MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS · Generalitat de Catalunya Departament d'Ensenyament Institut Miquel Martí i Pol Departament de Matemàtiques - 2 - NÚMEROS REALS

Generalitat de Catalunya Departament d'Ensenyament Institut Miquel Martí i Pol

Departament de Matemàtiques

- 1 -

MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS

1r Batxillerat Ciències Socials

Dossier d’estiu per a recuperar i consolidar la matèria de matemàtiques de 1r batxillerat ciències socials.



- 2 -

NÚMEROS REALS

1. Contesta veritat (V) o mentida (M): a) 11=10=1-1 b) (an) m=(am) n c) (a-b) n=an-bn d) (2+3) 2=4+9 e) a6=(-a) 6 f) -32=32 g) (-2) -2=4 h) (-3) -5=1/35

i) 772

j) 24

77

k) 24

l) 113

m) 4949

n) L’invers d’un nombre positiu és negatiu

o) L’invers de 7 és 0,7 p) L’invers de 104 és 10-4.

2. Escriu com a una única potència sense ratlla de fracció:

a) 2

6

a

a b)

9

3

b

b c)

5

5

x

x d)

8m

m e)

4

5

a

a

f) 2

8

a

a

g) 9

2

a

a h)

5

2

x

x i)

2

0

x

x j)

4

2

a

a

3. Escriu aquestes expressions com una sola potència:

a) 1532

aa b) 204 xxx c) 4

32

x

xx d)

151

1

mm

4. Escriu cada una d’aquestes expressions com una sola potència, calcula’n el

valor i arrodoneix fins a les deumil·lèsimes, si cal.

a) 2927 33 b) 13255

c)

2

3

7,4

7,4

d) 7

4

44

4

e)

47

52

66

66

f) 13266

5. Troba les arrels quadrades sense calculadora:

a) 400 b) 1600 c) 4900 d) 6400 e) 8100

f) 40000 g) 215 h) 4 i) 810 j) 68

k) 04,0 l) 09,0 m) 25,0 n) 0001,0

6. Sense fer servir la calculadora, troba:

a) 3 125000 b) 3 910 c) 3 000001,0



- 3 -

7. Simplifica les expressions:

a) 25 32 xx b) 324x c) 3

8

2

8

x

x d) 843 25 yxxy

8. Redueix a mínim comú índex:

a) 5 2 , 10 73 , 4 35

b) 5 , 3 27 , 4 33

c) 5 32ba , 6 25ba , 12 310ba

d) 2 , 3 3 , 4 5

9. Calcula i simplifica:

a) 283 b) 283 c) 8383

d) 23223 e) 576657

10. Calcula les sumes següents:

a) 752533520 b) 63351272

c) 1258045 d) 3005001253124

e) 4

72

3

18

5

50 f)

6

10875

5

2

3

27

11. Racionalitza les expressions següents:

a) 3

6 b)

6

18 c)

3

2

d) 52

3

e)

110

3

f)

32

32

12. Resol l’equació i racionalitza el resultat:

355 x



- 4 -

SISTEMES D’EQUACIONS DE PRIMER GRAU

1. Resol el sistema d’equacions següent gràficament:

43

54

yx

yx

2. Resol el sistema següent fent servir el mètode de substitució:

4842

18159

yx

yx

3. Resol el sistema següent fent servir el mètode de reducció:

123

12

yx

yx

4. Resol el sistema següent fent servir el mètode d’igualació:

23

6

yx

yx

5. En Jordi té monedes de 5 cèntims i de 20 cèntims. Si en total disposa de 26 monedes i d’1,70 €, quantes monedes de cada tipus té?



- 5 -

6. a) Resol el sistema d’equacions següent gràficament:

352

25

yx

yx

b) Resol el sistema anterior fent servir el mètode que vulguis.

7. Resol el següent sistema fent servir el mètode de reducció:

3047

6

yx

yx

8. La suma de dos nombres és 25. Si sumem al més gran la meitat del més petit

obtenim 20. Quins són aquests nombres? Cal resoldre el problema mitjançant un plantejament algèbric.

