Upload
trinhmien
View
251
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 1 -
MATRIUS.
Introducció a les matrius.
Tipus de matrius.
Operacions amb matrius.
Propietats de les operacions amb matrius.
Aplicacions de les matrius.
Exercicis.
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 2 -
INTRODUCCIÓ A LES MATRIUS. Inici
Què és una matriu?:
Una matriu és una taula de doble entrada, organitzada en forma de files i
columnes, que serveix per emmagatzemar dades. Per exemple:
1 2 34 5 67 8 9
A
Un element d’una matriu es representa com: ija on “i” és la fila i “j” la
columna on està col·locat aquest element.
A les matrius se les anomena amb una lletra amb majúscula (A, B, C, ... ):
ij ij ijA a B b C c
Una matriu la coneixem perquè coneixem els seus elements i el lloc on estan
situats dins la matriu.
En la matriu A que hem posat com exemple, els seus elements els podem
anomenar:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 2 34 5 67 8 9
a a aa a aa a a
on el primer subíndex assenyala la fila i el segon subíndex la columna.
ACTIVITAT:
1) Donada la matriu 3 2 0
4 2 61 0 2
A
anomena els elements següents:
a) a23 = b) a12 = c) a22 = d) a13 =
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 3 -
L’ordre o dimensió d’una matriu: Inici
L’ordre o dimensió d’una matriu és el nombre de files i columnes que té:
. .( ) dim( )m n m nord A A m n
on m és el nombre de files i n el nombre de columnes.
Si una matriu té el mateix nombre de files que de columnes, per anomenar el
seu ordre podem dir el nombre repetit o un únic nombre:
. .( ) dim( )n n n nord A A n n n
Exemples:
1 2 3( ) 2 3
4 5 6A ord A
1 23 4
( ) 4 25 67 8
B ord B
1 2( ) 2 2 2
3 4c ord B
ACTIVITAT:
2) Escriu l’ordre o dimensió de les matrius següents:
1 1 10 1 21 1 0
A
1 3 12 1 2
B
1 20 15 0
C
1 2 0 1 31 1 2 3 20 0 2 1 5
D
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 4 -
Matrius iguals:
Dues matrius són iguals si: ij ijA B a b
que vol dir que han de tenir la mateixa dimensió i els elements col·locats en els
mateixos llocs.
Si 1 23 4
A
i 1 23 4
A B B
.
ACTIVITATS:
3) Donades les matrius 1 23 1
A
i 1 a
Bb c
què ha de passar amb
els coeficients a, b i c perquè les dues matrius siguin iguals?.
4) És possible que les matrius 5 20 1
A
i
53a
Bb
siguin iguals?.
Per què?
5) És possible que dues matrius de dimensió diferents siguin iguals?
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 5 -
Inici
Submatriu:
Una submatriu és una matriu dins d’una altra. És la matriu que resulta de
suprimir una o més files o/i columnes d’una determinada matriu:
Exemple:
Donada la matriu:
1 2 3 12 0 1 30 1 2 31 1 2 2
escriu la submatriu que resulta de suprimir
la quarta fila i la quarta columna.
1 2 3 12 0 1 30 1 2 31 1 2 2
1 2 32 0 10 1 2
ACTIVITAT:
6) Donada la matriu 1 2 34 5 67 8 9
A
escriu les submatrius que resulten de
suprimir:
a) La primera fila i la segona columna.
b) La tercera fila i la primera columna.
c) La primera columna.
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 6 -
TIPUS DE MATRIUS. Inici
Les matrius es poden classificar de moltes maneres diferents:
En funció del contingut:
o Numèriques: 1 23 4
A
o Alfanumèriques: a b c
Bd e f
En funció de la forma:
o Rectangulars: si el nombre de files és diferent al nombre de
columnes ( )m n . Exemple:
1 0 20 1 3
C
o Quadrades: si el nombre de files és igual al nombre de columnes
( )m n . Exemple:
1 12 1
D
o Triangulars: si 0ija i j o i j . Exemple:
1 2 3 1 0 00 4 5 2 4 00 0 6 3 3 6
E F
o Diagonals: si 0ija i j . Exemple:
1 0 0 1 0 00 4 0 0 3 00 0 6 0 0 1
G H
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 7 -
Inici
o Escalars: si 0
1...ij
ii
a i ja k i n k
. Exemple:
2 0 00 2 00 0 2
J
o Unitària o identitat: si 01 1...
ij
ii
a i ja i n
. Exemple:
1 0 00 1 00 0 1
I
o Nul·la: si 00 1...
ij
ii
a i ja i n
. Exemple:
0 0 00 0 00 0 0
O
o Fila: si només té una fila. Exemple:
1 2 3K
o Columna: si només té una columna. Exemple:
241
L
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 8 -
Inici
En funció d’algunes propietats:
o Oposada: la matriu A és l’oposada a la matriu B si A + B = O.
Això és el mateix que dir: ij ija b . Exemple:
1 22 3 1 2 1 2 0 0
2 3 2 3 0 01 22 3
MM N O
N
o Simètrica: la matriu A és una matriu simètrica si TA A . Això és
el mateix que dir: ij jia a . Exemple:
1 2 1 12 3 1 41 1 0 2
1 4 2 5
P
o Antisimètrica: la matriu A és una matriu antisimètrica si TA A . Això és el mateix que dir: 0ij ji iia a i a . Exemple:
0 2 12 0 31 3 0
Q
o Ortogonal: una matriu A és una matriu ortogonal si
. .T TA A I i A A I . Això és el mateix que dir 1 det( ) 1TA A i A . Exemple:
cos sinsin cos
R
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 9 -
ACTIVITATS: Inici
7) Classifica les matrius següents:
1 23 4
A
a b cB
d e f
1 0 20 1 3
C
1 12 1
D
1 2 30 4 50 0 6
E
1 0 02 4 03 3 6
F
1 0 00 4 00 0 6
G
1 0 00 3 00 0 1
H
1 0 00 1 00 0 1
I
1 2 3K
241
L
1 22 3
M
1 22 3
N
0 00 0
O
1 2 1 12 3 1 41 1 0 2
1 4 2 5
P
0 2 12 0 31 3 0
Q
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 10 -
OPERACIONS AMB MATRIUS. Inici
Suma:
Per a dues matrius Am.n i Bm,n s’anomena matriu suma algèbrica a la matriu
Cm,n, els elements de la qual són la suma dels elements corresponents a les
matrius Am.n i Bm,n. Simbòlicament tindrem:
nmnmijnmijijnmijnmijnmnm CcbabaBA ,,,,,,,
Dues matrius del mateix ordre s’anomenen conformes respecte a l’addició
algèbrica. Dues matrius de diferent ordre no es poden sumar.
Exemple:
Calcula la suma de les matrius: 2 1 31 0 2
A
i
5 2 23 1 2
B
.
