Metodika nastave matematike I

-predavanje prvo-

Franka Miriam BrücklerOdjel za Matematiku, Sveučilište u

Osijekuak.god.2005/06

Školovanje

• ciljevi moderne škole: učiti učiti, znati primijeniti naučeno, učiti za život, učiti se suživotu (timskom radu), osposobljavanje za rješavanje problema

• metode: učenje orijentirano akcijama, radu s pripremljenim materijalom, rješavanju problema, samostalno, istaživačko i pronalazačko učenje, projektno učenje, timski i partnerski rad, dokumentacija i prezentacija rezultata

• nemojte biti kukavice – držati nastavu kao da niste zainteresirani za ono što pričate, nego samo ispišete materijal i gledate da se posla riješite (a to se vidi i u držanju i načinu govora!) je oblik kukavičluka, nažalost vrlo čest u nastavi matematike!!!

• podučavanje može biti i zabavno i može se u njemu postići zadovoljstvo uspjeha, a da bi bilo takvo ne zahtijeva puno više truda i vremena, no zahtijeva pravilan stav i svijesnost o mogućim preprekama

• nastavnik koji voli ono što predaje prenosti entuzijazam na učenike

Što je matematika?• sredstvo za pojednostavljenje prirodnih znanosti• jezik za zapisivanje rezultata prirdonih zanosti• prirodna znanost• naporan i kompliciran školski predmet (induktivno )• vrsta filozofije ili pogleda na svijet• “ono čime se bavi matematičar”• sredstvo za razvijanje apstraktnog mišljenja• igra brojevima, geometrija• znanost koja daje pravila i zakone pomoću kojih

baratamo brojevima i prostorom• matematika je deduktivna znanost

Metodika nastave matematike• način poučavanja• sistematičnost u poučavanju• približavanje matematike nematematičarima• zapravo, proučava se kako steći vještinu u svemu

navedenom• interakcija je dvosmjerna: učitelj učenici• u drugim jezicima: science of mathematics education,

Didaktik der Mathematik• cilj nastave matematike je usvajanje temeljnih

matematičkih znanja te razvijanje vještina njihove primjene u svakodnevici/poslu; nadalje: razvijanje sposobnosti rješavanja problema i logičkog mišljenja koncepti, pojmovi i svojstva; računanje i konstruiranje; modeliranje

rj. realnog problema

rj. mat. problema

realni problem

matematički problem

MODELIRANJE

INTERPRETACIJA

Principi nastavne matematike

• primjerenost

• znanstvenost

• interes, svjesnost i aktivnost

• sustavnost i potpunost

• zornost i apstraktnost

• problemnost

• trajnost znanja, vještina i navika

• individualizacija

• ekonomičnost i racionalizacija

• historičnost i suvremenost

• nepripremljenost gubljenje u primjeru ili sl. gubitak pažnje od strane slušatelja

• nije moguće uvijek izbjeći greške, no one moraju biti iznimka i ne pojavljivati se zbog nepotpunog vladanja gradivom

• ovisno o iskustvu, potrebno je različito vrijeme za primje-renu pripremu

• glavno je osigurati se da se zna teoreme i definicije (u pra-vilnom redoslijedu) i da se razumiju primjeri, dokazi i računi

• što se neugodnije osjećate pred publikom, to više morate biti pripremljeni (uključivši i podsjetnik od ca. 1 stranice)

• krivo: “neću se pripremati tako da učenici vide kako matematičari rade” – to je jednostavno lijenost!

