no Ensino Fundamental - Volume 1 no Ensino Fundamental - Volume 1 CydaraCavedonRipoll ... intermediários do ensino fundamental (do 4o ao 7o ano) e ... (propriedade de densidade)

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INSTITUTO NACIONAL DE MATEMATICA PURA E APLICADA

FRACOESno Ensino Fundamental - Volume 1

Cydara Cavedon Ripoll

Fabio Simas

Humberto Bortolossi

Letıcia Rangel

Victor Giraldo

Wanderley Rezende

Wellerson Quintaneiro

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Projeto: LIVRO ABERTO DE MATEMATICAumlivroaberto.com

Tıtulo: Fracoes no Ensino Fundamental - Volume 1Ano: 2016Editora Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada (IMPA-OS)Apoio: Olimpıada Brasileira de Matematica das Escolas Publicas (OBMEP)

Coordenacao: Fabio Simas e Augusto Teixeira

Autores: Cydara Cavedon Ripoll, Fabio Luiz Borges Simas, Humberto Jose Bor-tolossi, Victor Augusto Giraldo, Wanderley Moura Rezende, Wellersonda Silva Quintaneiro

Colaboradores: Ana Paula Pereira (CAp UFF), Andreza Goncalves (estudante daUFF), Bruna Luiza Oliveira (estudante da UFF), Francisco Mattos(Colegio Pedro II), Helano Andrade (estudante da UNIRIO), JoaoCarlos Cataldo (CAp UERJ e Colegio Santo Ignacio), Luiz Felipe Lins(Secretaria de Educacao da Cidade do Rio de Janeiro), Michel Cam-brainha (UNIRIO), Rodrigo Ferreira (estudante da UNIRIO), TahyzPinto (estudante da UFF)

Ilustradores: Luiz Fernando Alves Macedo, Vitoria da Mota Souza, Eduardo Filipede Miranda Souto, Caio Felipe da Silva Evangelista, Gisela Alves deSouza, Mauricio de Azevedo Neto, Briza Aiki Matsumura, VinıciusMarcondes de Paula Silva, Wanessa Souza de Oliveira, Maurıcio Me-negatti Andrade, Eduardo Filipe de Miranda Souto, Livia Machado daSilveira Verly, Caio Felipe da Silva Evangelista, Lucas Hideo Maekawa,Lucas Oliveira Machado de Sousa, Kayky Zigart Carlos e Israel FialhoMagalhaes

Capa: Fabio Simas

Apos o dia 1o de setembro de 2026 esta obra passa a estar licenciada por CC-by-sa.Algumas figuras podem possuir licenca com mais direitos do que a vigente para todo o material.

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Introdução

Frações é certamente um dos tópicos que mais desafia o ensino e a aprendizagem namatemá�ca da educação básica. Justamente por isso, tanto se publicou sobre o assuntonas úl�mas décadas (para citar apenas algumas das referências mais u�lizadas: Ra�onalNumber Project, Ins�tute of Educa�on Science, 2010 [7], Van de Walle, 2009 [29] e Wu,2011 [31]). Este texto, organizado como uma proposta didá�ca, reúne as reflexões e asdiscussões dos autores sobre o tema, amparadas por essas publicações e pela análisede livros didá�cos de diversos países. A proposta aqui apresentada foi planejada para:

(i) ser aplicada diretamente em sala de aula, como material didá�co des�nado aos anosintermediários do ensino fundamental (do 4o ao 7o ano) e

(ii) amparar a formação e o desenvolvimento profissional do professor que ensina ma-temá�ca na educação básica.

O texto concentra-se na abordagem inicial de frações como objeto matemá�co, bus-cando explorar o assunto a par�r de a�vidades que visam à construção conceitual dotema e a conduzir os alunos a desenvolverem o raciocínio matemá�co amparados porreflexão e por discussão. Assim, as a�vidades visam a desafiar os alunos e a levá-losa estabelecer suas próprias conclusões sobre os assuntos tratados. Busca-se valorizara capacidade cogni�va dos alunos, respeitando uma organização crescente e ar�culadade dificuldade na organização das a�vidades. Espera-se com isso mudar a perspec�vado binômio quan�dade/qualidade. No lugar de uma quan�dade enorme de exercícios,

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são propostas poucas a�vidades que exigem maior reflexão e aprofundamento dos con-ceitos. Assim, são evitadas a�vidades de simples observação e repe�ção de modelose os tradicionais “exercícios de fixação”, que, pontuais, são apenas com o obje�vo dedesenvolver a fluência em procedimentos específicos (por exemplo, os que envolvem aequivalência entre frações).

Uma caracterís�ca par�cular deste material é o diálogo com o professor. No iníciode cada lição, há uma introdução dirigida especificamente ao professor, que apresentaos obje�vos da lição, uma discussão dos aspectos matemá�cos que serão tratados, asdificuldades esperadas e algumas observações sobre os passos cogni�vos envolvidos.Diferente dos livros didá�cos tradicionais, em que, para o professor, há pequenas ob-servações pontuais junto ao texto do aluno e um longo texto teórico anexo ao final dolivro, nesta proposta a “conversa” com o professor é permanente. Em cada a�vidadesão realizadas discussões sobre os obje�vos a serem alcançados, recomendações e su-gestões metodológicas para sua execução e, quando per�nente, uma discussão sobrealgum desdobramento do assunto tratado.

Entende-se que, nesta etapa da escolaridade, considerando o co�diano próprio doaluno, o conceito de fração aparece ligado a noções informais traduzidas por expressõescomo metade, terço, quartos, décimos e centésimos, por exemplo. Assim, nas primei-ras duas lições, buscou-se u�lizar a linguagem verbal e os conhecimentos anterioresdos estudantes sobre situações em que aquelas expressões são u�lizadas para conduziras primeiras abordagens, visando à introdução de um conhecimento mais organizadoe formal sobre o assunto. Apenas posteriormente, são introduzidas a linguagem e asimbologia próprias da matemáica.

As lições 1 e 2 introduzem os conceitos elementares e a linguagem de frações apar�r de situações concretas e de modelos con�nuos. Na lição 1, as frações emergemde situações concretas amparadas pela linguagem verbal. Uma vez estabelecida a uni-dade, a expressão “fração unitária” nomeia cada uma das partes da divisão da unidadeem partes iguais. Nas a�vidades dessas lições a unidade está fortemente vinculada a umobjeto concreto. Assim, por exemplo, a fração de uma torta, não é ainda tratada com aabstração própria do conceito de número, mas como uma fa�a da torta em uma equi-par�ção. Toma-se bastante cuidado com o papel da determinação da unidade e coma necessidade de uma “equipar�ção” para a iden�ficação de uma fração. A notaçãosimbólica de frações e as frações não unitárias, incusive as maiores do que a unidade,surgem apenas na Lição 2. As frações com numerador diferente de 1 são apresentadasa par�r da justaposição de frações unitárias com mesmo denominador ou simplesmente

ii Introdução

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contando-se essas frações. Para isso, tem-se a representação pictórica como um apoioimportante. Nessas lições, as a�vidades são quase majoritariamente para iden�ficar,reconhecer, analisar e jus�ficar.

Na Lição 3 é exigida maior abstração dos alunos. Retoma-se a representação de nú-meros na reta numérica, enfa�zando, no contexto das frações, a associação do segmentounitário à unidade. Os modelos visuais con�nuos e a justaposição de partes correspon-dentes às frações unitárias são a base da proposta desenvolvida. A representação dasfrações na reta numérica é usada para amparar a abordagem da comparação de fraçõescom um mesmo numerador e com um mesmo denominador. Além disso, são propostasa�vidades que tratam a comparação de frações a par�r de uma referência.

A Lição 4 trata da equivalência de frações tendo como obje�vo a sua função na com-paração de duas frações quaisquer. O assunto é abordado u�lizando-se representaçõesequivalentes em modelos de área retangulares, em modelos de área circulares e na retanumérica. A inclusão de modelos diferentes é proposital pois, com isso, o aluno tema oportunidade de perceber as mesmas propriedades em contextos diferentes. Finali-zando a lição, são propostas a�vidades que conduzem à exploração da propriedade dasfrações que garante que, dadas duas frações diferentes, é sempre possível determinaruma terceira fração que está entre elas (propriedade de densidade).

Adição e subtração de frações são o tema da Lição 5. A abordagem dessas operaçõesserá a par�r de problemas e fundamentada na equivalência de frações, que permitedeterminar subdivisões comuns da unidade para expressar as frações envolvidas noscálculos. Os significados e os contextos que caracterizam as operações de adição ede subtração envolvendo frações são semelhantes àqueles que compõem a abordagemdessas operações com números naturais, o que promove uma con�nuidade conceitual no desenvolvimento desse assunto.

Este volume marca o início de um trabalho em desenvolvimento, que será ampliado ecomplementado por novos volumes e novas edições. Para o volume 2, de mesmo tema,está prevista a complementação da abordagem das operações com frações, trazendo amul�plicação e a divisão envolvendo frações, a abordagem de frações em situações emodelos discretos e o uso de frações em contextos de razão e de proporção, além dasporcentagens.

Teremos prazer em considerar suas sugestões para este livro. Corrija diretamente noarquivo https://github.com/livro-aberto/fracoes_livro_piloto/tree/master/tex.Para comentários gerais use o site ou a wiki da versão digital (umlivroaberto.com). Paracontactar a organização do projeto escreva para [email protected].

Introdução iii

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LIÇÃO 1 - Para o professor

Esta lição tem por obje�vo introduzir frações unitárias a par�r de modelos visuais con�nuos, tais como“discos”, “retângulos”, “hexágonos” e “segmentos”, fazendo uso de expressões verbais como, por exemplo, “me-tade de...”, “um terço de...”, “a terça parte de...”, “um quarto de...”, para indicar essas frações. A expressão “fraçãounitária” nomeia cada uma das partes da divisão de uma unidade em partes iguais.

As a�vidades visam à equipar�ção de uma unidade. Equipar�ção entendida como par�ção em partesiguais, sem que as partes tenham necessariamente a mesma forma. Assim, por exemplo, na equipar�ção deum retângulo está implícito que as partes têm a mesma área, e não necessariamente a mesma forma nem omesmo perímetro. O obje�vo é levar o aluno a reconhecer diferentes modos de dividir e recompor a unidade.No senso comum, as expressões repar�r, par�r e dividir são sinônimas e não pressupõem a equipar�ção. Noentanto, é importante lembrar que, no caso da operação de divisão, espera-se que o resultado registre umaequipar�ção. No futuro, o estudante deverá entender um terço como o resultado da divisão de um por três.Este é o caso da operação, em que a palavra “divisão” abrevia “divisão em partes iguais”.

Espera-se que, ao final da lição, os alunos saibam iden�ficar e representar frações unitárias a par�r demodelos visuais diversos, fazendo o uso adequado de expressões verbais para nomeá-las. No entanto, oprofessor não deve apresentar o termo “fração unitária” ao estudante, uma vez que é desnecessário paraa aprendizagem pretendida. Fazê-lo pode, inclusive, comprometer o que se pretende com a lição. Não sepretende apresentar aos alunos a linguagem simbólica de frações, que será tratada nos capítulos seguintes.

De maneira geral, as a�vidades envolvem a abordagem das frações unitárias com obje�vos diversos. Porexemplo, diferenciar a divisão da unidade em partes “quaisquer” da divisão da unidade em partes “iguais”(equipar�ção); reconhecer a necessidade de uma expressão verbal que iden�fique uma das partes iguais emuma equipar�ção da unidade; perceber que a unidade pode ser subdividida em uma quan�dade igual de partessem que essa divisão represente uma equipar�ção; reconhecer que, em uma equipar�ção, as partes podem nãoter a mesma forma; dis�nguir uma equipar�ção específica dentre par�ções diversas ou reconhecer a quartaparte como a metade da metade.

A par�cipação do aluno, criando representações próprias e fazendo uso da linguagem verbal para explicaro seu raciocínio diante da realização das a�vidades, será fundamental na condução desta seção.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS DA LIÇÃO 1:

O aluno deve ser capaz de:⋆ Diferenciar uma par�ção qualquer de uma equipar�ção (par�ção em partes iguais) de uma mesma unidade.

⋆ Iden�ficar, a par�r de representações visuais diversas, frações unitárias de denominador variando de 2 a 10.

⋆ U�lizar a linguagem verbal que caracteriza as frações unitárias de denominador variando de 2 a 10. (Isto é,“metade de”, “um meio”, “um terço”, “terça parte de”, ..., “um décimo”, “décima parte de”).

⋆ Comparar frações unitárias em exemplos concretos simples (por exemplo, reconhecer que um terço de umapizza é maior do que um quarto da mesma pizza).

⋆ Recompor a unidade a par�r de uma fração unitária dada em modelos con�nuos.

⋆ Relacionar uma fração da unidade à quan�dade necessária dessas partes para compor a unidade. Assim,por exemplo, é necessário reunir cinco quintas partes para recompor a unidade.

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A�vidade 1

Obje�vos específicos: Levar o aluno a

⋆ Diferenciar a par�ção da unidade em partes“quaisquer” da par�ção da unidade em partes“iguais”. A par�ção em partes iguais será cha-mada equipar�ção.

⋆ Reconhecer a necessidade de uma expressãoverbal que iden�fique uma das partes iguais emuma equipar�ção da unidade.

⋆ Diferenciar “a par�ção da unidade em três par-tes quaisquer” da “par�ção da unidade em trêspartes iguais”.

⋆ Compreender as expressões “um terço de” e“terça parte de” como formas de iden�ficar umadas partes da equipar�ção da unidade em trêspartes.

Recomendações e sugestões para o desenvolvi-mento da a�vidade:

⋆ Recomenda-se que a a�vidade seja desenvol-vida em grupos de 3 a 5 alunos.

⋆ Busque conduzir a discussão nos grupos demodo que os estudantes percebam que, paraque os amigos recebam a mesma quan�dade dechocolate, a par�ção proposta para a barra dechocolate deve ser em “partes iguais”, no sen�dode ganharem todos a mesma quan�dade de cho-colate, não necessariamente pedaços de mesmaforma.

⋆ Na discussão, procure destacar que a referênciaà “par�ção em três partes iguais” se dá (igual-mente) a par�r das expressões “um terço” dabarra de chocolate ou “a terça parte” da barrade chocolate.

⋆ O item c) admite diversas soluções, algumas es-tão apresentadas como resposta. No entanto,algumas dessas respostas podem não aparecernaturalmente em sala de aula. Avalie a possibi-lidade de apresentar e explorar algumas dessassoluções (ou outras que queira) em sala de aula.

Por exemplo, apresente uma dessas divisões aosalunos e peça-os que avaliem a equipar�ção, ex-plicando sua decisão.

⋆ O item d), provavelmente, pode não ser respon-dido corretamente pelos alunos. Se for o caso,as expressões “um terço de” e “a terça parte de”devem ser apresentadas.

⋆ Fique atento às falas dos alunos. Observe queos alunos podem representar e verbalizar as res-postas de diferentes modos e que não há umaresposta única para a a�vidade. Por exemplo, al-guns alunos podem precisar de mais tempo doque outros para usar a expressão “um terço” nolugar de “par�ção em três partes iguais” ou “divi-são em três partes iguais”. Ou ainda, observaremque há diferentes representações para a equipar-�ção.

⋆ Esta a�vidade pode ser adaptada para alunoscom deficiência de visão. Para isso, sugere-seconfeccionar os modelos da barra de chocolateinteira e repar�da, que estão disponíveis para re-produção no final do livro, em três materiais dife-rentes. Por exemplo, papel comum e papéis comtexturas diferentes, tecido ou material emborra-chado.

Resposta da A�vidade 1

a) Este item não possui resposta correta, apenasrespostas coerentes com a explicação do aluno.Por exemplo, um estudante pode dizer que sim eexplicar que o amigo mais velho deve ficar comuma parte maior porque precisa de mais energia.Mas a resposta esperada é que a divisão não pa-rece justa porque as quantidades de chocolatesão diferentes. Discuta com os alunos para queentendam a divisão correspondente à respostaesperada.

b) Não, eles receberão quantidades diferentesde chocolate, embora cada um receba um únicopedaço do chocolate.


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Lição 1

Começando a falar sobre frações

EXPLORANDO O ASSUNTO

A�vidade 1

Três amigos vão repar�r uma barra de chocolate. Um deles sugere a seguinte divisão:

a) Você concorda com essa divisão? Explique.

b) Com essa divisão, os três amigos receberão a mesma quan�dade de chocolate?

c) Use a imagem a seguir para mostrar uma divisão da barra de chocolate que permitaque os 3 amigos recebam quan�dades iguais de chocolate.

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c) Respostas possíveis:

d) Cada parte é um terço da barra ou a terça parteda barra.

A�vidade 2


⋆ Perceber que cada unidade (no caso, uma pizza)pode ser subdividida em um mesmo número departes sem que cada divisão represente umaequipar�ção.

⋆ Dis�nguir uma equipar�ção dentre par�ções di-versas.

⋆ Diferenciar “a divisão da unidade em quatro par-tes quaisquer” da “divisão da unidade em quatropartes iguais”.

⋆ Compreender as expressões “um quarto de” e“quarta parte de” como forma de iden�ficar umadas partes da equipar�ção em 4 partes.



⋆ As diversas soluções apresentadas pelos diferen-tes grupos devem ser discu�das com a turma in-teira.

⋆ É possível que os alunos u�lizem expressões va-riadas para nomear as partes de pizzas em cadadivisão. Por exemplo, “a maior quarta parte”, “amenor quarta parte”, “as quartas partes iguais en-tre si”, “a menor parte”, “a maior parte”, dentre ou-tras. É importante que a discussão conduza osalunos ao entendimento de que apenas as partesda equipar�ção podem ser chamadas de “quar-tos” da pizza, as demais são simplesmente fa�asou pedaços, por exemplo.

⋆ Os alunos devem reconhecer que apenas umadas repar�ções propostas sugere a equipar�ção,respondendo assim a úl�ma questão propostanesta a�vidade.

⋆ Essa a�vidade pode ser adaptada para alunoscom deficiência visual. Para isso, sugere-se con-feccionar os modelos das três pizzas repar�das,que estão disponíveis para reprodução no finaldo livro, em três materiais diferentes. Por exem-plo, papel comum e papéis com texturas diferen-tes, tecido ou material emborrachado.


a) Sim. Cada grupo repartiu sua pizza em quatrofatias.

b) Não, pois algumas fatias têm quantidades depizza diferentes das outras.

c) Apenas no grupo 1 as 4 crianças receberam amesma quantidade de pizza. Cada fatia da pizzado grupo 1 é um quarto da pizza ou a quarta parteda pizza. Diferentemente das demais pizzas.

A�vidade 3


⋆ Abordar a equipar�ção em um modelo linear.

⋆ Reconhecer a quarta parte como a metade dametade.


⋆ Recomenda-se que esta a�vidade seja desenvol-vida em grupos de quatro alunos.

⋆ Cada grupo deve receber um pedaço de bar-bante de, aproximadamente, 1m e quatro enfei-tes (todos iguais).

⋆ Os quatro enfeites precisam ser confeccionadosantes da realização da tarefa. Sugerem-se estre-las, cujos modelos estão disponíveis para repro-dução no final do livro. No entanto, segundo


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d) Considerando a divisão da barra de chocolate em 3 partes iguais, como você no-mearia a quan�dade de chocolate que cada amigo receberia?

A�vidade 2

Três pizzas inteiras, de mesmo tamanho, foram repar�das entre as crianças de umaturma. Para isso, a turma foi dividida em três grupos com quatro crianças cada. Vejacomo cada grupo repar�u a sua pizza.

a) Cada um dos três grupos repar�u a sua pizza na mesma quan�dade de fa�as queos outros grupos?

b) Dessa maneira, todas as crianças da turma receberam a mesma quan�dade depizza?

c) Em algum dos grupos, as 4 crianças receberam a mesma quan�dade de pizza? Sesim, em qual? Considerando a pizza inteira, como você nomearia cada uma dasfa�as de pizza desse grupo?

EXPLORANDO O ASSUNTO 3


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a avaliação do professor, os enfeites podem seroutros, desde que sejam os 4 congruentes.

⋆ Como sugestão, se possível, solicitar aos alunosque confeccionem os enfeites, por exemplo, as-sociando esta a�vidade com geometria, com aabordagem de grandezas e medidas, com a disci-plina de artes ou envolvendo culturas artesanaispopulares.

⋆ A equipar�ção do barbante não deve ser ob�daa par�r da medida do barbante, mas por sucessi-vas dobras do barbante sobre ele mesmo, comoilustrado na resposta da a�vidade. Tal discussãotambém será ú�l na abordagem de frações equi-valentes na Lição 4.

⋆ Amanipulação e a dobra do barbante devem sus-tentar a discussão para a iden�ficação da “me-tade da metade” com a “quarta parte” do bar-bante. Nesse caso, a iden�ficação se dará pelasobreposição das partes.


Uma maneira de se cortar o barbante é do-brar ao meio e depois dobrar novamente ao meio,obtendo quatro partes iguais, como ilustrado nafigura a seguir.

1a dobra

2a dobra

Sobre o Organizando as Ideias

Nesta etapa, espera-se que os alunos compreen-dam as frações como forma de expressar quan�da-des. O obje�vo é que percebam seu papel para ex-pressar quan�dades em situações de equipar�çãoda unidade. Assim, as frações podem ser u�lizadasno dia a dia para iden�ficar quan�dades do mesmo

modo que os números naturais, já conhecidos dosalunos. Por exemplo, como nas expressões: “doisovos”, “duas xícaras de farinha”, “um terço de xícarade cacau” e “meio litro de leite”.

Obje�va-se a expressão verbal e não a repre-sentação simbólica. Espera-se, assim, que os alu-nos apropriem-se das expressões verbais que iden-�ficam as frações unitárias (um meio, um terço, umquarto, ... , um nono e um décimo) antes de se-rem apresentados formalmente à simbologia mate-má�ca (que será obje�vo da próxima lição). A re-ferência às frações unitárias com a expressão “um”antes da iden�ficação da parte, como, por exem-plo, em “um terço” e em “um sé�mo” é uma de-cisão pedagógica. Claro que é possível se refe-rir a essas frações simplesmente por “terço” e “sé-�mo”, respec�vamente. No entanto, nas próximasseções, pretende-se que as frações não unitárias,como “dois terços” e “nove sé�mos”, por exemplo,sejam entendidas a par�r da justaposição das fra-ções unitárias correspondentes, o que é natural-mente amparado pela contagem. Nas expressõesverbais rela�vas às frações unitárias, o “um” antesda iden�ficação da parte está associado à conta-gem. Dessa forma, a compreensão das frações “umterço” e “dois terços” ou das frações “um sé�mo”e “nove sé�mos”, por exemplo, seguem a mesmaconstrução lógica.


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A�vidade 3

Alice quer enfeitar a sala de aula e pretende prender os enfeites u�lizando pedaçosde barbante. Para isso, quer cortar o barbante em pedaços iguais, para que os enfei-tes fiquem todos na mesma altura. Ajude Alice a cortar o barbante (você receberá umbarbante do seu professor).

ORGANIZANDO AS IDEIAS

Nas a�vidades anteriores, as quan�dades registradas exigiram a par�ção de uma uni-dade. Por exemplo, para obter um terço de uma barra de chocolate foi necessário par�ra barra de chocolate. Já para obter um quarto de pizza, foi necessário par�r a pizza.Outros exemplos aparecem no dia a dia: “comprei meio metro de tecido” ou “gastei umterço da minha borracha”.

A barra de chocolate, a pizza e o pedaço de barbante foram par�dos em partes comquan�dades iguais. Em cada um dos casos, o que foi repar�do é chamado unidade.Cada uma das partes em que essas unidades foram repar�das igualmente é uma fraçãoda unidade. Assim, por exemplo, um quarto de uma pizza é uma fração da pizza e a pizzaé unidade. Se a unidade for o pedaço de barbante, um quarto do pedaço de barbanteserá uma fração do pedaço de barbante.

4 LIÇÃO 1 - Começando a falar sobre frações


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Notas de Aula


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O nome dado à fração da unidade depende da quan�dade de partes em que a uni-dade é dividida.

Ao dividir uma unidade qualquer em duas partes iguais, ou ao meio, cada uma daspartes é chamada de um meio ou a metade da unidade.

Por exemplo, se uma barra de chocolate é repar�da igualmente entre dois amigos,a quan�dade que caberá a cada um dos amigos é um meio da barra de chocolate (oumetade da barra). Nesse exemplo, a unidade é a barra de chocolate.

Ao dividir uma unidade em três partes iguais, cada uma das partes é chamada de umterço ou a terça parte da unidade.

Por exemplo, se, em uma receita, é necessário acrescentar um terço de um litro desuco de laranja, isso significa que, para colocar a quan�dade correta de suco na receita,é preciso repar�r o litro de suco em três partes iguais e usar apenas uma dessas partes,que é um terço do litro de suco. Nesse caso, a unidade é um litro de suco de laranja.Imagine que no copo caiba 1 litro.

ORGANIZANDO AS IDEIAS 5


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Notas de Aula


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Ao dividir uma unidade em quatro partes iguais, cada uma das partes é chamada deum quarto ou quarta parte da unidade.

Por exemplo, a parte colorida da figura é um quarto da figura. Neste caso, a figura éa unidade.

Da mesma forma, ao dividir uma unidade em cinco partes iguais, cada uma das partes échamada de um quinto ou quinta parte da unidade.

Por exemplo, na época do império um quinto de todo ouro pesado nas Casas de Fun-dição no Brasil era pago em impostos à Coroa Portuguesa. Desta forma, a quan�dadede ouro pago em impostos à Coroa Portuguesa era igual a um quinto ou a quinta partedo ouro pesado nas Casas de Fundição no Brasil.



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A�vidade 4

Obje�vos específicos: Levar o aluno a:

⋆ Reconhecer que, em uma equipar�ção, as partespodem não ter a mesma forma.

⋆ Iden�ficar a equivalência entre as partes de umaequipar�ção a par�r de sobreposição ou da com-paração pelo reconhecimento da associação auma mesma fração unitária (no caso, 1

4 ).

⋆ Reconhecer a quarta parte como a metade dametade.


⋆ Recomenda-se que esta a�vidade seja desenvol-vida em grupos de 3 a 5 alunos. Cada grupodeve receber as imagens dos oito retângulos,disponíveis para reprodução no final do livro, ecolori-las, cada um com uma cor diferente dasdemais.

⋆ Em cada grupo, os alunos devem decidir qual (ouquais) das divisões propostas para os retânguloscorrespondem a uma par�ção em quartos. É im-portante observar que todos os retângulos estãodivididos em quartos.

⋆ Conduza a discussão demodo a levar os alunos areconhecer que, em uma equipar�ção, as partesnão precisam ter a mesma forma.

⋆ Se necessário, o professor pode associar cada re-tângulo a um objeto concreto (por exemplo, umabarra de chocolate ou a um pedaço de bolo). Noentanto, nesta a�vidade, espera-se que os alu-nos consigam lidar com a figura de um retângulocomo representa�va de uma unidade genérica.

⋆ Recomenda-se que os alunos recortem as par-tes de cada um dos retângulos para realizar acomparação por sobreposição. No entanto, essaestratégia não será suficiente para todos os 8casos. Em alguns casos, a comparação se darápela iden�ficação da fração unitária correspon-dente a cada parte. Nesses casos, o aluno deve

reconhecer que a quarta parte é equivalente àmetade da metade. Por exemplo, como no casoseguir.

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Metade doretângulomaior

⇒

Cada uma das 4partes é metadeda metade ( 14 )

⋆ Segundo a avaliação do professor, a a�vidadepode ser realizada em duas etapas. Em um pri-meiro momento, os alunos recebem as primeirasquatro das oito imagens e realizam a a�vidadecom essas imagens - cuja comparação se dá ape-nas pela sobreposição. Em seguida, recebem asoutras quatro, para concluir a a�vidade. Para asúl�mas 4 figuras, será necessário reconhecer aquarta parte como a metade da metade. É im-portante que o professor, ao final das duas eta-pas, avalie as escolhas como um todo.


a) Todos os retângulos estão divididos em quar-tos.

b) Dois desenhos possíveis são:


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MÃO NAMASSA

A�vidade 4

a) Quais dos oito retângulos a seguir foram repar�dos em quartos?

b) Desenhe um retângulo e faça uma par�ção desse retângulo em quatro partes quenão sejam todas quartos.

REFLETINDO

Quando se diz que uma unidade é repartida emmeios, terços, quartos, quintos,etc., a unidade foi repartida em 2, 3, 4, 5, etc., partes iguais. Assim comono dia a dia, neste livro o termo partes iguais quer dizer partes com a mesmaquan�dade, mesmo que a unidade não esteja dividida em partes de mesmaforma. Na atividade anterior, se os retângulos representassem, por exemplo,bolos, as quatro partes em que foram divididos os retângulos representariamquantidades iguais de bolo. Em alguns retângulos as partes não têm a mesmaforma. Os dois quadrinhos a seguir mostram exemplos curiosos em que aspartes iguais podem ser surpreendentes.

MÃO NA MASSA 7


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Notas de Aula


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A�vidade 5

Em cinco das figuras a seguir, a parte em vermelho é um terço da figura. Iden�fiqueessas figuras.

a) b)



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A�vidade 5


⋆ Iden�ficar umamesma fração unitária (no caso, aterça parte) em representações diversas, ou seja,em representações de unidades não necessaria-mente congruentes.


⋆ Recomenda-se que esta a�vidade seja desenvol-vida em grupos de 3 a 5 alunos.

⋆ Durante a discussão, os alunos devem ser es�-mulados a explicar as suas escolhas. A discus-são sobre os mo�vos da iden�ficação, ou não,de cada uma das representações à terça parte daunidade correspondente será fundamental paraa�ngir o obje�vo da a�vidade.

⋆ Os alunos devem reconhecer que, independenteda unidade considerada, em uma equipar�çãoem 3 partes, cada uma das partes é um terço(ou a terça parte) da unidade.

⋆ Aproveite as próprias palavras e os argumentosdos alunos para conduzi-los às conclusões espe-radas.

⋆ Fique atento aos alunos que selecionarem as fi-guras que simplesmente possuem alguma asso-ciação com o número 3, não correspondendo aterços. Por exemplo, um aluno que associe a Fi-gura i) a terços pode ainda não ter compreen-dido a necessidade da equipar�ção para a iden-�ficação de um terço. Já o aluno que associaFigura j) a terços pode estar simplesmente con-tando as partes em vermelho, sem que tenha re-conhecido que a figura deveria estar dividida em3 partes iguais e não em 5.


A parte em vermelho representa um terço dafigura nos itens c), d), e), f) e h).

A�vidade 6


⋆ Recompor a unidade a par�r de uma fração uni-tária dada em modelos con�nuos.

⋆ Relacionar uma fração da unidade à quan�dadenecessária dessas partes para compor a unidade.Assim, por exemplo, é necessário reunir cincoquintas partes para recompor o todo.



⋆ É importante ter em mente que existem váriassoluções para cada item. Por exemplo, o pri-meiro item pode ser corretamente respondido

por: e .

⋆ Avalie a possibilidade de discu�r com os estudan-tes respostas que sejam reuniões de partes nãojustapostas, por exemplo, no primeiro item pode-

se ter também como resposta.

⋆ Es�mule os alunos a reconhecer (e a fazer) maisdo que uma representação para a unidade emcada item.

⋆ Es�mule os alunos a, a par�r da iden�ficação dafração unitária, determinar a quan�dade de par-tes necessárias para recompor a unidade.


Algumas possibilidades de respostas paracada linha da tabela do enunciado estão nas res-pectivas linhas abaixo.


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c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

A�vidade 6

Observe a tabela a seguir. Em cada linha, a primeira coluna, mais à esquerda, exibe figu-ras que são frações de uma unidade. A coluna do meio indica essas frações. Completea tabela, fazendo na terceira coluna de cada linha, um desenho da unidade correspon-dente.

MÃO NA MASSA 9


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✐ ✐

A�vidade 7


⋆ Representar uma fração unitária a par�r de umaunidade dada.

⋆ Reconhecer (e obter) um quarto como a metadeda metade e um oitavo como a metade de umquarto.

⋆ Comparar as frações unitárias metade, umquarto e um oitavo de um mesmo quadrado.


⋆ Esta é uma a�vidade que o aluno pode fazer in-dividualmente.

⋆ Não se espera que, nesta a�vidade, os alunosusem a medida para fazer a equipar�ção de ma-neira mais precisa. O obje�vo é fazer a equipar�-ção livremente e de forma coerente. Assim, porexemplo, podem ser aceitas como respostas:

e

Já as representações a seguir sugerem que os alu-nos precisam revisar os conceitos exigidos para asolução da a�vidade:

⋆ A representação da unidade se dá de forma ge-nérica por um quadrado.

⋆ Espera-se que os alunos reconheçam que paraobter um quarto da unidade basta tomar a me-tade da metade. E que, para determinar um oi-tavo pode dividir um quarto ao meio.

⋆ Recomende que os alunos usem dobradura paraiden�ficar as frações pedidas. Assim, por exem-plo, a fração 1

4 pode ser ob�da por duas dobrasdo papel.

⋆ Discuta com os estudantes que quanto maior onúmero de partes iguais em que se par�ciona oquadrado, menor fica cada uma das partes.

⋆ Procure apresentar e discu�r com a turma maisdo que uma solução para cada item.

⋆ As diferentes soluções apresentadas pelos alu-nos podem enriquecer a discussão. A com-paração entre, por exemplo, a metade do qua-drado proveniente da dobradura pela diagonal eo quarto do quadrado proveniente da dobraduraa par�r de linhas paralelas aos lados (como umsinal de “+”) pode não ser tão natural. Dificul-dade semelhante pode ser observada na compa-ração entre esse mesmo quarto do quadrado e ooitavo do quadrado proveniente de uma sequên-cia de dobraduras paralelas a um dos lados, de-terminando “faixas paralelas”. Nesses casos, paraexecutar a comparação, é necessário que os alu-nos reconheçam partes de formatos diferentes


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✐ ✐

Parte da unidade Fração da unidade Unidade

metade

um terço

um quarto

metade

um terço

um quarto

metade

um terço

um quarto

metade

um terço

um quarto

A�vidade 7

a) Pinte metade do quadrado a seguir.



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que correspondem a uma mesma fração do qua-drado como iguais em quan�dade. Assim, acomparação entre a metade do quadrado, ob-�da pela dobradura na diagonal, e o quarto doquadrado, ob�do pela dobraduta “em sinal de+”,pode ser amparada pelo reconhecimento de quea metade em questão é igual em quan�dade àmetade do quadrado ob�da por uma única do-bra paralela a um dos lados, que é o dobro doquarto do quadrado.


Algumas soluções possíveis, convencionais eoutras menos convencionais são:

a) Metade:

b) Um quarto:

c) Um oitavo:

d) Dentre as opções apresentadas, a maior fra-ção do quadrado é metade.

A�vidade 8


⋆ Representar uma fração unitária (no caso, ummeio ou metade) a par�r de uma unidade dada.

⋆ Estabelecer representações diferentes para amesma fração unitária e para uma mesma uni-dade.


⋆ Essa é uma a�vidade que o aluno pode fazer in-dividualmente.

⋆ Como na a�vidade anterior, não se espera que,nesta a�vidade, o aluno use a medida para fazera equipar�ção de maneira mais precisa. O obje-�vo é que o aluno faça a equipar�ção livrementee de forma coerente.

⋆ Incen�ve os alunos a usar dobradura para deci-dir sobre as diferentes formas de iden�ficar me-tades na unidade apresentada.

Observe que a representação da unidade se dáde forma genérica, ainda em modelo con�nuo, poruma figura não tradicional como retângulos e cír-culos, que é determinada pela justaposição de doishexágonos regulares.



Algumas das respostas possíveis para esteproblema são:

A�vidade 9


⋆ Reconhecer a metade de uma unidade pela reu-nião de partes menores e em par�ções diversas.

