MATEMÁTICA APLICADA AO PLANEJAMENTO DA ...MATEMÁTICA APLICADA AO PLANEJAMENTO DA PRODUÇÃO E LOGÍSTICA PROGRAMA Introdução 1. Modelagem matemática: conceitos básicos 2. Problemas

Apoio Financeiro:

Silvio A. de AraujoSocorro Rangel

[email protected], [email protected]

MATEMÁTICA APLICADA AO PLANEJAMENTO DA PRODUÇÃO E LOGÍSTICA

PROGRAMA

Introdução

1. Modelagemmatemática: conceitos básicos

2. Problemas clássicos de logística

3. O problema de dimensionamento de lotes

4. O problema de sequenciamento de tarefas

5. O problema integrado de dimensionamento e sequenciamentode lotes

6. Outros problemas integrados

Considerações Finais

PROGRAMA

Introdução





5. O Problema Integrado de dimensionamento e sequenciamentode lotes



AULA 2

PROGRAMA

Introdução








PROGRAMA

Introdução







7. Considerações Finais

2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)

2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)

2.3 O problema de localização de facilidades (PLF)

2.1 O problema do caminho mínimo (PCM)2. Problemas clássicos de logística

Problema do Caminho Mínimo (PCM)

Uma pessoa deseja sair de sua casa e chegar ao trabalho no menortempo possível. Qual é a sequência de ruas e avenidas que a pessoadeve percorrer para chegar ao seu destino final?


Trecho da região central de São José do Rio Preto







Trecho da região central de São José do Rio Preto


Representação na forma de grafos

3

4 5

2

1Conceitos de Teoria dos grafos- Grafo/Digrafo- Adjacência de vértices- Adjacência de arestas- Caminho: sequencia alternada

de vértices e arestas onde não há repetição de vértices e começa e termina com vértices (ex: 1, 3, 2, 5)



3

4 5

2

1

1c13=5

3

83

3

c45=5

Conceitos de Teoria dos grafos- Grafo valorado- Rede- Custo de um caminho


3

4 5

2

1

1c13=5

3

83

3

c45=5

Análise de possíveis soluções para ir do vértice 1 ao vértice 5

Qual é o caminho mínimo?

Construindo um modelo para o Problema do Caminho Mínimo

elementos conhecidos: vértices, arestas e custo das arestas

elementos desconhecidos: sequencia de vértices e arestas aser utilizadas

objetivo a ser alcançado: obter um caminho de custo(tempo) mínimo do vértice 1 ao vértice 5

restrições: relativas ao deslocamento no grafo


Elementos conhecidos (dados):- número de vértices, |V|=n;- número de arestas, |A|=m.- vértice inicial é 1, e o vértice final én.

- índices:i,j = 1, ...,n para representar os vértices- custo da aresta (i,j)

Elementos desconhecidos (variáveis):1 se a aresta (i,j) está incluída no caminho0 caso contrário


=ijc

=ijx

objetivo a ser alcançado (função objetivo):

restrições:


∑∈

=Aji

ijij xcz),(

min

)(,,0

1,...,20

1

1

)()(

)(

)1(1

iSjVix

njxx

x

x

ij

jSkjk

jPiij

nPjjn

Sjj

∈∈≥

−==−

=

=

∑∑

∑

∑

∈∈

∈

∈

Formulação:


SjVix

njxx

x

x

aSujeito

xcz

ij

jSkjk

jPiij

nPjjn

Sjj

Ajiijij

∈∈≥

−==−

=

=

=

∑∑

∑

∑

∑

∈∈

∈

∈

∈

,,0

1,...,20

1

1

:

min

)()(

)(

)1(1

),(

Exemplo:


∑∈

=Aji

ijij xcz),(

min

4545353534343232252513131212min xcxcxcxcxcxcxcz ++++++=

3

4 5

2

11c13=5

3

83

3

c45=5

45353432251312 5333851min xxxxxxxz ++++++=

Formulação:


SjVix

njxx

x

x

aSujeito

xcz

ij

jSkjk

jPiij

nPjjn

Sjj

Ajiijij

∈∈≥

−==−

=

=

=

∑∑

∑

∑

∑

∈∈

∈

∈

∈

,,0

1,...,20

1

1

:

min

)()(

)(

)1(1

),(

Exemplo:


1

1

)(

)1(1

=

=

∑

∑

∈

∈

nPjjn

Sjj

x

x

11312 =+ xx

3

4 5

2

11c13=5

3

83

3

c45=5

1453525 =++ xxx

Exemplo:


