Matemtica Aplicada

CONJUNTO DOS NMEROS REAIS 0, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, , , 0 , . . . .

2, 3 , 5, ,

A diferena entre um nmero racional e um nmero irracional: Nmero Racional todo nmero cuja representao decimal sempre finita ou infinita e peridica (possui dzima). Exemplo de nmeros racionais: a) b) c) 0,3 um decimal finito. 0.1666 um decimal infinito e peridico com dzima 6. 2 um nmero inteiro, todo nmero inteiro um nmero racional.

Nmero Irracional todo nmero cuja a representao decimal sempre infinita sem ser peridica. Exemplo: a) 3,1415927 representa a razo entre o comprimento da circunferncia e o seu dimetro.

3,1415927 .

2,7182818 , 2 1,4142135 um nmero infinito sem dzima.

Definimos o conjunto dos nmeros Reais sendo a unio dos conjuntos dos nmeros racionais e dos irracionais. .

Exerccios: Dados os nmeros abaixo, identifique os nmeros racionais e os nmeros irracionais: a) 3,12 b) 0,3333... c) 1,73205... d) 25 e) 0 f) - 6,8 g) 4 h) - 1,4142... i) - 9 j) 17,323232... l) 0,5 m)

RETA REAL: Na reta real podemos representar todos os nmeros reais, o nmero zero representa a origem da reta. Os nmeros da reta real so simtricos e opostos. -6 -5 -4 -3,14 -3 -2 -2 -1 ...I I I I I I I I

0 I

1 2 2 I I I

3 3,14... I I I

I....

r

reta real

* Os nmeros da reta que esto a esquerda de um nmero em questo sempre sero menores que esse nmero. Exemplo: 1 6 2,3 3 2 logo 1 5 1,5 2 1 0 1 2 2 6 3 5 2,3 4

1,5

Em geral ... 4

*Os nmeros da reta que esto a direita de um nmero em questo, sempre sero maiores que esse nmero. Exemplo: 1 4 1 4 2 3,1415 2 3,1415

OPERAES COM OS NMEROS REAIS ADIO: A soma de nmeros reais resulta em um nmero real. Sinais iguais: somam-se os nmeros e conserva-se o sinal. Exemplos:

a) 2 b) 15

9 11 10 25 : subtraem 5 10 3 10 2 4 5 6

c) ( 2 d) ( 15 se os nmeros e d 5 15

9 10 se o

11 25 em mdulo m aior alg arismo . . .

Exemplos: a) 3 b) 15 7 4

SUBTRAO: a operao INVERSA da adio. A subtrao de nmeros reais resulta em um nmero real. Toda subtrao uma adio. O sinal positivo na frente de parnteses , colchetes ou chaves : podemos eliminar esses parnteses, bem como o sinal que o precede, escrevendo o nmero do interior do parnteses com o mesmo sinal. Exemplo: a) 8 9 8 9 1 b) 8 9 8 9 17c) 12 15 12 15 3 O sinal negativo na frente de parnteses , colchetes ou chaves : podemos eliminar esses parnteses, bem como o sinal que o precede, escrevendo o nmero do interior do parnteses com o sinal trocado. Exemplos: a) ( 4 6 4 6 10 b) 16 20 16 20 4 c) 9 10 9 10 19

MULTIPLICAO : ou produto de nmeros reais sempre ser um nmero real.

Sinais iguais multiplicam-se os nmeros e d-se o sinal ( + ) positivo. Exemplo: a) 5 . b) 3 . Exemplo: a) 8 . b) 1,5 . 4 6 20 18 multiplicam 5 10 40 15 se os nmeros e .

