S I M B L I C A IRVIIMG M . C O P I University of Hawaii

DCIMA QUINTA REIMPRESIN MXICO, 1997

COMPAA EDITORIAL CONTINENTAL, S.A. DE C.V. MXICO

Ttulo original de la obra: SYMBOLIC LOGIC

Traduccin autorizada por: Copyright by Macmillan Publishing Co. Copyright by Irving M. Copi

Traduccin: Andrs Sestier Boulier, M. en C.

Lgica simblica Derechos reservados en espaol: 1979, COMPAA EDITORIAL CONTINENTAL, S.A. de C.V. Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca, Delegacin Azcapotzalco, Cdigo Postal 02400, Mxico, D.F.

Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial. Registro nm. 43

ISBN 968-26-0134-7

Queda prohibida la reproduccin o transmisin total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrnicas o mecnicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

Impreso en Mxico Printed in Mxico

Primera edicin: 1979 Dcima cuarta reimpresin: 1996 Dcima quinta reimpresin: 1997

I n t roducc in : La Lgica y el Lengua je

1.1. Qu es la Lgica? Es fcil hallar respuestas a la pregunta "Qu es la Lgica?"

Segn Charles Peirce, "Se han dado casi un centenar de definiciones de ella".1 Pero Peirce contina diciendo: "Sin embargo, se conceder generalmente que su problema central es la clasificacin de los argumentos, de modo que todos los que sean malos se pongan de un lado y los que sean buenos del otro . . . "

El estudio de la Lgica, entonces, es el estudio de los mtodos y principios usados al distinguir entre los argumentos correctos (buenos) y los argumentos incorrectos (malos). Con esta defini-cin no se intenta implicar, desde luego, que uno puede hacer la distincin slo si ha estudiado lgica. Pero el estudio de sta ayudar a distinguir entre los argumentos correctos y los incorrec-tos, y lo har de varias maneras. Ante todo, en el estudio propio de la lgica, sta se aborda como un arte y como una ciencia y el estudiante har ejercicios en todas las partes de la teora estudiada. Aqu, como en cualquier parte, la prctica ayudar a alcanzar la perfeccin. En segundo lugar, el estudio de la lgica, especialmente la lgica simblica, como el estudio de cualquier ciencia exacta in-crementar la capacidad de razonamiento. Y por ltimo, el estudio de la lgica dar al estudiante ciertas tcnicas para probar la vali-dez de todos los argumentos, incluyendo los suyos. Este conocimiento tiene valor porque cuando los errores son de fcil deteccin es menos probable que se cometan.

La lgica se ha definido con frecuencia como la ciencia del razonamiento. Esta definicin, aunque da una clave a la naturaleza

1 "I*ogic" en el Dictionary of Philosophy and Psychoiogy, editado por James Mark

Baldwin, New York, The Macmillan Company, 1925.

16 Introduccin: La Lgica y el Lenguaje

de la lgica, no es muy exacta. El razonamiento es la clase espe-cial de pensamiento llamada inferencia, en la que se sacan conclu-siones partiendo de premisas. Como pensamiento, sin embargo, no es campo exclusivo de la lgica, sino parte tambin de la materia de estudio del psiclogo. Los psiclogos que examinan el proceso del razonamiento lo encuentran en extremo complejo y altamente emo-cional, consistente en torpes procedimientos de prueba y error iluminados por sbitas y a veces en apariencia inconsecuentes visiones internas. Todos son de importancia para la psicologa. Pero el lgico no se interesa en el proceso real del razonamiento. A l le importa la correccin del proceso completado. Su pregunta siempre es: se sigue la conclusin alcanzada de las premisas usadas o supuestas? Si las premisas son un fundamento adecuado para aceptar la conclusin, si afirmar que las premisas son verdaderas garantiza el afirmar la verdad de la conclusin, entonces el razona-miento es correcto. De otra manera es incorrecto. Los mtodos y tcnicas del lgico se han desarrollado primordialmente con el objeto de aclarar la distincin. El lgico se interesa en todo razona-miento, sin atender al contenido del mismo, sino slo desde este punto de vista especial.

1.2. La Naturaleza del Argumento La inferencia es una actividad en la que se afirma una propo-

sicin sobre la base de otra u otras proposiciones aceptadas como el punto de partida del proceso. Al lgico no le concierne el proceso de inferencia, sino las proposiciones iniciales y finales de ese pro* ceso y las relaciones entre ellas.

