İİKTKTİİSADSADİİ

DDİİNAMNAMİİKLKLİİK VE K VE

İİNTEGRAL NTEGRAL

İŞİŞLEMLERLEMLERİİ

22

İktisat biliminde dinamiklik kavramı, değişkenlerin değişim

süreçlerini, dengeye geliş ya da uzaklaşmalarını içeren bir

analiz tipidir. Daha önce karşılaştırmalı durağanlık analizinde,

dengeden uzaklaşıldığında dengeye yeniden nasıl

dönüldüğünü ele almıştık. Dinamik analizde ise, dengeye geliş

süreci bir sorun olarak ele alınmaktadır. Diğer önemli nokta,

zamanın sürekli ya da kesikli biçimde analize katılmış

olmasıdır.

33Dinamik bir modelde amaç, belirli bir değişim kalıbına bağlı

olarak, ilgili değişkenin zaman içinde aldığı yolun (ilkel

fonksiyonun) belirlenmesidir. Örneğin nüfusun zaman içinde

şöyle değiştiğini bildiğimizi varsayalım:

1 2dH tdt

−=

Dinamik analiz, bu şekildeki bir değişim kalıbından hareketle,

H=H(t) ilkel fonksiyonunu bulmak sürecidir. Bu, integral alma

yöntemi ile yapılabilir. Bunu yukarıdaki örnek için yapalım:

1 2( ) 2H t t c= +

44İntegral işlemi, türev işleminin tersidir. İntegral sabitini

belirleyebilecek yeterli bilgi varsa, f(x) fonksiyonunun

integralini alarak, F(x) ilkel fonksiyonuna ulaşırız. f(x) ‘in x’e

göre integralini şöyle gösterebiliriz:

( )f x dx∫Burada f(x), integrali alınan fonksiyondur. dx integral işleminin x

değişkenine göre yapıldığını söylemektedir.

( ) ( ) ( ) ( )dF x f x f x dx F x cdx

= ⇒ = +∫c rasgele bir integral sabitidir.

55Kural I:Kural I:

11 , ( 1)1

n nx dx x c nn

+= + ≠ −+∫

ÖÖrnek 1:rnek 1:

3 414

x dx x c= +∫

ÖÖrnek 2:rnek 2:

212

xdx x c= +∫

66

ÖÖrnek 3:rnek 3:

1dx x c= +∫

ÖÖrnek 4:rnek 4:

3 3 2 5 2 51 25 2 5

x dx x dx x c x c= = + = +∫ ∫

ÖÖrnek 5:rnek 5:

4 34 3

1 1 13 3

dx x dx x c cx x

− −= = − + = − +∫ ∫

77Kural II:Kural II:

x xe dx e c= +∫

Kural Kural IIaIIa::

( ) ( )( ) f x f xf x e dx e c′ = +∫

1 lndx x cx

= +∫Kural III:Kural III:

1 ln , ( 0)dx x c xx

= + ≠∫ya da

Kural Kural IIIaIIIa::

( ) ln ( ) , ( ) 0( )

f x dx f x c f xf x′

= + >∫

88Kural IV:Kural IV:

[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx F x G x c+ = + = + +∫ ∫ ∫

ÖÖrnek 6:rnek 6:

( )4 2

3 31 14 2x xx x dx x dx xdx dx x c+ + = + + = + + +∫ ∫ ∫ ∫

ÖÖrnek 7:rnek 7:

2 22 2

2 2

14 142 27 5 7 5

ln(7 5)

x x

x

x xe dx e dx dxx x

e x c

⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

= + + +

∫ ∫ ∫

99Kural V:Kural V:

( ) ( ) ( )kf x dx k f x dx kF x c= = +∫ ∫

ÖÖrnek 8:rnek 8:

2 2 322 23

x dx x dx x c⎛ ⎞− = − = − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

ÖÖrnek 9:rnek 9:

22

1 3 15 5 3

15 3ln

x x

x

e dx e dx x dx dxx x x

e x cx

−⎛ ⎞− + = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

= + + +

∫ ∫ ∫ ∫

1010Kural VI (Kural VI (İİkame Kuralkame Kuralıı): ):

( ) ( ) ( )duf u dx f u du F u cdx

= = +∫ ∫

Bu kural, türevdeki zincir kuralından gelmektedir.

