1Historia de la Matemática. Los Tres Problemas Clásicos.

Pérez, Nora.

Los Tres Problemas Clásicos.

Entre los griegos se consideraba que la forma correcta de resolver los

problemas geométricos era utilizando únicamente dos instrumentos: la regla

(sin graduar) y el compás.

Es muy posible que el responsable sea Platón, porque consideraba que

resolver los problemas geométricos por medios mecánicos, es decir, cualquier

otro que no fuese la regla y el compás, era vulgar y degradante. Así lo cuenta

Plutarco en sus Vidas paralelas: “...Platón se indispuso e indignó contra ellos

(Eudoxo y Arquitas), porque degradaban y echaban a perder lo más excelente

de la geometría con trasladarse de lo incorpóreo e intelectual a lo sensible y

emplearla en los cuerpos que son objeto de oficios toscos y manuales...”.

En su afán de estudiar la geometría con la única ayuda de la regla y el

compás, hacia el siglo V a.C. comenzaron a circular por la Grecia antigua una

serie de problemas que cautivaron a los matemáticos de la época.

Estos problemas, hoy llamados “problemas clásicos de la geometría”, son tres:

La duplicación del cubo,

La trisección del ángulo y

La cuadratura del círculo.

Enunciado de los tres problemas

1) Dado un cubo cualquiera, construir otro cubo de volumen el doble del

anterior: duplicación del cubo.

2) Dado un ángulo cualquiera, construir un ángulo que sea la tercera parte

del ángulo dado: trisección del ángulo.

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3) Dado un círculo cualquiera, construir un cuadrado que tenga el mismo

área que el círculo: cuadratura del círculo. (Fernández)

La duplicación del cubo

Existe una leyenda que vincula el problema con los mismísimos dioses del

Olimpo.

Una epidemia de peste que apareció en Atenas hacia el 428 a.C. atemorizó

tanto a los ciudadanos que los dirigentes atenienses tuvieron que recurrir a

pedir ayuda al dios Apolo para que les ayudara a acabar con la epidemia.

Desde Atenas enviaron mensajeros para que consultaran al oráculo de Delos

qué podían hacer para acabar con el mal. Este les dijo que para terminar con la

peste tendrían que construir un altar de volumen doble que el que tenía Apolo

en el templo. La peste no acabó, pero los sobrevivientes trataron de construir

un altar; el cual era un cubo, con un volumen doble del que tenía Apolo.

“Eutocio, matemático del siglo VI formado en Constantinopla, y desconocido

para casi todo el mundo, nos brinda en su obra Comentarios, una versión del

origen del problema bien distinta, atribuida al mismísimo Eratóstenes. Tiene

como protagonista al rey Minos de Creta (el del Minotauro) y el objeto a

duplicar es, en este caso, el sepulcro de su hijo Glauco:

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Escaso recinto señalaste para tumba real; que sea el doble y, sin que pierda

belleza, al punto duplica cada miembro del sepulcro

El error de Minos era grave. Si se duplicaba el lado del cubo lo que

obtendrá es un cubo con un volumen ocho veces mayor que el de partida.

(Robertson., Historia de la Duplicación del Cubo, 1999)”

Los orígenes del problema de duplicar el cubo pueden ser un tanto

oscuros como acabamos de ver. Pero fueron muchos los matemáticos que

intentaron encontrar una solución, entre ellos están: Hipócrates de Quíos,

Arquitas de Taras, Eudoxo, Menecmo, Platón, Filón, Herón, Nicomedes y

Diocles.

Aunque todos intentaron métodos distintos para duplicar el cubo,

importantes descubrimientos matemáticos fueron realizados en los intentos, los

antiguos griegos nunca habrían de encontrar la solución que realmente

buscaban, es decir, una solución que pudiera hacerse mediante una

construcción con regla y compás. Nunca encontrarían tal construcción ya que

ésta no puede lograrse. Sin embargo, no había forma de que los antiguos

griegos pudieran demostrar este resultado porque requiere matemática que

estaban muy lejos de las que ellos desarrollaron. (Robertson., 1999)

Trisección de un ángulo.

Otro problema, que se hizo popular por las mismas fechas fue el de la

trisección del ángulo que consistía en dividir un ángulo cualquiera en tres

partes iguales con el único uso de la regla y el compás.