⋆ Estabelecer representações diferentes para amesma fração unitária para uma mesma unidade.


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b) Pinte um quarto do quadrado a seguir.

c) Pinte um oitavo do quadrado a seguir.

d) Observando os quadrados pintados nos itens anteriores, qual é a maior das fraçõesdo quadrado: metade, quarto ou oitavo?

A�vidade 8

a) Pinte metade da figura.

b) Pinte metade da figura de forma diferente da do item anterior.

c) Pinte a metade da figura de forma diferente das dos dois itens anteriores.

MÃO NA MASSA 11


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✐ ✐



⋆ Esta a�vidade pretende levar o aluno a perceberque a metade de uma unidade pode ser consi-derada e iden�ficada mesmo sem que se tenhauma divisão em duas partes iguais.

⋆ Como nas a�vidades anteriores, não se esperaque o aluno use a medida para confirmar a me-tade da unidade. O obje�vo é que o aluno iden-�fique a representação da metade (ou não) porsobreposição e justaposição das partes, decom-pondo e recompondo a figura.

⋆ Cada aluno deve receber as imagens das figuras,disponíveis para reprodução no final do livro paraque possa manipular como achar melhor e con-duzir a sua decisão.

⋆ Incen�ve os alunos a argumentar, jus�ficando asua decisão. Para isso, podem, por exemplo, seapoiar em dobraduras ou em recortes das partesda figura.



As figuras que correspondem à metade daunidade são as de números 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9,11 e 12.

A�vidade 10

Obje�vos específicos: Levar o aluno a:⋆ Dis�nguir frações unitárias a par�r de represen-tações em modelos de área circular.

⋆ Comparar frações unitárias a par�r de represen-tações em modelos de área circular.


⋆ Recomenda-se que esta a�vidade seja desenvol-vida em grupos de 3 a 5 alunos. No entanto,cada aluno deve ter o seu próprio material (Cír-culos de Frações) para realizar a a�vidade.

⋆ Durante a discussão, os alunos devem ser es�-mulados a explicar as suas escolhas. A discus-são sobre os mo�vos da iden�ficação, ou não,de cada uma das representações às frações daunidade correspondentes será fundamental paraa�ngir o obje�vo da a�vidade.

⋆ Esta a�vidade é planejada para ser desenvolvidaa par�r de material concreto baseado em mode-los de área circular. Mais especificamente comum material conhecido como “Círculos de Fra-ções”. Para aplicá-la, é necessário reproduziresse material, que está disponível nas páginaspara reprodução.

⋆ Sendo um material concreto, os círculos de fra-ções têm o papel de auxiliar na visualização da re-presentação das frações, mais especificamente,das frações unitárias.

⋆ Na versão u�lizada nesta a�vidade, o círculo cor-responde à unidade, ou seja, ao 1 e os seto-res circulares, diferenciados por cores, corres-pondem às frações unitárias um meio, um terço,um quarto, um sexto, um sé�mo, um oitavo, umnono e um décimo.

⋆ Os Círculos de Frações também podem ser u�-lizados para trabalhar com as frações unitárias,bem como para abordar outros conceitos e as-suntos como, por exemplo, frações em geral,comparação de frações ou as operações com fra-ções (adição e subtração).

⋆ Refira-se ao círculo inteiro (na cor preta) comocírculo ou unidade, e não como todo. Refira-se acada setor circular como fração do círculo, partedo círculo ou, simplesmente, peça da cor x.

⋆ Antes de solicitar aos alunos que realizem a a�-vidade, explore o material ressaltando especial-mente o fato de que, reunidas, as peças de uma


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A�vidade 9

Iden�fique as figuras em que a parte pintada de vermelho é a metade da figura.

Figura 1 Figura 2 Figura 3




A�vidade 10

Usando os Círculos de Frações que você receberá do seu professor (há encarte parareprodução no final do livro), responda:



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mesma cor determinam um círculo congruenteao preto.

⋆ Ainda antes de solicitar aos alunos que reali-zem a a�vidade, explore também o material comperguntas dirigidas a toda a turma como as se-guintes: “Quantas peças azuis cobrem o círculopreto?” ou “Quantas peças verdes cobrem o cír-culo preto?”.

⋆ Faça uso do material concreto para ilustrar e ex-plicar a resposta de cada item e incen�ve os seusalunos a fazerem o mesmo.

⋆ Espera-se que a explicação para as respostas,nos oito primeiros itens desta questão, seja apar�r da contagem dos setores circulares cor-respondentes às frações envolvidas. Assim, porexemplo, a resposta do item b) pode ser jus�fi-cada pelo fato de que são necessários 4 partesde círculo na cor vermelha para compor um cír-culo preto.

⋆ Já para os cinco itens que tratam da compara-ção, espera-se que os alunos iden�fiquem os se-tores que representam as frações envolvidas eprocedam a comparação pela sobreposição daspeças correspondentes. Assim, por exemplo, aresposta do item l) pode ser jus�ficada pela so-breposição das peças das cores verde e amarelo.

⋆ Aproveite a correção desses úl�mos itens paraexplorar, a par�r dos Círculos de Frações, a rela-ção entre a quan�dade de peças de cada cor eo tamanho das peças, ou seja, a relação inversaentre a quan�dade de partes em que círculo (uni-dade) está dividido e o tamanho de cada parte.


a) Uma peça da cor AZUL é igual a um terço docírculo preto.

b) Uma peça da cor VERMELHA é igual a umquarto do círculo preto.

c) Uma peça da cor AMARELA é igual a um sé-timo do círculo preto.

d) Uma peça da cor LARANJA é igual a um nonodo círculo preto.

e) Uma peça da cor roxa é igual a UM SEXTOdo círculo preto.

f) Uma peça da cor cinza é igual a UM OITAVOdo círculo preto.

g) Uma peça da cor branca é igual a UM DÉ-CIMO do círculo preto.

h) Uma peça da cor rosa é igual à METADE docírculo preto.

i) Um terço do círculo preto é maior do que umsétimo do círculo preto.

j) Um nono do círculo preto é menor do que umquarto do círculo preto.

k) Um sétimo do círculo preto é menor quinto docírculo preto.

l) Um quarto do círculo preto é maior do que umoitavo do círculo preto.

m) Um sexto do círculo preto é maior do que umsétimo do círculo preto


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a) Qual é a cor da peça que é igual a um terço do círculo preto?

b) Qual é a cor da peça que é igual a um quarto do círculo preto?

c) Qual é a cor da peça que é igual a um sé�mo do círculo preto?

d) Qual é a cor da peça que é igual a um nono do círculo preto?

e) Que fração do círculo preto é igual a uma peça de cor roxa?

f) Que fração do círculo preto é igual a uma peça de cor cinza?

g) Que fração do círculo preto é igual a uma peça de cor branca?

h) Que fração do círculo preto é igual a uma peça de cor rosa?

i) Qual fração do círculo preto é maior, um terço ou um sé�mo? Explique a sua resposta.

j) Qual fração do círculo preto é menor, um nono ou um quarto? Explique a sua res-posta.

k) Qual fração do círculo preto é menor, um quinto ou um sé�mo? Explique a suaresposta.

l) Qual fração do círculo preto é maior, um oitavo ou um quarto? Explique a sua res-posta.

m) Qual fração do círculo preto émaior, um sexto ou um sé�mo? Explique a sua resposta.

MÃO NA MASSA 13


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A�vidade 11


⋆ Conhecer e compreender as expressões corres-pondentes as frações unitárias com denomina-dores de 5 a 10.

⋆ Comparar frações da unidade através da repre-sentação visual de frações do círculo.

⋆ Reconhecer a relação inversa entre o número departes e o tamanho de cada parte.


⋆ Esta a�vidade pode ser resolvida individual-mente, mas é essencial que seja discu�da comtoda a turma.

⋆ É provável que nem todos os alunos conheçamou intuam as expressões correspondentes às fra-ções propostas. Nesse caso, cabe ao professorapresentá-las e diferenciá-las.

⋆ Aproveite esta a�vidade para revisar e discu�ro vocabulário que é obje�vo nesta seção: uni-dade, metade, um meio, um terço, terça parte, umquarto, quarta parte, um quinto, quinta parte, umsexto, sexta parte, um sé�mo, sé�ma parte, um oi-tavo, oitava parte, um nono, nona parte, um dé-cimo e décima parte .


a) A correspondência adequada é:

I) A esta afirmação corresponde a figura G).

II) A esta afirmação corresponde a figura D).

III) A esta afirmação corresponde a figura I).

IV) A esta afirmação corresponde a figura B).

V) A esta afirmação corresponde a figura A).

VI) A esta afirmação corresponde a figura F).

b) As frações um sétimo, um oitavo, um nono eum décimo do círculo são menores que um sextodo círculo. Qualquer uma delas está correta.

c) As frações um meio, um terço, um quarto, umquinto, um sexto, um sétimo e um oitavo do cír-culo são maiores que um nono do círculo. Qual-quer uma delas está correta.

d) As frações um sétimo e um oitavo do círculosão menores que um sexto e maiores que umnono do círculo.


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A�vidade 11

Nas figuras a seguir, um mesmo círculo azul aparece diferentemente dividido em regiõesiguais e colorido em vermelho.

a) Complete as sentenças a seguir iden�ficando os círculos que as tornam verdadei-ras.

I) A parte do círculo colorida em vermelho na figura é um quinto docírculo.

II) A parte do círculo colorida em vermelho na figura é a sexta parte docírculo.

III) A parte do círculo colorida em vermelho na figura é um sé�mo docírculo.

IV) A parte do círculo colorida em vermelho na figura é um oitavo docírculo.

V) A parte do círculo colorida em vermelho na figura é a nona parte docírculo.

VI) A parte do círculo colorida em vermelho na figura é um décimo docírculo.

A) B) C) D) E)

F) G) H) I) J)

b) Dentre as frações do círculo destacadas em vermelho, iden�fique uma que sejamenor do que um sexto do círculo.



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A�vidade 12


⋆ Dis�nguir frações unitárias a par�r de represen-tações em modelos diversos, baseados em equi-par�ção ou não.

⋆ Comparar frações unitárias a par�r de represen-tações em modelos diversos, baseados em equi-par�ção ou não.

⋆ Estabelecer a comparação entre as frações “ummeio”, “um quarto” e “um décimo”.

⋆ Reconhecer e diferenciar a representação dasfrações “um meio”, “um quarto” e “um décimo”em modelos diversos, baseados em equipar�çãoou não.

⋆ Estabelecer a comparação entre as frações “ummeio”, “um quarto” e “um décimo”.



⋆ Esta a�vidade pretende levar o aluno a perceberque a metade de uma unidade pode ser consi-derada e iden�ficada mesmo sem que se tenhauma divisão em duas partes iguais.

⋆ Como nas a�vidades anteriores, não se esperaque os alunos usem a medida para confirmar ametade. O obje�vo é que iden�fiquem a repre-sentação da metade (ou não) por sobreposiçãoe justaposição dessas partes, decompondo e re-compondo a figura.

⋆ Cada aluno deve receber as imagens das figuras,disponíveis para reprodução no final do livro paraque possa manipular como achar melhor e con-duzir a sua decisão.

⋆ Incen�ve os alunos a argumentar, jus�ficando asua decisão. Para isso, podem, por exemplo, seapoiar em dobraduras ou no recorte das partesda figura.

⋆ Procure apresentar e discu�r com a turma maisdo que uma solução para cada item


(A) um meio, (B) um décimo, (C) um quarto,(D) um quarto, (E) um quarto, (F) um meio,(G) um quarto, (H) um décimo, (I) um quarto,(J) um décimo, (L) um quarto, (M) um meio


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c) Dentre as frações do círculo destacadas em vermelho, iden�fique uma que sejamaior do que um nono do círculo.

d) Iden�fique uma fração do círculo que seja menor do que um sexto e maior do queum nono do círculo.

A�vidade 12

Em cada uma das imagens, a parte em vermelho é uma fração da figura. Essas fraçõespodem ser “um meio”, “um quarto” ou “um décimo” da figura. Associe cada imagem àfração correspondente.

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) l) m)

MÃO NA MASSA 15


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Nesta seção, serão estudadas as frações com numeradores diferentes de 1, tanto as próprias (caso emque o numerador é menor do que ou igual ao denominador) como as impróprias (caso em que o numerador émaior do que o denominador). Também serão abordadas a notação simbólica de frações e a comparação entrefrações de mesmo denominador.

As frações com numerador diferente de 1 são apresentadas a par�r da justaposição de frações unitáriascom mesmo denominador ou simplesmente contando-se essas frações. Para isso, tem-se a representaçãopictórica como um apoio importante.

Por exemplo, na a�vidade 1, as imagens da barra de chocolate amparam a compreensão da fração 23 como

a adição por justaposição de duas partes correspondentes à terça parte (ou à fração 13 ) de uma barra de

chocolate.Nesse sen�do, nas primeiras a�vidades, há um esforço deliberado para que o estudante faça uso da lin-

guagem de frações apresentada na Lição 1 para expressar frações não unitárias. Por exemplo, na a�vidade 2,sabendo que uma das três fa�as iguais em que foi repar�da uma torta é um terço da torta, espera-se que oaluno use a linguagem “dois terços” ou “dois um terços” da torta para se referir às outras duas fa�as. Dessaforma, “dois terços” são ob�dos pela justaposição de duas partes correspondentes a “um terço”. O obje�voé que esse processo se estenda para a compreensão das demais frações não unitárias. Assim, por exemplo,as frações “quatro quintos” e “seis quintos” são entendidas como “quatro um quintos” e “seis um quintos”,respec�vamente.

Um cuidado especial recomendado ao professor é com as frações impróprias, introduzidas logo nas primei-ras a�vidades ainda sem notação simbólica. Não é indicado atrasar muito a introdução deste �po de fraçãoporque o estudante pode fixar-se na ideia de que não há fração maior do que a unidade (por exemplo, a fração43 pode não fazer sen�do para o estudante porque, para ele, não faz sen�do dividir uma torta em 3 pedaçose tomar 4). No entanto, decidiu-se omi�r do estudante as terminologias “fração própria” e “fração imprópria”por se acreditar que esta linguagem não só é desnecessária para ele como também pode desviar a atençãodos temas que realmente importam.

Apesar de esta lição introduzir a linguagem simbólica de frações,o estudante talvez ainda precise de umunidade concreta explícita para ter um significado para a fração a

b : por exemplo, “ab de uma pizza” ou “ab de umabarra de chocolate”. Apenas na próxima lição, a

b será tratado como número, requerendo do aluno a abstraçãoque o conceito de número exige.


O aluno deve ser capaz de:⋆ Reconhecer frações não unitárias (próprias e impróprias) como a justaposição de partes correspondentes àsfrações unitárias.

⋆ U�lizar as linguagens verbal e simbólica de frações para se referir a uma fração ab .

⋆ Reconhecer e nomear os termos de uma fração.

⋆ Comparar frações de mesmo denominador.

⋆ Reconhecer que uma mesma quan�dade pode ser expressa por frações diferentes, dependendo da unidadeescolhida.


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Lição 2

Multiplicando a fração daunidade

16


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A�vidade 1


⋆ Estender o uso de frações para expressar quan-�dades que correspondam a mais do que umafração unitária, a par�r da justaposição de duasou mais partes correspondentes às frações uni-tárias de mesmo denominador.

⋆ Reconhecer e usar frações para expressar quan-�dades que correspondam a mais do que umafração unitária, em situação de equipar�ção demais do que uma unidade (no caso, duas).

⋆ Reconhecer a necessidade de apresentar umaexpressão verbal que iden�fique a quan�dadecorrespondente à justaposição de duas ou maispartes correspondentes às frações unitárias demesmo denominador.

⋆ Compreender e usar a expressão “n terçosde”como forma de registrar as n partes da equi-par�ção da unidade em três partes (no caso, doisterços).

⋆ Iden�ficar a fração “n terços de” em uma situ-ação de equipar�ção de mais do que uma uni-dade.



⋆ A escolha de iniciar o assunto com um problemade divisão par��va, no lugar do contexto parte-todo, se deve a dois mo�vos: (1) mantém-sea questão mo�vadora de equipar�ção iniciadana lição anterior (agora com múl�plas cópiasda unidade) e (2) na divisão par��va, fraçõescujo numerador é maior do que o denomina-dor (frações impróprias) fazem sen�do e apare-cem naturalmente, algo que pode não ocorrer nocontexto parte-todo (não parece natural nomearuma parte “maior” do que o todo, mas é possí-vel uma quan�dade proveniente de frações sermaior do que a unidade).


⋆ É possível que os alunos u�lizem expressões va-riadas para nomear as partes dos chocolates emcada divisão e para a quan�dade de chocolateque cada irmão recebeu. Por exemplo, “doisdos seis pedaços”, “dois pedaços de um terço dechocolate”, dentre outras. É importante que adiscussão conduza os alunos ao uso de terços:“dois terços”, “quatro terços”, “seis terços”, etc.Observa-se que o uso de “sextos” para nomearas partes não é esperada para as perguntas queenvolvem fração “de uma barra” e muito prova-velmente indicam uma confusão do aluno em re-lação ao reconhecimento da unidade. Verifique.

⋆ Nesta a�vidade, é importante que os alunos pos-sam ter cópias de figuras ilustra�vas das barrasde chocolate para dividir e poder avaliar e decidiras suas respostas. Faça cópias das páginas parareprodução.

Classificações:

⋆ Heid et al.: Conceito: iden�ficar e descrever

⋆ Nicely, Jr.: Nível 1: reconhecer

⋆ UERJ: Observar: iden�ficar e reconhecer


a) Um terço.

b) Sim, pois a divisão foi justa no sentido decada irmã ter recebido a mesma quanti-dade de chocolate.

c) Sim, pois cada irmã recebeu dois pedaçosque equivalem, cada um, a um terço deuma barra de chocolate.

d) Dois terços de uma barra.

e) Três terços de uma barra, ou seja, umabarra inteira de chocolate.


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A�vidade 1

O pai de Ana, Beatriz e Clara trouxe duas barras de chocolate para serem repar�dasentre elas.

Ana propôs que cada barra fosse dividida em três partes iguais e que cada irmã ficassecom duas dessas partes.

Divisão sugerida por Ana

Quan�dade dechocolate recebida

por Ana


por Beatriz


por Clara

a) Na divisão de cada uma das barras de chocolate em três partes iguais, cada parte éque fração de uma barra de chocolate?

b) Você concorda com a divisão que Ana sugeriu? Explique.

c) Com essa divisão, as três irmãs receberiam a mesma quan�dade de chocolate?

d) Na divisão proposta por Ana, como você nomearia, usando fração de uma barra dechocolate, a quan�dade de chocolate que cada irmã receberia?



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f) Quatro terços de uma barra, ou seja, umabarra inteira e um terço de chocolate.

A�vidade 2


⋆ Estender o uso de frações para expressar quan-�dades que correspondam a mais do que umafração unitária a par�r da justaposição de duasou mais frações unitárias de mesmo denomina-dor.

⋆ Reconhecer a necessidade de apresentar umaexpressão verbal que iden�fique a quan�dadecorrespondente à justaposição de duas ou maispartes correspondentes às frações unitárias demesmo denominador.

⋆ Reconhecer e usar frações para expressar quan-�dades que correspondam a mais do que umafração unitária em situação de equipar�ção demais do que uma unidade (no caso, três).

⋆ Compreender e usar a expressão “n quintos de”como uma forma de iden�ficar a quan�dadeequivalente a n partes da equipar�ção da uni-dade em quintos, incluindo os casos em que n émaior do que cinco (frações impróprias).

⋆ Analisar uma situação de comparação de fraçõesde mesmo denominador.




⋆ Em par�cular, no Item a), não se espera, nem serecomenda, que a representação feita pelos alu-nos seja amparada por medida. O obje�vo é quefaçam a equipar�ção livremente e de forma coe-rente. Assim, por exemplo, pode ser aceita comoresposta a solução indicada na figura a seguir.

Amarildo

Beto

Carlos

Davi

Edison

Amarildo

Beto

Carlos

Davi

Edison

Amarildo

Beto

Carlos

Davi

Edison

⋆ Em suas respostas, é possível que os alunos u�li-zem expressões variadas para nomear as partesdas tortas em cada divisão e para as quan�da-des de torta que cada irmão recebe. Por exem-plo, “três dos quinze pedaços”, “três pedaços deum quinto de torta”, dentre outras. É impor-tante que a discussão conduza os alunos ao usode quintos: “três quintos”, “seis quintos”, “quinzequintos”, etc.

⋆ Espera-se que, no final da a�vidade, o alunotome conhecimento e reconheça o signifi-cado das expressões dois quintos e três quin-tos, mesmo que não o faça espontaneamente(usando, por exemplo, especificações como “doispedaços” ou “duas fa�as”) e seja necessária a in-tervenção do professor. O professor deve fazere incen�var o uso da terminologia de fraçõesque se quer estabelecer nesta lição.

⋆ Nesta a�vidade, é importante que os alunos pos-sam ter cópias de figuras ilustra�vas da tortapara dividir e poder avaliar e decidir suas respos-tas. Faça cópias das páginas para reprodução.

⋆ Nos Itens c) e d), não basta uma resposta “Sim”ou “Não”. É importante es�mular os seus alunosa darem uma jus�fica�va.

Classificações:

⋆ Heid et al.: Conceito: iden�ficar, descrever


⋆ UERJ: Observar: iden�ficar, reconhecerItens c) e d)

⋆ Heid et al.: Raciocínio: jus�ficar

⋆ Nicely, Jr.: Nível 6: jus�ficar

⋆ UERJ: Avaliar: julgar


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Ana não quer o chocolate e decidiu dar a quan�dade de chocolate que recebeu nadivisão das barras para as suas irmãs.

e) Se Ana desse metade da quan�dade de chocolate que recebeu para cada uma desuas irmãs, que quan�dade de chocolate Beatriz e Clara passariam a ter? Como vocênomearia, usando frações, essas quan�dades?

f) E se Ana desse toda a quan�dade de chocolate que recebeu para Beatriz, que quan-�dade de chocolate Beatriz passaria a ter? Como você nomearia, usando frações,essa quan�dade?

A�vidade 2

Um grupo de cinco amigos (Amarildo, Beto, Carlos, Davi e Edilson) encomendou trêstortas salgadas para uma comemoração.

a) Como dividir as três tortas de modo que cada amigo receba a mesma quan�dadede torta? Faça um desenho no seu caderno mostrando sua proposta de divisão.Indique qual parte é de qual amigo!

b) Considerando-se uma torta como unidade, como você nomearia, usando frações,a quan�dade de torta que:

I) Amarildo recebeu?

II) Amarildo e Beto receberam juntos?

III) Amarildo, Beto e Carlos receberam juntos?

IV) Amarildo, Beto, Carlos e Davi receberam juntos?

V) Amarildo, Beto, Carlos, Davi e Edilson receberam juntos?

c) A quan�dade de torta que cada amigo recebeu émenor do que um quinto de torta?E do que dois quintos de torta? Explique sua resposta.

d) A quan�dade de torta que cada amigo recebeu é maior do que três quintos detorta? E do que quatro quintos de torta? Explique sua resposta.

18 LIÇÃO 2 - Mul�plicando a fração da unidade


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a) Uma resposta possível (entre várias): divi-dir cada uma das três tortas em 5 partesiguais e, então, com as 15 partes disponí-veis, distribuir 3 partes para cada amigo,como mostra a figura a seguir

Am

arild

o

Bet

o

Car

los

Dav

i

Edi

son

Am

arild

o

Bet

o

Car

los

Dav

i

Edi

son

Am

arild

o

Bet

o

Car

los

Dav

i

Edi

son

b) I) Três quintos.

II) Seis quintos (ou uma torta inteira e umquinto de torta).

III) Nove quintos.

IV) Doze quintos (ou duas tortas inteiras edois quintos de torta).

V) Quinze quintos (ou três tortas inteiras).

c) A quantidade de torta que cada amigo rece-beu não pode ser menor do que um quinto detorta pois, se isto acontecesse, a quantidadetotal de torta recebida pelos cinco amigos se-ria menor do que cinco quintos de torta, istoé, seria menor do que uma torta inteira, o quenão é o caso. Um argumento análogo mostraque a quantidade de torta que cada amigo re-cebeu não pode ser menor do que dois quin-tos de torta.

d) A quantidade de torta que cada amigo rece-beu não pode ser maior do que três quintosde torta pois, se isto acontecesse, a quanti-dade total de torta recebida pelos cinco ami-gos seria maior do que quinze quintos detorta, isto é, seria maior do que três tortas in-teiras, o que não é o caso. Um argumentoanálogo mostra que a quantidade de tortaque cada amigo recebeu não pode ser maiordo que quatro quintos de torta.

A�vidade 3


⋆ Estender o uso de frações para expressar quan-�dades que correspondam a mais do que umafração unitária, a par�r da justaposição de duasou mais partes correspondentes às frações uni-tárias de mesmo denominador.

⋆ Reconhecer e usar frações para expressar quan-�dades que correspondam a mais do que umafração unitária em situações que exijam a par�-ção de mais do que uma unidade (no caso, oito).

⋆ Compreender e usar a expressão “n oitavos de”como forma de iden�ficar a quan�dade equiva-lente a n partes da equipar�ção da unidade emoito partes, incluindo os casos em que n é maiordo que oito (frações impróprias).

⋆ Reconhecer que uma mesma quan�dade podeser expressa por frações equivalentes de umamesma unidade (por exemplo, “meia torta” e“quatro oitavos de torta” representam a mesmaquan�dade de torta).




⋆ É importante que a discussão conduza os alunosao uso de oitavos: “quatro oitavos”, “dez oitavos”e “uma torta e dois oitavos”.

⋆ No entanto, cabe ressaltar que não se obje�va ouso da notação de fração mista para representar,por exemplo, “uma torta e dois oitavos”.

⋆ As respostas esperadas para o Item c) podemsurgir na resolução do Item b). Caso isso acon-teça, recomenda-se que as frações corretas cor-respondentes a 4 fa�as de torta ( 12 de torta, 2

4 detorta, 3

6 de torta, etc.) sejam reconhecidas comotal, mas que, conforme solicitado pelo enunci-ado, a resposta deve ser dada em termos de oi-tavos.


✐

✐ ✐

A�vidade 3

Para a sobremesa do almoço de domingo, papai passou em uma confeitaria que vendetortas divididas igualmente em 8 fa�as, como na figura abaixo.

a) Que fração de uma torta é uma fa�a? Explique.

b) Domingo papai comprou 4 fa�as, quantos oitavos de uma torta havia para a so-bremesa?

c) Na pergunta anterior, apresente outra fração que represente a quan�dade de tortaque papai comprou. Explique sua resposta.

d) Hoje papai comprou 10 fa�as de torta. Como podemos representar essa quan-�dade de torta em termos de frações de uma torta? Lembre-se que oito fa�asformam uma torta inteira.

A�vidade 4

Complete as afirmações com uma das frações: “dois meios”, “dois terços”, “dois quintos”,“três quartos”, “oito sextos” e “nove meios”, para que sejam verdadeiras.

a) A parte pintada de vermelho em é de .



✐

✐ ✐

⋆ No Item c), é importante es�mular o aluno a daruma explicação para sua resposta: “por que vocêpensou em 1

2 de torta?”, “Por que você pensouem 3

6 de torta?” Etc.

Classificações:

⋆ Heid et al.: Conceito: iden�ficar, descrever


⋆ UERJ: Observar: iden�ficar, reconhecer


a) Cada fatia é um oitavo de torta, pois cadatorta está dividida em oito partes iguais.

b) Havia para a sobremesa quatro oitavos detorta.

c) Meia torta, pois quatro fatias de torta têm amesma quantidade de torta que meia torta.

a) Algumas respostas possíveis: dez oitavosde torta; uma torta inteira e dois oitavos detorta; uma torta inteira e um quarto de torta.

A�vidade 4


⋆ Iden�ficar frações do �po “n meios”, “n terços”,..., “n décimos” em diferentes modelos visuais defrações em situações onde há uma indicação ex-plícita da unidade.

⋆ Compreender frações do �po “n meios”, “n ter-ços”, ..., “n décimos” como forma de iden�ficara quan�dade equivalente a “n” cópias da fraçãounitária “ 1

m ” (incluindo os casos em que n ≥ m)em situações onde há uma indicação explícita daunidade.



⋆ Observe que, enquanto que nas a�vidades ante-riores cópias múl�plas da unidade já estavam na-turalmente disponíveis (as duas barras de choco-late na A�vidade 1, as três tortas salgadas na A�-vidade 2, as várias tortas divididas em oito partesna confeitaria da A�vidade 3), nesta a�vidade,o aluno deve iden�ficar frações a par�r de umaúnica cópia da unidade, sem qualquer subdivisãoregistrada. Por exemplo, no item d), o aluno deveregistrar nove meios de uma estrelinha, sem asubdivisão explicitada. Assim, a a�vidade ofe-rece uma oportunidade para reforçar a compre-ensão de frações em um contexto diferente da-quele em que a parte correspondente à fraçãoé iden�ficada e totalmente inserida em uma uni-dade, frequentemente já subdividida. Esse �pode representação, muito associada ao significadoparte/todo, pode limitar a compreensão de fra-ções impróprias.

⋆ Nesta a�vidade, espera-se que o aluno iden�fi-que uma equipar�ção adequada da unidade quedefina a fração unitária 1

m da unidade para com-por a parte colorida e que, então, tome a quan�-dade n correta desta fração unitária, mesmo nocaso em que n > m.

Classificações:

⋆ Heid et al.: Conceito: iden�ficar


⋆ UERJ: Observar: iden�ficar, nomear


a) dois terços.

b) dois meios.


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✐ ✐

b) A parte pintada de vermelho em é de .

c) A parte pintada de vermelho em é de .

d) A parte pintada de vermelho em é de .

e) A parte pintada de vermelho em é de .


Se uma torta está dividida em três partes iguais, a torta fica separada em três terços.Assim, como visto na historinha do início da lição, tanto faz escrever: “1

3da torta” ou

“um terço da torta” para se referir à fa�a destacada na figura.

13da torta

Duas fa�as são “dois terços da torta”, o que pode ser expresso simplesmente por “23

da torta”. Deste modo, “três terços da torta” é uma torta inteira.

23da torta 3

3da torta

Também pode-se considerar quatro terços, cinco terços ou seis terços da torta, bastajuntar novos terços à torta inteira.

43da torta = 1 torta e 1

3da torta



✐

✐ ✐

c) dois quintos.

d) nove meios.

e) oito sextos.

Sobre o Organizando as ideias

Nesta etapa, espera-se que os alunos compreendam as frações ab como adição por justaposição de a frações

1b da unidade. Observe que esse entendimento é construído a par�r de modelos con�nuos e amparado porsituações concretas. Assim, como explicado na introdução desta seção, por exemplo, “dois terços” de umaunidade dada são ob�dos pela justaposição de duas partes correspondentes a “um terço” da mesma unidade.

Esse entendimento terá reflexos na forma como são lidas as frações ab . Não se espera, nem se recomenda,

que seja sugerida aos alunos a leitura de ab como “a sobre b” nem como “a dividido por b”. Nesta etapa, espera-se

que os alunos leiam essas frações, por exemplo, como “dois terços” ou “dois um terços” da unidade. As outrasformas de leitura serão tratadas em seções posteriores.

Nesse contexto, é importante também discu�r com os alunos as frações que representam números naturais.Por exemplo, na a�vidade 2, a fração 3

3 da torta é uma torta inteira e a fração 63 da torta são duas tortas.

Por fim, observa-se que a notação de fração pode não parecer natural para os alunos, porque é um símbolocomposto por dois números de significados diferentes, um sobre o outro. Isso contraria a escrita usual dosnúmeros naturais. Alguns povos an�gos �veram representações diferentes para estes números. Contudo, éimportante lembrar que hoje essa é a notaçãomundialmente aceita, devendo, portanto, ser bem compreendida.


✐

✐ ✐

53da torta = 1 torta e 2

3da torta

63da torta = 2 tortas

Se uma torta é repar�da em três partes iguais, cada fa�a é um terço da torta - ou,simplesmente, 1

3da torta. Juntando essas fa�as, é possível se ter dois terços (2

3) e três

terços (33) da torta. Com mais do que uma torta repar�da em três partes iguais, pode-se

obter quatro terços (43), cinco terços (5

3), seis terços (6

3) etc de torta. Na representação

simbólica, as frações que registram essas quan�dades têm o número 3 “abaixo” do traçode fração, e, por isso, são denominadas terços. O número que informa a parte da unidadeque “dá nome” à fração é chamado de denominador da fração. Assim, nas frações 1

3, 23,

33, 43e 5

3, o 3 é o denominador, iden�ficando “terços”.

Já o número que aparece “acima” do traço de fração informa quantos terços estãosendo considerados. Esse número é chamado de numerador da fração. Por exemplo, nafração 1

3o numerador é 1 e na fração 4

3o numerador é 4.

Essa mesma forma de nomear vale para outras frações, mesmo que o denominadorseja diferente de 3:Em 2

5, por exemplo, o numerador é 2 e o denominador é 5. Lê-se dois quintos.

Em 108, por exemplo, o numerador é 10 e o denominador é 8. Lê-se dez oitavos.

Como você pôde observar, a nomeação de uma fração depende fortemente do deno-minador da fração. Para ler a fração deve-se ler o número do numerador seguido donome que iden�fica a equipar�ção da unidade, e que está indicado no denominador,nessa ordem. Veja:

1

3→ um terço;

2

3→ dois terços;

5

3→ cinco terços;

1

8→ um oitavo;

3

8→ três oitavos;

7

8→ sete oitavos.



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✐ ✐

Notas de Aula


✐

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Anote agora os nomes de algumas outras frações:

1

2→ um meio;

1

3→ um terço;

1

4→ um quarto;

1

5→ um quinto;

1

6→ um sexto;

1

7→ um sé�mo;

1

8→ um oitavo;

1

9→ um nono;

1

10→ um décimo.

Para a fração 111, fala-se um onze avos. Da mesma forma, são nomeadas frações cujo

denominador é maior do que 11. Por exemplo:

1

12→ um doze avos;

1

13→ um treze avos;

5

13→ cinco treze avos.

Curioso para saber sobre o significado da palavra avos? Pergunte ao seu professor.O importante é lembrar que, para denominadores maiores 11, acrescenta-se a expressão“avos” ao final da leitura da fração.

Contudo, para frações cujo denominador é uma potência de 10, usa-se outra formarde ler:

1

100→ um centésimo;

13

100→ treze centésimos;

33

1000→ trinta e três milésimos.

Pronto! Agora você já é capaz de ler diversos �pos de frações.

MÃO NAMASSA

A�vidade 5

Uma pizza gigante foi dividida em doze fa�as iguais. Pedro comeu quatro fa�as, Isabellacinco fa�as, Bernardo duas fa�as e Manuela apenas uma fa�a.



✐

✐ ✐

A�vidade 5


⋆ Comparar diversas maneiras de se representaruma fração (por extenso, simbolicamente e gra-ficamente).

⋆ Discu�r aspectos dessas representações.



⋆ É possível que os alunos u�lizem frações equi-valentes como resposta para um mesmo item.Por exemplo, as frações 4

12 ,26 e 1

3descrevemcorretamente a quan�dade de pizza consumidapor Pedro. Nestes casos, dê oportunidade paraque cada aluno explique como chegou à sua res-posta pois, procedendo desta maneira, mesmode forma pontual, os alunos perceberão que umamesma quan�dade pode ser descrita por fraçõescom nomes diferentes, o que vai mo�var o as-sunto “frações equivalentes” que será tratado naLição 4.

⋆ Esta a�vidade procura mostrar uma das qualida-des da notação simbólica matemá�ca: expres-sar um conceito com economia de escrita. Elapermite encapsular detalhes, simplificar procedi-mentos, abstrair e generalizar conceitos. Assim,é muito importante fazer com que seus alunosse familiarizem com a notação simbólica mate-má�ca para frações: ela será fundamental naslições sobre operações com frações, por exem-plo.