2 1 3 5 2 2 2 5 1 2 3 ( 2) 7 1 11 0 2 3 1 2 1 3 0 1 2 2 2 1 4
A B
ACTIVITAT:
8) Calcula la suma de les matrius: 1 23 45 6
A
i 1 2
1 02 1
B
.
9) Quina condició han de complir dues matrius perquè es puguin sumar?
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 11 -
Producte per un escalar:
Per una matriu ,m nA i un nombre real qualsevol k (anomenat escalar), es
defineix com a producte de k per ,m nA la matriu que resulta de multiplicar cada
element de ,m nA per k: , ,, , ,. . .m n ij ij ij m nm n m n m n
k A k a k a c C . Exemple:
2 1 3 2 1 3 4 2 62. 2.
1 0 2 1 0 2 2 0 4A A
Un cas particular de producte per un escalar és el càlcul de la matriu oposada
d’una matriu: ( 1). ( )ijA A a .
Exemple:
2 1 3 2 1 3 2 1 31 0 2 1 0 2 1 0 2
A A
ACTIVITATS:
10) Donada la matriu 1 23 21 1
A
calcula:
a) 2.A
b) 3.A
c) La matriu oposada.
11) Quines condicions ha de complir una matriu perquè es pugui multiplicar per un escalar?
12) Quines condicions ha de complir una matriu perquè tingui oposada?
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 12 -
Resta: Inici
Per a dues matrius Am.n i Bm,n s’anomena matriu resta algèbrica la matriu Cm,n
, els elements de la qual són la resta dels elements corresponents a les matrius
Am.n i Bm,n. Simbòlicament tindrem:
, , ,, , , ,m n m n ij ij ij ij ij m nm n m n m n m nA B a b a b c C
Això és el mateix que sumar-li l’oposat:
, , , , ,, , , ,( ) ( )m n m n m n m n ij ij ij ij ij m nm n m n m n m n
A B A B a b a b c C
Exemple:
Calcula la resta de les matrius: 2 1 31 0 2
A
i
5 2 23 1 2
B
2 1 3 5 2 2 2 5 1 2 3 ( 2) 3 3 51 0 2 3 1 2 1 3 0 1 2 2 4 1 0
A B
ACTIVITATS:
13) Calcula la resta de les matrius: 1 23 45 6
A
i 1 2
1 02 1
B
.
14) Quina condició han de complir dues matrius perquè es puguin restar?
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 13 -
Combinació lineal:
Una combinació lineal entre dues matrius A i B resulta de combinar l’operació interna (suma) amb l’operació externa (producte per un escalar):
1 , 2 , 1 2 1 2 ,, , , ,. . . . . .m n m n ij ij ij ij ij m nm n m n m n m n
k A k B k a k b k a k b c C
Exemple:
Donades les matrius 2 1 31 0 2
A
i
5 2 23 1 2
B
, calcula la combinació
lineal 2 3A B :
2 1 3 5 2 22 3 2 3
1 0 2 3 1 2
4 2 6 15 6 6 4 15 2 6 6 ( 6)2 0 4 9 3 6 2 9 0 3 4 6
11 8 1211 3 2
A B
ACTIVITATS:
15) Donades les matrius 1 22 31 2
A
i 2 10 11 1
B
, calcula la combinació
lineal 2 4A B .
16) Quines condicions han de complir dues matrius perquè els hi puguem
calcular una combinació lineal.
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 14 -
Transposada: Inici
Per a la matriu ,m nA s’anomena matriu transposada la matriu ,Tm nA que resulta
d’intercanviar les files per les columnes de manera ordenada:
si , ,m n ij m nA a , ,
Tm n ji n m
A a
Exemple:
Donada la matriu: 2 1 31 0 2
A
calcula la seva transposada.
2 12 1 3
1 01 0 2
3 2
TA A
ACTIVITATS:
17) Donada la matriu: 1 32 45 3
A
calcula la seva transposada.
18) Qualsevol matriu té transposada?
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 15 -
Producte:
La matriu producte ,m qP de dues matrius ,m nA i ,n qB és el resultat de les
sumes dels productes dels elements de les files de la primera matriu pels
elements de les columnes de la segona matriu. La condició que s’imposa
perquè es puguin multiplicar és que el nombre de columnes de la primera
matriu sigui igual al nombre de files de la segona matriu: , , ,.m n n q m qA B P
El elements de la matriu producte són: 1
.n
ij ik kjk
p a b
.
Exemple:
Calcula el producte de les matrius: 2 1 31 0 2
A
i
0 11 12 1
B
.
0 12 1 3 2.0 ( 1).1 3.2 2.1 ( 1).( 1) 3.1 5 6
. 1 11 0 2 ( 1).0 0.1 2.2 ( 1).1 0.( 1) 2.1 4 1
2 1A B
ACTIVITATS:
19) Calcula el producte de les matrius 1 23 1
0 1A
i 1 12 1
B
20) El producte de matrius, quines limitacions té?
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 16 -
Determinant: Inici
El determinant d’una matriu és una contracció de la matriu reduint-la al valor
numèric que resulta de sumar els resultats dels productes que contenen
sempre un element de cada fila i de cada columna amb totes les combinacions
possibles, tenint en compte els signes de les permutacions en l’ordre de les
files i columnes.
El determinant de A acostuma a ésser representat per det(A) i tancant la matriu
amb dues barres verticals:
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...det( )
...
n
n
n n nn
a a aa a a
A
a a a
Com es pot veure, el determinant és una operació per a matrius quadrades.
INTERPRETACIÓ DEL RESULTAT D’UN DETERMINANT:
La interpretació del resultat del determinant d’una matriu:
Si det(A) = 0 les files i/o columnes són linealment dependents, hi
ha alguna combinació lineal entre files o entre columnes. Una matriu
amb determinat zero s’anomena matriu singular.
Si det(A) ≠ 0 les files i/o columnes són linealment independents, no
hi ha cap combinació lineal entre files ni entre columnes.
ACTIVITATS:
21) Com ha de ser una matriu perquè se li pugui calcular el determinant?
22) Quin significat té el resultat d’un determinant d’una matriu?
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 17 -
MÈTODES DE CÀLCUL DE DETERMINANTS: Inici
o Mètode de Sarrus
o Mètode de Gauss
o Mètode de Laplace
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 18 -
o Mètode de Sarrus pels determinants: determinant
És el mètode que aplica la definició de determinant:
Donada una matriu quadrada d'ordre n, A=(aij), el seu determinant és el resultat
de la suma dels n! termes 1 21 2( 1) ...
n
rk k nka a a .
Aquestes termes corresponen a les diferents maneres de fer el producte de n
elements de A, de manera que n'hi hagi un, i només un, de cada fila i de cada
columna. Els n! termes s'obtenen en fer totes les permutacions dels n
subíndexs de columna (1...,n) , mantenint fixos els índexs de fila; el nombre r
del terme 1 21 2( 1) ...
n
rk k nka a a és la signatura de la permutació (k1...kn).
