M207 : Compléments en calcul différentiel

8/8/2019 M207 : Complments en calcul diffrentiel

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Universit des Sciences et Technologies de Lille

U.F.R. de Mathmatiques Pures et Appliques

M207 : Complments en calcul diffrentiel

Notes de cours par Clment Boulonne

L2 Mathmatiques 2007 - 2008


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Table des matires

1 Calcul diffrentiel sur Rn 3

1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Application de changement de variations la rsolution dEDP . . . . . . . . . . 71.3 Fonctions de classe Cp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Surfaces 15

2.1 Surfaces paramtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.1 De dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.2 Passage la dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.3 Changement de paramtrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Surfaces paramtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.1 Sphre de rayon R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.2 Gnralisation : surfaces de rvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.3 Hyperboloide de rvolution une nappe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.4 Hyperboloide de rvolution deux nappes . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.5 Tore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.6 Graphe dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Surface de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4 Extremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4.1 Extremas locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4.2 Extrema lis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Intgrales multiples 28

3.1 Gnralits sur lintgrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2 Calcul dintgrales multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.1 Par le thorme de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.3 Symtries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Champs de vecteurs et formes diffrentielles 33

4.1 Champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2 Analyse vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3 Formes diffrentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.4 Loprateur cobord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5 Intgrales curvilignes et de surface 38

5.1 Intgrales curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.1.1 Intgrales de premire espce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2


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3

5.1.2 Intgrales de deuxime espce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.2 Intgrales de surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.2.1 Intgrales de premire espce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.2.2 Intgrales de deuxime espce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.3.1 Aire dune surface de rvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.3.2 Aire du graphe dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.3.3 Aire de la surface latrale dun cne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6 Thormes de Stokes 48

6.1 Formule de Green-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.2 Exemples dapplications de la formule de Green-Riemann . . . . . . . . . . . . . 516.3 Formule de Gauss-Ostrogradsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.4 Exemples dapplications de la formule de Gauss-Ostrogradsky . . . . . . . . . . 53

6.4.1 Corollaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.4.2 Applications aux fonxtions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.5 Thorme de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.6 Exemples de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.7 Formes fermes et formes exactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61


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Chapitre 1

Calcul diffrentiel sur Rn

1.1 Rappels

Soit f : R R

Dfinition 1.1.1. f : R R est drivable en a R si et seulement si :(a) lim

h0f(a + h) f(a)

hexiste.

(b) A R : f(a + h) f(a) = Ah + |h|(h) ((h) 0 lorsque h 0.La limite dans (a) est gale A, elle est appele la drive de f en a, note f(a).

Dfinition 1.1.2. Soit U Rn ouvert. f : U Rn une application. f est diffrentiable ena U si A L(Rn,Rn) :

f(a + h) f(a) = Ah + h(h)et :

limh0 (h) = 0

(h = (h1,...,hn) vecteurs de Rn). A : Rn Rn est un oprateur linaire : la diffrentielle de f

en a, note df(a). La diffrentielle, si elle existe, est unique.

Dfinition 1.1.3 (Drive partielle).

f

xi= lim

t=0

f(a1,...,ai1, ai + h, ai+1,...,an) f(a)t

o a = (a1,...,an) U Rn (U ouvert). Si f = (f1,...,fn) alors :fxi

=f1

xi, ...,

fnxi

On dit que f est drivable en a pour la variable xi sifxi

existe. On dit que f est drivable en

a fxi

existe, i = 1,...,nTheorme 1.1.1. Soit f : U Rn, U Rn un ouvert, a U. Alors :(1) f admet des derives partielles dans un voisinage de a, continues en a.

(2) f est diffrentiable en a.

(3) f est continue en a.

(4) f est drivable en a.

4


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Chapitre 1. Calcul diffrentiel sur Rn 5

On a : (1) (2) (3) et (2) (4).Remarque. (1) (1). Par exemple :

f(x) =

x2 sin 1x

six = 00 si x = 0

(3) (2). Par exemple :f(x) = |x|

(4) (3), (4) (2). Par exemple :

f(x, y) =

xyx2+y2

si (x, y) = (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

Si n = 1 alors (2) (4).Dfinition 1.1.4 (Matrice jacobienne). Soit f = (f1,...,fn)

Jf(a) = J(f, a) =

f1x1 (a) f1xn (a)

......

fnx1

(a) fnxn

(a)

Si f est diffrentiable en a, alors Jf(a) est la matrice de df(a).

Dfinition 1.1.5. La drive directionnelle Dv (f, a) de f en a dans la direction des vecteursv : (v1,...,vn) est dfinie comme la limite :

limt

0

f(a + tv ) f(a)t

lorsque cette limite existe.

Remarque. fxi

(a) = Dei (f, a), oe1 ,..., en est une base stantard de Rn.

Si f est diffrentiable en a alors la Dfintion 1.1.2. entraine que Dv (f, a) existe v Rnet :

Dv (f, a) Rn

= df(a)(v ) = J(f, a)

v1...

vn

Theorme 1.1.2. Soient U Rn, U Rp des ouverts, et f : U Rp, g : U R2 desapplications tel que f(U) U. Soit a U, b = f(a). Supposons que f est differentiable en a,g differentiable en b. Alors g f : U R2 est diffrentiable en a et : d(g f)(a) = dg(b).df(a).

En fonction des matrices jacobiennes :

J(g f, a) = J(g, b) J(f, a) ()(g f)j

xi=

pk=1

gj(f(a))

yk fk(a)

xi()

Remarque. Les formules Dv (f, a) = J(f, a)v , (), () sont en gnral fausse si on omet

lhypothse de diffrentiabilit.

Dv (f, a) = F(0), o F = f , : t a + tv la paramtrisation de la droite passant para dans la direction du vecteur v .


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6 Chapitre 1. Calcul diffrentiel sur Rn

Fig. 1.1 Reprsentation pour d(g f)(a)

Dfinition 1.1.6. Une application f : U Rn (U Rn ouvert) est C1 si les derives partiellesfxi

(i = 1,...,n) existent et sont continues dans U.

Corollaire. Une application de classe C1 est diffrentiable en tout points de U.

Dfinition 1.1.7. Soient U, V Rn des ouverts et f : U Rn une applcation. On dit que fest un diffomorphisme de U sur V (ou que f est un changement de variables) si f(U) = V, fest une bection de U et V, et les applications f : U V, f1 : V U sont diffrentiables.

Si en plus f et f1 sont C1, on dit que f est un C1-diffomorphisme (ou un changement declasse de classe C1.

Proposition 1.1.3. Si f : U V est un diffomorphisme, a U, alors df(a) : Rn Rn estinversible et d(f1)(f(a)) = d(f(a))1. En termes de matrices jacobiennes :

|J(f, a)| = 0, J(f1, f(a)) = J(f, a)1

On appelle |J(f, a)| jacobien de f en a et on le note :

Df(a) ouDf

Dxou

D(f1,...,fn)

D(x1,...,xn)

Theorme 1.1.4 (Thorme dinversion locale). Soit f : U Rn une applicationC1 (U Rnun ouvert), a U. Supposons que Df(a) = 0. Alors il existe des ouverts V et W de Rn tel quea V, f : V W est unC1-diffomorphisme.

Exemple 1.1.1.

f(x) =

x + x2 sin 1x

si x = 0

0 si x = 0f(0) existe et f(0) = 1. Or dans nimporte quel voisinage de 0, f(x) oscille et prend les valeursdes deux signes. Donc il ny a pas de voisinage de 0 o f est monotone. Donc il ny a pas devoisinage de 0 dans lequel f soit inversible.

Remarque. La rciproque du thorme dinversion locale est fausse. Si f : U Rn, a U, fest diffrentiable en a. Df(a) = 0 des ouverts V, W Rn tel que a V et f : V W estune bection.

Theorme 1.1.5 (Thorme dinversion globale). Soit f : U Rn une application injectivede classe C

1

(U Rn

un ouvert). Si Df(x) = 0, U alors f(U) est un ouvert deRn

et f estun C1-diffomorphisme de U sur f(U).


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Theorme 1.1.6 (Thorme des fonctions implicites). SoitU RnRp = Rn+p etf : U Rp,(x, y) f(x, y) de classe C1. Soit (a, b) U et f(a, b) = 0. Si D(f1,...,fp)

D(y1,...,yp(a, b) = 0 alors il

existe deux ouverts V Rn et W Rp, (a b) V W U et pour tout x V, il existeun unique y W satisfaisant lquation f(x, y) = 0. Si on note cette solution f(x), on obtientlapplication g : V W, x g(x) de classe C1. On appelle g fonction implicite dfinie parlquation f(x, y) = 0 au voisinage de (a, b).Pour dterminer les drives partielles de la fonction implicite, on drive lidentit : f(x, g(x)) =0.

F(x) = f(x, g(x), F(x) = 0, x V Fixj

= 0

Fixj

=fixj

+p

k=1

fiyk

gkxj

= 0

fiy1

f1yp

......

fpy1 fpyp

g1xj

...gpxj

=

f1xj

...fpxj

g1xj

...gpxj

au point a

=

f1y1

f1yp

......

fpy1

fpyp

1

au point (a,g(a))

f1xj

...fpxj

Exemple 1.1.2. C = {f(x, y) = 0}, f(x, y) = x2 + y2 4. fy

(a, b) = 0 la tagnete nest pasverticale.

Fig. 1.2 Illustration du thorme des fonctions implicites

Au voisinage de A, C est le graph dune fonction implicite g(x). On peut choisir V =]1, 1[et W = R+ et g(x) =

1 x2.

Au point B(1, 0), on a fx

= 0 et on peut dire que lquation f(x, y) = 0 dfinit la fonctionimplicite x = h(y).

h(y) = fy

fx


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1.2 Application de changement de variations la rso-

lution dEDP

Dfinition 1.2.1 (Equation aux drive partielles linaires du premier ordre).

a1f

x1+ ... + an

f

xn= b (1)

a1,...,an, b : U Rn un ouvert. b = b(x1,...,xn), f) est une variante, b : U R R, f :fonction inconnue, f : U R.

Rsoudre (1) Trouver toutes les fonctions f : U R diffrentiables dans U qui satisfaitlquation (1).

Mthode Trouver un changement de variables tel que (1) devient :

anf

yn = b (2)

o f = f h an, b : V R (o b : V RR).

Rsolution de (2)

f = b

andyn

une primitive de ban

en tant que fonction en yn

+ (y1,...,yn1) constante dintgration

est une fonction diffrentiable arbitraire du reste des variables.