Classificações:

⋆ Heid et al.: Produto: gerar

⋆ Nicely, Jr.: Nível 5: converter (simbolizar)

⋆ UERJ: Interpretar: discriminar


Pedro Isabella Bernardo Manuela

quatro

doze

avos

cinco

doze

avos

dois

doze

avos

um

doze

avos412

512

212

112

a) A que usa a notação simbólica matemática.

b) As respostas podem variar de pessoa parapessoa. No entanto, a justificativa deve sercoerente com a resposta. Discuta com aturma as diferentes respostas.

A�vidade 6

Obje�vo específico: Levar o aluno a

⋆ Comparar frações com relação a uma fração dereferência (no caso, a fração 1

2 ) usando modeloscon�nuos (de área).



⋆ Incen�ve seus alunos a darem jus�fica�vas parasuas respostas, mesmo que informais.

Classificações:

⋆ Heid et al.: Conceito: iden�ficar

⋆ Nicely, Jr.: Nível 3: comparar

⋆ UERJ: Observar: iden�ficar e reconhecer; Orde-nar


a) A parte pintada é igual a 12 da figura.

b) A parte pintada é igual a 410 e é menor do

que 12 da figura.


✐

✐ ✐

Pedro Isabella Bernardo Manuela

Pinte a fração de pizzaconsumida por cadapessoa

Escreva, por extenso, afração de pizza consu-mida por cada pessoaEscreva, usandonotação simbólica ma-temá�ca, a fração depizza consumida porcada pessoa

a) Na sua opinião, qual representação de fração “gasta menos lápis” para ser escrita:usando notação simbólica matemá�ca, escrevendo por extenso ou pintando?

b) Na sua opinião, qual a representação que mais rapidamente ajuda a decidir quemcomeu mais e quem comeu menos pizza?

A�vidade 6

Para cada figura a seguir, indique a fração da figura que está pintada de vermelho. Estafração é maior, menor ou exatamente igual a 1

2da figura?

a) b) c)

A�vidade 7

Um grupo de amigos está dividindo duas pizzas circulares do mesmo tamanho. A pri-meira pizza foi cortada em 4 fa�as de mesmo tamanho. A segunda pizza foi dividida em8 fa�as iguais.

MÃO NA MASSA 23


✐

✐ ✐

c) A parte pintada é igual a 610 e é maior do

que 12 da figura.

A�vidade 7


⋆ Comparar frações unitárias a par�r de represen-tações usando modelos circulares.

⋆ Mais especificamente, comparar um quarto e umoitavo.



⋆ Em par�cular, incen�ve os alunos a argumentar,jus�ficando a sua resposta.

⋆ Conduza a discussão de modo a conseguirem re-conhecer a relação inversa entre denominador(número de partes) e o tamanho de cada parte:quanto maior o denominador, menor a fração.

Classificações::

⋆ Heid et al.: Conceito: gerar


⋆ UERJ: Observar: Observar: iden�ficar e reco-nhecer; Ordenar


a) 14 .

b) 18 .

c) Uma fatia da primeira pizza é maior doque uma fatia da segunda pizza: precisa-mente, o dobro da quantidade. Isto acon-tece porque são necessárias duas fatias dasegunda pizza para ter-se a mesma quan-tidade de pizza que uma fatia da primeirapizza, como mostra o desenho a seguir.

A�vidade 8

Obje�vos específicos: Levar o aluno a :

⋆ Reconhecer que uma mesma quan�dade podeser expressa por frações diferentes dependendoda unidade escolhida.

⋆ U�lizar linguagem simbólica para se referir a umafração a

b .



⋆ As diversas soluções apresentadas pelos diferen-tes grupos devem ser discu�das com a turma in-teira. É possível que os alunos u�lizem fraçõesequivalentes como resposta para um mesmoitem. Por exemplo, no item f), as frações 3

6

e 12 são respostas corretas. Nesses casos, dê

a oportunidade para que cada aluno expliquecomo chegou a sua resposta. Dessa maneira,mesmo que de forma pontual, os alunos perce-berão que uma mesma quan�dade pode ser des-crita por frações com nomes diferentes, o quepode prepará-los para o assunto de frações equi-valentes que será tratado na Lição 4.

⋆ No final da a�vidade, é importante enfa�zar paraos alunos a propriedade matemá�ca que esta a�-vidade quer destacar, ou seja, que uma mesmaquan�dade pode ser descrita por frações dife-rentes com unidades diferentes. Observe paraeles que, no contexto “frações de”, é fundamen-tal saber a que o “de” se refere, isto é, qual é aunidade que está sendo considerada.

Classificações:

⋆ Heid et al.: Conceito: iden�ficar; Produto: gerar


✐

✐ ✐

a) Uma fa�a da primeira pizza é que fração dessa pizza? Responda usando notaçãosimbólica matemá�ca.

b) Uma fa�a da segunda pizza é que fração dessa pizza? Responda usando notaçãosimbólica matemá�ca.

c) Qual fa�a tem mais quan�dade de pizza: uma fa�a da primeira pizza ou uma fa�ada segunda? Explique usando um desenho.

A�vidade 8

Preencha cada lacuna a seguir com uma fração adequada (use notação simbólica mate-má�ca). Perceba que uma mesma região pintada pode ser descrita por frações diferen-tes, dependendo da unidade considerada.

a) A região pintada em vermelho em é de .

b) A região pintada em vermelho em é de .

c) A região pintada em vermelho em é de .

d) A região pintada em vermelho em é de .

e) A região pintada em vermelho em é de .

f) A região pintada em vermelho em é de .

g) A região pintada em vermelho em é de .

h) A região pintada em vermelho em é de .



✐

✐ ✐

⋆ Nicely, Jr.: Nível 1: reconhecer; Nível 5: conver-ter (simbolizar)


Resposta da A�vidade 8a) 1

2 . e) 34 . i) 5

6 .b) 1

4 . f) 12 . j) 3.

c) 16 . g) 5

2 . l) 32 .

d) 32 . h) 5

4 . m) 1.

A�vidade 9


⋆ Representar frações não unitárias descritas comnotação simbólica matemá�ca em diversos mo-delos de área, incluindo casos em que as subdi-visões apresentadas não coincidem com o deno-minador da fração dada.

⋆ Iden�ficar a fração complementar de uma fraçãoprópria da unidade usando notação simbólica.

⋆ Reconhecer (e gerar) oitavos como metades dequartos, sextos como metades de terços e déci-mos como metades de quintos. Preparando-seassim para a discussão sobre equivalência de fra-ções que será feita na Lição 4.



⋆ Observe que os três úl�mos itens cons�tuemuma extensão natural da A�vidade 7 da Lição 1.

⋆ Não se espera, nem se recomenda, que, paraos três úl�mos itens desta a�vidade, os alunosusem alguma medida para fazer, de forma pre-cisa, a par�ção de quartos e quintos em oitavos edécimos, respec�vamente. O obje�vo é que fa-çam a par�ção livremente e de forma coerente.

⋆ Alunos diferentes podem pintar as partes de for-mas diferentes: estas, por exemplo, não preci-sam ser con�guas.

⋆ Procure apresentar e discu�r com a turma maisdo que uma solução para cada item, reforçandoassim as ideias propostas nas A�vidades 7 e 8 daLição 1.

Classificações:

⋆ Heid et al.: Conceito: elaborar/iden�ficar; Pro-duto: gerar

⋆ Nicely, Jr.: Nível 5: converter (simbolizar), gerar

⋆ UERJ: Interpretar: discriminar, compor e decom-por


pintada figura sem pintar

5

6

1

6

3

4

1

4

2

5

3

5

2

3

1

3

3

8

5

8

9

10

1

10


✐

✐ ✐

i) A região pintada em vermelho em é de .

j) A região pintada em vermelho em é de .

k) A região pintada em vermelho em é de .

l) A região pintada em vermelho em é de .

A�vidade 9

Na tabela a seguir, pinte cada figura de modo que a parte pintada seja a fração da figuraindicada na coluna à esquerda e na mesma linha. Indique também, usando notaçãosimbólica matemá�ca, qual fração da figura ficou sem pintar.

Fração da figura quedeve ser pintada

FiguraFração da figura queficou sem pintar

5

6

3

4

2

5

2

3

3

8

MÃO NA MASSA 25


✐

✐ ✐

A�vidade 10


⋆ Representar com notação simbólica matemá�cafrações não unitárias em modelos tridimensio-nais no contexto de volume.

⋆ Analisar e resolver um problema no contexto dajustaposição e contagem de partes correspon-dentes a frações unitárias com mesmo denomi-nador.



⋆ As diversas soluções apresentadas pelos diferen-tes grupos devem ser discu�das com a turma in-teira. É possível que os alunos u�lizem fraçõesequivalentes como resposta para um mesmoitem. Por exemplo, para o copo (3), as frações48 ,

24 e 1

2 são respostas corretas. Nesses casos,dê a oportunidade para que cada aluno expli-que como chegou à sua resposta. Procedendodesta maneira, mesmo que de forma pontual, osalunos perceberão que uma mesma quan�dadepode ser descrita por frações com nomes dife-rentes, um preparo para o assunto “frações equi-valentes” que será tratado na Lição 4.

Classificações:

⋆ Heid et al.: Conceito: elaborar/iden�ficar; Pro-duto: gerar; Raciocínio: jus�ficar

⋆ Nicely, Jr.: Nível 6: analisar/jus�ficar

⋆ UERJ: Interpretar: discriminar, compor e decom-por; Analisar: transferir conhecimentos


a) (1): 38 . (2): 2

8 . (3): 48 .

b) 98 .

c) Não é possível armazenar a água dostrês copos em um único copo sem que omesmo transborde, pois se a água do pri-meiro copo ocupa 3 oitavos de sua capa-cidade, a água do segundo copo ocupa 2

oitavos de sua capacidade e a água do ter-ceiro copo ocupa 4 oitavos de sua capaci-dade, a água dos três copos, juntos, ocupa3+2+4 = 9 oitavos da capacidade do copoe qualquer copo só consegue armazenarno máximo 8 oitavos de sua capacidade.

A�vidade 11


⋆ Recompor a unidade a par�r de uma fração dadaem modelo con�nuo e em linguagem simbólica,incluindo o caso de frações impróprias.

⋆ Relacionar a fração correspondente à parte apre-sentada à quan�dade necessária dessas partespara compor a unidade. Assim, por exemplo,para compor a unidade a par�r de 2

3 da unidade,basta repar�r esta fração em2 partes iguais (pararecuperar a fração unitária 1

3 ) e, então, justapor3 cópias de uma destas partes.



⋆ A exemplo da A�vidade 6 da Lição 1, é impor-tante ter em mente que existem várias soluçõespara cada item.

⋆ Es�mule os alunos a reconhecer (e a fazer) maisdo que uma representação para a unidade emcada item.

⋆ Caso seja necessário fazer alguma par�ção, nãose espera nem se recomenda que os alunosusem alguma medida. Uma par�ção feita deforma livre e coerente será suficiente.


✐

✐ ✐

Fração da figura quedeve ser pintada

FiguraFração da figura queficou sem pintar

9

10

A�vidade 10

a) Em cada um dos três copos idên�cos a seguir, indique a fração da capacidade docopo que está com água.

(1) (2) (3)

b) Qual é a fração da capacidade do copo correspondente à toda a água que está nostrês copos?

c) É possível armazenar a água dos três copos em um único copo sem que transborde?Explique.

A�vidade 11

Fração daunidade

Figuracorrespondenteà fração daunidade

Desenhe aqui uma unidade

1

2



✐

✐ ✐

Classificações:


⋆ Nicely, Jr.: Nível 5: relacionar

⋆ UERJ: Interpretar: compor e decompor


FraçãoFigura da

fraçãoUma unidadepossível

1

2

4

2

3

2

2

3

1

2

4

2

3

2

2

3

1

2

4

2

3

2

2

3

1

2

4

2

3

2

2

3


✐

✐ ✐

Fração daunidade

Figuracorrespondenteà fração daunidade

Desenhe aqui uma unidade

4

2

3

2

2

3

1

2

4

2

3

2

2

3

1

2

4

2

3

2

2

3

1

2

4

2

3

2

2

3

MÃO NA MASSA 27


✐

✐ ✐

A�vidade 12


⋆ Marcar em uma semirreta pontos cujas distân-cias até um ponto de referência são frações docomprimento de um segmento dado.


⋆ Esta é uma a�vidade que pode ser realizada in-dividualmente.

⋆ Esta é uma a�vidade preparatória para a repre-sentação de frações na reta numérica, assuntoda próxima lição.

⋆ Observe que, nesta a�vidade, as distâncias estãoassociadas aos segmentos determinados pelospercursos dos carrinhos na pista, e correspon-dem a frações da distância percorrida pelo car-rinho de Lucas, que assume papel de unidade.

⋆ Não se espera, nem se recomenda, que as mar-cações feitas pelos alunos na pista sejam ampa-radas pela medida mas, sim, que sejam feitas deforma livre e coerente. Contudo, é preciso ficaratento para que as marcações dos carrinhos deHeitor e de Lorenzo coincidam (pois 3

2 = 64 ). A

mesma observação se aplica aos carrinhos de Ra-fael e de Samuel (pois 4

2 = 63 ).

⋆ Aqui, a definição de frações não unitárias comojustaposições de frações unitárias pode serusada para jus�ficar o porquê, por exemplo, deos carrinhos de Rafael e de Samuel terem paradona mesma posição.

⋆ Assim, espera-se que a distância percorrida pelocarrinho de Matheus (item a) seja associada àmetade do segmento que iden�fica a distânciapercorrida pelo carrinho de Lucas, que corres-ponde à unidade e está destacado em verme-lho na imagem. Já a distância percorrida pelocarrinho de Heitor (item b) deve ser associadaà justaposição de 3 segmentos correspondentesà distância percorrida pelo carrinho de Matheus.

Espera-se que as demais distâncias sejam ob�-das de forma semelhante. Cabe destacar, no en-tanto, que para determinar as distâncias percorri-das pelos carrinhos de Lorenzo e de Samuel, seránecessário determinar 1

4 e 13 da unidade, respec-

�vamente.

⋆ De forma geral, se d é a distância percorrida pelocarrinho de Lucas, então a par�ção em 2 partesiguais de um segmento u cujo comprimento éd determina dois segmentos congruentes s e s′

que correspondem à 12 de u e cujos comprimen-

tos são, portanto, iguais a 12 de d. A justaposição

de 2 cópias de s ( 22 de u) tem comprimento d e,sendo assim, a justaposição de 4 cópias de s ( 42de u) tem comprimento 2d. Do mesmo modo, set é um segmento que corresponde à 1

3 de u, en-tão a justaposição de 3 cópias de t ( 33 de u) temcomprimento d e, em consequência, a justaposi-ção de 6 cópias de 6 ( 62 de u) tem comprimento2d. Assim, os carrinhos de Rafael e de Samuelpercorreram a mesma distância (2d) e, como elessaíram do mesmo ponto de largada, suas posi-ções finais são iguais.

Classificações:



⋆ UERJ: Interpretar: compor e decomporPara a pergunta sobre as posições dos carri-

nhos de Rafael e Samuel:⋆ Heid et al.: Racioncínio: jus�ficar

⋆ Nicely, Jr.: Nível 6: explicar

⋆ UERJ: Interpretar: explicar, compor e decompor


Observe que os carrinhos de Rafael e Samuelpararam no mesmo lugar!


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✐ ✐

A�vidade 12

Lucas, Matheus, Heitor, Rafael, Enzo, Nicolas, Lorenzo, Guilherme e Samuel estavambrincando de empurrar seus carrinhos de brinquedo para ver qual carrinho ia mais longeem uma pista reta.

A figura a seguir mostra o quão longe foi o carrinho de Lucas e onde ele parou napista com relação ao ponto de largada.

Sabe-se que:

a) O carrinho de Matheus só conseguiu ir até a metade da distância percorrida pelocarrinho de Lucas.

b) O carrinho de Heitor conseguiu ir até 32da distância percorrida pelo carrinho de

Lucas.

c) O carrinho de Rafael conseguiu ir até 42da distância percorrida pelo carrinho de

Lucas.

d) O carrinho de Enzo conseguiu ir até 52da distância percorrida pelo carrinho de

Lucas.

e) O carrinho de Nicolas conseguiu ir até 62da distância percorrida pelo carrinho de

Lucas.

f) O carrinho de Lorenzo conseguiu ir até 64da distância percorrida pelo carrinho de

Lucas.

g) O carrinho de Guilherme conseguiu ir até o dobro da distância percorrida pelocarrinho de Lucas.



✐

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A�vidade 13

Obje�vo específico: Levar o aluno a:

⋆ Perceber que uma mesma fração (no caso, 12 ) de

unidades diferentes pode resultar em quan�da-des diferentes.


⋆ Esta é uma a�vidade que o aluno pode fazer indi-vidualmente, mas é essencial que seja discu�dacom toda a turma.

⋆ No final da a�vidade, é importante enfa�zarpara seus alunos a propriedade matemá�ca queesta a�vidade quer destacar, ou seja, que umamesma fração de unidades diferentes pode re-sultar em quan�dades diferentes. Observe paraeles que, no contexto “frações de”, é fundamen-tal saber a que o “de” se refere, isto é, qual é aunidade que está sendo considerada. Neste sen-�do, esta a�vidade está fortemente relacionadacom a A�vidade 8.

Classificações:

⋆ Heid et al.: Raciocínio: corroborar


⋆ UERJ: Analisar: levantar hipóteses

Resposta da A�vidade 13José está certo se a pizza da qual comeu me-

tade for maior do que a pizza da qual Ella comeumetade, como ilustra a figura a seguir.

Pizza de EllaPizza de José

A�vidade 14


⋆ Analisar uma situação envolvendo frações em re-presentação por meio de figuras cujas repar�çãonão iden�fica explicitamente o denominador dafração.



⋆ No final da a�vidade, é importante enfa�zar paraseus alunos a questão matemá�ca que esta a�-vidade quer destacar, ou seja, que o fato de umafigura estar divida em 5 partes e 3 delas estarempintadas de vermelho, não necessariamente im-plica que a região pintada é 3

5 da figura.

⋆ O �po de situação descrita na a�vidade é umequívoco comum entre os alunos, isto é, elesequivocadamente contam partes sem o cuidadode verificar se as partes nas quais a unidadeestá dividida correspondem a uma mesma quan-�dade.

Classificações:


⋆ Nicely, Jr.: Nível 9: avaliar



Miguel está equivocado: a região pintada dafigura não corresponde a 3

5 da figura porque afigura não está dividida em 5 partes iguais, ouseja, a figura não está equiparticionada em 5partes para que as 3 partes pintadas correspon-dam a 3

5 da mesma. Outra justificativa possívelé: partindo-se a parte pintada em 3 partes iguaise justapondo-se 5 cópias de uma destas partes,pode-se recompor a figura apenas parcialmente.


✐

✐ ✐

h) O carrinho de Samuel conseguiu ir até 63da distância percorrida pelo carrinho de

Lucas.

Com estas informações, marque as posições de parada dos carrinhos de todos osamigos de Lucas no encarte que você irá receber.

Os carrinhos de Rafael e Samuel pararam no mesmo lugar? Explique.

QUEBRANDO A CUCA

A�vidade 13

(NAEP, 1992) Pense cuidadosamente nesta questão. Escreva uma resposta completa.Você pode usar desenhos, palavras e números para explicar sua resposta. Cer�fique-sede mostrar todo o seu raciocínio.

José comeu 12de uma pizza. Ella comeu 1

2de uma outra pizza. José disse que ele

comeu mais pizza do que Ella, mas Ella diz que eles comeram a mesma quan�dade. Usepalavras, figuras ou números para mostrar que José pode estar certo.

A�vidade 14

Miguel disse para Alice que a parte pintada de vermelho na figura a seguir correspondea 3

5da figura, pois ela está dividida em 5 partes e 3 partes estão pintadas. Você concorda

com a afirmação e com a jus�fica�va de Miguel? Explique!

QUEBRANDO A CUCA 29


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A�vidade 15


⋆ Perceber que, se uma unidade foi equipar�cio-nada em n+m partes iguais, das quais n forampintadas, então n

m não especifica a fração da uni-dade que foi pintada.



⋆ O �po de situação descrita na a�vidade destacaum equívoco comum entre os alunos. Assim,esta a�vidade é uma oportunidade para refor-çar os papéis do denominador e do numeradorna notação simbólica matemá�ca para frações:o denominador especifica o número de partesiguais em que a unidade foi dividida e o nume-rador especifica o número de cópias que foramtomadas de uma destas partes.

Classificações:





A parte pintada de vermelho não correspondea 3

4 da figura. Ela corresponde a 37 da figura. De

fato: a figura foi dividida em 7 partes iguais dasquais 3 foram pintadas.

A�vidade 16


⋆ Perceber a importância da explicitação unidadena representação de quan�dades.



⋆ Recomenda-se que os itens da a�vidade sejamfeitos e corrigidos um a um, de forma a permi�rque um aluno que tenha errado um item possaacertar o seguinte.

⋆ O fato de a unidade não estar explicitada, tornaambígua a questão. É importante que os alunospercebam que, por exemplo, no item a), se a uni-dade considerada for um dos hexágonos, a fra-ção correspondente à região em vermelho é 1

2 .No entanto, se forem os dois hexágonos, é 1

4 .

⋆ No final de cada item da a�vidade, é importanteenfa�zar para seus alunos a propriedade mate-má�ca que esta a�vidade quer destacar, ou seja,que uma mesma quan�dade pode ser expressapor frações diferentes dependendo da unidadeescolhida. Observe para eles que, no contexto“frações de”, é fundamental saber a que o “de”se refere, isto é, qual é a unidade que está sendoconsiderada. Neste sen�do, esta a�vidade estáfortemente relacionada com as A�vidades 8 e13. Ela também é uma preparação para a A�vi-dade 17, em que a mesma questão é posta, masagora com um modelo mais comumente usadoe, portanto, mais resistente à reflexão que se de-seja estabelecer.

Classificações:





a) A região em vermelho pode representar 12

ou 14 dependendo da unidade, que não foi

explicitada no enunciado. Se, por exem-

plo, a unidade for então a região pin-


✐

✐ ✐

A�vidade 15

A figura a seguir tem 3 partes pintadas de vermelho e 4 partes pintadas de branco. Écorreto afirmar que a parte pintada de vermelho corresponde a 3

4da figura? Explique.

A�vidade 16

a) A região em vermelho na figura a seguir representa 12ou 1

4?

b) A região em vermelho na figura a seguir representa 12ou 3

2?

c) A região em vermelho na figura a seguir representa 35ou 3?

A�vidade 17

Júlia, Davi e Laura estavam estudando a figura a seguir.

Júlia disse: “A parte em vermelho representa 35”. Davi retrucou: “Não, não! A parte em

vermelho representa 32!”. Laura, então acrescentou: “Eu acho que a parte em vermelho

representa 3!”. Quem está certo? Júlia, Davi ou Laura? Explique!



✐

✐ ✐

tada de vermelho em é 12 desta

unidade. Por outro lado, se a unidade for

então a região pintada de verme-

lho em é 14 desta unidade.

b) A região em vermelho pode representar 12

ou 32 dependendo da unidade, que não foi

explicitada no enunciado. Se, por exemplo,

a unidade for então a região

pintada de vermelho em é 12

desta unidade. Por outro lado, se a uni-

dade for então a região pintada de

vermelho em é 32 desta uni-

dade.

c) A região em vermelho pode representar 35

ou 3 dependendo da unidade, que não foiexplicitada no enunciado. Se, por exem-

plo, a unidade forentão a região pintada de vermelho em

é 35 desta unidade.

Por outro lado, se a unidade forentão a região pintada de vermelho em

é 3 desta unidade.

A�vidade 17


⋆ Perceber a importância da unidade na represen-tação de quan�dades.



⋆ No final da a�vidade, é importante enfa�zarpara seus alunos a propriedade matemá�ca queesta a�vidade quer destacar, ou seja, que umamesma quan�dade pode ser expressa por fra-ções diferentes dependendo da unidade esco-lhida. Observe para eles que, no contexto “fra-ções de”, é fundamental saber a que o “de” serefere, isto é, qual é a unidade que está sendoconsiderada. Neste sen�do, esta a�vidade estáfortemente relacionada com as A�vidades 8 e13.

Classificações:





As afirmações de Júlia, David e Laura estãoincompletas, pois ao especificarem as frações 3

5 ,32 e 3

1 , eles não informaram a unidade à qual es-tas frações se referem. Desta maneira, não épossível decidir quem está certo. De fato, de-pendendo da escolha da unidade, cada um delespode estar certo e os demais errados. Por exem-plo, se a unidade for

então a parte pintada de vermelho em

de fato corresponde a 35 desta unidade, de modo

que, nesta situação, Júlia está certa e David eLaura estão errados. Contudo, se a unidade for



✐

✐ ✐

A�vidade 18

Em uma pizzaria rodízio, 7 amigos comem, ao todo, 38 fa�as.

Sabendo que nessa pizzaria cada pizza é repar�da em 8 fa�as de mesmo tamanho,pergunta-se:

a) Quantas pizzas inteiras comeraram os 7 amigos?

b) Que fração de uma pizza comeram ao todo os amigos?

c) É possível que todos os amigos tenham comido o mesmo número de fa�as depizza? Explique.


✐

✐ ✐

corresponde a 32 desta unidade, de modo que,

nesta situação, David está certo e Júlia e Lauraestão errados. Finalmente, se a unidade for


corresponde a 3 desta unidade e, neste caso,Laura está certa e David e Júlia estão errados.

A�vidade 18


⋆ Relembrar divisão com resto (ou divisão euclidi-ana).

⋆ Selecionar, dentro de uma situação plausível dodia a dia, dados relevantes para resolver um pro-blema.


⋆ A a�vidade deve ser conduzida de forma achegar-se na divisão euclidiana. Ou seja, o alunopode começar montando as pizzas. Recomenda-se que os alunos tenham à mão o material con-creto: fa�as de pizza cortadas em papel ou emE.V.A..

⋆ É possível que os alunos resolvam o item a) apar�r da divisão euclidiana, efetuando a divisãode 38 por 8: 38 = 4 × 8 + 6. Se esse for ocaso, recomenda-se que o professor, destaquea informação associada a cada um dos números

na expressão. Em par�cular, o “resto”, que iden-�fica uma quan�dade menor do que uma pizza(resto 6 indica 6 fa�as, que é menor do que umapizza, uma vez que cada pizza tem 8 fa�as).

⋆ Para responder ao item b), o aluno deve reconhe-cer que cada fa�a é igual a 1

8 da pizza. Portanto, aquan�dade total de pizza consumida pelos ami-gos pode ser expressa como 38

8 de uma pizza.Cabe destacar que essa fração corresponde a 4pizzas mais 6

8 de uma pizza.

⋆ Observe que, neste contexto, o resto, que é umnúmero inteiro e indica o número de fa�as, tam-bém pode ser expresso por meio de uma fraçãoda unidade pizza: 6

8 de uma pizza.

⋆ Faz parte da a�vidade a tarefa de selecionar da-dos relevantes para o problema, o que a tornaum tanto complexa, por isso é a úl�ma A�vidadeda Lição 2. Para os itens a) e b), a quan�dade deamigos, 7, é irrelevante. No entanto, é relevantepara o item c).

⋆ A a�vidade tem também o obje�vo de eviden-ciar que, no co�diano, nem toda par�ção é umaequipar�ção: 38 fa�as de pizza para 7 amigos éum exemplo.


a) A solução corresponde ao quociente da di-visão euclidiana de 38 por 8, ou seja, 4

b) Compreendendo que cada fatia é 18 de uma

pizza: 4 pizzas e 68 ou 38

8 .

c) A divisão euclidiana de 38 por 7 forneceum resto diferente de zero, o que indicaque não é possível que todos os amigostenham comido o mesmo número de fatiasde pizza.


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Esta lição tem por obje�vo:⋆ Retomar a representação de números na reta numérica, enfa�zando a associação do número 1 à unidade;

⋆ Introduzir a representação de frações na reta numérica, admi�ndo assim a representação também de quan-�dades não inteiras na reta numérica.

⋆ Comparar frações de mesmo denominador.

⋆ Comparar frações a par�r de uma fração de referência.Visando aos obje�vos apresentados, as a�vidades aqui propostas exploram as frações em modelos visuais

con�nuos, a par�r da justaposição de partes correspondentes às frações unitárias. Essa abordagem será a basepara a representação das frações na reta numérica e para a associação da unidade ao número 1. (A expressãoreta numérica refere-se ao modelo de organização dos números na reta).

A construção da reta numérica será amparada pelo conhecimento anterior dos alunos da representação dosnúmeros naturais (0, 1, 2, 3, 4, ...) nessa reta e pela exploração de modelos con�nuos. O segmento unitário, deextremos 0 e 1, será a unidade e as frações unitárias 1

d , d natural não nulo, representadas por uma das partesda equipar�ção desse segmento em d partes (d = 0). As demais frações serão associadas a pontos na retapela justaposição, a par�r do zero, de segmentos correspondentes às frações unitárias. Assim, por exemplo, afração 1

2 será associada à metade do segmento unitário, portanto, ao ponto médio do segmento de extremos0 e 1. Já a fração 5

2 será associada ao ponto correspondente à justaposição, a par�r do zero, de 5 segmentosequivalentes ao segmento cujos extremos correspondem ao zero e ao 1

2 , como ilustra a figura a seguir:

12

0 112

12

12

12

12

12

0 1 2 312

32

52

Nesta etapa, espera-se que os alunos compreendam a reta numérica como uma representação organizadapara as quan�dades registradas por frações e que compreendam também o papel e a evidência da ordemnessa representação.

De maneira geral, as a�vidades visam a: (i) a associação entre frações e a reta numérica, em que já estãoiden�ficados os pontos correspondentes aos números naturais e (ii) a comparação entre frações, amparadapela representação das frações na reta numérica. Alguns textos, na abordagem inicial dos números naturais,usam a expressão reta numerada para se referir à representação dos números naturais na reta; neste texto, seráusado o termo reta numérica.


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✐ ✐

Lição 3

Frações na reta numérica


A�vidade 1

Os quadrinhos a seguir mostram uma caixa-d’água sendo enchida. Para saber que fraçãoda capacidade da caixa-d’água já está com água, será usada uma faixa graduada paraindicar o nível de água na caixa.

33


✐

✐ ✐

A comparação de frações, já discu�da informalmente em a�vidades nas lições anteriores, pode agora sertambém observada a par�r da reta numérica, embora seja sistema�zada na Lição 4. Inicialmente comparam-se frações com mesmo denominador. Assim, espera-se que o aluno reconheça que, por exemplo, a fração34 é menor do que a fração 7

4 uma vez que a primera fração corresponde à justaposição de 3 segmentosequivalentes a 1

4 da unidade e a segunda à justaposição de 7 desses segmentos. Dessa forma, na reta numérica,a fração 3

4 está associada a um ponto entre 0 e 1 e 74 a um ponto entre 1 e 2. Espera-se também que a

comparação entre frações que têm o mesmo numerador seja observada na reta numérica. Assim, por exemplo,57 é menor do que 5

3 porque nos dois casos considera-se a justaposição de 5 segmentos, no entanto, no primerocaso, são 5 segmentos equivalente a 1

7 da unidade e, no segundo, equivalentes a 13 da unidade. Como 1

7 daunidade é menor do que 1

5 da unidade, tem-se que 57 é menor do que 5

3 . É importante observar que essascomparações não devem ser tratadas exclusivamente na reta numérica.

Observando a reta numérica, espera-se também que os alunos sejam capazes de comparar frações a par�rde um referencial. Por exemplo, espera-se que os alunos reconheçam que, a fração 7

8 é menor do que a fração89 porque o ponto correspondente à fração 7

8 está mais distante do 1 do que o corresponente à fração 89 (já

que a fração 18 é maior do que a fração 1

9 - conteúdo tratado na Lição 2)A par�cipação do aluno, criando representações próprias e fazendo o uso da linguagem verbal para explicar

o seu raciocínio diante da realização das a�vidades, é fundamental também na condução desta seção.


O aluno deve ser capaz de:⋆ Representar e iden�ficar a representação de uma fração na reta numérica;

⋆ Reconhecer a organização, segundo a ordem, das frações na reta numérica;

⋆ Comparar frações com mesmo numerador;

⋆ Amparado pela representação na reta numérica, comparar frações a par�r de um referencial adequado.

A�vidade 1

Obje�vos específicos: Levar o aluno a⋆ Representar frações na reta numérica a par�r dagraduação em uma escala linear.

⋆ Associar, na reta numérica, a unidade ao seg-mento unitário, admi�ndo a representacão dequan�dades entre 0 e 1.

⋆ Associar frações a pontos na reta numérica. Empar�cular, as frações 1

4 ,12 e 3

4 .

⋆ Observar a necessidade de equipar�ção do seg-mento unitário para a iden�ficação destas fra-ções na reta numérica.

Recomendações e sugestões para o desenvolvi-mento da a�vidade:⋆ Recomenda-se que, nesta a�vidade, os alunos

trabalhem individualmente ou em duplas. No en-tanto, é fundamental que os alunos sejam es�-mulados a explicar o raciocínio realizado.

⋆ Como esta a�vidade envolve a ideia de capa-cidade, recomenda-se que, antes de realizá-la,o professor leve para a sala de aula um recipi-ente transparente, na forma de um paralelepí-pedo (como um pequeno áquario, por exemplo)ou cilíndrico (como um copo, por exemplo), eque, a par�r do recipiente inicialmente cheio, dis-cuta com a turma o que seria necessário obser-var para se verificar que metade da quan�dadeinicial de líquido foi derramada. Espera-se queos alunos iden�fiquem que essa verificação estáassociada à altura da quan�dade de líquido norecipiente, que deve ser metade da original.

⋆ O formato da caixa, um paralelepípedo, deter-


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✐ ✐

Escolha, para cada um dos momentos, a graduação que lhe parece mais adequadapara registrar a quan�dade de agua representada em cada uma das imagens. Expliquesua escolha.

a) b) c)

d) e)

34 LIÇÃO 3 - Frações na reta numérica


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✐ ✐

mina uma escala linear de medida (o mesmo va-leria para um cilindro). No entanto, se a caixa�vesse outro formato, poderia não admi�r umaescala linear. Por exemplo, é o caso dos tradici-onais copos de medida usados na cozinha. Comesta observação, não se está recomendando queessa discussão seja trazida para a sala de aulaneste momento.

⋆ Chame a atenção dos alunos para o fato de queo zero está associado à situação em que a caixa-d’água está vazia e o 1 à caixa completamentecheia. Além disso, à medida em que a caixa vaisendo enchida, a altura do nível da água vai au-mentando.

⋆ Espera-se que os alunos descartem as faixas c)e d). No entanto, as faixas a) e b) e e) encer-rammarcações possíveis. Discuta com os alunosas vantagens e as desvantagens das marcaçõesapresentadas nessas faixas. A faixa a) traz a mar-cação da fração 1

2 associada ao segmento e nãoao ponto. Embora não esteja errada, ela apre-senta dois inconvenientes:

(i) esta forma de marcar não deixa claro quea linha-d’água deve estar na marcação paraque o tanque esteja meio cheio,

(ii) ela dificulta marcações intermediárias (mai-ores que zero e menores que 1

2 ).

A escala e), ainda que não tenha o mesmo pro-blema que a faixa a), oferece uma leitura menosprecisa do que a possível na graduação apresen-tada em b).

Resposta da A�vidade 1Qualquer das escalas apresentadas serve para

registrar a caixa totalmente cheia (momento 4),embora não seja necessário uma graduação

para esta observação. Para registrar as quan-tidades de todos os momentos a graduação b)é a mais indicada porque possui marcações de-talhadas, com mesmo espaçamento e na ordemadequada. A escala c) não é apropriada porquepossui a marca 1

2 em um ponto onde o nível deágua estará acima da metade da caixa. A escalad) apresenta as marcas 1

2 e 13 em posições que

não correspondem a estes níveis de água. A es-cala e) representa bem os momentos 2 e 4, masé menos precisa para os demais momentos.