ÖÖrnek 10:rnek 10:

22 ( 1)x x dx+∫Bu problemi iki şekilde çözebiliriz. Birincisinde parantezi

çarpmayla dağıtırız, sonra oluşan ifadenin integralini alırız:

2 3 4 212 ( 1) (2 2 )2

x x dx x x dx x x c+ = + = + +∫ ∫

1111İkincisinde ikame kuralını kullanırız:

2 1u x= + olarak kabul edelim.

( )2du x dx=

( ) ( )

22

1

224 2

1 1

4 2

2 ( 1)2

1 1 2 12 2

12

ux x dx udu c

xc x x c

x x c

+ = = +

+= + = + + +

= + +

∫ ∫

1212ÖÖrnek 11:rnek 11:

2 3 996 ( 2)x x dx+∫3 2u x= + olarak kabul edelim.

23du x dx=

2 3 99 2 3 99

99 100

3 100

6 ( 2) 2 3 ( 2)

1250

1 ( 2)50

x x dx x x dx

u du u c

x c

+ = +

= = +

= + +

∫ ∫

∫

1313ÖÖrnek 12:rnek 12:

2 38 xe dx+∫

2 3 2u x du dx= + → =

2 3 2 34 2 4 4 4x u u xe dx e du e c e c+ += = + = +∫ ∫

1414Kural VII (KKural VII (Kıısmi smi İİntegral): ntegral):

v du uv udv= −∫ ∫

Bu kural, türevdeki temel çarpımın türevseli kuralından

türetilmektedir.

( )

( )

d uv v du udv

d uv v du udv

uv v du udv

v du uv udv

= +

= +

= +

= −

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

1515ÖÖrnek 13:rnek 13:

ln

1ln

1ln ln

ln (ln 1)

xdx

v x dv dxx

du dx u x

v du uv udv

x dx x x x dxx

x x x c x x c

= → =

= → =

= −

= −

= − + = − +

∫

∫ ∫

∫ ∫

1616ÖÖrnek 14:rnek 14:

1 2

1 2 3 2

1 2 3 2 3 2

3 2 5 2

( 1)

2( 1) ( 1)3

2 2( 1) ( 1) ( 1)3 32 4( 1) ( 1)3 15

x x dx

v x dv dx

du x dx u x

v du uv udv

x x dx x x x dx

x x x c

+

= → =

= + → = +

= −

+ = + − +

= + − + +

∫

∫ ∫

∫ ∫

1717ÖÖrnek 15:rnek 15:

( 1)

x

x x

x x x

x x x

xe dx

v x dv dxdu e dx u e

v du uv udv

xe dx xe e dx

xe e c e x c

= → =

= → =

= −

= −

= − + = − +

∫

∫ ∫∫

1818ÖÖrnek 16:rnek 16:

1 2

1 2 3 2

1 2 3 2 3 2

3 2 5 2

( 3)( 1)

32( 1) ( 1)3

2 2( 3)( 1) ( 1) ( 3) ( 1)3 32 4( 1) ( 3) ( 1)3 15

x x dx

v x dv dx

du x dx u x

v du uv udv

x x dx x x x dx

x x x c

+ +

= + → =

= + → = +

= −

+ + = + + − +

= + + − + +

∫

∫ ∫

∫ ∫

1919ÖÖrnek 17:rnek 17:

2

2 2

2 2 2

ln

1ln

2

1ln ln2 2

1ln ln2 4 2 2

x xdx

v x dv dxxxdu xdx u

v du uv udv

x xx x dx x dxx

x x xx x

= → =

= → =

= −

= −

⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

∫ ∫

∫ ∫

Şu ana kadar belirsiz integraller üzerinde çalıştık. Belirsiz

integral herhangi bir sayısal değer almaz, yalnızca bir

fonksiyonla ifade edilir. Buna karşın, şimdi ele alacağımız

belirli integral konusu, integral alma işlemi sonucunda bir

sayısal değer elde etme ile ilgilidir. Belirli integrali şöyle

gösterebiliriz:

2020

]( ) ( ) ( ) ( )b b

aaf x dx F x F b F a= = −∫

2121

ÖÖrnek 18:rnek 18:

5 52 3 3 311

3 (5) (1) 124x dx x ⎤= = − =⎦∫

ÖÖrnek 19:rnek 19:

4 4200

1 2 ln 11

(ln 5 16) (ln1 0) ln 5 16

x dx x xx

⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ = + +⎜ ⎟ ⎣ ⎦+⎝ ⎠= + − + = +