Remarque.f

y2= b

[Voir Fig 1.3] Dans I :

f = f0 + I(y1)


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Dans II :

f = f0 + II(y1)

Dans III :

f = f0 + II I(y1)

I, II, II I fonctions arbitraires diffrentiables soumises aux conditions de raccord sur r.

Exemple 1.2.1. Dterminer toutes les solutions de lquation diffrentielle :

(1) : yf

x xf

y= 0 sur R2\{(0, 0)}

Approche gnrale pour rsoudre

aif

xi= b, on cherche les coordonnes (y1,...,yn) tel

que les lignes de coordonnes yn = const sont les courbes intgrales du systme dquationsdiffrentielles ordinaires.

dx1a1 = ... =

dxnan

ai = ai(t)dxidt

= ai

t = yn (nouvelles coordonnes) et (y1,...,yn) : point dintersection dune courbe intgrale avec

les hyperplans fixes de Rn.

(y1(A), y2(A) = x1, t)

x1 = x1( xnt=xn

)

...

xn1 = xn1(xn)

x1 =a1an

...

xn1 =an1an

Dans notre cas (Exemple 1.2.1.) : dxy

= dyx

; xdx + ydy = 0 avec d(x2 + y2) = 0. Les courbes

intgrales sont x2 + y2 = cste. Les coordonnes polaires conviennent.

x = r cos y = r sin r =

x2 + y2

= arctan

y

x + k si x = 0 = arctan xy

+ k si y = 0


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f = f(r cos , r sin )

f

=

x

f

x+

y

f

y

= r sin fx

+ r cos f

y= y f

x+ x

f

y

yf

x x f

y= 0 f

= 0 f(k, ) = k(r)

o k :]0, +[ R fonction de classe C1

f(x, y) = k(

x2 + y2)

Lapplication ]0, +[]0, [, x x2 est un C1-diffomorphisme k(x2 + y2) = k(x2+y2)avec k :]0, +[]0, [ fonction quelconque de classe C1.

f(x, y) = k(x2 + y2) est une autre reprsentation graphique de la solution gnrale de (1).

Exemple 1.2.2. Trouver la solution de (1) :

((1) : 2xf

x yf

y = 0

dfinie sur le demi plan x > 0 et telle que f(1, y) = y2. Equations diffrentielles ordinaires :

dx

2

x= dy

y dy

dx=

y2

xy = y(x)

x + C1 = ln |y| (en supposant que y(x) = 0)

(3) : y = Cex (C = eC

1

ou C = 0)

Nouvelles coorodnnes : (u, v), f(u, v) = f(x(u, v), y(u, v)). uA = xA et vA = C, la constantede la courbe intgrale laquelle appartient A.


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Pour dterminer C, on substitue xA, yA dans lquation (3) :

yA = CexA C = yAe

xA

(uA, vA) = (xA, yAexA)

Le changement de coordonnes h : (x, y) (u, v) = (x,yex). On vrifie facilement queh C1, changement de coordonnes de U sur V avec V = {(x, y)|x > 0}.

Linverse : u = xv = yex

x = uy = vex = veu

f

u=

f

x

x

u+

f

yyu =

f

x+

f

y

1

2

uve

u

=f

y y

2

x

f

y=

1

2

x v=0 dans U

2

xf

x y

Donc : (1) (2) : fu = 0.Solution gnrale : f(u, v) = k(v), k : R R quelconque diffrentielle.

f(x, y) = f(yex)

et :

f(1, y) = k(ye) = y2

t

e

2

f0(x, y) = yex

e2 = y2e2

x2


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1.3 Fonctions de classe CpSoit U Rn un ouvert de Rn. f : U R.

Dfinition 1.3.1 (Dfinition rccurente des drives partielles dordre p N). 1) Drive par-tielle dordre 0 est f elle-mme.

2) Soit p 0 et supposons que la drive partiellepf

xi1...xip soit dj dfinies en tant que fonc-

tion U R o i = (i1,...,ip) {1,...,n}p. Soit i0 {1,...,n}, a U. Si pf

xi1 ...xipadmet

une drive partielle en a par rapport xi0, on dfinie la drive partielle :p+1f

xi0xi1...xip(a)

dordre p + 1 comme :

xi0

pf

xi1 ...xip

(a).

Remarque. Pour que les drives partielles dordre p + 1 existent en a, il est ncessaire que lesdrives partielles dordre p existent dans un voisinage de a.

Lemme 1.3.1 (Lemme de Schwartz). Soit U Rn un ouvert, f : U R une fonction,(i, j) {1,...,n}2. Supposons que

2f

xixj,

2f

xjxiexistent dans un voisinage dun point a U

et soient continues en a. Alors :

2f

xixj(a) =

2f

xjxi(a)

Dmonstration. Soit H le plan passant par a paralllement aux axes de coordonnes xi, xj etv(xi, xj) = f

|H. Alors :

2f

xy=

2f

xy

H

2f

xjxi=

2f

xjxi

H

Donc on peut supposer que n = 2, i = 1 et j = 2. Notons :

A = f(a1 + h1, a2 + h2) f(a1 + h1, a2) + f(a1, a2)

(xi) = f(a1, a2 + h2) f(a1, a2)Si a = (a1, a2), h = (h1, h2) R2, on suppose h assez petit de sorte que les derives partielles

2

fx1x2

, 2

fx2x1

existent aux points du rectangle de sommets (a1, a2), (a1 + h1, a2), (a1, a2 + h2)

et (a1 + h1, a2 + h2). On applique le thorme des accroissements finies (xi) sur le segmentaux extrmits a1, a1 + h1, ]0, 1[ :

A = (a1 + h1) (h1) h1(a1 + h1) = h1

f

x1(a1 + 1h1, a2 + h2) f

x1(a1 + h11, a2)

Par le mme thorme appliqu f

x1(a1 + 1h1, .) sur le segment aux extrmits a2, a2 + h2.

2

]0, 1[ :

A = h1h2 2f

x2x1(a1 + 1h1, a2 + 2h2) (1)


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En permutatnt les rles de x1, x2, on obtient (1, 2) ]0, 1[

A = h1h22f

x1x2(a1 + 1h, a2 + 2) (2)

On conclut en passant la limite (h1, h2) = (0, 0) dans les formules (1) et (2).

Exemple 1.3.1. f : R2

R :

f(x, y) =

xy(x22)x2 + y2

si (x, y) = (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

On calculer :2f

xy(0, 0) = 1 = 1 =

2f

yx

On en conclut que au moins une des drives partielles 2f

xy,

2fyx

est discontinue en (0, 0).

Dfinition 1.3.2. f : U R est de classe Cp si toutes les derives partielles dordre p de fexistent et sont continues dans U.

Corollaire. Si f est de classe Cp dans U alors pour toute permutation Sp et pour toutfamille (i1,...,ip) = {1,...,n}p on a :

pf

xi(1)...xi(p)=

pf

xi1...xip

Dmonstration. On utilise le Lemme 3.3.1. plus le fait que la transpositions (12), (23), ..., (p+1, p) engendrent Sp.

1.4 Formule de Taylor

Dfinition 1.4.1. Soit U Rn un ouvert et a U, f : U R une fonction admettant lesderives.partielles dordre p en a, o p N. Alors la diffrentielle dordre p de f en a est laforme p-linaire dpf(a) : Rp R :

(h1,...,hn) i{1,...,n}p

pf

xi1 ...xip(a)hi1...hip

Si f est Cp au voisinage de a, on peut simplifier la formule.

dpf(a) : (h1,...,hn)

j10,...,jn0;j1+...+jn=p

p!

j1!...jn!hj11 ...h

jnn

En particulier

d1f(a) = df(a) = (h1,...,hn) n

i=1

f

xi(a)hi

d2f(a) = (h1,...,hn) n

i=1

nj=1

2f

xixj(a)hihj ()

Si f C2

() =n

i=1

2f

x2i (a)h2

1 + 2 1i,jn2f

xixj hihj


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Theorme 1.4.1 (Formule de Taylor-Lagrange lordre p1). SoitU Rn un ouvert, p N,a U, h Rn tel que [a, a + h] U. Soit f : U R une fonction de classe Cp. Alors il existe ]0, 1[ tel que :

f(a + h) = f(a) +p1k=1

1

k!dkf(a)(h) +

1

p!dpf(a + h)(h)

En particulier A lordre 0, f est de classe C1, ]0, 1[ :

f(a + h) f(a) = df(a + h)(h) =n

i=1

f

xi(a1 + h1,...,an + hn)

Cest la formule daccroissements finies.A lordre 1, f C2, ]0, 1[ tel que :

f(a + h) = f(a) +n

i=1

f

xi(a1,...,an)(hi)

+1

2! n

i=1

2f

x2i (a1 + h1,...,an + hn)hi + 2

1i,jn(ai + 1h1,...,an + nhn)hihj

Dmonstration de la formule de Taylor-Lagrange lordre 1.

Remarque. U Rn un ouvert, f : U R de classe C2, a U, h Rn tel que [a, a + h] U.

f(a + h) = f(a) + df(a)(h) +1

2d2f(a + h)(h)

Soit une fonction auxilaire a une variable :

:[0, 1] R

(s) = f(a + sh)

est la compose de f avec : [0, 1] U, (s) = a + sh. On a que : C (cest--dire, Ck, k N. f C2 C2. On calculer les derives de :

(s) =n

i=1

f

xi( a + sh a1sh1+...+anshn

)hi = df(a + sh)

(s) =n

i=1

n

j=1

2f

x1xj(a + sh)hj

hi = d2f(a + sh)(h)

Formule de Taylor Lagrange lordre 1 pour ;

]0, 1[: (1) = (0) + (0) + 12

()

f(a + h) = f(a) + df(a)(h) + 12

d2f(a + h)(h)

Theorme 1.4.2 (Formule de Taylor-Young lordre p). Soit U Rn un ouvert, p N,a U et f : U R une fonction de classe Cp. Alors il existe une fonction : U R tel quelimxa (x) = 0 et :

x U, f(x) = f(a) +p

k=1

1

k!dk

f(a)(x a)k

+ x ap

(x)


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Dmonstration. On dfinit par (x) = 0 et par la formule x = a, r > 0 tel que :

B(a, r) = {x Rn | x a < r} U

et pour tout x B(a, r), on peut appliquer le Thorme 1.3.1. avec h = x a.

