kompleksni brojevi

  • View
    57

  • Download
    1

Embed Size (px)

DESCRIPTION

matematika

Text of kompleksni brojevi

  • Edis Mekic Elvis Barakovic

    1 Skup kompleksnih brojeva

    Opsti (algebarski) oblik kompleksnog broja je z = x+ iy, gdje su x i y realnibrojevi.

    Broj x se naziva realni dio kompleksnog broja z (u oznaciRe(z) = x), a broj y se naziva imaginarni dio kompleksnog broja z (u oznaciIm(z) = y).

    Konjugovano kompleksan broj broja z je broj z = x iy.Definicija 1 Apsolutna vrijednost ili modul kompleksnog brojaz = x+ iy (x, y R) je realan nenegativan broj

    = |z| =(Re(z))2 + (Im(z))2 =

    x2 + y2. (1)

    b

    b

    z = (x, y)

    z = (x,y)

    x = Re(z)

    y = Im(z)

    0 x

    y

    y

    |z|

    |z|

    x

    y

    Ako jednakost (1) napisemo u obliku

    |z| =(x 0)2 + (y 0)2,

    zakljucujemo da je modul rastojanje kompleksnog broja z = (x, y) od kom-pleksnog broja O = (0, 0), koji jedini ima osobinu da je |O| = 0.

    Za modul kompleksnog broja z vrijede sljedece relacije

    |z| = |z|; |z|2 = z z.Iz pravouglog trougla Oxz, slijedi

    cos =x

    |z| , sin =y

    |z| . (2)

    1

  • Edis Mekic Elvis Barakovic

    Ugao naziva se argument kompleksnog broja z = (x, y) i oznacava se saarg z. Argument kompleksnog broja z = x+ iy mozemo racunati po formuli

    tg =y

    x = arctg y

    x.

    Argument kompleksnog broja z = x+ iy = (x, y) mozem racunati po formuli

    = arg z =

    arctgy

    x pi, ako je x < 0 i y < 0

    arctgy

    x, ako je x > 0 i y < 0 (y > 0)

    arctgy

    x+ pi ako je x < 0 i y 0.

    Zapazimo da kompleksan broj z = 0 nema definisan argument.Koristeci relacije (1) i (2) dobijamo novi oblik kompleksnog broja z

    z = (cos+ i sin),

    pri cemu je modul, a argument kompleksnog broja z. Ovakav oblik kom-pleksnog broja naziva se trigonometrijski oblik kompleksnog broja.

    Neka su data dva kompleksna broja z1 = 1(cos1 + i sin1) i z2 =2(cos2 + i sin2), tada je

    z1 z2 = 1 2 (cos(1 + 2) + i sin(1 + 2))z1z2

    =12

    (cos(1 2) + i sin(1 2))zn1= n

    1(cosn1 + i sinn1) . (3)

    Formula (3) naziva se Moivreova formula.Neka je z = (cos + i sin) proizvoljan kompleksan broj nti korijen ko-pleksnog broja z racuna se po formuli

    zk =n

    z = n

    (cos

    + 2kpi

    n+ i sin

    + 2kpi

    n

    ), k = 0, 1, ..., n 1. (4)

    Primjer 1.1 Kompleksni broj z = 3 zapisati u trigonometrijskom obliku.

    Rjesenje: Vrijedi z = 3 = 3+0 i odakle je Re(z) = 3 > 0 i Im(z) = 0, pa akobismo ovaj kompleksni broj predstavili u Gausovoj ravni, on bi se nalazio narealnoj osi. Izracunajmo modul i argument ovog kompleksnog broja:

    = |z| =(Re(z))2 + (Im(z))2 =

    (3)2 + (0)2 = 3

    tg =Im(z)

    Re(z)=

    0

    3= 0 = = 0.

    Zato jez = 3 (cos 0 + i sin 0) .

    2

  • Edis Mekic Elvis Barakovic

    Primjer 1.2 Kompleksni broj z =2 i 2 zapisati u trigonometrijskom

    obliku.

    Rjesenje: Vrijedi z =2 i 2 odakle je Re(z) = 2 > 0 i Im(z) =

    2 < 0, pa ako bismo ovaj kompleksni broj predstavili u Gausovoj ravni,on bi se nalazio u cetvrtom kvadrantu. Izracunajmo modul i argument ovogkompleksnog broja:

    = |z| =(

    2)2

    +(2)2

    =2 + 2 =

    4 = 2

    tg =2

    2= 1 = = pi

    4ili =

    7pi

    4

    Zato je

    z = 2(cos(pi4

    )+ i sin

    (pi4

    ))ili

    z = 2

    (cos

    7pi

    4+ i sin 7pi

    4

    ).

