Movimiento en Dos Dimensiones Fm

7/31/2019 Movimiento en Dos Dimensiones Fm

1/30

En general e1 movimiento de los objetos verdaderos se realiza en el espacio

real tridimensional. E1 movimiento de una partcula que se realiza en un plano

es un movimiento en dos dimensiones, si el movimiento se realiza en el espa

cio, se produce en tres dimensiones. En este captulo se estudia la cinemtica

de una partcula que se mueve sobre un plano. Ejemplos de un movimiento en

dos dimensiones son el de un cuerpo que se lanza al aire, tal como una pelota

un disco girando, el salto de un canguro, el movimiento de planetas y satlites

etc. El movimiento de los objetos que giran en una rbita cuya trayectoria esuna circunferencia, se conoce como movimiento circunferencial; es un caso de

movimiento en dos dimensiones, que tambin es estudiado en este captulo. E

vuelo de una mosca, el de un avin o el movimiento de las nubes se produce

en tres dimensiones.

3.1 DESCRIPCIN DEL MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES.

Continuamos restringiendo el estudio del movimiento al caso de unapartculaque se mueve con aceleracin constante, es decir que su magnitud y direccin no cambian durante el movimiento. E1 vector posicin de una partcula

que se mueve en el planoxy es una funcin del tiempo, se escribe como:

jtyitxtr )()()( +=r

Por definicin, la velocidad de la partcula en movimiento en el plano xy es, e

cambio de posicin en el transcurso del tiempo y se puede determinar por:

jvivjdt

dy

idt

dx

dt

rd

v yx +=+==

r

r

es decir,

j)t(vi)t(v)t(v yx +=r


2/30

donde vx y vy son las componentes de la velocidad en la direccin x ey. Si la

aceleracin es constante, sus componentes ax en la direccin x, y ay en la di-

ecciny, tambin lo son. Aplicando las ecuaciones cinemticas de la veloci-

dad deducidas para el movimiento en una dimensin, independientemente en

cada direccinx e y, para una partcula que en el instante inicial to se mueve

con velocidad inicial jvivv oyoxo rrr

+= se obtienen las componentes de lavelocidad en funcin del tiempo:

)tt(avv

)tt(avv

oyoyy

oxoxx

+=

+=

eemplazando en la expresin de )t(vr

, se obtiene la velocidad en cualquier

nstante t:

[ ]

))(()()(

)()()(

oyxoyox

oyoyoxox

ttjaiajvivtv

jttavittavtv

+++=

+++=

r

r

)tt(av)t(v oo +=rrr

(3.1)

De manera similar reemplazando las expresiones de la posicin en funcin del

iempo en cada direccinx ey, para una partcula que en el instante inicial toe encuentra en la posicin inicial jyixr ooo +=

r

se obtiene la posicin )t(rr

de la partcula, en cualquier instante t:

2)(2

1)( oxooxo ttattvxx ++=


3/30

2)(2

1)( oyooyo ttattvyy ++=

2)(2

1)()( oooo ttattvrtr ++=

rrrr

(3.2)

Se concluye que el movimiento bidimensional con aceleracin constante es

equivalente a dos movimientos independientes en las direcciones x e y con

aceleraciones constantes ax y ay. A esta propiedad se le llamaprincipio de in-dependencia del movimiento.

3.2 MOVIMIENTO DE PROYECTILES.

Cualquier objeto que sea lanzado en el aire con una velocidad inicial ovr

de

direccin arbitraria, se mueve describiendo una trayectoria curva en un plano

Si para esta forma comn de movimiento se supone que: a) la aceleracin de

gravedad es constante en todo el movimiento (aproximacin vlida para el ca-

so en que el desplazamiento horizontal del cuerpo en movimiento sea pequeo

comparado con el radio de la Tierra) y b) se desprecia el efecto de las molcu-las de aire sobre el cuerpo (aproximacin no muy buena para el caso en que la

rapidez del cuerpo en movimiento sea alta), entonces a este tipo de movimien-

to se le llamamovimiento de proyectilyse produce en dos dimensiones.

Se elige el sistema de coordenadas (x, y) tradicional como se ve en la figura

3.1, donde se dibuja la trayectoria de una partcula en movimiento en dos di-

mensiones, junto con los vectores velocidad y aceleracin de gravedad. Supo

niendo que en el instante inicial t = to el proyectil se encuentra en la posicininicial (xo, yo) movindose con una velocidad inicial ov

r

que forma un ngulo con la horizontal, bajo la accin de la aceleracin de gravedad g

r

, las ecuacio

nes para la posicin del cuerpo en movimiento en dos dimensiones, se pueden

escribir, a partir de la ecuacin general de posicin 3.2, para cada componente

x ey por separado. Pero del grfico (x, y) de la figura 3.1 se pueden obtener las

componentes de la velocidad inicial ovr

, de magnitud vo, y las componentes de

la aceleracin a

r

de magnitud g:


4/30

gaa

senvvvv

yx

ooyoox

==

==

,0

,,cos

Figura 3.1 Sistema de referencia para el movimiento de un proyectil.