Priprema nastavnika i uvažavanje učenika

• pripremljenost je oblik uvažavanjae učenika• pripremljen spreman odgovoriti na pitanja• no, potrebno je biti spreman i na prilagodbe u toku sata

ovisno o reakcijama učenika• na pitanja (čak i na glupa!) treba reagirati s

poštovanjem; ako zahtijevaju dug odgovor, dajte kratki i potaknite učenika da Vas to pita izvan sata

• po mogućnosti reagirati pohvalno (npr. “to je bitna ideja”), a nikad uvredljivo

• uvažavanje se vidi i navođenjem pravila – kojih ćete se i pridržavati (npr. o ocjenama, zadaćama, ... )

• potičite aktivnost i komunikaciju (izbjegavanje jednosmjernosti)

• početak je osobito bitan • pripremljenost štiti i kod neugodnih/teških pitanja• pripremljen nastavnik može se koncentrirati na samu

djelatnost podučavanja• ipak: ne pretjerati i izgubiti svaka spontanost• cilj priprema je osigurati se od zbrke usred predavanja, a

ne spriječiti razmišljanje o onom što se predaje• priprema daje dovoljnu sigurnost da se može odgovoriti

na usputna pitanja, da se naprave određene prilagodbe tokom predavanja i da se podnesu određene digresije (a da predavač bude ipak u stanju vratiti se osnovnoj temi)

• preporučljivo je nakon svakog sata razmisliti sam o svom predavanju – što je bilo dobro, a što ne?

• čak i najbriljantniji matematičar koji mrmlja sebi u bradu ili u ploču nije jasan; čak i ako Vam je glas najjasniji, a ru-kopis nečitak, nemate jasno predavanje; organizacija ploče i organizacija predavanja također su elementi jasnoće

• matematika je većini djece teška – nemojte ju činiti težom nepotrebnim barijerama; izbjegavajte monotoniju (sve djeluje jednako (ne)bitno)

• u jasnoću spada i: ako uočite da su učenici “zaspali” i samo prepisuju, stanite, naglasite svoju tvrdnju, jasno ju napišite i istaknite njenu važnost te ju ponovite i pitajte ima li pitanja

• dobro je naglasiti što će se često koristiti (te je stoga važno da odmah na to obrate pažnju)

• naglasite što se traži na testu (ono što je očito bitno matematičaru, ne mora izgledati takvo drugima)

Jasnoća

• aktivirati znači potaknuti učenika i omogućiti mu da kroz neku djelatnost steknee nova znanja

• da bi osoba nešto _naučila_ mora biti aktivno uključena u proces učenja (uključiti mozak, razgovarati, crtati, ...)

• također, prihvaćanje podučavanja povećava se ako se učenik uključi u nastavu

• npr. traženje dobrovoljaca za rješavanje zadatka na ploči – sprečava monotonost, omogućuje uvid u probleme učenika, pojačava osjećaj sudioništva

• mogu se tražiti i vlastite vizualizacije ili dr.• najjednostavnije: zajednički zadatak tokom nastave• rezultati samostalnih aktivnosti učenika se moraju moći

provjeriti (ili ih oni moraju moći sami provjeriti)

Aktivnost učenika

• matematika bez jezika gubi smisao važno je znati ko-municirati matematiku

• stručni mat. jezik: stručni izrazi (neki istog, neki drugog značenja nego u svakodnevici, a neki ne postoje u njoj); učenici moraju naučiti objasniti različite upotrebe iste riječi

• specijalna gramatika, sintaksa i semantika (npr. “ako je ... tada je ...”); oznake zamjenjuju izraze, objekte i odnose i tako matematičke informacije čine kompaktnijim; uobiča-jeno je da se nove definicije daju na osnovi već danih

• ciljevi mat. jezika: preciznost, jednoznačnost, razumljivost argumenata, efikasna komunikacija, strukturiranje mat. znanja

• važna je i korektna upotreba službenog jezika (pravilan hrvatski)

Jezik

• u nastavi ne vrijedi: stil “uvod-definicija-primjer-teorem” daje najbolje rezultate (nije isto nastava matematike i go-tov matematički “proizvod”)

• misli se oblikuju jezikom treba razmisliti o mat. jeziku da bi se moglo prikazati i podučiti mat. razmišljanje

• učenik mora sam rekonstruirati nove riječi ako ih želi usvojiti (primjer: “racionalno”)

