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Le equazioni Le equazioni lineari nella lineari nella
storiastoria
ldquo tutto ciograve che non si condensa in unrsquoequazione non egrave scienza rdquo
Albert Einstei
n
Profssa LUCIA DI ROSA
Storia delle Equazioni
ASSIRI - BABILONESI
GRECI
EGIZIANI ARABI
OCCIDENTE
EUROPA
CINESI
Idee e Persone nella storia delle equazioni
La risoluzione delle equazioni risale allrsquoantichitagrave e nasce dallrsquoesigenza di introdurre La risoluzione delle equazioni risale allrsquoantichitagrave e nasce dallrsquoesigenza di introdurre un simbolo (incognita) allo scopo di generalizzare e risolvere i problemi derivanti un simbolo (incognita) allo scopo di generalizzare e risolvere i problemi derivanti dagli affari di tutti i giorni e dai bisogni della societagrave Dai piugrave antichi documenti dagli affari di tutti i giorni e dai bisogni della societagrave Dai piugrave antichi documenti che ci sono pervenuti che vanno dal 2000 al 1600 AC si sa che lrsquoche ci sono pervenuti che vanno dal 2000 al 1600 AC si sa che lrsquoEgittoEgitto e la e la Babilonia Babilonia avevano modi diversi per indicare lrsquoincognita avevano modi diversi per indicare lrsquoincognita
Presso i Presso i GreciGreci sia il calcolo letterale sia lrsquoalgebra erano vincolati allrsquointerpretazione sia il calcolo letterale sia lrsquoalgebra erano vincolati allrsquointerpretazione geometrica Euclide (300 aC) ad esempiogeometrica Euclide (300 aC) ad esempio
nei suoi Elementi risolve tutti i problemi basandosi esclusivamente su nei suoi Elementi risolve tutti i problemi basandosi esclusivamente su ragionamenti geometrici ragionamenti geometrici
Ma nel 200 dC egrave sempre un greco Ma nel 200 dC egrave sempre un greco DiofantoDiofanto a dare nuove idee per la risoluzione a dare nuove idee per la risoluzione di problemi Egli si stacca dallrsquoappoggio geometrico e dagrave al simbolo una sua di problemi Egli si stacca dallrsquoappoggio geometrico e dagrave al simbolo una sua propria vitapropria vita
Portandoci nellrsquoestremo oriente in manoscritti Portandoci nellrsquoestremo oriente in manoscritti CinesiCinesi del I e II secolo dC del I e II secolo dC lrsquoincognita viene indicata con una parola che significa lrsquoincognita viene indicata con una parola che significa ldquoelementordquoldquoelementordquo e con una che e con una che significa significa ldquocosardquo ldquocosardquo che non esprimeva neacute qualitagrave neacute quantitagraveche non esprimeva neacute qualitagrave neacute quantitagrave
Si devono al matematico e astronomo arabo Si devono al matematico e astronomo arabo al-Khowarizmial-Khowarizmi (825) sviluppi (825) sviluppi significativi nel campo dellrsquoalgebra significativi nel campo dellrsquoalgebra
Egrave dal 1202 che le conoscenze algebriche degli arabi cominciano a diffondersi in Egrave dal 1202 che le conoscenze algebriche degli arabi cominciano a diffondersi in EuropaEuropa Si deve a Si deve a FibonacciFibonacci (1175-1240) nel suo ldquoLiber Abacirdquo il primo utilizzo (1175-1240) nel suo ldquoLiber Abacirdquo il primo utilizzo del termine equazione e delle tecniche risolutive per le equazioni apprese dagli del termine equazione e delle tecniche risolutive per le equazioni apprese dagli arabiarabi
SitografiaSitografia Cronologia
Un classico problemadellrsquoldquoAlgebrardquo babilonese
1048708 Spesso i Babilonesi richiedevano di determinare duenumeri conoscendone somma e prodotto adesempio trovare a b sapendo che la loro somma egrave 8ed il loro prodotto egrave 121048708 Posizioni (moderne) a = 4+d e b = 4ndashd (a+b = 8)1048708 Si ha (solo radici positive) ab = (4+d)(4ndashd) = 12dsup2 = 4 da cui d = 2 infine a = 4+d = 6 e b = 4ndashd = 21048708 Non esisteva alcuno strumento simbolico completonellrsquoalgebra babilonese soltanto a volte qualcheincognita veniva indicata con simboli specialiDalle tavolette babilonesi risulta che lrsquoincognita si chiamava ldquolunghezzardquo
(us)o ldquolarghezzardquo (sag)o ldquoareardquo (asa) e queste designazioni valevano anche se il problema da risolvere non aveva niente a che fare con la geometria
Tavoletta Babilonese
Le equazioni egiziane
1048708Nel papiro Rhind risalente al 1650 aC si risolvono alcune equazioniquasi tutte di I grado nelle quali lrsquoincognita egrave detta aha (mucchio) con il ldquometodo di falsa posizionerdquo Piugrave tardi detto regula falsi1048708 Esempio determinare il numero che aggiunto al proprio quinto dagrave come somma 48 (x + x5 = 48)1048708 ldquoFalsardquo posizione x = 5 (per non avere frazioni nel primo passaggio) ma non
va bene 5+55 = 6 ne 481048708 Sostituendo x = 5 in x+x5 si ha 6 e non 48 ma se unmultiplo di 6 egrave 48 lo stesso multiplo di 5 daragrave la x1048708 Per ottenere 48 da 6 si moltiplica il 6 per 8 (6middot8 = 48)Dunque per ottenere la cercata x da 5 dobbiamomoltiplicare per 8 (il 5) 5middot8 = x cioegrave x = 40
Papiro di RHINDPapiro di RHIND
Nella cultura greca i problemi numerici non dissimili da quelli presenti ancora oggi nei testi per la scuola media non erano ritenuti importanti poicheacute di natura applicativa la vera matematica era la geometria Pertanto presso i Greci sia il calcolo letterale sia lalgebra erano vincolati allinterpretazione geometrica Giagrave la semplice scrittura della generica equazione di primo grado
ax = b era inconcepibile dato che ax essendo un prodotto rappresentava un rettangolo e b un segmento e non ha senso uguagliare una figura piana con una rettilinea Unequazione di primo grado poteva essere ad esempio ab = qx e veniva espressa nel modo seguente
Dato il rettangolo di dimensioni a e b determinare un rettangolo a esso equivalente avente un lato pari a q
La risoluzione era affidata a una costruzione geometrica quale la seguente
EUCLIDE
DiofantoDiofanto di Alessandria fu lultimo dei grandi matematici greco-ellenistici ed egrave noto come il padre dellrsquoalgebra Della sua vita si sa ben poco la sua nascita va collocata tra il 200 e il 214 dC la sua morte tra il 284 e il 298 dC Dopo di lui per circa un millennio e fino a Leonardo Fibonacci lo studio della matematica almeno in Europa attraversograve un periodo di grave decadenzaDiofanto scrisse un trattato sui numeri poligonali e sulle frazioni ma la sua opera principale egrave lArithmetica trattato in tredici volumi dei quali soltanto sei sono giunti fino a noi La sua fama egrave principalmente legata a due argomenti le equazioni indeterminate ed il simbolismo matematicoA Diofanto si deve un famoso problema che egli stesso volle venisse scritto sulla propria tomba sotto forma di epitaffio da cui egrave possibile lrsquoetagrave del grande matematico greco
Questa tomba rinchiude Diofanto e meraviglia dice matematicamente quanto ha vissuto Un sesto della sua vita fu lrsquoinfanzia aggiunse un dodicesimo percheacute le sue guance si coprissero della peluria dellrsquoadolescenza Inoltre per un settimo ebbe moglie e dopo cinque anni di matrimonio ebbe un figlio Lrsquoinfelice morigrave improvvisamente quando raggiunse la metagrave dellrsquoetagrave paterna Il genitore sopravvissuto fu in lutto per quattro anni e raggiunse infine il termine della
propria vita
Si tratta di un problema di primo gradoindicando con x lrsquoetagrave di Diofanto alla morte si ha
x= 16x + 112x + 17x + 5 + 12x + 4
Da cui si deduce che x=84
Diofanto indica Con la lettera S lrsquoincognita Con Δ il quadrato dellrsquoincognita Con K il cubo dellrsquoincognita
Diofanto dagrave poi delle regole per la risoluzione dellrsquoequazione
Il trasporto di un termine da un membro allrsquoaltro cambiandolo di segno
Lrsquoeliminazione di termini uguali nei due membri
Lrsquoopera di Diofanto saragrave a distanza di secoli il punto di partenza per lo sviluppo dellrsquoalgebra e del simbolismo moderno
In Cina lrsquoalgebra egrave presente dal II sec dC in formaretorica o sincopata (ideogrammi monosillabici perquantitagrave e operazioni) con un importante ldquocarattereposizionalerdquocome per le (tarde) tecniche
moltiplicative1048708 La tavola da calcolo algebrica cinese era
impostatain modo che determinate posizioni fossero
occupatesempre da particolari tipi di grandezze
(incognitepotenze etc) e tale convenzione puograve considerarsi un
importanteartefatto secondario (una ldquoregola del giocordquo)
Algebra cinese e ldquocarattere posizionalerdquo
termine nototermine noto coeff coeff x x coeff coeff xx22E si notiE si notilrsquouso dilrsquouso dibacchettebacchette1048708 1048708 Ad esempio questa tabella (Ad esempio questa tabella (sangisangi) indica ) indica
lrsquoequazionelrsquoequazione851851xx22minusminus34503450xx+2691 = 0+2691 = 0(si osservino i diversi colori e lrsquoassenza dello (si osservino i diversi colori e lrsquoassenza dello
zero)zero)
Calcolo mediante tabelle Chiu Chang
1048708 1048708 Consideriamo il problema seguente che riprende con
variazioni numeriche un problema del capitolo VIII(Fang Cheng) del Chiu Chang (precedente al I sec)Cinque covoni di grano di tipo A aggiunti a tre covonidi grano di tipo B hanno il rendimento di 19 shengTre covoni di grano di tipo A aggiunti a due covoni digrano di tipo B hanno il rendimento di 12 shengQuali rendimenti hanno un covone di grano di tipo Ae un covone di grano di tipo B Oggi indicheremmo rispettivamente con x e con y (insheng) i rendimenti di un covone di tipo A e di uncovone di tipo B ed imposteremmo un sistemahellipSuang Fa Thung Tsung 1593
Il procedimento precedente puograve essere
riprodotto con le bacchette da calcolo
Il sistema egrave5x + 3y = 193x + 2y = 121048708 Moltiplichiamo laprima riga per 31048708 e la seconda per 51048708 Ora alla seconda riga sottraiamo la prima1048708 moltiplichiamo questa seconda riga per 91048708 e alla prima riga sottraiamo la seconda1048708 Infine dividiamo la prima riga per 15 edividiamo ancora la seconda riga per 9
II IIII
II IIIIII
x = 2 y= 3
Il mondo arabo Al-Kuwarizmi1048708 1048708 Dopo la grande stagione della scienza greca laDopo la grande stagione della scienza greca laMatematica conobbe un periodo di declino anche seMatematica conobbe un periodo di declino anche semeno oscuro di quanto si egrave talvolta portati a pensaremeno oscuro di quanto si egrave talvolta portati a pensareGli Gli ArabiArabi non si limitarono a tramandare la non si limitarono a tramandare lamemoria dei testi greci e le loro conoscenzememoria dei testi greci e le loro conoscenzematematiche e astronomiche rivelano elementi dimatematiche e astronomiche rivelano elementi dioriginalitagraveoriginalitagrave1048708 1048708 Mohammed Ibn Musa Al-Kuwarizmi Mohammed Ibn Musa Al-Kuwarizmi (VIII secolo)(VIII secolo)di origine persiana scrisse di origine persiana scrisse Al-jabr wal mukabalahAl-jabr wal mukabalah dalle cui primedalle cui prime lettere deriva la parola ldquoAlgebrardquo e lettere deriva la parola ldquoAlgebrardquo e nella quale sviluppograve la teoria delle equazioninella quale sviluppograve la teoria delle equazioniparticolarmente di quelle di secondo gradoparticolarmente di quelle di secondo gradoQuestrsquoopera contiene una seria di problemi riguardanti testamenti ed ereditagrave e Questrsquoopera contiene una seria di problemi riguardanti testamenti ed ereditagrave e
lrsquoincognita viene chiamata lrsquoincognita viene chiamata ldquocosardquoldquocosardquo Il limite piugrave rilevante della sua opera egrave lrsquoIl limite piugrave rilevante della sua opera egrave lrsquoassenza di una notazione assenza di una notazione
simbolicasimbolicaAl-Kuwarizmi quindi deve essere considerato ancora nellrsquoambito dellrsquoAl-Kuwarizmi quindi deve essere considerato ancora nellrsquoambito dellrsquoalgebra algebra
retorica retorica (nella quale tutte le espressioni algebriche erano indicate (nella quale tutte le espressioni algebriche erano indicate mediantemediante
parole)parole)
1048708 1048708
Il mondo arabo Khayyam
Gli Arabi si occuparonodi equazioniindeterminate (Al-Karchi morto nel 1029scrisse Al-Facri vicinoallrsquoAritmetica diofantea)1048708 Alcuni tentarono diprovare che xsup3+ysup3 = zsup3 nonammette soluzioni interenon nulle anticipando lericerche sullrsquoultimoteorema di Fermat
Occidente - EuropaSi deve a Fibonacci (1175-1240) nel suo
ldquoLiber Abacirdquo il primo utilizzo del termine equazione e la diffusione in Europa delle tecniche risolutiva apprese dagli Arabi
Solo nel sedicesimo secolo lalgebra iniziograve un suo vero e proprio sviluppo autonomo dalla geometria quando le lettere furono intese rappresentare non grandezze geometriche ma numeri attraverso lopera di F Viegravete (1540-1603) e R Descartes (Cartesio1596-1650)
Raggiunse una sistemazione e un modo di presentazione simile a quelli attuali poco piugrave di due secoli fa nellIntroduzione completa allalgebra (1770) di L Euler (Eulero1707-1783)
CARTESIO
Nello stesso periodo giunse a maturazione il linguaggio algebrico vero e proprio In precedenza (algebra retorica) operazioni equazioni con la loro risoluzione venivanoespressi con parole (ad esempio lincognita veniva detta la cosa il suo quadrato il censo la sua terza potenzail cubo la quarta potenza censo censo) ed era assai arduo seguire i passaggi con cui si perveniva ai risultati finali dei problemi Ne seguiacute una fase intermedia (algebra sincopata) in cui comparvero alcuni simboli e parole stilizzatead esempio Luca
Pacioli (1445-1514) autore dellopera Summa de Arithmetica (1523) che contribuiacute alla diffusione in occidente delluso delle cifre arabo-indiane indicava con co lincognita con ce il suo quadrato con cu il suo
cubo e con p e m laddizione e la sottrazione Solo in seguito lalgebra ricevette la veste che la rende simile alle
attuali esposizioni (algebra simbolica)
Luca Pacioli
Fibonacci e il Liber Abaci1048708 De laborator quaestio notabilis
1048708 1048708 Un lavoratore avrebbeUn lavoratore avrebbedovuto prendere dovuto prendere 77bisanti al mese se avessebisanti al mese se avesselavorato ma avrebbelavorato ma avrebbedovuto restituire dovuto restituire 44bisanti per un mesebisanti per un mesedi assenza dal lavorodi assenza dal lavoro10487081048708 Questi talvolta lavorograve e talvolta no ed alla fine delQuesti talvolta lavorograve e talvolta no ed alla fine delmese (30 giorni) ricevette un solo bisantemese (30 giorni) ricevette un solo bisante1048708 1048708 Quanti giorni lavorograveQuanti giorni lavorograve
Risolviamo con Fibonacciil problema del lavoratore
1048708 1048708 Modernamente imposteremmo lrsquoequazione7middotx30ndash4 middot(30ndashx)30 = 11048708 Fibonacci usa il metodo della doppia falsa posizione1048708 per 15 gg 1 bisante e 12 7middot1530ndash4middot15301048708 per 20 gg 3 bisanti e 13 7middot2030ndash4middot10301048708 Si imposta dunque la proporzione(20ndash15) [(3+13)ndash(1+12)] = (20ndashx) [(3+13)ndash1]1048708 Da cui ricaviamox = 15011 = 13+711Pertanto quel lavoratoreha lavorato 13 giorni e 711 (di giorno)
PopolazionePopolazione EpocaEpoca SimboloSimbolo SignificatoSignificato
BabilonesiBabilonesi 1800-2000 1800-2000 aCaC
usus
sagsag
asaasa
LunghezzaLunghezza
LarghezzaLarghezza
AreaArea
EgiziEgizi II-I secolo II-I secolo aCaC
ahaaha MucchiocumMucchiocumuloulo
Greci amp Greci amp DiofantoDiofanto
II-III sec dCII-III sec dC SS NumeroNumero
(arithmos)(arithmos)
CinesiCinesi I-II sec dCI-II sec dC I II IIII II III CosaelemenCosaelementoto
ArabiArabi III-IV sec dCIII-IV sec dC cosacosa
EuropaEuropa OggiOggi x y zx y z incognitaincognita
Dalla StoriahellipI nomi dellrsquoincognita attraverso i secoli
SITOGRAFIASITOGRAFIA
wwwulissesissaitwwwulissesissait wwwitwikipediaorgwwwitwikipediaorg wwwvirgilioitwwwvirgilioit
Castelnuovo EGori Giorgi Valenti Castelnuovo EGori Giorgi Valenti La matematica nella realtagrave ndash La Nuova ItaliaLa matematica nella realtagrave ndash La Nuova Italia Carl B BoyerCarl B Boyer Storia della matematica ndash Oscar MondadoriStoria della matematica ndash Oscar Mondadori
BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA
Storia delle Equazioni
ASSIRI - BABILONESI
GRECI
EGIZIANI ARABI
OCCIDENTE
EUROPA
CINESI
Idee e Persone nella storia delle equazioni
La risoluzione delle equazioni risale allrsquoantichitagrave e nasce dallrsquoesigenza di introdurre La risoluzione delle equazioni risale allrsquoantichitagrave e nasce dallrsquoesigenza di introdurre un simbolo (incognita) allo scopo di generalizzare e risolvere i problemi derivanti un simbolo (incognita) allo scopo di generalizzare e risolvere i problemi derivanti dagli affari di tutti i giorni e dai bisogni della societagrave Dai piugrave antichi documenti dagli affari di tutti i giorni e dai bisogni della societagrave Dai piugrave antichi documenti che ci sono pervenuti che vanno dal 2000 al 1600 AC si sa che lrsquoche ci sono pervenuti che vanno dal 2000 al 1600 AC si sa che lrsquoEgittoEgitto e la e la Babilonia Babilonia avevano modi diversi per indicare lrsquoincognita avevano modi diversi per indicare lrsquoincognita
Presso i Presso i GreciGreci sia il calcolo letterale sia lrsquoalgebra erano vincolati allrsquointerpretazione sia il calcolo letterale sia lrsquoalgebra erano vincolati allrsquointerpretazione geometrica Euclide (300 aC) ad esempiogeometrica Euclide (300 aC) ad esempio
nei suoi Elementi risolve tutti i problemi basandosi esclusivamente su nei suoi Elementi risolve tutti i problemi basandosi esclusivamente su ragionamenti geometrici ragionamenti geometrici
Ma nel 200 dC egrave sempre un greco Ma nel 200 dC egrave sempre un greco DiofantoDiofanto a dare nuove idee per la risoluzione a dare nuove idee per la risoluzione di problemi Egli si stacca dallrsquoappoggio geometrico e dagrave al simbolo una sua di problemi Egli si stacca dallrsquoappoggio geometrico e dagrave al simbolo una sua propria vitapropria vita
Portandoci nellrsquoestremo oriente in manoscritti Portandoci nellrsquoestremo oriente in manoscritti CinesiCinesi del I e II secolo dC del I e II secolo dC lrsquoincognita viene indicata con una parola che significa lrsquoincognita viene indicata con una parola che significa ldquoelementordquoldquoelementordquo e con una che e con una che significa significa ldquocosardquo ldquocosardquo che non esprimeva neacute qualitagrave neacute quantitagraveche non esprimeva neacute qualitagrave neacute quantitagrave
Si devono al matematico e astronomo arabo Si devono al matematico e astronomo arabo al-Khowarizmial-Khowarizmi (825) sviluppi (825) sviluppi significativi nel campo dellrsquoalgebra significativi nel campo dellrsquoalgebra
Egrave dal 1202 che le conoscenze algebriche degli arabi cominciano a diffondersi in Egrave dal 1202 che le conoscenze algebriche degli arabi cominciano a diffondersi in EuropaEuropa Si deve a Si deve a FibonacciFibonacci (1175-1240) nel suo ldquoLiber Abacirdquo il primo utilizzo (1175-1240) nel suo ldquoLiber Abacirdquo il primo utilizzo del termine equazione e delle tecniche risolutive per le equazioni apprese dagli del termine equazione e delle tecniche risolutive per le equazioni apprese dagli arabiarabi