DIVISO: Exemplo:

a operao inversa da multiplicao, a regra de sinal a mesma da multiplicao. 7

3 6

QUADRO DE SINAIS .:

Adio Somar Subtrair Sinal do maior em mdulo Somar

Subtrair Sinal do maior em mdulo

Exerccios: Resolver as operaes indicadas abaixo: a) 27 b) 65 c)d) 87

20 30 397

e)

15 45 90

15

f) 23

41

901

h)

1

Respostas

a) 47

b) 35

c)

2

d) 94

e) 0

f)

22

g)

180

h) 0

EXPRESSES NUMRICAS COM AS QUATRO OPERAES: Para resolver expresses seguiremos alguns passos: 1 ) Resolver primeiro o que estiver entre os parnteses, colchetes e chaves. 2 ) Efetuarmos primeiro a multiplicao ou diviso, seguindo ordem em que aparecem na expresso. 3 ) Efetuarmos a adio ou subtrao na ordem em que aparecem na expresso. Exemplo Resolvido: Resolver as expresses numrica: a) 5 4 6 1 3

{5 4 6 2 5 2 5 4 12 10 1 5 8 10 1 5 18 1 5 18 1 13 1 12

(

1

2 4

1

b)

6 12 5 8 6 12 5 8 6 12 13 6 12 13 7 7

6

4 .3

5

1

9

EXERCCIOS PROPOSTOS: Resolver as expresses numricas abaixo: 20 9 12 15 20 2 11 17 12 10 3

a)

b)

c)

55

10 .

4

2

6

3

2

d)

31

40 : 2

9

9

7

e)

9

+4

4

19

1

f) 10

6

9

4

.

2 5

g)

60

5

1

1

13

h)

i)

.

j)

.

Respostas: a) 18 b) 1 c) 93 d) 18 e) 18 f) 20 g) 0h)

i)

4

j) 6

FRAO: Dois nmeros naturais a e b, com b

0, quando escritos na forma

representam uma frao.

= .

O denominador representa o nmero de partes que o INTEIRO foi dividido e o numerador representa o nmero de partes que queremos considerar, ou seja, tomemos 1 inteiro e dividimos em 5 partes iguais (denominador) e consideramos 3 partes (numerador). A frao ser: 3 5

Exemplo de fraes:

;

;

;

;

;

;

;

ADIO E SUBTRAO DE FRAES: Mesmo denominador: conserva o denominador e fazemos a soma algbrica do denominador. Exemplo:

2

Denominadores diferentes: Devemos achar o m.m.c. (menor mltiplo comum dos denominadores). m.m.c.(3- 5- 2) 2 Exemplo: 3- 5- 1 31- 5- 1 5 1-1-1 2.3.5 = 30

m.m.c.(4-8-2) 2 2-4-1 2 1- 2- 1 2 1- 1- 1 2.2.2 = 8

MULTIPLICAO DE FRAES: Multiplicamos os numeradores e os denominadores separadamente. Exemplo:

. . .

.

. .

0,42

) =

.

.

NMEROS INVERSOS: dois nmeros so inversos quando a multiplicao entre eles d 1. Na prtica, para achar o inverso de um nmero, basta inverter o numerador com o denominador. O Inverso de

O Inverso de

1 2

2

O Inverso de

O Inverso de

no existe diviso por zero.

*O nmero zero no admite inverso: o inverso de

nos

DIVISO DE FRAES: conservamos a primeira frao e multiplicamos pelo inverso da segunda. Exemplo: Calcular a diviso das fraes abaixo:

a)

: .15 .

.. . .

. .

b)

c)

Exerccio resolvido: Resolver as operaes aritmticas: a)

.1 2

:41 2 2 2

. .

.9 2 1 2

.

b)

1

3 2

8 2 3 2

9 2

.

9

c)

.

. .

. .

.

.

.

.

.

EXERCCIOS PROPOSTOS.

Resolver as operaes abaixo:

a)

b)

9 10

.

5 3

8 3

21 5

c)

:

d)

e)

7(

7)

f)

.

