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Carmen Iturriaga Sainz
Jesús Murillo Ramón
Facultad de Letras y de la Educación
Máster universitario en Profesorado de ESO, Bachillerato, FP y Enseñanza de Idiomas
Matemáticas
2014-2015
Título
Director/es
Facultad
Titulación
Departamento
TRABAJO FIN DE ESTUDIOS
Curso Académico
Matemáticas a través del juego (Gamificación)
Autor/es
© El autor© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2015
publicaciones.unirioja.esE-mail: [email protected]
Matemáticas a través del juego (Gamificación), trabajo fin de estudiosde Carmen Iturriaga Sainz, dirigido por Jesús Murillo Ramón (publicado por la
Universidad de La Rioja), se difunde bajo una LicenciaCreative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 3.0 Unported.
Permisos que vayan más allá de lo cubierto por esta licencia pueden solicitarse a los titulares del copyright.
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TRABAJO FIN DE MÁSTER
MATEMÁTICAS A TRAVÉS DEL JUEGO
(GAMIFICACIÓN)
MÁSTER UNIVERSITARIO EN PROFESORADO DE ESO,
BACHILLERATO, FP Y ENSEÑANZA DE IDIOMAS
ESPECIALIDAD: MATEMÁTICAS
Tutor: Jesús Murillo Ramón
Carmen Iturriaga
Curso 2014-2015
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ÍNDICE
1 INTRODUCCIÓN................................................................................................................. 3
2 MARCO TEÓRICO ............................................................................................................. 4
2.1 PROCESOS DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE .............................................................. 4
2.2 MATEMÁTICAS EN EDUCACIÓN SECUNDARIA Y BACHILLERATO .................... 9
2.3 PROCESOS ENSEÑANZA –APRENDIZAJE EN LAS MATEMÁTICAS: ................... 11
3 ELEMENTOS FUNDAMENTALES MEMORIA DEL PRÁCTICUM ....................... 20
3.1 DESCRIPCIÓN DEL CENTRO EDUCATIVO LA SALLE-ELPILAR .......................... 20
3.2 ESTUDIO GRUPO CLASE .............................................................................................. 21
3.3 PROCESOS DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE EN EL AULA .................................... 23
3.4 UNIDAD DIDÁCTICA: FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS........................ 28
4 PROYECTO DE INNOVACIÓN: MATEMÁTICAS A TRAVÉS DEL JUEGO
(GAMIFICACIÓN) ........................................................................................................................... 41
4.1 INTRODUCCIÓN Y CONTEXTUALIZACIÓN ............................................................. 41
4.2 OBJETIVOS ...................................................................................................................... 42
4.3 MARCO TEÓRICO........................................................................................................... 43
4.4 DESCRIPCIÓN DEL PROYECTO................................................................................... 44
4.5 CASO PRÁCTICO DE APLICACIÓN: ANGRY BIRDS. ............................................... 50
4.6 CRITERIOS Y MÉTODOS DE EVALUACIÓN.............................................................. 53
4.7 CONCLUSIONES ............................................................................................................. 56
5 BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................. 58
ANEXO I: SET DE ACTIVIDADES ......................................................................................... 60
EJEMPLOS DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS FUNCIÓN LINEAL..................................... 60
EJEMPLOS DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS FUNCIONES CUADRÁTICAS .................. 61
5.1 ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE COOPERATIVO .................................................. 62
5.2 ACTIVIDAD USO TICS; GEOGEBRA............................................................................ 66
ANEXO II: PRUEBA DE EVALUACIÓN UD. (EXÁMEN) .................................................. 69
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1 INTRODUCCIÓN
El objetivo principal del Máster Universitario en Profesorado de Educación Secundaria
Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanzas de Idiomas es proporcionar al futuro
profesor la adquisición de una formación especializada que le habilite para el ejercicio de la
enseñanza en la Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional y
Enseñanza de Idiomas conforme a las directrices y exigencias de la ORDEN ECI/3858/2007, de 27
de diciembre; y el REAL DECRETO 1834/2008, de 8 de noviembre.
El Trabajo Final del Máster en Formación del Profesorado de Secundaria, en la especialidad de
Matemáticas, pretende reunir y reflejar el conjunto de competencias profesionales adquiridas por
Carmen Iturriaga, como alumna del máster, a través de de las asignaturas genéricas, de las
específicas de la especialidad matemáticas, así como a través de la práctica docente en el centro de
educación secundaria.
El documento, siguiendo la guía para la elaboración del Trabajo Final de Máster para el curso
2014-2015, consta de los siguientes apartados:
Un Marco Teórico sobre los procesos de Enseñanza-Aprendizaje en general, y más
específicamente en el área de las matemáticas.
Resumen de los elementos fundamentales de la Memoria de Prácticas. En la que se realiza un
breve análisis sobre el Centro La Salle-El Pilar, de Alfaro y las metodologías educativas utilizadas en
el aula. Se realiza un análisis y descripción del grupo clase de 3º E.S.O, para los que se presenta una
de las dos unidades didácticas que se llevaron a cabo a lo largo del periodo de prácticas en el centro.
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Proyecto de innovación basado en la utilización de la juegos (gamificación) como apoyo en la
didáctica de las matemáticas. Con el proyecto se presenta un ejemplo de gamificación aplicado a la
unidad didáctica realizada durante las prácticas y expuesta en el apartado anterior.
2 MARCO TEÓRICO
2.1 PROCESOS DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE
La enseñanza tiene como fin la adquisición de un conocimiento, y cómo tal su objetivo es el
aprendizaje por parte del alumno de este conocimiento. Es imposible desvincular la enseñanza del
aprendizaje.
El aprendizaje consiste en un proceso constructivo interno por parte del alumno, basado en
generar relaciones entre conocimientos, de manera que relacione conceptos nuevos con los
previamente adquiridos. Se trata de un proceso que difiere entre sujetos, y que a su vez se encuentra
limitado por la capacidad de aprendizaje que cada uno de nosotros tenemos. Aprender no solamente
consiste en memorizar información, sino que son necesarias también otras operaciones cognitivas
que implican: conocer, comprender, aplicar, analizar, sintetizar y valorar.
La Enseñanza es la manera de estructurar un conocimiento y traducirlo a lenguaje didáctico
para que sea transmitido a otra persona; el alumno, con el objetivo de que éste lo aprenda. La
enseñanza pues, debe estar planteada en cada caso para cada contexto concreto de aprendizaje con
el que nos encontramos. Es un proceso que debe adaptarse a la manera de aprender de los alumnos a
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los que va dirigido. Por otro lado, su planteamiento y estructuración debe basarse en dos preguntas
claves; qué enseñar y cómo enseñar.
La información contenida en los Currículos Oficiales de Educación no llega al nivel de las
aulas, y éstos deben ser adaptados a las circunstancias concretas de cada centro y aula. Los
libros de texto que publican las editoriales y su complemento en forma de libro del profesor, orientan
con más grado de detalle al profesor en la planificación de sus clases, pero tienen el carácter de
generalidad y no contemplan las circunstancias específicas de cada centro, aula y alumno. Cada
profesor, tiene por lo tanto que desarrollar capacidades suficientes para poder planificar el qué y el
cómo de sus enseñanzas a las circunstancias concretas del lugar y el momento en que le corresponda
impartirlas.
Dentro de los procesos Enseñanza-Aprendizaje se podrían considerar los siguiente elementos
clave: El alumno, como agente central del proceso; el profesor, como gestor clave del proceso; los
objetivos educativos, como los contenidos o competencias que se espera adquiera el alumno, y son
clave para guiar el proceso; el contexto en el que nos encontramos, como parte influyente clave del
proceso (familia, centro educativo, sociedad, cultura, etc); las técnicas ó estrategias de enseñanza
utilizadas que son diseñadas por el profesor en función del resto de elementos, y son clave para
conseguir que el alumno alcance los objetivos buscados.
La figura del profesor tiene un gran peso en el proceso, ya que es el encargado de poner en
común todo el resto de elementos, y sobre él recae la responsabilidad de adaptar los contenidos
didácticos que se quiere que adquieran os alumnos al tipo de aprendizaje de cada uno de los mismos,
así al contexto sociocultural y económico en el que se desarrolla y en base a ello definir: ¿Qué tengo
que enseñar?, ¿cómo lo enseño?, ¿Qué contenidos voy a trabajar con mis alumnos?, ¿qué
expectativas tengo respecto a su aprendizaje?, ¿Cómo estructuro mis clases?, ¿Qué recursos voy a
utilizar?
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2.1.1 Teorías del Aprendizaje
Existen diversas teorías que intentan explicar cómo se produce el proceso de aprender, es
decir la forma en la que los individuos adquieren y modifican los conocimientos, habilidades,
comportamientos y las estrategias utilizadas para ello. Estas teorías son de gran utilidad para el
docente, ya que ayudan a comprender el comportamiento humano en la adquisición de
conocimientos. Entre las teorías contemporáneas más utilizadas en la actualidad se encuentra el
Conductivismo, el Cognitivismo y el Constructivismo.
Conductivismo: Se entiende el aprendizaje y las experiencias cómo mecanismos que hacen que la
conducta sea modificada. El desarrollo no tiene que ver con el individuo en sí (todos somos una
“pizarra en blanco”), sino con lo que aprende y con lo que experimenta. Se ve a la persona cómo
individuo pasivo que reacciona a los estímulos externos (contexto) por los que está controlado.
Dentro del conductivismo destacan tres vertientes de pensamiento:
Condicionamiento clásico de (Paulov), según el cual, Las conductas se van adquiriendo
por asociación de ideas. Consiste en asociar un estímulo natural (ejem: trozo de carne) con
su respuesta natural (ejem: salivación) y conectarlo con un segundo estímulo (ejem: sonido
de campan coma) para generar una respuesta que no se da naturalmente.
Condicionamiento operante ó instrumental (Skinner), para el cual, las conductas se van
adquiriendo en función de las consecuencias que generan. Las consecuencias de la
conducta producen cambios en la probabilidad de que esta aparezca. Si la conducta es
reforzada (premiada), el alumno repetirá el comportamiento, por el contrario si es castigada,
el alumno tenderá a evitar dicho comportamiento.
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Aprendizaje Social: aprendizaje vicario: El aprendizaje del comportamiento se adquiere
por observación e imitación de otros modelos. El aprendizaje de un comportamiento se
adquiere mediante la observación de las consecuencias de esas conductas en otros. Es decir;
“el comportamiento genera comportamiento”. No sólo es posible adquirir un nuevo
comportamiento, sino inhibir otros comportamientos.
El conductivismo considera que al alumno como elemento pasivo dentro del proceso de
enseñanza-aprendizaje, siendo su aprendizaje totalmente dependiente de los estímulos externos que
se generan a su alrededor, de lo que es encargado el profesor.
Cognitivismo/Constructivismo: Según las teorías del cognitivismo, los cambios que observamos
en las conductas ocurren como consecuencia de los cambios en el conocimiento y la capacidad
intelectual .Lo importante es cómo la persona recibe, procesa y construye la información o el
conocimiento. Es decir los procesos mentales que ocurren en la mente de cada alumno para
recepción y representación de un contenido, así como su retención en la memoria para su posible
recuperación cuando sea necesario.
El constructivismo consiste en hacer entrega al alumno de las herramientas necesarias para que
sea él mismo quien resolviendo situaciones problema vaya construyendo su propio conocimiento.
Estos modelos basan el aprendizaje en lo que los alumnos saben y cómo lo adquieren más que en
su comportamiento. El alumno pasa a ser el protagonista del proceso de aprendizaje y el profesor
queda como guía que amplía el alcance del sujeto.
Modelo de Piaget: El desarrollo y aprendizaje humano se construye por el propio individuo,
cómo resultado de la interacción y elaboración propia de la información que recibe.. Lo importante
es cómo aprende el alumno. El individuo en su adaptación a un entorno cambiante es un ser activo en
la construcción de su conocimiento.
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Este modelo considera que el conocimiento está estructurado en esquemas, y estudia las
estructuras del pensamiento que dan lugar a un pensamiento cada vez más elaborado. El desarrollo se
divide en una serie de fases ó estadios a lo largo de la vida.
Modelo cognitivo- social (Vygostki): La construcción del conocimiento es un producto de la
interacción social. La interacción social se convierte en el motor del desarrollo. El individuo
construye su propio aprendizaje de manera activa y se considera el lenguaje como vehículo de
aprendizaje. Existe un proceso de interiorización que consiste en transformar la información recibida
en un plano social (interpsicológico) a uno individual (intrapsicológico)
Vigotsky introduce el concepto de zonas de conocimiento ó desarrollo: Zona de desarrollo real:
lo que el alumno ya sabe; Zona de desarrollo próximo, lo que el alumno es capaz de aprender con un
guía (profesor u otros compañeros); y Zona potencial: Lo que el alumno es capaz de aprender.