∫

Her belirli integral, belirli bir değere sahiptir. Geometrik

anlamda bu değer, verilen bir eğrinin altında kalan belirli bir

alandır. Örneğin Şekil 4.1a’da y=f(x) fonksiyonu eğrisiyle x

ekseni arasına sıkışmış olan belirli bir A alanını ölçmek

istersek, şunu yapabiliriz. Önce [a,b] aralığını (dikdörtgensel)

parçalara ayırırız. Bu dikdörtgenlerin her birinin taban kenarı

Dx, yüksekliği de f(x) kadardır. Her bir dikdörtgenin alanını

taban kenar çarpı yükseklik ( f(x)Dx ) yoluyla belirler ve

toplarsak, y=f(x) fonksiyonu eğrisiyle x ekseni arasına sıkışmış

olan A alanını yaklaşık olarak hesaplamış oluruz:

2222

2323

*

1( )

n

i ii

A f x x=

= ∆∑

Eğer dikdörtgen sayısını giderek artırırsak taban alanı daralır,

yaklaşım giderek iyileşir ve sapma azalır. Dikdörtgen sayısı (n)

sonsuza giderken, alan ölçme hatası sıfıra yaklaşır:

*

1lim ( ) ( ) lim

n b

i i an nif x x f x dx A A alanı

→∞ →∞=

∆ = = =∑ ∫

2424ŞŞekil 4.1a Entegral ve Alan Hesabekil 4.1a Entegral ve Alan Hesabıı

y

y=f(x)

0 x1 x2 x3 x4

∆x

x

A

B C

D E

• •

• •

2525ŞŞekil 4.1b Entegral ve Alan Hesabekil 4.1b Entegral ve Alan Hesabıı

y

x0 x1 xn(=a) (=b)

( )y f x=

ÖÖzellik I :zellik I :

İntegralin sınırlarının değiştirilmesi, belirli integralin işaretini

değiştirir.

2626

[ ]

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

a b

b a

a b

b a

f x dx f x dx

f x dx F a F b F b F a f x dx

= −

= − = − − = −

∫ ∫

∫ ∫

ÖÖzellik II :zellik II :

İntegral sınırları aynıysa, belirli integral sıfır değerine sahiptir.

( ) ( ) ( ) 0a

af x dx F a F a= − =∫

2727ÖÖzellik III :zellik III :

Belirli bir integral, sonlu sayıdaki belirli alt integrallerin

toplamıyla ifade edilebilir.

( ) ( ) ( ) ( ) , ( )d b c d

a a b cf x dx f x dx f x dx f x dx a b c d= + + < < <∫ ∫ ∫ ∫

ÖÖzellik IV : zellik IV :

( ) ( )b b

a af x dx f x dx− = −∫ ∫

2828ÖÖzellik V :zellik V :

( ) ( )b b

a akf x dx k f x dx=∫ ∫

ÖÖzellik VI : zellik VI :

[ ]( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫

ÖÖzellik VII : (Kzellik VII : (Kıısmi smi İİntegral) ntegral)

[ ]x b x bx b

x ax a x avdu uv udv

= ==

== == −∫ ∫

2929

Belirli integralin üst sınırının b gibi sabit bir parametre değil de,

x gibi bir değişken olduğunu düşünelim. Bu durumda integralı

şöyle yazarız:

( ) ( )x

af x dx x F a= −∫

Buna göre, f(x) fonksiyonunun altında kalan alan x ’in bir

fonksiyonudur. Sağ yandaki son terim sabit olduğundan, bu tür

bir belirli integral, aslında ilkel fonksiyonlardandır ve belirsiz

bir integrala dönüşmüştür.

3030ÖÖrnek 20:rnek 20:

33 3 33 2

11

1 3 1 26 4.332 6 6 6 6

xx dx⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = − = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫

ÖÖrnek 21:rnek 21:

4 46 34 4 42 3 5 2

2 2 22 2

6 6 3 3

1 113 3 18 3

4 2 4 2 242.6718 18 3 3

x xx x dx x dx x dx⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞+ = + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

3131

ÖÖrnek 22:rnek 22:

2 2 22 2 211 1

2(2) 2(1)2 4

1 122 2

1 1 12 2 2

x x xe dx e dx e

e ee e

− − −

− −

⎡ ⎤= − − = − ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

∫ ∫

ÖÖrnek 23:rnek 23:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

6 6 6 6 61 1 1 1 ln ln(1 )1 1

ln 6 ln ln 7 ln(1 )

e ee e edx dx dx x x

x x x x

e e

⎛ ⎞+ = + = + +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

= − + − +

∫ ∫ ∫

3232Sonsuz SSonsuz Sıınnıırlrlıı İİntegralntegral

( ) ( ) ( )b

f x dx F b F−∞

= − −∞∫( ) ( ) ( )a

f x dx F F a∞

= ∞ −∫ ve

İntegral sınırlarından bir tanesi olan belirli integrallere, uygun

olmayan integral denir. Bu tür integrallerin değeri belirlenemez.