SitografiaSitografia Cronologia
Un classico problemadellrsquoldquoAlgebrardquo babilonese
1048708 Spesso i Babilonesi richiedevano di determinare duenumeri conoscendone somma e prodotto adesempio trovare a b sapendo che la loro somma egrave 8ed il loro prodotto egrave 121048708 Posizioni (moderne) a = 4+d e b = 4ndashd (a+b = 8)1048708 Si ha (solo radici positive) ab = (4+d)(4ndashd) = 12dsup2 = 4 da cui d = 2 infine a = 4+d = 6 e b = 4ndashd = 21048708 Non esisteva alcuno strumento simbolico completonellrsquoalgebra babilonese soltanto a volte qualcheincognita veniva indicata con simboli specialiDalle tavolette babilonesi risulta che lrsquoincognita si chiamava ldquolunghezzardquo
(us)o ldquolarghezzardquo (sag)o ldquoareardquo (asa) e queste designazioni valevano anche se il problema da risolvere non aveva niente a che fare con la geometria
Tavoletta Babilonese
Le equazioni egiziane
1048708Nel papiro Rhind risalente al 1650 aC si risolvono alcune equazioniquasi tutte di I grado nelle quali lrsquoincognita egrave detta aha (mucchio) con il ldquometodo di falsa posizionerdquo Piugrave tardi detto regula falsi1048708 Esempio determinare il numero che aggiunto al proprio quinto dagrave come somma 48 (x + x5 = 48)1048708 ldquoFalsardquo posizione x = 5 (per non avere frazioni nel primo passaggio) ma non
va bene 5+55 = 6 ne 481048708 Sostituendo x = 5 in x+x5 si ha 6 e non 48 ma se unmultiplo di 6 egrave 48 lo stesso multiplo di 5 daragrave la x1048708 Per ottenere 48 da 6 si moltiplica il 6 per 8 (6middot8 = 48)Dunque per ottenere la cercata x da 5 dobbiamomoltiplicare per 8 (il 5) 5middot8 = x cioegrave x = 40
Papiro di RHINDPapiro di RHIND
Nella cultura greca i problemi numerici non dissimili da quelli presenti ancora oggi nei testi per la scuola media non erano ritenuti importanti poicheacute di natura applicativa la vera matematica era la geometria Pertanto presso i Greci sia il calcolo letterale sia lalgebra erano vincolati allinterpretazione geometrica Giagrave la semplice scrittura della generica equazione di primo grado
ax = b era inconcepibile dato che ax essendo un prodotto rappresentava un rettangolo e b un segmento e non ha senso uguagliare una figura piana con una rettilinea Unequazione di primo grado poteva essere ad esempio ab = qx e veniva espressa nel modo seguente
Dato il rettangolo di dimensioni a e b determinare un rettangolo a esso equivalente avente un lato pari a q
La risoluzione era affidata a una costruzione geometrica quale la seguente
EUCLIDE
DiofantoDiofanto di Alessandria fu lultimo dei grandi matematici greco-ellenistici ed egrave noto come il padre dellrsquoalgebra Della sua vita si sa ben poco la sua nascita va collocata tra il 200 e il 214 dC la sua morte tra il 284 e il 298 dC Dopo di lui per circa un millennio e fino a Leonardo Fibonacci lo studio della matematica almeno in Europa attraversograve un periodo di grave decadenzaDiofanto scrisse un trattato sui numeri poligonali e sulle frazioni ma la sua opera principale egrave lArithmetica trattato in tredici volumi dei quali soltanto sei sono giunti fino a noi La sua fama egrave principalmente legata a due argomenti le equazioni indeterminate ed il simbolismo matematicoA Diofanto si deve un famoso problema che egli stesso volle venisse scritto sulla propria tomba sotto forma di epitaffio da cui egrave possibile lrsquoetagrave del grande matematico greco
Questa tomba rinchiude Diofanto e meraviglia dice matematicamente quanto ha vissuto Un sesto della sua vita fu lrsquoinfanzia aggiunse un dodicesimo percheacute le sue guance si coprissero della peluria dellrsquoadolescenza Inoltre per un settimo ebbe moglie e dopo cinque anni di matrimonio ebbe un figlio Lrsquoinfelice morigrave improvvisamente quando raggiunse la metagrave dellrsquoetagrave paterna Il genitore sopravvissuto fu in lutto per quattro anni e raggiunse infine il termine della
propria vita
Si tratta di un problema di primo gradoindicando con x lrsquoetagrave di Diofanto alla morte si ha
x= 16x + 112x + 17x + 5 + 12x + 4
Da cui si deduce che x=84
Diofanto indica Con la lettera S lrsquoincognita Con Δ il quadrato dellrsquoincognita Con K il cubo dellrsquoincognita
Diofanto dagrave poi delle regole per la risoluzione dellrsquoequazione
Il trasporto di un termine da un membro allrsquoaltro cambiandolo di segno
Lrsquoeliminazione di termini uguali nei due membri
Lrsquoopera di Diofanto saragrave a distanza di secoli il punto di partenza per lo sviluppo dellrsquoalgebra e del simbolismo moderno
In Cina lrsquoalgebra egrave presente dal II sec dC in formaretorica o sincopata (ideogrammi monosillabici perquantitagrave e operazioni) con un importante ldquocarattereposizionalerdquocome per le (tarde) tecniche
moltiplicative1048708 La tavola da calcolo algebrica cinese era
impostatain modo che determinate posizioni fossero
occupatesempre da particolari tipi di grandezze
(incognitepotenze etc) e tale convenzione puograve considerarsi un
importanteartefatto secondario (una ldquoregola del giocordquo)
Algebra cinese e ldquocarattere posizionalerdquo
termine nototermine noto coeff coeff x x coeff coeff xx22E si notiE si notilrsquouso dilrsquouso dibacchettebacchette1048708 1048708 Ad esempio questa tabella (Ad esempio questa tabella (sangisangi) indica ) indica
lrsquoequazionelrsquoequazione851851xx22minusminus34503450xx+2691 = 0+2691 = 0(si osservino i diversi colori e lrsquoassenza dello (si osservino i diversi colori e lrsquoassenza dello
zero)zero)
Calcolo mediante tabelle Chiu Chang
1048708 1048708 Consideriamo il problema seguente che riprende con
variazioni numeriche un problema del capitolo VIII(Fang Cheng) del Chiu Chang (precedente al I sec)Cinque covoni di grano di tipo A aggiunti a tre covonidi grano di tipo B hanno il rendimento di 19 shengTre covoni di grano di tipo A aggiunti a due covoni digrano di tipo B hanno il rendimento di 12 shengQuali rendimenti hanno un covone di grano di tipo Ae un covone di grano di tipo B Oggi indicheremmo rispettivamente con x e con y (insheng) i rendimenti di un covone di tipo A e di uncovone di tipo B ed imposteremmo un sistemahellipSuang Fa Thung Tsung 1593
Il procedimento precedente puograve essere
riprodotto con le bacchette da calcolo
Il sistema egrave5x + 3y = 193x + 2y = 121048708 Moltiplichiamo laprima riga per 31048708 e la seconda per 51048708 Ora alla seconda riga sottraiamo la prima1048708 moltiplichiamo questa seconda riga per 91048708 e alla prima riga sottraiamo la seconda1048708 Infine dividiamo la prima riga per 15 edividiamo ancora la seconda riga per 9
II IIII
II IIIIII
x = 2 y= 3
Il mondo arabo Al-Kuwarizmi1048708 1048708 Dopo la grande stagione della scienza greca laDopo la grande stagione della scienza greca laMatematica conobbe un periodo di declino anche seMatematica conobbe un periodo di declino anche semeno oscuro di quanto si egrave talvolta portati a pensaremeno oscuro di quanto si egrave talvolta portati a pensareGli Gli ArabiArabi non si limitarono a tramandare la non si limitarono a tramandare lamemoria dei testi greci e le loro conoscenzememoria dei testi greci e le loro conoscenzematematiche e astronomiche rivelano elementi dimatematiche e astronomiche rivelano elementi dioriginalitagraveoriginalitagrave1048708 1048708 Mohammed Ibn Musa Al-Kuwarizmi Mohammed Ibn Musa Al-Kuwarizmi (VIII secolo)(VIII secolo)di origine persiana scrisse di origine persiana scrisse Al-jabr wal mukabalahAl-jabr wal mukabalah dalle cui primedalle cui prime lettere deriva la parola ldquoAlgebrardquo e lettere deriva la parola ldquoAlgebrardquo e nella quale sviluppograve la teoria delle equazioninella quale sviluppograve la teoria delle equazioniparticolarmente di quelle di secondo gradoparticolarmente di quelle di secondo gradoQuestrsquoopera contiene una seria di problemi riguardanti testamenti ed ereditagrave e Questrsquoopera contiene una seria di problemi riguardanti testamenti ed ereditagrave e
lrsquoincognita viene chiamata lrsquoincognita viene chiamata ldquocosardquoldquocosardquo Il limite piugrave rilevante della sua opera egrave lrsquoIl limite piugrave rilevante della sua opera egrave lrsquoassenza di una notazione assenza di una notazione
simbolicasimbolicaAl-Kuwarizmi quindi deve essere considerato ancora nellrsquoambito dellrsquoAl-Kuwarizmi quindi deve essere considerato ancora nellrsquoambito dellrsquoalgebra algebra
retorica retorica (nella quale tutte le espressioni algebriche erano indicate (nella quale tutte le espressioni algebriche erano indicate mediantemediante
parole)parole)
1048708 1048708
Il mondo arabo Khayyam
Gli Arabi si occuparonodi equazioniindeterminate (Al-Karchi morto nel 1029scrisse Al-Facri vicinoallrsquoAritmetica diofantea)1048708 Alcuni tentarono diprovare che xsup3+ysup3 = zsup3 nonammette soluzioni interenon nulle anticipando lericerche sullrsquoultimoteorema di Fermat
Occidente - EuropaSi deve a Fibonacci (1175-1240) nel suo
ldquoLiber Abacirdquo il primo utilizzo del termine equazione e la diffusione in Europa delle tecniche risolutiva apprese dagli Arabi
Solo nel sedicesimo secolo lalgebra iniziograve un suo vero e proprio sviluppo autonomo dalla geometria quando le lettere furono intese rappresentare non grandezze geometriche ma numeri attraverso lopera di F Viegravete (1540-1603) e R Descartes (Cartesio1596-1650)
Raggiunse una sistemazione e un modo di presentazione simile a quelli attuali poco piugrave di due secoli fa nellIntroduzione completa allalgebra (1770) di L Euler (Eulero1707-1783)
CARTESIO
Nello stesso periodo giunse a maturazione il linguaggio algebrico vero e proprio In precedenza (algebra retorica) operazioni equazioni con la loro risoluzione venivanoespressi con parole (ad esempio lincognita veniva detta la cosa il suo quadrato il censo la sua terza potenzail cubo la quarta potenza censo censo) ed era assai arduo seguire i passaggi con cui si perveniva ai risultati finali dei problemi Ne seguiacute una fase intermedia (algebra sincopata) in cui comparvero alcuni simboli e parole stilizzatead esempio Luca
Pacioli (1445-1514) autore dellopera Summa de Arithmetica (1523) che contribuiacute alla diffusione in occidente delluso delle cifre arabo-indiane indicava con co lincognita con ce il suo quadrato con cu il suo
cubo e con p e m laddizione e la sottrazione Solo in seguito lalgebra ricevette la veste che la rende simile alle
attuali esposizioni (algebra simbolica)
Luca Pacioli
Fibonacci e il Liber Abaci1048708 De laborator quaestio notabilis
1048708 1048708 Un lavoratore avrebbeUn lavoratore avrebbedovuto prendere dovuto prendere 77bisanti al mese se avessebisanti al mese se avesselavorato ma avrebbelavorato ma avrebbedovuto restituire dovuto restituire 44bisanti per un mesebisanti per un mesedi assenza dal lavorodi assenza dal lavoro10487081048708 Questi talvolta lavorograve e talvolta no ed alla fine delQuesti talvolta lavorograve e talvolta no ed alla fine delmese (30 giorni) ricevette un solo bisantemese (30 giorni) ricevette un solo bisante1048708 1048708 Quanti giorni lavorograveQuanti giorni lavorograve
Risolviamo con Fibonacciil problema del lavoratore
1048708 1048708 Modernamente imposteremmo lrsquoequazione7middotx30ndash4 middot(30ndashx)30 = 11048708 Fibonacci usa il metodo della doppia falsa posizione1048708 per 15 gg 1 bisante e 12 7middot1530ndash4middot15301048708 per 20 gg 3 bisanti e 13 7middot2030ndash4middot10301048708 Si imposta dunque la proporzione(20ndash15) [(3+13)ndash(1+12)] = (20ndashx) [(3+13)ndash1]1048708 Da cui ricaviamox = 15011 = 13+711Pertanto quel lavoratoreha lavorato 13 giorni e 711 (di giorno)
PopolazionePopolazione EpocaEpoca SimboloSimbolo SignificatoSignificato
BabilonesiBabilonesi 1800-2000 1800-2000 aCaC
usus
sagsag
asaasa
LunghezzaLunghezza
LarghezzaLarghezza
AreaArea
EgiziEgizi II-I secolo II-I secolo aCaC
ahaaha MucchiocumMucchiocumuloulo
Greci amp Greci amp DiofantoDiofanto
II-III sec dCII-III sec dC SS NumeroNumero
(arithmos)(arithmos)
CinesiCinesi I-II sec dCI-II sec dC I II IIII II III CosaelemenCosaelementoto
ArabiArabi III-IV sec dCIII-IV sec dC cosacosa
EuropaEuropa OggiOggi x y zx y z incognitaincognita
Dalla StoriahellipI nomi dellrsquoincognita attraverso i secoli
SITOGRAFIASITOGRAFIA
wwwulissesissaitwwwulissesissait wwwitwikipediaorgwwwitwikipediaorg wwwvirgilioitwwwvirgilioit
Castelnuovo EGori Giorgi Valenti Castelnuovo EGori Giorgi Valenti La matematica nella realtagrave ndash La Nuova ItaliaLa matematica nella realtagrave ndash La Nuova Italia Carl B BoyerCarl B Boyer Storia della matematica ndash Oscar MondadoriStoria della matematica ndash Oscar Mondadori
BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA
Idee e Persone nella storia delle equazioni
La risoluzione delle equazioni risale allrsquoantichitagrave e nasce dallrsquoesigenza di introdurre La risoluzione delle equazioni risale allrsquoantichitagrave e nasce dallrsquoesigenza di introdurre un simbolo (incognita) allo scopo di generalizzare e risolvere i problemi derivanti un simbolo (incognita) allo scopo di generalizzare e risolvere i problemi derivanti dagli affari di tutti i giorni e dai bisogni della societagrave Dai piugrave antichi documenti dagli affari di tutti i giorni e dai bisogni della societagrave Dai piugrave antichi documenti che ci sono pervenuti che vanno dal 2000 al 1600 AC si sa che lrsquoche ci sono pervenuti che vanno dal 2000 al 1600 AC si sa che lrsquoEgittoEgitto e la e la Babilonia Babilonia avevano modi diversi per indicare lrsquoincognita avevano modi diversi per indicare lrsquoincognita
Presso i Presso i GreciGreci sia il calcolo letterale sia lrsquoalgebra erano vincolati allrsquointerpretazione sia il calcolo letterale sia lrsquoalgebra erano vincolati allrsquointerpretazione geometrica Euclide (300 aC) ad esempiogeometrica Euclide (300 aC) ad esempio
nei suoi Elementi risolve tutti i problemi basandosi esclusivamente su nei suoi Elementi risolve tutti i problemi basandosi esclusivamente su ragionamenti geometrici ragionamenti geometrici
Ma nel 200 dC egrave sempre un greco Ma nel 200 dC egrave sempre un greco DiofantoDiofanto a dare nuove idee per la risoluzione a dare nuove idee per la risoluzione di problemi Egli si stacca dallrsquoappoggio geometrico e dagrave al simbolo una sua di problemi Egli si stacca dallrsquoappoggio geometrico e dagrave al simbolo una sua propria vitapropria vita
Portandoci nellrsquoestremo oriente in manoscritti Portandoci nellrsquoestremo oriente in manoscritti CinesiCinesi del I e II secolo dC del I e II secolo dC lrsquoincognita viene indicata con una parola che significa lrsquoincognita viene indicata con una parola che significa ldquoelementordquoldquoelementordquo e con una che e con una che significa significa ldquocosardquo ldquocosardquo che non esprimeva neacute qualitagrave neacute quantitagraveche non esprimeva neacute qualitagrave neacute quantitagrave
Si devono al matematico e astronomo arabo Si devono al matematico e astronomo arabo al-Khowarizmial-Khowarizmi (825) sviluppi (825) sviluppi significativi nel campo dellrsquoalgebra significativi nel campo dellrsquoalgebra
Egrave dal 1202 che le conoscenze algebriche degli arabi cominciano a diffondersi in Egrave dal 1202 che le conoscenze algebriche degli arabi cominciano a diffondersi in EuropaEuropa Si deve a Si deve a FibonacciFibonacci (1175-1240) nel suo ldquoLiber Abacirdquo il primo utilizzo (1175-1240) nel suo ldquoLiber Abacirdquo il primo utilizzo del termine equazione e delle tecniche risolutive per le equazioni apprese dagli del termine equazione e delle tecniche risolutive per le equazioni apprese dagli arabiarabi
SitografiaSitografia Cronologia
Un classico problemadellrsquoldquoAlgebrardquo babilonese
1048708 Spesso i Babilonesi richiedevano di determinare duenumeri conoscendone somma e prodotto adesempio trovare a b sapendo che la loro somma egrave 8ed il loro prodotto egrave 121048708 Posizioni (moderne) a = 4+d e b = 4ndashd (a+b = 8)1048708 Si ha (solo radici positive) ab = (4+d)(4ndashd) = 12dsup2 = 4 da cui d = 2 infine a = 4+d = 6 e b = 4ndashd = 21048708 Non esisteva alcuno strumento simbolico completonellrsquoalgebra babilonese soltanto a volte qualcheincognita veniva indicata con simboli specialiDalle tavolette babilonesi risulta che lrsquoincognita si chiamava ldquolunghezzardquo
(us)o ldquolarghezzardquo (sag)o ldquoareardquo (asa) e queste designazioni valevano anche se il problema da risolvere non aveva niente a che fare con la geometria
Tavoletta Babilonese
Le equazioni egiziane
1048708Nel papiro Rhind risalente al 1650 aC si risolvono alcune equazioniquasi tutte di I grado nelle quali lrsquoincognita egrave detta aha (mucchio) con il ldquometodo di falsa posizionerdquo Piugrave tardi detto regula falsi1048708 Esempio determinare il numero che aggiunto al proprio quinto dagrave come somma 48 (x + x5 = 48)1048708 ldquoFalsardquo posizione x = 5 (per non avere frazioni nel primo passaggio) ma non
va bene 5+55 = 6 ne 481048708 Sostituendo x = 5 in x+x5 si ha 6 e non 48 ma se unmultiplo di 6 egrave 48 lo stesso multiplo di 5 daragrave la x1048708 Per ottenere 48 da 6 si moltiplica il 6 per 8 (6middot8 = 48)Dunque per ottenere la cercata x da 5 dobbiamomoltiplicare per 8 (il 5) 5middot8 = x cioegrave x = 40
Papiro di RHINDPapiro di RHIND
Nella cultura greca i problemi numerici non dissimili da quelli presenti ancora oggi nei testi per la scuola media non erano ritenuti importanti poicheacute di natura applicativa la vera matematica era la geometria Pertanto presso i Greci sia il calcolo letterale sia lalgebra erano vincolati allinterpretazione geometrica Giagrave la semplice scrittura della generica equazione di primo grado
ax = b era inconcepibile dato che ax essendo un prodotto rappresentava un rettangolo e b un segmento e non ha senso uguagliare una figura piana con una rettilinea Unequazione di primo grado poteva essere ad esempio ab = qx e veniva espressa nel modo seguente
Dato il rettangolo di dimensioni a e b determinare un rettangolo a esso equivalente avente un lato pari a q
La risoluzione era affidata a una costruzione geometrica quale la seguente
EUCLIDE
DiofantoDiofanto di Alessandria fu lultimo dei grandi matematici greco-ellenistici ed egrave noto come il padre dellrsquoalgebra Della sua vita si sa ben poco la sua nascita va collocata tra il 200 e il 214 dC la sua morte tra il 284 e il 298 dC Dopo di lui per circa un millennio e fino a Leonardo Fibonacci lo studio della matematica almeno in Europa attraversograve un periodo di grave decadenzaDiofanto scrisse un trattato sui numeri poligonali e sulle frazioni ma la sua opera principale egrave lArithmetica trattato in tredici volumi dei quali soltanto sei sono giunti fino a noi La sua fama egrave principalmente legata a due argomenti le equazioni indeterminate ed il simbolismo matematicoA Diofanto si deve un famoso problema che egli stesso volle venisse scritto sulla propria tomba sotto forma di epitaffio da cui egrave possibile lrsquoetagrave del grande matematico greco