El aprendizaje escolar ha de ser congruente con el nivel de desarrollo del niño. El desarrollo se
produce como una interacción, donde influyen mediadores que guían al niño a desarrollar sus
capacidades cognitivas.
Modelo de Ausubel: Aprendizaje significativo: Defiende que el proceso de aprendizaje debe
ser significativo, en el cual los nuevos conocimientos (conceptos) se incluyen en la estructura de
conocimiento ya creada por los conocimientos previamente adquiridos. Esta inclusión se realiza a
través de vínculos o conexiones con los conocimientos previos.
Se trata de un proceso de enseñanza-aprendizaje en la que el alumno, de manera autónoma,
motivada y autorregulada va adquiriendo nuevos conocimientos e incorporándolos sobre su tejido
cognitivo previo. Se trata de un aprendizaje consciente en el que el alumno se da cuenta de lo que
está aprendiendo (metacognición).
El profesor actúa como mediador en el aprendizaje. Un papel fundamental del profesor en este
tipo de aprendizaje es conseguir despertar en el alumno motivación para aprender.
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2.2 MATEMÁTICAS EN EDUCACIÓN SECUNDARIA Y BACHILLERATO
Una de las finalidades de la educación es formar personas equilibradas y capaces de
enfrentarse de forma constructiva a los problemas que plantea una sociedad en permanente
cambio. En el contexto social y cultural actual, caracterizado por su alta tecnificación, las
Matemáticas cobran cada vez más importancia. Además, gran parte del progreso intelectual y
material logrado a lo largo de la historia de la Humanidad se debe directa o indirectamente al
aporte de las Matemáticas.
Las matemáticas están estrechamente vinculadas a los avances de la civilización y han estado
presentes a lo largo de toda la historia. Nuestros antepasados tuvieron la necesidad de desarrollar
herramientas matemáticas: cálculos, medir, relacionar distintas unidades, etc. para poder
interpretar y relacionarse con el entorno. De aquí pasaron a formular “modelos de la realidad”
que permitieran predecir acontecimientos ante situaciones similares, aplicándolos a las ciencias
experimentales y sociales. Por otro lado, el lenguaje y razonamiento matemático aplicados a
fenómenos de la realidad, nos ayuda a comprender y expresar mejor el mundo que nos rodea.
En consecuencia, la finalidad de la enseñanza de las matemáticas no es solo su aplicación
instrumental, sino también el desarrollo de las facultades de razonamiento, abstracción y
expresión, y su aportación al desarrollo de competencias básicas que le van a ayudar al alumno
en diferentes aspectos de su vida futura.
El actual sistema educativo está basado en la adquisición de competencias, más que en la
simple adquisición de contenido. Con las competencias básicas se integran las tres formas o pilares
tradicionales del saber: El saber teórico (conocimientos), que correspondería con el “Saber”, el
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saber práctico (habilidades o destrezas) que se correspondería con el “Saber hacer” y “Saber ser”
o querer hacer (actitudes).
Se definen como la forma en que un alumno o alumna utiliza todos sus recursos personales
(habilidades, actitudes, conocimientos y experiencias) para resolver adecuadamente una tarea en
un contexto determinado. Se consideran aprendizajes imprescindibles y al finalizar la enseñanza
secundaria obligatoria un alumno debe haberlos adquirido para: lograr su realización y desarrollo
personal, ejercer debidamente la ciudadanía, incorporarse a la vida adulta de forma plena y ser
capaz de continuar aprendiendo a lo largo de la vida.
Con la enseñanza de las matemáticas en secundaria, además de la adquisición del
conocimiento matemático como tal, se pretende que los alumnos desarrollen una serie de
competencias básicas, cómo son un mejor conocimiento e interacción del mundo físico, así como la
interpretación y tratamiento de la información dada, mejorar competencia lingüística mediante la
formalización del pensamiento, un mejor entendimiento de la cultura y el arte a través de formas
geométricas, una mayor autonomía personal que ayude ayuda en la toma de decisiones, y un mejor
entendimiento de fenómenos estadísticos sociales.
La enseñanza de las matemáticas en la Educación Secundaria Obligatoria desempeña un
triple papel:
Un papel formativo, ya que contribuye el desarrollo de capacidades cognitivas, de
razonamiento, abstracción, deducción, reflexión y análisis que permiten construir una visión
alternativa de la realidad a través del desarrollo de modelos matemáticos
Un papel funcional, en cuanto al conjunto de procedimientos y estrategias de
resolución de problemas, de técnicas para establecer relaciones de la realidad no directamente
observables y de capacidades para anticipar y predecir resultados antes de que sucedan.
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Un papel instrumental, que permite por una parte, la interpretación de situaciones
de la vida diaria relacionadas con el consumo, la economía y la vida social y por otra, la expresión
y comunicación de conocimientos pertenecientes a otros ámbitos de aprendizaje.
2.3 PROCESOS ENSEÑANZA –APRENDIZAJE EN LAS MATEMÁTICAS:
Ser profesor de Matemática, exige mucho más que tener una amplia cultura matemática, que es
requisito necesario pero no suficiente, además esos conocimientos han de ser proyectivos para que
los demás puedan aprenderlos. El profesor de matemática debe especializarse en matemáticas
escolares, como objeto de enseñanza, tiene que transformar sus conocimientos en objeto de
enseñanza-aprendizaje, esta transformación es lo que algunos autores han denominado como
“Trasposición didáctica”.
El estudio de los distintos significados de un concepto matemático es indispensable en la
planificación escolar con miras a su enseñanza y aprendizaje. El profesor debe ser capaz de descifrar
el contenido matemático en diferentes formas, y mostrárselo al alumno a través de actividades y
ejemplos que despierten el interés y la motivación del mismo de manera que faciliten su aprendizaje.
Es importante mostrar al alumno la utilidad que las matemáticas tienen en su día a día, buscando
ejemplos que les sean cercanos.
Para que el aprendizaje sea efectivo la enseñanza de las matemáticas debe configurarse de
forma cíclica, de manera que los nuevos conocimientos son construidos a partir de los ya existentes,
de manera que se descubran nuevos campos de aplicación para los mismos y se enriquezca su
conocimiento a través de nuevas relaciones.
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El profesor debe tener muy presente la diversidad dentro del aula, y la metodología utilizada
se debe adaptar a cada grupo de alumnos buscando rentar al máximo los recursos disponibles y las
capacidades de cada uno. Se debe aplicar un aprendizaje inductivo, de manera que se generen
estrategias personales que ayuden al alumno en la resolución de problemas generados en situaciones
cercanas a ellos. Es importante tener en cuenta que cada alumno, tiene un nivel de partida y un ritmo
de aprendizaje diferente, y es necesaria una atención individualizada para conseguir que cada alumno
desarrolle al máximo sus capacidades individuales.
Se plantea que el alumno adquiera unos hábitos de trabajo propios de las matemáticas que le
sirvan para realizar un aprendizaje autónomo de las matemáticas . Se deja que el alumno vaya
incorporando de manera activa y consciente nuevos conocimientos, basándose en sus conocimientos
previos y a través de una capacidad de formalización que va a adquiriendo. Se debe dejar al alumno
aprenda por sí mismo, pero haciendo un seguimiento del método de estudio que utiliza de manera
que se genere en el alumno la confianza en su capacidad matemática que le permitirá resolver
adecuadamente los problemas que se le presenten. De esta manera se aumenta la motivación e interés
por la materia, al ser el propio alumno consciente de su aprendizaje y el propio constructor de su
conocimiento.
La introducción de nuevos conceptos se debe hacer de forma intuitiva, buscando
paulatinamente el rigor matemático y utilizando, en la medida de lo posible, un determinado
lenguaje verbal, gráfico numérico y algebraico para transmitir ideas e información
En la enseñanza de las matemáticas debe fomentarse el trabajo en grupo, de manera que se
potencialice la capacidad reflexiva y de argumentación del alumno. Por otro lado el trabajo en grupo
trabaja otras competencias que serán de gran utilidad para el alumno en su vida en sociedad y le
preparan para trabajo futuro.
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La resolución de problemas ha de estar activo en todos y cada uno de los bloques durante
todo el curso y en todos los cursos. De esta manera, se utilizan los conocimientos adquiridos a través
de los otros bloques, y se aplican a situaciones de la vida real. Con la Resolución de problemas se
pretende activar capacidades básicas del alumno cómo son comprender, reflexionar, extraer
información, establecer plan de trabajo, generar hipótesis, comprobación de resultados y
extrapolación de los mismos. Este bloque persigue algo muy importante, que es que el alumno
adquiera confianza en sus propias capacidades para interpretar, valorar datos y tomar decisiones
sobre situaciones que supongan un planteamiento matemático.
La enseñanza de las matemáticas actualmente está influenciada por los nuevos avances de las
tecnologías de la información y la comunicación. Actualmente existen software específicos para la
didáctica de las matemáticas como son el Cabri, Geogebra ó el X-Logo.
La introducción y ampliación de las nuevas TIC en el área de las matemáticas obliga, por
tanto, a un nuevo planteamiento, tanto en los contenidos como en la metodología. Es importante
destacar que en el aprendizaje de las matemáticas hoy es imprescindible el uso de elementos
tecnológicos como la calculadora y ordenadores pero haciendo un uso racional de ellos de forma
que el alumno pueda hacer cálculos sencillos, o representación de gráficas y funciones en su
ausencia.
La incorporación de herramientas tecnológicas como recurso didáctico para el aprendizaje y
para la resolución de problemas contribuye a mejorar el desarrollo de esta competencia digital en los
alumnos, así como también puede ayudar a despertar su motivación por las matemáticas.
No sólo existen software específicos para la didáctica de las matemáticas, sino que son muchos los
contenidos matemáticos que encontramos en otros recursos digitales como pueden ser los
videojuegos. Los videojuegos son un recurso que puede utilizarse para la didáctica de las
matemáticas, de manera que al mismo tiempo que se trabajan contenidos matemáticos se despierta la
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motivación de los alumnos por la asignatura y se favorece la adquisición de la competencia digital.
Dentro del proyecto de innovación planeado en este trabajo, se propone la utilización de un
videojuego para trabajar contenidos matemáticos concretos como son las funciones lineales y
cuadráticas.
2.3.1 Principios metodológicos en la enseñanza-aprendizaje de las
matemáticas
Entendemos por metodología una serie de acciones que se llevan a cabo para la
consecución de un fin. En el caso de los procesos de enseñanza-aprendizaje de matemáticas en las
aulas de secundaria, se abogará por una metodología activa y constructiva que atienda a la
diversidad y promueva el aprendizaje significativo. Basándonos en los principios y
orientaciones metodológicas de la L.O.E. y del Decreto que regula la E.S.O en la Rioja
formularemos las siguientes estrategias metodológicas a seguir en la forma de trabajo en e l aula:
1. Partir del nivel de desarrollo y los conocimientos previos del alumnado El
conocimiento no se acumula o se suma sino que el aprendizaje se construye integrando los nuevos
conocimientos a los que el alumno ya posee. Por eso la única forma de desarrollar al máximo las
potenciabilidades de alumnado es indagar acerca de sus ideas propias acertadas o erróneas y
tomarlas como punto de partida para construir aprendizajes significativos. Esto se consigue
mediante una evaluación inicial de los contenidos de cada unidad didáctica. Además dicha
evaluación nos permitirá detectar los distintos niveles de desarrollo desde el punto de vista
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madurativo y curricular que cada alumno posee y que condicionará la adquisición de nuevos
conocimientos.
2. Metodología activa y participativa. Apostaremos por una metodología efectiva basada
en “hacer matemáticas en clase de matemáticas”. Huiremos por tanto de una concepción de la
materia como un conjunto de conocimientos acabados y de una metodología de mera transmisión
de conocimientos que deja al alumno en una posición pasiva. Los protagonistas del proceso de
enseñanza y aprendizaje deben ser los alumnos y alumnas, no el profesor. El alumno debe
participar activamente en clase y ser motor de su propio aprendizaje. Según marca la L.O.E
reconocemos el principio del esfuerzo como indispensable para lograr una educación de calidad.
El profesor o profesora se concibe así como un mero mediador entre los contenidos y el alumnado
y como un organizador de la actividad cotidiana fomentando siempre un clima de disciplina en
aula necesario para poder desarrollar la actividad cotidiana.