Bu durumlarda limit kavramına başvururuz.

( ) lim ( )b

a abf x dx f x dx

∞

→∞≡∫ ∫ ( ) lim ( )

b b

aaf x dx f x dx

−∞ →−∞≡∫ ∫

Bu limitler varsa, uygun olmayan integralin yakınsak, yoksa

ıraksak olduğunu söyleriz.

3333ÖÖrnek 24:rnek 24:

2 21 11

1 1 1 1lim lim lim 1 1b

b

b b bdx dx

x x x b∞

→∞ →∞ →∞

−⎡ ⎤ ⎛ ⎞= = − = + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠∫ ∫

ÖÖrnek 25:rnek 25:

[ ] ( )11 1

1 1lim lim ln lim lnb b

b b bdx dx x b

x x∞

→∞ →∞ →∞= = = = ∞∫ ∫

ÖÖrnek 26:rnek 26:

( ) lim ( )b

aba

f x dx f x dx∞

−∞ →+∞→−∞

=∫ ∫

3434

ŞŞekil 4.2 Entegralde Yakekil 4.2 Entegralde Yakıınsaklnsaklıık ve Iraksaklk ve Iraksaklııkk

yy

1( )f xx

=2

1( )f xx

=

xx

3535Bazı durumlarda alt ve üst sınırlar belirli olsa da, integralı

alınan fonksiyon, [a,b] aralığında sonsuz değerini alabilir. Bu

türden integrallerde de limit kavramına başvururuz.

ÖÖrnek 27:rnek 27:1

0

1 dxx∫

x→0+ iken, 1/x→∞ olmaktadır. Bu nedenle tanımsızlaşan alt

limit için a diyelim ve limit kavramını kullanalım.

[ ]1 1

1 1

0 0 0

1 ln ln

1 1lim lim( ln )

aa

aa a

dx x ax

dx dx ax x+ +→ →

= = −

= = − = −∞

∫

∫ ∫

3636ÖÖrnek 28:rnek 28:

9 1 2

0x dx−∫

x→0+ iken, 1/x→∞ olmaktadır.

( )

9 91 2 1 2

9 91 2 1 2

0 0 0

2 6 2

lim lim 6 2 6

aa

aa a

x dx x a

x dx x dx a+ +

−

− −

→ →

⎡ ⎤= = −⎣ ⎦

= = − =

∫

∫ ∫

3737Bazı durumlarda integralı alınan fonksiyon [a,b] alt ve üst

sınırlarında değil, (a,b) açık aralığında sonsuz değere sahip

olabilir. Bu durumlarda, belirli integralin toplama özelliğinden

yararlanarak, alt integrallerin toplamı biçiminde hesaplama

yaparız. Örneğin x→p iken, f(x)→∞ olduğunu varsayalım.

( ) ( ) ( )b p b

a a pf x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫

Eğer her bir toplamdaki belirli integral birer limite sahipse,

toplam integralin yakınsak olduğunu söyleyebiliriz.

ÖÖrnek 29:rnek 29:

1

31

1 dxx−∫

Burada x→0 iken, 1/x3→∞ olmaktadır. Bu nedenle integralı iki

toplam biçiminde yazalım.

3838

1 0 13 3 3

1 1 0

3 2210 0 0

1

1 1 1lim lim lim2 2 2

bb

b b b

x dx x dx x dx

x dx xb

− − −

− −

− −

−→ → →−

= +

− −⎡ ⎤ ⎛ ⎞= = + = −∞⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

∫Toplam integralin birinci parçası ıraksak olduğundan, ikincisini

incelemeden, bunun ıraksak bir integral olduğunu

söyleyebiliriz.

