Analiza paralelnog RLC kola

Otpornik otpornosti R=800Ω, kalem induktivnosti L=80mH i kondenzator kapacitivnosti

C=250nF su povezani redno i priključeni na izvor prostoperiodničnog napona efektivne vrednosti

U=50V i kružne učestanosti ω=104

s-1

.

a) Odrediti konduktansu, suceptansu i admitansu paralelne veze

b) Odrediti razliku faza struje u napojnoj grani kola i napona na krajevima veze

c) Odrediti izraz po kome se menja trenutna vrednost struje u kolu.

d) Analizirati kolo uz pomoć računara i nacrtati grafik talasnih oblika napona i struje

e) Uz pomoć osciloskopa odrediti faznu razliku između struje i napona.

a) Konduktansa paralelne veze jednaka je recipročnoj vrednosti otpornosti otpornika u paralelnoj

grani:

______________________________ ______________

Da bi se odredila suceptansa veze RLC potrebno je izračunati suceptanse kalema i

kondenzatora:

______________________________ ______________

______________________________ ______________

Suceptansa kola je:

______________________________ ______________

Admitansa kola je:

______________________________ ______________

b) Fazna razlika struje i napona u(t) u kolu je:

______________________________ ______________

c) Efektivna vrednost struje:

______________________________ ______________

Ako je početna faza napona θ = 0, tada je početna faza struje:

ψ ______________________________ ______________

Trenutna vrednost struje je:

_______________________________________________


54

d) Nacrtati kolo kao na slici 10.7 i simulirati rad na računaru.

Ako posmatramo kolo na slici 11.7 primećujemo da je otpornik Rpom vezan na red sa naponskim

generatorom, tako da ćemo posmatranjem oblika napona na krajevima tog otpornika snimiti oblik

struje kroz napojnu granu, zato što su kod otpornika napon i struja u fazi, a vrednost otpornika koja

je zanemarljivo mala u odnosu na impedansu paralelne veze ne utiče na stanje u kolu. Nakon crtanja

talasnih oblika uneti podatke podešavanja osciloskopa u tabelu.

Slika 11.7

R = 800Ω ;

C = 250nF ;

L = 80mH ;

U = 50V

ω = 104

s-1

f = ?

f=_________

Grafik 5

Tabela 11.1 Podešavanje osciloskopa

(uneti na kom su kanalu priključeni signali)

Razmera vremenske baze (ms/pod)

______ - Kanal 1 (V/pod)

______ - Kanal 2 (V/pod)


55

f) Uz pomoć osciloskopa odrediti faznu razliku između napona i struje

Podešavanje osciloskopa za merenje fazne razlike između dva prostoperiodična signala

Dvokanalni osciloskop se može koristiti za analizu odnosa između dva signala, na vežbama iz

osnova elektrotehnike koristće se i za merenje fazne razlike između 2 signala. Pretpostavimo da su

oba kanala osciloskopa već povezana u kolo i da se nakon podešavanja parametara vremenske baze

i kanala A i B, dobija izgled signala kao na slici 11.8. Sa slike je jednostavno utvrditi da signal uA

prednjači za 45˚ u odnosu na signal uB. Kako to utvrditi uz pomoć osciloskopa?

Slika 11.8. Signali na oba kanala osciloskopa, sa karakterističnim

veličinama Δt i T

t

Ttft ∆⋅=∆⋅=∆⋅=

122 ππωϕ , 4

[ ]rad

T

t 2πϕ

∆= , 5

[ ]°°⋅

∆= 360

T

tϕ . 6

Na slici 11.8 označena je fazna razlika φ, Δt je vreme za koje je signal uA prednjači u odnosu na

signal uB, a T je perioda signala. Osciloskopom se određuju vrednosti ∆t i T, na indentičan način kao

u predhodnoj vežbi postavljanjem markera na karakteristične tačke. Dobijene vrednosti se ubacuju

u jednačinu 3, a tačnost rezultata zavisi isključivo od preciznog postavljanja markera. Izvršite

merenja i podatke unesite na za to predviđena mesta i izračunajte faznu razliku:

∆ _____________________ , _____________________

∆

360° _____________________

Documents

Lab. Vezba - Paralelno RLC Kolo