FUNCIÓ QUADRÀTICA 1. Representa gràficament les següents paràboles:

a) 142 xxy b) 12 xxy c) xxy 32

d) xxy 42 2 e) 22 xy f) 12 2 xy

2. Resol gràficament el sistema d’equacions següents:

a)

1

542

yx

xxy b)

4

432

xy

xxy

3. Busca gràficament i numèricament el punt d’intersecció de les paràboles:

xxy

xxy

82

42

2

4. La paràbola cbxaxy 2 passa pels punts A(0,12), B(2,0) i C(-1,21). Dibuixa-la.



- 6 -

INEQUACIONS

1. Resol les següents inequacions:

a) 25

35

2

xx b)

5

931

3

94

xx

x

c) 6

11

3

8

4

5

xxx d) x

xx21

2

35

4

21

e) 042

x

x f) 0

1

43

x

x

2. Resol els següents sistemes d’inequacions:

a)

327

4552

xx

xx b)

2123

38

345

25

xx

xx

c)

)2)(1(

75122 xxxx

xx d)

36

3

4

59

272

8

9

6

5

xxx

xxx

PLANTEJAMENT DE PROBLEMES

1. En un corral hi ha conills i gallines. Si en total hi ha 53 caps i 176 potes. Quantes gallines i conills hi ha? 2. L’Albert surt de casa seva amb un cotxe a 100km/h i es deixa un document. Un quart d’hora més tard el seu pare surt a empaitar-lo, des de mateix domicili, a 150 km/h. Quant de temps triga a atrapar-lo? A quina distància de casa seva ho fa? 3. Dues surten a passejar simultàniament de A i de B. La primera, en direcció a B, va a una velocitat de 2 km/h. La segona, en direcció a A, va a 4 km/h. Determina en quin instant i a quina distància de A es troben. Dada: AB=10 km. 4. Entre A i B hi ha 132 Km. Surten al mateix temps, de A i B, en sentits oposats, dos ciclistes. El de A a 19 km/h i el de B a 14 km/h. A quina distància de A i de B es veuen i quant tarden en fer-ho?



- 7 -

POLINOMIS

1. Si xxxP 62)( 3 , 322)( 2 xxxQ i 12)( 23 xxxR , calcula:

a) P(x)+Q(x)-R(x) c) P(x)-Q(x)+R(x)

b) P(x)-(Q(x)-R(x)) d) (P(x)-Q(x))-R(x)

2. Si 32)( xxP , 12)( 3 xxxQ i 1)( 4 xxR . Calcula:

a) P(x)·R(x) b) Q(x)·R(x) c) P(x)·Q(x)-R(x)

d) P(x)·R(x)-2Q(x) e) (P(x))2+R(x) f) (R(x)) 2-(P(x)+Q(x))

3. Efectua les divisions següents:

a) 3:943 234 xxxx

b) 22:34636 22345 xxxxxxx

c) 2:352 3 xxx

d) 52:1542 23 xxxx

e) 2:13 34 xxx

4. Calcula el valor de k perquè el polinomi 235)( 23 xkxxxP sigui

divisible per (x+2).

5. Calcula el valor de k perquè el polinomi 72)( 23 kxxxP sigui

divisible per (x+1).

6. Quin valor ha de tenir m perquè el residu de la divisió de 24 3 mxx

per (x-2) sigui 4? 7. Descomposa en factors:

a) 67)( 234 xxxxxP

b) 846)( 234 xxxxxQ

c) 6555)( 234 xxxxxR

d) 234 54)( xxxxS

e) 234 4129)( xxxxT

8. Factoritza els polinomis següents:

a) 25102 xx b) 1682 xx c) 364 2 x

d) 962 xx e) 92 x f) 122 xx

g) 442 xx h) 252 x i) 49142 xx



- 8 -

9. Troba el m.c.m i el m.c.d. dels polinomis següents:

a) 65)( 3 xxxP , 33)( 2 xxQ , 12)( 2 xxxR

b) xxxxP 6)( 23 , 82)( 2 xxxQ

c) 15133)( 23 xxxxP , 353)( 22 xxxxQ

10. Troba el polinomi P(x) que en ser dividit per (x+3) dóna el quocient (x2-

3x+8) i el residu -14. 11. Troba el polinomi P(x) que en ser dividit per (x-2) dóna el quocient (x3-

x2+1) i el residu +10.

12. Fes les divisions següents utilitzant la regla de Ruffini:

a) 2:352 23 xxx

b) 1:14 xx

c) 1:1234 xxxxx

d) 3:432 42 xxx

13. Troba les arrels dels polinomis següents: a) 7)( xxP

b) 175)( xxP

c) 36)( 2 xxP

d) 23)( xxP

e) 323)( xxxP

f) 527)(2

xxxxxP

g) 5)( xxP

h) 12)( xxP

i) 2)( xxP

j) 8)( 3 xxP

14. Troba el valor de m perquè el valor numèric del polinomi

xmxxxP 3)( 24 per a x=2/3 sigui igual a 2.

15. Troba el valor de k en el polinomi 73)( 235 kxxxxP perquè:

a) en dividir-lo entre x-1, la resta sigui 5 b) Sigui divisible entre x+1

16. Troba el valor de k perquè el polinomi xaxakxaxxP 22334 22)(

sigui divisible entre ax .