Las proposiciones son o verdaderas o falsas, y encesto difieren de las preguntas, rdenes y exclamaciones. Los gramticos clasifi-can las formulaciones lingsticas de las proposiciones, preguntas, rdenes y exclamaciones, en oraciones declarativas, interrogativas, imperativas y exclamatorias, respectivamente. Estas nociones son familiares. Es costumbre distinguir entre las oraciones declarativas y las proposiciones que se afirman al pronunciar aqullas. La dis-tincin se hace resaltar observando que una oracin declarativa es siempre parte de un lenguaje, lengua en que se dice o se escribe, mientras que las proposiciones no son privativas de ninguna de las lenguas en que se expresen. Otra diferencia es que la misma oracin articulada en diferentes contextos puede afirmar diferentes proposiciones. (Por ejemplo, la oracin 'Tengo hambre", puede ser proferida por personas diferentes haciendo aserciones diferentes.) La misma clase de distincin puede establecerse entre las oracio-

nes y los enunciados. Puede hacerse el mismo enunciado utilizando palabras diferentes, y la misma oracin puede ser dicha en contextos diferentes para hacer enunciados diferentes. Los trminos "enunciado" y "proposicin" no son sinnimos exactos, pero en los escritos de los lgicos se usan ms o menos en el mismo sentido. En este libro se usarn los dos trminos. En los captulos siguientes usaremos tambin el trmino "enunciado" (especialmente en los Caps. 2 y 3) y el trmino "proposicin" (especialmente en los Caps. 4 y 5) refirindonos a las oraciones en las que se expresan los enunciados (y las proposiciones). En cada caso, el significado quedar claro por el contexto.

A cada inferencia posible corresponde un argumento, y de estos argumentos trata la lgica primordialmente. Un argumento puede definirse como un grupo cualquiera de proposiciones o enunciados de los cuales se afirma que hay uno que se sigue de los dems, considerando stos como fundamento de la verdad de aqul. La palabra argumento tambin tiene otros significados en su uso cotidiano, pero en la lgica tiene el sentido tcnico explicado. En los captulos que siguen usaremos tambin la palabra argumento en un sentido derivado para referirnos a una oracin cualquiera o coleccin de oraciones en que est formulado o expresado un argumento. Cuando as lo hagamos, presupondremos que la claridad del contexto permite asegurar que al pronunciar esas oraciones se hacen enunciados nicos o se afirman proposiciones nicas.

Todo argumento tiene una estructura, en cuyo anlisis usual-mente se emplean los trminos ''premisa" y "conclusin". La conclusin de un argumento es la proposicin afirmada basndose en las otras proposiciones del argumento y estas otras proposiciones que se afirman como fundamento o razones para la aceptacin de la conclusin son las premisas de ese argumento.

Notemos que "premisa" y "conclusin" son trminos relativos, en el sentido de que la misma proposicin puede ser premisa en un argumento y conclusin en otro. As, Todos los hombres son mortales, es premisa en el argumento

Todos los hombres son mortales. Scrates es un hombre. Por lo tanto, Scrates es mortal.

y conclusin en el argumento

La Naturaleza del Argumento 17

Todos los animales son mortales. Todos los hombres son animales. Luego, todos los hombres son mortales.

18 Introduccin: La Lgica y el Lenguaje

Toda proposicin puede ser premisa o conclusin, dependiendo del contexto. Es una premisa cuando se presenta en un argumento en el que se le supone para demostrar alguna otra proposicin, y es una conclusin cuando se presenta en un argumento que se pretende la demuestra basndose en las otras proposiciones que se suponen.

Es costumbre distinguir entre argumentos deductivos e inductivos. En todos los argumentos se pretende que las premisas proporcionan algn fundamento para la verdad de sus conclusiones, pero slo en un argumento deductivo se pretende que sus premisas proveen un fundamento absolutamente concluiente. Los trminos tcnicos "vlido" e "invlido" se usan en lugar de "correcto" e "incorrecto" al caracterizar los argumentos deductivos. Un argumento deductivo es vlido cuando sus premisas y conclusin estn relacionadas de modo tal que es absolutamente imposible que las premisas sean verdaderas, a menos que la conclusin lo sea tambin. La tarea de la lgica deductiva es la de aclarar la naturaleza de la relacin que existe entre premisas y conclusin en un argumento vlido, y proporcionar las tcnicas de discriminacin entre los vlidos y los invlidos.