A�vidade 2

Obje�vos específicos: Levar o aluno a⋆ Revisar a construçção da reta numérica, associ-ando quan�dades inteiras aos números naturais.Em par�cular, obje�va-se que a unidade seja as-sociada ao número 1.

⋆ Estender a representação de frações para a retanumérica.

⋆ Iden�ficar, a par�r de comparação entre o mode-los con�nuo e a reta numérica, o segmento uni-tário à unidade iden�ficada no modelo (No caso,uma pizza).

⋆ Representar, na reta numérica, quan�dades nãointeiras registradas por frações da unidade.


⋆ Recomenda-se que, nesta a�vidade, os alunostrabalhem individualmente ou em duplas. No en-tanto, é fundamental que os alunos sejam es�-mulados a explicar o raciocínio realizado.

⋆ Recomenda-se que o professor inicie a a�vidaderelembrando com os alunos como é construída areta numérica e como se posicionam os númerosnaturais nela, enfa�zando que o número 1 repre-senta uma unidade e que, a par�r daí, o 2 seráo extremo do segmento que é o dobro do seg-mento de extremos 0 e 1. De foma análoga, sãomarcados o 3, o 4 e assim por diante.


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✐ ✐

A�vidade 2

Relembrando a representação na reta numérica: Você já conhece a reta numérica comos números naturais destacados.

a) Marque na reta numérica pontos que representem as 3 quan�dades de pizza nasimagens a seguir.

0 1 2 3 4 5

b) E no caso destas imagens, que pontos na reta numérica representam as 4 quan�-dades de pizza ilustradas?

0 1 2

A�vidade 3

Para cada par ou trio de figuras a seguir, há uma reta numérica. Considerando a regiãocolorida como uma fração da figura, ligue CADA figura ao número, sobre a reta numérica,correspondente à região colorida da mesma.



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✐ ✐

⋆ Espera-se que os alunos, a par�r de tal revisão,não tenham dificuldade para resolver o item a).A novidade está no item b), no qual os alunossão solicitados a representar frações na reta nu-mérica. Nesse item, o obje�vo é que os alu-nos concluam que, na reta numérica, assim comoo ponto correspondente ao 2 fica determinadopelo dobro do segmento unitário e que pontocorrespondente ao 3 fica determinado pelo tri-plo do segmento unitário, o ponto correspon-dente a 1

2 fica deteminado pela metade do seg-mento unitário. De forma análoga, considerandoequipar�ções do segmento unitário e a justaposi-ção dessas partes, são determinados, por exem-plo, os pontos correpondentes às fraçoes 1

4 e 34 .

Resposta da A�vidade 2a)

0 1 2 3 4 5

b)

0 1 212

32

14

34

A�vidade 3

Obje�vos específicos: Levar o aluno a⋆ Estender a representação de frações para a retanumérica a par�r de modelos con�nuos.

⋆ Associar, na reta numérica e a par�r de modeloscon�nuos, a unidade ao número 1.

⋆ Associar, a par�r de comparação entre os mo-delos con�nuos e a reta numérica, o segmentounitário à unidade e admi�r a representacão dequan�dades não inteiras apresentadas em mo-delos con�nuos.



⋆ Observe que as retas numéricas apresentadasem todos os itens trazem os números 0 e 1em destaque, além das fraçoes representadasnos modelos apresentados em cada item. Sub-divisões da unidade também são destacadas.Espera-se que, a par�r da discussão, os alunosestabeleçam uma relação entre as representa-ções apresentadas: modelos con�nuos e a retanumérica. . Assim, por exemplo, se o retânguloestá dividido em terços, o segmento unitário trazuma marcação que destaca a subdivisão em trêspartes iguais e marcações correspondentes a 1

3

e a 23 .

⋆ Para registrar a iden�ficação das representaçõesem modelos con�nuos à marcação da fraçãoda unidade correspondente na reta numérica, oaluno pode simplesmente ligar, fazendo uma li-nha, a representação em imagem à marcação nareta.


a)

0 112

Fig. 2 Fig. 1

b)

0 139

59

Fig. 1 Fig. 2

c)

0 113

23

Fig. 1 Fig. 2

d)

0 114

34

Fig. 2 Fig. 1


✐

✐ ✐

a) Figura 1 Figura 2

0 112

b)

0 139

59

c)

0 113

23

d)

0 114

34



✐

✐ ✐

e)

0 113

23

Fig. 1Fig. 2Fig. 3

f)

0 1316

716

1016

1316

Fig. 1 Fig. 2Fig. 3

A�vidade 4

Obje�vo específico:⋆ Associar frações representadas emmodelos con-�nuos, com unidades variadas, à representaçãodessas fracões na reta numérica.

Recomendações e sugestões para o desenvolvi-mento da a�vidade:⋆ Recomenda-se que, nesta a�vidade, os alunostrabalhem individualmente ou em duplas. No en-tanto, a discussão das respostas deve ser feitacom toda a turma. Es�mule seus alunos a expli-carem suas respostas.

⋆ Nas imagens, as unidades são uma pizza, umabarra de chocolate, uma maçã, um sanduiche,uma fa�a da torta, um biscoito, e a capacidadede um copo. Discuta isso com os alunos.

⋆ Aproveite as imagens e faça perguntas à turmaque explorem conteúdos já tratados em liçoesanteriores, tais como: a) Que fração da pizzafoi comida? b) Essa quan�dade de chocolate émaior, menor ou igual a meia barra de chocolate?c) Se a maçã es�vesse inteira, que ponto da retarepresentaria tal quan�dade?


a)

0 138

58

b)

0 138

58

c)

0 114

34

12

d)

0 114

34

12

e)

0 1 212

32

52

f)

0 1 212

32

52

g)

0 1 212

32

52


✐

✐ ✐

e) Figura 1 Figura 2 Figura 3

0 113

23

f)

0 1316

716

1016

1316

A�vidade 4

Para cada uma das figuras a seguir, marque na reta numérica o ponto correspondente àfração da unidade destacada na imagem:

a) A unidade é uma pizza.

0 138

58

b) A unidade é uma barra de chocolate

0 138

58



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✐ ✐

Notas de Aula


✐

✐ ✐

c) A unidade é uma maçã.

0 114

34

12

d) A unidade é um sanduíche de queijo com presunto.

0 114

34

12

e) A unidade é uma torta.

0 1 212

32

52

f) A unidade é um biscoito.

0 1 212

32

52

g) A unidade é um copo cheio.

0 1 212

32

52



✐

✐ ✐

A�vidade 5

Obje�vos específicos: Levar o aluno a⋆ Iden�ficar na reta numérica, a par�r de mode-los con�nuos, os pontos correspondentes às fra-ções da unidade do �po 1

b e ab , para a > 0.

⋆ Mais especficamente, iden�ficar na reta numé-rica, a par�r de um modelo con�nuo, os pontoscorrespondentes às frações da unidade 1

5 ,25 ,

35 e

45 .

Recomendações e sugestões para o desenvolvi-mento da a�vidade:⋆ A�vidade individual, mas a discussão das respos-tas deve ser feita com toda a turma.

⋆ Es�mule seus alunos a explicarem a respostadada.

⋆ Espera-se que o aluno compreenda a diferençaentre representar uma fração da unidade a par�rde um modelo con�nuo (no caso, uma faixa re-tangular) e na reta numérica. No primeiro caso,a região colorida iden�fica a fração da unidade.No entanto, na reta, a fração da unidade é asso-ciada a um único ponto (no caso, observando ajustaposição de segmentos congruentes corres-pondentes a 1

5 do segmento unitário).

⋆ Observe que as faixas organizadas uma acimada outra estão alinhadas à esquerda, garan�doa correspondência entre as frações da unidadedestacadas.

⋆ No item b) espera-se que os alunos iden�fiquema faixa inteira como 5

5 da unidade ou como a uni-dade inteira, portanto, igual a 1. Cabe aqui regis-trar a igualdade 5

5 = 1.


a)

0 15

25

35

45

55

b) A faixa inteira é igual a cinco quintos. Esta fra-ção pode ser representada simbolicamente como55 . A fração 5

5 da barra é igual a uma barra inteira,isto é, 5

5 = 1 .

A�vidade 6

Obje�vos específicos: Levar o aluno a⋆ Associar na reta numérica, a par�r de modeloscon�nuos, a unidade ao número 1.

⋆ Associar as frações nd da unidade a pontos da

reta numérica a par�r da equipar�ção da uni-dade em d partes e da justaposição, a par�r do 0

de n segmentos correspondentes à fração 1d da

unidade.

⋆ Mais especificamente, iden�ficar as frações 14 ,

12 ,

34 ,

44 e 5

4 da unidade a pontos da reta numérica,reconhecendo que 4

4 = 1 e que 54 > 1.

⋆ Defender verbalmente um ponto de vista.Recomendações e sugestões para o desenvolvi-mento da a�vidade:⋆ Recomenda-se que esta a�vidade seja desenvol-vida em grupos de 2 ou 3 alunos. No entanto, adiscussão das respostas deve ser feita com todaa turma. Es�mule seus alunos a explicarem suasrespostas.

⋆ Faça cópias da fita necessária para o desenvolvi-mento da a�vidade, que está disponível nas fo-lhas para reprodução.

⋆ Ao ler o enunciado, como a faixa lembramodeloscon�nuos tratados na abordagem inicial de fra-ções (por exemplo, barra de chocolate ou retân-gulos), é possível que alguns estudantes conside-rem a faixa inteira como unidade. Já outros, ob-servando a indicação da reta numérica na faixa,iden�ficarão o segmento unitário como unidade.O obje�vo é que eles discutam essa questão ereconheçam ao final que o entendimento da uni-dade como a fita inteira é incompa�vel com asmarcações pré-existentes na fita. Obje�va-se arepresentação das frações na reta numérica e


✐

✐ ✐

A�vidade 5

A faixa a seguir está dividida em 5 partes iguais.

a) Considerando a faixa como unidade, escreva na reta numérica a fração correspon-dente a cada uma das regiões coloridas.

0 1□□

□□

□□

□□

b) Escreva, em linguagem simbólica, a fração correspondente à faixa inteira. De queoutra maneira é possível indicar essa quan�dade?

A�vidade 6

A professora Julia pediu que os seus alunos, Pedro e Miguel, marcassem 12na reta nu-

mérica traçada em uma fita, como esta que vocês também receberam:

10



✐

✐ ✐

não a iden�ficação de partes de um modelo con-�nuo.

⋆ Espera-se que, a par�r da discussão feita no itema), do item b) em diante, a unidade seja iden�fi-cada ao segmento zero-um.

⋆ Recomenda-se que os alunos usem dobradurapara realizar essa a�vidade. Instrua-os nessesen�do. Não se espera, nem se recomenda, quea a�vidade seja realizada a par�r da medida docomprimento da faixa.

⋆ Pode ser muito enriquecedor para o estudantedescrever cuidadosamente o processo de obten-ção das frações, nos itens b) em diante.Ince�ve-os nesse sen�do.

⋆ Espera-se que os alunos, a par�r da observa-ção do modelo, façam traços para representaros pontos correspondentes as frações. Este éum processo importante, em que a fração é re-presentada por um ponto na reta e não por umaregião, por exemplo.

⋆ Observe que a marcação de 34 pode se dar pela

justaposição, a par�r do 0, de “pedaços” da fitacorrespondentes a 1

4 da unidade ou, reconhe-cendo que 1

2 = 24 , pela iden�ficação do ponto

médio do “pedaço” de fita de extremos 12 e 1.

⋆ A discussão sobre esta a�vidade deve levar osalunos a refle�rem sobre a marcação do 4

4 e asua coincidência com a marcação da unidade, ouseja, do 1, reconhecendo que 4

4 = 1.

⋆ Na discussão sobre o item b), observe se os alu-nos compreenderam que 5

4 > 1. Espera-se queos alunos saibam ler e escrever essa desigua-dade fazendo uso da linguagem simbólica.


a) Miguel marcou 12 considerando como uni-

dade o segmento zero-um, enquanto Pe-dro marcou 1

2 considerando a fita inteira

como unidade. Assim, não podem estar osdois corretos. Como a resposta de Pedronão leva em consideração as marcaçõesdo 0 e do 1 na fita, esta solução não estácorreta.

10 12

b) A marcação de 14 pode ser feita dobrando-

se a fita de modo a fazer coincidir as mar-cações do 0 e do 1

2 . Já a marcação de 34

pode ser obtida dobrando-se a fita de modoa fazer coincidir as marcações do 1

2 e do 1.

10 14

c) As marcaçoes de 14 , 1

2 e 34 dividem o seg-

mento unitário em quatro partes iguais, por-tanto, em quartos. A justaposição de qua-tro quartos a partir do 0, que correspondea 4

4 , é igual a 1. Portanto, as marcas de 44

e de 1 são a mesma.

10 34

d) A marcação de 54 é obtida justapondo 1

4 àmarcação de 4

4 , ou seja, à marcação do 1.

10 54

A�vidade 7

Obje�vo específico:⋆ Comparar frações com o mesmo numerador.Recomendações e sugestões para o desenvolvi-mento da a�vidade:⋆ A�vidade individual, mas a discussão das respos-tas deve ser feita com toda a turma.


✐

✐ ✐

Pedro trouxe a seguinte marcação:10 1

2

Miguel trouxe esta:10 1

2

a) É possível ambos estarem corretos? Jus�fique sua resposta.

b) Faça marcações nessa fita correspondentes a 14e a 3

4. Explique como você fez

essas marcações.

c) Onde deve ser feita a marcação correspondente a 44?

d) E a marcação de 54?

A�vidade 7

Um caçador de tesouros encontrou o mapa a seguir. Leia as instruções para a localizaçãodo tesouro e decida em que local ele deve cavar:



✐

✐ ✐

⋆ Es�mule seus alunos a explicarem suas respos-tas.

⋆ Observe que, nesta a�vidade, a unidade nãoestá destacada na reta a par�r dos pontos 0 e1, como nas a�vidades anteriores. Oriente seualuno a iden�ficar o zero como o ponto corres-pondente à palmeira imperial.

⋆ Esclareça aos seus alunos que o caminho todo,da palmeira à pedra, não é a unidade. Peça-osque es�mem quantas unidades tem esse cami-nho.

⋆ Para que os alunos possam responder o item a),marcando no mapa os pontos correpondentesaos locais em que estão enterrados os baús 1 e2, peça-os que recortem as duas faixas que de-terminam a unidade, disponíveis em página parareprodução.

⋆ Para responder o item b), e decidir qual o baúque contém o tesouro, de fato, não é necessáriofazer a marcação dos pontos correspondentesaos locais dos dois baús no mapa. Basta compa-rar as frações 5

6 e 58 . Como 5

6 > 58 , o tesouro

está no baú 2. Espera-se que a discussão com aturma leve a essa constatação.

⋆ Finalmente, observe que, nesta a�vidade, a retanumérica se apresenta fora do padrão tradicio-nal, paralelo ao menor lado da página do livro.


a)

Palmeira PedraBaú 1 Baú 2

b) O baú 2. A justificativa se dá pelo fato deque 5

6 > 58 . O que pode ser observado pela

marcação dos pontos correspondentes aoslocais dos dois baús no mapa, representandouma reta numérica.

A�vidade 8

Obje�vos específicos: Levar o aluno a⋆ Comparar frações, tanto com o mesmo numera-dor como com o mesmo denominador.

⋆ Comparar frações da unidade a par�r da sua re-presentação na reta numérica.

Recomendações e sugestões para o desenvolvi-mento da a�vidade:⋆ Recomenda-se que, nesta a�vidade, os alunostrabalhem individualmente ou em duplas. No en-tanto, é fundamental que os alunos sejam es�-mulados a explicar o raciocínio realizado.

⋆ No item a), espera-se que os alunos façam a com-paração baseados no fato de que as frações en-volvidas têm o mesmo denominador; no item b),espera-se que os alunos façam a comparação ba-seados no fato de que as frações envolvidas têmo mesmo numerador. Já no item c), espera-seque os alunos façam uso intui�vamente da pro-priedade transi�va da relação de ordem, a par�rde suas respostas aos ítens a) e b). Recomenda-se ressaltar que, na segunda parte do ítem d), aresposta ao item c) seja conferida pela represen-tação das frações na reta numérica, uma vez quea reta numérica explicita a ordem entre as fra-ções.


a) João comeu mais que Maria porque se asduas pizzas estão divididas em 4 fatiasiguais, ele comeu 3 fatias enquanto Mariacomeu apenas 2.

b) Se a pizza do Miguel está dividida em 5 fa-tias, então cada fatia da pizza do Miguel émenor do que qualquer fatia da pizza doJoão, uma vez que a pizza do João foi divi-dida em 4 pedaços. Como cada um comeutrês fatias de sua própria pizza e as fatiasde João eram maiores que as de Miguel,João comeu mais pizza que Miguel.


✐

✐ ✐

a) Marque, no mapa, as localizações dos baús 1 e 2.

b) Qual o baú com o tesouro? Explique como chegou à sua conclusão.

A�vidade 8

Três amigos foram a uma pizzaria e cada um pediu uma pizza média, de três saboresdiferentes: João comeu 3

4da pizza de calabresa, Maria comeu 2

4da pizza de presunto

e Miguel comeu 35da pizza de Milho. Sabendo que todas as pizzas eram do mesmo

tamanho, pergunta-se:

a) Quem comeu mais pizza, João ou Maria? Explique.

b) E no caso de João e Miguel, quem comeu mais pizza? Explique.



✐

✐ ✐

c) João comeu mais do que Maria e tambémcomeu mais do que Miguel conforme ositens anteriores.

d)

0 124

34

35

A�vidade 9

Obje�vos específicos: Levar o aluno a⋆ Estabelecer a comparação entre frações a par�rda representação na reta numérica;

⋆ Comparar frações, tanto com o mesmo numera-dor como com o mesmo denominador.

Recomendações e sugestões para o desenvolvi-mento da a�vidade:⋆ Recomenda-se que, nesta a�vidade, os alunostrabalhem individualmente. No entanto, é fun-damental que os alunos sejam es�mulados a ex-plicar o raciocínio realizado.

⋆ É solicitado que os alunos escrevam a jus�fica-�va para a avaliação de cada item. Essa deci-são tem como obje�vo fazer com que o alunová além da argumentação oral, mas que consigaorganizar as ideias para se expressar por escrito.

⋆ Observe que o caminho está repar�do em 24partes congruentes, ainda que não haja fraçõessugeridas. A ideia é que cada aluno possa, sozi-nho, decidir sobre os pontos correspondentes àmetade, a quartos, a oitavos e a terços. Se neces-sário, discuta essas marcações com os alunos.

⋆ Cabe observar que cada item pode ser resolvidode forma independente. Por exemplo, para deci-dir se a posição da tartaruga corresponde a maisdo que 3

8 do percurso total, o aluno deve iden�-ficar oitavos na reta numérica. Já para decidir sea tartaruga já percorreu menos do que 2

3 do per-curso total, deve iden�ficar terços. Assim, nãohá necessidade de comparar oitavos com terços.

⋆ Para responder à questão, não há necessidadede uma informação precisa da posição da tar-taruga. A representação das frações indicadas

para serem comparadas com a localização da tar-taruga não geram dúvida sobre estarem antes ouapós a posição da tartaruga, apesar dessa posi-ção não correspoonder claramente a um únicoponto na reta numérica.

⋆ Os itens g) e h) envolvem termos compara�vosmenos precisos do que maior do que e menor doque. A expressão e “pelo menos” oferece outraforma de se avaliar a comparação. Explore essadiferença, observando se os alunos compreende-ram.

⋆ Os itens i) e j) exigem que os estudantes façamuma “leitura” da reta numérica ainda não experi-mentada. Precisam observar, em relação ao per-curso total, ou seja, à unidade, a fração corres-pondente ao que falta ser percorrido.

⋆ Há vários raciocínios possíveis para responderaos diversos itens desta a�vidade. Incen�veseus alunos a explicarem como raciocinaram, res-saltando, sempre que possível, as diferentes so-luções.


a) Não está correta. Marcando-se o pontocorrespondente à metade do percurso, éfácil verificar que a tartaruga ainda não al-cançou esse ponto. Portanto, a tartaruganão percorreu mais do que a metade dopercurso total.

b) Não está correta. Dividindo-se o percursoem quartos, como ilustra a figura a seguir,fica claro que o ponto correspondente a 3

4

do percurso está adiante da localização datartaruga. Portanto, a tartaruga não percor-reu mais do que 3

4 do percurso total.


✐

✐ ✐

c) Dos três amigos, quem comeu mais pizza? Explique.

d) Marque na reta numérica a seguir as frações correspondentes às porções de pizzaque cada amigo comeu, e confirme na reta numérica sua resposta em c.

0 1

A�vidade 9

A imagem a seguir ilustra uma tartaruga percorrendo um caminho em linha reta, doponto de par�da ao de chegada. Observe a posição da tartaruga na imagem e avalie seas afirmações a seguir estão corretas ou não. Em cada item, explique a sua avaliação porescrito.

a) A tartaruga percorreu mais do que a metade do percurso total.

b) A tartaruga percorreu mais do que 34do percurso total.

c) A tartaruga percorreu mais do que 38do percurso total.

d) A tartaruga percorreu menos do que 34do percurso total.

e) A tartaruga percorreu menos do que 28do percurso total.

f) A tartaruga percorreu menos do que 23do percurso total.

g) A tartaruga percorreu 34do percurso total.

h) A tartaruga percorreu pelo menos 58do percurso total.

i) Para alcançar a chegada, a tartaruga precisa percorrer mais do que a metade docaminho.

j) Para alcançar a chegada, a tartaruga precisa percorrer menos do que 23do caminho.



✐

✐ ✐

c) Está correta. Dividindo-se o percurso emoitavos, como ilustra a figura a seguir, ficaclaro que o ponto correspondente a 3

8 dopercurso está antes da localização da tarta-ruga. Portanto, verifica-se que a tartarugapercorreu mais do que 3


d) Está correta. Dividindo-se o percurso emquartos, como ilustra a figura a seguir,verifica-se que a localização da tartarugaé anterior ao ponto correspondente a 3

4 dopercurso. Portanto, a tartaruga percorreumenos do que 3


e) Não está correta. Dividindo-se o percursoem oitavos, como ilustra a figura a seguir,fica claro que o ponto correspondente a 2

8

do percurso está antes da localização datartaruga. Portanto,verifica-se que a tarta-ruga percorreu mais do que 2

8 do percurso.

f) Está correta. Dividindo-se o percurso emterços, fica claro que o ponto correspon-dente a 2

3 do percurso está adiante da loca-lização da tartaruga. Portanto, verifica-seque a tartaruga percorreu menos do que 2

3

do percurso

g) Não está correta. Dividindo-se o percursoem quartos, como ilustra a figura a seguir,fica claro que o ponto correspondente a 3

4

do percurso está adiante da localização datartaruga. Portanto, verifica-se que a tar-taruga percorreu menos do que 3

4 do per-curso.

h) Não está correta. Dividindo-se o percursoem oitavos, fica claro que o ponto corres-pondente a 5

8 do percurso está adiante dalocalização da tartaruga. Portanto,verifica-se que a tartaruga não alcançou 5

8 do per-curso total.

i) Está correta. De acordo com a resposta doitem a), a tartaruga não alcançou a metadedo percurso. Poranto, para alcançar a che-gada, a tartaruga ainda precisa percorrermais do que a metade do caminho.

j) Não está correta. A tartaruga já percorreumais do que 1

3 do percurso e todo o per-curso corresponde a 3

3 . Portanto, para al-cançar a chegada, a tartaruga precisa per-correr menos do que 2

3 do caminho.

A�vidade 10

Obje�vos específicos: Levar o aluno a⋆ Representar frações na reta numérica, a par�r daiden�ficação da unidade;

⋆ Iden�ficar, na reta numérica, os pontos corres-pondentes ao 0 e ao 1, a par�r da represetaçãode duas frações (no caso, as frações 1

2 e 32 ).

⋆ Reconhecer a reta numérica em uma representa-ção não comum.


⋆ Recomenda-se que, nesta a�vidade, os alunostrabalhem individualmente. No entanto, é fun-damental que os alunos sejam es�mulados a ex-plicar o raciocínio realizado.

⋆ Observe que a reta numérica não é apresentadada forma mais tradicional, paralela a uma dasmargens da página e na direção comumente cha-mada de horizontal. O obje�vo é ampliar e variaro contato com esse modelo de representação.


✐

✐ ✐

A�vidade 10

Na figura, há várias retas paralelas igualmente espaçadas e outra reta, destacada emvermelho, não paralela às anteriores. Observe que as retas paralelas marcam na retadestacada em vermelho pontos também igualmente espaçados. Dois desses pontoscorrespondem ao 0 e ao 1. A reta vermelha torna-se uma reta numérica, como ilustra afigura.

a) Marque, usando os pontos destacados na reta numérica, a fração 12.

b) Associe frações a cada um dos pontos destacados na reta numérica. Explique asua resposta.

0

1

Como na figura anterior, há várias retas paralelas igualmente espaçadas e outrareta, destacada em azul, não paralela às anteriores. Observe que as retas paralelasmarcam na reta destacada em azul pontos também igualmente espaçados. Doisdesses pontos correspondem às frações 1

2e 3

2, como ilustra a figura.

c) Marque, usando os pontos destacados na reta numérica, os pontos corresponden-tes ao 0 e ao 1

d) Marque, nesta mesma reta numérica, as frações 34e 5

4.



✐

✐ ✐

⋆ Além disso, os pontos que iden�ficam frações daunidade (no caso, décimos) também são determi-nados de uma forma não tradicional. A divisãoé estabelecida a par�r de um feixe de retas pa-ralelas igualmente espaçadas e transversal à retanumérica em destaque.

⋆ Os dois primeiros itens desta a�vidade são bas-tante simples, apesar da representação não tra-dicional.

⋆ O terceiro item desta a�vidade obje�va que oaluno iden�fique os pontos correspondentes ao0 e ao 1, que determinam o segmento unitáriona reta numérica, a par�r dos pontos correspon-dentes às frações 1

2 e 32 .


a)

0

1

12

b)

0

1

110

210

310

410

510

610

710

810

910

12

c)

12

32

0

1

d)

12

32

34

54

Sobre o Organizando as Ideias

Após o Organizando as Idéias, passar-se-á a falarapenas em “fração” ao referir-se a frações na retanumérica, subentendendo-se que já esteja claropara os alunos que trata-se de uma “fração da uni-dade”. A unidade é iden�ficada na reta pelo seg-mento de extremos 0 e 1, mesmo que a indicaçãodesses pontos não esteja explicita, mas que pos-sam ser determinados a par�r de outras informa-ções (por exemplo, as marcações das frações 1

2 e 32 .

Espera-se que, ao longo desta lição, o alunotenha associado fração a uma quan�dade. As-sim, no parágrafo que trata sobre a ordem nareta numérica, fala-se nos “números representadosna reta numérica”, incluindo-se, entre eles, as fra-ções. Lembre que a justaposição de segmentospode sempre ser feita com a ajuda do compasso,evitando-se assim, medida.


✐

✐ ✐

12

32


Frações na reta numéricaJá é conhecido que os números naturais podem ser representados por pontos em

uma reta. Para isso, é preciso começar escolhendo dois pontos que vão corresponderao 0 e ao 1 e, a par�r deles, são marcados os pontos que corresponderão aos demaisnúmeros naturais.

unidade

0 1

2 unidades

0 1 2

7 unidades

0 1 7

As frações também podem ser associadas a pontos na reta numérica. Para isso, épreciso iden�ficar o segmento unitário, aquele cujos extremos são os pontos correspon-dentes ao 0 e ao 1. Esse segmento representa a unidade.



✐

✐ ✐

Notas de Aula


✐

✐ ✐

0 1

Dividindo a unidade em partes iguais, cada uma das partes iden�fica uma fração daunidade na reta numérica. Por exemplo, a divisão da unidade em 3 partes iguais iden�ficaterços. O ponto correspondente a 1

3é a extremidade do segmento que, a par�r do 0,

iden�fica o primeiro terço da unidade.

13da unidade

0 1 2 31

3

A par�r dele, por justaposições desse segmento, são iden�ficados na reta numéricaos pontos correspondentes a 2

3,33,43, e assim por diante.

23da unidade

0 1 2 31

3

2

3

0 1 2 3

0

3

3

3

6

3

9

3

1

3

2

3

4

3

5

3

7

3

8

3

10

3

A representação dos números na reta numérica ajuda a perceber que os pontos cor-respondentes a algumas frações são os mesmos que os correspondentes a alguns nú-meros naturais. Por exemplo, 3

3é igual a 1.

0 1 2 3

1

3

2

3

0 1 2 3

3

3



✐

✐ ✐

Notas de Aula


✐

✐ ✐

Já 63é igual a 2.

0 1 2 3

1

3

2

3

3

3

4

3

5

3

0 1 2 3

6

3

E 123, é igual a que número natural? 12

3=

Para iden�ficar na reta numérica os pontos correspondentes às frações 14, 24, 34, 44,54,

64, e assim por diante, o processo é o mesmo:

0 1 2 3 4

0

4

1

4

2

4

3

4

4

4

5

4

6

4

7

4

8

4

9

4

10

4

11

4

12

4

13

4

14

4

15

4

16

4

17

4

18

4

0

4

4

4

8

4

12

4

16

4

Na reta numérica a seguir estão destacados alguns pontos e as frações correspon-dentes a eles. Observe e complete as frações em destaque.

0 1 2 36 6 6

2

6

9

6

A ordem na reta numérica

Na reta numérica, os números são organizados em ordem crescente, a par�r do zerono sen�do do 1. Assim, o que vale para o 0, o 1, o 2, o, 3, etc. também valerá para asfrações:



✐

✐ ✐

A�vidade 11

Obje�vos específicos: Levar o aluno a⋆ Reconhecer a representação das frações na retanumérica;

⋆ Ordenar frações.Material necessário:⋆ Pelo menos 3 metros de barbante, de maneiraque cubra toda uma lateral da sala de aula (porexemplo, aquela em que está posicionado o qua-dro).

⋆ 4 folhas de papel sufite.

⋆ 32 pregadores de roupa (podem ser subs�tuídospor clipes de papel).

⋆ Fita adesiva.Preparação para a a�vidade:⋆ Esta a�vidade deve ser desenvolvida como umjogo, envolvendo todos os alunos da turma, or-ganizados em grupos com 5 ou 6 alunos. A quan-�dade de par�cipantes em cada grupo e, conse-quentemente, a quan�dade de grupos, deve serdecidida tendo em conta a quan�dade de alunosna turma. Tudo deve ser combinado e esclare-cido antes de a a�vidade começar.

⋆ O professor deve fazer um “varal” com o bar-bante em um local que seja visível para todosos alunos e não muito alto para que os estudan-tes possam alcançar com as mãos. Pode ser, porexemplo, em frente ao quadro, e indo de um ex-tremo a outro da sala. Esse barbante represen-tará a reta numérica.

⋆ O obje�vo da a�vidade é “pendurar os núme-ros” no barbante usando pregadores ou fitas ade-sivas, visando experimentar, em uma a�vidadeconcreta, a associação entre os pontos da reta eos números. Para isso, serão feitos cartões nu-merados.

⋆ É Importante reforçar a fixacão das extremida-des do barbante para que não solte com o pesodos cartões que serão pendurados.

⋆ Dobre cada uma das folhas de papel 2 vezes aomeio, em direções paralelas aos lados, marcandoassim 4 retângulos congruentes em cada folha.Recorte esses retângulos. Cada um deles seránumerado e, durante a a�vidade, fixado no bar-bante. Serão chamados de cartões numerados(como os da figura).

⋆ Escreva as os números 0, 1, 2, 3, 12 ,

22 ,

32 ,

42 ,

52 ,

62 ,

13 ,

23 ,

33 ,

43 ,

73 ,

93 ,

14 ,

24 ,

34 ,

44 ,

54 ,

64 ,

84 ,

104 ,

114 ,

124 ,

15 ,

35 ,

45 ,

65 ,

75 ,

105 ,

110 nesses cartões.

⋆ Observe que são contemplados números natu-rais e frações não inteiras.

⋆ Além dos cartões numerados com o 0 (zero) e o1 (um) , recomenda-se que haja pelo menos umcartão numerado para cada aluno. A sequênciacom 32 números é uma sugestão básica. Essasequência pode ser ampliada (ou reduzida) a par-�r da avaliação do professor.

Recomendações e sugestões para o desenvolvi-mento da a�vidade:⋆ O desenvolvimento da a�vidade precisa ser me-diado pelo professor. O processo e a discussãosão importantes.

⋆ As fichas com o 0 (zero) e com o 1 (um) devemser presas no barbante pelo professor com fitaadesiva antes do início da a�vidade, porque adistância entre o 0 (zero) e o 1 (um) terá o pa-pel de unidade para o estudante determinar aposição dos demais cartões. Isso deve ser feitoà vista dos alunos para ressaltar que a unidadeé escolhida.

⋆ Caso seja u�lizado um barbante de 3 metros, ozero pode ser posicionado bem próximo à extre-midade e o número um a 90 cm à direita do zero.

⋆ Combine todas as regras com os alunos.

⋆ Recomenda-se que os grupos sejam iden�fica-dos, por exemplo, por cores para facilitar a comu-nicação. Cada grupo, na sua vez de jogar, devefixar um cartão numerado no varal e outro grupodeve avaliar se o cartão foi fixado em uma posi-ção correta ou não.


✐

✐ ✐

0 1 2 312

22

32

42

52

62

0 1 2 315

25

35

45

55

65

75

85

95

105

115

125

135

145

155

165

175

0 1 2 3010

110

210

310

410

510

610

710

810

910

1010

1110

1210

1310

1410

1510

1610

1710

1810

1910

2010

2110

2210

2310

2410

2510

2610

2710

2810

2910

3010

3110

3210

3310

3410

0 1 2 3010

110

210

310

410

510

610

710

810

910

1010

1110

1210

1310

1410

1510

1610

1710

1810

1910

2010

2110

2210

2310

2410

2510

2610

2710

2810

2910

3010

3110

3210

3310

3410

15

25

35

45

65

75

85

95

115

125

135

145

165

175

12

32

52

Na reta numérica, quanto mais distante do 0 es�ver o ponto correspondente aonúmero, maior será o número.

0 1 4

3

4

5

43é maior do que 4

5. Ou ainda, 4

5é menor do que 4

3.

O símbolo é usado < para dizer “menor do que”.Por exemplo, a frase “oito é menor do que quinze” pode ser expressa de modo mais

resumido com “8 < 15”. Já a expressão 12< 3

2indica que “um meio é menor do que três

meios”.Do mesmo modo, o símbolo > é usado para significar “maior do que”, portanto,

também pode-se escrever 15 > 8 para expressar “quinze é maior do que oito” ou 32> 1

2

para expressar “três meios é maior do que um meio”



✐

✐ ✐

⋆ Distribua os cartões igualmente entre os gruposformados.

⋆ A correção da fixação realizada por um grupodeve ser decidida por outro grupo, podendo serdiscu�da com toda a turma.

⋆ Pontuacão: cada cartão numérico posicionadocorretamente vale um ponto para o grupo quefixou o cartão. Cada avaliação correta vale meioponto para o grupo que ficou responsável porela.

⋆ Vence o jogo o grupo que, após a fixação de to-dos os cartões numerados no varal, �ver acumu-lado maior quan�dade de pontos.

