Existem duas formas de se pensar a questão da composição demovimento. Uma primeira forma de se entender a composição demovimentos (aqui é melhor falar em decomposição de movimentos) épensar o movimento de um objeto como resultante de dois ou três outrosmovimentos retilíneos ao longo de eixos ortogonais. Por exemplo, noestudo do lançamento de projéteis, Galileu introduziu a decomposição domovimento em duas componentes, uma horizontal e uma vertical. Doismovimentos, descritos de uma forma simples em dois eixos ortogonais. Adecomposição de movimentos é, assim, um artifício para equacionaralguns problemas em duas (no plano) ou três (no espaço) dimensões emtermos de equações de uma dimensão em função do tempo.

Lançamento horizontal

Lançamento Oblíquo

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“No que pretendo tratar agora, tentarei apresentar e estabelecer, através dedemonstrações exatas, algumas conseqüências particulares interessantes edignas de serem conhecidas e que são próprias de um móvel quando semovimente com um movimento composto por outros dois, a saber, ummovimento uniforme e outro naturalmente acelerado, pois desse gêneroparece ser aquele movimento que chamamos movimento dos projéteis, cujageração concebo da seguinte maneira: imagino que um móvel foi projetadosobre um plano horizontal livre de qualquer obstáculo; já é evidente, deacordo com o que expusemos longamente em outro lugar, que dito móvel semovimentará sobre esse mesmo plano em movimento uniforme e perpétuo,supondo que esse plano seja prolongado ao infinito. Se, ao contrário,supomos um plano limitado e situado a uma certa altura, um móvel quesupomos dotado de gravidade, uma vez chegando a extremidade do plano econtinuando seu curso, acrescentará ao anterior movimento uniforme eindestrutível, a tendência de ir para baixo, devido a sua própria gravidade;origina-se, assim, um movimento composto de um movimento horizontaluniforme e de um movimento descendente naturalmente acelerado quechamo de projeção.”

Galilei. G. Discorsi e Dimostrazioni Matematiche intorno a due nuove scienzie attenenti alla Mecanica ed ai Movimenti Locali.Leiden,1638.

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Conclusões•Movimento dos projéteis é um movimento composto de um MRU e outro MRUV perpendiculares;

•Trajetória parabólica;

•Se um móvel apresenta um movimento composto, cada um dos movimentos componentes se realiza como se os demais não existissem e no mesmo intervalo de tempo.

Princípio da independência dos movimentos simultâneos

de Galileu

Estudo do lançamento horizontal

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Em qualquer instante

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Exemplo 1Um menino posicionado na borda de uma piscina atira uma pedrahorizontalmente de altura de 1m em relação à superfície da água. A pedra atingea água a 3m da borda. Determine a velocidade, em m/s, com que o menino alançou, considerando g= 10m/s2 e desprezando a resistência do ar.

1m

3m

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Exemplo 2Um avião de salvamento, voando horizontalmente a uma altura de 125m do nível do mar e com velocidade de 108km/h, deve deixar cair um pacote para um grupo de pessoas que ficaram isoladas após um acidente.

Para que o pacote atinja o grupo, deve ser abandonado t segundos antes do avião passar diretamente acima do grupo. Adotando g=10m/s2 e desprezando a resistência oferecida pelo ar, determine: a) o valor de t; b) a que distância da vertical, em que o pacote foi lançado, ele atinge a água; c) a velocidade com que o pacote atinge a água.

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Estudo do lançamento Oblíquo

sen.vv

cos.vv

0y0

0x0

)alcance(t.vxSx0

t.avvy0y

2

y00t

2

at.vyyS

y.a.2vv 2

y0

2

y

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Equação da trajetória

Podemos determinar a equação da trajetória de um projétil, eliminando a variável tempo, das duas equações abaixo:

resolvendo a anterior para t, temos:

levando este resultado na equação para “y” e fazendo, y0 = x0 = 0, obtemos:

nesta equação temos variável somente a grandeza “x”, os demais termos são constantes, caracterizando assim uma equação do 2º. Grau que descreve uma parábola, como mostrada na figura ao lado.

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O efeito do ar

A figura mostra que para a maioria dos objetos se movimentandoem situações reais, a influência do ar, ou como em geral dizemos,do fluido dentro do qual ele se desloca, é de grande importânciana determinação de sua melhor trajetória.

A trajetória II é a prevista para o lançamento do objeto, sem considerar oatrito do ar. A trajetória I mostra a situação real, com a influência do ar.