]0, 1[, (x) =1

p! i={1,...,n}p

pf

xi1...xip (a + h) pf

xi1...xip (a) hi1...hiphp

On a que : hi1...hiph < 1

et :f

xi(a + h) f

xi(a) 0 lorsque h 0

car f Cp.


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Chapitre 2

Surfaces

2.1 Surfaces paramtres

2.1.1 De dimension 1

Dfinition 2.1.1 (Chemins et arcs). Un chemin (respectivement un arc) de Rn est une appli-cation continue :

: I Rnt (t) = (x1(t),...,xn(t))

o I = [a, b] (respectivement I =]a, b[).Limage (I) sappelle support gomtrique du chemin (ou de larc).Si est diffrentiable, on appelle (t) vecteur vitesse au moment t. Mme si est de classe

C1, na toujours pas de droites tangentes en tous ses points.Exemple 2.1.1. (t) : (t2 1, t(t2 1))

Fig. 2.1 Il ny a pas de droites tangentes au point P. nest pas injectif.

Exemple 2.1.2. Pour : t (t2S(t), t2) avec S(t) =

1 si t > 0

0 si t = 0

1 si t < 0. On a que (0) = 0.

[Fig 2.2]

Exemple 2.1.3.Pour : t (t

2

, t

3

), il y a un point de rebroussement en P. Donc il ny a pasde droite tangent en P. [Fig 2.3]

16


17/63

Chapitre 2. Surfaces 17

Fig. 2.2

Fig. 2.3

Fig. 2.4

Exemple 2.1.4. Un arc peut sapprocer indfiniment dun de ses points. [Fig 2.4]

Dfinition 2.1.2. Un chemin ou un arc : IRn est dit rgulier si les proprits suivantes sontvrifis :

(i) est injective.

(ii) est de classe C1(iii) (t) = 0, t I(iv) Linverse de , = Im I est continue.

Remarque. On peut dvelopper (iv) comme suit :

> 0, > 0, 1(B((t0), ) Im ) ]t0 , t0 + [


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18 Chapitre 2. Surfaces

(continuit de 1 en (t0))

Exemple 2.1.5 (Retour sur lExemple 2.1.4.). La courbe dfinie en Exemple 2.1.4. nesatisfait pas la quatrime proprit. [Fig 2.5]

Fig. 2.5

Remarque. La condition (iv) est superflue pour un chemin (cest--dire si I = [a, b]). En fait

1) Limage dun compact (de Rn) par une application continue ( valeurs dans Rp) est uncompact. Un segment [a, b] est un compact, donc le support gomtrique Im dun chemin : [a, b] Rp est un compact.

2) Si K Rn et L Rn sont des compacts et f : K L une bection continue alorsf1 : L K est aussi continue.

Dfinition 2.1.3. La droite tagente un chemin (ou un arc) rgulier : I Rn en un pointP Im est la droite TP(Im ) ou TP passant par P dans la direction du vecteur (tp) otp =

1(P)

I.

2.1.2 Passage la dimension 2

On paramtre les surfaces par des ouverts connexes de R2.

Dfinition 2.1.4. Un ouvert U de Rn est dit connexe si (P, Q) U2, il existe un chemin : [a, b] Rn tel que (a) = P, (b) = Q et ([a, b]) U.Exemple 2.1.6. Exemple douvert connexe et non connexe.

Fig. 2.6

Dfinition 2.1.5. (a) Une surface paramtre de R3 est la donne dun couple (U, ), o Uest un ouvert connexe de R2 et : U R3 est une application de classe C1 tel qued(a) : R2 R3 est injective a U.

(b) Une surface paramtre : UR3 est dite rgulire si :

(i) est injective.


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(ii) 1 : Im U est continue.(c) Limage Im = (U) sappelle support gomtrique de (U, ).

(d) Une partie de R3 sappelle surface sil existe une surface paramtre (U, ) tel que = Im la surface paramtre (U, ) sappelle paramtrage de .

(e) Une partie R3 sappelle surface localement regulire sil existe un paramtrage (U, )de avec la proprit suivante :

P , VP R3 (ouvert) tel que P VP et UP de U tel que (UP, |UP) soit unesurface paramtre regulire de support gomtrique VP.

Dfinition 2.1.6. Soit (U, ) une surface paramtre regulire, P Im . Le plan tangentTP(Im) est le plan de R

3 passant par P et parallle d(a)(R2) o (a) = P.

: (u, v) (x(u, v), y(u, v), z(u, v))Matrice de d(a) :

u(a) =

u

(a) =

xu

(a)yu

(a)

zu (a)

v(a) =

v(a) =

xv

(a)yv

(a)zv

(a)

J(a) =

u(a) v(a)

d(a) injective rg J(a) = 2 u(a), v(a) sont linairement indpendant.

Equations paramtriques de TP(Im) a = (ua, va) et P = (xP, yP, zP)

r = OP + su(a) + tv(a) (s, t) R2

x = xP +x

u(a)s +

x

v(a)t

y = yP +y

u(a)s +

y

v(a)t

z = zP +z

u(a)s +

z

v(a)t

(s, t) R2

Equation cartsienne de TP(Im ) n P = (nP,x, nP,y, nP,z) vecteur normal au point P =(a).M TP(Im) = nP,x(x xP) + nP,y(y yP) + nP,z(z zP)

ou P M.n = 0

Pour n P, on peut prnedre :n P = u(a) v(a) =

yu

yv

zu

zv

,zu

zv

xu

xv

,xu

xv

yu

yv

ou

P = n P

n P (normale unitaire)


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Remarque. Lqution cartesienne revient calculer :

x xP y yP z zP

xu

yu

zu

xv

yv

zv

2.1.3 Changement de paramtrage

Dfinition 2.1.7. Soit (U, ) une surface paramtre, V un ouvert de R2 et f : V U un C1-diffomorphisme. Alors (V, f) est une surface paramtrique de mme support gomtriqueet on dit quelle est obtenue par le changement de paramtrage (changement de paramtres) f.

Un changement de paramtrage f est direct (respectivement indirect) si Df > 0 (respecti-vement Df < 0).

Lemme 2.1.1. Soit (U, ) une surface paramtre rgulire et P Im . Alors Tp(U) estinvariant par les changements de paramtrage. La normale unitaire P est invariante par leschangements directs et anti-invariant (=multiplie par

1) lors des changements de param-

trage indirects.

Dmonstration. = f

s t

J

=u v

J

us

ut

vs

vt

Jf

Donc :s,

t engendrent les mmes plas par

u,

v. (

s,

t) et (

u,

v) sont deux bases de ce

plan relie par la matrice de passage Jf.

s t

n,P= Df

u v ,P = S(Df),P


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2.2 Surfaces paramtres

2.2.1 Sphre de rayon R

Rappel. Lquation dune sphre de rayon R est :

SR : x2 + y2 + z2 = R

Le paramtrage dune sphre de rayon R est :

(u, v) = (R sin u cos v, R sin u sin v, R cos u)

:]0, 1[R R3

Im = SR\{P+, P} o P+, P correspondent aux ples.

Fig. 2.7 Sphre de ple P et P+.

n = u v = R2 sin u nest pas injective (u, v) = (u, v + 2k) (k Z). Pour obtenir une surface paramtre

regulire, il faut diminuer le domaine de dfinition de :

=]0, []0, 2[ R

Im : le complmentaire de larc form du mridian v = 0 joignant P et P+.

2.2.2 Gnralisation : surfaces de rvolution

Soit = Im Oyz : ]a, b[ R3

t (0, f(t), g(t))

(t, ) = (f(t)cos , f(t)sin , g(t))

:]a, b[

R

R3

(Idem pour Oxy,(t) = (f(t), 0, g(t)))


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Fig. 2.8 Surface de rvolution

2.2.3 Hyperboloide de rvolution une nappe

: x = 0,y2

a2 z

2

c2= 1, y > 0

La paramtrisation est :

y > 0, (t) = (0, cosh t, c sinh t), t R

Fig. 2.9 Hyperboloide de rvolution une nappe

(t, ) = (a cosh t cos , a cosh t sin , c sinh t)

2.2.4 Hyperboloide de rvolution deux nappes

+ : x = 0,y2

a2+

z2

c2= 1, z > 0, y > 0

+(t) = (0, a sinh t, c cosh t), t ]0, +[

+(t, ) = (a sinh t cos , a sinh t sin , c cosh t)


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Fig. 2.10 Hyperboloide de rvolution deux nappes

+ :]0, +[R R3

Im + : le complmentaire du ple nord dans la nappe supprieure.Equation cartsienne :

x2 + y2

a2 z

2

c2= 1 (z > 0)

La nappe infrieure :(t) = (0, a sinh t, c cosh t)

(t, ) = (a sinh t cos , a sinh t sin , c cosh t)

2.2.5 Tore

= C(A, r) Oxz, A = (R, 0, 0), O < r < R.(t) = (R + r cos t, 0, r sin t)

Fig. 2.11 Tore

: R2 R3(t, ) = ((R + r cos t)cos , (R + r cos t)sin , r cos )

(t, ) = (t + 2k, + 2l), (k, l) Z2. Pour obtenir une surface rgulire, on peut prendre larestriction de ]0, 2[]0, 2[. Dans ce cas, le support gomtrique sera le complmentairedes deux cercles.


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2.2.6 Graphe dune fonction

Soit : : D R

(x, y) (x, y)avec D R2 ouvert connexe. Le paramtrage standard du graphe G de :

: D R3(x, y) (x,y,(x, y))

Localement, toute surface paramtre est le graphe dune fonction.

Proposition 2.2.1. Soit (U, ), tel que :

: (u, v) (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

est une surface, a = (ua, va)

U, P = (xP, yP, zP) = (a)

n P = u(a)

v(a). Supposons

que n P,z = 0. Alors il existe deux ouverts connexes : Ua et D de R2 tel que a Ua U,(xP, zP) D et une fonction : D R de classe C1 avec les proprits suivantes :1) (Ua) concide avec le graphe G de ((Ua) = G)

2) (Ua, |Ua) sobtient partir du paramtrage standard (D, ) du graphe de par le change-ment de paramtrage

f : Ua D(u, v) x(u, v), y(u, v) ()

Dmonstration. Si :

nP,z =D(x, y)D(u, v)

= 0

alors on peut appliquer le thorme dinersion locale. Il exsite des voisinages ouverts connexes(a )Ua, ((xP, yP) )D tel que () est un C1-diffromorphisme Ua D. On pose :

(x, y) = z(u(x, y), v(x, y))

o (x, y) (u(x, y), v(x, y)) est f1 : D Ua et (u, v) z(u, v) est la troisime composantede .