⋆ Em cada rodada, todos os grupos devem prenderum cartão numérico no varal e avaliar a colcaçãofeita por outro grupo. Varie as duplas de gru-pos que farão as ações de fixação/avaliação decada cartão preso no varal. Assim, por exemplo,se a turma es�ver organizada em 5 grupos (Azul,Verde, Vermelho, Amarelo e Preto), com 6 alu-nos cada um, na prmeira rodada as duplas quefarão a fixação/avaliação podem ser, por exem-plo, azul/preto, verde/vermelho, vermelho/azul,amarelo/verde e preto/amarelo. Já na segundarodada as duplas podem ser azul/amarelo, ver-de/preto, vermelho/verde, amarelo/azul e pre-to/vermelho. Planeje previamente essas associ-ações e comunique aos alunos para não gerardiscussão durante a realização.

⋆ Incen�ve e procure fazer, respeitando as ques-tões pessoais, com que todos os alunos façam afixação de pelo menos um cartão numerado novaral.

⋆ Escolha o grupo com o número 2 para dar iní-cio ao jogo. Em seguida aquele que �ver o nú-mero 3. Claro que esses números serão maisfacilmente posicionados no varal. Essa decisãopode ser uma estratégia deles no jogo. Alémdisso, quando já presos no varal, facilitarão a fixa-ção dos demais. Pode acontecer de esses grupos

não escolherem inicialmente esses catões. Noentanto, quando esses cartões forem os escolhi-dos pelos respec�vos grupos para serem fixadosno barbante, discusta a relevância dessas refe-rências para facilitar a fixação dos demais núme-ros, não inteiros.

⋆ Observe que alguns cartões numerados ocu-parão a mesma posição na reta. Por exem-plo, os numerados com 2 e 4

2 . Nesses casos,recomenda-se que o segundo cartão a ser fixadoseja preso no que já está no varal, sem que umesconda o outro. Sugere-se um abaixo do ou-tro. Aproveite esses casos para discu�r com osalunos que um mesmo número pode ter mais doque uma representação.

⋆ Muito provavelmente as frações de denomina-dor 2 serão as mais fáceis de serem fixadas novaral. Em seguida, as de denominador 4. A fixa-ção das frações de denominadores 3, 5 e 10 de-vem impor um pouco mais de desafio. Garantaque haja equilíbrio de dificuldade na distribuiçãodos cartões numerados entre os grupos.

⋆ Es�mule a discussão interna nos grupos para adecisão da posição de fixação de cada cartão nu-merado. O aluno eleito pelo grupo para prendero cartão no barbante deve explicar como decidi-ram por aquela posição.

⋆ A a�vidade pode ser refeita recolhendo-se oscartões das frações do varal, colocando-os em-baralhados sobre a mesa do professor com as fa-ces voltadas para baixo e cada estudante deve irà mesa do professor pegar um cartão e prendê-lo no varal.

⋆ Uma variação desse jogo pode admi�r que umgrupo sugira frações para que outro grupo faça afixação. Nesse caso, as frações podem ser esco-lhidas a par�r de uma lista previamente estabele-cida pelo professor. Recomenda-se que o grupoque escolher a fração faça a leitura e que o grupoque fizer a fixação registre simbolicamente essa


✐

✐ ✐

MÃO NAMASSA

A�vidade 11

Jogo: varal dos números

O varal de números está disposto na sala de aula, nele já estão posicionados osnúmeros 0 (zero) e 1 (um), como na figura. Nos cartões preparados para a a�vidadeestão os números:0, 1, 2, 3, 1

2, 22, 32, 42, 52, 62, 13, 23, 33, 43, 73, 93, 14, 24, 34, 44, 54, 64, 84, 10

4, 11

4, 12

4, 15, 35, 45, 65, 75, 10

5, 110.

O jogo consiste em fixar cartões numerados em varal, reproduzindo uma reta numé-rica. As regras serão apresentadas pelo seu professor ou professora. Discuta com seuscolegas a posição correta de fixação de cada um dos cartões numerados no varal.

Ao final do jogo, reproduza a forma como os cartões foram posicionados no varal nareta numérica a seguir. Aproveite as marcações já existentes.

A�vidade 12

Na reta numérica já estão marcados o 0, o 1 e a fração 12. Marque 3

2, 34, 54, 84, 10

4, 18, 78, 10

8

e 2.

0 12

1



✐

✐ ✐

fração. Dessa forma, a leitura e a escrita em re-presentação simbólica também podem ser trata-das na a�vidade.


Para facilitar a visualização apresentamos asolução em duas retas.

0 1 2 3

12

22

32

42

52

62

13

23

33

43

73

93

14

24

34

44

54

64

84

104

114

124

15

35

45

65

75

105

110

A�vidade 12

Obje�vo específico:⋆ Representar frações na reta numérica.

⋆ Comparar frações.Recomendações e sugestões para o desenvolvi-mento da a�vidade:⋆ Recomenda-se que esta a�vidade seja realizadaindividualmente. No entanto, a discussão dasresposta deve ser feita com toda a turma. Es-�mule seus alunos a explicarem suas respostas.

⋆ A associação das frações aos pontos correspon-dentes exigirá estratégias e comparações varia-das. Procure iden�ficar e discu�r as argumenta-ções apresentadas pelos alunos.

⋆ Todos os pontos necessários para estabelecer asassociações solicitadas estão evidenciados na fi-gura, no entanto, nem todos são imediatos.

⋆ Inicialmente os alunos precisam iden�ficar queas marcações em destaque iden�ficam oitavos.Assim, por exemplo, para iden�ficar quartos,será necessário reunir dois oitavos e para mar-car 3

2 será necessário contar 12 oitavos.

⋆ Esta a�vidade oferece também, de forma indi-reta, a oportunidade de os alunos estabeleceremcomparações. Por exemplo, reconhecer que 3

4 émenor do que 1, que 5

4 é maior do que 84 = 2 e

que 104 é menor do que 10

8 . Destaque e discutaessas e outras comparações com os seus alunos.


012

132

34

54

84

2104

18

78

810

A�vidade 13

Obje�vo específico: :⋆ Representação de frações 1

d na reta numérica.

⋆ Comparação de frações 1d na reta numérica.

Recomendações e sugestões para o desenvolvi-mento da a�vidade:⋆ Recomenda-se que esta a�vidade seja realizadaindividualmente. No entanto, a discussão dasrespostas deve ser feita com toda a turma. Es-�mule seus alunos a explicarem suas respostas.

⋆ Observe e discuta com seus alunos que, no casodas frações de numerador igual a 1 (frações 1

d ),quanto maior o denominador, menor a fração.Portanto, sua representação na reta numéricaestá mais perto do zero.

⋆ Aproveite para propor e discu�r com seus alunosalgumas reflexões tais como:

(i) Alguma fração com numerador igual a 1pode ter sua representação na reta numé-rica entre 1

2 e 1?

(ii) Qual fração é maior, 14 ou 1

10?

(iii) Que fração tem sua representação na retanumérica mais próxima de 0, 1

5 ou 16?


As respostas são na ordem I, A, B, H, F, C, E,D e G.


✐

✐ ✐

A�vidade 13

Associe, como no exemplo, cada uma das frações à sua representação na reta numérica.

(A) 12

(B) 13

(C) 14

(D) 15

(E) 16

(F) 17

(G) 18

(H) 19

(I) 110

0 1

(A)0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

MÃO NA MASSA 49


✐

✐ ✐

A�vidade 14

Obje�vo específico: Comparação de frações uni-tárias em sua representação simbólica.Recomendações e sugestões para o desenvolvi-mento da a�vidade:⋆ Recomenda-se que esta a�vidade seja realizadaindividualmente. No entanto, a discussão dasresposta deve ser feita com toda a turma. Es-�mule seus alunos a explicarem suas respostas.

⋆ Esta a�vidade é complementar da anterior. Naa�vidade anterior, as frações estão representa-das na reta numérica. Nesta, as frações unitáriassão apresentadas em sua representação simbó-lica, na forma a

b . Espera-se que os alunos con-sigam compará-las fazendo relação com a repre-sentação na reta numérica, tratada na a�vidadeanterior. Assim, por exemplo, a desigualdade110 < 1

4 pode ser jus�ficada pelo fato de que,na representação na reta numérica, a fração 1

10

está mais próxima do ponto correspondente aozero do que a fração 1

4 .


a) 12 > 1

5 .

b) 14 < 1

3 .

c) 110 > 1

20 .

d) 112 < 1

2 .

e) 135 > 1

43 .

f) 199 > 1

100 .

g) 15 > 1

50 .

h) 1100 < 1

10 .

A�vidade 15

Obje�vo específico:⋆ Comparação de frações com o mesmo numera-dor ou com o mesmo denominador, a par�r deum referencial.

Recomendações e sugestões para o desenvolvi-mento da a�vidade:⋆ Recomenda-se que esta a�vidade seja realizadaem duplas. No entanto, a discussão das respostadeve ser feita com toda a turma.


⋆ A associação das frações aos pontos correspon-dentes exigirá que os alunos saibam associarpontos na reta numérica às frações correspon-dentes e que façam comparações de diferentes�pos. Valorize e discuta as diversas estratégiasapresentadas pelos alunos.

⋆ Por exemplo, uma vez que os pontos correspon-dentes ao 0, ao 1 e a 1

2 já estão destacados, énatural que as primeiras frações a serem asso-ciadas a pontos na reta numérica sejam 1

4 e 34 .

Em seguida, reconhecendo que 18 corresponde

à metade de 14 , as frações 3

8 e 58 podem ser as

próximas. Na sequência, o aluno pode reconhe-cer que 4

5 e 910 são menores do que a unidade

e que 98 e 11

10 são maiores. Entre 45 e 9

10 ,910

pode ser iden�ficada como maior por faltar ape-nas 1

10 para compor a unidade , enquanto quepara 4

5 falta 15 da unidade. Por fim, por raciocínio

análogo, a fração 98 pode ser iden�ficada como

maior do que 1110 : Sabe-se que 1

8 é maior do que110 e que

98 é

18 maior do que a unidade, enquanto

que 1110 é 1

10 maior. Portanto, 98 é maior do que

1110 .

⋆ Se achar necessário, discuta a comparação entrealguns pares das frações apresentadas antes deos alunos resolverem a a�vidade. Por exemplo,peça-lhes que comparem 3

8 e 58 , que são frações

com o mesmo denominador. Ou que comparem98 e 9

10 , frações com o mesmo numerador.

⋆ O aluno pode responder simplesmente “ligando”os cartões com as frações aos pontos cor-respondentes na reta numérica. No entanto,recomenda-se que o professor oriente-os a es-crever as frações abaixo dos pontos corrrespen-


✐

✐ ✐

A�vidade 14

Observando a a�vidade anterior (A�vidade 13), complete as sentenças a seguir com ossinais > (maior) ou < (menor) de modo a torná-las verdadeiras.

a)1

2

1

5e)

1

35

1

43

b)1

4

1

3f)

1

99

1

100

c)1

10

1

20g)

1

5

1

50

d)1

12

1

2h)

1

100

1

10

A�vidade 15

Na reta numérica a seguir estão destacados os pontos correspondentes ao 0, ao 1 e a 12.

Os demais pontos correspondem às frações apresentadas a seguir. Associe cada fraçãoao ponto correspondente.

0 12

1

14

34

45

38

58

98

910

1110

A�vidade 16

Complete as sentenças a seguir com os sinais > (maior), < (menor) ou = (igual) de modoa torná-las verdadeiras.



✐

✐ ✐

tes na reta numérica, a exemplo do 0, do 1, e de12 .


0 12

114

38

58

34

45

910

1110

98

A�vidade 16

Obje�vo específico: Comparação de frações.Recomendações e sugestões para o desenvolvi-mento da a�vidade:⋆ Recomenda-se que esta a�vidade seja realizadaindividualmente. No entanto, a discussão dasrespostas deve ser feita com toda a turma. Es-�mule seus alunos a explicarem suas respostas.

⋆ Nesta a�vidade, as frações são apresentadasapenas em sua representação simbólica naforma a

b . Espera-se que os alunos consigamcompará-las a par�r da ideia de quan�dade, semnecessariamente recorrer às representações emmodelos con�nuos ou na reta numérica. Assim,por exemplo, a comparação entre 1

2 e 13 fica es-

tabelecida pelo fato de que a primeira iden�-fica uma das partes da equipar�ção da unidadepor dois, enquanto que 1

3 iden�fica uma das par-tes da equipar�ção da mesma unidade por três.Logo, 1

2 > 13 .

⋆ No entanto, é importante observar que algunsalunos podem precisar do apoio das demais re-presentações citadas. A discussão de cada itemdeve ser amparada por, pelo menos, uma dastrês estratégias destacadas: (i) argumentaçãoverbal amparada pela ideia de quan�dade; (ii) re-presentação em modelos con�nuos e (iii) repre-sentação na reta numérica. Por exemplo, na cor-reção do item a), entre 3

6 e 56 , espera-se que a

discussão contemple:

(i) o fato de que, como essas frações indicamquan�dades de “sextos”, a menor (maior) éaquela que têm menor (maior) numerador.Portanto, 3

6 < 56 .

(ii) A representação em modelos con�nuos:

(iii) A representação na reta numérica

⋆ Recomenda-se fortemente que os alunos sejamconvidados a compar�lharem com a turma assuas estratégias e que se possível, na discussãode cada item, o professor ampare a reflexão comas representações em modelos co�nuos e nareta numérica que emergirem dessa par�cipação.No entanto, se isso não acontecer, o professordeve apresentá-las.

⋆ Observe que os primeiros itens envolvem a com-paração entre frações que têm o mesmo deno-minador. Portanto, a comparação se estabelecea par�r da comparacão entre os numeradores,amparada pelo entendimento de que quanto me-nor (maior) a quan�dade de partes iguais, menor(maior) a fração.

⋆ Os itens seguintes envolvem a comparação defrações com o mesmo numerador. Portanto, acomparação se estabelece a par�r da compara-ção entre os numeradores, amparada pelo enten-dimento de que quanto maior (menor) o denomi-nador, menor (maior) a parte da unidade.

⋆ Os itens do úl�mo bloco envolvem a compara-ção de frações tendo a comparação dessas fra-ções com a unidade como referência. Por exem-plo, tem-se que 9

8 > 1. Já 910 < 1. Portanto,

910 < 9

8 .


a) 59 > 4

9

b) 36 < 5

6

c) 710 < 9

10

d) 312 < 9

12

e) 39100 > 25

100

f) 12 > 1

3

g) 17 < 1

6


✐

✐ ✐

a)3

6

5

6f)

1

2

1

3m)

3

2

2

5

b)5

9

4

9g)

1

7

1

6n)

3

4

6

5

c)7

10

9

10h)

2

5

2

7o)

7

8

10

9

d)3

12

9

12i)

4

5

4

3p)

6

5

12

9

e)39

100

25

100j)

12

15

12

7q)

4

5

5

4

l)22

80

22

90r)

35

40

30

25

s)99

100

3

2

QUEBRANDO A CUCA

A�vidade 17

Você recebeu uma folha com retângulos que têm o mesmo tamanho mas que são co-loridos de maneira diferente. Em cada um deles há marcações que representam umaequipar�ção.

a) Complete os retângulos, ecrevendo em cada um deles a fração representada por cadaparte da equipar�ção, como no exemplo

12

12

QUEBRANDO A CUCA 51


✐

✐ ✐

h) 25 > 2

7

i) 45 < 4

3

j) 1215 < 12

7

k) 2280 > 22

90

l) 32 > 2

5

m) 34 < 6

5

n) 78 < 10

9

o) 65 > 12

9

p) 45 < 5

4

q) 3540 < 30

25

r) 99100 < 3

2

A�vidade 17

Obje�vos específicos: Levar o aluno a⋆ Relacionar a representação de frações unitáriasem modelo de área retangular com a representa-ção dessas frações na reta numerada.

Recomendações e sugestões para o desenvolvi-mento da a�vidade:⋆ Recomenda-se que esta a�vidade seja realizadaem duplas ou em trios. No entanto, a discussãodas respostas deve ser feita com toda a turma.

⋆ Cada aluno deve receber o material para o de-senvolvimento da a�vidade, que consiste emuma folha, disponível para reprodução, em quehá 10 retângulos congruentes, cada um comuma cor e indicando uma equipar�ção diferenteda unidade, como ilustrado a seguir. As faixasestão subdivididas em : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10e 16 partes iguais.

⋆ Para o desenvolvimento da a�vidade,recomenda-se que os alunos cortem e manu-seiem omaterial a ser reproduzido (veja as folhaspara reprodução no final do livro). É importanteque reconheçam que todas as faixas coloridassão iguais (congruentes), o que pode ser feito

pela sobreposição. O retângulo representa aunidade. Além disso, é importante que perce-bam que cada uma das faixas (ou a unidade)tem uma equipar�ção indicada, representandofrações unitárias diferentes. Por exemplo, cadaparte da faixa amarela representa 1

5 da unidade.

⋆ No item b), observe que na imagem da reta nu-merada, apesar das marcações, não estão escri-tos os números 0 e 1. Oriente seus alunos a fa-zer essa iden�ficação e a relacioná-la com a uni-dade considerada, o retângulo.

⋆ Algumas das frações indicadas para serem repre-sentadas na reta numérica são maiores que umaunidade. Nesses casos, oriente seus alunos afazer a justaposição das partes dos retânguloscorrespndentes. Por exemplo, para representar127 será necessário justapor um retângulo a cincopartes do retângulo laranja.


a) De cima para baixo as frações são 1, 12 , 1

3 ,14 , 1

5 , 16 , 1

7 , 18 , 1

9 , 110 e 1

16

b) Para facilitar a visualização apresentamosapenas o segmento de 0 a 2 ampliado.

0 1 212

13

14

34

35

56

76

67

107

127

108

128

109

129

1010

2016

A�vidade 18

Obje�vo específico:⋆ Representação de frações na reta numérica.

⋆ Comparação de frações a par�r de sua represen-tação na reta numérica.

Recomendações e sugestões para o desenvolvi-mento da a�vidade:⋆ Recomenda-se que esta a�vidade seja realizadaem duplas. No entanto, a discussão das respos-tas deve ser feita com toda a turma.



✐

✐ ✐

b) Recorte os retângulos coloridos da folha que você recebeu e use-os para representarna reta numérica os seguintes números:

0, 1, 12, 13, 14, 34, 35, 56, 76, 67, 10

7, 12

7, 10

8, 12

8, 10

9, 12

9, 1010, 2016

0 1

A�vidade 18

Na reta numérica a seguir:

a) Marque 12. Jus�fique sua resposta.

b) Marque 14, 34e 5

4. Explique como raciocinou para fazer essas marcações.

0 2

Observando a reta numérica com as marcações feitas, compare:

c) 14é maior ou menor do que 1

2?

d) 34é maior ou menor do que 1

2?

e) 54é menor do que 1?

f) Escreva as frações marcadas na reta em ordem crescente, completando os espaçosa seguir:

0 <□□ <

□□ <

□□ < 1 <

□□

Volte à reta e marque outras três frações que atendam às seguintes condições:



✐

✐ ✐

⋆ A associação das frações aos pontos correspon-dentes exigirá que os alunos saibam associarpontos na reta numérica às frações correspon-dentes e que façam comparações de diferentes�pos. Valorize e discuta as diversas estratégiasapresentadas pelos alunos.

⋆ Observe que apenas os pontos correspondentesa 0 e a 2 estão destacados na reta. Ainda que nãoseja de fato necessário, recomenda-se que, nodesenvolvimento da a�vidade, sejam marcadosos pontos correspondentes a 1, 3, 4 e 5. Especi-almente a marcação do 1, facilita a iden�ficaçãoda unidade.

⋆ Para a marcação de 14 , de

12 , de

34 e de 5

4 , espera-se que os alunos u�lizem os conhecimentos ad-quiridos nas a�vidades anteriores. É uma opor-tunidade de revisão e de avaliação do aprendi-zado. Não se acredita que os alunos terão difi-culdade para isso. Mas é importante que o pro-fessor fique atento e, se for o caso, faça a neces-sária revisão.

⋆ Observe que, nesta a�vidade, a par�r da repre-sentação na reta, o aluno é convidado a exprimira ordem das frações em simbologia matemá�ca.Aproveite para destacar o fato de que quantomenor a fração, mais próxima do zero será suarepresentação na reta.

⋆ Os úl�mos itens desta a�vidade admitem váriasrespostas. Explore as soluções dadas pelos seusalunos. Aproveite para discu�r estratégias vari-adas de comparação. Por exemplo, decidir que72 < 11

3 < 4 pode ser jus�ficado pelo fato deque para marcar o ponto correspondente a 7

2 aunidade entre 3 e 4 deve ser dividida ao meio,enquanto que, para marcar o ponto correspon-dente a 11

3 , é necessário dividí-la em três partesiguais e tomar o mais próximo de 4. Assim, como13 < 1

2 , pode-se concluir que 72 < 11

3 < 4


14

34

54

154

174

103

113

143

12

72

92

0 1 2 3 4 5

a) Uma forma de marcar 12 na reta numérica

dada pode ser a partir da marcação, pri-meiro, do 1. A marcação do 1 fica entre0 e 2, bem no meio. Com a unidade identi-ficada, a 1

2 fica entre as marcações do 0 edo 1, bem no meio.

b) As marcações de 14 , 3

4 e 54 podem ser feitas

de maneira semelhante, lembrando que 14

fica.

c) 14 é menor do que 1

2 porque está mais pró-ximo de zero.

d) 34 é maior do que 1

2 porque está mais dis-tante de zero.

e) 54 é menor do que 1 porque está mais dis-tante de zero.

f) Escreva as frações marcadas na reta emordem crescente, completando os espaçosa seguir:

0 <1

4<

1

2<

3

4< 1 <

5

4< 2

g) Há várias respostas possíveis. Por exem-plo, 3 < 7

2 < 4, 3 < 154 < 4 ou 3 < 10

3 < 4

h) Há várias respostas possíveis. Por exem-plo, 7

2 < 154 < 4 ou 7

2 < 113 < 4.

i) Há várias respostas possíveis. Por exem-plo, 17

4 < 92 < 5, 17

4 < 194 < 5 ou 17

4 < 143 <

5.


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g) A primeira deve ser maior do que 3 e menor do que 4.

h) A segunda deve ser maior do que 72.

i) A terceira deve ser maior do que 174e menor do que 5

QUEBRANDO A CUCA 53


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✐ ✐


Reconhecer quando duas frações são iguais, saber gerar frações iguais a uma dada fração e obter duasfrações de mesmo denominador que são iguais a duas frações quaisquer dadas são habilidades fundamentaisque permitem resolver vários problemas no estudo de frações. Por exemplo, com essas habilidades, é pos-sível criar procedimentos que permitem comparar duas frações com denominadores diferentes e obter umafração que está entre duas frações diferentes (propriedade de densidade das frações). São esses tópicos quecompõem a presente lição.

O processo de comparação de frações com denominadores dis�ntos é apresentado como mo�vação, emuma situação problema, em formato de história em quadrinho, logo no início da lição. Contudo sua solução éretomada na seção Organizando as ideias , após a apresentação das oito primeiras a�vidades que compõem aseção Explorando o Assunto . Estas a�vidades iniciais abordam basicamente a igualdade de frações. Todas elasencontram-se organizadas em ordem crescente de dificuldade. O conceito de igualdade é abordado u�lizando-se representações equivalentes em modelos de área retangulares (a�vidades 2 , 3 e 6), ou em modelos deárea circulares (a�vidade 5) ou na reta numérica (a�vidade 8). A inclusão de modelos diferentes é propositalpois, com isso, o aluno tem a oportunidade de perceber as mesmas propriedades em contextos diferentesaumentando assim o seu arsenal de modelos que ele pode lançar mão ao jus�ficar uma resposta ou estudaruma situação.

Cabe destacar aqui um detalhe su�l, mas que permeia toda a lição: trata-se do uso das expressões “fraçõesequivalentes” e “frações iguais” . Nesta lição, a expressão “frações equivalentes” é usada se as frações emquestão es�verem associadas a divisões de algum objeto �sico (bolo, torta, pizza, chocolate, etc.), de forma apoder exprimir o fato de que processos de par�ções diferentes podem gerar quan�dades iguais. Por exemplo,o processo de dividir um bolo ao meio e pegar uma das partes é diferente daquele em que o bolo é divididoquatro partes iguais e se toma duas dessas partes. No entanto, em termos de quan�dades, tem-se, em ambosos casos a metade do bolo. Já a expressão “frações iguais” será usada se as frações se referem a números,sem um contexto específico. Por exemplo, 2

4 é a única fração de denominador 4 que é igual a 12 . No entanto,

cabe ressaltar que não se espera que os alunos sejam capazes de registrar este �po de diferença. Assim,recomenda-se que os usos, por parte dos alunos, das expressões frações equivalentes e frações iguais noscontextos destacados sejam considerados igualmente válidos e indis�nguíveis.

As sistema�zações dos procedimentos de comparação (a�vidades 12 , 13 , 14 , 15 e 18 ) e do conceito deigualdade de frações (a�vidades 9 , 10 , 11 , 16 , 17 , 19 e 20 ) são então realizadas na seçãoMão na Massa . Oprocesso de determinação da fração irredu�vel igual à fração dada é, por exemplo, trabalhado nas a�vidades16 e 17 . Uma condição suficiente para verificação da igualdade de frações é apresentada na a�vidade 19 . Ojogo Trilha dos doze avos (a�vidade 20 ) é uma boa estratégia para que se possa consolidar de forma prazerosaa igualdade de frações.

Na parte final da lição, na seção Quebrando a Cuca , apresentam-se a�vidades que sugerem uma avaliaçãocrí�ca pelos alunos de afirmações que generalizam situações de igualdade e de comparação entre frações.Cabe destacar que todas as a�vidades desta úl�ma seção, em especial, deverão ser conduzidas sem pressa,por meio de debates intensos entre os alunos para que os argumentos equivocados apareçam e possam serdescontruídos por eles próprios.

Tanto a comparação de frações arbitrárias como o estudo da propriedade de densidade apresenta comoprocedimento base a procura por representações equivalentes de frações dadas. Nesse sen�do, destaca-se atécnica u�lizada nas a�vidades 23 e 24 para determinar uma fração intermediária entre duas frações arbitrárias


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Lição 4

Frações Equivalentes eComparação de Frações

54


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dadas. A técnica, que consiste simplesmente em procurar frações intermediárias por meio de representaçõesequivalentes das frações dadas com denominadores iguais e suficientemente grandes, além de original, superao procedimento usual (que u�liza a adição de frações e a divisão de uma fração por um número natural), por suasimplicidade e naturalidade. Este resultado, conhecido no âmbito pedagógico como “propriedade de densidadedos números racionais” , não se verifica para os conjuntos de números naturais e de números inteiros, e é, semdúvida, um dos fatos mais notáveis na extensão que se faz do conjunto dos números inteiros para o conjuntodos números racionais. É a responsável, por exemplo, pelo fato de um número racional não ter elementosucessor.

Cabe lembrar que as habilidades desenvolvidas nessa lição são fundamentais para as lições seguintes quetratam das operações com frações.


O aluno deve ser capaz de:

⋆ Reconhecer a igualdade de frações, seja por representações geométricas ou por representações numéricasequivalentes;

⋆ Determinar frações equivalentes por subdivisões de uma fração dada;

⋆ Iden�ficar a representação de frações iguais (equivalentes) na reta numérica;

⋆ Reconhecer a igualdade de duas frações por processo matemá�co suficiente (se a×d = b× c, então ab = c

d );

⋆ Simplificar frações;

⋆ Comparar duas ou mais frações com denominadores diferentes;

⋆ Reconhecer a fração (o número racional não nega�vo) como uma classe de equivalência;

⋆ Determinar, dada uma fração arbitrária, sua fração irredu�vel;

⋆ Reconhecer a propriedade de densidade do conjunto de frações (números racionais não nega�vos);

⋆ Determinar uma fração, entre duas frações dadas, com base em representações equivalentes dessas fraçõescom denominadores suficientemente grandes.

A�vidade 1


⋆ Reconhecer que as frações 12 e 2

4 são iguais apar�r da observação das representações destasfrações em modelos de área retangulares.

⋆ Reconhecer que, em uma equipar�ção de umaregião retangular, só é possível escolher umaquan�dade de partes que corresponda à metadedesta região se a quan�dade total de partes forum número par.

⋆ É importante, ao final da a�vidade, observar para

os alunos que uma mesma parte do retângulo(metade do retângulo) está sendo descrita porfrações com numeradores e denominadores di-ferentes (isto é, por frações equivalentes) masque, não obstante, por expressarem uma mesmaquan�dade, estas frações são iguais. Assim, 12 ,

24 ,

48 , etc. são respostas válidas para o item b) destaa�vidade.


⋆ Recomenda-se que, nesta a�vidade, os alunostrabalhem individualmente ou em duplas. No en-tanto, é fundamental que os alunos sejam es�-


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A�vidade 1

A turma de Rita vai fazer um piquenique. A professora comprou pães para a turmapreparar sanduíches. Cada colega de Rita preparou um sanduíche e par�u-o em partesiguais. Veja como alguns dos colegas repar�ram o seu sanduiche:

(A) (B) (C) (D)

a) Nessas repar�ções, que fração do sanduíche pode representar cada uma das partesem que o sanduíche foi repar�do?

b) Em quais dessas repar�ções é possível comer metade do sanduíche apenas comas partes em que cada sanduíche foi repar�do? Jus�fique sua resposta!

c) Para cada uma das repar�ções que você deu como resposta no item b), expresse,por meio de frações, a metade do sanduíche.

A�vidade 2

Junte-se a seus colegas e dobrem o retângulo da página de reprodução como indicadona coluna mais à esquerda da tabela. Observando as dobras feitas, responda às questõespropostas, preenchendo a tabela. Divida o trabalho em sua equipe: cada membro podeficar encarregado de uma ou mais linhas da tabela. Lembre-se: as dobraduras devemser feitas perpendicularmente às várias linhas desenhadas no retângulo da página dereprodução.



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✐ ✐

mulados a explicar o raciocínio realizado.

⋆ Reforce para seus alunos que o item b) deve serrespondido com a par�ção apresentada, isto é,sem gerar novas par�ções.

⋆ Observe que o item c) pode ser respondido ape-nas pela fração 1

2 . No entanto, é importante es�-mular os alunos a pereceberem que a metade dosanduíche pode ser ob�da por 2

4 do sanduíche.

Classificações:





a) Em a): 12 . Em b): 1

3 . Em c): 14 . Em d): 1

4 .

b) É possível comer metade do sanduícheapenas nas repartições a), c) e d) pois,para elas, a quantidade de partes iguaisem que o sanduíche foi dividido é um nú-mero par.

c) Em a): 12 . Em c): 2

4 . Em d): 24 .

A�vidade 2

Obje�vo específico: Levar o aluno a⋆ Reconhecer que as frações 3

10 ,620 , . . .,

3×m10×m são

iguais a par�r da observação das representaçõesdestas frações em modelos de área retangularese dobraduras.


⋆ Recomenda-se que a a�vidade seja desenvol-vida em grupos de 3 a 5 alunos e que, neste caso,cada grupo receba uma quan�dade suficiente decópias das folhas para reprodução . Podem sernecessárias mais do que uma dessas folhas poraluno. Uma vez que a folha já tenha sido do-brada para a realização de um dos itens, a marcadeixada pode atrapalhar a realização do item se-guinte.

⋆ É importante deixar claro para os alunos que,para decidir sobre a quan�dade de retângulospintados e a quan�dade total de retângulos, sedevem considerar as divisões feitas pelos vincosdas dobras. Neste sen�do, você pode, juntocom a turma, a �tulo de exemplo e de orientação,preencher a segunda linha da tabela, deixando asdemais para sejam preenchidas pelos grupos.

⋆ É importante, ao final da a�vidade, observar paraos alunos que uma mesma parte do retângulo (aárea da região pintada de amarelo) está sendodescrita por frações com numeradores e deno-minadores diferentes (isto é, por frações equiva-lentes), mas que, não obstante, por expressaremuma mesma quan�dade, estas frações são iguais.

Classificações:





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✐ ✐

Como dobrarQuan�dadede retângulospintados

Quan�dadetotal deretângulos

Fração do retângulo do en-carte que está pintada

3 103

10

56 LIÇÃO 4 - Frações Equivalentes e Comparação de Frações


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✐ ✐


Como dobrarquantidadede retângulospintados

Quantidade totalde retângulos

Fração do retângulodo encarte que estápintada

3 10 310

6 20 620

9 30 930

12 40 1240

18 60 1860

24 80 2480


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✐ ✐

REFLETINDO

Na atividade 2, a folha foi divida inicialmente em dez retângulos iguais, dosquais três deles foram pintados de amarelo.Ao realizar a primeira dobra, cada retângulo inicial ficou dividido ao meio, inclu-sive os pintados de amarelo. Assim, tanto para cobrir a área da região pintadade amarelo como para cobrir a área da folha será necessário o dobro da quan-tidade inicial:Área da folha = área de 10 retângulos = área de 20 “retângulos divididos aomeio”;Área da região pintada= área de 3 retângulos= área de 6 “retângulos divididosao meio”.Assim pode-se dizer que a área da região pintada de amarelo é 3

10ou 6

20da

área da folha. De onde se conclui que estas frações representam a mesmaquantidade: a área da região pintada de amarelo tendo a área da folha comounidade. Por isso escrevemos

3

10=

6

20=

2× 3

2× 10,

onde 2 é o número de partes em que você dobrou a folha.Ora, quando você dobrou a folha em três partes iguais, cada retângulo inicialficou dividido em três partes, inclusive os pintados de amarelo. Assim, tantopara cobrir a área da região pintada de amarelo como para cobrir a área dafolha será necessário o triplo da quantidade inicial:Área da folha = área de 10 retângulos = área de 30 “retângulos divididos emtrês partes”;Área da região pintada= área de 3 retângulos= área de 9 “retângulos divididosem três partes”.De onde se conclui que as frações 3

10e 9

30representam a mesma quantidade:

a área da região pintada de amarelo tendo a área da folha como unidade. Porisso escrevemos

3

10=

9

30=

3× 3

3× 10,

onde 3 é o número de partes em que você dobrou a folha.



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✐ ✐

Notas de Aula


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Do mesmo modo, ao dobrar a folha em quatro, seis ou oito partes iguais, vocêobteve outras representações equivalentes para a fração 3

10:

• ao dobrar em quatro partes iguais: 310

= 1240

= 4×34×10

; em que 4 é o númerode partes em que você dobrou a folha;

• ao dobrar em seis partes iguais: 310

= 1860

= 6×36×10

; em que 6 é o número departes em que você dobrou a folha;

• ao dobrar em oito partes iguais: 310

= 2480

= 8×38×10

; em que 8 é o número departes em que você dobrou a folha.

Assim, generalizando o processo de “dobrar” a folha, tem-se que, ao “dobrar”a folha em n partes iguais:

3

10=

n× 3

n× 10, onde n é o número de partes em que você dobrou a folha.

Agora, recomenda-se que você utilize o aplicativo disponível no link a seguirhttp://tube.geogebra.org/m/X52U83TR para dobrar a folha em partes cadavez menores (basta aumentar o valor de m no aplicativo). Mexa à vontade!Qualquer dúvida pergunte ao seu professor.



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A�vidade 3


4 e 12×312×4 são iguais a

par�r da observação das representações destasfrações emmodelos de área sem a contagem uma um das partes que compõem as subdivisõesdestas representações.



⋆ O propósito de encobrir as divisões do retânguloé para evitar que os alunos façam a contagemdas partes uma a uma e que, assim, sejam es-�mulados a perceber a estrutura mul�plica�va12× 3 e 12× 4 na divisão do retângulo.

⋆ É importante, ao final da a�vidade, observar paraos alunos que uma mesma parte do retângulo (aárea da região pintada de azul) está sendo des-crita por frações com numeradores e denomina-dores diferentes (isto é, por frações equivalen-tes), mas que, não obstante, por expressaremuma mesma quan�dade, estas frações são iguais.

Classificações:

⋆ Heid et al.: Produto: prever




a) 34 .

b) Com a nova divisão, o retângulo fica divi-dido em 12 × 4 = 48 partes, das quais12 × 3 = 36 está pintada de azul. Assim,a fração do retângulo que está pintada deazul é igual a 12×3

12×4 = 3648 .