• treba razraditi sličnosti i razlike sa svakodnevnom upotre-bom, a nove riječi “napuniti” značenjem

• kad se uvode novi simboli i izrazi, to ne smije biti nepo-trebno preciziranje već korištenih riječi; nema smisla uvoditi oznake koje se neće kasnije koristiti; cilj treba biti pojednostavljenje komunikacije

• usmena komunikacija omogućuje revizije i razjašnjavanja i jasnija je jer koristi jezik svakodnevice, pismena je preciznija

Frontalna vs. individualizirana nastava

• nastavnik se obraća cijeloj grupi istovremeno istim sadržajem

• vrlo česta• pogodna za uvođenje novih

pojmova, zadavanje zadataka ...• nastavnik je u središtu ekonomičnije, ravnopravnost,

znanstvenost, kontrola učenje više receptivno nego

aktivno, zanemaruje se individualnost, odgovornost ima samo nastavnik

• npr. svatko sam rješava zadatak, a nastavnik obilazi, pomaže, kontroli-ra, usmjerava...

• uočeni bolji đaci mogu preskočiti lakše zadatke, a slabijima se osta-ve prije svega lakši zadaci

• no, to nije samo metoda za zadatke

Metoda dijaloga• spada u frontalnu nastavu, no ovdje je nastavnik više

moderator: razmjenom pitanje – odgovor, postepeno se razvija tema, dokaz ...

• nastavnik mora biti dobro pripremljen, uključivši predvi-đanje pitanja i odgovora; nije pogodno za sve teme

• pitanja ne smiju biti sugestivna, preduga, ili pak odgovoriva s da/ne

• dijalog s cijelim razredom (to treba biti i vremenski i sadržajno ograničeno – ne previše informacija ovim putem!) ili s pojedinim učenicima (da bi svi sudjelovali treba se koristiti i individualni rad)

• dijalog među učenicima: u pravilu u grupnom radu• važno: sažeti rezultat – koji mora biti takav da se koristi u

daljoj nastavi (posebno bitno ako su ga suoblikovali đaci!)

Metoda predavanja• aktivna uloga nastavnika i prijenos velike količine

informacija, no treba i aktivnost slušaća (ne samo zapisivanje onog što nastavnik izgovori)

• predavanje treba buditi interes i aktivirati njihovo mišljenje: postavljanje pitanja zašto? na osnovu čega? kako to učiniti? otkud početi? postoji li drugi način? (obično će nastavnik sam odgovoriti)

• pogodno za sve razine školovanja, ali rijetko čitav sat• dobro za povijesne teme, tumačenja prije samostalnog

rada, poopćavanja, ukazivanje na povijest ili praktičnu važnost, opis rada s tablicama ili računalom, izvode i dokaze, složeno gradivo ili ono što je važno iz aspekta cjelovitosti

precizan plan izvođenja, težište na glavnim pitanjima, jasan zapis na ploči, racionalnost i preciznost, priprema za dalje školovanje

manja efikasnost, pasivnost učenika, manjak povratne informacije, slabljenje koncentracije

• radi se o _komunikaciji_ sa slušaćima važan je nastup, kontakt očima, jasnoća i entuzijazam, spremnost na pauzu i reakciju

• u matematici su grupne rasprave manje uobičajene nego u drugim predmetima – ali mogu biti korisne!!! npr. prije definicije kružnice, može se tražiti prijedloge razreda kako bi ju definirali i raspravljati o prijedlozima

• dobro je potaknuti dobrovoljce za rješavanje na ploči, odnosno prekinuti unos novih informacija zadatkom kojeg svi trebaju rješavati

• različiti učenici imaju individualne osobine, sklonosti i sposobnosti (mišljenje, pamćenje, sluh, volja, vid, ...)