Reemplazando en las componentes de la ecuacin 3.2, se obtiene:

2)(2

1)(

)(cos

oooo

ooo

ttgttsenvyy

ttvxx

+=

+=

(3.3)

Para las componentes de la velocidad se obtiene:

)(

cos

ooy

ox

ttgsenvv

vv

=

=

(3.4)


5/30

Como no hay aceleracin en la direccin horizontalx, la componente x de la

velocidad es constante, y como la aceleracin en la direccin vertical y es g

las componentes de la posicin y de la velocidad en esa direccin son idnti-

cas a las ecuaciones para cada libre, con = 90. Entonces el movimiento de

proyectil se compone de la superposicin de un movimiento en direccin x

con velocidad constante y un movimiento en direccin y de cada libre: es eprincipio de superposicin del movimiento.

La ecuacin de la trayectoria, esto es la curva geomtrica que describe e

cuerpo durante el movimiento del proyectil, se puede obtener despejando el

parmetro t - tode la ecuacin enx y reemplazando en la ecuacin paray:

22

2

cos

)(

2

1

cos

)(

cos

o

o

o

ooo

o

oo

v

xxg

v

xxsenvyy

vxxtt

+=

=

2

22)(

cos2

)(tan oo

oo xx

v

gxxyy +=

(3.5)

que es la ecuacin de una parbola, por lo tanto la trayectoria del proyectil es

parablica y queda totalmente conocida si se conoce vo y . La velocidad de

proyectil es siempre tangente a la trayectoria en cualquier instante, por lo que

la direccin y la magnitud de la velocidad en cualquier instante se puede cal-

cular en forma geomtrica de las ecuaciones:

22,tan yxx

yvvv

v

v+==

Ejemplo 3.1: Para un proyectil que se lanza en el instante inicial to = 0 desdeel origen, con una velocidad inicial ov

r

formando un ngulo con la horizon

tal, calcular: a) la altura mxima, b) la distancia horizontal.


6/30

Solucin: la situacin se puede graficar en el esquema de la figura 3.2.

Figura 3.2 Ejemplo 1.

a) Cuando el proyectil alcanza su mxima altura, la componente y de la velo-

cidad es cero ya que no sigue subiendo, adems eso significa que la velocidad

en esa posicin es horizontal, entonces de vy se obtiene:

seng

vt

gtsenvv

o

oy

=

== 0

que es el tiempo que tarda en llegar a la altura mxima. Reemplazando en y

22

2

2

2

1

seng

vy

sen

g

vgsen

g

vsenvyy

omx

ooomx

=

==

b) Para determinar la distancia horizontal, conocido tambin como alcance

horizontal, usamos la condicin que en esa posicin el proyectil se encuentra

en (x,y) = (x,0), as que igualando la ecuacin paray a cero se obtiene:


7/30

seng

vt

gttsenv

o

o

2

2

10 2

=

=

que es el tiempo que demora el proyectil en llegar a la posicin (x,0), se ob

serva que es el doble del tiempo que demora en llegar a la altura mxima. Re-emplazando este tiempo enx se obtiene la distancia horizontalx o alcance:

22cos2

seng

vsen

g

vvx ooo =

=

Como consecuencia de esta expresin para la distancia horizontal, se puede

obtener el alcance mximo para una velocidad inicial vo conocida, este se pro

duce cuando sen2 = 1, entonces

4590212 === sen

E1 alcance mximo se produce para un ngulo de lanzamiento igual a 45

como se muestra en la figura 3.3a. Adems para cualquier ngulo distinto de

45 se puede obtener un mismo alcance para dos ngulos complementarios

tales como = 30 y = 60, situacin que se ilustra en la figura 3.3b.

a) b)

Figura 3.3. a) Alcance mximo, b) igual alcance para ngulos complementarios.


8/30

Ejemplo 3.2. Se lanza un proyectil de manera que la distancia horizontal querecorre es el doble de su altura mxima, calcular su ngulo de lanzamiento

Solucin: Dadox = 2ymx, se pide calcular . De los resultados obtenidos en el

ejemplo 1 para altura mxima y distancia horizontal, se tiene:

22

max2

seng

vy o= y 2

2

seng

vx o=

= max2yx 2

22

222 sen

g

vsen

g

v oo =

22 sensen =

Usando la identidad trigonomtrica cos22 sensen = y separando sen2en sus factores, se obtiene la expresin:

sensensensen == cos2))((cos2

de donde se concluye que:

.4.632tan ==

Ejemplo 3.3. Se lanza una pelota desde la terraza de un edificio, con una ra-pidez inicial de 10 m/s en un ngulo de 20 debajo de la horizontal, y demora

3s en llegar al suelo. Calcular a) la distancia horizontal que recorre la pelota

b) la altura desde donde se lanz, c) el tiempo que tarda en llegar a 10 m de-

bajo del punto de lanzamiento, d) la ecuacin de la trayectoria.

Solucin: se debe hacer un esquema en un sistema de referencia con la infor-macin que se da en el enunciado del ejemplo; uno apropiado puede ser el que

e muestra en la figura 3.4, pero dejamos en claro que este no es el nico posi-

ble, por ejemplo, se puede cambiar el origen O y ubicarlo donde comienza el


9/30

movimiento y no en el suelo, como en este caso (y no es necesario dibujar el

edificio).

Figura 3.4 Sistema de referencia para el ejemplo 3.

