Matice – příklady

1. Je dána matice A. Určete a) typ matice, b) , c) 2. řádek , d) hlavní diagonálu, e) vedlejší diagonálu, f) prvek a34, g) transponovanou matici k matici A .

2. Zapište čtvercovou matici čtvrtého stupně, která je symetrická.

3. Zapište matici typu 5x3. a) Určete prvky a32, a13, a42. b) Vypište prvky hlavní a vedlejší diagonály.

4. Rozhodněte, které z následujících matic jsou regulární a které jsou singulární:

a) , b) , c) , d) .

5. Určete k daným maticím transponované.

a) , b) , c) , d) .

6. Určete transponovanou matici k matici A.

a) A = , b) A = , c) A = , d) A = ,

e) A = , f) A = , g) A = , h) A = .

7. Využitím hodnosti matice rozhodněte, jestli vektory = (2, 0, 1, -1, 3), = (3, 1, 0, -2, 5), = (0, -2, 3, 2, 1) jsou lineárně závislé.

8.

9.

10. Pro která x a y platí:

a) = b) =

11. Určete neznámé prvky z rovnosti:

a) = , b) = .

12. Sečtěte, kde je to možné

a) , b) , c) , d) ,

e) , f) , g) , h) ,

i) , j)

13. Je-li A = , určete matici X tak, aby A + X = .

14. Určete prvky a, b, c, d, e tak, aby platila rovnost:

a) , b) .

15. Vypočítejte: .

16. Je dána matice A = . Vypočtěte k.A, je-li k rovno: a) -3, b) 0,2, c) 2,5, d) -1.

17. Mějme matice A = , B = a čísla p = 3, q = 5.Přesvědčte se, že platí:

a) p(qA) = (pq) A,b) (p+q) B = pB + qB,c) (p+q) (A + B) = pA + qA + pB + qB.

18. Jsou dány matice A = , B = , C = . Vyjádřete jedinou maticí výrazy:

a) A + B – C, b) 2(A + B) + 3C, c) 3A - 2B + 2C, d) 3(A – C) +2 B.

19. Určete neznámé v rovnici .

20. Vypočítejte:

a) b)

21. Jsou dány matice A = , B = . Přesvědčte se, že platí:

a) - (A + B) = (-A) + (-B),b) - ( - A) = A.

22. Mějme matice A = , B = , C = . Vypočítejte součin

a) AB, b) B A, c) BC.

23.

24.

25.

26.

27. Mějme matice A = , B = , C = . Vypočítejte součin

a) A(BC), b) (AB)C.

28. Vypočítejte AB a BA:

a) A = , B = , b) A = , B = .

29. Rozhodněte, která z následujících matic má inverzní matici. Jestliže inverzní matice existuje, určete ji.

a) , b) , c) d) e)

30. Určete x tak, aby k matici A neexistovala matice inverzní.

a) , b)

31. Jsou dány matice A = , B = , C = . Přesvědčte se výpočtem, zda platí

a) A (B + C) = AB + ACb) (A + B) C = AC + BCc) (A + B) (A – B) = A2 – B2

32. Pro matice A, B vypočtěte (AB)-1, B-1A-1, (A´)-1, (A-1)´.

a) A = , B = , b) A = , B = , c) A = , B = .

33.

34.

Řešte rovnice s neznámou maticí X.a) X + A = B b) 4X + A = 2( X + B )

A = A =

B = B =

35. Jsou dány matice A = , B = , C = . Řešte rovnice s neznámou maticí X.

a) A + B + X = 0,b) 2A + X = C – B,c) 0,5 (X + A) = 3B,d) 2 (X – A) = 3(B – X) + C .

36.37.

38.

39.

40

41

42

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

Výsledky1.

a) 4x5, b) = (4, 3, 0, 1), c) = (1, 9, 2, 3, 7), d) 0, 9, 0, 1, e) 5, 3, 0, 1, f) 0.

g)

4. a) R, b) ani R ani S (není čtvercová), c) S, d) R.

5. a) , b) , c) , d) .

6. a) A´ = , b) A´ = , c) A´ = , d) A´ = ,

e) A´ = , f) A´ = , g) A´ = , h) A´ = .

7. lineárně nezávislé 8. a) 3, b) 2, c) 4, d) 2, e) 4, f) 5, g) 1, h) 3, i) 3, j) 3, k) 3, l) 2, m) 4, n) 3, o) 3, p) 4, q) 3, r) 4, s) 4, t) 3. 9. a) l.z., b) l.z., c) l.n., d) l.n., e) l.n., f) l.n. 10. a) x = y = 5, b) neplatí pro žádné x, y. 11. a) u = 1, v = 1, x = 3, y = -1, b) a = 6, b = 4, c = 9, d = 3.

12. a) , b) , e) , g) , i) , j) ,

c), d), f) h) není definováno, matice nejsou stejného typu.

13. X = .

14. a) a = -1, b = 2, c = 2, d = -1, e = 5, b) a = 2, b = 1, c = -2, d = 0.

15. .

16. a) , b) , c) , d) .

18. a) , b) , c) , d) .

19. u = -2, v = 0, x = 2, y = 1 .

20. a) , b) .

22. a) , b) , c) nelze.

23.

24.

25.

26.

27. a) , b) .

28. a) , b) .

29. a) , b) , c) , d) nemá, e)

30. a) x = - 8, b) x1 = 1, x2 = -1.31. a) ano, b) ano, c) ne (AB ǂ BA)

32. a) (AB)-1 = = B-1A-1 , (A´)-1 = = (A-1)´ , b) (AB)-1 = B-1A-1 = ,

(A´)-1 = (A-1)´ = , c) matice A, A´, AB jsou singulární, inverzní matice neexistují.

33.

34.

a) , b)

35. a) , b) , c) , d) .

36.

37.38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.