3. Atención a la diversidad. En la medida de lo posible y siempre que las ratios lo permitan
intentamos ofrecer una atención individual a cada alumno, ya que cada uno tiene un nivel de
partida y un ritmo de aprendizaje diferente. Cuándo se habla de atención a la diversidad suele
venirnos a la cabeza los alumnos con problemas de aprendizaje, sin embargo tan importante como
atender las necesidades de estos alumnos es atender y potenciar a aquellos alumnos con altas
capacidades. En definitiva, la atención a la diversidad debe centrarse en todos los alumnos, para
conseguir que cada uno de ellos consiga desarrollar al máximo sus capacidades.
Los contenidos matemáticos, así como la resolución de ejercicios y problemas planteados en
cada unidad didáctica deben adaptarse a las características particulares de la clase y de manera
individual a cada uno de los alumnos.
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Los diferentes contenidos matemáticos, y la resolución de ejercicios y problemas referidos a
los mismos, se deberán tratar con diferente grado de dificultad en función de las necesidades de cada
alumno. Así se plantean ejercicios/problemas de repaso ó refuerzo, con los que se refuerzan
conocimientos previos sobre los que se construye el nuevo conocimiento. A lo largo de las unidades
didácticas se propone de manera general al grupo ejercicios/problemas de desarrollo, de nivel básico
y medio, que pretenden desarrollar los nuevos contenidos tratados en cada unidad. A aquellos
alumnos más avanzados se les debe proponer ejercicios/problemas de ampliación, que les motiven y
hagan que desarrollen sus capacidades
4. Motivación y atención a las competencias básicas. La motivación es un factor
fundamental a la hora de obtener el mejor rendimiento posible sobre todo en matemáticas donde
es frecuente la desmotivación hacia la materia. Para motivar a los alumnos se puede empezar cada
unidad didáctica planteando una pregunta o problema que les cree un conflicto cognitivo, es decir
que suponga un choque con las ideas previas de los estudiantes acerca del tema. Siempre
utilizando problemas próximos a su entorno, con el fin de despertar su interés y curiosidad, de este
modo fomentar la necesidad de obtener respuestas para solucionarlo y así promover una actitud
positiva hacia el aprendizaje. Se partirá de situaciones cercanas al alumnado para poco a poco ir
añadiendo complejidad y abordar los problemas desde un punto de vista más amplio, combinando
reflexión teórica y práctica. Atendiendo al carácter procedimental de las matemáticas se debe
poner especial énfasis en la funcionalidad de los conocimientos adquiridos. Además así estaremos
prestando especial atención al desarrollo de las competencias básicas, es decir a formar personas
capaces de enfrentarse a diferentes problemas y situaciones de su vida cotidiana.
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5. Potenciación de la lectura y el tratamiento de la información como estrategia de
aprendizaje. La lectura comprensiva constituye un factor fundamental para el desarrollo de las
competencias básicas. Desde la materia de matemáticas procuraremos fomentar el hábito y el
gusto por la lectura proporcionándoles textos seleccionados sobre historia de las matemáticas,
curiosidades o su aplicación en diferentes contextos la vida diaria. Incorporaremos las tecnologías
de la información como recurso cotidiano en el proceso de enseñanza y aprendizaje y se trabajará
con distintas aplicaciones informáticas para matemáticas.
6. Trabajo individual y en equipo. Se debe plantear problemas a los que los alumnos se
enfrentarán de forma individual y en grupo. Además el equipo docente debería coordinarse para
proporcionar conexiones interdisciplinares con otras áreas y aportar una visión cultural de las
matemáticas y así lograr una mayor significatividad. Para ello, se podrían utilizar apuntes
bibliográficos de grandes matemáticos a lo largo de la historia, el origen de los símbolos o la
aplicación de las matemáticas en la ciencia y la tecnología.
Realizaremos distintos tipos de agrupamientos según lo requiera la situación y la actividad a
realizar. En ocasiones será necesario el trabajo individual del alumno, ya que favorece la
reflexión, le ayuda a profundizar en los razonamientos de tipo formal introduciendo el lenguaje
simbólico y permite comprobar su grado de conocimiento con el fin de prestar el apoyo adecuado
en cuanto se detecte algún tipo de dificultad.
En el aula los alumnos suelen estar agrupados por parejas, que dependiendo de la actividad
se pueden convertir en grupos de cuatro. El trabajo en pequeños grupos les resultará motivador,
ya que adquieren un compromiso con el grupo; facilitaremos nuestra intervención en aquellos
grupos que más la requieran, favorece el aprendizaje cooperativo en lugar del competitivo, la
coeducación y les da la oportunidad de contrastar ideas y llegar a una solución común. Así se
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potencia la capacidad socioafectiva del alumnado, se trabajan contenidos de tipo actitudinal y se
atiende a la diversidad.
En otras ocasiones tomaremos el grupo clase para realizar exposiciones, demostraciones o
actividades conjuntas aunque no la consideraremos como la única forma de organizar el aula.
Alternaremos los periodos de trabajo individual, pequeño o gran grupo evitando así la
monotonía y posibilitando la utilización de diferentes estrategias de enseñanza-aprendizaje.
A continuación se muestra un esquema de la introducción del currículo de Matemáticas para
la E.S.O en la Rioja: Se trata de un esquema de elaboración propia, realizado durante la asignatura
de Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas.
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3 ELEMENTOS FUNDAMENTALES MEMORIA DEL
PRÁCTICUM
3.1 DESCRIPCIÓN DEL CENTRO EDUCATIVO LA SALLE-ELPILAR
El Prácticum realizado durante el máster de secundaria lo llevé a cabo en el centro de La
Salle- El Pilar, de Alfaro. El centro educativo La Salle- El Pilar es un centro concertado
confesional situado en el municipio de Alfaro, en la Comunidad Autónoma de La Rioja a 75 Km
de la capital, es el centro comarcal y de servicios de la Rioja Baja.
Este centro de Alfaro, se encuentra dentro de una RED de centros Lasalianos que trabajan en
coordinación conjunta dentro del Distrito de Bilbao. Para la coordinación de todos los centros de
la Red existe un Equipo de Animación que trabaja con la perspectiva global y actúa de facilitador
de la tarea siguiendo las pautas que se marcan desde la Asamblea para la Misión Educativa
(AMEL) y del Consejo de la Misión Educativa Lasaliana (CMEL) que toma las decisiones
pertinentes para que éstas se vayan llevando a la práctica.
El centro ofrece educación desde los 3 años hasta los 16 años. Por lo que imparte las etapas de
Educación Infantil, Primaria y primer ciclo de Secundaria. Además también existe un aula para
niños de dos años. Una vez que los alumnos terminan la enseñanza secundaria obligatoria
generalmente continúan sus estudios de Bachillerato en el instituto público Gonzalo de Berceo en
Alfaro.
En la etapa de secundaria existe un único grupo por cada curso escolar, a excepción de 4º en
el que los alumnos se reparten entre opciones educativas A y B.
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3.1.1 Tipo de Alumnado
El centro tiene un total de 104 alumnos en el ciclo de secundaria, El nivel socio cultural de
las familias que integran el centro podríamos considerarlo como medio, no presenta problemas
específicos de nivel de empleo o paro laboral ni de desestructuración familiar.
En cuanto al nivel de estudios de las familias se puede decir que el 40% tiene estudios
básicos, un 42% estudios medios y un 18% estudios universitarios. Aproximadamente en el 60%
de las familias son los dos progenitores los que trabajan, y un 40% en las que sólo uno de ellos lo
hace. El 54% de las familias se dedica al sector terciario, el 40% a secundario y el 6% primario.
Con respecto a la procedencia del alumnado, cabe decir que el centro opta por la integración
de las minorías socioculturales, de los desfavorecidos y del alumnado con necesidades educativas
especiales. Atendiendo a esto, la composición del centro dentro del primer ciclo de secundara
sería la siguiente: 5% alumnos que necesitan que necesitan algún tipo de atención al tratarse de
alumnos diagnosticados como ACNEE, TDA-H, alumnos que necesitan adaptación por sordera u
falta de vista y alumnos que presentan retaso curricular. En el centro, un 6% de los alumnos
proceden de minorías culturales procedentes sobre todo de América latina.
3.2 ESTUDIO GRUPO CLASE
La E.S.O está organizada en cuatro cursos académicos, que se seguirán de forma ordinaria
entre los doce y los dieciséis años. Esta etapa de secundaria coincide con la etapa operacional-
formal de desarrollo según el modelo de desarrollo y aprendizaje de Piaget. Nos encontramos en
una etapa en la que empiezan a desarrollarse las ideas abstractas y el pensamiento lógico y
22
ordenado. No sólo se piensa en lo concreto, sino también en lo posible. También es una etapa en la
que se desarrolla el comportamiento social y moral.
Los alumnos en esta etapa se encuentran en un periodo muy característico de la persona que
es la adolescencia, en él se producen números cambios físicos, de conducta y de identidad. El
adolescente empieza a manifestar cierta autonomía y se ve obligado a tomar sus propias
decisiones, al tiempo que aun presenta bastante dependencia de los adultos. Durante este periodo
de la adolescencia en el que se encuentran, los alumnos y alumnas presentan una serie de de
características psicoevolutivas comunes.
Desde la materia de matemáticas es interesante destacar especialmente las referidas a su
desarrollo cognitivo. Se produce el tránsito al periodo de las operaciones formales . Pasan del
pensamiento concreto (basado en la realidad de los objetos e incapaz de formular hipótesis) al
pensamiento formal, cuyos rasgos más característicos son:
- Empiezan a argumentar a partir de la deducción.
- Son capaces de aislar y combinar variables matemáticas.
- Comienzan a establecer de hipótesis que posteriormente contrastan con la realidad
- Desarrollan una mayor capacidad de análisis, es decir empiezan a acercarse al
conocimiento de los hechos de la manera en que lo haría un científico.
Concretamente, la unidad didáctica preparada se centra en el tercer curso de la E.S.O. El
grupo clase está formado por 25 alumnos, es heterogéneo, ya que no todos los alumnos y alumnas
tienen el mismo ritmo de aprendizaje, produciéndose además una diversidad de intereses y
motivaciones. Además en el aula se encuentran algunos alumnos con Necesidades Específicas de
Apoyo Educativo (N.E.A.E.). Concretamente se trata de 6 alumnos que salen del aula en los
desgloses. Entre estos encontramos 2 con desajuste curricular y cuyo nivel de matemáticas
equivale a 5º de primaria, 1 diagnosticado como TDHA, otro con problemas de sordera y los dos
23
restantes son repetidores, con problemas para aprobar las matemáticas, por no entenderlas en el
ritmo del grupo clase.
La unidad didáctica que preparé e impartí durante el periodo de prácticas está planteada para
los otros 19 alumnos que permanecen en clase durante el desglose. Se trata de la unidad de
“Funciones lineales y cuadráticas”, dentro de la asignatura de matemáticas.
Los 19 alumnos restantes, forman un grupo mixto de 9 chicos de y 10 chicas con 100%
alumnos procedentes de Alfaro, no existe inmigración, ni problemas de integración, y tampoco
alumnos con problemas de aprendizaje. En general son muy participativos y muestran ganas de
aprender, no les cuesta salir a la pizarra ni hablar en clase.
3.3 PROCESOS DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE EN EL AULA
El estilo pedagógico del centro La Salle- el Pilar de Alfaro pivota sobre la estrecha relación de
los educadores con los alumnos: Desde la relación de cercanía el educador:
-Trata de construir la auto imagen del alumno.
- Le ayuda a trascender su propia situación.
-Da un significado a los aprendizajes.
-Se mantiene optimista de forma radical.
El educador es un mediador. Mediar es aproximar, enriquecer, ayudar a enco ntrar sentido. El
educador se coloca entre la cultura y los alumnos; entre la experiencia y la iniciación; entre la
dificultad de contenidos y la capacidad para adquirirlos. El educador es el mediador es el creador del
ambiente, el método, el clima en el cual se puede realizar el aprendizaje
24
Reflexiones al empezar el día.
Desde la Salle se defiende el educar en valores, crear personas reflexivas e inclusivas, sensibles
con temas medioambientales y sociales, por lo que los 10 primeros minutos del comienzo de cada
día, se lleva a cabo una actividad de reflexión sobre un tema concreto. A través de videos cortos se
tratan temas de racismo, exclusión social, homofobia, enfermedades, superación personal,
motivación, esfuerzo, etc.
Relación muy cercana Profesor-Alumno.