Reemplazando los datos iniciales en las ecuaciones generales para el movi-

miento de proyectil (ec. 3.3), se tiene:

ttxtvxx oo 4.9)20(cos10)(cos ==+=

22 5)20(105 ttsenyyttsenvyy ooo ==

a) Para t =3s, reemplazando enx,

mx 2.2834.9 ==

b) En t =3s la pelota llega al suelo dondey = 0, reemplazando eny,

235320100 = senyo

yo = 55.2 m

c) Se pide calcular tcuandoy = yo 10 = 45.2 m, reemplazando eny:

25)20(102.552.45 ttsen =


10/30

0104.35 2 =+ tt

stst

t

8.1y1.1

10

5.144.3

10

1054)4.3(4.3

21

2

==

=

+=

El valor vlido es t1, el tiempo t2 negativo es un resultado matemtico correc-

o, pero no es fsicamente posible.

d) Para encontrar la ecuacin de la trayectoria y = y(x), es conveniente despe-

ar tde la ecuacinx = 9.4 t t = x/9.4; y reemplazar este valor de ten la

ecuacin paray:

254.32.55 tty =

2

2

2

056.036.02.55)(

)4.9(

5

4.94.32.55

xxxy

xxy

=

=

Ejercicio:dibujar la ecuacin de la trayectoria usando Excel, para ello darvalores a x en el rango 0 < x < 28 y calcular los valores de y.

3.3 MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL.

Otro caso particular de movimiento en dos dimensiones es el de una partcula

que se mueve describiendo una trayectoria circunferencial, con velocidad v.Para un objeto que se mueve en una trayectoria circunferencial, si larapidez ves constante, el movimiento se llama circunferencial uniforme. Si en el instan-e inicial ti el objeto tiene una velocidad inicial vi y un instante posterior tf tie-

ne una velocidad final vf, como la rapidez es constante entonces vi = vf ycambia slo la direccin de la velocidad. Se puede calcular la aceleracin me-

diaam de la partcula usando su definicin:


11/30

t

vv

t

va

if

m

=

=rr

r

r

De la figura 3.5 se puede obtener v geomtricamente. En la circunferencia

(figura 3.5a) la longitud del arco s, subtendido por el ngulo, es aproximadamente igual al lado del tringulo que une los puntos de vi y vf. Observando que los tringulos de lados r(s)ren la circunferencia y de lados vi(v)vde la figura 3.5b son semejantes, entonces como vi = vf, se tiene la siguiente

relacin de semejanza de tringulos:

sr

vvv

v

s

r

==

Reemplazando este valor de v en la magnitud de la aceleracin media, se ob

tiene:

t

s

r

v

t

v

am

=

=

Figura 3.5 a) izquierda, b) derecha.


12/30

Si tes muy pequeo, tendiendo a cero, s y v tambin lo son, y v se haceperpendicular a v, por lo tanto apunta hacia el centro de la circunferencia. Enel lmite cuando 0t , aa

m y se puede escribir:

r

vav

r

v

t

s

r

v

t

s

r

va

tt

2

00limlim ==

=

=

Entonces en el movimiento circunferencial con rapidez constante, la acelera-

cin apunta hacia el centro de la circunferencia (ya que en el lmite v apuntahacia el centro), por lo que se llama aceleracin centrpeta ac (tambin se usan

os nombres central o radial) y el vector con su magnitud es:

)(2

rr

vac =r

, r

vac

2

=(3.6)

donde r

es un vector unitario radial dirigido desde el centro de la circunferen-cia hacia fuera, que se muestra en la figura 3.5a.

Para el caso en que durante el movimiento circunferencial de la partcula cam-

bia la velocidad tanto en direccin como en magnitud, la velocidad siempre es

angente a la trayectoria (figura 3.6), pero ahora la aceleracin ya no es radial,

ino que forma un ngulo cualquiera con la velocidad. En este caso es conve-

niente escribir la aceleracin en dos componentes vectoriales, una radial hacia

el centroar y otra tangente a la trayectoriaat, entoncesa se escribe como:

taraaaa trtr )( +=+=rrr

,

donde t es un vector unitario tangente a la trayectoria, en la direccin del mo-vimiento. En esta ecuacin, la componente radial de la aceleracin es la acele-

acin centrpeta originada por elcambio en la direccin de la velocidad y la


13/30

componente tangencial es producida por elcambio en la magnitudde la velocidad, por lo tanto su valor numrico es:

dt

dvat =

Figura 3.6

Entonces la aceleracin total en el movimiento circunferencial es:

tdt

dvr

r

va

2

+=r(3.7)

En la figura 3.7 se ven los vectores unitarios para un movimiento circunferen-

cial. Observar que en el caso del movimiento circunferencial uniforme v = cteentonces dv/dt = 0 y cr aaa

rrr

== . Y si no cambia la direccin de vr

, r , a= 0, el movimiento es en una dimensin con dt/vdaa t

rrr

== .

Aunque esta deduccin fue realizada para el movimiento circunferencial, es

vlida para cualquier trayectoria curva, considerando el radio de curvatura de

la trayectoria desde el punto donde se miden las variables hasta el centro de

curvatura de la trayectoria en ese punto.


14/30

Figura 3.7

Ejemplo 3.4. Calcular la rapidez orbital de la traslacin terrestre alrededordel Sol y la aceleracin centrpeta correspondiente.

Solucin: la distancia media entre el Sol y la Tierra es dST = 149.6 x 106

km.