En los argumentos inductivos slo se pretende que sus premisas proporcionan algn fundamento para sus conclusiones. Ni el trmino "vlido" ni su opuesto "invlido" se aplican con propiedad a los argumentos inductivos. Los argumentos inductivos difieren entre s en el grado de verosimilitud o probabilidad que sus premisas confieren a sus conclusiones, y se les estudia en la lgica inductiva. Pero en este libro nos ocuparemos solamente de los argumentos deductivos y usaremos la palabra "argumento" en referencia exclusiva a los argumentos deductivos.

1.3. Verdad y Validez

La verdad y falsedad caracterizan las proposiciones o los enunciados, y puede decirse, en sentido derivado, que caracterizan las oraciones declarativas en que se les formula. Pero los argumentos no se caracterizan propiamente por cuanto que son verdaderos o falsos. Por otro lado, la validez y la invalidez caracterizan los argumentos ms bien que las proposiciones o los enunciados.2 Hay una conexin entre la validez o invalidez de un argumento y la verdad

a

Algunos lgicos usan el trmino "vlido" para caracterizar enunciados que son lgica' mente verdaderos, como se explicar en la Sec. 9.6 del C a p . ' 9 . Sin embargo, por ahora aplicamos los trminos "vlido" e "invlido" exclusivamente a los argumentos.

Verdad y Validez 19

o falsedad de sus premisas y conclusin, pero esta conexin no es de ningn modo una conexin simple.

Algunos argumentos vlidos solamente contienen proposiciones verdaderas, como, por ejemplo,

Todos los murcilagos son mamferos. Todos los mamferos tienen pulmones. Luego, todos los murcilagos tienen pulmones.

Pero un argumento puede contener proposiciones falsas exclusiva-mente y ser vlido a pesar de todo, como, por ejemplo,

Todas las truchas son mamferos. Todos los mamferos tienen alas. Luego, todas las truchas tienen alas.

Este argumento es vlido porque si sus premisas fuesen verdaderas su conclusin tendra que ser verdadera tambin, aunque de hecho son falsas. Estos dos ejemplos muestran que, aunque algunos argu-mentos vlidos tienen conclusiones verdaderas, no todos las tienen verdaderas. La validez de un argumento no garantiza la verdad de su conclusin.

Cuando consideramos el argumento Si soy presidente entonces soy famoso. Yo no soy presidente. Por tanto, yo no soy famoso.

Podemos ver que aunque tanto las premisas como la conclusin son verdaderas, es un argumento invlido. Su invalidez se hace obvia al compararlo con otro argumento de la misma forma:

Si Rockefeller es presidente, entonces es famoso. Rockefeller no es presidente. Luego, Rockefeller no es famoso.

Este argumento es claramente invlido, puesto que sus premisas son verdaderas pero su conclusin es falsa. Los dos ltimos ejem-plos muestran que aun cuando algunos argumentos invlidos tienen conclusiones falsas no todos las tienen falsas. La falsedad de su conclusin no garantiza la invalidez de un argumento. Pero la fal-sedad de su conclusin s garantiza que o el argumento es invlido o por lo menos una de sus premisas es falsa.

Hay dos condiciones que debe satisfacer un argumento para establecer la verdad de su conclusin. Debe ser vlido y todas sus premisas deben ser verdaderas. Al lgico slo atae una de estas condiciones. Determinar la verdad o falsedad de las premisas es ta-rea de la investigacin cientfica en general, pues las premisas pueden tratar de cualquier asunto. Pero determinar la validez o in-

20 Introduccin: La Lgica y el Lenguaje

validez de los argumentos es el campo especial de la lgica deductiva. Al lgico le interesa la cuestin de la validez aun para argumentos cuyas premisas puedan ser falsas.

Podra cuestionarse la legitimidad de ese inters. Podra sugerirse que se confinara nuestra atencin slo o los argumentos de premisas verdaderas. Pero es frecuentemente necesario depender de la validez de argumentos cuyas premisas son de verdad desconocida. Los cien-tficos modernos investigan sus teoras deduciendo conclusiones de las mismas que predicen el comportamiento de fenmenos obser-vables en el laboratorio o el observatorio. La conclusin se pone a prueba entonces directamente por observacin y, si es verdadera, esto tiende a confirmar la teora de donde se dedujo, pero si es falsa queda refutada la teora. En uno y en otro caso el cientfico tiene un inters vital en la validez del argumento por el que la conclusin puesta a prueba se deduce de la teora investigada; por-que si el argumento es invlido, su procedimiento es intil. Lo que precede es una descripcin sobresimplificada del mtodo cientfico, pero sirve para mostrar que las cuestiones de validez son importan-tes aun en argumentos de premisas falsas.