Questa tomba rinchiude Diofanto e meraviglia dice matematicamente quanto ha vissuto Un sesto della sua vita fu lrsquoinfanzia aggiunse un dodicesimo percheacute le sue guance si coprissero della peluria dellrsquoadolescenza Inoltre per un settimo ebbe moglie e dopo cinque anni di matrimonio ebbe un figlio Lrsquoinfelice morigrave improvvisamente quando raggiunse la metagrave dellrsquoetagrave paterna Il genitore sopravvissuto fu in lutto per quattro anni e raggiunse infine il termine della
propria vita
Si tratta di un problema di primo gradoindicando con x lrsquoetagrave di Diofanto alla morte si ha
x= 16x + 112x + 17x + 5 + 12x + 4
Da cui si deduce che x=84
Diofanto indica Con la lettera S lrsquoincognita Con Δ il quadrato dellrsquoincognita Con K il cubo dellrsquoincognita
Diofanto dagrave poi delle regole per la risoluzione dellrsquoequazione
Il trasporto di un termine da un membro allrsquoaltro cambiandolo di segno
Lrsquoeliminazione di termini uguali nei due membri
Lrsquoopera di Diofanto saragrave a distanza di secoli il punto di partenza per lo sviluppo dellrsquoalgebra e del simbolismo moderno
In Cina lrsquoalgebra egrave presente dal II sec dC in formaretorica o sincopata (ideogrammi monosillabici perquantitagrave e operazioni) con un importante ldquocarattereposizionalerdquocome per le (tarde) tecniche
moltiplicative1048708 La tavola da calcolo algebrica cinese era
impostatain modo che determinate posizioni fossero
occupatesempre da particolari tipi di grandezze
(incognitepotenze etc) e tale convenzione puograve considerarsi un
importanteartefatto secondario (una ldquoregola del giocordquo)
Algebra cinese e ldquocarattere posizionalerdquo
termine nototermine noto coeff coeff x x coeff coeff xx22E si notiE si notilrsquouso dilrsquouso dibacchettebacchette1048708 1048708 Ad esempio questa tabella (Ad esempio questa tabella (sangisangi) indica ) indica
lrsquoequazionelrsquoequazione851851xx22minusminus34503450xx+2691 = 0+2691 = 0(si osservino i diversi colori e lrsquoassenza dello (si osservino i diversi colori e lrsquoassenza dello
zero)zero)
Calcolo mediante tabelle Chiu Chang
1048708 1048708 Consideriamo il problema seguente che riprende con
variazioni numeriche un problema del capitolo VIII(Fang Cheng) del Chiu Chang (precedente al I sec)Cinque covoni di grano di tipo A aggiunti a tre covonidi grano di tipo B hanno il rendimento di 19 shengTre covoni di grano di tipo A aggiunti a due covoni digrano di tipo B hanno il rendimento di 12 shengQuali rendimenti hanno un covone di grano di tipo Ae un covone di grano di tipo B Oggi indicheremmo rispettivamente con x e con y (insheng) i rendimenti di un covone di tipo A e di uncovone di tipo B ed imposteremmo un sistemahellipSuang Fa Thung Tsung 1593
Il procedimento precedente puograve essere
riprodotto con le bacchette da calcolo
Il sistema egrave5x + 3y = 193x + 2y = 121048708 Moltiplichiamo laprima riga per 31048708 e la seconda per 51048708 Ora alla seconda riga sottraiamo la prima1048708 moltiplichiamo questa seconda riga per 91048708 e alla prima riga sottraiamo la seconda1048708 Infine dividiamo la prima riga per 15 edividiamo ancora la seconda riga per 9
II IIII
II IIIIII
x = 2 y= 3
Il mondo arabo Al-Kuwarizmi1048708 1048708 Dopo la grande stagione della scienza greca laDopo la grande stagione della scienza greca laMatematica conobbe un periodo di declino anche seMatematica conobbe un periodo di declino anche semeno oscuro di quanto si egrave talvolta portati a pensaremeno oscuro di quanto si egrave talvolta portati a pensareGli Gli ArabiArabi non si limitarono a tramandare la non si limitarono a tramandare lamemoria dei testi greci e le loro conoscenzememoria dei testi greci e le loro conoscenzematematiche e astronomiche rivelano elementi dimatematiche e astronomiche rivelano elementi dioriginalitagraveoriginalitagrave1048708 1048708 Mohammed Ibn Musa Al-Kuwarizmi Mohammed Ibn Musa Al-Kuwarizmi (VIII secolo)(VIII secolo)di origine persiana scrisse di origine persiana scrisse Al-jabr wal mukabalahAl-jabr wal mukabalah dalle cui primedalle cui prime lettere deriva la parola ldquoAlgebrardquo e lettere deriva la parola ldquoAlgebrardquo e nella quale sviluppograve la teoria delle equazioninella quale sviluppograve la teoria delle equazioniparticolarmente di quelle di secondo gradoparticolarmente di quelle di secondo gradoQuestrsquoopera contiene una seria di problemi riguardanti testamenti ed ereditagrave e Questrsquoopera contiene una seria di problemi riguardanti testamenti ed ereditagrave e
lrsquoincognita viene chiamata lrsquoincognita viene chiamata ldquocosardquoldquocosardquo Il limite piugrave rilevante della sua opera egrave lrsquoIl limite piugrave rilevante della sua opera egrave lrsquoassenza di una notazione assenza di una notazione
simbolicasimbolicaAl-Kuwarizmi quindi deve essere considerato ancora nellrsquoambito dellrsquoAl-Kuwarizmi quindi deve essere considerato ancora nellrsquoambito dellrsquoalgebra algebra
retorica retorica (nella quale tutte le espressioni algebriche erano indicate (nella quale tutte le espressioni algebriche erano indicate mediantemediante
parole)parole)
1048708 1048708
Il mondo arabo Khayyam
Gli Arabi si occuparonodi equazioniindeterminate (Al-Karchi morto nel 1029scrisse Al-Facri vicinoallrsquoAritmetica diofantea)1048708 Alcuni tentarono diprovare che xsup3+ysup3 = zsup3 nonammette soluzioni interenon nulle anticipando lericerche sullrsquoultimoteorema di Fermat
Occidente - EuropaSi deve a Fibonacci (1175-1240) nel suo
ldquoLiber Abacirdquo il primo utilizzo del termine equazione e la diffusione in Europa delle tecniche risolutiva apprese dagli Arabi
Solo nel sedicesimo secolo lalgebra iniziograve un suo vero e proprio sviluppo autonomo dalla geometria quando le lettere furono intese rappresentare non grandezze geometriche ma numeri attraverso lopera di F Viegravete (1540-1603) e R Descartes (Cartesio1596-1650)
Raggiunse una sistemazione e un modo di presentazione simile a quelli attuali poco piugrave di due secoli fa nellIntroduzione completa allalgebra (1770) di L Euler (Eulero1707-1783)
CARTESIO
Nello stesso periodo giunse a maturazione il linguaggio algebrico vero e proprio In precedenza (algebra retorica) operazioni equazioni con la loro risoluzione venivanoespressi con parole (ad esempio lincognita veniva detta la cosa il suo quadrato il censo la sua terza potenzail cubo la quarta potenza censo censo) ed era assai arduo seguire i passaggi con cui si perveniva ai risultati finali dei problemi Ne seguiacute una fase intermedia (algebra sincopata) in cui comparvero alcuni simboli e parole stilizzatead esempio Luca
Pacioli (1445-1514) autore dellopera Summa de Arithmetica (1523) che contribuiacute alla diffusione in occidente delluso delle cifre arabo-indiane indicava con co lincognita con ce il suo quadrato con cu il suo
cubo e con p e m laddizione e la sottrazione Solo in seguito lalgebra ricevette la veste che la rende simile alle
attuali esposizioni (algebra simbolica)
Luca Pacioli
Fibonacci e il Liber Abaci1048708 De laborator quaestio notabilis
1048708 1048708 Un lavoratore avrebbeUn lavoratore avrebbedovuto prendere dovuto prendere 77bisanti al mese se avessebisanti al mese se avesselavorato ma avrebbelavorato ma avrebbedovuto restituire dovuto restituire 44bisanti per un mesebisanti per un mesedi assenza dal lavorodi assenza dal lavoro10487081048708 Questi talvolta lavorograve e talvolta no ed alla fine delQuesti talvolta lavorograve e talvolta no ed alla fine delmese (30 giorni) ricevette un solo bisantemese (30 giorni) ricevette un solo bisante1048708 1048708 Quanti giorni lavorograveQuanti giorni lavorograve
Risolviamo con Fibonacciil problema del lavoratore
1048708 1048708 Modernamente imposteremmo lrsquoequazione7middotx30ndash4 middot(30ndashx)30 = 11048708 Fibonacci usa il metodo della doppia falsa posizione1048708 per 15 gg 1 bisante e 12 7middot1530ndash4middot15301048708 per 20 gg 3 bisanti e 13 7middot2030ndash4middot10301048708 Si imposta dunque la proporzione(20ndash15) [(3+13)ndash(1+12)] = (20ndashx) [(3+13)ndash1]1048708 Da cui ricaviamox = 15011 = 13+711Pertanto quel lavoratoreha lavorato 13 giorni e 711 (di giorno)
PopolazionePopolazione EpocaEpoca SimboloSimbolo SignificatoSignificato
BabilonesiBabilonesi 1800-2000 1800-2000 aCaC
usus
sagsag
asaasa
LunghezzaLunghezza
LarghezzaLarghezza
AreaArea
EgiziEgizi II-I secolo II-I secolo aCaC
ahaaha MucchiocumMucchiocumuloulo
Greci amp Greci amp DiofantoDiofanto
II-III sec dCII-III sec dC SS NumeroNumero
(arithmos)(arithmos)
CinesiCinesi I-II sec dCI-II sec dC I II IIII II III CosaelemenCosaelementoto
ArabiArabi III-IV sec dCIII-IV sec dC cosacosa
EuropaEuropa OggiOggi x y zx y z incognitaincognita
Dalla StoriahellipI nomi dellrsquoincognita attraverso i secoli
SITOGRAFIASITOGRAFIA
wwwulissesissaitwwwulissesissait wwwitwikipediaorgwwwitwikipediaorg wwwvirgilioitwwwvirgilioit
Castelnuovo EGori Giorgi Valenti Castelnuovo EGori Giorgi Valenti La matematica nella realtagrave ndash La Nuova ItaliaLa matematica nella realtagrave ndash La Nuova Italia Carl B BoyerCarl B Boyer Storia della matematica ndash Oscar MondadoriStoria della matematica ndash Oscar Mondadori
BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA
Un classico problemadellrsquoldquoAlgebrardquo babilonese
1048708 Spesso i Babilonesi richiedevano di determinare duenumeri conoscendone somma e prodotto adesempio trovare a b sapendo che la loro somma egrave 8ed il loro prodotto egrave 121048708 Posizioni (moderne) a = 4+d e b = 4ndashd (a+b = 8)1048708 Si ha (solo radici positive) ab = (4+d)(4ndashd) = 12dsup2 = 4 da cui d = 2 infine a = 4+d = 6 e b = 4ndashd = 21048708 Non esisteva alcuno strumento simbolico completonellrsquoalgebra babilonese soltanto a volte qualcheincognita veniva indicata con simboli specialiDalle tavolette babilonesi risulta che lrsquoincognita si chiamava ldquolunghezzardquo
(us)o ldquolarghezzardquo (sag)o ldquoareardquo (asa) e queste designazioni valevano anche se il problema da risolvere non aveva niente a che fare con la geometria
Tavoletta Babilonese
Le equazioni egiziane
1048708Nel papiro Rhind risalente al 1650 aC si risolvono alcune equazioniquasi tutte di I grado nelle quali lrsquoincognita egrave detta aha (mucchio) con il ldquometodo di falsa posizionerdquo Piugrave tardi detto regula falsi1048708 Esempio determinare il numero che aggiunto al proprio quinto dagrave come somma 48 (x + x5 = 48)1048708 ldquoFalsardquo posizione x = 5 (per non avere frazioni nel primo passaggio) ma non
va bene 5+55 = 6 ne 481048708 Sostituendo x = 5 in x+x5 si ha 6 e non 48 ma se unmultiplo di 6 egrave 48 lo stesso multiplo di 5 daragrave la x1048708 Per ottenere 48 da 6 si moltiplica il 6 per 8 (6middot8 = 48)Dunque per ottenere la cercata x da 5 dobbiamomoltiplicare per 8 (il 5) 5middot8 = x cioegrave x = 40
Papiro di RHINDPapiro di RHIND
Nella cultura greca i problemi numerici non dissimili da quelli presenti ancora oggi nei testi per la scuola media non erano ritenuti importanti poicheacute di natura applicativa la vera matematica era la geometria Pertanto presso i Greci sia il calcolo letterale sia lalgebra erano vincolati allinterpretazione geometrica Giagrave la semplice scrittura della generica equazione di primo grado
ax = b era inconcepibile dato che ax essendo un prodotto rappresentava un rettangolo e b un segmento e non ha senso uguagliare una figura piana con una rettilinea Unequazione di primo grado poteva essere ad esempio ab = qx e veniva espressa nel modo seguente
Dato il rettangolo di dimensioni a e b determinare un rettangolo a esso equivalente avente un lato pari a q
La risoluzione era affidata a una costruzione geometrica quale la seguente
EUCLIDE
DiofantoDiofanto di Alessandria fu lultimo dei grandi matematici greco-ellenistici ed egrave noto come il padre dellrsquoalgebra Della sua vita si sa ben poco la sua nascita va collocata tra il 200 e il 214 dC la sua morte tra il 284 e il 298 dC Dopo di lui per circa un millennio e fino a Leonardo Fibonacci lo studio della matematica almeno in Europa attraversograve un periodo di grave decadenzaDiofanto scrisse un trattato sui numeri poligonali e sulle frazioni ma la sua opera principale egrave lArithmetica trattato in tredici volumi dei quali soltanto sei sono giunti fino a noi La sua fama egrave principalmente legata a due argomenti le equazioni indeterminate ed il simbolismo matematicoA Diofanto si deve un famoso problema che egli stesso volle venisse scritto sulla propria tomba sotto forma di epitaffio da cui egrave possibile lrsquoetagrave del grande matematico greco
Questa tomba rinchiude Diofanto e meraviglia dice matematicamente quanto ha vissuto Un sesto della sua vita fu lrsquoinfanzia aggiunse un dodicesimo percheacute le sue guance si coprissero della peluria dellrsquoadolescenza Inoltre per un settimo ebbe moglie e dopo cinque anni di matrimonio ebbe un figlio Lrsquoinfelice morigrave improvvisamente quando raggiunse la metagrave dellrsquoetagrave paterna Il genitore sopravvissuto fu in lutto per quattro anni e raggiunse infine il termine della
propria vita
Si tratta di un problema di primo gradoindicando con x lrsquoetagrave di Diofanto alla morte si ha
x= 16x + 112x + 17x + 5 + 12x + 4
Da cui si deduce che x=84
Diofanto indica Con la lettera S lrsquoincognita Con Δ il quadrato dellrsquoincognita Con K il cubo dellrsquoincognita
Diofanto dagrave poi delle regole per la risoluzione dellrsquoequazione
Il trasporto di un termine da un membro allrsquoaltro cambiandolo di segno
Lrsquoeliminazione di termini uguali nei due membri
Lrsquoopera di Diofanto saragrave a distanza di secoli il punto di partenza per lo sviluppo dellrsquoalgebra e del simbolismo moderno
In Cina lrsquoalgebra egrave presente dal II sec dC in formaretorica o sincopata (ideogrammi monosillabici perquantitagrave e operazioni) con un importante ldquocarattereposizionalerdquocome per le (tarde) tecniche
moltiplicative1048708 La tavola da calcolo algebrica cinese era
impostatain modo che determinate posizioni fossero
occupatesempre da particolari tipi di grandezze
(incognitepotenze etc) e tale convenzione puograve considerarsi un
importanteartefatto secondario (una ldquoregola del giocordquo)
Algebra cinese e ldquocarattere posizionalerdquo
termine nototermine noto coeff coeff x x coeff coeff xx22E si notiE si notilrsquouso dilrsquouso dibacchettebacchette1048708 1048708 Ad esempio questa tabella (Ad esempio questa tabella (sangisangi) indica ) indica
lrsquoequazionelrsquoequazione851851xx22minusminus34503450xx+2691 = 0+2691 = 0(si osservino i diversi colori e lrsquoassenza dello (si osservino i diversi colori e lrsquoassenza dello
zero)zero)
Calcolo mediante tabelle Chiu Chang
1048708 1048708 Consideriamo il problema seguente che riprende con
variazioni numeriche un problema del capitolo VIII(Fang Cheng) del Chiu Chang (precedente al I sec)Cinque covoni di grano di tipo A aggiunti a tre covonidi grano di tipo B hanno il rendimento di 19 shengTre covoni di grano di tipo A aggiunti a due covoni digrano di tipo B hanno il rendimento di 12 shengQuali rendimenti hanno un covone di grano di tipo Ae un covone di grano di tipo B Oggi indicheremmo rispettivamente con x e con y (insheng) i rendimenti di un covone di tipo A e di uncovone di tipo B ed imposteremmo un sistemahellipSuang Fa Thung Tsung 1593
Il procedimento precedente puograve essere
riprodotto con le bacchette da calcolo
Il sistema egrave5x + 3y = 193x + 2y = 121048708 Moltiplichiamo laprima riga per 31048708 e la seconda per 51048708 Ora alla seconda riga sottraiamo la prima1048708 moltiplichiamo questa seconda riga per 91048708 e alla prima riga sottraiamo la seconda1048708 Infine dividiamo la prima riga per 15 edividiamo ancora la seconda riga per 9
II IIII
II IIIIII
x = 2 y= 3
Il mondo arabo Al-Kuwarizmi1048708 1048708 Dopo la grande stagione della scienza greca laDopo la grande stagione della scienza greca laMatematica conobbe un periodo di declino anche seMatematica conobbe un periodo di declino anche semeno oscuro di quanto si egrave talvolta portati a pensaremeno oscuro di quanto si egrave talvolta portati a pensareGli Gli ArabiArabi non si limitarono a tramandare la non si limitarono a tramandare lamemoria dei testi greci e le loro conoscenzememoria dei testi greci e le loro conoscenzematematiche e astronomiche rivelano elementi dimatematiche e astronomiche rivelano elementi dioriginalitagraveoriginalitagrave1048708 1048708 Mohammed Ibn Musa Al-Kuwarizmi Mohammed Ibn Musa Al-Kuwarizmi (VIII secolo)(VIII secolo)di origine persiana scrisse di origine persiana scrisse Al-jabr wal mukabalahAl-jabr wal mukabalah dalle cui primedalle cui prime lettere deriva la parola ldquoAlgebrardquo e lettere deriva la parola ldquoAlgebrardquo e nella quale sviluppograve la teoria delle equazioninella quale sviluppograve la teoria delle equazioniparticolarmente di quelle di secondo gradoparticolarmente di quelle di secondo gradoQuestrsquoopera contiene una seria di problemi riguardanti testamenti ed ereditagrave e Questrsquoopera contiene una seria di problemi riguardanti testamenti ed ereditagrave e
lrsquoincognita viene chiamata lrsquoincognita viene chiamata ldquocosardquoldquocosardquo Il limite piugrave rilevante della sua opera egrave lrsquoIl limite piugrave rilevante della sua opera egrave lrsquoassenza di una notazione assenza di una notazione
simbolicasimbolicaAl-Kuwarizmi quindi deve essere considerato ancora nellrsquoambito dellrsquoAl-Kuwarizmi quindi deve essere considerato ancora nellrsquoambito dellrsquoalgebra algebra
retorica retorica (nella quale tutte le espressioni algebriche erano indicate (nella quale tutte le espressioni algebriche erano indicate mediantemediante
parole)parole)
1048708 1048708
Il mondo arabo Khayyam
Gli Arabi si occuparonodi equazioniindeterminate (Al-Karchi morto nel 1029scrisse Al-Facri vicinoallrsquoAritmetica diofantea)1048708 Alcuni tentarono diprovare che xsup3+ysup3 = zsup3 nonammette soluzioni interenon nulle anticipando lericerche sullrsquoultimoteorema di Fermat
Occidente - EuropaSi deve a Fibonacci (1175-1240) nel suo
ldquoLiber Abacirdquo il primo utilizzo del termine equazione e la diffusione in Europa delle tecniche risolutiva apprese dagli Arabi
Solo nel sedicesimo secolo lalgebra iniziograve un suo vero e proprio sviluppo autonomo dalla geometria quando le lettere furono intese rappresentare non grandezze geometriche ma numeri attraverso lopera di F Viegravete (1540-1603) e R Descartes (Cartesio1596-1650)
Raggiunse una sistemazione e un modo di presentazione simile a quelli attuali poco piugrave di due secoli fa nellIntroduzione completa allalgebra (1770) di L Euler (Eulero1707-1783)