A�vidade 4

Obje�vos específicos: Levar o aluno a⋆ Comparar frações, em que os denominadoressão múl�plos, a par�r de modelos con�nuos.

⋆ Introduzir a discusão sobre frações equivalentesRecomendações e sugestões para o desenvolvi-mento da a�vidade:

a) Recomenda-se que, nesta a�vidade, os alu-nos trabalhem individualmente ou em duplas.No entanto, é fundamental que os alunos se-jam es�mulados a explicar o raciocínio reali-zado.

b) Para amparar a reflexão dos alunos,recomenda-se que sejam feitas cópias dasfolhas para reprodução disponíveis no finaldo livro .

c) Não se recomenda que a nomenclatura “fra-ções equivalentes” seja introduzida em salade aula. Por exemplo, pode-se falar ape-nas que as frações 1/2 e 2/4 representam amesma quan�dade, e por isso têm a mesmarepresentação na reta numérica.

d) Esta a�vidade pode desencadear uma discus-são com os alunos que os leve a perceberemque se mul�plicamos (dividimos) numeradore denominador de uma fração pelo mesmonúmero então é gerada uma fração equiva-lente à fração original.

Resposta da A�vidade 4Na hora do lanche, João comeu 2

12 e Mário 412

do bolo. Se os amigos atrasados não tivessemaparecido antes do lanche, João e Mário teriamcomido, cada um, 1

3 do bolo. Como 13 do bolo cor-

responde a 4 fatias do bolo cortado em 12 partesiguais, vê-se que João teria comido mais bolo eMário teria comido a mesma quantidade de bolose seus amigos não tivessem aparecido antes dolanche.


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✐ ✐

A�vidade 3

(Garcez, 2013)

a) O retângulo desenhado a seguir está dividido em 4 partes iguais, dais quais 3 estãopintadas de azul. Que fração do retângulo está pintada de azul?

b) O retângulo do item anterior foi dividido com o acréscimo de onze linhas hori-zontais igualmente espaçadas e ele está parcialmente coberto com um retângulovermelho que impede a visualização dos retângulos menores que compõem a novaequipar�ção. Com essa nova divisão, em quantas partes fica dividido o retângulo?Quantas destas partes estão pintadas de azul? Que fração do retângulo está pin-tada de azul?

A�vidade 4

Rita convidou seus colegas de escola para virem à sua casa conhecer seu novo cãozinho.Sua mãe preparou um bolo para o lanche da tarde das crianças. Às 16h chegaram doisde seus colegas, João e Mário. Mário logo imaginou o bolo repar�do em 3 pedaços epensou que ele poderia então comer um terço do mesmo



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Notas de Aula


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✐ ✐

A mãe de Rita começou a cortar o bolo, par�ndo-o, como Mário havia imaginado,em 3 partes. No entanto, antes que começassem a comer, chegaram mais 4 colegas daescola. Então a mãe de Rita dividiu cada um dos 3 pedaços iniciais em 4 partes de igualtamanho.

Na hora do lanche, João comeu 2 pedaços do bolo e Mário comeu 4.

• Que fração do bolo Mário comeu?

• Que fração do bolo João comeu?

Se os amigos atrasados não �vessem aparecido antes do lanche, a mãe de Rita nãoteria subdivido as 3 fa�as iniciais. Assim, se fossem apenas Rita, Mário e João, cada umteria comido 1

3do bolo.

• Nesse caso, Mário teria comido menos bolo, mais bolo ou a mesma quan�dade debolo que comeu?

• E João, teria comido menos bolo, mais bolo ou a mesma quan�dade de bolo quecomeu?



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A�vidade 5


⋆ Reconhecer que as frações 23 ,

46 e 8

12 são iguais apar�r da observação das representações destasfrações em modelos de área circulares.


⋆ Recomenda-se que esta a�vidade seja desenvol-vida em grupos de 2 ou 3 alunos para que elespossam discu�r as soluções apresentadas, den-tro do grupo, durante a condução da a�vidade.

⋆ Os setores circulares empregados na conduçãoda a�vidade podem ser aproveitados da A�vi-dade 10 da Lição 1.

⋆ É importante, ao final da a�vidade, observar paraos alunos que uma mesma parte do círculo (aárea da região pintada de cinza) está sendo des-crita por frações com numeradores e denomina-dores diferentes (isto é, por frações equivalen-tes), mas que, não obstante, por expressaremumamesma quan�dade, estas frações são iguais,não apenas porque por sobreposição parecemser a mesma quan�dade, mas porque, como naa�vidade anterior, se cada terço do círculo forsubdividido em 2 e 4 partes iguais, respec�va-mente, então, de fato, 2

3 = 46 e 2

3 = 812 .

⋆ Além disso, observaçào análoga cabe para as fra-ções que completam a terceira coluna da tabela:13 = 2

6 e 13 = 4

12 .

Classificações:





Tipo dapeça

Quantascabemna re-giãocinza?

Juntas,sãoque fra-ção docírculo?

Fraçãodo cír-culo nãocoloridadecinza?

13

2 23

13

16

4 46

26

19

6 69

39


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✐ ✐

A�vidade 5

O obje�vo desta a�vidade é estudar a fração do círculo que está pintada de cinza noencarte que você recebeu.

Para isto, responda às perguntas na tabela a seguir com frações adequadas. Se ne-cessário, use as peças coloridas que você recortou e usou na A�vidade 10 da Lição 1para avaliar as suas respostas.

Tipo da peça

Quantas peçascomo essa ca-bem na regiãocinza?

As peças quevocê usou, jun-tas, são quefração do cír-culo?

Que fraçãodo círculo nãoestá colorida decinza?

13

16



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Notas de Aula


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Tipo da peça

Quantas peçascomo essa ca-bem na regiãocinza?

As peças quevocê usou, jun-tas, são quefração do cír-culo?

Que fraçãodo círculo nãoestá colorida decinza?

112

REFLETINDO

Ao resolver esta última atividade você deve ter percebido que a região do cír-culo destacada em cinza pode ser preenchida de diferentes maneiras por jus-taposições de cada uma das peças coloridas que você recortou.

Além disso, deve ter observado que, quanto menor a peça colorida, mais des-sas peças você precisou para cobrir a região do círculo destacada em cinza.Ao preencher a primeira linha da tabela, você deve ter percebido que três pe-ças azuis cobrem o círculo inteiro e que duas peças azuis cobrem a região docírculo destacada em cinza.

Portanto, a região do círculo destacada em cinza é igual a 23do círculo.

Para preencher a segunda linha da tabela você deve ter percebido que

• que seis peças laranjas cobrem o círculo inteiro;



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✐ ✐

Notas de Aula


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✐ ✐

• que duas peças laranjas cobrem uma peça azul;

• e que quatro peças laranjas cobrem a região do círculo destacada emcinza.

(46= 2×2

2×3= 2

3

). Portanto, a região do círculo destacada em cinza é igual a 4

6do

círculo.Este raciocínio pode ser escrito da seguinte maneira: 1

3é igual a dois 1

6, ou,

simplesmente, 13= 2

6.

Logo, 46= 2×2

2×3= 2

3.



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Notas de Aula


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Do mesmo modo, para preencher a terceira linha da tabela você deve ter per-cebido:

• que doze peças vermelhas cobrem o círculo inteiro;

• que quatro peças vermelhas cobrem uma peça azul;

• e que oito peças vermelhas cobrem a região do círculo destacada emcinza

(8

12=

4× 2

4× 3=

2

3

).

Logo, a região do círculo destacada em cinza é igual a 812do círculo.

Este raciocínio pode ser representado do seguinte modo: 13é igual a quatro 1

12,

ou, simplesmente, 13= 4

12.



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✐ ✐

Notas de Aula


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✐ ✐

Logo,8

12=

4× 2

4× 3=

2

3.

Portanto, a região do círculo destacada em cinza, que é 23do círculo, também

é igual a 46do círculo e igual a 8

12do círculo, ou seja, as frações 2

3, 4

6e 8

12

representam a mesma quantidade e, portanto, são iguais:

2

3=

4

6=

8

12.

A�vidade 6

PARTE 1Você recebeu um encarte com 10 retângulos coloridos de mesmo tamanho, cada um

deles dividido em um determinado número de partes iguais. Seguindo o modelo feitopara o primeiro retângulo, preencha a tabela a seguir.

RetânguloNúmero de partes emque se encontra divi-dido

Cada parte é que fra-ção do retângulo?

2 1

2



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✐ ✐

A�vidade 6


2 ,24 ,

36 ,

48 ,

510 e

816 são

iguais a par�r da observação das representaçõesdestas frações em modelos de área retangulares.


⋆ Recomenda-se que esta a�vidade seja desenvol-vida em grupos de 2 ou 3 alunos para que elespossam discu�r as soluções apresentadas, den-tro do grupo, durante a condução da a�vidade.

⋆ É importante, ao final da a�vidade, observar paraos alunos que uma mesma parte do retângulo(a região colorida de cinza) está sendo descritapor frações com numeradores e denominadoresdiferentes (isto é, por frações equivalentes) masque, não obstante, por expressarem uma mesmaquan�dade, são frações iguais.

Esta a�vidade possui folhas para reproduçãodisponíveis no final do livro.

Classificações:




Resposta da A�vidade 6PARTE 1

Retângulo

Número departes emse encontradividido

Cada parteé que fra-ção doretângulo?

2 1

2

3 13

4 14

5 15

6 16

7 17

8 18

9 19

10 110

16 116


✐

✐ ✐

RetânguloNúmero de partes emque se encontra divi-dido

Cada parte é que fra-ção do retângulo?

PARTE 2O obje�vo desta parte é estudar a fração do retângulo que está colorida de cinza no

segundo encarte que você recebeu.



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✐ ✐

PARTE 2

Tipo da peça

Quantascabemnaregiãocinza?

Juntas,sãoque fra-ção doretân-gulodo en-carte?

Fraçãodo en-cartenãocolo-rida decinza?

112

12

224

24

336

36

448

48

5510

510

8816

816


✐

✐ ✐

Para isto, responda às perguntas na tabela a seguir com frações adequadas. Se neces-sário, recorte e use as peças coloridas do primeiro encarte para avaliar as suas respostas.

Tipo da peça

Quantaspeças comoessa cabemna regiãocinza?

As peças quevocê usou,juntas, sãoque fração doretângulo doencarte?

Que fração doretângulo doencarte nãoestá colorida decinza?

REFLETINDO

Você deve ter observado que as atividades 5 e 6 são muito parecidas. A di-ferença é que, nesta última foram utilizadas figuras retangulares (na atividade5 foram usadas figuras circulares). Ao resolver esta atividade você deve ter



✐

✐ ✐

Notas de Aula


✐

✐ ✐

percebido que1

2=

2

4=

3

6=

4

8=

5

10=

8

16,

pois todas as frações representam a mesma quantidade: a medida da áreada região retangular cinza em relação à área do retângulo do encarte, isto é,quando a unidade considerada é a área do retângulo do encarte. Observeainda que as igualdades acima podem ser reescritas do seguinte modo:

1

2=

1× 1

1× 2=

2× 1

2× 2=

3× 1

3× 2=

4× 1

4× 2=

5× 1

5× 2=

8× 1

8× 2.

Na verdade, para qualquer subdivisão da fração 12em p partes iguais, deve-

se considerar p dessas novas partes para obter uma fração igual à anterior.Matematicamente falando, isto significa que:

1

2=

p× 1

p× 2

qualquer que seja p um número natural maior que zero. De modo geral, paraqualquer fração de numerador n e denominador d, temos que

n

d=

1× n

1× d=

2× n

2× d=

3× n

3× d=

4× n

4× d=

5× n

5× d= · · · = p× n

p× d= · · ·

qualquer que seja o número natural p > 0. Com isso, você aprendeu umatécnica para obter frações que representam a mesma quantidade que umafração dada: basta multiplicar o numerador e o denominador da fração dadapor um mesmo número natural p > 0.Isto será muito útil para a realização de outras atividades com frações.

A�vidade 7

a) Preencha os quadradinhos□ com numeradores adequados de modo que cada fra-ção corresponda a sua respec�va marca em cada reta numérica.



✐

✐ ✐

A�vidade 7

Obje�vo específico: Levar o aluno a⋆ Reconhecer que, para cada 0 ≤ i ≤ 3, as frações

i3 ,

2×i2×3 ,

3×i3×3 e 4×i

4×3 são iguais a par�r da obser-vação das representações destas frações na retanumérica.



⋆ Nas retas numéricas apresentadas, as origensestão alinhadas e as unidades correspondem asegmentos unitários congruentes, o que garanteque uma fração associada a um determinadoponto em uma reta seja a mesma fração nos pon-tos correspondentes nas demais retas.

⋆ Caso seus alunos não percebam, aponte parao fato de que as segunda, terceira e quartaretas numéricas são ob�das por meio de sub-divisões dos terços da primeira reta numéricaem duas, três e quatro partes iguais, respec�va-mente. Para resolver o item c) desta a�vidade, sefaz necessário dividir cada terço em cinco partesiguais.

⋆ É importante, ao final da a�vidade, observar paraos alunos que, nesta a�vidade, cada ponto mar-cado na reta numérica está sendo descrito porfrações com numeradores e denominadores dife-rentes (isto é, por frações equivalentes) mas que,não obstante, por corresponderem ao mesmoponto da reta numérica, estas frações são iguais.

Classificações:




Para o item c):⋆ Heid et al.: Produto: gerar




a)0 1 2 303

13

23

33

43

53

63

73

83

93

0 1 2 306

26

46

66

86

106

126

146

166

186

0 1 2 309

39

69

99

129

159

189

219

249

279

0 1 2 3012

412

812

1212

1612

2012

2412

2812

3212

3612

b) 43 = 8

6 = 129 = 16

12 .c) No item b) foi estabelecido que o ponto azulcorresponde a fração 4

3 pois, ao se justapor 4segmentos que são 1

3 do segmento unitário (queestá, aqui, servindo como unidade) a partir da ori-gem 0, este ponto é a outra extremidade destajustaposição. Agora, ao se subdividir estes 4 seg-mentos que são 1

3 do segmento unitário em 5 par-tes iguais, obtêm-se 20 segmentos justapostosque são 1

15 do segmento unitário. Sendo o pontoazul extremo desta justaposição, segue-se queele corresponde a fração 20

15 .0 1 2 303

13

23

33

43

53

63

73

83

93

0 1 2 3015

515

1015

1515

2015

2515

3015

3515

4015

4515


✐

✐ ✐

0 1 2 3

□3

□3

□3

□3

□3

□3

□3

□3

□3

□3

0 1 2 3

□6

□6

□6

□6

□6

□6

□6

□6

□6

□6

0 1 2 3

□9

□9

□9

□9

□9

□9

□9

□9

□9

□9

0 1 2 3

□12

□12

□12

□12

□12

□12

□12

□12

□12

□12

b) Escreva quatro frações com numeradores diferentes (consequentemente com de-nominadores também diferentes) que correspondam ao ponto azul em destaquena figura.

c) Determine uma fração de denominador 15 que corresponda ao ponto azul em des-taque. Jus�fique sua resposta usando uma reta numérica!

REFLETINDO

Na Atividade 7, foram apresentadas quatro figuras que mostravam a reta nu-mérica com subdivisões em partes iguais, mas de formas diferentes.Na primeira figura, as subdivisões do segmento unitário (que está, aqui, ser-vindo como unidade) eram em três partes iguais, ou seja, em terços. Pararepresentar o ponto azul na reta numérica da primeira figura, foram considera-das quatro cópias de 1

3, justapostas a partir da origem. Portanto, o ponto azul

indica na reta numérica a fração 43.



✐

✐ ✐

Notas de Aula


✐

✐ ✐

0 1 2 3

0

3

1

3

2

3

3

3

4

3

5

3

6

3

7

3

8

3

9

3

Na segunda figura, cada uma das subdivisões do segmento unitário foram divi-didas em duas partes iguais. Assim, as justaposições dos segmentos unitáriosficam subdivididos em seis partes iguais, ou seja, em sextos. Para representaro ponto azul na reta numérica da segunda figura, foram necessárias então oito(o dobro da quantidade anterior) cópias de 1

6. Logo, o ponto azul representa

também a fração 86.

1 2 3

0

6

2

6

4

6

6

6

8

6

10

6

12

6

14

6

16

6

18

6

1

3

Isto é,4

3=

2× 4

2× 3=

8

6.

Na terceira figura, cada uma das três subdivisões do segmento unitário apre-sentadas na primeira figura foi dividida em três partes iguais. Assim, as jus-taposições dos segmentos unitários ficam subdivididos em nove partes iguais,ou seja, em nonos. Para representar o ponto azul na reta numérica da ter-ceira figura, foram necessárias doze (o triplo da quantidade inicial) cópias de196. Portanto, o ponto azul representa também a fração 12

9.

1 2 3

0

9

3

9

6

9

9

9

12

9

15

9

18

9

21

9

24

9

27

9

1

3

Isto é,4

3=

3× 4

3× 3=

12

9.

Na quarta figura, cada uma das três subdivisões do segmento unitário apre-sentadas na primeira figura foi dividida em quatro partes iguais.



✐

✐ ✐

Notas de Aula


✐

✐ ✐

1 2 3

0

12

4

12

8

12

12

12

16

12

20

12

24

12

28

12

32

12

36

12

1

3

Assim, como nos casos anteriores, conclui-se que o ponto azul representa afração 16

12:

4

3=

4× 4

4× 3=

16

12.

Portanto, o ponto azul indica qualquer uma das frações iguais

4

3=

8

6=

12

9=

16

12.

Agora, recomenda-se que você utilize o aplicativo disponível no link a se-guir (https://www.geogebra.org/m/Pr3s9vak) para perceber como fraçõescom numeradores e denominadores diferentes podem representar um mesmoponto na reta numérica. Mexa à vontade! Qualquer dúvida pergunte ao seuprofessor.

Mais geralmente, ao subdividir cada subintervalo de comprimento igual a 13em

m partes iguais, obtém-se que

4

3=

m× 4

m× 3.



✐

✐ ✐

A�vidade 8


⋆ Determinar uma fração igual a uma dada fraçãocom denominador especificado a par�r da obser-vação das representações destas frações em di-versos modelos de frações, incluindo a reta nu-mérica.


⋆ Recomenda-se que esta a�vidade seja desenvol-vida em grupos de 3 alunos (cada aluno do grupopoderá usar um modelo diferente para obter afração solicitada).

⋆ É importante, ao final da a�vidade, observar paraos alunos que uma mesma parte em cada mo-delo de área e um mesmo ponto na reta numé-rica estão sendo descritos por frações com nu-meradores e denominadores diferentes (isto é,por frações equivalentes) mas que, não obstante,estas frações são iguais por expressarem umamesma quan�dade ou por serem representadaspor um mesmo ponto na reta numérica.

Classificações:


⋆ Nicely, Jr.: Nível 5: aplicar



a) Tomando um círculo como unidade, o divi-dimos em 4 partes iguais e tomamos 5 có-pias de uma parte para obter 5

4 da unidade.Dividindo cada uma das 5 cópias em 3 par-tes iguais, obtemos então 15 cópias de 1

12

da unidade. Portanto, 54 = 15

12 .

Unidade

Divide-se aunidade em 4partes iguais.

Uma partecorrespondea um quarto.

Junta-se 5 cópiasde uma parte paraobter cinco quar-tos.

Divide-se cada có-pia em 3 partesiguais obtendo 15cópias de um dozeavos.

b) Tomando um quadrado como unidade, o di-vidimos em 4 partes iguais e tomamos 5 có-pias de uma parte para obter 5

4 da unidade.Dividindo cada uma das 5 cópias em 3 par-tes iguais, obtemos então 15 cópias de 1

12

da unidade. Portanto, 54 = 15

12 .

Unidade

Divide-se aunidade em 4partes iguais.

Uma partecorrespondea um quarto.

Junta-se 5 cópiasde uma parte paraobter cinco quar-tos.

Divide-se cada có-pia em 3 partesiguais obtendo 15cópias de um dozeavos.


✐

✐ ✐

Esse raciocínio vale para qualquer fração. Ou seja, dada uma fração nd, pode-

se representá-la de forma equivalente, subdividindo cada subintervalo de com-primento 1

dem m partes iguais.

Neste caso serão necessárias (m×n) cópias de subintervalos de comprimento1

m×d, isto é:

n

d=

m× n

m× d,

qualquer que seja o número natural m > 0.

A�vidade 8

O obje�vo desta a�vidade é determinar uma fração de denominador 12 que seja igual àfração 5

4.

a) Tomando um círculo como unidade:

(i) Faça um desenho que represente 54da unidade.

(ii) Usando o desenho feito, represente uma fração de denominador 12 que sejaigual a 5

4.

b) Tomando um quadrado como unidade:

(i) Faça um desenho que represente 54da unidade.

(ii) Usando o desenho feito, represente uma fração de denominador 12 que sejaigual a 5

4.

c) Desenhe uma reta numérica e, em seguida, marque os números 0, 1 e 54. A par�r

deste desenho, represente uma fração de denominador 12 que seja igual a 54.


Olá! É chegada a hora de ajudar Miguel e Alice, nossos amigos da história em quadrinhosdo início da lição, a compararem as frações 1

3e 8

25.

Ora, na lição anterior você aprendeu a comparar frações com omesmo denominador.Neste caso, como os denominadores eram iguais, você precisou comparar apenas os



✐

✐ ✐

c) Após marcar os números 0 e 1 na reta numérica, dividimos o segmento unitário (aquele de extremidadesem 0 e 1) em 4 partes iguais. Cada parte é um segmento que corresponde a 1

4 da unidade. Ao se justapor5 segmentos que são 1

4 da unidade a par�r da origem 0, a fração 54 corresponde ao ponto que é a outra

extremidade desta justaposição. Agora, ao se subdividir estes 5 segmentos que são 14 da unidade em 5

partes iguais, obtêm-se 15 segmentos justapostos que são 112 da unidade. O ponto que corresponde a 5

4 éainda extremo desta justaposição e, portanto, que ele corresponde também a fração 15

12 .

0 1 2 3

04

14

24

34

44

54

0 1 2 3

012

312

612

912

1212

1512


✐

✐ ✐

numeradores da fração. Você também aprendeu a comparar frações com o com mesmonumerador. Neste caso, como os numeradores eram iguais, você precisou compararapenas os denominadores da fração. Mas, Miguel e Alice querem comparar duas fraçõescom denominadores bem como numeradores diferentes.

Aí vai uma pista. A ideia é u�lizar o que você aprendeu até aqui nesta lição paradeterminar frações iguais às frações 1

3e 8

25que possuem o mesmo denominador.

Deste modo, transforma-se um “novo problema” em um “velho problema”: o de com-parar frações com o mesmo denominador.

Usando o que você aprendeu com as a�vidades anteriores, pode-se, por exemplo,construir as seguintes igualdades:

1

3=

2× 1

2× 3=

3× 1

3× 3=

4× 1

4× 3=

5× 1

5× 3= · · · = n× 1

n× 3= · · ·

e8

25=

2× 8

2× 25=

3× 8

3× 25=

4× 8

4× 25=

5× 8

5× 25= · · · = m× 8

m× 25= · · ·

quaisquer que sejam m e n números naturais, m > 0, n > 0.Ao observar a lista de frações iguais à fração 1

3, enunciada acima, você deve ter per-

cebido que os denominadores dessas frações são múl�plos de 3. Do mesmo modo,com relação à lista de frações iguais à fração 8

25, você deve ter percebido que os deno-

minadores dessas frações são múl�plos de 25. Assim, para efeito de comparação, seránecessário encontrar frações iguais às frações dadas que possuem denominadores quesejam, simultaneamente, múl�plos de 3 e de 25. Um número que sa�sfaz essa condiçãoé o número 75 = 3× 25.

Desta maneira, obtém-se que

1

3=

25× 1

25× 3=

25

75

e que8

25=

3× 8

3× 25=

24

75.

Agora é só comparar as frações 2575

e 2475. Mas, isto, já é conhecido. Como 25 > 24,

tem-se que

1

3=

25

75>

24

75=

8

25;

isto é,1

3>

8

25.



✐

✐ ✐

A�vidade 9

Obje�vo específico: Levar o aluno a⋆ Determinar uma fração igual a uma dada fraçãoirredu�vel com denominador especificado.



⋆ Espera-se, principalmente nos Itens c e d, queos alunos consigam obter a fração solicitadausando a propriedade que m×a

m×b é equivalente aab e sem recorrer a desenhos de modelos de áreade frações.

Classificações:





a) Como 6 = 2 × 3, segue-se que 73 = 2×7

2×3 =146 .

b) Como 21 = 7×3, segue-se que 73 = 7×7

7×3 =4921 .

c) Como 123 = 41 × 3, segue-se que 73 =

41×741×3 = 287

123 .

d) Como 210 = 70 × 3, segue-se que 73 =

70×770×3 = 490

210 .

A�vidade 10

Obje�vo específico: Levar o aluno a⋆ Determinar uma fração igual a uma dada fraçãocom numerador ou denominador especificados.


⋆ Recomenda-se que, nesta a�vidade, os alunostrabalhem individualmente. No entanto, é fun-damental que os alunos sejam es�mulados a ex-plicar o raciocínio realizado.

⋆ Espera-se que, neste estágio, os alunos consi-gam obter as respostas usando a propriedadeque m×a

m×b é equivalente a ab e sem recorrer a de-

senhos de modelos de área de frações.

⋆ Observe que, no item (e), não existe um númeronatural n tal que 6×n = 9. Para resolver o item,o aluno pode usar o resultado do item (d) e subs-�tuir 9

12 por 34 e proceder com o exercício. A

mesma observação aplica-se ao item (f).

⋆ Observe para seus alunos que os Itens (e) e (f)são exemplos de frações iguais para os quais nãoé possível obter uma fração mul�plicando-se onumerador e o denominador da outra por ummesmo número natural.

Classificações:





a) Uma vez que 6 = 2×3, então 53 = 2×5

2×3 = 106 .

Logo, □ deve ser preenchido com 10.

b) Uma vez que 6 = 3×2, então 23 = 3×2

3×3 = 69 .

Logo, □ deve ser preenchido com 9.

c) Uma vez que 12 = 4× 3 e 8 = 4× 2, então812 = 4×2

4×3 = 23 . Logo, □ deve ser preen-

chido com 2.

d) Uma vez que 9 = 3× 3 e 12 = 3× 4, então912 = 3×3

3×4 = 34 . Logo, □ deve ser preen-

chido com 4.

e) Pelo item d, 912 = 3

4 . Uma vez que 6 = 2×3,então 3

4 = 2×32×4 = 6

8 . Logo, □ deve ser pre-enchido com 8.


✐

✐ ✐

Generalização do procedimento

Para generalizar o procedimento apresentado aqui, considere duas frações abe c

d

diferentes.

Com base na solução dada para o problema do Miguel e da Alice, você deve ter per-cebido que para comparar duas frações, basta comparar as frações iguais a elas, mas quepossuem o mesmo denominador. Uma forma simples para realizar tal tarefa é procurarfrações iguais às frações a

be c

dcujos denominadores são iguais ao número d × b que é

um múl�plo comum de b e d.

Ora, para obter uma fração igual à fração abcujo denominador seja igual a d× b basta

mul�plicar tanto o numerador como o denominador da fração por d (denominador dasegunda fração):

d× a

d× b=

a

b.

Do mesmo modo, para obter uma fração igual à fração cdcujo denominador seja

igual d × b basta mul�plicar tanto o numerador e como o denominador da fração por b(denominador da primeira fração):

b× c

b× d=

c

d.

Assim, para comparar as frações abe c

dé suficiente comparar os numeradores das

frações d×ad×b

e b×cb×d

. Isto é,

se d× a > b× c entãoa

b=

d× a

d× b>

b× c

b× d=

c

d

e

se d× a < b× c entãoa

b=

d× a

d× b<

b× c

b× d=

c

d.

MÃO NAMASSA

A�vidade 9

Determine uma fração que seja igual a 73e que tenha denominador

a) 6 b) 21 c) 123 d) 210



✐

✐ ✐

f) Pela solução do item e, □ deve ser preen-chido com 9.

A�vidade 11


⋆ Usar igualdade de frações para calcular o nume-rador de uma das frações em uma situação con-textualizada.



Classificações:


⋆ Nicely, Jr.: Nível 6: analisar

⋆ UERJ: Interpretar: explicar

Resposta da A�vidade 11As 17 marcações no copo do seu colega divide a

capacidade do copo em 16 partes iguais. Quan-tas destas partes correspondem a 3

4 da capaci-dade do copo (que é fração da capacidade docopo que está preenchida com suco)? Para res-ponder a esta pergunta, devemos calcular o nu-merador de uma fração de denominador 16 queseja igual a 3

4 , isto é, devemos preencher □ comum número tal que

34 = □

16 .

Como 16 = 4× 4 , segue-se que34 = 4×3

4×4 = 1216 .

Assim, não necessárias 12 partes de 116 da

capacidade do copo. Consequentemente, 13 ní-veis do copo do seu colega devem ser preenchi-dos com suco de laranja para que ele fique coma mesma quantidade suco de laranja que você.

A�vidade 12

Obje�vo específico: Levar o aluno a⋆ Reconhecer que, dada uma fração p = n

d , existeum quan�dade finita de frações da forma k

d quesão menores do que p e uma quan�dade infinitade frações da forma k

d que são maiores do quep.



⋆ Alguns alunos podem ainda necessitar de apoiode material concreto para responder à questão.

⋆ Recomenda-se que, na discussão da a�vidade,uma reta numérica com quintos marcados sejausada como uma contrapar�da visual para as res-postas das perguntas.

0 1 2 3

05

15

25

35

45

55

65

75

85

95

105

115

125

135

145

155

Classificações:

⋆ Heid et al.: Conceito: elaborar

⋆ Nicely, Jr.: Nível 4: categorizar

⋆ UERJ: Interpretar: classificar


a) Três frações: 05 , 1

5 e 25 . Justificativa: 3

5 sãotrês ``cópias'' de 1

5 . Qualquer outra fraçãode denominador 5 também é composta poruma quantidade inteira de ``cópias'' de 1

5 ,


✐

✐ ✐

A�vidade 10

(Van de Walle, 2009) Preencha os □ com números de forma a tornar as igualdadesverdadeiras.

a) 53= □

6b) 2

3= 6

□ c) 812

= □3

d) 912

= 3□ e) 9

12= 6

□ f) 68= □

12

A�vidade 11

Você tem um copo cilíndrico graduado com cinco marcas horizontais igualmente espa-çadas. O copo tem suco de laranja até 3

4de sua capacidade, como ilustra a imagem:

Seu colega tem um copo cilindrico idên�co, mas graduado com 17 níveis horizontaisigualmente espaçados:

Verifique se é possível completar um número inteiro de níveis do copo de seu colegade modo a ficar com a mesma quan�dade de suco. Em caso afirma�vo, explique suaresposta.

A�vidade 12

a) Quantas são as frações com denominador igual a 5 que são menores do que 35?

Explique como você chegou à sua resposta.

b) Quantas são as frações com denominador igual a 5 que são maiores do que 35?

Explique como você chegou à sua resposta.

MÃO NA MASSA 75


✐

✐ ✐

quantidade esta determinada pelo numera-dor de fração. Para se ter então uma fraçãode denominador 5 menor do que 3

5 , deve-mos ter menos do que 3 ``cópias'' de 1

5 : 2``cópias'' , 1 ``cópia'' ou 0 ``cópia'' . Assim,as frações de denominador 5 menor do que35 são 0

5 , 15 e 2

5 .

b) Infinitas frações 45 , 5

5 , 65 , 7

5 , etc. Justifi-cativa: 3

5 são três ``cópias'' de 15 . Qual-

quer outra fração de denominador 5 tam-bém é composta por uma quantidade in-teira de ``cópias'' de 1

5 , quantidade esta de-terminada pelo numerador de fração. Parase ter então uma fração de denominador 5maior do que 3

5 , devemos ter mais do que3 ``cópias'' de 1

5 : 4 ``cópias'' , 5 ``cópias'', 6 ``cópias'' , 7 ``cópias'' , etc. Assim, asfrações de denominador 5 maiores do que35 são 4

5 , 55 , 6

5 , 75 , etc.

A�vidade 13


⋆ Comparar frações por meio de igualdade de fra-ções.


⋆ Esta é uma a�vidade que pode ser desenvolvidaindividualmente. Contudo, é fundamental queos alunos sejam es�mulados a explicar o raciocí-nio realizado.

⋆ A discussão da a�vidade pode incluir o uso deoutras estratégias, que não a igualdade de fra-ções, para se estabelecer a comparação das fra-ções apresentadas.

Classificações:



⋆ UERJ: Interpretar: comparar


item Fração ``>'', ``<'' ou ``='' Fraçãoa) 5

6 = 2530 > 24

30 = 45

b) 34 = 9

12 > 812 = 2

3

c) 210 = 1

5 = 15 = 3

15

d) 625 = 24

100 < 25100 = 1

4

e) 227 = 220

70 > 21770 = 31

10

f) 2233 = 2

3 = 23 = 24

36

g) 510 = 50

100 = 50100 = 50

100

h) 75 = 84

60 < 8560 = 17

12

i) 126 = 2

1 < 31 = 9

3


✐

✐ ✐

A�vidade 13

Para cada par de frações na mesma linha da tabela a seguir, determine frações de mesmodenominador que sejam iguais a cada uma das frações dadas. Em seguida, compare essasfrações, preenchendo a coluna em branco, com um dos símbolos “>”, “<” ou “=”, deforma que, em cada linha da tabela, a comparação estabelecida seja verdadeira. Vamosfazer o Item a) juntos: observe que

5

6=

5× 5

5× 6=

25

30

e 45= 6×4

6×5= 24

30.

Como 25 > 24, segue-se que 2530

> 2430. Portanto, preenchemos a coluna em branco

da primeira linha com >.

Item Fração >, < ou = Fração

a)5

6=

25

30 >24

30=

4

5

b)3

4=

□□

□□ =

2

3

c)2

10=

□□

□□ =

3

15

d)1

4=

□□

□□ =

6

25

e)22

7=

□□

□□ =

31

10

f)22

33=

□□

□□ =

24

36

g)5

10=

□□

□□ =

50

100

h)7

5=

□□

□□ =

17

12



✐

✐ ✐

A�vidade 14

Obje�vo específico: Levar o aluno a⋆ Comparar frações.Recomendações e sugestões para o desenvolvi-mento da a�vidade:


⋆ Existem outros �pos de ferramentas cujas peçascomponentes também são iden�ficadas por fra-ções: brocas de furadeiras, chaves de boca eaperto, chaves biela, . . .

⋆ Recomenda-se que, caso seja viável, algumasdestas ferramentas sejam levadas para sala deaula para conhecimento dos alunos.

Classificações:



⋆ UERJ: Interpretar: comparar

Resposta da A�vidade 14Uma vez que 1

2 = 816 , 3

4 = 1216 , 3

8 = 616 , 5

8 = 1016

e 78 = 14

16 , os tamanhos dos soquetes são os se-guintes:

(A): 78 , (B): 13

16 , (C): 34 , (D): 11

16 , (E): 58 , (F):

916 , (G): 1

2 , (H): 716 , (I): 3

8 .

A�vidade 15

Obje�vo específico: Levar o aluno a⋆ Comparar uma fração com uma outra fração de-terminada a par�r da alteração dos termos (nu-merador ou denominador) da primeira fração apar�r de somas emul�plicações por números na-turais.



⋆ Enquanto que esta a�vidade usa a fração 47

como referência, a discussão da a�vidade comos alunos pode incluir a questão se as conclu-sões ob�das para 4

7 mudam se a fração de re-ferência mudar. Neste contexto, o item (D) é es-pecialmente interessante pois, neste caso, a con-clusão (se a fração ficará menor, maior ou iguala fração original) de fato dependerá se a fraçãooriginal é maior, menor ou igual a 1.

