Osnove matematike (brojevi)

  • View
    230

  • Download
    2

Embed Size (px)

Text of Osnove matematike (brojevi)

  • Matematika 1

    1. Osnove matematike2. Realne funkcije realne varijable3. Derivacije i primjene4. Nizovi i redovi

  • Literatura:

    Slapnicar, I.: Matematika I, Sveucilite u Splitu,Split, 2002.

    Pilot projekt Matematika 1, http://www.fesb.hr/mat1,FESB, Split, 1998.-2002.

    Slapnicar, I.; Kreic-Juric, S.; Baric, J.; Matic, M.:Matematika 1 vjebe, FESB, Split, 2002.

    Javor, P.: Matematicka analiza 1, Element, Zagreb,1999.

    Krnic, L. ; ikic, Z.: Racun diferencijalni i integralni,I. Dio, kolska knjiga, Zagreb, 1993.

    Pavasovic S.; Radelja, T.; Banic, S.; Miliic, P.:Matematika rijeeni zadaci, Gradevinski fakultet,Split, 1999.

    Demidovic, B. P.: Zadaci i rijeeni primjeri izvie matematike s primjenom na tehnicke nauke,Tehnicka knjiga, Zagreb, 1980.

  • Obveze:

    predavanja ( 70%)

    vjebe ( 70%)

    Provjere znanja:

    dva kolokvija (parcijalna ispita):

    - sva dva pozitivna

    - zadaci ( 50%) i teoretska pitanja ( 50%)

    zavrni ispit :

    - zadaci ( 50%) i teorija ( 50%)

  • 1. SKUPOVI BROJEVA

  • 1.1. Prirodni brojevi

    prvi pojam broja (izraavanje kolicine elemenatanekog skupa)

    Skup prirodnih brojeva uzimamo kao osnovni skup, aoznacavamo ga sa

    N = f1; 2; 3; :::; n; :::g :

    Operacije zbrajanja i mnoenja u skupu N su uvijekizvedive, tj.

    (8m;n 2 N) m + n 2 N(8m;n 2 N) m n 2 N

    Za svaki m;n; r 2 N vrijede sljedeca svojstva:i) komutativnost

    m + n = n +m m n = n m

    ii) asocijativnost(m + n) + r = m+ (n + r) (m n) r = m (n r)

    iii) distributivnost(m + n) r = m r+n r r (m + n) = r m+ r n

  • Neka su m;n 2 N:Kaemo da je m manji od n i piemo m < n ako isamo ako postoji p 2 N tako da je

    m + p = n:

    Kaemo da je m manji ili jednak n i piemo m nako i samo ako je

    m < n _ m = n:

    Neka svojstva:

    (N;) je (potpuno) ureden skup.

    (N;) je diskretno ureden skup, tj. za svaki n 2 Nvrijedi

    fp 2 N j n < p < n + 1g = ;:

    Za skup X kaemo da je prebrojiv iliprebrojivo beskonacan ako je ekvipotentan1 sa N:Piemo cardX = @0 (alef nula).Za skup X kaemo da ima n elemenata ako jeekvipotentan sa skupom f1; 2; 3; :::ng :Piemo cardX = n:1 Denicija Kaemo da je skup A ekvipotentan (jednakobrojan) sa skupom B akopostoji bijekcija f : A ! B: Oznaka A B:

  • Napomena: Skup N je na jedinstven nacin denirantzv. Peanovim aksiomima P1. - P4.

    Aksiom P4., kojeg jo nazivamo princip matematickeindukcije, glasi:

    Ako jeM N i ako vrijedi:i) 1 2M;ii) n 2M =) n + 1 2Mtada jeM = N:

    Aksiom P4. koristimo za dokazivanje raznih tvrdnji.

  • Primjer: Treba pokazati da formulanXi=1

    i = 1 + 2 + 3 + ::: + (n 1) + n = n (n + 1)2

    (F )

    vrijedi za svaki prirodan broj n 2 N:Dokaz:Neka je M N skup svih prirodnih brojeva za kojeformula (F ) vrijedi. Treba (pomocu P4.) dokazati dajeM = N:

    Baza indukcije. (Dokazujemo da je 1 2M)1Xi=1

    i = 1 =1 (1 + 1)

    2

    Pretpostavka indukcije. (Pretpostavimo da je n 2M )nXi=1

    i = 1 + 2 + ::: + (n 1) + n = n (n + 1)2

    :