• u većim razredima nije moguće uzeti u obzir sve individualne razlike, nego se nastavnik orijentira na “prosječnog” učenika

• ipak, i u postojećoj nastavi moguće je postići individua-lizaciju (npr. dopunska nastava za slabije, dodatna ili fa-kultativna za bolje, izborna nastava, mat. i informatičke grupe, problemska, programirana i mentorska nastava)

• boljim učenicima: dodatni zadaci; slabijim: dopunski; može se učeniku dati i da sam napravi modele, plakate, seminare, ...

• domaće zadaće ne moraju biti iste za svih, odnosno mogu se dati zadaci raznih težina

Individualizacija

• osoba uči tokom interakcije s drugima• oblik suradnje grupe (razreda ili dijelova razreda): za

domaće zadaće; naravno, ne misli se: jedna osoba riješi zadaću jedan tjedan, drugi prepišu, pa idući tjedan netko drugi - misli se na inteligentnu razmjenu ideja međusobno ravnopravnih osoba

• na Dalekom Istoku grupni rad je uobičajen: prvo se radi individualno, onda se međusobno usporede rezultati

• treba poticati suradnju tipa: “ja znam napraviti ovo, ali ne i ono – što ti znaš?”

• klasični grupni rad: grupiramo razred na grupe 4-6 učenika (što stalnijeg sastava) s po jednim učenikom kao vođom grupe (vođe se mijenjaju); grupe rade približno istim tempom, jedan član izvijesti o radu, nastavnik objedinjuje rad svih grupa i daje ocjenu

Grupni rad

• zadaci grupa mogu biti isti ili različiti, grupe mogu biti miješane ili po sposobnostima; važno: individualni rad se objedinjuje u grupi tj. svi moraju raditi; podrazumijeva se žamor; osobito pogodno u osnovnoj školi i za informatiku

• kontrola: nastavnik tokom sata, a mogu i grupe međusobno; izvješća; kontrola individualnog rada: unutar same grupe; ocjena: ukupnog sata, rješenja određenog problema, rada grupe ili testa na osnovi proučene teme

• primjer: što može biti presjek dva trokuta; trokuta i četvrekuta; dva četverokuta? (3 ili 6 grupa, u drugom sl. po dvije grupe isto pitanje, nakon 5’ voditelji prozvanih grupa na ploči zapišu rješenja, ostale uspoređuju svoja, svi zapisuju ... ukupno 20’)

• ukoliko se takve zadaće ocjenjuju, bitno je utvrditi kako raspodijeliti ocjene/zasluge

• homogene grupe: po sposobnostima (obično: slabiji - srednji - loši) – fiktivno (a nekad i stvarno na razini škole)

• cilj: oni iz slabijih grupa u bolje svi aktivni, razvoj interesa, zadržavanje pažnje, veća

efikasnost nastave, praćenje napredovanja uočavanje podjele osjećaj inferiornosti slabije grupe,

nemogućnost komunikacije s većim brojem učenika• treba dobro poznavati sposobnosti svih učenika – npr. za

2. razred SŠ o formuli za rješenje kvadratne jednadžbe (slučaj c=0; slučaj b=0; opći oblik – svi prvo konkretno, onda opće; na kraju svi ubježbavaju formulu)

• kombinira osnovno stručno znanje s eksperimentima• osobito pogodna za povezivanje s drugim predmetima• neposredniji kontakt učitelj – učenik (skupa sjede i

razmišljaju o problemu) razvitak povjerenja• dobri učenici počinju shvaćati da se učenje matematike

ne sastoji samo u učenju definicija i tehnika• slabi učenici mogu otkriti razumljive primjene (upravo

slabi učenici u pravilu ne vide da matematika ima primjene u stvarnom životu)

• rezultat projekta se izlaže u školi – škola postaje životni prostor (treba naći materijale, dogovoriti mjesto, ...)