18

Respostas:

a

1

b

0,033

c

5

d 10

e) 45

f)

52

POTENCIAO: Potncia de um Nmero Natural: Seja que o produto de , chama-se Potncia de base iguais a . onde 4 .4 2 . 3 3 16 2 . 2 . 2 8 9,87 27 3 81 Base negativa com expoente mpar tem-se potncia negativa. Base negativa com expoente par tem-se potncia positiva. e expoente , , , o nmero

. . . Exemplos: a) b) c) d) e) 4

3,14 . 3,14 3 . 3 . 3 . 3 . 6 3 3 .

*ATENO:

6 .

6 36

6 , pois 6.6 36

Potncia de expoente nulo (zero): Por definio, qualquer nmero, exceto o nmero 0 Exemplos: 5 1 3 1 1 Qualquer nmero elevado ao expoente 1 Exemplos: 3 3 9 9 ,elevado a potncia zero igual a 1. 1 1 0,25 1 1 0

?

)

=1

igual ao prprio nmero. 0 0 1 1

Exerccios: Resolver as potncias dos nmeros abaixo: a) 10 1 c) 10 d) 3 e) f) g) 2 8 1

Inverso da Potncia: Sejam

,

0 , o inverso de

representado por

Exemplos: a) 5 b) 2 c) 1 d) e) 3 3

1 27

1

f) 2 , , tem-se:

PROPRIDADES da potncia de mesma base: Sejam ,

# O produto de potncia de mesma base conserva-se a base e somam-se os expoentes.

.a) b) 3 .3 3 2 10 5 5 3 243 2 64 10 5 5 2 . 2 .2

c) 10 . 10 . 10 d) 5 . 5 .

# O quociente de potncia de mesma base conserva-se a base e subtraem-se os expoentes.

a) 6b)

6

6 4 7

616

=4 =7 =2

c)

1 72

1 49

e)

2

2

32

# A potncia do produto igual ao produto das potncias.

.a) b) 7. 2.

.7 . 2 . 49 8.

# A potncia do quociente igual ao quociente das potncias.

a)

0,58

b)

.

c)# A potncia de uma potncia igual ao produto das potncias..

a) b)

.

2 .

2

.

2 .

16 . , , 0 , , .

Propriedades de potncia de expoente racional: Sejam os nmeros ,P1 )

.

P2 )

P3 ) P4 ) P5 )

..

.ou

EXERCCIOS PROPOSTOS: resolver as potncias abaixo, utilizando as propriedades de potncia: a) 9 . 9 b) 10 . 10 c) 12 . 12 . 121

d)

81 3

e)

2

f)

3

3

2

g) h) 2 i) 10 . 10 4 . 10

j) 10 : 10 . 10 l).

m)

:

Respostas: a) 1 b) 0,01

c) 1

d) 1 32

e) 17 72 f) 9

g)

8

h)

i) 0,1

j) 10

l) 0,01

m) 10

RADICIAO: a operao inversa da potenciao. Definio: Dado um nmero

real

no

negativo

e um nmero (b tal que onde

natural , ,

1,

chama-se

3 4

radicando , raiz ,

,

Exemplos: a) 16 ? ? 16 , qual o nmero positivo que elevado ao quadrado resulta no nmero 16? 16, logo, raiz quadrada de 16 4, isto , 16 8 1 2 1 2 1 8, portanto 2 1 , portanto 1 16. 4 8. 1.

Resposta: O nmero 4, pois 4 b) 8 c) 1 d) 16 ? ? 2 2 ? ? 8 1

16 portanto 2

ndice Par : Quando a restrio que 0 , pois no existe no conjunto dos nmeros reais raiz quadrada de nmero negativo, ou seja , no existe um nmero que elevado ao quadrado resulte em nmero negativo. 16 16 .

ndice mpar: Quando o ndice for mpar no h restrio, por exemplo, existe nmero que elevado ao cubo resulte em um nmero negativo. a) 8 b) 2433

? 3

? 3

8

3

8

2 3

2

8, portanto 243.

2

8.