1

1

)(

)1(1

=

=

∑

∑

∈

∈

nPjjn

Sjj

x

x

11312 =+ xx

3

4 5

2

11c13=5

3

83

3

c45=5

1453525 =++ xxx

Formulação:


SjVix

njxx

x

x

aSujeito

xcz

ij

jSkjk

jPiij

nPjjn

Sjj

Ajiijij

∈∈≥

−==−

=

=

=

∑∑

∑

∑

∑

∈∈

∈

∈

∈

,,0

1,...,20

1

1

:

min

)()(

)(

)1(1

),(

Exemplo:


40

30

20

4534

35343213

253212

==−==−−−

==−+

jxx

jxxxx

jxxx

3

4 5

2

11c13=5

3

83

3

c45=5

1,...,20)()(

−==− ∑∑∈∈

njxxjSk

jkjPi

ij

Exemplo:


40

30

20

4534

35343213

253212

==−==−−−

==−+

jxx

jxxxx

jxxx

3

4 5

2

11c13=5

3

83

3

c45=5

1,...,20)()(

−==− ∑∑∈∈

njxxjSk

jkjPi

ij

Formulação:


SjVix

njxx

x

x

aSujeito

xcz

ij

jSkjk

jPiij

nPjjn

Sjj

Ajiijij

∈∈≥

−==−

=

=

=

∑∑

∑

∑

∑

∈∈

∈

∈

∈

,,0

1,...,20

1

1

:

min

)()(

)(

)1(1

),(

Problema do Caixeiro Viajante (PCV) - Um viajante necessita visitar umcerto número de cidadesdurante uma viageme retornar ao lugar de origemde tal maneiraque cada cidade seja visitada exatamente uma vez, e que adistância total percorrida seja a menor possível.

- Supondo conhecidas as distâncias entre cada par de cidades, queroteiro deve ser escolhido?

2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)2. Problemas clássicos de logística



Conceitos de Teoria dos grafosCircuito: sequência alternada de vértices e arestas onde não há repetição de vértices, exceto pelo primeiro (ex: 1, 2, 4, 3, 1).

Circuito Hamiltoniano: circuito que inclui todos os vértices deum grafo (ex. 1, 5, 2, 3, 4, 1)

3

4 5

2

1

127

5

34

3

2

3

5




Conceitos de Teoria dos grafosPCV simétrico: se cij= cji para todo i, j, temos o caso simétrico.

3

4 5

2

1

127

5

34

3

2

3

5




Conceitos de Teoria dos grafosPCV simétrico: se cij= cji para todo i, j, temos o caso simétrico.

PCV assimétrico: caso contrário temos o caso simétrico.

3

4 5

2

1

127

5

34

3

2

3

5


3


3

4 5

2

1

127

5

34

3

2

3

5


Quantos roteirosexistem?

Análise de possíveis soluções

partindo, porexemplo, do

vértice 1.

• Se o problema considerar n cidades teremos que o número total de roteiros, no caso assimétrico, é de até (n-1)!

É inviável enumerar todos os roteiros!

n-1 n-1! Tempo

8 40320 1s

10 3628800 54s

11 39916800 12 min

12 479001600 1h 25 min

30 2 . 1032* 9 . 1021 milênios*

50 3 . 1064* 9 . 1053 milênios*

*Da ordem de


Histórico• 18xx: primeiros relatos sobre o problema;• 192x: o problema foi definido;• 194x: o problema foi popularizado e classificado como “difícil”; • 1954: resolvido na otimalidade um problema de 42 cidades.


120 Cidades da Alemanha Ocidental (1977)2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)


532 Cidades dos Estados Unidos (1987): att5322.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)


Solução Ótima para o pcb3038


Maior Instância Resolvida na Otimalidade (em 1998): usa13509


O Presidente, Antônio Castor, da Companhia Ramos de Carvalho querfazer uma visita às reservas florestais situadas nos estados doAmazonas e Pará, aos depósitos situados nos estados de São Paulo,Bahia, Goiás e Rio de Janeiro. É possível determinar um roteiro deviagem tal que cada reserva e cada depósito sejam visitados apenasuma vez, saindo e retornando à sede da empresa no Rio de Janeiro, eque minimize a distância total percorrida?