2.3 Surface de niveau

Dfinition 2.3.1. Soit F : U R une fonction C1 dfinie sur un ouvert connexe U de R3, F(U) R fix. Lensemble :

= {(x,y,z) U| F(x,y,z) = }

sappelle surface de niveau de F. On dit que est donn par lquation cartsiennes F = .

Dfinition 2.3.2. Soit A . On dit que A est un point singulier de si df(A) = 0. SinonA est dit rgulier.


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Fig. 2.12 Il y a un point singulier en O

Exemple 2.3.1. Le sommet du cne x2 + y2 = z2

F = z2 x2 y2, d(F)(0) = 0

O est un point singulier. Une consquence gomtrique est labsence dun plan tangent en O.Un cas particulier dune surface de niveau : le graphe dune fonction . Lquation cartesiennedu graphe :

F(x,y,z) = 0 o F(x,y,z) = z (x, y)En gnral : toute surface de niveau localement au voisinage de chacun de ses points rguliers,est le graphe dune fonction (quitte permutter les coordonnes x,y,z).

Proposition 2.3.1. Soit F : U R une fonction C1 dfinie sur ouvert connexe U de R3,A(a,b,c) un point rgulier de la surface de niveau de F associ F(U). Lune des troisdrives partielles de F en (a,b,c) est donc non nulle. Supposons que f

z(a,b,c)

= 0. Alors il

existe :1) un ouvert connexe V de R2 tel que (a, b) U.2) un intervalle ouvert I de R tel que c I, V I U.3) une fonction f : V I de classe C1 tel que pour tout (x, y) V, lquation F(x,y,z) =

ait une et une seule fonction z dans I, gale f(x, y).

En particulier, c = f(a, b) et (V I) concide avec le graphe de la focntion f : V R.Dmonstration. Cest une reformulation du thorme des fonctions implicites.

Plan tangent P , P = (a,b,c) un point singulier.

TP =F

x(a,b,c)(x a) + F

y(a,b,c)(y b) + F

z(a,b,c)(z c) = 0 ()

(ou bien dF(P)(P M) = 0 o M = (x,y,z))

Vecteur normal

n =

f

x(P),

f

y(P),

f

z(P)

=

grad F

Tout multiple kgrad F (k R) est aussi un vecteur normal.


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Normal unitaire

P = n P

n P = grad F

grad FLe vecteur normal avec le signe "+" pointe dans le sens de croissance de F.

Fig. 2.13 Direction de la normale unitaire

Forme vectorielle de lquation TP

n P.P M = 0

Cas particulier du graphe

: z f(x, y) = 0, P , P = (a,b,c), c = f(a, b).

TP : z = c +f

x(a, b)(x a) + f

y(a, b)(y b) ()

() sobtient de () pour F(x,y,z) = z f(x, y).

Vecteur normale

n = kgrad F = kf

x, f

y, 1

(k R)

Normal unitaire

P = fx

, fy

, 1

fx

2+

fy

2+ 1

Lorientation stantard du graphe est le choix de la normale avec le signe "+".

Remarque. Le graphe dune fonction de classe C1 na pas de points singuliers.

2.4 Extremas

2.4.1 Extremas locaux

Dfinition 2.4.1. Soit U Rn un ouvert, f : U R une fonction. Un point P U est unmaximum local de f sil existe un ouvert V U contenant P tel que f(M) f(P), M V.On dfinit de faon analogue un minimum local. Lexpression "extremum local" dsigne luende ces deux notions.


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Dfinition 2.4.2. Si f : U R est diffrentiable les points de P de U o df(P) = 0 sappellepoints critiques de f.

Proposition 2.4.1. Si f : U R est diffrentiable alors tout extremum local de f est un pointcritique.

Remarque. Il est essentiel que U soit un ouvert.

Dfinition 2.4.3 (Matrice hessienne). Soit P U. On suppose que f C2. La matrice hessienede f en P est :

HP = (hij) =

2f

xixj(P)

On appelle hessien le dterminant HP.

Dfinition 2.4.4. Un point critique P dune fonction de classe C2 est non dgnre si det HP =0.

Dans ce cas, lallure du graphe de f dans un petit voisinage de P est dtermine par HP(ou par d2f(P)). En particulier, on peut dcider si P est un extremum en se basant sur les

proprits de HP uniquement.

d2(f)(P)(1,...,n) =i,j

hijij =

1 n

HP

1...

xn

P est un maximum local si HP > 0 (HP est dfinie positive, cest--dire :(1,...,n) Rn\{0},

hijij > 0

P est un minimum local si HP < 0 (HP est dfinie ngative, cest--dire

(1,...,n) Rn\{0},

hijij < 0

P nest pas un extremum (on dit que P est un point selle) si la forme quadratique(1,...,n) hijij prend des valeurs de deux signes.

Le cas n = 2

HP =

h11 h12h21 h22

(h21 = h12)

Classification des points critiques non dgnre :

1) h11 > 0, det HP = h11h22 h212, alors il est un minimum local.

2) h11 < 0, det HP > 0 alors P est un maximum local.

3) det HP < 0, P est un point selle.

2.4.2 Extrema lis

Problme. f, g : U R, (U un ouvert de R3), f et g de classe C1. Dterminer les extremalocaux de f soumise la contrainte g = 0.

Deux approches :

1) Paramtrer la surface g = 0 par une application : V R3

(V R2

) et le problme serduit la recherche dextrema locaux habituels (non-li) de f .


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2) Mthode de multiplicateurs de Lagrange.

Proposition 2.4.2. Les extrema lis de f soumises la contrainte g = 0 se trouvent parmiles points P de la surface dquation g = 0 o df(P) dg(P) (les points P o df(P) = 0 oudg(P) = 0).

Pour trouver les points rguliers de (cest--dire les points avec dg(P) = 0) satisfaisant df(P)

dg(P), on rsout le systme dquations :

df(P) = dg(P)g(P) = 0

f

x(x,y,z) =

g

x(x,y,z)

f

y(x,y,z) =

g

y(x,y,z)

f

z(x,y,z) =

g

z(x,y,z)

g(x,y,z) = 0

Exemple 2.4.1. Dterminer le paralllpipde inscrit dans lellipsoide x2

a2+ y

2

b2+ z

2

c2= 1 aux

arrtes parallles aux axes de coordonnes, de volume maximal.

Les sommets sont de la forme (x0, y0, z0) o (x0, y0, z0) se trouve dans le premieroctant (x0 > 0, y0 > 0, z0 > 0). Donc on a trouv le maximum de la fonction f(x,y,z) = 8xyz

soumise la contrainte g(x,y,z) = 0 o g(x,y,z) = x2

a2+ y

2

b2+ z

2

c2 1 alors louvert U =

{(x,y,z) R3, x0 > 0, y0 > 0, z0 > 0}. On montre que f atteint son maximum dans = U. SoitK = {(x,y,z) R3 | x 0, y 0, z 0, g(x,y,z) 0}.

K est ferm (si f1,...,fr : Rn R sont des fonctions continues alors la partie de Rndfinie par les conditions de lun des trois types, fi 0, fi 0 et fi = 0, pour i = 1...n,est ferme).

K est borne (K [0, a] [0, b] [0, c])Donc : K est compact et f fonction continue atteint son maximum sur K en un point P K :

K = K0 K1K0 = U K, K1 = {(x,y,z) K| xyz = 0} = K\K0}

Alors f = 0 aux points de K1 et f > 0 aux points de K0. Donc le point de maximum P de fsur K ne se trouve pas dans K1. Donc P K0. Puisque dg =

2xa2

, 2yb2

, 2zc2

ne sannule pas dans

U, le point P = (x,y,z) nobtient comme solutions du systme :

f

x(x,y,z) =

g

x(x,y,z)

f

y(x,y,z) =

g

y(x,y,z)

f

z(x,y,z) =

g

z(x,y,z)

g(x,y,z) = 0

8yz = 2 xa2

8xz = 2 y

b2

8xy = 2 zc2

x2

a2+ y

2

b2+ z

2

c2= 1

2x2

a2= 2

y2

b2= 2

z2

c2

x = 0 car (x,y,z) U. Donc :x2

a2=

y2

b2=

z2

c2=

1

3

Do : P = a3 , b3 , c3.


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Chapitre 3

Intgrales multiples

3.1 Gnralits sur lintgrale de Riemann

Soit :

A f(x1,...,xn)dx1...dxnavec A Rn une partie R-mesurable (mesurable au sens de Riemann), f : A R (of : D Ro D A), R-intgrable sur A.Dfinition 3.1.1. Un pav (ferm) est un produit dintervalles (ferms). Le volume du pavQ =]a1, b1[...]an, bn[ (mesure du pav si intervalles ferms) est le produit des longueurs delintervalle :

(Q) = vol(Q) =n

i=1

(bi ai)

Dfinition 3.1.2. Une partie de A de Rn est dite ngligeable (de mesure nulle) si pour tout > 0, il existe une famille finie ou dnombrable de pavs (Qi)iI tel que :

1) A iI

Qi

2)iI

(Qi) <

Dfinition 3.1.3. Une partie A de Rn est mesurable si elle est borne (cest--dire contenuedans un pav) et si la frontire A de A est de mesure nulle.

D = {P Rn | > 0, B(P, ) D = , B(P, ) DC = }

int(D) =

D= {P D | > 0 : B(P, ) D}ext(D) = (

D)

C

Dfinition 3.1.4. Une fonction f : D R (D A Rn) est intgrable sur A si A estmesurale, f est borne et lensemble des points de discontinuit de f contenus dans A est demesure nulle.

Proposition 3.1.1. (i) Un ensemble fini ou dnombrable A Rn est de mesure nulle.(ii) La runion finie ou dnombrable des parties de Rn de mesure nulle est de mesure nulle.

(iii) sI B A et A est de mesure nulle alors B est de mesure nulle.

29


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30 Chapitre 3. Intgrales multiples

(iv) Soit m < n, U Rm un ouvert, : U Rm de classe C1. Alors (U) est de mesurenulle dans Rn.