Durante mi estancia en el aula he podido observar la gran cercanía que existe entre el profesor-
alumno. En cada una de las clases, el profesor utiliza unos primeros minutos, mientras los alumnos se
colocan en sus puestos, para charlar con los alumno de otros temas no relacionados con la asignatura,
o haciendo alguna broma ó chiste que cree un buen ambiente de trabajo. Pasado estos minutos
cuando los alumnos están centrados a la conversación es cuando se empieza con la materia.
Se trata de un centro pequeño en el que los profesores y alumnos se desde hace años, y eso creo
una confianza que ayuda a poder usar bromas y tratar teas que sabes son de interés de los alumnos.
Ambiente cómodo para la participación
En todas las clases a las que he asistido se ha fomentado la participación del alumno. Se ve que
están acostumbrados a salir a la pizarra, exponer sus ideas, resolver dudas a sus compañeros, etc. Se
intenta generar por parte del profesor un ambiente participativo, en el que el alumno sea parte del
proceso y se mantenga atento. Durante las clases se lanza preguntas al alumnado constantemente, así
como se hace que el alumno salga a la pizarra, explique a sus compañeros dudas, etc.
25
Por supuesto, siempre hay alumnos más tímidos que otros, por lo que esta participación no es la
misma por parte de todos los alumnos.
Trabajo individual, en grupo,
En el aula se combina la explicación de la teoría por parte del profesor con la realización de
ejercicios por parte de los alumnos. Estos ejercicios se realizan tanto en la pizarra como ejemplo para
todo el grupo clase, como de manera individual ó combinando actividades de trabajo cooperativo.
Trabajo en Cooperativo.
Durante estos últimos años La Salle-El Pilar ha introducido el trabajo en cooperativo en sus
aulas. Tanto alumnos como profesores están todavía en proceso de aprendizaje de este método. De
todas maneras, las primeras fase de esta método de trabajo ya está instaurado en todas las aulas y
asignaturas de la Salle- el Pilar de Alfaro. El tutor de cada grupo es el encargado de distribuir a los
alumnos en grupos de 4-5 alumnos que serán los utilizados siempre que se trabaje en cooperativo.
A lo largo de las clases se incluyen muchas actividades para trabajar en cooperativo como son
“lápices al centro”, “saco de dudas”, “el uno, dos y tres de cada grupo”, etc.
Los alumnos van interiorizando esta manera de trabajar, y entendiendo la importancia de la
misma. Poco a poco se mejora este método y se pretende en un futuro poder realizar clases enteras a
través de este tipo de actividades.
26
Trabajo para casa.
Al finalizar cada clase, casi siempre se manda una serie de ejercicios o problemas para que los
alumnos lo resuelvan en casa. Estos ejercicios se corrigen entre todos al inicio de la clase del
próximo día, resolviendo las dudas que existan.
Relación constante de contenidos con contenidos tratados en otras materias y conocimientos
que el alumno ha adquirido en cursos anteriores.
Al tratarse de profesores multidisciplinares, es decir, que el mismo docente que imparte las
matemáticas también imparte otras asignaturas de ciencias a los mismos alumnos, es más sencillo
poder relacionar los contenidos de las clases de matemáticas con otras materias y dándole
significado y utilidad. Del mismo modo, como los profesores son los mismos que han impartido la
materia en cursos anteriores y la impartirán en posteriores, es sencillo hacer alusiones a lo que ya se
vio ó a lo que se verá.
Atención a la diversidad:
En el Colegio La Salle-El Pilarse adopta la postura de la inclusividad a la hora de atender a la
diversidad. Se intenta que todo el mundo estudie de manera conjunta, en grupo (s), entendiendo que
este es el mejor modo para el desarrollo del alumnado.
Desde los cursos de infantil y primaria se trabaja en que los alumnos incluyan “al diferente”,
incluso aprendan de él. Durante los cursos de la E.S.O. se realizan desdobles en alguna asignatura
como Matemáticas, Lengua y Literatura, con lo que el número de alumnos se reducía a la mitad o
incluso menos. Lo que se consigue con esto, obviamente, es que el profesor pueda personalizar
mucho más lo que enseña, ya que se dirige a un número menor de personas.
27
Por otro lado, todos los lunes por las tardes existe de 1 a 2 “horas de dudas”. Todos aquellos
alumnos que lo deseen pueden acudir, tras las clases, al centro para resolver de manera individual las
dudas con el docente correspondiente.
Para atender a los posibles problemas que puedan presentar los alumnos, el centro cuenta en
secundaria con un equipo de tres psicólogas-pedagogas-Logopedas y una orientadora.
Recursos utilizados en el aula.
Los materiales curriculares utilizados en secundaria corresponde a la editorial S.M, los alumnos y
profesores disponen de los libros electrónicos, en los que existen enlaces a vídeos y actividades más
visuales para apoyar los contenidos del libro.
También se dispone de salas de informática que alguno de los profesores utiliza como apoyo a
sus clases de matemáticas. Incluir el uso de TICs.
Trabajo en equipo. Cooperación y Colaboración.
De manera transversal a todas las materias, desde el centro se trabaja las diferentes competencias
de los alumnos a alumnos a través de proyectos, en los que los alumnos trabajan en grupos sobre
temas concretos que giran en torno a un objetivo final. A través del trabajo con proyectos, se fomenta
la investigación, autonomía, aplicación de conocimientos, trabajo cooperativo y colaborativo.
También fomenta la competencia de comunicación lingüística al tener que exponer y los trabajos
realizados. Un ejemplo de esto es el proyecto SEIN, para lo que el centro dedicó las clases de toda
una semana a que los alumnos trabajasen por grupos en diferentes proyectos que ellos mismos habían
escogido. Durante mi estancia en el centro pude asistir a la presentación de estos trabajos que
diferentes grupos realizaron ante sus compañeros.
28
3.4 UNIDAD DIDÁCTICA: FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS
CENTRO : La Salle – El Pila Alfaro ( La Rioja ) CURSO: 3º ESO MATEMÁTICAS
UNIDAD DIDÁCTICA: 13 TEMPORALIZACIÓN: 8 Sesiones
3.4.1 Introducción, contexto y justificación
La unidad didáctica de Funciones lineales y cuadráticas” está planteada para alumnos de 14-15
años, dentro de la asignatura de matemáticas de 3º de la E.S.O en el colegio La Salle-el Pilar de
Alfaro, La Rioja.
En su elaboración se ha tenido en cuenta los contenidos mínimos exigidos en el currículo de
matemáticas para la E.SO en la Rioja, así como los principios y pautas generales de actuación que
recoge el Proyecto Educativo del Centro, y que marca su carácter propio. Del mismo modo, la
Unidad didáctica se planifica siguiendo lo establecido por la Programación didáctica, existente en el
centro a nivel de departamento para la asignatura de matemáticas en 3 º de la E.S.O.
La unidad se plantea partiendo de las características y necesidades de cada uno de los
alumnos de este grupo, para que los alumnos partiendo de sus conocimientos previos vayan
adquiriendo nuevos conocimientos de carácter conceptual, procedimental y actitudinal, que
contribuyan a desarrollar al máximo las capacidades en cada uno de ellos, y consigan adquisición de
las competencias básicas que le ayuden en su vida adulta.
29
Los contenidos de esta unidad están relacionados con los bloques1 y 5 del currículo oficial de
la Rioja para la E.S.O (Contenidos comunes, Funciones y gráficas).
El conocimiento y uso de las funciones son esenciales en nuestra vida cotidiana, aparecen
cada vez que manejamos números con algún tipo de relación. Las funciones son utilizadas en
economía, estadística, ingeniería, física, química, astronomía, arquitectura, y en cualquier otro campo
en el que haya que relacionar dos ó más magnitudes.
Durante los primeros cursos de la ESO se han estudiado relaciones funcionales de tipo lineal,
así como en los anteriores unidades didácticas del curso de 3º ya se ha trabajado con ecuaciones y
sistemas de ecuaciones de primer y segundo grado, así como se ha realizado la representación de
funciones lineales para resolver gráficamente los sistemas de ecuaciones. En la unidad didáctica
impartida previa a ésta se introdujo el concepto de función, y el alumno ya ha aprendido a analizar
una función.
Los objetivos que se pretenden alcanzar en esta unidad son sobretodo de carácter instrumental. Se
utilizan conceptos y herramientas que serán usados en unidades de cursos posteriores. Lo más
importante de esta unidad es que el alumno maneje y relacione con soltura los lenguajes gráfico y
algebraico para aplicarlos a la representación de rectas y parábolas que se deriven de situaciones
diversas.
Asimismo, además de desarrollar la competencia matemática, los contenidos incluidos en esta
unidad también resultan idóneos para el trabajo de las distintas competencias básicas:
30
3.4.2 Objetivos
OBJETIVOS GENERALES OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1. Reconocer situaciones en las que aparezcan funciones lineales. Diferenciar la pendiente y la ordenada en el origen de una función lineal y representarla.
1.1. Distinguir funciones lineales derivadas de enunciados o dadas por fórmulas. Identificar la pendiente y la ordenada en el origen de una función lineal.
1.2. Obtener la ecuación de una recta y representarla.
1.3. Determinar si dos rectas son paralelas y reconocer si una función lineal es creciente o decreciente mediante el estudio de la pendiente.
2. Distinguir sus elementos y representar funciones cuadráticas.
2.1. Representar funciones cuadráticas mediante el estudio de sus elementos más característicos.
3. Construir funciones cuadráticas por traslación de y = x2.
3.1. Representar las parábolas y = x2 + q, y = (x – p)2 , y = (x – p)2 + q.
3.4.3 Contribución a la adquisición de competencias básicas
Competencia lingüística: Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la
comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, los problemas
con enunciado contextualizado y las actividades competenciales finales desarrollan de forma más
específica los descriptores recogidos en las subcompetencias comunicación oral, comunicación
escrita y reflexión sobre el lenguaje.
Competencia matemática: Prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores,
especialmente se trabajan aspectos de las siguientes tres subcompetencias matemáticas:
31
razonamiento y argumentación, resolución de problemas y uso de elementos y herramientas
matemáticos.
Competencia de interacción con el mundo físico: Se trata esta competencia en aspectos
relacionados con las subcompetencias de aplicación del método científico en diferentes
contextos y de conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico.
Social y ciudadana: A través de referencias a hechos históricos y de actualidad se puede tratar la
subcompetencia de desarrollo personal y social. Asimismo, algunos problemas de contexto
permiten trabajar la de participación cívica, convivencia y resolución de conflictos , en relación
con temas de consumo y de análisis de costes.
Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital: La unidad
contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de
información y la resolución de actividades interactivas. Se utilizarán programas informáticos de
representación gráfica. Se trabaja la subcompetencia de obtención, transformación y
comunicación de la información.
Competencia para aprender a aprender: A partir de actividades de tipo reflexivo y de
autoevaluación, así como actividades que generen necesidad de adquirir nuevos conocimiento para
alcanzar el objetivo que el alumno se propone, se adquirirá esta competencia. Especialmente e n lo
concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades, de
conocimiento del propio proceso de aprendizaje , y de manejo de estrategias para desarrollar
las propias capacidades y generar conocimiento.
Competencia de la autonomía e iniciativa personal: Se trata la subcompetencia de
planificación y realización de proyectos . También la de liderazgo en las actividades de
exposición y discusión con el grupo del propio trabajo, que estimulan la confianza en sí mismo.
32
Otras competencias de carácter transversal
Aprender a pensar
Es importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La
unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno este ejercicio reflexivo y
crítico. Se tratarán temas de reflexión y debate en relación con las actividades.
Educación en valores. Como se ha dicho, a la hora de introducir alguna de las actividades, así
como en las clases que coincidan con primera hora de la mañana se fomentará el debate y la
reflexión sobre temas relacionados con el conocimiento interior, la ayuda al desarrollo, comercio
justo, sostenibilidad, etc.
3.4.4 Vinculación con otras áreas
Tecnología: aplicación de las tecnologías de la información y las consultas de información en la
web.
Física y Química: Utilización de la ecuación del movimiento uniforme y acelerado.
Lengua española: Desarrollo de la comprensión lectora a través de enunciados de problemas, y
desarrollo de la capacidad de diálogo y lenguaje argumentativo en las discusiones en grupos
reducidos y grupo clase.
Informática: realización de consultas y búsquedas en internet. Utilización de TICs que ayudan la
representación y análisis de funciones en forma gráfica (Geogebra)
Educación plástica y visual: análisis e interpretación de mapas y dibujos esquemáticos de la
realidad.
33
3.4.5 Contenidos
Conceptuales
- Función de proporcionalidad directa.