Hay muchas diferencias entre el problema de trisecar un ángulo y los

otros dos problemas griegos clásicos. En primer lugar no tiene ninguna historia

verdadera referente a la manera que el problema vino a ser estudiado. En

segundo lugar es un problema de un tipo algo diferente. Uno no puede ajustar

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ningún círculo, ni puede uno doblar cualquier cubo. Sin embargo, es posible a

ciertos ángulos trisecarlos.

Aunque es difícil determinar la fecha exacta del momento en el que el

problema de trisecar un ángulo apareció por primera vez, sabemos que

Hipócrates, quien hizo la primera aportación importante a los problemas de

cuadrar un círculo y duplicar un ángulo, también estudió el problema de trisecar

un ángulo empleando un método mecánico.

Otros matemáticos que aportaron soluciones mecánicas al problema

fueron Arquímedes, Nicomedes y Apolonio.

Los griegos 'mejoraron' sus soluciones al problema de trisecar un

ángulo, pero nunca progresaron hacia las soluciones planas porque sabemos

que son imposibles.

LA CUADRATURA DEL CÍRCULO

Es uno de los problemas matemáticos más antiguos. Entre los babilonios

y los egipcios consistía en hallar una razón expresable, entre el área de un

círculo y la de un cuadrado inscrito o circunscrito. Las aproximaciones que

habían obtenido con ese planteo les bastaban para sus necesidades.

El problema de la cuadratura del círculo lo plantearon los griegos de la

siguiente forma: construir a partir del radio r de un círculo un cuadrado de la

misma área que el círculo. El problema pasaba por relacionar el radio con el

área del círculo o la longitud de la circunferencia, es decir por determinar. El

problema del cálculo de apareció en el Papiro de Rhind, escrito hacia el 1700

a. C. y los egipcios estimaron un valor de = 3,1604938.

Los pitagóricos habían resuelto el problema de la cuadratura de los

polígonos, pero al pasar de los polígonos al círculo, el proceso resultaba

inaplicable y, al igual que en los otros dos problemas clásicos, los intentos de

“cuadrar el círculo”, mediante la regla y el compas, resultaron infructuosos.

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Son interesantes los intentos que en este sentido realizaron los sofistas

Antifón y Brisón. El primero llego a una conclusión final falsa. Brisón, por su

parte, habría señalado la senda por la cual más tarde Arquímedes logrará

notables resultados.

Otros que dieron aportes importantes fueron Dinóstrato Eudoxio e

Hipócrates de Quíos.

Conclusión.

“Los tres problemas clásicos de la antigüedad fueron promotores de las

más importantes investigaciones. Así el problema de la duplicación del cubo

condujo a Eudoxio y Menecmo a profundizar en las cónicas dando paso al

tratado de Apolonio , también había conducido a Diocles , anteriormente ,a

inventar una curva de tercer grado ,la “cisoide de Diocles”, y fue causa de que

Nicomedes inventara la “concoide” ,que es una curva de cuarto grado…

Estos tres problemas junto con otros como la demostración del quinto

postulado de Euclides, así como el Teorema de Fermat entre otros han ejercido

una acción profunda en el progreso de las matemáticas y muchos matemáticos

trabajaron en forma directa o indirecta al tratar de resolverlos. (Autores Varios:

Francisco Florentino)”

Fueron tres matemáticos del siglo XIX quienes acabaron con los tres

problemas griegos, N.H. Abel, noruego, y Evaristo Galois, francés, ambos

muertos a temprana edad. Otro joven de 23 años, Pierre Wantzel en el tomo II

del Jornal de Mathématiques, publicado en 1837, demostró que las

construcciones con regla y compás conducen a cantidades expresables por

raíces cuadradas (pero no cubicas, quintas, etc.), por lo tanto no pueden ser

resueltas con regla y compás.

Bibliografía

1Historia de la Matemática. Los Tres Problemas Clásicos.

Pérez, Nora.

Autores Varios: Francisco Florentino, M. Á. LOS TRES PROBLEMAS

CLASICOS DE LA MATEMATICA GRIEGA.

Fernández, S. Los tres Problemas Clásicos. COP de Sestao.

Pérez Sanz, A. ¡MALDITOS SEAN LA REGLA Y EL COMPÁS! Historias de

Matemáticas alternativas. Madrid: IES Salvador Dalí.

Robertson., J. J. (1999). Historia de la Duplicación del Cubo.

http://www.astroseti.org/imprime.php?num=4163.

Robertson., J. J. (1999). Historia de la trisección de un ángulo.

http://www.astroseti.org/imprime.php?num=4163).