CARTESIO
Nello stesso periodo giunse a maturazione il linguaggio algebrico vero e proprio In precedenza (algebra retorica) operazioni equazioni con la loro risoluzione venivanoespressi con parole (ad esempio lincognita veniva detta la cosa il suo quadrato il censo la sua terza potenzail cubo la quarta potenza censo censo) ed era assai arduo seguire i passaggi con cui si perveniva ai risultati finali dei problemi Ne seguiacute una fase intermedia (algebra sincopata) in cui comparvero alcuni simboli e parole stilizzatead esempio Luca
Pacioli (1445-1514) autore dellopera Summa de Arithmetica (1523) che contribuiacute alla diffusione in occidente delluso delle cifre arabo-indiane indicava con co lincognita con ce il suo quadrato con cu il suo
cubo e con p e m laddizione e la sottrazione Solo in seguito lalgebra ricevette la veste che la rende simile alle
attuali esposizioni (algebra simbolica)
Luca Pacioli
Fibonacci e il Liber Abaci1048708 De laborator quaestio notabilis
1048708 1048708 Un lavoratore avrebbeUn lavoratore avrebbedovuto prendere dovuto prendere 77bisanti al mese se avessebisanti al mese se avesselavorato ma avrebbelavorato ma avrebbedovuto restituire dovuto restituire 44bisanti per un mesebisanti per un mesedi assenza dal lavorodi assenza dal lavoro10487081048708 Questi talvolta lavorograve e talvolta no ed alla fine delQuesti talvolta lavorograve e talvolta no ed alla fine delmese (30 giorni) ricevette un solo bisantemese (30 giorni) ricevette un solo bisante1048708 1048708 Quanti giorni lavorograveQuanti giorni lavorograve
Risolviamo con Fibonacciil problema del lavoratore
1048708 1048708 Modernamente imposteremmo lrsquoequazione7middotx30ndash4 middot(30ndashx)30 = 11048708 Fibonacci usa il metodo della doppia falsa posizione1048708 per 15 gg 1 bisante e 12 7middot1530ndash4middot15301048708 per 20 gg 3 bisanti e 13 7middot2030ndash4middot10301048708 Si imposta dunque la proporzione(20ndash15) [(3+13)ndash(1+12)] = (20ndashx) [(3+13)ndash1]1048708 Da cui ricaviamox = 15011 = 13+711Pertanto quel lavoratoreha lavorato 13 giorni e 711 (di giorno)
PopolazionePopolazione EpocaEpoca SimboloSimbolo SignificatoSignificato
BabilonesiBabilonesi 1800-2000 1800-2000 aCaC
usus
sagsag
asaasa
LunghezzaLunghezza
LarghezzaLarghezza
AreaArea
EgiziEgizi II-I secolo II-I secolo aCaC
ahaaha MucchiocumMucchiocumuloulo
Greci amp Greci amp DiofantoDiofanto
II-III sec dCII-III sec dC SS NumeroNumero
(arithmos)(arithmos)
CinesiCinesi I-II sec dCI-II sec dC I II IIII II III CosaelemenCosaelementoto
ArabiArabi III-IV sec dCIII-IV sec dC cosacosa
EuropaEuropa OggiOggi x y zx y z incognitaincognita
Dalla StoriahellipI nomi dellrsquoincognita attraverso i secoli
SITOGRAFIASITOGRAFIA
wwwulissesissaitwwwulissesissait wwwitwikipediaorgwwwitwikipediaorg wwwvirgilioitwwwvirgilioit
Castelnuovo EGori Giorgi Valenti Castelnuovo EGori Giorgi Valenti La matematica nella realtagrave ndash La Nuova ItaliaLa matematica nella realtagrave ndash La Nuova Italia Carl B BoyerCarl B Boyer Storia della matematica ndash Oscar MondadoriStoria della matematica ndash Oscar Mondadori
BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA
Le equazioni egiziane
1048708Nel papiro Rhind risalente al 1650 aC si risolvono alcune equazioniquasi tutte di I grado nelle quali lrsquoincognita egrave detta aha (mucchio) con il ldquometodo di falsa posizionerdquo Piugrave tardi detto regula falsi1048708 Esempio determinare il numero che aggiunto al proprio quinto dagrave come somma 48 (x + x5 = 48)1048708 ldquoFalsardquo posizione x = 5 (per non avere frazioni nel primo passaggio) ma non
va bene 5+55 = 6 ne 481048708 Sostituendo x = 5 in x+x5 si ha 6 e non 48 ma se unmultiplo di 6 egrave 48 lo stesso multiplo di 5 daragrave la x1048708 Per ottenere 48 da 6 si moltiplica il 6 per 8 (6middot8 = 48)Dunque per ottenere la cercata x da 5 dobbiamomoltiplicare per 8 (il 5) 5middot8 = x cioegrave x = 40
Papiro di RHINDPapiro di RHIND
Nella cultura greca i problemi numerici non dissimili da quelli presenti ancora oggi nei testi per la scuola media non erano ritenuti importanti poicheacute di natura applicativa la vera matematica era la geometria Pertanto presso i Greci sia il calcolo letterale sia lalgebra erano vincolati allinterpretazione geometrica Giagrave la semplice scrittura della generica equazione di primo grado
ax = b era inconcepibile dato che ax essendo un prodotto rappresentava un rettangolo e b un segmento e non ha senso uguagliare una figura piana con una rettilinea Unequazione di primo grado poteva essere ad esempio ab = qx e veniva espressa nel modo seguente
Dato il rettangolo di dimensioni a e b determinare un rettangolo a esso equivalente avente un lato pari a q
La risoluzione era affidata a una costruzione geometrica quale la seguente
EUCLIDE
DiofantoDiofanto di Alessandria fu lultimo dei grandi matematici greco-ellenistici ed egrave noto come il padre dellrsquoalgebra Della sua vita si sa ben poco la sua nascita va collocata tra il 200 e il 214 dC la sua morte tra il 284 e il 298 dC Dopo di lui per circa un millennio e fino a Leonardo Fibonacci lo studio della matematica almeno in Europa attraversograve un periodo di grave decadenzaDiofanto scrisse un trattato sui numeri poligonali e sulle frazioni ma la sua opera principale egrave lArithmetica trattato in tredici volumi dei quali soltanto sei sono giunti fino a noi La sua fama egrave principalmente legata a due argomenti le equazioni indeterminate ed il simbolismo matematicoA Diofanto si deve un famoso problema che egli stesso volle venisse scritto sulla propria tomba sotto forma di epitaffio da cui egrave possibile lrsquoetagrave del grande matematico greco
Questa tomba rinchiude Diofanto e meraviglia dice matematicamente quanto ha vissuto Un sesto della sua vita fu lrsquoinfanzia aggiunse un dodicesimo percheacute le sue guance si coprissero della peluria dellrsquoadolescenza Inoltre per un settimo ebbe moglie e dopo cinque anni di matrimonio ebbe un figlio Lrsquoinfelice morigrave improvvisamente quando raggiunse la metagrave dellrsquoetagrave paterna Il genitore sopravvissuto fu in lutto per quattro anni e raggiunse infine il termine della
propria vita
Si tratta di un problema di primo gradoindicando con x lrsquoetagrave di Diofanto alla morte si ha
x= 16x + 112x + 17x + 5 + 12x + 4
Da cui si deduce che x=84
Diofanto indica Con la lettera S lrsquoincognita Con Δ il quadrato dellrsquoincognita Con K il cubo dellrsquoincognita
Diofanto dagrave poi delle regole per la risoluzione dellrsquoequazione
Il trasporto di un termine da un membro allrsquoaltro cambiandolo di segno
Lrsquoeliminazione di termini uguali nei due membri
Lrsquoopera di Diofanto saragrave a distanza di secoli il punto di partenza per lo sviluppo dellrsquoalgebra e del simbolismo moderno
In Cina lrsquoalgebra egrave presente dal II sec dC in formaretorica o sincopata (ideogrammi monosillabici perquantitagrave e operazioni) con un importante ldquocarattereposizionalerdquocome per le (tarde) tecniche
moltiplicative1048708 La tavola da calcolo algebrica cinese era
impostatain modo che determinate posizioni fossero
occupatesempre da particolari tipi di grandezze
(incognitepotenze etc) e tale convenzione puograve considerarsi un
importanteartefatto secondario (una ldquoregola del giocordquo)
Algebra cinese e ldquocarattere posizionalerdquo
termine nototermine noto coeff coeff x x coeff coeff xx22E si notiE si notilrsquouso dilrsquouso dibacchettebacchette1048708 1048708 Ad esempio questa tabella (Ad esempio questa tabella (sangisangi) indica ) indica
lrsquoequazionelrsquoequazione851851xx22minusminus34503450xx+2691 = 0+2691 = 0(si osservino i diversi colori e lrsquoassenza dello (si osservino i diversi colori e lrsquoassenza dello
zero)zero)
Calcolo mediante tabelle Chiu Chang
1048708 1048708 Consideriamo il problema seguente che riprende con
variazioni numeriche un problema del capitolo VIII(Fang Cheng) del Chiu Chang (precedente al I sec)Cinque covoni di grano di tipo A aggiunti a tre covonidi grano di tipo B hanno il rendimento di 19 shengTre covoni di grano di tipo A aggiunti a due covoni digrano di tipo B hanno il rendimento di 12 shengQuali rendimenti hanno un covone di grano di tipo Ae un covone di grano di tipo B Oggi indicheremmo rispettivamente con x e con y (insheng) i rendimenti di un covone di tipo A e di uncovone di tipo B ed imposteremmo un sistemahellipSuang Fa Thung Tsung 1593
Il procedimento precedente puograve essere
riprodotto con le bacchette da calcolo
Il sistema egrave5x + 3y = 193x + 2y = 121048708 Moltiplichiamo laprima riga per 31048708 e la seconda per 51048708 Ora alla seconda riga sottraiamo la prima1048708 moltiplichiamo questa seconda riga per 91048708 e alla prima riga sottraiamo la seconda1048708 Infine dividiamo la prima riga per 15 edividiamo ancora la seconda riga per 9
II IIII
II IIIIII
x = 2 y= 3
Il mondo arabo Al-Kuwarizmi1048708 1048708 Dopo la grande stagione della scienza greca laDopo la grande stagione della scienza greca laMatematica conobbe un periodo di declino anche seMatematica conobbe un periodo di declino anche semeno oscuro di quanto si egrave talvolta portati a pensaremeno oscuro di quanto si egrave talvolta portati a pensareGli Gli ArabiArabi non si limitarono a tramandare la non si limitarono a tramandare lamemoria dei testi greci e le loro conoscenzememoria dei testi greci e le loro conoscenzematematiche e astronomiche rivelano elementi dimatematiche e astronomiche rivelano elementi dioriginalitagraveoriginalitagrave1048708 1048708 Mohammed Ibn Musa Al-Kuwarizmi Mohammed Ibn Musa Al-Kuwarizmi (VIII secolo)(VIII secolo)di origine persiana scrisse di origine persiana scrisse Al-jabr wal mukabalahAl-jabr wal mukabalah dalle cui primedalle cui prime lettere deriva la parola ldquoAlgebrardquo e lettere deriva la parola ldquoAlgebrardquo e nella quale sviluppograve la teoria delle equazioninella quale sviluppograve la teoria delle equazioniparticolarmente di quelle di secondo gradoparticolarmente di quelle di secondo gradoQuestrsquoopera contiene una seria di problemi riguardanti testamenti ed ereditagrave e Questrsquoopera contiene una seria di problemi riguardanti testamenti ed ereditagrave e
lrsquoincognita viene chiamata lrsquoincognita viene chiamata ldquocosardquoldquocosardquo Il limite piugrave rilevante della sua opera egrave lrsquoIl limite piugrave rilevante della sua opera egrave lrsquoassenza di una notazione assenza di una notazione
simbolicasimbolicaAl-Kuwarizmi quindi deve essere considerato ancora nellrsquoambito dellrsquoAl-Kuwarizmi quindi deve essere considerato ancora nellrsquoambito dellrsquoalgebra algebra
retorica retorica (nella quale tutte le espressioni algebriche erano indicate (nella quale tutte le espressioni algebriche erano indicate mediantemediante
parole)parole)
1048708 1048708
Il mondo arabo Khayyam
Gli Arabi si occuparonodi equazioniindeterminate (Al-Karchi morto nel 1029scrisse Al-Facri vicinoallrsquoAritmetica diofantea)1048708 Alcuni tentarono diprovare che xsup3+ysup3 = zsup3 nonammette soluzioni interenon nulle anticipando lericerche sullrsquoultimoteorema di Fermat
Occidente - EuropaSi deve a Fibonacci (1175-1240) nel suo
ldquoLiber Abacirdquo il primo utilizzo del termine equazione e la diffusione in Europa delle tecniche risolutiva apprese dagli Arabi
Solo nel sedicesimo secolo lalgebra iniziograve un suo vero e proprio sviluppo autonomo dalla geometria quando le lettere furono intese rappresentare non grandezze geometriche ma numeri attraverso lopera di F Viegravete (1540-1603) e R Descartes (Cartesio1596-1650)
Raggiunse una sistemazione e un modo di presentazione simile a quelli attuali poco piugrave di due secoli fa nellIntroduzione completa allalgebra (1770) di L Euler (Eulero1707-1783)
CARTESIO
Nello stesso periodo giunse a maturazione il linguaggio algebrico vero e proprio In precedenza (algebra retorica) operazioni equazioni con la loro risoluzione venivanoespressi con parole (ad esempio lincognita veniva detta la cosa il suo quadrato il censo la sua terza potenzail cubo la quarta potenza censo censo) ed era assai arduo seguire i passaggi con cui si perveniva ai risultati finali dei problemi Ne seguiacute una fase intermedia (algebra sincopata) in cui comparvero alcuni simboli e parole stilizzatead esempio Luca
Pacioli (1445-1514) autore dellopera Summa de Arithmetica (1523) che contribuiacute alla diffusione in occidente delluso delle cifre arabo-indiane indicava con co lincognita con ce il suo quadrato con cu il suo
cubo e con p e m laddizione e la sottrazione Solo in seguito lalgebra ricevette la veste che la rende simile alle
attuali esposizioni (algebra simbolica)
Luca Pacioli
Fibonacci e il Liber Abaci1048708 De laborator quaestio notabilis
1048708 1048708 Un lavoratore avrebbeUn lavoratore avrebbedovuto prendere dovuto prendere 77bisanti al mese se avessebisanti al mese se avesselavorato ma avrebbelavorato ma avrebbedovuto restituire dovuto restituire 44bisanti per un mesebisanti per un mesedi assenza dal lavorodi assenza dal lavoro10487081048708 Questi talvolta lavorograve e talvolta no ed alla fine delQuesti talvolta lavorograve e talvolta no ed alla fine delmese (30 giorni) ricevette un solo bisantemese (30 giorni) ricevette un solo bisante1048708 1048708 Quanti giorni lavorograveQuanti giorni lavorograve
Risolviamo con Fibonacciil problema del lavoratore
1048708 1048708 Modernamente imposteremmo lrsquoequazione7middotx30ndash4 middot(30ndashx)30 = 11048708 Fibonacci usa il metodo della doppia falsa posizione1048708 per 15 gg 1 bisante e 12 7middot1530ndash4middot15301048708 per 20 gg 3 bisanti e 13 7middot2030ndash4middot10301048708 Si imposta dunque la proporzione(20ndash15) [(3+13)ndash(1+12)] = (20ndashx) [(3+13)ndash1]1048708 Da cui ricaviamox = 15011 = 13+711Pertanto quel lavoratoreha lavorato 13 giorni e 711 (di giorno)
PopolazionePopolazione EpocaEpoca SimboloSimbolo SignificatoSignificato
BabilonesiBabilonesi 1800-2000 1800-2000 aCaC
usus
sagsag
asaasa
LunghezzaLunghezza
LarghezzaLarghezza
AreaArea
EgiziEgizi II-I secolo II-I secolo aCaC
ahaaha MucchiocumMucchiocumuloulo
Greci amp Greci amp DiofantoDiofanto
II-III sec dCII-III sec dC SS NumeroNumero
(arithmos)(arithmos)
CinesiCinesi I-II sec dCI-II sec dC I II IIII II III CosaelemenCosaelementoto
ArabiArabi III-IV sec dCIII-IV sec dC cosacosa
EuropaEuropa OggiOggi x y zx y z incognitaincognita
Dalla StoriahellipI nomi dellrsquoincognita attraverso i secoli
SITOGRAFIASITOGRAFIA
wwwulissesissaitwwwulissesissait wwwitwikipediaorgwwwitwikipediaorg wwwvirgilioitwwwvirgilioit
Castelnuovo EGori Giorgi Valenti Castelnuovo EGori Giorgi Valenti La matematica nella realtagrave ndash La Nuova ItaliaLa matematica nella realtagrave ndash La Nuova Italia Carl B BoyerCarl B Boyer Storia della matematica ndash Oscar MondadoriStoria della matematica ndash Oscar Mondadori
BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA
Nella cultura greca i problemi numerici non dissimili da quelli presenti ancora oggi nei testi per la scuola media non erano ritenuti importanti poicheacute di natura applicativa la vera matematica era la geometria Pertanto presso i Greci sia il calcolo letterale sia lalgebra erano vincolati allinterpretazione geometrica Giagrave la semplice scrittura della generica equazione di primo grado
ax = b era inconcepibile dato che ax essendo un prodotto rappresentava un rettangolo e b un segmento e non ha senso uguagliare una figura piana con una rettilinea Unequazione di primo grado poteva essere ad esempio ab = qx e veniva espressa nel modo seguente
Dato il rettangolo di dimensioni a e b determinare un rettangolo a esso equivalente avente un lato pari a q
La risoluzione era affidata a una costruzione geometrica quale la seguente
EUCLIDE
DiofantoDiofanto di Alessandria fu lultimo dei grandi matematici greco-ellenistici ed egrave noto come il padre dellrsquoalgebra Della sua vita si sa ben poco la sua nascita va collocata tra il 200 e il 214 dC la sua morte tra il 284 e il 298 dC Dopo di lui per circa un millennio e fino a Leonardo Fibonacci lo studio della matematica almeno in Europa attraversograve un periodo di grave decadenzaDiofanto scrisse un trattato sui numeri poligonali e sulle frazioni ma la sua opera principale egrave lArithmetica trattato in tredici volumi dei quali soltanto sei sono giunti fino a noi La sua fama egrave principalmente legata a due argomenti le equazioni indeterminate ed il simbolismo matematicoA Diofanto si deve un famoso problema che egli stesso volle venisse scritto sulla propria tomba sotto forma di epitaffio da cui egrave possibile lrsquoetagrave del grande matematico greco
Questa tomba rinchiude Diofanto e meraviglia dice matematicamente quanto ha vissuto Un sesto della sua vita fu lrsquoinfanzia aggiunse un dodicesimo percheacute le sue guance si coprissero della peluria dellrsquoadolescenza Inoltre per un settimo ebbe moglie e dopo cinque anni di matrimonio ebbe un figlio Lrsquoinfelice morigrave improvvisamente quando raggiunse la metagrave dellrsquoetagrave paterna Il genitore sopravvissuto fu in lutto per quattro anni e raggiunse infine il termine della
propria vita
Si tratta di un problema di primo gradoindicando con x lrsquoetagrave di Diofanto alla morte si ha
x= 16x + 112x + 17x + 5 + 12x + 4
Da cui si deduce che x=84
Diofanto indica Con la lettera S lrsquoincognita Con Δ il quadrato dellrsquoincognita Con K il cubo dellrsquoincognita
Diofanto dagrave poi delle regole per la risoluzione dellrsquoequazione
Il trasporto di un termine da un membro allrsquoaltro cambiandolo di segno
Lrsquoeliminazione di termini uguali nei due membri
Lrsquoopera di Diofanto saragrave a distanza di secoli il punto di partenza per lo sviluppo dellrsquoalgebra e del simbolismo moderno
In Cina lrsquoalgebra egrave presente dal II sec dC in formaretorica o sincopata (ideogrammi monosillabici perquantitagrave e operazioni) con un importante ldquocarattereposizionalerdquocome per le (tarde) tecniche
moltiplicative1048708 La tavola da calcolo algebrica cinese era
impostatain modo che determinate posizioni fossero
occupatesempre da particolari tipi di grandezze
(incognitepotenze etc) e tale convenzione puograve considerarsi un
importanteartefatto secondario (una ldquoregola del giocordquo)
Algebra cinese e ldquocarattere posizionalerdquo
termine nototermine noto coeff coeff x x coeff coeff xx22E si notiE si notilrsquouso dilrsquouso dibacchettebacchette1048708 1048708 Ad esempio questa tabella (Ad esempio questa tabella (sangisangi) indica ) indica
lrsquoequazionelrsquoequazione851851xx22minusminus34503450xx+2691 = 0+2691 = 0(si osservino i diversi colori e lrsquoassenza dello (si osservino i diversi colori e lrsquoassenza dello
zero)zero)
Calcolo mediante tabelle Chiu Chang
1048708 1048708 Consideriamo il problema seguente che riprende con