Theorme 3.1.2. Soit Fn lensemble des couples (A, f) o A est une partie R-mesurable, fune fonction dfinie sur une partie de Rn contenant A et R-intgrable sur A. Alors, il existeune et une seule application

: Fn R

: (A, f) A

f(x1,...,xn)dx1...dxn

satisfaisant les proprits suivantes :(I1) Normalisation : pour un pav Q,

1dx1...dxn = (Q)

(I2) Linarit : si , R, (A, f), (A, g) Fn alors (A,f+ g) Fn et :A

(f + g)dx1...dxn = A

f dx1...dxn + A

gdx1...dxn

(I3) Monotonie : (A, f), (A, g) Fn, f g A

f dx1...dxn A

gdx1...dxn

(I4) SiA, B sont deux parties mesurables de Rn tel que AB est ngligeable et(AB, f) Fnalors :

ABf dx1...dxn =

A

f dx1...dxn +B

f dx1...dxn

Consquence. (I5) Si (A, f), (A, g) Fn et il existe une partie ngligeable E de Rn tel queE A et f(x) = g(x), x A\E, alors :

Af dx1...dxn =

A

gdx1...dxn

Attention :. On ne peut pas dire : "Si (A, f) Fn, E A ngligeable alors on peut changerles valeurs de f aux points de E de faon arbitraire sans changer lintgrale

A f dx1...dxn".

Cette dernire affirmation est fausse.

Exemple 3.1.1. A = [0, 1] R, n = 1, E = Q [0, 1], f = 0 :A

f dx = 0

Soit :f(x) =

0 si x [0, 1]\E1 si x E

On a modifi les valeurs de f aux points de lensemble E de mesure nulle. Or la fonction fainsi obtenue nest pas intgrable : lensemble de ses points de discontinuit est [0, 1] (nonngligeable).

(I6) (Thorme des valeurs intermdiaires) Soit (A, f) Fn, A convexe et f continue. Alorsa A :

A f dx1...dxn = f(a)(A)o (A) =

A dx1...dxn.


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Chapitre 3. Intgrales multiples 31

Theorme 3.1.3 (Thorme de Fubini ou de rduction des intgrables multiples aux intgralesitres). SoitRn = Rp Rq (p + q = n), A Rn mesurable, f : A R intgrable sur A. SoitC Rq lensemble detous les points y Rq satisfaisant aux conditions :

(i) lensemble By = {x Rp | (x, y) A} est non vide et mesurable dans Rp.(ii) la fonctionfy : By R, fy(x) = f(x, y) est intgrable sur By.

Alors C est mesurable dans Rq et on a :A

f(x, y)dx1...dxpdy1...dyq =C

By

f(x, y)dx1...dxp

dy1...dyq

Theorme 3.1.4. SoitRn = Rp Rq (p + q = n), B Rp, C Rq, des parties mesurables,f : B R g : C R fonctions intgrables. Alors la fonctionF : BC R, (x, y) f(x)g(y)est ussi intgrale sur B C et :

BCf(x)g(y)dx1...dxpdy1...dyq =

B

f(x)dx1...dxp

C

g(y)dy1...dyq

3.2 Calcul dintgrales multiples

3.2.1 Par le thorme de Fubini

Exemple 3.2.1. Dterminer le volume V du solide E dlimit par la sphre de centre O et derayon 2 et par la prabolode 3x = x2 + y2 situ lintrieur de la parabolode. Lintersection

Fig. 3.1 Figure de lExemple 3.2.1

3z = x2 + y2 = 4 z2 z3 + 3z 4 = 0, z > 0, z = 1, x2 + y2 = 1.C = projection de E sur Oz = [0, 2]

Bz = section de E par le plan z = cste

Pour 0 z 1, Bz est le disque de rayon

3z. pour 1 z 2, Bz est le disque de rayon4 z2.

V =E

dxdydz =C

Bz

dxdy

dz =20

(Bz)dz

= 10

3zdz + 21

(4 z2)dz = 196


32/63

32 Chapitre 3. Intgrales multiples

3.2.2 Changement de variables

Theorme 3.2.1. Soit : U V une application injective entre deux ouverts de Rn de classeC1 et soit f : V R une fonction continue. Soit A U une partie mesurable de Rn. Alors(A) est aussi mesurabel et :

(A) f(x1,...,xn)dx1...dxn = A f((t1,...,tn) D((t1..., tn))

D(t1,...,tn)(t1,...,t

n) dt1...dtn

Remarque. La proposition est encore vraie si nest pas injective mais U, V contiennent desparties ngligeables E1, E2 tel que f|U\E1 : U\E1 U\E2 soit injective.

Exemple 3.2.2. Dterminer le volume V de lintersection du cne plane z =

x2 + y2

tan (0

2

) et la boule x2 + y2 + z2 R2.Coordonnes sphriques : (E)

x = r sin cos

y = r sin sin z = r cos

0

r

R

0 0 2

D(x,y,z)

D(r,,)= r2 sin

V =E

dxdydz =E

r2 sin drdd

=2

0d

0

sin dR

0r2dr

= 2

cos

0

r3

3

R0

= 2R3

3(1 cos )

3.2.3 Symtries

Theorme 3.2.2. Soit : Rn Rn automorphisme linaire de Rn, : (x1,...,xp, xp+1,...,xn) (x1, ...,xp, xp+1,...,xn) et A Rn inversible el que (A) = A. Si f : A R une fonctionanti-invariante par rapport , cest--dire f = f, alors A f = 0.

Changement de variables :

: A f dx1...dxn = (A)=A f dx1...dxn = A f dx1...dxnExemple 3.2.3. Calculer le centre dinertie du solide E de lExemple 3.2.2. en le supposanthomogne (de masse volumique constante).

Le centre dinertie G dun solide E de masse volumique (x,y,z) est dfinie par :

xG =1

m(E)

E

(x,y,z)xdxdydz

yG =1

m(E)

E

(x,y,z)ydxdydz

zG = 1m(E)

E

(x,y,z)zdxdydz


33/63

Chapitre 3. Intgrales multiples 33

avecm(E) =

E

(x,y,z)dxdydz

Dans notre cas, (x,y,z) = = cste, E est symtrique par rapporte laxe Oz (la symtrie : (x,y,z) (x, y, z)). Donc xG = yG = 0.

m(E) = V(E) =

2R3

3 (1 cos )E

zdxdydz = 2

0dy

0sin cos d

R0

r3dr

= 20

sin d(sin )R4

4=

R4 sin2

4

zG =1

mE

R4 sin2

4=

3R

8

sin2()

(1 cos ) =3R

8(1 cos )

Pour = 2

, G est dans une boule, zG =3R8

.

Fig.

3.2


34/63

Chapitre 4

Champs de vecteurs et formes

diffrentielles

4.1 Champ de vecteurs

Dfinition 4.1.1. Un champ de vecteurs sur un ouvert U de R3 est la donne dune applicationv : U R. Si v : U R3 est de classe Ck, on dit que le champ de vecteurs est de classe Ck.

M(x,y,z), v (M) = (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)Dfinition 4.1.2. Soit v : U R3 un champ de vecteurs continu (de classe C0). Une courbeintgrale (=trajectoire) de v est une courbe paramtre :]a, b[ U de classe C1 tel que pourtout t ]a, b[, (t) = v ((t)).Theorme 4.1.1. Soit U R3 un ouvert, v : U R3 un champ de vecteurs de classe

C1. Alors pour tout (x0, y0, z0)

U, il existe > 0 et il existe une unique courbe paramtre

:] , [ U de classe C1 : (0) = (x0, y0, z0)(t) = v(x(t))

Remarque. 1) dans la conclusion du Thorme 4.4.1. est effectivement de classe C2.2) On peut remplacer R3 par Rn (n 1). Cas particulier : n = 2, champs polaires.3) Si on suppose v de classe C1 mais seulement C0, la conclusion du Thorme 4.4.1. ne sera

pas toujours vrifie.

Exemple 4.1.1 (n = 1). U = R, v = v,

vx) =x si x 00 si x < 0

Les courbes intgrales sont les solutions de lquation diffrentielle :

dx

dt= v(x)

Solutions x :]a, b[ R tel que x(t) > 0, t ]a, b[. Pour une telle solution, x(t) =

x(t) >

0 on peut passer la fonction inverse t(x), qui satisfait lquation t(x) = 1x

. Donc :

t(x) = dx

x= 2x + c

34


35/63

Chapitre 4. Champs de vecteurs et formes diffrentielles 35

2

x = t c 4x = (t c)2Donc :

x(t) =1

4(t + c)2 dfinie pour t > c

(x :]c, +[ R

Solution x :]a, b[

R, x(t) < 0,

t

]a, b[, (t) = 0 donc x(t) = cste.

Solution avec x(t0) = 0 nest pas unique :1) x(t) = 0, x : R R

2) x(t) =

14

(t t0)2 si t > t00 si t < t0

Fig. 4.1

4.2 Analyse vectorielle

x,

y,

z

Dfinition 4.2.1. 1) f : U R une fonction C1, le gradient de f est :

grad f = f = fx

, fy

, fz

2) v : U R3 un champ de vecteurs de classe C1, v : (P,Q,R) :

div(v ) : U Rv < , v >= P

x+ Q

x+ R

z

3)rot(v ) = v =

R

y Q

z

i +

P

z R

x

j +

Q

x P

y

k

Proprit 4.2.1. Linarit surR.


36/63

36 Chapitre 4. Champs de vecteurs et formes diffrentielles

div(fv ) = f. div(v )+ < f, v > rot(fv ) = frotv + f v rot(grad f) = 0 (cest--dire f = 0) div(rotv ) = 0 (cest--dire < , v >= 0)

Dfinition 4.2.2. 1) Le laplacien : (f) = div(grad f)

(f) ==

2f

x2+

2f

y2+

2f

z2

2) Le laplacien vectoriel :

(v ) = < , v > ( v )=

grad (div(v ) rot(rot(v))

=2vx2

+2vy2

+2vz2

4.3 Formes diffrentielles

Dfinition 4.3.1. U R3 un ouvert. On associe p(U), lespace des p-formes diffrentiellessur U, p = 0, 1, 2,.....

0(U) : fonctions sur U (champs scalaires), f : U R. 1(U) : applications declasse C1 de U dans (R3).

Rappel. Base de R3 =

x

, y

, z

alors la base dual est (dx,dy,dz) tel que :

x(dx) = 1,

x(dy) = 0,

x(dz) = 0

y(dx) = 0,

y(dy) = 1,

y(dz) = 0

z(dx) = 0,

z(dy) = 0,

z(dz) = 1

Une 1-forme dsur U scrit : w = P dx + Qdy + Rdz o P,Q,R sont des fonctions U R. 2(U) : applications C1 de U dans lespace 2(R3) des formes bilinaires alterns sur R3.