Figura 1 – Reservas e Depósitos a serem visitados

Ma

Go SP

Be

RJ

Sal


Construindo um modelo para o Problema do Caixeiro Viajante

elementos conhecidos: vértices, arestas e custo das arestas

elementos desconhecidos: sequencia de vértices e arestas aseremutilizadas

objetivo a ser alcançado: obter umcircuito Hamiltoniano decusto mínimo

restrições: relativas ao deslocamento no grafo

2. Problemas clássicos de logística 2.2 O problema do caixeiro viajante (PCV)

Construção do Modelo:

Elementos conhecidos (dados):

Índices: i,j = 1,2,3, ...6 os locais onde as reservas (duas) e os depósitos(quatro) estão situados (RJ,SP,Go,Ma,Be e Sal) respectivamente.

distância entre os locaisi e j.

Elementos desconhecidos (variáveis):

1 se o locali é visitado imediatamente antes dej

0 caso contrário.=ijx


ijc


Função ObjetivoO objetivo é encontrar o circuito hamiltonino de menorcusto.

∑∑= =

=6

1

6

1

mini j

ijij xcz



Restrições:Cada local deve ser visitado apenas uma vez.

•Saídas da cidadei:

•Chegadas à cidadej

6,...,1,1654321 ==+++++ ixxxxxx iiiiii

6,...,1,1654321 ==+++++ jxxxxxx jjjjjj


(i≠j)

(i≠j)


Restrições:


Construção do Modelo:Restrições

As restrições do problema da designação permitem a seguintesolução:

Qual é o problema desta solução?

Subrotas!!!!Com este roteiro não conseguimos passar por todas as cidades apenas uma vez!

Ma

Go SP

Be

RJ

Sal


S={Ma, Be, Sal}

Formulação I - Eliminação de subrotas:Dantzig, Fulkerson e Johnson

Vamos considerar o conjunto de cidades incluídas em uma das subrotasobtidas na solução do Modelo I:

2 <= x+ x+ x+ x+ x+ x BeSal,MaSal,SalBe,MaBe,SalMa,BeMa,

Se limitarmos o número de variáveis associadas a essas cidades quepodem receber valor diferente de zero a 2, temos a seguinterestrição:

Se incluirmos esta restrição ao Modelo I, eliminamos a sub-rota que inclui as cidades acima, pois a solução anterior não é viável para o novo modelo.


Formulação I - Eliminação de subrotas:Dantzig, Fulkerson e Johnson

Dado umsubconjunto de cidades .nS⊂Como fazer no caso geral?

.1x Si Sj

ij −≤∑∑∈ ∈

S

se incluirmos a seguinte restrição ao Modelo I:

Podemos limitar o número de variáveis associadas a essascidades que podemreceber valor diferente de zero a:

1−S

Impedimos assim soluções associadas a sub-rotas.


Formulação I : DFJ

jix

nSSx

njx

nix

xcz

ij

Si Sjij

n

iij

n

jij

n

i

n

jijij

,,1/0

}...1{1

,...,11

,...,11

a sujeito

min

1

1

1 1

∀=

⊂∀−≤

==

==

=

∑ ∑

∑

∑

∑ ∑

∈ ∈

=

=

= =

Existem restrições para eliminação de subrotas.

)22( −n


= ordem em que o locali será visitado

Formulação II - Eliminação de subrotas:Miller,Tucker e Zemlin

Para eliminar as subrotas, vamos acrescentar as seguintes variáveis:

.;6,...,2,1 jijinnxuu ijji ≠=−≤+−

iu ni ,...2=

Existem restrições para eliminação de subrotas.2)1( −n

e as seguintes restrições:


Formulação II : MTZ (Otimização Inteira Mista)

6,...,2,51

,,1/0

;6,...,.2;6,...,2;,56

6,...,1,1

6,...,1,1

a sujeito

min

654321

654321

6

1

6

1

=≤≤

∀=

==≠≤+−

==+++++==+++++

=∑∑= =

iu

jix

jijixuu

jxxxxxx

ixxxxxx

xcz

i

ij

ijji

jjjjjj

iiiiii

i jijij


6

Formulação II - Eliminação de subrotas: MTZ

.;6,...,2,1 jijinnxuu ijji ≠=−≤+−


i=5 j=4 u5-u4+6x54 ≤ 6 -1⇒⇒⇒⇒ 6-4+6(1)≤5⇒⇒⇒⇒ 8≤5 (absurdo!!)

x54=1

1 2

3 6

4 5

u1=1

u3=2

u2=3 u4=4

u6=5

u5=6

Formulação II - Eliminação de subrotas: MTZ

.;6,...,2,1 jijinnxuu ijji ≠=−≤+−


i=5 j=4 u5-u4+6x54 ≤ 6 -1⇒⇒⇒⇒ 6-4+6(0)≤5⇒⇒⇒⇒ 2≤5 (OK!!)

x54=0

1 2

3 6

4 5

u1=1

u3=2

u2=3 u4=4

u6=5

u5=6

PCV: Fácil de enunciar, difícil de resolver...