3939

Marjinal Fonksiyondan Toplam Fonksiyonun Elde EdiliMarjinal Fonksiyondan Toplam Fonksiyonun Elde Edilişşii

Toplam fayda, gelir ya da maliyet fonksiyonlarının birinci

türevleri, bunların marjinal fonksiyonlarına eşittir. Dolayısıyla

integral alma süreci, marjinal bir fonksiyondan, toplam

fonksiyona ulaşmamızı sağlar.

Örneğin bir firmanın marjinal maliyet fonksiyonu MC=2e0.2Q ve

toplam sabit maliyeti de 90 birimdir. Buna göre firmanın toplam

maliyet fonksiyonunu belirleyelim.

4040

0.2 0.2

0.2 0.2

( )

( ) ( )

12 2(0.2)0.2

12 100.2

Q Q

Q Q

dTC MC dTC MC dQdQ

dTC MC dQ TC MC dQ

TC e dQ e dQ

TC e c e c

= → =

= → =

= =

= + = +

∫ ∫ ∫

∫ ∫

integral sabiti c ’nin değerini belirlemek için, toplam sabit

maliyetin 90 olduğu bilgisinden yararlanırız. Üretim miktarı

sıfırken oluşan toplam maliyet yalnızca sabit maliyettir.

Yukarıda bulduğumuz integralda Q yerine sıfır yazarak ve 90’a

eşitleyerek, c sabitini belirleriz.

4141

0.2(0)

0.2

10 90 80

( ) 10 80Q

TFC e c c

TC Q e

= + = → =

= +

4242

Marjinal Tasarruf Fonksiyonundan Toplam Tasarruf Marjinal Tasarruf Fonksiyonundan Toplam Tasarruf

Fonksiyonunun BelirlenmesiFonksiyonunun Belirlenmesi

Marjinal tasarruf fonksiyonunun aşağıda verildiği bir ekonomi

varsayalım. Gelir düzeyi (Y) 81 birimken, toplam tasarruf

düzeyi (S) sıfırdır. Buna göre bu ekonominin toplam tasarruf

fonksiyonu nedir?

1 20.3 0.1MPS Y −= −

1/ 2 1/ 2

1/ 2

1/ 2

( )

( ) ( )

0.3 0.1 0.3 0.2

81 0

0 0.3(81) 0.2(81) 22.5

0.3 0.2 22.5

dS MPS dS MPS dYdY

dS MPS dY S MPS dY

S Y dY S Y Y c

Y S

c c

S Y Y

−

= → =

= → =

= − → = − +

= → =

= − + → = −

= − −

∫ ∫ ∫

∫

4343

4444YatYatıırrıım ve Sermaye Birikimim ve Sermaye Birikimi

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

dK t I t dK t I t dtdt

dK t I t dt K t I t dt

≡ → =

= → =∫ ∫ ∫

1/ 2( ) 3I t t= 00 (0)t K K= → =ve

1/ 2 3/ 2

3 / 20 0

( ) 3 2

(0) ( ) 2

K t t dt t c

K K c K t t K

= = +

= = → = +

∫

4545

Sermaye Stokunun BelirlenmesiSermaye Stokunun Belirlenmesi

Net yatırım ise, dördüncü yılın sonundaki sermaye

oluşumu nedir?

1/ 2( ) 3I t t=

1

441/ 2 3/ 21

1

( ) ( )

( ) 3 2 14

t

K t I t dt

K t t dt t

=

⎡ ⎤= = =⎣ ⎦

∫

∫

4646SSüürekli Birikimdeki Bir Gelirin Bugrekli Birikimdeki Bir Gelirin Bugüünknküü DeDeğğerieri

Yıl başına D liralık sabit bir hızla y yıl süren ve yılda r nominal

oranında indirgenen sürekli bir hasılat akımının şimdiki değeri

nedir?

( )

00 0

1

3000 , 0.06 , 2 5655

y yyrt rt rt

ry

D DDe dt re dt er r

D er

D r y

− − −

−

⎡ ⎤Π = = − − = − ⎣ ⎦

Π = −

= = = → Π ≅

∫ ∫

ParetoPareto Gelir DaGelir Dağığıllıımmıı

Pareto’nun gelir dağılımı tanımına göre, nüfusun N kadarının, x

gelirini ya da x’den daha yüksek geliri elde etmesi şöyle

tanımlanmıştır:

4747

BdN Axdx

−= −

Buna göre, a ile b gelir aralığındaki birey sayısını belirleyelim.