- Función lineal. Rectas. - Pendiente de una recta.
- Ordenada en el origen. - Rectas crecientes y decrecientes.
- Rectas paralelas y secantes.
- Función cuadrática. Parábola. - Ramas de una parábola.
- Vértice de una parábola. - Eje de una parábola.
Procedimentales
- Representación de parábolas. - Obtención de parábolas por traslación.
- Reconocimiento y representación de funciones lineales.
- Utilización de la pendiente para estudiar el crecimiento de una función lineal.
- Obtención de la pendiente y la ordenada en el origen de una función lineal.
- Cálculo de la ecuación de una recta conocidos dos puntos, su pendiente y su ordenada en el origen o su pendiente y un punto por el que pasa.
- Reconocimiento de funciones cuadráticas.
- Cálculo del vértice y del eje de una parábola.
- Representación de parábolas mediante el cálculo del vértice, el eje y puntos simétricos respecto a él.
- Obtención de parábolas por traslación.
- Identificar funciones lineales y cuadráticas en la vida real.
- Orden y claridad a la hora de representar gráficas.
Actitudinales
- Curiosidad por investigar relaciones entre magnitudes.
- Atención y motivación hacia el aprendizaje - Tomar consciencia del propio aprendizaje
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3.4.6 Criterios de evaluación:
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
1. Distinguir funciones lineales derivadas de enunciados o dadas por fórmulas. Identificar la pendiente y la ordenada en el origen de una función lineal.
2. Obtener la ecuación de una recta y representarla.
3. Determinar si dos rectas son paralelas y reconocer si una función lineal es creciente o decreciente mediante el estudio de la pendiente.
4. Representar funciones cuadráticas mediante el estudio de sus elementos más característicos.
5. Representar las parábolas y = x2 + q, y = (x – p)2 , y = (x – p)2 + q.
3.4.7 Metodología del proceso enseñanza-aprendizaje
Proceso Enseñanza-Aprendizaje:
Durante el desarrollo de la unidad, se llevará a cabo un proceso de Enseñanza-Aprendizaje
basado en el alumno, haciendo que sea él mismo el protagonista de su propio aprendizaje.
Cada una de las sesiones que componen la unidad se dividirá en tres fases:
Fase I. Introducción y motivación. Actividades que resuman lo visto en la clase anterior y
que reafirmen el conocimiento previo. Se realizará a través de la corrección de ejercicios mandados
como tarea en casa, se corregirán dudas en forma de trabajo cooperativo, y se realizará una síntesis
de los conocimientos adquiridos hasta el momento. A partir de este conocimiento adquirido, se
introducirán los nuevos conocimientos siempre buscando la motivación por parte de alumno. Para
ello se lanzarán preguntas al grupo clase, para que sean los alumnos los que intenten construir su
35
conocimiento por descubrimiento. Ejemplos de actividades que pueden utilizarse para este propósito
son “Folio giratorio” ó “Lápices al centro”, explicadas en el Anexo I de este documento.
Fase II. Desarrollo del conocimiento. Se compondrá de un parte explicativa de la teoría por
parte del profesor, y otra fase de actividades que mezclan la participación de los alumnos trabajando
en la resolución de ejercicios y problemas de manera individual ó en grupos reducidos en forma de
trabajo cooperativo. Véase en el Anexo I ejemplos de ejercicios y problemas de funciones lineales y
cuadráticas.
Fase III.- Control y atención a la diversidad. Al final de cada sesión se realizan actividades
que sinteticen lo aprendido en el aula. Y se manda actividades de refuerzo para que realicen de
manera individual en casa. Cómo actividades de repaso y resolución de dudas se pueden utilizar las
descritas en el Anexo I, para trabajo en cooperativo:“saco de dudas” y cadena de preguntas”. Como
tarea para casa se elegirán ejercicios y problemas como los planteados en la lista incluida en el anexo
I.
Los aspectos metodológicos que guiarán el desarrollo de esta unidad didáctica serán los
siguientes:
Conexiones con la vida real: las funciones en general y, en particular, las lineales aparecen
en cualquier otra rama del conocimiento tanto científico como aplicado y en cualquier contexto
relacionado con la vida cotidiana. Se tomarán ejemplos concretos de funciones lineales y cuadráticas
que aparezcan en otras materias como física y química o tecnología, así como en situaciones
cercanas a la realidad cercana al alumno.
Aprendizaje por descubrimiento-investigación. A lo largo de la unidad se plantearán
actividades en las que el alumno necesitará utilizar los conocimientos que va adquiriendo en esta
36
unidad, vincularlos con otros adquiridos previamente, y descubrir nuevos conocimientos todavía no
adquiridos relacionados con la unidad, con el fin de conseguir el objetivo que él mismo se ha
planteado previamente en la actividad.
Aprendizaje a través de trabajo cooperativo: Consiste en organizar las actividades dentro del
aula para convertirlas en una experiencia social y académica de aprendizaje. Los estudiantes trabajan
en grupo para realizar las tareas de manera colectiva. El aprendizaje en este enfoque depende del
intercambio de información entre los estudiantes, los cuales están motivados tanto para lograr su
propio aprendizaje como para acrecentar los logros de los demás. Se realizarán varias actividades a
través de trabajo cooperativo en pequeños grupos de 4-5 alumnos. Los grupos serán heterogéneos en
cuanto a características actitudinales y aptitudinales de cada uno de los alumnos que los forman, y
han sido previamente formados por el tutor. De esta manera en cada grupo tendremos alumnos más
avanzados, alumnos con dificultades y alumnos promedio trabajando en conjunto, de manera
cooperativa.
Mezcal de trabajo individual, Grupo Clase, y trabajo en grupos reducidos: Durante la
unidad didáctica el alumno tendrá que realizar tares de manera individual, a través de ejercicios y
problemas para realizar tanto en el aula como en casa. Durante las horas de clase, también se
trabajará con el grupo clase en su conjunto, activando en los alumnos la capacidad de discusión y
argumentación. Se propondrán preguntas y ejercicios al grupo clase, así como se propone resolución
de dudas de manera conjunta. Por último también se realizan actividades en grupos reducidos,
utilizando en estos casos el trabajo cooperativo.
37
3.4.8 Temporalización:
Para el desarrollo de esta unidad didáctica se plantean 5 sesiones de 55 minutos cada una.
SESIÓN 1º Sesión: Introducción a las funciones lineales y cuadráticas.
- Breve charla de introducción a los contenidos de la unidad.
- Actividad de motivación y análisis de conocimiento previo. Folio giratorio. Lápices al
centro (Anexo I).
- Video “funciones y vida real”.
________________________________________
SESIÓN 2.ª Función de proporcionalidad directa. Estudio y representación de funciones lineales.
- Explicación teórica mediante pizarra y ejemplo de libro de proporcionalidad
directa y funciones lineales. Hacer hincapié en las diferentes maneras que existen de
representación (tabla, ecuación, lineal)
- Ejercicios y problemas planteados en el libro.
- Ejercicios para casa para consolidar contenido.
________________________________________
SESIÓN 3.ª Rectas paralelas y secantes. Aplicaciones de la función lineal.
- Corrección de los ejercicios y repaso de lo visto el día anterior.
- Explicación teórica mediante pizarra y libro: Rectas paralelas y secantes. Recordatorio de
pendiente de una recta y resolución gráfica de sistemas de ecuaciones lineales. Ejemplos de
aplicaciones de la función lineal
- Ejercicios y problemas que supongan el uso de función lineal en resolución de casos reales.
38
________________________________________
SESIÓN 4.ª Funciones cuadráticas. Estudio y representación de funciones cuadráticas.
- Corrección Ejercicios. Resumen global de funciones lineales.
- Mediante el uso de la pizarra, el libro y enlaces interactivos. Introducción a las funciones
cuadráticas. Representación mediante tabla, ecuación algebraica. Determinación de sus elementos
principales y representación gráfica a partir de los mismos.
________________________________________
SESIÓN 5.ª Obtención de parábolas por traslación.
- Repaso de lo trabajado el día anterior. Corrección de ejercicios. Resolución de dudas.
- Explicación teórica a través del libro, pizarra y uso de actividades interactivas de
construcción de parábolas por traslación.
- Ejercicios y problemas asociados.
________________________________________
SESIÓN 6.ª Utilización TICs para representación de funciones cuadráticas
- Actividad de Funciones con Geogebra. (Anexo I)
- Se pedirá que manden los resultados obtenidos para la actividad.
________________________________________
SESIÓN 7.ª Sesión de Repaso y consolidación
- Actividades de repaso y dudas
- Actividad en cooperativo: “Saco de dudas” Ó “Cadena de preguntas”. (ver Anexo I)
________________________________________
39
SESIÓN 8.ª Prueba de Evaluación
- Examen escrito (ver anexo II)
3.4.9 Atención a la diversidad
Los ejercicios resueltos y propuestos en el libro de texto utilizado en esta unidad están
clasificados por un código de colores según su dificultad: verde, nivel básico; naranja, nivel medio, y
rojo, de alguna dificultad.
De esta forma, el contenido de la unidad se adaptará durante el desarrollo de las sesiones a las
características particulares de la clase y de manera individual a cada uno de los alumnos. Durante el
desarrollo de las clases, se propone de manera general al grupo ejercicios de nivel básico y medio.
Para aquellos alumnos más avanzados que acaban antes se les propone los ejercicios clasificados de
nivel avanzado. Del mismo modo, durante el tiempo de resolución de problemas en el aula se
atiende paseando por las mesas a aquellos alumnos que presentan más problemas.
Además, los ejercicios y problemas propuestos en el libro de texto se completan con lo
siguiente:
- Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo
aprendido.
- Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y
ampliar lo tratado en cada unidad del libro.
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3.4.10 Recursos didácticos
Bibliográficos Libro matemáticas 3º E.S.O.Editorial SM
www.smconectados.com // www.librosvivos.net
Videos internet Vídeos como los de las series Ojo Matemático (capítulo 4, Gráficos) o Más por Menos (capítulo El lenguaje de las gráficas).
Programa informático
Geogebra. Ejercicios “The quadratic game”(Angry birds). Stages 1-5.
Otros Pizarra, libro electrónico, proyector, pizarra digital
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4 PROYECTO DE INNOVACIÓN: MATEMÁTICAS A TRAVÉS
DEL JUEGO (GAMIFICACIÓN)
4.1 INTRODUCCIÓN Y CONTEXTUALIZACIÓN
Las matemáticas son parte fundamental en la educación de las personas, y son de gran importancia para
el desarrollo en su vida diaria, sin embargo, existen varios estudios que afirman el fracaso escolar que
muestran gran porcentaje de los adolescentes con las matemáticas. Un ejemplo de esto lo demuestran los
resultados del informe Pisa 2012. Este fracaso puede ser resultado de la poca motivación que, esta materia
despierta en ellos.
Los adolescentes suelen considerar las matemáticas como algo aburrido, mecánico, inerte, y no ven la
utilidad de las mismas en la vida real. Esta falta de motivación genera a su vez una dificultad en su
aprendizaje que muchos alumnos no son capaces de superar, y que incluso llegan a arrastrar hasta su vida
adulta, rehuyendo de todo lo que tenga que ver con la palabra “matemáticas”.
Con el objetivo de mejorar el proceso de enseñanza-aprendizaje de matemáticas y facilitar su
aprendizaje, se plantea la utilización de "juegos" en el aula de matemáticas dentro de la educación secundaria.
De esta manera se pretende fomentar el interés por parte de los alumnos y que vean la utilidad y aplicación
práctica de las matemáticas en su vida real. Los juegos se pueden utilizar para trabajar diferentes bloques de
las matemáticas: Álgebra, Azar, estrategia, geometría, Probabilidad, etc.
El juego es un elemento de diversión para los seres humanos, y a su vez muchos juegos utilizan las
matemáticas en su desarrollo. Mediante la utilización de los mismos podría conseguir un mejor aprendizaje
matemático, a la vez que se trabajan otras competencias trasversales.
42
Por un lado, presentar las matemáticas a través de juegos fomenta el interés y motivación de los
alumnos, a la vez que crea un vínculo emocional positivo con la asignatura, al relacionar las matemáticas con
diversión.
Por otro lado, hacemos que los alumnos utilicen los conocimientos adquiridos para resolver problemas
con los que se encuentran, de esta manera se descubre la utilidad de las matemáticas y su vinculación con
otras áreas.
En muchos juegos hay que utilizar estrategias, considerar probabilidades de sucesos, barajar hipótesis,
tomar decisiones, planificar, realizar cálculos, etc,. Lo que está totalmente vinculado con el uso del
pensamiento y razonamiento matemático.