Applegate, Bixby, Chvátal, Cook, 2003 (um milhão de Cidades)Branch and Cut

Optima, v. 61, pg21http://www.ise.ufl.edu/~optima/

1980

1954

1991

19871991

1995

Oncan et al. (2009)apresentam uma revisãobibliográfica e análise deformulações matemáticaspara o Problema doCaixeiro ViajanteAssimétrico (PCVA)


Problema do Caixeiro Viajante: Bibliografia

1980 -H. Crowder and M.W. Padberg, "Solvinglarge-scale symmetric travelling salesmanproblems to optimality", Management Science26, 495-509. Os resultados computacionais descritos nesteestudo são impressionantes e incluem a solução de um exemplar com 318 cidades. Este exemplar foiconsiderado o maior a ser resolvido até o ano de 1987.1987 - M. Padberg and G. Rinaldi, "Optimization of a 532-city symmetric traveling salesman problem by branch and cut", Operations Research Letters 6, 1-7. 1991 -M. Grötschel and O. Holland, "Solution of large-scale symmetric travelling salesman problems", Mathematical Programming51,141-202.

1991 M. Padberg and G. Rinaldi, "A branch-and-cut algorithm for the resolution of large-scale symmetric traveling salesman problems", SIAM Review 33, 60-100. 1995 D. Applegate, R. Bixby, V. Chvátal, and W. Cook, "Finding cuts in the TSP (A preliminary report)", DIMACS Technical Report95-05, March.. . . 2003D. Applegate, R. Bixby, and V. Chvatal, W. Cook, “Implementing the Dantzig-Fulkerson-Johnson algorithm for large traveling salesman problems” Mathematical Programming (Series B)97, 91-153.

http://www.tsp.gatech.edu/history/biblio/tspbiblio.html

1954 -G. Dantzig, R. Fulkerson, and S. Johnson, "Solution of a large-scale traveling-salesman problem", Operations Research 2, 393-410.


Para Saber Mais1. Boaventura, P. O., Grafos : teoria, modelos, algoritmos, Edgard Blucher, ;

2001.2. Cook, W. In Pursuit of the Traveling Salesman: Mathematics at the Limits

of Computation, Princeton University Press, 2011.3. Goldbarb, M.C e HPL Luna, Otimização Combinatória e Programação

Linear, Editora Campus, 2005. 4. E. L Lawler, et al. The Traveling Salesman Problem: A Guided Tour of

Combinatorial Optimization, Wiley, 1985.5. Oncan, T., Altinel, . K., and Laporte, G. A comparative analysis of several

asymmetric traveling salesman problem formulations. Computers & Operations Research, 36(3):637–654, 2009.

6. Rangel, S. Introdução à construção de modelos de otimização linear e inteira. 2. ed. São Carlos-SP: Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional-SBMAC, 2012. v. único. 82 p. (disponível em http://www.sbmac.org.br/arquivos/notas/livro_18.pdf)

7. Wolsey, L., Integer Programming, Ed. John Wiley & Sons, 1998.

2.3 O problema de localização de facilidades (PLF)2. Problemas clássicos de logística

Problema de Localização de Facilidades (PLF)

Dado umconjunto de facilidades e umconjunto de locais ondeestas facilidades podemser instaladas, deseja-se determinar oslocais de instalação de facilidades, de forma a atenderdemandas pré-especificadas de clientes como menor custototal.

Se uma facilidade for instalada, existe umcusto fixo a serpago, e umcusto variável que depende da demanda de cadacliente que é atendido por determinada facilidade.


Figura retirada de apresentação do Prof. Lorena (INPE), com pequenas modificações

Construindo um modelo para o Prob. de Localização de Facilidades

elementos conhecidos: localização dos clientes e suas demandas,locais empotencial para instalação de facilidades, custo fixo deinstalação, custo variável de atendimento a demanda, capacidadedas facilidades.

elementos desconhecidos: locais a sereminstaladas facilidades eforma de alocação das demandas dos clientes às facilidades

objetivo a ser alcançado: solução de custo mínimo

restrições: atendimento da demandas e capacidades das facilidades

2. Problemas clássicos de logística 2.3 O problema de localização de facilidades (PLF)

Elementos conhecidos (dados):

- j=1,...,m clientes;

- i=1,...,n locais empotencial para instalação de facilidades.