variazioni numeriche un problema del capitolo VIII(Fang Cheng) del Chiu Chang (precedente al I sec)Cinque covoni di grano di tipo A aggiunti a tre covonidi grano di tipo B hanno il rendimento di 19 shengTre covoni di grano di tipo A aggiunti a due covoni digrano di tipo B hanno il rendimento di 12 shengQuali rendimenti hanno un covone di grano di tipo Ae un covone di grano di tipo B Oggi indicheremmo rispettivamente con x e con y (insheng) i rendimenti di un covone di tipo A e di uncovone di tipo B ed imposteremmo un sistemahellipSuang Fa Thung Tsung 1593
Il procedimento precedente puograve essere
riprodotto con le bacchette da calcolo
Il sistema egrave5x + 3y = 193x + 2y = 121048708 Moltiplichiamo laprima riga per 31048708 e la seconda per 51048708 Ora alla seconda riga sottraiamo la prima1048708 moltiplichiamo questa seconda riga per 91048708 e alla prima riga sottraiamo la seconda1048708 Infine dividiamo la prima riga per 15 edividiamo ancora la seconda riga per 9
II IIII
II IIIIII
x = 2 y= 3
Il mondo arabo Al-Kuwarizmi1048708 1048708 Dopo la grande stagione della scienza greca laDopo la grande stagione della scienza greca laMatematica conobbe un periodo di declino anche seMatematica conobbe un periodo di declino anche semeno oscuro di quanto si egrave talvolta portati a pensaremeno oscuro di quanto si egrave talvolta portati a pensareGli Gli ArabiArabi non si limitarono a tramandare la non si limitarono a tramandare lamemoria dei testi greci e le loro conoscenzememoria dei testi greci e le loro conoscenzematematiche e astronomiche rivelano elementi dimatematiche e astronomiche rivelano elementi dioriginalitagraveoriginalitagrave1048708 1048708 Mohammed Ibn Musa Al-Kuwarizmi Mohammed Ibn Musa Al-Kuwarizmi (VIII secolo)(VIII secolo)di origine persiana scrisse di origine persiana scrisse Al-jabr wal mukabalahAl-jabr wal mukabalah dalle cui primedalle cui prime lettere deriva la parola ldquoAlgebrardquo e lettere deriva la parola ldquoAlgebrardquo e nella quale sviluppograve la teoria delle equazioninella quale sviluppograve la teoria delle equazioniparticolarmente di quelle di secondo gradoparticolarmente di quelle di secondo gradoQuestrsquoopera contiene una seria di problemi riguardanti testamenti ed ereditagrave e Questrsquoopera contiene una seria di problemi riguardanti testamenti ed ereditagrave e
lrsquoincognita viene chiamata lrsquoincognita viene chiamata ldquocosardquoldquocosardquo Il limite piugrave rilevante della sua opera egrave lrsquoIl limite piugrave rilevante della sua opera egrave lrsquoassenza di una notazione assenza di una notazione
simbolicasimbolicaAl-Kuwarizmi quindi deve essere considerato ancora nellrsquoambito dellrsquoAl-Kuwarizmi quindi deve essere considerato ancora nellrsquoambito dellrsquoalgebra algebra
retorica retorica (nella quale tutte le espressioni algebriche erano indicate (nella quale tutte le espressioni algebriche erano indicate mediantemediante
parole)parole)
1048708 1048708
Il mondo arabo Khayyam
Gli Arabi si occuparonodi equazioniindeterminate (Al-Karchi morto nel 1029scrisse Al-Facri vicinoallrsquoAritmetica diofantea)1048708 Alcuni tentarono diprovare che xsup3+ysup3 = zsup3 nonammette soluzioni interenon nulle anticipando lericerche sullrsquoultimoteorema di Fermat
Occidente - EuropaSi deve a Fibonacci (1175-1240) nel suo
ldquoLiber Abacirdquo il primo utilizzo del termine equazione e la diffusione in Europa delle tecniche risolutiva apprese dagli Arabi
Solo nel sedicesimo secolo lalgebra iniziograve un suo vero e proprio sviluppo autonomo dalla geometria quando le lettere furono intese rappresentare non grandezze geometriche ma numeri attraverso lopera di F Viegravete (1540-1603) e R Descartes (Cartesio1596-1650)
Raggiunse una sistemazione e un modo di presentazione simile a quelli attuali poco piugrave di due secoli fa nellIntroduzione completa allalgebra (1770) di L Euler (Eulero1707-1783)
CARTESIO
Nello stesso periodo giunse a maturazione il linguaggio algebrico vero e proprio In precedenza (algebra retorica) operazioni equazioni con la loro risoluzione venivanoespressi con parole (ad esempio lincognita veniva detta la cosa il suo quadrato il censo la sua terza potenzail cubo la quarta potenza censo censo) ed era assai arduo seguire i passaggi con cui si perveniva ai risultati finali dei problemi Ne seguiacute una fase intermedia (algebra sincopata) in cui comparvero alcuni simboli e parole stilizzatead esempio Luca
Pacioli (1445-1514) autore dellopera Summa de Arithmetica (1523) che contribuiacute alla diffusione in occidente delluso delle cifre arabo-indiane indicava con co lincognita con ce il suo quadrato con cu il suo
cubo e con p e m laddizione e la sottrazione Solo in seguito lalgebra ricevette la veste che la rende simile alle
attuali esposizioni (algebra simbolica)
Luca Pacioli
Fibonacci e il Liber Abaci1048708 De laborator quaestio notabilis
1048708 1048708 Un lavoratore avrebbeUn lavoratore avrebbedovuto prendere dovuto prendere 77bisanti al mese se avessebisanti al mese se avesselavorato ma avrebbelavorato ma avrebbedovuto restituire dovuto restituire 44bisanti per un mesebisanti per un mesedi assenza dal lavorodi assenza dal lavoro10487081048708 Questi talvolta lavorograve e talvolta no ed alla fine delQuesti talvolta lavorograve e talvolta no ed alla fine delmese (30 giorni) ricevette un solo bisantemese (30 giorni) ricevette un solo bisante1048708 1048708 Quanti giorni lavorograveQuanti giorni lavorograve
Risolviamo con Fibonacciil problema del lavoratore
1048708 1048708 Modernamente imposteremmo lrsquoequazione7middotx30ndash4 middot(30ndashx)30 = 11048708 Fibonacci usa il metodo della doppia falsa posizione1048708 per 15 gg 1 bisante e 12 7middot1530ndash4middot15301048708 per 20 gg 3 bisanti e 13 7middot2030ndash4middot10301048708 Si imposta dunque la proporzione(20ndash15) [(3+13)ndash(1+12)] = (20ndashx) [(3+13)ndash1]1048708 Da cui ricaviamox = 15011 = 13+711Pertanto quel lavoratoreha lavorato 13 giorni e 711 (di giorno)
PopolazionePopolazione EpocaEpoca SimboloSimbolo SignificatoSignificato
BabilonesiBabilonesi 1800-2000 1800-2000 aCaC
usus
sagsag
asaasa
LunghezzaLunghezza
LarghezzaLarghezza
AreaArea
EgiziEgizi II-I secolo II-I secolo aCaC
ahaaha MucchiocumMucchiocumuloulo
Greci amp Greci amp DiofantoDiofanto
II-III sec dCII-III sec dC SS NumeroNumero
(arithmos)(arithmos)
CinesiCinesi I-II sec dCI-II sec dC I II IIII II III CosaelemenCosaelementoto
ArabiArabi III-IV sec dCIII-IV sec dC cosacosa
EuropaEuropa OggiOggi x y zx y z incognitaincognita
Dalla StoriahellipI nomi dellrsquoincognita attraverso i secoli
SITOGRAFIASITOGRAFIA
wwwulissesissaitwwwulissesissait wwwitwikipediaorgwwwitwikipediaorg wwwvirgilioitwwwvirgilioit
Castelnuovo EGori Giorgi Valenti Castelnuovo EGori Giorgi Valenti La matematica nella realtagrave ndash La Nuova ItaliaLa matematica nella realtagrave ndash La Nuova Italia Carl B BoyerCarl B Boyer Storia della matematica ndash Oscar MondadoriStoria della matematica ndash Oscar Mondadori
BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA
DiofantoDiofanto di Alessandria fu lultimo dei grandi matematici greco-ellenistici ed egrave noto come il padre dellrsquoalgebra Della sua vita si sa ben poco la sua nascita va collocata tra il 200 e il 214 dC la sua morte tra il 284 e il 298 dC Dopo di lui per circa un millennio e fino a Leonardo Fibonacci lo studio della matematica almeno in Europa attraversograve un periodo di grave decadenzaDiofanto scrisse un trattato sui numeri poligonali e sulle frazioni ma la sua opera principale egrave lArithmetica trattato in tredici volumi dei quali soltanto sei sono giunti fino a noi La sua fama egrave principalmente legata a due argomenti le equazioni indeterminate ed il simbolismo matematicoA Diofanto si deve un famoso problema che egli stesso volle venisse scritto sulla propria tomba sotto forma di epitaffio da cui egrave possibile lrsquoetagrave del grande matematico greco
Questa tomba rinchiude Diofanto e meraviglia dice matematicamente quanto ha vissuto Un sesto della sua vita fu lrsquoinfanzia aggiunse un dodicesimo percheacute le sue guance si coprissero della peluria dellrsquoadolescenza Inoltre per un settimo ebbe moglie e dopo cinque anni di matrimonio ebbe un figlio Lrsquoinfelice morigrave improvvisamente quando raggiunse la metagrave dellrsquoetagrave paterna Il genitore sopravvissuto fu in lutto per quattro anni e raggiunse infine il termine della
propria vita
Si tratta di un problema di primo gradoindicando con x lrsquoetagrave di Diofanto alla morte si ha
x= 16x + 112x + 17x + 5 + 12x + 4
Da cui si deduce che x=84
Diofanto indica Con la lettera S lrsquoincognita Con Δ il quadrato dellrsquoincognita Con K il cubo dellrsquoincognita
Diofanto dagrave poi delle regole per la risoluzione dellrsquoequazione
Il trasporto di un termine da un membro allrsquoaltro cambiandolo di segno
Lrsquoeliminazione di termini uguali nei due membri
Lrsquoopera di Diofanto saragrave a distanza di secoli il punto di partenza per lo sviluppo dellrsquoalgebra e del simbolismo moderno
In Cina lrsquoalgebra egrave presente dal II sec dC in formaretorica o sincopata (ideogrammi monosillabici perquantitagrave e operazioni) con un importante ldquocarattereposizionalerdquocome per le (tarde) tecniche
moltiplicative1048708 La tavola da calcolo algebrica cinese era
impostatain modo che determinate posizioni fossero
occupatesempre da particolari tipi di grandezze
(incognitepotenze etc) e tale convenzione puograve considerarsi un
importanteartefatto secondario (una ldquoregola del giocordquo)
Algebra cinese e ldquocarattere posizionalerdquo
termine nototermine noto coeff coeff x x coeff coeff xx22E si notiE si notilrsquouso dilrsquouso dibacchettebacchette1048708 1048708 Ad esempio questa tabella (Ad esempio questa tabella (sangisangi) indica ) indica
lrsquoequazionelrsquoequazione851851xx22minusminus34503450xx+2691 = 0+2691 = 0(si osservino i diversi colori e lrsquoassenza dello (si osservino i diversi colori e lrsquoassenza dello
zero)zero)
Calcolo mediante tabelle Chiu Chang
1048708 1048708 Consideriamo il problema seguente che riprende con
variazioni numeriche un problema del capitolo VIII(Fang Cheng) del Chiu Chang (precedente al I sec)Cinque covoni di grano di tipo A aggiunti a tre covonidi grano di tipo B hanno il rendimento di 19 shengTre covoni di grano di tipo A aggiunti a due covoni digrano di tipo B hanno il rendimento di 12 shengQuali rendimenti hanno un covone di grano di tipo Ae un covone di grano di tipo B Oggi indicheremmo rispettivamente con x e con y (insheng) i rendimenti di un covone di tipo A e di uncovone di tipo B ed imposteremmo un sistemahellipSuang Fa Thung Tsung 1593
Il procedimento precedente puograve essere
riprodotto con le bacchette da calcolo
Il sistema egrave5x + 3y = 193x + 2y = 121048708 Moltiplichiamo laprima riga per 31048708 e la seconda per 51048708 Ora alla seconda riga sottraiamo la prima1048708 moltiplichiamo questa seconda riga per 91048708 e alla prima riga sottraiamo la seconda1048708 Infine dividiamo la prima riga per 15 edividiamo ancora la seconda riga per 9
II IIII
II IIIIII
x = 2 y= 3
Il mondo arabo Al-Kuwarizmi1048708 1048708 Dopo la grande stagione della scienza greca laDopo la grande stagione della scienza greca laMatematica conobbe un periodo di declino anche seMatematica conobbe un periodo di declino anche semeno oscuro di quanto si egrave talvolta portati a pensaremeno oscuro di quanto si egrave talvolta portati a pensareGli Gli ArabiArabi non si limitarono a tramandare la non si limitarono a tramandare lamemoria dei testi greci e le loro conoscenzememoria dei testi greci e le loro conoscenzematematiche e astronomiche rivelano elementi dimatematiche e astronomiche rivelano elementi dioriginalitagraveoriginalitagrave1048708 1048708 Mohammed Ibn Musa Al-Kuwarizmi Mohammed Ibn Musa Al-Kuwarizmi (VIII secolo)(VIII secolo)di origine persiana scrisse di origine persiana scrisse Al-jabr wal mukabalahAl-jabr wal mukabalah dalle cui primedalle cui prime lettere deriva la parola ldquoAlgebrardquo e lettere deriva la parola ldquoAlgebrardquo e nella quale sviluppograve la teoria delle equazioninella quale sviluppograve la teoria delle equazioniparticolarmente di quelle di secondo gradoparticolarmente di quelle di secondo gradoQuestrsquoopera contiene una seria di problemi riguardanti testamenti ed ereditagrave e Questrsquoopera contiene una seria di problemi riguardanti testamenti ed ereditagrave e
lrsquoincognita viene chiamata lrsquoincognita viene chiamata ldquocosardquoldquocosardquo Il limite piugrave rilevante della sua opera egrave lrsquoIl limite piugrave rilevante della sua opera egrave lrsquoassenza di una notazione assenza di una notazione
simbolicasimbolicaAl-Kuwarizmi quindi deve essere considerato ancora nellrsquoambito dellrsquoAl-Kuwarizmi quindi deve essere considerato ancora nellrsquoambito dellrsquoalgebra algebra
retorica retorica (nella quale tutte le espressioni algebriche erano indicate (nella quale tutte le espressioni algebriche erano indicate mediantemediante
parole)parole)
1048708 1048708
Il mondo arabo Khayyam
Gli Arabi si occuparonodi equazioniindeterminate (Al-Karchi morto nel 1029scrisse Al-Facri vicinoallrsquoAritmetica diofantea)1048708 Alcuni tentarono diprovare che xsup3+ysup3 = zsup3 nonammette soluzioni interenon nulle anticipando lericerche sullrsquoultimoteorema di Fermat
Occidente - EuropaSi deve a Fibonacci (1175-1240) nel suo
ldquoLiber Abacirdquo il primo utilizzo del termine equazione e la diffusione in Europa delle tecniche risolutiva apprese dagli Arabi
Solo nel sedicesimo secolo lalgebra iniziograve un suo vero e proprio sviluppo autonomo dalla geometria quando le lettere furono intese rappresentare non grandezze geometriche ma numeri attraverso lopera di F Viegravete (1540-1603) e R Descartes (Cartesio1596-1650)
Raggiunse una sistemazione e un modo di presentazione simile a quelli attuali poco piugrave di due secoli fa nellIntroduzione completa allalgebra (1770) di L Euler (Eulero1707-1783)
CARTESIO
Nello stesso periodo giunse a maturazione il linguaggio algebrico vero e proprio In precedenza (algebra retorica) operazioni equazioni con la loro risoluzione venivanoespressi con parole (ad esempio lincognita veniva detta la cosa il suo quadrato il censo la sua terza potenzail cubo la quarta potenza censo censo) ed era assai arduo seguire i passaggi con cui si perveniva ai risultati finali dei problemi Ne seguiacute una fase intermedia (algebra sincopata) in cui comparvero alcuni simboli e parole stilizzatead esempio Luca
Pacioli (1445-1514) autore dellopera Summa de Arithmetica (1523) che contribuiacute alla diffusione in occidente delluso delle cifre arabo-indiane indicava con co lincognita con ce il suo quadrato con cu il suo
cubo e con p e m laddizione e la sottrazione Solo in seguito lalgebra ricevette la veste che la rende simile alle
attuali esposizioni (algebra simbolica)
Luca Pacioli
Fibonacci e il Liber Abaci1048708 De laborator quaestio notabilis
1048708 1048708 Un lavoratore avrebbeUn lavoratore avrebbedovuto prendere dovuto prendere 77bisanti al mese se avessebisanti al mese se avesselavorato ma avrebbelavorato ma avrebbedovuto restituire dovuto restituire 44bisanti per un mesebisanti per un mesedi assenza dal lavorodi assenza dal lavoro10487081048708 Questi talvolta lavorograve e talvolta no ed alla fine delQuesti talvolta lavorograve e talvolta no ed alla fine delmese (30 giorni) ricevette un solo bisantemese (30 giorni) ricevette un solo bisante1048708 1048708 Quanti giorni lavorograveQuanti giorni lavorograve
Risolviamo con Fibonacciil problema del lavoratore
1048708 1048708 Modernamente imposteremmo lrsquoequazione7middotx30ndash4 middot(30ndashx)30 = 11048708 Fibonacci usa il metodo della doppia falsa posizione1048708 per 15 gg 1 bisante e 12 7middot1530ndash4middot15301048708 per 20 gg 3 bisanti e 13 7middot2030ndash4middot10301048708 Si imposta dunque la proporzione(20ndash15) [(3+13)ndash(1+12)] = (20ndashx) [(3+13)ndash1]1048708 Da cui ricaviamox = 15011 = 13+711Pertanto quel lavoratoreha lavorato 13 giorni e 711 (di giorno)
PopolazionePopolazione EpocaEpoca SimboloSimbolo SignificatoSignificato
BabilonesiBabilonesi 1800-2000 1800-2000 aCaC
usus
sagsag
asaasa
LunghezzaLunghezza
LarghezzaLarghezza
AreaArea
EgiziEgizi II-I secolo II-I secolo aCaC
ahaaha MucchiocumMucchiocumuloulo
Greci amp Greci amp DiofantoDiofanto
II-III sec dCII-III sec dC SS NumeroNumero
(arithmos)(arithmos)
CinesiCinesi I-II sec dCI-II sec dC I II IIII II III CosaelemenCosaelementoto
ArabiArabi III-IV sec dCIII-IV sec dC cosacosa
EuropaEuropa OggiOggi x y zx y z incognitaincognita
Dalla StoriahellipI nomi dellrsquoincognita attraverso i secoli
SITOGRAFIASITOGRAFIA
wwwulissesissaitwwwulissesissait wwwitwikipediaorgwwwitwikipediaorg wwwvirgilioitwwwvirgilioit
Castelnuovo EGori Giorgi Valenti Castelnuovo EGori Giorgi Valenti La matematica nella realtagrave ndash La Nuova ItaliaLa matematica nella realtagrave ndash La Nuova Italia Carl B BoyerCarl B Boyer Storia della matematica ndash Oscar MondadoriStoria della matematica ndash Oscar Mondadori
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Diofanto indica Con la lettera S lrsquoincognita Con Δ il quadrato dellrsquoincognita Con K il cubo dellrsquoincognita
Diofanto dagrave poi delle regole per la risoluzione dellrsquoequazione
Il trasporto di un termine da un membro allrsquoaltro cambiandolo di segno
Lrsquoeliminazione di termini uguali nei due membri
Lrsquoopera di Diofanto saragrave a distanza di secoli il punto di partenza per lo sviluppo dellrsquoalgebra e del simbolismo moderno
In Cina lrsquoalgebra egrave presente dal II sec dC in formaretorica o sincopata (ideogrammi monosillabici perquantitagrave e operazioni) con un importante ldquocarattereposizionalerdquocome per le (tarde) tecniche
moltiplicative1048708 La tavola da calcolo algebrica cinese era
impostatain modo che determinate posizioni fossero
occupatesempre da particolari tipi di grandezze
(incognitepotenze etc) e tale convenzione puograve considerarsi un
importanteartefatto secondario (una ldquoregola del giocordquo)
Algebra cinese e ldquocarattere posizionalerdquo
termine nototermine noto coeff coeff x x coeff coeff xx22E si notiE si notilrsquouso dilrsquouso dibacchettebacchette1048708 1048708 Ad esempio questa tabella (Ad esempio questa tabella (sangisangi) indica ) indica
lrsquoequazionelrsquoequazione851851xx22minusminus34503450xx+2691 = 0+2691 = 0(si osservino i diversi colori e lrsquoassenza dello (si osservino i diversi colori e lrsquoassenza dello
zero)zero)
Calcolo mediante tabelle Chiu Chang
1048708 1048708 Consideriamo il problema seguente che riprende con