Dfinition 4.3.2. Soit E un R-espace vectoriel. Une forme bilinaire altern sur E estune application : E E R linaire par rapport chacun de ses deux arguments ettelle que : (u, v) = (v, u)(u, v) E EDfinition 4.3.3. Soit E un R-espace vectoriel, f et g deux formes linaires E R.Alors le produit extrieur (ou produit alterne) f g est la forme linaire alterne dfiniepar :

(f g)(u, v) = f(u)g(v) f(v)g(u) (u, v) E ENotation. On note lespace des formes bilinaires alterns 2E

: E E 2E(f, g)

f

g

On a : f g = g f, f f = 0.


37/63

Chapitre 4. Champs de vecteurs et formes diffrentielles 37

Si (e1,...,en) est une base de E et (f1,...,fn) la base duale de E (fi(ej) = ij) alors

(fi fj)1i


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38 Chapitre 4. Champs de vecteurs et formes diffrentielles

4.4 Loprateur cobord

Dfinition 4.4.1. Loprateur d : i(U) i+1(U) est cobord.Proprit 4.4.1. 1) f 0(U) df = f

xdx + f

ydy + f

zdz. f est une 0-forme (fonction).

2) i(U), i(U) :d(

) = d

+ (

1)i

d

3) : 0(U) i(U) i(U)

(f, ) f 4) Formule de calcul sur un rsultant :

= P dx + Qdy + Rdz i(U)d = dP dx + dQ dy + dR dz

= R

y Q

z dy dz + P

z R

x dz dx + Q

x P

y dx dy5) est une 2-forme, = Ady dz + Bdz dx + Cdx dy

d =

A

x+

B

y+

C

z

dx dy dz

6) est une 3-forme, d = 0.

Correspondance champs p-formes

0(U)d

1(U)d

2(U)d

3(U) Champs de

grad Champs de

rot Champs de div Champs de

scalaires vecteurs vecteurs scalairesP dx + Qdy + Rdz Ady dz + Bdx dz

+Cdx dyv = (P,Q,R) v = (A,B,C)Theorme 4.4.2 ("d2 = 0"). Soit p(U) de classe C2. Alors d(d) = 0.Dmonstration. 1) Soit f une 0-forme de classe

C2. Alors :

d(df) = d

f

xdx +

f

ydy +

f

zdz

=

2f

yz

2f

zy

dz dy + ... = 0

(Par le thorme de Schwartz)

2) Si i(U) de classe C2 alors d(d) = 0 aussi par le thorme de Schwartz.

En terme de lanalyse vectoriel :

1)rot(

grad f) = 0

2) div(rotv ) = 0


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Chapitre 5

Intgrales curvilignes et de surface

5.1 Intgrales curvilignes

5.1.1 Intgrales de premire espce

f ds

avec : une courbe, image (support gomtrique) dun chemin : [a, b] R3 de classe C1 parmorceaux et tel que |]a,b[ est injectif.

Fig. 5.1

est dit C1 par morceaux si est continue et sil existe une subdivision a = t0 < t1 < ... 0 fonction de masse linique de . alors la masse de est dfinie par :

m() =

ds

Le centre dinertie G = (xG, yG, zG) :

xG =1

m()

xds, yG =1

m()yds, zG =

1

m()

zds

De faon analogue, on peut intgrer le champ de vecteurs v : R3, v : (P,Q,R). On

intgre par composantes :

v ds =

Pds,

Qds,

Rds

ds = "lment infinitsimal de longueur". ds = (t)dt. On a ainsi :ds2 = dx2 + dy2 + dz2

5.1.2 Intgrales de deuxime espce

Dfinition 5.1.2. Soient : [a, b] R3

, = Im comme prcdemment et soient P,Q,Rtrois fonctions continues R. On dduit :

P dx + Qdy + Rdz =ba

P((t)x(t)) + Q((t)y(t)) + R((t)z(t))dt

o (t) = (x(t), y(t), z(t)).

Notation vectorielle pour lintgrale de deuxime espce< v , ds > ou

< v , dr >

avec dr = (ds ) = (t)dt et v = (P,Q,R).


41/63

Chapitre 5. Intgrales curvilignes et de surface 41

Terme classique : cest la circulation du champ de vecteurs v le long de . Dans le cas o(a) = (b), on la note :

< v , ds >

Lintgrale de deuxime espce dpend du sens de paramtrage. Soit : [c, d] [a, b], t() un changement de paramtre strictement croissant, C1

par morceaux (continue), (c) = a, (d) = b. Alors :ba

< v ((t)), (t) > dt =dc

< v ( (), ( ()) > d

Soit : [c, d] [a, b], t() un changement de paramtre strictement dcroissant, C1par morceaux, continue, (c) = b et (d) = a.

ba

< v ((t)), (t) > dt = dc

< v ( (), ( ()) > d

Changements de coordonns U R3

, : U V R3

un changement de variablesde classe C1, = 1 : V U. On a alors :

P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz

=()

P((u,v,w)dx(u,v,w)) + Q((u,v,w)dy(u,v,w)) + R((u,v,w)dz(u,v,w)

uvw

x(u,v,w)y(u,v,w)z(u,v,w)

et :

dx(u,v,w) =x

udu +

x

vdv +

x

wdw

dy(u,v,w) =y

udu +

y

vdv +

y

wdw

dz(u,v,w) =z

udu +

z

vdv +

z

wdw

Cest une intgrale du type :

()

P1(u,v,w) + Q1(u,v,w) + R1(u,v,w)

Pour crire la transformation de lintgrale de premire espce lors dun changement de variabledans R3, il est plus pratique de numroter les coordonnes.

xy

z

=

x1x2

x3

uv

w

=

u1u2

u3

: u1

u2u3

x1

x2x3


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42 Chapitre 5. Intgrales curvilignes et de surface

i =

ui =x1./uix2/ui

x3/ui

La matrice de Gram dans la base (i) de R

3 :

(gij)1i,j3 gij = gji =

ds2 + dx21 + dx22 + dx

23 =

1i,j3

gijduiduj

Soit f = f (Voir Fig 5.3 et Fig 5.4) :

Fig. 5.3

Fig.5.4

f ds =

()f

1i,j3gij((t))ui(t)u

j(t)dt

avec : t (u1(t), u2(t), u3(t)).Mme chose pour les courbes R2 ( : [a, b] R2.

Notation stantard pour la matrice de Gram en dimension 2

g11 g12g21 g22 = E FG Hds2 = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2

avec :

E =

x

u

2+

y

u

2=

F =

x

u

x

v

+

y

u

y

v

=

G = xv 2

+ yv 2

=< v, v >


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5.2 Intgrales de surfaces

5.2.1 Intgrales de premire espce

Soit : U R3 (U ouvert de R2) une surface paramtre de classe C1 (cela sous entend,daprs la dfinition du Chapitre 2, que la matrice jacobienne de est de rang 2). Soit Q U,un compact mesurable, = (Q), f :

R une fonction continue. On va dfinir lintgrale :

f dv

dr sappelle llment infinitsimale daire de la surface . : (u, v) (u, v)

u =

f

u, v =

f

v

N =

u v, normale associ au paramtrage

dv = u vdudv

Dfinition 5.2.1. Lintgrale de la fonction f sur la surface :

f dv =Q

f((u, v)) u vdudv

Expression de dv par la matrice de Gram

E =< u,

u >, F =, G =

u v =E FF G

= dv =

EG F2dudv

5.2.2 Intgrales de deuxime espce

On considre une 2-forme, = Ady dz + Bdx dz + Cdx dz, A,B,C des fonctionscontinues R, on a alors :

=Q

A((u, v)dy(u, v) dz(u, v) + B((u, v))dx(u, v) dz(u, v) + C((u, v)dx(u, v) dy(u, v) F(u,v)dudv

Lintgrale quon obtient est de la forme :

Q

F(u, v)du dv

On dfinit cette dernire intgrale comme :

Q

F(u, v)dudv


44/63


Fig. 5.5

Changements de paramtres

1) Lintgrale de premire espce est invariante par le changement de paramtrage de classeC1.

2) Lintgrale de second espce est invariant par les changements de paramtres (u, v)

(uv)

tel que :D(u, v)D(u, v)

> 0 et change de signe lors dun changement de paramtrage avecD(u, v)D(u, v)

dv = Ndudv = u vdudv

Flux(v ) =

= Ady dz + Bdz dx + Cdx dy

Exemple 5.2.1 (Exemple de flux : angle solide). S la sphre de centre 0, = (Q), le supportgomtrique dune surface paramtre.


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est une surface dans R3, S sa projection de centre O sur la surface unit S.

AS(O, ) = Aire(S)1

Proposition 5.2.1. Supposons que chaque demi-droite [OP) (P S) coupe en un seulpoint (P) et que lorientation de est donne par un champ de normales

N : R3 tel que

M , < OM , N >= 0. Alors :AS(O, ) = Flux(

v )o

v =OM

OM3Dmonstration. On peut paramtrer par les coordonnes sphriques :

OM = (, )u (, )

tel que u unitaire, u S et :u(, ) = (sin cos , sin sin , cos )

u =OM

OM3 = OM

On a que :

=

x = sin cos

y = sin sin

z = cos

=

u +

u

1AS = Angle solide


46/63


=

u +

u

Flux(v ) =

S

< v , N > dd

tel que :N =

< v , N >=

v3

,

u +

u

u +

u

2

On a alors :

u(, ) = (sin cos , sin sin , cos )

= det

u2

,

u +

u

,

u +

u

= det

u2

, u

, u

= det

u ,

u

,u

= sin

Flux(v ) =

S

sin dd = Aire(S)

car llment infinitsimal daire dune sphre de rayon R aux coordonnes sphriques est d =R2 sin dd.