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Exemplo 3Um projétil é disparado por um canhão sobre o solo de um campo horizontal com uma velocidade de módulo igual a 288 km/h. Sabendo-se que o vetor velocidade inicial forma com o solo um ângulo de 60°. Desprezando a resistência do ar, determine: a) o tempo gasto pelo projétil para atingir a altura máxima; b) o tempo gasto pelo projétil para retornar ao solo; c) o alcance do projétil; d) a altura máxima atingida pelo projétil; e) a intensidade da velocidade escalar do projétil 2s após o disparo.

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Exemplo 4Um projétil é lançado do solo numa direção que forma um ângulo α com a horizontal. Sabe-se que ele atinge uma altura máxima hmáx=15m e que sua velocidade no ponto de altura máxima é v =10m/s. Determine a sua velocidade inicial e o ângulo de lançamento.Despreze a resistência do ar. Adote g=10m/s2.

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Exemplo 5Você atira uma bola com velocidade escalar de 25,3 m/s num ângulo de 42° acima da horizontal e diretamente para uma parede, como mostra a figura. A parede está a 21,8 m do ponto de onde a bola foi lançada. Adote sen 42°=0,6 e cos 42°=0,8.a) Quanto tempo a bola fica no ar antes de atingir a parede?b) A que altura acima do ponto de onde foi atirada a bola atinge a parede?c) Quais as componentes horizontal e vertical de sua velocidade, quanto atinge a parede? d) Ela passou pela altura máxima de sua trajetória ao atingir a parede?

Na segunda forma, o movimento de um objeto é pensadocomo resultante de dois movimentos tais como, por exemplo,quando dois sistemas de coordenadas estão em movimentorelativo. Um primeiro movimento refere-se ao deslocamento deum objeto observado num determinado sistema de referência.O segundo movimento é aquele associado ao deslocamentodesse sistema de coordenadas. Por exemplo, em algunscarrosséis de parques de diversão, os cavalos sobem edescem num eixo vertical. Por outro lado, o carrossel gira emrelação ao parque. Num referencial fixo no carrossel, o cavalorealiza um movimento retilíneo, ora em uma direção ora nadireção oposta. O carrossel realiza um movimento circular euniforme com relação a um referencial fixo no parque dediversões. Neste referencial fixo no parque, um ponto docavalo realiza um movimento semelhante a uma senóide numasuperfície vertical, mas que se fecha como num cilindro.

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Quando se consideram dois sistemas de referências (S e S') para o estudo de um movimento, adota-se terminologia diferenciadora, a saber:Movimento absoluto (ou resultante): movimento (ou trajetória) em relação ao sistema de referência (S). Poderia ser S'.Movimento de arrastamento: movimento do referencial S' que translada em relação ao sistema de referência S. Poderia ser de S em relação a S'.Movimento relativo: movimento (ou trajetória) do ponto material em estudo, em relação ao referencial S'. Poderia ser em relação a S.Em geral, nas questões de cinemática envolvendo ponto material em movimento em breves intervalos de tempo, adota-se a Terra como corpo onde se fixa o sistema de referência absoluto S. Nessa opção, S' será qualquer outro referencial móvel em relação a S.

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Observações do cotidiano

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Exemplo 1Um teco-teco (avião) dirige-se de Oeste para Leste com velocidade de200km/h em relação ao ar. O vento sopra de oeste para Leste com velocidadede 80km/h. Determine a velocidade do avião em relação ao solo.

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Exemplo 2Um barco a vapor sobe um rio percorrendo 2160 m em 432 s. Quandoele desce o rio, percorrendo a mesma distância, leva 240 s. A máquinaimprime a mesma velocidade ao barco nos dois trajetos. Obter avelocidade do barco e a das águas do rio.

Exemplo 3Um barco apresenta velocidade de 2 m/s em águas tranqüilas. Ele pretende atravessarum rio de 40 m de largura e cujas águas tem velocidade de 0,5 m/s. O barco atravessamantendo-se sempre perpendicular às margens.a)Obter a posição atingida na outra margem.b)A distância efetivamente percorrida pelo barco.c) Qual deveria ser a orientação do barco para atravessar o rio perpendicularmente ao

ponto de partida?d)Que orientação deverá tomar o barco para atingir a outra margem num ponto dado?

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Exemplo 4Um trem viaja a uma velocidade constante de 50km/h. Ao mesmo tempo, cai uma chuva, com ausência de vento. O trajeto das gotas de água nos vidros laterais do trem são segmentos de retas que formam ângulos de 60 com a vertical. Qual deve ser o valor aproximado da velocidade das gotas, em relação ao solo ?

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Composição no Movimento Circular

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Exemplo 5Uma bola roda sem escorregar sobre uma mesa de sinuca com velocidadev=10m/s. Qual é o módulo da velocidade do ponto P da superfície da bolano instante mostrado na figura ?

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RESUMO