Classificações:





a) A fração determinada pela adição de 1 aonumerador da fração 4

7 é a fração 57 que é

maior do que 47 , pois em cinco sétimos te-

mos um sétimo a mais do que em quatrosétimos.

b) A fração determinada pela adição de 1 aodenominador da fração 4

7 é a fração 48 que

é menor do que 47 , pois como um oitavo é

menor do um sétimo, quatro oitavos tam-bém será menor do que quatro sétimos.

c) A fração determinada pela subtração de 1ao denominador da fração 4

7 é a fração 37

que é menor do que 47 , pois em três séti-

mos temos um sétimo a menos do que emquatro sétimos.

d) A fração determinada pela adição de 2 aonumerador e ao denominador da fração 4

7

é a fração 69 que é maior do que 4

7 , pois69 = 2

3 = 7×27×3 = 14

21 , 47 = 3×4

3×7 = 1221 e

14 > 12.


✐

✐ ✐

i)7

12=

□□

□□ =

9

20

A�vidade 14

A chave de caixa é uma ferramenta usada para apertar (ou afrouxar) porcas e parafu-sos. Ela consiste de um braço no qual, em uma de suas extremidades, é possível acoplarsoquetes de tamanhos variados. Estes soquetes são iden�ficados por frações que espe-cificam seus tamanhos em polegadas (a polegada é uma medida de comprimento usadanos Estados Unidos e no Reino Unido).

Na figura a seguir, observe o tamanho dos soquetes e iden�fique cada um deles comuma das seguintes frações 1

2, 34, 38, 58, 78, 716, 916, 1116

e 1316.

A�vidade 15

Responda às seguintes questões:

MÃO NA MASSA 77


✐

✐ ✐

e) A fração determinada pela multiplicaçãopor 2 do numerador e do denominador dafração 4

7 é a fração 814 que é igual a 4

7 .

f) A fração determinada pela adição de 1 aonumerador e subtração de 1 ao denomina-dor da fração 4

7 é a fração 56 que é maior do

que 47 , pois 5

6 > 46 > 4

7 .

A�vidade 16

Obje�vo específico: Levar o aluno a⋆ Obter uma fração irredu�vel equivalente a umafração dada e relacionar esta equivalência nocontexto de minimização de cortes em uma equi-par�ção.



⋆ A discussão da a�vidade, além da equipar�çãodada e aquela associada ao número mínimo decortes, pode incluir as equipar�ções associadasa outras frações equivalentes a 8

24 : 412 (divisão

de cada panqueca em 12 partes iguais) e 26 (divi-

são da panqueca em 6 partes iguais).

Classificações:





a) Cada amigo vai receber 824 de panqueca.

b) 8× 24 = 192 cortes.

c) Sim! Por exemplo, como 824 = 8×1

8×3 = 13 ,

basta dividir cada panqueca 3 partes iguaise dar uma parte ( 1

3 de panqueca para cada

amigo. Para esta equipartição, são neces-sários 8× 3 = 24 cortes apenas.

A�vidade 17

Obje�vo específico: Levar o aluno a⋆ Simplificar frações de modo a obter uma fraçãoigual irredu�vel.



⋆ Um pré-requisito desta a�vidade é o conceito demáximo divisor comum. Assim, avalie a necessi-dade de uma revisão deste conceito com seusalunos. Os alunos devem perceber que se doisnúmeros são divididos pelo maior divior comumentre eles, os dois novos números ob�dos sãoagora primos entre si, isto é, o máximo divisorcomum entre eles é 1. Este fato vai apoiar o “as-sim” das respostas.

⋆ A discussão desta a�vidade pode incluir o uso demateriais concretos na linha da proposta da A�vi-dade 16 , isto é, relacionar frações equivalentescom a minimização de cortes em uma equipar�-ção.

Classificações:





1. Note que o máximo divisor comum de 2 e 4 é2. Assim, 2

4 = 2×12×2 = 1

2 . Resposta: 12 .


9 = 3×23×3 = 2

3 . Resposta: 23 .


✐

✐ ✐

a) A fração determinada pela adição de 1 ao numerador da fração 47é maior, menor

ou igual a 47? Explique como chegou a essa conclusão.

b) A fração determinada pela adição de 1 ao denominador da fração 47é maior, menor

ou igual a 47? Explique como chegou a essa conclusão.

c) A fração determinada pela subtração de 1 ao denominador da fração 47é maior,

menor ou igual a 47? Explique como chegou a essa conclusão.

d) A fração determinada pela adição de 2 ao numerador e ao denominador da fração47é maior, menor ou igual a 4

7? Explique como chegou a essa conclusão.

e) A fração determinada pela mul�plicação por 2 do numerador e do denominadorda fração 4

7é maior, menor ou igual a 4

7? Explique como chegou a essa conclusão.

f) A fração determinada pela adição de 1 ao numerador e subtração de 1 ao deno-minador da fração 4

7é maior, menor ou igual a 4

7? Explique como chegou a essa

conclusão.

A�vidade 16

(Adaptado de Empson (2001))

24 amigos estão querendo dividir igualmente 8 panquecas circulares.

Luciano, um dos amigos sugeriu que cada panqueca fosse dividida em 24 partes iguaise que, então, cada um dos 24 amigos recebesse 8 dessas partes.

a) Com a divisão sugerida por Luciano, qual a fração de uma panqueca que cada amigovai receber?

b) Quantos cortes da panqueca (do centro para a borda, como no desenho) são ne-cessários para a divisão proposta?



✐

✐ ✐


2 = 2×22×1 = 2

1 . Resposta: 21 .


35 = 5×15×7 = 1

7 . Resposta: 17 .

5. Note que o máximo divisor comum de 50 e 100

é 50. Assim, 50100 = 50×1

50×2 = 12 . Resposta: 1

2 .

A�vidade 18

Obje�vo específico: Levar o aluno a⋆ Comparar mais do que duas frações (no caso,três) usando frações equivalentes.



⋆ Sugere-se que seja observado para os alunosque o procedimento descrito nesta a�vidadepara ordenar três frações pode ser aplicado paraum número arbitrário de frações.

⋆ Esta a�vidade foi concebida para ser resolvidausando a notação de fração, sem o uso do re-curso de modelos de frações uma vez que, nesteestágio, espera-se que o aluno já tenha o domí-nio desta técnica de manipulação aritmé�ca.

⋆ Observe que a ordenação poderia ser feitacomparando-se duas frações por vez. A solu-ção indicada reduz a ordenação à ordenação denúmeros naturais (os numeradores das fraçõesiguais às frações dadas e todas de mesmo deno-minador).

Classificações:



⋆ UERJ: Interpretar: ordenar


a) 60 é um múltiplo comum de 6, 20 e 15 :60 = 10 × 6, 60 = 4 × 15 e 60 = 3 × 20.Portanto,

11

6=

10× 11

10× 6=

110

60,

28

15=

4× 28

4× 15=

112

60e

37

20=

3× 37

3× 20=

111

60.

b) Tem-se que 11060 < 111

60 < 11260 . Logo,

11

6<

37

20<

28

15.

A�vidade 19

Obje�vo específico: Levar o aluno a⋆ Verificar que se a · d = b · c, com b = 0 e d = 0,então as frações a

b e cd são iguais (equivalentes).



⋆ Note que para as frações usadas no exemplo eno item a), os numeradores e denominadores deuma fração não são múl�plos inteiros dos nume-radores e denominadores da outra fração.

Classificações:

⋆ Heid et al.: Produto: descrever procedimento

⋆ Nicely, Jr.: Nível 5: aplicar



✐

✐ ✐

c) É possível dividir igualmente as 8 panquecas entre os 24 amigos fazendo menoscortes do que como Luciano sugeriu? Se você acha que sim, quantos cortes serãonecessários e qual é a fração de uma panqueca que cada amigo poderia receberneste caso?

A�vidade 17

Dizemos que uma fração é irredu�vel se o máximo divisor comum entre o seu numera-dor e o seu denominador é igual a 1. Para cada fração indicada a seguir, determine umafração igual, mas que seja irredu�vel.

a)2

4, b)

6

9, c)

4

2, d)

5

35, e)

50

100.

A�vidade 18

O obje�vo desta a�vidade é determinar qual é a maior e qual é a menor fração entre asfrações 11

6, 2815

e 3720.

a) Determine três frações de mesmo denominador que sejam iguais às frações 116, 2815

e 3720.

b) Usando as frações do item a), determine qual é a maior e qual é a menor fraçãoentre as frações 11

6, 2815

e 3720.

A�vidade 19

Dadas duas frações, se o produto do numerador da primeira fração pelo denominador dasegunda fração for igual ao produto do denominador da primeira fração pelo numeradorda segunda fração, então as frações são iguais.

Vamos ver um exemplo: para as frações 146e 21

9, note que 14 × 9 = 126 = 6 × 21.

Vamos agora usar este fato de que 14× 9 = 6× 21 para concluir que 146= 21

9:

14

6=

9× 14

9× 6=

14× 9

9× 6=

6× 21

9× 6=

6× 21

6× 9=

21

9.

MÃO NA MASSA 79


✐

✐ ✐


a) Para as frações 28 e 5

20 , tem-se que 2×20 =

40 = 8× 5. Agora,

2

8=

20× 2

20× 8=

2× 20

20× 8=

8× 5

20× 8=

8× 5

8× 20=

5

20.

b) A afirmação é verdadeira.

Ao se multiplicar o numerador e o denomi-nador da primeira fração pelo denominadorda segunda fração obtém-se uma fraçãode igual valor cujo numerador é o produtodo numerador da primeira fração pelo de-nominador da segunda fração e cujo de-nominador é o produto do numerador daprimeira fração pelo denominador da se-gunda fração.

Do mesmo modo, ao se multiplicar o nu-merador e o denominador da segunda fra-ção pelo denominador da primeira fraçãoobtém-se uma fração de igual valor cujonumerador é igual ao denominador da pri-meira fração multiplicado pelo numeradorda segunda fração e cujo denominador é oproduto do denominadora da primeira fra-ção pelo denominador da segunda fração.

Como as frações iniciais são iguais, estasnovas frações também são iguais e têm omesmo denominador. Portanto, seus nu-meradores devem ser iguais, isto é, o pro-duto do numerador da primeira fração pelodenominador da segunda fração é igual aoproduto do denominador da primeira fraçãopelo numerador da segunda fração.

A�vidade 20

Obje�vo específico: Levar o aluno a⋆ Reconhecer frações iguais por meio de um jogode trilha.Esta a�vidade possui folhas para reprodução

disponíveis no final do livro.

Classificações:

⋆ Heid et al.: Produto: gerar; prever


⋆ UERJ: Interpretar: ordenar


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✐ ✐

a) Use o procedimento do exemplo para mostrar que 28= 5

20.

b) Verdadeirou ou falso? Se duas frações são iguais, então o produto do numerador daprimeira fração pelo denominador da segunda fração é igual ao produto do denomi-nador da primeira fração pelo numerador da segunda fração. Jus�fique sua resposta.

A�vidade 20

Trilha dos doze avosJunte seus amigos para jogar! Seu grupo vai receber uma cópia de um tabuleiro onde

há uma trilha com as posições de par�da e chegada indicadas e um dado com 12 facesmarcadas com os números de 1 a 12.

PARTIDA

CHEGADA

Seu grupo também receberá peões que iden�ficarão as posições dos jogadores natrilha. Cada jogador deve escrever o seu nome no peão (na imagem a seguir, o peãoestá com o nome “Antônio”).



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Notas de Aula


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✐ ✐

O dado pode ser usado para decidir a ordem de jogada. As regras do jogo são as se-guintes:

1o No desenvolvimento do jogo, cada jogador lança o dado duas vezes. Esses lança-mentos determinam a fração que correspondente ao movimento que o jogador fará: oprimeiro lançamento registra o denominador da fração e o segundo o numerador. As-sim, por exemplo, se o primeiro lançamento do dado resulta no número 12 e o segundolançamento resulta no número 10, a fração correspondente é 10

12. Outro exemplo: se o

número do primeiro lançamento do dado é 6 e o número do segundo lançamento é 3, afração correspondente é 3

6. Mais um exemplo: se o número do primeiro lançamento do

dado é 5 e o número do segundo lançamento é 7, a fração correspondente é 75.

2o Se a fração ob�da com o lançamento dos dados for equivalente a uma fraçàode denominador 12, ou seja, a certa quan�dade de doze avos, o peão “caminha” essaquan�dade de passos. Caso contrário, ele não sai do lugar que está e passa a vez parao próximo jogador. Assim, por exemplo: se a fração ob�da for 10

12, seu peão andará 10

casas. Se a fração ob�da for 36, seu peão andará 6 casas, pois 3

6= 6

12. Se a fração ob�da

for 75, seu peão permanecerá na casa em que está e você passará a vez.

3o Vence o jogo aquele jogador que, em primeiro lugar, a�ngir o ponto de chegada.Depois de jogar algumas vezes responda às questões a seguir.

a) Quantos passos um jogador deu se ele obteve nos dois lançamentos respec�vamenteos seguintes números:

1º) 12 e 7? 2º) 6 e 5? 3º) 8 e 6? 4º) 8 e 7? 5º) 9 e 12?6º) 7 e 8? 7º) 11 e 4? 8º) 1 e 1? 9º) 6 e 3? 10º) 3 e 6?

b) Em 5 rodadas consecu�vas, o primeiro jogador sorteou as frações 712, 10

9, 13, 32e 12

6. Já o

segundo jogador, nessas 5 rodadas, deu ao todo 47 passos. Ao final dessas rodadas,qual deles está a frente?

MÃO NA MASSA 81


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A�vidade 21

Obje�vo específico: Levar o aluno a⋆ Perceber que mesmo se n < p e m < q, podeocorrer que n

m ≥ pq .



⋆ O �po de situação descrita na a�vidade é umequívoco comum entre os alunos, isto é, elesequivocamente acham que se n < p e m < q,então necessariamente n

m < pq .

Classificações:




Resposta da A�vidade 21Tem-se que 2

3 = 10×210×3 = 20

30 e 610 = 3×6

3×10 = 1830 .

Como 2030 > 18

30 , segue-se que 23 > 6

10 .

A�vidade 22

Obje�vo específico: Levar o aluno a⋆ Analisar quando uma fração é igual a uma fraçãounitária.



⋆ O item c) relaciona-se com a A�vidade 1: comonão é possível, em uma equipar�ção de uma re-gião retangular, escolher uma quan�dade de par-tes que corresponda à metade desta região se a

quan�dade total de partes for um número ím-par, não existe uma fração de denominador ím-par que seja igual à fração 1

2 .

⋆ Observe para seus alunos que as frações estuda-das na Lição 1 são justamente as frações unitá-rias e que, pela Lição 2, toda fração é a justaposi-ção de frações unitárias. Em outras palavras, asfrações unitárias cons�tuem a estrutura básica apar�r da qual as demais frações são ob�das.

Classificações:





a) Pelo item b) da Atividade 19 , se uma dadafração é igual a alguma fração unitária, en-tão o produto do numerador da fração dadapelo denominador da fração unitária temque ser igual ao denominador da fraçãodada, isto é, o denominador da fração dadatem que ser um múltiplo inteiro do seu nu-merador. Isto só acontece para as frações420 e 6

18 .

b) Não, pois frações unitárias são sempre me-nores ou iguais a 1, enquanto que uma fra-ção com numerador maior do que o deno-minador é sempre maior do que 1.

c) Não, pois pelo item b) da Atividade 19 , seexistisse uma fração com denominador ím-par que fosse igual à fração 1

2 , então o nu-merador da fração dada multiplicado por 2,um número par, teria que ser igual ao deno-minador da fração dada multiplicado por 1,o que dá um número ímpar. Portanto, umnúmero par teria que ser igual a um númeroímpar, o que não é possível.


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QUEBRANDO A CUCA

A�vidade 21

Jorge e Ana estão comparando as frações 23e 6

10. Jorge afirma que 2

3< 6

10porque 2 < 6

e 3 < 10. Ana diz que 23> 6

10. Use desenhos, palavras ou apenas números para ajudar

Ana a explicar a Jorge porque ele está errado.

A�vidade 22

Uma fração é dita unitária se o seu numerador é igual a 1.

a) Quais das frações a seguir são iguais a alguma fração unitária? Jus�fique sua resposta.

420, 21

7, 4

30, 6

18.

b) Uma fração com numerador maior do que o denominador pode ser igual a uma fraçãounitária? Jus�fique sua resposta!

c) Existe uma fração de denominador ímpar que seja igual à fração unitária 12? Jus�fique

sua resposta!

A�vidade 23

Diga se cada uma das sentenças a seguir é verdadeira ou falsa. Explique a sua respostacom exemplos, desenhos ou palavras.

a) Se duas frações têm numeradores e denominadores diferentes, então elas represen-tam quan�dades diferentes.

b) Se duas frações têm denominadores iguais, mas numeradores diferentes, então elasrepresentam quan�dades diferentes.



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A�vidade 23

Obje�vo específico: Levar o aluno a⋆ Estabelecer cri�camente uma avaliação sobre acomparação entre frações a par�r da observaçãodos termos dessas fraçoes, incluindo a questãoda recíproca da seguinte propriedade: “se existenúmero natural n tal que a

b = n×cn×d , então

ab = c

d ”.

Recomendações e sugestões para o desenvolvi-mento da a�vidade:⋆ Recomenda-se que, nesta a�vidade, os alunostrabalhem individualmente ou em duplas. No en-tanto, é fundamental que os alunos sejam es�-mulados a explicar o raciocínio realizado.

⋆ Note que o item d) é falso porque estamosdando a liberdade de a escolha envolver fraçõesque não são irredu�veis nem unitárias, por issoexistem contraexemplos. Avalie a discussão so-bre a veracidade da afirmação do item d) quandoacrescentamos a informação “uma das fraçõesé irredu�vel” ou “uma das frações é unitária”.Neste caso, as novas afirmações são verdadeiras,e as jus�fica�vas para elas são generalizações dequestões já propostas.

Classificações:





a) A sentença é falsa. Por exemplo, as fra-ções 1

2 e 36 têm numeradores e denomina-

dores diferentes, mas elas são iguais, umavez que 1

2 = 3×13×2 = 3

6 .

b) A sentença é verdadeira: se duas fraçõestêm denominadores iguais, é maior a fra-ção que tem o maior numerador e, em par-ticular, elas são diferentes. De fato: lem-brando que o denominador de fração espe-cifica o número de partes em que a unidade

foi dividida e o numerador especifica quan-tas cópias desta parte foram tomadas, paraum mesmo denominador, quanto maior onumerador, mais cópias são tomadas e,portanto, maior é a quantidade represen-tada pela fração.

c) A sentença é verdadeira: se duas fraçõestêm numeradores iguais, é maior a fraçãoque tem o menor denominador e, em par-ticular, elas são diferentes. De fato: con-siderando que o numerador especifica onúmero de cópias da unidade que estásendo dividida por um número de pessoas,número este especificado pelo denomina-dor da fração, para um mesmo numerador,quanto menor o denominador, maior a por-ção que cada pessoa vai receber, quanti-dade esta representada pela fração, pois omesmo número de cópias da unidade estásendo divivido por um número menor depessoas.

d) A sentença é falsa. Por exemplo, 24 e 3

6 sãofrações iguais, pois 2

4 é igual a 12 e 3

6 tam-bém é igual a 1

2 , mas não existe um númeronatural que multiplicado por 2 dê igual a 3,bem como não existe número natural quemultiplicado por 3 dê 2.

A�vidade 24

Obje�vo específico: Levar o aluno a⋆ Perceber a propriedade de densidade das fra-ções ao obter frações arbitrariamente próximasde 0 e arbitrariamente próximas de 1.


⋆ Recomenda-se que, para facilitar a logís�ca decondução desta a�vidade, que ela seja feita comas perguntas sendo propostas uma a uma porvocê para a turma, de modo que a resposta deuma pergunta dada por um aluno seja entãousada como referência para a pergunta subse-quente. Outra possibilidade é dividir a turma em


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✐ ✐

c) Se duas frações têm numeradores iguais e maiores do que zero, mas denominadoresdiferentes, então elas representam quan�dades diferentes.

d) Se duas frações representam quan�dades iguais, então o numerador e o denominadorde uma são ob�dos mul�plicando-se o numerador e o denominador da outra por ummesmo número natural.

A�vidade 24

a) Escreva uma fração que seja menor do que 1 e maior do que 0.

b) Existe uma fração maior do que 0 e menor do que a fração que você escreveu noitem a)? Em caso afirma�vo, escreva uma tal fração.

c) Existe uma fração menor do que a fração que você escreveu no item b)? Em casoafirma�vo, escreva uma tal fração.

d) É possível generalizar este processo, isto é, dada uma fração menor do que 1 e maiordo que 0, é sempre possível determinar uma outra fração menor ainda? Em casoafirma�vo, explique como tal fração pode ser ob�da.

e) Existe uma fraçãomenor do que 1 e que seja maior do que a fração que você escreveuno item a)? Em caso afirma�vo, escreva uma tal fração.

f) Existe uma fraçãomenor do que 1 e que seja maior do que a fração que você escreveuno item e)? Em caso afirma�vo, escreva uma tal fração.

g) É possível generalizar este processo, isto é, dada uma fração menor do que 1, ésempre possível determinar uma outra fração menor do que 1 e que seja maior doque a fração dada? Em caso afirma�vo, explique como tal fração pode ser ob�da.

A�vidade 25

Fabrício acredita que não existem frações entre 35e 4

5(isto é, maiores de que 3

5e menores

do que 45) porque 3 < 4 e não existe número natural entre 3 e 4. Fabrício con�nua: “Pelo

QUEBRANDO A CUCA 83


✐

✐ ✐

grupos de 3 a 5 alunos. Cada grupo respondea primeira pergunta e então passa sua respostapara um outro grupo que deve então respondera próxima questão tendo como referência a res-posta recebida e assim sucessivamente.

⋆ Caso seja viável, recomenda-se, na discussão daa�vidade, o uso de um so�ware (o GeoGebra,por exemplo) para marcar na reta numérica as su-cessivas frações dadas pelos alunos. O recursode ampliação e redução pode ser usado visuali-zar as frações quando estas se acumulam em 0

e em 1.

Classificações:


⋆ Nicely, Jr.: Nível 7: levantar hipóteses



a) 12 , por exemplo.

b) Sim, 13 .

c) Sim, 14 .

d) Sim: 15 < 1

4 , 16 < 1

5 , 17 < 1

6 , etc. Mais geral-mente, dada uma fração, basta considerara fração de mesmo numerador e denomina-dor maior do que o denominador da fraçãodada. Esta segunda fração será sempremenor do que a fração dada.

e) Sim, 23 . Enquanto que para 1

2 , é necessário12 para completar a unidade, para 2

3 é ne-cessário 1

3 que é menor que 12 , logo 3

4 > 12 .

f) Sim, 34 . Enquanto que para 2

3 , é necessário13 para completar a unidade, para 3

4 é ne-cessário 1

4 que é menor que 13 , logo 3

4 > 23 .

g) Sim, 45 > 3

4 , 56 > 4

5 , 67 > 5

6 , etc.Mais geralmente, as frações cujo numerador

é um número natural e o denominador é o suces-sor do numerador formam uma sucessão cres-cente de frações menores do que 1.

A�vidade 25

Obje�vo específico: Levar o aluno a⋆ Perceber a propriedade de densidade das fra-ções ao obter frações que estão entre duasfrações diferentes quaisquer, mesmo no casode numeradores consecu�vos e denominadoresiguais. Isto é, que dadas duas frações a

b e cd dife-

rentes (suponha ab < c

d ), sempre é possível deter-

minar uma terceira fração pq tal que

a

b<

p

q<

c

d.



⋆ Caso seja viável, recomenda-se, na discussão daa�vidade, o uso de um so�ware (o GeoGebra,por exemplo) para marcar na reta numérica assucessivas frações dadas pelos alunos.

Classificações:





a) Note que 35 = 2×3

2×5 = 610 e 4

5 = 2×42×5 = 8

10 .Portanto, 7

10 é tal que 35 < 7

10 < 45 .

b) Note que 1110 = 3×11

3×10 = 3330 e 12

10 = 3×123×10 = 36

30 .Portanto, 34

30 e 3530 são tais que 11

10 < 3430 <

3530 < 36

30 .

c) Note que 1920 = 4×19

4×20 = 7680 e 20

20 = 4×204×20 = 80

80 .Portanto, 77

80 , 7880 e 79

80 são tais que 1920 <

7780 < 78

80 < 7980 < 80

80 .


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mesmomo�vo, não existem frações entre 1110e 12

10e entre 19

20e 20

20!”. Você concorda com as

afirmações e argumentos de Fabrício? Se você acha que Fabrício está errado, determine:

a) uma fração entre 35e 4

5;

b) duas frações entre 1110

e 1210;

c) uma fração entre 1920

e 2020.

REFLETINDO

Nas atividades 24 e 25 você estudou uma propriedade importante do conjuntodas frações:dadas quaisquer duas frações que representam diferentes quan�dades, sempre é pos-sível encontrar uma fração entre elas.Ora, se sempre é possível, como se pode então determinar uma terceira fraçãoentre as frações dadas? Para explicar melhor o procedimento, veja primeiroum exemplo.Suponha que se quer determinar uma fração entre as frações 5

7e 3

4.

O primeiro passo é reescrevê-las usando um mesmo denominador:

5

7=

4× 5

4× 7=

20

28

e3

4=

7× 3

7× 4=

21

28.

Ao comparar as frações obtidas, percebe-se que 2028

< 2128. No entanto, não se

vê de imediato um exemplo de fração que seja maior que 2028e menor que 21

28.

Isto ocorre porque os números 20 e 21 são consecutivos.Humm... que tal aumentar ainda mais os denominadores? Pois é isso que seráfeito. Multiplique por dois os numeradores e denominadores de cada uma dasfrações. Veja:

5

7=

4× 5

4× 7=

20

28=

2× 20

2× 28=

40

56

e3

4=

7× 3

7× 4=

21

28=

2× 21

2× 28=

42

56.

Agora sim. Pode-se escolher a fração 4156como solução do problema:



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Notas de Aula


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5

7=

4× 5

4× 7=

20

28=

2× 20

2× 28=

40

56<

41

56<

42

56=

2× 21

2× 28=

21

28=

7× 3

7× 4=

3

4.

De modo resumido:

5

7=

40

56<

41

56<

42

56=

3

4.

Fácil, não é mesmo? Ométodo consiste em buscar representações equivalen-tes com denominadores suficientemente grandes que permitam a nossa esco-lha do numerador. Por isso a multiplicação simultânea dos numeradores edenominadores das frações acima por dois. Os números 20 e 21 são conse-cutivos, essa foi a dificuldade inicial. Mas o dobro de 20 e o dobro de 21, quesão números pares, não são números consecutivos. E essa foi a jogada demestre!Agora sim, pode-se apresentar o procedimento utilizado em uma linguagemmais geral.Dadas duas frações a

be c

ddiferentes (suponha a

b< c

d), queremos determinar

uma terceira fração pqtal que

a

b<

p

q<

c

d.

O primeiro passo é encontrar frações iguais às anteriores, mas que tenham omesmo denominador.Para isso, basta multiplicar os numeradores e os denominadores de cada fra-ção pelo denominador da outra fração. Veja:

a

b=

d× a

d× b,

onde d é o denominador da segunda fração e

c

d=

b× c

b× d,

onde b é o denominador da primeira fração.Além disso, como a

b< c

d, o produto d× a é diferente do produto b× c.

Ora, se d×a e b×c não são números naturais consecutivos, já temos condiçõesde determinar a fração p

qbasta fazer q = b× d e escolher um número naturalm

entre d× a e b× c. Neste caso tem-se como solução para o problema a fração

p

q=

m

b× d,

QUEBRANDO A CUCA 85


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Notas de Aula


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onde m é um número natural entre d × a e b × c. Agora, se d × a e b × c sãonúmeros naturais consecutivos, usa-se a jogada de mestre. Isto é, multiplica-se por dois os numeradores e denominadores das frações acima:

a

b=

2d× a

2d× b

ec

d=

2b× c

2b× d.

Ora, (2d × a) e (2b × c) são dois números pares diferentes e, portanto, nãoconsecutivos.Portanto, basta escolher p = (2d × a) + 1, o primeiro número ímpar depois donúmero (2d×a), e q = (2b×d), para encontrar uma solução do nosso problema:

a

b=

2d× a

2d× b<

(2d× a) + 1

2b× d<

2b× c

2b× d=

c

d.

Isto é,

a

b<

p

q<

c

d.



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As operações de adição e de subtração de frações estão associadas a diversos contextos, nos quais podemser iden�ficadas as mesmas interpretações já associadas à adição e à subtração de números naturais. Dentreessas interpretações, podem-se destacar:

Adição:⋆ Juntar. Exemplo: Alice tem 15 figurinhas e Miguel tem 12. Quantas figurinhas os dois têm juntos?

⋆ Acrescentar. Exemplo: Alice �nha 15 figurinhas e ganhou mais 12. Com quantas figurinhas Alice ficou?Subtração

⋆ Re�rar. Exemplo: Miguel �nha 15 figurinhas e deu 12 a Alice. Com quantas figurinhas Miguel ficou?

⋆ Completar. Exemplo: Alice tem 12 figurinhas. Quantas figurinhas faltam para ela completar um total de 15?

⋆ Comparar. Exemplo: Alice tem 15 figurinhas e Miguel tem 12. Quantas figurinha Alice tem a mais queMiguel?No caso da adição e da subtração de frações, essas mesmas interpretações estão associadas a situações

envolvendo grandezas não inteiras, como veremos em diversos exemplos ao longo desta lição.Emmuitos casos, a adição e a subtração de frações são abordadas na educação básica simplesmente a par�r

da apresentação (frequentemente sem jus�fica�va) de um procedimento de cálculo, em que se determina umdenominador comum (em geral, ob�do pelo mínimo múl�plo comum entre os denominadores originais) e seoperam os numeradores. Para que os alunos construam significado para as operações de adição e de subtraçãode frações, é importante que fique claro que determinar um denominador comum corresponde a determinaruma subdivisão comum da unidade entre as quan�dades que se deseja operar (no caso, somar ou subtrair).

Neste sen�do, para somar, por exemplo 34 + 2

3 , deve-se observar que:

a) A fração 34 expressa a adição por justaposição de 3 frações de 1

4 da unidade. Da mesma forma, a fração23 expressa a adição por justaposição de 2 frações de 1

3 da unidade. Assim, as frações 34 e 2

3 estãoassociadas a diferentes subdivisões da unidade, no caso, respec�vamente, em 4 partes iguais e em 3partes iguais, o que determina “quartos” e “terços” como frações da unidade.

b) Para expressar o resultado desta soma como uma fração, é preciso expressar as duas parcelas a par�rde uma mesma subdivisão da unidade, no caso, por exemplo, em 12 partes iguais, isto é, no caso em“doze avos” . Assim, a adição por justaposição de 3 frações de 1

4 da unidade, que resulta na fração 34 , é

equivalente à adição por justaposição de 9 frações de 112 da unidade, que resulta na fração

912 . Da mesma

forma, a adição por justaposição de 2 frações de 13 da unidade, que resulta na fração 2

3 , é equivalente àadição por justaposição de 8 frações de 1

12 da unidade, que resulta na fração 812 .

c) Portanto, o resultado da soma 34 + 2

3 pode ser expresso pela justaposição de 9 frações mais 8 fraçõesde 1

12 da unidade, que resulta em 1712 , isto é, 3

4 +23 = 9

12 +812 = 17

12 . A reescrita de uma fração a par�r dedeterminada subdivisão da unidade implicará na escrita de uma fração equivalente.


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Lição 5

Adição e subtração de frações


A�vidade 1

Miguel e Alice estão par�cipando de uma campanha da escola para coleta de óleo decozinha. O obje�vo é disponibilizar recipientes para que as pessoas depositem óleo.Depois esses recipientes serão des�nados a empresas que usarão o óleo descartadopara fazer sabão. Eles conseguiram diferentes recipientes e agora desejam saber qualtem maior capacidade.

Recipiente 1: trazido pela Alice Recipiente 2: trazido pelo MiguelEles �veram a seguinte ideia: encheram os dois recipientes com água para depois

verificarem onde havia mais água. Para isso, usaram um copo d’água como unidade demedida.

87


✐

✐ ✐

Uma construção análoga pode ser feita para a subtração. É importante que essas construções sejam feitascom os alunos a par�r de diversos exemplos, associados às diferentes interpretações para a adição e para asubtração, e ilustrados por representações geométricas.

Desta forma, para a compreensão de processos de cálculo da adição e da subtração de frações, é funda-mental o entendimento da fração a

b como uma expressão da justaposição de a frações de 1b da unidade.

Um dos obje�vos desta lição é construir esses procedimentos de soma e de subtração de frações, a par�rda determinação de subdivisões da unidade que sejam comuns entre as parcelas, isto é, de denominadorescomuns. Cabe destacar que essa unidade comum não precisa ser a maior possível. No caso do exemploapresentado acima, a subdivisão comum encontrada foi 1

12 , porém em uma situação real de sala de aula, osalunos também poderiam ter empregado 1

24 , 136 , etc. - e essas estratégias devem ser igualmente valorizadas.

Isto é, a ênfase da abordagem deve estar na ideia conceitual de expressar frações equivalentes a par�r dadeterminação de subdivisões comuns da unidade, e não na memorização de procedimentos com base nocálculo do mínimo múl�plo comum. De fato, você observará que o conceito de MMC não é nem mesmomencionado nesta lição.

Também é obje�vo desta lição construir as ideias de soma e de diferença de frações com base em situaçõescontextualizadas nas mesmas interpretações anteriormente associadas às operações com números naturais -juntar e acrescentar, no caso da adição; re�rar, comparar e completar para a subtração. Desta forma, procura-seconstruir a adição e a subtração de frações como extensões naturais dessas operações com números natu-rais. Não é obje�vo desta lição tratar formalmente as propriedades da adição e da subtração. Porém, serãoressaltados aspectos substanciais que fundamentam essas propriedades, em especial, a mesma natureza dasparcelas. Finalmente, é importante destacar que as estratégias pessoais dos alunos não devem ser descon-sideradas em detrimento da apresentação de um procedimento “padronizado” . Ao contrário, a construçãode estratégias pessoais deve ser encorajada e valorizada. Isso não apenas contribui para o fortalecimento dasegurança dos alunos individualmente, como também pode enriquecer a compreensão cole�va da turma, pormeio do compar�lhamento de diversas estratégias.

A�vidade 1


⋆ perceber o papel de uma unidade comum paracomparar, somar ou subtrair duas quan�dades;

⋆ resgatar as interpretações de juntar para a ope-ração de adição, e de re�rar e de comparar paraa operação de subtração, anteriormente associ-adas às operações com números naturais;

⋆ entender as operações de adição e de subtra-ção com frações como extensões das respec�-vas operações com números naturais a par�r doresgate dessas interpretações, isto é, como ope-rações que dão conta de situações associadas àsmesmas interpretações.


⋆ Embora não se trabalhe diretamente com fra-ções, a a�vidade enfoca processos de contagem


✐

✐ ✐

• O recipiente trazido por Alice foi enchido com 26 copos.

• O recipiente trazido por Miguel foi enchido com 40 copos.

Eles então observaram que a par�r de uma unidade de medida comum (nesse casoo copo), poderiam não só dizer qual recipiente �nha maior capacidade, mas também oquanto era maior e qual seria a capacidade dos dois recipientes juntos. Usando a ideia demedida de Miguel e Alice, isto é, tomando o copo como unidade de medida, responda:

a) Qual recipiente tem maior capacidade?

b) Qual é a capacidade dos dois recipientes juntos?

c) Quanto se deve re�rar do recipiente maior, para ter o mesmo volume de líquido queé possível colocar no recipiente menor?

A�vidade 2

A professora Estela quer enfeitar sua sala de aula para uma festa da escola. Para issoela comprou várias fitas, todas de mesmo tamanho, nas cores vermelho, azul e amarelo.