1 1 1

1 1 1

bB B

a

bB B B

a

dN Ax dx N Ax dx

x b aN A A AB B B

− −

− − −

= − → = −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫

TTüüketici Artketici Artığıığı

Tüketici artığını kesin bir şekilde hesaplayabilmek için,

entegral hesapları kullanırız. Örneğin x malının talep

fonksiyonunun ve piyasa fiyatının aşağıdaki gibi olduğunu

varsayalım.

4848

0

2 2

02 2

Q** *

Q* ** * * * *

P a bQ , P P

TA ( a bQ )dQ P Q

bQ b( Q )aQ P Q aQ P Q

∗= − =

= − −

⎡ ⎤= − − = − −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

4949

ŞŞekil 4.3. Tekil 4.3. Tüüketici Artketici Artığıığı

Pa

Q∗

P∗ E

Qab

TA

0

•

5050

100 2P Q= − 40*P =

40E

100

P

Q300

0

302

0

2

100 2 40 30

210

900

0 12002

100 30 30 1200

Q*

TA ( Q)dQ ( ).( )

QQ

( ).( ) ( )

= − −

⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦

= − − =

∫

50

D

5151

2100P Q= − 36*P =

36E

P

Q80

82

0

83

0

3

100 36 8

100 2883

8100 8 288 33

41 3

TA ( Q )dQ ( ).( )

QQ

( )( ).( .)

= − −

⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦

= − − =

∫100

D

5252Domar BDomar Büüyyüüme Modelime Modeli

Domar modeline göre, yatırımlar ekonominin hem talep

(çarpan) hem de arz (hızlandıran) yanını etkiler. Çarpanı şöyle

yazabiliriz:

1 1dY dIY Is dt s dt

= → =

Diğer yandan yatırımlardaki artış, kapasite etkisine yol

açacaktır. κ yıllık potansiyel çıktı akımını, ρ kapasite-sermaye

oranını göstersin. Buna göre, ekonominin K(t) sermaye stoku

ile, bir yılda üretebileceği miktar:

Kκ ≡ ρ

5353Üretimin (arzın) zaman içindeki büyümesi:

d dK Idt dtκ= ρ = ρ

Domar modeline göre ekonominin dengeli bir gelişme süreci

sağlayabilmesi için, arz ve talep eşit olmalıdır.

d dYdt dtκ=

Dolayısıyla modelin temel sorusu şudur: Ekonomide dengeli

gelişme sürecinin sağlanabilmesi için, yatırımlar zaman içinde

nasıl bir seyir izlemelidir?

5454Bu soruya yanıt vermek I(t) fonksiyonunun belirlenmesi

demektir. Bunun için, ilk olarak süreç içindeki arz-talep

dengesinden yola çıkalım.

( )

1 2

ln

1 1

1 ln ln

0

0 (0) ( ) (0)

st cI c st st

st

dY d dI dII sdt dt s dt I dt

dI sdt I c st c I st cI

e e I e e I için I Ae

t iken I A I t I e

ρ + ρ ρ

ρ

κ= → = ρ → = ρ

= ρ → + = ρ + → = ρ +

= → = → > =

= = → =

∫ ∫

5555

ŞŞekil 4.3. ekil 4.3. DomarDomar BBüüyyüüme Modelinde Optimal me Modelinde Optimal YatYatıırrıım Sm Süürecireci

( ) (0) stI t I eρ=

( )I t

t0

(0)I

5656

Yatırımın fiili büyüme oranı (r) , gerekli büyüme oranından (ρs)

büyük ya da küçük olduğu durumlarda ne olacağına bakalım.

Bunun için kapasite kullanım oranını (u) tanımlayalım:

1 1( )lim lim( )t t

dI dIY t dY dt rs dt I dtu u

t d dt I s s→∞ →∞= → = = = =

κ κ ρ ρ ρ

r>ρs ya da r<ρs olmasına bağlı olarak, bir kapasite eksikliği

(u>1) ya da fazlalığı (u<1) oluşur.

5757

Fiili yatırım büyüme oranı oranı (r) , gerekli yatırım büyüme

oranından (ρs) büyük olursa, dY/dt>dκ/dt durumu ortaya çıkar,

yani yatırımın talep etkisi, kapasite etkisinden büyük olur,

ortaya bir talep fazlası çıkar. Tersi durumda ise, arz talebi aşar.

Bu durum, ekonomide bir bbııççak sak sıırtrtıında dengenda denge sürecine neden

olmaktadır.