La Tierra completa una vuelta en torno al Sol en un ao o 365.242199 das,

entonces la rapidez orbital es:

s

km

s

m

s

m

ao

dv

t

r

t

xvttvxxttvxx

TS 8.291098.236002424.65

10496.12

1

2

2)()(

411

0000

==3

==

=

==+=

Notar que la Tierra tiene una rapidez de traslacin enorme en su movimientoen torno al Sol, es uno de los objetos mas veloces que cualquier otro que se

mueva sobre la superficie terrestre. Pero su aceleracin centrpeta es muy pe-

quea (comparada con g por ejemplo), como se obtiene del calculo siguiente:

2

3

11

2422

109.5

10496.1

)1098.2(

s

m

d

v

r

va

TS

c=

===


15/30

3.4 VELOCIDAD Y ACELERACIN ANGULAR.

Una partcula que gira ubicada en un punto P a una distancia rdel origen, des

cribe una circunferencia en torno al origen. La posicin de la partcula se pue-

de expresar en coordenadas polares (r,), donde la nica coordenada que cam-

bia en el tiempo es el ngulo . Si la partcula se mueve desde el eje x positivo, donde = 0 hasta un punto P, el arco de longitud s recorrido por la part

cula, y el ngulo, como se ve en la figura 3.8, se definen como:

r

srs == (3.8)

Se observa que el ngulo es una variable adimensional, pero se le asigna como

unidad de medida el nombre del ngulo, llamadoradian, con smbolo rad. Dela ecuacin 3.8, se define un radian como el ngulo subtendido por un arco de

circunferencia de igual longitud que el radio de la misma. Como en una cir

cunferencia, s = 2r, y 2 (rad) = 360, se puede encontrar la relacin entre

radianes y grados:

360

2)(

=rad

De aqu se deduce que el valor en grados de un radian es 1 rad = 57.3, y que

por ejemplo, 45 = /4 rad.

Figura 3.8


16/30

Cuando una partcula se mueve desde P hasta Q segn la figura 3.9, en un in-

ervalo de tiempo t, el radio se mueve un ngulo , que es el desplazamien-

o angular. De manera anloga al movimiento lineal, se definen la rapidez an-

gular y aceleracin angular como:

dt

d,

dt

d

==

Sus unidades de medida son rad/s y rad/s2, recordando que el radian no es una

unidad de medida, por lo que en el anlisis dimensional se obtienen para estas

variables las dimensiones de 1/s y 1/s2. De la definicin de estas variables se

deduce adems que para la rotacin de un cuerpo alrededor de un eje, todas las

partculas tienen la misma velocidad angular y la misma aceleracin angular.

Figura 3.9 Desplazamiento angular desde P a Q.

3.4.1 Cinemtica de rotacin.

El desplazamiento, velocidad y aceleracin angular son anlogos a sus simila-

es variables lineales. As las ecuaciones cinemticas del movimiento de rota-

cin con aceleracin angular constante tienen la misma forma que las corres-

pondientes al movimiento lineal haciendo los reemplazosx por ,v por y a

por , por lo que las ecuaciones cinemticas del movimiento angular son:


17/30

2)(2

1)( oooo tttt ++=

(3.9)

)( oo tt+= (3.10)

3.4.2 Relacin entre las variables angulares y lineales.

Para toda partcula que gira describiendo una trayectoria circunferencial, exis-

te una relacin entre las magnitudes angulares con las correspondientes linea-

les. Si la partcula recorre una distancia lineal s, movindose un ngulo so

bre una trayectoria circunferencial de radio r, tiene una velocidad que por ser

tangente a la trayectoria se llama velocidad tangencial, y tiene aceleracin

tangencial y centrpeta, entonces las relaciones entre las variables son:

22

)(

)(

rr

va

radt

dr

dt

rd

dt

dva

rvdtdr

dtrd

dtdsv

rs

c

tt

==

====

====

=

(3.11)

La magnitud de la aceleracin en el movimiento circunferencial es:

22tc aaa +=


18/30

Por ltimo se debe decir que se usa comnmente como unidad de medida de la

variacin angular el trmino revolucin, que corresponde a una vuelta comple-

a, 360 2 (rad). Y para velocidad angular se usan las vueltas o revolu-

ciones por minuto, con unidad de medida rev/min. Siempre se debe tener en

mente que las vueltas o revoluciones son medidas de ngulo, por lo tanto son

un nmero adimensional.

Ejemplo 3.5. Transformar 12 rev/min a rad/s.

Solucin:126.126.1

1

)(2

60

min1

min12

min12 == s

s

rad

rev

rad

s

revrev

Ejemplo 3.6. Calcular la rapidez angular, la velocidad tangencial y acelera-cin centrpeta a) en un punto sobre el ecuador para la rotacin terrestre, b)

para la traslacin de la Tierra en torno al Sol.

Solucin: a) la Tierra da una vuelta en 23 horas 56' 4" o un da y su radio me-dio es 6371 km. Para un punto sobre el ecuador se tiene:

2

26

2

522

65

5

1037.310371.61027.7

3.463)10371.6(1027.7

1027.786400

22

s

mm

s

radR

R

va

s

mm

s

radRv

s

rad

sT

T

T

c

Tt

da

=

===

===

===

b) La traslacin de la Tierra en torno al Sol se completa en un ao y la distan-

cia media de la Tierra al Sol es aproximadamente 150106

km:


19/30

2

311

2

722

4117

7

106105.11099.1

8.291098.2105.11099.1

1099.186400365

22

s

mm

s

radR

R

va

s

km

s

mm

s

radRv

s

rad

T

c

STt

ao

=

===

====

=

==

Ejemplo 3.7. Un disco de 10 cm de radio que gira a 30 rev/min demora un

minuto en detenerse cuando se lo frena. Calcular: a) su aceleracin angularb) el nmero de revoluciones hasta detenerse, c) la rapidez tangencial de un

punto del borde del disco antes de empezar a frenar, d) la aceleracin centr

peta, tangencial y total para un punto del borde del disco.