243, portanto

Exerccios: Calcular, caso exista, as razes dos nmeros abaixo: 3 a) 0 d) 27 b) 1 c) 814

e) 4 f)4

16

Propriedades da radiciao: a, b P1 ) P2 ) ..

+,

, Ex.: Ex.:

0,3

, .

,3.5

2. 15

.

.

. 0

.

P3 )

Ex.:3 3

P4 ) P5 )

.

Ex.: Ex.:

5 ,

3

5 0 , 6

3.2

5 , . , 1,

Potncia de expoente racional: Sejam os nmeros

Exemplos: a) b)1 83 3 22

25 2

1

3

c)

2

8

25

8quando o ndice do radical e o expoente da base forem mltiplos entre si, podemos simplificar.

2

25

5

Exemplos: a) 5 b) 7 c)6 3

4 d) 5 6 e) 5 7 f) 9

5 5 5 7 4 3 3 5 5 3 3 5 5 1 9 9

81

EXERCCIOS PROPOSTOS: Resolver as operaes com radicais: a) 27 b)6 3 3 3

8

3121

533

c) 0

4 2 1 b) 4 c) 3

4

Respostas

a)

POTNCIA DE 10: a potncia onde a base o nmero 10. Valem todas as propriedades de potncia.

1010 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 1 000 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 1 000 000 000 1 000 000 1 000 100 10 0,1 0,01 0,001 0,000 001 0,000 000 001 0,000 000 000 001 0,000 000 000 000 001 0,000 000 000 000 000 001

Transformando um nmero decimal em potncia de 10: Exemplos: b) 0,05 a) 0,55 10 5 101

5 5 5. 10 100 102 5 5 c) 0,005 5. 10 1000 103

5. 10

Deslocando-se a vrgula de um decimal para a direita, esse nmero fica multiplicado por 10, 100, 1 000 ..., o expoente da potncia de 10 diminui , , , na mesma ordem do deslocamento da vrgula. Resumindo, o nmero aumenta o expoente diminui.

. 10

Exemplos: a) 1,7 1,7. 10 17 . 10 17 . 10 deslocar a vrgula 1 casa decimal para a direita, logo, o expoente na base 10 diminui 1 unidade. b) 2,45 c) 84,052 2,45. 10 245 . 10 245 . 10 deslocar a vrgula 2 casas decimais direita, logo, o expoente na base 10 diminui 2 unidades. 84052 . 10

Exerccios : Dado o nmero 0,01234 escreva-o deslocando a vrgula para a direita: a) Uma casa decimal b) Duas casas decimais c) Trs casas decimais d) Quatro casas decimais e) Cinco casas decimais f) Seis casas decimais

Deslocando-se a vrgula de um nmero para a esquerda, esse nmero fica dividido por 10, 100, 1 000, ..., o , , , na mesma ordem do deslocamento da vrgula. expoente da potncia de 10 aumenta Resumindo, o nmero diminui o expoente aumenta. Exemplos: a) 17 b) 245

. 10

17 . 10 1,7 . 10 1,7 . 10 deslocar a vrgula 1 casa decimal para a esquerda, logo, o expoente na base 10 aumenta 1 unidade. 2,45 . 10 deslocar a vrgula 2 casas decimais para a direita, o expoente na base 10 aumenta 2 unidades.

Exerccios : Dado o nmero 1234 escreva-o deslocando a vrgula para a esquerda: a) Uma casa decimal b) Duas casas decimais c) Trs casas decimais d) Quatro casas decimais e) Cinco casas decimais f) Seis casas decimais