    Primjer 1.3 Kompleksni broj z = 1 + i zapisati u trigonometrijskom ob-liku.

    Rjesenje: Vrijedi z = 1+i odakle je Re(z) = 1 < 0 i Im(z) = 1 > 0, pa akobismo ovaj kompleksni broj predstavili u Gausovoj ravni, on bi se nalazio udrugom kvadrantu. Izracunajmo modul i argument ovog kompleksnog broja:

    = |z| =(1)2 + (1)2 = 1 + 1 =

    2

    tg =1

    1 = 1 = =3pi

    4.

    Zato je

    z =2

    (cos

    3pi

    4+ i sin 3pi

    4

    ).

    Primjer 1.4 Naci realni i imaginarni dio kompleksnog broja

    z =1 3i1 + i

    i2 + i

    .

    3

  • Edis Mekic Elvis Barakovic

    Rjesenje: Kako je

    1 3i1 + i

    i2 + i

    =(1 3i) (2 + i) i (1 + i)

    (1 + i) (2 + i) =

    =2 + i 6i 3i2 i i2

    2 + i+ 2i+ i2=

    =2 6i 4i22 + 3i+ i2

    =2 6i+ 42 + 3i 1 =

    =6 6i1 + 3i

    =6 6i1 + 3i

    1 3i1 3i =

    =(6 6i) (1 3i)

    12 (3i)2 =6 18i 6i+ 18i2

    1 9i2 =

    =6 24i 18

    1 + 9=12 24i

    10= 12

    10 24

    10i =

    = 65 12

    5i

    to je

    Re(z) = 65

    Im(z) = 125.

    Primjer 1.5 Ako je z1 =2 i 2 i z2 = 1 + i, izracunati z1 z2 i z1

    z2.

    Rjesenje: Kompleksne brojeve z1 i z2 zapisimo u tigonometrijskom obliku.Vrijedi z1 =

    2 i 2 pa je Re(z1) =

    2 > 0 i Im(z1) =

    2 < 0, pa

    ako bismo ovaj kompleksni broj predstavili u Gausovoj ravni, on bi se nalaziou cetvrtom kvadrantu. Izracunajmo modul i argument ovog kompleksnogbroja:

    = |z1| =(

    2)2

    +(2)2

    =2 + 2 =

    4 = 2

    tg =2

    2= 1 = = pi

    4.

    Zato je

    z1 = 2(cos(pi4

    )+ i sin

    (pi4

    )).

    Vrijedi z2 = 1 + i pa je Re(z2) = 1 < 0 i Im(z2) = 1 > 0, pa ako bismoovaj kompleksni broj predstavili u Gausovoj ravni, on bi se nalazio u drugom

    4

  • Edis Mekic Elvis Barakovic

    kvadrantu. Izracunajmo modul i argument ovog kompleksnog broja:

    = |z2| =(1)2 + (1)2 = 1 + 1 =

    2

    tg =1

    1 = 1 = =3pi

    4.

    Zato je

    z2 =2

    (cos

    3pi

    4+ i sin 3pi

    4

    ).

    Sada je

    z1 z2 = 2(cos(pi4

    )+ i sin

    (pi4

    ))2

    (cos

    3pi

    4+ i sin 3pi

    4

    )=

    = 22

    (cos

    (pi4+

    3pi

    4

    )+ i sin

    (pi4+

    3pi

    4

    ))=

    = 22(cos

    pi

    2+ i sin pi

    2

    )= 2

    2 (0 + i 1) = 2

    2i.

    i

    z1z2

    =2(cos(pi

    4

    )+ i sin (pi

    4

    ))2(cos 3pi

    4+ i sin 3pi

    4

    ) ==

    22

    (cos

    (pi4 3pi

    4

    )+ i sin

    (pi4 3pi

    4

    ))=

    =2 (cos (pi) + i sin (pi)) =

    =2 (1 + i 0) =

    2.

    Primjer 1.6 Izracunati (3 + i

    )17.

    Rjesenje: Kompleksni broj z =3+ i zapisimo u trigonometrijskom obliku.

    Vrijedi z =3 + i odakle je Re(z) =

    3 > 0 i Im(z) = 1 > 0, pa ako

    bismo ovaj kompleksni broj predstavili u Gausovoj ravni, on bi se nalazio uprvom kvadrantu. Izracunajmo modul i argument ovog kompleksnog broja:

    = |z| =(

    3)2

    + (1)2 =3 + 1 =

    4 = 2

    tg =13=

    3

    3= = pi

    6.