    Korak indukcije. (Pokazujemo da je n + 1 2M )n+1Xi=1

    i = 1 + 2 + ::: + n + (n + 1)P:I:=

    =n (n + 1)

    2+ (n + 1) =

    n2 + 3n + 2

    2

    =(n + 1) (n + 2)

    2=(n + 1) ((n + 1) + 1)

    2

  • Binomni poucak

    Poopcenje:(x + y)2 = x2 + 2xy + y2

    (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

    Traimo:(x + y)n =? za bilo koji n 2 N

    Neke oznake:(8n 2 N) n! def= 1 2 3 ::: n (n faktorijela)

    0!def= 1

    Primjer:1! = 1

    2! = 1 2 = 23! = 1 2 3 = 64! = 1 2 3 4 = 245! = 1 2 3 4 5 = 120

    Vrijedi:(n + 1)! = n! (n + 1)

    Primjer:6! = 5! 6 = 120 6 = 720

  • Neka su k; n 2 N[f0g i k n; deniramobinomni koecijent:

    n

    k

    def=

    n!

    k! (n k)! (n povrh k):

    Napomena: binomni koecijent je uvijek prirodan

    broj, tj n

    k

    2 N:

    Primjer:4

    0

    =

    4!

    0! (4 0)! =4!

    4!= 1

    4

    1

    =

    4!

    1! (4 1)! =4!

    3!=3! 43!

    = 44

    2

    =

    4!

    2! (4 2)! =4!

    2! 2! =2! 3 42! 2 = 6

    4

    3

    =

    4!

    3! (4 3)! =4!

    3! 1! =3! 43!

    = 44

    4

    =

    4!

    4! (4 4)! =4!

    4! 0! = 1

  • Svojstva:

    1.n0

    =nn

    = 1

    2.n1

    =nn1= n

    3.nk

    =nnk

    4.nk

    +nk+1

    =n+1k+1

    Pascalov trokut

    n = 000

    1

    n = 110

    11

    1 1

    n = 220

    21

    22

    1 2 1

    n = 330

    31

    32

    33

    1 3 3 1

    n = 440

    41

    42

    43

    44

    1 4 6 4 1

    n = 550

    51

    52

    53

    54

    55

    1 5 10 10 5 1

    ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

    Iz svojstva 4. slijedi npr.5

    3

    +

    5

    4

    =

    6

    4

    = 15

  • Teorem 1.2 (Binomni poucak)

    Za svaki n 2 N vrijedi

    (x + y)n =nXk=0

    n

    k

    xnkyk:

    Dokaz. Matematickom indukcijom.Raspis:nPk=0

    nk

    xnkyk =

    n0

    xn0y0 +

    n1

    xn1y1 + :::+

    +nn1xn(n1)yn1 +

    nn

    xnnyn =

    = xn + nxn1y + ::: + nxyn1 + yn

    Primjer:

    (x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4

    (x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy2 + y4

    Domaci rad:

    (x + y)6 =? (x y)6 =?

    (x y)n ?=nPk=0

    (1)knk

    xnkyk = xn nxn1y +

    n2

    xn2y2

    n3

    xn3y3 + :::: + (1)n yn

  • Cijeli brojevi

    Motivacija: Svaka jednadba oblikam + x = n;

    gdje su m; n 2 N, nema rjeenje u skupu N:

    Primjer: Jednadba7 + x = 3

    nema rjeenje u skupu N:

    Proirujemo skup N skupom

    Z = f:::;n; ::: 2;1; 0; 1; 2; ; :::; n; :::g :

    kojeg nazivamo skup cijelih brojeva.

    Operacije zbrajanja i mnoenja proirujemo na skupZ. U skupu Z te operacije su uvijek izvedive, tj.

    (8m;n 2 Z) m + n 2 Z(8m;n 2 Z) m n 2 Z

    i za njih vrijede svojstva komutativnosti, asocija-tivnosti i distributivnosti.

  • Sada jednadba m + x = n ima rjeenje za svakim;n 2 Z; tj.

    x = n + (m) def= nm:

    Na ovaj nacin je denirano oduzimanje u skupu Z:

    Neka svojstva:

    (Z;) je (potpuno) ureden skup.

    (Z;) je diskretno ureden skup, tj. za svaki m 2 Zvrijedi

    fp 2 Z j m < p < m + 1g = ;:

    Za skup Z je prebrojiv , tj. ekvipotentan je sa N:Piemo cardZ = @0 (alef nula).