Adio e Subtrao de potncia de base 10: necessrio que os expoentes da base 10 sejam iguais.Exemplos: a) 5 . 10 4 . 10 5 expoentes iguais 1. 10 3 . 10 10 29 7 . 10 1. 10 1. 10 4 10 1 10 1 9 . 10 28. 10 3 1. 10 7 . 10 1 1 3 . 10 1 10 3 . 10

b) 29. 10 c) 1 .10 d) 10 + 10

Na adio ou subtrao, quando os expoentes da base 10 no forem iguais temos que transform-los para o mesmo expoente. Exemplos: 4 . 10 60 . 10 4 . 10 60 4 10 64 . 10 6 . 10 transformar o expoente de uma das parcelas, igualando a outra, 6 . 10 147. 10 10 .10

a)

60. 10 118 . 10 10.10 3 . 10 expoentes iguais 16. 10

b) 0, 29 . 10 147. 10 29 . 10 expoentes diferentes 10 3 . 10 c) 0,09 .10 expoentes diferentes 9 .10

29. 10 147. 10 expoentes iguais 3 . 10 9 .10

Exerccios Propostos: a) 15 . 10 b) 21 . 10 c) 44 . 10 d) 666 . 10 e) 5,9 . 10 10 13 . 10 10 4 . 10 8 . 10

2220 . 10 9 . 10 40 . 10 a) 28 . 10 b) 20 . 10 c) 40 . 10 d) 888 . 10 e) 50 . 10 f) 9 . 10

f) 6 . 10

Respostas

Multiplicao de Potncia de base 10:

Multiplicam-se os coeficientes e somam-se os expoentes da base 10. Exemplos: a) 4. 10 . 2. 10 b) 8. 10 . 3. 10 4 . 2 .10 8 . (-3) .10 7.1.2 .10 8 . 10 24 . 10 14. 10 14.1

c) 7. 10 . 10 . 2. 10

Diviso de Potncia de base 10:

Dividem-se os coeficientes e subtraem-se os expoentes da base 10. Exemplos:

a)

.

.

.10

2 . 10

b)

.

.. 10

. 10

6 . 10

c)

.

.

0,56 . 10

d)

, .

.

.

.

, .

.

.

, .

.

,

.

10

130 . 10

Exerccios Propostos: Resolver as operaes de potncia de base 10: a) 23. 10 0,023. 10

b) 99 . 10

89. 10

90 . 10

c)

.

.

, .

.

d)

48 .10 2 .10 6 6 10 4 .10

7

7,

e)

. 10

.

10

f) 2 2.10

4. 10

5 2 . 10

10

g)

. 10

.

10

h)

1 4

. 10

.

10

10

Respostas: a) 46. 10

b) 19. 10

c) 35. 10

d) 10

e) 1,17.10

f

25. 10

g) 5,5. 10

h) 0,83. ..

Ateno:S podemos simplificar fraes algbricas quando tiver produto no numerador, denominador ou em ambos.

errado: simplificar fraes algbricas onde tem adio ou subtrao no numerador,denominador ou em ambos.

errado

errado

errado

EXERCCIOS DE REVISO DE MATEMTICA BSICA 1) Resolver as expresses algbricas: a) { 7

3

1

6

3 3

b) 3

. 7

13

3

.

.

2

2) Resolver as operaes de potncias de base 10: a) 5 . 10 b) 8 . 10 3. 10

.

. .

.

.

c)

d)

, . .

. .

. . .

, .

e)

.

3) Resolver as equaes : a) 1 b)

c)

2

15

5

8

d)

e)

f)

4

5

Respostas: 1a) 16 2a) 101b) 28 2b) 9. 10 8

2c) 2. 10 2d) 2. 10

2e)10

3a)

2

3 6

4

3b)

3c) 2

3d)

1 2

3e) 1,4

3f) 4

Logaritmo: a operao inversa da potncia ( clculo do expoente n ) .Definio : Logaritmo de um nmero b real positivo, na base se deve elevar a base para se obter a potncia b. real positiva e diferente de 1 o nmero ao qual

log, Exemplos: log 16 log 5 log 1 5 2 5 1 16 1 o logaritmo de 1 em qualquer base 0 1 o logaritmo de 16 na base 2 0 1 0

b

.

logaritmo de nmero negativo

.