    5

  • Edis Mekic Elvis Barakovic

    Zato je

    z = 2(cos

    pi

    6+ i sin pi

    6

    ).

    Sada je

    z17 =(2(cos

    pi

    6+ i sin pi

    6

    ))17= 217

    (cos 17

    pi

    6+ i sin 17pi

    6

    )=

    = 217(cos

    5pi + 12pi

    6+ i sin 5pi + 12pi

    6

    )=

    = 217(cos

    (5pi

    6+ 2pi

    )+ i sin

    (5pi

    6+ 2pi

    ))=

    = 217(cos

    5pi

    6+ i sin 5pi

    6

    )= 217

    (3

    2+

    1

    2i

    )=

    = 217

    (3 + i

    2

    )= 216

    (3 + i

    ).

    Primjer 1.7 Izracunati 7 + 24i.Rjesenje: Buduci da je korijen kompleksnog broja kompleksan broj, tadavrijedi 7 + 24i = x+ iy.Odredimo x i y.Kvadriranjem dobijamo

    7 + 24i = (x+ iy)27 + 24i = x2 + 2xyi+ i2y27 + 24i = x2 + 2xyi y27 + 24i = x2 y2 + 2xyi

    a odavdje jex2 y2 = 7

    2xy = 24

    }.

    Iz druge jednacine je y =12

    x, pa ako to uvrstimo u prvu jedna cinu, dobijamo

    x2 (12

    x

    )2= 7

    x2 144x2

    = 7 / x2

    x4 144 = 7x2x4 + 7x2 144 = 0.

    6

  • Edis Mekic Elvis Barakovic

    Uvodeci smjenu t = x2, dobijamo kvadratnu jednacinu t2 +7t144 = 0, cijasu rjesenja t1 = 16 i t2 = 9, ali u obzir dolazi samo drugo rjesenje t2 = 9jer zbog smjene t = x2 > 0.

    Znaci, x1 = 3 ili x2 = 3. Ako je x1 = 3, tada je y1 = 123 = 4. Ako

    je x2 = 3, tada je y1 =12

    3= 4.

    Dakle,

    7 + 24i = 3 4i ili 7 + 24i = 3 + 4i.

    Primjer 1.8 Izracunati4

    8 + 8

    3i,

    a zatim predstaviti graficki dobijene kompleksne brojeve i izracunati obim ipovrsinu tako dobijene figure.

    Rjesenje: Kompleksni broj z = 8 + 83i zapisimo u trigonometrijskomobliku.

    Vrijedi z = 8 + 83i odakle je Re(z) = 8 < 0 i Im(z) = 83 > 0, paako bismo ovaj kompleksni broj predstavili u Gausovoj ravni, on bi se nalaziou drugom kvadrantu. Izracunajmo modul i argument ovog kompleksnogbroja:

    = |z| =(8)2 +

    (83)2

    =64 + 64 3 = 64 + 192 =

    256 = 16

    tg =83

    8 = 3 = = 2pi

    3.

    Zato je

    z = 16

    (cos

    2pi

    3+ i sin 2pi

    3

    ).

    Sada je

    k =4

    8 + 8

    3i =

    416

    (cos

    2pi

    3+ 2kpi

    4+ i sin

    2pi

    3+ 2kpi

    4

    )

    gdje je k = 0, 1, 2, 3.

    Za k = 0, dobijamo

    0 =416

    (cos

    2pi

    3+ 0

    4+ i sin

    2pi

    3+ 0

    4

    )= 2

    (cos

    pi

    6+ i sin pi

    6

    )=3 + i.

    7

  • Edis Mekic Elvis Barakovic

    Za k = 1, dobijamo

    1 =416

    (cos

    2pi

    3+ 2pi

    4+ i sin

    2pi

    3+ 2pi

    4

    )= 2

    (cos

    2pi

    3+ i sin 2pi

    3

    )= 1+

    3i.

    Za k = 2, dobijamo

    2 =416

    (cos

    2pi

    3+ 4pi

    4+ i sin

    2pi

    3+ 4pi

    4

    )= 2

    (cos

    7pi

    6+ i sin 7pi

    6

    )=

    3i.

    Za k = 3, dobijamo

    3 =416

    (cos

    2pi

    3+ 6pi

    4+ i sin

    2pi

    3+ 6pi

    4

    )= 2

    (cos

    5pi

    3+ i sin 5pi

    3

    )= 1

    3i.

    b

    b

    b

    b

    0

    1

    2

    3

    x