variazioni numeriche un problema del capitolo VIII(Fang Cheng) del Chiu Chang (precedente al I sec)Cinque covoni di grano di tipo A aggiunti a tre covonidi grano di tipo B hanno il rendimento di 19 shengTre covoni di grano di tipo A aggiunti a due covoni digrano di tipo B hanno il rendimento di 12 shengQuali rendimenti hanno un covone di grano di tipo Ae un covone di grano di tipo B Oggi indicheremmo rispettivamente con x e con y (insheng) i rendimenti di un covone di tipo A e di uncovone di tipo B ed imposteremmo un sistemahellipSuang Fa Thung Tsung 1593
Il procedimento precedente puograve essere
riprodotto con le bacchette da calcolo
Il sistema egrave5x + 3y = 193x + 2y = 121048708 Moltiplichiamo laprima riga per 31048708 e la seconda per 51048708 Ora alla seconda riga sottraiamo la prima1048708 moltiplichiamo questa seconda riga per 91048708 e alla prima riga sottraiamo la seconda1048708 Infine dividiamo la prima riga per 15 edividiamo ancora la seconda riga per 9
II IIII
II IIIIII
x = 2 y= 3
Il mondo arabo Al-Kuwarizmi1048708 1048708 Dopo la grande stagione della scienza greca laDopo la grande stagione della scienza greca laMatematica conobbe un periodo di declino anche seMatematica conobbe un periodo di declino anche semeno oscuro di quanto si egrave talvolta portati a pensaremeno oscuro di quanto si egrave talvolta portati a pensareGli Gli ArabiArabi non si limitarono a tramandare la non si limitarono a tramandare lamemoria dei testi greci e le loro conoscenzememoria dei testi greci e le loro conoscenzematematiche e astronomiche rivelano elementi dimatematiche e astronomiche rivelano elementi dioriginalitagraveoriginalitagrave1048708 1048708 Mohammed Ibn Musa Al-Kuwarizmi Mohammed Ibn Musa Al-Kuwarizmi (VIII secolo)(VIII secolo)di origine persiana scrisse di origine persiana scrisse Al-jabr wal mukabalahAl-jabr wal mukabalah dalle cui primedalle cui prime lettere deriva la parola ldquoAlgebrardquo e lettere deriva la parola ldquoAlgebrardquo e nella quale sviluppograve la teoria delle equazioninella quale sviluppograve la teoria delle equazioniparticolarmente di quelle di secondo gradoparticolarmente di quelle di secondo gradoQuestrsquoopera contiene una seria di problemi riguardanti testamenti ed ereditagrave e Questrsquoopera contiene una seria di problemi riguardanti testamenti ed ereditagrave e
lrsquoincognita viene chiamata lrsquoincognita viene chiamata ldquocosardquoldquocosardquo Il limite piugrave rilevante della sua opera egrave lrsquoIl limite piugrave rilevante della sua opera egrave lrsquoassenza di una notazione assenza di una notazione
simbolicasimbolicaAl-Kuwarizmi quindi deve essere considerato ancora nellrsquoambito dellrsquoAl-Kuwarizmi quindi deve essere considerato ancora nellrsquoambito dellrsquoalgebra algebra
retorica retorica (nella quale tutte le espressioni algebriche erano indicate (nella quale tutte le espressioni algebriche erano indicate mediantemediante
parole)parole)
1048708 1048708
Il mondo arabo Khayyam
Gli Arabi si occuparonodi equazioniindeterminate (Al-Karchi morto nel 1029scrisse Al-Facri vicinoallrsquoAritmetica diofantea)1048708 Alcuni tentarono diprovare che xsup3+ysup3 = zsup3 nonammette soluzioni interenon nulle anticipando lericerche sullrsquoultimoteorema di Fermat
Occidente - EuropaSi deve a Fibonacci (1175-1240) nel suo
ldquoLiber Abacirdquo il primo utilizzo del termine equazione e la diffusione in Europa delle tecniche risolutiva apprese dagli Arabi
Solo nel sedicesimo secolo lalgebra iniziograve un suo vero e proprio sviluppo autonomo dalla geometria quando le lettere furono intese rappresentare non grandezze geometriche ma numeri attraverso lopera di F Viegravete (1540-1603) e R Descartes (Cartesio1596-1650)
Raggiunse una sistemazione e un modo di presentazione simile a quelli attuali poco piugrave di due secoli fa nellIntroduzione completa allalgebra (1770) di L Euler (Eulero1707-1783)
CARTESIO
Nello stesso periodo giunse a maturazione il linguaggio algebrico vero e proprio In precedenza (algebra retorica) operazioni equazioni con la loro risoluzione venivanoespressi con parole (ad esempio lincognita veniva detta la cosa il suo quadrato il censo la sua terza potenzail cubo la quarta potenza censo censo) ed era assai arduo seguire i passaggi con cui si perveniva ai risultati finali dei problemi Ne seguiacute una fase intermedia (algebra sincopata) in cui comparvero alcuni simboli e parole stilizzatead esempio Luca
Pacioli (1445-1514) autore dellopera Summa de Arithmetica (1523) che contribuiacute alla diffusione in occidente delluso delle cifre arabo-indiane indicava con co lincognita con ce il suo quadrato con cu il suo
cubo e con p e m laddizione e la sottrazione Solo in seguito lalgebra ricevette la veste che la rende simile alle
attuali esposizioni (algebra simbolica)
Luca Pacioli
Fibonacci e il Liber Abaci1048708 De laborator quaestio notabilis
1048708 1048708 Un lavoratore avrebbeUn lavoratore avrebbedovuto prendere dovuto prendere 77bisanti al mese se avessebisanti al mese se avesselavorato ma avrebbelavorato ma avrebbedovuto restituire dovuto restituire 44bisanti per un mesebisanti per un mesedi assenza dal lavorodi assenza dal lavoro10487081048708 Questi talvolta lavorograve e talvolta no ed alla fine delQuesti talvolta lavorograve e talvolta no ed alla fine delmese (30 giorni) ricevette un solo bisantemese (30 giorni) ricevette un solo bisante1048708 1048708 Quanti giorni lavorograveQuanti giorni lavorograve
Risolviamo con Fibonacciil problema del lavoratore
1048708 1048708 Modernamente imposteremmo lrsquoequazione7middotx30ndash4 middot(30ndashx)30 = 11048708 Fibonacci usa il metodo della doppia falsa posizione1048708 per 15 gg 1 bisante e 12 7middot1530ndash4middot15301048708 per 20 gg 3 bisanti e 13 7middot2030ndash4middot10301048708 Si imposta dunque la proporzione(20ndash15) [(3+13)ndash(1+12)] = (20ndashx) [(3+13)ndash1]1048708 Da cui ricaviamox = 15011 = 13+711Pertanto quel lavoratoreha lavorato 13 giorni e 711 (di giorno)
PopolazionePopolazione EpocaEpoca SimboloSimbolo SignificatoSignificato
BabilonesiBabilonesi 1800-2000 1800-2000 aCaC
usus
sagsag
asaasa
LunghezzaLunghezza
LarghezzaLarghezza
AreaArea
EgiziEgizi II-I secolo II-I secolo aCaC
ahaaha MucchiocumMucchiocumuloulo
Greci amp Greci amp DiofantoDiofanto
II-III sec dCII-III sec dC SS NumeroNumero
(arithmos)(arithmos)
CinesiCinesi I-II sec dCI-II sec dC I II IIII II III CosaelemenCosaelementoto
ArabiArabi III-IV sec dCIII-IV sec dC cosacosa
EuropaEuropa OggiOggi x y zx y z incognitaincognita
Dalla StoriahellipI nomi dellrsquoincognita attraverso i secoli
SITOGRAFIASITOGRAFIA
wwwulissesissaitwwwulissesissait wwwitwikipediaorgwwwitwikipediaorg wwwvirgilioitwwwvirgilioit
Castelnuovo EGori Giorgi Valenti Castelnuovo EGori Giorgi Valenti La matematica nella realtagrave ndash La Nuova ItaliaLa matematica nella realtagrave ndash La Nuova Italia Carl B BoyerCarl B Boyer Storia della matematica ndash Oscar MondadoriStoria della matematica ndash Oscar Mondadori
BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA
In Cina lrsquoalgebra egrave presente dal II sec dC in formaretorica o sincopata (ideogrammi monosillabici perquantitagrave e operazioni) con un importante ldquocarattereposizionalerdquocome per le (tarde) tecniche
moltiplicative1048708 La tavola da calcolo algebrica cinese era
impostatain modo che determinate posizioni fossero
occupatesempre da particolari tipi di grandezze
(incognitepotenze etc) e tale convenzione puograve considerarsi un
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Algebra cinese e ldquocarattere posizionalerdquo
termine nototermine noto coeff coeff x x coeff coeff xx22E si notiE si notilrsquouso dilrsquouso dibacchettebacchette1048708 1048708 Ad esempio questa tabella (Ad esempio questa tabella (sangisangi) indica ) indica
lrsquoequazionelrsquoequazione851851xx22minusminus34503450xx+2691 = 0+2691 = 0(si osservino i diversi colori e lrsquoassenza dello (si osservino i diversi colori e lrsquoassenza dello
zero)zero)
Calcolo mediante tabelle Chiu Chang
1048708 1048708 Consideriamo il problema seguente che riprende con
variazioni numeriche un problema del capitolo VIII(Fang Cheng) del Chiu Chang (precedente al I sec)Cinque covoni di grano di tipo A aggiunti a tre covonidi grano di tipo B hanno il rendimento di 19 shengTre covoni di grano di tipo A aggiunti a due covoni digrano di tipo B hanno il rendimento di 12 shengQuali rendimenti hanno un covone di grano di tipo Ae un covone di grano di tipo B Oggi indicheremmo rispettivamente con x e con y (insheng) i rendimenti di un covone di tipo A e di uncovone di tipo B ed imposteremmo un sistemahellipSuang Fa Thung Tsung 1593
Il procedimento precedente puograve essere
riprodotto con le bacchette da calcolo
Il sistema egrave5x + 3y = 193x + 2y = 121048708 Moltiplichiamo laprima riga per 31048708 e la seconda per 51048708 Ora alla seconda riga sottraiamo la prima1048708 moltiplichiamo questa seconda riga per 91048708 e alla prima riga sottraiamo la seconda1048708 Infine dividiamo la prima riga per 15 edividiamo ancora la seconda riga per 9
II IIII
II IIIIII
x = 2 y= 3
Il mondo arabo Al-Kuwarizmi1048708 1048708 Dopo la grande stagione della scienza greca laDopo la grande stagione della scienza greca laMatematica conobbe un periodo di declino anche seMatematica conobbe un periodo di declino anche semeno oscuro di quanto si egrave talvolta portati a pensaremeno oscuro di quanto si egrave talvolta portati a pensareGli Gli ArabiArabi non si limitarono a tramandare la non si limitarono a tramandare lamemoria dei testi greci e le loro conoscenzememoria dei testi greci e le loro conoscenzematematiche e astronomiche rivelano elementi dimatematiche e astronomiche rivelano elementi dioriginalitagraveoriginalitagrave1048708 1048708 Mohammed Ibn Musa Al-Kuwarizmi Mohammed Ibn Musa Al-Kuwarizmi (VIII secolo)(VIII secolo)di origine persiana scrisse di origine persiana scrisse Al-jabr wal mukabalahAl-jabr wal mukabalah dalle cui primedalle cui prime lettere deriva la parola ldquoAlgebrardquo e lettere deriva la parola ldquoAlgebrardquo e nella quale sviluppograve la teoria delle equazioninella quale sviluppograve la teoria delle equazioniparticolarmente di quelle di secondo gradoparticolarmente di quelle di secondo gradoQuestrsquoopera contiene una seria di problemi riguardanti testamenti ed ereditagrave e Questrsquoopera contiene una seria di problemi riguardanti testamenti ed ereditagrave e
lrsquoincognita viene chiamata lrsquoincognita viene chiamata ldquocosardquoldquocosardquo Il limite piugrave rilevante della sua opera egrave lrsquoIl limite piugrave rilevante della sua opera egrave lrsquoassenza di una notazione assenza di una notazione
simbolicasimbolicaAl-Kuwarizmi quindi deve essere considerato ancora nellrsquoambito dellrsquoAl-Kuwarizmi quindi deve essere considerato ancora nellrsquoambito dellrsquoalgebra algebra
retorica retorica (nella quale tutte le espressioni algebriche erano indicate (nella quale tutte le espressioni algebriche erano indicate mediantemediante
parole)parole)
1048708 1048708
Il mondo arabo Khayyam
Gli Arabi si occuparonodi equazioniindeterminate (Al-Karchi morto nel 1029scrisse Al-Facri vicinoallrsquoAritmetica diofantea)1048708 Alcuni tentarono diprovare che xsup3+ysup3 = zsup3 nonammette soluzioni interenon nulle anticipando lericerche sullrsquoultimoteorema di Fermat
Occidente - EuropaSi deve a Fibonacci (1175-1240) nel suo
ldquoLiber Abacirdquo il primo utilizzo del termine equazione e la diffusione in Europa delle tecniche risolutiva apprese dagli Arabi
Solo nel sedicesimo secolo lalgebra iniziograve un suo vero e proprio sviluppo autonomo dalla geometria quando le lettere furono intese rappresentare non grandezze geometriche ma numeri attraverso lopera di F Viegravete (1540-1603) e R Descartes (Cartesio1596-1650)
Raggiunse una sistemazione e un modo di presentazione simile a quelli attuali poco piugrave di due secoli fa nellIntroduzione completa allalgebra (1770) di L Euler (Eulero1707-1783)
CARTESIO
Nello stesso periodo giunse a maturazione il linguaggio algebrico vero e proprio In precedenza (algebra retorica) operazioni equazioni con la loro risoluzione venivanoespressi con parole (ad esempio lincognita veniva detta la cosa il suo quadrato il censo la sua terza potenzail cubo la quarta potenza censo censo) ed era assai arduo seguire i passaggi con cui si perveniva ai risultati finali dei problemi Ne seguiacute una fase intermedia (algebra sincopata) in cui comparvero alcuni simboli e parole stilizzatead esempio Luca
Pacioli (1445-1514) autore dellopera Summa de Arithmetica (1523) che contribuiacute alla diffusione in occidente delluso delle cifre arabo-indiane indicava con co lincognita con ce il suo quadrato con cu il suo
cubo e con p e m laddizione e la sottrazione Solo in seguito lalgebra ricevette la veste che la rende simile alle
attuali esposizioni (algebra simbolica)
Luca Pacioli
Fibonacci e il Liber Abaci1048708 De laborator quaestio notabilis
1048708 1048708 Un lavoratore avrebbeUn lavoratore avrebbedovuto prendere dovuto prendere 77bisanti al mese se avessebisanti al mese se avesselavorato ma avrebbelavorato ma avrebbedovuto restituire dovuto restituire 44bisanti per un mesebisanti per un mesedi assenza dal lavorodi assenza dal lavoro10487081048708 Questi talvolta lavorograve e talvolta no ed alla fine delQuesti talvolta lavorograve e talvolta no ed alla fine delmese (30 giorni) ricevette un solo bisantemese (30 giorni) ricevette un solo bisante1048708 1048708 Quanti giorni lavorograveQuanti giorni lavorograve
Risolviamo con Fibonacciil problema del lavoratore
1048708 1048708 Modernamente imposteremmo lrsquoequazione7middotx30ndash4 middot(30ndashx)30 = 11048708 Fibonacci usa il metodo della doppia falsa posizione1048708 per 15 gg 1 bisante e 12 7middot1530ndash4middot15301048708 per 20 gg 3 bisanti e 13 7middot2030ndash4middot10301048708 Si imposta dunque la proporzione(20ndash15) [(3+13)ndash(1+12)] = (20ndashx) [(3+13)ndash1]1048708 Da cui ricaviamox = 15011 = 13+711Pertanto quel lavoratoreha lavorato 13 giorni e 711 (di giorno)
PopolazionePopolazione EpocaEpoca SimboloSimbolo SignificatoSignificato
BabilonesiBabilonesi 1800-2000 1800-2000 aCaC
usus
sagsag
asaasa
LunghezzaLunghezza
LarghezzaLarghezza
AreaArea
EgiziEgizi II-I secolo II-I secolo aCaC
ahaaha MucchiocumMucchiocumuloulo
Greci amp Greci amp DiofantoDiofanto
II-III sec dCII-III sec dC SS NumeroNumero
(arithmos)(arithmos)
CinesiCinesi I-II sec dCI-II sec dC I II IIII II III CosaelemenCosaelementoto
ArabiArabi III-IV sec dCIII-IV sec dC cosacosa
EuropaEuropa OggiOggi x y zx y z incognitaincognita
Dalla StoriahellipI nomi dellrsquoincognita attraverso i secoli
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wwwulissesissaitwwwulissesissait wwwitwikipediaorgwwwitwikipediaorg wwwvirgilioitwwwvirgilioit
Castelnuovo EGori Giorgi Valenti Castelnuovo EGori Giorgi Valenti La matematica nella realtagrave ndash La Nuova ItaliaLa matematica nella realtagrave ndash La Nuova Italia Carl B BoyerCarl B Boyer Storia della matematica ndash Oscar MondadoriStoria della matematica ndash Oscar Mondadori
BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA
Algebra cinese e ldquocarattere posizionalerdquo
termine nototermine noto coeff coeff x x coeff coeff xx22E si notiE si notilrsquouso dilrsquouso dibacchettebacchette1048708 1048708 Ad esempio questa tabella (Ad esempio questa tabella (sangisangi) indica ) indica
lrsquoequazionelrsquoequazione851851xx22minusminus34503450xx+2691 = 0+2691 = 0(si osservino i diversi colori e lrsquoassenza dello (si osservino i diversi colori e lrsquoassenza dello
zero)zero)
Calcolo mediante tabelle Chiu Chang
1048708 1048708 Consideriamo il problema seguente che riprende con
variazioni numeriche un problema del capitolo VIII(Fang Cheng) del Chiu Chang (precedente al I sec)Cinque covoni di grano di tipo A aggiunti a tre covonidi grano di tipo B hanno il rendimento di 19 shengTre covoni di grano di tipo A aggiunti a due covoni digrano di tipo B hanno il rendimento di 12 shengQuali rendimenti hanno un covone di grano di tipo Ae un covone di grano di tipo B Oggi indicheremmo rispettivamente con x e con y (insheng) i rendimenti di un covone di tipo A e di uncovone di tipo B ed imposteremmo un sistemahellipSuang Fa Thung Tsung 1593
Il procedimento precedente puograve essere
riprodotto con le bacchette da calcolo
Il sistema egrave5x + 3y = 193x + 2y = 121048708 Moltiplichiamo laprima riga per 31048708 e la seconda per 51048708 Ora alla seconda riga sottraiamo la prima1048708 moltiplichiamo questa seconda riga per 91048708 e alla prima riga sottraiamo la seconda1048708 Infine dividiamo la prima riga per 15 edividiamo ancora la seconda riga per 9
II IIII
II IIIIII
x = 2 y= 3
Il mondo arabo Al-Kuwarizmi1048708 1048708 Dopo la grande stagione della scienza greca laDopo la grande stagione della scienza greca laMatematica conobbe un periodo di declino anche seMatematica conobbe un periodo di declino anche semeno oscuro di quanto si egrave talvolta portati a pensaremeno oscuro di quanto si egrave talvolta portati a pensareGli Gli ArabiArabi non si limitarono a tramandare la non si limitarono a tramandare lamemoria dei testi greci e le loro conoscenzememoria dei testi greci e le loro conoscenzematematiche e astronomiche rivelano elementi dimatematiche e astronomiche rivelano elementi dioriginalitagraveoriginalitagrave1048708 1048708 Mohammed Ibn Musa Al-Kuwarizmi Mohammed Ibn Musa Al-Kuwarizmi (VIII secolo)(VIII secolo)di origine persiana scrisse di origine persiana scrisse Al-jabr wal mukabalahAl-jabr wal mukabalah dalle cui primedalle cui prime lettere deriva la parola ldquoAlgebrardquo e lettere deriva la parola ldquoAlgebrardquo e nella quale sviluppograve la teoria delle equazioninella quale sviluppograve la teoria delle equazioniparticolarmente di quelle di secondo gradoparticolarmente di quelle di secondo gradoQuestrsquoopera contiene una seria di problemi riguardanti testamenti ed ereditagrave e Questrsquoopera contiene una seria di problemi riguardanti testamenti ed ereditagrave e
lrsquoincognita viene chiamata lrsquoincognita viene chiamata ldquocosardquoldquocosardquo Il limite piugrave rilevante della sua opera egrave lrsquoIl limite piugrave rilevante della sua opera egrave lrsquoassenza di una notazione assenza di una notazione
simbolicasimbolicaAl-Kuwarizmi quindi deve essere considerato ancora nellrsquoambito dellrsquoAl-Kuwarizmi quindi deve essere considerato ancora nellrsquoambito dellrsquoalgebra algebra
retorica retorica (nella quale tutte le espressioni algebriche erano indicate (nella quale tutte le espressioni algebriche erano indicate mediantemediante
parole)parole)
1048708 1048708
Il mondo arabo Khayyam
Gli Arabi si occuparonodi equazioniindeterminate (Al-Karchi morto nel 1029scrisse Al-Facri vicinoallrsquoAritmetica diofantea)1048708 Alcuni tentarono diprovare che xsup3+ysup3 = zsup3 nonammette soluzioni interenon nulle anticipando lericerche sullrsquoultimoteorema di Fermat