Aquest mètode és aplicable fins a matrius d’ordre 3, ja que per ordres superiors
és molt complicat controlar les permutacions de files i columnes:
1) Ordre 1: 11 11a a
Exemples:
5 5 3 3
No s’ha de confondre el determinant amb el valor absolut.
2) Ordre 2: 11 1211 22 12 21
21 22
. .a a
a a a aa a
Exemple:
1 21.4 3.2 2
3 4
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 19 -
3) Ordre 3:
11 12 13
21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13 13 22 31 12 21 33 23 32 11
31 32 33
. . . . . . ( . . . . . . )a a aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a aa a a
Exemple:
1 2 34 5 6 1.5.9 2.6.7 4.8.3 (3.5.7 6.8.1 4.2.9) 07 8 9
ACTIVITATS:
23) Calcula els determinants següents pel mètode de Sarrus:
a) 7
b) 4
c) 1 21 2
d)
1 2 01 1 2
0 1 2
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 20 -
o Mètode de Gauss pels determinants: determinant
El mètode de Gauss pel càlcul de determinants aprofita la propietat 16 dels
determinants, que diu que el determinant d’una matriu triangular és el producte
dels elements de la diagonal. Per això, el primer que es fa és triangularitzar la
matriu (transformar-la en matriu triangular) aprofitant la propietat 10, que diu
que si a una fila o columna li sumem una combinació lineal de les altres, el
determinant no canvia.
Exemples:
1) Ordre 1:
No cal triangularitzar perquè és una matriu triangular.
5 5
2) Ordre 2:
2 2 1
1 2 1 21.( 2) 2
' 33 4 0 2F F F
3) Ordre 3:
2 2 1
3 3 1
3 3 2
1 2 3 1 2 34 5 6 ' 4 0 3 67 8 9 ' 7 0 6 12
1 2 30 3 6 1.( 3).0 0
' 2 0 0 0
F F FF F F
F F F
4) Ordre 4 i superiors:
Una vegada diagonalitzada la matriu, multipliquem els elements de la diagonal
principal.
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 21 -
ACTIVITATS:
24) Calcula els determinants següents pel mètode de Gauss:
a) 7
b) 4
c) 1 21 2
d)
1 2 01 1 2
0 1 2
e)
1 0 1 21 0 1 1
0 1 0 11 1 1 1
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 22 -
o Mètode de Laplace pels determinants: determinant
Un determinant pot ésser representat en termes dels elements i cofactors de
qualsevol fila o columna de la matriu, de la manera següent:
1 1
det( )n n
ij ij ij ijj i
A a A a A
On la primera suma és el desenvolupament per la i-èssima fila, i la segona
suma és el desenvolupament per la j-èssima columna.
Exemples:
1 2 32 3 1 3 1 2
4 5 6 7. 8. 9.5 6 4 6 4 5
7 8 97.(12 15) 8.(6 12) 9.(5 8)7.( 3) 8.( 6) 9.( 3)
21 48 27 48 48 0
Per aquest mètode és millor fixar aquella fila o columna que tingui més zeros, o
aquella fila o columna que tingui els nombres més grans.
ACTIVITATS:
25) Calcula els determinants següents pel mètode de Laplace:
a)
1 2 01 1 2
0 1 2
b)
1 0 1 21 0 1 1
0 1 0 11 1 1 1
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 23 -
Rang: Inici
El rang d’una matriu A, que s’escriu rang(A), és el nombre de files o columnes
(de les dos, el nombre més petit) linealment independents.
Per exemple, la matriu: 1 23 4
A
Té rang 2 perquè les seves files o columnes són linealment independents. Per
a demostrar-ho suposem que fos possible una combinació lineal entre les files:
1 1 2 2 0k F k F
1 2
1 1 2 2
1 21 2 1 2
1 2
1 2 3 4 0 0
1 2 3 4 0 0
1 3 01 3 2 4 0 0
2 4 0
k k
k k k k
k kk k k k
k k
1 21 2
1 21 2
2 2
1 1
2 6 01 3 0 .( 2)
2 4 02 4 0
/ 2 0 01 3(0) 0 0
k kk k
k kk k k k
k k
Quan obtenim a tots el coeficients zero, és el mateix que dir que no hi ha cap
combinació lineal. Per això el rang és 2.
Qualsevol matriu té rang, tant si és quadrada com si no.
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 24 -
MÈTODES DE CÀLCUL DEL RANG:
o Mètode de les combinacions lineals
o Mètode dels determinants
o Mètode de Gauss
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 25 -
o Mètode de les combinacions lineals pels rangs: rang
És el mètode que hem fet servir a l’exemple anterior. Si posem un segon
exemple del càlcul del rang però d’una matriu d’ordre 3 observem el següent:
1 1 00 1 12 1 1
A
Té rang 3 perquè les seves files o columnes són linealment independents. Per
a demostrar-ho suposem que fos possible una combinació lineal entre les files:
1 1 2 2 3 3 0k F k F k F
1 2 3
1 1 1 2 2 2 3 3 3
1 3
1 3 1 2 3 2 3 1 2 3
2 3
1 1 0 0 1 1 2 1 1 0 0 0
1 1 0 0 1 1 2 1 1 0 0 0
2 02 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0
1 1 0
k k k
k k k k k k k k k
k kk k k k k k k k k k
k k
1 3 1 3 1
1 2 3 3 3 3 3
2 3 2 3 2
2 0 2 01 1 1 0 ( 2 ) 0 0
1 1 0 0
k k k k kk k k k k k k
k k k k k
Que és el mateix que dir que no hi ha cap combinació lineal.
Per això el rang és 3.
ACTIVITATS:
26) Calcula el rang pel mètode de les combinacions lineals:
a) 1 11 1
A
b)
1 2 01 1 2
0 1 2B
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 26 -
o Mètode dels determinants pels rangs: rang
Ja hem comentat abans que la interpretació del resultat del determinant d’una
matriu A era que si el det(A) = 0 volia dir que les files i/o columnes eren
linealment dependents, i que hi havia alguna combinació lineal entre files o
columnes. En canvi, si el det(A) ≠ 0 volia dir que les files o/i les columnes eren
linealment independents, i que no hi havia cap combinació lineal entre files o
columnes.
Per tal de calcular el rang, ens hem d’assegurar de trobar el determinant
diferent de zero més gran possible. L’ordre o dimensió d’aquest determinant és
el rang de la matriu.
Si la matriu no és quadrada, cal agafar una submatriu quadrada, la més gran
possible de determinant diferent de zero.
Exemples:
1) Calcula el rang de la matriu 1 1 00 1 12 1 1
A
1 1 01 1 1 0 1 0
0 1 1 1. 0. 2.1 1 1 1 1 1
2 1 11.( 2) 0 2.( 1) 4 0
Com que el determinant és diferent de zero el rang és 3.
