OT3OS1

07.11.2017.

Definicije

Funkcija prenosa

• Funkcija prenosa se definiše kao količnik z

transformacija odziva i pobude.

• Za LTI sistem:

Z Z Z

k

n

n

y n h k x n k

y n h n x n

Y z H z X z

Y zH z

X z

H z h n z

Funkcija prenosa

• Veliku grupu sistema čine sistemi koji se

mogu predstaviti diferencnim jednačinama

sa konstantnim koeficijentima.

• Ovi sistemi mogu biti sistemi sa

beskonačnim impulsnim odzivom (IIR) ili

sistemi sa konačnim impulsnim odzivom

(FIR). (beskonačno/konačno se odnosi na

dužinu impulsnog odziva).

Funkcija prenosa

0

1

MM k

kN M k

NN N k

k

k

b z

H z z

z a z

IIR FIR

0

M

k

k

y n b x n k

0

Mk

k

k

y n b z x n

Z Z

0

Mk

k

k

H z b z

0

1 MM k

kMk

H z b zz

Diferencna jednačina

Funkcija prenosa

0 1

M N

k k

k k

y n b x n k a y n k

0 1

M Nk k

k k

k k

y n b z x n b z y n

Z Z Z

1

0

1

1

1

Mk

k

k

Nk

k

k

b zQ zY z

H zX z P z

a z

Nule i polovi funkcije prenosaIIR FIR

N

k

k

M

k

k

MN

N

k

k

k

M

k

k

k

pz

qz

zH

zp

zq

HzH

1

1

0

1

1

0

1

1

M

k

kM

M

k

k qzz

HzqHzH1

0

1

1

0

11

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Ima

gin

ary

Pa

rt

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-1

-0.5

0

0.5

1

32

Real Part

Imagin

ary

Part

Trivijalni

polovi

Stabilnost i kauzalnost sistema

• Da bi sistem bio stabilan oblast konvergencije

mora obuhvatati jedinični krug

• Da bi sistem bio kauzalan oblast konvergencije

mora se nalaziti izvan kruga koji prolazi kroz pol

najudaljeniji od koordinantnog početka

Za kauzalni linerani vremenski invarijantni sistem

navedena dva uslova će biti zadovoljena ako i

samo ako svi polovi funkcije prenosa leže unutar

jediničnog kruga kompleksne z ravni

Frekvencijski odziv

j j n

n

H e h n e

j

j

z eH e H z

j j j

R IH e H e jH e

Furijeova transformacija impulsnog odziva

Veza sa z transformacijom

Kompleksna funkcija!!!

Frekvencijski odziv

Amplitudska karakteristika

Fazna karakteristika

exp argj j jH e H e j H e

jjH e e M

2 2

j j j

R IH e H e H e

M

1arg tan

j

Ij

j

R

H eH e

H e

Pojačanje, slabljenje...

Pojačanje

Slabljenje

Grupno kašnjenje

20log dBg M

20log dBa M

d

d

Uticaj rasporeda nula i polova na

karakteristike sistema

Frekvencijski odziv

10

1

10

1

M

qk

pk

Mj

kj N Mj k

Nj

k

k

jj

k k

jj

k k

M

k

k

N

k

k

e q

H e H e

e p

e q Q e

e p P e

Q

H

P

0

1-1

-1

Re

Im z ravan

Pk

Qk

qk

pk

je

pk

qk

Uticaj položaja nula i polova

• Nula ili pol će imati najveći uticaj na frekvencije koje

odgovaraju delu jediničnog kruga koji je najbliži nuli ili

polu.

• Sa približavanjem nule ili pola jediničnom krugu uticaj na

karakteristiku raste.

• Za pol čiji je modul pk približno 1, amplitudska

karakteristika ima lokalni maksimum

• Za nulu čiji je modul qk približno 1, amplitudska

karakteristika ima lokalni minimum.

Uticaj položaja nula i polova

• Za nulu na jediničnom krugu =k amplitudska

karakteristika ima nulu, a faza ima skok od radijana.

• Ako neki od polova funkcije prenosa leži na jediničnom

krugu za =k amplitudska karakteristika ima

beskonačnu vrednost.

• Polovi ili nule koji se nalaze u koordinatnom početku ne

utiču na amplitudsku karakteristiku, već samo na faznu.

Zbog toga se ove nule i polovi smatraju trivijalnim.