    Napomena: postoji bijekcija f : N ! Z; dana saf (1) = 0; f (2) = 1; f (3) = 1; f (4) = 2; f (5) = 2; :::

  • Racionalni brojevi

    Motivacija: Svaka jednadba oblikam x = n;

    gdje su m; n 2 Z, nema rjeenje u skupu Z:Primjer: Jednadba

    7 x = 3nema rjeenje u skupu Z:

    Proirujemo skup Z skupom

    Q =nmnj m 2 Z ^ n 2 N

    okojeg nazivamo skup racionalnih brojeva.

    Napomena: Podrazumijevamo da je

    m1n1=m2n2

    () m1 n2 = m2 n1

    Dakle,16

    12=8

    6=4

    3:

    Isto tako vrijedi dogovor da je, npr.35=3

    5 = 3

    5:

  • Operacije zbrajanja i mnoenja proirujemo na skupQ. U skupu Q te operacije su uvijek izvedive, tj.8 m1n1;m2n22 Q

    m1n1+m2n2

    =m1n2 +m2n1

    n1n22 Q

    8 m1n1;m2n22 Q

    m1n1 m2n2

    =m1 m2n1 n2

    2 Q

    Na skupu Qn f0g se denira i dijeljenje8 m1n1;m2n22 Q ^ m2 6= 0

    m1n1:m2n2=m1 n2n1 m2

    2 Q

    m1n1 m2n2

    () m1 n2 m2 n1:

    Neka svojstva: (Q;) je (potpuno) ureden skup.

    (Q;) je svuda gust , tj. izmedu svaka dvaracionalna broja postoji barem jedan racionalanbroj (a to znaci i beskonacno njih).

    Za skup Q je prebrojiv , tj. ekvipotentan je sa N:Piemo cardQ = @0 (alef nula).Napomena: postoji bijekcija f : N ! Q (zadanabeskonacnom shemom).

  • Realni brojevi

    Motivacija: Neke jednadbe, kao to sux2 = 2; x3 = 5; :::

    nemaju rjeenje u skupu Q:Kad racionalne brojeve nanosimo na brojevni pravac,oni ne popune citav pravac, iako jeQ gust. Te rupicena pravcu popunjavamo tzv. iracionalnim brojevima.Skup svih iracionalnih brojeva oznacavamo sa I; askup

    R = Q [ I

    nazivamo skup realnih brojeva. Svaki racionalan broj moe se prikazati kaokonacan decimalan broj ili kao beskonacan periodicandecimalan broj.

    Svaki iracionalan broj moe se prikazati kaobeskonacan neperiodican decimalan broj.Primjer:

    1

    4= 0:25

    1

    3= 0: _3 = 0:3333:::

    p2 = 1:4121356237::::

    e = 2: 718 3::::

    = 3: 141 6::::

  • Neka svojstva:

    Na skupu R su uvijek izvedive opracije " + ", " ":Na skupu Rn f0g je uvijek izvediva operacija " : " .

    (R;) je (potpuno) ureden skup.

    R je svuda gust , tj. izmedu svaka dva realna brojapostoji barem jedan realan broj.

    Q je gust u R, tj. izmedu svaka dva realna brojapostoji barem jedan racionalan broj.

    Skup I je neprebrojiv ili neprebrojivo beskonacan.

    Skup R je neprebrojiv ili neprebrojivo beskonacan.

  • Kompleksni brojevi

    Motivacija: neke jednadbe kao to jex2 = 1

    nemaju rjeenje u skupu R:

    Uvodimo novi objekt, kojeg oznacavamo sa i, tako daje

    i2 = 1:Formalno, deniramo

    idef=p1:

    Denicija 1.14 Skup kompleksnih brojeva je skup

    C = fx + iy j x; y 2 Rg :

    Za svaki z = x + iy 2 C; realni broj

    x = Re z

    nazivamo realni dio od z; a realni broj

    y = Im z

    nazivamo imaginarni dio od z.

  • Napomena: Vrijedi

    R CiR = fiy j y 2 Rg C

    Skup iR se naziva skup imaginarnih brojeva.

    Za z1 = x1 + iy1; z2 = x2 + iy2 2 C kaemo da sujednaki ako i samo ako su im jednaki realni i imagi-narni djelovi, tj.

    x1 + iy1 = x1 + iy1 () x1 = x2 ^ y1 = y2:

    Za svaki z = x + iy 2 C; deniramo pripadnikonjugirano kompleksni broj

    z = x iy 2 C: