MAKALAH MATEMATIKA DISKRIT ALJABAR BOOLEANDiajukan Sebagai Tugas Mata Kuliah Matematika Diskrit Dosen Pengampu: Imam Nurrohmat Zamzamy, S.Pd.I

Disusun Oleh :

Nur Rohmah ( 110631030 )Unasi ( 110631008 )

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN MATEMATIKAUNIVERSITAS MUHAMMADIYAH CIREBONTAHUN AKADEMIK 2013/2014

Aljabar BooleanPage 13

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur yang tak terhingga penulis panjatkan kehadirat Illahi Rabbi, atas berkah, rahmat, karunia dan hidayah-Nya akhirnya penulis dapat menyelesaikan makalah ini.Adapun tujuan disusunnya makalah ini ialah sebagai salah satu agenda kegiatan akademis yang harus ditempuh oleh setiap mahasiswa/mahasiswi dalam menyelesaikan studi di tingkat perkuliahan semester V (Lima), adapun judul yang penulis buat didalam makalah ini adalah mengenai ALJABAR BOOLEANDalam proses penyusunan makalah ini, penulis banyak mendapatkan bantuan, dukungan, serta doa dari berbagai pihak, oleh karena itu izinkanlah didalam kesempatan ini penulis menghaturkan terima kasih dengan penuh rasa hormat serta dengan segala ketulusan hati kepada:1. Kedua orang tua, atas curahan kasih sayang yang tiada henti, yang senantiasa mendukung secara moril & materiil serta yang selalu mendoakan penulis didalam menempuh pendidikan ini. 2. Bpk. Imam Nurrohmat Zamzamy, S.Pd.I selaku dosen Mata Kuliah Matematikka Diskrit yang dengan segala keikhlasannya telah memberikan bimbingan, arahan, serta nasehat kepada penulis hingga terselesaikannya makalah ini.3. Teman-teman seperjuangan khususnya fakultas SI-MATEMATIKA yang senantiasa memberi masukan untuk penulis menyelesaikan makalah ini Sangatlah disadari bahwa laporan ini masih banyak kekurangan didalam penyusunannya dan jauh dari kesempurnaan, untuk itu penulis mengharapkan masukan baik saran maupun kritik yang kiranya dapat membangun dari para pembaca. Akhir kata semoga makalah ini dapat memberikan manfaat khususnya bagi kita semua.Cirebon,08 November 2013

PenyusunDaftar Isi DAFTAR ISI

Kata PengantariDaftar IsiiiBAB I PENDAHULUAN1.1 Latar Belakang 11.2 Rumusan Masalah11.3 Tujuan Penulisan21.4 Manfaat Penulisan2BAB II PEMBAHASAN2.1 Definisi Aljabar Boolean32.2 Aljabar Boolean Dua-Nilai 42.3 Ekspresi Boolean52.4 Mengevaluasi Ekspresi Boolean62. 5 Prinsip Dualitas72. 6 Hukum-hukum Aljabar Boolean72.7 Fungsi Boolean92.8 Komplemen Fungsi 102.9Bentuk Kanonik11BAB III PENUTUP3.1 Kesimpulan153.2 Saran15DAFTAR PUSTAKA16

BAB IPENDAHULUAN1.1 Latar BelakangAljabar boolean merupakan aljabar yang berhubungan dengan variabel-variabel biner dan operasi-operasi logik. Variabel-variabel diperlihatkan dengan huruf-huruf alfabet, dan tiga operasi dasar dengan AND, OR dan NOT (komplemen). Fungsi boolean terdiri dari variabel-variabel biner yang menunjukkan fungsi, suatu tanda sama dengan, dan suatu ekspresi aljabar yang dibentuk dengan menggunakan variabel-variabel biner, konstanta-konstanta 0 dan 1, simbol-simbol operasi logik, dan tanda kurung. Suatu fungsi boolean bisa dinyatakan dalam tabel kebenaran. Suatu tabel kebenaran untuk fungsi boolean merupakan daftar semua kombinasi angka-angka biner 0 dan 1 yang diberikan ke variabel-variabel biner dan daftar yang memperlihatkan nilai fungsi untuk masing-masing kombinasi biner. Aljabar boolean mempunyai 2 fungsi berbeda yang saling berhubungan. Dalam arti luas, aljabar boolean berarti suatu jenis simbol-simbol yang ditemukan oleh George Boole untuk memanipulasi nilai-nilai kebenaran logika secara aljabar. Dalam hal ini aljabar boolean cocok untuk diaplikasikan dalam komputer. Oleh karena itulah si penulis berharap si pembaca dapat mengetahui fungsi dan menambah wawasan tentang Aljabar Boolean.

1.2 Rumusan MasalahDengan makalah yang di buat oleh kami sebagai penulis dapat ditemuibeberapa permasalahan diantaranya yaitu :1. Apa yang di maksud dengan Aljabar Boolean?2. Apa fungsi dari Aljabar Boolean tersebut?3. Apa saja hukum-hukum dari Aljabar Boolean?

1.3 Tujuan PenulisanSelain permasalahan yang ditemui dalam pembuatan makalah ini kami sebagai penulis juga mempunyai beberapa tujuan dalam menulis makalah ini yaitu sebagai berikut:1. Pembaca dapat mengetahui apa yang dimaksud dengan Aljabar Boolean.2. Pembaca dapat mengetahui fungsi dari Aljabar Boolean.3. Pembaca dapat mengetahui apa saja hukum-hukum dari Aljabar Boolean.

1.4 Manfaat PenulisanDengan menulis makalah ini kami mengharapkan pembaca dapat menambah wawasan, memperdalami Aljabar Boolean dan mengetahui apa itu Aljabar Boolean.

BAB IIPEMBAHASAN

2.1 Definisi Aljabar BooleanMisalkan terdapat: Dua operator biner : + ( OR ) dan ( AND) Sebuah operator uner : . B : himpunan yang didefinisikan pada opeartor +,, dan 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B. Tupel (B, +, , ) disebut Aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c B berlaku aksioma-aksioma atau postulat Huntington berikut:1. Closure:(i) a + b B (ii) a b B 2. Identitas:(i) a + 0 = a(ii) a 1 = a3. Komutatif:(i) a + b = b + a(ii) a b = b a4. Distributif:(i) a (b + c) = (ab) + (a c)(ii) a + (b c) = (a + b) (a + c)5. Komplemen:(i) a + a = 1 (ii) a a = 0

Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus diperlihatkan:1. Elemen-elemen himpunan B,2. Kaidah operasi untuk operator biner dan operator uner,3. Memenuhi postulat Huntington.

2.2 Aljabar Boolean Dua-Nilai Aljabar Boolean dua-nilai: B = {0, 1} operator biner, + dan operator uner, Kaidah untuk operator biner dan operator uner:

Aba baBa + bAa

00000001

01001110

100101

111111

Cek apakah memenuhi postulat Huntington:1. Closure : jelas berlaku 2. Identitas: jelas berlaku karena dari tabel dapat kita lihat bahwa:(i) 0 + 1 = 1 + 0 = 1 (ii) 1 0 = 0 1 = 03. Komutatif: jelas berlaku dengan melihat simetri tabel operator biner.4. Distributif: (i) a (b + c) = (a b) + (a c) dapat ditunjukkan benar dari tabel operator biner di atas dengan membentuk tabel kebenaran:

Abcb + ca (b + c)a ba c(a b) + (a c)

00000000

00110000

01010000

01110000

10000000

10111011

11011101

11111111

(ii) Hukum distributif a + (b c) = (a + b) (a + c) dapat ditunjukkan benar dengan membuat tabel kebenaran dengan cara yang sama seperti (i).

5. Komplemen: jelas berlaku karena Tabel diatas memperlihatkan bahwa: (i) a + a = 1, karena 0 + 0= 0 + 1 = 1 dan 1 + 1= 1 + 0 = 1 (ii) a a = 0, karena 0 0= 0 1 = 0 dan 1 1 = 1 0 = 0 Karena kelima postulat Huntington dipenuhi, maka terbukti bahwa B = {0, 1} bersama-sama dengan operator biner + dan operator komplemen merupakan aljabar Boolean.

2.3 Ekspresi BooleanMisalkan (B, +,, ) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam (B, +, ) adalah:(i) setiap elemen di dalam B,(ii) setiap peubah,(iii) jika e1 dan e2 adalah ekspresi Boolean, maka e1 + e2, e1 e2, e1 adalah ekspresi BooleanContoh: 01abca + ba ba (b + c)a b + a b c + b, dan sebagainya

2.4 Mengevaluasi Ekspresi BooleanContoh: a (b + c)jika a = 0, b = 1, dan c = 0, maka hasil evaluasi ekspresi: 0 (1 + 0) = 1 1 = 1Dua ekspresi Boolean dikatakan ekivalen (dilambangkan dengan =) jika keduanya mempunyai nilai yang sama untuk setiap pemberian nilai-nilai kepada n peubah. a . (b + c) = (a . b) + (a .c)Contoh. Perlihatkan bahwa a + ab = a + b .Penyelesaian: Abaaba + aba + b

001000

011111

100011

110011

Perjanjian: tanda titik () dapat dihilangkan dari penulisan ekspresi Boolean, kecuali jika ada penekanan:1. a(b + c) = ab + ac2. a + bc = (a + b) (a + c)3. a 0 , bukan a0

2. 5 Prinsip DualitasMisalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yang melibatkan operator +, , dan komplemen, maka jika pernyataan S* diperoleh dengan cara mengganti dengan + + dengan 0 dengan 1 1 dengan 0dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga benar. S* disebut sebagai dual dari S.Contoh. (i) (a 1)(0 + a) = 0 dualnya (a + 0) + (1 a) = 1 (ii) a(a + b) = ab dualnya a + ab = a + b

2. 6 Hukum-hukum Aljabar Boolean1.Hukum identitas:1. a + 0 = a2. a 1 = a

2.2. Hukum idempoten:1. a + a = a2. a a = a

3.3. Hukum komplemen:1. a + a = 1 2. aa = 0

4.4. Hukum dominansi:1. a 0 = 02. a + 1 = 1

5.5. Hukum involusi:1. (a) = a

6.6. Hukum penyerapan:1. a + ab = a2. a(a + b) = a

7.7. Hukum komutatif:1. a + b = b + a2. ab = ba

8.8. Hukum asosiatif:1. a + (b + c) = (a + b) + c2. a (b c) = (a b) c

9. Hukum distributif:1. a + (b c) = (a + b) (a + c)2. a (b + c) = a b + a c

1010. Hukum De Morgan:1. (a + b) = ab2. (ab) = a + b

11. Hukum 0/1 1. 0 = 12. 1 = 0

Contoh Buktikan (i) a + ab = a + b dan (ii) a(a + b) = abPenyelesaian:

(i) a + ab = (a + ab) + ab(Penyerapan)= a + (ab + ab)(Asosiatif)= a + (a + a)b(Distributif)= a + 1 b (Komplemen)= a + b(Identitas)(ii) adalah dual dari (i)

2.7 Fungsi Boolean Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn ke B melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagaif : Bn B yang dalam hal ini Bn adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B. Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean. Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah f(x, y, z) = xyz + xy + yz Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3 (x, y, z) ke himpunan {0, 1}.Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z = 1 sehingga f(1, 0, 1) = 1 0 1 + 1 0 + 0 1 = 0 + 0 + 1 = 1 . Contoh-contoh fungsi Boolean yang lain:1. f(x) = x 2. f(x, y) = xy + xy+ y3. f(x, y) = x y4. f(x, y) = (x + y) 5. f(x, y, z) = xyz

Setiap peubah di dalam fungsi Boolean, termasuk dalam bentuk komplemennya, disebut literal. Contoh: Fungsi h(x, y, z) = xyz pada contoh di atas terdiri dari 3 buah literal, yaitu x, y, dan z.Contoh. Diketahui fungsi Booelan f(x, y, z) = xy z, nyatakan h dalam tabel kebenaran.

Penyelesaian: Xyzf(x, y, z) = xy z

00001111001100110101010100000010

2.8 Komplemen Fungsi 1.Cara pertama: menggunakan hukum De MorganHukum De Morgan untuk dua buah peubah, x1 dan x2, adalah (i) (x1 + x2) = x1x2(ii) (x1x2) = x1+ x2 (dual dari (i))Contoh. Misalkan f(x, y, z) = x(yz + yz), maka f (x, y, z) = (x(yz + yz)) = x + (yz + yz) = x + (yz) (yz) = x + (y + z) (y + z) 2.Cara kedua: menggunakan prinsip dualitas. Tentukan dual dari ekspresi Boolean yang merepresentasikan f, lalu komplemenkan setiap literal di dalam dual tersebut. Contoh. Misalkan f(x, y, z) = x(yz + yz), makadual dari f:x + (y + z) (y + z)

komplemenkan tiap literalnya: x + (y + z) (y + z) = f Jadi, f (x, y, z) = x + (y + z)(y + z)2.9 Bentuk Kanonik Ada dua macam bentuk kanonik:1. Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau SOP)2. Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau POS)Contoh: 1. f(x, y, z) = xyz + xyz + xyz SOP Setiap suku (term) disebut minterm 2. g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y + z)(x + y + z) (x + y + z)(x + y + z) POS Setiap suku (term) disebut maxterm Setiap minterm/maxterm mengandung literal lengkap

Contoh . Nyatakan tabel kebenaran di bawah ini dalam bentuk kanonik SOP dan POS. Tabel 1

Penyelesaian:

a. SOPKombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 1 adalah 001, 100, dan 111, maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik SOP adalah f(x, y, z) = xyz + xyz + xyzatau (dengan menggunakan lambang minterm),f(x, y, z) = m1 + m4 + m7 = (1, 4, 7)

b. POSKombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 0 adalah 000, 010, 011, 101, dan 110, maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik POS adalah f(x, y, z) = (x + y + z)(x + y+ z)(x + y+ z) (x+ y + z)(x+ y+ z) atau dalam bentuk lain,f(x, y, z) = M0 M2 M3 M5 M6 = (0, 2, 3, 5, 6)

Contoh .Nyatakan fungsi Boolean f(x, y, z) = x + yz dalam bentuk kanonik SOP dan POS.Penyelesaian:(a) SOPx = x(y + y) = xy + xy = xy (z + z) + xy(z + z) = xyz + xyz + xyz + xyzyz = yz (x + x) = xyz + xyzJadi f(x, y, z) = x + yz = xyz + xyz + xyz + xyz + xyz + xyz = xyz + xyz + xyz + xyz + xyz atau f(x, y, z) = m1 + m4 + m5 + m6 + m7 = (1,4,5,6,7)(b) POSf(x, y, z) = x + yz = (x + y)(x + z)x + y = x + y + zz = (x + y + z)(x + y + z)x + z = x + z + yy = (x + y + z)(x + y + z)Jadi, f(x, y, z) = (x + y + z)(x + y + z)(x + y + z)(x + y + z) = (x + y + z)(x + y + z)(x + y + z)atau f(x, y, z) = M0M2M3 = (0, 2, 3)

BAB IIIPENUTUP

3.1 KesimpulanBerdasarkan apa yang di bahas di atas si penulis dapat menyimpulkan bahwa untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus diperlihatkan:1. Elemen-elemen himpunan B,2. Kaidah operasi untuk operator biner dan operator uner,3. Memenuhi postulat Huntington

3.2 SaranUntuk memahami lebih lanjut tentang Aljabar Boolean kami harap pembaca dapat mencari sumber-sumber yang lain di internet dan buku-buku yang terkait dengan Aljabar Boolean.

DAFTAR PUSTAKA

http://pandukristiyanto89.wordpress.com/2010/10/19/aljabar-boolean/ kur2003.if.itb.ac.id/file/Aljabar%20Boolean.do Anoname. Boolean Algebra.http://en.wikipedia.org/boolean_Algebra/. diakses online tanggal 20April 2011. John Crowe and Barrie Hayes-GillJohn. 2003.Introduction to Digital Electronics.Bristol : JW Arrowsmith and Barrie Hayes-Gill Sumarna.2006.Elektronika Digital.Konsep dasar dan aplikasinya.Yogyakarta: Graha Ilmu.Sumarna. 2011. https://lecturer.eepisits.edu/~ira/materi/matematika%20diskrit/Aljabar%20 Boolean.pdf