- : custo fixo de instalação de uma facilidade no locali;

- : capacidade da facilidade instalada no locali;

- : demanda do clientej;

- : custo de atender ao clientej a partir de uma facilidade

instalada no locali.


if

iC

jd

ijc

Elementos desconhecidos (variáveis):

: 1 se a facilidade localizada emi é instalada;0 caso contrário


iy

: 1 se o clientei é atendido pela facilidade localizada emi;0 caso contrário

ijx

Exemplo2.3 O problema de localização de facilidades (PLF)


- j=1,...,5 clientes;

- i=1,...,3 locais empotencial para instalação de facilidades.

objetivo a ser alcançado (função objetivo):

restrições:


∑∑∑= ==

+=n

i

m

jijij

n

iii xcyfz

1 11

min

}1,0{,

,...,1

,...,11

1

1

∈

=≤

==

∑

∑

=

=

iji

ii

m

jijj

n

iij

xy

niyCxd

mjx

Formulação:


}1,0{,

,...,1

,...,11

:

min

1

1

1 11

∈

=≤

==

+=

∑

∑

∑ ∑∑

=

=

= ==

iji

ii

m

jijj

n

iij

n

i

m

jijij

n

iii

xy

niyCxd

mjx

aSujeito

xcyfz

Formulação:


}1,0{,

,...,1

,...,11

:

min

1

1

1 11

∈

=≤

==

+=

∑

∑

∑ ∑∑

=

=

= ==

iji

ii

m

jijj

n

iij

n

i

m

jijij

n

iii

xy

niyCxd

mjx

aSujeito

xcyfz

Min f1y1+ f2y2+ f3y3+ c11x11+ c12x12+ c13x13+ c14x14+ c15x15+c21x21+ c22x22+ c23x23+ c24x24+ c25x25+c31x31+ c32x32+ c33x33+ c34x34+ c35x35

Sujeito a:x11+ x21+ x31=1x12+ x22+ x32=1x13+ x23+ x33=1x14+ x24+ x34=1x15+ x25+ x35=1

d1x11+ d2x12+ d3x13+ d4x14+ d5x15 ≤ C1y1

d1x21+ d2x22+ d3x23+ d4x24+ d5x25 ≤ C2y2

d1x31+ d2x32+ d3x33+ d4x34+ d5x35 ≤ C3y3

xij e yi ∈∈∈∈{0,1}


Formulação:


}1,0{,

,...,1

,...,11

:

min

1

1

1 11

∈

=≤

==

+=

∑

∑

∑ ∑∑

=

=

= ==

iji

ii

m

jijj

n

iij

n

i

m

jijij

n

iii

xy

niyCxd

mjx

aSujeito

xcyfz





Para o exemplo:Min f1y1+ f2y2+ f3y3+ c11x11+ c12x12+ c13x13+ c14x14+ c15x15+

c21x21+ c22x22+ c23x23+ c24x24+ c25x25+c31x31+ c32x32+ c33x33+ c34x34+ c35x35


d1x11+ d2x12+ d3x13+ d4x14+ d5x15 ≤ C1y1

d1x21+ d2x22+ d3x23+ d4x24+ d5x25 ≤ C2y2

d1x31+ d2x32+ d3x33+ d4x34+ d5x35 ≤ C3y3

xij e yi ∈∈∈∈{0,1}


Formulação:


}1,0{,

,...,1

,...,11

:

min

1

1

1 11

∈

=≤

==

+=

∑

∑

∑ ∑∑

=

=

= ==

iji

ii

m

jijj

n

iij

n

i

m

jijij

n

iii

xy

niyCxd

mjx

aSujeito

xcyfz





Para o exemplo:Min f1y1+ f2y2+ f3y3+ c11x11+ c12x12+ c13x13+ c14x14+ c15x15+

c21x21+ c22x22+ c23x23+ c24x24+ c25x25+c31x31+ c32x32+ c33x33+ c34x34+ c35x35


d1x11+ d2x12+ d3x13+ d4x14+ d5x15 ≤ C1y1

d1x21+ d2x22+ d3x23+ d4x24+ d5x25 ≤ C2y2

d1x31+ d2x32+ d3x33+ d4x34+ d5x35 ≤ C3y3

xij e yi ∈∈∈∈{0,1}


Formulação:


}1,0{,

,...,1

,...,11

:

min

1

1

1 11

∈

=≤

==

+=

∑

∑

∑ ∑∑

=

=

= ==

iji

ii

m

jijj

n

iij

n

i

m

jijij

n

iii

xy

niyCxd

mjx

aSujeito

xcyfz

Obrigado!!

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