Solucin: Datos: r = 0.1m, t = 1 min = 60 s. Primero se transforman las 30rev/min a rad/s.

s

rad

srev

radrevo 14.3

60

min1

1

)(2

min30 ==

(a) Usando las ecuaciones de cinemtica de rotacin: ( )oo tt+= , sedespeja , cuando se detiene = 0:

205.060

14.3

0 s

rad

s

srad

tt

o

o ===+=

(b)Se pide calcular , usando la ecuacin( ) ( )2

2

1oooo tttt ++=

reemplazando los datos, se obtiene:


20/30

( )

revrad

revrad

radSs

rado

15)(2

12.94

2.946005.02

16014.3

2

==

==

c) Se puede calcular la rapidez con la ecuacin: = rv

s

m

s

radmv 314.014.31.0 ==

d) La aceleracin centrpeta, tangencial y total es:

( )2

22

98.01.0

314.0s

mr

vac ===

( ) ( ) 22222

2

98.0005.098.0

005.005.01.0

s

m

aaa

s

mra

tc

t

+=+=

===

3.5 MOVIMIENTO RELATIVO.

Para una partcula en movimiento, observadores ubicados en sistemas de refe-

encia diferentes medirn valores distintos de las variables cinemticas, aun-

que el movimiento es el mismo. Por ejemplo, un objeto que se deja caer desdeun vehculo en movimiento: el observador en el vehculo que deja caer el ob-

eto lo ve caer verticalmente, pero un observador en tierra lo ve moverse como

movimiento parablico en dos dimensiones. Es un mismo movimiento visto

en forma diferente por observadores en sistemas de referencia diferentes, se

lama movimiento relativo, se produce en dos dimensiones.

Para describir el movimiento relativo consideramos observadores en dos sis-

emas de referencia: un sistema de referencia (x,y) fijo respecto a la Tierra conorigen O y otro sistema de referencia (x,y) que se mueve respecto al fijo, con


21/30

origen O, como se ve en la figura 3.10, donde los ejesx yx estn superpues

tos. Supongamos adems que el sistema de referencia mvil se mueve en lnea

recta en direccinx con velocidad constante ur

respecto al sistema de referen

cia fijo.

Figura 3.10. Vectores de posicin de una partcula en movimiento relativo.

La posicin de la partcula P en movimiento respecto al sistema de referencia

fijo serr y respecto al sistema de referencia mvil serr. Si en to = 0 ambosorgenes coinciden,xo = 0, y como u = cte, la posicin del sistema de referencia mvil en el instante tser:

tux

tatuxx

rr

rrrr

=

++= 202

1

Del diagrama de vectores de la figura 3.10, se obtiene que la posicin de la

partcula cumple la siguiente relacin vectorial:

'

'

rtur

rr

rrr

rrr

+=

+=

De esta expresin se puede obtener la velocidad de la partcula


22/30

uvv

udt

rd

dt

rd

rrr

r

rr

+=

+=

'

'

Entonces, la velocidad v de la partcula medida en el sistema de referencia fijoes igual a la velocidad vrespecto al sistema de referencia mvil ms la veloci-dad u del sistema de referencia mvil respecto al sistema de referencia fijo.Esta ecuacin se conoce como la transformacin galileana de velocidades.

La aceleracin se puede obtener derivando la velocidad

dt

ud

dt

'vd

dt

vdrrr

+=

como 0dt

udcteu ==

r

r

, entonces 'aarr

=

Se concluye que dos observadores ubicados en sistemas de referencia diferen-es miden velocidades diferentes para la partcula, pero si la velocidad del sis-

ema de referencia mvil es constante, los dos miden la misma aceleracin de

a partcula en movimiento.

Usaremos la siguiente notacin: si P es la partcula, F el sistema de referencia

fijo y M el sistema de referencia mvil, entonces la velocidad vPF de la part-

cula respecto al sistema de referencia fijo es igual a la velocidad vPMde la par-cula respecto al sistema de referencia mvil ms la velocidad vMF del sistemade referencia mvil respecto al sistema de referencia fijo, esto es:

MFPMPFvvvrrr

+=(3.12)


23/30

Ejemplo 3.8. La rapidez del agua de un ro es 5 km/h uniforme hacia el esteUn bote que se dirige hacia el norte cruza el ro con una rapidez de 10 km/h

respecto al agua. a) Calcular la rapidez del bote respecto a un observador en

la orilla del ro. b) Calcular la direccin donde debe dirigirse el bote si se

quiere llegar justo al frente en la orilla opuesta. c) Calcular ahora su rapidez

respecto a la tierra.

Solucin: El sistema de referencia fijo es la tierra, el sistema de referenciamvil el ro y la partcula es el bote, entonces:

vPM= 10 km/h : rapidez del bote (partcula) respecto al agua (SR mvil)

vMF= 5 km/h : rapidez del agua (SR mvil) respecto a tierra (SR fijo)

vPF= ? : rapidez del bote (partcula) respecto a tierra (SR fijo)

a) Es conveniente hacer el diagrama de vectores de velocidades, que se mues-tra en la figura 3.11a:

a. b.