Frekvencijski odziv - primer

Frekvencijski odziv - primer

Frekvencijski odziv - primer

Frekvencijski odziv - primer

Frekvencijski odziv - primer

Idealni filtar

0

0

1, ,

0,

sin1

2

c

c

cj

F

c

cj n

F

H e

nh n e d

n

, ,

0,

sin1

2

d

c

d

c

j n

cj

LF

c

c dj n n

LF

d

eH e

n nh n e d

n n

Nulta

fazna k-ka

Linearna

fazna k-ka

Idealni diferencijator

,

cos

j

dif

dif

H e j

nh n

n

Idealni Hilbertov transformator

2

, 0 ,

, 0

sin2 2

, 0,

0, 0

j

H

H

jH e

j

n

h n nn

n

Realno ostvarive karakteristike

diskretnih LTI sistema

Realno ostvarive karakteristike

diskretnih LTI sistema

ωaωp

δa

1δp

1

ωπ

|HNF(ejω)|

1-1

-1

Re

Imz ravan

pjez

ajez

Propusni

opseg

Nepropusni

opseg

Funkcija prenosa linearne faze

0 0

0 0

0 0 0

1

0 0 0 0

1

0 0

0 2 0 cos

Mj j n

n M

Mj j n j n

n

Mj

n

H e h n e

h n h n

H e h h e e

H e h h n ω

A

Nulta fazna

k-ka,

ostvariv

sistem

(ostvariv,

konačna

dužina Im.

od.)

Realna

amplitudska

funkcija 0 0 ω M A

Funkcija prenosa linearne faze

0

0

LF

j j j M

LF

h h n M

H e H e e

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

|H|

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-15

-10

-5

0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11

2

3

/

Funkcija prenosa linearne faze

0

0

LF

j j j M

LF

h h n M

H e H e e

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

4

Real Part

Imagin

ary

Part

Filtar svepropusnik, all-pass

Filtar minimalne faze

• Stabilan filtar: svi polovi unutar jediničnog

kruga

• Položaj nula ne utiče na stabilnost

• Sistem kod koga su sve nule unutar

jediničnog kruga naziva se sitem

minimalne faze

Zadatak 1

a) Za filtar za usrednjavanje (moving average)

dužine 5 nacrtati impulsni odziv i

karakteristiku slabljenja filtra.

b) Odrediti ukupan ekvivalentni impulsni odziv

i karakteristiku slabljenja za kaskadnu vezu

dva identična filtra data pod a).

Zadatak 1 – rešenje1

h=[1 1 1 1 1]/5;

figure,stem([0:4],h),xlabel('n'),ylabel('h(n)');

[H,w]=freqz(h,1,1000);

figure,plot(w/pi,-20*log10(abs(H))),

xlabel('\omega/\pi'),ylabel('Slabljenje [dB]');

figure,zplane(h);

angle(roots(h))/pi

H_na_2=H.*H;

figure,plot(w/pi,-20*log10(abs([H H_na_2])));

xlabel('\omega/\pi’);

ylabel('Slabljenje [dB]'),legend('|H|','|H|^2');

hkv=conv(h,h)

figure,stem([0:8],hkv),xlabel('n'),ylabel('hkv(n)');

[Hkv,w]=freqz(hkv,1,1000);

figure,plot(w/pi,-20*log10(abs([Hkv H_na_2])));

xlabel('\omega/\pi');

ylabel('Slabljenje [dB]'),legend('|Hkv|','|H|^2');

figure,zplane(hkv);

angle(roots(hkv))/pi

Zadatak 1 – rešenje2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

n

h(n

)

h=[1 1 1 1 1]/5;

figure,stem([0:4],h),xlabel('n'),ylabel('h(n)');

Zadatak 1 – rešenje3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

50

100

150

200

250

300

350

/

Sla

blje

nje

[dB

]

[H,w]=freqz(h,1,1000);

figure,plot(w/pi,-20*log10(abs(H))),

xlabel('\omega/\pi'),ylabel('Slabljenje [dB]');

Zadatak 1 – rešenje4

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

4

Real Part

Imagin

ary

Part

ans =

0.4000

-0.4000

0.8000

-0.8000

-0.8000

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

50

100

150

200

250

300

350

/

Sla

blje

nje

[dB

]

figure,zplane(h);

angle(roots(h))/pi

Zadatak 1 – rešenje5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

100

200

300

400

500

600

700

/

Sla

blje

nje

[dB

]

|H|

|H|2

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

/

Sla

blje

nje

[dB

]

|H|

|H|2

H_na_2=H.*H;

figure,plot(w/pi,-20*log10(abs([H H_na_2])));

xlabel('\omega/\pi');

ylabel('Slabljenje [dB]'),legend('|H|','|H|^2');

Zadatak 1 – rešenje6

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

n

hkv(n

)hhhkv

hkv =

0.0400 0.0800 0.1200 0.1600 0.2000 0.1600 0.1200 0.0800 0.0400

hkv=conv(h,h)

figure,stem([0:8],hkv),xlabel('n'),ylabel('hkv(n)');

Zadatak 1 – rešenje7

2HH kv

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

100

200

300

400

500

600

700

/

Sla

blje

nje

[dB

]

|Hkv|

|H|2

[Hkv,w]=freqz(hkv,1,1000);

figure,plot(w/pi,-20*log10(abs([Hkv H_na_2])));

xlabel('\omega/\pi');

ylabel('Slabljenje [dB]'),legend('|Hkv|','|H|^2');

Zadatak 1 – rešenje8

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 2

2

2

2

8

Real Part

Imagin

ary

Part

ans =

0.4000

-0.4000

0.4000

-0.4000

0.8000

-0.8000

0.8000

-0.8000

figure,zplane(hkv);

angle(roots(hkv))/pi