of 33/33
Biljana Stamatović

Parcijalni izvodi

  • View
    1.665

  • Download
    1

Embed Size (px)

Text of Parcijalni izvodi

Biljana Stamatovi

Realne funkcije vie promjenljivih Zadatak optimizacije 16 asova Literatura: matematika: Primjenjena matematika Barnet, Ziegler,Byleen ekonomije, Osnovne metode matematike ekonomije Alpha Chiang

z=g(x,y) Domen Kodomen Grafik y=f(x1, x2,, xn-1, xn)

Odrediti domen sljedeih funkcija

Z=x2+y2

Z=16-x2-y2

Z=y2-x2

Povrina pravougaonika P(a,b)=ab Iznos na raunu A(P,r,t,n)=P(1+r/n)nt Srednja brzina v(s,t)=s/t Zapremina valjka V(r,h)=r2h Cobb-Douglas funkcija proizvodnje za opis koliine proizvoda f(x,y)=kxmyn k,n,m pozitivne konstante, m+n=1, x utroene jedinice rada, y-utroene jedinice kapitala .

Nai funkciju mjesenog prihoda R(x,y) ako su date jednaine zavisnosti cijene i potranje za dvije vrste proizvoda p=200-5x+2y q=100+x-2y gdje su p, q cijene prvog i drugog proizvoda (redom) u zavisnosti od x-tranje prvog, odnosno y-tranje drugog proizvoda. Ako je funkcija mjesenog troka C(x,y)=500+3x+4y nai funkciju profita P(x,y) i vrijednost profita za nivo tranje x=10, y=5.

Nacrtati grafike funkcija z=x+y z=x2+y2

Nacrtati presjeke povri z=3x2+y2 sa ravnima y=0, 1, 2,3,4 x=0, 1, 2, 3 Z=1,2,3

Nacrtati presjeke povri z=xy2 , z=x/y sa ravnima y=0, y=1, y=2, y=3 x=0, x=1, x=2, x=3

Zadaci 42,43, 46, 48 strana 866

Posmatramo funkciju y=f(x1, x2,, xn-1, xn) Ako promjenljiva xi pretrpi promjenu xi, a ostale promjenljive ostaju nepromjenjene, tada y trpi promjenu. Kolinik

predatvlja srednju + x i ,.., x n ) f ( x1 ,..., x i ,.., x n ) y f ( x1 ,..., x i promjenux i = x i

Granina vrijednostx i 0

lim

f ( x1 ,..., x i + x i ,.., x n ) f ( x1 ,..., x i ,.., x n ) x i

je parcijalni izvod funkcije f po promjenljivoj xi Oznake

f ,f x i ,f i x i

Nai parcijalne izvode funkcije

f ( x , y ) = 4 x 3 y + y ln x

( x yz f (x, y ,z) =3

4

+ zy ln x )

z 2xy

ez x y

z = x 2 + xy + y 2 x = 0.2; y = 0.3 z = 2x + y x z (0.2,0.3) = 0.7 x

Parcijalni izvod z (a,b)x

predstavlja koeficijent pravca tangente krive dobijene kao presjek ravni y=b i povri (grafik funkcije z=f(x,y)) u taki M(a,b,z(a,b))

Produktivnost proizvoaa data je funnkcijom proizvodnje gdje je x utroak rada, a y utroak kapitala. Odrediti graninu produktivnost po osnovu rada Odrediti graninu produktivnost po osnovu kapitala Odrediti granine produktivnosti, ako preduzee trenutno koristi 1000 jedinica rada i 2000 jedinica kapitala.f (x ,y ) = 25 x0 .2

y

0 .8

Qd- potronja Qs ponuda P- cijena ModelQd=Qs Qd=a-bP Qs=-c+dP

Koliko e se promjeniti endogena varijabla kad se promjeni neki od parametaraa, b, c, d?

Posljednja dva parcijalna izvoda drugog reda nazivaju se mjeovitim parcijalnim izvodima drugog reda Ako je funkcija f neprekidna tada vai:

Za funkcije

f ( x , y ) = 4 x 3 y + y ln xnai parcijalne izvode drugog reda

Ako imamo funkciju od n promjenljivih

Tada je njen totalni diferencijal

Za koliko e se promjeniti dijagonala pravougaonika sa stranicama x=6m, y=8m, ako se prva stranica povea za 2mm, a druga smanji za 5mm.

Odrediti diferencijale drugog reda sljedeih funkcija

Jednaina tangentne ravni povri z=f(x,y) u taki M(x0,y0,z0) (z0=f(x0,y0) )

gdje su Jednaina prave koja je normalna na tangentnu ravan u taki M zove se normala povri. Njena jednaina je:

Nai tangentnu ravan povri

{( x , y ,z( x , y ) | z(x , y ) = 3xu taki M(2,1,z(2,1))

3

y

3

)}

Odrediti parcijalne izvode prvog reda sljedeih funkcija

Pokazati da su sljedee jednakosti tane

Odrediti parcijalne izvode drugog reda

Dokazati jednakost