17. En dividir el polinomi entre )1( x , obtenim una resta igual a 2 i, en

dividir-lo entre )2( x , obtenim una resta igual a 25. Calcula la resta en

dividir el polinomi entre 2)1( xx .



- 9 -

18. Simplifica les fraccions següents:

a)

64

212822

2342

xxx

xxxxx b)

3232

963234

23

xxx

xxx

c) xxx

xxx

23

23

2

133 d)

82

442

2

x

xx

e) 25

52

23

x

xx f)

352

3722

2

xx

xx

FUNCIONS: DOMINI I IMATGE. RECTES 1. Troba el domini de les següents funcions:

a) 3

23)( xxf

b) 13

5

4

3)( 2 xxxf

c) x

xxf

1)(

d) 2

1)(

x

xxf

e) 1)( xxf

f) 4)( 2 xxf

2. Representa gràficament les següents rectes, i si es tallen troba gràficament el punt d’intersecció:

a)

42

1

xy

xy b)

1043

32

yx

yx

c)

324

12

yx

yx d)

222

1

yx

yx e)

1

2

xy

y

Com són aquestes rectes? 3. Sabent que la funció y=ax+b passa pels punts A(0,5) i B(-6,0). Troba a i b. El punt (-6,1) és d’aquesta recta? 4. Troba el valor de m i n perquè y=mx+n passi pels punts (-1,1) i (0,4). El punt (2,-3) és d’aquesta recta?



- 10 -

5. Calcula f(0), f(1), f(-1), f(2), f(-2), f(3) i f(-3) en les següents funcions:

a) xxxf 3)( 2

b) x

xf1

)(

c) 10)( 2 xxf

d) 1

1)(

x

xxf

e) 263)( 2 xxxf

f) 21)( xxf

g) x

xxf

13)(

h) 42

1)(

xxf

i) 23)( xxxf

j) 1

1)(

2

x

xxf

k) 2

4)(

2

x

xxf

l) 13

91)(

2

x

xxf

6. Calcula el domini de les següents funcions:

a) xxxf 3)( 2

b) 3

1)(

xxf

c) 2

53)(

x

xxf

d) 4)( 2 xxf

e) 24)( xxf

f) 4)( 2 xxf

g) 45)( 2 xxxf

h) 3

3)(

x

xxf

i) 45

3)(

2

xxxf

j) 2

3)(

x

xxf

k) 7)( xxf

l) xxf 7)(

m) 9

3)(

2

x

xxf

n) x

xxf

3

9)(

2



- 11 -

7. Representa gràficament les següents funcions: a) 32)( xxf

b) 73)( xxf

c) 53

2)( xxf

d) 53)( xxf

e) 24

3)( xxf

f) 3

25)( xxf

g) xxxf 2)(

h) 23)( 2 xxxf

i) 4)( 2 xxf

8. Sabent que 1)( xxf i 4)( 2 xxg , calcula

a) 2gf b) gfDom / c) 3/( gf

d) xgf e) xfg f) )(1 xf

9. Una empresa fabrica envasos en forma de prisma de dimensions x, x/2, i 2x cm. a) Escriu la funció que dóna el volum de l’envàs en funció de x. b) Troba’n el domini sabent que l’envàs més gros té 1 L de volum. 10. El consum de gasolina per cada 100 km d’un automòbil és, segons la velocitat, 7,2 L a 90 Km/h i 10,8 L a 110 km/h. Estima el consum quan la velocitat és de 100 km/h. 11. La factura del gas d’una família, al gener, ha estat 24,82 euros per 12 m3, i al febrer, 43,81 per 42 m3. Quant pagaran si consumeixen 28 m3? 12. El preu del bitllet d’una línia de rodalia depèn dels quilòmetres recorreguts. Per 57 km he pagat 2,85 euros, i per 168 km, 13,4 euros. Calcula el preu d’un bitllet per a una distància de 100 km. 15. Un rectangle té 20 cm de perímetre. Escriu la funció que dóna l’àrea d’aquest rectangle en funció de la base x. Quin és el domini d’aquesta funció? 13. Mesurant la temperatura a diferents altures s’ha observat que per cada 180m d’ascens el termòmetre baixa 10 C. Si a la base d’una muntanya de 800 m estem a 100 C, quina serà la temperatura al cim? Representa gràficament la funció altura-temperatura i busca’n l’expressió analítica. 14. El preu de venda d’un article ve donat per l’expressió p=12-0,01x (x=nombre d’articles fabricats; p=preu, en centenars d’euros). a) Si es fabriquen i es venen 500 articles, quins seran els ingressos obtinguts? b) Representa la funció Nre. d’articles-ingressos obtinguts. c) Quants articles s’han de fabricar perquè els ingressos siguin màxims?