Aplicada a la educación, la gamificación nos ofrece una alternativa metodológica que puede ayudarnos
a captar la atención de nuestros alumnos, favoreciendo el desarrollo de sus competencias y reforzando el
proceso de aprendizaje de nuestra asignatura.
4.2 OBJETIVOS
Los objetivos que se pretenden alcanzar son:
- Despertar el interés por el aprendizaje de las matemáticas, al encontrarlo como algo de
utilidad y beneficiosa en su vida, así como vincularlas con emociones positivas.
- Conseguir que el alumno relacione las matemáticas con la vida real y con otras materias, y
sepa aplicar los conocimientos adquiridos.
- Potenciar la capacidad de resolución de Problemas.
43
- Potenciar habilidades basadas en el razonamiento matemático: estrategia, planificació n, toma
de decisiones, etc.
Además de los objetivos planteados también se trabajarán otras capacidades de manera transversal,
como es la interacción social, la competencia comunicativa, y el aprender a aprender.
4.3 MARCO TEÓRICO
Numerosas investigaciones desarrolladas sobre didáctica de las matemáticas defienden que los juegos
tienen un gran potencial como recurso educativo que mejore el proceso de enseñanza-aprendizaje en esta
materia. Actualmente existen numerosas propuestas de innovación educativa en las que se reutilizan los
juegos para trabajar contenidos matemáticos.
Matín Gardner (1975), uno de los mayores especialistas en la recopilación y estudio de los juegos
matemáticos, señala que “el mejor camino para hacer las Matemáticas interesante a alumnos y profanos es
acercarse a ellas en son de juego”
Los resultados del estudio realizado por Joaquín Gairín Sallán (Departamento Pedagogía aplicada
Universidad Autónoma de Barcelona) en 1990 sobre los “efectos de la utilización de los juegos educativos en
la enseñanza de los matemáticas” muestran claramente lo beneficioso del uso de los juegos en las aulas de
matemáticas. En este estudio se recoge la opinión de los profesores tras aplicar los juegos a sus alumnos, y
muestra que el 100% opinaba que la utilización del juego es una actividad que resulta entre amena y muy
amena resultando útiles ó muy útiles para la preparación de sus alumnos.
Además de ser fuente de motivación los juegos, los juegos contienen una gran proporción de contenido
matemático que los alumnos deben comprender para llegara a ser buenos jugadores. Los juegos pueden ayudar
a relacionar contenidos matemáticos y saber aplicarlos a situaciones problema. Deulofeu (2001) afirma que
44
“muchos juegos utilizan las matemáticas en su desarrollo, ya sea por las relaciones numéricas, geométricas,
por la necesidad de desarrollar estrategias, planificación, cálculo de probabilidades, etc.”
Por otro lado las matemáticas contienen una gran proporción de contenido lúdico, de hecho, la
vinculación de las matemáticas con el juego no es nueva de nuestro tiempo, a lo largo de la historia múltiples
célebres matemáticos han utilizado el juego para sus descubrimientos y estudios matemáticos. Así, los
matemáticos de la escuela pitagórica llegaron a profundas teorías sobre los números a partir de las diferentes
configuraciones que formaban con piedras. Fibonaccí, cultivó una matemática numérica con sabor a juego con
la que, gracias a las técnicas aprendidas de los árabes, asombró poderosamente a sus contemporáneos
Leibniz (1646-1716) en su tiempo ya promovía la actividad lúdica intelectual: "Nunca son los hombres
más ingeniosos que en la invención de los juegos... Sería deseable que se hiciese un curso entero de juegos,
tratados matemáticamente", escribía en una carta en 1715. Y en particular comenta en otra carta en 1716 lo
mucho que le agrada el ya entonces popular solitario de la cruz, y lo interesante que le resulta el jugarlo al
revés.
Según cuenta Martin Gardner, Albert Einstein(1879-1955), tenía toda una estantería de su biblioteca
particular dedicada a libros sobre juegos matemáticos.
Así pues con la utilización del juego en las aulas de matemáticas se trata de crear, a través del juego,
ambientes que inciten a pensar matemáticamente.
4.4 DESCRIPCIÓN DEL PROYECTO
Este proyecto consiste en la utilización didáctica del juego en contextos educativos,
concretamente en la asignatura de matemáticas.
45
Según grados de dificultad de los juegos, el proyecto se puede aplicar en cualquier curso de
secundaria o bachillerato.
Para evitar gastar el tiempo en preparación de material, se puede seleccionar juegos a los que
cada alumno pueda jugar on-line en su casa. Prácticamente todos los alumnos cuentan con ordenador
y acceso a internet. De no ser así, existen bibliotecas donde hay disponibles ordenadores con acceso
gratis.
Sería interesante que profesor y alumnos tengan un sitio en la red en común como, Moodle, un
blog etc. Para que el profesor escriba los juegos a los que hay que jugar para la próxima sesión (con
enlaces directos) y donde vaya escribiendo los conocimientos y capacidades matemáticas adquiridas
a lo largo del proyecto.
Los contenidos que trabajarán los alumnos durante el desarrollo del proyecto estarán
relacionados con las unidades didácticas que se estén trabajando durante ese trimestre en el aula. El
profesor es quién deberá escoger los juegos adecuados en cada momento.
Además de contenidos matemáticos, lo interesante del proyecto es que también trabajamos el
trabajo en equipo, aumentamos la actividad del alumno en clase, la conexión con otras áreas de
conocimiento, interacción entre alumno, etc.
El proyecto combinará el trabajo en clase con deberes en casa. Ocupará 10 sesiones y media,
una por semana, y se prolongará durante un trimestre. La idea general es que los alumnos jueguen a
unos juegos específicos que involucran el uso de las matemáticas en casa (desde el parchís hasta el
black-jack pasando por el póker o por juegos de estrategia) y trabajar en clase el contenido
matemático de éstos. Se trata de hacer ver a los alumnos que, mientras jugaban y se lo pasaban bien
estaban utilizando conocimientos matemáticos. En clase, con ayuda del profesor, se afianzarán los
conocimientos utilizados y se rellenarán fichas para la evaluación de los conocimientos adquiridos.
46
Sería interesante empezar por juegos sencillos y gradualmente incrementar la complejidad de
los contenidos matemáticos a aplicar en ellos (llegando incluso a dedicar más de una sesión a cada
juego). También resultaría conveniente dedicar tiempo (incluso sesiones enteras) al repaso de los
conocimientos aplicados, para recordarlos y poner orden en lo aprendido. En el siguiente punto se
muestra un ejemplo de temporalización y secuenciación, minuto a minuto de cómo se podría llevar a
cabo el proyecto de innovación.
Secuencia de trabajo:
A continuación se presenta un esquema temporizando el proyecto:
Sesión 0:
Se les explica a los alumnos el proyecto en general (procedimiento, temporalización,
objetivos)(15 minutos) y se presentan los juegos que van a ser tratados en la siguiente sesión (15
min). También se explica las relaciones que tienen con la asignatura, y se comentan los puntos a
tener en cuenta a la hora de jugar, es decir se muestran estrategias basadas en las Matemáticas para
tener éxito. Se les dan pistas de lo que se va a trabajar y se les pide que empleen el tiempo suficiente
jugando para entender las relaciones y para poder aplicar las estrategias comentadas.
Sesión 1:
Juegos sencillos.
Se comenta de forma general las relaciones del juego con conocimientos Matemáticos
concretos, las estrategias aplicadas, la efectividad y los resultados obtenidos (15’)
47
El profesor, da una breve “clase magistral” para categorizar los conocimientos y estrategias
aplicadas (para ordenar lo dicho anteriormente y remarcar los puntos importantes de la experiencia) y
se explica la ficha que los alumnos han de rellenar a continuación (15’).
Se trabaja la ficha preparada anteriormente por el profesor en la que el alumno ha de mostrar
que entiende la dinámica del proyecto y que ha aplicado conocimientos matemáticos al juego (15’).
Se les presentan y explican los juegos que van a ser tratados en la siguiente sesión (15’).
Sesión 2, 3 y 4:
Juegos sencillos. Complejidad de los mismos irá en aumento sesión a sesión.
Homólogos de la sesión 2, solo que la dificultad de los juegos irá en aumento gradualmente. En
la sesión 4, podremos dilatarnos más en los primeros tres puntos ya que, al dedicar la sesión 5 al
repaso de lo aprendido hasta ahora, el punto cuarto se suprime (no hay que jugar a nada para la
siguiente sesión).
Sesión 5:
Se hará un repaso general de lo aprendido hasta el momento y se rellenará una ficha.
Se comenta libremente y de forma general las relaciones de los juegos vistos hasta el momento
con conocimientos Matemáticos concretos, las estrategias aplicadas, la efectividad y los resultados
obtenidos (20’)
Se hará un repaso general de lo aprendido hasta el momento y se rellenará una ficha (20’)
Se les explicará el juego a trabajar en la siguiente sesión y se les pedirá que jueguen a lo largo de
la semana (20’)
48
Opcional: Si el juego seleccionado así lo requiere, se dividirá la clase en grupos más reducidos
(3-5 alumnos) para las siguientes sesiones en las que se trabajarán juegos matemáticamente más
complejos.
Sesión 6:
Juego complejo núm. 1. Sesión 1/2
Se comenta libremente y de forma general las relaciones del juego con conocimientos
Matemáticos concretos, las estrategias aplicadas, la efectividad y los resultados obtenidos (20’)
El profesor, da una breve “clase magistral” para categorizar los conocimientos y estrategias
vistos hasta ahora. Luego, se explican nuevos conocimientos y estrategias para mejorar los resultados
y se les anima a ponerlos en práctica en la siguiente sesión, que va a estar dedicada al mis mo juego
(40’).
Sesión 7:
Juego complejo núm. 1. Sesión 2/2
Se comentan las mejorías en los resultados respecto a la sesión de juego anterior ¿Se han
aplicado las estrategias estudiadas en la anterior sesión?¿Han dado resultado? (10’)
El profesor, da una breve “clase magistral” para categorizar los conocimientos aplicados y se
explica la ficha que los alumnos han de rellenar a continuación (10’).
Se trabaja la ficha preparada anteriormente por el profesor en la que el alumno ha de hacer
ver que entiende la dinámica del proyecto y que ha aplicado conocimientos matemáticos al juego
(25’).
49
Se les explicará el juego a trabajar en la siguiente sesión y se les pedirá que jueguen a lo largo de
la semana (15’)
Sesiónes 8 y 9:
Juego complejo núm. 2
Homólogas a 6 y 7 con otro juego a analizar. En la sesión 9, podremos dilatarnos más en los
primeros tres puntos ya que, al dedicar la sesión 10 al repaso, el punto cuarto se suprime (no hay que
jugar a nada para la siguiente sesión).
Sesión 10:
Repaso general y ficha.
Se comenta oralmente la experiencia y se expone lo aprendido (15’)
El profesor, da una breve “clase magistral” para categorizar los conocimientos aplicados y se
explica la ficha que los alumnos han de rellenar a continuación (10’).
Se rellenará la ficha (30’).
Se les entrega un cuestionario de satisfacción para rellenarlo en casa donde valorarán la
experiencia (El cuestionario está anexo al final de este presente documento) (5’).
Se calcula que los alumnos jueguen una hora y media en casa entre sesión y se sión, doce horas
de juego en total en todo el proyecto.
Como se puede deducir, las sesiones que no son de repaso siguen el siguiente esquema:
50
- Se comentará oralmente, entre toda la clase, la experiencia y los conocimientos
aplicados
- El maestro ordena los conceptos que se han dicho y remarca los puntos importantes
con los que se tienen que quedar los alumnos.
- Se deja un tiempo para hacer las fichas.
- Se explican los puntos importantes a tener en cuenta y en lo que se tienen que fijar los
alumnos cuando jueguen al siguiente juego propuesto.
4.5 CASO PRÁCTICO DE APLICACIÓN: ANGRY BIRDS.
4.5.1 Desripción del juego:
Angry Birds es un videojuego al que se puede jugar online y tiene diferentes versiones.. Se trata
de un juego muy popular, uno de los más vendidos en la historia de los soportes móviles.
El objetivo del juego consiste en destruir todos los cerdos con los pájaros mediante el
lanzamiento de catapultas con los pájaros apuntando hacia los cerdos. Se consiguen puntos al destruir
cerdos. Esto se debe a que anteriormente los cerdos han robado los huevos de los pájaros, lo que hace
que estos se enojen. Para recuperar sus huevos, los pájaros necesitan catapultarse por el aire y
golpear a los cerdos ladrones y para ello debe conseguir con exactitud la trayectoria corre cta.