Occidente - EuropaSi deve a Fibonacci (1175-1240) nel suo
ldquoLiber Abacirdquo il primo utilizzo del termine equazione e la diffusione in Europa delle tecniche risolutiva apprese dagli Arabi
Solo nel sedicesimo secolo lalgebra iniziograve un suo vero e proprio sviluppo autonomo dalla geometria quando le lettere furono intese rappresentare non grandezze geometriche ma numeri attraverso lopera di F Viegravete (1540-1603) e R Descartes (Cartesio1596-1650)
Raggiunse una sistemazione e un modo di presentazione simile a quelli attuali poco piugrave di due secoli fa nellIntroduzione completa allalgebra (1770) di L Euler (Eulero1707-1783)
CARTESIO
Nello stesso periodo giunse a maturazione il linguaggio algebrico vero e proprio In precedenza (algebra retorica) operazioni equazioni con la loro risoluzione venivanoespressi con parole (ad esempio lincognita veniva detta la cosa il suo quadrato il censo la sua terza potenzail cubo la quarta potenza censo censo) ed era assai arduo seguire i passaggi con cui si perveniva ai risultati finali dei problemi Ne seguiacute una fase intermedia (algebra sincopata) in cui comparvero alcuni simboli e parole stilizzatead esempio Luca
Pacioli (1445-1514) autore dellopera Summa de Arithmetica (1523) che contribuiacute alla diffusione in occidente delluso delle cifre arabo-indiane indicava con co lincognita con ce il suo quadrato con cu il suo
cubo e con p e m laddizione e la sottrazione Solo in seguito lalgebra ricevette la veste che la rende simile alle
attuali esposizioni (algebra simbolica)
Luca Pacioli
Fibonacci e il Liber Abaci1048708 De laborator quaestio notabilis
1048708 1048708 Un lavoratore avrebbeUn lavoratore avrebbedovuto prendere dovuto prendere 77bisanti al mese se avessebisanti al mese se avesselavorato ma avrebbelavorato ma avrebbedovuto restituire dovuto restituire 44bisanti per un mesebisanti per un mesedi assenza dal lavorodi assenza dal lavoro10487081048708 Questi talvolta lavorograve e talvolta no ed alla fine delQuesti talvolta lavorograve e talvolta no ed alla fine delmese (30 giorni) ricevette un solo bisantemese (30 giorni) ricevette un solo bisante1048708 1048708 Quanti giorni lavorograveQuanti giorni lavorograve
Risolviamo con Fibonacciil problema del lavoratore
1048708 1048708 Modernamente imposteremmo lrsquoequazione7middotx30ndash4 middot(30ndashx)30 = 11048708 Fibonacci usa il metodo della doppia falsa posizione1048708 per 15 gg 1 bisante e 12 7middot1530ndash4middot15301048708 per 20 gg 3 bisanti e 13 7middot2030ndash4middot10301048708 Si imposta dunque la proporzione(20ndash15) [(3+13)ndash(1+12)] = (20ndashx) [(3+13)ndash1]1048708 Da cui ricaviamox = 15011 = 13+711Pertanto quel lavoratoreha lavorato 13 giorni e 711 (di giorno)
PopolazionePopolazione EpocaEpoca SimboloSimbolo SignificatoSignificato
BabilonesiBabilonesi 1800-2000 1800-2000 aCaC
usus
sagsag
asaasa
LunghezzaLunghezza
LarghezzaLarghezza
AreaArea
EgiziEgizi II-I secolo II-I secolo aCaC
ahaaha MucchiocumMucchiocumuloulo
Greci amp Greci amp DiofantoDiofanto
II-III sec dCII-III sec dC SS NumeroNumero
(arithmos)(arithmos)
CinesiCinesi I-II sec dCI-II sec dC I II IIII II III CosaelemenCosaelementoto
ArabiArabi III-IV sec dCIII-IV sec dC cosacosa
EuropaEuropa OggiOggi x y zx y z incognitaincognita
Dalla StoriahellipI nomi dellrsquoincognita attraverso i secoli
SITOGRAFIASITOGRAFIA
wwwulissesissaitwwwulissesissait wwwitwikipediaorgwwwitwikipediaorg wwwvirgilioitwwwvirgilioit
Castelnuovo EGori Giorgi Valenti Castelnuovo EGori Giorgi Valenti La matematica nella realtagrave ndash La Nuova ItaliaLa matematica nella realtagrave ndash La Nuova Italia Carl B BoyerCarl B Boyer Storia della matematica ndash Oscar MondadoriStoria della matematica ndash Oscar Mondadori
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Calcolo mediante tabelle Chiu Chang
1048708 1048708 Consideriamo il problema seguente che riprende con
variazioni numeriche un problema del capitolo VIII(Fang Cheng) del Chiu Chang (precedente al I sec)Cinque covoni di grano di tipo A aggiunti a tre covonidi grano di tipo B hanno il rendimento di 19 shengTre covoni di grano di tipo A aggiunti a due covoni digrano di tipo B hanno il rendimento di 12 shengQuali rendimenti hanno un covone di grano di tipo Ae un covone di grano di tipo B Oggi indicheremmo rispettivamente con x e con y (insheng) i rendimenti di un covone di tipo A e di uncovone di tipo B ed imposteremmo un sistemahellipSuang Fa Thung Tsung 1593
Il procedimento precedente puograve essere
riprodotto con le bacchette da calcolo
Il sistema egrave5x + 3y = 193x + 2y = 121048708 Moltiplichiamo laprima riga per 31048708 e la seconda per 51048708 Ora alla seconda riga sottraiamo la prima1048708 moltiplichiamo questa seconda riga per 91048708 e alla prima riga sottraiamo la seconda1048708 Infine dividiamo la prima riga per 15 edividiamo ancora la seconda riga per 9
II IIII
II IIIIII
x = 2 y= 3
Il mondo arabo Al-Kuwarizmi1048708 1048708 Dopo la grande stagione della scienza greca laDopo la grande stagione della scienza greca laMatematica conobbe un periodo di declino anche seMatematica conobbe un periodo di declino anche semeno oscuro di quanto si egrave talvolta portati a pensaremeno oscuro di quanto si egrave talvolta portati a pensareGli Gli ArabiArabi non si limitarono a tramandare la non si limitarono a tramandare lamemoria dei testi greci e le loro conoscenzememoria dei testi greci e le loro conoscenzematematiche e astronomiche rivelano elementi dimatematiche e astronomiche rivelano elementi dioriginalitagraveoriginalitagrave1048708 1048708 Mohammed Ibn Musa Al-Kuwarizmi Mohammed Ibn Musa Al-Kuwarizmi (VIII secolo)(VIII secolo)di origine persiana scrisse di origine persiana scrisse Al-jabr wal mukabalahAl-jabr wal mukabalah dalle cui primedalle cui prime lettere deriva la parola ldquoAlgebrardquo e lettere deriva la parola ldquoAlgebrardquo e nella quale sviluppograve la teoria delle equazioninella quale sviluppograve la teoria delle equazioniparticolarmente di quelle di secondo gradoparticolarmente di quelle di secondo gradoQuestrsquoopera contiene una seria di problemi riguardanti testamenti ed ereditagrave e Questrsquoopera contiene una seria di problemi riguardanti testamenti ed ereditagrave e
lrsquoincognita viene chiamata lrsquoincognita viene chiamata ldquocosardquoldquocosardquo Il limite piugrave rilevante della sua opera egrave lrsquoIl limite piugrave rilevante della sua opera egrave lrsquoassenza di una notazione assenza di una notazione
simbolicasimbolicaAl-Kuwarizmi quindi deve essere considerato ancora nellrsquoambito dellrsquoAl-Kuwarizmi quindi deve essere considerato ancora nellrsquoambito dellrsquoalgebra algebra
retorica retorica (nella quale tutte le espressioni algebriche erano indicate (nella quale tutte le espressioni algebriche erano indicate mediantemediante
parole)parole)
1048708 1048708
Il mondo arabo Khayyam
Gli Arabi si occuparonodi equazioniindeterminate (Al-Karchi morto nel 1029scrisse Al-Facri vicinoallrsquoAritmetica diofantea)1048708 Alcuni tentarono diprovare che xsup3+ysup3 = zsup3 nonammette soluzioni interenon nulle anticipando lericerche sullrsquoultimoteorema di Fermat
Occidente - EuropaSi deve a Fibonacci (1175-1240) nel suo
ldquoLiber Abacirdquo il primo utilizzo del termine equazione e la diffusione in Europa delle tecniche risolutiva apprese dagli Arabi
Solo nel sedicesimo secolo lalgebra iniziograve un suo vero e proprio sviluppo autonomo dalla geometria quando le lettere furono intese rappresentare non grandezze geometriche ma numeri attraverso lopera di F Viegravete (1540-1603) e R Descartes (Cartesio1596-1650)
Raggiunse una sistemazione e un modo di presentazione simile a quelli attuali poco piugrave di due secoli fa nellIntroduzione completa allalgebra (1770) di L Euler (Eulero1707-1783)
CARTESIO
Nello stesso periodo giunse a maturazione il linguaggio algebrico vero e proprio In precedenza (algebra retorica) operazioni equazioni con la loro risoluzione venivanoespressi con parole (ad esempio lincognita veniva detta la cosa il suo quadrato il censo la sua terza potenzail cubo la quarta potenza censo censo) ed era assai arduo seguire i passaggi con cui si perveniva ai risultati finali dei problemi Ne seguiacute una fase intermedia (algebra sincopata) in cui comparvero alcuni simboli e parole stilizzatead esempio Luca
Pacioli (1445-1514) autore dellopera Summa de Arithmetica (1523) che contribuiacute alla diffusione in occidente delluso delle cifre arabo-indiane indicava con co lincognita con ce il suo quadrato con cu il suo
cubo e con p e m laddizione e la sottrazione Solo in seguito lalgebra ricevette la veste che la rende simile alle
attuali esposizioni (algebra simbolica)
Luca Pacioli
Fibonacci e il Liber Abaci1048708 De laborator quaestio notabilis
1048708 1048708 Un lavoratore avrebbeUn lavoratore avrebbedovuto prendere dovuto prendere 77bisanti al mese se avessebisanti al mese se avesselavorato ma avrebbelavorato ma avrebbedovuto restituire dovuto restituire 44bisanti per un mesebisanti per un mesedi assenza dal lavorodi assenza dal lavoro10487081048708 Questi talvolta lavorograve e talvolta no ed alla fine delQuesti talvolta lavorograve e talvolta no ed alla fine delmese (30 giorni) ricevette un solo bisantemese (30 giorni) ricevette un solo bisante1048708 1048708 Quanti giorni lavorograveQuanti giorni lavorograve
Risolviamo con Fibonacciil problema del lavoratore
1048708 1048708 Modernamente imposteremmo lrsquoequazione7middotx30ndash4 middot(30ndashx)30 = 11048708 Fibonacci usa il metodo della doppia falsa posizione1048708 per 15 gg 1 bisante e 12 7middot1530ndash4middot15301048708 per 20 gg 3 bisanti e 13 7middot2030ndash4middot10301048708 Si imposta dunque la proporzione(20ndash15) [(3+13)ndash(1+12)] = (20ndashx) [(3+13)ndash1]1048708 Da cui ricaviamox = 15011 = 13+711Pertanto quel lavoratoreha lavorato 13 giorni e 711 (di giorno)
PopolazionePopolazione EpocaEpoca SimboloSimbolo SignificatoSignificato
BabilonesiBabilonesi 1800-2000 1800-2000 aCaC
usus
sagsag
asaasa
LunghezzaLunghezza
LarghezzaLarghezza
AreaArea
EgiziEgizi II-I secolo II-I secolo aCaC
ahaaha MucchiocumMucchiocumuloulo
Greci amp Greci amp DiofantoDiofanto
II-III sec dCII-III sec dC SS NumeroNumero
(arithmos)(arithmos)
CinesiCinesi I-II sec dCI-II sec dC I II IIII II III CosaelemenCosaelementoto
ArabiArabi III-IV sec dCIII-IV sec dC cosacosa
EuropaEuropa OggiOggi x y zx y z incognitaincognita
Dalla StoriahellipI nomi dellrsquoincognita attraverso i secoli
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wwwulissesissaitwwwulissesissait wwwitwikipediaorgwwwitwikipediaorg wwwvirgilioitwwwvirgilioit
Castelnuovo EGori Giorgi Valenti Castelnuovo EGori Giorgi Valenti La matematica nella realtagrave ndash La Nuova ItaliaLa matematica nella realtagrave ndash La Nuova Italia Carl B BoyerCarl B Boyer Storia della matematica ndash Oscar MondadoriStoria della matematica ndash Oscar Mondadori
BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA
Il procedimento precedente puograve essere
riprodotto con le bacchette da calcolo
Il sistema egrave5x + 3y = 193x + 2y = 121048708 Moltiplichiamo laprima riga per 31048708 e la seconda per 51048708 Ora alla seconda riga sottraiamo la prima1048708 moltiplichiamo questa seconda riga per 91048708 e alla prima riga sottraiamo la seconda1048708 Infine dividiamo la prima riga per 15 edividiamo ancora la seconda riga per 9
II IIII
II IIIIII
x = 2 y= 3
Il mondo arabo Al-Kuwarizmi1048708 1048708 Dopo la grande stagione della scienza greca laDopo la grande stagione della scienza greca laMatematica conobbe un periodo di declino anche seMatematica conobbe un periodo di declino anche semeno oscuro di quanto si egrave talvolta portati a pensaremeno oscuro di quanto si egrave talvolta portati a pensareGli Gli ArabiArabi non si limitarono a tramandare la non si limitarono a tramandare lamemoria dei testi greci e le loro conoscenzememoria dei testi greci e le loro conoscenzematematiche e astronomiche rivelano elementi dimatematiche e astronomiche rivelano elementi dioriginalitagraveoriginalitagrave1048708 1048708 Mohammed Ibn Musa Al-Kuwarizmi Mohammed Ibn Musa Al-Kuwarizmi (VIII secolo)(VIII secolo)di origine persiana scrisse di origine persiana scrisse Al-jabr wal mukabalahAl-jabr wal mukabalah dalle cui primedalle cui prime lettere deriva la parola ldquoAlgebrardquo e lettere deriva la parola ldquoAlgebrardquo e nella quale sviluppograve la teoria delle equazioninella quale sviluppograve la teoria delle equazioniparticolarmente di quelle di secondo gradoparticolarmente di quelle di secondo gradoQuestrsquoopera contiene una seria di problemi riguardanti testamenti ed ereditagrave e Questrsquoopera contiene una seria di problemi riguardanti testamenti ed ereditagrave e
lrsquoincognita viene chiamata lrsquoincognita viene chiamata ldquocosardquoldquocosardquo Il limite piugrave rilevante della sua opera egrave lrsquoIl limite piugrave rilevante della sua opera egrave lrsquoassenza di una notazione assenza di una notazione
simbolicasimbolicaAl-Kuwarizmi quindi deve essere considerato ancora nellrsquoambito dellrsquoAl-Kuwarizmi quindi deve essere considerato ancora nellrsquoambito dellrsquoalgebra algebra
retorica retorica (nella quale tutte le espressioni algebriche erano indicate (nella quale tutte le espressioni algebriche erano indicate mediantemediante
parole)parole)
1048708 1048708
Il mondo arabo Khayyam
Gli Arabi si occuparonodi equazioniindeterminate (Al-Karchi morto nel 1029scrisse Al-Facri vicinoallrsquoAritmetica diofantea)1048708 Alcuni tentarono diprovare che xsup3+ysup3 = zsup3 nonammette soluzioni interenon nulle anticipando lericerche sullrsquoultimoteorema di Fermat
Occidente - EuropaSi deve a Fibonacci (1175-1240) nel suo
ldquoLiber Abacirdquo il primo utilizzo del termine equazione e la diffusione in Europa delle tecniche risolutiva apprese dagli Arabi
Solo nel sedicesimo secolo lalgebra iniziograve un suo vero e proprio sviluppo autonomo dalla geometria quando le lettere furono intese rappresentare non grandezze geometriche ma numeri attraverso lopera di F Viegravete (1540-1603) e R Descartes (Cartesio1596-1650)
Raggiunse una sistemazione e un modo di presentazione simile a quelli attuali poco piugrave di due secoli fa nellIntroduzione completa allalgebra (1770) di L Euler (Eulero1707-1783)
CARTESIO
Nello stesso periodo giunse a maturazione il linguaggio algebrico vero e proprio In precedenza (algebra retorica) operazioni equazioni con la loro risoluzione venivanoespressi con parole (ad esempio lincognita veniva detta la cosa il suo quadrato il censo la sua terza potenzail cubo la quarta potenza censo censo) ed era assai arduo seguire i passaggi con cui si perveniva ai risultati finali dei problemi Ne seguiacute una fase intermedia (algebra sincopata) in cui comparvero alcuni simboli e parole stilizzatead esempio Luca
Pacioli (1445-1514) autore dellopera Summa de Arithmetica (1523) che contribuiacute alla diffusione in occidente delluso delle cifre arabo-indiane indicava con co lincognita con ce il suo quadrato con cu il suo
cubo e con p e m laddizione e la sottrazione Solo in seguito lalgebra ricevette la veste che la rende simile alle
attuali esposizioni (algebra simbolica)
Luca Pacioli
Fibonacci e il Liber Abaci1048708 De laborator quaestio notabilis
1048708 1048708 Un lavoratore avrebbeUn lavoratore avrebbedovuto prendere dovuto prendere 77bisanti al mese se avessebisanti al mese se avesselavorato ma avrebbelavorato ma avrebbedovuto restituire dovuto restituire 44bisanti per un mesebisanti per un mesedi assenza dal lavorodi assenza dal lavoro10487081048708 Questi talvolta lavorograve e talvolta no ed alla fine delQuesti talvolta lavorograve e talvolta no ed alla fine delmese (30 giorni) ricevette un solo bisantemese (30 giorni) ricevette un solo bisante1048708 1048708 Quanti giorni lavorograveQuanti giorni lavorograve
Risolviamo con Fibonacciil problema del lavoratore
1048708 1048708 Modernamente imposteremmo lrsquoequazione7middotx30ndash4 middot(30ndashx)30 = 11048708 Fibonacci usa il metodo della doppia falsa posizione1048708 per 15 gg 1 bisante e 12 7middot1530ndash4middot15301048708 per 20 gg 3 bisanti e 13 7middot2030ndash4middot10301048708 Si imposta dunque la proporzione(20ndash15) [(3+13)ndash(1+12)] = (20ndashx) [(3+13)ndash1]1048708 Da cui ricaviamox = 15011 = 13+711Pertanto quel lavoratoreha lavorato 13 giorni e 711 (di giorno)
PopolazionePopolazione EpocaEpoca SimboloSimbolo SignificatoSignificato
BabilonesiBabilonesi 1800-2000 1800-2000 aCaC
usus
sagsag
asaasa
LunghezzaLunghezza
LarghezzaLarghezza
AreaArea
EgiziEgizi II-I secolo II-I secolo aCaC
ahaaha MucchiocumMucchiocumuloulo
Greci amp Greci amp DiofantoDiofanto
II-III sec dCII-III sec dC SS NumeroNumero
(arithmos)(arithmos)
CinesiCinesi I-II sec dCI-II sec dC I II IIII II III CosaelemenCosaelementoto
ArabiArabi III-IV sec dCIII-IV sec dC cosacosa
EuropaEuropa OggiOggi x y zx y z incognitaincognita
Dalla StoriahellipI nomi dellrsquoincognita attraverso i secoli
SITOGRAFIASITOGRAFIA
wwwulissesissaitwwwulissesissait wwwitwikipediaorgwwwitwikipediaorg wwwvirgilioitwwwvirgilioit
Castelnuovo EGori Giorgi Valenti Castelnuovo EGori Giorgi Valenti La matematica nella realtagrave ndash La Nuova ItaliaLa matematica nella realtagrave ndash La Nuova Italia Carl B BoyerCarl B Boyer Storia della matematica ndash Oscar MondadoriStoria della matematica ndash Oscar Mondadori
BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA
Il mondo arabo Al-Kuwarizmi1048708 1048708 Dopo la grande stagione della scienza greca laDopo la grande stagione della scienza greca laMatematica conobbe un periodo di declino anche seMatematica conobbe un periodo di declino anche semeno oscuro di quanto si egrave talvolta portati a pensaremeno oscuro di quanto si egrave talvolta portati a pensareGli Gli ArabiArabi non si limitarono a tramandare la non si limitarono a tramandare lamemoria dei testi greci e le loro conoscenzememoria dei testi greci e le loro conoscenzematematiche e astronomiche rivelano elementi dimatematiche e astronomiche rivelano elementi dioriginalitagraveoriginalitagrave1048708 1048708 Mohammed Ibn Musa Al-Kuwarizmi Mohammed Ibn Musa Al-Kuwarizmi (VIII secolo)(VIII secolo)di origine persiana scrisse di origine persiana scrisse Al-jabr wal mukabalahAl-jabr wal mukabalah dalle cui primedalle cui prime lettere deriva la parola ldquoAlgebrardquo e lettere deriva la parola ldquoAlgebrardquo e nella quale sviluppograve la teoria delle equazioninella quale sviluppograve la teoria delle equazioniparticolarmente di quelle di secondo gradoparticolarmente di quelle di secondo gradoQuestrsquoopera contiene una seria di problemi riguardanti testamenti ed ereditagrave e Questrsquoopera contiene una seria di problemi riguardanti testamenti ed ereditagrave e