Logaritmo Neperiano:Chamado de logaritmo Natural o logaritmo que usa como base o nmero

e ( constante de Euler).

log lnln 1

ou 10 1

Propriedades dos logaritmos: : : . Logaritmo do produto a soma dos logaritmos.

Logaritmo do quociente a diferena dos logaritmos. !

ln

:

.

.

Logaritmo da potncia o expoente da potncia multiplicado pelo logaritmo da base dessa potncia.

:

Se dois logaritmos so iguais ento seus logaritmandos tambm so.

Funo Logartmica na base

2,718

ln 1 e e2 e3 e4 ln 1 = ln e = ln e2 = 2.lne = 2.1 = ln e3 = 3.lne = 3.1 = lne4 = 4.ln e = 4.1 = lne . ln 0 1 2 3 4 0 P(1,0)

Conjunto dos nmeros Naturais

Equao Logartmica na base : Temos que isolar a incgnita da equao utilizando as propriedades de logaritmo. Exemplos: a) ln 5 1 Restrio: sabemos que 1 simplificamos os ln 2,72 5 isolamos a incgnita 5 satisfaz a restrio: 2,28 5 ln 5 0 5

ln

5

5

2,28

Podemos resolver a mesma equao utilizando a definio de logaritmo: ln 5 1 5 5

2,72

2,28

b

ln 7 ln 3 ln 7 . 3 7.3 . 21

ln 5 ln 5 5 5 0,24

Restrio:

0

0,5 0,5 no convm pois, 0

c)

ln

8x 1 0 x ln 8 1 ln ln 8 1 8 1 87

0 ln 1 1

Restrio:

>0

satisfaz

a restrio

1 7

1 8

d)

ln

7

3 3 3

2 2 9

27 3

Restrio:

0, 0

0

satisfaz a restrio

Exerccios: 1 Resolver as equaes logartmicas abaixo: a) ln 2 4 0 Restrio: 2 4 0 2

b)

1

ln

24

Restrio:

24

0 24

c)

1

ln

24

Restrio:

0 0

d)

1

ln 2

ln

Restrio:

0

Respostas: a)

5

2

b)

5,2

c) 26,8. 10

e) 2

Trigonometria no Tringulo Retngulo: todo tringulo que possui um C o lado oposto ao ngulo reto : so os lados opostos a cada ngulo agudo: Teorema de Pitgoras: A c B

90.

Razes Trigonomtricas:

Seno de um ngulo agudo o quociente , entre o cateto oposto a esse ngulo e a hipotenusa.

b

a

c

Exemplo: Calcular o valor do arco no tringulo retngulo:

3

6

30

Cosseno de um ngulo agudo a razo entre o cateto adjacente a esse ngulo e a hipotenusa.a

bc

Tangente de um ngulo agudo a razo entre o cateto oposto e o cateto adjacente a esse ngulo.

Exemplos: a) 0,7071067 0,7071067 45

b)

0,8660254

0,8660254

30

c)

1,7320508

1,7320508

60

Exerccios propostos: Calcular o valor aproximado de cada arco especificado abaixo: 0,8660254 0,7071067 1,7320508 0,5773 f h) 1 2,7474774 1,7321 1

a)

d)

b)

e)

c)

g)

Relaes Fundamentais :

1) 2)

sen2 + cos2 = 1

ngulos Notveis:

NGULOS 30 1 2

45 2 2 2 2 1

60 3 2 1 2 3

3 2 3 3

UTFPR - PR

Matemtica Aplicada

Prof.: Rita de Cssia

Exerccios propostos: 1) Calcule o que se pede nos tringulos retngulos abaixo:

4 8 2

6

9 9 2

2) Calcular o valor aproximado de cada arco especificado abaixo: 0,8660254 0,7071067 1,7320508 0,5773 f h) 1 2,7474774 1,7321 1

a)

d)

b)

e)

c)

g)