- 12 -

15. El cost de producció de x unitats d’un producte és igual a 25354

1 2 xx

euros i el preu de venda d’una unitat és 4

50x

euros.

a) Escriu la funció que ens dóna el benefici total si es venen les x unitats produïdes. b) Troba el nombre d’unitats que han de vendre’s perquè el benefici sigui màxim.

16. Representa la funció 5)( xxf i comprova que la seva expressió

analítica en intervals és:

55

55

xsix

xsixy

17. Representa gràficament les funcions següents:

a)

12

13

xsi

xsixy

b)

1

2

153

112

xsix

xsix

y

c)

12

402

02

xsi

xsix

xsi

y

d)

13

12

12

xsix

xsixy

e)

0

02

2

xsix

xsixy

f)

23

222

xsi

xsixxy

18. Una empresa sap que les seves pèrdues o guanys estan determinades per la funció següent, on x representa el nombre d’anys des que va començar a funcionar l’empresa:

x

xxf

65)(

a) A partir de quin any l’empresa obté beneficis? b) Hi ha algun valor en què s’estabilitzin els beneficis?



- 13 -

PROGRESSIONS ARITMÈTIQUES I GEOMÈTRIQUES

1. En cadascun dels següents casos, identifica les progressions: a) 2; 3,1; 4,2; 5,4; ... b) -1/5, -8/15, -13/15

c) 122 xx , 12 2 xx , 33 2 x

2. Escriu els 5 primers termes d’una progressió si a3=10 i d=6.

3. Escriu els 4 primers termes d’una progressió si a2=1/2 i a3=1

4. Busca el terme general, donats els següents termes: a) 1, -1/2, -3/3, -5/4, -7/5, -9/6,

...

b) 3

2

,

8

7

,

13

12

,

18

17

, ...

c) 3

5,

5

12,

7

19, ...

d) 2

1,

3

1,

4

1,

5

1, ...

e) 2

5,

1

7

,

4

9

,

7

11

, ...

f) 3

2,

4

4,

5

6,

6

8, ...

g) 1, -3, 5, -7, ...

5. a) El segon terme d’una progressió aritmètica és 3 i el cinquè és 9/2.

Trobar el que ocupa el lloc 41.

b) Una successió té per terme general: 2

1 nan

. Troba a7, a10.

c) Donada la successió de terme general 3

11

2

n

na

n

n . Troba els

termes quart i novè. 6. Calcula:

a)

3

5

53

23lim

22

n

n

n

nn

b) n

n

n

n 2

13

1

1lim

c)

1

1

1lim

2

nn

nn

d)

1

111

1

lim

2n

n

n

n

n

e)

2

1

15

23lim

2

4

2 n

n

nn

n

f)

13

12

2

13lim

22

n

nnn

g) 2lim 23 nn

h) 53

323lim

2

n

nn

i) 26

123lim

34

24

nn

nn



- 14 -

j) 5

82lim

2

n

n

k)

n

n

n

n

3

132lim

22

EQUACIONS EXPONENCIALS I LOGARÍTMIQUES 1. Resol les següents equacions:

a) 752 33 x

b) 15 652

xx

c) 01621022 xx

d) 132 82 xx

e) 63333 11 xxx

f) 1 521 5 x xx x aa

g) 2

1

5

325

x

x

h) 621612 x

i) 52

12

3

1

x

x

j) xx aa 35

2. Aplicant les propietats dels logaritmes i sabent que lo2=0,301, calcula: a) 1000log

b) 400log

c) 3200log

d) 5 02,0log

3. Si 3log4 N , quant val 3

3

4logN

N?

4. Fent servir la calculadora, calcula:

a) 100log 3 b) 20log 2/1 c) 05,0log 7

4. Resol les equacions:

a) 103log24log xx

b) 08log175 2 x

c) xx

x4

4

4 loglog

log3

d) 1100loglog xx

e) 110

910loglog 2

xx

f) 4loglog25 xxx

g) xxx 333 log2

11loglog

5. Resol els sistemes:

a)

1loglog

9922

yx

yx b)

2log

6log4log

2

22

y

x

yx

c)

10log

82:2 3

xy

yx

d)

1loglog

7

yx

yx



- 15 -

e)

25644

33yx

yx

f)

9

27logloglog

eee

yxyxyx

g)

1loglog

3loglog

yx

yx h)

2532

1032212 yx

yx

Documents

MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS · Generalitat de Catalunya Departament d'Ensenyament Institut Miquel Martí i Pol Departament de Matemàtiques - 2 - NÚMEROS REALS