• postiže se cjelovito učenje s jakim samostalnim elementom, veza sa životnom praksom i društvom, komunikacija, interdisciplinarni rad

Projektna nastava

• počinje se s motivacijom, zatim ide koncept, pa akcija, pa dokumentacija i na kraju refleksija s evaluacijom

• vrijeme za jedan projekt: ca. 9-12 školskih sati, no mogući su i manji projekti, ili pak organizacija dana/tjedna za projekte u školi

• važan je grupni rad• odabir teme: široka, ali ne preširoka tema koja se smisleno

može podijeliti na potprobleme; mora biti jasna veza i važnost za prethodnu i buduću nastavu

• podjela u grupe koje su u stanju surađivati i koje imaju dovoljno znanja za svoj potproblem

• materijal mora biti dostupan; treba odlučiti je li traženje materijala dio projekta

• vremenski plan mora biti prikladan i poznat učenicima• moraju biti na raspolaganju odgovarajući mediji i

materijali za dokumentaciju

• učenici dobro uče tek kad uz znanje trebaju i kretivnost, bistrinu, dovitljivost

• postavlja se problemska situacija u kojoj je nepoznata neka komponenta, a učenici ju trebaju razriješiti

• komponente problemske situacije: elementi, objekti, svojstva, odnosi, veze, faze ...

• prvo probuditi interes (jasnim postavljanjem problema, stvaranjem situacije u kojoj učenici sami formuliraju problem ili stvaranje situacije s više-manje jasnim problemom čija analiza dobodi učenika do novog problema kojeg treba riješiti, bilo predviđenog ili nepredviđenog)

• prvi način najlakši, zadnji najkreativniji

Problemska nastava

• učenik treba ne samo riješiti problem, nego ga i poopćiti ili usporediti s drugom situacijom (uočiti još neki problem koji je korisno riješiti)

• uključena je kreativnost učenika, potiče se otkrivanje mat. istina i obrazloživanje postavki, nastavnik manje poučava, a više savjetuje pri izborima i usmjerava pažnju na bitne činjenice (dakle treba dobro poznavati područje)

• ovaj je oblik teži i za učenike, moguć tek kad su savladali tehnike umnog rada

veća motiviranost, mogućnost suradnje, istraživački pristup, razvoj kritičkog mišljenja, bolje shvaćanje biti i zakonitosti, trajnost i veća primjenjivost stečenog znanja

puno vremena, nemoguć redovno, treba pažljiv odabir i pripremu

• shema rada: • stvori se nastavna problemska situacija • postavlja se i jasno formulira pripadni problem

proučavaju se mogućnosti pojednostavljenja te različiti karakteristični uvjeti

• rješavanje (cjelina/detalji, bitno/nebitno, teškoće rješavanja, potproblemi, putevi rješavanja, izbor teorije, plan rješavanja, provjera koraka)

• razmatranje dobivenog rješenja i iskazivanje novog znanja

• traženje ekonomičnijih ili ljepših rješenja • proučavanje mogućih poopćenja • zaključci, dijalog, mogućnosti primjene stečenog znanja

• misli se: samostalni rad učenika s udžbenikom• osnovno: čitanje s razumijevanjem i sposobnost

reproduciranja, viši stupanj: znati na temelju dobivene informacije doći do novih znanja koja nisu neposredno napisana

• nastavnik mora objasniti kako koristiti tekst• različito vrijeme rada, od par min. za zadatak naviše razvijanje navika korištenja literature, samostalan rad i

priprema za samostalnost u životu, njegovanje navike duže koncentracije, kritičnost, samoobrazovanje, ustrajnost, uči se učiti te čitati s razumijevanja, njeguje se pismenost

Rad s tekstom

teža mjesta učenici ne mogu sami savladati, opasnost samoobmane, popuštanje koncentracije, površnost, bezličnost (fali živa riječ nastavnika), slaba kontrola naučenog, nema povratnih informacija ni u kojem smjeru

• dobri savjeti za učenike (dati na konkretnom primjeru!!!):1. imati pri ruci i ; 2. pročitati sve i onda izdvojiti dijelove samostalnog

značenja (npr. tm, def., zad. ...); 3. pažljivo proučiti svaki od tih dijelova uz skice (vlastite

ako ih nema u knjizi); 4. pri prvom čitanju cjeline nastojati shvatiti samo osnovnu

misao; 5. proučiti detalje (uvjeti, zaključak, značenje tm za cjelinu);6. u drugom čitanju posvetiti pažnju detaljima dokaza i