1.4. Lgica Simblica

Se ha explicado que a la lgica le conciernen los argumentos y que stos contienen proposiciones o enunciados como sus premisas y conclusiones. Estas ltimas no son entidades lingsticas, como las oraciones declarativas, sino ms bien son lo que las oraciones declarativas tpicamente afirman al ser articuladas. Sin embargo, la comunicacin de proposiciones y argumentos requiere el uso del lenguaje, y esto complica nuestro problema. Los argumentos formu-lados en ingls o cualquier otro lenguaje natural son de difcil evaluacin debido a la vaga y equvoca naturaleza de las palabras en que se expresan, la ambigedad de su construccin, sus expre-siones idiomticas, que pueden interpretarse mal, y su estilo me-tafrico agradable por un lado, pero engaoso por otro. Sin embargo la resolucin de estas dificultades no es el problema central para el lgico, porque aun ya resueltas queda todava el problema de decidir la validez o la invalidez del argumento.

Para evitar las dificultades perifricas ligadas al lenguaje ordi-nario, los trabajadores de las ciencias han desarrollado vocabularios tcnicos especializados. El cientfico economiza el espacio y el tiempo requeridos para la escritura de sus reportes y teoras adop-tando smbolos especiales para expresar ideas que de otra manera

Lgica Simblica 21

requeriran una larga sucesin de palabras familiares para su formulacin. Esto tiene la ventaja adicional de reducir la cantidad de atencin requerida, puesto que cuando una oracin o ecuacin se alarga demasiado se hace ms difcil captar su significado. La introduccin del smbolo exponente en las matemticas permite expresar la ecuacin

AXAXAXAXAXAXAXAXAXAXAXA=BXBXBXBXBXBXB

ms breve e inteligiblemente como

A 1 2 = B7

Una ventaja semejante se ha logrado usando las frmulas grficas en la qumica orgnica; y el lenguaje de cualquier ciencia avanzada se ha visto enriquecido por innovaciones simblicas similares.

La lgica tambin ha desarrollado un sistema de notacin tcnica especial. Aristteles haca uso de ciertas abreviaciones para facilitar sus investigaciones, y la lgica simblica moderna ha crecido con la introduccin de otros muchos smbolos especiales. La diferencia entre la lgica nueva y la antigua es ms una cuestin de grado que de naturaleza, pero la diferencia de grado es tremenda. La lgica simblica moderna es incomparablemente ms poderosa como herramienta de anlisis y deduccin a travs del desarrollo de un lenguaje tcnico propio. Los smbolos especiales de la lgica moderna nos permiten exhibir con mayor claridad las estructuras lgicas de argumentos cuya formulacin puede quedar oscura en el lenguaje ordinario. Es una tarea ms fcil la de dividir los argumentos en vlidos e invlidos cuando se les expresa con el lenguaje simblico especial, pues en ste no se dan los problemas perifricos de vaguedad, ambigedad, peculiaridades idiomticas, metforas y anfibologa.* La introduccin y utilizacin de smbolos especiales sirve no slo para facilitar la evaluacin de los argumentos, sino tambin para aclarar la naturaleza de la inferencia deductiva.

Los smbolos especiales de la lgica se adaptan mucho mejor que el lenguaje ordinario a la obtencin de las inferencias. Su superioridad en este respecto es comparable a aquella de que gozan los numerales arbigos sobre los ms antiguos numerales romanos, tratndose de la computacin. Es fcil multiplicar 148 por 47, pero muy difcil computar el producto de CXLVIII y XLVII. De manera semejante, la obtencin de inferencias y la evaluacin de los argumentos se ve grandemente facilitada con la adopcin de una notacin lgica especial. Citando a Alfred North Whitehead, quien hizo importantes contribuciones al avance de la lgica simblica:

* Ambigedad de proposiciones. Reservamos ambigedad, para los trminos. (N. del T . )

2 2 Introduccin: La Lgica y el Lenguaje

3 An Introduction to Mathematics por A. N. Whitehead, Oxford, Eng . , Oxford Univer-

sity Press, 1911.

. . .con la ayuda del simbolismo podemos hacer, casi mecnicamente, transiciones en el razonamiento por el medio visual, las que, de otro modo, pondran en juego las ms elevadas facultades cerebrales.3