lrsquoincognita viene chiamata lrsquoincognita viene chiamata ldquocosardquoldquocosardquo Il limite piugrave rilevante della sua opera egrave lrsquoIl limite piugrave rilevante della sua opera egrave lrsquoassenza di una notazione assenza di una notazione
simbolicasimbolicaAl-Kuwarizmi quindi deve essere considerato ancora nellrsquoambito dellrsquoAl-Kuwarizmi quindi deve essere considerato ancora nellrsquoambito dellrsquoalgebra algebra
retorica retorica (nella quale tutte le espressioni algebriche erano indicate (nella quale tutte le espressioni algebriche erano indicate mediantemediante
parole)parole)
1048708 1048708
Il mondo arabo Khayyam
Gli Arabi si occuparonodi equazioniindeterminate (Al-Karchi morto nel 1029scrisse Al-Facri vicinoallrsquoAritmetica diofantea)1048708 Alcuni tentarono diprovare che xsup3+ysup3 = zsup3 nonammette soluzioni interenon nulle anticipando lericerche sullrsquoultimoteorema di Fermat
Occidente - EuropaSi deve a Fibonacci (1175-1240) nel suo
ldquoLiber Abacirdquo il primo utilizzo del termine equazione e la diffusione in Europa delle tecniche risolutiva apprese dagli Arabi
Solo nel sedicesimo secolo lalgebra iniziograve un suo vero e proprio sviluppo autonomo dalla geometria quando le lettere furono intese rappresentare non grandezze geometriche ma numeri attraverso lopera di F Viegravete (1540-1603) e R Descartes (Cartesio1596-1650)
Raggiunse una sistemazione e un modo di presentazione simile a quelli attuali poco piugrave di due secoli fa nellIntroduzione completa allalgebra (1770) di L Euler (Eulero1707-1783)
CARTESIO
Nello stesso periodo giunse a maturazione il linguaggio algebrico vero e proprio In precedenza (algebra retorica) operazioni equazioni con la loro risoluzione venivanoespressi con parole (ad esempio lincognita veniva detta la cosa il suo quadrato il censo la sua terza potenzail cubo la quarta potenza censo censo) ed era assai arduo seguire i passaggi con cui si perveniva ai risultati finali dei problemi Ne seguiacute una fase intermedia (algebra sincopata) in cui comparvero alcuni simboli e parole stilizzatead esempio Luca
Pacioli (1445-1514) autore dellopera Summa de Arithmetica (1523) che contribuiacute alla diffusione in occidente delluso delle cifre arabo-indiane indicava con co lincognita con ce il suo quadrato con cu il suo
cubo e con p e m laddizione e la sottrazione Solo in seguito lalgebra ricevette la veste che la rende simile alle
attuali esposizioni (algebra simbolica)
Luca Pacioli
Fibonacci e il Liber Abaci1048708 De laborator quaestio notabilis
1048708 1048708 Un lavoratore avrebbeUn lavoratore avrebbedovuto prendere dovuto prendere 77bisanti al mese se avessebisanti al mese se avesselavorato ma avrebbelavorato ma avrebbedovuto restituire dovuto restituire 44bisanti per un mesebisanti per un mesedi assenza dal lavorodi assenza dal lavoro10487081048708 Questi talvolta lavorograve e talvolta no ed alla fine delQuesti talvolta lavorograve e talvolta no ed alla fine delmese (30 giorni) ricevette un solo bisantemese (30 giorni) ricevette un solo bisante1048708 1048708 Quanti giorni lavorograveQuanti giorni lavorograve
Risolviamo con Fibonacciil problema del lavoratore
1048708 1048708 Modernamente imposteremmo lrsquoequazione7middotx30ndash4 middot(30ndashx)30 = 11048708 Fibonacci usa il metodo della doppia falsa posizione1048708 per 15 gg 1 bisante e 12 7middot1530ndash4middot15301048708 per 20 gg 3 bisanti e 13 7middot2030ndash4middot10301048708 Si imposta dunque la proporzione(20ndash15) [(3+13)ndash(1+12)] = (20ndashx) [(3+13)ndash1]1048708 Da cui ricaviamox = 15011 = 13+711Pertanto quel lavoratoreha lavorato 13 giorni e 711 (di giorno)
PopolazionePopolazione EpocaEpoca SimboloSimbolo SignificatoSignificato
BabilonesiBabilonesi 1800-2000 1800-2000 aCaC
usus
sagsag
asaasa
LunghezzaLunghezza
LarghezzaLarghezza
AreaArea
EgiziEgizi II-I secolo II-I secolo aCaC
ahaaha MucchiocumMucchiocumuloulo
Greci amp Greci amp DiofantoDiofanto
II-III sec dCII-III sec dC SS NumeroNumero
(arithmos)(arithmos)
CinesiCinesi I-II sec dCI-II sec dC I II IIII II III CosaelemenCosaelementoto
ArabiArabi III-IV sec dCIII-IV sec dC cosacosa
EuropaEuropa OggiOggi x y zx y z incognitaincognita
Dalla StoriahellipI nomi dellrsquoincognita attraverso i secoli
SITOGRAFIASITOGRAFIA
wwwulissesissaitwwwulissesissait wwwitwikipediaorgwwwitwikipediaorg wwwvirgilioitwwwvirgilioit
Castelnuovo EGori Giorgi Valenti Castelnuovo EGori Giorgi Valenti La matematica nella realtagrave ndash La Nuova ItaliaLa matematica nella realtagrave ndash La Nuova Italia Carl B BoyerCarl B Boyer Storia della matematica ndash Oscar MondadoriStoria della matematica ndash Oscar Mondadori
BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA
Il mondo arabo Khayyam
Gli Arabi si occuparonodi equazioniindeterminate (Al-Karchi morto nel 1029scrisse Al-Facri vicinoallrsquoAritmetica diofantea)1048708 Alcuni tentarono diprovare che xsup3+ysup3 = zsup3 nonammette soluzioni interenon nulle anticipando lericerche sullrsquoultimoteorema di Fermat
Occidente - EuropaSi deve a Fibonacci (1175-1240) nel suo
ldquoLiber Abacirdquo il primo utilizzo del termine equazione e la diffusione in Europa delle tecniche risolutiva apprese dagli Arabi
Solo nel sedicesimo secolo lalgebra iniziograve un suo vero e proprio sviluppo autonomo dalla geometria quando le lettere furono intese rappresentare non grandezze geometriche ma numeri attraverso lopera di F Viegravete (1540-1603) e R Descartes (Cartesio1596-1650)
Raggiunse una sistemazione e un modo di presentazione simile a quelli attuali poco piugrave di due secoli fa nellIntroduzione completa allalgebra (1770) di L Euler (Eulero1707-1783)
CARTESIO
Nello stesso periodo giunse a maturazione il linguaggio algebrico vero e proprio In precedenza (algebra retorica) operazioni equazioni con la loro risoluzione venivanoespressi con parole (ad esempio lincognita veniva detta la cosa il suo quadrato il censo la sua terza potenzail cubo la quarta potenza censo censo) ed era assai arduo seguire i passaggi con cui si perveniva ai risultati finali dei problemi Ne seguiacute una fase intermedia (algebra sincopata) in cui comparvero alcuni simboli e parole stilizzatead esempio Luca
Pacioli (1445-1514) autore dellopera Summa de Arithmetica (1523) che contribuiacute alla diffusione in occidente delluso delle cifre arabo-indiane indicava con co lincognita con ce il suo quadrato con cu il suo
cubo e con p e m laddizione e la sottrazione Solo in seguito lalgebra ricevette la veste che la rende simile alle
attuali esposizioni (algebra simbolica)
Luca Pacioli
Fibonacci e il Liber Abaci1048708 De laborator quaestio notabilis
1048708 1048708 Un lavoratore avrebbeUn lavoratore avrebbedovuto prendere dovuto prendere 77bisanti al mese se avessebisanti al mese se avesselavorato ma avrebbelavorato ma avrebbedovuto restituire dovuto restituire 44bisanti per un mesebisanti per un mesedi assenza dal lavorodi assenza dal lavoro10487081048708 Questi talvolta lavorograve e talvolta no ed alla fine delQuesti talvolta lavorograve e talvolta no ed alla fine delmese (30 giorni) ricevette un solo bisantemese (30 giorni) ricevette un solo bisante1048708 1048708 Quanti giorni lavorograveQuanti giorni lavorograve
Risolviamo con Fibonacciil problema del lavoratore
1048708 1048708 Modernamente imposteremmo lrsquoequazione7middotx30ndash4 middot(30ndashx)30 = 11048708 Fibonacci usa il metodo della doppia falsa posizione1048708 per 15 gg 1 bisante e 12 7middot1530ndash4middot15301048708 per 20 gg 3 bisanti e 13 7middot2030ndash4middot10301048708 Si imposta dunque la proporzione(20ndash15) [(3+13)ndash(1+12)] = (20ndashx) [(3+13)ndash1]1048708 Da cui ricaviamox = 15011 = 13+711Pertanto quel lavoratoreha lavorato 13 giorni e 711 (di giorno)
PopolazionePopolazione EpocaEpoca SimboloSimbolo SignificatoSignificato
BabilonesiBabilonesi 1800-2000 1800-2000 aCaC
usus
sagsag
asaasa
LunghezzaLunghezza
LarghezzaLarghezza
AreaArea
EgiziEgizi II-I secolo II-I secolo aCaC
ahaaha MucchiocumMucchiocumuloulo
Greci amp Greci amp DiofantoDiofanto
II-III sec dCII-III sec dC SS NumeroNumero
(arithmos)(arithmos)
CinesiCinesi I-II sec dCI-II sec dC I II IIII II III CosaelemenCosaelementoto
ArabiArabi III-IV sec dCIII-IV sec dC cosacosa
EuropaEuropa OggiOggi x y zx y z incognitaincognita
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Occidente - EuropaSi deve a Fibonacci (1175-1240) nel suo
ldquoLiber Abacirdquo il primo utilizzo del termine equazione e la diffusione in Europa delle tecniche risolutiva apprese dagli Arabi
Solo nel sedicesimo secolo lalgebra iniziograve un suo vero e proprio sviluppo autonomo dalla geometria quando le lettere furono intese rappresentare non grandezze geometriche ma numeri attraverso lopera di F Viegravete (1540-1603) e R Descartes (Cartesio1596-1650)
Raggiunse una sistemazione e un modo di presentazione simile a quelli attuali poco piugrave di due secoli fa nellIntroduzione completa allalgebra (1770) di L Euler (Eulero1707-1783)
CARTESIO
Nello stesso periodo giunse a maturazione il linguaggio algebrico vero e proprio In precedenza (algebra retorica) operazioni equazioni con la loro risoluzione venivanoespressi con parole (ad esempio lincognita veniva detta la cosa il suo quadrato il censo la sua terza potenzail cubo la quarta potenza censo censo) ed era assai arduo seguire i passaggi con cui si perveniva ai risultati finali dei problemi Ne seguiacute una fase intermedia (algebra sincopata) in cui comparvero alcuni simboli e parole stilizzatead esempio Luca
Pacioli (1445-1514) autore dellopera Summa de Arithmetica (1523) che contribuiacute alla diffusione in occidente delluso delle cifre arabo-indiane indicava con co lincognita con ce il suo quadrato con cu il suo
cubo e con p e m laddizione e la sottrazione Solo in seguito lalgebra ricevette la veste che la rende simile alle
attuali esposizioni (algebra simbolica)
Luca Pacioli
Fibonacci e il Liber Abaci1048708 De laborator quaestio notabilis
1048708 1048708 Un lavoratore avrebbeUn lavoratore avrebbedovuto prendere dovuto prendere 77bisanti al mese se avessebisanti al mese se avesselavorato ma avrebbelavorato ma avrebbedovuto restituire dovuto restituire 44bisanti per un mesebisanti per un mesedi assenza dal lavorodi assenza dal lavoro10487081048708 Questi talvolta lavorograve e talvolta no ed alla fine delQuesti talvolta lavorograve e talvolta no ed alla fine delmese (30 giorni) ricevette un solo bisantemese (30 giorni) ricevette un solo bisante1048708 1048708 Quanti giorni lavorograveQuanti giorni lavorograve
Risolviamo con Fibonacciil problema del lavoratore
1048708 1048708 Modernamente imposteremmo lrsquoequazione7middotx30ndash4 middot(30ndashx)30 = 11048708 Fibonacci usa il metodo della doppia falsa posizione1048708 per 15 gg 1 bisante e 12 7middot1530ndash4middot15301048708 per 20 gg 3 bisanti e 13 7middot2030ndash4middot10301048708 Si imposta dunque la proporzione(20ndash15) [(3+13)ndash(1+12)] = (20ndashx) [(3+13)ndash1]1048708 Da cui ricaviamox = 15011 = 13+711Pertanto quel lavoratoreha lavorato 13 giorni e 711 (di giorno)
PopolazionePopolazione EpocaEpoca SimboloSimbolo SignificatoSignificato
BabilonesiBabilonesi 1800-2000 1800-2000 aCaC
usus
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LunghezzaLunghezza
LarghezzaLarghezza
AreaArea
EgiziEgizi II-I secolo II-I secolo aCaC
ahaaha MucchiocumMucchiocumuloulo
Greci amp Greci amp DiofantoDiofanto
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CinesiCinesi I-II sec dCI-II sec dC I II IIII II III CosaelemenCosaelementoto
ArabiArabi III-IV sec dCIII-IV sec dC cosacosa
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Castelnuovo EGori Giorgi Valenti Castelnuovo EGori Giorgi Valenti La matematica nella realtagrave ndash La Nuova ItaliaLa matematica nella realtagrave ndash La Nuova Italia Carl B BoyerCarl B Boyer Storia della matematica ndash Oscar MondadoriStoria della matematica ndash Oscar Mondadori
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Nello stesso periodo giunse a maturazione il linguaggio algebrico vero e proprio In precedenza (algebra retorica) operazioni equazioni con la loro risoluzione venivanoespressi con parole (ad esempio lincognita veniva detta la cosa il suo quadrato il censo la sua terza potenzail cubo la quarta potenza censo censo) ed era assai arduo seguire i passaggi con cui si perveniva ai risultati finali dei problemi Ne seguiacute una fase intermedia (algebra sincopata) in cui comparvero alcuni simboli e parole stilizzatead esempio Luca
Pacioli (1445-1514) autore dellopera Summa de Arithmetica (1523) che contribuiacute alla diffusione in occidente delluso delle cifre arabo-indiane indicava con co lincognita con ce il suo quadrato con cu il suo
cubo e con p e m laddizione e la sottrazione Solo in seguito lalgebra ricevette la veste che la rende simile alle
attuali esposizioni (algebra simbolica)
Luca Pacioli
Fibonacci e il Liber Abaci1048708 De laborator quaestio notabilis
1048708 1048708 Un lavoratore avrebbeUn lavoratore avrebbedovuto prendere dovuto prendere 77bisanti al mese se avessebisanti al mese se avesselavorato ma avrebbelavorato ma avrebbedovuto restituire dovuto restituire 44bisanti per un mesebisanti per un mesedi assenza dal lavorodi assenza dal lavoro10487081048708 Questi talvolta lavorograve e talvolta no ed alla fine delQuesti talvolta lavorograve e talvolta no ed alla fine delmese (30 giorni) ricevette un solo bisantemese (30 giorni) ricevette un solo bisante1048708 1048708 Quanti giorni lavorograveQuanti giorni lavorograve
Risolviamo con Fibonacciil problema del lavoratore
1048708 1048708 Modernamente imposteremmo lrsquoequazione7middotx30ndash4 middot(30ndashx)30 = 11048708 Fibonacci usa il metodo della doppia falsa posizione1048708 per 15 gg 1 bisante e 12 7middot1530ndash4middot15301048708 per 20 gg 3 bisanti e 13 7middot2030ndash4middot10301048708 Si imposta dunque la proporzione(20ndash15) [(3+13)ndash(1+12)] = (20ndashx) [(3+13)ndash1]1048708 Da cui ricaviamox = 15011 = 13+711Pertanto quel lavoratoreha lavorato 13 giorni e 711 (di giorno)
PopolazionePopolazione EpocaEpoca SimboloSimbolo SignificatoSignificato
BabilonesiBabilonesi 1800-2000 1800-2000 aCaC
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EgiziEgizi II-I secolo II-I secolo aCaC
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Greci amp Greci amp DiofantoDiofanto
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(arithmos)(arithmos)
CinesiCinesi I-II sec dCI-II sec dC I II IIII II III CosaelemenCosaelementoto
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Castelnuovo EGori Giorgi Valenti Castelnuovo EGori Giorgi Valenti La matematica nella realtagrave ndash La Nuova ItaliaLa matematica nella realtagrave ndash La Nuova Italia Carl B BoyerCarl B Boyer Storia della matematica ndash Oscar MondadoriStoria della matematica ndash Oscar Mondadori
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Fibonacci e il Liber Abaci1048708 De laborator quaestio notabilis
1048708 1048708 Un lavoratore avrebbeUn lavoratore avrebbedovuto prendere dovuto prendere 77bisanti al mese se avessebisanti al mese se avesselavorato ma avrebbelavorato ma avrebbedovuto restituire dovuto restituire 44bisanti per un mesebisanti per un mesedi assenza dal lavorodi assenza dal lavoro10487081048708 Questi talvolta lavorograve e talvolta no ed alla fine delQuesti talvolta lavorograve e talvolta no ed alla fine delmese (30 giorni) ricevette un solo bisantemese (30 giorni) ricevette un solo bisante1048708 1048708 Quanti giorni lavorograveQuanti giorni lavorograve
Risolviamo con Fibonacciil problema del lavoratore
1048708 1048708 Modernamente imposteremmo lrsquoequazione7middotx30ndash4 middot(30ndashx)30 = 11048708 Fibonacci usa il metodo della doppia falsa posizione1048708 per 15 gg 1 bisante e 12 7middot1530ndash4middot15301048708 per 20 gg 3 bisanti e 13 7middot2030ndash4middot10301048708 Si imposta dunque la proporzione(20ndash15) [(3+13)ndash(1+12)] = (20ndashx) [(3+13)ndash1]1048708 Da cui ricaviamox = 15011 = 13+711Pertanto quel lavoratoreha lavorato 13 giorni e 711 (di giorno)
PopolazionePopolazione EpocaEpoca SimboloSimbolo SignificatoSignificato
BabilonesiBabilonesi 1800-2000 1800-2000 aCaC
usus
sagsag
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CinesiCinesi I-II sec dCI-II sec dC I II IIII II III CosaelemenCosaelementoto
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1048708 1048708 Modernamente imposteremmo lrsquoequazione7middotx30ndash4 middot(30ndashx)30 = 11048708 Fibonacci usa il metodo della doppia falsa posizione1048708 per 15 gg 1 bisante e 12 7middot1530ndash4middot15301048708 per 20 gg 3 bisanti e 13 7middot2030ndash4middot10301048708 Si imposta dunque la proporzione(20ndash15) [(3+13)ndash(1+12)] = (20ndashx) [(3+13)ndash1]1048708 Da cui ricaviamox = 15011 = 13+711Pertanto quel lavoratoreha lavorato 13 giorni e 711 (di giorno)
PopolazionePopolazione EpocaEpoca SimboloSimbolo SignificatoSignificato
BabilonesiBabilonesi 1800-2000 1800-2000 aCaC
usus
sagsag
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LunghezzaLunghezza
LarghezzaLarghezza
AreaArea
EgiziEgizi II-I secolo II-I secolo aCaC
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CinesiCinesi I-II sec dCI-II sec dC I II IIII II III CosaelemenCosaelementoto
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PopolazionePopolazione EpocaEpoca SimboloSimbolo SignificatoSignificato
BabilonesiBabilonesi 1800-2000 1800-2000 aCaC
usus
sagsag
asaasa
LunghezzaLunghezza
LarghezzaLarghezza
AreaArea
EgiziEgizi II-I secolo II-I secolo aCaC
ahaaha MucchiocumMucchiocumuloulo
Greci amp Greci amp DiofantoDiofanto
II-III sec dCII-III sec dC SS NumeroNumero
(arithmos)(arithmos)
CinesiCinesi I-II sec dCI-II sec dC I II IIII II III CosaelemenCosaelementoto
ArabiArabi III-IV sec dCIII-IV sec dC cosacosa
EuropaEuropa OggiOggi x y zx y z incognitaincognita
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Castelnuovo EGori Giorgi Valenti Castelnuovo EGori Giorgi Valenti La matematica nella realtagrave ndash La Nuova ItaliaLa matematica nella realtagrave ndash La Nuova Italia Carl B BoyerCarl B Boyer Storia della matematica ndash Oscar MondadoriStoria della matematica ndash Oscar Mondadori
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Castelnuovo EGori Giorgi Valenti Castelnuovo EGori Giorgi Valenti La matematica nella realtagrave ndash La Nuova ItaliaLa matematica nella realtagrave ndash La Nuova Italia Carl B BoyerCarl B Boyer Storia della matematica ndash Oscar MondadoriStoria della matematica ndash Oscar Mondadori
BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA
![Equazioni (e Sistemi) Non Lineari · Equazioni Non Lineari in Matlab Per risolvere equazioni non lineari Matlab offre due funzioni: function [X, FVAL, FLAG] = fzero(F, X0) function](https://img.pdfslide.net/doc/110x75/5c65707809d3f2ad6e8ca123/equazioni-e-sistemi-non-equazioni-non-lineari-in-matlab-per-risolvere-equazioni.jpg)