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 27 -
2) Calcula el rang de la matriu 1 2 34 5 67 8 9
B
1 2 32 3 1 3 1 2
4 5 6 7. 8. 9.5 6 4 6 4 5
7 8 97.(12 15) 8.(6 12) 9.(5 8)7.( 3) 8.( 6) 9.( 3)
21 48 27 48 48 0 ( ) 3
1 21.5 4.2 3 0 ( ) 2
4 5
rang B
rang B
ACTIVITATS:
27) Calcula el rang pel mètode del determinant:
a) 1 11 1
A
b)
1 2 01 1 2
0 1 2B
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 28 -
o Mètode de Gauss pels rangs: rang
Amb el mètode de Gauss, primer triangularitzem la matriu amb la propietat 10
dels determinants i el rang de la matriu, que és el nombre de files o columnes
(el més petit dels dos) amb algun element diferent de zero.
Exemple:
2 2 1
3 3 1 3 3 2
1 2 3 1 2 3 1 2 34 5 6 ' 4 0 3 6 0 3 67 8 9 ' 7 0 6 12 ' 2 0 0 0
F F FF F F F F F
El rang és 2 perquè té dues files amb algun element diferent de zero.
ACTIVITATS:
28) Calcula el rang pel mètode Gauss:
a) 1 11 1
A
b)
1 2 01 1 2
0 1 2B
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 29 -
Menor complementari: Inici
El menor complementari Mij d’un element aij d’una matriu A és el valor del
determinant de la submatriu que resulta de suprimir la fila “i” i la columna “j”.
Exemple:
Donada la matriu: 0 2 12 0 31 3 0
Q
, calcula el menor complementari de
l’element a23.
El menor complementari de l’element a23 = 3, que podem representar per 23M ,
és el determinant que resulta de suprimir la segona fila i la tercera columna:
23
0 2 10 2
2 0 3 0.( 3) ( 1).( 2) 21 3
1 3 0Q M
ACTIVITATS:
29) Donada la matriu:
1 2 01 1 2
0 1 2
, calcula els menors complementaris
següents:
a) 23M
b) 21M
c) 33M
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 30 -
Adjunt: Inici
L’adjunt Aij d’un element aij d’una matriu A és el seu menor complementari
afectat pel signe:
( 1)i jij ijA M
Exemple:
Donada la matriu: 0 2 12 0 31 3 0
Q
, Calcula l’adjunt d’element a23.
L’adjunt de l’element a23 , que podem representar per 23A és:
2 3 523 23
0 2 10 2
2 0 3 ( 1) ( 1) ( 2) 21 3
1 3 0Q A M
Una manera ràpida de determinar el signe (el canvi o no de signe) és
mitjançant la matriu de signes:
ACTIVITATS:
30) Calcula els adjunts de la matriu:
1 2 01 1 2
0 1 2
:
a) 23A b) 21A c) 33A
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 31 -
Matriu adjunta: Inici
La matriu adjunta d’una matriu és la matriu que resulta de substituir tots i cada
un dels seus elements pel seu corresponent adjunt:
( ) ijAd A A
Exemple:
Calcula la matriu adjunta de la matriu:
0 2 12 0 31 3 0
Q
La matriu adjunta resulta ser:
0 3 2 3 2 03 0 1 0 1 3
9 3 62 1 0 1 0 2
( ) 3 1 23 0 1 0 1 3
6 2 42 1 0 1 0 2
0 3 2 3 2 0
Ad Q
ACTIVITATS:
31) Calcula la matriu adjunta de la matriu:
1 2 01 1 2
0 1 2
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 32 -
Matriu inversa: Inici
La matriu A-1 és la matriu inversa de la matriu A si:
A-1.A = I
A. A-1 = I
On I és la matriu d’identitat.
Exemple:
La matriu 1 21 1
B
és la matriu inversa de la matriu 1 2
1 1A
, ja que:
B . A = I
1 2 1 2 1.( 1) 2.1 1.2 2.( 1) 1 0.
1 1 1 1 1.( 1) 1.1 1.2 1.( 1) 0 1
A . B = I
1 2 1 2 ( 1).1 2.1 1.2 2.1 1 0.
1 1 1 1 1.1 ( 1).1 1.2 ( 1).1 0 1
ACTIVITAT:
32) Demostra que de les matrius 1 23 4
A
i 2 1
3 12 2
B
una és la
inversa de l’altra.
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 33 -
Inici
MÈTODES DE CÀLCUL DE LA MATRIU INVERSA:
o Mètode de la definició
o Mètode dels determinants
o Mètode de Gauss
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 34 -
o Mètode de la definició de matriu inversa: inversa
Donada la matriu: 1 23 4
A
La seva matriu inversa serà una matriu del tipus: 1 a b
Ac d
Si imposem la condició de matriu inversa: 1.A A I
1
22 1 1 2 11 2 1 0 2 0 3. 3 13 4 0 1 3 4 0 2 2 2
3 4 1 12
aa c b
a b b dAcc d a c
b d d
Aquest mètode no és aconsellable perquè amb una matriu d’ordre 2 ja s’ha de
resoldre un sistema de quatre equacions amb quatre incògnites. Si fos una
matriu d’ordre 3, seria un sistema de nou equacions amb nou incògnites.
ACTIVITAT:
33) Calcula la matriu inversa de la matriu 1 1
2 1A
pel mètode de la
definició.
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 35 -
o Mètode dels determinants: inversa
És la matriu adjunta transposada dividida pel determinant de la matriu:
1 1 TA AdA
Per això, diem que una matriu té inversa si és quadrada i a més a més el seu
determinant és diferent de zero.
Exemple:
Calcula la matriu inversa de la matriu 1 23 4
A
.
1 4 3 4 3 4 21 1 11 2 2 1 2 1 3 12 23 4
4 2 2 12 2
3 13 12 22 2
T T
A
ACTIVITAT:
34) Calcula la matriu inversa de la matriu 1 1
2 1A
pel mètode del
determinant.
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 36 -
o Mètode de Gauss: inversa
Per a calcular la matriu inversa d’una matriu aplicant el mètode de Gauss
confeccionem una matriu ampliada (A|I), diagonalitzem la matriu A i la
normalitzem fins a transformar-la en una matriu identitat. Tot el que fem amb
les files de la matriu A també ho fem amb la matriu identitat, la qual hem
col·locat al costat. Després de tot aquest procés, allà on hi teníem la matriu
identitat hi tenim la matriu inversa:
1A I I A
Exemple:
Calcula la matriu inversa de la matriu 1 23 4
A
2 2 1
1 1 2
122
1 2 1 0 1 2 1 0' 3
3 4 0 1 0 2 3 1
1 0 2 1'
0 2 3 1
2 1 2 11 0' 3 1 3 10 12
2 2 2 2
F F F
F F F
FF A
ACTIVITAT:
35) Calcula la matriu inversa de la matriu 1 1
2 1A
pel mètode de
Gauss.