Figura 3.11 Ejemplo 8.

La magnitud de la velocidad del bote respecto a tierra vPF, que tiene una com

ponente a favor de la corriente, se puede calcular del tringulo rectngulo de

vectores de la figura 3.11a

hkmv

v

vvv

PF

PF

MFPMPF

2.11

125510 222

222

=

=+=

+=


24/30

u direccin es:

NEv

v

PM

MF 6.262

1

10

5tan ====

b) Si quiere llegar justo al frente desde donde sale, como la corriente del ro loarrastra hacia el este, haciendo el diagrama de vectores, figura 3.11b, seobserva que debe apuntar en direccin hacia el noroeste, entonces:

302

1

10

5====

PM

MF

v

vsen

c) Ahora, la rapidez vPF es:

h

kmvv

vvvvvv

PFPF

MFPMPFPFMFPM

7.875510 222

222222

===

=+=

Como debe remar con una componente de la velocidad en contra de la corrien-

e, la velocidad resultante del bote en este caso es menor que en la parte a),

donde una componente de la velocidad es a favor de la corriente.


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PROBLEMAS.

3.1. Se dispara un proyectil desde el piso con velocidadsmjiv /)2412( +=r . a) Cul es la velocidad despus de 4 s? b) Cules

es la posicin del punto en el cual la altura es mxima? c) Cul es la

distancia horizontal? R: a) 12i-15j m/s, b) 30i+30j m.

3.2. Desde el borde de un acantilado se lanza una piedra horizontalmente conuna rapidez de 15 m/s. El acantilado est 50 m de altura respecto a una

playa horizontal. a) En que instante la piedra golpear la playa bajo e

acantilado?, b) Dnde golpea? c) Con qu rapidez y ngulo golpear

la playa? d) Encontrar la ecuacin de la trayectoria de la piedra. R: a)

3.16s, b) 47.4m, c) 35m/s, 65, d) y=50-(x2/45).

3.3. Un baln de ftbol que se patea a un ngulo de 50 con la horizontalrecorre una distancia horizontal de 20 m antes de chocar contra el suelo

Calcular a) la rapidez inicial del baln b) el tiempo que permanece en el

aire y c) la altura mxima que alcanza. R: a) 14.2m/s, b) 2.2s, c) 6m.

3.4. Se lanza horizontalmente una pelota desde la parte superior de un edifi-cio que tiene 35 m de alto. La pelota choca contra el piso en un punto

que se encuentra a 80 m de la base del edificio. Calcular: a) el tiempoque la pelota se encuentra en el aire, b) su rapidez inicial y c) la veloci-

dad justo antes de que choque contra el suelo. R: a) 2.6s, b) 30 m/s, c)

30i-26j m/s.

3.5. Se lanza una piedra de manera que la distancia horizontal que recorre esel triple de su altura mxima, calcular su ngulo de lanzamiento. R

53.1.

3.6. En el prximo partido de Chile con la seleccin de Micomicon, el CheCopete deber patear un tiro libre desde un punto a 25m del arco cuya

altura es 2.5m. Cuando patea, la pelota sale del csped con una rapidez

de 20m/s en un ngulo de 20 sobre la cancha. Suponiendo que la pelota

no sufre ninguna alteracin de su trayectoria, a) se convierte o no el

gol? b) Con qu velocidad cruza por el arco? c) Obtenga la ecuacin de

la trayectoria de la pelota. (Por cuanto perder Chile con los Micomico-nes). R: a) si, pasa a 0.25m del suelo, b) 18.8i-6.5j m/s.


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3.7. Se lanza un cohete formando un ngulo de 60 con la horizontal con unarapidez inicial de 100 m/s. El cohete se mueve a lo largo de su direccin

inicial de movimiento con una aceleracin de 30 m/s2

durante 3s. En ese

instante deja de acelerar y empieza a moverse como un proyectil. Calcu-

lar: a) la altura mxima alcanzada por el cohete; b) su tiempo total de

vuelo, c) la distancia horizontal. R: a) 1730m, b) 38s, c) 3543m.

3.8. Un proyectil se dispara desde cierta alturay0en un ngulo de 45, con laintencin que golpee a un mvil que se mueve con velocidad constante

de 21 m/s hacia la derecha, que se encuentra ubicado a 70 m del origen

sobre el ejex en el instante del disparo. Si el proyectil impacta al mvil

al cabo de 10 s, calcular a) la rapidez inicial del proyectil, b) su posicin

inicial, c) su altura mxima desde el suelo. R: a) 39.6m/s, b) 220m, c)

259.2m.

3.9. Katy le lanza un chicle (nuevo) desde una altura de 1.5 m a Pepe, que seencuentra separado a 3 m de Katy. El chicle pasa un segundo despus a

una altura de 1 m por donde est Pepe, pero como l estaba pajareando

no lo toma. a) Hacer un esquema de la situacin en un SR. b) Calcular la

velocidad inicial que Katy le imprime al chicle. c) A qu distancia de-

trs de Pepe caer el chicle?, en este caso qu se debe suponer? d) De-

terminar la ecuacin de la trayectoria del chicle de Katy. R: b)3i+4.5jm/s, c)0.45m.