činjenicama na temelju kojih se izvode zaključci; 7. pri proučavanju dokaza ići korak po korak uz

reprodukciju na papiru;

8. nakon shvaćanja 1-2 puta usmeno ili pismeno reproducirati gradivo;

9. obratiti pažnju na ono što je najbitnije zapamtiti i to čitati nekoliko puta da se zna reproducirati; korisno: sastaviti kratki plan proučenog;

10. pažljivo proučiti ilustrirane primjene;

11. nakon usvajanja teorije rješavati odgovarajuće zadatke (ne obratno!!!);

12. razmisliti o mogućnostima drugačijih dokaza;

13. poopćavanje;

14. ako nije sve jasno, uočiti što nije jasno i obratiti se nastavniku a pomoć

Programirana nastava

• dvadesetih godina 20.st. (SSSR, SAD)• puno informacija u što kraćem vremenu• bit: podjela gradiva na male dijelove (kvante) potrebne

pri izučavanju određenih pojmova i tvrdnji• kvant se sastoji od informacije (teorija plus primjer-dva),

za nju vezanih primjera, prostora za unošenje rješenja i povratne informacije o rješenju zadatka

• pretpostavlja se određena samostalnost učenika i očekuje neprekidni aktivni odziv

• da bi se mogao savladati idući kvant potrebna je informacija o prethodno savladanom gradivu

• provođenje: ponavljanje i provjera znanja (metoda dijaloga) svaki učenik dobiva materijal s uputama, za samostalnu obradu, skupa s pitanjima, a nastavnik objašnjava što će se raditi rad prema programiranom materijalu: ca. 20-30 min. (učenici rade samostalno, ali pod nadzorom nastavnika) idući sat provjera usvojenosti gradiva

• dužnosti nastavnika: objasniti kako raditi, navikavati na pravilan odnos prema radu (samostalno učenje, a tek onda provjera vlastitih odgovora) i pravilno čitanje listića s kvantima

učeniki je aktivan, samostalno usvaja i uvježbava novu informaciju vlastitim tempom, postoji povratna informacija (stečeno znanje se odmah provjerava), učenik može na miru razmisliti o pitanjima, nema previše novih informacija odjednom, moguće je individualizirati nastavu, učenik je u direktnoj vezi s gradivom, razvoj samokontrole zahvaljujući povratnoj informaciji

jednostranost u mišljenju, smanjena odgojna komponenta, moguće popuštanje koncentracije dovodi do površnosti (prelaska na novi kvant prije potpunog savladavanja novog), manja uloga nastavnika, naknadna povratna informacija, velika važnost kvalitete programiranog materijalna, zahtjevna priprema nastavnika

• linearni model: kvanti su jedan za drugim u potpuno određenom redoslijedu: dobro za usvajanje pojmova i tvrdnji

• razgranati model: moguće preskakanja kvanata kad se vidi da je učenik nešto odmah usvojio ili pak vraćanje unatrag, dobro za uspoređivanje različitih mišljenja

• drugi oblici nastave• heuristička metoda (kombinira predavanja sa

samostalnim radom – učenici sami otkrivaju činjenice, nema gotovog oblika koji se prezentira niti učenja napamet, nastavnik pitanjima vodi učenike do rješenja postavljenog problema, teži se razumijevanju; npr. Pitagorin tm: u mreži par kvadrata – površina prebrajanjem, u mreži onda pravokutni kvadrati s ucrtanim kvadratima nad stranicama – tablica s površinama, učenici trebaju uočiti vezu, za dokaz nastavnik navodi na konstrukciju kvadrata stranice a+b, rasprava o obratu, analogoni i poopćenja)

• demonstracija i eksprerimentalna nastava• rad u paru• mentorski rad• rad s drugim medijima