La trayectoria descrita al catapultarse el pájaro es siempre una parábola, gráfica correspondiente
a una ecuación de segundo grado.
51
4.5.2 Contenidos matemáticos
El desarrollo de la aplicación está basado en conceptos físicos y matemáticos como son el tiro
parabólico, la trigonometría, la velocidad, la gravedad, etc. Es imposible jugar Angry Birds y no
asociarlo con el movimiento parabólico o la gráfica de una parábola.
Es por esto que dentro del proyecto de gamificación se elegirá este juego para trabajar contenidos
relacionados con las funciones cuadráticas.
4.5.3 Objetivos específicos del juego
A través del videojuego “Angry birds” pretendemos que los alumnos alcancen los siguientes
objetivos:
Vean y apliquen la utilidad de las funciones cuadráticas en la vida real y su
vinculación con el tiro parabólico.
Aprendan a modelizar situaciones en las que se usan ecuaciones de segundo grado.
Darse cuenta que en todo juego aunque pueda parecer sencillo, las matemáticas
que hay debajo no suelen ser tan sencillas.
Aumento de la motivación en matemáticas, ya que le ven una utilidad práctica, a
todos los adolescentes les gusta jugar, así que si ven que las matemáticas les pueden ayudar a
mejorar en algo que les gusta, pues aumentará su motivación así como el uso de las matemáticas
en el mundo real.
52
4.5.4 Metodología
Este juego se podría utilizar para cualquiera de las sesiones 2, 3,´ó 4 planteadas en la descripción
del proyecto de gamificación. En la clase de la semana anterior se les proporcionará a los alumnos
las instrucciones del juego, y un enlace donde podrán jugar en internet.(
https://www.angrybirds.com/play ).
Al comienzo de clase los repartiremos en grupos, y les entregaremos la ficha individual que se
presenta a continuación. En ella se presentan varios problemas y modelos matemáticos del juego los
Angry Birds, para que puedan ver la aplicación de las matemáticas en el juego.
4.5.5 Ficha del juego “Angry birds”
1) ¿Qué contenido matemático se ha necesitado para desarrollar la aplicación del juego “Angry
birds”? ¿Crees que podría haberse desarrollado el juego sin conocimientos matemáticos?
2) Supón que estás jugando la versión real de AngryBirds. Se está intentando disparar a un
pájaro para que impacte en el cerdo que esta al final del eje X; el disparo describe una trayectoria en
forma de una parábola con ecuación y = -3x² + 60x. Las variables x e y están en metros. Véase la
figura a continuación y responda:
i. ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el pájaro?
ii. Suponiendo que se logra impactar al cerdo, ¿a qué distancia se encuentra?
53
3) En el siguiente caso, encuentra la ecuación de la parábola que el pájaro debe describir para
golpear al cerdo:
4.6 CRITERIOS Y MÉTODOS DE EVALUACIÓN.
Se pondrán de manifiesto los tipos de evaluación a realizar, los medios que se van a utilizar para
realizarla y los criterios que se van a seguir referentes a la evaluación de los alumnos, el profesor y el
proyecto.
Criterios de evaluación para el alumno:
- El alumno debe ser capaz de abstraer los contenidos matemáticos de los juegos.
- El alumno debe ser capaz de comprender la dinámica del juego.
- El alumno debe ser capaz de relacionar los contenidos matemáticos de los juegos con
otras áreas y contenidos de este u otras asignaturas.
- El alumno debe ser capaz de trabajar en grupo y respetar a sus compañeros.
54
- El alumno debe ser capaz de desarrollar estrategias matemáticas con las que será capaz de
enfrentarse a las demás estrategias de sus compañeros.
- El alumno debe utilizar la probabilidad para dictar estrategias que le ayuden en la toma de
decisiones para la resolución de problemas.
- El alumno debe comprender el uso de la optimización con el fin de elegir el mejor elemento
con respecto a algún criterio, de un conjunto de elementos disponibles.
- El alumno debe ser capaz de usar el álgebra para analizar de forma simple y numérica las
operaciones diarias.
- El alumno debe aplicar los conocimientos que ha adquirido en los juegos a la vida real.
Criterios de evaluación para el profesor:
- Se ha mantenido un buen ambiente en la clase.
- La motivación de los alumnos ha sido máxima.
- Se ha impartido todo el contenido en las sesiones dedicadas a ello.
Criterios de evaluación para el proyecto:
- Los juegos permiten a los alumnos desarrollar y potenciar los conocimientos matemático s
deseados.
- Los diferentes juegos están correctamente organizados sin repeticiones ni cambios bruscos
de dificultad.
- Los procedimientos de evaluación han quedado explícitamente explicados en clase.
55
Método de evaluación:
En total se recogen 8 fichas evaluables:
- 4 referentes a los juegos sencillos (primeras 4 sesiones)
- 1 que engloba todo lo aplicado en los juegos sencillos (sesión 5)
- 2 referentes a los juegos complejos (sesiones 7 y 9)
- 1 que engloba todo lo aplicado en los juegos complejos (sesión 10)
En cada una de las fichas entregadas en las sesiones se calificará: 75%
- La capacidad de cada alumno para abstraer y comprender los contenidos matemáticos de
cada juego.
- La capacidad de cada alumno para aplicar los conocimientos adquiridos en el proyecto
con el fin de resolver problemas y tomar decisiones de forma correcta.
- La capacidad de cada alumno para relacionar los contenidos de los juegos con otras áreas,
así como aplicar correctamente estos conocimientos para solventar situaciones del día a
día.
Se valorará la participación activa en clase y el respeto entre compañeros y hacia el profesor.
25%
Evaluación del proyecto por parte de los alumnos:
Para finalizar el proyecto, en la última sesión es recomendable que los alumnos evalúen la
experiencia para mostrar al profesor puntos a mejorar de cara a la aplicación en siguientes cursos.
Las preguntas podrían ser tipo:
- ¿Qué es lo que más te ha gustado del proyecto?
56
- ¿Qué es lo que menos te ha gustado? ¿Se te ocurren puntos a mejorar?
- ¿Has tenido claro en todo momento lo que tenías que hacer? ¿Te has sentido
desorientado en algún punto del proyecto?
- Cada inicio de clase, hemos dedicado un tiempo a hablar sobre los conocimientos
aplicados a cada juego. Ese tiempo estaba dedicado a que cada uno expusiera lo que pensaba
¿Has participado a gusto? ¿En caso de que no, qué es lo que te ha estorbado a la hora de
pronunciarte?
- ¿Qué te ha parecido la duración del proyecto?
- ¿En general que te ha parecido el proyecto? ¿Te atreverías a ponerle una nota?
- ¿Qué punto te ha resultado más difícil?
- ¿El proyecto te ha hecho cambiar de actitud hacia las matemáticas? ¿Por qué?
- ¿Podrías nombrar las cosas más importantes que hayas aprendido?
4.7 CONCLUSIONES
Este trabajo ha sido desarrollado con unos objetivos muy claros: buscar la motivación,
relacionar las matemáticas con la vida real, mejorar la resolución de problemas y mejorar el
razonamiento matemático. El medio que se ha presentado para abordar estos objetivos es la
gamificación de los contenidos.
Numerosos son los autores que han escrito sobre gamificación y su eficiencia a la hora de ser
introducida en el proceso de enseñanza-aprendizaje.
57
Apoyándonos en estos hemos desarrollado un proyecto de innovación a lo largo de un trimestre
para el nivel de 3ºde la E.S.O.
Para llevar a cabo el proyecto de gamificación en la asignatura de matemáticas es posible la
utilización de infinidad de juegos, y será tarea del profesor la adecuada selección de los mismos en
función de los contenidos que se quieran trabajar. El ejemplo práctico presentado en este documento
hace referencia al uso del videojuego “Angry birds” y proporciona un contexto perfecto tanto para
motivar a los alumnos, como para ayudarles a encontrar relaciones entre las matemáticas y otras
áreas de la vida real, especialmente relacionados con las funciones cuadráticas.
A pesar de que la planificación se ha realizado contextualizada en el juego “Angry Birds” y
aplicada a la unidad didáctica “Funciones lineales y cuadráticas” para los alumnos de 3º de la ESO,
se puede adaptar a otros cursos abordando temas más específicos y utilizando otros juegos más
acordes.
Este proyecto nos ha servido para planificar como desarrollar las sesiones de clase
apoyándonos en un juego como es “Angry birds”. Para poder establecer conclusiones objetivas
fundamentadas en unos resultados específicos necesitamos que sean aplicadas y evaluadas
correctamente.
58
5 BIBLIOGRAFÍA
Normativa
- Decreto 45/2008, de 27 de Junio, por el que se establece el currículo de Bachillerato de la
Comunidad Autónoma de La Rioja.
- Real Decreto 1105/2014, de 26 de Diciembre por el que se establece el currículo básico de la
Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato.
Didáctica de las matemáticas
- Apuntes de las distintas asignaturas del máster para la formación del profesorado de la
Universidad de La Rioja.
- “Didáctica de las matemáticas” Formación de profesores de Educación secundaria. Instituto
de Ciencias de la Educación. Universidad Complutense. Madrid. (2004)
- “Educación y sistema educativo” coordinador Antonio Monclús Estella. Formación de
profesores de Educación secundaria. Instituto de Ciencias de la Educación. Universidad
Complutense. Madrid. (2004)
- Estrategias docentes. Paul Eggen. Donald P. Kauchak
- Edo, M.; Deulofeu, J. (2006). Investigación sobre juegos, interacción y construcción de
conocimientos matemáticos. Enseñanza de las Ciencias.
- Gardner, M., Carnaval Matemático. Alianza Editorial. Madrid 1975. pg. 8.
- J Gairín Sallán -Educar, 1990 ddd.uab.cat. Efectos de la utilización de juegos educativos en la
enseñanza de las matemáticas
59
- Miguel de Guzmán (1984). Juegos Matemáticos en la Enseñanza. Facultad de Matemáticas
Universidad Complutense de Madrid.
Libros de texto
- Joaquín Hernández y otros. 2007. Matemáticas. 3º E.S.O. Ed. Santillana
- Máximo Anzola y otros. 2007. Matemáticas. 3º E.S.O. Editorial SM
Direcciones de internet
- Banco de Actividades de Matemáticas. Editorial SM.
- Instituto de tecnologías educativas. Ministerio de Educación http://www.isftic.mepsyd.es/
- Ministerio de Educación http://www.educacion.es
- Página Web La Salle –El Pilar Alfaro.
60
ANEXO I: SET DE ACTIVIDADES
EJEMPLOS DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS FUNCIÓN LINEAL.
1 La pendiente de una determinada recta es -1/2 siendo uno de los puntos por los que
pasa es (3, -1). Calcula su ecuación y representa dicha recta.
2 Representa la recta que pasa por los puntos (-1, 0) y (1, 2). Determina su ordenada en
el origen.
3 Dada la recta Y= 2x-1, calcula una recta paralela a ella que tenga ordenada en el
origen 3. Representa las dos rectas.
4 Representa las rectas y =x+2 e y=-x-1 y calcula el punto que tienen en común.
5 Representa las siguientes funciones lineales y di cuál es la pendiente y la ordenada en
el origen de cada una de ellas.
a) f(x)=x+1
b) g(x)= -x-1
6 Representa la recta y= x-1 y otra secante a esta en el punto (2,1).
7 En un restaurante, el coste de un menú es de 12 euros. Cuando el camarero trae la
cuenta descubrimos que además del coste por cada menú, pagamos una cantidad fija de 3 euros por
el pan consumido en cada mesa. ¿Cuál será la función lineal que nos da el coste de la comida de una
familia dependiendo del número de sus miembros?
61
8 El precio del recibo de la luz de una casa es de 30 euros, sabiendo que el recibo tiene
una parte fija de 9 euros y que el resto depende del número de kilovatios hora consumidos: ¿Cuál es
el precio de cada kilovatio hora si el número de kilovatios hora consumidos ha sido 250?
9 La ecuación de una recta es y = 1/5x – 3/2 ¿Cuál será la ecuación de la recta que tiene
la misma ordenada en el origen y como pendiente la mitad? ¿Son estas dos rectas secantes?. En caso
afirmativo, calcula el punto que tienen en común.