3.10. Lucho se encuentra a 5m de una pared vertical cuando lanza una pelotade bsquetbol desde 2.25m de altura, con una velocidad inicial de -10i

+10j m/s. Cuando la pelota choca con la pared, la componente horizon-

tal de la velocidad de la pelota se invierte y la componente vertical no

cambia su direccin (pero si su magnitud). a) Hacer el esquema de la si-

tuacin. b) A que distancia de Lucho tocar el suelo la pelota? R: b)

12m detrs.

3.11. Un tren se mueve con rapidez constante de 54 km/h. Desde una ventanadel tren ubicada a 2 m del suelo, un cabrochico tira un objeto horizontal

y perpendicularmente a la direccin de movimiento del tren, con una ra-

pidez de 5 m/s. Calcular la posicin donde caer el objeto respecto al

punto de lanzamiento. R: 3.15i+9.45j+0k m.


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3.12. Se apunta un rifle horizontalmente a travs de su mira hacia el centro deun blanco grande que esta a 200 m. La velocidad inicial de la bala es de

500 m/s. a) En dnde golpea la bala en el blanco? b) Calcular el ngulo

de elevacin del can para dar en el centro del blanco. R: a) 0.8m de-

bajo de la altura del rifle, b) 0.23.

3.13. Un can dispara un proyectil con una rapidez inicial vo

inclinado en un

ngulo . Si el ngulo se cambia a , el alcance del proyectil aumentaen una distancia D. Demuestre que

( ) 222

senseng

vD o =

3.14. La distancia horizontal mxima a la que puede patear la pelota un arque-ro es 120 m. En un saque desde el arco, golpea la pelota con la misma

rapidez inicial con la que alcanza esa distancia mxima, pero formando

un ngulo de 25 con la horizontal. Calcular a que distancia del arco lle-

gar la pelota con un chute del arquero.

3.15. Una pulga puede saltar una altura vertical h. a) Cul es la distanciahorizontal mxima que puede recorrer? b) Cul es su permanencia en el

aire en ambos casos?

3.16. Un camin se mueve al norte con una velocidad constante de 10 m/s enun tramo de camino horizontal. Un cabrochico que pasea en la parte

posterior del camin desea lanzar una pelota mientras el camin se est

moviendo y atraparla despus de que el camin haya recorrido 20 m. a)

Despreciando la resistencia del aire, a qu ngulo de la vertical debera

ser lanzada la pelota? b) Cul debe ser la rapidez inicial de la pelota? c)

Cul es la forma de trayectoria de la pelota vista por el cabrochico? d)Una persona sobre la tierra observa que el muchacho lanza la pelota y la

atrapa. En este marco de referencia fijo del observador, determine la

forma general de la trayectoria de la pelota y la velocidad inicial de esta.

3.17. Un cabrochico tira una pelota al aire lo ms fuerte que puede y luegocorre como una liebre para poder atrapar la pelota. Si su rapidez mxima

en el lanzamiento de la pelota es 20 m/s y su mejor tiempo para recorrer

20 m es 3 s, calcular la altura de la pelota para que pueda tomarla.


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3.18. Una pelota de golf sale desde el piso en un ngulo y golpea a un rbola una altura H del suelo. Si el rbol se encuentra a una distancia horizon-

tal D del punto de lanzamiento, a) demuestre que tan= 2H/D. b) Cal-

cular la rapidez inicial de la pelota en trminos de D y H.

3.19.Una partcula comienza a girar desde el reposo hasta una rapidez angu-lar de 15 rad/s en 3 segundos. Calcular a) su aceleracin angular, b) el

nmero de vueltas en ese tiempo.

3.20. Una rueda de bicicleta de 30 cm de radio comienza a girar desde el re-poso con una aceleracin angular constante de 3 rad/s

2. Despus de 10

segundos calcular: a) su rapidez angular, b) el desplazamiento angular,

c) la rapidez tangencial de un punto del borde, d) su aceleracin total pa-

ra un punto del borde. R: a) 30 rad/s, b) 150 rad, c) 9 m/s, d) 270 m/s2

.

3.21. Busque la informacin necesaria para calcular la aceleracin centrpetaal nivel del mar de un punto sobre el Ecuador, en Concepcin, en 45 de

latitud sur y en el Polo Sur. R: 0.034 m/s2, 0.027 m/s

2, 0.024 m/s

2, 0.

3.22. La rbita de la Luna alrededor de la Tierra es aproximadamente circular,con un radio promedio de 3.84 x 10

8m. La Luna completa una revolu-

cin en torno a la Tierra y en torno a su eje en 27.3 das. Calcular a) larapidez orbital media de la Luna, b) la rapidez angular, c) aceleracin

centrpeta. R: a) 1023m/s, b) 2.7x10-6

rad/s, c) 2.7x10-3

m/s2.

3.23. Calcular la rapidez orbital media de la Tierra en torno al Sol y su rapi-dez angular en torno a su eje de rotacin. R: 29.8km/h, 7.27x10

-5rad/s.

3.24. A la partcula del extremo de un pndulo de largo un metrose la hacegirar de forma tal que su movimiento describe una circunferencia en un

plano horizontal. Cuando el pndulo se ha desviado 30 de la vertical, la

partcula completa una vuelta cada 3 segundos. Calcular a) su rapidez

angular b) su rapidez tangencial, c) su aceleracin centrpeta. R: a) 2.1

rad/s, b) 1.05 m/s, c) 2.2 m/s2.