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 37 -
ACTIVITATS: Inici
Donades les matrius: 1 23 4
A
1 2
1 0B
1 1 01 0 11 1 1
C
36) Calcula:
a. A + B =
b. A – B =
c. – A =
d. 2A - 3B =
e. CT =
f. rang(A) =
g. rang (b) =
h. rang (c) =
i. det (A) =
j. det (B) =
k. det (C) =
l. M22 de la matriu A
m. Ad21 de la matriu C
n. A-1 =
o. B-1 =
p. C-1 =
37) Quines condicions han de tenir les matrius perquè:
q. Es puguin sumar.
r. Es puguin restar.
s. Es puguin multiplicar.
t. Tinguin transposada.
u. Tinguin adjunta.
v. Tinguin inversa.
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 38 -
Propietats de les operacions amb matrius: Inici
SUMA o ADDICIÓ (operació interna)
Definició: nmnmijnmijijnmijnmijnmnm CcbabaBA ,,,,,,,
Dues matrius del mateix ordre s’anomenen conformes respecte a l’addició
algèbrica. Dues matrius de diferent ordre no es poden sumar.
PROPIETATS:
1) ASSOCIATIVA: nmnmnmnmnmnm CBACBA ,,,,,, )()(
2) COMMUTATIVA: nmnmnmnm ABBA ,,,,
3) EXISTÈNCIA DE MATRIU NEUTRA O ZERO: , , ,0m n m n m nA A
Om,n és una matriu amb tots els elements 0
4) EXISTÈNCIA DE MATRIU OPOSADA: , , ,( )m n m n m nA A O
,m nA s’obté canviant de signe tots els elements de la matriu ,m nA
Per complir les propietats anteriors diem que ,( ; )m nM és un GRUP ABELIÀ o
COMMUTATIU.
Es defineix la DIFERÈNCIA de matrius com: , , , ,( )m n m n m n m nA B A B , la suma
de la matriu oposada.
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 39 -
Inici
PRODUCTE PER UN ESCALAR (operació externa)
Definició: , ,, , ,. . .m n ij ij ij m nm n m n m n
k A k a k a c C
PROPIETATS:
1) , , ,( '). . '.m n m n m nk k A k A k A
2) , ,.( '. ) ( . ').m n m nk k A k k A
3) , , , ,.( ) . .m n m n m n m nk A B k A k B
4) , ,1. m n m nA A
El conjunt de les matrius de nombres reals d’un mateix ordre, per a l’operació
interna addició i l’operació externa producte per un escalar real, és un ESPAI VECTORIAL sobre el cos R.
MATRIU TRANSPOSADA:
Per a la matriu ,m nA s’anomena matriu transposada la matriu ,Tm nA ,que resulta
d’intercanviar les files per les columnes de manera ordenada:
si , ,m n ij m nA a , ,
Tm n ji m n
A a
PROPIETATS:
1) ( )T TA A
2) ( )T T TA B A B
3) ( . ) .T Tk A k A
4) MATRIU SIMÈTRICA: TA A
5) MATRIU ANTISIMÈTRICA: TA A
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 40 -
Inici
MULTIPLICACIÓ DE MATRIUS:
La matriu producte ,m qP de dues matrius ,m nA i ,n qB és el resultat de les sumes
dels productes dels elements de les files de la primera matriu pels elements de
les columnes de la segona matriu. La condició que s’imposa perquè es puguin
multiplicar és que el nombre de columnes de la primera matriu sigui igual al
nombre de files de la segona matriu: , , ,.m n n q m qA B P
El elements de la matriu producte són: 1
.n
ij ik kjk
p a b
PROPIETATS:
1) ASSOCIATIVA: A.(B.C)=(A.B).C
2) DISTRIBUTIVA: A.(B+C)=A.B+A.C
(A+B).C=A.C+B.C
3) MATRIU UNITAT: A.I=A
I.A=A
4) NO COMMUTATIVA: en general A.B B.A
5) ( . ) .T T TA B B A
6) A.B=O no implica necessàriament que A=0 o B=0
7) A.B=A.C no implica necessàriament que B=C.
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 41 -
Inici
PROPIETATS DELS DETERMINANTS:
1) El determinant de la matriu zero és zero:
0 00
0 0
2) Si tots els elements d’una fila (o d’una columna) d’una matriu són zero, el determinant de la matriu és zero:
1 0 0 00 0
2 0 2 5
3) Si multipliquem per un nombre real k tots els elements d’una fila (o d’una columna) , el determinant queda multiplicat per k:
1 2 2.1 2.2 2 42 4
3 4 3 4 3 4
4) Si multipliquem una matriu per un nombre real k, el seu determinant queda multiplicat per kn:
. .nn nk A k A
1 2 2 42 8
3 4 6 8
5) El determinant d’una matriu A i el de la seva matriu transposada AT són
iguals.
1 2 1 32 2
3 4 2 4
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 42 -
Inici
6) Si s’intercanvien entre sí dues files (o columnes) el determinant canvia
de signe.
1 2 2 12 2
3 4 4 3
7) Si una matriu té dues files (o columnes) iguals, el determinant és igual
a zero.
1 20
1 2
8) Si en una matriu hi ha dues files (o dues columnes) proporcionals, el
determinant és zero.
1 20
2 4
9) Si una matriu té una fila (o una columna) combinació lineal d’altres
files (o columnes), el determinant és zero.
3 1 2
0 2 12 0 3 02 2 4
F F F
10) El determinant d’una matriu no canvia si es suma a una fila (o
columna) una combinació lineal d’altres files (o columnes).
3 3 1 2
0 2 1 0 2 12 0 3 0 ' 2 2 0 3 02 2 4 4 2 5
F F F F
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 43 -
Inici
11) En general: n n n nA B A B
1 2 1 22
3 4 3 4 1 2 2 12 14 12
3 4 4 32 2 2 214
4 3 4 3
1 2 2 2 3 0 3 021
3 4 4 3 7 7 7 7
A
B
A B
12) El determinant d’un producte és el producte de determinants:
. .n n n nA B A B
1 2 1 22
3 4 3 4 1 2 2 2. 2.14 28
3 4 4 32 2 2 214
4 3 4 3
1 2 2 2 10 4 10 4. 60 88 28
3 4 4 3 22 6 22 6
A
B
A B
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 44 -
Inici
13) Si dos determinants tenen iguals, respectivament, totes les files
menys una (totes les columnes menys una), la seva suma és un altre
determinant amb les mateixes files iguals, menys la fila desigual que té
per elements la suma ordenada de les dues files (o columnes).
1 2 3 1 2 3 1 2 32 4 3 5 1 3 2 3 1 4 5 3
2 1 0 2 1 0 2 1 0
14) El determinant de la matriu unitat és 1.