EJEMPLOS DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS FUNCIONES CUADRÁTICAS
1. Indica cuáles de las siguientes ecuaciones representan parábolas: y=x +1 ̧y=5 - x2+x
; y=2x +6x2+3 ; y=3x+ 5
2 .-Indica cuáles de las siguientes parábolas están abiertas hacia arriba y cuáles hacia abajo:
y=x- 3+x2 ̧y=3-x2+x ; y=2x +2x2
3 Calcula el vértice y el eje de simetría de las parábolas: y=x2 ; y=x2 –6x+1 ; y=x2+4
4. Calcula los puntos que cortan el eje de abscisas de las siguientes parábolas:
y= x2- 4, y= x2+2; y=x2-3x-2; y=-x2+2x+1 ; y=x2+2x
5 Calcula los puntos de corte con los ejes coordenados de las siguientes parábolas:
y= x2+ x+3; y= -x2+ x; y= x2+ 3
6 Sabemos que la parábola y= 2x2 + bx + c tiene como vértice (2, 1) y que pasa por el punto (-
1, 0) averigua b y c.
7 Halla el vértice y los puntos de corte con los ejes de la parábola y=(x+2)·(x-4).
62
8 El hombre bala del circo describe una trayectoria parabólica dada por la ecuación y= - 1/10
x2+ x. ¿Cuál será la altura máxima que alcance en dicha trayectoria?, ¿cuántos metros habrá
recorrido cuando vuelva a tocar el suelo?
9 Un balón describe una trayectoria parabólica. Queremos calcular la ecuación de dicha
trayectoria y para ello averiguamos los siguientes datos: el balón alcanza su altura máxima a los 10 m
de ser lanzado y ésta es de 15 m. Además vuelve a tocar el suelo a 25 m de distancia del punto desde
donde se lanzó. Calcula la ecuación de la trayectoria descrita por el balón.
5.1 ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE COOPERATIVO
5.1.1 Actividad ”Folio giratorio”
Se trata de una actividad que sirve para repasar los conocimientos previos, e introducir el tema
nuevo sobre Funciones lineales y cuadráticas.
Desarrollo:
Los alumnos se distribuyen en grupos reducidos de 4personas. En cada uno de los grupos se
pasan dos preguntas. Cada miembro escribe en un folio parte de la tarea encargada. A continuación
se lo pasa a su compañero, en sentido de las agujas del reloj, y añade algo con el fin de enriquecerlo.
El folio girara tantas veces como sea necesario hasta que se acabe el tiempo o las ideas. Se usa para
descubrir las expectativas y creencias de un tema, repasar, revisar y solucionar problemas, (5 minutos
para contestar)
63
1º Pregunta: ¿Qué es una función?
2º Pregunta: Diferentes maneras de representar ó escribir funciones.
Después de haber contestado a las preguntas, dejamos 5 minutos para que ordenen las ideas en
cada uno de los grupos.
De entre todas ellas seleccionar las lineales y las cuadráticas.
5.1.2 Actividad “lápices al centro”. Funciones en nuestra vida cotidiana.
El objetivo de la actividad es que el alumno sea consciente de la importancia de las funciones y
su aplicación en nuestro día a día.
La actividad se lleva a cabo a través de la estructura de aprendizaje cooperativo “lápices al
centro”, mediante la cual los alumnos dejan sus lápices para discutir con su grupo, sin escribir,
diferentes situaciones cotidianas que puedan representar en forma de función. Se les pedirá que en
cada grupo lleguen a 3-4 ejemplos, identificando en cada uno de ellos la variable dependiente e
independiente, y las intenten escribir en forma de ecuación matemática.
Tras 5-8 minutos de debate en grupo reducidos, cada uno de los grupos expondrá para sus
compañeros los diferentes ejemplos que han pensado.
Se aprovechará estas presentaciones para seleccionar las funciones lineales y las cuadráticas
expuestas en los ejemplos. Es posible que ninguno de los ejemplos dados correspondan a funciones
cuadráticas, por lo que tras esta actividad se expondrán varios ejemplos de funciones cuadráticas en
nuestro día a día.
64
5.1.3 Actividad “Saco de Dudas”
Se trata de una estructura apta para repasar el tema o los temas trabajados hasta el momento y
preparar el examen o simplemente para hacer una evaluación formativa y comprobar hasta qué punto
se han conseguido los objetivos previstos, y rectificar o ajustar, si es preciso, la programación.
Cada componente del equipo escribe en un tercio de folio (con su nombre y el nombre de su
equipo) duda ó dudas que le haya surgido en el estudio de un tema determinado. A continuación,
pasados unos minutos para que todos hayan tenido tiempo de escribir su duda, la expone al resto de
su equipo, para que, si alguien puede responder su duda, lo haga. Si alguien sabe responderla, el
alumno o la alumna que la tenía anota la respuesta en su cuaderno. Si nadie del eq uipo sabe
responder su duda, la entregan al maestro o a la maestra que la coloca dentro del “saco de dudas” del
grupo clase.
En la segunda parte de la sesión, el maestro o la maestra sacan una duda del “saco de dudas” y
pide si alguien de otro equipo sabe resolverla. Si no hay nadie que lo sepa, resuelve la duda el
maestro o la maestra.
Esta estructura es especialmente útil para poner de relieve la interacción (en este caso, en forma
de solidaridad o ayuda mutua) que debe haber en todo el grupo de clase, no sólo dentro de un mismo
equipo, puesto que los distintos equipos se ayudan a la hora de resolver las dudas que un equipo en
concreto no ha sabido resolver.
65
5.1.4 Actividad Cadena de preguntas
Se trata de una estructura apta para repasar el tema o los temas trabajados hasta el momento y
preparar el examen o simplemente para hacer una evaluación formativa y comprobar hasta qué punto
se han conseguido los objetivos previstos, y rectificar o ajustar, si es preciso, la programación.
Durante tres minutos aproximadamente cada equipo piensa una pregunta sobre el tema o los
temas estudiados hasta el momento, que planteará al equipo que se encuentra a su lado, siguiendo un
orden determinado (por ejemplo, la dirección de las agujas del reloj). Se trata de preguntas
fundamentales (que consideren que podrían salir en un examen) sobre cuestiones trabajadas en la
clase, pensadas para ayudar al resto de equipos. Pasados los tres minutos, el portavoz de un equipo
plantea la pregunta al equipo siguiente, el cual la responde, y, seguidamente, el portavoz de este
equipo hace una pregunta al equipo que viene a continuación, y así sucesivamente hasta que el
último equipo hace la pregunta al primer equipo que ha intervenido, al que ha empezado la “cadena
de preguntas”.
Cada equipo tiene dos portavoces: uno para hacer la pregunta que han pensado entre todos y
otro para dar la respuesta que han pensado entre todos.
Si una pregunta ya ha sido planteada con anterioridad, no se puede repetir y se salta el equipo
que la había planteado.
Acabada la primera ronda, se dejan tres minutos más para pensar nuevas preguntas, pasados los
cuales se iniciará una nueva cadena, pero en dirección contraria: cada equipo hace la pregunta al
equipo que en la primera ronda les había hecho la pregunta a ellos.
66
5.2 ACTIVIDAD USO TICs; GEOGEBRA.
Los objetivos de la actividad son:
-Dar a conocer la herramienta Geogebra a los alumnos.
-Utilizar las funciones cuadráticas y funciones lineales para resolver situaciones problema.
-Trabajar la capacidad de aprender a pensar
- Utilizar la didáctica del juego en el proceso de enseñanza de las matemáticas.
Desarrollo
Utilizaremos el programa Geogebra Online. Versión para alumnos.
- Introducción a herramientas de Geogebra:
- Dibujar elementos a través de su ecuación u coordenadas: Punto: A(x,y),
Recta: y=mx+n, Parábola: y=ax2+bx-c, cualquier función que el alumno considere.
- Dibujar una recta que pase por dos puntos. Conocer su ecuación a través de
herramienta “lugar geométrico.
- Herramienta de “punto de corte”, hallando el punto de corte con los ejes, punto
de corte entre dos rectas.
- Escribir la ecuación general de la parábola (y=ax2+bx+c), con deslizadores
para los coeficientes a, b, c. de manera que se pueda variar sus valores y observar cómo va
cambiando la parábola. Empezaremos fijando el valor de b=0 y c=0, modificando el
coeficiente a. Después con a=1 y b=0, cambiaremos los valores para c, observando cómo se
67
desplaza el eje de la parábola a lo largo del eje de ordenadas. Finalmente, con a=1 y c=0,
daremos diferentes valores a el coeficiente b, observando qué pasa.
Imagen de la actividad: Parábola con deslizadores
- Ejercicios: Los ejercicios que se plantean pretenden que el alumno utilice su
conocimiento matemático para resolver situaciones que se plantean de manera gráfica
utilizando Geogebra.
Situación problema 1.- Un policía sale corriendo a 20km/hora detrás de un ladrón
que le lleva 100 m de ventaja. Si la velocidad del ladrón es de 15km/hora, a qué distancia lo
alcanzará el policía?. Después de cuánto tiempo? Resolver el problema de manera gráfica.
Situación problema 2.-El agua de una fuente describe una parábola con la siguiente
ecuación: y=6x-x2. ¿A qué distancia de la fuente golpeará el agua al suelo?. A dos metros de
la fuente se coloca un panel de 9 metros de altura. ¿Golpeará el agua de la fuente el panel?.
Si es así, hallar la ecuación que debería seguir el chorro de agua para golpeando el suelo en
el mismo punto que antes pase por encima del panel.
Ejercicios online realizado con base del juego Angry birds” “The quadratic
game” stage 1 -5. (ver imagen). Estos ejercicios presentan un gráfico en el que aparece un
68
punto desde el que se dispara una pelota que tiene que golpear diferentes muñecos colocados
en diferentes posiciones coordenadas. Consiste en hallar ecuaciones de rectas o parábolas
que debe llevar el tiro de dicha pelota para ir golpeando a los muñequitos.
Ejemplo actividad Geogebra: “The quadratic game”-Stage 1. Angry birds
69
ANEXO II: PRUEBA DE EVALUACIÓN UD. (EXÁMEN)
EXAMEN 3º ESO. MATEMÁTICAS. Nombre:____________________
1.- Señala la pendiente y la ordenada en el origen de cada una de las siguiente rectas.
Representa la a) y b). (1,2 ptos)
a) y= 2x+3 b) c) y= 6x d)
2.- Escribe las ecuaciones de las rectas a partir de los siguientes datos. (1,2pto)
a) Pasa por (3, 2) y (–1, 4). b) m = –3 y pasa por (–1, 2). c) m = 1
3 y n = –2
3. A partir de las siguientes gráficas, obtén la ecuación de las rectas, señalando su pendiente
y ordenada en el origen. (1pto)
a)
b)
c)
d)
70
4.- Expresa los siguientes enunciados mediante una ecuación lineales: (1pto)
a) Abrimos el grifo para llenar una bañera y el nivel de agua sube 10cm cada minuto
b) Relación entre el perímetro de un cuadrado y su lado
c) Coste de un taxi que cobra 3 € por levantamiento de bandera y 0,5 € el minuto.
d) La velocidad de un coche que circula a 100km/hora y empieza a frenar a razón de 20km/
hora
5.- Indica si las siguientes rectas son paralelas o secantes. En caso de ser secantes halla su
punto de intersección. (1 pto)
a) ; y= -3x+5 b) y= x+6 ; y=
6.- Dada la recta y=5x+3: (1,2ptos)
a) Escribe la ecuación de dos rectas paralelas: la primera que pase por el origen de
coordenadas, y la segunda que no pase por el origen de coordenadas.
b) La ecuación de dos rectas secantes a la dada, pero paralelas entre sí.
c) La ecuación de una recta secante a la dada que corte a la misma en el punto (0,3)
d) La ecuación de una recta con pendiente m= 6 que corte a la dada en el mismo punto que
la recta y= -3x+5
71
7.- Un ciclista sale de su casa a 20km/h a las 10:00 de la mañana, a las 12:00 su madre se da
cuenta que se ha dejado la comida y rápidamente coge su moto para llevársela, no vaya a ser
que su hijo pase hambre!. Si la madre lleva una velocidad media de 60km/h. A qué distancia
del pueblo le alcanzará y a qué hora será?. Resuelve el problema gráficamente y mediante
sistema de ecuaciones.(1,2pto)
8. Representa las siguientes funciones cuadráticas calculando previamente sus elementos
más característicos. (1,2 pto)
a) y = –x2 + 5x b) y = x2 – 2x + 4 c) y= 4x2+5
9. Partiendo de la gráfica de la parábola y = x2, obtén la gráfica de las siguientes parábolas.
(1pto)
a) y = x2 + 3 b) y = (x – 2)2 + 3