3.25. Una centrfuga cuyo tambor tiene 50 cm de dimetro, comienza a girardesde el reposo hasta alcanzar una rapidez angular de 1000 rpm en 10 s.a) Calcular su aceleracin angular. b) Si despus de los 10 s gira con ra-


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pidez constante durante 5 minutos, calcular el nmero de vueltas que da

cada minuto. c) calcular la rapidez tangencial, aceleracin centrpeta y

tangencial en las paredes del tambor. d) Si despus de los 5 minutos tar-

da 20 s en detenerse, calcular su aceleracin angular. R: a)10.5rad/s

b)103, d)-5.2/s

2.

3.26. Un disco comienza a girar desde el reposo con aceleracin angular cons-tante hasta una rapidez angular de 12 rad/s en 3 s. Calcular: a) la acele

racin angular del disco, b) el ngulo que describe. R: a) 4rad/s2, b

18rad.

3.27. Un motor elctrico hace girar un disco a razn de 100 rev/min. Cuandose apaga el motor, su aceleracin angular es 2 rad/s

2. Calcular: a) e

tiempo que demora el disco en detenerse, b) el nmero de vueltas que

gira en ese tiempo. R: a) 5.2 s, b) 27.5 rad.

3.28. Un disco comienza a girar desde el reposo con aceleracin angular cons-tante de 5 rad/s

2por 8 s. Luego el disco se lleva al reposo con una acele-

racin angular constante en 10 revoluciones. Calcular: a) su aceleracin

angular, b) el tiempo que demora en detenerse. R: a) 12.7 rad/s2, b) s.

3.29. Un volante de 2 m de dimetro, comienza a girar desde el reposo conaceleracin angular constante de 4 rad/s2. En el instante inicial un puntoP del borde del volante forma un ngulo de 57.3 con la horizontal. Cal

cular para el instante 2 s: a) su rapidez angular, b) la rapidez lineal de P

c) la aceleracin lineal de P, d) la posicin de P. R: a) 8 rad/s, b) 8 m/s

d) 9 rad.

3.30. Un disco de 8 cm de radio, gira con una rapidez angular constante de1200 rev/min. Calcular: a) la rapidez angular del disco, b) la rapidez li

neal de un punto a 3 cm del disco, c) la aceleracin radial de un punto en

el borde del disco, d) la distancia total recorrida por un punto del borde

en 2 s. R: a) 126 rad/s b) 3.8 m/s, c) 1.26 km/s2, d) 20.1m.

3.31. La posicin de una partcula que se mueve en el plano xy vara con etiempo segn la ecuacin r = a cos( t)i + a sen( t)j, en donde ry ase miden en m, en s

-1y ten s. a) Demuestre que la trayectoria de la

partcula es una circunferencia que tiene a m de radio y su centro est enel origen. b) determine los vectores de velocidad y de aceleracin c


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Demuestre que el vector aceleracin siempre apunta hacia el origen

(opuesto a r) y tiene una magnitud de v2/r.

3.32. Superman (no el Vargas, el de verdad), que le anda echando el ojo aLuisa Lane, vuela hacia el noreste, donde se encuentra ella, con una ra-

pidez de 54 km/h respecto al aire. El viento sopla hacia el noroeste a 7.5

m/s respecto de tierra. a) Calcular la rapidez de Superman respecto de

tierra. b) Superman, que no aprob Fsica I, no se encuentra con Luisa

por qu? R: a) 60.3 km/h, b) porque se desva 26.6.

3.33. Un cndor (no el Rojas, sino uno de verdad) vuela hacia el este con unarapidez de 12 km/h respecto del aire, en presencia de un viento que so-

pla hacia el noreste (a 45) con una rapidez de 5 m/s. a) Calcular la rapi-

dez resultante del cndor. b) Qu distancia se desva cada minuto res-

pecto a la direccin este? R: a) 27.8km/h, b) 212m.

3.34. El piloto de un avin se orienta hacia el oeste en presencia de un vientoque sopla hacia el sur a 75 km/h. Si la rapidez del avin respecto al vien-

to es 500 km/h, a) Cul es su rapidez respecto a la tierra? b) en qu di-

reccin se desva el avin? c) en qu direccin debe dirigirse el avin

para ir hacia el oeste? d) En este caso cul ser su rapidez respecto a la

tierra? R: a) 506 km/h, b) 8.5, c) 8.6, d) 494.3 km/h.

3.35. El piloto de una avin observa que la brjula indica que va dirigindosehacia el oeste. La rapidez del avin respecto al aire es de 150 km/h. Si

existiera un viento de 30 km/h hacia el norte, calcule la velocidad del

avin respecto a la Tierra. R: 153km/h, 11.3NW.

3.36. Un pescador desea cruzar un ro de 1 km de ancho, el cual tiene una co-rriente de 5 km/h hacia el norte. El pescador est sobre el lado oeste. Su

bote se impulsa con una rapidez de 4 km/h respecto del agua. a) En qu

direccin deber apuntar para hacer el cruce en un tiempo mnimo?, b)

Cunto tiempo le tomar para cruzar?, c) Determine la velocidad del

bote con respecto a un observador estacionario en la Tierra, d) Encuen-

tre el desplazamiento final corriente abajo. R: a) este, b) 15min, c)

6.4km/h, 51.3 NE, d) 1.25 km.

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Movimiento en Dos Dimensiones Fm