1 0 01 0
1 0 1 0 10 1
0 0 1
15) El determinant de la matriu escalar és kn
3
2 0 00 2 0 2.2.2 2 80 0 2
16) El determinant d’una matriu diagonal és el producte dels elements de
la diagonal principal.
1 0 00 2 0 1.2.3 60 0 3
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 45 -
Inici
17) El determinant d’una matriu triangular és el producte dels elements de
la diagonal principal.
1 3 20 2 1 1.( 2).3 60 0 3
18) Si 1 1
n nA a Aa
1
1 2 1 22
3 4 3 4
2 1 2 13 113 1 3 1 2 2
2 2 2 2
A
A
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 46 -
Inici
MATRIU ORTOGONAL:
Una matriu és ortogonal si: ..
T
T
A A IA A I
CONSEQÜÈNCIES:
1) 1TA A
2) det 1A
Demostració:
per definició
2
.det( . ) det
det .det 1det .det 1
(det ) 1
det 1 1
T
T
T
A A IA A I
A AA A
A
A
a) MATRIU ORTOGONAL PRÒPIA: si det 1A
b) MATRIU ORTOGONAL IMPRÒPIA: si det 1A
3) Si considerem que les columnes d’una matriu quadrada són vectors (vectors
columna), si és ortogonal, aquests vectors són unitaris i perpendiculars
entre sí.
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 47 -
Inici
ACTIVITATS:
38) Donades les matrius:
1 23 0
A
1 02 1
B
1 12 2
C
a. Comprova la propietat associativa de la suma.
b. Comprova la propietat no commutativa del producte.
c. Comprova les propietats distributives.
d. Comprova la transposada del producte.
39) Si sabem que det( ) 3a b
Ac d
, aplicant les propietats dels determinants,
calcula:
a. det(A-1) =
b. 2 2a bc d
c. 2 23 3
a bc d
d. det(AT) =
e. 2 3 2 3a c b d
c d
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 48 -
Aplicacions de les Matrius. Inici
Equacions matricials.
Representació de sistemes d’equacions lineals.
Matrius transformació.
Exercicis.
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 49 -
Equacions matricials. aplicacions
Una equació matricial és una equació que té com a incògnita alguna matriu,
que normalment anomenem X .
Per exemple: . .A X B C D
Com es pot veure en aquesta equació, la matriu X és la matriu incògnita, i
les altres són matrius conegudes.
Per a resoldre una equació matricial apliquem l’àlgebra de matrius, que és la
mateixa que l’àlgebra dels nombres; però cal tenir cura amb els productes de
matrius, ja que la divisió no existeix, sinó que cal fer servir la matriu inversa,
tenint en compte el costat pel qual multiplica la matriu.
Per resoldre l’equació matricial que hem posat com exemple, pas a pas:
1 1
1
1
1 1 1
1 1
1 1
. .
. .
. .. . . ( )
. . .( ). .( ). . .( ).. .( ).
.( ).
A X B C DA X B C C D CA X B D CA A X B A D CI X B A D CX B A D CX B B A D C BX I A D C BX A D C B
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 50 -
ACTIVITATS:
40) Donades les matrius:
1 23 0
A
1 02 1
B
1 12 2
C
Resol les equacions matricials següents, aïllant primer la matriu incògnita X
i fent els càlculs amb calculadora:
f. A+B.X = C
g. A.X – 2C = B
h. A.B.X = C
i. X.C.B = A
j. A.X – C = B.X
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 51 -
aplicacions
Representació de sistemes d’equacions lineals.
Les matrius, i més concretament les equacions matricials, poden servir per
representar sistemes d’equacions lineals:
Per exemple:
3 2 4 5 3 2 4 52 0 1 1 2 0
2 2 2 1 1 2
x y z xx y z y
x y z z
En general:
11 1 12 2 1 1 11 12 1 1 1
21 1 22 2 2 2 21 22 2 2 2
1 21 1 2 2
... ...
... ...
......
n n n
n n n
m m mn n mm m mn n m
a x a x a x b a a a x ba x a x a x b a a a x b
a a a x ba x a x a x b
que es pot escriure sempre com: .A X B .
Aquesta equació matricial sempre es resol de la mateixa manera:
1 1
1
1
.. . .
. ..
A X BA A X A BI X A BX A B
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 52 -
ACTIVITATS: aplicacions
41) Expressa en forma matricial els sistemes d’equacions lineals següents:
a) x + y = 1 b) x - y = 2 c) x - y = 0 x + y = 2 2x -2y = 4 -2y =-1 d) x + y - z = 1 e) x -2y +3z = 1 f) x + y +3z = 10 x - y = 0 2x + y -4z = 2 x -2y -2z = 5 2y = 2 3x +4y - z =-3 2x + z = 5 g) 2x + y - z = 1 h) 2x - y + z = 4 i) 2x - y = 1 x -2y + z = 0 x - z = 1 x + y = 0 3x +2y = 5 x + y = 3 j) x - y - z = 0 k) x - y + z = 0 l) 8x + y +4z = 9 x + y + z = 1 x + z = 1 5x -2y +4z = 6 x -2y =-1 x + y = 1
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 53 -
aplicacions TRANSFORMACIONS LINEALS DEL PLA (Matrius transformació)
Les transformacions lineals del pla són unes aplicacions lineals dels punts del
pla 2R sobre ells mateixos 2R .
Un punt es transforma en un altre punt: 2 2:
( , ) ( , ) ( ', ')f R Rx y f x y x y
Aquesta aplicació lineal és del tipus: ' . .' . .
x a x b y ey c x d y f
Que es pot escriure en forma matricial:
''
1 0 0 1 1
x a b e xy c d f y
On
(x’,y’): és el punt transformat.
(x,y): és el punt inicial.
0 0 1
a b eM c d f
: És la matriu transformació lineal,
és la matriu associada a l’aplicació lineal .
Aquesta matriu transformació lineal la podem descompassar com a producte de
dues altres matrius:
1 0 00 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
a b e e a bc d f f c d
M = M2 . M1
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 54 -
aplicacions
Tota transformació lineal M resulta ser la composició d’una matriu
transformació M1 (rotació, projecció, simetria, ...), seguida d’una matriu translació M2. Recorda que per la composició de funcions, primer actua la
funció de més cap a la dreta:
''
1 0 0 1 1
x a b e xy c d f y
→
' 1 0 0' 0 1 0
1 0 0 1 0 0 1 1
x e a b xy f c d y
MATRIUS TRANSFORMACIÓ M1:
1
00
0 0 1
a bM c d
MATRIU TRANSLACIÓ M2:
2
1 00 10 0 1
eM f
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 55 -
MATRIU TRANSLACIÓ M2: aplicacions
Ja saps que els vectors serveixen per localitzar o traslladar punts, per això no
ens ha d’estranyar que la matriu translació estigui formada per una matriu
identitat i un vector translació:
MATRIU IDENTITAT
VECTOR TRANSLACIÓ
Quan aquesta matriu l’apliquem sobre un punt qualsevol A(x,y):
1 0 '0 1 '0 0 1 1 1
e x xf y y
obtenim un altre punt A’(x’,y’)
Aquesta transformació equival a: ''
x x ey y f
que es pot escriure vectorialment com: (x’,y’) = (x,y)+(e,f)
que equival a: 'A A v
2
1 00 10 0 1
eM f
A(x,y)
A’(x’,y’)
( , )v e f
e
f
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 56 -
EXEMPLE: aplicacions
Donat el quadrat de vèrtexs A(0,0), B(2,0), C(2,2) i D(0,2), calcula la
translació segons el vector (2,1)v .
La matriu translació és: 2
1 0 20 1 10 0 1
M
, que si l’apliquem a cada un dels
vèrtexs del quadrat resulta:
2
1 0 2 0 2(0,0) ( ) 0 1 1 0 1 ´(2,1)
0 0 1 1 1A M A A
2
1 0 2 2 4(2,0) ( ) 0 1 1 0 1 ´(4,1)
0 0 1 1 1B M B B
2
1 0 2 2 4(2, 2) ( ) 0 1 1 2 3 ´(4,3)
0 0 1 1 1C M B C
2
1 0 2 0 2(0,2) ( ) 0 1 1 2 3 (́2,3)
0 0 1 1 1D M D D
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 57 -
TIPUS DE MATRIUS TRANSFORMACIÓ M1: aplicacions
1) MATRIU ROTACIÓ: R (respecte a l’origen de coordenades):
cos sinsin cos
R
Representa una rotació,
respecte a l’origen de coordenades d’un angle θ, en
sentit antihorari si l’angle és
positiu, i en sentit horari si l’angle
és negatiu,.
EXEMPLE:
Donat el quadrat de vèrtexs A(0,0), B(2,0), C(2,2) i D(0,2), calcula la seva
transformació amb un gir de 30º respecte a l’origen.
La matriu transformació és: 30
3 1cos30 sin 30 2 2sin 30 cos30 1 3
2 2
R
que si l’apliquem a cada vèrtex del quadrat resulta:
30
cos30 sin 30 0(0,0)
sin 30 cos30 0
3 13 1 .0 .00 02 22 2 ' (0,0)0 01 3 1 3.0 .0
2 2 2 2
A R A
A
A(x,y)
A’(x’,y’)
α
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 58 -
30
cos30 sin 30 2(2,0)
sin 30 cos30 0
3 13 1 .2 .02 32 22 2 ' (1,7;1)0 11 3 1 3.2 .0
2 2 2 2
B R B
B
30
cos30 sin 30 2(2,2)
sin 30 cos30 2
3 13 1 .2 .22 3 12 22 2 ' (0,7;2,7)21 3 1 31 3.2 .2
2 2 2 2
C R C
C
30
cos 30 sin 30 0(0, 2)
sin 30 cos30 2
3 13 1 .0 .2 10 2 22 2 ' ( 1;1,7)2 31 3 1 3.0 .2
2 2 2 2
D R D
D
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 59 -
2) MATRIU DILATACIÓ: D aplicacions
00k
Dk
k>0
' 0 ..
' 0 .x k x k x x
ky k y k y y
EXEMPLE:
Donat el quadrat de vèrtexs A(0,0), B(2,0), C(2,2) i D(0,2), calcula la dilatació de constant 3.
La matriu dilatació és: 3 00 3
D
si l’apliquem a cada un dels vèrtexs del quadrat resulta:
3 0 0 0( ) '(0,0)
0 3 0 0D A A
3 0 2 6( ) '(6,0)
0 3 0 0D B B
3 0 2 6( ) '(6,6)
0 3 2 6D C C
3 0 0 0( ) '(0,6)
0 3 2 6D D D
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 60 -
3) MATRIU AMPLIACIÓ (distorsió): A aplicacions
1
2
00d
Ad
1 1
2 2
0 .'0 .'d d xx x
d d yy y
EXEMPLE:
Donat el quadrat de vèrtexs A(0,0), B(2,0), C(2,2) i D(0,2), calcula
l’ampliació de coeficients 2 i 3.
La matriu ampliació és: 2 00 3
A
si l’apliquem a cada un dels vèrtexs del quadrat resulta:
3 0 0 0( ) '(0, 0)
0 2 0 0A A A
3 0 2 6( ) '(6,0)
0 2 0 0A B B
3 0 2 6( ) '(6, 4)
0 2 2 4A C C
3 0 0 0( ) '(0,4)
0 2 2 4A D D
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 61 -
4) MATRIU “CISELLA” : C aplicacions
1
10 1
kC
' 1' 0 1
x k x x kyy y y
2
1 01
Ck
' 1 0' 1
x x xy k y kx y
EXEMPLE:
Donat el quadrat de vèrtexs A(0,0), B(2,0), C(2,2) i D(0,2), calcula la
transformació “cisella” amb k=2.
La matriu “cisella” és: 1
1 20 1
C
si l’apliquem a cada un dels vèrtexs del quadrat resulta:
1 2 0 0( ) '(0,0)
0 1 0 0C A A
1 2 2 2( ) '(2,0)
0 1 0 0C B B
1 2 2 6( ) '(6, 2)
0 1 2 2C C C
1 2 0 4( ) '(4,2)
0 1 2 2C D D
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 62 -
5) MATRIUS PROJECCIÓ: P aplicacions
a) PROJECCIÓ SOBRE L’EIX “X”: Px
1 00 0xP
' 1 0' 0 0 0
x x xy y
EXEMPLE:
Calcula la projecció del punt A(2,3) sobre l’eix d’abscisses.
1 0 1 0 2 2( ) ' (2,0)
0 0 0 0 3 0x xP P A A
b) PROJECCIÓ SOBRE L’EIX “Y”: Py
0 00 1yP
' 0 0 0' 0 1
x xy y y
EXEMPLE:
Calcula la projecció del punt A(2,3) sobre l’eix d’ordenades.
0 0 0 0 2 0( ) ' (0,3)
0 1 0 1 3 3y yP P A A
A(x,y)
A’(x’,0)
A(x,y) A’(0,y’)
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 63 -
aplicacions
c) PROJECCIÓ SOBRE LA RECTA Y=X:
1 01 0y xP
' 1 0' 1 0
x x xy y x
0 10 1x yP
' 0 1' 0 1
x x yy y y
EXEMPLE:
Calcula la projecció del punt A(2,3) sobre la recta y=x.
1 0 1 0 2 2( ) ' (2,2)
1 0 1 0 3 2y x y xP P A A
0 1 0 1 2 3( ) ' (3,3)
0 1 0 1 3 3x y x yP P A A
A(x,y) A’(y,y)
A(x,y)
A’(x,x)
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 64 -
6) MATRIUS SIMETRIES: S aplicacions
a) SIMETRIA EIX “Y”: Sy
1 00 1yS
' 1 0' 0 1
x x xy y y
EXEMPLE:
Calcula el simètric del punt A(2,3) respecte a l’eix d’ordenades.
1 0 1 0 2 2( ) ' ( 2,3)
0 1 0 1 3 3y yS S A A
b) SIMETRIA EIX “X”: Sx
1 00 1xS
' 1 0' 0 1
x x xy y y
EXEMPLE:
Calcula el simètric del punt A(2,3) respecte a l’eix d’abscisses.
1 0 1 0 2 2( ) ' (2, 3)
0 1 0 1 3 3x xS S A A
A(x,y)
A’(x’,-y)
A(x,y) A’(-x,y’)
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 65 -
c) SIMETRIA RECTA y = x: Sy = x aplicacions
0 11 0y xS
' 0 1' 1 0
x x yy y x
EXEMPLE:
Calcula el simètric del punt A(2,3) respecte a la recta y=x.
0 1 0 1 2 3( ) ' (3, 2)
1 0 1 0 3 2y x y xS S A A
d) SIMETRIA RECTA y = - x: Sy = -x
0 11 0y xS
' 0 1' 1 0
x x yy y x
EXEMPLE:
Calcula el simètric del punt A(2,3) respecte a la recta y=-x.
0 1 0 1 2 3( ) ' ( 3, 2)
1 0 1 0 3 2y x y xS S A A
A(x,y)
A’(y,x)
A(x,y)
A’(-y,-x)
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 66 -
e) SIMETRIA RECTA y = (tag θ) x aplicacions
( ).
cos(2 ) sin(2 )sin(2 ) cos(2 )y tag xS
' cos(2 ) sin(2 )' sin(2 ) cos(2 )
x xy y
EXEMPLE:
Calcula el simètric del punt A(2,3) respecte a la recta 3.y x .
( ).
3.
3.
3. tan 3 60ºcos(2 ) sin(2 )sin(2 ) cos(2 )
cos(2.60) sin(2.60) cos(120) sin(120)sin(2.60) cos(2.60) sin(120) cos(120)
1 32 23 1
2 2
1 32 2( )3 1
2 2
y tag x
y x
y x
y x m
S
S
S A
2 3 32 2 3 3 2 3 32 ' ( , )3 2 22 3 3
2
A
A(x,y)
A’(x’,y’)
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 67 -
ACTIVITATS:
42) Donat el rectangle de vèrtexs A(0,0), B(3,0), C(3,4) i D(0,4), calcula:
a) La translació segons el vector (1, 2)v
.
b) La seva transformació amb un gir de 60º respecte a l’origen.
c) La dilatació de constant -2.
d) L’ampliació de coeficients -1 i 2.
e) La transformació “cisella” amb k=3.
43) Calcula la projecció del punt A(3,-2)
a) Sobre l’eix d’abscisses.
b) Sobre l’eix d’ordenades.
c) Sobre la recta y=x.
44) Calcula el simètric del punt A(3,-2)
a) Respecte de l’eix d’ordenades.
b) Respecte de l’eix d’abscisses.
c) Respecte de la recta y=x.
d) Respecte de la recta y=-x.
e) Respecte de la recta 1 .3
y x .
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 68 -
EXERCICIS DE MATRIUS: aplicacions
1.- Donades les matrius A
1 21 3
B
0 12 3
Calculeu:
a)A + B b) 3A - 2B c) A.B d) B.A
2.- Donades les matrius
130212121
132013121
BA
Calculeu: a)A + 2B b) A.B c) B.A d) BT.AT e) (A.B)T
3.- Amb les matrius de l’exercici anterior determineu a) (A.B).A b) A.(B.A)
4.- Suposem la matriu A
1 20 1
. Calcula:
a) A.A=A2 b) A.A.A=A3 c) A4 d) An
5.- Quin valor ha de tenir a per tal que a 0 00 0 00 0 0
3 2 71 2 45 1 9
9 6 210 0 00 0 0
6.- Calcula aplicant la definició de matriu inversa les inverses de les matrius
següents, sempre que sigui possible:
a) 1 10 1
b)
1 23 4
c)
3 43 4
7.- Donades les matrius A B
2 1 01 0 2
2 4 1
0 2 00 1 21 3 2
Calculeu A.B
8.- Donat el sistema d’equacions 2 3 2
32 0
x yx y zy z
, escriviu-lo en forma
matricial.
9.- Donada la igualtat entre matrius 2 23 1
44
xy , escriviu el sistema
d’equacions corresponent.
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 69 -
10.- Multiplica les matrius 2 2 10 1 32 1 1
abc
aplicacions
11.- Calculeu el valor dels determinants següents:
a) 2 3 7 45 2 8 5
/ // /
b) a a
a a
2
2 1 c)
x xx x
12 3
12.- Resoleu les equacions:
a) x x
x
1 2 3
20 b)
x xx x
1 32 1
12
13.- Donades les matrius A
1 21 3
B
0 12 3
determineu la matriu X
que satisfà la igualtat 3X-2A=4B.
14.- Donada la matriu11 3 02 1 22 4 3
determina el menor complementari de
l’element a23 .
15.- Calcula el valor del determinant
1 2 3 12 0 2 41 1 3 2
3 2 3 4
16.- Calcula el valor del determinant
1 1 1 11 2 3 41 3 6 101 4 10 20
17.- Calcula les matrius inverses (si existeixen) de
a) A
1 21 3
b) B
1 02 4
c) C
1 20 0
18.- Determina les matrius inverses de:2 2 12 1 00 1 2
3 1 22 1 32 2 0
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 70 -
19.- Quin valor ha de tenir a per tal que la matriu X no tingui inversa?
Xa
1 22 1 47 1 0
aplicacions
20.- A B C
1 23 5
2 10 4
2 11 2
Determina la matriu X que compleixi la igualtat AX=B+C.
21.- La mateixa pregunta en la igualtat AXB=C.
22.- La mateixa pregunta en la igualtat ABX =CA.
23.- Calcula el rang de les matrius:
3 23 2
3 23 2
1 2 02 3 4
24.- Calcula el rang de les matrius:
1 2 1 31 3 1 52 2 3 1
1 3 0 30 3 1 50 0 3 1
25.- Calcula el rang de les matrius:
4 2 11 1 32 3 5
2 2 40 1 30 0 50 0 0
26.- a 3 22 1 42 1 0
Quin valor ha de tenir a per tal que la matriu tingui de rang 2?
I de rang 3?
MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 MATRIUS
- 71 -
27.- Determina els rangs de les matrius 1 2 6 01 2 5 12 2 2 2
1 2 0 21 3 1 50 2 3 10 1 2 5
.
28.- Quin valor ha de tenir K perquè el rang de la matriu sigui 21 5 3 62 10 6 K
.