5.3 Exemples

5.3.1 Aire dune surface de rvolution

Soit : I R3 et :

t

x(t) = 0

y(t) = (t) > 0

z(t) = g(t)

2< a , b c >= det(a , b , c )


47/63


(t, ) = ((t)cos , (t)sin , g(t)) =

Aire() =20

in dtd = 2

I

(t)

(t)2 + g(t)2dt

5.3.2 Aire du graphe dune fonction

Soit f : G R, G R2, f = {(x, y), f(x, y)}(x,y)G

n =f

x,

f

y, 1

Paramtrage standard :

=

x = x

y = y

z = f(x, y)

, : G R3

Aire(f) =

G

1 +

f

x

2+

f

y

2dxdy

On peut faire une autre interprtation cette formule en remarquant que la normale unitaire

scrit sous la forme :

nu =n

n =

fx

1 +fx

2+fy

2 ,fy

1 +fx

2+fy

2 , 11 +

fx

2+

fy

2

et donc

1 +

fx

2+fy

2= 1|z si

= (x, y, z).En conclusion, si est une surface de R3 qui se projette bectivement sur son image xy

dans le plan Oxy alors on a lexpression suivante pour llment infinitsimale daire :

d = dxdy|z|


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Donc :

Aire() =

d =

dxdy

|z|Pour toute fonction continue :

(x,y,z) = xy (x,y,f(x, y))dxdy

z(x,y,f(x, y))

5.3.3 Aire de la surface latrale dun cne

d =dxdy

|z|=

dxdy

| sin |Aire() =

d =

xy

dxdy

sin =

Aire(xy)

sin =

R2

sin


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Chapitre 6

Thormes de Stokes

=

d

6.1 Formule de Green-RiemannDfinition 6.1.1. Un domaine lmentaire D R2 est un domaine de lun des deux types :1) il existe des fonctions i : [a, b] R, (i = 1, 2), continues sur [a, b] et de classe C1 sur ]a, b[

tel que 1 2 et :D = {(x, y) R2 | a x b, 1(x) y 2(x)}

2) il existe des fonctions i : [c, d] R, (i = 1, 2) continues sur le segment [c, d] et de classeC1 sur ]c, d[ tel que 1 2 et :

D = {(x, y) R2 | c y d, 1(y) x 2}Exemple 6.1.1. 1er type :

2me type :

Des deux types :

49


50/63

50 Chapitre 6. Thormes de Stokes

Dfinition 6.1.2. Le bord du premier domaine lmentaire de premier type dans lExemple6.1.1. est D = 1 + [LM] +

op2

+ [NK]. Ici, les i dsigne le graphe de i, [LM] et [NK]les segments rectilignes. Le choix de lorientation D se trouve toujours gauche, op2 dsignelorientation de 2 muni de lorientation oppos lorientation du graphe.

Theorme 6.1.1. Soit D un domaine lmentare de premier (respectivement de deuxime)type, P : D R (respectivement Q : D R) une fonction de classe C1. Alors :

D

P(x, y)dx =

D

Py

dx dy

(respectivement : D

Q(x, y)dx =

D

Q

xdx dy

)

Dmonstration.

D

D

ydxdy =

ba

1(x)

P

ydy

=ba

(P(x, 2(x)) P(x, 1(x)) dx

=op

12

P(x, y)dx = 1

P(x, y)dx

[LM] P(x, y)dx = [MK] P(x, y)dx = 0

D

P dx =1op2

P dx =

D

P

ydxdy =

D

P

ydx dy

Dfinition 6.1.3. Une partie D de R2 est un domaine dcomposable en domaines lmentairesde premier type D1,...,Dr tel que D = D1 ... Dr et pour tout i = j, Di Dj si non-vide estune runion fini de points isols et/ou segements verticaux. De faon analogue, on dfinit un

domaine dcomposable en domaines lmentaires de deuxime type si on remplace "verticaux"par "horizontaux".


51/63

Chapitre 6. Thormes de Stokes 51

D peut tre compos de plusieurs composantes si Di Dj contien un segment vertical NNalors il est parcouru dans les sens opposs des Di et Dj donc sa contribution :

rk=1

Dk

est nulle. rk=1

Dk

=D

Dfinition 6.1.4. Un domaine D R2 est dit "bon" sil est dcomposable la fois en domaineslmentaires du premier type et en domaines lmentaire du deuxime type.

Theorme 6.1.2. Si D a un bord ferm dun nombre fini de courbe rgulire de classe C1 alorsquitte faire un changement de variables de coordonnes (x, y), D est "bon".

Theorme 6.1.3 (Formule de Green-Riemann).Soit D un "bon" domaine. Soit

=P

(x, y

) +Q(x, y)dy un 1-forme de classe C1 sur D. Alors :

D =

D

d

Dmonstration.

d =

Q

x P

y

dx dy

On dcompose D en domaines de premier type pour transformerD

D

ydx dy en D P dx et

on dcompose en domaine de deuxime type pour transformer Qx dx dy en D Qdy.


52/63


6.2 Exemples dapplications de la formule de Green-Riemann

Exemple 6.2.1. Dterminer laire borne par le lacet de la feuille de Descartes x3 + y3 = 3axy(a > 0)

On peut paramtrer soit par langle point [0, 2

], soit par t = tan = yx

, y = txy, x3(1+t3) =3atx2. On a :

x =3at

1 + t3, y =

3at2

1 + t3, t [0, +[

On a i : [0, +

[R2 une application paramtrant le lacet de la feuille de Descartes.

Aire(D) = limt1+

Aire(Dt1) = limt1

1

2

D2

xdy ydx

=1

2lim

t1

t10

x(t)y(t) + y(t)x(t)dt +[Dt1 ,0]

xdy ydx

On a que : [D1 ,0]

xdy ydx Dt10

0

Fait gnral : Soit M = sup(x,y)[A,B]{

P(x, y),|Q(x, y)

|}, alors :

[A,B]

2M|AB|

x(t) = 3a1 2t3

(1 + t3)2y(t) = 3a

2t t4(1 + t3)2

I(t1) =9a2

2

t10

2tdt

(1 + t3)2=

3a2

2

1

1 + t3

t10

=3a2

2

1 1

1 + t31

Aire(D) = 3a2

2


53/63


6.3 Formule de Gauss-Ostrogradsky

Dfinition 6.3.1. Un domaine lmentaire D de R3 du premier type est un domaine dfinipar :

D = {(x,y,z) R3 | (x, y) G, 1(x, y) z 2(x, y)}o G est un domaine ferm de R2 dont le bord est une runion finie de courbes de classe

C1, i : G R continues sur D est de classe C1 sur D= D\D, et 1 2. Un domainede deuxime (respectivement de troisime) type : on obtient la dfinition par la permutationcyclique (x,y,z) (z,x,y) (respectivement (y, z, x)).

Exemple 6.3.1. Le bord orient : D = Z(D) pr1xy (G)

+2 + op1

= Z(D) + 2 + 1.

Z(D) est la partie cylindrique du bord, une surface cylindrique dont la base est G et les

gnratrices sont parallles laxe des z.i : le graphe de i avec son orientation stantard ; op1

= 1 est 1 muni dune orien-tation oppose 1 .

Theorme 6.3.1. Soit D un domaine lmentaire de R3 du premier tpe, R : D R unefonction de classe C1. Alors :

D

R

zdx dy dz =

D

Rdx dy

Dmonstration.

D

R

z dx dy dz = G 2(x,y)

1(x,y)

R

z dz dxdy

=

G(R(x,y,2(x, y)) R(x,y,1(x, y))dxdy

=

21R(x,y,z)dx dy +

Z(D)

R(x,y,z)dx dy 0

1

Remarque. On a des formules similaires pour les domaines du deuxime et troisime type

1car pour un paramtrage du cylindre (t, z) = (x(t), y(t), z), on a dx dy = x(t)y(t)dt dt = 0


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(2) :

D

Q

ydx dy dz =

D

Qsz dx

(3) :

D

P

xdx dy dz =

D

P dy dz

Dfinition 6.3.2. Un bon domaine de R3 est un domaine qui est dcomposable la fois endomaines du premier type, du deuxime tye et du troisime type. D est dcomposable en

domaines du premier type sil existe un nombre fini de domaines lmentaires D1,...,Dr dupremier type tel que D1 ... Dr et pour i = j, Di Dj est form dune partie des sufacescylindraiques Z(Di), Z(Dj) et ventuellement dun nombre fini de points isols ou de courbesde classe C1.

Theorme 6.3.2 (Thorme de Gauss-Ostrogradsky). Soit D un bon domaine de R3, Dle bord muni de son orientation standard, donne par la normale extrieure D. Soit une2-forme de classe C1 sur D. Alors :

D =

D

d

Dmonstration.

D

(P dx dz + Qdz dx + Rdx dy) = D

Px

+ Qy

+ Rz

dx dy dz

En terme de lanalyse vectorielle :D

< v , > d =

Ddiv v dxdydz

avec

D< v , > d = Flux(v )

v = Pi + Qj + Rk la normale unitaire de D.

6.4 Exemples dapplications de la formule de Gauss-Ostrogra

6.4.1 Corollaires

Corollaire. 1) Formule du gradient : Soit D un bon domaine, f : D R une fonction declasse

C1. Alors :

Df d =

Dgradfdxdydz (1)


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Dmonstration. Soit v0 un champ de vecteurs constants quelconque, v = fv0

div(v ) = fdiv(v0)0+ =< grad f, v0 >

do :

fv0 , D f

= D < fv0 , > d

Th 3.2=

D

div(fv0)dxdydz =v0

D

grad fdxdydz

Ceci est vrai pour tout vecteur v0 R3 donc (1) est vrifie

2) Formule du rotationnel : SoitD un bon domaine, v : D R de classe C1. Alors :

D

v d =

D

rotv dxdydz (2)

Dmonstration. Soit v0 un champ de vecteurs constants quelconque, w = v v0 . On a :

div w =< rotv , v0 > < v , rotv0 > 0

=

v0 , D

, v d

=

Ddet(v0 , , v )d =

D

< v v0 w

, > d

= FluxD(w ) Th 3.2=

Ddiv w dxdydz =

v0 , D

rotv dxdydz

Ceci est vrai pour tout vecteur v0 R3 donc (2) est vrifie.

3) Formule de Green : SoitD un bon domaine, f etg deux fonctions surD de classe C2. Alors :D

< fgrad g ggrad f, > d =

D

(fg gf)dxdydz 2

Dmonstration.

div(fgrad g) = fdiv(

grad g)+

On a :

div(grad g) =

2g

x2+

2g

y2+

2g

z2= g

Donc :

div(fgrad g) = fg+

On a aussi :

div(ggrad f) = gf+

On applique au premier membre de (3) le Thorme 6.3.2.

2f = laplacien de f (voir Dfinition 4.2.2.)


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6.4.2 Applications aux fonxtions harmoniques

Dfinition 6.4.1. f harmoniquedef f = 0.

Theorme 6.4.1 (Thorme de la moyenne pour les fonctions harmoniques). Soit G R2 unouvert, f : G R une fonction de classe C2 tel que f = 0. Soit P = (x0, y0, z0) G etR > 0 tel que la boule ferme BR = B(P, R) de centre P et de rayon R est contenu dans G.Soit SR = BR la sphre. Alors :

f(P) =1

4R2

SR

f(x,y,z)d

En dimension 2 : G R2 un ouvert, P G, f : G R de classe C2

f(P) =1

2R

CR

f(x, y)ds

Dmonstration. On montre que R1 tel que 0 < R1 < R :1

4R21

SR1

f d =1

4R2

SR

f d

Soit r = r (x,y,z) = (xx0, yy0, zz0) et r = r . Alors la fonction z = 1r est harmoniquedans le domaine D = BR\BR1 (BR1 = boule ouverte). On applique la formule de Green auxfonctions f, g dans D. Le second membre de (3) :

D

(fg gf)dxdydz = 0 car f = g = 0


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On a :grad g = r

r3, D = SR SR1. Le premier membre de (3) :

D

< fgrad g ggrad f, > d =

SRSR1

f

rr

,

1r

d

= SR1 f

R

3

1

< r , >

1

R1

d = SR

f

R

3< r, >

1

R

d

SR

d =

BR

div(grad f) f=0

dxdydz = 0

Puis sur SR :r = R , < r , >= R. Donc : lgalit () devient :

SR1

fR21

d =

SR

fR2

d

Donc :1

4R2

1 SR1 f d =1

4R2 SR f d

On fait R1 0. Alors :1

4R21

SR1

f d f(P) par continuit de f

Donc :1

4R21

SR1

f d (fonction constante de R1) est gale identiquement f(P).

Corollaire (Principe de maximum). Soit D un domaine de R3 avec lintrieur

D= D\Dconnexe. Soit u : D R une fonction continue sur D est harmonique dans D. Si u atteint sonextrieur en un point D alors u = cste.

Dmonstration. Soit M0

D un point de maximum : u(M) u(M0), M D. Soit SR =S(M0, R)

D comme dans le Thorme 6.4.1. On a :

0 = u(M0) 14R2

SR

ud =1

4R2

SR

u(M0) u(M) 0

d

et lingalit est stricte si la fonction intgrer nest pas identiquement nulle sur SR.Donc u(M) = u(M0), M SR. Donc : il y a toute une boule B centr en M0 tel que

u(M) = u(M0), M B.X = {P D u(P) = u(M0)}

D}

On veut montrer que X =

D. On suppose le contraire, M D \X, : [a, b] D un chemincontinu, (a) = M0, (b) = M.

T = {t [a, b], u((t)) = u(M0)}On a : u(M0) = u(T(a) a T. T est ferm comme le lieu des zros dune fonction continue.Soit t0 sup T T. Par largument prcdent, il existe > 0 tel que B((t0), ) X. Parcontinuit de , > 0 : (]t0 , t0 + [) B((t0), ) X. Donc ]t0 , t0 + [ T ett0 = sup T. Absurde. Donc u u(M) dans D.


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Corollaire. Soit D un ouvert de R3 (ou de R2) tel que son adhrence D est compact et soitu : D R continue, harmonique dans D. Alors u est dtermine par ses valeurs de D.En particulier, u|D = 0 alors u = 0 (Lunicit de la solution du problme de Dirichlet pourlquation u = 0).

Dmonstration. Soit u|D = 0, D compact, u continue u atteint un maximum (et minimum)sur un point de D. Si u

= cste, soit umax, soit umin

= 0. Donc le maximum et le minimum nest

pas atteint sur le bord, ce qui contredit le Corollaire du principe du maximum.

6.5 Thorme de Stokes

Dfinition 6.5.1. Une partie de R3 est appele surface lementaire sil existe :

1) un ouvert U de R2

2) une surface paramtre : U R33) un brin domaine D U avec D connexe tel que = (D).

Notation. Etant donne , on note par + la surface muni de lorientation par la normalen = u v ( : (u, v) (u, v)) et par la normale n . Le bord est toujoursorient de sorte quun observateur dress suivant la normale et parcourant le bord ala surface sur sa gauche.

Theorme 6.5.1. Soit une surface lmentaire munie dune orientation, une 1-forme declasse C1 dfinie dans un ouvert contenant . Alors lintgrale :

=

d

Pour la forme dvelope :

P dx + Qdy + Rdz =

R

y Q

z dy dz +Pz Rx dz dx +Qx Py dxdy

En terme de lanalyse vectoriel :

< v , d >=

d

Dmonstration. Soit V R3 un ouvert contenant : : p(V) p(D)

nomm tir en arrire de p-formes, pullback. Soit f

0(V) tel que (x,y,z)

f(x,y,z).

f = f : (u, v) f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))


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On dfinit :

dx 1(V) dx(u, v) = xu

dx

vdv

dy 1(V) dy(u, v)dz 1(V) dz(u, v)

(1 2) = (1) (2) (1)d() = (d) (2)

=

chgt de variablesD

() =

D(d)

(2)D

() =

Dd(())

Dfinition 6.5.2. Une partie de R3 est appele bonne surface sil existe un nombre fini desurfaces lmentaires orientes +1 , ...,

+r telles que :

(i) =r

i=1

+i

(ii) Si i = j et +i +j = alors +i +j est une runion dun nombre fini de courbes(1)ij ,...,

(kij)ij de classe C1.

(iii) Les orientations de (l)ij (l = 1..kij induites par +i et

i sont opposs.

Exemple 6.5.1 (Mauvaise surface ou surface non-orientable). Cest le cas du ruban de Moe-bius. Soit le ruban cylindrique qui est une bonne surface

On peut enrouler le ruban sur lui-mme :


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Le ruban de Moebius peut tre dessin de cette faon :

nest pas dfinie.

Notation. Pour une bonne surface, on note : + : lorientation induite par celles de +1 ,..., +r + : la runion +i (i = 1,..,r) avec les parties communes (l)ij enleves. : lorientation induite par celles de 1 , ..., r . : la runion i (i = 1,...,r) avec les parties communes (l)ij enleves.

Theorme 6.5.2. Soit une bonne surface oriente, une 1-forme de classe C1 dfinie surun ouvert contenant . Alors :

=

d

Dmonstration. Consquence immdiate du Thorme 6.5.1. pour +i (i = 1,...,r)

6.6 Exemples de calculs

Exemple 6.6.1. Calculer :

I =

Sx2dy dz + y2dz dx + z2dx dy

S = {(x a)2 + (y b)2 + (z c)2) = R2} la sphre oriente par la normale extrieure. Ondtermine :

Iz = S z2dx dyS est la runion de deux graphe de fonction S1 et S2 :

z = c

R2 (x a)2 (y b)2 tel queS1 : +S2 :

Sur S1 la normale extrieure a la composante z > 0 donc lorientation de S1 concide avec celledu graphe. Sur S2, 2 < 0 lorientation de S2 est oppose celle du graphe.

S = (x,y,z)dx = D (x,y,c + R2

(x

a)2

(y

b)2)dx

dy

sur S1


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D(x,y,c

R2 (x a)2 (y b)2)dx dy

sur S2

Soit D = prxy(S), le disque (x a)2 + (y b)2 R2 et (x,y,z) = z2

Iz = D(c + R2

(x

a)2

(y

b)2)

(c

R2

(x

a)2

(y

b)2)

=

D4c

R2 (x a)2 (y b)2dxdySoit le systme de coordonnes suivant :

(x a) = r cos 0 r R(y b) = r sin 0 2Iz = 4c

2

0 R

0

R2

r2rdr d =

8

3

cR3

Par la symtrie cyclique :

Ix =

Sx2dy dz = 8

3aR3

Iy =

Sy2dz dx = 8

3bR3

Iz =

Sz2dxdx dy = 8

3cR3

Deuxime mthode via la formule dOstrogradsky :

I =

S =

B

d

= x2dx dz + y2dx dz + z2dx dyd = 2xdx dy dz + 2ydy dz dx + 2zdz dx dy

= 2(x + y + z)dx dy dzDonc :

I = 2

B(x + y + z)dx dy dz

On a que :

mxG =

Bxdx dy dz

o m = vol(B) = 43

R3 la masse de la boule si on lui donne une masse volumique de 1 et xGlabscisse du centre de gravit G(xG, yG, zG). G = (a,b,c) centre de B xG = A, yG = B, zG =c.

I = 24

3R3(xG + yG + zG) =

8

3R3(a + b + c)

Exemple 6.6.2. Calculer la circulation du champ de vecteurs v = (P,Q,R) = (y2 + z2, x2 +z2

, x2

+ y2

) le long de la courbe dintersection des surfaces x2

+ y2

= 2rx, x2

+ y2

+ z2

= 2Sx(S > r > 0, z 0)


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I =

< v , dz >=

d

tel que = P dx+Qdy+Rdz = (y2+z2)dx+(z2+x2)dy+(x2+y2dz, d = 2ydydx+2zdzdx+2zdz

dy +2xdx

dy +2xdx

dz +2ydy

dz = 2(y

x)dy

dz +2(z

x)dz

dx+2(x

y)dx

dy.

I = 2

x(y z) + y(z x) + z(x y)d

car dx dz = zd, dy dz = xd, dz dx = yd avec la normale unitaire de :

=

x SS

x

,y

Sy

,z

Sz

I = 2

(z y)d = 2

zd

car

yd = 0 par la symtrie y y.

I = 2

zd = 2

z

zdx dy = 2S

dx dy = 2S

xydxdy

avec xy = prxy() le disque de rayon de r.

I = 2SAire(xy) = 2Sr2

6.7 Formes fermes et formes exactes

Dfinition 6.7.1. Soit U un ouvert de R3 (ou R2), p(U) de classe C1. On dit que estune forme ferme si = 0 et est une forme exacte sil exsite p1(U) de classe C1 tel que = d.

exacte de classe C2 ferme ( d d() = 0 si C2(U))La rciproque est vraie pour des ouverts toils.

Dfinition 6.7.2. Un ouvert U de Rn

est dit toil par rapport un point P U si pour toutM U, le segment [P M] est contenu dans U.


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Remarque. Un ouvert U convexe est toil par rapport tout point de U

Theorme 6.7.1 (Lemme de Poincar). Soit U R3 un ouvert toil, > 0 et p(U) declasse C1 tel que d = 0. Alors p1(U) de classe C2 tel que = d.Exemple 6.7.1. U non-toil : U = R2\{0, 0}

=ydy + xdx

x2 + y2

est une 1-forme ferme : d = 0. Si on introduit les coordonnes polaires alors :

= d

Localement, est exacte, diffrentielle de la fonction (x, y).

Documents

M207 : Compléments en calcul différentiel