A professora cortou cada fita vermelha em 3 partes iguais, cada fita azul em 2 partesiguais e cada fita amarela em 4 partes iguais.

88 LIÇÃO 5 - Adição e subtração de frações


✐

✐ ✐

a par�r de uma unidade de referência, o que seráfundamental para as operações de adição e desubtração com frações. Por exemplo, no caso dasituação apresentada nesta a�vidade, a unidadecomum empregada


a) O recipiente trazido por Miguel é maior, umavez que precisou de mais copos para ser en-chido (40 > 26).

b) Usando o copo como unidade de medida, po-demos indicar que a capacidade dos dois re-cipientes juntos é 66 . Ou seja, 66 copos.

c) Deve-se retirar 14 copos, pois 40− 26 = 14.

A�vidade 2


⋆ entender o processo de determinação de um de-nominador comum entre duas frações com basena ideia de subdivisão da unidade da qual am-bas sejam múl�plas inteiras, ob�da a par�r deum processo geométrico;

⋆ determinar a soma de duas frações a par�r dessasubdivisão da unidade.


⋆ Uma vez estabelecida uma unidade (no caso, otamanho da fita), a determinação de uma subdi-visão dá origem a um processo de medida pormeio de uma dupla contagem, em que estãoenvolvidas: a unidade, associada ao número 1,com base na qual são contadas quan�dades in-teiras; subdivisões da unidade em partes iguais(no caso, os pedaços coloridos das fitas), cujacontagem permite medir quan�dades menoresque a unidade.

⋆ A a�vidade envolve a subdivisão de fitas colori-das em pedaços demesmo tamanho. É recomen-dável que o professor desenvolva a a�vidade emsala de aula u�lizando materiais concretos. Asfitas coloridas podem ser feitas com papel e car-tolina, e os alunos podem recortá-las e juntar ospedaços de acordo com o que é pedido nos itensda a�vidade. Nesta etapa de familiarização ini-cial com as operações com frações, a manipula-ção concreta é importante para a construção designificado.

⋆ O item a) visa ao reconhecimento pelo aluno dasfrações envolvidas na situação apresentada. As-sim, espera-se que o aluno responda, 1

3 ,12 e 1

4 .

⋆ Em seguida, é apresentada uma situação simplesem que uma subdivisão comum, no caso o pe-daço de fita amarelo, permite a determinação dasoma:

1

2+

2

4=

1

2+

1

2= 1.

⋆ O item b), embora seja bem parecido com oexemplo dado, demanda que o estudante deter-mine uma subdivisão diferente da usada no itemanterior. Nesse caso o estudante deve observarque é necessário u�lizar a subdivisão 1

4 para me-dir essas partes que foram juntadas.


a) Um pedaço vermelho recortado, corres-ponde a 1

3 da fita.Um pedaço azul recortado, corresponde a12 da fita.Um pedaço amarelo recortado, corres-ponde a 1

4 da fita.

b) Um pedaço amarelo mais um pedaço azulcorresponde a 1

4 + 12 da fita. Como 1

2 = 24 ,

temos que a junção dos dois pedaços defita será 1

4 + 12 = 3

4 da tamanho da fita ori-ginal.


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✐ ✐

a) A que fração da fita original corresponde cada pedaço recortado pela professoraEstela?

Em seguida, a professora Estela começou a juntar pedaços recortados das fitas,formando novas fitas coloridas. Ela começou juntando (de forma intercalada) umpedaço azul e dois pedaços amarelos.

Ela verificou que a nova fita formada �nha o mesmo tamanho da fita original. Issoaconteceu por que cada pedaço azul tem o mesmo tamanho de dois pedaços ama-relos. Podemos representar o tamanho da nova fita formada pela professora pormeio de uma soma de frações. Cada pedaço azul corresponde a 1

2da fita original.

Cada pedaço amarelo corresponde a 14da fita original, então 2 pedaços amarelos

correspondem a 24da fita original. Portanto, o tamanho da nova fita é igual a:

1

2+

2

4.

Mas, como 24é igual a 1

2(cada pedaço azul tem o mesmo tamanho de dois pedaços

amarelos), então:1

2+

2

4=

1

2+

1

2.

O resultado dessa soma 12+ 1

2é igual 2 pedaços de 1

2, isto é, 2

2(que é igual 1). Assim:

1

2+

2

4=

1

2+

1

2= 1.

Neste caso, o resultado 1 corresponde ao tamanho da fita original.

b) A professora também agrupou pedaços de fita, juntando 1 pedaço amarelo e 1pedaço azul, como na figura abaixo. Qual fração da fita inicial corresponde essesdois pedaços juntos?



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Notas de Aula


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A�vidade 3

Uma barra de chocolate é vendida com as marcações mostradas na figura abaixo.

Alice comeu a metade dessa barra de chocolate (em bege), quebrou o restante dabarra em pedaços, seguindo as marcações e comeu 3 desses pedaços (em azul).



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A�vidade 3



⋆ determinar a soma e a diferença de duas fraçõesa par�r dessa subdivisão da unidade.


⋆ Diferentemente da a�vidade anterior, nesta a�-vidade a subdivisão da unidade já é dada, e suadeterminação não é pedida ao aluno, o que vol-tará a ser obje�vo das próximas a�vidades.

⋆ O item a) visa especificamente à iden�ficação ge-ométrica de subdivisão da unidade que será em-pregada para efetuar as operações. Espera-se 1

16

como resposta.

⋆ No item b), procurar resgate das a�vidades sobrefrações equivalentes realizadas na lição 4. Ob-serve que aqui há um processo de recontagem apar�r da subdivisão “pedaço de chocolate”. Aquia fração equivalente indica a recontagem da fra-ção 1

2 a par�r da subdivisão 116 .

⋆ No item c), procure destacar a interpretação deadição como “juntar”. Pretende-se que o profes-sor tenha a possibilidade de sistema�zar a adi-ção, tendo como apoio a resposta dos alunos da-das a par�r de observações visuais. Isto é, o es-tudante pode dizer que juntos Alice e Miguel co-meram 11 pedaços e depois iden�fica-los como1116 da barra de chocolate. A discussão deve serencaminhada a par�r da determinação de fra-ções equivalentes desenvolvida no item anterior(e sem o uso do conceito de MMC). O obje�vo éque o professor aproveite as soluções intui�vasdos alunos para apresentar, de forma mais siste-

ma�zada, a adição por uso de fração equivalen-tes, ob�das na busca de uma subdivisão comum:

1

2+

3

16=

8

16+

3

16=

11

16.

⋆ O item d) deve ser encaminhado de forma aná-loga ao anterior. Especificamente, deve-se re-tomar a ideia de que 1 = n

n , discu�da na liçãoanterior, daí apresentar

1− 11

16=

16

16− 11

16=

5

16.


a) 116 .

b) 12 = 8

16 , pois a fração equivalente a 12 com

denominador 16 é 816 .

c) Observando as quantidades comidas porAlice e Miguel, a partir de um mesmo deno-minador, temos 1

2 + 316 = 8

16 + 316 = 11

16 .

d) Recordemos que a barra de chocolate énossa unidade de medida, então esse quan-tidade será entendida como 1 inteiro. Assima quantidade restante será dada por 5

16 , pois1− 11

16 = 1616 − 11

16 = 516 .

A�vidade 4






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✐ ✐

Se considerarmos a barra de chocolate como a unidade indicamos que as quan�-dades comidas são: 1

2por Alice e 3

16por Miguel. Os pedaços da barra (quebrados por

Miguel de acordo com asmarcações na barra) correspondem a uma subdivisão dessa uni-dade. Observe que ambas as frações da barra de chocolate comidas por Alice e Miguelpodem ser ob�das a par�r dessa subdivisão: Miguel comeu 3 pedaços e a quan�dadecomida por Alice corresponde a 8 pedaços.

a) Um pedaço corresponde a que fração da barra de chocolate?

b) Complete a parte em branco (numerador) para indicar a fração da barra de chocolateque Alice comeu.

1

2=

16

c) Que fração da barra de chocolate foi comida por Alice e por Miguel, juntos?

d) Que fração da barra de chocolate não foi comida?

A�vidade 4

Amanda, Bruno e Caio pediram três pizzas do mesmo tamanho, mas com sabores di-ferentes. Todas as pizzas nessa pizzaria são servidas em **12 fa�as** iguais. Amandacomeu 1

6de uma pizza, Bruno comeu 3

4de outra, e Caio comeu 2

3da pizza que pediu.



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✐ ✐

⋆ Esta a�vidade pode ser mais aproveitada pelosalunos se for realizada com apoio de materiaisconcretos. Sugerimos, caso seja possível, que osestudantes desenvolvam o material. Caso nãoseja possível, disponibilizamos uma página parareprodução no final dessa lição. Neste caso, oprofessor poderá disponibilizar aos alunos discosdivididos em 12 partes, e pedir que eles mar-quem as frações 1

6 ,34 e 2

3 colorindo esses discos.

⋆ A a�vidade tem início com a comparação de fra-ções, o que já foi abordado na lição anterior. Pro-curar retomada a discussão conduzida naquelalição.

⋆ É importante chamar atenção para o fato de queescrever as frações a par�r de um mesmo de-nominador corresponde a expressar as quan�da-des que elas representam como múl�plos intei-ros de uma subdivisão comum da unidade. Por-tando, toma-se como estratégia, para operar aadição e a subtração de frações, escrevê-las emrelação a um mesmo denominador, determinadoa par�r de uma subdivisão comumda unidade. Oitem a) visa especificamente ao reconhecimentoconcreto da fração unitária associada a esse de-nominador comum.

⋆ No item b), o professor deverá explorar e eviden-ciar as ar�culações entre as diferentes estraté-gias dos alunos, sendo as principais:

a) Mul�plicar o numerador e o denominadorpor um mesmo número (algoritmo discu�dona lição anterior).

b) Observar a quan�dade de fa�as nas imagensacima que apresentam as frações consumi-das.

⋆ Os itens d) a g) exploraram diferentes interpreta-ções da adição da subtração, a saber:

a) subtração – completar;

b) adição – juntar;

c) subtração – re�rar;

d) subtração – comparar.

Em cada um dos itens acima, após as resoluçõesdos estudantes, recomendamos que o professorarme a conta e indique o resultado. Por exemplo,no item d), tem-se:

3

4− 2

3=

9

12− 8

12=

1

12

⋆ É interessante que o professor encoraje e tragapara a discussão com a turma as diferentes es-tratégias que �verem sido propostas pelos alu-nos, inclusive aquelas que não es�verem inteira-mente corretas. O obje�vo não é destacar solu-ções “mais eficientes” ou separar as ”certas”das“erradas”, e sim evidenciar como diferentes es-tratégias permitem obter os resultados pedidosnesta a�vidade a par�r da determinação de umasubdivisão comum. Por exemplo, no caso doitem d), um aluno pode sobrepor o desenho dasfa�as comidas por Bruna no desenho das comi-das por Caio, e contar quantas fa�as faltam paraa�ngir a quan�dade consumida por Caio.

⋆ É importante que o professor apresente o regis-tro das operações em notação de fração, com oobje�vo de ar�cular esse registro com as estraté-gias geométricas, baseadas na contagem diretadas subdivisões comuns.

Esta a�vidade possui folhas para reprodução nofinal do livro.


a) 112 é a fração unitária de pizza comum, poistodas as quantidades consumidas podem serindicadas as partir de múltiplos dessa fraçãode pizza.

b) Para cada quantidade é possível simples-mente contar a quantidade de fatias obser-vando as imagens acima, uuma vez que cadafatia corresponde a 1

12 de uma pizza. Assim,obtemos como resposta as frações 2

12 , 912 e

812 , que são iguais a 1

6 , 34 e 2

3 , respectiva-mente.


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1

6 1

4 1

3

Fração de pizza consu-mida por Amanda 1

6

Fração de pizza consu-mida por Bruno 3

4

Fração de pizza consu-mida por Caio 2

3

a) Que fração de uma pizza cada fa�a representa?

b) Complete os espaços (numeradores) a seguir registrando outra representação para afração de uma pizza que cada uma das crianças comeu.Amanda: 1

6=

12Bruno: 3

4=

12Caio: 2

3=

12

c) Quem comeu mais pizza? Quem comeu menos pizza?

d) Que quan�dade de pizza Bruno comeu a mais do que Caio?

e) Que quan�dade de pizza Amanda e Bruno comeram juntas?

f) Que fração de uma pizza Amanda comeu a menos do que Caio?

g) Quanto a mais de pizza Bruno consumiu, em relação a Amanda?


No caso de quan�dades expressas por meio de frações de uma unidade dada, paracomparar, determinar a soma ou determinar a diferença, é necessário uma subdivisãoda unidade com a qual seja possível expressar ambas as quan�dades. Por exemplo:

• Na A�vidade 3, a subdivisão da unidade considerada, barra de chocolate permi�uexpressar as quan�dades de chocolate comidas por Alice e por Miguel a par�rda contagem da mesma subdivisão da unidade. A par�r dessa estratégia foramdeterminadas a quan�dade de chocolate comidas por Alice e Miguel juntos, bemcomo a quan�dade de chocolate restante.



✐

✐ ✐

c) Observando as quantidades indicadas noitem anterior quem consumiu mais foi Bruno,912 de pizza. Quem consumiu menos foiAmanda, 2

12 da pizza.

d) 912 − 8

12 = 112 .

e) 212 + 9

12 = 1112 .

f) 812 − 2

12 = 612 .

g) 912 − 2

12 = 712

A�vidade 5


⋆ encontrar uma subdivisão comum entre as quan-�dades que permita efetuar as operações;

⋆ perceber a não unicidade da subdivisão comum.


⋆ Como nas a�vidades anteriores e nas próximasdesta lição, o uso obrigatório do MMC não érecomendado. Ao contrário, obje�va-se justa-mente provocar explicitamente a percepção deque essa subdivisão não é única . Assim, devemser apresentadas diversas frações equivalentesàs frações dadas na a�vidade, como por exem-plo, as seguintes:

6

10e

7

1012

20e14

2024

40e28

40

⋆ A par�r dessas diferentes frações equivalentes,o professor deve procurar ar�cular com os es-tudantes a relação entre diferentes subdivisõescom a sistema�zação de frações equivalentes.Deve-se retomar a reflexão iniciada na sessãoOrganizando as Ideias de que escrever quan�-dades em relação a uma subdivisão comum cor-responde a determinar frações equivalentes comum denominador comum.


a) Uma possível subdivisão comum é em 10partes, portanto, igual a fração 1

10 . Comessa subdivisão ambas as quantidades po-dem ser expressas por frações de denomi-nador 10. ma forma de observar tal fato édeterminar, na primeira imagem, um seg-mento horizontal, de modo a dividir cadaparte da partição já existente em duas par-tes iguais.

b) 35 = 6

10 . A fração 710 já está escrita a partir

de décimos.

c) Sim, existem várias. Por exemplo, 110 , 1

20

ou 170 .

d) Como 35 + 7

10 = 610 + 7

10 = 1310 > 1, juntas,

as regiões destacadas em vermelho e embege determinam um região total maior doque a do retângulo dado.

A�vidade 6






✐

✐ ✐

• Na A�vidade 4, a unidade é uma pizza e a fa�a de pizza é uma subdivisão dessaunidade. Neste caso, pôde-se expressar todas as frações de pizza consumidas porAmanda, Bruno e Caio a par�r contagem dessas fa�as (subdivisões da unidade).Relembrando:

1

6=

2

12

3

4=

9

12

2

3=

8

12.

Como os exemplos acima ilustram, a escolha adequada de uma subdivisão da unidadeque permita representar as frações dadas com ummesmo denomindador foi a estratégiausada para calcular a adição e a subtração dessas frações. É exatamente essa estratégiaque usaremos para calcular adição e subtração de frações em geral.

1

6+

3

4=

2

12+

9

12=

11

12.

MÃO NAMASSA

A�vidade 5

Tendo como unidade um mesmo retângulo, as representações das frações 35e 7

10estão

ilustradas nas figuras a seguir.

a) Determine uma subdivisão da unidade que permita expressar essas quan�dadespor frações com um mesmo denominador. Represente, usando essas figuras, essasubdivisão.

b) Escreva frações iguais a 35e a 7

10a par�r dessa subdivisão.

c) Existe alguma outra subdivisão, diferente da que você usou para responder os itensa) e b), com a qual também seja possível responder ao item b)? Se sim, qual?

d) Juntas, as regiões destacadas em vermelho e em bege determinam um região totalmaior, menor ou igual a um retângulo? Explique

MÃO NA MASSA 93


✐

✐ ✐

⋆ Esta a�vidade é con�nuação da a�vidade 2.Busca-se aplicar a sistema�zação das ideias pararetomar reflexões ensejadas naquela a�vidade.Buscar com o estudante a generalização por si-tuações que não são tão imediatas, em que tra-balhamos com pedaços de fita que não são múl-�plos inteiros de outros pedaços (dobro, comono caso dos pedaços azul e amarelo, presentena a�vidade 2).

⋆ No item a), em primeiro lugar, os alunos devemperceber que a nova fita vermelha e azul for-mada é menor que a fita original. Para chegara essa conclusão, diferentes estratégias podemser empregadas - e a exploração dessas estra-tégias deve ser es�mulada pelo professor. Porexemplo, os alunos podem observar concreta-mente que como cada pedaço vermelho (corres-pondente à fração 1

3 ) é menor que cada pedaçoazul (correspondente à fração 1

2 ), então a novafita vermelha e azul é menor que a fita original.

⋆ A par�r dessas explorações iniciais, explore comos alunos a discussão sobre diversas formas desaber qual fita tem o maior tamanho, e que,além disso, é possível determinar o tamanho danova fita vermelha e azul em relação à original,somando-se as medidas dos dois pedaços (ver-melho e azul) que a compõe. Para isso, algumasobservações são fundamentais:

a) O tamanho da fita original será uma unidade,associada ao número 1, em relação a qual ostamanhos das demais grandezas serão deter-minadas, e expressas como frações.

b) Como os pedaços vermelho e azul corres-pondem a subdivisões de tamanhos diferen-tes da unidade (tamanho da fita original), paradeterminar sua soma será preciso expressá-los como múl�plos inteiros de uma subdivi-são comum, que pode ser ob�da dividindo-se o pedaço vermelho em duas partes iguaise o pedaço azul em três partes iguais.

Desta forma, cada pedaço de fita vermelha equi-vale a 2 pedaços iguais a 1

6 da unidade, e cadapedaço de fita azul equivale a 3 pedaços iguais a16 da unidade, totalizando

5

6da unidade:

1

3+

1

2=

2

6+

3

6=

5

6.

Essa subdivisão comum permite ainda determi-nar a diferença entre os tamanhos da fita originale da nova fita vermelha e azul, associando-se aunidade a 6 pedaços iguais a 1

6 de uma fita origi-nal:

1− 5

6=

6

6− 5

6=

1

6.

⋆ Como observado anteriormente, essas constru-ções podem ser feitas por meio de corte e cola-gem de materiais concretos.

⋆ O item b) deve ser desenvolvido de forma aná-loga ao item a).


a) Um pedaço vermelho mais um pedaço azulcorresponde a 1

3 + 12 = 2

6 + 36 = 5

6 de umafita original. Daí, a nova fita formada é menordo que uma fita original, pois 5

6 < 66 = 1. A

diferença de tamanho será dada por 1− 56 =

66 − 5

6 = 16 .


✐

✐ ✐

A�vidade 6

Aqui retomamos a A�vidade 2, na qual a professora Estela comprou e dividiu fitas demesmo tamanho: a vermelha em três pedaços; a azul em dois pedaços e a amarela emquatro pedaços.

a) Agora, a professora Estela juntou um pedaço da fita vermelha com um pedaço dafita azul. Essa nova fita formada tem tamanho maior ou menor ou igual ao tamanhoorignal das fitas? A que fração de uma fita original corresponde a nova fita vermelhae azul? Qual é a diferença entre os tamanhos de uma fita original e da fita vermelhae azul?

b) A professora formou então mais uma fita colorida, agora juntando (de forma inter-calada) dois pedaços vermelhos e três pedaços amarelos. Essa nova fita vermelha eamarela é maior ou menor do que uma fita original? A que fração de uma fita originalcorresponde a nova fita vermelha e azul? Qual é a diferença entre os tamanhos dafita original e da fita vermelha e amarela?

A�vidade 7

Em cada um dos itens a seguir, escreva frações iguais às frações dadas que tenhammesmo denominador. Para cada par de frações, destaque a subdivisão escolhida daunidade para determinar o denominador comum e represente essa subdivisão por meiode um desenho.



✐

✐ ✐

b) A nova fita vermelha e amarela é maior doque uma fita original, uma vez que equivale a1712 > 1 da fita original. 1

3 + 13 + 1

4 + 14 + 1

4 =412 + 4

12 + 312 + 3

12 + 312 = 17

12 .

A�vidade 7


⋆ aplicar a ideia de obter um denominador comumentre duas frações dadas, com base no processogeométrico de subdivisão da unidade, em exer-cícios sem uma situação contextualizada.


⋆ Embora não sejam dadas situações contextuali-zadas, procure conduzir esta a�vidade com baseem representações geométricas para as fraçõesdadas e na determinação de uma subdivisão co-mum a par�r dessas representações, como nasa�vidades 2 a 6. O objeto é justamente aplicaras ideias construídas a par�r daquelas a�vidadesem exercícios sem situações contextualizadas.

⋆ Nos casos que envolvem o número 1, deve-serelembrar 1 = n

n .

Resposta da A�vidade 7São respostas possíveis:

a) 39 e 2

9 . Subdivisão escolhida: 19 da unidade.

b) 310 e 8

10 . Subdivisão escolhida: 110 da uni-

dade.

c) 77 e 3

7 . Subdivisão escolhida: 17 da unidade.

d) 915 e 40


dade.

e) 2124 e 26


dade.

f) 74 e 20


dade.

Observação: Todos esses itens admitem ou-tras respostas, uma vez que é possível escolherdiferentes subdivisões da unidade, ou seja, ou-tras fraçoes unitárias. Por exemplo, no item (e)temos como outra solução possível: 42

48 e 5248 . Sub-

divisão escolhida: 148 da unidade..

A�vidade 8


⋆ aplicar as ideias de obter um denominador co-mum entre duas frações dadas e de usar essedenominador para determinar adições e subtra-ções, com base no processo geométrico de sub-divisão da unidade, em exercícios sem uma situ-ação contextualizada.


⋆ Como na a�vidade anterior, embora não sejamdadas situações contextualizadas, procure con-duzir esta a�vidade com base em representa-ções geométricas para as frações dadas e na de-terminação de uma subdivisão comum a par�rdessas representações, como nas a�vidades 2a 6.

⋆ Nos casos que envolvem o número 1, deve-serelembrar 1 = n

n .


a) 13 − 2

9 = 39 − 2

9 = 19 .

b) 310 + 4

5 = 310 + 8

10 = 1110 .

c) 1− 37 = 7

7 − 37 = 4

7 .


✐

✐ ✐

a) 13e 2

9b) 3

10e 4

5c) 1 e 3

7

d) 35e 8

3e) 7

8e 13

12f) 7

4e 5

A�vidade 8

Faça as contas a seguir. Represente cada umas das subdivisões usadas para fazer ascontas por meio de um desenho.

a) 13− 2

9b) 3

10+ 4

5c) 1− 3

7

A�vidade 9

Miguel deseja calcular a soma 2 + 13. Para isso, marcou na reta numérica ponto deter-

minado pela justaposição do segmento correspondente a 2 unidades com um segmentoigual a 1

3da unidade, como na figura abaixo.

Miguel relacionou essa estratégia com o seguinte cálculo:

2 +1

3=

6

3+

1

3=

7

3

0

1

2

3

1

3

2 +1

3

0

1

2

3

13

13

13

13

13

13

13

1 fração de1

3

+

6 frações de1

3

a) Em cada item a seguir, a par�r da imagem repita o procedimento feito por Miguel erealize os cálculos.

MÃO NA MASSA 95


✐

✐ ✐

A�vidade 9


⋆ relacionar a adição de frações com a sua repre-sentação como pontos na reta.


⋆ Esta a�vidade, assim como as duas que se se-guem (10 e 11), usam a ideia de que 1 = n

n , oude forma mais geral, de que, se a é um númeronatural, então a = an

n , para n diferente de 0.

⋆ Essas a�vidades envolvem os chamados “núme-ros mistos” (números expressos por uma parte in-teira e uma parte fracionária). No entanto, nãohá necessidade de apresentar essa nomencla-tura aos alunos.

⋆ A representação da reta na posição ver�cal foiemprega com o obje�vo de destacar o fato deque os aspectos determinantes nesta forma derepresentação são a ordenação e a distância en-tre os pontos. A apresentação da reta numéricaapenas na posição horizontal pode causar umaimpressão de que apenas tal posição é aceitável.


a)

(A) (B) (C)

0

1

2

3

4

3 +1

4

12 frações de 14

0

1

2

3

4

5

8 frações de 12

4 +1

2

0

1

2

3

10 frações de 15

2 +3

5

b) Repetindo o mesmo processo do item a) obtém-se 7 + 23 = 21

3 + 23 = 23

3 .


✐

✐ ✐

(A) (B) (C)

0

1

2

3

4

3 +1

4

0

1

2

3

4

5

4 +1

2

0

1

2

3

2 +3

5

b) Que valor é ob�do se juntarmos 7 inteiros com dois terços?

A�vidade 10

Quanto se deve acrescentar a 38para que se obtenha 27

8?

A�vidade 11

Qual o maior número, 197ou 2? Quanto se deve acrescentar ao menor número para

chegar ao maior?



✐

✐ ✐

A�vidade 10


⋆ determinar uma subtração de frações com a in-terpretação de completar.


⋆ Explorar o fato de que não é incomum que o usoda palavra

Resposta da A�vidade 10De 3 oitavos para se alcançar 27 oitavos faltam

24 oitavos, o que equivale a 3. De outro modo,278 − 3

8 = 248 = 3. Isto indica que deve-se acres-

centar a fração 38 a 3 inteiros para obter 27

8 .

A�vidade 11


⋆ determinar uma subtração de frações com a in-terpretação de completar;

⋆ explorar a ar�culação entre número misto e sub-tração de frações.


⋆ Como na a�vidade anterior, observar que a vi-sualização da representação na reta pode aju-dar a destacar o fato de que se deve determinar“quanto falta” de 19

7 para chegar a 2.

Resposta da A�vidade 11197 > 14

7 = 2. Portanto, 197 é maior e 19

7

A�vidade 12


⋆ aprofundar a familiaridade dos alunos com a re-presentação na reta;

⋆ explorar a propriedade de densidade dos pontosque representam frações na reta numérica.


⋆ Caso os alunos tenham dificuldades em pensarsobre as soluções das tarefas propostas, o pro-fessor pode propor e explorar tarefas análogascom números naturais, empregando, por exem-plo, a primeira figura.

⋆ O item b) visa especificamente dar con�nuidadeà discussão sobre densidade dos números raci-onais na reta, que foi introduzida na lição 4. Apar�r da escrita de frações como 15

12 e 2212 pode

não ser di�cil para os alunos observar os seisnúmeros 16

12 ,1712 ,

1812 ,

1912 ,

2012 e 21

12 . Uma estraté-gia para encontrar mais números é escrever, porexemplo, A e B como 30

24 e 4424 e tomar n

24 , comn variando entre 30 e 44 está entre A e B. Aideia é discu�r com a turma que, como semprepodemos repe�r esse processo, sempre podere-mos encontrar mais números entre A e B. Daí,pode-se retomar a discussão sobre frações equi-valentes e sobre densidade, que foi ensejada nosúl�mos 3 exercícios da lição 4.


a) C = 1512 e D = 22

12

b) 1612 , 17

12 , 1812 , 19

12 , 2012 e 21

12 .

c) Se escrevermos as frações C e D com ou-tro denominador comum pode ser mais fá-cil de observar mais que 6 frações. Porexemplo, C = 30

24 e D = 4424 as frações a

seguir estão entre C e D

31

24,32

24,33

24,34

24,35

24,36

24,37

24,

38

24,39

24,40

24,41

24,42

24e43

24.

Note que conseguimos agora 13 fraçõesentre C e D . No entanto, se escrevermos


✐

✐ ✐

A�vidade 12

Observando a reta, Miguel conseguiu determinar o tamanho do segmento entre os doispontos A = 3 e B = 7 marcados da seguinte forma:

0 1 2 3 4 5 6 7

A B

7−3=4

Miguel calculou o tamanho do segmento azul fazendo a diferença entre o tamanhodo segmento vermelho e o tamanho do segmento verde. Assim, concluiu que o tamanhodo segmento AB é igual a 4. Usando um raciocínio parecido, e considerando C = 5

4e

D = 116, ajude Miguel a realizar as tarefas a seguir.

0 1 2

C D

54

116

a) Escreva C e D a par�r de uma mesma subdivisão da unidade (isto é, com o mesmodenominador).

b) Determine seis frações que correspondam a pontos entre C e D.Discuta com seus colegas se é possível determinar mais que seis valores e, se forpossível, qual seria a estratégia para fazer isso.

c) Calcule o tamanho do segmento CD .

d) Determine uma fração que somada a 54dê um resultado menor que 11

6. Jus�fique

a sua resposta usando a reta.5

4+ =

11

6.

e) Encontre mais três frações possíveis para completar a expressão do item anterior.

f) Determine duas frações possíveis que quando somadas a 54tenham como resultado

116. Jus�fique a sua resposta usando a reta.

5

4+ + =

11

6.

MÃO NA MASSA 97


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✐ ✐

C e D com o denominador 48 ainda pode-mos determinar mais valores. Note tam-bém que sempre podemos escolher um de-nominador maior de modo que encontre-mos mais valores.

d) O tamanho do segmento CD é dado por

A�vidade 13


⋆ comparar, somar e subtrair frações a par�r dadeterminação de um denominador comum combase no processo geométrica de subdivisão daunidade;

⋆ explorar as interpretações de juntar para a adi-ção e de comparar para a subtração.


⋆ Esta a�vidade retoma a noção de fração comoparte de uma unidade em situações concretas,como nas a�vidades 2 a 6. Como naquelas a�vi-dades, a representação geométrica das fraçõesdeve servir como base para a determinação dodenominador comum e para a realização da com-paração e das operações de adição e de subtra-ção. O próprio desenho do canteiro pode servircomo representação geométrica para a determi-nação do denominador comum.


a) Utilizando o mesmo denominador para finsde comparação temos que as quantida-des 2

3 e 12 são iguais a 4

6 e 36 , respectiva-

mente. Portanto a fração do canteiro solici-tada pelo pai, 2

3 , é maior.

b) Juntando as espaços solicitados temos 23 +

12 = 4

6 +36 = 7

6 . Mas 76 > 6

6 = 1 . O espaçoreservado inicialmente para o canteiro não

atende as solicitações do pai e da mãe deMiguel.

c) O espaço inicialmente reservado não é su-ficiente.

d) Deve-se observar quanto excede um can-teiro 7

6–1 = 76 − 6

6 = 16 . É necessário au-

mentar 16 do espaço inicialmente reservado

para o canteiro.

O denominador comum empregado foi 6.Cada retângulo com 6 divisões indica a fra-ção de canteiro que tinha sido reservadainicialmente.

A�vidade 14


⋆ comparar, somar e subtrair frações a par�r dadeterminação de um denominador comum combase no processo geométrica de subdivisão daunidade;

⋆ explorar as interpretações de juntar para a adi-ção e de comparar para a subtração.


⋆ Considere que como na a�vidade anterior, é ex-plorada aqui a noção de fração como parte deuma unidade em uma situação contextualizada,com as interpretações de juntar para a adição ede comparar para a subtração, agora com trêsparcelas e com uma situação envolvendo vo-lume.


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✐ ✐

A�vidade 13

A família de Miguel reservou um determinado espaço retangular para fazer um canteiroem seu quintal. A família quer que o cateiro tenha rosas e verduras frescas. O pai deMiguel disse que precisa de 2

3do espaço inicialmente reservado, para cul�var rosas. A

mãe disse que necessita de 12desse espaço, para plantar as verduras. Quando Miguel

ouviu o diálogo dos pais, pensou nas seguintes questões:

a) Quem precisa de mais espaço, seu pai ou sua mãe?

b) O espaço reservado inicialmente para o canteiro é suficiente para comportar osespaços de que o pai e a mãe de Miguel precisam?

c) Caso o espaço seja suficiente, que fração do mesmo ficaria sem uso?

d) Caso o espaço não seja suficiente, que fração do canteiro reservado inicialmentedeverá ser acrescentada para que a família consiga fazer as plantações que deseja?

Faça um desenho que ajude a explicar as suas respostas para as questões de Miguel.Não deixe de indicar a subdivisão da unidade que você empregou.

A�vidade 14

Há três recipientes cilíndricos, de mesmo tamanho, contendo água. No primeiro recipi-ente, a água ocupa dois terços de sua capacidade. No segundo, a água ocupa metadede sua capacidade. No terceiro, a água ocupa cinco oitavos de sua capacidade.

É possível redistribuir a água de todos os recipientes em somente dois deles?



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✐ ✐

Resposta da A�vidade 14Somando a quantidade de água presente nas

três garrafas temos: 23+

12+

58 = 16

24+1224+

1524 = 43

24 .Concluímos que é possível, pois 43

24 < 4824 = 2.

A�vidade 15


⋆ explorar a formulação de conjecturas envol-vendo a estrutura algébrica dos conjuntos numé-ricos, visamos a�ngir não só reflexões a respeitode números racionais, mas também es�mular ahabilidade de argumentação em Matemá�ca.


⋆ Neste momento, não se espera ainda que os

alunos jus�fiquem com rigor formal suas afirma-ções, mas sim que busquem ilustrar suas conjec-turas a par�r de exemplos.

⋆ Recomenda-se que o professor discuta cadaitem a par�r das soluções dos alunos, desta-cando as respostas corretas com base nos exem-plos propostos pelos estudantes.


a) Falso. Exemplo: 3 + 25 = 15

5 + 25 = 17

5 . Háoutras possibilidades de respostas.

b) Falso. Exemplo: 7− 34 = 25

4 .

c) Falso. Exemplo: 116 + 7

6 = 186 = 3.

d) Falso. Exemplo: 32 − 1

2 = 22 = 1.


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QUEBRANDO A CUCA

A�vidade 15

Diga se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Para as verdadeiras, expliquecom as suas palavras por que acha que são verdadeiras. Para as falsas, dê um exemploque jus�fique a sua avaliação.

a) A soma de um número inteiro com uma fração não inteira é, necessariamente, umnúmero inteiro.

b) A diferença entre um número inteiro e uma fração não inteira é, necessariamente,um número inteiro.

c) A soma de uma fração não inteira com uma fração não inteira é, necessariamente,uma fração não inteira.

d) A diferença entre uma fração não inteira e uma fração não inteira é, necessaria-mente, uma fração não inteira.

QUEBRANDO A CUCA 99


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Folhas para reprodução

LIÇÃO 1

A�vidade 1

101


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A�vidade 2

A�vidade 3

A�vidade 4


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A�vidade 9

Figura 1

Figura 2


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Figura 3

Figura 4 Figura 5


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Figura 6 Figura 7

Figura 8 Figura 9


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Figura 10 Figura 11

Figura 12


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A�vidade 10


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A�vidade 12


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A�vidade 17

12

12

LICAO 2

A�vidade 1

A�vidade 2


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LICAO 3

A�vidade 6

10

A�vidade 7

LICAO 4

A�vidade 2


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A�vidade 4


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A�vidade 5

A�vidade 6


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A�vidade 20


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LIÇÃO 5

A�vidade 4


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Referências Bibliográficas

[1] Behr, Merlyn J.; Wachsmuth, Ipke; Post, Thomas R.; Lesh, Richard. Order and Equi-valence of Ra�onal Numbers: A Clinical Teaching Experiment. Journal for Researchin Mathema�cs Educa�on, v. 15, n. 15, p. 323-341, 198 4.

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